信号与系统期中考试答案

信号与系统期中考试答案一、（15%）已知连续时间信号x t ()和离散时间信号x n []的波形图如下图所示。

画出下列各信号的波形图，并加以标注。

1. ()()11x t x t =-, 2. ()()221x t x t =-, 3. 3()()x x t ττ=-第三个自变量不为t ！！4.{}1[][][]e x n x n Even x n ==， 5. 2[][][1]x n x n n δ=-答案二、（25%）简要回答下列问题。

1． 推导离散时间信号[]0j n xn e ω=成为周期信号的条件（3%）；若是周期信号，给出基波周期的求法（3%）。

答案：若为周期信号，则00()j nj n N e e n ωω+=∀，。

推出01j N e ω=，再推出02,,0N k k z k ωπ=∈≠。

得出02kNωπ=为有理分数。

0002min ,1k N N z k z k πω⎧⎫⎪⎪=∈∈≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭，且2．指出离散时间信号[]j n x n e ω=频率取值的主值范围（2%），指出它的最低频率和最高频率（2%）。

答案2πωπωπ-≤<≤<或0。

min max 02,21),k k z k k z ωπωππ=∈=+∈或。

而或(。

3． 断下列两个系统是否具有记忆性。

① ()()()()222y t x t x t =-，（1%）② [][][]0.51y n x n x n =--。

（1%）答案 ① 无记忆性 ② 有记忆性4． 简述连续时间和离散时间线性时不变（LTI ）系统的因果性、稳定性与单位冲激响应（Unit impulse response ）的关系（4%）。

答案 因果性与()()()[][][]h t h t u t h n h n u n ==或互为充要条件。

稳定性与|()||[]|n h t dt h n +∞+∞=-∞-∞<+∞<+∞∑⎰或互为充要条件。

5． 很广泛一类因果系统可用常系数微分方程：()()00k k NM k kk k k k d y t d x t a b dt dt ===∑∑表征，画出该类系统的增量线性系统结构（2%），用该结构说明全响应的构成方法及每一部分的物理含义（4%），在什么条件下该类系统为LTI 系统（3%）？ 答案()()()x i y t y t y t =+, ()()*()x y t x t h t =是仅由输入信号引起响应：零状态响应，()i y t 是仅由初始状态引起的响应：零输入响应。

当全部的初始状态都为零，即(1)(0)0,(0)0,,(0)0LTI N y y y ----'===L 为系统三、（20%）离散时间LTI 系统的单位冲激响应用[]hn 表示，系统对任意输入信号x n []的响应用[]y n 表示。

1. 写出离散时间信号x n []冲激分解的卷积和（Convolution sum ）表达式（2%）。

2. 利用系统的线性时不变性质，推导给出[]y n 的卷积和表达式（6%）。

3. 当系统的单位冲激响应[][][]3hn u n u n =--，输入信号[][][]5x n u n u n =--时，用分段法计算[]y n ，并图示计算结果（8%）。

4. 输入信号x n []的序列长度用x L 表示（0,1,,1x nL =-L ），单位冲激响应[]h n 的序列长度用h L 表示（0,1,,1h n L =-L ），推导给出输出信号[]y n 的序列长度y L 与x L 和h L 的关系式（4%）。

答案 1．[][][]k x n x k n k δ+∞=-∞=-∑。

2．已知[][]n h n δ→，根据时不变性，得[][],n k h n k k z δ-→-∈。

根据线性特性的比例性，[][][][]x k n k x k h n k δ-→-。

根据线性特性的可加性，[][][][]k k x k n k x k h n k δ+∞+∞=-∞=-∞-→-∑∑。

[][][][]k x n y n x k h n k +∞=-∞→-∑即=。

3．1) 当n <0，y[n ]=0。

2) 当0020,02,[]1*11nk nn n y n n =≥-≤≤≤==+∑且即3) 当-24and 20,24,[]1*13nk n nn n y n =≤-≥≤≤==∑（）即 4）当4-24and 2446,[]1*17k n n n n y n n =≥-≤≤≤==-∑（），即5）当n >4时y [n ]=04.1[][][],0101021x L h k x x h y x h y n x k h n k n k L k L n L L L L L -==-≤-≤-≤≤-∴≤≤+-=+-∑Q 故四、（10%）简要回答下列问题。

1．写出卷积算法分配律表达式，并得出并联系统单位冲激响应与各子系统单位冲激响应的关系式（4%）。

答案121212[]*([][])[]*[][]*[][][][]x n h n h n x n h n x n h n h n h n h n +=+=+所以2. 写出卷积算法结合律表达式，并得出串联系统单位冲激响应与各子系统单位冲激响应的关系式（4%）。

答案121212([]*[])*[][]*([]*[])[][]*[]x n h n h n x n h n h n h n h n h n ==所以3. 利用卷积算法的性质，证明串联系统的单位冲激响应与各子系统的串联次序无关（2%）。

答案12122121([]*[])*[][]*([]*[])[]*([]*[])([]*[])*[]x n h n h n x n h n h n x n h n h n x n h n h n ===五、（20%） 周期信号x t ()的波形图如下图所示。

1. 求此信号的频谱系数（5%）及傅里叶级数展开表示式（3%）。

2. 求此信号的直流幅度及前四次谐波（含四次谐波）的幅度和相位值（5%）。

3. 用时域方法求此信号的平均功率（3%）。

4. 求直流及前四次谐波（含四次谐波）的平均功率之和占总平均功率的百分比（4%）。

-11657-5-6-7t1......x(t)答案1．00011001001111sin()2()1*d 6633jk t jk t jk tk Te k a x t e dt e t T jk k T ωωωωππωωω+-----======-⎰⎰其中当010,3ka ==000101sin()()2cos()33jk tkk k k x t a ek t k ωωωω+∞+∞-=-∞===+∑∑ 2． 直流013a =，一次谐波3j t e π±的复振幅113320a a π-⎧⎪===⎨⎪⎩相位二次谐波23j t eπ±的复振幅223340a a π-⎧⎪===⎨⎪⎩幅度相位三次谐波j teπ±的复振幅3300a a -⎧==⎨⎩幅度0=相位四次谐波43jt eπ±的复振幅44338a a πππ-⎧⎪===⎨⎪⎩幅度－相位或-3．1221111()163T P x t dt dt T -===⎰⎰ 4.422222401333||()2*()2()0.31063k k P a ===+++=∑故493.2%P P=六、（10%）连续时间周期信号()x t %的频谱系数用k a 表示。

1． 若()x t %为实信号，证明：*kka a -=。

（4%） 2． 证明实信号()x t %偶对称部分()ex t %的频谱系数{}Re k k e a =（3%），奇对称部分()o x t %的频谱系数{}Im k k o j a =。

（3%） 答案1.*()()x t x t =%%0000****1111()()(())(())jk t jk t jk t jk t k k T T T Ta x t e dt x t e dt x t e dt x t e dt a T T T T ωωωω---=====⎰⎰⎰⎰%%%% 2.11()()()22e x t x t x t =+-%%% *1111Re{}2222k k k k k k e a a a a a -=+=+=*11()()()221111Im{}2222k k k k k k x t x t x t o a a a a j a -=--=-=-=%%%。