高考数学考点05 函数性质试题解读与变式

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函数应用问题-学会解题之高三数学多题一解【解析版】

函数应用问题【高考地位】应用题是指利用数学知识解决一些非数学领域中的问题，在近几年全国各地高考中经常出现。

数学的高度抽象性决定了数学应用的广泛性，因而应用题的非数学背景是多种多样的，解应用题往往需要在陌生的情景中去理解、分析给出的有关问题，并舍弃与数学无关的非本质因素，通过抽象转化成相应的数学问题，或许正是这个原因让学生比较惧怕数学应用题。

在高考中要处理好函数应用题，学会数学建模分析的步骤和掌握数学建模的具体方法是关键.方法解函数应用题的一般步骤万能模板内容使用场景函数的实际应用问题解题模板第一步审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步解模——求解数学模型，得到数学结论；第四步还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步反思——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.例1.已知某公司生产某产品的年固定成本为100万元，每生产1千件需另投入27万元，设该公司一年内生产该产品x 千件()025x <≤并全部销售完，每千件的销售收入为()R x 万元，且()21108,(010)3{ 17557,(1025)x x R x x x x-<≤=-++<≤.⑴ 写出年利润()f x （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；⑴ 当年产量为多少千件时，该公司在这一产品的生产中所获年利润最大？（注：年利润＝年销售收入-年总成本）.【答案】(1)详见解析;(2) 9千件.【解析】第一步，审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；某公司的年固定成本为100万元，每生产1千件需另投入27万元，设该公司一年内生产该产品x 千件()025x <≤并全部销售完，每千件的销售收入为()R x 万元，且()21108,(010)3{ 17557,(1025)x x R x x x x-<≤=-++<≤. 第二步，建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；当010x <≤时，第三步，解模——求解数学模型，得到数学结论；第四步，还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步，反思——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.考点：1、函数的解析式及定义域；2、函数的单调性．【点评】(1)由年利润＝年销售收入-年总成本，结合()R x ，即可得到所求()f x 的解析式；(2)由()1的解析式，我们求出各段上的最大值，即利润的最大值，然后根据分段函数的最大值是各段上最大值的最大者，即可得到结果。

高考数学复习重点知识专题讲解与练习05 函数图象的辨析(解析版)

高考数学复习重点知识专题讲解与练习专题05 函数图象的辨析1．（2021·江西赣州·高三期中（文））已知函数||()122x xx f x =+，则函数()y f x =的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【分析】函数图像的识别，通常利用性质+排除法进行判断：利用函数的奇偶性排除B ，利用特殊点的坐标排除A 、C. 【详解】由||()22x xx f x -=+，得()f x 的定义域为R ，(0)0f =，排除A 选项．而||()()22x xx f x f x --==+，所以()f x 为偶函数，图像关于y 轴对称，排除B 选项．()1141421,1152522f f ⎛⎫====< ⎪⎝⎭+，排除C 选项．故选：D ．2．（2021·浙江·高三月考）函数sin 2x y x=的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】判断当3,22x x ππ==的符号，可排除AC ，求导，判断函数在()0,π上的单调性，可排除D ，即可得出答案. 【详解】解：由()()sin 02x y f x x x==≠得，1310,0223f f ππππ⎛⎫⎛⎫=>=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故排除AC ， ()2cos sin 2x x x f x x -'=，令()cos sin g x x x x =-，则()sin g x x x '=-，当0πx <<时，()0g x '<，所以函数()g x 在()0,π上递减，所以()()00g x g <=在()0,π上恒成立，即()2cos sin 02x x xf x x-'=<在()0,π上恒成立，所以函数()f x 在()0,π上递减，故排除D. 故选：B.3．（2021·江苏省前黄高级中学高三月考）已知215()sin ,()42f x x x f x π⎛⎫+⎪⎭'=+ ⎝为()f x 的导函数，则()f x '的图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】求出导函数，判断导函数的奇偶性，再利用特殊值即可得出选项. 【详解】22co 151()si s n424f x x x x x π⎛⎫=++= +⎪⎝⎭， ()1sin 2f x x x '∴=-，∴函数()f x '为奇函数，排除B 、D.又1024f ππ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，排除C.故选：A. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.4．（2021·浙江·高二开学考试）函数())ln cos f x x x x =+⋅在[]2,2ππ-上的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【分析】确定奇偶性，可排除两个选项，然后确定函数在3[,2]2ππ上的单调性可再排除一个选项，从而得正确选项．【详解】())cos())cos ()f x x x x x x x f x -=-+-=--=-，()f x 是奇函数，排除AB ，在3[,2]2x ππ∈时，由复合函数单调性知)y x =是增函数，且)0y x =>，又cos y x =增函数，且cos 0y x =>，所以)cos y x x =是增函数，而y x =是增函数，所以()f x 是增函数，排除D ．故选：C ．5．（2021·浙江金华·高三月考）函数|ln()|x ay x a +=-的图象，不可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【分析】通过函数的定义域、值域以及特殊值对四个选项中的函数图像一一分析即可判断.【详解】对于A ，当0a =时，ln xy x=，其定义域为{}0,1x x x >≠，且0y >恒成立，故A 正确；对于B ，由函数定义域可知，0a <，当0y =，x a =-，当x a >-时，0y >，当x a <-时，0y <，故B 正确；对于C ，由函数定义域可知，0a >，当1x a -=时，函数无意义，且0y ≥恒成立，故C 正确；对于D ，由函数定义域可知，0a <，当0y =，x a =-，当x a <-时，0y <，但图中0y >，不满足条件，故D 错误；故选：D.6．（2021·全国·高三专题练习）函数2x y π=的图像大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】由02x <<时()0f x >，排除B 和C ；再探究出函数()f x 的图象关于直线1x =对称，排除D. 【详解】当02x <<时，sin 02x π>，所以()sin02xy f x π==>，故排除B 和C ；又(2)(2)sinsin()22x xf x f x ππ--===，所以函数()f x 的图象关于直线1x =对称，排除D. 故选：A. 【点睛】方法点睛：解决函数图象的识别问题的技巧：一是活用性质，常利用函数的定义域、值域、单调性与奇偶性来排除不合适的选项；二是取特殊点，根据函数的解析式选择特殊点，即可排除不合适的选项，从而得出正确的选项．7．（2021·天津市新华中学高三月考）函数23sin ()x x x x x f x e e--=+的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】先判断函数的奇偶性排除A,D,再根据(1)0f >，排除C 即得解. 【详解】解：根据题意，23sin ()x x x x x f x e e--=+，其定义域为R ，有23sin ()()x xx x xf x f x e e---==+，则函数f (x )为偶函数，排除A ，D ， 3sin11(1)01f e e-=>+，排除C ，故选：B ．【点睛】方法点睛：根据函数的解析式找图象，一般先找差异，再验证. 8．（2021·全国·高三专题练习）函数2()1cos e 1x f x x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭的大致图象为（） A ． B ．C ．D ．【答案】B 【分析】判断图像类问题，首先求定义域，其次判断函数的奇偶性()()f x f x -=-；再次通过图像或函数表达式找特殊值代入求值，()0f x =时，即e 1cos 0e 1x x x +⋅=-，此时只能是cos 0x =；也可通过单调性来判断图像.主要是通过排除法得解. 【详解】函数()f x 的定义域为{}0x x ≠，因为2e 12e 1()1cos cos cos e 1e 1e 1x x x x x f x x x x ⎛⎫⎛⎫-++⎛⎫=+⋅=⋅=⋅ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭，并且()()00e 1e e 1e ()cos cos cos e 1e e 1ex x xx x xf x x x x f x --+++-=⋅-=⋅=⋅=----，所以函数()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，可排除A C ，；当()0f x =时，即e 1cos 0e 1x x x +⋅=-，此时只能是cos 0x =，而cos 0x =的根是2x x k k ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ，，可排除D . 故选:B 【点睛】函数的定义域，奇偶性，特殊值，单调性等是解决这类问题的关键，特别是特殊值的选取很重要，要结合图像的特征来选取.9．（2022·全国·高三专题练习（理））函数()232sin log y x x x π=⋅⋅的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】分析函数()232sin log y x x x π=⋅⋅的定义域、奇偶性及其在()0,1上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】设()()()2322sin log sin log f x x x x x x ππ=⋅⋅=⋅，该函数的定义域为{}0x x ≠，()()()()22sin log sin log f x x x x x f x ππ-=-⋅-=⋅=-，函数()f x 为奇函数，排除AC 选项；当01x <<时，0x ππ<<，()sin 0x π>，则()0f x <，排除D 选项. 故选：B. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；（2）从函数的值域，判断图象的上下位置．（3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（5）函数的特征点，排除不合要求的图象.10．（2022·全国·高三专题练习）函数()3log 01a y x ax a =-<<的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】先求出函数的定义域，判断函数的奇偶性，构造函数，求函数的导数，利用是的导数和极值符号进行判断即可. 【详解】根据题意，()3loga f x x ax =-，必有30x ax -≠，则0x ≠且x ≠，即函数的定义域为{|0x x ≠且x ≠，()()()()33log log a a x a x x f f x ax x ---=--==，则函数3log a y x ax =-为偶函数，排除D ，设()3g x x ax =-，其导数()23g x x a '=-，由()0g x '=得x =，当x 时，()0g x '>，()g x 为增函数，而()f x 为减函数，排除C ，在区间⎛⎝⎭上，()0g x '<，则()g x 在区间⎛ ⎝⎭上为减函数，在区间⎫+∞⎪⎪⎝⎭上，()0g x '>，则()g x 在区间⎫+∞⎪⎪⎝⎭上为增函数，0g =，则()g x 存在极小值3g a =-=⎝⎭⎝⎭，此时()g x ()0,1，此时()0f x >，排除A ，故选：B. 【点睛】函数图象的辨识可以从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.11．（2022·全国·高三专题练习）函数()122cos cos 4421x x f x x x ππ+-⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭的图象为（） A ． B ．C ．D ．【答案】D【分析】先将()f x 的解析式化简，然后判断()f x 的奇偶性，再根据()f π的取值特点判断出对应的函数图象. 【详解】因为()12221cos cos 2442121x x x x f x x x x x x x ππ+⎫⎫--⎛⎫⎛⎫=+-=⋅⋅⋅+⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()222121cos sin cos22121x x x x x x x --=⋅-=⋅++，所以()()()2112cos 2cos22112x xx x f x x x f x -----=⋅-=⋅=-++且定义域为R 关于原点对称，所以()f x 为奇函数，排除A 和C ；由()21cos2021f ππππ-=>+，排除B ，故选：D ．【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.12．（2021·河南·温县第一高级中学高三月考（理））函数()ln |||sin |,(f x x x x ππ=+-≤≤且0)x ≠的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】根据解析式判断奇偶性，在0x π>>上0x +→有()f x →-∞，利用导函数，结合函数图象分析0x π>>内极值点的个数，即可确定正确函数图象. 【详解】函数()ln |||sin()|ln |||sin |()f x x x x x f x -=-+-=+=，(x ππ-≤≤且0)x ≠是偶函数，A 不合要求．当0x π>>时，()ln sin f x x x =+：当0x +→，()f x →-∞，C 不合要求；而1()cos 0f x x x'=+=时，1,cos y y x x==-在0x π>>上只有一个交点(如下图示)，即区间内只有一个极值点. D不合要求，B 符合要求.故选：B. 【点睛】关键点点睛：利用导函数，应用数形结合分析函数的交点情况，判断函数在区间上极值点个数.13．（2021·全国·高三专题练习（文））已知函数()f x ，()g x 满足()()()()x x f x g x e f x g x e -⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，则()()()sin 2x h x f x g x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⋅的图像大致是（） A ． B ．C ．D ．【答案】C 【分析】依题意得()()()221=4x x f x g x e e --⋅，根据奇偶性定义知()h x 为奇函数，再结合特征点即可得答案．【详解】因为()()()()x x f x g x e f x g x e -⎧+=⎪⎨-=⎪⎩解得()()()()11=,=22x x x xf x e eg x e e --+- 所以()()()221=4x x f x g x e e --⋅，则()()()22sin 4cos 2=x xx x h x f x g x e e π-⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⋅- ()h x 定义域为{}0x x ≠因为()()224cos x xxh x h x e e --==--，故()h x 是奇函数，则B ，D 错；当02x π<<时，()224cos 0x xxh x e e -=>-，则C 正确，故选：C 【点睛】思路点睛：函数图象的识别可以以下方面入手：（1）从函数定义域判断；（2）从函数单调性判断；（3）从函数奇偶性判断；（4）从函数特征点判断．14．（2021·湖南·长郡中学二模）函数sin cos 4411()x x f x ee ππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】本题首先可通过()()f x f x -=-判断出函数()f x 为奇函数，C 、D 错误，然后取04x π<≤，通过sin cos 44x x ππ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭判断出此时()0f x <，即可得出结果.【详解】因为sin cos cos sin 44441111()()x x x x f x f x ee e e ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝==-⎭⎝⎭，x ∈R ，所以函数()f x 为奇函数，C 、D 错误，当04x π<≤，442x πππ<+≤，sin cos 44x x ππ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，sin cos 4411x x e e ππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，sin cos 4411()0x x f x ee ππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎭<⎝，B 错误，故选：A. 【点睛】方法点睛：本题考查函数图像的判断，在判断函数的图像的时候，可以通过函数的单调性、奇偶性、周期性、函数值的大小、是否过定点等函数性质来判断，考查数形结合思想，是中档题.15．（2021·福建龙岩·高一期末）已知函数()cos6x xxf x e e -=-，则()f x 的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【分析】分析函数()f x 的奇偶性及其在区间0,12π⎛⎫⎪⎝⎭上的函数值符号，由此可得出合适的选项.【详解】对于函数()cos6x xxf x e e-=-，0x x e e --≠，解得0x ≠，函数()f x 的定义域为{}0x x ≠， ()()()cos 6cos6x xx xx xf x f x e e e e----==-=---，所以，函数()f x 为奇函数，排除BD 选项，当0,12x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，60,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos60x >且0x x e e -->，此时，()0f x >，排除A 选项. 故选：C. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；（2）从函数的值域，判断图象的上下位置．（3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（5）函数的特征点，排除不合要求的图象.16．（2021·湖北武汉·高一期末）函数()32241x xxx y -=+的部分图像大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】研究函数奇偶性和区间(的函数值的正负，利用排除法即得结果. 【详解】函数()33222()4122x x xxxx x x y f x ---===++，定义域为R ，对于任意的自变量x ，()333222()()222222x xx x x x x xx x x x f x f x -------===++-=-+++，故函数()y f x =是奇函数，图象关于原点中心对称，故CD 错误；又(32()2222x x x xx x x x x y f x --+-===++，故(x ∈时，00,0,202x x x x x ->+>+>，，即()0y f x =<，故A 正确，B 错误. 故选：A. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象. 17．（2021·全国·高三专题练习（理））函数()x x f x -=的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】分析函数()f x 的奇偶性，以及当0x >时，()f x 的符号，进而可得出合适的选项. 【详解】设())lng x x =，对任意的x ∈Rx x >≥-0x >，则函数()g x 的定义域为R ，())ln xxg x x-==)()lnx g x ==-=-，所以，函数())ln g x x =为奇函数，令())ln0g x x ==1x =1x =-，所以，10x -≥，可得1x ≤1x =-可得()2211x x +=-，解得0x =. 所以，函数()x x f x -=的定义域为{}0x x ≠，()()()()2222x x x xf x f xg x g x --++-==-=--，所以，函数()f x 为奇函数，排除BD 选项，当0x >时，)ln ln10x >=，220x x -+>，所以，()0f x >，排除C 选项.故选：A. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；（2）从函数的值域，判断图象的上下位置．（3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（5）函数的特征点，排除不合要求的图象.18．（2021·全国全国·高三月考（理））已知函数()31sin f x x x x ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，则其图象为（） A ． B ．C ．D ．【答案】A 【分析】分析函数()f x 的定义域、奇偶性以及该函数在()0,1上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】函数()31sin f x x x x ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭的定义域为{}0x x ≠，排除D 选项； ()()()()()()333111sin sin sin f x x x x x x x f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥-=--⋅-=-+⋅-=-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥-⎣⎦，所以，函数()f x 为偶函数，排除B 选项；当01x <<时，433110x x x x--=<，sin 0x >，此时()0f x <，排除C 选项.故选：A. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；（2）从函数的值域，判断图象的上下位置．（3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（5）函数的特征点，排除不合要求的图象.19．（2020·全国全国·模拟预测（文））函数()()ee sin 32xx xf x -+⋅=在55,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】先判断函数奇偶性得函数为奇函数，故排除A,再结合π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >排除C ，最后讨论函数在对应区间内的零点个数即可得答案. 【详解】∵()()()()()e e sin 3e e sin 322xx xx x f f xx x --+⋅-+⋅==-=--，∴()f x 是奇函数，排除A ．当π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，排除C ．由()0f x =得sin30x =，又15153,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， ∴30x =或π±或2π±，∴()f x 在55,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有5个零点，排除D ．故选：B ．【点睛】本题考查利用函数性质确定函数图象，考查了函数的奇偶性，考查数形结合思想，属于基础题．思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.20．（2020·山西·河津中学高三月考（理））函数(),()sin f x x g x x x ==+，则()()()h x f x g x =的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】由()h x 为偶函数，故排除选项B ，当0x >时，()0,f x >且()f x 为增函数，()g x 在(0,)+∞上为增函数，所以当0x >时，()()00g x g >=，所以当0x >时，()()()0h x f x g x =>，排除选项D ，从而可得出()h x 在(0,)+∞上为增函数，排除选项C ，得到答案.【详解】()(sin )h x x x x =+，则()()()()sin sin h x x x x x x x h x -=---=+=，所以()h x 为偶函数，故排除选项B. 当0x >时，()0,f x >且()f x 为增函数.()1cos 0g x x '=+≥恒成立，所以()g x 在(0,)+∞上为增函数，所以当0x >时，()()00g x g >=所以当0x >时，()()()0h x f x g x =>，排除选项D. 设120x x <<，则()()120f x f x <<，()()120g x g x << 则()()()()()()121122g g h x h x f x x f x x -=-()()()()()()()()11121222g g g g f x x f x x f x x f x x =-+- ()()()()()()()()112212g g g f x x x x f x f x =-+- ()()()()()()()()112212g g g f x x x x f x f x =-+-由条件()10f x >，()()12g g 0x x -<，则()()()()112g g 0f x x x -<()2g 0x >，()()120f x f x -<，则()()()()212g 0x f x f x -<所以()()()()()()()()112212g g g 0f x x x x f x f x -+-<，即()()12h x h x < 因此()h x 在(0,)+∞上为增函数，排除选项C 故选：A 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.。

函数的概念与性质(解析版)--2024高考数学常考题型精华版

第1讲函数的概念与性质【考点分析】1.函数的定义域、值域、解析式是高考中必考内容,具有较强的综合性,贯穿整个高中数学的始终.而在高考试卷中的形式可谓千变万化,但万变不离其宗,真正实现了常考常新的考试要求.所以,我们应该掌握一些简单的基本方法.2.函数的单调性、奇偶性是高考命题热点，每年都会考一道选择或者填空题，分值5分，一般与指数，对数结合起来命题【题型目录】题型一：函数的定义域题型二：同一函数概念题型三：函数单调性的判断题型四：分段函数的单调性题型五：函数的单调性唯一性题型六：函数奇偶性的判断题型七：已知函数奇偶性，求参数题型八：已知函数奇偶性，求函数值题型九：利用奇偶性求函数解析式题型十：给出函数性质，写函数解析式题型十一：()=x f 奇函数+常数模型（()()常数⨯=+-2x f x f ）题型十二：中值定理（求函数最大值最小值和问题，()()()中f x f x f 2min max =+，中指定义域的中间值）题型十三：.单调性和奇偶性综合求不等式范围问题题型十四：值域包含性问题题型十五：函数性质综合运用多选题【典型例题】题型一：函数的定义域【例1】（2021·奉新县第一中学高一月考）函数()f x =的定义域为（）A ．(]1,2B ．[]1,4C ．()1,4D ．[]2,4答案：C解析：对于函数()f x =，有1040x x ->⎧⎨->⎩，解得14x <<.因此，函数()ln 1f x -=的定义域为()1,4.故选：C.【例2】函数()21log (3)f x x =-的定义域为【答案】()()3,44,⋃+∞【详解】由题意知()230log 30x x ->⎧⎨-≠⎩，得()223log 3log 1x x >⎧⎨-≠⎩，所以331x x >⎧⎨-≠⎩，所以()()3,44,x ∈⋃+∞．【例3】(2020·集宁期中)已知函数)32(-x f 的定义域是]41[，-，则函数)21(x f -的定义域（）A ．]12[，-B ．]21[，C ．]32[，-D ．]31[，-【答案】C【详解】因为函数)32(-x f 的定义域是]41[，-，所以41≤≤-x ，所以5325≤-≤-x ，函数)(x f 的定义域为]55[，-，令5215≤-≤-x ，解得32≤≤-x 【例4】若函数()12log 22++=x ax y 的定义域为R ，则a 的范围为__________。

艺术生高考数学专题讲义考点5函数性质——单调性、奇偶性与周期性

考点五函数的性质——单一性、奇偶性、周期性知识梳理1．函数的单一性(1)单一函数的定义一般地，设函数f(x)的定义域为 I ：假如对于定义域I 内某个区间 D 上的随意两个自变量的值x1、x2，当 x1<x2时，都有 f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间 D 上是单一增函数．假如对于定义域I 内某个区间 D 上的随意两个自变量的值x1、x2，当 x1<x2时，都有 f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间 D 上是单一减函数．从图象来看，增函数图象从左到右是上涨的，减函数图象从左到右是降落的，如下图：（2）单一性与单一区间假如一个函数在某个区间M 上是单一增函数或是单一减函数，就说这个函数在这个区间M 上拥有单一性 (区间 M 称为单一区间)．2．函数的奇偶性(1) 奇函数、偶函数的观点一般地，假如对于函数f(x)的定义域内随意一个x，都有 f(－ x)＝ f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，假如对于函数f(x)的定义域内随意一个x，都有 f(－ x)＝－ f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．奇函数的图象对于原点对称，偶函数的图象对于y 轴对称．(2)判断函数的奇偶性的步骤与方法判断函数的奇偶性，一般都依照定义严格进行，一般步骤是：①观察定义域能否对于原点对称．②观察表达式 f(－ x)能否等于 f(x)或－ f( x)：若 f(－ x)＝－ f(x)，则 f(x) 为奇函数；若 f(－ x)＝ f(x)，则 f( x)为偶函数；若 f(－ x)＝－ f(x)且 f( －x) ＝f(x)，则 f(x)既是奇函数又是偶函数；若 f(－ x)≠－ f(x)且 f( －x) ≠f(x)，则 f(x)既不是奇函数又不是偶函数，既非奇非偶函数．3．函数的周期性(1) 周期函数的观点：对于函数y＝ f(x)，假如存在一个不为零的常数T，使适当x 取定义域内的每一个值时，f(x＋ T)＝ f(x) 都建立，则称y＝ f(x)为周期函数，非零常数T 叫做函数的周期.(2)最小正周期：假如在周期函数 f(x)的全部周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作 f(x) 的最小正周期．(3)一般地，假如 T 为函数 f(x)的周期，则 nT（n∈Z）也是函数 f(x)的周期，即有 f(x＋ nT)＝f(x)．(4) 最小正周期是指是函数值重复出现的自变量x 要加上的最小正数，这个正数是相对x 而言的．其实不是全部的周期函数都有最小正周期，比方常数函数最小正周期．f(x)＝ C（ C 为常数）就没有典例分析题型一函数单一性的判断例 1以下函数中，在区间 (0，＋∞ )上为增函数的是 ________. (填序号 )① y＝x＋ 1② y＝ (x－ 1)2－ x④ y＝ log0.5 (x＋1)③ y＝ 2答案①分析由基本初等函数的性质得，选项②中的函数在(0，1)上递减，选项③，④中的函数在(0，＋∞ )上为减函数，选① .变式训练以下函数中，知足“f(x＋ y)＝ f(x)f(y)”的单一递加函数是 ________. ( 填序号 )131 x x2① f(x)＝ x② f(x)＝ x③ f(x)＝2④ f(x)＝ 3答案④1111分析f(x)＝x2， f(x＋y) ＝ (x＋y) 2≠ x2· y2，不知足f(x＋ y)＝ f(x)f(y) ，①不知足题意．f(x)＝ x3， f(x＋ y)＝ (x＋ y)3≠ x3· y3，不知足f(x＋y)＝f(x)f(y)，②不知足题意．1x1x＋ y1x1y1xf(x)＝2，f( x＋y)＝2＝2·2，知足 f(x＋ y)＝ f(x)f(y) ，但 f( x)＝2不是增函数，③不知足题意．x x＋ y x y xf(x)＝ 3 ， f(x＋ y)＝ 3＝3· 3，知足f(x＋y)＝f(x)·f(y)，且f(x)＝3是增函数，④知足题意．(1)定义法：先求定义域，再依据取值、作差、变形、定号的次序得结论．(2)图象法：若函数是以图象形式给出的，或许函数的图象可作出，可由图象的升、降写出它的单一性．(3)转变法：转变为已知函数的单一性，即转变为已知函数的和、差或复合函数，再依据“增＋增得增”“减＋减得减”“同增异减”得待确立函数的单一性．(4)导数法：先求导，再确立导数值的正负，由导数的正负得函数的单一性．题型二函数单一性的应用例 2假如函数f(x)＝ ax2＋2x－ 3 在区间 (－∞， 4)上是单一递加的，则实数 a 的取值范围是________.答案－14≤ a≤ 0分析当 a＝ 0 时， f(x)＝ 2x－ 3，在定义域R 上是单一递加的，故在(－∞， 4)上单一递加；当 a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为x＝－1 a，由于 f( x)在 (－∞， 4)上单一递加，所以a<0，且－1≥4，解得－1≤ a<0. a4综合上述得－1≤ a≤ 0. 4变式训练函数 f(x)＝1在区间 [a， b]上的最大值是1，最小值是1，则 a＋ b＝________. x－ 13答案6分析易知 f(x)在 [a， b]上为减函数，f a ＝ 1，1＝1，a＝ 2，a－ 1∴ a＋b＝ 6.∴1即∴1 ＝1，f b ＝3，b＝ 4.b－ 13解题重点 1.利用单一性求参数．①视参数为已知数，依照函数的图象或单一性定义，确立函数的单一区间，与已知单一区间比较求参数；②需注意若函数在区间[a， b]上是单一的，则该函数在此区间的随意子集上也是单一的．③注意数形联合思想的运用，借助图形列出对应不等式，从而求出参数范围．2.利用单一性求最值．应先确立函数的单一性，而后再由单一性求出最值．题型三求函数的单一区间例 3求函数 y＝ log 1 (x2－ 4x＋3) 的单一区间．3分析令 u＝ x2－ 4x＋ 3，原函数能够看作y＝ log 1 u 与 u＝ x2－ 4x＋ 3 的复合函数．3令 u＝ x2－ 4x＋ 3>0，则 x<1 或 x>3.∴函数 y＝ log 1 (x2－4x＋ 3)的定义域为 (－∞， 1)∪ (3，＋∞)．3又 u＝ x2－ 4x＋ 3 的图象的对称轴为x＝ 2，且张口向上，∴u＝ x2－ 4x＋ 3 在(－∞， 1)上是减函数，在 (3，＋∞)上是增函数．而函数 y＝ log 1 u 在 (0，＋∞)上是减函数，3∴y＝ log 12－ 4x＋ 3)的单一递减区间为(3，＋∞)，单一递加区间为 (－∞， 1)．(x3解题重点 1.求单一区间的常用方法：(1)定义法； (2) 图象法； (3) 导数法．2．求复合函数y＝ f(g(x))的单一区间的步骤：(1)确立定义域；(2)将复合函数分解成基本初等函数：y＝ f(u)， u＝ g(x)；(3)分别确立这两个函数的单一区间；(4)若这两个函数同增或同减，则y＝ f(g(x)) 为增函数；若一增一减，则y＝ f(g(x))为减函数，即“同增异减”．3．求单一区间时需注意两点：①最后结果写成区间的形式；②不行忽略定义域．题型四判断函数的奇偶性例 4判断以下函数的奇偶性：(1)f(x)＝ x3－ x；(2)f(x)＝ (x＋ 1)1－ x；1＋ x(3)f(x) ＝ 3－ x2＋ x2－ 3.分析(1) 定义域为R，对于原点对称，又 f(－ x)＝ (－ x)3－ (－ x)＝－ x3＋ x＝－ (x3－ x)＝－ f(x)，∴函数为奇函数．1－x(2)由≥0可得函数的定义域为(－1,1]．1＋x∵函数定义域不对于原点对称，∴函数为非奇非偶函数．(3) 由于 f(x)定义域为 { －3，3} ，所以 f(x)＝ 0，则 f(x)既是奇函数也是偶函数．解题重点判断函数单一性的两个步骤： 1.判断函数定义域能否对于原点对称；2.判断 f(－ x)与 f(x)关系 . 若 f( －x)＝－ f(x)或是利用以下两个等价关系式进行判断：若则函数为奇函数；若 f(－ x)＝ f(x)则函数为偶函数．f(x)＋ f(－ x)＝ 0 则函数为奇函数；若 f(x)－ f(－ x)＝0 则函数为偶函数．题型五函数的周期性例 5已知 f(x)是定义在R上的偶函数，而且 f(x＋ 2)＝－1，当 2≤ x≤ 3 时，f(x)＝ x，则 f(105.5) f x＝______.答案 2.5分析由已知，可得f(x＋ 4)＝ f[(x＋ 2)＋ 2]＝－1＝－1＝ f( x)．1f x＋ 2－f x故函数的周期为 4.∴f(105.5)＝f(4 ×27－2.5)＝ f(－ 2.5)＝f(2.5) ．∵2≤2.5 ≤3，由题意，得 f(2.5)＝ 2.5.∴f(105.5)＝2.5.解题重点对于函数周期性的三个常用结论：对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1) 若 f(x＋ a)＝－ f(x)，则 T＝2a；1(2) 若 f(x＋ a)＝f（x），则 T＝ 2a；1(3) 若 f(x＋ a)＝－，则T＝2a.f（ x）题型六函数性质的综合运用1例 6已知偶函数f(x)在区间 [0，＋∞ )上单一递加，则知足f(2x－ 1)<f 3的 x 的取值范围是________．答案1， 233分析偶函数知足 f(x)＝ f(|x|)，依据这个结论，11有 f(2x－ 1)<f 3 ?f(|2x－ 1|)< f 3，1从而转变为不等式|2x－1|<3，解这个不等式即得x 的取值范围是1， 2.3 3当堂练习1. 函数 f(x) ＝x3－x 的图象对于 ________对称 .答案原点分析由 f(－ x)＝ (－ x)3－(－ x)＝－ x3＋ x＝－ f(x)，知 f(x)是奇函数，则其图象对于原点对称．2．已知定义在R上的奇函数 f( x)，知足 f(x＋4)＝ f(x)，则 f(8) 的值为 ________．答案0分析∵ f(x)为奇函数且 f(x＋ 4)＝f(x)，∴ f(0)＝ 0， T＝ 4，∴ f(8)＝ f(0) ＝ 0.3．已知 f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－ g(x)＝x3＋x2＋1，则 f(1)＋g(1) ＝________．答案 1分析由于 f(x)是偶函数， g(x)是奇函数，所以 f(1) ＋ g(1) ＝ f(－ 1)－ g(－ 1)＝ (－ 1)3＋ (－ 1)2＋ 1＝1.4．函数 f(x)＝log 1 (x2－ 4) 的单一递加区间是 ________．2答案(－∞，－2)分析由于y＝ log1 t在定义域上是减函数，所以求原函数的单一递加区间，即求函数t ＝x22－4 的单一递减区间，联合函数的定义域，可知所求区间为5．函数 y＝ f( x)是定义在 [ － 2，2]上的单一减函数，且f( a＋(－∞，－ 2)．1)< f(2a)，则实数 a 的取值范围是________．答案[－ 1， 1)－ 2≤ a＋ 1≤ 2，分析由条件－ 2≤ 2a≤2，解得－1≤ a<1.a＋ 1>2a，课后作业一、填空题1．以下函数中，既是奇函数又是增函数的为________． (填序号 )①y＝ x＋ 1② y＝－ x21④ y＝ x|x|③ y＝x答案④2．函数 y＝1－1________．(填序号 ) x－ 1①在 (－ 1，＋∞ ) 上单一递加②在 (－ 1，＋∞ )上单一递减③在 (1，＋∞ )上单一递加④在 (1，＋∞ )上单一递减答案③3．以下函数中，在区间(－∞， 0)上是减函数的是 ________． (填序号 )①y＝ 1－ x2②y＝ x2＋ x③y＝－－ x④ y＝xx－ 1答案④4．以下函数 f(x)中，知足“对随意x1，x2∈ (0，＋∞ )，都有f x2－f x1<0”的是 ________．(填x2－ x1序号 )①f(x)＝1② f(x)＝ (x－1) 2③ f(x)＝ e x④ f(x)＝ ln(x＋ 1) x答案①分析知足 f x2－ f x1<0 其实就是 f(x)在 (0，＋∞)上为减函数，应选① .x2－x15．已知 f(x)是奇函数， g( x) 是偶函数，且 f(－ 1)＋g(1) ＝2， f(1) ＋ g(－ 1)＝ 4，则 g(1) 等于________．答案 3分析∵ f(x)为奇函数，∴ f(－ 1)＝－ f(1) ，又 g(x)为偶函数，∴ g(－ 1)＝ g(1) ，∴－ f(1) ＋ g(1)＝2， f(1) ＋g(1) ＝ 4，将两式相加得 2g(1) ＝ 6，∴ g(1)＝ 3.6．以下函数中，既是偶函数又在 (0，＋∞ ) 单一递加的函数是 ________． (填序号 ) ①y ＝ x 3 ②y ＝ |x|＋ 1③ y ＝－ x 2＋1④y ＝ 2－ |x|答案②7．若函数 y ＝ x 2＋ (2a － 1)x ＋ 1 在区间 (－∞，2]上是减函数，则实数 a 的取值范围是 ________．答案－∞，－322a － 1 3.分析由题意得－ ≥ 2，得 a ≤－2 28．定义在 R 上的函数 f(x)的图象对于直线 x ＝ 2 对称，且 f(x)在 (－∞， 2)上是增函数，则 f(－1)与 f(3)的大小关系是 ________．答案 f(－ 1)＜ f(3)分析依题意得 f(3) ＝f(1)，且－ 1＜ 1＜ 2，于是由函数 f(x)在 (－∞， 2)上是增函数得 f(－ 1)＜ f (1)＝ f(3) ．9．函数 y ＝x 2－ 2x( x ∈[2,4]) 的增区间为 ________．答案[2,4]10．设 f(x) 是以 2 为周期的函数，且当 x ∈[1,3) 时， f( x)＝ x － 2，则 f(－ 1)＝ ________.答案－ 1分析由题知， f(－1)＝ f(－1＋ 2)＝ f(1) ＝ 1－ 2＝－ 1.11．给出以下命题12①y ＝ x 在定义域内为减函数；②y ＝ (x － 1) 在 (0，＋∞ )上是增函数； ③y ＝－ 1在(－∞， 0)上为增函数；④ y ＝ kx 不是增函数就是减函数．x 此中错误命题的个数有 ________．答案 3分析①②④错误，此中④中若 k ＝ 0，则命题不建立．二、解答题－ 2x12．证明函数 g(x)＝ x － 1在 (1，＋∞ )上单一递加．证明：任取 x 1，x 2∈ (1，＋∞ )，且 x 1 <x 2，－ 2x1－2x2 2 x1－x2则 g(x1 )－ g(x2)＝－＝，x1－ 1x2－ 1x1－ 1 x2－ 1由于 1<x1<x2，所以 x1－x2<0， (x1－1)(x2－ 1)>0 ，所以 g(x1 )－g(x2)<0 ，即 g(x1)< g(x2)．故 g(x) 在 (1，＋∞ )上是增函数．13．已知奇函数 f(x)的定义域为 [－ 2,2] ，且在区间 [ － 2,0] 上递减，求知足 f(1－m)＋ f(1－ m2)<0 的实数 m 的取值范围．解∵ f(x)的定义域为 [ － 2,2]．－2≤1－ m≤ 2，∴有解得－ 1≤ m≤ 3.①－2≤1－ m2≤2，又 f(x)为奇函数，且在 [ － 2,0]上递减，∴f(x)在 [ － 2,2] 上递减，∴f(1－m)<－f(1－m2)＝f(m2－1)? 1－m>m2－1，即－ 2<m<1.②综合①②可知，－ 1≤ m<1.即实数 m 的取值范围是[－ 1,1)．。

函数图像和变换解读

函数图像及其变换师大学附属外国语中学庆兵函数是整个高中数学的重点和难点，高中阶段对函数性质的研究往往是通过研究函数图像及其变换得到的，所以函数图像及其变换也就成为高考的固定考点。

历年高考考试大纲中都明确要求，学生要“会运用函数图像理解和研究函数的性质”，并且与前几年比较可以发现，近几年高考对于函数图像方面的考查已经不再局限于对几个常见函数本身的单一的考查，而是结合函数的运算，更为深刻地考查函数与函数、函数与方程、函数与不等式、函数与其他学科或现实生活等方面的联系。

这就要求我们不仅要熟练掌握一些基本函数的图像特征及函数图像变换的几种常见方法，而且要会灵活运用。

下面笔者就结合近几年的一些高考试题，谈一些函数图像及其变换和应用方面的问题，希望能引起正在忙于备考的高三教师和学子们的重视，并给他们带来一些启发。

（一）平移变换及其应用：函数00)(y x x f y +-=的图像可以看作是由函数)(x f y =的图像先向左0(x ＞0）或向右（0x ＜0）平移||0x 个单位，再向上0(y ＞0）或向下（0y ＜0）平移||0y 个单位得到。

如：例1、（2008理11）方程0122=-+x x 的解可视为函数2+=x y 的图象与函数xy 1=的图象交点的横坐标。

若方程044=-+ax x 的各个实根)4(,,,21≤k k x x x x 所对应的点),,2,1)(4,(k i x x i i =均在直线x y =的同侧，则实数a 的取值围是。

（图一）（图二）分析：由题意，方程044=-+ax x 的解可视为函数a x y +=3的图象与函数xy 4=的图象交点的横坐标。

这些交点可以看作是由函数3x y =的图象经过上下平移得到，由图（1）可知，函数3x y =与函数xy 4=的图象分别交于点P 、Q ，且点P 在直线上方，点Q 在直线x4=下方，要使得方程044=-+ax x 的各个实根)4(,,,21≤k k x x x x 所对应的点),,2,1)(4,(k i x x ii =均在直线x y =的同侧，只须将函数3x y =图像上下平移，将点Q 移至函数x y 4=图像与直线x y =交点A )2,2(--左侧或将点P 移至函数xy 4=图像与直线x y =交点B )2,2(右侧即可。

高考数学试题对函数性质考查情况的分析与启示——以江苏省近5年高考数学题为例

１．江苏省新课改五年来对函数性质考查的题目
列表如下：
性质奇偶性
２００８
詈）（＞ｏ）最小正周期为詈，ｍ则 — ——．
解由＿二角函数的周期公式得：Ｔ－一詈
Ⅲ一１０
单调性
】４小题２Ｏ火题（２）
≥ ｏ可化为，设。 ≥ 砉一设ｇ（）一孝一１，则ｇ
（）一，所以ｇ（ｚ）在区间（ｏ，吉］上单调递
象函数的周期不必补充的太多，以免给学生造成太多的负担．（２）考查的函数奇偶性的简单性质，两个奇函数之积为偶函数及奇函数在０点有定义ｇ（）：ｏ
周期性
１小题
极值与最值
ｌ３小题ｌ７题（２）
２００９年
３小题，１Ｏ小题
４小题
ｌ９大题（２）１４小题，ｌ２小题，１７大题１２小题ｌ７大题（１）
２ｎｌ０年５小题１１小题２Ｏ大题（２）２０１Ｊ年２小题，１９大题（１）
（）一４，从而ｎ ≥ ４；当ｘ＜ＯＩ￣１］Ｅ一１，ｏ］时，厂（．ｚ）一
ａ３Ｓ３－３＋１ ≥ ｏ可化为ａ ≤Biblioteka ３一 ≯ １，ｇ（ｚ）一
＞ｏｇ（ｚ）在区间［～１，ｏ］上单调递增，因
合性的考查。查看江苏省近五年的高考试题，对函数性质考查的题目丰富多彩，基础题、中等题、综合题都

2022年高考文数热点题型和提分秘籍专题05 函数的单调性、最值、奇偶性与周期性(解析版)

【高频考点解读】1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．2.会运用函数的图象理解和争辩函数的性质．3.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．4.会运用函数的图象理解和争辩函数的奇偶性．【热点题型】题型一函数单调性的推断例1、(1)下列函数f (x )中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是( ) A ．f (x )＝2x B ．f (x )＝|x －1| C ．f (x )＝1x －xD ．f (x )＝ln(x ＋1)(2)函数y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是________(填“增函数”或“减函数”)．解析 (1)由(x 1－x 2)[ f (x 1)－f (x 2)]<0可知，f (x )在(0，＋∞)是减函数，f (x )＝1x －x 求导，f ′(x )＝1x 2－1<0，∴f (x )＝1x －x 在(0，＋∞)是减函数．(2)任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，且x 1<x 2，则y 1－y 2＝x 1＋2x 1＋1－x 2＋2x 2＋1＝x 2－x 1x 1＋1x 2＋1.∵x 1>－1，x 2>－1，∴x 1＋1>0，x 2＋1>0，又x 1<x 2，∴x 2－x 1>0， ∴x 2－x 1x 1＋1x 2＋1>0，即y 1－y 2>0.∴y 1>y 2，所以函数y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数．答案 (1)C (2)减函数【提分秘籍】 (1)图象法作图象→看升降→归纳单调性区间(2)转化法(3)导数法求导→推断f ′x 正、负→单调性区间 (4)定义法取值→作差→变形→定号→单调性区间求函数的单调区间，肯定要留意定义域优先原则．【举一反三】下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝x ＋1B ．y ＝(x －1)2C ．y ＝2－x D ．y ＝log 0.5(x ＋1)题型二求函数的单调区间例2、求下列函数的单调区间： (1)y ＝－x 2＋2|x |＋1； (2)y ＝log 12(x 2－3x ＋2)．解析 (1)由于y＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1x ≥0，－x 2－2x ＋1x <0，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －12＋2x ≥0，－x ＋12＋2x <0.画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．(2)令u ＝x 2－3x ＋2，则原函数可以看作y ＝log 12u 与u ＝x 2－3x ＋2的复合函数．令u ＝x 2－3x ＋2>0，则x <1或x >2.∴函数y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．又u ＝x 2－3x ＋2的对称轴x ＝32，且开口向上．∴u ＝x 2－3x ＋2在(－∞，1)上是单调减函数，在(2，＋∞)上是单调增函数．而y ＝log 12u 在(0，＋∞)上是单调减函数，∴y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的单调减区间为(2，＋∞)，单调增区间为(－∞，1)．【提分秘籍】(1)求函数的单调区间与确定单调性的方法全都．常用的方法有：①利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间． ②定义法：先求定义域，再利用单调性定义确定单调区间．③图象法：假如f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，则可由图象的直观性写出它的单调区间．④导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．(2)若函数f (x )的定义域上(或某一区间上)是增函数，则f (x 1)<f (x 2)⇔x 1<x 2.利用上式，可以去掉抽象函数的符号，将函数不等式(或方程)的求解化为一般不等式(或方程)的求解，但无论如何都必需在定义域内或给定的范围内进行．【举一反三】求下列函数的单调区间，并指出其增减性． (1)y ＝(a >0且a ≠1)；(2)y ＝log 12(4x －x 2)．题型三函数单调性的应用例3、已知函数f (x )满足f (x )＝f (π－x )，且当x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2时，f (x )＝e x ＋sin x ，则( ) A ．f (1)<f (2)<f (3) B ．f (2)<f (3)<f (1) C ．f (3)<f (2)<f (1) D ．f (3)<f (1)<f (2)解析：由f (x )＝f (π－x )，得函数f (x )的图象关于直线x ＝π2对称，又当x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2时，f ′(x )＝e x ＋cos x >0恒成立，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上为增函数，f (2)＝f (π－2)，f (3)＝f (π－3)，且0<π－3<1<π－2<π2，所以f (π－3)<f (1)<f (π－2)，即f (3)<f (1)<f (2)．答案：D 【提分秘籍】1．高考对函数单调性的考查多以选择题、填空题的形式消灭，有时也应用于解答题中的某一问中． 2．高考对函数单调性的考查主要有以下几个命题角度： (1)利用函数的单调性比较大小．(2)利用函数的单调性解决与抽象函数有关的不等式问题． (3)利用函数的单调性求参数．(4)利用函数的单调性求解最值(或恒成立)问题．【方法规律】(1)含“f ”号不等式的解法首先依据函数的性质把不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式，然后依据函数的单调性去掉“f ”号，转化为具体的不等式(组)，此时要留意g (x )与h (x )的取值应在外层函数的定义域内．(2)分段函数单调性解法为了保证函数在整个定义域内是单调的，除了要分别保证各段表达式在对应区间上的单调性全都外，还要留意两段连接点的连接.【举一反三】已知函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，且满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f ⎝⎛⎭⎫12＝1，假如对于0<x <y ，都有f (x )>f (y )．(1)求f (1)的值；(2)解不等式f (－x )＋f (3－x )≥－2. 解析：(1)令x ＝y ＝1，则f (1)＝f (1)＋f (1)，f (1)＝0.(2)由题意知f (x )为(0，＋∞)上的减函数，且⎩⎪⎨⎪⎧－x >0，3－x >0，∴x <0， ∵f (xy )＝f (x )＋f (y )，x 、y ∈(0，＋∞)且f ⎝⎛⎭⎫12＝1. ∴f (－x )＋f (3－x )≥－2可化为f (－x )＋f (3－x )≥－2f ⎝⎛⎭⎫12，即f (－x )＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (3－x )＋f ⎝⎛⎭⎫12≥0＝f (1)⇔f ⎝⎛⎭⎫－x 2＋f ⎝⎛⎭⎫3－x 2≥f (1)⇔f ⎝⎛⎭⎫－x 2·3－x 2≥f (1)，则⎩⎪⎨⎪⎧x <0，－x 2·3－x 2≤1，解得－1≤x <0.∴不等式的解集为{x |－1≤x <0}．【变式探究】已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－a x －a x <1log a x x ≥1是(－∞，＋∞)上的增函数，则a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1,3)C.⎣⎡⎭⎫32，3D.⎝⎛⎭⎫1，32题型四函数奇偶性的判定例4、(1)下列函数不具有奇偶性的有________． ①f (x )＝(x ＋1) 1－x1＋x； ②f (x )＝x 3－x ； ③f (x )＝x 2＋|x |－2； ④f (x )＝lg x 2＋lg 1x 2；⑤f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x x <0，－x 2＋x x >0(2)对于函数y ＝f (x )，x ∈R ，“y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称”是“y ＝f (x )是奇函数”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析 (1)①由1－x1＋x ≥0可得函数的定义域为(－1,1]，所以函数为非奇非偶函数．②∵x ∈R ，f (－x )＝(－x )3－(－x )＝－x 3＋x ＝－(x 3－x )＝－f (x )．∴f (x )＝x 3－x 是奇函数． ③∵x ∈R ，f (－x )＝(－x )2＋|－x |－2＝x 2＋|x |－2＝f (x )，∴f(x)＝x2＋|x|－2是偶函数．④定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(x)＝lg x2＋lg 1x 2＝lg x2＋lg(x2)－1＝lg x2－lg x2＝0，∴f(x)既是奇函数又是偶函数．⑤当x>0时，－x<0，f(x)＝－x2＋x，∴f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x)；当x<0时，－x>0，f(x)＝x2＋x，∴f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)．所以对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，均有f(－x)＝－f(x)．∴函数为奇函数．(2)若f(x)是奇函数，则对任意的x∈R，均有f(－x)＝－f(x)，即|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，所以y＝|f(x)|是偶函数，即y＝|f(x)|的图象关于y轴对称．反过来，若y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，则不能得出y＝f(x)肯定是奇函数，比如y＝|x2|，明显，其图象关于y轴对称，但是y＝x2是偶函数．故“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的必要而不充分条件．答案(1)①(2)B【提分秘籍】(1)判定函数奇偶性的常用方法及思路：①定义法：②图象法：③性质法：a.“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶；b．“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶；c．“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇．(2)推断函数奇偶性时应留意问题：①分段函数奇偶性的推断，要留意定义域内x取值的任意性，应分段争辩，争辩时可依据x的范围取相应的解析式，推断f(x)与f(－x)的关系，得出结论，也可以利用图象作推断．②“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．③性质法在小题中可直接运用，但在解答题中应给出性质推导的过程．【举一反三】设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数解析：由题意可知f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，对于选项A，f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)，所以f(x)g(x)是奇函数，故A项错误；对于选项B，|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)，所以|f(x)|g(x)是偶函数，故B项错误；对于选项C，f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是奇函数，故C项正确；对于选项D，|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，所以|f(x)g(x)|是偶函数，故D项错误，选C.答案：C题型五函数的周期性例5、已知函数f (x )是R 上的偶函数，g (x )是R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，若f (2)＝2，则f (2 014)的值为( )A ．2B ．0C ．－2D ．±2解析 ∵g (－x )＝f (－x －1)，∴－g (x )＝f (x ＋1)．又g (x )＝f (x －1)，∴f (x ＋1)＝－f (x －1)， ∴f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，则f (x )是以4为周期的周期函数，所以f (2 014)＝f (2)＝2. 答案 A 【提分秘籍】函数周期性的推断要结合周期性的定义，还可以利用图象法及总结的几个结论，如f (x ＋a )＝－f (x )⇒T ＝2a . 【举一反三】函数f (x )＝lg|sin x |是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数 D ．最小正周期为2π的偶函数解析：易知函数的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z}，关于原点对称，又f (－x )＝lg|sin(－x )|＝lg|－sin x |＝lg|sin x |＝f (x )，所以f (x )是偶函数，又函数y ＝|sin x |的最小正周期为π，所以函数f (x )＝lg|sin x |是最小正周期为π的偶函数．答案：C题型六函数奇偶性、周期性等性质的综合应用例6、设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )＝f (x ＋2)；③当0≤x ≤1时，f (x )＝2x －1，则f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52＝________.解析：依题意知：函数f (x )为奇函数且周期为2，∴f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52 ＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫－12＋f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫12 ＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)－f ⎝⎛⎭⎫12＋f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫12 ＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f (0) ＝212－1＋21－1＋20－1 ＝ 2. 答案： 2 【提分秘籍】1.函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中经常将它们综合在一起命制试题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主．归纳起来常见的命题角度有： (1)求函数值．(2)与函数图象有关的问题． (3)奇偶性、周期性单调性的综合． 2.应用函数奇偶性可解决的问题及方法 (1)已知函数的奇偶性，求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解． (2)已知函数的奇偶性求解析式将待求区间上的自变量，转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组)，从而得到f (x )的解析式．(3)已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值经常利用待定系数法：利用f (x )±f (－x )＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程求解．(4)应用奇偶性画图象和推断单调性. 【举一反三】设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫121－x，则下列命题：①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上递减，在(2,3)上递增； ③函数f (x )的最大值是1，最小值是0；④当x ∈(3,4)时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －3.其中正确命题的序号是________．【高考风向标】1.【2021高考四川，文15】已知函数f (x )＝2x ，g (x )＝x 2＋ax (其中a ∈R ).对于不相等的实数x 1，x 2，设m ＝1212()()f x f x x x --，n ＝1212()()g x g x x x --，现有如下命题：①对于任意不相等的实数x 1，x 2，都有m ＞0；②对于任意的a 及任意不相等的实数x 1，x 2，都有n ＞0； ③对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝n ； ④对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝－n . 其中真命题有___________________(写出全部真命题的序号). 【答案】①④【解析】对于①，由于f '(x )＝2x ln 2＞0恒成立，故①正确对于②，取a ＝－8，即g '(x )＝2x －8，当x 1，x 2＜4时n ＜0，②错误对于③，令f '(x )＝g '(x )，即2x ln 2＝2x ＋a 记h (x )＝2x ln 2－2x ，则h '(x )＝2x (ln 2)2－2存在x 0∈(0，1)，使得h (x 0)＝0，可知函数h (x )先减后增，有最小值. 因此，对任意的a ，m ＝n 不肯定成立.③错误对于④，由f '(x )＝－g '(x )，即2x ln 2＝－2x －a令h (x )＝2x ln 2＋2x ，则h '(x )＝2x (ln 2)2＋2＞0恒成立，即h (x )是单调递增函数，当x →＋∞时，h (x )→＋∞ 当x →－∞时，h (x )→－∞因此对任意的a ，存在y ＝a 与函数h (x )有交点.④正确2.【2021高考陕西，文10】设()ln ,0f x x a b =<<，若()p f ab =，()2a b q f +=，1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是（）A ．q r p =<B ．q r p =>C ．p r q =<D ．p r q => 【答案】C【解析】1()ln ln 2p f ab ab ab ===；()ln22a b a b q f ++==；11(()())ln 22r f a f b ab =+= 由于2a b ab +>，由()ln f x x =是个递增函数，()()2a b f f ab +>所以q p r >=，故答案选C3.【2021高考浙江，文12】已知函数()2,166,1x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨+->⎪⎩，则()2f f -=⎡⎤⎣⎦ ，()f x 的最小值是．【答案】1;2662--4.【2021高考上海，文20】（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分. 已知函数xax x f 1)(2+=，其中a 为实数. （1）依据a 的不同取值，推断函数)(x f 的奇偶性，并说明理由；（2）若)3,1(∈a ，推断函数)(x f 在]2,1[上的单调性，并说明理由. 【答案】（1）)(x f 是非奇非偶函数；（2）函数)(x f 在]2,1[上单调递增.1．（2022·北京卷）下列函数中，定义域是R且为增函数的是()A．y＝e－x B．y＝x3C．y＝ln x D．y＝|x|【答案】B【解析】由定义域为R，排解选项C，由函数单调递增，排解选项A，D. 2．（2022·湖南卷）下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是()A．f(x)＝1x2B．f(x)＝x2＋1C．f(x)＝x3D．f(x)＝2－x【答案】A【解析】由偶函数的定义，可以排解C，D，又依据单调性，可得B不对．3．（2022·江苏卷）已知函数f(x)＝e x＋e－x，其中e是自然对数的底数．(1)证明：f(x)是R上的偶函数．(2)若关于x的不等式mf(x)≤e－x＋m－1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围．(3)已知正数a满足：存在x0∈[1，＋∞)，使得f(x0)<a(－x30＋3x0)成立．试比较e a－1与a e－1的大小，并证明你的结论．【解析】(1)证明：由于对任意x∈R，都有f(－x)＝e－x＋e－(－x)＝e－x＋e x＝f(x)，所以f(x)是R上的偶函数．(2)由条件知m(e x＋e－x－1)≤e－x－1在(0，＋∞)上恒成立．令t＝e x(x>0)，则t>1，所以m≤－t－1t2－t＋1＝－1t－1＋1t－1＋ 1对任意t>1成立．由于t－1＋1t－1＋1≥2 （t－1）·1t－ 1＋1＝3, 所以－1t－1＋1t－1＋ 1≥－13，当且仅当t＝2, 即x＝ln 2时等号成立．因此实数m的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－13.(3)令函数g(x)＝e x＋1e x－a(－x3＋3x)，则g′(x) ＝e x－1e x＋3a(x2－1)．当x≥1时，e x－1e x>0，x2－1≥0.又a>0，故g′(x)>0，所以g(x)是[1，＋∞)上的单调递增函数，因此g(x)在[1，＋∞)上的最小值是g(1)＝e＋e－1－2a.由于存在x0∈[1，＋∞)，使e x0＋e－x0－a(－x30＋3x0 )<0 成立，当且仅当最小值g(1)<0，故e＋e－1－2a<0, 即a>e＋e－12.令函数h(x) ＝x－(e－1)ln x－1，则h′(x)＝1－e－1x. 令h′(x)＝0, 得x＝e－1.当x∈(0，e－1)时，h′(x)<0，故h(x)是(0，e－1)上的单调递减函数；当x∈(e－1，＋∞)时，h′(x)>0，故h(x)是(e－1，＋∞)上的单调递增函数．所以h(x)在(0，＋∞)上的最小值是h(e－1)．留意到h(1)＝h(e)＝0，所以当x∈(1，e－1)⊆(0，e－1)时，h(e－1)≤h(x)<h(1)＝0；当x∈(e－1，e)⊆(e－1，＋∞)时，h(x)<h(e)＝0.所以h(x)<0对任意的x∈(1，e)成立．故①当a∈⎝⎛⎭⎫e＋e－12，e⊆(1，e)时，h(a)<0，即a－1<(e－1)ln a，从而e a－1<a e－1；②当a ＝e 时，e a －1＝a e －1；③当a ∈(e ，＋∞)⊆(e －1，＋∞)时，h (a )>h (e)＝0，即a －1>(e －1)ln a ，故e a －1>a e －1.综上所述，当a ∈⎝⎛⎭⎫e ＋e －12，e 时，e a －1<a e －1；当a ＝e 时，e a －1＝a e －1；当a ∈(e ，＋∞)时，e a －1>a e －1. 4．（2022·四川卷）以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数φ(x )组成的集合：对于函数φ(x )，存在一个正数M ，使得函数φ(x )的值域包含于区间[－M ，M ]．例如，当φ1(x )＝x 3，φ2(x )＝sin x 时，φ1(x )∈A ，φ2(x )∈B .现有如下命题：①设函数f (x )的定义域为D ，则“f (x )∈A ”的充要条件是“∀b ∈R ，∃a ∈D ，f (a )＝b ”； ②若函数f (x )∈B ，则f (x )有最大值和最小值；③若函数f (x )，g (x )的定义域相同，且f (x )∈A ，g (x )∈B ，则f (x )＋g (x )∈/B ； ④若函数f (x )＝a ln(x ＋2)＋xx 2＋1(x ＞－2，a ∈R )有最大值，则f (x )∈B .其中的真命题有________．(写出全部真命题的序号) 【答案】①③④【解析】若f (x )∈A ，则函数f (x )的值域为R ，于是，对任意的b ∈R ，肯定存在a ∈D ，使得f (a )＝b ，故①正确．取函数f (x )＝x (－1＜x ＜1)，其值域为(－1，1)，于是，存在M ＝1，使得函数f (x )的值域包含于[－M ，M ]＝[－1，1]，但此时函数f (x )没有最大值和最小值，故②错误．当f (x )∈A 时，由①可知，对任意的b ∈R ，存在a ∈D ，使得f (a )＝b ，所以，当g (x )∈B 时，对于函数f (x )＋g (x )，假如存在一个正数M ，使得f (x )＋g (x )的值域包含于[－M ，M ]，那么对于该区间外的某一个b 0∈R ，肯定存在一个a 0∈D ，使得f (x )＋f (a 0)＝b 0－g (a 0)，即f (a 0)＋g (a 0)＝b 0∉[－M ，M ]，故③正确．对于f (x )＝a ln(x ＋2)＋xx 2＋1(x ＞－2)，当a ＞0或a ＜0时，函数f (x )都没有最大值．要使得函数f (x )有最大值，只有a ＝0，此时f (x )＝x x 2＋1(x ＞－2)．易知f (x )∈⎣⎡⎦⎤－12，12，所以存在正数M ＝12，使得f (x )∈[－M ，M ]，故④正确5．（2022·四川卷）已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.718 28…为自然对数的底数． (1)设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0，1]上的最小值； (2)若f (1)＝0，函数f (x )在区间(0，1)内有零点，证明：e －2＜a ＜1.【解析】(1)由f (x )＝e x －ax 2－bx －1，得g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －b ，所以g ′(x )＝e x －2a . 当x ∈[0，1]时，g ′(x )∈[1－2a ，e －2a ]．当a ≤12时，g ′(x )≥0，所以g (x )在[0，1]上单调递增，因此g (x )在[0，1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当a ≥e2时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[0，1]上单调递减，因此g (x )在[0，1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b ；当12＜a ＜e2时，令g ′(x )＝0，得x ＝ln(2a )∈(0，1)，所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增，于是，g (x )在[0，1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b . 综上所述，当a ≤12时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当12＜a ＜e2时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b ；当a ≥e2时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b .(2)证明：设x 0为f (x )在区间(0，1)内的一个零点，则由f (0)＝f (x 0)＝0可知， f (x )在区间(0，x 0)上不行能单调递增，也不行能单调递减．则g (x )不行能恒为正，也不行能恒为负．故g (x )在区间(0，x 0)内存在零点x 1.同理g (x )在区间(x 0，1)内存在零点x 2.故g (x )在区间(0，1)内至少有两个零点．由(1)知，当a ≤12时，g (x )在[0，1]上单调递增，故g (x )在(0，1)内至多有一个零点；当a ≥e2时，g (x )在[0，1]上单调递减，故g (x )在(0，1)内至多有一个零点，都不合题意．所以12＜a ＜e 2.此时g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增．因此x 1∈(0，ln(2a ))，x 2∈(ln(2a )，1)，必有 g (0)＝1－b ＞0，g (1)＝e －2a －b ＞0. 由f (1)＝0有a ＋b ＝e －1<2，有 g (0)＝a －e ＋2>0，g (1)＝1－a >0. 解得e －2＜a ＜1.所以，函数f (x )在区间(0，1)内有零点时，e －2＜a ＜1.6．（2021·北京卷）函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ≥1，2x ，x<1的值域为________．【答案】(－∞，2)【解析】函数y ＝log 12x 在(0，＋∞)上为减函数，当x ≥1时，函数y ＝log 12x 的值域为(－∞，0]；函数y＝2x 在R 上是增函数，当x<1时，函数y ＝2x 的值域为(0，2)，所以原函数的值域为(－∞，2)．7．（2021·北京卷）下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝1x B ．y ＝e －xC ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝lg |x| 【答案】C【解析】对于A ，y ＝1x 是奇函数，排解．对于B ，y ＝e －x 既不是奇函数，也不是偶函数，排解．对于D ，y ＝lg |x|是偶函数，但在(0，＋∞)上有y ＝lgx ，此时单调递增，排解．只有C 符合题意．8．（2021·新课标全国卷Ⅱ] 若存在正数x 使2x (x －a)<1成立，则a 的取值范围是( ) A ． (－∞，＋∞) B ．(－2，＋∞) C ．(0，＋∞) D ．(－1，＋∞) 【答案】D【解析】由题意存在正数x 使得a>x －12x 成立，即a>⎝⎛⎭⎫x －12x min .由于x －12x是(0，＋∞)上的增函数，故x －12x >0－120＝－1，所以a>－1.答案为D. 9．（2021·新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，下列结论中错误的是( ) A ．x 0∈R ，f(x 0)＝0B ．函数y ＝f(x)的图像是中心对称图形C ．若x 0是f(x)的微小值点，则f(x)在区间(－∞，x 0)单调递减D ．若x 0是f(x)的极值点，则f ′(x 0)＝0 【答案】C【解析】x →－∞时，f(x)<0，x →＋∞时，f(x)>0，又f(x)连续，x 0∈R ，f(x 0)＝0，A 正确．通过平移变换，函数可以化为f(x)＝x 3＋c ，从而函数y ＝f(x)的图像是中心对称图形，B 正确．若x 0是f(x)的微小值点，可能还有极大值点x 1，若x 1<x 0，则f(x)在区间(x 1，x 0)单调递减，C 错误．D 正确．故答案为C.10．（2021·四川卷）已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋a ，x<0，ln x ，x>0，其中a 是实数．设A(x 1，f(x 1))，B(x 2，f(x 2))为该函数图像上的两点，且x 1<x 2.(1)指出函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)的图像在点A ，B 处的切线相互垂直，且x 2<0，证明：x 2－x 1≥1；(3)若函数f(x)的图像在点A ，B 处的切线重合，求a 的取值范围．【解析】(1)函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1 )，单调递增区间为[－1，0)，(0，＋∞)． (2)证明：由导数的几何意义可知，点A 处的切线斜率为f ′(x 1)，点B 处的切线斜率为f ′(x 2)．故当点A 处的切线与点B 处的切线垂直时，有f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1. 当x<0时，对函数f(x)求导，得f ′(x)＝2x ＋2. 由于x 1<x 2<0，所以，(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝－1，所以2x 1＋2<0，2x 2＋2>0，因此x 2－x 1＝12[－(2x 1＋2)＋2x 2＋2]≥[－（2x 1＋2）]（2x 2＋2）＝1.当且仅当－(2x 1＋2)＝2x 2＋2＝1，即x 1＝－32且x 2＝－12时等号成立所以，函数f(x)的图像在点A ，B 处的切线相互垂直时，有x 2－x 1≥1. (3)当x 1<x 2<0或x 2>x 1>0时，f ′(x 1)≠f ′(x 2)，故x 1<0<x 2. 当x 1<0时，函数f(x)的图像在点(x 1，f(x 1))处的切线方程为 y －(x 21＋2x 1＋a)＝(2x 1＋2)(x －x 1)，即y ＝(2x 1＋2)x －x 21＋a. 当x 2>0时，函数f(x)的图像在点(x 2，f(x 2))处的切线方程为y －ln x 2＝1x 2(x －x 2)，即y ＝1x 2·x ＋ln x 2－1.两切线重合的充要条件是 ⎩⎪⎨⎪⎧1x 2＝2x 1＋2，①ln x 2－1＝－x 21＋a.② 由①及x 1<0<x 2知，0<1x 2<2.由①②得，a ＝ln x 2＋⎝⎛⎭⎫12x 2－12－1＝－ln 1x 2＋14⎝⎛⎭⎫1x 2－22－1. 令t ＝1x 2，则0<t<2，且a ＝14t 2－t －ln t.设h(t)＝14t 2－t －ln t(0<t<2)．则h ′(t)＝12t －1－1t ＝（t －1）2－32t <0.所以h(t)(0<t<2)为减函数．则h(t)>h(2)＝－ln 2－1，所以a>－ln2－1，而当t ∈(0，2)且t 趋近于0时，h(t)无限增大，所以a 的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．故当函数f(x)的图像在点A ，B 处的切线重合时，a 的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．11．（2021·四川卷）设函数f(x)＝e x ＋x －a(a ∈R ，e 为自然对数的底数)．若存在b ∈[0，1]使f(f(b))＝b 成立，则a 的取值范围是( )A ．[1，e]B ．[1，1＋e]C ．[e ，1＋e]D ．[0，1] 【答案】A【高考押题】1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)内单调递减的函数是( )． A ．y ＝x 2B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝－lg|x |D ．y ＝2|x |解析对于C 中函数，当x >0时，y ＝－lg x ，故为(0，＋∞)上的减函数，且y ＝－lg |x |为偶函数．答案 C2．已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f (|x |)＜f (1)的实数x 的取值范围是( ) A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析 ∵f (x )在R 上为减函数且f (|x |)＜f (1)， ∴|x |＞1，解得x ＞1或x ＜－1. 答案 D3．若函数y ＝ax 与y ＝－bx 在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．先减后增解析 ∵y ＝ax 与y ＝－bx 在(0，＋∞)上都是减函数，∴a <0，b <0，∴y ＝ax 2＋bx 的对称轴方程x ＝－b2a <0，∴y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上为减函数．答案 B4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是 ( )．A ．(－∞，0]B ．[0,1)C ．[1，＋∞)D ．[－1,0]解析 g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1.如图所示，其递减区间是[0,1)．故选B.答案 B5．函数y ＝－x 2＋2x －3(x ＜0)的单调增区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，1] C ．(－∞，0)D ．(－∞，－1]解析二次函数的对称轴为x ＝1，又由于二次项系数为负数，拋物线开口向下，对称轴在定义域的右侧，所以其单调增区间为(－∞，0)．答案 C6．设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)等于( )． A ．3 B ．1 C ．－1 D ．－3解析由f (－0)＝－f (0)，即f (0)＝0.则b ＝－1， f (x )＝2x ＋2x －1，f (－1)＝－f (1)＝－3. 答案 D7．已知定义在R 上的奇函数，f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，则f (6)的值为 ( )． A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2解析 (构造法)构造函数f (x )＝sin π2x ，则有f (x ＋2)＝sin ⎣⎡⎦⎤π2x ＋2＝－sin π2x ＝－f (x )，所以f (x )＝sin π2x是一个满足条件的函数，所以f (6)＝sin 3π＝0，故选B.答案 B8．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝f (x ＋2)，当x ∈[3,5]时，f (x )＝2－|x －4|，则下列不等式肯定成立的是( )．A ．f ⎝⎛⎭⎫cos 2π3>f ⎝⎛⎭⎫sin 2π3B ．f (sin 1)<f (cos 1)C ．f ⎝⎛⎭⎫sin π6<f ⎝⎛⎭⎫cos π6D ．f (cos 2)>f (sin 2)9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2－x ，x ≥0，2x －1，x <0，则该函数是( )．A ．偶函数，且单调递增B ．偶函数，且单调递减C ．奇函数，且单调递增D ．奇函数，且单调递减解析当x >0时，f (－x )＝2－x－1＝－f (x )；当x <0时，f (－x )＝1－2－(－x )＝1－2x＝－f (x )．当x ＝0时，f (0)＝0，故f (x )为奇函数，且f (x )＝1－2－x 在[0，＋∞)上为增函数，f (x )＝2x －1在(－∞，0)上为增函数，又x ≥0时1－2－x ≥0，x <0时2x －1<0，故f (x )为R 上的增函数．答案 C10．已知f (x )是定义在R 上的周期为2的周期函数，当x ∈[0,1)时，f (x )＝4x －1，则f (－5.5)的值为( ) A ．2 B ．－1 C ．－12D ．1解析f (－5.5)＝f (－5.5＋6)＝f (0.5)＝40.5－1＝1. 答案 D11．设函数D (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则下列结论错误的是 ( )．A ．D (x )的值域为{0,1}B ．D (x )是偶函数C ．D (x )不是周期函数 D ．D (x )不是单调函数解析明显D (x )不单调，且D (x )的值域为{0,1}，因此选项A 、D 正确．若x 是无理数，－x ，x ＋1是无理数；若x 是有理数，－x ，x ＋1也是有理数．∴D (－x )＝D (x )，D (x ＋1)＝D (x )．则D (x )是偶函数，D (x )为周期函数，B 正确，C 错误．答案 C12．已知函数f (x )＝x 2＋ax (x ≠0，a ∈R )．(1)推断函数f (x )的奇偶性；(2)若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．13．已知函数f (x )＝a ·2x ＋b ·3x ，其中常数a ，b 满足ab ≠0. (1)若ab >0，推断函数f (x )的单调性；(2)若ab <0，求f (x ＋1)>f (x )时的x 的取值范围．解 (1)当a >0，b >0时，由于a ·2x ，b ·3x 都单调递增，所以函数f (x )单调递增；当a <0，b <0时，由于a ·2x ，b ·3x 都单调递减，所以函数f (x )单调递减．(2)f (x ＋1)－f (x )＝a ·2x ＋2b ·3x >0. (i)当a <0，b >0时，⎝⎛⎭⎫32x >－a2b ，解得x >log 32⎝⎛⎭⎫－a 2b ； (ii)当a >0，b <0时，⎝⎛⎭⎫32x <－a2b，解得x <log 32⎝⎛⎭⎫－a 2b . 14．函数f (x )对任意的a 、b ∈R ，都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )－1，并且当x >0时，f (x )>1. (1)求证：f (x )是R 上的增函数； (2)若f (4)＝5，解不等式f (3m 2－m －2)<3.15.已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f (x )的图象关于x ＝1对称，当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x －1， (1)求证：f (x )是周期函数； (2)当x ∈[1,2]时，求f (x )的解析式； (3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2021)的值．解析 (1)证明函数f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )，函数f (x )的图象关于x ＝1对称，则f (2＋x )＝f (－x )＝－f (x )，所以f (4＋x )＝f [(2＋x )＋2]＝－f (2＋x )＝f (x )，所以f (x )是以4为周期的周期函数．(2)当x ∈[1,2]时，2－x ∈[0,1]，又f (x )的图象关于x ＝1对称，则f (x )＝f (2－x )＝22－x －1，x ∈[1,2]． (3) ∵f (0)＝0，f (1)＝1，f (2)＝0， f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－1 又f (x )是以4为周期的周期函数． ∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2021) ＝f (2 012)＋f (2 013)＝f (0)＋f (1)＝1.16．已知函数f (x )的定义域为R ，且满足f (x ＋2)＝－f (x )． (1)求证：f (x )是周期函数；(2)若f (x )为奇函数，且当0≤x ≤1时，f (x )＝12x ，求使f (x )＝－12在[0,2 014]上的全部x 的个数．(1)证明 ∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )， ∴f (x )是以4为周期的周期函数． (2)解当0≤x ≤1时，f (x )＝12x ，设－1≤x ≤0，则0≤－x ≤1， ∴f (－x )＝12(－x )＝－12x .∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴－f (x )＝－12x ，即f (x )＝12x .故f (x )＝12x (－1≤x ≤1)．又设1<x <3，则－1<x －2<1， ∴f (x －2)＝12(x －2)．又∵f (x )是以4为周期的周期函数∴f (x －2)＝f (x ＋2)＝－f (x )，∴－f (x )＝12(x －2)，∴f (x )＝－12(x －2)(1<x <3)．∴f (x )＝⎩⎨⎧12x ，－1≤x ≤1，－12x －2，1<x <3.由f (x )＝－12，解得x ＝－1.∵f (x )是以4为周期的周期函数， ∴f (x )＝－12的全部x ＝4n －1(n ∈Z )．令0≤4n －1≤2 014，则14≤n ≤2 0154.又∵n ∈Z ，∴1≤n ≤503(n ∈Z )，∴在[0,2 014]上共有503个x 使f (x )＝－12.。

高考数学冲刺函数性质与图像变换全解析

高考数学冲刺函数性质与图像变换全解析高考对于每一位学子来说都是人生中的一次重要挑战，而数学作为其中的关键学科，更是备受关注。

在数学的众多知识点中，函数的性质与图像变换一直是重点和难点。

在高考冲刺阶段，对这部分内容进行全面、深入的复习和理解，将有助于我们在考试中取得更好的成绩。

一、函数的基本性质1、单调性函数的单调性是指函数在定义域内的某个区间上，函数值随自变量的增大而增大或减小的性质。

判断函数单调性的方法通常有定义法、导数法等。

定义法：设函数$f(x)＄的定义域为$I$，对于定义域$I$内某个区间$D$上的任意两个自变量的值$x_1$，＄x_2$，当$x_1 ＜ x_2$时，都有$f(x_1) ＜ f(x_2)＄（或$f(x_1) ＞ f(x_2)＄），那么就说函数$f(x)＄在区间$D$上是增函数（或减函数）。

导数法：若函数$f(x)＄在区间$（a,b)＄内可导，当$f'（x) ＞0$时，函数$f(x)＄在区间$（a,b)＄内单调递增；当$f'（x) ＜ 0$时，函数$f(x)＄在区间$（a,b)＄内单调递减。

2、奇偶性奇偶性是函数的另一个重要性质。

若对于函数$f(x)＄定义域内的任意一个$x$，都有$f(x) ＝ f(x)＄，则称$f(x)＄为偶函数；若对于函数$f(x)＄定义域内的任意一个$x$，都有$f(x) ＝ f(x)＄，则称$f(x)＄为奇函数。

判断函数奇偶性的一般步骤为：首先确定函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，则函数既不是奇函数也不是偶函数；如果对称，再判断$f(x)＄与$f(x)＄的关系。

3、周期性对于函数$f(x)＄，如果存在一个不为零的常数$T$，使得当$x$取定义域内的每一个值时，＄f(x ＋ T) ＝ f(x)＄都成立，那么就把函数$y＝ f(x)＄叫做周期函数，周期为$T$。

常见的周期函数如正弦函数、余弦函数等。

4、对称性函数的对称性包括轴对称和中心对称。

高中数学专题：函数的基本性质

1 / 11高中数学专题：函数的基本性质探考情悟真题【考情探究】分析解读 1.函数的单调性是函数的一个重要性质,是高考的常考内容,例如判断或证明函数的单调性,求单调区间,利用单调性求参数的取值范围,利用单调性解不等式.考题既有选择题与填空题,又有解答题,既有容易题和中等难度题,也有难题.2.函数的奇偶性在高考中也时有出现,主要考查奇偶性的判定以及与周期性、单调性相结合的题目,这类题目常常结合函数的图象进行考查.3.函数的周期性,单独考查较少,一般与奇偶性综合在一起考查,主要考查函数的求值问题,以及三角函数的最小正周期等.4.预计高考试题中,仍会对函数的性质进行重点考查,复习时应高度重视.破考点练考向【考点集训】考点一函数的单调性与最值1.下列函数中,在(0,+∞)上是增函数的是( )A.y=(12)|x|B.y=|ln x|C.y=x 2+2|x|D.y=|x -1x |答案 C2 / 112.若函数f(x)=lo g 12(x 2+ax+6)在[-2,+∞)上是减函数,则a 的取值范围为( ) A.[4,+∞) B.[4,5) C.[4,8) D.[8,+∞)答案 B3.下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是( )A.y=x 12B.y=2-xC.y=lo g 12xD.y=1x答案 A考点二函数的奇偶性与周期性1.已知函数y=f(x)+cos x 是奇函数,且f (π3)=1,则f (-π3)=( )A.-2B.-1C.1D.2答案 A2.已知a,b ∈R,则“a>|b|”是“a ·2a -12a +1>b ·2b -12b +1”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 A炼技法提能力【方法集训】方法1 判断函数单调性的方法1.定义在R 上的偶函数f(x)满足:对任意的x 1,x 2∈(-∞,0](x 1≠x 2),有(x 2-x 1)·[f(x 2)-f(x 1)]>0.则当n ∈N *时,有()A.f(-n)<f(n-1)<f(n+1)B.f(n-1)<f(-n)<f(n+1)C.f(n+1)<f(-n)<f(n-1)D.f(n+1)<f(n-1)<f(-n)答案C2.对于函数y=f(x),若存在区间[a,b],当x∈[a,b]时的值域为[ka,kb](k>0),则称y=f(x)为k倍值函数,若f(x)=ln x+x 是k倍值函数,则实数k的取值范围是.答案(1,1+1)e方法2判断函数奇偶性的方法1.下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是()A.y=√1+x2B.y=x+1xD.y=x+e xC.y=2x+12x答案D2.已知f(x),g(x)都是定义在R上的函数,且f(x)为奇函数,g(x)的图象关于直线x=1对称,则下列四个命题中,错误的是()A.y=g(f(x)+1)为偶函数B.y=g(f(x))为奇函数C.函数y=f(g(x))的图象关于直线x=1对称D.y=f(g(x+1))为偶函数答案B3 / 113.设函数f(x)=2+b(a>0且a≠1),则函数f(x)的奇偶性()a-1A.与a无关,且与b无关B.与a有关,且与b有关C.与a有关,且与b无关D.与a无关,但与b有关答案D方法3函数周期性的解题方法1.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(1-x)=f(1+x)且f(1)=2,则f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2018)=()A.-2B.0C.2D.2018答案C2.已知定义在R上的函数f(x)满足f(2-x)=-f(x),且f(x-2)=f(-x),当x∈(-1,1)时,f(x)=x2+1,则f(2020)=()A.-1B.0C.1D.2答案A【五年高考】A组自主命题·浙江卷题组已知a∈R,函数f(x)=|x+4-a|+a在区间[1,4]上的最大值是5,则a的取值范围是.x答案(-∞,9]2B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一函数的单调性与最值4 / 111.下列函数中,以π2为周期且在区间(π4,π2)单调递增的是()A.f(x)=|cos2x|B.f(x)=|sin2x|C.f(x)=cos|x|D.f(x)=sin|x|答案A2.设f(x)是定义域为R的偶函数,且在(0,+∞)单调递减,则()A.f(log314)>f(2-32)>f(2-23)B.f(log314)>f(2-23)>f(2-32)C.f(2-32)>f(2-23)>f(log314)D.f(2-23)>f(2-32)>f(log314)答案C3.设函数f(x)=e x+ae-x(a为常数).若f(x)为奇函数,则a=;若f(x)是R上的增函数,则a的取值范围是.答案-1;(-∞,0]4.能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立,则f(x)在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是.答案f(x)=sin x,x∈[0,2](答案不唯一)5.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)>f(-√2),则a的取值范围是.5 / 11答案(12,3 2 )考点二函数的奇偶性与周期性1.设f(x)为奇函数,且当x≥0时,f(x)=e x-1,则当x<0时,f(x)=()A.e-x-1B.e-x+1C.-e-x-1D.-e-x+1答案D2.已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为()A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a答案C3.已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时,f(x)=x3-1;当-1≤x≤1时,f(-x)=-f(x);当x>12时,f(x+12)=f(x-12),则f(6)=()A.-2B.-1C.0D.2答案D4.下列函数为奇函数的是()A.y=√xB.y=|sin x|C.y=cos xD.y=e x-e-x答案D5.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x∈[-3,0]时,f(x)=6-x,则f(919)=.6 / 116.设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间[-1,1)上,f(x)={x+a,-1≤x<0,|25-x|,0≤x<1,其中a∈R.若f(-52)=f(92),则f(5a)的值是.答案-25C组教师专用题组1.函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是()A.[-2,2]B.[-1,1]C.[0,4]D.[1,3]答案D2.设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是()A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数答案C3.已知函数f(x)=ln(√1+x2-x)+1,f(a)=4,则f(-a)=.答案-24.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3+x2,则f(2)=.答案125.若函数f(x)=xln(x+√a+x2)为偶函数,则a=.7 / 116.已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,f(2)=0.若f(x-1)>0,则x的取值范围是. 答案(-1,3)【三年模拟】一、选择题(每小题4分,共32分)1.设不为1的实数a,b,c满足a>b>c>0,则()A.log c b>log a bB.log a b>log a cC.b a>b cD.a b>c b答案D2.下列函数中,既是奇函数又在R上具有单调性的是()A.y=x3B.y=cos xC.y=2|x|D.y=1x答案A3.已知函数f(x)=x|x|-2x,则有()A.f(x)是偶函数,递增区间为(0,+∞)B.f(x)是偶函数,递减区间为(-∞,1)C.f(x)是奇函数,递减区间为(-1,1)D.f(x)是奇函数,递增区间为(-∞,0)8 / 119 / 114.若∀m,n ∈N,有g(m+n)=g(m)+g(n)-3,则f(x)=x √1−x 2x 2+1+g(x)的最大值与最小值之和是( )A.4B.6C.8D.10答案 B5.函数f(x)=3x-x 3在区间(a 2-12,a)上有最小值,则实数a 的取值范围是( )A.(-1,√11)B.(-1,2]C.(-1,4)D.(-1,4]答案 B6.设f(x)=2x 2x+1,g(x)=ax+5-2a(a>0),若对任意x 1∈[0,1],总存在x 0∈[0,1],使得g(x 0)=f(x 1)成立,则a 的取值范围是( )A.[52,4]B.[4,+∞)C.(0,52]D.[52,+∞)答案 A7.定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足如下条件:(1)对任意的x 1,x 2∈(0,+∞)(x 1≠x 2),有f(x 1)-f(x 2)x 1-x 2>0;(2)对一切x>0,有f(x)+1x >0;(3)对任意的x ∈(0,+∞),有f(x)·f (f(x)+1x )=1.则f(1)的值是( )10 / 11A.1+√52B.1−√52C.1±√52D.-1+√52答案 B8.函数f(x)是定义在(-1,1)上的函数,且对任意x,y ∈(-1,1)均有f(x)-f(y)=f (x -y 1−xy ),f (12)=-1,且对任意x>0均有f(x)<0,则下列选项正确的是( )A.存在x 1x 2<0,使得f(x 1)f(x 2)>0B.f(x)为偶函数C.f (-18)>14D.对任意的ε>0,总存在x ∈(-1,1)使得|f(x)|>ε答案 D二、填空题(单空题4分,多空题6分,共24分)9.(命题标准样题,11)设f(x)=ln a -x 2+x 为奇函数,则a= .答案 210.若函数f(x)=x (x+2)(x -a)为奇函数,则实数a 的值为 ;且当x ≥4时, f(x)的最大值为 .答案 2;1311.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,则f (0)= ; 若当x>0时,f(x)=x 3+5,则f(-2)= . 答案 0;-1312.已知f(x)=ax x -x+1,若对任意的x ∈R,都有f(x)≤1恒成立,则实数a 的取值范围是 .答案[-3,1]13.已知函数f(x)=|√1−x2-ax-b|(a,b∈R),当x∈[0,1]时,设f(x)的最大值为M(a,b),则M(a,b)的最小值为.答案√2-1211 / 11。

2024新高考数学总复习函数及其性质

函数f(x)的定义域关于原点对称
奇偶性奇函数偶函数
满足的充要条件
图象特征
对定义域中任意的x,都关于原点对称有f(-x)=-f(x)
对定义域中任意的x,都关于y轴对称有f(-x)=f(x)
注意:既是奇函数又是偶函数的函数是f(x)=0,x∈D.其中定义域D是关于原点对称的非空数集.
1 x
在[1,+∞)上单调递增,∴x-
1 x
≥0,∴0<
x
1 1
1
≤1,∴1<g(x)
x
≤2,∴f(x)的定义域为(1,2].(g(x)的值域即为f(x)的定义域)
答案 (1,2]
考法二函数解析式的求法 1.待定系数法.已知函数的类型(如一次函数、二次函数),比如二次函数可设为f(x)=ax2+bx+c(a≠0),其中a、b、c是待定系数,根据题设条件,列出方程组,解出待定系数即可. 2.换元法.已知f[h(x)]=g(x),求f(x)时,往往可设h(x)=t,从中解出x,代入g(x)进行换元,便可求解.要注意新元的取值范围. 3.配凑法.已知f[h(x)]=g(x),求f(x)的问题,往往把右边的g(x)整理或配凑成只含h(x)的式子,用x将h(x)代换. 4.解方程组法.已知f(x)满足某个等式,这个等式除f(x)是未知量外,还有其
综合篇
考法一函数定义域的求法 1.求给定解析式的函数的定义域以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则,列出不等式(组)求解.对于实际问题,既要使解析式有意义,又要使实际问题有意义. 2.求某些抽象函数的定义域 1)若函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f[g(x)]的定义域由a≤g(x)≤b求出; 2)若函数f[g(x)]的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域. 3.求用解析式表示的函数定义域的常见类型如下: 1)若f(x)是整式,则f(x)的定义域是R.

函数的概念(试题部分)

专题三函数的概念、性质与根本初等函数【考情探究】课标解读考情分析备考指导主题内容一、函数的概念1.了解函数三要素及分段函数,会求简单函数的定义域、值域.2.会根据不同需要选择恰当方法表示函数.1.常以根本函数或由根本函数组合的函数为臷体,考查函数的定义域、值域,函数的表示方法及性质,图象.2.常与导数、不等式、方程知识交汇命题,考查数形结合、分类讨论、转化与化归,函数与方程思想方法.3.根据实际问题,建立函数模型或用模型解决实际问题,考查建模及应用能力.1.高考对本专题的考查依然是根底与能力并存,函数性质、零点问题是本专题的重点考查内容.2.以函数性质为主,常以指数函数、对数函数为载体,考查求函数值、比较大小,函数图象识辨及实际应用问题.二、函数的根本性质了解函数奇偶性、周期性的含义,理解函数单调性、最值及几何意义.三、二次函数与幂函数了解二次函数、幂函数的概念,理解二次函数图象并简单应用.四、指数与指数函数了解指数函数模型背景,实数指数幂的含义,理解有理指数幂的含义,指数函数的概念,单调性.掌握幂的运算,指数函数的图象.五、对数与对数函数理解对数的概念及运算性质,对数函数的概念及性质,掌握对数函数的图象经过的特殊点,会用换底公式.六、函数的图象理解描点法作图和图象变换.利用函数图象讨论函数性质.七、函数与方程了解函数零点与方程根的联系.八、函数模型及函数的综合应用了解函数模型的广泛应用,根本函数等不同函数类型的增长意义.【真题探秘】§3.1 函数的概念根底篇固本夯基【根底集训】考点一函数的有关概念1.设函数f(x)=lg(1-x),那么函数f(f(x))的定义域为( ) A.(-9,+∞) B.(-9,1) C.[-9,+∞) D.[-9,1) 答案 B2.以下函数为同一函数的是( )A.y=x 2-2x 和y=t 2-2t B.y=x 0和y=1C.y=√(x +1)2和y=x+1D.y=lg x 2和y=2lg x答案 A 3.函数f(x)=12-|x|+√x 2-1+(x-4)0的定义域为 .答案 {x|x<-2或-2<x ≤-1或1≤x<2或2<x<4或x>4}4.函数f(2x-1)的定义域为(-1,2),那么f(x)的定义域为 , f(2-3x)的定义域为 . 答案 (-3,3);(-13,53)考点二函数的表示方法5.以下列图象可以表示以M={x|0≤x ≤1}为定义域,以N={y|0≤y ≤1}为值域的函数是( )答案 C6.f(2x+1)=x 2-2x,那么f(x)= , f(3)= . 答案14x 2-32x+54;-1 7.假设函数f(x)={-x +8,x ≤2,log a x +5,x >2(a>0且a ≠1)的值域为[6,+∞),那么实数a 的取值范围是 .答案 (1,2]8.设函数f(x)={x 2+2x +2,x ≤0,-x 2,x >0.假设f(f(a))=2,那么a= .答案 √2综合篇知能转换【综合集训】考法一函数定义域的求法1.函数y=√1-log 2x 的定义域是( )A.(-∞,2]B.(0,2]C.(-∞,1]D.[1,2] 答案 B2.函数f(x)=ln(x 2-x)的定义域为( ) A.(0,1) B.[0,1]C.(-∞,0)∪(1,+∞)D.(-∞,0]∪[1,+∞) 答案 C3.函数y=f(x)的定义域是[0,2],那么g(x)=f(x 2)1+lg(x+1)的定义域是.答案 (-1,-910)∪(-910,√2] 考法二函数解析式的求法4.(2021广东珠海期中,4)f(x 5)=lg x,那么f(2)=( ) A.15lg 2 B.12lg 5 C.13lg 2 D.12lg 3 答案 A5.假设二次函数g(x)满足g(1)=1,g(-1)=5,且图象过原点,那么g(x)的解析式为( ) A.g(x)=2x 2-3x B.g(x)=3x 2-2x C.g(x)=3x 2+2x D.g(x)=-3x 2-2x 答案 B6.函数f(x)满足f(x)+2f(-x)=e x,那么函数f(x)的解析式为 . 答案 f(x)=23e -x-13e x7.函数f(x)=axx -1,假设f(x)+f (1x)=3,那么f(x)+f(2-x)= .答案 68.(2021河南南阳第一中学第二次考试,16)f(1-cos x)=sin 2x,那么f(x 2)的解析式为 . 答案 f(x 2)=-x 4+2x 2,x ∈[-√2,√2]考法三分段函数问题的解题策略9.(2021山西太原三中模拟,10)设函数f(x)={x 2-1(x ≥2),log 2x(0<x <2),假设f(m)=3,那么实数m 的值为( )A.-2B.8C.1D.2 答案 D10.实数a ≠0,函数f(x)={2x +a,x <1,-x -2a,x ≥1,假设f(1-a)=f(1+a),那么a 的值为( )A.-34B.34C.-35D.35答案 A11.(2021安徽合肥一模,3)函数f(x)={x +1x -2,x >2,x 2+2,x ≤2,那么f(f(1))=( ) A.-12B.2C.4D.11 答案 C12.函数f(x)={2x +1,x <1,x 2+ax,x ≥1,假设f(f(0))=4a,那么实数a 等于( )A.12B.45C.2D.9 答案 C13.(2021河南濮阳二模,5)假设f(x)={2x -3,x >0,g(x),x <0是奇函数,那么f(g(-2))的值为( )A.52B.-52C.1D.-1 答案 C14.(2021福建福州模拟,6)设函数f(x)={0,x ≤0,2x -2-x ,x >0,那么满足f(x 2-2)>f(x)的x 的取值范围是( )A.(-∞,-1)∪(2,+∞)B.(-∞,-√2)∪(√2,+∞)C.(-∞,-√2)∪(2,+∞)D.(-∞,-1)∪(√2,+∞) 答案 C【五年高考】考点一函数的有关概念1.(2021江苏,4,5分)函数y=√7+6x -x 2的定义域是 . 答案 [-1,7]2.(2021江苏,5,5分)函数f(x)=√log 2x -1的定义域为 . 答案 [2,+∞)考点二函数的表示方法3.(2021课标Ⅱ,5,5分)设函数f(x)={1+log 2(2-x), x <1,2x -1, x ≥1.那么f(-2)+f(log 212)=( )A.3B.6C.9D.12 答案 C4.(2021山东,10,5分)设函数f(x)={3x -1,x <1,2x,x ≥1.那么满足f(f(a))=2f(a)的a 的取值范围是( ) A.[23,1] B.[0,1] C.[23,+∞) D.[1,+∞) 答案 C5.(2021课标Ⅲ,15,5分)设函数f(x)={x +1,x ≤0,2x ,x >0,那么满足f(x)+f (x -12)>1的x 的取值范围是 . 答案 (-14,+∞)6.(2021江苏,9,5分)函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(x ∈R ),且在区间(-2,2]上, f(x)={cos πx2,0<x ≤2,|x+12|,-2<x ≤0, 那么f(f(15))的值为 . 答案√22教师专用题组考点一函数的有关概念1.(2021山东,3,5分)函数f(x)=1(log 2x)-1的定义域为( )A.(0,12)B.(2,+∞)C.(0,12)∪(2,+∞) D.(0,12]∪[2,+∞) 答案 C2.(2021江西,3,5分)函数f(x)=5|x|,g(x)=ax 2-x(a ∈R ).假设f[g(1)]=1,那么a=( ) A.1 B.2 C.3 D.-1 答案 A3.(2021大纲全国,4,5分)函数f(x)的定义域为(-1,0),那么函数f(2x+1)的定义域为( ) A.(-1,1) B.(-1,-12) C.(-1,0) D.(12,1) 答案 B考点二函数的表示方法4.(2021福建,7,5分)函数f(x)={x 2+1,x >0,cosx,x ≤0,那么以下结论正确的选项是( )A.f(x)是偶函数B.f(x)是增函数C.f(x)是周期函数D.f(x)的值域为[-1,+∞) 答案 D5.(2021浙江,10,6分)函数f(x)={x +2x-3, x ≥1,lg(x 2+1), x <1,那么f(f(-3))= , f(x)的最小值是 .答案 0;2√2-36.(2021浙江,15,4分)设函数f(x)={x 2+x, x <0,-x 2, x ≥0.假设f(f(a))≤2,那么实数a 的取值范围是 .答案 (-∞,√2]7.(2021四川,12,5分)设f(x)是定义在R 上的周期为2的函数,当x ∈[-1,1)时, f(x)={-4x 2+2,-1≤x <0,x,0≤x <1,那么f (32)= . 答案 1【三年模拟】一、单项选择题(每题5分,共45分)1.(2021届山东单县五中10月月考,4)函数y=√-x 2-x+2lnx的定义域为( )A.(-2,1)B.[-2,1]C.(0,1)D.(0,1] 答案 C2.(2021届四川双流中学9月月考,3)设函数f(x)={4x -1,x ≤0,log 2x,x >0,那么f(f(1))=( )A.0B.1C.2D.3 答案 A3.(2021届湖北“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟〞联考,7)函数f(x)={(12)x -7,x <0,log 2(x +1),x ≥0,假设f(a)<1,那么实数a 的取值范围是( )A.(-∞,-3)∪[0,1)B.(-3,0)∪(0,1)C.(-3,1)D.(-∞,-3)∪(1,+∞) 答案 C4.(2021届山东枣庄八中10月月考,2)函数f(x)的图象如下列图,设集合A={x|f(x)>0},B={x|x 2<4},那么A ∩B=( )A.(-2,-1)∪(0,2)B.(-1,1)C.(-2,-1)∪(1,2)D.(-∞,3) 答案 C5.(2021届河南南阳一中第一次月考,6)函数f(x)满足f (1x )+1xf(-x)=2x(x ≠0),那么f(-2)=( ) A.-72 B.-92 C.72 D.92答案 C6.(2021山东菏泽模拟,5)函数f(x)=log 2x 的值域是[1,2],那么函数φ(x)=f(2x)+f(x 2)的定义域为( ) A.[√2,2] B.[2,4] C.[4,8] D.[1,2] 答案 A7.(2021山东师范大学附中二模,3)函数f(x)={(1-2a)x +3a(x <1),lnx(x ≥1)的值域为R ,那么实数a 的取值范围是( )A.(-∞,-1)B.[12,1] C.[-1,12) D.(0,12) 答案 C8.(2021届重庆万州第二高级中学第一次月考,10)假设函数y=f(x)的值域是[1,3],那么函数F(x)=1-f(x+3)的值域是( ) A.[-8,-3] B.[-5,-1] C.[-2,0] D.[1,3] 答案 C9.(2021安徽安庆模拟,4)假设函数y=f(x)的图象的一局部如图(1)所示,那么图(2)中的图象所对应的函数解析式可以是( )A.y=f (2x -12) B.y=f(2x-1) C.y=f (12x -12) D.y=f (12x -1) 答案 B二、多项选择题(每题5分,共15分)10.(改编题)设集合M={x|0≤x ≤2},N={y|0≤y ≤2},那么下面的4个图形中,能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有( )答案 BC11.(改编题)以下各组函数中,不表示同一函数的是( ) A.f(x)=e ln x,g(x)=xB.f(x)=x 2-4x+2,g(x)=x-2 C.f(x)=sin2x2cosx,g(x)=sin xD.f(x)=|x|,g(x)=√x 2 答案 ABC12.(改编题)f(x)={log 3x,x >0,a x +b,x ≤0且f(0)=2, f(-1)=3,那么( )A.a=12,b=1 B.f(f(-3))=2 C.a=1,b=12D.f(f(-3))=12答案 AB三、填空题(每题5分,共25分)13.(2021广东深圳期末,14)一次函数f(x)是减函数,且满足f[f(x)]=4x-1,那么f(x)= . 答案 -2x+114.(2021届山西平遥中学月考,13)函数f(x)={log 2(1-x),x <1,3x -10,x ≥1,假设f(x)=-1,那么x= .答案12或215.(2021届四川高三第一次诊断性测试,15)函数f(x)={2-x -2,x ≤0,f(x -2)+1,x >0,那么f(2 019)= .答案 1 01016.(2021河北石家庄月考,15)函数f(x)=2x+1与函数y=g(x)的图象关于直线x=2成轴对称图形,那么函数y=g(x)的解析式为 . 答案 g(x)=9-2x17.(改编题)函数f(x)={(lnx)2+alnx +b(x >0),e x +12(x ≤0).假设f(e 2)=f(1), f(e)=43f(0),那么a,b 的值为 , ;函数f(x)的值域为 . 答案 -2;3;(12,32]∪[2,+∞)。

高中数学函数的性质及相关题目解析

高中数学函数的性质及相关题目解析函数是数学中的重要概念，也是高中数学中的重点内容之一。

理解函数的性质对于学生来说至关重要，不仅可以帮助他们掌握基本的数学知识，还能提高解题的能力。

在本文中，我将重点讨论函数的性质，并通过具体题目的解析来说明相关考点和解题技巧。

一、函数的定义和性质函数可以理解为两个集合之间的对应关系，即每一个自变量都对应唯一的因变量。

函数的定义通常以符号表示，例如：$y=f(x)$，其中$x$为自变量，$y$为因变量，$f$为函数名。

函数的性质包括定义域、值域、奇偶性、单调性等。

1. 定义域和值域函数的定义域是指自变量的取值范围，而值域是指因变量的取值范围。

例如，对于函数$y=\sqrt{x}$，其定义域为$x\geq 0$，值域为$y\geq 0$。

理解函数的定义域和值域有助于解决函数的合法性问题和确定函数的取值范围。

2. 奇偶性函数的奇偶性是指函数图像关于坐标轴的对称性。

如果对于任意$x$，有$f(-x)=f(x)$，则函数为偶函数；如果对于任意$x$，有$f(-x)=-f(x)$，则函数为奇函数。

例如，函数$y=x^2$为偶函数，函数$y=x^3$为奇函数。

理解函数的奇偶性可以简化函数的计算和图像的绘制。

3. 单调性函数的单调性是指函数图像在定义域上的增减性。

如果对于任意$x_1<x_2$，有$f(x_1)<f(x_2)$，则函数为增函数；如果对于任意$x_1<x_2$，有$f(x_1)>f(x_2)$，则函数为减函数。

例如，函数$y=x^2$在定义域$x\geq 0$上为增函数，函数$y=-x^2$在定义域上为减函数。

理解函数的单调性有助于解决不等式和优化问题。

二、相关题目解析1. 题目：已知函数$f(x)=2x^2-3x+1$，求函数的定义域和值域。

解析：首先，我们需要确定函数的定义域。

由于函数中存在平方项，所以$2x^2-3x+1$的值不会小于0。

专题05 函数的对称性、周期性及其应用-备战2019年高考数学之高三复习大一轮热点聚焦与扩展(解析版)

专题05 函数的对称性、周期性及其应用【热点聚焦与扩展】高考对函数性质的考查往往是综合性的，如将奇偶性、周期性、单调性及函数的零点综合考查，因此，复习过程中应注意在掌握常见函数图象和性质的基础上，注重函数性质的综合应用的演练.（一）函数的对称性1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称2、轴对称的等价描述：（1）()()f a x f a x -=+⇔()f x 关于x a =轴对称（当0a =时，恰好就是偶函数）（2）()()()f a x f b x f x -=+⇔关于2a b x +=轴对称在已知对称轴的情况下，构造形如()()f a x f b x -=+的等式只需注意两点，一是等式两侧f 前面的符号相同，且括号内x 前面的符号相反；二是,a b 的取值保证2a b x +=为所给对称轴即可。

例如：()f x 关于1x =轴对称()()2f x f x ⇒=-，或得到()()31f x f x -=-+均可，只是在求函数值方面，一侧是()f x 更为方便（3）()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a +=-+，进而可得到：()f x 关于x a =轴对称.① 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在()f x a +中，x 仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的x 取相反数时，函数值相等，即()()f x a f x a +=-+，要与以下的命题区分：若()f x 是偶函数，则()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦：()f x 是偶函数中的x 占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦② 本结论也可通过图像变换来理解，()f x a +是偶函数，则()f x a +关于0x =轴对称，而()f x 可视为()f x a +平移了a 个单位（方向由a 的符号决定），所以()f x 关于x a =对称. 2、中心对称的等价描述：（1）()()f a x f a x -=-+⇔()f x 关于(),0a 中心对称（当0a =时，恰好就是奇函数）（2）()()()f a x f b x f x -=-+⇔关于,02a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称在已知对称中心的情况下，构造形如()()f a x f b x -=-+的等式同样需注意两点，一是等式两侧f 和x 前面的符号均相反；二是,a b 的取值保证2a b x +=为所给对称中心即可。

【高中教育】最新高考数学考点解读+命题热点突破专题05函数﹑基本初等函数的图像与性质理

——教学资料参考参考范本——【高中教育】最新高考数学考点解读+命题热点突破专题05函数﹑基本初等函数的图像与性质理______年______月______日____________________部门【考向解读】1.高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下.2.对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题.3.对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合一起考查，既有具体函数也有抽象函数.常以选择题、填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，难度较大.【命题热点突破一】函数的性质及应用1．单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．2．奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y 轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性．3．周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数在其定义域上满足f(a ＋x)＝f(x)(a 不等于0)，则其一个周期T ＝|a|.例1、.【20xx 年高考四川理数】已知函数是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，，则= .()f x ()4xf x =5()(1)2f f -+【答案】-2【解析】因为函数是定义在R上的周期为2的奇函数，所以()f x(1)(1),(1)(12)(1)f f f f f-=--=-+=，所以，即，，所以.(1)(1)f f-=(1)0 f=125111()(2)()()422222f f f f-=--=-=-=-=-5()(1)22f f-+=-【感悟提升】(1)可以根据函数的奇偶性和周期性，将所求函数值转化为给出解析式的范围内的函数值．(2)利用函数的单调性解不等式的关键是化成f(x1)<f(x2)的形式．【变式探究】(1)若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝________.(2)已知实数x，y满足ax＜ay(0＜a＜1)，则下列关系式恒成立的是( )A.＞B.ln(x2＋1)＞ln(y2＋1)C.sin x＞sin yD.x3＞y3(3)设f(x)＝(a∈R)的图象关于直线x＝1对称，则a的值为( )A.－1B.1C.2D.3【答案】(1)1 (2)D (3)C【命题热点突破二】函数图象及应用1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点．例2、【20xx 高考新课标1卷】函数在的图像大致为22xy x e =-[]2,2-（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】D【解析】函数f(x)=2x2–e|x|在[–2,2]上是偶函数，其图像关于轴对称，因为，所以排除A 、B 选项；当时，有一零点，设为，当时，为减函数，当时，为增函数．故选D 。

高考数学总复习专题函数的概念以及表示试题含解析

专题2.1 函数的概念及其表示【三年高考】1.12016江苏高考6】函数丫=43- 2x- x2的定义域是▲.【答案】3,1【解析】试题分析：要使函数式有意义，必有3 2x x2 0,即x2 2x 3 0,解得3 x 1.故答案应填：3,1【考点】函数定义域【名师点睛】函数定义域的考查，一般是多知识点综合考查，先“列”后“解”是常规思路.列式主要从分母不为零、偶次根式下被开方数非负、对数中真数大于零等出发，而解则与一元二次不等式、指（对）数不等式、三角不等式等联系在一起^2.12016江苏高考17】现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥P A1B1C1D1,下部分的形状是正四棱柱ABCD AB1G D1 （如图所示），并要求正四棱柱的高OO1是正四棱锥的高PO1的4倍.（1）若AB 6 m, PO1 2 m,则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为6m ,则当PO1为多少时，仓库的容积最大？A B【答案】（1） 312 （2） PO1 273【解析】试题分析：（1）明确柱体与锥体积公式的区别，分别代入对应公式求解；（2）先根据体积关系建立函数解析式，VV 锥V 柱 ±6 36h h 30 h 6,然后利用导数求其最值.3试题解析：解：（1）由尸5=2知因为月1产以8=&>所以正四棱锥尸一话1C 山1的体积/= ； ,，声:，尸&二g 乂 6, x 2 = 24（n?）;正四棱柱 ABCD-AiBiCiDi 的体积 %=加，001 =62xB = 2£S （m ）所以仓库的各积片厂计歹广24+282=312 （m 曾.从而 V′2636 3h 226 12 h 2.3令V' 0,得h 26或h2褥（舍）.当0 h 2d 3时，V' 0 , V 是单调增函数；当2百 h 6时，V' 0, V 是单调减函数. 故h 28时，V 取得极大值，也是最大值. 因此，当PO 1 2J 3 m 时，仓库的容积最大.【考点】函数的概念、导数的应用、棱柱和棱锥的体积【名师点睛】对应用题的训练，一般从读题、审题、剖•析题目、寻找切入点等方面进行强化，注重培养将文字语言转化为数学语言的能力，强化构建数学模型的几种方法.而江苏高考的应用题往往需结合导数知识解决相应的最值问题，因此掌握利用导数求最值方法是一项基本要求，需熟练掌握.(2)设 AB=a(m) , PO=h(m),则 0Vh<6,因为在 Rt^ PO 1B 1 中，OB2PO 12一 2即 a 2 36于是仓库的容积V V 柱一 2・V 锥 a 4h OO=4h.连ZO OB.PBi ；h 2 .-a 2 h —a 2h — 36h h 3 0 h 6 , 3 3 3则a 的值为。

数学高考函数深度解析

数学高考函数深度解析函数是数学中的基础概念之一，也是高考中常见的考点。

了解函数的性质和应用是高考数学中的关键，本文将深度解析高考数学函数考点，帮助同学们更好地掌握函数知识。

1. 函数的定义与性质函数是指两个集合之间的对应关系。

设有两个集合A和B，如果对A中的每一个元素a，在B中都有唯一确定的元素与之对应，那么我们就称这种对应为函数。

在函数中，A称为定义域，B称为值域。

函数通常用f(x)或者y表示。

函数有几个重要的性质：1.1 单调性：函数的单调性分为增函数和减函数两种。

增函数指的是在定义域上，函数值随自变量的增大而增大；减函数指的是在定义域上，函数值随自变量的增大而减小。

1.2 奇偶性：函数的奇偶性是指函数关于y轴对称或者不对称的性质。

奇函数满足f(-x)=-f(x)，即函数关于原点对称；偶函数满足f(-x)=f(x)，即函数关于y轴对称。

1.3 周期性：如果存在一个正数T，使得对于定义域上任意的x，有f(x+T)=f(x)，那么函数就是周期函数，T称为函数的周期。

2. 常见函数及其特点2.1 一次函数：一次函数是指形如f(x)=ax+b的函数，其中a和b是常数且a不等于零。

一次函数的图像是一条直线，其特点是具有确定的斜率和截距。

2.2 二次函数：二次函数是指形如f(x)=ax^2+bx+c的函数，其中a、b和c是常数且a不等于零。

二次函数的图像是一条抛物线，其特点是顶点坐标的确定和开口方向的判断。

2.3 指数函数：指数函数是指形如f(x)=a^x的函数，其中a是一个大于0且不等于1的常数。

指数函数的图像与直线y=0，y=1以及x轴围成的区域有关，其特点是随着自变量的增大，函数值呈现指数级增长或者指数级减小。

2.4 对数函数：对数函数是指形如f(x)=loga(x)的函数，其中a是一个大于0且不等于1的常数。

对数函数的图像与指数函数的图像呈镜像关系，其特点是定义域的确定和值域的判断。

3. 函数的应用函数在实际问题中具有广泛的应用，下面以两个典型的例子来说明函数在实际中的应用。

函数的性质——奇偶性、单调性、周期性

第三节函数的性质——奇偶性、单调性、周期性考纲解读1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义，会利用单调性解决函数的最值问题.2.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.3.会利用函数的图像理解和研究函数的性质.命题趋势研究有关函数性质的高考试题，考查重点是求函数的单调区间，利用函数单调性求函数的最值（值域）、比较大小及求解函数不等式.函数奇偶性的判断及其应用是常考知识点，常与函数的单调性、周期性、对称性、最值等结合综合考查.知识点精讲函数奇偶性定义设D D x x f y (),(∈=为关于原点对称的区间），如果对于任意的D x ∈，都有)()(x f x f =-，则称函数)(x f y =为偶函数；如果对于任意的D x ∈，都有)()(x f x f -=-，则称函数)(x f y =为奇函数.性质(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.(2)奇偶函数的图象特征.函数)(x f 是偶函数⇔函数)(x f 的图象关于y 轴对称；函数)(x f 是奇函数⇔函数)(x f 的图象关于原点中心对称.(3)若奇函数)(x f y =在0=x 处有意义，则有0)0(=f ；偶函数)(x f y =必满足|)(|)(x f x f =.(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.(5)若函数)(x f 的定义域关于原点对称，则函数)(x f 能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记)]()([21)(x f x f x g -+=，)]()([21)(x f x f x h --=，则)()()(x h x g x f +=. (6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如)()(),()(),()(),()(x g x f x g x f x g x f x g x f ÷⨯-+.对于运算函数有如下结论：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；奇)(÷⨯奇=偶；奇)(÷⨯偶=奇；偶)(÷⨯偶=偶.（7）复合函数)]([x g f y =的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.函数的单调性定义一般地，设函数)(x f 的定义域为D ，区间D M ⊆，若对于任意的M x x ∈21,，当21x x <时，都有)()(21x f x f <（或)()(21x f x f >），则称函数)(x f 在区间M 上是单调递增（或单调递减）的，区间M 为函数)(x f 的一个增（减）区间.注：定义域中的M x x ∈21,具有任意性，证明时应特别指出“对于任意的M x x ∈21,”. 单调性是针对定义域内的某个区间讨论的.熟练掌握增、减函数的定义，注意定义的如下两种等价形式：设],[,21b a M x x =∈且21x x <，则)(0)()(2121x f x x x f x f ⇔>--在],[b a 上是增函数⇔过单调递增函数图象上任意不同两点的割线的斜率恒大于零⇔0)]()()[(2121>--x f x f x x . )(0)()(2121x f x x x f x f ⇔<--在],[b a 上是减函数⇔过单调递减函数图象上任意不同两点的割线的斜率恒小于零⇔0)]()()[(2121<--x f x f x x .性质对于运算函数有如下结论：在公共区间上，增+增=增；减+减=减；增-减=增；减-增=减. 一般地，对于乘除运算没有必然的结论.如“增×增=增”不一定成立；“若)(x f 为增函数，则)(1x f 为减函数”也是错误的.如)0,()(≠∈=x R x x x f ，则xx f y 1)(1==为减函数是不正确的，但若具备如下特殊要求，则结论成立:若)(x f 为增函数，且(0)(>x f 或)(x f 0<），则)(1x f 为减函数. 若)(x f 为减函数，且(0)(>x f 或)(x f 0<），则)(1x f 为增函数. 复合函数的单调性复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数.函数的周期性定义设函数))((D x x f y ∈=，如存在非零常数T ，使得对任何D T x D x ∈+∈,，且)()(x f T x f =+，则函数)(x f 为周期函数，T 为函数的一个周期.若在所有的周期中存在一个最小的正数，则这个最小的正数叫做最小正周期.注：函数的周期性是函数的“整体”性质，即对于定义域D 中的任何一个x ，都满足)()(x f T x f =+；若)(x f 是周期函数，则其图像平移若干整数个周期后，能够完全重合. 性质若)(x f 的周期为T ，则)0,(≠∈n Z n nT 也是函数)(x f 的周期，并且有)()(x f nT x f =+. 有关函数周期性的重要结论（如表所示） ()()()()211();()2()()()()2()()4()()2()()()()()2()()()2()()()(x R f x T f x T f x T f x T f x T f x T T f x f x f x T f x T T f x T f x T T f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x a f x f a x f a x b a f b x f b x f a ∈+=+=-+=+=-+=-+=--+=-⎧-⎨+=-⎩+=-⎧⎨⎩+=--⎧-⎨+=--⎩函数式满足关系（）周期为偶函数)()2()()()4()()()()()4()()()4()x f a x a f x f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x a f x f a x f a x a f x +=--⎧⎨⎩+=-⎧-⎨+=--⎩+=-⎧⎨⎩+=--⎧⎨⎩为奇函数为奇函数为偶函数函数的的对称性与周期性的关系（1）若函数)(x f y =有两条对称轴)(,b a b x a x <==，则函数)(x f 是周期函数，且)(2a b T -=；（2）若函数)(x f y =的图象有两个对称中心))(,(),,(b a c b c a <，则函数)(x f y =是周期函数，且)(2a b T -=；（3）若函数)(x f y =有一条对称轴a x =和一个对称中心))(0,(b a b <，则函数)(x f y =是周期函数，且)(4a b T -=.题型归纳及思路提示题型16 函数的奇偶性思路提示：判断函数的奇偶性，常用以下两种方法：（1）定义法.①首先看定义域是否关于原点对称；②若)()(x f x f -=-，则函数)(x f 为奇函数；若)()(x f x f =-，则函数)(x f 为偶函数.（2）图像法.根据函数图像的对称性进行判断，若函数)(x f 的图像关于原点中心对称，则)(x f 为奇函数；若函数)(x f 的图像关于y 轴对称，则)(x f 为偶函数.【例2.25】判断下列函数的奇偶性.（1）3|3|36)(2-+-=x x x f ；（2）11)(22-+-=x x x f ；（3）)1(log )(22++=x x x f ；（4）2|2|)1(log )(22---=x x x f ；（5）⎩⎨⎧>+-<+=)0()0()(22x x x x x x x f .评注利用定义判断函数的奇偶性要注意以下几点：①首先必须判断)(x f 的定义域是否关于原点对称.若不关于原点对称，则是非奇非偶函数.若关于原点对称，则对定义域任意x 说明满足定义.若否定奇偶性只需有一个自变量不满足. ②有些函数必须根据定义域化简解析式后才可判断，否则可能无法判断或判断错误，如本例（2），若不化简可能误判为偶函数，而本例（4）可能误判为非奇非偶函数.③本例（3）若用奇偶性的等价形式，则01l o g )1(l o g )1(l o g )()(22222==+++-+=+-x x x x x f x f ，即)()(x f x f -=-，故)(x f 为奇函数，显然，等价形式的整理较定义法更为容易.这提醒我们，在函数解析式较复杂时，有时使用等价形式来判断奇偶性较为方便.变式1：判断下列函数的奇偶性.（1）xx x x f -+-=11)1()(；（2）24|3|3)(x x x f -+-=；（3）⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤--<+=)1(2)11(0)1(2)(x x x x x x f ；（4）|2||2|)(++-=x x x f .变式2：已知函数2lg )2lg()(2-++=x x x f ，试判断其奇偶性.【例2.26】已知函数),0()(2R x x xa x x f ∈≠+=，试判断其奇偶性.评注 ①函数)(x f 是奇函数⇔0)()(=-+x f x f ；函数)(x f 是偶函数0)()(=--⇔x f x f .奇偶函数的前提是函数的定义域关于原点对称.②若要说明一个函数为非奇非偶函数，可以举一个反例.③本题的结论还可以借用运算函数的的奇偶性的规律获得，已知函数是一个由2x 与x a 通过加法法则运算得到的函数，而2x y =为偶函数，)0(≠=a xa y 为奇函数，故当0≠a 时，)(x f 为“偶+奇”形式，故为非奇非偶函数；当0=a 时，则2)(x x f =为偶函数.变式1：函数)()1221()(x f x F x ⋅-+=是偶函数，并且)(x f 不等于零，则)(x f 是（） A.奇函数 B.偶函数 C.既奇又偶函数 D.非奇非偶函数变式2：对于函数R x x f y ∈=),(，“|)(|x f y =的图象关于y 轴对称”是“)(x f 是奇函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【例 2.27】定义在实数集上的函数)(x f ，对任意R y x ∈,都有)()(2)()(y f x f y x f y x f =-++，且0)0(≠f ，试判断)(x f 的奇偶性.评注对于抽象函数奇偶性的判断，常通过赋值法（如令1,1,0-=x 等）凑成含有)(x f 与)(x f -的关系的式子，然后进行判断.变式1：已知函数)(x f 在R 上有定义，且对任意R y x ∈,都有)()()(y f x f y x f +=+，试判断)(x f 的奇偶性.变式2：若定义在R 上的函数)(x f 满足对任意R x x ∈21,有1)()()(2121++=+x f x f x x f ，则下列说法正确的是（）A.)(x f 是奇函数B.)(x f 是偶函数C.)(x f +1为奇函数D.)(x f +1为偶函数变式3：已知函数)(x f 在)1,1(-上有定义，且对任意)1,1(,-∈y x 都有)1()()(xyy x f y f x f ++=+，试判断函数)(x f 的奇偶性.变式4：已知)(x f ，)(x g 在R 上有定义，对任意的R y x ∈,，有)()()()()(y f x g y g x f y x f -=-，且0)1(≠f .(1)求证：)(x f 为奇函数；(2)若)2()1(f f =，求)1()1(-+g g 的值.【例 2.28】已知偶函数1)1()(23++-=mx x a x f 的定义域为),83(2m m m --，则=+a m 2______________.变式1：若函数))(12()(a x x x x f -+=为奇函数，则=a （） 21.A 32.B 43.C 1.D变式2：若函数)2(log )(22a x x x f a ++=是奇函数，则=a _____________.变式3：若a x f x +-=121)(是奇函数，则=a _____________.变式4：函数k k k x f x x(212)(⋅+-=为常数）为其定义域上的奇函数，则=k ____________.变式5：函数)1)(11(log )(>--=a x kx x f a 为其定义域上的奇函数，则=k __________.【例2.29】已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，当)0,(-∞∈x 时，4)(x x x f -=，则当),0(+∞∈x 时，)(x f =_______________.评注解此类题分三步：第一步将所求解析式自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范围；第2步将转化后的自变量代入已知解析式；第3步利用函数的奇偶性求出解析式.变式1：已知函数)(x f 为R 上的奇函数，且当0>x 时，2)(x x x f -=，求函数)(x f 的解析式.【例 2.30】已知)(x f 为定义域是关于原点对称区间上的函数，求证：)(x f 一定可以写成一个奇函数与一个偶函数之和的形式. 变式1：已知定义在R上的奇函数)(x f 和偶函数)(x g 满足)1,0(2)()(≠>+-=+-a a a a x g x f x x .若a g =)2(，则)2(f =（）2.A 415.B 417.C 2.a D变式2：设函数)(x f 和)(x g 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论正确的是（） A.|)(|)(x g x f +是偶函数 |)(|)(.x g x f B -是奇函数)(|)(|.x g x f C +是偶函数 )()(|.x g x f D -是奇函数【例2.31】函数)(1sin )(3R x x x x f ∈++=，若2)(=a f ，则)(a f -的值为（） 3.A 0.B 1.-C 2.-D评注本题中虽然函数整体没有奇偶性，但可利用局部的奇偶性求解，尤其是当)(x f 为奇函数时，0)()(=+-x f x f ，特别地0)()(max min =+x f x f .变式1：对于函数c bx x a x f ++=sin )(（其中Z c R b a ∈∈,,），选取c b a ,,的一组计算)1(f 和)1(-f ，所得出的正确结果一定不可能是（）A.4和6B.3和1C.2和4D.1和2变式2：已知函数),(4sin )(3R b a x b ax x f ∈++=，5))10(lg(log 2=f ，则=))2(lg(lg f ( )A.5-B.5-C.3D.4变式3：设函数1sin )1()(22+++=x xx x f 的最大值为M ，最小值为m ，则.______=+n M题型17 函数的单调性（区间）思路提示判断函数的单调性一般有四种方法：定义法、图像法、复合函数单调性法和导数法. 【例2.32】求证：函数)0()(>+=a xax x f 在),[+∞a 上是增函数.评注利用函数单调性的定义判定时，其步骤为：（1）取值；（2）作差比较；（3）定量；（4）判断.解题时注意所设的21,x x 在区间内须具有任意性.若否定函数单调性时，只要取两个特殊自变量说明不满足即可.变式1：已知函数)(x f 对任意R y x ∈,，满足2)()()(++=+y x f y f x f ，当0>x 时，2)(>x f ，求证：)(x f 在R 上是增函数.变式2：定义在R 上的函数0)0(),(≠=f x f y ，当0>x 时，1)(>x f ，且对任意的R b a ∈,，有)()()(b f a f b a f ⋅=+. （1）求证：1)0(=f ；（2）求证：对任意的R x ∈，恒有0)(>x f ；（3）证明：)(x f 是R 上的增函数；（4）若1)2()(2>-⋅x x f x f ，求x 的取值范围.【例2.33】设),(a -∞是函数5||42+-=x x y 的一个减区间，则实数a 的取值范围是（） ),2.[+∞-A ]2,.(--∞B ),2.[+∞C ]2,.(-∞D变式1：下列区间中，函数|)2ln(|)(x x f -=在其上为增函数的是（） ]1,.(-∞A ]34,1.[-B )23,0.[C )2,1.[D变式2：已知函数a ex f a x ()(||-=为常数）.若)(x f 在区间),1[+∞上是增函数，则a 的取值范围是__________________.变式3：定义在R 上的函数)(x f 是偶函数，且)2()(x f x f -=，若)(x f 在区间]2,1[上是减函数，则)(x f （）A.在区间]1,2[-上是增函数，在区间]4,3[上是减函数B.在区间]1,2[--上是增函数，在区间]4,3[上是减函数C.在区间]1,2[-上是减函数，在区间]4,3[上是增函数D.在区间]1,2[--上是减函数，在区间]4,3[上是增函数变式4：已知⎩⎨⎧≥<+-=)1(log )1(4)13()(x x x a x a x f a 是R 上的减函数，那么a 的取值范围是（）)1,0.(A )31,0.(B )31,71.[C )1,71.[D题型18 函数的周期性思路提示（1）)0(||)()(≠=⇒=+a a T x f a x f ；)(||)()(b a b a T b x f a x f ≠-=⇒+=+；（2）)0(||2)()(≠=⇒-=+a a T x f a x f ； )(||2)()(b a b a T b x f a x f ≠-=⇒+-=+； )0,(||2)()(≠≠-=⇒=+⋅+c b a b a T c b x f a x f . （3）)0(||6),2()()(≠=---=a a T a x f a x f x f .【例 2.34】已知函数)(x f 对任意实数x 都满足)(1)1(x f x f =+，若8)1(=f ，则=)2014(f ___________.变式1：函数)(x f 对任意实数x 都满足)(1)2(x f x f =+，若5)1(-=f ，则=))5((f f ____.【例2.35】已知函数)(x f 满足),)(()()()(4,41)1(R y x y x f y x f y f x f f ∈-++==，则=)2010(f _____________.【例2.36】已知函数)(x f 是定义在实数集R 上的不恒等于零的偶函数，且对任意实数x 都有)()1()1(x f x x xf +=+，则)25(f 的值是（） A.0 B.21 C.1 D.25评注本题也可以从另外一方面解答，先构造一个函数，当Z x ∉时，xx f x x f )(1)1(=++.令x x f x g )()(=，则1)1()1(++=+x x f x g .所以)()1(x g x g =+，1=T ，令21-=x ，得0)21(),21(21)21(21)21(21==-=-f f f f .因为)21(25(g g =），即021)21(25)25(==f f .故0)25(=f .变式1：已知a 为非零常数，R x ∈且)(1)(1)(x f x f a x f -+=+，试判断)(x f 的周期性.题型19 函数性质的综合思路提示（1）奇偶性与单调性综合解题，尤其要重视利用偶函数（或轴对称函数）与单调性综合解不等式和比较大小.（2）奇偶性、单调性、周期性综合解题，尤其要注意对称性与周期性之间的关系，周期是两条对称轴（或对称中心）之间距离的2倍，是对称中心与对称轴之间距离的4倍. 如函数)(x f 的图象关于点)0,(a 和点)0,(b 中心对称，可得)(||2b a b a T ≠-=.)2()(),2()(x b f x f x a f x f --=--=，所以)2()2(x b f x a f -=-，可得||2b a T -=.如函数)(x f 的图象关于直线a x =和直线b x =轴对称，可得)(||2b a b a T ≠-=.)2()(),2()(x b f x f x a f x f -=-=，所以)2()2(x b f x a f -=-，可得||2b a T -=.如函数)(x f 关于点)0,(a 中心对称，且关于直线b x =轴对称，可得)(||4b a b a T ≠-=.)2()(),2()(x b f x f x a f x f -=--=，所以)2()2(x b f x a f -=--，故)()44(x f x a b f =+-，||4b a T -=.【2.37】定义在R 上的偶函数)(x f 满足：对任意的)](0,(,2121x x x x ≠-∞∈，有0)]()()[(2121>--x f x f x x ，则当*N n ∈时，有（）)1()1()(.+<-<-n f n f n f A )1()()1(.+<-<-n f n f n f B )1()()1(.-<-<+n f n f n f C )()1()1(.n f n f n f D -<-<+变式1：已知定义域为R 的函数)(x f 在区间),8(+∞上减函数，且函数)8(+=x f y 为偶函数，则（）)7()6(.f f A > )7()6(.f f B > )9()7(.f f C > )10()7(.f f D >变式2：已知偶函数)(x f 在区间),0[+∞上单调递增，则满足)31()12(f x f <-的x 的取值范围是（）)32,31.(A )32,31.[B )32,21.(C )32,21.[D变式3：设函数)(x f 是奇函数，并且在R 上为增函数，若20πθ≤≤时，0)1()s i n (>-+m f m f θ恒成立，则实数m 的取值范围是（）)1,0.(A )0,.(-∞B )21,.(-∞C )1,.(-∞D变式4：设函数}{,1)3()(3n a x x x f -+-=是公差不为0的等差数列，14)(...)()(721=+++a f a f a f ，则=+++721...a a a （）A. 0B. 7C. 14D. 21【例2.38】函数)(x f 的定义域为R ，若)1(+x f 与)1(-x f 都是奇函数，则（）A.)(x f 是偶函数B.)(x f 是奇函数C.)2()(+=x f x fD.)2(+x f 是奇函数变式1：定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()1(x f x f -=+，且在]0,1[-上单调递增，设)3(f a =，)2(),2(f c f b ==，则c b a ,,的大小关系是（）c b a A >>. b c a B >>. a c b C >>. a b c D >>.变式2：已知定义在R 上奇函数)(x f 满足)()4(x f x f -=-，且在区间]2,0[上是增函数，则（）)80()11()25(.f f f A <<- )25()11()80(.-<<f f f B)25()80()11(.-<<f f f C )11()80()25(.f f f D <<-【例 2.39】定义在R 上的函数)(x f 是奇函数，且是以2为周期的周期函数，则)7()4()1(f f f ++=( )1.-A 0.B 1.C 4.D变式1：已知)(x f 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当20<≤x 时，x x x f -=3)(，则函数)(x f 的图象在区间]6,0[上与x 轴的交点的个数为（）A.6B.7C.8D.9【例 2.40】函数)(x f 的定义域为D ，若对任意的D x x ∈21,，当21x x <时，都有)()(21x f x f ≤，则称函数)(x f 在D 上为非减函数，设函数)(x f 在]1,0[上为非减函数，且满足以下3个条件：①0)0(=f ；②)(21)3(x f xf =；③)(1)1(x f x f -=-，则=+)81()31(f f ( ) 43.A 21.B 1.C 32.D变式1：定义在R 上的函数满足1)1()(,0)0(=-+=x f x f f ，)(21)3(x f xf =，且当1021≤<≤x x 时，)()(21x f x f ≤，则=)20101(f ___________.变式2：设)(x g 是定义在R 上，以1为周期的函数，若函数)()(x g x x f +=在区间]4,3[上的值域为]5,2[-，则)(x f 在区间]10,10[-上的值域为_____________.变式3：对于定义域为]1,0[的连续函数)(x f ，如果同时满足以下3个条件：①对任意的]1,0[∈x ，总有0)(≥x f ；②1)1(=f ；③若1,0,02121≤+≥≥x x x x ，都有)()()(2121x f x f x x f +≥+成立，则)(x f 为理想函数.（1）若函数为理想函数，求)(x f 的值域；（2）判断函数])1,0[(12)(∈-=x x g x是否为理想函数，并予以证明；（3）若函数)(x f 为理想函数，假定存在]1,0[0∈x ，使得]1,0[)(0∈x f ，且00))((x x f f =，求证：00)(x x f =.最有效训练题6（限时45分钟）1.已知函数)32(log )(22--=x x x f ，现使)(x f 为减函数的区间是（）)6,3.(A )0,1.(-B )2,1.(C )1,.(--∞D2.已知函数]3,2[,)(2-∈=x x x f ，如果存在实数]3,2[,21-∈x x ，使得对任意实数]3,2[-∈x ，都有)()()(21x f x f x f ≤≤，则||21x x -的值是（）A.0B.2C.3D.53.函数)(x f )(R x ∈的图象如图所示，则下列哪个区间是函数)10)((log )(<<=a x f x g a 的单调减区间（）]21,0.[A ),21[)0,.(+∞-∞ B ]1,.[a C ]1,.[+a a D4.已知函数⎩⎨⎧≥<-=)2()2()4()(x a x x a x f x 在R上单调递增，则a 的取值范围是（） ]4,1.(A )4,2.(B )4,2.[C ),4.(+∞D5.函数)(x f 是以2为周期的偶函数，且当)1,0(∈x 时，12)(-=x x f ，则)12(log 2f 的值为（）31.A 34.B 2.C 11.D 6.设2)(3-+=x x x f ，若5)(,1)(-==b f a f ，则=+b a ( )2.-A 0.B 1.C 2.D7.设函数))(()(R x ae e x x f x x ∈+=-是偶函数，则实数=a __________.8.(1)奇函数)(x f 的定义域为]5,5[-，若当]5,0[∈x 时，)(x f 的图象如图所示，则不等式0)(<x f 的解集是__________.(2)已知函数)(x f y =是R 上的偶函数，且在]0,(-∞上是减函数，若()(2)f a f ≥，则实数a 的取值范围是________.9．已知(),()f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且2()()23f x g x x x +=++，则()()f x g x -=_________. 10.已知函数||sin 1()||1x x f x x -+=+()x R ∈的最大值为M ,最小值为m ，则M m +的值为___________. 11.设()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x 恒有(2)()f x f x +=-.当[0,2]x ∈时, 2()2f x x x =-.（1）求证: ()f x 是周期函数；（2）当[2,4]x ∈时，求()f x 的解析式；（3）计算(0)(1)(2)(2015)f f f f ++++.12．已知定义域为R 的函数1()41x f x a =++是奇函数.（1）求a 的值；（2）判断()f x 的单调性；（3）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围.。

2025新高考数学一轮复习函数的概念及其表示教案

解依题意设f(x)=ax+b(a≠0),
则由3f(x)-2f(x-1)=2x+5可得3(ax+b)-2[a(x-1)+b]=2x+5,
= 2,
= 2,
整理得 ax+2a+b=2x+5,于是有
解得
故 f(x)=2x+1.
2 + = 5,
= 1,
(2)已知函数f(x)满足f(cos x-1)=cos 2x-1,求f(x)的解析式;
x
与x的值对应的y值的集合{f(x)|x∈A}
定义域
如果两个函数的__________相同,
__________完全一
对应关系
致,那么这两个函数是同一个函数
2.函数的表示方法
解析式法
表示函数的常用方法有__________、图象法、列表法.
微思考直线x=a(a为常数)与函数f(x)的图象的交点个数是多少?
都有f(x+y)=(
A.-3
B.-2
C.2
D.3
1 1
+
y
)f(x)f(y)成立,且f(1)=2,若f(n)=f(n+1),n∈Z,则n=( B )
解析由题意可得,令 x=1,y=n,则
又因为
1
+1
f(1+n)=(1+)f(1)f(n)= ×2f(n),
+1
f(n)=f(n+1),所以
题组二回源教材
5.(人教B版必修第一册3.1.1节练习B第8题)已知函数f(x+1)=2x-3,求f(4),f(x).
解令x+1=4,得x=3,代入得f(4)=3;设x+1=t,则x=t-1,代入得f(t)=2t-5,

高考数学总复习历年考点知识与题型专题讲解21--- 函数的性质(解析版)

高考数学总复习历年考点知识与题型专题讲解函数的性质考点一性质法求单调性（单调区间）【例1】（2020·全国高一课时练习）函数6y x=的减区间是（） A ．[0,)+∞B ．(,0]-∞C ．(,0)-∞，(0,)+∞D ．(,0)(0,)-∞+∞【答案】C 【解析】由图象知单调减区间为(,0)-∞，(0,)+∞【举一反三】1.函数()2f x x 2x 3=--的单调递减区间为( )A ．(),1∞-B ．(),2∞-C ．()1,∞D ．()2,∞+【答案】A【解析】函数()2f x x 2x 3=--的二次项的系数大于零，∴抛物线的开口向上，二次函数的对称轴是x 1=，∴函数的单调递减区间是(),1∞- 故选：A ． 2．下列函数在区间(－∞，0)上为增函数的是( ) A. y ＝1 B. y ＝－1x＋2 C. y ＝－x 2－2x －1 D. y ＝1＋x 2 【答案】B【解析】y=1 在区间（－∞,0）上不增不减; y=－1x+2在区间（－∞,0）上单调递集符号“”连接，也不能用“或”连接增; y=－x 2－2x －1在区间（－∞,0）上有增有减; y=1+x 2在区间（－∞,0）上单调递减;所以选B.3．函数y ＝x 2－6x ＋10在区间(2，4)上是( ) A. 递减函数 B. 递增函数C. 先递减再递增D. 先递增再递减【答案】C【解析】由于二次函数的开口向上，并且对称轴方程为x=3,所以函数在(2,4)上是先减后增.考点二定义法求单调性（单调区间）【例2】（2020·全国高一课时练习）求证：函数f (x )＝x ＋1x在[1，＋∞)上是增函数.【答案】证明见详解.【解析】证明：在区间[)1,+∞上任取12x x <，则()()12121211f x f x x x x x -=-+-()121211x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()()1212121x x x x x x -=-⨯ 因为12x x <，故可得120x x -<；又因为121,1x x >>，故可得121211,0x x x x ->>. 故()()120f x f x -<，即()()12f x f x <.故()f x 在区间[)1,+∞上单调递增.【举一反三】1．（2020·全国高一课时练习）证明()f x =. 【答案】证明见解析；【解析】证明：函数()f x =[)0,+∞设[)12,0,x x ∀∈+∞且12x x <，()()12f x f x -===因为120x x ≤<，所以120x x -<，所以()()120f x fx -<，即()()12f x f x < 所以()f x =[)0,+∞上是增函数.2．（2020·浙江高一课时练习）用定义法证明函数()f x x =在定义域内是减函数．【答案】见解析【解析】设在R 上任取两个数x 1，x2，且x 1>x 2；则f （x 1）–f （x 2）–x 1–x 2）+（x 2–x 1）x x x x -++（x2–x 1）=（x 1–x 2）1）∵x 1>x 2，∴x 1–x 2>0–1<0，则f （x 1）–f （x 2）<0，∴函数()f x x =在R 上是减函数．考点三图像法求单调性（单调区间）【例3】（2020·全国高一）求下列函数的单调区间．（1）f （x ）＝3|x |；（2）f （x ）＝|x 2＋2x －3|．【答案】（1）减区间为(－∞，0]，增区间为[0，＋∞)；（2）增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)；减区间是(－∞，－3]，[－1，1]．【解析】（1）由题意，函数()3,033,0x x f x x x x ≥⎧==⎨-<⎩，图象如图所示，所以函数f （x ）的单调递减区间为(－∞，0]，单调递增区间为[0，＋∞)．（2）令()2223(1)4g x x x x =+-=+-，作出()g x 的图象，保留其在x 轴及x 轴上方部分，把它在x 轴下方的图象翻到x 轴上方，即可得到函数()223f x x x =+-的图象，如图所示．由图象易得：函数的递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)；函数的递减区间是(－∞，－3]，[－1，1]．【举一反三】1．（2020·全国高一专题练习）求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．（1）f（x）＝－1x；（2）f（x）＝21,1 5,1x xx x+≥⎧⎨-<⎩（3）f（x）＝－x2＋2|x|＋3.【答案】（1）单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数；（2）单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f（x）在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数；（3）单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f（x）在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数．【解析】（1）函数f（x）＝－1x的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数．（2）当x≥1时，f（x）是增函数，当x<1时，f（x）是减函数，所以f（x）的单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f （x ）在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数．（3）因为f （x ）＝－x 2＋2|x |＋3＝2223,023,0x x x x x x ⎧-++≥⎨--+<⎩根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知，函数f （x ）的单调区间为(－∞，－1]，(－1，0)，[0，1)，[1，＋∞)．f （x ）在(－∞，－1]，[0，1)上是增函数，在(－1，0)，[1，＋∞)上是减函数．考点四利用单调性求参数【例4】（1）（2020·浙江高一课时练习）若函数()22f x x ax =-+与()1ag x x =+在区间[]1,2上都是减函数，则a 的取值范围（）A ．()()1,00,1- B ．()(]1,00,1- C ．()0,1 D ．(]0,1（2）（2020·辽阳市第四高级中学高三月考）已知奇函数()f x 是定义域[]22-,上的减函数，若()()21430f a f a ++->，求实数a 的取值范围 .【答案】（1）D （2）11,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【解析】对于，开口向下，对称轴为x=a 若函数在区间[]1,2上都是减函数，则区间[]1,2在对称轴的右侧，所以可得：a<=1；对于，其相当于将的图象向左平移1个单位，得到如下函数图像：此时我们可以判断，当a>0时，则函数在第一象限为单调递减，而在单调递减，故a 的取值范围是(0,1]（2）由()()21430f a f a ++->，得()()2143f a f a +>--，又()f x 为奇函数，得()()4334f a f a --=-，∴()()2134f a f a +>-，又()f x 是定义域[]22-,上的减函数，所以2343421212a a a a ≥-⎧⎪->+⎨⎪+≥-⎩，所以141332a a a ⎧≥⎪⎪⎪<⎨⎪⎪≥-⎪⎩，所以实数a 的取值范围为11,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【举一反三】1．（2020·开鲁县第一中学高二期末（文））函数(21)y m x b =-+在R 上是减函数．则（）A ．12m >B ．12m < C ．12m >-D ．12m <- 【答案】B【解析】根据题意，函数(21)y m x b =-+在R 上是减函数，则有210m -＜，解可得12m <，故选B ． 2．（2020·浙江高一课时练习）已知22(2)5y x a x =+-+ 在区间(4,)+∞ 上是增函数，则a 的范围是（）A ．2a ≤-B ．2a ≥-C ．6a ≥-D ．6a ≤-【答案】B【解析】∵函数f （x ）＝x 2+2（a ﹣2）x +5的图象是开口方向朝上，以x ＝2﹣a 为对称轴的抛物线，若函数f （x ）＝x 2+2（a ﹣2）x +5在区间[4，+∞）上是增函数，则2﹣a ≤4，解得a ≥﹣2．故选：B ．3．（2020·全国高一课时练习）若函数()(31)4,1,1a x a x f x ax x -+<⎧=⎨-≥⎩，是定义在R 上的减函数，则a 的取值范围为（）A ．11,83⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．10,3⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．11,,83⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【答案】A【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的减函数，所以3100314a a a a a -<⎧⎪-<⎨⎪-+≥-⎩，解得1183a ≤<.故选：A. 考点五奇偶性的判断【例5】（2020·全国高一课时练习）判断下列函数的奇偶性．（1）f (x )＝2x ＋1x；（2）f (x )＝2－|x |；（3）f (x )（4）f (x )＝1x x -. 【答案】（1）奇函数；（2）偶函数；（3）既是奇函数又是偶函数；（4）非奇非偶函数.【解析】（1）函数的定义域为{}0x x ≠，由()()1122⎛⎫-=-+=-+=- ⎪-⎝⎭f x x x f x x x ，所以函数()f x 为奇函数（2）函数的定义域为R 由()()22-=--=-=f x x x f x 所以函数()f x 为偶函数（3）由2210110x x x ⎧-≥⇒=±⎨-≥⎩，所以函数的定义域为{}1,1- 又()()110f f -==，所以函数()f x 既是奇函数又是偶函数（4）由101x x -≠⇒≠，所以函数的定义域为{}1x x ≠因为定义域不关于原点对称，所以函数()f x 为非奇非偶函数.【举一反三】1（2020·全国）判断下列函数的奇偶性:(1)32()1x x f x x -=-;(2)31()f x x x =-;(3)23()f x x x =-;(4)()|2||2|f x x x =++-.【答案】(1)既不是奇函数也不是偶函数.(2)奇函数.(3)既不是奇函数也不是偶函数.(4)偶函数.【解析】(1)函数32()1x x f x x -=-的定义域为{|R x x ∈且1x ≠},定义域不关于原点对称,∴该函数既不是奇函数也不是偶函数. (2) 31()f x x x =-的定义域是(,0)(0,)-∞+∞. 当(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞时,显然,(,0)(0,)x -∈-∞⋃+∞.333111()()()()f x x x x f x x x x ⎛⎫-=--=-+=--=- ⎪-⎝⎭,31()f x x x ∴=-是奇函数. (3)23()f x x x =-的定义域为R .23(1)(1)(1)112f -=---=+=,23(1)110f =-=,(1)(1)f f ∴-≠. ()f x ∴不是偶函数.又(1)(1)f f -≠-,()f x ∴不是奇函数.23()f x x x ∴=-既不是奇函数也不是偶函数.(4) ()|2||2|f x x x =++-的定义域为R .()|2||2||2||2|()f x x x x x f x -=-++--=-++=, ()|2||2|f x x x ∴=++-是偶函数.2．（2020·浙江高一课时练习）判断下列函数的奇偶性：（1）()f x =．（2）()f x =．（3）2()2||1,[1,1]f x x x x =-+∈-．（4）22(0)()(0).x x x f x x x x ⎧+<=⎨-+>⎩，【答案】（1）既不是奇函数也不是偶函数；（2）既是奇函数又是偶函数；（3）偶函数；（4）奇函数.【解析】（1）由10,10x x -⎧⎨-⎩得1x =，∴函数()f x 的定义域为{1}，不关于原点对称．故()f x 既不是奇函数也不是偶函数．（2）由2210,10x x ⎧-⎨-⎩得21x =，即1x =±． ∴函数()f x 的定义域是{1,1}-，关于原点对称．又()0f x =，∴()f x 既是奇函数又是偶函数．（3）函数的定义域为[1,1]-，关于原点对称．又∵22()()2||12||1()f x x x x x f x -=---+=-+=，∴()f x 是偶函数．（4）当0x <时，0x ->，则()22()()()f x x x x x f x -=---=-+=-，当0x >时，0x -<，则22()()()f x x x x x f x -=--=-=-综上，对(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞，都有()()f x f x -=-． ∴()f x 为奇函数．考点六利用奇偶性求解析式【例6】（1）（2020·陕西渭滨.高二期末（文））已知()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，2()321f x x x =+-，则当0x <时，()f x = 。