渝皖琼2018_2019学年高中数学第一章立体几何初步2直观图学案北师大版必修2

§2 直观图学习目标 1.掌握斜二测画法的作图规则.2.会用斜二测画法画出简单几何体的直观图．知识点 斜二测画法思考1 边长2 cm 的正方形ABCD 水平放置的直观图如下，在直观图中，A ′B ′与C ′D ′有何关系？A ′D ′与B ′C ′呢？在原图与直观图中，AB 与A ′B ′相等吗？AD 与A ′D ′呢？答案 A ′B ′∥C ′D ′，A ′D ′∥B ′C ′，A ′B ′＝AB ，A ′D ′＝12AD .思考2 正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的直观图如图所示，在此图形中各个面都画成正方形了吗？答案 没有都画成正方形．梳理 (1)水平放置的平面图形直观图的画法 斜二测画法规则：①在已知图形中建立平面直角坐标系xOy ，画直观图时，它们分别对应x ′轴和y ′轴，两轴相交于点O ′，使∠x ′O ′y ′＝45°，它们确定的平面表示水平平面．②已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x ′轴或y ′轴的线段． ③已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y 轴的线段，长度为原来的12.(2)立体图形直观图的画法1．用斜二测画法画水平放置的∠A 时，若∠A 的两边分别平行于x 轴和y 轴，且∠A ＝90°，则在直观图中，∠A ＝45°.( × )2．用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平行，且长度不变．( × )3．在斜二测画法中平行于y 轴的线段在直观图中长度保持不变．( × )类型一 水平放置的平面图形的直观图 例1 画出如图水平放置的直角梯形的直观图．考点 平面图形的直观图 题点 平面图形的直观图 解 画法：(1)在已知的直角梯形OBCD 中，以底边OB 所在直线为x 轴，垂直于OB 的腰OD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系．画出相应的x ′轴和y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°，如图(1)(2)所示；(2)在x ′轴上截取O ′B ′＝OB ，在y ′轴上截取O ′D ′＝12OD ，过点D ′作x ′轴的平行线l ，在l 上沿x ′轴正方向取点C ′使得D ′C ′＝DC .连接B ′C ′，如图(2)；(3)去掉辅助线，所得四边形O ′B ′C ′D ′就是直角梯形OBCD 的直观图，如图(3)．引申探究若得本例中的直角梯形改为等腰梯形，画出其直观图． 解 画法：(1)如图所示，取AB 所在直线为x 轴，AB 中点O 为原点，建立平面直角坐标系，画出对应的x ′轴和y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°；(2)以O ′为中点在x ′轴上取A ′B ′＝AB ，在y ′轴上取O ′E ′＝12OE ，以E ′为中点画出C ′D ′∥x ′轴，并使C ′D ′＝CD ；(3)连接B ′C ′，D ′A ′，所得的四边形A ′B ′C ′D ′就是水平放置的等腰梯形ABCD 的直观图．反思与感悟 在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的平面直角坐标系是关键之一，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点．原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段．关键之二是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可． 跟踪训练1 已知正五边形ABCDE ，如图，试画出其直观图．考点 平面图形的直观图 题点 平面图形的直观图 解 画法：(1)在图(1)中作AG ⊥x 轴于点G ，作DH ⊥x 轴于点H .(2)在图(2)中画相应的x ′轴与y ′轴，两轴相交于点O ′，使∠x ′O ′y ′＝45°. (3)在图(2)中的x ′轴上取O ′B ′＝OB ，O ′G ′＝OG ，O ′C ′＝OC ，O ′H ′＝OH ，y ′轴上取O ′E ′＝12OE ，分别过G ′和H ′作y ′轴的平行线，并在相应的平行线上取G ′A ′＝12GA ，H ′D ′＝12HD .(4)连接A ′B ′，A ′E ′，E ′D ′，D ′C ′，并擦去辅助线G ′A ′，H ′D ′，x ′轴与y ′轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE 的直观图A ′B ′C ′D ′E ′(如图(3))．类型二 直观图的还原与计算例2 如图所示，梯形A 1B 1C 1D 1是一平面图形ABCD 的直观图．若A 1D 1∥O ′y ′，A 1B 1∥C 1D 1，A 1B 1＝23C 1D 1＝2，A 1D 1＝O ′D 1＝1.试画出原四边形的形状，并求出原图形的面积．考点 平面图形的直观图 题点 由直观图还原平面图形解 如图，建立平面直角坐标系xOy ，在x 轴上截取OD ＝O ′D 1＝1，OC ＝O ′C 1＝2. 在过点D 的y 轴的平行线上截取DA ＝2D 1A 1＝2. 在过点A 的x 轴的平行线上截取AB ＝A 1B 1＝2. 连接BC ，即得到了原图形．由作法可知，原四边形ABCD 是直角梯形，上、下底长度分别为AB ＝2，CD ＝3，直角腰的长度AD ＝2，所以面积为S ＝2＋32×2＝5.反思与感悟 (1)由直观图还原为平面图的关键是找与x ′轴，y ′轴平行的直线或线段，且平行于x ′轴的线段还原时长度不变，平行于y ′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．(2)若一个平面多边形的面积为S ，其直观图的面积为S ′，则有S ′＝24S 或S ＝22S ′.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积．跟踪训练 2 (1)如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A ′B ′O ′，若O ′B ′＝1，那么原三角形ABO 的面积是( )A.12B.22 C. 2 D ．2 2 考点 平面图形的直观图 题点 与直观图有关的计算 答案 C解析 直观图中等腰直角三角形直角边长为1，因此面积为12，又直观图与原平面图形面积比为2∶4，所以原图形的面积为2，故选C.(2)如图所示，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6 cm ，C ′D ′＝2 cm ，则原图形是________．(填四边形的形状)考点 平面图形的直观图 题点 由直观图还原平面图形 答案 菱形解析 如图所示，在原图形OABC 中，应有OA ＝O ′A ′＝6(cm)，OD ＝2O ′D ′＝2×22＝42(cm)，CD ＝C ′D ′＝2(cm)，∴OC ＝OD 2＋CD 2＝(42)2＋22＝6(cm)，∴OA ＝OC ，又OA ∥BC ，OA ＝BC ， 故四边形OABC 是菱形． 类型三 简单几何体的直观图例3 画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图． 考点 简单几何体的直观图 题点 简单几何体的直观图 解 画法：(1)画轴．画x 轴，y 轴，z 轴，三轴相交于点O ，使∠xOy ＝45°(或135°)，∠xOz ＝90°，如图①.(2)画底面，以O为中心在xOy平面内，画出正方形直观图ABCD.(3)画顶点．在Oz轴上截取OP使OP的长度是原四棱锥的高．(4)成图．顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图如图②.反思与感悟简单几何体直观图的画法(1)画轴：通常以高所在直线为z轴建系．(2)画底面：根据平面图形直观图的画法确定底面．(3)确定顶点：利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关顶点．(4)连线成图．跟踪训练3 用斜二测画法画棱长为2 cm的正方体ABCD－A′B′C′D′的直观图．考点简单几何体的直观图题点简单几何体的直观图解画法：(1)画轴．如图①，画x轴，y轴，z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)画底面．以点O为中心，在x轴上取线段MN，使MN＝2 cm；在y轴上取线段PQ，使PQ ＝1 cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是正方体的底面ABCD.(3)画侧棱．过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上沿Oz轴方向分别截取2 cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′.(4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，得到正方体的直观图(如图②)．1．利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，图中正确的是( )考点平面图形的直观图题点平面图形的直观图答案 C解析正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1.2．下列关于直观图的说法不正确的是( )A．原图形中平行于y轴的线段，对应线段平行于直观图中y′轴，长度不变B．原图形中平行于x轴的线段，对应线段平行于直观图中x′轴，长度不变C．在画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时，∠x′O′y′可以画成45°D．在画直观图时，由于选轴的不同所画的直观图可能不同考点平面图形的直观图题点平面图形的直观图答案 A解析平行于y轴的线段，直观图中长度变为原来的一半，故选A.3．有一个长为5 cm，宽为4 cm的矩形，则其用斜二测画法得到的直观图的面积为________cm2. 考点平面图形的直观图题点与直观图有关的计算答案5 2解析该矩形直观图的面积为24×5×4＝52(cm2)．4．如图，水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的△A′B′C′，已知A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是________．考点平面图形的直观图题点与直观图有关的计算答案10解析在原图中，AC＝6，BC＝4×2＝8，∠AOB＝90°，∴AB＝62＋82＝10.5．画出一个正三棱台的直观图．(尺寸：上、下底面边长分别为1 cm,2 cm，高为2 cm) 考点简单几何体的直观图解画法：(1)作水平放置的下底面等边三角形的直观图△ABC，其中O为△ABC的重心，BC＝2 cm，线段AO与x轴的夹角为45°，AO＝2OD.(2)过O作z轴，使∠xOz＝90°，在Oz轴上截取OO′＝2 cm，作上底面等边三角形的直观图△A′B′C′，其中B′C′＝1 cm，连接AA′，BB′，CC′，得正三棱台的直观图．1．画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定直观图的顶点．确定点的位置，可采用直角坐标系．建立恰当的坐标系是迅速作出直观图的关键，常利用图形的对称性，并让顶点尽量多地落在坐标轴上或与坐标轴平行的直线上．2．用斜二测画法画图时要紧紧把握住：“一斜”、“二测”两点：(1)一斜：平面图形中互相垂直的Ox、Oy轴，在直观图中画成O′x′、O′y′轴，使∠x′O′y′＝45°.(2)二测：在直观图中平行于x轴的长度不变，平行于y轴的长度取一半，记为“横不变，纵折半”.一、选择题1．关于斜二测画法所得直观图，以下说法正确的是( )A．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形B．正方形的直观图为平行四边形C．梯形的直观图不是梯形D．正三角形的直观图一定为等腰三角形考点平面图形的直观图答案 B解析 由直观图的性质知，B 正确．2．若把一个高为10 cm 的圆柱的底面画在x ′O ′y ′平面上，则圆柱的高应画成( ) A ．平行于z ′轴且长度为10 cm B ．平行于z ′轴且长度为5 cm C ．与z ′轴成45°且长度为10 cm D ．与z ′轴成45°且长度为5 cm 考点 简单几何体的直观图 题点 柱、锥、台的直观图 答案 A解析 由直观图的性质知，与z 轴平行的线段长度不变，高与原长相等． 3．如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的( )考点 平面图形的直观图 题点 由直观图还原平面图形 答案 C解析 在x 轴上或与x 轴平行的线段在新坐标系中的长度不变，在y 轴上或平行于y 轴的线段在新坐标系中的长度变为原来的12，并注意到∠xOy ＝90°，∠x ′O ′y ′＝45°，因此由直观图还原成原图形为选项C.4．下面每个选项的2个边长为1的正△ABC 的直观图不是全等三角形的一组是( )题点平面图形的直观图答案 C解析可分别画出各组图形的直观图，观察可得结论．5．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积为( )A．16 B．64C．16或64 D．无法确定考点平面图形的直观图题点与直观图有关的计算答案 C解析等于4的一边在原图形中可能等于4，也可能等于8，所以正方形的面积为16或64. 6．水平放置的△ABC，有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正三角形A′B′C′，则△ABC 是( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．任意三角形考点平面图形的直观图题点由直观图还原平面图形答案 C解析如图所示，斜二测直观图还原为平面图形，故△ABC是钝角三角形．7.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示，AB平行于y′轴，BC，AD平行于x′轴．已知四边形ABCD的面积为2 2 cm2，则原平面图形的面积为( )A．4 cm2B．4 2 cm2C．8 cm2D．8 2 cm2考点平面图形的直观图题点与直观图有关的计算答案 C解析依题意可知∠BAD＝45°，则原平面图形为直角梯形，且上下底边的长分别与BC，AD 相等，高为梯形ABCD的高的22倍，所以原平面图形的面积为8 cm2.8．已知两个底面半径相等的圆锥，底面重合在一起(底面平行于水平面)，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )A．2 cm B．3 cm C．2.5 cm D．5 cm考点简单几何体的直观图题点柱、锥、台的直观图答案 D解析圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间距离为2＋3＝5(cm)，在直观图中与z 轴平行的线段长度不变，仍为5 cm.故选D.二、填空题9．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知B′C′＝4，A′C′＝3，B′C′∥y′轴，则△ABC中AB边上的中线的长度为________．考点平面图形的直观图题点与直观图有关的计算答案73 2解析由斜二测画法规则知AC⊥BC，即△ABC为直角三角形，其中AC＝3，BC＝8，所以AB＝73，AB边上的中线长度为732.10．在如图所示的直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在坐标系xOy 中原四边形OABC为______(填形状)，面积为________ cm2.考点平面图形的直观图题点与直观图有关的计算答案矩形8解析由题意结合斜二测画法，可得四边形OABC为矩形，其中OA＝2 cm，OC＝4 cm，∴四边形OABC的面积为S＝2×4＝8(cm2)．11．如图所示，四边形OABC 是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，用斜二测画法画出这个梯形的直观图O ′A ′B ′C ′，则在直观图中，梯形的高为________．考点 平面图形的直观图 题点 与直观图有关的计算 答案22解析 作CD ，BE ⊥OA 于点D ，E ，则OD ＝EA ＝OA －BC2＝2，又∠COD ＝45°， ∴OD ＝CD ＝2，∴在直观图中梯形的高为2×12×sin 45°＝22.三、解答题12．如图所示，画出水平放置的四边形OBCD 的直观图．考点 平面图形的直观图 题点 平面图形的直观图 解 画法：(1)过点C 作CE ⊥x 轴，垂足为E ，如图(1)所示．画出对应的x ′轴，y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°，如图(2)所示；(2)如图(2)所示，在x ′轴正半轴上取点B ′，E ′，使得O ′B ′＝OB ，O ′E ′＝OE .在y ′正半轴上取一点D ′，使得O ′D ′＝12OD .过E ′作E ′C ′∥y ′轴，使E ′C ′＝12EC ；(3)连接B ′C ′，C ′D ′，并擦去x ′轴与y ′轴及其他一些辅助线，如图(3)所示，四边形O ′B ′C ′D ′就是所得直观图．13．一个机器部件，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3 cm ，高为3 cm ，圆锥的高为3 cm ，画出此机器部件的直观图． 考点 简单几何体的直观图 题点 简单几何体的直观图 解 画法：(1)如图①.画x 轴，y 轴，z 轴，三轴相交于点O ，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°. (2)画圆柱的两底面．在xOy 平面上画出底面圆O ，使直径为3 cm ，在z 轴上截取OO ′，使OO ′＝3 cm ，过O ′作Ox 的平行线O ′x ′，Oy 的平行线O ′y ′，利用O ′x ′与O ′y ′画出底面圆O ′，使其直径为3 cm.(3)画圆锥的顶点．在z 轴上取一点P ，使PO ′等于圆锥的高3 cm.(4)成图．连接A ′A ，B ′B ，PA ′，PB ′，擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，得到此几何体(机器部件)的直观图，如图②.四、探究与拓展14.如图所示，一个水平放置的正方形ABCO ，在直角坐标系xOy 中，点B 的坐标为(2,2)，则用斜二测画法画出正方形的直观图中，顶点B ′到x ′轴的距离为______．考点 平面图形的直观图 题点 与直观图有关的计算 答案22解析 画出直观图，则B ′到x ′轴的距离为22·12OA ＝24OA ＝22.15．在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A′B′C′D′，如图，其中的对角线A′C′在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积．考点平面图形的直观图题点与直观图有关的计算解四边形ABCD的真实图形如图所示，∵A′C′在水平位置，A′B′C′D′为正方形，∴∠D′A′C′＝∠A′C′B′＝45°，∴在原四边形ABCD中，DA⊥AC，AC⊥BC，∵DA＝2D′A′＝2，AC＝A′C′＝2，∴S四边形ABCD＝AC·AD＝2 2.。