循环小数
循环小数的判断方法
循环小数的判断方法
循环小数是指在十进制下，无限循环地重复出现一些数字的小数表示形式。
例如，1/3在十进制下表示为0.3333...，其中3无限循环出现。
判断一个小数是否为循环小数可以采用以下方法：
1. 观察法：观察小数的数字是否出现循环的模式。
如果数字在小数点后不停地重复出现，那么它就是一个循环小数。
举个例子，0.3333...和0.142857142857...就都是循环小数，因为它们的数字模式不断重复出现。
2. 除法法：通过将分子除以分母来计算小数。
如果出现余数重复出现的情况，那么这个小数就是循环小数。
例如，将1除以3得到的小数是0.333
3...，当我们计算余数时，会发现重复出现的余数是1，这就表明这个小数是循环小数。
3. 分数法：将一个小数转换为分数形式，并判断分母是否含有因子2和因子5以外的素因子。
如果分母仅包含2和5的素因子，那么这个小数是有限小数，否则就是循环小数。
像0.6和0.75这样的小数都可以转换为有限的分数，因为它们的分母只包含2和5的因子。
但是像0.3333...和0.142857142857...这样的小数无法转换为有限分数，因为它们的分母含有因子3和7的素因子。
使用这些方法，我们可以判断一个小数是否为循环小数。
这有助于我们理解和处理循环小数在数学和科学中的应用。
无限小数和循环小数的例子
无限小数和循环小数的例子
无限小数是指小数点后的小数部分无穷无尽的小数。
例如：1.23456789...，这是一个无限小数。
它的小数部分不断重复，永远不会停止。
循环小数则是指小数点后的小数部分按一定的规律重复出现的小数。
例如：1.3333333...，这是一个循环小数。
它的小数部分按照“3”的规律不断重复，循环不息。
在数学中，无限小数和循环小数都有其独特的性质和意义。
无限小数常常用于表示一些无法精确表示的数，如圆周率π；而循环小数则常常用于简化一些复杂的小数表示形式，如分数。
需要注意的是，不是所有的无限小数都是循环小数，也不是所有的循环小数都是无限小数。
例如：1.123456789...是一个无限但不是循环小数，而1.3333333...则是一个循环但非无限小数。
循环小数公式
循环小数公式循环小数是数学中一个挺有趣的概念，咱今天就来好好聊聊循环小数的公式。
先说说啥是循环小数。
比如说，1÷3 算出来是0.3333……，这后面的 3 一直没完没了，像这样小数部分从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断地重复出现，就是循环小数啦。
那循环小数的公式是啥呢？咱先来看个简单的例子。
比如把 1÷3 写成循环小数，就是 0.3（3 循环），那这要怎么表示成公式呢？我们可以这样写：设这个循环小数是 x ，那x = 0.3333……，10x =3.3333……，用 10x - x ，也就是3.3333…… - 0.3333……，得到 9x = 3 ，所以 x = 1/3 。
其实啊，这就是循环小数化成分数的一个基本方法。
再比如说 0.12（12 循环），设x = 0.121212……，100x = 12.121212……，100x - x = 99x = 12 ，所以 x = 12/99 = 4/33 。
我想起之前教过的一个小朋友，他对循环小数那叫一个头疼。
有一次做作业，遇到一道把循环小数 0.27（27 循环）化成分数的题，他愣是想了半天没整明白。
我就坐在他旁边，一点点引导他。
我问他：“咱们假设这个数是 x ，那 100x 是多少呀？”他眨巴着眼睛，一脸迷茫。
我就耐心地给他解释：“你看啊，100 个 0.27 不就是27.2727……嘛。
”他好像有点开窍了，接着我又带着他做减法，算出 99x 等于 27 ，最后得出x 等于27/99 ，约分一下就是3/11 。
他弄明白后，那高兴的样子，眼睛都亮了。
在实际应用中，循环小数的公式也很有用哦。
比如说在一些工程计算或者科学实验中，需要把测量得到的循环小数转化为精确的分数形式，才能进行更准确的计算和分析。
总之，循环小数的公式虽然看起来有点复杂，但只要多练习，多琢磨，就能轻松掌握啦。
就像那个小朋友，后来遇到循环小数的题，都能做得又快又准。
《循环小数》
02
循环小数的范围通常表示为 0.ABC（其中ABC是循环部分 ）或ABC（其中ABC是循环部 分）。
03
循环小数一定是无限小数，但 无限小数不一定是循环小数。
循环小数的运算性质
乘法运算
两个循环小数相乘，其结果的小数部分也是一个循环小数。
加法运算
两个循环小数相加，其结果的小数部分也是一个循环小数。
循环小数与分数的转换关系
循环小数可以表示为分数 形式
将循环小数转化为分数，可以通过确定循环 节的长度，将循环节作为分子，然后根据循 环节的长度确定分母，从而将循环小数转化 为分数。
分数可以转化为循环小数
将分数转化为循环小数，可以通过对分子进 行重复运算，从而得到一个循环小数。
循环小数与分数的运算关系
纯循环小数
定义
纯循环小数是一种特定的小数，其小数部分从小数点后 第一位开始循环。例如，1/3=0.333...中的"3"是无限循 环的。
特点
纯循环小数的循环节位数是有限的，且循环节的数字不 重复。
例子
0.333..., 0.444..., 0.555...等。
混循环小数
定义
混循环小数是一种特殊的小数，其小数部分从小数点后某一位开始循环，然后跳过几位后再继续循环。例如， 2/7=0.285714...中的"2857"是循环节，跳过了"3"。
循环小数
2023-11-04
目录
• 循环小数的定义 • 循环小数的性质 • 循环小数的分类 • 循环小数的实例 • 循环小数与分数的关系 • 循环小数的应用
01
循环小数的定义
定义及特性
循环小数是一种小数，其小数点后某一段数字不断重复出现 。
关于什么是循环小数
关于什么是循环小数在数学中，循环小数是基础学习知识之一，下面是unjs小编为您整理关于循环小数，欢迎阅读!循环小数循环小数，是指从小数点后某一位开始不断地重复出现前一个或一节数字的十进制无限小数，叫做循环小数，可分为有限循环小数,如：1.123123123(不可添加省略号)和无限循环小数，如：1.123123123……(有省略号)。
前者是有限小数，后者是无限小数。
循环小数介绍循环小数英文名：circulating decimal两数相除，如果得不到整数商，会有两种情况：一种，得到有限小数。
一种，得到无限小数。
从小数点后某一位开始不断地重复出现前一个或一节数字的十进制无限小数，叫做循环小数，如 2.1666...*(混循环小数)，35.232323...(循环小数)，20.333333…(循环小数)等，被重复的一个或一节数字称为循环节。
循环小数的缩写法是将第一个循环节以后的数字全部略去，而在第一个循环节首末两位上方各添一个小点。
例如：2.966666... 缩写为 2. 96(6上面有一个点;它读作“二点九六，六循环”)35.232323…缩写为35.23(2、3上面分别有一个点;它读作“三十五点二三，二三循环”)循环小数可以利用等比数列求和(附链接：等比数列)的方法化为分数。
例如图中的化法。
所以在数的分类中，循环小数属于有理数。
循环小数一个“特殊”性质我们熟悉的七分之几化成循环小数为：以第一个分数为例：取它的循环节142857，共六位，从中间分成两段：142和857，对应相加!看看下图，发现了什么吗?没错!999!再试试其他几个循环小数的循环节，也是这样吗?我们再换一个分数。
比如1/11=0.090909……2/11=0.181818……3/11=0.272727…………循环节都是两位，分成两段，对应相加，9!再看一个：1/13=0.0769********……2/13=0.153846153846……3/13=0.230769230769…………第一个：循环节为076923，6位，分成两段， 076和923，对应相加：999!第二个：循环节为153846，6位，分成两段，153和846，对应相加，999!……再看一个长一点的：1/17=0.0588235294117647……2/17=0.1176470588235294……第一个：循环节为0588235294117647，16位，分成两段，05882352和94117647，对应相加，99999999!第二个：循环节为1176470588235294，16位，分成两段，11764705和88235294，对应相加：99999999!……一个调查：没错!7、11、13、17都是质数!其他质数呢?有没有兴趣试一试?特别是，有兴趣拿出一张大一点的纸，计算一下1/109吗?还有，背后的原因是什么呢?您会提出这个问题，并且试图解决吗? [关于什么是循环小数]。
循环小数计算题
循环小数计算题一、循环小数的概念1. 定义- 一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。
例如：0.333·s，5.32727·s等。
- 循环节：一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的循环节。
例如在0.333·s中，循环节是“3”；在5.32727·s中，循环节是“27”。
二、循环小数的计算类型及题目解析1. 循环小数的加法- 题目：计算0.333·s+ 0.666·s- 解析：- 因为0.333·s=(1)/(3)，0.666·s=(2)/(3)。
- 所以0.333·s + 0.666·s=(1)/(3)+(2)/(3)=1。
2. 循环小数的减法- 题目：计算0.888·s - 0.333·s- 解析：- 由0.888·s=(8)/(9)，0.333·s=(1)/(3)=(3)/(9)。
- 则0.888·s-0.333·s=(8)/(9)-(3)/(9)=(5)/(9)。
3. 循环小数与整数的乘法- 题目：计算3×0.333·s- 解析：- 因为0.333·s=(1)/(3)。
- 所以3×0.333·s = 3×(1)/(3)=1。
4. 循环小数与小数的乘法- 题目：计算0.5×0.666·s- 解析：- 先把循环小数化为分数，0.666·s=(2)/(3)。
- 则0.5×0.666·s = 0.5×(2)/(3)=(1)/(2)×(2)/(3)=(1)/(3)。
5. 循环小数的除法- 题目：计算1÷0.333·s- 解析：- 由于0.333·s=(1)/(3)。
循环小数说课稿10篇
循环小数说课稿10篇循环小数说课稿1一、说教材：1、教材简析《循环小数》是五年级上册第三单元的内容，它是学生在学习除数是整数的除法、除数是小数的除法和商的近似值的基础上教学的。
这部分内容概念多，又比较抽象，是教学的一个难点。
教材的编排意图是：例1让学生直观地认识小数的循环现象，初步探索循环小数的特征，例2让学生进一步理解循环小数，研究循环小数的循环规律，并用描述性的语言归纳循环小数的意义，在此基础上学习循环节、有限小数、无限小数和循环小数的简写方法。
循环小数是小数除法的商的一种特殊情况，可以看成小数除法的深层次的研究，通过对商的研究，学生可灵活的处理小数除法的商，为学生用小数除法的相关知识解决生活中的问题打下坚实的基础。
2、教学目标（1）知识目标：初步理解循环小数、有限小数、无限小数的意义，能正确区分有限小数和无限小数，了解循环节的概念和循环小数的简写方法。
（2）能力目标：培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力，提高观察、分析、比较、判断、抽象概括能力。
（3）情感目标：感受数学与现实生活的紧密联系，激发探究欲望，增强学习数学的信心，初步渗透集合思想。
3、教学重、难点：理解循环小数的意义。
二、说教法：1、依据《数学课程标准》中"变注重知识获得结果为知识获得的过程"的教学理念，以学生的发展为立足点，以自主探索为主线，通过学生动脑、动手、动中、动眼充分感知，然后经过学生观察、比较、小组合作、交流展示来概括循环小数的意义，从而使学生从形象思维逐步过渡到抽象思维。
2、采用多媒体辅助教学，调动学生兴趣，通过趣味性、竞争性等多种形式巩固练习，使学生变苦学为乐学，把数学课上的有趣、有效。
三、说学法：为了更好地突出学生的主体地位，在整个教学过程中，使学生学会运用直观的教学手段理解掌握新知，学会有顺序地观察问题、对比分析问题、概括知识等方法，培养学生自主学习、合作交流、解决问题的能力。
四、说流程：本节课我安排了四个教学环节：（1）从生活现象中感知循环。
循环小数
循环小数化分数要两种类型可分：1.纯循环小数循环节有几位分母就写几个9，循环节是什么分子就写什么，如：0.33……＝3/9＝1/32.混循环小数循环节有几位分母就写几个9，不是循环节的有几位就在“9”后面加几个0，分子是第一个循环节前的数空大相应的倍数相减，如：0.833……＝83.33……－8.33……/90＝75/90＝5/6一、纯循环小数化分数从小数点后面第一位就循环的小数叫做纯循环小数。
怎样把它化为分数呢？看下面例题。
把纯循环小数化分数：纯循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是一个循环节表示的数，分母各位上的数都是9。
9的个数与循环节的位数相同。
能约分的要约分。
二、混循环小数化分数不是从小数点后第一位就循环的小数叫混循环小数。
怎样把混循环小数化为分数呢？把混循环小数化分数。
（2）先看小数部分0.353一个混循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差。
分母的头几位数是9，末几位是0。
9的个数与循环节中的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同。
三、循环小数的四则运算循环小数化成分数后，循环小数的四则运算就可以按分数四则运算法则进行。
从这种意义上来讲，循环小数的四则运算和有限小数四则运算一样，也是分数的四则运算。
有限小数化成分数直接将小数点去掉，分母对应化成十百千万等。
再约分。
例如：0.333.....＝3/9=1/30.214214214214214....=214/999简单说每一个循环节为分子，循环节有几位数分母就写几个90.3333......循环节为3 0.214.....循环节为2140.52525252....循环节为52，所以0.525252...＝52/990.35....=35/99例如：0.333333……循环节为3则0.3=3*10^(-1)+3*10^(-2)+……+3^10(-n)+……前n项和为：30.1(1-(0.1)^(n))/(1-0.1)当n趋向无穷时（0.1）^（n）=0因此0.3333……=0.3/0.9=1/3注意：m^n的意义为m的n次方。
五年级数学循环小数
五年级数学循环小数
一、循环小数的定义
循环小数是一种特殊的分数小数，它具有特定的循环特征。
在数学上，循环小数被定义为具有无尽循环模式的数字序列。
例如，1/3=0.333333……是一个循环小数，因为它的小数部分3是不断重复的。
二、循环小数的表示方法
循环小数通常可以用两种方式表示：一般形式和特殊形式。
1.一般形式：通过在数字后面添加一个无穷的小数来表示循环小数。
例如，
1/3=0.333333……可以表示为1.333333……
2.特殊形式：通过在数字后面添加一个循环节来表示循环小数。
例如，
1/3=0.333333……可以表示为0.3（3无限循环）。
三、循环小数的性质
循环小数有一些重要的性质：
1.循环小数的整数部分始终保持不变。
2.循环小数的循环节始终重复出现。
3.循环小数的和、差、积和商都可以表示为循环小数。
4.循环小数的倍数仍然为循环小数。
四、循环小数的简单运算
对于循环小数的简单运算，可以遵循以下步骤：
1.将循环小数转换为分数。
2.对分数进行运算。
3.将结果再转换为循环小数（如果需要的话）。
五、应用循环小数解决实际问题
循环小数在现实生活中有着广泛的应用。
例如，在时间计算中，我们常常会遇到“一刻钟”这样的表述，其中的“一刻”实际上是15分钟，是一个循环
小数的表示。
此外，循环小数也出现在物理学、工程学和其他科学领域中。
通过对循环小数的理解，我们可以更好地解决实际问题。
循环小数点
循环小数点1. 什么是循环小数点？循环小数点是指一个无限循环的小数，它的小数部分会一直重复出现。
循环小数点通常以一个带有括号的数字序列来表示，括号内的数字是会无限重复的。
例如，1/3（读作1除以3）是一个循环小数点，它的小数部分是无限循环的0.3333…，可以用1/3=0.3(3)来表示。
2. 循环小数点的表示方法循环小数点可以用不同的表示方法来表示，常见的有以下两种方式：2.1 带括号表示法在带括号表示法中，循环小数点的循环部分用括号括起来，括号内的数字表示会无限重复。
例如，2/7（读作2除以7）是一个循环小数点，它的小数部分是无限循环的0.285714285714…，可以用2/7=0.(285714)来表示。
2.2 省略号表示法在省略号表示法中，循环小数点的循环部分用省略号表示，省略号前面的数字是循环部分的起始位置。
例如，1/6（读作1除以6）是一个循环小数点，它的小数部分是无限循环的0.166666…，可以用1/6=0.1(6)来表示。
3. 循环小数点的性质循环小数点有一些特殊的性质，下面我们来介绍一些常见的性质：3.1 循环节的长度循环小数点的循环部分的长度称为循环节的长度。
循环节的长度可以通过以下方法来求得：•如果循环小数点的循环部分是一个数字序列，那么循环节的长度就是这个数字序列的长度；•如果循环小数点的循环部分是一个数字序列加上一个非循环部分，那么循环节的长度就是这个数字序列的长度。
例如，1/7（读作1除以7）是一个循环小数点，它的循环部分是142857，循环节的长度是6。
3.2 循环节的起始位置循环小数点的循环部分的起始位置称为循环节的起始位置。
循环节的起始位置可以通过以下方法来求得：•如果循环小数点的循环部分是一个数字序列，那么循环节的起始位置是1；•如果循环小数点的循环部分是一个数字序列加上一个非循环部分，那么循环节的起始位置是非循环部分的长度加1。
例如，1/6（读作1除以6）是一个循环小数点，它的循环部分是6，循环节的起始位置是1。
循环小数符号
循环小数符号
循环小数是数学中一个重要的概念，它指的是小数部分无限循环出现的一种特殊的小数。
为了简化循环小数的表示，数学家们引入了循环小数符号。
循环小数符号的形式为“1.2345…”，其中“…”表示一个数字序列的循环重复。
循环小数符号的优点在于可以简洁地表示无限循环的小数，而不需要给出具体的循环序列。
例如，0.3333…可以用循环小数符号表示为0.3。
需要注意的是，循环小数符号只适用于纯循环小数，即小数部分完全由一个数字序列循环出现。
对于不纯循环小数，则需要使用其他的表示方法。
在实际应用中，循环小数符号经常出现在分数的表示中。
例如，2/3可以表示为0.6666…，也可以使用循环小数符号表示为0.6。
循环小数符号在数学中的应用非常广泛，尤其是在高中数学和大学数学中。
掌握循环小数符号的使用方法，可以帮助我们更好地理解和运用循环小数的相关知识。
- 1 -。
循环小数
1.4854854854 5.16875578…
一个循环小数的小数部分，依次不 断重复出现的数字，叫做这个循环小数 的循环节。例如，5.33…的循环节是3， 7 .14545…的循环节是45。写循环小数 时，可以只写第一个循环节，并在这个 循环节的首位和末位上点两个圆点。例 .. 如，3.2727…写作3.27，0.1875875…写 . . 作0.1875。
5.你能根据下面各式的商，很快说出其 它各式的商吗？ 1÷11＝0.0909… 2÷11＝0.1818… 3÷11＝0.2727…
趣 味 练 习
4÷11＝ 0.3636…
5÷11＝ 0.4545…
6÷11＝ 0.5454…
7÷11＝ 0.6363…
平均每秒跑 多少米呢 ？
哇！王鹏400米 只用了75秒！
从前有座山，山上有座庙， 庙里有个老和尚和一个小和尚， 老和尚给小和尚讲故事 ……
在我们平时接触到的一些自然现象或生活中也 有一些现象是按照一定顺序依次不断进行着的。
四季的排列顺序， 一个星期的七天的排列顺序， 一年12个月的排序，
……
像这样“依次不断重复出现”的现象叫做“循环
73÷3= 24.333…
1.读下面循环小数。
24.3
.
读作： 二十四点三，三循环
..
0.854
. .
读作： 零点八五四，五四循环
0.3215
读作： 零点三二一五，三二一 五循环
.. 7.12424…= 7.124 . . 0.0201201…= 0.0201 . . 4.412031203…= 4.41203
0.4666… = 0.46
2.用简便形式写出下列循环小 数 .
3、计算下面各题，哪些商是循环小数？ 3 ÷8 =0.375
循环小数的两种表达方式
循环小数的两种表达方式
循环小数有两种表达方式：分别是用省略号表示法和循环节表示法，在小数的循环节表示出来时即写上省略号，是省略号表示法，在循环节的前后各点一个小黑点表示循环节表示法。
循环小数的两种表示方法：一是无限循环小数，这种小数是有规律的循环小数，另一种是无限不循环小数，这种小数是不成规律的不循环的小数。
循环小数：一个数的小数部分从某一位起，一个或几个数字依次重复出现的无限小数；循环小数会有循环节（循环点），并且可以化为分数。
数字的循环小数表示
数字的循环小数表示数字是我们生活中经常接触到的概念，而数字的表达形式也多种多样。
其中，循环小数是一种特殊的表示方式。
本文将介绍数字的循环小数表示以及相关的概念和运算。
一、循环小数的定义循环小数是指在十进制表示下，分数的小数部分是有限位数的数字和无限重复的数字组成的，其中有限位数的数字称为循环节。
例如，1/3 的十进制表示为 0.3333...，其中循环节为 3；1/7 的十进制表示为 0.142857142857...，其中循环节为 142857。
二、循环小数的表示方法在数字的循环小数表示中，可以使用括号将循环节括起来，以明确表示循环的部分。
例如，1/3 可以表示为 0.(3)；1/7 可以表示为0.(142857)。
三、循环小数的运算在进行循环小数的运算时，我们需要注意一些特殊的规则。
1. 加法和减法：当两个循环小数作加法或减法运算时，我们可以先将循环小数的循环节对齐，然后将非循环部分相加或相减，并保持循环节的循环不变。
循环小数的乘法操作可以通过先将循环小数转化为分数，然后进行分数的乘法运算，最后再将结果转化为循环小数形式。
3. 除法：循环小数的除法运算可以使用长除法的方法来进行，然后找出循环节。
四、循环小数的性质和应用循环小数具有一些特殊的性质，这些性质不仅在数学中有应用，而且在物理、工程等领域也有广泛的应用。
1. 有理数：循环小数属于有理数的范畴，即可以表示为两个整数的比值。
这在实际计算中有着重要的意义，能够方便地进行数值计算和精确表示。
2. 近似值：对于循环小数，我们可以截断它的循环部分，得到一个有限长度的小数表示。
虽然这个小数不是完全准确的，但可以作为很好的近似值使用。
3. 迭代方法：循环小数的循环节可以通过迭代的方法计算出来，这使得我们在计算和模拟复杂问题时具有较高的效率和准确性。
数字的循环小数表示是一种特殊的表达形式，它在数学和应用领域都有其重要性。
通过本文对循环小数的定义、表示方法、运算规则以及性质的介绍，我们可以更好地理解和应用循环小数的概念。
循环小数的知识
循环小数的知识循环小数是数学中一个重要的概念，它常常出现在除法运算或计算无理数时。
循环小数指的是一个无限不循环的小数，即小数部分存在一定的规律重复出现的情况。
本文将从循环小数的定义、性质以及应用等方面进行介绍。
一、循环小数的定义循环小数是指小数部分存在一定的规律重复出现的无限小数。
它可以用一个带括号的数字串表示，括号中的数字表示循环的部分。
例如，0.3333...可以表示为0.(3)，0.142857142857...可以表示为0.(142857)。
循环小数可以用有限小数表示，例如1/3=0.3333...可以表示为1/3=0.3。
二、循环小数的性质1. 循环小数是无理数。
循环小数是无限不循环的，它不能被有限小数表示，所以它是无理数。
2. 循环小数可以通过有理数表示。
循环小数可以通过一个有限小数和一个无限循环小数相加得到。
例如，0.25=0.2+0.05，其中0.2是有限小数，0.05是无限循环小数。
3. 循环小数可以通过分数表示。
循环小数可以通过一个整数和一个循环节相除得到。
例如，1/3=0.3333...，其中1是整数，3是循环节。
4. 循环小数可以通过无理数表示。
循环小数可以通过一个无理数和一个无限循环小数相加得到。
例如，π=3.1415926535...可以表示为3+0.1415926535...，其中3是无理数，0.1415926535...是无限循环小数。
三、循环小数的应用1. 循环小数的除法运算。
循环小数可以通过长除法进行计算，找到循环节的规律，从而将循环小数转化为有限小数。
2. 循环小数的近似计算。
循环小数可以通过截断或近似计算得到一个有限小数，使得计算更加简便。
3. 循环小数的转化。
循环小数可以通过分数转化为有理数，或者通过无理数转化为无限循环小数。
4. 循环小数的应用于几何学。
循环小数可以用于计算圆周率、黄金分割等几何学中的问题。
循环小数是指小数部分存在一定的规律重复出现的无限小数。
无限循环小数
无限循环小数无限循环小数是数学中的一个重要概念，也是许多人不太理解的概念之一。
无限循环小数是指一个小数部分有限而整数部分是无限循环的小数。
在学习数学的过程中，我们常常遇到无限循环小数这个概念。
那么，什么是无限循环小数呢？简单来说，无限循环小数是指一个小数部分有限而整数部分是无限循环的小数。
举个例子来说，我们常常使用的1/3=0.3333……这个例子中，小数部分无限循环，所以它叫做无限循环小数。
对于无限循环小数，我们有一种特殊的方式来表示它。
我们通常使用一个括号将循环部分括起来，例如0.3333……可以表示为0.(3)。
这种表示方式简化了无限循环小数的书写，使得我们更加方便地进行计算和推理。
无限循环小数在数学中有着重要的地位。
它是无理数的一种形式，无理数是指不能表示为两个整数的比的数。
在实际生活中，我们常常遇到无理数，例如π和√2。
而无限循环小数是一种特殊的无理数，它的循环部分又具有一定的规律性。
无限循环小数在计算中常常出现。
例如，我们在计算1/7这个分数时，得到的结果是0.142857142857……可以看出，循环部分是142857，也就是说，我们将1/7表示为0.(142857)。
这种循环性使得我们可以方便地进行计算和推理，并且可以将无限循环小数转化为有限循环小数。
在学习无限循环小数的过程中，我们常常面临着一些挑战。
首先，无限循环小数的特殊表示方式使得我们需要花费一定的时间和精力来理解和掌握。
其次，由于无限循环小数的循环部分有一定的规律性，所以在进行计算和推理时，我们需要应用一些特殊的技巧和方法。
这对于初学者来说可能会比较困难。
然而，如果我们能够掌握无限循环小数的特点和计算方法，它将成为我们解决许多数学问题的有力工具。
无限循环小数的出现不仅仅是一个数学问题，更是我们理解数学本质和规律的一种方式。
通过学习无限循环小数，我们可以培养我们的逻辑思维、分析能力和问题解决能力。
总的来说，无限循环小数是一个重要的数学概念，它有着广泛的应用和深远的影响。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.从小数部分某一位起一个或几个数字依次不断重复出现的小数叫循环小数。
2.循环小数的小数部分依次不断重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。
五、课后作业：
1、计算下面各题，哪些商是循环小数，在□里打“√”。
①5÷6②7÷8③23÷6
④3÷16⑤2.76÷9⑥70.7÷33
2、把下面小数按从大到小排序。
1Hale Waihona Puke 出示在我们平时接触到的一些自然现象或生活中哪些现象是按照一定顺序依次不断进行着的？
四季的排列顺序，
一个星期的七天的排列顺序，
一年12个月的排序，
……
我们所说的这么多现象有什么共同点？
像这样“依次不断重复出现”的现象叫做“循环”。
在数学中是不是也存在这样的“循环”的现象呢？
二、新课探索
1、出示：探究一
4．探究出现循环小数的原因
问：那么怎么会出现循环小数的呢？请大家以刚才的三题为例举例说明。
生1：横式上的结果0.333……，后面有无数个3。余数重复出现1，商就重复出现3，总也除不尽。
生2：它们都有数字重复出现。都有省略号。不同的是前面这个只有一个数字循环，后面这个有两个数字在循环。
探究二：
1.自学循环小数的简便写法。
1.2454545…还可以写成1.245（读作：1.245，45循环）
1.9266…还可以写成1.926（读作：1.926，6循环）
2.练习
0.2888…=，循环节是；
0.4242…=，循环节是；
0.501501…=，循环节是。
师：在用简便方法表示循环小数的时候，要找出这个循环小数的循环节，如果循环节只有一个数字就在这个数字上点一个点。如果循环节有几个数字，就在这几个数字的首尾两个数字上各点一个点。
①0.3 0.30 0.303 0.3
②6.424 6.424 6.424 6.424
3、超市搞促销，同样一箱8袋的牛奶（每袋486ml），光明牌买一箱送一箱，24.8元，伊利牌买一箱送2袋，24.5元，仅从价格考虑买哪种牌子比较合适？
教后记：
小学数学电子教案
执教：杨亦斌
年级
课题
日期
五年级
循环小数
教学目标
1、在除法计算中认识循环小数。
2、知道循环小数的概念，会使用简便方法表示循环小数。
3、会比较两个数或几个数的大小。
教材分析
教学重难点
掌握循环小数的概念，并用简便方法表示循环小数；
会正确的比较两个或几个数的大小
相关链接
课件内容
教学过程
一、新课导入：
0.3757 0.417417…
1.66666…5.7234242…
3.161616…4.373737
1.1380413804…0.50507…
问：这两个小数为什么不是循环小数？
如果在他们后面添上省略号呢？
2.判断：
(1)一个小数从某一位数起，一个或几个数字依次不断重复出现的小数叫做循环小数。（）
(2)1.306306……=1.306。（）
0.3757
0.417417…
1.66666…
5.7234242…
3.161616…
4.373737
1.1380413804…
0.50507…
2、出示：练习二
判断：
⑴一个小数从某一位数起，一个或几个数字依次不断重复出现的小数叫做循环小数。（）
⑵1.306306……＝ 。（）
⑶9.219219……，循环节是921。（）
(3)9.219219……，循环节是921。（）
(4)0.666……，是循环小数。（）
3.把循环小数的简便形式改写成一般形式。
12.49=，7.518 =，
42.512 =，8.0479 =。
师：在改写成一般形式的时候，只要把循环节连续重复两次，再添上省略号。
小结：当两个循环小数不能直接比出大小的时候，可以先把循环小数展开后再比。
为什么横式中的商要用“…”表示呢？
这里的“…”表示省略了什么呢？
3)（针对第三题）
师：如果这道题继续除下去，商会怎样？为什么？
（请两、三位学生回答）
师：说得是否完整呢？请大家看看书上27页小熊猫是怎么介绍的？
学生看书自学
2)师：怎样判断一个小数是不是循环小数？
为什么要强调“从小数部分某一位起”呢？
3)师：这三个循环小数谁来说说它们是从哪一位起的哪些数字在依次不断重复出现的？
1.从小数部分某一位起一个或几个数字依次不断重复出现的小数叫循环小数。
2.循环小数的小数部分依次不断重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。
五、课后作业：
出示：作业
（如右）
一、新课导入：
1、师：在我们平时接触到的一些自然现象或生活中哪些现象是按照一定顺序依次不断进行着的？
（如：四季、一个星期的七天的排列顺序、一年12个月的排序……）
2、师：我们所说地这么多的现象都有什么共同点?
（板书：依次不断重复出现）
师：像这样“依次不断重复出现”的现象我们把它叫做“循环”。（板书：循环）
问：在我们数学中是不是也存在这样“循环”的现象呢？
探究一：
0.3 3 31.9 2 6 61.24545
3）1.0 6）1 1.5 6 11）13.7
9611
填空
0.2888…=，循环节是；
0.4242…=，循环节是；
0.501501…=，循环节是。
在用简便方法表示循环小数的时候，要找出这个循环小数的循环节，如果循环节只有一个数字就在这个数字上点一个点。如果循环节有几个数字，就在这几个数字的首尾两个数字上各点一个点。
三、课内练习
1、出示：练习一
下面的数中，哪些是循环小数？将它们表示用简便形式表示出来：
师：循环小数的小数部分依次不断重复出现的数字又叫什么？
书写循环小数比较麻烦，有没有简便写法呢？
请大家继续自学27页，看看小胖和小丁丁还告诉我们什么？
得到：循环小数的小数部分依次不断重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。
得到循环小数的简便写法：
0.3333…还可以写成0.3（读作：0.3，3循环）
1 0 5 5 2 7
95 42 2
1 0 1 6 50
91 244
1 4 0 60
3 655
4 0 50
（老师我发现这道题总是除不尽，商中的3总是不断重复出现。）
问：那么商中有多少个“3”呢？
在横式中可以怎样表示商呢？
（在横式中的商用省略号表示：1÷3=0.333…）
2)（针对第二题）
师：这道题又有什么特点？
从小数部分某一位起一个或几个数字依次不断重复出现的小数叫循环小数。
怎样判断一个小数是不是循环小数？
为什么要强调“从小数部分某一位起”呢？
这三个循环小数分别是从哪一位起的哪些数字在依次不断重复出现的？
2、出示：探究二
循环小数有没有简便写法呢？
请大家继续自学27页看看小胖和小丁丁还告诉了我们了些什么？
循环小数的小数部分依次不断重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。
⑷0.666……，是循环小数。（）
3、出示：练习三
把循环小数的简便形式改写成一般形式。
=，
=，
=，
=。
在改写成一般形式的时候，只要把循环节连续重复两次，再添上省略号。
出示：练习四
比较下面两个数的大小。
（如右）
当两个循环小数不能直接比出大小的时候，可以先把循环小数写成一般形式后再比。
四、本课小结
出示：小结
选择一题算算结果。
1÷3=
11.56÷6=
13.7÷11=
根据学生的汇报情况出示课件
像0.333…，1.24545…，1.92626…这样的小数就叫它循环小数。
谁能试着说说看什么叫做循环小数？
从小数部分某一位起一个或几个数字依次不断重复出现的小数叫循环小数。
说得是否完整呢？请大家看看书上27页小熊猫是怎么介绍的？