循环小数
循环小数的判断方法
循环小数的判断方法
循环小数是指在十进制下，无限循环地重复出现一些数字的小数表示形式。例如，1/3在十进制下表示为0.3333...，其中3无限循环出现。判断一个小数是否为循环小数可以采用以下方法：
1. 观察法：观察小数的数字是否出现循环的模式。如果数字在小数点后不停地重复出现，那么它就是一个循环小数。举个例子，0.3333...和0.142857142857...就都是循环小数，因为它们的数字模式不断重复出现。
2. 除法法：通过将分子除以分母来计算小数。如果出现余数重复出现的情况，那么这个小数就是循环小数。例如，将1除以3得到的小数是0.333
3...，当我们计算余数时，会发现重复出现的余数是1，这就表明这个小数是循环小数。
3. 分数法：将一个小数转换为分数形式，并判断分母是否含有因子2和因子5以外的素因子。如果分母仅包含2和5的素因子，那么这个小数是有限小数，否则就是循环小数。像0.6和0.75这样的小数都可以转换为有限的分数，因为它们的分母只包含2和5的因子。但是像0.3333...和0.142857142857...这样的小数无法转换为有限分数，因为它们的分母含有因子3和7的素因子。
使用这些方法，我们可以判断一个小数是否为循环小数。这有助于我们理解和处理循环小数在数学和科学中的应用。
循环小数简便形式表示
循环小数简便形式表示
循环小数是指一个有限小数部分和一个无限重复的小数部分组成的小数。它可以用简便形式来表示，即将重复的部分用括号括起来。
循环小数的出现可以追溯到古希腊时期。希腊数学家克里希提亚劳斯在他的著作《元素》中首次提到了循环小数的概念。他解释了循环小数是一种无理数，即不能用两个整数的比例来表示的数。
循环小数的简便形式表示方法非常简单。我们以一个例子来说明：假设我们有一个循环小数0.1666...，我们可以将重复的部分用括号括起来，得到0.16(6)。
循环小数在数学中有着广泛的应用。例如，在计算机科学中，循环小数常常用于表示无限不循环小数。在统计学中，循环小数被用来表示概率。在金融领域中，循环小数则用于计算利息和汇率等。循环小数的简便形式表示可以提高计算的效率和准确性。
除了简便形式表示，循环小数还可以通过一些运算方法来进行转换。例如，我们可以通过除法运算将循环小数转换为分数。具体方法是将循环小数的重复部分作为分子，分母则是一个与循环部分长度相等的全为9的数。例如，将循环小数0.16(6)转换为分数时，分子为16，分母为99。
循环小数还可以进行加、减、乘、除等基本运算。在进行这些运算时，我们需要注意保留足够的位数，以保证结果的准确性。另外，
我们还可以使用循环小数的性质来简化运算。例如，将循环小数除以10可以将小数点向左移动一位，将循环小数乘以10则将小数点向右移动一位。
循环小数的研究对于数学的发展具有重要意义。它不仅帮助我们理解无理数的性质，还为其他数学领域的研究提供了基础。循环小数的简便形式表示方法更是为数学计算提供了便利，使得复杂的运算变得简单而高效。
循环小数的写法
循环小数的写法
1、纯循环小数,（例如0.111……）直接在循环位上点一个点儿。（在第一个1上点一个点，后不用再写后面的1o）
2、混循环小数，（例如0.1232323……）在第一个循环节的首位和末位个点一个点儿。（在2与3的上方个点一个点。）
化分数表示：
1、纯循环小数
将纯循环小数改写成分数，分子是一个循环节的数字组成的数；分母各位数字都是9,9的个数与循环节中的数字的个数相同。
例如:0.111..=1/9,0.12341234..=1234/9999
2、混循环
将混循环小数改写成分数，分子是不循环部分与第一个循环节连成的数字组成的数，减去不循环部分数字组成的数之差；分母的头几位数字是9,末几位数字是0,9的个数跟循环节的数位相同，0的个数跟不循环部分的数位相同。
例如：0.1234234234..=（1234-1）/9990
0.55889888988898..=（558898-55）/999900
循环小数的标准读法
循环小数的标准读法
循环小数的"标准读法"通常是通过在循环小数上方划一条线，并在上方加上一个或多个括号来表示循环部分。
例如，要读写循环小数1/3，我们可以写成0.̅3或者0.(3)。表示数字3会无限循环出现。
另一个例子是循环小数2/7，可以写成0.̅2或者0.(2)。表示数字2会无限循环出现。
需要注意，有时候循环部分可能从小数点后的第一位开始，此时我们需要在小数点前面补0，例如循环小数8/9可以写成0.̅8或者0.(8)。
总之，循环小数的标准读法是将循环部分放在括号内或加上上划线来表示循环部分。
循环小数表示方法
循环小数表示方法
循环小数，顾名思义就是一种无限循环的小数。它的表示方法有多种，我们可
以通过不同的方式来将循环小数表示出来。接下来，我们将介绍几种常见的表示方法。
首先，我们可以使用带括号的表示方法来表示循环小数。比如，当我们遇到
0.3333...这样的循环小数时，可以用0.(3)来表示。这种表示方法简洁明了，一目了然，非常容易理解。
其次，我们还可以使用带横线的表示方法来表示循环小数。当我们遇到
0.1666...这样的循环小数时，可以用0.16-来表示。这种表示方法在一些场合下也很
实用，尤其是在纸质文档中，带横线的表示方法更加清晰美观。
除了以上两种表示方法，我们还可以使用分数来表示循环小数。这种表示方法
可以将循环小数转化为分数形式，更加直观清晰。比如，0.4545...可以表示为
45/99。这种表示方法在数学运算中也很方便，可以直接进行分数运算，避免了循
环小数带来的繁琐计算。
另外，我们还可以使用无限不循环小数的表示方法来表示循环小数。当我们遇
到0.121212...这样的循环小数时，可以用0.12(无限)来表示。这种表示方法将循环
部分和非循环部分分开，更加清晰明了。
总的来说，循环小数有多种表示方法，每种方法都有其独特的优势和适用场合。我们可以根据实际情况选择合适的表示方法来表示循环小数，使其更加直观清晰。希望本文介绍的表示方法能够帮助大家更好地理解和运用循环小数。
循环小数的规律
循环小数的规律
1.循环小数的小数位数是无限的。
2.找到循环节是一位或两位的规律。
循环节是一位的即从小数部分的某一位起依次不断的重复一个数字。
循环节是两位的即从小数部分的某一位起依次不断的重复两个数字。
3.找到纯循环和混循环小数的规律
纯循环小数：循环节是从小数部分第一位开始的。
混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的。
循环小数
循环小数化分数要两种类型可分：
1.纯循环小数
循环节有几位分母就写几个9，循环节是什么分子就写什么，如：
0.33……＝3/9＝1/3
2.混循环小数
循环节有几位分母就写几个9，不是循环节的有几位就在“9”后面加几个0，分子是第一个循环节前的数空大相应的倍数相减，如：
0.833……＝83.33……－8.33……/90＝75/90＝5/6
一、纯循环小数化分数
从小数点后面第一位就循环的小数叫做纯循环小数。怎样把它化为分数呢？看下面例题。
把纯循环小数化分数：
纯循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是一个循环节表示的数，分母各位上的数都是9。9的个数与循环节的位数相同。能约分的要约分。
二、混循环小数化分数
不是从小数点后第一位就循环的小数叫混循环小数。怎样把混循环小数化为分数呢？把混循环小数化分数。
（2）先看小数部分0.353
一个混循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差。分母的头几位数是9，末几位是0。9的个数与循环节中的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同。
三、循环小数的四则运算
循环小数化成分数后，循环小数的四则运算就可以按分数四则运算法则进行。从这种意义上来讲，循环小数的四则运算和有限小数四则运算一样，也是分数的四则运算。
有限小数化成分数直接将小数点去掉，分母对应化成十百千万等。再约分。
例如：0.333.....＝3/9=1/3
0.214214214214214....=214/999
简单说每一个循环节为分子，循环节有几位数分母就写几个9
循环小数表示方法
循环小数表示方法
1、纯循环小数,（例如0.9999……）直接在循环位上点一个点儿（在9上点一个点,后不用再写第二个9）
2、混循环小数,（例如0.1232323……）在第一个循环节的首位和末位个点一个点儿（在2与3的上方个点一个点儿）
还有就像0.314314314…………或者更多位的循环小数,这样的多位循环小数只用在第一个循环节的首位和末位个点一个点儿,中间的其他位不用点.
循环小数点
循环小数点
1. 什么是循环小数点？
循环小数点是指一个无限循环的小数，它的小数部分会一直重复出现。循环小数点通常以一个带有括号的数字序列来表示，括号内的数字是会无限重复的。
例如，1/3（读作1除以3）是一个循环小数点，它的小数部分是无限循环的
0.3333…，可以用1/3=0.3(3)来表示。
2. 循环小数点的表示方法
循环小数点可以用不同的表示方法来表示，常见的有以下两种方式：
2.1 带括号表示法
在带括号表示法中，循环小数点的循环部分用括号括起来，括号内的数字表示会无限重复。
例如，2/7（读作2除以7）是一个循环小数点，它的小数部分是无限循环的
0.285714285714…，可以用2/7=0.(285714)来表示。
2.2 省略号表示法
在省略号表示法中，循环小数点的循环部分用省略号表示，省略号前面的数字是循环部分的起始位置。
例如，1/6（读作1除以6）是一个循环小数点，它的小数部分是无限循环的
0.166666…，可以用1/6=0.1(6)来表示。
3. 循环小数点的性质
循环小数点有一些特殊的性质，下面我们来介绍一些常见的性质：
3.1 循环节的长度
循环小数点的循环部分的长度称为循环节的长度。循环节的长度可以通过以下方法来求得：
•如果循环小数点的循环部分是一个数字序列，那么循环节的长度就是这个数字序列的长度；
•如果循环小数点的循环部分是一个数字序列加上一个非循环部分，那么循环节的长度就是这个数字序列的长度。
例如，1/7（读作1除以7）是一个循环小数点，它的循环部分是142857，循环节的长度是6。
循环小数符号
循环小数符号
循环小数是数学中一个重要的概念，它指的是小数部分无限循环出现的一种特殊的小数。为了简化循环小数的表示，数学家们引入了循环小数符号。循环小数符号的形式为“1.2345…”，其中“…”表示一个数字序列的循环重复。循环小数符号的优点在于可以简洁地表示无限循环的小数，而不需要给出具体的循环序列。例如，0.3333…可以用循环小数符号表示为0.3。
需要注意的是，循环小数符号只适用于纯循环小数，即小数部分完全由一个数字序列循环出现。对于不纯循环小数，则需要使用其他的表示方法。在实际应用中，循环小数符号经常出现在分数的表示中。例如，2/3可以表示为0.6666…，也可以使用循环小数符号表示为0.6。
循环小数符号在数学中的应用非常广泛，尤其是在高中数学和大学数学中。掌握循环小数符号的使用方法，可以帮助我们更好地理解和运用循环小数的相关知识。
- 1 -
循环小数
2.用简便形式写出下列循环小 数 .
3、计算下面各题，哪些商是循环小数？ 3 ÷8 =0.375
4÷3
… =1.333
14.2÷11 =1.29090 …
5÷6 =0.8333…
4.比大小
1.23
..
＜
1.233
5.32727…
＝
1.21
5.327
..
1.21
.
..
1.211
( 1.21
..
. )＞( )＞( 1.21 1.211 )
1.读下面循环小数。
24.3
.
读作： 二十四点三，三循环
..
0.854
. .
读作： 零点八五四，五四循环
0.3215
读作： 零点三二一五，三二一 五循环
.. 7.12424…= 7.124 . . 0.0201201…= 0.0201 . . 4.412031203…= 4.41203
0.4666… = 0.46
1.4854854854 5.16875578…
一个循环小数的小数部分，依次不 断重复出现的数字，叫做这个循环小数 的循环节。例如，5.33…的循环节是3， 7 .14545…的循环节是45。写循环小数 时，可以只写第一个循环节，并在这个 循环节的首位和末位上点两个圆点。例 .. 如，3.2727…写作3.27，0.1875875…写 . . 作0.1875。
无限循环小数
无限循环小数
循环小数定义：一个数的小数部分从某一位起，一个或几个数字依次重复出现的无限小数叫循环小数。循环小数首先是在无限小数的基础上讲的，所以循环小数一定是无限小数。
详解：两个整数相除，如果得不到整数商，会有两种情况：一种，得到有限小数；另一种，得到无限小数。
小数乘除法计算法则：1、小数的乘法计算法则：先按照整数乘法的计算法则算出积，再看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果位数不够，就用“0”补足。2、小数的除法计算法则：先移动除数的小数点，使它变成整数，除数的小数点也向右移动几位（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法法则进行计算。
无限小数：1、定义：指经计算化为小数后，小数部分无穷尽，不能整除的数。包括分数和无理数。2、分类：无线循环小数和无限不循环小数，无线小数是说小数点后面的小数是无限多个，如果周期性出现相同的一组小数就叫循环小数，如果没有一个重复的就叫不循环小数。无理数也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。常见的无理数有非完全平方数的平方根、π。无理数是无限小数的一种。无限不循环小数与有理数无限不循环小数属于无理数。有理数是一个整数和另一个正整数相除得到的结果，有理数分为整数和分数，而有理数的小数部分分为有限与无限，如果是无限的数，那它的小数部分
必须是有规律的，循环数。无限循环小数是可以被表示为一个整数除以一个正整数的。而无理数，即不能表示为一个整数除以一个正整数的形式，小数点后面的数字是没有规律的，不循环的数字。简单的说，无理数就是10进制下的无限不循环小数，所以无限不循环小数是属于无理数的。无限不循环小数的定义在数学中，无理数是所有不是有理数字的实数，后者是由整数的比率（或分数〉构成的数字。当两个线段的长度比是无理数时，线段也被描述为不可比较的，这意味着它们不能“测量”，即没有长度（“度量”)。
循环小数
判断,并说明理由.
1) 0.222111是循环小数．
( ×)
2) 循环小数都是无限小数.
(√ )
3) 0.888……保留两位小数是0.90. (×)
..
4) 6.4168 = 6.4168168……
( ×)
计算下面各题,除不尽的 先用循环小数表示所得的商, 再按要求保留小数位数.
读作：七点一四五，四五的循环．
先计算，再说一说这些商的特点。
28÷18=1.555 …
78.6÷11=7.14545…
28÷18= 1.555… 78.6÷11= 7.14545…
.
可以写作：1.5
..
可以写作：7.145
循环小数
一个数的小数部分，从某一位起，一个 数字或者几个数字依次不断重复出现， 这样的小数叫做循环小数。
有限小数 0.3
小 数
循环小数 3.2121 …
无限小数
无限不循环小数
3.1415926 …
努 力 吧 ！
对于循环小数，也可以根据实际需 要，取它的近似值。
.. 例如：0.245≈ 0.25（保留两位小数）
.. 0.245≈ 0.245 （保留三位小数） 0.24545……
求下面各循环小数的近似值写在括号里, 保留三位小数.
循环小数读法
循环小数读法
（原创实用版）
目录
1.循环小数的定义
2.循环小数的分类
3.循环小数的简写方法
4.循环小数的读法规则
5.循环小数的实际应用
正文
循环小数是指一个数的小数部分从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现的小数。循环小数的分类有纯循环小数和混循环小数两种，其中纯循环小数的循环节从小数部分第一位开始，而混循环小数的循环节不是从小数部分第一位开始的。
为了简化循环小数的表示，我们可以使用简写方法，即将第一个循环节以后的数字全部略去，而在第一个循环节首末两位上方各添一个小圆点。
循环小数的读法规则如下：
1.读出整数部分，按照整数的读法来读；
2.读出小数点，读作“点”；
3.依次读出循环节中的每个数字，读作“一二三四……”；
4.读出循环节后面的数字，如果循环节后面的数字有，就读出，如果没有，就不读出。
循环小数在我们的日常生活中有很多实际应用，比如我们经常使用的π（圆周率）就是一个循环小数，它的小数部分是 3.1415926535……，
我们在计算和表述时，通常只写出前几位，如 3.14 或者 3.14159，这就
是循环小数的简写方法的应用。
数学知识：循环小数的性质
循环小数的性质
循环小数的性质有以下三条：
（1）循环节的位数增加到原循环节位数的2倍、3倍……，循环小数的值不变。
（2）纯循环小数写成混循环小数的形式，值不变。
（3）有限小数也可以写作以0或9为循环节的循环小数。
例如：3.27可以写作3.270或者写作3.269（一般不采用以9为循环节的形式）。
因为 3.27等于 3加 0.27，为了从简，只写一写小数部分变化的情况。
总之，循环小数虽然可以写成不同形式，但是除特别需要时外，一般都写成最简形式。
循环小数
比较大小： 0.333 0.3 0.74 0.74 0.280 0.280
健康红包
0.ABCABCABC… 的小数部分第 100位上的字母 是什么？
100÷3=33...1
人气红包
高安市太阳镇西阳小学 刘丹
哇！喜羊羊400 米只跑了75秒！
400÷75=
平均每秒跑多 少米呢 ？
（米）
400÷75= 5.333 …（米）
5.3 3 3 … 商的小数部分总
75 4 0 0
375
是重复出现“3”
250 225
250 225
Fra Baidu bibliotek
余数总是重复出 现“25”
2 50 225
25
28÷18=1.555 …
11天走了78.6千米， 平均每天走多少千米？
78.6÷11=7.14545 …
一个数的小数部分， 从某一位起，一个数字或者几个数字 依次不断重复出现， 这样的小数叫做循环小数。
0.666… 0.1555… 4.252525 0.54547547…
小数部分的位数有限的 是有限小数
小数部分的位数无限的 是无限小数
一个数的小数部分，
从某一位起，一个数字或者 几个数字依次不断重复出现， 这样的小数叫做循环小数。
一个循环小数依次不断重复出现的数字，叫 做这个循环小数的循环节。