高数1-6闭区间上连续函数的性质

,则
f ( x1 ) f ( x2 ) [ f ( x1 ) f ( x2 )]2 0
当
时, 取
或
, 则有
故由零点定理知 , 存在
使
即
小结 设 f ( x) C [a , b], 则 1. f ( x) 在 [a , b] 上有界; 2. f ( x) 在 [a , b] 上达到最大值与最小值;
二分法

1 2
0
3 4
1 x
则(1 ,1) 内必有方程的根 ; 2
取
3 , 的中点 x 3 f ( ) 0, 4 4
3 , ) 则 (1 2 4 内必有方程的根 ; 可用此法求近似根.
例2. 设 f ( x) 在 对任意的
使 证: 令
上连续 , 且恒为正 , 证明: 必存在一点
(0 , 4) , 使 f ( ) 0 , 原命题得证 .
使
C
B
A
o a

b x
f ( x) C [ a , b ] , f (a) A, f (b) B , A B ,
证: 作辅助函数
( x) f ( x) C
( A C )( B C ) ( a ) ( b ) ( x ) C [ a , b ] , 且 则
第一章
第十节闭区间上连续函数的性质 一、最值定理 二、介值定理
一、最值定理
定理1.在闭区间上连续的函数在该区间上
一定有最大值和最小值.
即:设 f ( x) C [ a , b ] , 则 1 , 2 [ a , b ] , 使
f (1 ) min f ( x)
a xb
f ( 2 ) max f ( x)
3. f ( x) 在[a , b]上可取最大与最小值之间的任何值;
4. 当 f (a) f (b) < 0 时, 必存在 (a , b) , 使 f (x ) = 0.
1. 设 f ( x) C [0 , 2a ] , f (0) f (2a ) , 证明至少存在 一点 [0 , a ] , 使 f ( ) f ( a ) . 则 提示: 令 ( x) f ( x a ) f ( x) , 则 ( x) C [0 , a ] , 易证 (0) ( a ) 0
o a 1 2
b
x
例如,
无最大值和最小值
y 1
又如,
o
1
x
y
2
1
o
1
2
x
也无最大值和最小值
推论.
在闭区间上连续的函数在该区间上有界.
y
y f ( x)
M
m o a 1 2
证: 设
x[ a , b ]
b
x
由定理 1 可知有
x[ a , b ]
M max f ( x) , m min f ( x)
故由零点定理知, 至少有一点 使 推论: 即 在闭区间上的连续函数
必取得介于最小值与最大值之间的任何值 .
例1.
证明方程 内至少有一个根 .
在区间 证: 又 显然
故据零点定理,至少存在一点 使 即
例1. 证明方程 一个根 .
在区间
内至少有

说明:
1) 1 0 , x1 , f ( 2 2 8
上有界 .
二、介值定理
定理2. ( 零点定理 )
y
y f ( x)
且 至少有一点
o
a
x b
使
定理3.(介值定理) 设
f ( x) C [ a , b ] ,
且 f (a) A , f (b) B , A B ,
则对A 与B 之间的任一数 C ,
至少有一点
y
y f ( x)
a x b
f ( x) C [ a , b ] ,
f (1 ) min f ( x)
a xb
则 1 , 2 [ a , b ] , 使
f ( 2 ) max f ( x)
a x b
y y f ( x)
注: 若函数在开区间上连续, 或在闭区间内有间断点 , 结论不一定成立 .
作业Baidu Nhomakorabea
P73 题 2 ; 3; 4
备用题 证明
正根 .
x 3 1 证： 令 f ( x) x e
至少有一个不超过 4 的
显然 f ( x) 在闭区间 [ 0 , 4 ]上连续, 且
3 f (0) e 1 4 3 f (4) 4 e 1 3 e 0
根据零点定理 , 在开区间 (0 , 4) 内至少存在一点