江苏省常州市武进区2015届高三上学期期中考试数学理试题(含答案)

常州市武进区2015届高三（上）期中数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位

置上）

1．已知全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥2}，则集合∁U（A∪B）={x|0＜x＜2}．

考点：交、并、补集的混合运算．

专题：函数的性质及应用．

分析：本题可以先求根据集合A、B求出集合A∪B，再求出集合（A∪B），得到本题结论．解答：解：∵A={x|x≤0}，B={x|x≥2}，

∴A∪B={x|x≤0或x≥2}，

∴∁U（A∪B）={x|0＜x＜2}．

故答案为：{x|0＜x＜2}．

点评：本题考查了集合的并集运算和集合的交集，本题难度不大，属于基础题．

2．函数y=sin xcos x的最小正周期是2．

考点：三角函数的周期性及其求法．

专题：三角函数的图像与性质．

分析：利用二倍角的正弦公式可得函数f（x）=sinπx，再根据函数y=Asin（ωx+φ）的周期性可得结论．

解答：解：∵函数y=sin xcos x=sinπx，故函数的最小正周期是=2，

故答案为：2．

点评：本题主要考查二倍角的正弦公式、函数y=Asin（ωx+φ）的周期性，属于基础题．3．已知向量与共线，则实数x的值为1．

考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．

专题：平面向量及应用．

分析：根据向量平行的坐标表示，求出x的值即可．

解答：解：∵向量与共线，

∴2（3x﹣1）﹣4×1=0，

解得x=1；

∴实数x的值为1．

故答案为：1．

点评：本题考查了平面向量的坐标表示的应用问题，解题时应熟记公式，以便进行计算，是基础题．

4．△ABC中，角A，B的对边分别为a，b，则“A＞B”是“a＞b”的充要条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）．

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．

专题：解三角形；简易逻辑．

分析：运用三角形中的正弦定理推导，判断答案．

解答：解：∵△ABC中，角A，B的对边分别为a，b，a＞b，

∴根据正弦定理可得：2RsinA＞2RsinB，sinA＞sinB，

∴A＞B

又∵A＞B，∴sinA＞sinB，2RsinA＞2RsinB，即a＞b，

∴根据充分必要条件的定义可以判断：“A＞B”是“a＞b”的充要条件，

故答案为：充要

点评：本题考查了解三角形，充分必要条件的定义，属于中档题．

5．已知f（sinα+cosα）=sin2α，则的值为﹣．

考点：同角三角函数基本关系的运用．

专题：三角函数的求值．

分析：令sinα+cosα=t，可得sin2α=t2﹣1，﹣≤t≤．可得f（t）=t2﹣1，从而求得f

（）的值．

解答：解：令sinα+cosα=t，平方后化简可得sin2α=t2﹣1，再由﹣1≤sin2α≤1，可得﹣

≤t≤．

再由f（sinα+cosα）=sin2α，可得f（t）=t2﹣1，

∴f（）=﹣1=﹣，

故答案为：﹣．

点评：本题主要考查用换元法求函数的解析式，注意换元中变量取值范围的变化，属于基础题．

6．设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=3．

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．

专题：计算题；导数的概念及应用．

分析：根据导数的几何意义，即f′（x0）表示曲线f（x）在x=x0处的切线斜率，再代入计算．

解答：解：y=ax﹣ln（x+1）的导数

，

由在点（0，0）处的切线方程为y=2x，

得，

则a=3．

故答案为：3．

点评：本题是基础题，考查的是导数的几何意义，这个知识点在高考中是经常考查的内容，一般只要求导正确，就能够求解该题．在高考中，导数作为一个非常好的研究工具，经常会被考查到，特别是用导数研究最值，证明不等式，研究零点问题等等经常以大题的形式出现，学生在复习时要引起重视．

7．若sin（﹣θ）=，则cos（+2θ）的值为﹣．

考点：两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．

专题：计算题；三角函数的求值．

分析：首先运用的诱导公式，再由二倍角的余弦公式：cos2α=2cos2α﹣1，即可得到．解答：解：由于sin（﹣θ）=，

则cos（+θ）=sin（﹣θ）=，

则有cos（+2θ）=cos2（+θ）

=2cos2（+θ）﹣1=2×（）2﹣1=﹣．

故答案为：﹣．

点评：本题考查诱导公式和二倍角的余弦公式及运用，考查运算能力，属于中档题．

8．△ABC中，AB=AC，BC的边长为2，则的值为4．

考点：平面向量数量积的运算．

专题：平面向量及应用．

分析：根据数量积的定义和三角函数判断求解．

解答：解：在△ABC中，BC=2，AB=AC，

设AB=AC=x，则2x＞2，x＞1，

∴cosB==，

所以=4xcosB=4x=4．

故答案为4．

点评：本题利用向量为载体，考察函数的单调性，余弦定理，三角形中的边角关系．

9．若将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则

φ的最小正值是．

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

专题：三角函数的图像与性质．

分析：根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得所得图象对应的函数解析式为y=sin （2x+﹣2φ），再根据所得图象关于y轴对称可得﹣2φ=kπ+，k∈z，由此求得φ的最小正值．

解答：解：将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移φ个单位，

所得图象对应的函数解析式为y=sin[2（x﹣φ）+]=sin（2x+﹣2φ）关于y轴对称，

则﹣2φ=kπ+，k∈z，即φ=﹣﹣，故φ的最小正值为，

故答案为：．

点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于中档题．

10．已知函数f（x）=，则f（）+f（）+f（）+…+f（）=15．

考点：函数的值．

专题：函数的性质及应用．

分析：由f（x）+f（1﹣x）=+=3，能求出f（）+f（）+f（）+…+f（）的值．

解答：解：∵f（x）=，

∴f（x）+f（1﹣x）=+=3，

∴f（）+f（）+f（）+…+f（）=5×3=15．

故答案为：15．

点评：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．

11．函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（3）=0，且x＜0时，xf′（x）＜f（x），则不等式f（x）≥0的解集是{x|﹣3＜x＜0或x＞3}．