闭区间上连续函数的性质(详细版)
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第10节闭区间连续函数性质
至少有一个不超过 4 的 且
根据零点定理 , 在开区间
内至少存在一点
原命题得证 .
二、介值定理
定理2. ( 零点定理 ) 且
至少有一点
使
( 证明略 )
m
o a1 2 b x
y y f (x) a
o bx
定理3. ( 介值定理 ) 设 f (x) C[ a , b ] , 且 f (a) A,
f (b) B , A B , 则对 A 与 B 之间的任一数 C , 至少有
一刀剪为面积相等的两片.
y
提示: 建立坐标系如图.
则面积函数 S( ) C[ , ] 因 S() 0, S( ) A
S( )
o
x
故由介值定理可知:
0
(
,
),
使
S(0 )
A. 2
2. 设
一点
使
则提示: 令 则
易证
证明至少存在
作业
P73 题 2 ; 3; 4
备用题 证明
正根 . 证： 令 显然
一、最值定理
定理1.在闭区间上连续的函数 在该区间上一定有最大
值和最小值.
即: 设 f (x) C[ a , b ] , 则 1 ,2 [ a , b ] , 使
f
(1)
min
a xb
f
(x)
y y f (x)
f
(2 )
max
a xb
f
(x)
(证明略)
o a1 2 b x
注意: 若函数在开区间上连续, 或在闭区间内有间断
例如,
但不一致连续 .
因为
取点
则
可以任意小
但
1.10闭区间上连续函数的性质
则称 f ( x0 )是函数 f ( x)在区间 I上的最大值 (最小值).
例如 y 1 sin x,
在[0,2]上, ymax 2, ymin 0.
2.有界性与最大值最小值定理
定理1 在闭区间上连续的函数在该区间上有界且 一定有最大值和最小值.
即：设 f (x)在[a , b] 上连续,
o
12 x
二、零点定理与介值定理
1.零点定理 定理2
即方程 f ( x) 0在(a, b)内至少存在一个实根 .
几何解释:
连续曲线弧 y f ( x)的两个端点 位于x轴两侧，则曲线弧与 x轴 至少有一个交点.
y y f (x)
a
o
bx
2.介值定理 定理3
A B,
证明 作辅助函数，
(x) f (x)C 则(x)C [a , b] ,且
证明 令 F( x) f ( x) x, 则F( x)在[a, b]上连续, 而 F (a) f (a) a 0, F (b) f (b) b 0, 由零点定理,
(a, b), 使 F ( ) f ( ) 0, 即 f ( ) .
小结
设 f ( x)在闭区间[a , b]上连续, (1) f ( x)在[a , b]上有界；
第十节 闭区间上连续函数的性质
一、有界性与最大值最小值定理 二、零点定理与介值定理
一、有界性与最大值最小值定理
1.最大值最小值定义
对于在区间 I上有定义的函数 f ( x), 若有 x0 I , 使得对于任一 x I 都有
f ( x) f ( x0 ) ( f ( x) f ( x0 ))
(2) f ( x)在[a , b]上达到最大值与最小值； (3) f ( x)在[a , b]上可取得最大值与最小值之间的任何值；
例如 y 1 sin x,
在[0,2]上, ymax 2, ymin 0.
2.有界性与最大值最小值定理
定理1 在闭区间上连续的函数在该区间上有界且 一定有最大值和最小值.
即：设 f (x)在[a , b] 上连续,
o
12 x
二、零点定理与介值定理
1.零点定理 定理2
即方程 f ( x) 0在(a, b)内至少存在一个实根 .
几何解释:
连续曲线弧 y f ( x)的两个端点 位于x轴两侧，则曲线弧与 x轴 至少有一个交点.
y y f (x)
a
o
bx
2.介值定理 定理3
A B,
证明 作辅助函数，
(x) f (x)C 则(x)C [a , b] ,且
证明 令 F( x) f ( x) x, 则F( x)在[a, b]上连续, 而 F (a) f (a) a 0, F (b) f (b) b 0, 由零点定理,
(a, b), 使 F ( ) f ( ) 0, 即 f ( ) .
小结
设 f ( x)在闭区间[a , b]上连续, (1) f ( x)在[a , b]上有界；
第十节 闭区间上连续函数的性质
一、有界性与最大值最小值定理 二、零点定理与介值定理
一、有界性与最大值最小值定理
1.最大值最小值定义
对于在区间 I上有定义的函数 f ( x), 若有 x0 I , 使得对于任一 x I 都有
f ( x) f ( x0 ) ( f ( x) f ( x0 ))
(2) f ( x)在[a , b]上达到最大值与最小值； (3) f ( x)在[a , b]上可取得最大值与最小值之间的任何值；
高数同济110闭区间上连续函数的性质
求解最值问题方法与步骤
确定函数定义域
首先明确函数f(x)的定义域，确保在求解最值问题时不会超出定义域 范围。
求导数并判断单调性
对函数f(x)求导，得到f'(x)。通过分析f'(x)的符号变化，判断函数在不 同区间的单调性。
寻找可疑点并比较函数值
可疑点包括导数为零的点、导数不存在的点和定义域的端点。将这些 可疑点代入原函数，比较函数值大小，确定最大和最小值。
判定方法与技巧
1 2 3
利用已知函数的有界性
如果已知某个函数在某个区间上是有界的，那么 可以通过这个函数来判定其他函数在该区间上是 否有界。
利用函数的单调性
如果函数在闭区间上单调增加或减少，那么可以 通过比较区间端点处的函数值来确定函数在该区 间上是否有界。
利用函数的周期性
对于周期性函数，可以通过研究其在一个周期内 的性质来判定其在整个定义域上是否有界。
03 闭区间上连续函数最值问 题
最值定理及证明过程
要点一
最值定理
若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上必有最大 值和最小值。
要点二
证明过程
利用闭区间套定理和连续函数的局部保号性进行证明。首先， 将闭区间[a,b]等分为n个小区间，取各小区间端点处的函数 值，比较大小后得到最大和最小值。然后，不断二分有最大 （小）值的小区间，得到一个闭区间套。最后，由闭区间套 定理知，存在一个点ξ属于所有闭区间套，且f(ξ)为最大（小） 值。
性质
连续函数在定义域内的每一点都连续，且连续函数的和、差、积、商（分母不 为零）仍是连续函数。
闭区间上连续函数特点
有界性
闭区间上的连续函数一定在该区间上 有界。
高等数学闭区间上连续函数的性质
0 x 1 x =1 1 x 2
定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数在该区间上 一定能取得它的最大值和最小值 定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数 一定在该区间上有界 定理3(零点定理) 设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)与f(b)异号 那么在开区间 (a b)内至少存在一点x 使f(x)=0 注: 如果x0使f(x0)=0 则x0称为函数f(x)的零点
定理3(零点定理)设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)与f(b)异 号 那么在开区间(a b)内至少存在一点x 使f(x)=0 定理4(介值定理) 设函数 f(x)在闭区间[a b]上连 续 且f(a)f(b) 那么 对于f(a)与f(b) 之间的任意一个数C 在开区间 (a b)内至少有一点x 使得f(x)=C •推论 在闭区间上连续的函数 必取得介于最大值M与最小值 m之间的任何值
第一章 函数 极限 连续
§10 闭区间上的连续函数
一、有界性与最大值最小值定理
定理1(最大值和最小值定理)
在闭区间上连续的函数 在该区间上一定能取得它的 最大值和最小值
说明:定理说明 如果函数f(x)在闭区间[a b]上连续 那么
至少有一点x1[a b] 使f(x1)是f(x)在[a b]上的最大值 又至少有一点x2[a b] 使f(x2)是f(x)在[a b]上的最小值
定理1(最大值和最小值定理)
在闭区间上连续的函数在该区间 上一定能取得它的最大值和最小值 应注意的问题:1、闭区间；2、连续 例如 函数f(x)=x在开区间(a b)内既无 最大值又无最小值 又如 如下函数在闭区间[0 2] 内既无最大值又无最小值
x 1 y = f (x) = 1 x 3
1.062__闭区间上连续函数的性质
即 3 4 2 1 0,
方程x 3 4 x 2 1 0在(0,1)内至少有一根 .
例2 设函数 f ( x )在区间[a , b] 上连续, 且f (a ) a ,
f (b ) b. 证明 (a , b ), 使得 f ( ) .
证 令 F ( x ) f ( x ) x, 则F ( x )在[a, b]上连续,
推论 2 零点存在定理 设函数f x 在闭区闭
a , b 上连续，且f a 与f b 异号，即 f a f b 0，那么在开区间 a , b 内至少有 函数f x 的一个零点，即至少有一点 a b ，使f 0
例如, y 1 sin x , 在[0, 2 ]上, ymax 2, ymin 0;
定理 1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续 的函数一定存在最大值和最小值.
即
若 f ( x ) Ca, b], 有 M f (1 ) f ( x ), m f ( 2 ) f ( x ).
注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立;
2.若区间内有间断点,定理不一定成立.
定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定 在该区间上有界. 证 设函数f ( x )在[a, b]上连续, x [a , b],
有 m f ( x) M ,
取 K max{ m , M },
则有 f ( x ) K . 函数f ( x )在[a, b]上有界.
即方程 f ( x ) 0在 (a, b)内至少存在一个实根.
几何解释:
连续曲线弧 y f ( x )的两个 端点位于x轴的不同侧, 则曲 线弧与 x轴至少有一个交点.
闭区间上连续函数的性质
y
y f (x)
( x) f ( x) C
则 ( x ) C [ a , b ] , 且
B C A
(a) (b) ( A C )( B C )o aFra bibliotekb x
使 故由零点定理知, 至少有一点 即 必取得介于最小值与最 推论: 在闭区间上的连续函数 大值之间的任何值 .
定理2. ( 零点定理 )
且 使 至少有一点
( 证明略 )
y
y f (x)
o
a
b x
定理3. ( 介值定理 ) 设 f ( x) C [ a , b ] , 且 f (a) A , f (b) B , A B , 则对 A 与 B 之间的任一数 C , 至少有 一点 使
证: 作辅助函数
例1、证明方程 一个根 . 证: 显然
在区间 又 使
内至少有
故据零点定理, 至少存在一点
即
*三. 一致连续性
已知函数
在区间 I 上连续, 即:
一般情形, 与 , x0 都有关 . 了一致连续的概念 . 定义: 都有 在 I 上一致连续 . 显然:
就引出 对任意的
例如、 但不一致连续 . 因为 取点 可以任意小
f (1 ) min f ( x)
a xb
y y f (x)
f ( 2 ) max f ( x)
a x b
o a 1 2 b x
注意: 若函数在开区间上连续, 或在闭区间内有间断 点 , 结论不一定成立 .
例如、
y
2
1
也无最大值和最小值
o
1
2
x
二、零点定理与介值定理
17闭区间上连续函数的性质-15页精选文档
例 一个登山运动员从早上7:00开始攀登某座山 峰，在下午7:00到达山顶；第二天早上7:00再次从 山顶沿原路下山，下午7:00到达山脚。证明这个
运动员在这两天的某一相同时刻经过登山路线的 同一地点。
C
a
o
A
1
2 3
bx
连续y曲 f(x 线 )与水平 yC 直 至线 少有一 .
设 (x)f(x)C
则 (x)在 [a,b]上连 , 续
且 (a )f(a ) C(b)f(b)C
因 C 是f介 (a )f,(b 于 )之间 (a ) ， (b ) 0 故 ,
由零点定理, (a,b)使 ,
例如：y=x在开区间(a,b)内是连续的，但在 (a,b)内无最大值和最小值。
y
a o
b x
又如函数
在闭区间[0,2]上有间断点x=1，f(x)在此区间上 无最大最小值。
y
2
1
x
o
12
二 介值定理
1 ,若 x0使 f(x 得 0)0 ，x 则 0 为称 f函 (x)的 数 零点
定理（零点定理数） f(x设 )在函闭区[a间 ,b]上连续， 且f(a)与f(b)异号，则在开 (a,区 b)内间至少存在函
证 令 f(x ) x 3 4 x 2 1 ,则 f(x)在 [0,1]上连 , 续 又 f(0)10 , f(1 ) 20 , 由零点定理,
(a,b),使f()0, 即 34 210 ,
方x3 程 4x210在 (0,1)内至少 . 有一
方x程 34x210在 (0,1)内只有 . 一根
第7节 闭区间上连续函数 的性质
一、最值定理
1、定 义 ： 设 函 f (x数 )在I上 有 定, x义 0 I,如 果 对 任 意 xI,都有
闭区间上连续函数的性质
y
y = f (x)
o
a
ξ2
ξ1 b
x
注意: 若区间是开区间 定理不一定成立; 若区间是开区间, 注意:1.若区间是开区间 定理不一定成立 2.若区间内有间断点 定理不一定成立 若区间内有间断点, 若区间内有间断点 定理不一定成立.
y
y = f (x)
1
y
y = f (x)
o
π 2
x
o
1
2
x
定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定 定理2 有界性定理) 在该区间上有界. 在该区间上有界. 证 设函数 f ( x )在[a , b]上连续 , x ∈ [a , b],
三,小结
四个定理
有界性定理;最值定理 介值定理 根的存在性定理. 有界性定理 最值定理;介值定理 根的存在性定理 最值定理 介值定理;根的存在性定理 注意 1.闭区间; 2.连续函数. .闭区间; .连续函数. 这两点不满足上述定理不一定成立. 这两点不满足上述定理不一定成立.
解题思路
1.直接法 先利用最值定理 再利用介值定理; 1.直接法:先利用最值定理 再利用介值定理 直接法 先利用最值定理,再利用介值定理 2.辅助函数法:先作辅助函数 再利用零点定理; 2.辅助函数法:先作辅助函数F(x),再利用零点定理 辅助函数法 再利用零点定理
即方程 f ( x ) = 0在 (a , b )内至少存在一个实根 .
几何解释: 几何解释
y
连续曲线弧 y = f ( x )的两个 端点位于 x轴的不同侧 , 则曲 线弧与 x轴至少有一个交点 .
y = f (x)
a o
ξ1 ξ2
ξ3
b x
定理4(介值定理) 定理 4(介值定理) 4(介值定理
闭区间上连续函数的性质
应注意的问题:
如果函数仅在开区间内连续 或函数在闭区间上有间断 点 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值 例如 函数f(x)x在开区间(a b) 内既无最大值又无最小值
定理1(最大值和最小值定理)
在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大 值和最小值
应注意的问题:
如果函数仅在开区间内连续 或函数在闭区间上有间断 点 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值 又如 如下函数在闭区间[0 2] 内既无最大值又无最小值
1
（六）初等函数的连续性 结论： 初等函数在其定义区间上是连续的。
二.闭区间上连续函数的性质 1.有界性与最大值最小值定理
最大值与最小值
对于在区间I上有定义的函数f(x) 如果有x0I 使得对于 任一xI都有 f(x)f(x0) (f(x)f(x0)) 则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值(最小值)
[证 ]
构造辅助函数
令 g( x ) f ( x )
则 g( x ) C[a, b], g(a ) g(b) 0
运用零点定理, 知存在 x (a, b), 使满足
g(x ) 0
f (x )
[例] 设f ( x ) C[0,1], 且满足0 f ( x ) 1，
二、零点定理与介值定理
定理3(零点定理)
设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)与f(b)异号 那么 在开区间(a b)内至少一点x 使f(x)0
定理4(介值定理)
设函数 f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)f(b) 那么 对于 f(a)与f(b)f(x)C >>>
5 7 16 lim f ( x ) lim ( ) x 1 x 1 x 1 x2 x3 5 7 16 lim f ( x ) lim ( ) x 2 x 2 x 1 x2 x3
高数同济110闭区间上连续函数的性质
一、有界性与最大值最小值定理
最大值与最小值 函数f(x)在区间I上有定义 如果有x0I 使得xI都有 f(x)f(x0) (f(x)f(x0)) 则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值(最小值)
最大值与最小值举例:
函数 f(x)=1+sinx在区间[0 2p]上，有最大值 2 和最小值 0
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二、零点定理与介值定理
定理3(零点定理) 设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)与f(b)异号 那么在开区间(a b)内至少一点x 使f(x)=0
*
定理4(介值定理) 设函数 f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)f(b) 那么 对于f(a)与f(b)之间的任意一个数C 在开区间(a b)内至少有一点x 使得f(x)=C
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二、零点定理与介值定理
定理3(零点定理) 设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)与f(b)异号 那么在开区间(a b)内至少一点x 使f(x)=0
几何解释:
连续曲线弧y=f(x)与水平直线y=C至少有一个交点
*
返回 因此 f(x)=C
几何解释
*
例1 证明方程x3-4x2+1=0在区间(0 1)内至少有一个根 证明 设 f(x)=x3-4x2+1 则 f(x)C[0 1] 并且 f(0)=1>0 f(1)=-2<0 根据零点定理 在(0 1)内至少x 使得 f(x)=0 即 x 3-4x 2+1=0 这说明方程x3-4x2+1=0在区间(0 1)内至少有一个根是x
*
二、零点定理与介值定理
定理3(零点定理) 设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)与f(b)异号 那么在开区间(a b)内至少一点x 使f(x)=0
闭区间连续函数的性质
闭区间连续函数的性质
有界性：闭区间上的连续函数在该区间上一定有界。
1、有界性
所谓有界就是指，存有一个正数m，使对于任一x∈[a,b]，都存有|f(x)|≤m。
证明：利用致密性定理：有界的数列必有收敛子数列。
2、最值性
所谓最大值是指，[a,b]上存在一个点x0，使得对任意x∈[a,b]，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为f(x)在[a,b]上的最大值。
最小值可以同样作定义，只需把上面的不等号反
向即可。
3、多值性
这个性质又被称作介值定理，其包含了两种特殊情况：
（1）零点定理。
也就是当f(x)在两端点处的函数值a、b异号时（此时存有0在a和
b之间），在开区间(a,b)上必存有至少一点ξ，并使f(ξ)=0。
（2）闭区间上的连续函数在该区间上必定取得最大值和最小值之间的一切数值。
闭区间上的连续函数在该区间上一致已连续。
所谓一致连续是指，对任意ε>0（无论其多么小），总存在正数δ，当区间i上任
意两个数x1、x2满足|x1-x2|<δ时，有|f(x1)-f(x2)|<ε，就称f(x)在i上是一致连续的。
对于连续性，在自然界中存有bai许多现象，例如气温du的变化，植物的`生长等都
就是已连续地zhi变化着的。
这种现象在函dao数关系上的充分反映，就是函数的连续性。
直观地说道，如果一个函数的图像你可以一笔画出，整个过程不必抬笔，那么这个函数就
是已连续的。
高数闭区间上连续函数的性质
反证法
总结词
通过假设与已知条件矛盾的结论，推 导出矛盾，从而证明原命题。
详细描述
首先假设与已知条件矛盾的结论，即 假设函数在某点不连续。然后根据连 续函数的性质和已知条件，推导出与 假设矛盾的结论。最后得出原命题的 正确性。
归纳法
总结词
通过归纳推理的方法，将无限个特殊情 况归结为一个一般性的结论。
04
闭区间上连续函数的证明方法
定义证明法
总结词
通过直接使用连续函数的定义，对函数在闭区间上的 任意两点进行证明。
详细描述
首先明确连续函数的定义，即在闭区间上，对于任意一 点$x_0$，如果$x_0$是闭区间的内点，则对于任意小的 正数$epsilon$，存在相应的正数$delta$，使得当$|x x_0| < delta$时，有$|f(x) - f(x_0)| < epsilon$。然后 根据这个定义，选取闭区间内的任意两点$x_1$和$x_2$， 证明$f(x)$在$x_1$和$x_2$之间的连续性。
解方程的根时非常有用。
03
闭区间上连续函数的应用
利用连续函数求解微分方程
微分方程是描述函数随时间变化的数学模型，而连续函数是微分方程的解的必要条件。通过利用闭区 间上连续函数的性质，我们可以求解各种微分方程，如线性微分方程、非线性微分方程和常微分方程 等。
例如，对于一阶线性微分方程，我们可以利用连续函数的积分性质和微分性质，通过求解方程的积分 形式来找到其解。
利用连续函数研究函数的极值问题
极值问题是数学中的一个重要问题，它涉及到函数在某一点 或某个区间上的最大值和最小值。利用闭区间上连续函数的 性质，我们可以研究函数的极值问题，并找到函数的最值。
例如，利用连续函数的极值定理，我们知道如果函数在某点的 导数为0，则该点可能是函数的极值点。然后，我们可以进一步 利用二阶导数性质来判断该点是否为极大值或极小值点，并求 出该点的函数值。
闭区间连续函数的性质
f (0) e3 1 0
4 3 3e 0 f (4) 4 e 1
根据零点定理 , 在开区间 ( 0 , 4 ) 内至少存在一点
( 0,4 ), 使 f( ) 0 , 原命题得证 .
12
三、小结 四个定理
有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理. 注意 1．闭区间； 2．连续函数．
0 ; 2 , y 1 sin x ,在 [ 0 , 2 ] 上 ,y 例如, y min max
定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续 的函数一定有最大值和最小值.
2
注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立;
2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.
y
y f( x )
y
y f( x )
1 证明 令 F ( x ) f ( x ) f ( x ), 2
1 证明必有一点 [ 0 , 1 ] 使得 f ( ) f ( ). 2
1 则 F (x ) 在 [ 0 , ] 上连续 . 2 1 1 1 F ( )f( 1 ) f( ), F ( 0 ) f( ) f( 0 ), 2 2 2 1 0 ) f( 0 ); F ( 0 ) 0 , 则 0 , f( 讨论: 若 2 1 1 1 1 1 若 F( ) 0, 则 , f( )f( ); 2 2 2 2 2
( x ) ,使 F ( )0, 即 故由零点定理知 , 存在 1,x 2
f () f ( x ) f ( x ) . 1 2
11
x 3 x e 1 证明 例5 至少有一个不超过 4 的
正根 .
x 3 f ( x ) x e 1 证： 令
显然 f ( x ) 在 闭 区 间 0 , 4 上 连 续 , 且
4 3 3e 0 f (4) 4 e 1
根据零点定理 , 在开区间 ( 0 , 4 ) 内至少存在一点
( 0,4 ), 使 f( ) 0 , 原命题得证 .
12
三、小结 四个定理
有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理. 注意 1．闭区间； 2．连续函数．
0 ; 2 , y 1 sin x ,在 [ 0 , 2 ] 上 ,y 例如, y min max
定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续 的函数一定有最大值和最小值.
2
注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立;
2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.
y
y f( x )
y
y f( x )
1 证明 令 F ( x ) f ( x ) f ( x ), 2
1 证明必有一点 [ 0 , 1 ] 使得 f ( ) f ( ). 2
1 则 F (x ) 在 [ 0 , ] 上连续 . 2 1 1 1 F ( )f( 1 ) f( ), F ( 0 ) f( ) f( 0 ), 2 2 2 1 0 ) f( 0 ); F ( 0 ) 0 , 则 0 , f( 讨论: 若 2 1 1 1 1 1 若 F( ) 0, 则 , f( )f( ); 2 2 2 2 2
( x ) ,使 F ( )0, 即 故由零点定理知 , 存在 1,x 2
f () f ( x ) f ( x ) . 1 2
11
x 3 x e 1 证明 例5 至少有一个不超过 4 的
正根 .
x 3 f ( x ) x e 1 证： 令
显然 f ( x ) 在 闭 区 间 0 , 4 上 连 续 , 且
高等数学上-闭区间上连续函数的性质ppt课件.ppt
由于函数连续，故函数在闭区间a ,b 有界. 由此得函数在 a,b 内有界.
二、零点定理与介值定理
在初等代数中, 我们熟知这一个事实:
对多项式函数 Pn (x) ，若存在 x1, x2 使得 Pn (x1)Pn (x1,
x2
, 使Pn
(x0
)
0.
y
从几何上我们可以很清楚地看到
证 设实系数奇次多项式方程为
a0 xn a1xn1 an1x an 0,
不妨设a0 0. 记
f (x) a0 xn a1xn1
因
an1x an ,
f
(x)
a0
xn
1
a1 a0 x
an a0 xn
,
可见：
lim f (x) , lim f (x)
x
x
故，存在 x1 0, 使得 f (x1) 0;
并且 s2 0 s1 0 L ， s2 12 s1 12 L ，
故而在 0,12 时间段内必有 t0 使得 s2 t0 s1 t0 0 ，
即
s2 t0 s1 t0 ，
表明运动员在两天的某一个相同时刻经过登山路线的同一地点.
值得注意的是，定理1中的条件 f (x)在闭区间上连续，
不能改为开区间.
例 设函数 f (x)在 a,b 内连续，且 f (a ) 存在， 证明 f (x) 在 a,b 内有界.
证 因 f (a ) 存在，由局部有界性定理，存在 0,
使得 f (x) 在 a,a 内有界；
由于区间a,b 可以表示为 a,b a,a a ,b
闭区间上的连续函数在该区间上有界,并一定有最大值
和最小值. 证明从略.
从右边的图中可以看出, y
二、零点定理与介值定理
在初等代数中, 我们熟知这一个事实:
对多项式函数 Pn (x) ，若存在 x1, x2 使得 Pn (x1)Pn (x1,
x2
, 使Pn
(x0
)
0.
y
从几何上我们可以很清楚地看到
证 设实系数奇次多项式方程为
a0 xn a1xn1 an1x an 0,
不妨设a0 0. 记
f (x) a0 xn a1xn1
因
an1x an ,
f
(x)
a0
xn
1
a1 a0 x
an a0 xn
,
可见：
lim f (x) , lim f (x)
x
x
故，存在 x1 0, 使得 f (x1) 0;
并且 s2 0 s1 0 L ， s2 12 s1 12 L ，
故而在 0,12 时间段内必有 t0 使得 s2 t0 s1 t0 0 ，
即
s2 t0 s1 t0 ，
表明运动员在两天的某一个相同时刻经过登山路线的同一地点.
值得注意的是，定理1中的条件 f (x)在闭区间上连续，
不能改为开区间.
例 设函数 f (x)在 a,b 内连续，且 f (a ) 存在， 证明 f (x) 在 a,b 内有界.
证 因 f (a ) 存在，由局部有界性定理，存在 0,
使得 f (x) 在 a,a 内有界；
由于区间a,b 可以表示为 a,b a,a a ,b
闭区间上的连续函数在该区间上有界,并一定有最大值
和最小值. 证明从略.
从右边的图中可以看出, y
高等数学 第1章 第十一节 闭区间上的连续函数的性质
因此
f
x1
f x1
f x2
n
f xn
f
xn
在 x1 , xn 或 xn , x1 上用介值定理，既存在一点
x1 , xn x1 , xn 或 xn , x1 x1 , xn , 使得
f f x1 f x2 f xn .
n
11
提示：23.
f C a b.
推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值
之间的任何值.
设m f x1 , M f x2 且m M,则在x1 , x2 或x2 , x1 上,
应用介值定理可证.
6
闭区间上连续函数的性质：
1、最值定理 闭区间上连续的函数必能取得最大值和最小值。
2、有界定理 闭区间上的连续函数有界。
使得x a, b都有m f x M .
f x在a, b上有上界M和下界m,
f x在a,b上有界.
4
三.介值定理
零点: 如果x0使得f x0 0,则x0称为函数f x的零点.
定理3 (零点定理)
设f x在闭区间a,b上连续,且f a与f b异号, 即f a f b 0, 则f x在开区间a,b内至少有一个零点, 即至少存在一点 a,b,使得f 0.
因为 lim f x 存在， 设 lim f x A.
x
x
所以对给定的 1, X 0,当 x X时，f x A 1.
而 f x f x A A f x A A A 1
由于 f x 连续， 当 x X , X , M1 0，使得 f x M1
取 M max M1 , A 1,
7
例1 证明方程x 3 x 1 0在区间0,1内有唯一的实根. 证 先证存在性：设f x x 3 x 1,
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设函数 f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)f(b) 那么 对于
f(a)与f(b)之间的任意一个数C 在开区间(a b)内至少有一点x 使得f(x)=C
•推论
在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m 之间的任何值
14
高等数学 ● 戴本忠
设函数 f ( x)在闭区间a, b上连续，且在这区间的端点取
f(x)f(x0) (f(x)f(x0)) 则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值(最小值)
应注意的问题:
并非任何函数都有最大值和 最小值
例 如 ， 函 数 f(x)=x在 开 区 间 (a b)内既无最大值又无最小值
4
高等数学 ● 戴本忠
例如, y = 1 sin x, 在[0, 2 ]上, ymax = 2, ymin = 0;
二、零点定理与介值定理
❖定理3(零点定理)
设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)与f(b)异号 即
f(a).f(b)<0,那么在开区间(a b)内至少存在一点x 使f(x)=0 ❖定理4(介值定理)
设函数 f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)f(b) 那么 对于
证明 设 f(x)=x34x21 则f(x)在闭区间[0 1]上连续
并且
f(0)=1>0 f(1)=2<0
根据零点定理 在(0 1)内至少有一点x 使得 f(x)=0
即
x 34x 21=0
这说明方程x34x21=0在区间(0 1)内至少有一个根是x
12
高等数学 ● 戴本忠
第十节
第一章
闭区间上连续函数的性质
一、有界性与最大值最小值定理 二、零点定理与介值定理 *三、一致连续性
1
高等数学 ● 戴本忠
学习指导
１．教学目的：了解闭区间上连续函数的性质。 ２．基本练习：了解并通过一定的练习学习最大最
小值定理、有界性定理、零点定理及介值定理在 函数值的估计和根的估计上的应用。 3．注意事项：闭区间上连续的函数有许多好的性质。 应了解在闭区间上连续函数的最大最小值定理、 有界性定理、零点定理及介值定理。了解定理的 条件和结论，并通过一定的练习学会运用它们．
三、一致连续性
定义：设函数f(x)在区间I上有定义，如果对于任意给定 的正数ε，总存在着正数δ，使得对于区间I上的任意两 点x1,x2，当|x1-x2|< δ时，就有|f(x1)-f(x2)|< ε，那么称函 数f(x)在区间I上是一致连续的。
不论在区间I的任何部分，只要自变量的两个数 值接近到一定程度，就可使对应的函数值达到 所指定的接近程度。
mf(x)M 上式表明 f(x)在[a b]上有上界M和下界m 因此函数f(x)在 [a b]上有界
9
高等数学 ● 戴本忠
有界性与最大值最小值定理:在闭区间上连续的 函数有界且一定有最大值和最小值. 注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立;
2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.
f(a)与f(b)之间的任意一个数C 在开区间(a b)内至少有一点x 使得f(x)=C
13
高等数学 ● 戴本忠
二、零点定理与介值定理
❖定理3(零点定理)
设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)与f(b)异号 那么
在开区间(a b)内至少一点x 使f(x)=0
❖定理4(介值定理)
高等数学 ● 戴本忠
思考题解答
不正确.
例函数
e1 , f (x) =
2,
0 x1 x=0
f ( x)在(0,1)内连续, f (0) (1) = 2e 0.
但 f ( x)在(0,1)内无零点.
20
高等数学 ● 戴本忠
五、小结
关于闭区间上连续函数整体性质的四个定理： 有界性定理、最值定理、零点定理、介值定理，
至少有一点x1[a b] 使f(x1)是f(x)在[a b]上的最大值 又至少有一点x2[a b] 使f(x2)是f(x)在[a b]上的最小值
6
高等数学 ● 戴本忠
❖定理1(最大值和最小值定理)
在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大 值和最小值
应注意的问题:
如果函数仅在开区间内连续 或函数在闭区间上有间断 点 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值
不同的函数值
f (a) = A 及 f (b) = B,
那么，对于 A与B之间的任意一个数C ，在开区间a, b内
至少有一点x，使得 f (x ) = C (a x b).
证 设( x) = f ( x) C,
y M
则( x)在[a,b]上连续, 且 (a) = f (a) C
又如 如下函数在闭区间[0 2] 内既无最大值又无最小值
y=
f
(x)
=
x 1 1
x3
0 x1 x=1 1 x2
高等数学 ●
8
戴本忠
❖定理1(最大值和最小值定理)
在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大 值和最小值
❖定理2(有界性定理)
在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界 证明 设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 根据定理1 存在f(x)在区间[a b]上的最大值M和最小值 m 使任一x[a b]满足
= A C,
B y = f (x) C
o
A m
(b) = f (b) C = B C,
高等数学 ●
x
15
戴本忠
(a) (b) 0, 由零点定理, x (a, b),使 (x ) = 0,即 (x ) = f (x ) C = 0, f (x ) = C.
10
高等数学 ● 戴本忠
二、零点定理与介值定理 ❖定理3(零点定理)
设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)与f(b)异号 即
f(a).f(b)<0，那么在开区间(a b)内至少存在一点x 使f(x)=0
几何解释：线弧y = f (x)的两 个端点位于x轴的不同侧,则曲 线弧与x轴至少有一个交点.
4. 当 f (a) f (b) 0 时, 必存在 x (a , b), 使 f (x ) = 0.
22
高等数学 ● 戴本忠
• P74：2，3
作业
23
高等数学 ● 戴本忠
定理5(一致连续性定理)如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续, 那么它在该区间上一致连续.
18
高等数学 ● 戴本忠
思考题
下述命题是否正确？
如果 f ( x) 在[a,b]上有定义，在(a, b) 内连续，且 f (a) f (b) 0，那么 f ( x) 在 (a, b)内必有零点.
19
例如 函数f(x)=x在开区间(a b) 内既无最大值又无最小值
7
高等数学 ● 戴本忠
❖定理1(最大值和最小值定理)
在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大 值和最小值
应注意的问题:
如果函数仅在开区间内连续 或函数在闭区间上有间断 点 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值
注: 如果x0使f(x0)=0 则x0称为函数f(x)的零点
11
高等数学 ● 戴本忠
二、零点定理与介值定理
❖定理3(零点定理)
设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)与f(b)异号 即
f(a).f(b)<0,那么在开区间(a b)内至少存在一点x 使f(x)=0
例1 证明方程x34x21=0在区间(0 1)内至少有一个根
2
高等数学 ● 戴本忠
如果函数f(x)在开区间(a,b)内连续,在右端点b 左连续,在左端点a右连续,那么函数f(x)就是在 闭区间[a,b]上连续的。
3
高等数学 ● 戴本忠
一、有界性与最大值最小值定理
❖最大值与最小值
对于在区间I上有定义的函数f(x) 如果有x0I 使得对于 任一xI都有
y = sgn x, 在(, )上, ymax = 1, ymin = 1; 在(0, )上, ymax = ymin = 1.
5
高等数学 ● 戴本忠
❖定理1(最大值和最小值定理)
在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大 值和最小值
说明:
定理说明 如果函数f(x)在闭区间[a b]上连续 那么
它们是研究连续函数性质的重要工具。
注意条件： 1．闭区间； 2．连续函数． 这两点不全满足时上述定理不一定成立．
21
高等数学 ● 戴本忠
内容小结
设 f (x) C[a ,b],则 1. f (x) 在 [a ,b] 上有界; 2. f (x) 在 [a ,b] 上达到最大值与最小值; 3. f (x) 在 [a ,b] 上可取最大与最小值之间的任何值;
证 令 F(x) = f (x) x, 则F(x)在[a,b]上连续,
而 F(a) = f (a) a 0, F (b) = f (b) b 0, 由零点定理, x (a,b), 使 F (x ) = f (x ) x = 0, 即 f (x ) = x.
17
高等数学 ● 戴本忠
几何解释:连续曲线弧 y = f ( x)与水平直线 y = C至少 有一个交点.
推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与 最小值m之间的任何值.
16
高等数学 ● 戴本忠
例2 设函数 f (x)在区间[a,b]上连续, 且f (a) a,
f (b) b. 证明 x (a,b), 使得 f (x ) = x.
f(a)与f(b)之间的任意一个数C 在开区间(a b)内至少有一点x 使得f(x)=C
•推论
在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m 之间的任何值
14
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设函数 f ( x)在闭区间a, b上连续，且在这区间的端点取
f(x)f(x0) (f(x)f(x0)) 则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值(最小值)
应注意的问题:
并非任何函数都有最大值和 最小值
例 如 ， 函 数 f(x)=x在 开 区 间 (a b)内既无最大值又无最小值
4
高等数学 ● 戴本忠
例如, y = 1 sin x, 在[0, 2 ]上, ymax = 2, ymin = 0;
二、零点定理与介值定理
❖定理3(零点定理)
设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)与f(b)异号 即
f(a).f(b)<0,那么在开区间(a b)内至少存在一点x 使f(x)=0 ❖定理4(介值定理)
设函数 f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)f(b) 那么 对于
证明 设 f(x)=x34x21 则f(x)在闭区间[0 1]上连续
并且
f(0)=1>0 f(1)=2<0
根据零点定理 在(0 1)内至少有一点x 使得 f(x)=0
即
x 34x 21=0
这说明方程x34x21=0在区间(0 1)内至少有一个根是x
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第十节
第一章
闭区间上连续函数的性质
一、有界性与最大值最小值定理 二、零点定理与介值定理 *三、一致连续性
1
高等数学 ● 戴本忠
学习指导
１．教学目的：了解闭区间上连续函数的性质。 ２．基本练习：了解并通过一定的练习学习最大最
小值定理、有界性定理、零点定理及介值定理在 函数值的估计和根的估计上的应用。 3．注意事项：闭区间上连续的函数有许多好的性质。 应了解在闭区间上连续函数的最大最小值定理、 有界性定理、零点定理及介值定理。了解定理的 条件和结论，并通过一定的练习学会运用它们．
三、一致连续性
定义：设函数f(x)在区间I上有定义，如果对于任意给定 的正数ε，总存在着正数δ，使得对于区间I上的任意两 点x1,x2，当|x1-x2|< δ时，就有|f(x1)-f(x2)|< ε，那么称函 数f(x)在区间I上是一致连续的。
不论在区间I的任何部分，只要自变量的两个数 值接近到一定程度，就可使对应的函数值达到 所指定的接近程度。
mf(x)M 上式表明 f(x)在[a b]上有上界M和下界m 因此函数f(x)在 [a b]上有界
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有界性与最大值最小值定理:在闭区间上连续的 函数有界且一定有最大值和最小值. 注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立;
2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.
f(a)与f(b)之间的任意一个数C 在开区间(a b)内至少有一点x 使得f(x)=C
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二、零点定理与介值定理
❖定理3(零点定理)
设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)与f(b)异号 那么
在开区间(a b)内至少一点x 使f(x)=0
❖定理4(介值定理)
高等数学 ● 戴本忠
思考题解答
不正确.
例函数
e1 , f (x) =
2,
0 x1 x=0
f ( x)在(0,1)内连续, f (0) (1) = 2e 0.
但 f ( x)在(0,1)内无零点.
20
高等数学 ● 戴本忠
五、小结
关于闭区间上连续函数整体性质的四个定理： 有界性定理、最值定理、零点定理、介值定理，
至少有一点x1[a b] 使f(x1)是f(x)在[a b]上的最大值 又至少有一点x2[a b] 使f(x2)是f(x)在[a b]上的最小值
6
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❖定理1(最大值和最小值定理)
在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大 值和最小值
应注意的问题:
如果函数仅在开区间内连续 或函数在闭区间上有间断 点 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值
不同的函数值
f (a) = A 及 f (b) = B,
那么，对于 A与B之间的任意一个数C ，在开区间a, b内
至少有一点x，使得 f (x ) = C (a x b).
证 设( x) = f ( x) C,
y M
则( x)在[a,b]上连续, 且 (a) = f (a) C
又如 如下函数在闭区间[0 2] 内既无最大值又无最小值
y=
f
(x)
=
x 1 1
x3
0 x1 x=1 1 x2
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8
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❖定理1(最大值和最小值定理)
在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大 值和最小值
❖定理2(有界性定理)
在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界 证明 设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 根据定理1 存在f(x)在区间[a b]上的最大值M和最小值 m 使任一x[a b]满足
= A C,
B y = f (x) C
o
A m
(b) = f (b) C = B C,
高等数学 ●
x
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(a) (b) 0, 由零点定理, x (a, b),使 (x ) = 0,即 (x ) = f (x ) C = 0, f (x ) = C.
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二、零点定理与介值定理 ❖定理3(零点定理)
设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)与f(b)异号 即
f(a).f(b)<0，那么在开区间(a b)内至少存在一点x 使f(x)=0
几何解释：线弧y = f (x)的两 个端点位于x轴的不同侧,则曲 线弧与x轴至少有一个交点.
4. 当 f (a) f (b) 0 时, 必存在 x (a , b), 使 f (x ) = 0.
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• P74：2，3
作业
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定理5(一致连续性定理)如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续, 那么它在该区间上一致连续.
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思考题
下述命题是否正确？
如果 f ( x) 在[a,b]上有定义，在(a, b) 内连续，且 f (a) f (b) 0，那么 f ( x) 在 (a, b)内必有零点.
19
例如 函数f(x)=x在开区间(a b) 内既无最大值又无最小值
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❖定理1(最大值和最小值定理)
在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大 值和最小值
应注意的问题:
如果函数仅在开区间内连续 或函数在闭区间上有间断 点 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值
注: 如果x0使f(x0)=0 则x0称为函数f(x)的零点
11
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二、零点定理与介值定理
❖定理3(零点定理)
设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)与f(b)异号 即
f(a).f(b)<0,那么在开区间(a b)内至少存在一点x 使f(x)=0
例1 证明方程x34x21=0在区间(0 1)内至少有一个根
2
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如果函数f(x)在开区间(a,b)内连续,在右端点b 左连续,在左端点a右连续,那么函数f(x)就是在 闭区间[a,b]上连续的。
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一、有界性与最大值最小值定理
❖最大值与最小值
对于在区间I上有定义的函数f(x) 如果有x0I 使得对于 任一xI都有
y = sgn x, 在(, )上, ymax = 1, ymin = 1; 在(0, )上, ymax = ymin = 1.
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❖定理1(最大值和最小值定理)
在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大 值和最小值
说明:
定理说明 如果函数f(x)在闭区间[a b]上连续 那么
它们是研究连续函数性质的重要工具。
注意条件： 1．闭区间； 2．连续函数． 这两点不全满足时上述定理不一定成立．
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内容小结
设 f (x) C[a ,b],则 1. f (x) 在 [a ,b] 上有界; 2. f (x) 在 [a ,b] 上达到最大值与最小值; 3. f (x) 在 [a ,b] 上可取最大与最小值之间的任何值;
证 令 F(x) = f (x) x, 则F(x)在[a,b]上连续,
而 F(a) = f (a) a 0, F (b) = f (b) b 0, 由零点定理, x (a,b), 使 F (x ) = f (x ) x = 0, 即 f (x ) = x.
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几何解释:连续曲线弧 y = f ( x)与水平直线 y = C至少 有一个交点.
推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与 最小值m之间的任何值.
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例2 设函数 f (x)在区间[a,b]上连续, 且f (a) a,
f (b) b. 证明 x (a,b), 使得 f (x ) = x.