长方体侧面展开图
正方体展开图和三视图的初步认识
正方体展开图和三视图的初步认识1．认识立体图形和平面图形我们常见的立体图形有长方体、正方体、球、圆柱、圆锥，此外，棱柱，棱锥也是常见的几何体。
我们常见的平面图形有正方形、长方形、三角形、圆2. 立体图形和平面图形关系立体图形问题常常转化为平面图形来研究，常常会采用下面的作法（1）画出立体图形的三视图立体图形的的三视图是指正视图（从正面看）、左视图（从左面看）、俯视图（从上面看）得到的三个平面图形。
（2）立体图形的平面展开图常见立体图形的平面展开图圆柱、圆锥、三棱柱、三棱锥、正方体（共十一种）知识梳理知识梳理1 正方体的侧面展开图（共十一种）分类记忆：第一类，中间四连方，两侧各一个，共六种。
第二类，中间三连方，两侧各有一、二个，共三种。
第三类，中间二连方，两侧各有二个，只有一种。
第四类，两排各三个，只有一种。
知识梳理2 常见立体图形的平面展开图1. 棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。
两个互相平行的平面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面。
两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱。
侧面与底的公共顶点叫做棱柱的顶点，不在同一个面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线，两个底面的距离叫做棱柱的高。
棱柱的底面可以是三角形，四边形，五边形……我们把这样的棱柱叫分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……棱柱的表面展开图是两个完全相同的多边形（作底面）和几个长方形（作侧面）2. 棱锥：一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。
棱锥中的多边形叫做棱锥的底面。
棱锥中除底面以外的各个面都叫做棱锥的侧面。
相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。
棱锥中各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点。
棱锥的顶点到底面的距离叫做棱锥的高。
棱锥中过不相邻的两条侧棱的截面叫做对角面。
棱锥的底面可以是三角形、四边形、五边形……我们把这样的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……棱锥的展开图是由一个多边形（作底）和几个三角形（作侧面）组成的。
长方体和正方体的展开图教学设计
第二课时长方体和正方体的展开图教学内容：第3页例3以及“试一试”，“练一练”和练习一第5～9题。
教学目标：1、使学生通过观察、操作等活动认识长方体、正方体的侧面展开图。
能在展开图中找到长方体、正方体相对的面，能判断一些平面图形折叠后能否围成长方体或正方体。
2、使学生在活动中进一步积累空间与图形的学习经验，增强空间观念，发展数学思考。
3、使学生能积极主动地参与观察、操作和判断等活动，感受数学学习的乐趣，体会数学与日常生活的密切联系。
教学重点：掌握长方体、正方体的展开图的特点。
教学难点：判断一些平面图形折叠后能否围成长方体或正方体。
教学准备：长、正方体模型、课件、长、正方体形状的纸盒等。
教学过程：一、复习特征、导入新课1、谈话：上节课我们认识了长方体和正方体的特征，谁能说说长方体和正方体各有哪些特征？2、看图回答下面的问题。
(1)说出每个图形的底面面积。
(2)说出每个图形的右面面积。
(3)说出每个图形的前面面积。
(4)说出每个图形的前后两个面面积是多少？左右两个面呢？上下两个面呢？(5)说出每个图形的棱长和。
3、填空。
1、一个长方体，长、宽、高分别是a、b、c厘米，长、宽高的和是（）厘米，棱长和是（）厘米。
2、一个正方体的棱长是a厘米，棱长和是（）厘米。
如果a=6，那么它的棱长和是（）厘米。
引入：设想一下，如果把长方体和正方体的六个面展开在同一个平面上，会是什么样呢？这节课我们今天要研究的内容：正方体和长方体的展开图。
二、动手操作、自主探究1、认识正方体的展开图出示正方体纸盒。
提问：想象一下，沿着棱剪开，展开后的图形是由几个正方形组成的？为什么？学生猜想后，按例题演示剪开的过程，并展示展开图。
看看正方体的展开图，你知道展开图中的正方形各是原来的哪个面吗?追问：你能从展开图中找到3组相对的面吗？引导：这是原来正方体的展开图，它是由6个正方形组成的。
正方体还可以沿不同的棱剪开得到它的展开图。
请同学们自己剪剪看。
立体图形的表面展开图例题与讲解
4.3 立体图形的表面展开图1．圆柱、圆锥、棱柱的表面展开图将一个几何体的外表面展开，就像打开一件礼物的包装纸．礼物外形不同，包装纸的形状也各不相同．那么我们熟悉的一些几何体,如圆柱、圆锥、棱柱的表面展开图是什么形状呢？(1)圆柱的表面展开图是两个圆(作底面)和一个长方形（作侧面)．(2)圆锥的表面展开图是一个圆（作底面）和一个扇形（作侧面)．(3)棱柱的表面展开图是两个完全相同的多边形(作底面)和几个长方形(作侧面)．【例1】如图，将图中的阴影部分剪下来,围成一个几何体的侧面，使AB，DC重合，则所围成的几何体图形是( ）．解析：此题可用排除法．因为阴影部分是个扇环，而圆柱的侧面展开图是长方形,所以排除A；圆锥的侧面展开图是扇形，所以排除B；长方体的侧面展开图是长方形，所以C也要排除;故选D.答案：D2。
正方体的表面展开图(1）正方体的表面展开图按展开图中正方形所在的行数及正方形的个数,归纳起来有四种情形，各种类型的共同特点是行与行之间有且只有一个“日"型结构，由此可知正方体的展开图不会出现如下面图形所示的“凹”字型和“田”字型结构，因为这里的行与行之间出现了两组“日”型结构．(2)正方体展开图中相对面的寻找技巧:相间的两个小正方形（中间隔着一个小正方形)是正方体的两个对面,如图1中的A面和B面;‘Z’字两端处的小正方形是正方体的对面,如图2、图3的A面和B面．此种方法简称为“相间、‘Z’端是对面”．解技巧正方体的表面展开图的判断思路（1）是否满足四种阵型中的一种；（2）行与行之间有且只有一个“日”型结构．【例2】一个正方形的每一个面上都写有一个汉字，其平面展开图如图所示，那么在该正方形中，与“爱”相对的字是( )．A．家B．乡C．孝D．感解析：本题以热爱家乡为素材,考查正方体的表面展开图．解题时可亲自动手剪一剪、折一折，即可得到与“爱”相对的字是“乡”；另外也可对展开图加以分析，根据展开图对面之间不能有公共边或公共的顶点，“爱”的对面不可能是“我"或“家”，折叠起来后“孝”、“感"与“爱”相邻，所以“爱"的对面不可能是“孝”、“感”，所以与“爱”相对的字是“乡”；但如果本题应用正方体展开图的对面寻找技巧--“相间、‘Z’端是对面"来解决，会非常简单，由相间的两个小正方形(中间隔着一个小正方形）是正方体的两个对面易知“爱”与“乡"相对．答案：B【例3】如图是正方体的展开图，则原正方体相对两个面上的数字和最小是( )．A．4 B．6 C．7 D．8解析:将展开图还原成正方体，2和6相对，3和4相对,1和5相对，则原正方体相对两个面上的数字和最小为6.答案：B谈重点解决正方体展开图问题的关键熟练掌握正方体展开图的对面寻找技巧可以有效降低解题的难度，起到事半功倍的效果．3．正方体表面展开图的应用如果不考虑由于旋转等造成的相对位置的不同，正方体表面展开图一共有11个．正方体表面展开图的特点是每一个顶点周围的棱不超过三条．（1)“1–4–1"型有6个，其中通过“1”的移动可以由一个得到另外的5个，如图．(2)“1–3–2"型有3个,其中通过“1”的移动可以由1个得到另外的2个,如图．(3）“3–3"型有一个，“2–2–2”型有一个,如图．【例3－1】一个正方体的每一个面上都写着一个汉字，其表面展开图如图所示，那么，在该正方体中和“超"所对的汉字是__________．解析:这是“1–3–2”型的正方体表面展开图．根据展开图可知对面之间不能有公共边或公共顶点，所以“超"字的对面不能是“沉"、“着”、“越"，根据上下相对和左右相对，由于“信”和“着”相对，“着"和“超”相邻，所以“信”和“超”相邻．这样和“超”相对的字只能是“自”．答案：自【例3－2】六一儿童节时，阿兰准备用硬纸片通过裁剪、折叠制作一个封闭的正方体礼盒．她先在硬纸片上设计了一个如图1所示的裁剪方案（实线部分），经裁剪、折叠后成为一个封闭的正方体礼盒．请你参照如图,帮她设计另外两种不同的裁剪方案，使之经裁剪、折叠后也能成为一个封闭的正方体礼盒．图1 图2分析：阿兰设计的是正方体的11种展开图中的一种,可以从剩下的10种展开图中任选两种在如图的小方格中画出．解：如图2所示．4.其他立体图形展开图的应用由平面图形围成的立体图形叫多面体，其表面展开图可以有不同的形状．应多实践，观察，并大胆想象立体图形与表面展开图的关系．立体图形的表面展开图包括侧面展开图和底面展开图，画立体图形的展开图时，一定先观察立体图形的每一个面的形状．圆柱的侧面展开图是长方形,底面是圆;圆锥的侧面展开图是扇形，底面是圆；n棱柱的侧面展开图是n个高相等的长方形,底面是n边形;n棱锥的侧面展开图是n个三角形，底面是n边形．【例4】小新的茶杯是圆柱形，如图所示．左边下方有一只蜘蛛，从A处爬行到对面的中点B处，如果蜘蛛爬行路线最短，请画出这条最短路线图．分析：先画出圆柱的侧面展开图，再连接得到最短路线．解：如图所示．5．立体图形展开图的应用立体图形展开图的考查一般以选择题为主要方式，答案的获得需要学生经历一定的实验操作过程，当然学生也可以将操作活动转化为思维活动，在头脑中模拟(想象)折纸、翻转活动,较好地考查了学生的空间观念．解决此类问题，要充分考虑带有各种符号和各种图案的面的特点及位置,解题时，先正确画出立体图形的表面展开图，再仔细观察图案以及符号的不同特点，从而选出正确的答案．有时,根据图案的位置和方向可以先把一些很明显的不符合题目要求的选择项先排除掉,再一步步的寻找正确的选项．要想灵活解决此类问题，一要熟练掌握立体图形展开图的基本知识和解题技巧；二要充分发挥自己的空间想象力；三要不断积累生活经验和解题经验．【例5－1】如图所示的正方体的展开图是（)．解析：利用正方体及其表面展开图的特点解题．选项A和选项D折叠后，箭头不指向白三角形，C项折叠后与原正方体不符．B折叠后与原正方体相同．故选B.答案：B【例5－2】图1是由白色纸板拼成，将其中两面涂上颜色，如图2所示．下列四个中哪一个是图2的表面展开图（)．解析：由图中阴影部分的位置，首先可以排除B，D,又阴影部分正方形在左,三角形在右．故选A.答案：A。
长方体正方体的展开图
在运输领域的应用
包装设计：利用展开图进行包 装结构设计，提高包装效率和 降低成本
集装箱设计：利用展开图进行 集装箱结构设计，提高集装箱 的装载效率和空间利用率
物流规划：利用展开图进行物 流规划，优化运输路线和降低 运输成本
仓储管理：利用展开图进行仓 储管理，提高仓储效率和降低 库存成本
在生产制造领域的应用
03
长方体和正方体的共同点：都有八个顶点、十 二条棱和六个面。
02
正方体：由六个正方形围成的立体图形，每个 面都是正方形。
04
长方体和正方体的区别：长方体的六个面形状 不同，正方体的六个面形状相同。
长方体正方体的特征
长方体：由六个长方形围成的 立体图形，相对的两个面是长 方形，其余四个面是正方形。
3
完成手绘展开图，并标注 尺寸和文字说明
6
使用CAD软件绘制展开图的方法
打开CAD软件，新建一个 文件。
在CAD中绘制长方体或正 方体的三维模型。
选择要展开的表面，点击 “展开”命令。
1
2
3
在展开的平面上绘制展开 图，可以添加尺寸和标注。
保存并关闭CAD文件。
4
5
长方体正方体的展开图的 实例分析
性。
实际应用案例2
包装设计：根据长方体正方体的展开图，设计合适的包装盒，节省材料， 提高空间利用率。
建筑设计：利用长方体正方体的展开图，设计建筑物的外墙和内部结构， 提高建筑的稳定性和美观性。
家具设计：根据长方体正方体的展开图，设计家具的各个部分，提高家具 的实用性和舒适性。
机械设计：利用长方体正方体的展开图，设计机械设备的各个部件，提高 设备的性能和可靠性。
长方体正方体的展开图的 未来发展与展望
初一数学立体图形的展开图含答案
初一数学立体图形的展开图中考要求例题精讲正方形展开图的知识要点：第一类：有6种。
特点：是4个连成一排的正方形，其两侧各有一个正方形.简称“141型”第二类：有3种。
特点：是有3个连成一排的正方形，其两侧分别有1个和两个相连的正方形;简称“132型”第三类：仅有一种。
特点：是两个连成一排的正方形的两侧又各有两个连成一排的正方形；简称“222型”第四类：仅有1种，三个连成一排的正方形的一侧，还有3个连成一排的正方形，可简称“33型”正方形展开图的识别方法：1.排除法：（1）由少于或多于6个的正方形组成的图形不是正方形的平面展开图（2）有“凹”字型或“田”字型部分的平面图形不是正方体的展开图2.对比法：对照上面的四种规则进行对照；从展开图可以看出，在正方形的展开图中不会出现如下图所示的“凹”字型和“田”字型结构。
模块一长方体的展开图长方体展开图【例1】下列图形中，不能表示长方体平面展开图的是（）A．B．C．D．【解析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．选项A，B，C经过折叠均能围成长方体，D两个底面在侧面的同一侧，缺少一定底面，所以不能表示长方体平面展开图．故选D．【答案】D【巩固】如图是无盖长方体盒子的表面展开图（重叠部分不计），则盒子的容积为（）A．4 B．6 C．12 D．15【解析】由图可知，无盖长方体盒子的长是3，宽是2，高是1，所以盒子的容积为3×2×1=6．盒子的容积为3×2×1=6．故选B．【答案】B【巩固】下图是一个长方体纸盒的展开图，请把-5，3，5，-1，-3，1分别填入六个长方形，使得按虚线折成长方体后，相对面上的两数互为相反数．【解析】根据题意，找到相对的面，把互为相反数的数字分别填入即可．【答案】如下图：正方体展开图【例2】下列图形中为正方体的平面展开图的是（）A．B．C．D．【解析】由四棱柱四个侧面和上下两个底面的特征可知，A，B，D上底面不可能有两个，故不是正方体的展开图．选项C可以拼成一个正方体．【答案】C【巩固】将一个正方体沿某些棱展开后，能够得到的平面图形是（）A．B．C．D．【解析】本题考查图形的展开与折叠中，正方体的常见的十余种展开图有关内容．可将这四个图折叠后，看能否组成正方形．A、出现了田字格，故不能；B、D、上底面不可能有两个，故不是正方体的展开图；C、可以拼成一个正方体．故选C．【答案】C【例3】一个正方体的表面展开图可以是下列图形中的（）A．B．C．D．【解析】A，B，D折叠后有一行两个面无法折起来，从而缺少面，不能折成正方体，只有C是一个正方体的表面展开图．故选C．【答案】C【巩固】下列图形中，不是正方体表面展开图的是（）A．B．C．D．【解析】A、B、C经过折叠均能围成正方体，D、折叠后第一行两个面无法折起来，不能折成正方体．【答案】D【巩固】将如图所示表面带有图案的正方体沿某些棱展开后，得到的图形是（）A．B．C．D．【解析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．注意带图案的三个面相交于一点．而通过折叠后A、B都不符合，且D折叠后图案的位置正好相反，所以能得到的图形是C．【答案】C．【例4】将如图正方体的相邻两面上各画分成九个全等的小正方形，并分别标上O、×两符号．若下列有一图形为此正方体的展开图，则此图为（）A、B、C、D、【解析】此题主要根据O、×两符号的上下和左右位置判断，可用排除法．由已知图可得，O、×两符号的上下位置不同，故可排除A、B；又注意到O、×两符号之间的空行有3列．【答案】C．【巩固】如图，哪一个是左边正方体的展开图（）A．B．C．D．【解析】本题考查正方体的表面展开图及空间想象能力．在验证立方体的展开图式，要细心观察每一个标志的位置是否一致，然后进行判断．根据有图案的表面之间的位置关系，正确的展开图是D．【答案】故选D．【点评】学生对相关图的位置想象不准确，从而错选，解决这类问题时，不妨动手实际操作一下，即可解决问题．【例5】下面哪个图形不是正方体的展开图（）A．B．C．D．【解析】选项A，B，C折叠后都可以围成正方体，而D折叠后折叠后第一行两个面无法折起来，而且下边没有面，不能折成正方体．【答案】D．【巩固】一个无盖的正方体盒子的平面展开图可以是下列图形中的（）A．只有图①Ｂ．图①、图②Ｃ．图②、图③Ｄ．图①、图③【解析】图②，经过折叠后，没有上下底面，侧面是由5个正方形组成，与正方体的侧面是4个正方形围成不相符，所以不是无盖的正方体盒子的平面展开图．【答案】D．【巩固】如图，是一个正方体盒子（6个面）的侧面展开图的一部分，请将它补充完整．【解析】根据正方体的展开图特点补全即可，答案不唯一．正方体的展开图如下：（答案不唯一），最后一个图形不符合．【答案】略模块二圆柱、圆锥的侧面展开图圆柱体【例6】圆柱的侧面展开图形是（）A．圆Ｂ．矩形Ｃ．梯形D．扇形【解析】略【答案】B【巩固】如图，已知MN是圆柱底面的直径，NP是圆柱的高，在高柱的侧面上，过点M，P嵌有一幅路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿NP剪开，所得的侧面展开图是（）A．Ｂ．Ｃ．D．【解析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．因圆柱的展开面为长方形，MP展开应该是两直线，且有公共点M．故选A．【答案】A【例7】如图，MN是圆柱底面的直径，NO是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点M，P．有一条绕了四周的路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿NO剪开，所得的侧面展开图可以是：【解析】根据两点之间线段最短，剪开后所得的侧面展开图中的金属丝是线段，即可选择．注意P 点在展开图中长边的中点处，圆柱侧面沿NO 剪开，根据两点之间线段最短，剪开后所得的侧面是长方形，P 点在展开图中长边的中点处，金属丝是线段，且从P 点开始到M 点为止．故选②．【答案】②【巩固】底面直径为m 的圆柱体（如图），沿它的一条母线AB （也就是圆柱的高，且AB=h ）剪开展平，则圆柱侧面展开后的面积为 ．【解析】根据圆柱侧面积=底面周长×高计算即可．圆柱的侧面积=mh π． 【答案】mh π圆锥体【例8】 下列立体图形中，侧面展开图是扇形的是（ ）A ．Ｂ．Ｃ． D ．【解析】根据圆锥的特征可知，侧面展开图是扇形的是圆锥． 【答案】B【巩固】我国运用长征火箭发射了百余颗人造卫星和5次神州飞船．如图是我国航天科技人员自主研究开发的长征系列火箭的立体图形．（火箭圆柱底面圆的周长不等于圆柱的高） （1）请你画出火箭的平面展开图，并标上字母． （2）写出平面图形中所有相等的量．【解析】结合圆柱和圆锥的侧面展开图的特征解题．（1）如右图．（2）OA OB =，CB ED AB ==，BE CD =，90B C D E ∠=∠=∠=∠=．【答案】同解析．模块二其他立体图形的展开图【例9】若下列只有一个图形不是右图的展开图，则此图为何？（）A．Ｂ．Ｃ．D．【解析】选项D的四个三角形面不能折叠成原图形的四棱锥，而是有一个三角形面与正方形面重合，故不能组合成原题目的立体图形．【答案】故选D．【巩固】图1是由白色纸板拼成的立体图形，将此立体图形中的两面涂上颜色，如图2所示．下列四个图形中哪一个是图2的展开图（）A、B、C、D、【解析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．由图中阴影部分的位置，首先可以排除B、D，又阴影部分正方形在左，三角形在右．【答案】故选A．【例10】下列四个图中，是三棱锥的表面展开图的是（）A．Ｂ．Ｃ．D．【解析】三棱锥的四个面都是三角形，还要能围成一个立体图形，可排除C，D，而A不能围成立体图形，故可得答案．【答案】B．【巩固】下面四个图形中，是三棱柱的平面展开图的是（）A．Ｂ．Ｃ．D．【解析】根据三棱柱的展开图的特点作答．A、是三棱柱的平面展开图；B、是三棱锥的展开图，故不是；C、是四棱锥的展开图，故不是；D、两底在同一侧，也不符合题意．故选A．【答案】A【例11】下列图形中，不是三棱柱的表面展开图是（）A．Ｂ．Ｃ．D．【解析】利用棱柱及其表面展开图的特点解题．A、B、C中间三个长方形能围成三棱柱的侧面，上、下两个三角形围成三棱柱的上、下两底面，故均能围成三棱柱，均是三棱柱的表面展开图．D围成三棱柱时，两个三角形重合为同一底面，而另一底面没有．故D不能围成三棱柱．【答案】故选D．【例12】如图是一个正四面体，它的四个面都是正三角形，现沿它的三条棱AC、BC、CD剪开展成平面图形，则所得的展开图是（）A 、B 、C 、D 、【解析】亲自动手具体操作，或根据三棱锥的图形特点作答．根据三棱锥的图形特点，可得展开图为B ．【答案】B ．【例13】 哪种几何体的表面能展成如图所示的平面图形？需剪几条棱才能得到如此形状的平面图？你是怎样数出来的？请总结其规律．【解析】侧面为五个长方形，底边为五边形，故原几何体为五棱柱．五棱柱能展成如图所示的平面图形．由五棱柱展开成平面图形，需要剪9条棱．因为五棱柱共有15条棱，7个面，展成平面图形时，7个面需有6条棱相连，共需留下6条棱不剪，所以需剪15-6=9（条）棱． 总结规律：n 棱柱有n+2个面，3n 条棱，展成平面图形时，n+2个面需有n+1条棱相连，故应留下n+1条棱不剪，所以要把n 棱柱展成平面图形，共需剪3n-（n+1）=（2n-1）条棱．【答案】五棱柱；９；()3121n n n -+=-．【例14】 下列图形是某些立体图形的平面展开图，说出这些立体图形的名称．【解析】由平面图形的折叠及常见立体图形的展开图解题．根据图示可知：①五棱锥；②圆柱；③三棱柱．【答案】①五棱锥②圆柱③三棱柱【巩固】图中四个图形是多面体的展开图，你能说出这些多面体的名称吗？【解析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．6个正方形能围成一个正方体，三个长方形和两个三角形能围成一个三棱柱，一个四边形和四个三角形能围成四棱锥，6个长方形可以围成长方体．【答案】正方体；三棱柱；四棱锥；长方体．课后作业１. 下列各图形中，可以是一个正方体的平面展开图的是（）A．Ｂ．Ｃ．Ｄ．【解析】选项A，C折叠后缺少一个底面，而B折叠后缺少一个侧面，所以可以是一个正方体的平面展开图的是D．【答案】故选D．２.把圆锥的侧面展开，会得到的图形是（）A．Ｂ．Ｃ．D．【解析】圆锥的侧面展开图是扇形，故选C．【答案】C３.如图，圆柱体的表面展开后得到的平面图形是（）A、B、C、D、【解析】根据圆柱的侧面展开图作答．圆柱体的侧面展开后得到的平面图形是矩形，上下两底是两个圆，故选B．【答案】B４.如图，四种图形各是哪种立体图形的表面展开所形成的？画出相应的四种立体图形．【解析】根据四棱锥、三棱柱、圆柱、圆锥及其表面展开图的特点解答并作图．观察图形，由立体图形及其表面展开图的特点可知相应的立体图形顺次是四棱锥、三棱柱、圆柱、圆锥．作图如下：【答案】同解析．【点评】本题考查了几何体的展开图，可根据所给图形判断具体形状，也可根据所给几何体的面数进行判断．初中数学.图形初步A级.第01讲.教师版Page 11 of 11。
长方体正方体的展开图
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长方体正方体的展开图应用
建筑行业中的应用
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建筑图纸设计
长方体和正方体在建筑行业中应用广泛，建筑 师可以利用展开图来设计建筑物的外形和结构 。
施工测量
在施工过程中，展开图可以帮助工人进行精准 的测量和定位，以确保建筑物的尺寸和形状符 合要求。
材料计算
展开图可以帮助工程师和设计师计算所需的材 料数量和规格，从而制定更加准确的采购计划 。
IV型展开图
总结词
具有1个“凹”字形的基础结构，由4个侧面和2个底 面组成。
详细描述
长方体正方体的IV型展开图具有1个“凹”字形的基础 结构，由4个侧面和2个底面组成。在4个侧面中，有2 个面是长方形，另外2个面是正方形。在2个底面中， 有1个面是正方形，另外1个面是长方形。这种展开图 的特点是展开后形状比较规整，易于计算和操作。与I 型、II型和III型展开图相比，IV型展开图的形状较为复 杂，需要更多的技巧和经验才能操作成功
《长方体正方体的展开图 》
xx年xx月xx日
目录
• 引言 • 长方体正方体的展开图种类 • 长方体正方体的展开图方法 • 长方体正方体的展开图应用 • 长方体正方体的展开图问题与解决方案 • 长方体正方体的展开图案例分析
01
引言
课程背景介绍
课程目标
帮助学生了解长方体和正方体的基本概念，掌握展开图的意 义和应用，提高空间思维和几何能力。
展开图的意义和作用
意义
展开图是将立体几何形状转化为平面图形的一种方法，它有助于学生更好地理解 立体几何形状的结构和特点。
作用
展开图可以帮助学生解决一些与立体几何相关的实际问题，如包装、建筑和机械 等领域。此外，展开图还可以帮助学生提高空间想象能力和几何思维能力。
小升初数学总复习(三)---长、正方体与圆柱体的特征与展开图(解析版)全国通用版
小升初数学专题突破（三）长、正方体与圆柱体的特征与展开图一．正方体展开图1．下面四个图形中，经过折叠能围成如图所示正方体纸盒的是（）A．B．C．D．画龙点睛：根据正方体展开图的特征以及图中符号所处的位置关系进行解答．答案与解析：根据题意可得：心形图案与圆形相邻，并且心形图案的心底与圆形相邻，圆形图案和正方形图案相邻，心形图案与正方形形相邻；A、心形图案的左边与圆形相邻，心形图案与正方形形相对，不符合；B、圆形图案和正方形图案对，不符合；C、心形图案与圆形相邻，并且心形图案的心底与圆形相邻，符合；D、心形图案与圆形相邻，但心形图案的心尖与圆形相邻，不符合．所以选：C．2．下面各图中，不能拼成一个完整正方体的是（）A．B．C．D．画龙点睛：根据正方体展开图的11种特征，图A“1﹣4﹣1”结构，图C和图D是同一种结构，属于“1﹣3﹣2”结构，是正方体的展开图，能折成正方体；图B不符全正方体展开图的11种特征，不是正方体的展开图，不能折成正方体．答案与解析：根据正方体展开图的特征，图A、图C和图D能折成正方体，图B不能折成正方体；所以选：B．3．从下面长方形纸上剪下一部分，要折成一个棱长3厘米的正方体，可以怎么剪？设计两种不同的方案，在图中涂色表示画龙点睛：正方体展开图有11种特征，分四种类型，即：第一种：“1﹣4﹣1”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个；第二种：“2﹣2﹣2”结构，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“3﹣3”结构，即每一行放3个正方形，只有一种展开图；第四种：“1﹣3﹣2”结构，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形．据此设计两种即可．答案与解析：如图：二．长方体展开图4．如图是一个长方体纸盒的展开图，这个纸盒的表面积是多少平方厘米？（5分）画龙点睛：由展开图得出：长方体的长是14厘米，宽是10厘米，高是7厘米，根据长方体表面积＝长×宽×2+长×高×2+宽×高×2，代数计算即可．答案与解析：14×10×2+14×7×2+10×7×2，＝280+196+140，＝616（平方厘米）；答：这个纸盒的表面积是616平方厘米．5．如图是一个长方体中的四个面，请你画出其余两个面，使它成为一个完整的展开图．并算出围这个长方体框架要用多少厘米长的铁丝．画龙点睛：依据长方体的特征，即相对的面面积相等，从而可以作出符合要求的图；由展开图得出：长方体的长是20厘米，宽是15厘米，高是5厘米，根据长方体的棱长总和计算公式：棱长总和＝（长+宽+高）×4，把数据代入公式解答即可．答案与解析：如图所示，即为所要求的作图：棱长总和：（20+15+5）×4＝160（厘米）答：这个长方体框架要用160厘米长的铁丝．6．一个长方体，长4厘米，宽3厘米，高2厘米，在下面方格中画出它的表面展开图．（每小格表示1平方厘米）画龙点睛：根据长方体的特征，长方体相对面的面积相等，即前后面相等、左右面相等、上下面相等，据此作图即可．答案与解析：作图如下：这个长方体的长是4厘米，宽是3厘米，高是2厘米．三．展开图与距离最短7．有一只小蚂蚁沿正方体的表面从A点爬到B点，它走哪条路最近？画龙点睛：把正方形展开，在A，B之间画一条线段，根据两点之间线段最短，即可得出小蚂蚁在正方体表面从A到B的行走路线．答案与解析：下图中右图就是小蚂蚁的行走路线．8．如图，一只蚂蚁要从A点出发，经粘合在一块木板上的正方体的表面爬到B点，请你在图上画出最短的路线。
长方体正方体的展开图
与侧立图的转换关系
长方体正方体的侧立图是指它们的一侧面与投 影面平行时得到的图形。
侧立图与展开图之间同样存在一一对应的关系 ，即每个侧立图都对应着一个展开图，反之亦 然。
侧立图在机械制图、建筑制图等领域中广泛应 用，因为它能够清晰地表现出物体的形状和尺 寸，而且容易被人们理解和接受。
课程意义
通过学习本课程，学生将更好地理解立体几何形状，为后续 学习打下基础。
长方体正方体的基本概念
长方体
长方体是一种具有六个面、十二个边和八个顶点的几何体。它的每个面都是 一个矩形或正方形。长方体的对角线通过其三个顶点，并且垂直于其相对的 面。
正方体
正方体是一种特殊的六面体，它的所有面都是正方形，并且它的所有边都是 相等的。正方体的对角线通过其三个顶点，并且垂直于其相对的面。
计师提供了一种有效的沟通和展示工具。
应用前景展望
总结词
随着科技的发展和应用领域的拓展，长方体正方体的 展开图将会有更多的应用前景，同时设计水平也将得 到不断提升。
详细描述
随着科技的不断发展，长方体正方体的展开图将会在 更多的领域得到应用。例如，在航空航天领域，展开 图可以用于设计和制作可折叠的飞行器；在机器人领 域，展开图可以帮助优化机器人的内部结构和空间利 用率。此外，随着计算机辅助设计（CAD）等软件技 术的不断发展，设计水平也将得到不断提升，展开图 的精度和美观度也将得到进一步提升。
《长方体正方体的展开图》
xx年xx月xx日
目录
• 引言 • 长方体正方体的展开图类型 • 长方体正方体的展开图绘制方法 • 长方体正方体的展开图应用实例 • 长方体正方体的展开图与其他图形的转换关系 • 长方体正方体的展开图在生产实际中的应用案例
长方体和正方体的展开图展
在确定了顶点和棱之后，就可以开始绘制正方形的面了。根据正方体 的展开方式，将对应的面连接起来，形成完整的展开图。
调整细节
最后，根据需要调整细节，比如添加阴影、高光等效果，使展开图更 加立体、生动。
04
展开图的性质和特点
展开图的几何性质
平面性
展开图由若干个平面组成，各平 面之间没有重叠或交叉。
正方体的体对角线长 度相等。
正方体的12条棱长度 相等。
正方体的展开方式
展开成4个正方形相连
这种展开方式有2种，一种是4个正方形相连，另一种是3个正方形相连，一个正方形单独 在一边。
展开成3个正方形相连，一个单独在一边
这种展开方式也有2种，一种是3个正方形相连，一个正方形单独在一边，另一种是2个正 方形相连，两个正方形单独在一边。
长方体展开图的绘制方法
方法一
根据长方体的尺寸，在纸 上画出长方体的六个面， 然后剪开并展开。
方法二
使用CAD软件，在软件中 画出长方体，然后选择展 开命令，软件会自动生成 展开图。
方法三
使用手工制作，先制作一 个长方体的模型，然后将 其拆开并展开成平面图形。
03
正方体的展开图
正方体的基本形态
正方体有6个面，每 个面都是正方形。
展开成2个正方形相连，两个单独在一边
这种展开方式有1种，即两个正方形相连，另外两个正方形单独在一边。
正方体展开图的绘制方法
确定正方体的顶点
在绘制正方体展开图时，首先需要确定正方体的顶点位置。顶点是正 方体的角点，也是展开图的转折点。
绘制正方体的棱
根据正方体的性质，我们知道正方体有12条棱，每条棱长度相等。在 绘制展开图时，需要按照正方体的结构将棱绘制出来。
苏教版小学六年级数学上册《长方体和正方体的展开图》课件
你能够沿着这个正方体的棱把 这个正方体纸盒剪开吗？
要求：剪的时候要沿着棱剪，并且各 个面要互相连在一起。
提示：
正方体： “141”型展开 图有以上六种 情况。
正方体：“132”型展开图有以上三种 情况。
正方体：“222” “ 33”型展开图各 有一种情况。
把一个长方体纸盒剪开 ，观察它的展示图。
大家想一想，正方 体的展开图一般有哪 几种类型？
长方体表面展开 图有什么特点？
1.正方体表面展开图有4种类型共11种。可分为“141” 型、“132”型、“222”型、“33”型。
2.长方体表面展开图的特点： ①展开图都是由3对长方形组成的，每对长方形的大小完全 相同。 ②在同一行或同一列中，如有3个或4个长方形的，其中同样 大小的两个长方形中间一定只隔一个其他的长方形。
第1单元 长方体和正方体
2 长方体和正方体的展开图
1.通过观察、操作等活动认识长方体、 正方体的侧面展开图。强化对长方体 面和棱特征的认识。
2. 在活动中进一步积累空间与图形的 学习经验，增强空间观念，发展数学 思考。
1.上节课我们认识了长方体和正方体的 特征，谁能对着模型再来介绍一下？
(1)长方体和正方体都有6个面、12条棱、 8个顶点。
错解分析：
1. 下图是( )方体的展开图，长是( 是( )cm，高是( )cm。
)cm，宽
我是这样想的。
根据题意， 或者通过操作可将它还原成长方体。
可以把这个长方形看成是长方体的 前面，从而得出21cm是长，14cm是高， 5cm是宽。
2.图中长方形左右两面是正方形。它的底面周长是 （ ）厘米，上面的面积是（ ） 平方厘米， 左侧的正方形面积是（ ）平方厘米，后面的面 积是（ ）平方厘米。
长方体的展开图 小学数学 课后练习
一、选择题1. 长方体的侧面展开图不可能是（）。
A．长方形B．正方形C．梯形2. 下面是一个长方体的四个面，另两个面的面积和是（）平方厘米。
A．25 B．35 C．40 D．703. 长方体的6个面展开后（）。
A．都是长方形B．至少有2个面是长方形C．至少有4个面是长方形4. 图是一个平面纸板图，下面有几个立体图形，其中有一个是纸板折合而成的，请你找出来．( )A．B．C．D．5. 下列图形可以折叠围成长方体的有（），可以折叠成正方体的有（）。
应选择（）。
A．④②B．⑥③C．⑤①D．④③二、填空题6. 孙师傅用以下5块木板制作了一个无盖长方体箱子，做成的这个长方体箱子的高是( )分米，占地面积是( )平方分米。
7. 下图是一个长方体展开图。
(1)如果长方形B在下面，那么长方形( )在上面；如果长方形C在左面，那么长方形( )在右面。
(2)根据图中的数据（单位：dm），这个长方体的表面积是( )dm2，体积是( )dm3。
8. 长方体中,上面和( )面,前面和( )面,左面和( )面,都是相对的面,相对的面的面积( )．9. 下面的三个图形中，能折叠成的是( )；能折叠成的是( )；能折叠成的是( )。
（填序号）10. 下图是长方体的展开图，这个长方体的棱长总和是( )厘米。
三、解答题11. 如图是一个纸盒的展开图（无盖）．（1）做这个纸盒需要多大的纸板？（2）这个纸盒的容积是多少？（纸板厚度忽略不计）12. 如图，从长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉2厘米的正方形，然后沿虚线折叠成长方体容器。
这个容器的表面积是多少？13. 把下面这个展开图折成一个长方体。
（1）如果A面在底部，那么（）面在上面。
如果F面在前面，从左面看是B 面，（）面在右面。
（2）测量有关数据（取整厘米数），算出它的表面积和体积。
14. 下图是一个长方体纸盒的展开图，这个长方体纸盒的表面积和体积分别是多少？。
长方体的展开图 小学数学 随堂练习
一、选择题1. 如图是一个长方体纸盒的展开图（单位：分米），这个纸盒的用料面积是（）平方分米。
A．40 B．44 C．64 D．882. 将一个长方体侧面展开正好是一个正方形，已知这个长方体的底面是边长2厘米的正方形，这个长方体的体积是（）立方厘米。
A．1 B．4 C．32 D．643. 下面图（）可折成一个长方体．A．B．C．4. 下面的图形（）能折叠成长方体。
A．B．C．5. 下图是某长方体的展开图，其中错误的是（）A．B．D．C．二、填空题6. 下图是一个立体图形的展开图．（单位：cm）（1）这个展开图可以折成一个( )体．（2）折成的立体图形中，长度是5cm的棱有( )条．（3）这个立体图形的表面积是( )cm2,体积是( )cm3．7. 把下图所示的这个展开图折成一个长方体。
如果A面在底部，那么( )面在上面；如果F面在前面，从左面看是B面，那么C面与( )面相对。
8. 把下面的图形沿虚线折叠，能折成长方体的在括号里画“√”，不能折成长方体的在括号里画“×”。
( ) ( ) ( )9. 一个底面是正方形的长方体纸盒，把它的侧面展开后，得到一个边长为24cm的正方形（如下图），这个纸盒的底面积是( )，体积是( )。
10. 有一块长40厘米，宽20厘米的长方形铁皮，如果在它的四角分别切掉一个边长为5厘米的正方形，余下部分做一个无盖长方体容器，这个容器的容积是( )立方厘米。
三、解答题11. 下图是一个长方体的展开图，请根据图示的数据，求这个长方体的表面积和体积各是多少？（单位：厘米）。
12. 下图是长方体与它的展开图，把相对的面用相同的字母表示，再在括号里填出长、宽、高的长度。
（单位：cm）13. 军军从一个长方形纸盒上撕下两个相邻的面，展开后如下图（单位：厘米）。
（1）这个纸盒长是（）厘米，宽是（）厘米，高是（）厘米。
（2）这个纸盒的容积是多少？（纸盒的厚度忽略不计）（3）做这样一个纸盒，最少需要纸板多少平方厘米？（纸盒的接口处忽略不计）（4）如果用铁丝做与一个纸盒一样大小的长方体框架，至少需要多长的铁丝？（接口处忽略不计）14. 如图所示是一个长方体纸盒的展开图。
学生版：第6讲 立体几何中的计算
2．已知圆锥的体积为 33π，母线与底面所成角为π3，则该圆 锥的表面积为________．
3．(2017·江苏高考)如图，在圆柱 O1O2 内有一个 球 O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆 柱 O1O2 的体积为 V1，球 O 的体积为 V2，则VV12的值是 ________．
二、大题考法——求“稳”求“范” 考法一 求空间几何体的表面积和体积 [例 1] 在矩形 ABCD 中，将△ABC 沿其对角线 AC 折起来 得到△AB1C，且顶点 B1 在平面 ACD 上的射影 O 恰好落在边 AD 上，如图所示．
3．(2019·全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践，利用 3D 打印技术 制作模型．如图，该模型为长方体 ABCD -A1B1C1D1 挖去四棱锥 O -EFGH 后所得的几何体，其中 O 为长方体的中心，E，F，G， H 分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm.3D 打印所 用原料密度为 0.9 g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料 的质量为________g.
——球心到多面体的顶点的距离等于球 正棱锥、正 构造直角
的半径，寻求球心到底面中心的距离、 棱柱的外接 三角形法
半径、顶点到底面中心的距离构造成直 球
角三角形，利用勾股定理求半径
三条侧棱两两垂直
因正方体、长方体的外接球半径易 的三棱锥，从正方
求得，故将一些特殊的几何体补形 体或长方体的八个 补形法
(3)如图，四棱锥 P-ABCD 是底面边长和侧棱长均为 2 的正 四棱锥，E，F，G，H 分别是棱 PA，PB，PC，BC 的中点，则 四面体 EFGH 的体积为________．
[解题方略] 求几何体的表面积及体积的解题策略
(1)求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考 虑，熟记公式是关键所在．求三棱锥的体积时，等体积转化是常 用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面 上．
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有一个底面是正方形的长方体， 高是16厘米，侧面展开后正好是 一个正方形。这个长方体的侧面 积是多少平方厘米？
16厘米
16厘米
要在茶叶盒的侧面贴上一圈商标(如图，位： 厘米)。这圈商标纸的面积是（ ）平方厘 米。
侧面展开图
5厘米
3厘米 8厘米
5厘米 8厘米 5厘米 3厘米 5厘米 8厘米 5厘米
3厘米
7厘米 2厘米 10厘米
有一个底面是正方形的长方体 纸盒，高是13厘米，底面边长 6厘米，如果在这个纸盒侧面 贴上包装纸，贴包装纸的面积 是多少平方厘米？
13厘米
13厘 6厘米 6厘பைடு நூலகம் 6厘米 6厘米
6厘米