高等数学上-闭区间上连续函数的性质

F a F b f (a ) f b 0,
由零点定理, 存在
x0 (a, b)
F ( x0 ) 0.
f ( x0 ) .
使得
即
注
零点定理是介值定理的特殊情况.
y
y f x
y
y f x

b x
b x
o a
例
证明方程 x e 0在区间 (1,1) 内有唯一的根.
x
x f ( x ) x e C[1,1], 证 令
f (1) f (1) e 1 e 1 1 0,
由零点定理，必存在 x0 1,1 ，使得 f ( x0 ) 0. 又函数 f ( x ) 是单调增加函数，故零点是唯一的.
定理3 (介值定理) 数 , 在区间 证
若函数 f ( x)在闭区间
a, b 上连续,
且 f (a) f (b), 则对于介于f (a) 与 f (b) 之间的任何实
a, b 内至少存在一点 x0 使得 f ( x0 ) .
作函数 F ( x) f ( x) , 则 F ( x) C[a, b], 且
定理2可用符号表述为：
f C[a, b], 且f (a) f (b) 0
x0 (a, b), 使f ( x0 ) 0.
从几何上看，定理2表示：若连续曲线弧 y f ( x) 的 两个端点分别位于x 轴的两侧，则曲线弧与 x 轴至少有 一个交点.
y
y f x
x0
O
y
x0
x
但该问题对于一般函数而言，结论不成立. 例如，
x f ( x) x 2
x 1 , x 1
y
O
x
注意到： f (0) 2, f (2) 2, 但不存在 x0 , 使f ( x0 ) 0.
关键原因在于函数不连续.
定理2 (零点定理)
若函数 f ( x )在闭区间 a, b上连续，且 f (a), f (b) 异号， 则函数 f ( x ) 在开区间 a, b 内至少存在一个零点.
o a
x0
o a
x0
b x
推论1 闭区间上的连续函数必取得介于最大值与最小值 之间的任何值. 即
f C[a, b]
min f ( x) , max f ( x) , x[ a ,b ] x[ a ,b ]
x0 [a, b], 使f x0 .
O
a

b
x
用简单的数学符号，定理1可表述为：
f C[a, b]
, [a, b], 使f ( ) max{ f ( x)},
x[ a ,b ]
f ( ) min{ f ( x)}.
x[ a ,b ]
值得注意的是，定理1中的条件 f ( x ) 在闭区间上连续， 不能改为开区间.
例
f ( a ) 存在， 设函数 f ( x )在 a, b 内连续，且
证明 f பைடு நூலகம் x ) 在 a, b 内有界.
证 因
f (a ) 存在，由局部有界性定理，存在 0,

使得 f ( x ) 在 a, a 内有界； 由于区间 a, b 可以表示为
a, b a, a a , b 由于函数连续，故函数在闭区间 a , b 有界. 由此得函数在 a, b 内有界.
y
f x x x
O
x
定理1 （最大值最小值定理）.
闭区间上的连续函数在该区间上有界,并一定有最大值
和最小值. 证明从略.
从右边的图中可以看出, 若函数 f ( x ) 在闭区间上连
续, 则 f ( x ) 在点 和 处 分别取到最大值和最小 值.
y
y f x
f ( x) f ( x0 ), x0 为最大值点， 则称 f ( x0 )为函数 f ( x)在区间上的最大值；
并记
f ( x0 ) max f x
xI
若存在点 x0 I , 使得对每一个 x I 都有
为最小值点， x0 )为函数 f ( x) 在区间上的最小值； 则称 f ( x0
故而在 0,12 时间段内必有 t0 使得 s2 t0 s1 t0 0 ，
即
s2 t0 s1 t0 ，
表明运动员在两天的某一个相同时刻经过登山路线的同一地点.
n
可见：
x
lim f ( x) , lim f ( x)
x
故，存在 x1 0, 使得 f ( x1 ) 0; 同理存在 x2 0, 使得 f ( x2 ) 0. 使得 f ( x0 ) 0. 因 f ( x) C[ x2 , x1 ], 由零点定理，知存在 x0 x2 , x1
二、零点定理与介值定理
在初等代数中, 我们熟知这一个事实:
对多项式函数 Pn ( x) ，若存在 x1 , x2 使得
Pn ( x1 ) Pn ( x2 ) 0,
则一定存在 x x1, x2 , 使P n ( x0 ) 0. 0 从几何上我们可以很清楚地看到 该问题的实际意义.
例 证
任何实系数奇次多项式方程必有实根。 设实系数奇次多项式方程为
a0 xn a1xn1
不妨设a0 0 . 记
an1x an 0, an1x an ,
an , n a0 x
f ( x) a0 xn a1xn1
因
a1 f ( x) a0 x 1 a0 x
s1 t 为运动员第一天登山在 t 时刻所走过的路程， s2 t 为运动员第二天下山在 t 时刻离开山脚的路程，
s2 t s1 t 为区间 0,12 上的连续函数，
并且 s2 0 s1 0 L ， s2 12 s1 12 L ，
并记
), f ( x) f ( x0
) min f x f ( x0
xI
例
函数 f ( x) x x 在整个区间上的最小值为 0 , 但无最大值.
f ( x) x x, 当0 x 1, f ( x) x; 当1 x 2, f ( x) x 1; 当2 x 3, f ( x) x 2;
推论2 闭区间上的不为常数的连续函数把该区间映射
为闭区间.
例 4 一个登山运动员从早上 7：00 开始攀登山峰，下午 7：00
到达山顶，次日早上 7：00 开始下山，下午 7：00 到达山脚.
试用介值定理说明：这个运动员在两天的某一个相同时刻经过
登山路线的同一地点.
证：设 L 为山脚到山顶的总路程，
第八节
闭区间上连续函数的性质
闭区间上的连续函数有很多重要性质. 这些性质在以 后各章的学习中经常用到. 这些性质, 从几何上是容易
理解的, 但要给出完整而严格的证明, 有时却是比较困
难的. 本节我们将讨论闭区间上连续函数的某些性质, 并从几何上对这些性质予以解释.
一、最大值最小值定理
定义 设 f ( x )定义在区间 I 上， 若存在点 x0 I , 使得对每一个 x I 都有