高等数学前三章复习卷三
《高等数学》习题答案
《高等数学》习题答案二〇一四年六月三日《高等数学》习题答案第1章 函数练习题1.11.（1）不是。
定义域不相同。
函数x y =的定义域为R ，函数xx y 2=的定义域为}{0≠x x 。
（2）不是。
对应法则不相同。
x x y ==2。
2.（1）⎩⎨⎧>-≠-0120)12lg(x x ∴定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠>121x x x 且。
（2）022≥-x }2-x 2x {x ≤≥∴或定义域为。
（3）⎪⎩⎪⎨⎧>≥-⇒⎩⎨⎧>-≥-⇒⎩⎨⎧>-≥-321230231ln )23ln(0230)23ln(x x x x x x {}1≥∴x x 定义域为。
3.25)23(,23)21(==f f 。
4.[()]12xf f x x=- 5.（1）⎩⎨⎧≥-≠0102x x {}011≠≤≤-∴x x x 且定义域为 （2）1211≤-≤-x {}31≤≤-∴x x 定义域为 （3）⎩⎨⎧≠≥-003x x {}03≠≤∴x x x 且定义域为6. 不是。
定义域不相同。
{}{}0lg 2)(,0lg )(2>=≠=x x x x g x x x x f 的定义域为的定义域为。
练习题1.21.（1）偶函数（2）偶函数（3）奇函数2.（1）π2=T （2）ππ==-=-==22,2cos 212122cos 1sin 2T x x x y （3）ππ==22T练习题1.31.（1）x y 2tan = （2）)1sin(2+=xe y2.（1）23,10+==x u u y （2）21,x u u y -==（3）x u y u-==,10 （4）2,2x u y u== （5）1,log 22+==x u u y （6）x u u y 5,sin == （7）5,sin x u u y == （8）x u u y sin ,5== （9） x v v u u y lg ,lg ,lg === （10）2,arcsin x u u y == 3.（1）由)(21,2112R x x y y x x y ∈-=-=+=故其反函数为可得 （2）由)(2,22333R x x y y x x y ∈-=-=+=故其反函数为可得练习题1.41.（1）R （2）⎩⎨⎧>>⇒⎩⎨⎧>>⇒⎩⎨⎧>>0101lg lg 00lg x x x x x x {}1>∴x x 定义域为 （3）⎪⎩⎪⎨⎧>≥-⇒⎩⎨⎧>-≥-⇒⎩⎨⎧>-≥-321230231ln )23ln(0230)23ln(x x x x x x {}1≥∴x x 定义域为 （4）1211≤-≤-x {}31≤≤-∴x x 定义域为第一章复习题一、判断题:1.√2.×3.√4.√5.√6.√ 二、填空题:1. 0>x2. e 、13. 5,,tan -===x v v u u y4. 22-x 5. {}122±≠≤≤-x x x 且 三、解答题:42)(,4)0(3++-=-=x x x f f第2章 极限练习题2.11.（1）极限为0 （2）极限为0 （3）极限为1 （4）极限为1（5）当n 无限增大时，n)1(1-+无休止地反复取0和2两个数，而不会无限接近于任何一个确定的常数，故该数列当∞→n 时没有极限（6）数列{}n n)1(-即为-1,2，-3,4，-5…… ，故该数列当∞→n 时没有极限（7）极限为22. 该数列的奇子数列为1,2,3,…，n … 没有极限 偶子数列为111,,23n⋅⋅⋅⋅⋅⋅， 极限为0 所以该数列的极限不存在。
高等数学习题1到3章
《高等数学》试题库一、选择题 〔一〕函数1、以下集合中〔 〕是空集。
{}{}4,3,02,1,0. a {}{}7,6,53,2,1. b (){}x y x y y x c 2,.==且 {}01.≥〈x x x d 且2、以下各组函数中是相同的函数有〔 〕。
()()()2,.x x g x x f a == ()()2,.x x g x x f b ==()()x x x g x f c 22cos sin ,1.+== ()()23,.x x g xx x f d ==3、函数()5lg 1-=x x f 的定义域是〔 〕。
()()+∞∞-,55,. a ()()+∞∞-,66,. b()()+∞∞-,44,. c ()()()()+∞∞-,66,55,44,. d4、设函数()⎪⎩⎪⎨⎧-+2222x x x〈+∞≤〈≤〈∞〈-x x x 2200 则以下等式中，不成立的是〔 〕。
()()10.f f a = ()()10.-=f f b ()()22.f f c =- ()()31.f f d =-5、以下函数中，〔 〕是奇函数。
x xa . x xb sin .211.+-x x a a c 21010.x x d -- 6、以下函数中，有界的是〔 〕。
arctgx y a =. tgx y b =. xy c 1.=xy d 2.= 7、假设()()11-=-x x x f ，则()=x f 〔 〕。
()1.+x x a ()()21.--x x b ()1.-x x c .d 不存在8、函数x y sin =的周期是〔 〕。
π4.a π2.b π.c 2.πd9、以下函数不是复合函数的有〔 〕。
xy a ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21. ()21.x y b --= x y c sin lg .= xey d sin 1.+=10、以下函数是初等函数的有〔 〕。
11.2--=x x y a ⎩⎨⎧+=21.xx y b 00≤〉x xx y c cos 2.--=()()2121lg 1sin .⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x e y d x11、区间[,)a +∞, 表示不等式〔 〕.〔A 〕a x <<+∞ 〔B 〕+∞<≤x a 〔C 〕a x < 〔D 〕a x ≥12、假设ϕ3()1t t =+,则 ϕ3(1)t +=〔 〕.〔A 〕31t + 〔B 〕61t + 〔C 〕62t + 〔D 〕963332t t t +++13、函数log (a yx =+ 是〔 〕.〔A 〕偶函数 〔B 〕奇函数 〔C 〕非奇非偶函数 〔D 〕既是奇函数又是偶函数 14、函数()yf x =与其反函数1()y f x -=的图形对称于直线〔 〕. 〔A 〕0y = 〔B 〕0x = 〔C 〕y x = 〔D 〕y x =-15、函数1102x y-=-的反函数是〔 〕.〔A 〕1xlg22y x =- 〔B 〕log 2x y = 〔C 〕21log yx= 〔D 〕1lg(2)y x =++ 16、函数sin cos y x x =+是周期函数，它的最小正周期是〔 〕.〔A 〕2π 〔B 〕π 〔C 〕2π 〔D 〕4π 17、设1)(+=x x f ，则)1)((+x f f =〔 〕． A ． x B ．x + 1 C ．x + 2 D ．x + 3 18、以下函数中，〔 〕不是基本初等函数．A ． xy )e1(= B ． 2ln x y = C ． xxy cos sin =D ． 35x y = 19、假设函数f(e x)=x+1，则f(x)=( )A. e x+1 B. x+1 C. ln(x+1) D. lnx+120、假设函数f(x+1)=x 2，则f(x)=( )A.x 2B.(x+1) 2C. (x-1) 2D. x 2-1 21、假设函数f(x)=lnx ，g(x)=x+1，则函数f(g(x))的定义域是( ) A.x>0 B.x ≥0 C.x ≥1 D. x>-1 22、假设函数f(x)的定义域为(0,1)则函数f(lnx+1)的定义域是( )A.(0，1)B.(-1，0)C.(e -1，1)D. (e -1，e) 23、函数f(x)=|x-1|是( )A.偶函数B.有界函数C.单调函数D.连续函数 24、以下函数中为奇函数的是( )A.y=cos(1-x)B.⎪⎭⎫ ⎝⎛++=21ln x x y C.e x D.sinx 2 25、假设函数f(x)是定义在(-∞，+∞)内的任意函数，则以下函数中〔 〕是偶函数。
高等数学第一、二、三章测验题
B. y 2x 1
C. y x 1
D. y x 1
5.函数 y ax3 bx2 cx d 满足条件 b2 3ac 0 则该函数 [
]
A. 有一个极大值 B. 有一个极小值 C. 无极值 D. 无法确定有无极值
满 分：15 实得分：
二．填空题（每小题 3 分，共 15 分）
3
6.曲线 y x2 的过点 (0,4) 的切线方程为 7.函数 f ( x) sin x ex ， f (x)
适用班级
考试时间
遥感、造价、采矿、机电、土木等
2021 年 11 月 日
……○……○……○……○……○……○……○……○……○……○……○……○……○……
满 分：64 实得分：
三．计算题（共 64 分）
11.（8 分）计算极限
lim(
x1
x
x
1
1 ln x
)
。
12.
（8 分）
lim x x cos x x0 x sin x
二
三
四
五
满分
15
15
64
6
实得分
满 分：15 实得分：
一．单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）
1.极限 lim 2 n sin 3 n [
]
n 3 2
A. 2
3
B．1
C．0
D．不存在．
2 x, 0 x 1
2.函数
f
(x)
1,
x 1 在 0,上的间断点 x 1为 [
]
1 x, x 1
辽宁科技学院试卷
学生姓名 十位学号
课程名称 高等数学（1）
系别
试题名称 一、二、三章测验题
《高等数学（3）复习试题.
《高等数学（3）复习试题.《高等数学3》复习试题及答案一．填空（每题4分，共60分）1. 设函数f(x)＝ln(arcsinx)，则f(x)的连续区间是2. 已知y=(1+sinx)x，则dy(0,1]。
x=π=-πdx。
3. 设曲线L的方程为??x=2(t-sint)π，则曲线L在t=的切线方程为2?y=-tcos2tx→1 x-2y+2=0。
24. 设limf(x)存在，且f(x)=x+2xlimf(x)，则f(x)=x→1x2-2x ln(1+x5. lim(cosx)x→0)=e-12。
d2y=6. 设y=f(x+a)，则2dx326xf'(x3+a2)+9x4f''(x3+a2)。
7. 由方程sinxy+ln(y-x)=x确定y＝f(x)，则dy=dxx=01。
8. 设f(x)可导，且f(x3+x)=ex+lnx，则f'(2)=21(2e+1)。
?x=f'(t)d2y=9. 设?，且f''(t)≠0，则2'dx?y=tf(t)-f(t)x2(n)10. 已知函数y=，则y(0)=x+11f''(t) n=1?0?n?(-1)n!n>1 x2n+111. 设函数f(x)=lim2n，则函数的间断点有n→∞x+1x=-1,x=1。
1?xsin2xx<0x=0为连续函数，则a=1，b=2。
12. 设函数f(x)=?a+1xsin1+bx>0?x?tan2xf(x)+)=-1，则f(0)=-2，f'(0)=-1。
13. 设可导函数f(x)满足lim(2x→0xxlnxx(-ln)=ln2。
14. limx→0+1+x2+x15. 已知函数f(x)在(-∞,+∞)上有定义，满足f(x+1)=f(x),且当0≤x≤1时，'(0)= f(x)=x(x-1)，则f-1。
二．单项选择题（每小题4分，共40分）16. 当x→0时，下列函数中（D）与x是等价无穷小。
高等数学III复习题
复习题I一、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代号写在答题纸相应位置处。
答案错选或未选者，该题不得分。
每小题3分，共15分。
）1.xy z xe =，则zx∂=∂________. A 、xy xye ； B 、2xy x e ； C 、xy ye ； D 、(1)xy xy e +2.二元函数22(,)2222f x y x xy y x =-+-+的极小值点是________.A.(1,1)--B. (0,0)C. (1,1)D. (2,2)3.若{(,)D x y x y =≤≤，则(,)Df x y dxdy =⎰⎰________.A.1400(cos ,sin )d f d πθρθρθρρ⎰⎰ B. 1204(cos ,sin )d f d ππθρθρθρρ⎰⎰C. 2cos 40(cos ,sin )d f d πθθρθρθρρ⎰⎰D. 2cos 204(cos ,sin )d f d πθπθρθρθρρ⎰⎰4.L 为2y x =上从(1,1)A -到(1,1)B 的一段，则Lxydx ⎰ ________.A.45 B. 1 C. 25D. 2 5.函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处可微的充分条件是函数在该点处_______.A ．有极限 B. 有连续的偏导数 C ．连续 D. 偏导数存在二、填空题（请将下列各小题的正确答案写在答题卷上，请在答案前标明题号；每小题5分，共40分）1.过三点123(2,1,4),(1,3,2),(0,2,3)M M M ---的平面的方程为________.【第1 页 共 2页】2.直线113:141x y z L -+==-和22:221x y zL +==--的夹角＝________. 3.球面22214x y z ++=在点(1,2,3)处的切平面方程为________. 4.221x y=+grad________.5.交换积分次序：212(,)xdx f x y dy -=⎰ .6.化为极坐标形式下的二次积分：11(,)xdx f x y dy -=⎰ .7.L 为任意一条分段光滑的闭曲线，则22Lxydx x dy +=⎰ ________.8.211x ydy edx =⎰⎰________.三、计算题（请将下列各小题的正确答案写在答题卷上，请在答案前标明题号，并保留必要的计算步骤；每小题9分，共36分）1.计算,Dσ其中D 是22x y Rx +=所围成的闭区域。
高数上册第三章微分中值定理和导数的应用习题答案
《高等数学教程》第三章 习题答案习题3-1 (A)1. 34=ξ 2. 14-=πξ习题3-2 (A)1. (1)31 (2) 81- 1)12()11()10(1)9(31)8(21)7()6(21)5(1)4(3)3(31e e --∞习题3-2 (B)1. n a a a e e 21)8(1)7(0)6(2)5(21)4(32)3(1281)2(41)1(--2. 连续4. )(a f ''5. )0()1(g a '=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+''≠--+'='0]1)0([210]c o s )([]s i n)([)()2(2x g x x x x g x x g x x f(3) 处处连续.习题3-31. 432)4()4(11)4(37)4(2156)(-+-+-+-+-=x x x x x f2. 193045309)(23456+-+-+-=x x x x x x x f3. )40(,)(cos 3]2)()[sin sin(31tan 4523<<+++=θθθθx x x x x x x4.)10()]4(4[16!4)4(15)4(5121)4(641)4(412432<<-+---+---+=θθx x x x x x5. )10()(!)1(2132<<+-++++=θn nxx O n x x x x xe6. 645.1≈e7. 430533103.1;3090.018sin )2(1088.1;10724.330)1(--⨯<≈⨯<≈R R8. 121)3(21)2(23)1(-习题3-4 (A)1. 单调减少2. 单调增加3. .),23()23,()1(内单调下降在内单调上升；在+∞-∞.),2[]2,0()2(内单调增加在内单调减少；在+∞ .),()3(内单调增加在+∞-∞.),21()21,()4(内单调增加在内单调减少；在+∞-∞ .),[]0[)5(内单调下降在上单调上升；，在+∞n n7. (1) 凸 (2) 凹 （3）内凸内凹，在在),0[]0,(+∞-∞ （4）凹 8. ），（内凹，拐点内凸，在）在（82),2[]2,(1-+∞-∞ ），（内凹，拐点内凸，在）在（222),2[]2,(2e+∞-∞ 内凹，无拐点）在（),(3+∞-∞），（），（：内凹，拐点，内凸，在），，）在（2ln 1;2ln 1]11[1[]1,(4--∞+--∞ ），（内凸，拐点内凹，在）在（3arctan 21),21[]21,(5e +∞-∞ ），（凹，拐点），、凸，在、）在（001[]0,1[]1,0[]1,(6∞+---∞ 9. 29,32=-=b a10. a = 3, b = -9, c = 811. a = 1, b = -3, c = 24, d = 16习题3-4 (B)1. .)1,21(),1()21,0()0,()1(内单调增加在内单调减少；、、在∞+-∞.]22,32[]32,2[)2(内单调下降在内单调上升；在πππππππ+++k k k k .],32[),[]32,()3(内单调下降在内单调上升；、在a a a a ∞+-∞ 2. .1)3(10)2(1)1(是有一个实根时有两个实根时无实根ea e a e a =<<>3. .)2,0(内只有一个实根在π8. .9320时及当=≤k k 9. 在）（凹，拐点凹，在2,),[],(a b b b +∞-∞ 12. 82±=k 习题3-5 (A)1. .1)2(,5)0()1(==y y 极小值极大值.0)0(,4)2()2(2==-y e y 极小值极大值.25)16(,1)4()3(==y y 极小值极大值.205101)512()4(=y 极大值.45)43()5(=y 极大值.0)0()6(=y 极小值 (7) 没有极值. .)()8(1e e e y =极大值.3)1()9(=y 极大值.0)5()1(,18881)21()10(3==-=y y y 极小值极大值2. .14)2(,11)3()1(-==y y 最小值最大值.22)2ln 21(,2)1()2(1=-+=-y e e y 最小值最大值.2ln )41(,0)1()3(-==y y 最小值最大值3. 提示：可导函数的极值点必为驻点，.在题设条件下无驻点所以可证明y '4. .29)1(-=y 最大值5. .27)3(=-y 最小值6. .3)32(,2为极大值==f a7. .21,2-=-=b a8. 长为100m ，宽为5m.9. .1:1:;22,233===h d v h v r ππ 10. .44ππππ++aa ，正方形周长为圆的周长为11. .3843a a h π时，最小体积为锥体的高为=12. .22.1.776小时时间为公里处应在公路右方13. .6000)2(1000)1(==x x14. .45060075.3元件，每天最大利润为元，进货量为定价为 15. .167080,101利润=p习题3-5 (B)1. 1,0,43,41==-==d c b a 2. x = 1为极小点，y (1) = 1为极小值3. 当c = 1时，a = 0，b = -3，当c = -1时，a = 4，b = 5.4. 296)(23++-=x x x x P5. (1) f (x ) 在x = 0处连续；(2) 当ex 1=时，f (x ) 取极小值；当 x = 0时f (x ) 取极大值. 6. 310=x 当时，三角形面积最小7. 323)2()(11)1(032=--=-l x x x x y 8. .1222-≥<b b b b 时为，当时为当 9. 400 10.bc a 2 11. c a e bd L ae bd q -+-=+-=)(4)(,)(2)1(2最大利润eqedd -=η)2( ed q 21)3(==得当η 12. 2)2()4(25)1(=-=t t x 13. 156250元14. (1) 263.01吨 (2) 19.66批/年 （3）一周期为18.31天 （4）22408.74元15. 2)2()111(1)()1(-+-+=e n n n n M n16. 提示：.)1()1(ln )1()(22是极小值，证明令f x x x x f ---=习题3-6 (A)1. (1) x = 0, y = 1; (2) x = -1, y = 0; (3) x = -1, x = 1, y = 0 ; (4) x = 1, x = 2, x = -3.2. 略习题3-6 (B)1. ex y e x 1,1)1(+=-=（2）x= -1,x=1,y= -2 （3）y=x, x=0 （4）y= -2, x=0 4121,21)5(-=-=x y x2. 略习题3-7 (A)1. k=22. x x k sec ,cos ==ρ3. 02sin 32t a k =4. a a k t 4,41,===ρπ 5. 233)22ln ,22(处曲率半径有最小值- 习题3-7 (B)1. 略2. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=)2(),2(,332323132323131x a y y a x axyR 曲率圆心3. 8)2()3(22=++-ηξ4. 约1246 (N) [提示：作匀速圆周运动的物体所受的向心力为Rmv F 2=]5. 16125)49()410(22=-+--ηπξ 习题3-81.19.018.0<<ξ 2. 19.020.0-<<-ξ 3. 33.032.0<<ξ 4. 51.250.2<<ξ总复习题三一. (1)B (2)B (3)B (4)D (5)C (6)B (7)C (8)B (9)C (10)C] 二. 25)8(/82)7()0,1()6(3)5(63)4()22,22()3(2ln 1)2(2)1(3s cm π+--x x x xeyx y 4)1(,)1(4)10()9(2222+++=三. 9)3(0)2(3)1(,7541,6,50,40,31,221,123---e⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-''≠++-'='-0)1)0((210)1()()()()1(,82x g x x e x x g x g x x f x上连续在),()()2(+∞-∞'x f 9, 略四、证明题和应用题 6．)027.0,025.0()2(450449)1(7．)2,2(b a P8．12ln 31,2ln 3121-+ 9．%82.0%13)3(173)2(20)1(总收益增加，时，若价格上涨当=-p pp10．略。
高数(上)第三章 复习题(含参考答案)
高数上第三章 复习题1. 验证罗尔定理对函数y =ln sin x 在区间]65 ,6[ππ上的正确性.解 因为y =ln sin x 在区间]65 ,6[ππ上连续, 在)65 ,6(ππ内可导, 且)65()6(ππy y =, 所以由罗尔定理知, 至少存在一点)65 ,6(ππξ∈, 使得y '(ξ)=cotξ=0.由y '(x )=cot x =0得)65 ,6(2πππ∈.因此确有)65 ,6(2πππξ∈=, 使y '(ξ)=cot ξ=0.2. 证明: 若函数.f (x )在(-∞, +∞)内满足关系式f '(x )=f (x ), 且f (0)=1则f (x )=e x .证明 令x ex f x )()(=ϕ, 则在(-∞, +∞)内有0)()()()()(2222≡-=-'='xx x x e e x f e x f e e x f e x f x ϕ, 所以在(-∞, +∞)内ϕ(x )为常数. 因此ϕ(x )=ϕ(0)=1, 从而f (x )=e x . 3. 用洛必达法则求下列极限:(1)xe e xx x sin lim0-→-;解2cos lim sin lim 00=+=--→-→xe e x e e x x x x x x . (2)22)2(sin ln lim x x x -→ππ;解 812csc lim 41)2()2(2cot lim )2(sin ln lim 22222-=---=-⋅-=-→→→x x x x xx x x πππππ.(3)xx x x cos sec )1ln(lim20-+→;解 x x xx x x x x x x x 22022020cos 1lim cos 1)1ln(cos lim cos sec )1ln(lim -=-+=-+→→→(注: cos x ⋅ln(1+x 2)~x 2)1sin lim )sin (cos 22lim 00==--=→→xxx x x x x . 4. 证明不等式 ：当x >0时, 221)1ln(1x x x x +>+++;解 设221)1ln(1)(x x x x x f +-+++=, 则f (x )在[0, +∞)内是连续的.因为0)1ln(1)11(11)1ln()(22222>++=+-++⋅++⋅+++='x x xx xx xx x x x x f ,所以f (x )在(0, +∞)内是单调增加的, 从而当x >0时f (x )>f (0)=0, 即 01)1ln(122>+-+++x x x x ,也就是221)1ln(1x x x x +>+++.5. 判定曲线y =x arctan x 的凹凸性: 解21arctan xx x y ++=',22)1(2x y +=''.因为在(-∞, +∞)内, y ''>0, 所以曲线y =x arctg x 在(-∞, +∞)内是凹的.6. 求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间: (1) y =xe -x ;解 y '=e -x -x e -x , y ''=-e -x -e -x +x e -x =e -x (x -2). 令y ''=0, 得x =2. 因为当x <2时, y ''<0; 当x >2时, y ''>0, 所以曲线在(-∞, 2]内是凸的, 在[2, +∞)内是凹的, 拐点为(2, 2e -2). (2) y =ln(x 2+1); 解122+='x x y ,22222)1()1)(1(2)1(22)1(2++--=+⋅-+=''x x x x x x x y . 令y ''=0, 得x 1=-1, x 2=1.列表得可见曲线在(-∞, -1]和[1, +∞)内是凸的, 在[-1, 1]内是凹的, 拐点为(-1, ln2)和(1,ln2).7. 设f (x )在[0, a ]上连续, 在(0, a )内可导, 且f (a )=0, 证明存在一点ξ∈(0, a ), 使f (ξ)+ξf '(ξ)=0.证明 设F (x )=xf (x ), 则F (x )在[0, a ]上连续, 在(0, a )内可导, 且F (0)=F (a )=0. 由罗尔定理, 在(0, a )内至少有一个点ξ , 使F (ξ )=0. 而F (x )=f (x )+x f '(x ), 所以f (ξ)+ξf '(ξ)=0. 8. 求数列}{n n 的最大项. 解 令xx x x x f 1)(==(x >0), 则x x x f ln 1)(ln =,)ln 1(1ln 11)()(1222x xx x x x f x f -=-='⋅,)ln 1()(21x x x fx -='-.令f '(x )=0, 得唯一驻点x =e .因为当0<x<e时, f'(x)>0; 当x>e时, f'(x)<0, 所以唯一驻点x=e 为最大值点.因此所求最大项为333max{=.,2}3。
高数总复习3参考答案
第三章 中值定理与导数的应用一、填空题1．02sin limxxx x x e ex-→-=--212．11lim ()x x x e →+= 2e3．=-→221)1(lnlimx xx 14．曲线211().y x x =-+++的水平渐近线是___________ . .1-=y5.函数432.y x x =-的拐点为________. 拐点(0,0), (1,1) 6．1ln()y x x =-+的单调区间是 增区间0(,)+∞；减区间10(,)- 7．函数)0(542<-=x xx y 的最小值是 128．函数x x y 2⋅=的极小值点为 2ln 1-9．函数4225y x x =-+在区间[-2,2]上的最小值是 4 10．函数arctan y x x =+的斜渐近线有 2y x π=±11．假设某种产品的供给函数和需求函数分别为2520s q p =+，5100d q p =-+，那么该产品的市场均衡价格为___________,此时均衡量为____________. 4,80 12．设某种商品的市场需求量与价格的函数关系式为005100.pq e -=，那么当价格为20的时该商品的需求弹性()__________.p η= 1 13．某种商品的平均成本为32()C q q=+，那么其边际成本为_________. 214．对于函数3()f x x =在区间[-1,2]上满足拉格朗日中值定理的点__.ξ= 1二、单项选择题1．下列函数中满足罗尔定理条件的是（ A ）A ．25623(),[,];f x x x x =-+∈B ．150105,,().x x f x x +-≤<⎧⎪=⎨≤≤⎪⎩C ．231021(),[,];()f x x x =∈-D ．01(),[,].xf x xe x -=∈2．设0x 为()f x 的极大值点，则（ B ）A ．必有00()f x '= B. 00()f x '=或不存在； C ．0()f x 为()f x 在定义域内的最大值； D. 必有00()f x ''< 3．设123()()()()f x x x x =---则方程0()f x '=（ C ）.A . 无实根;B 有三个实根123,,x =C.有两个实根,分别位于(1,2),(2,3)之间;D.有一个实根,位于(1,3)之间.4．下列各命题中，正确的是 B A .若)(x f y =在0x x =处有0)("0=x f ，则),(00y x 一定是曲线)(x f y =的拐点 B .若可导函数)(x f y =在0x x =处取得极值，则0)('0=x fC .若)(x f y =在0x x =处有0)('0=x f ，则)(x f 在0x x =处一定取得极值D .极大值一定大于极小值5．已知函数bx ax x x f ++=23)(在点1=x 处取得极值2-，则 B A .0,3=-=b a 且点1=x 为函数)(x f 的极小值点 B .3,0-==b a 且点1=x 为函数)(x f 的极小值点 C .0,3=-=b a 且点1=x 为函数)(x f 的极大值点 D .3,0-==b a 且点1=x 为函数)(x f 的极大值点6．函数)(x f y =的导数)(''x f y =的图像如图所示，则下列结论正确的是 D A .在)1,(--∞内，曲线)(x f y =是凸的B .在),(+∞-∞内，曲线)(x f y =是凸的C .在),(+∞-∞内，曲线)(x f y =是直线D .在),(+∞-∞内，曲线)(x f y =是凹的7．下列函数中在区间[1,e]上满足拉格朗日中值定理条件的是 （ B ） A ）x ln ln B ）x ln C ）1xln D ）2x ln()-8．设f(x)与g(x)可导，0)(lim )(lim ==→→x g x f ax ax ，且A x g x f ax =→)()(lim ，则 CA)必有A x g x f ax =''→)()(lim B ）必有B B x g x f ax ≠=''→A )()(lim 存在，且C)如果 B B x g x f ax ==''→A )()(lim 存在，则 D ）如果B B x g x f ax ==''→A )()(lim 存在，不一定14．函数arctan y x x =的图形 B A) (,)-∞+∞ 处处是凸的； B ）(,)-∞+∞ 处处是凹的； C) 00(,) 是拐点； D ）以上说法都不对9.设函数f(x)在[0,1]上有0"()f x >，那么1010(),(),()()f f f f ''-或者01()()f f -之间的关系为（ ） BA) 1010()()()()f f f f ''>>- B ）1100()()()()f f f f ''>-> C) 1010()()()()f f f f ''->> D ）0110()()()()f f f f ''->> 10．下列四个命题中正确的是（ ） CA) 如果 ()f x '在(0,1)内连续，那么()f x 在(0,1)内有界 B ）如果 ()f x 在(0,1)内连续，那么()f x 在(0,1)内有界C) 如果 ()f x '在(0,1)内有界，那么()f x 在(0,1)内有界 D ）如果 ()f x 在(0,1)内有界，那么()f x '在(0,1)内有界11．设21()()lim()x af x f a x a →-=--，则在a x =处（ ）B（A ）)(x f 导数存在且0)(≠'a f ； （B ）)(x f 取得极大值； （C ）)(x f 取得极小值； （D ）)(x f '不存在. 12．已知f (x ) 在x = 0的某邻域内连续，且f (0) =0，21cos )(lim=-→x x f x ，则在x=0处，f (x ) .（A ）不可导 （B ）可导且0)0(≠'f （C ）取得极大值 （D ）取得极小值 C三、求下列极限1．1tan 1tan 1lim---+→xx e xx2．1111111lim cot 11ln lim22=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→+∞→xx xx arc x x x 3．2121lim 11lim 1112lim 12121-=-=--=⎪⎭⎫⎝⎛---→→→x x x x x x x x 4．11sec 12sin lim sin tan sec 12lim cos sec )1ln(lim 2202020=++⋅=++=-+→→→x xx x x x x x x x x x x x x 5．⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→x x x 1cos1lim 2 （21=）6．⎪⎭⎫⎝⎛-→221sin1lim x xx （31=） 7．⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎪⎭⎫⎝⎛+++→→→x x x x x x x xx cot ln lim exp 1ln tan lim exp 1lim 00tan 0 =⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++→→x x x x x x x sin sin lim exp csc 1lim exp 020 =10=e8．⎭⎬⎫⎩⎨⎧==+++→⋅→→x x exx xx x xx csc ln lim ex p lim lim 0ln sin 0sin()1}tan lim exp{cot csc 1lim exp 00=-=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅-++→→x x x x x x四、应用题1．求x x y ln 22-=的单调区间。
高教版《数学》基础模块(上册)《第3章函数》复习题及答案
高教版《数学》基础模块（上册）《第3章函数》复习题及答案A 知识巩固一、选择题.1. 与函数y=x表示同一个函数的是( ).A. y=x2x B. y=√x2 C. y=(√x3)3 D. y=x(x≥0)2. 函数f(x)={−1,x>0,0,x=0,的图像是图3−38中的( ) 1,x<0).图3-383. 在(0,+∞)上为减函数的是( ).A. y=x2B. y=2x−1C. y=1xD. y=x2−2x4. 若二次函数y=(m+1)x2+(m2−1)x+4在(−∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上是增函数,则m=( ).A. -1B. 1C. ±1D. 05. 在定义域内,下列函数既是奇函数又是增函数的是( ).A. y=3xB. y=2C. y=x2D. y=√xx6. 设点(3,4)为奇函数y=f(x)图像上的一点,则下列各点中,也在该函数图像上的是( ).图3-39A.(-3,4)B.(3, - 4)C.(-3, - 4)D.(-4, - 3)7. 奇函数y=f(x)在[3,7]上的图像如图3-39 所示,则以下关于函数y=f(x)在[−7,−3]上单调性和最值的说法中,正确的是( ).A. 增函数且最小值为-5B. 增函数且最大值为-5C. 减函数且最小值为-5D. 减函数且最大值为-58. 若偶函数f(x)在(−∞,0)上是减函数,则( ).A. f(1)>f(2)B. f(1)<f(2)C. f(1)=f(2)D. 不能确定f(1)与f(2)的大小9. 如图3-40 所示,在同一个平面直角坐标系中,函数y=kx2和y=kx−2(k≠0)的图像可能是( ).图3-40二、填空题.10. 已知函数f(x)=x2+4x+1,则f(2)=_____.11. 已知函数f(x)={x2+1,x≥0,−x+1,x<0,则f[f(−1)]=_____.12. 函数y=√1−x2的定义域为__ ___.13. 函数y=3x2−2的增区间为_____.14. 一列快车从甲地驶往乙地, 一列慢车从乙地驶往甲地, 两车同时匀速出发, 设两车行驶的时间为x( h),两车之间的距离为y( km),y与x的函数关系如图3-41 所示. 则(1)甲、乙两地相距_____ km；(2) 慢车的速度为_____ kmh ,快车的速度为_____ kmh;(3)线段BC所表示的y与x之间的函数关系式为_____.图3-41三、解答题.15. 已知函数f(x)=kx+5,且f(2)=3,求f(x)>0时x的取值范围.16. 求下列函数的定义域.(1) y=√2x−4+√9−3x−7; (2) y=√x2−x.17. 判断下列函数的奇偶性.(1) f(x)=x+5; (2) f(x)=3x;(3) f(x)=1−2x2; (4) f(x)=x+|x|.18. 作出以下函数的图像, 并结合图像判断函数在定义域上的单调性. (1) y=−x+3; (2) y=x2−4x+6.19. 已知函数f(x)={−2,−1≤x<0,3x−2,x≥0.(1) 求函数f(x)的定义域;(2) 作出函数f(x)的图像.B 能力提升1. 求函数f(x)=√x2−4+1的定义域.x−32. 已知函数y=x2−2x.(1) 求函数的值域;(2)判断函数在(−∞,1)上的单调性.3. 已知函数f(x)是定义在(-5,7)上的减函数,若f(m−1)>f(2m−1),求实数m的取值范围.4. 已知偶函数f(x)在[0,+∞]上是增函数,且f(2)=0.(1) 当x为何值时, f(x)>0?(2) 当x为何值时, f(x)≤0?5. 用长为12 m的篱笆材料,并利用已有的一面墙(设长度够用) 作为一边,围出一块矩形园地, 如图3-42 所示. 矩形的长和宽各是多少米时, 矩形园地的面积最大? 最大面积是多少?图3-42C 学以致用新能源汽车具有节约能源、减少废气排放、保护环境、效率高等优点. 小王准备买一辆9 万元的新能源汽车作为出租车,根据市场调查,此汽车使用n(n∈N∗,n≤8)年的总支出为(0.25n2+0.25n)万元,作为出租车使用每年的收入为5.25 万元(不考虑其他因素). 求:(1) 该汽车的总利润W(万元) 与使用年限n之间的函数关系式;(2) 该汽车从第几年起开始实现盈利?答案：A 组一、选择题1. C.2. D.3. C.4. B.5. A.6. C.7. B.8. B.9. D.二、填空题10. 13 .11. 5 .12. [−1,1].14. (1) 900; (2) 75,150; (3) y=225x−900,x∈[4,6].三、解答题15. (−∞,5).16. (1) [2,3];(2)(−∞,0)∪(1,+∞).17. (1) 既不是奇函数也不是偶函数; (2) 奇函数; (3) 偶函数; (4) 既不是奇函数也不是偶函数.18. (1) 在定义域(−∞,+∞)上递减;(2) 在(−∞,2]上递减,在[2,+∞)上递增.19. (1) [−1,+∞) (2)B 组1. (−∞,−2]∪[2,3)∪(3,+∞) .2. (1) [−1,+∞) ;(2)单调递减.3. 由 {−5<m −1<7,−5<2m −1<7, 解得 m 的取值范围是 (0,4).m −1<2m −14. 当 x ∈(−∞,−2)∪(2,+∞) 时, f (x )>0 ;当 x ∈[−2,2] 时, f (x )≤0 .5. 当长宽分别为 6 m 、 3 m 时,面积最大,最大面积为 18 m 2 .C 组(1) w =−0.25n 2+5n −9(n ∈N ∗,n ≤8) ;(2) n =3 .。
考研高数三试题及答案
考研高数三试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 求极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\) 的值是：A. 0B. 1C. \(\infty\)D. -1答案：B2. 设函数 \(f(x) = x^3 - 3x\)，求导数 \(f'(x)\)：A. \(3x^2 - 3\)B. \(x^2 - 3\)C. \(3x^2 + 3\)D. \(x^3 - 3\)答案：A3. 以下哪个选项是函数 \(y = \ln(x^2 + 1)\) 的原函数：A. \(x^2 + 1\)B. \(2x\)C. \(x\ln(x^2 + 1)\)D. \(\frac{x}{x^2 + 1}\)答案：C4. 计算定积分 \(\int_{0}^{1} x^2 dx\) 的值：A. \(\frac{1}{3}\)B. \(\frac{1}{2}\)C. \(\frac{1}{4}\)D. \(\frac{1}{6}\)答案：D二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数 \(f(x) = e^x\) 的导数是 \(f'(x) = ______\)。
答案：\(e^x\)2. 计算行列式 \(\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix}\) 的值是 ______。
答案：-23. 函数 \(y = \sin x\) 在区间 \([0, \pi]\) 上的最小值是______。
答案：04. 求函数 \(y = \ln x\) 的反函数是 ______。
答案：\(e^x\)三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数 \(y = x^3 - 6x^2 + 9x + 1\) 的极值点。
解：首先求导数 \(y' = 3x^2 - 12x + 9\)，令 \(y' = 0\) 得到\(x = 1\) 或 \(x = 3\)。
高等数学第三章试题库
第三章试题库一、选择题。
1.若)(u f 可导,且)(x e f y =,则有=dy （）A.()x f e dx' B.()x xf e de ' C.()x x f e de '⎡⎤⎣⎦D.()x x f e e dx '⎡⎤⎣⎦2.当n →+∞，55,ln ,ln ,5n n n 趋于无穷大速度最快的是()A.5n B.5ln n C.ln D.5n3.当n →+∞，55,ln ,ln ,5n n n 趋于无穷大速度最慢的是()A.5ln n B.5ln n C.ln D.5n4.设()(1)(2)(), f x x x x n =--- 则()=0f x '在开区间(2,)n 有（）个零点A.1n - B.1n - C.2n - D.n5.设()(1)(2)(), x x x f x e e e n n Z +=---∈ 则(0)=f '（)A.1(1)(1)!n n --- B.(1)(1)!n n -- C.1(1)!n n -- D.(1)!n n -6.设()(1)(2)(), f x x x x n n Z +=---∈ 则(1)=f '（)A.1(1)(1)!n n --- B.(1)(1)!n n -- C.1(1)!n n -- D.(1)!n n -7.设()(1)(2)(10), f x x x x =--- 则(1)=f '（)A.9!- B.0C.9!D.10!8．设2()ln(1)f x x =+,则该函数在(0,)+∞内的图象为()A.递增的凹弧B.递减的凹弧C.递增的凸弧D.递减的凸弧9．设()ln(1)f x x x =+-,则该函数在(1,0)-内的图象为()A.递增的凹弧B.递减的凹弧C.递增的凸弧D.递减的凸弧10．设()x f x e x =-,则该函数在(1,0)-内的图象为()A.递增的凹弧B.递减的凹弧C.递增的凸弧D.递减的凸弧11.设函数()f x 在[,]a b 上连续，且在(,)a b 内()0f x ''>，则在(,)a b 内等式()()()f b f a f b aξ-'=-成立的ξ()A．存在B．不存在C．惟一D．不能断定存在12．曲线53(1)5y x =-+()A．有极值点1x =,但无拐点B．有拐点(1,5),但无极值点C．有极值点1x =,有拐点(1,5)D．既无极值点,又无拐点13.下列函数中，在区间[1,1]-上满足罗尔定理条件的是（）.A．2ln(1)y x =-B．21y x =-C．||x y e =D．sin y arc x =14.若函数)(x f y =在点0x 处取得极大值，则必有().A.0()0f x '= B.0()0f x '<C.0()0f x '=且0()0f x ''< D.0()0f x '=或0()f x '不存在15.若在区间),(b a 内有()0,f x '>()0,f x ''<则曲线弧)(x f y =为().A.递增的凸弧B.递增的凹弧C.递减的凸弧D.递减的凹弧16.下列函数中在区间]3,0[上不满足拉格朗日定理条件的是（）.A.221x x ++ B.cos(1)x + C.22(1)x x - D.ln(1)x +17．若)(x f 在a x =处取得极值，则（）。
高数前3章测试题及答案
高等数学上册前3章练习题一、 填空1．⎩⎨⎧>+≤+=0,0,1)(x b ax x e x f x 在x =0处可导，则=a ，=b （1，2）2．已知2)3(='f ,则=--→hf h f h 2)3()3(lim-13.曲线处的切线方程为在2132=⎪⎩⎪⎨⎧=+=t ty tx )5(38-=-x y4. 抛物线24x x y -=在其顶点处的曲率为_______________25. 设)()2)(1()(n x x x x x f +++= ，则=')0(f _______________!n6. 曲线123-=x x y 的渐近线方程是______________________12x =7. 设)(0x f '存在，则0lim→h =--hh x f x f )()(00 )(0x f '8. 曲线xx y ln =的拐点坐标为 ( 232323,-e e ) 9．函数7186223+--=x x x y 的极大值点为 ，极小值点为 3,1=-=x x10．．设y =y (x )由方程yexy e+=所确定，则0()y '=（ ）.二、选择1．2)11(lim xx x x -∞→-+=（ ）。
（D ） （A ）1（B ）21e （C ）0 （D ）1-e2．设函数x x a y 3sin 31sin +=在x =3π处取得极值，则=a （ ）C（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 3．下列命题不正确的是 cA 、非零常数与无穷大之积是无穷大。
B 、0与无穷大之积是无穷小。
C 、无界函数是无穷大。
D 、无穷大的倒数是无穷小。
4．若l x ax x x =+++-→14lim 31，则 。
（C ）（A ）3,6==l a （B ）3,6=-=l a （C ）6,3==l a （D ）6,3-=-=l a5设22,2,21)(2=⎪⎩⎪⎨⎧>+≤=x x b ax x x x f 在处可导，则必有 B A 、==b a 2 B 、a =2,2-=b C 、a =1, b =2 D 、a =3, b =26. 若22lim 221=-+++→x x bax x x ，则 B A 、a =2,b =4 B 、a =4, b =-5 C 、a =1, b =-2 D 、a =-4, b =57,设)(x f 在0x 处可导，则=--+→hh x f h x f h )()(lim000BA 、)('0x fB 、)('20x fC 、0D 、)2('0x f8.若则,)(lim c x f x =∞→ AA 、)(x f y =有水平渐近线c y =B 、)(x f y =有铅直渐近线c x =C 、c x f =)(D 、)(x f 为有界函数9.若a x f x x =→)(lim 0，则必有_____CA 、)(x f 在0x 点连续；B 、)(x f 在0x 点有定义；C 、)(x f 在0x 的某去心邻域内有定义；D 、)(0x f a =10. ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(x x xx x f 在0=x 处____B A 、 不连续； B 、连续但不可导； C 、可导，但导数在该点不连续； D 、导函数在该点连续11 .设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<+=0,1cos 0,00,sin )(x x x x x x x x x f ，则x =0是)(x f 的 C（A ）连续点 （B ）可去间断点 （C ）跳跃间断点 （D ）振荡间断点12. 设)(x f 在0x x =处连续且)(0x f '不存在，则)(x f y =在))(,(00x f x 处 （D ）（A ）没有切线 （B ）有一条不垂直 x 轴的切线（C ）有一条垂直x 轴的切线 （D ）或者不存在切线或者有一条垂直于x 轴的切线。
高数三复习题
高数三复习题一、极限的概念与性质1. 极限的定义- 请解释数列极限的定义。
- 给出函数在某点极限的定义。
2. 极限的性质- 极限的唯一性、有界性、保号性。
- 极限的四则运算法则。
3. 极限存在的条件- 请列举函数极限存在的条件。
4. 无穷小与无穷大- 无穷小的定义和阶数。
- 无穷大的概念。
二、导数与微分1. 导数的定义- 给出导数的定义，并解释其几何意义。
2. 基本导数公式- 列出基本初等函数的导数公式。
3. 高阶导数- 解释高阶导数的概念，并给出求高阶导数的方法。
4. 微分- 微分的定义和几何意义。
- 微分与导数的关系。
三、中值定理与泰勒公式1. 罗尔定理- 罗尔定理的条件和结论。
2. 拉格朗日中值定理- 拉格朗日中值定理的条件和结论。
3. 柯西中值定理- 柯西中值定理的条件和结论。
4. 泰勒公式- 泰勒公式的定义和应用。
四、不定积分1. 不定积分的定义- 解释不定积分的概念。
2. 基本积分公式- 列出基本初等函数的积分公式。
3. 换元积分法- 解释换元积分法的原理和应用。
4. 分部积分法- 分部积分法的原理和应用。
五、定积分1. 定积分的定义- 定积分的定义和几何意义。
2. 定积分的性质- 定积分的基本性质。
3. 定积分的计算- 定积分的计算方法。
4. 定积分的应用- 定积分在几何、物理等领域的应用。
六、级数1. 级数的概念- 级数的定义和分类。
2. 收敛性判别- 给出级数收敛性的判别方法。
3. 幂级数- 幂级数的定义和收敛区间。
4. 泰勒级数- 泰勒级数的定义和应用。
七、多元函数微分学1. 偏导数- 偏导数的定义和几何意义。
2. 全微分- 全微分的定义和计算方法。
3. 多元函数的极值- 多元函数极值的概念和求法。
八、重积分1. 二重积分- 二重积分的定义和计算方法。
2. 三重积分- 三重积分的定义和计算方法。
3. 重积分的应用- 重积分在几何、物理等领域的应用。
九、曲线积分与曲面积分1. 曲线积分- 曲线积分的定义和计算方法。
高等数学复习题3答案
高等数学复习题3答案一、单项选择题1. 若函数f(x)在x=a处可导，则下列说法正确的是（C）。
A. f(x)在x=a处连续B. f(x)在x=a处不可导C. f(x)在x=a处连续且可导D. f(x)在x=a处不连续2. 函数f(x)=x^2在区间[1,2]上的平均值是（B）。
A. 1.5B. 3/2C. 2.5D. 53. 微分方程y'=2x的通解是（D）。
A. y=x^2+CB. y=x^2-CC. y=-x^2+CD. y=x^2+C二、填空题1. 函数f(x)=x^3-3x+2的导数是f'(x)=________。
答案：3x^2-32. 曲线y=x^2在点(1,1)处的切线方程是y-1=________。
答案：2(x-1)3. 函数f(x)=sin(x)的不定积分是F(x)=________。
答案：-cos(x)+C三、解答题1. 求极限lim(x→0) (sin(x)/x)。
解：根据洛必达法则，我们有lim(x→0) (sin(x)/x) = lim(x→0) (cos(x)/1) = 1。
2. 计算定积分∫[0,π] sin(x)dx。
解：根据微积分基本定理，我们有∫[0,π] sin(x)dx = [-cos(x)](0,π) = -cos(π) - (-cos(0)) = 2。
3. 证明函数f(x)=x^3在R上是增函数。
证明：首先计算f(x)的导数，得到f'(x)=3x^2。
由于对于所有x∈R，3x^2≥0，所以f'(x)≥0。
因此，函数f(x)=x^3在R上是增函数。
四、证明题1. 证明不等式：对于任意正实数a和b，有(a+b)/2≥√(ab)。
证明：首先计算(a+b)^2-4ab，得到(a-b)^2。
由于(a-b)^2≥0，我们有(a+b)^2≥4ab，即(a+b)/2≥√(ab)。
2. 证明函数f(x)=x^2在(0,+∞)上是凹函数。
证明：首先计算f(x)的二阶导数，得到f''(x)=2。
高数前两章复习题和答案
高数前两章复习题和答案# 高数前两章复习题和答案一、极限的概念与性质复习题：1. 定义极限的概念，并给出一个函数在某一点的极限的例子。
2. 解释什么是无穷小，什么是无穷大，并给出一个函数在无穷远处的极限的例子。
3. 举例说明极限存在的充分条件。
4. 解释什么是夹逼定理，并给出一个应用夹逼定理求解极限的例子。
5. 说明极限的性质，并给出一个函数极限的运算法则的例子。
答案：1. 极限的概念是指当自变量趋近于某一点时，函数值趋近于一个确定的数。
例如，函数 \( f(x) = \frac{1}{x} \) 在 \( x \) 趋近于 0 时的极限是无穷大。
2. 无穷小是指当自变量趋近于无穷时，函数值趋近于 0 的函数。
无穷大是指当自变量趋近于无穷时，函数值趋近于无穷的函数。
例如，函数 \( g(x) = \frac{1}{x^2} \) 在 \( x \) 趋近于无穷时的极限是 0。
3. 极限存在的充分条件包括：单调有界准则、夹逼准则等。
4. 夹逼定理是指如果两个函数 \( f(x) \) 和 \( h(x) \) 都趋近于同一个极限 \( L \)，并且它们在 \( x \) 趋近于 \( a \) 时夹着另一个函数 \( g(x) \)，即 \( f(x) \leq g(x) \leq h(x) \)，那么 \( g(x) \) 在 \( x \) 趋近于 \( a \) 时的极限也是 \( L \)。
5. 极限的性质包括唯一性、局部有界性、保号性等。
例如，如果\( \lim_{x \to a} f(x) = L \) 和 \( \lim_{x \to a} g(x) = M\)，那么 \( \lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = L + M \)。
二、导数与微分复习题：1. 定义导数的概念，并给出一个函数在某一点的导数的例子。
2. 解释什么是可导函数，并给出一个函数不可导的例子。
高数三练习题基础练习题
高数三练习题基础练习一、极限与连续1. 计算下列极限：(1) lim(x→0) (sinx/x)(2) lim(x→1) (1/x 1/2x)(3) lim(x→+∞) (e^x / (x^2 + 1))(4) lim(x→0) (x^2 sin^2x) / x^42. 判断下列函数在指定点的连续性：(1) f(x) = |x| x，在x=0处(2) f(x) = (x^2 1) / (x 1)，在x=1处(3) f(x) = sqrt(1 x^2)，在x=1处二、导数与微分1. 求下列函数的导数：(1) y = x^3 3x + 2(2) y = (x^2 + 1)^5(3) y = ln(sin^2x)(4) y = e^(2x) sinx2. 求下列函数的微分：(1) y = sqrt(1 + x^2)(2) y = arcsin(x/2)(3) y = tan^(1)(x^2)三、中值定理与导数的应用1. 验证下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理：(1) f(x) = x^3 3x，区间[0, √3](2) f(x) = e^x x 1，区间[0, 1]2. 求下列函数在给定区间上的最大值和最小值：(1) f(x) = x^3 3x^2 + 4，区间[1, 3](2) f(x) = e^x x，区间[0, 2]四、不定积分与定积分1. 计算下列不定积分：(1) ∫(3x^2 2x + 1)dx(2) ∫(e^x / (x^2 + 1))dx(3) ∫(cosx / sin^2x)dx2. 计算下列定积分：(1) ∫(从0到π) (sinx)dx(2) ∫(从1到e) (1/x)dx(3) ∫(从1到1) (x^3 + x^2)dx五、多元函数微分学1. 求下列函数的一阶偏导数：(1) z = x^2 + y^2(2) z = e^(x+y) sin(xy)(3) z = ln(sqrt(x^2 + y^2))2. 求下列函数的二阶混合偏导数：(1) z = x^3y^2(2) z = arcsin(x + y)六、重积分1. 计算下列二重积分：(1) ∬(从0到1，从0到x) (y + x)dydx(2) ∬(从0到π，从0到π) (sinx siny)dydx(3) ∬(从0到1，从y到1) (x^2 + y^2)dxdy2. 计算下列三重积分：(1) ∭(从0到1，从0到x，从0到z) (x + y + z)dydzdx(2) ∭(从0到π，从0到π，从0到π) (sinx siny sinz)dydzdx七、级数1. 判断下列级数的收敛性：(1) Σ (从n=1到∞) (1/n^2)(2) Σ (从n=1到∞) (n/(n^2 + 1))(3) Σ (从n=1到∞) (1)^(n1) / n2. 求下列幂级数的收敛区间：(1) Σ (从n=0到∞) x^n / n!(2) Σ (从n=1到∞) (x^n / n^2)(3) Σ (从n=1到∞) (1)^(n1) (x^n / n)八、常微分方程1. 求下列微分方程的通解：(1) y' y = e^x(2) (dy/dx) + y/x = 1/x^2(3) (d^2y/dx^2) + 4y = 02. 求下列微分方程的特解：(1) y'' 2y' + y = x^2(2) y'' + y = sinx(3) (dy/dx) + y = e^x cosx九、空间解析几何与向量代数1. 计算下列向量的模：(1) 向量a = (2, 3, 6)(2) 向量b = (4, 0, 8)2. 求下列向量的点积和叉积：(1) 向量a = (1, 2, 3)，向量b = (4, 1, 2)(2) 向量a = (2, 5, 3)，向量b = (1, 4, 2)十、线性代数1. 求下列矩阵的行列式：(1) |1 2 3||4 5 6||7 8 9|(2) |2 3||4 5|2. 求下列线性方程组的解：(1) x + 2y z = 42x y + 3z = 6x + y + 2z = 7(2) 3x + 4y 2z = 72x y + z = 3x + 2y 3z = 1答案一、极限与连续1.(1) 1(2) 1/2(3) +∞(4) 1/32.(1) 连续(2) 不连续(3) 不连续二、导数与微分1.(1) y' = 3x^2 3(2) y' = 10x(x^2 + 1)^4(3) y' = (2cosx)/sinx(4) y' = 2e^(2x)sinx + e^(2x)cosx 2.(1) dy = (x/sqrt(1 + x^2))dx(2) dy = (1/(2sqrt(1 (x/2)^2)))dx(3) dy = (1/(1 + x^2))dx三、中值定理与导数的应用1.(1) 满足(2) 满足2.(1) 最大值8，最小值4(2) 最大值e^2 2，最小值e 1四、不定积分与定积分1.(1) (x^3 x^2 + x) + C(2) e^x atan(x) + C(3) ln|sinx| + C2.(1) 2(2) 1(3) 0五、多元函数微分学1.(1) ∂z/∂x = 2x, ∂z/∂y = 2y(2) ∂z/∂x = e^(x+y)(sin(xy) + cos(xy)), ∂z/∂y = e^(x+y)(sin(xy) cos(xy))(3) ∂z/∂x = x/(x^2 + y^2), ∂z/∂y = y/(x^2 + y^2)2.(1) ∂^2z/∂x∂y = 6xy, ∂^2z/∂y∂x = 6xy(2) ∂^2z/∂x∂y = ∂^2z/∂y∂x = 1/(sqrt(1 (x + y)^2))六、重积分1.(1) 5/6(2) π^22.(1) 11/12(2) (π^3)/8七、级数1.(1) 收敛(2) 发散(3) 收敛2.(1) (∞, +∞)(2) (1, 1](3) (1, 1)八、常微分方程1.(1) y = Ce^x e^x(2) y = Cx 1(3) y = C1 cos(2x) + C2 sin(2x)2.(1) y = (1/6)x^3 (1/4)x^2 + (1/2)x + C(2) y = (1/2)sinx + C(3) y = (1/5)e^x (sinx + 2cosx) + C九、空间解析几何与向量代数1.(2) 4√52.(1) 点积：10，叉积：(5, 7, 1)(2) 点积：0，叉积：(6, 16, 14)十、线性代数1.(1) 0(2) 72.(1) x = 2, y = 1, z = 1(2) x = 1, y = 1, z = 1。
高三数学前三章试卷及答案
一、选择题（每题5分，共30分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，则f(x)的图像的对称轴是：A. x = 1B. x = -1C. y = 1D. y = -1答案：A2. 下列命题中正确的是：A. 对于任意的实数a，都有a^2 ≥ 0B. 函数y = x^3在定义域内单调递增C. 若a > b，则a^2 > b^2D. 对于任意的实数a，都有a^3 ≥ 0答案：A3. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1 = 1，S5 = 15，则公差d是：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B4. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，若f(1) = 2，f(2) = 8，则a + b + c的值为：A. 10B. 12C. 14答案：C5. 下列函数中，定义域为实数集R的是：A. y = √(x - 1)B. y = 1/xC. y = x^2D. y = |x|答案：C二、填空题（每题5分，共20分）6. 函数f(x) = x^3 - 3x的零点是______。
答案：0，±√37. 等差数列{an}中，若a1 = 2，d = 3，则第10项an = ______。
答案：298. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，则f(x)的图像与x轴的交点坐标是______。
答案：（1，0），（3，0）9. 函数y = log2(x + 1)的值域是______。
答案：（0，+∞）10. 等比数列{an}中，若a1 = 3，q = 2，则第5项an = ______。
答案：48三、解答题（共50分）11. （15分）已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 6，求：（1）f(x)的图像的对称中心；（2）函数f(x)的增减区间。
（1）对称中心为（1，-2）；（2）增区间为（-∞，1）和（2，+∞），减区间为（1，2）。
12. （15分）已知等差数列{an}中，a1 = 1，公差d = 2，求：（1）数列的前10项和S10；（2）数列的第n项an。
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前三章复习卷三一、填空题（本题6小题，每空4分，满分24分，每小题给出四个选项，把正确答案填在 题后的横线上） 1、___________________)1)(21ln(sin lim2=-+-→xx e x x x ；2、设⎩⎨⎧≥+<+=0),1ln(0,)(x x x b ae x f x 在点0=x 处可导，则______=a ，_______=b ；3、若1)(='a f ，则___________)21ln()()3(lim=++--→h h a f h a f h ；4、设⎩⎨⎧-=-=ty t t x cos 1sin ，则__________22=dx y d ；5、曲线)0)(31ln(>+=x xe x y 的斜渐近线为_____________；6、设n x y 2=在点)1,1(处的切线与x 轴交于点)0,(n λ，则____lim =∞→nn n λ。
二、计算（每小题6分，共30分）1、 求极限x xx xe sin 1)21(lim +→。
2、]1)1(ln [lim 2xx x x -+→。
3、设⎩⎨⎧-=+=tt y t x arctan )1ln(2，求22,dx y d dx dy 。
4、设)(x y y =由⎪⎩⎪⎨⎧=+-++=01sin 3232y t e t t x y确定，求0|=t dx dy 。
5、设)(x y y =是由方程xy yx arctanln 22=+所确定（y x y x ≠≠≠,0,0），求dy 。
三、解答下列各题（每小题6分，共18分） 1、证明：当0>x 时，x x <+)1ln(。
2、求函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(2x x xx x f 的导数，并讨论)(x f '在0=x 是的连续性。
3、设⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+>=-01),1ln(0,)(11x x x e x f x ，求函数)(x f 的间断点，并说明间断点的类型。
四、（本题7分）)(x f 在],[b a 上二阶可导，且0)(≠''x f ，0)()(==b f a f 。
证明： （1） 任意),(b a x ∈，0)(≠x f ；（2）存在),(b a ∈ξ，使得)()(ξξf f '=。
五、（本题满分7分）试确定常数c b a ,,的值，使得曲线c bx ax x y +++=23在点)1,1(-处有拐点，且在0=x 处有极大值1，并求此函数的极小值。
六、（本题满分7分）若直角三角形的一直角边与斜边之和为常数，求有最大面积的直角三角形。
七、（本题7分）设函数)(x f 在区间],[b a 上连续，在),(b a 内可导，)(x f 在),(b a 内至少有一个零点，且M x f ≤'|)(|，证明：M ab b f a f ≤-+|)(||)(|。
八（本题7分）设)(x f 在],[b a 上二阶可导且0)(>''x f ，取],[,21b a x x ∈，对任意的10<<λ，证明：)()1()(])1([2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+。
2、（本题7分）证明方程22ln -=ex x 在),0(+∞内有且仅有两个根。
3、（本题6分）设11=x ，011=-++n n x x ，证明：极限n n x ∞→lim 存在并计算其极限。
前三章复习卷三参考答案一、填空题： 1、121； 2、1,1-==b a ；3、解答： hh a f h a f h h a f h a f h h 2)()3(lim)21ln()()3(lim+--=++--→→2)(2])()(3)()3(3[lim 210-='-=-+-----=→a f ha f h a f h a f h a f h 。
4、解答：tt dtdx dt dy dxdy cos 1sin //-==， 222)cos 1(1cos 1)cos 1sin (//)(t tt tdtdx dtdx dyd dxy d --=-'-==。
5、解答：1lim=+∞→xy x ，eexx x y x x 31)311ln(lim )(lim =+=-+∞→+∞→，则曲线)0)(31ln(>+=x xe x y 的斜渐近线为ex y 31+=。
6、解答：122-='n nxy ，则nxy 2=在点)1,1(的切线方程为)1(21-=-x n y ，令0=y ，得nn 211-=λ，则21212])211[(lim )211(lim lim ---∞→∞→∞→=-=-=ennnn nn nn n λ。
二、计算： 1、解：x xexe xx xxx xxxe xe sin 221sin1])21[(lim )21(lim +=+→→ （3分）2sin 2lim 0e exx exx ==→。
（3分）2、解： 解答：)1(ln )1(ln lim]1)1(ln [lim 22202x x x x xx x x x ++-=-+→→ （3分）2322)1ln()1ln(lim)1(ln limxx x x x x xx x x x +-⋅++=+-=→→ 111lim 2111lim2)1ln(lim2002=+=+-=+-=→→→x xxxx x x x x 。
（3分） 3、解：2//t dtdx dt dy dxdy ==， （3分）tt dt dx dtdx dy d dxyd 41//)/(222+==。
（3分）4、解：当0=t 时，1=y 。
2|,260=+==t dtdx t dtdx ， （2分）方程01sin =+-y t e y 两边对t 求导数，得0cos sin =-+dtdy t e dtdy te yy，则e dtdy t ==0|， （2分）于是2|//|00e dtdx dt dy dxdy t t ====。
（2分）5、解： 方程xy yx arctan ln22=+两边对x 求导数，得 2222)(112221x ydx dy xxyyx dxdy y x -+=++， （3分）解得 y x yx dx dy -+=， （2分） 所以dx yx y x dy -+=。
（1分）三、解答下列各题： 1、证明：令)1ln()(x x x f +-=，0)0(=f 。
（3分） 因为)0(01111)(>>+=+-='x xxx x f ，所以)(x f 在),0[+∞上单调增加，从而当0>x 时，有0)0()(=>f x f ，于是x x <+)1ln(。
（3分）2、解答：当0≠x 时，xx x x f 1cos1sin 2)(-='；当0=x 时，因为01sinlim )0()(lim==-→→xx xf x f x x ，所以0)0(='f ，于是⎪⎩⎪⎨⎧=≠-='0,00,1cos 1sin2)(x x xx x x f 。
（4分） 因为)(lim 0x f x '→不存在，而0)0(='f ，所以0=x 为)(x f '的第二类间断点。
（2分）3、解：函数)(x f 在0=x 及1=x 处间断。
（2分） 因为1)00(,0)0()00(-=+==-e f f f ，所以0=x 为函数第一类间断点的跳跃间断点； （2分） 又因为+∞=+=-)01(,0)01(f f ，所以1=x 为函数的第二类间断点。
（2分） 四、解：证明：（1）若存在),(b a c ∈，使得0)(=c f ，由罗尔定理，存在),(),,(21a c c c a c ∈∈，使得0)()(21='='c f c f ，再使用罗尔定理，存在),(21c c ∈η，使得0)(=''ηf ，矛盾，所以对任意的),(b a x ∈，有0)(≠x f 。
（3分） （2）令)()(x f e x x -=ϕ，因为0)()(==b a ϕϕ，所以由罗尔定理，存在),(b a ∈ξ，使得0)(='ξϕ，而)]()([)(x f x f e x x-'='-ϕ，故0)]()([=-'-ξξξf f e，注意到0≠-ξe ，于是)()(ξξf f '=。
（4分）五、解：bax x y ++='232，因为0=x 处函数有极大值1，所以0=x 为驻点，从而有11)0(,00)0(=⇒==⇒='c y b y 。
（2分） ,26)(a x x y +=''因为)1,1(-为拐点，所以有3026)1(-=⇒=+=''a a y 。
（2分）于是有1323+-=x x y ，)2(3632-=-='x x x x y 。
令0='y ，的驻点2,021==x x 。
因为06)2(,06)0(>=''<-=''y y ，所以函数的极小值为3)2(-=y 。
（3分）六、解：设所直角边为x ，其与斜边之和为常数L ，则有Lx L x xx L x x S 22)(21)(222-=--=。
（2分）LxL x L L LxL xLx L x S 232]22[21)(222--=---='， （3分）令0)(='x S ，得3L x =是唯一的驻点，且最大值存在，所以36)3(2LLS =为最大面积，此时x 边与斜边的夹角为3π。
（2分）七、证明：因为函数)(x f 在区间),(b a 内至少有一个零点，所以存在),(b a c ∈，使得0)(=c f 。
（3分） 由微分中值定理，得),(),)(()()(11c a a c f a f c f ∈-'=-ξξ， ),(),)(()()(22b c c b f c f b f ∈-'=-ξξ。
再由M x f ≤'|)(|，则有⎩⎨⎧-≤-≤)(|)(|)(|)(|c b M b f a c M a f ，两式相加，得)(|)(||)(|a b M b f a f -≤+，从而有 （4分） M ab b f a f ≤-+|)(||)(|。
八 1、证明：令021)1(x x x =-+λλ，由泰勒公式得 20000)(!2)())(()()(x x f x x x f x f x f -''+-'+=ξ，其中ξ介于0x 与x 之间。