1成比例线段(2)
北师大版九年级第四章第1节 成比例线段(二)课件(共14张PPT)
第1节 成比例线段（二）
目 Contents 录
01 旧知回顾 02 新知探究
03 例题解析
04 分层练习
05 课堂小结
1、成比例线段定义
2、比例的基本性质
3、若 3m = 2n ，你可以得到 m 的值吗？ n
n
呢？
m
(1)、如图已知 BD CE 1 ，你能求出 BD AD 与 CE AE
求（1）a b c 的值（2）a 2b 3c 的值
b
ac
4、如图，已知每个小方格的边长均为1，求 AB,DE,BC,DC,AC,EC的长，并计算△ABC与△EDC 的周长比。
本节收获与感悟：
1、你有什么感想、收获…？ 2、你有什么发现、探索…？
作业： 课本习题 知识技能 1
,求
a
b
b
与a
b
b；
(2)、在ABC与DEF中，若 AB BC CA 3 , DE EF FD 4
且ABC的周长为18cm，求DEF的周长。
随堂练习
1、已知 a b
c d
2 (b d 3
0),
a b
c d
的值。
2、小明认为 :
(1)、如果 a c（a b 0，c d 0）.那么 a c
bd
ba dc
(2)、如果 a b c d .那么 a c .
b
d
bd
这两个结论正确吗？为什么？
巩固提高：
1、若 x y 17 ,则 x _____ y 9y
2、若 a 1 ,则 3a b 的值为 ____ b 4 2b
2022年湘教版九上《成比例线段》立体课件(公开课版) (2)
的值应当是多少？
问题解决
如图，将一张矩形纸片沿它 的长边对折（EF为折痕），得到 两个全等的小矩形。如果小矩形 长边与短边的比等于原来矩形长 边与短边的比，那么原来矩形的 长边与短边的比是多少?
随堂练习
1、一条线段的长度是另一条线段长度的5倍，
则这两条线段之比是
3
2、一条线段的长度是另一条线段长度的
在直角坐标系内,点P(-2，2 )到原点的距离
为=
5.计算： (1) (1 2)2 ( 2 1)2( 6)2
(2) (2 23)3(2 2)
(3) ( 32)2006 ( 32)2007
(4) ( 27 1)( 12 1 4)5
3
5
人生就是慢慢成长, 每天取得进步
又 6 140 7 130
614 713
探究三
第一章 二次根式复习
1 已 知 x3 ， 求 代 数 式 x 2 2 x 2 x 2
23 的 值
(2)已知 a 3 2， b 3 2， 求a2abb2的值 .
第一章 二次根式复习
1.下列各式是二次根式的是（ ）
A、 8 B、3 5 C、 x 2 D、 x2 1
2.若 x1 xy0，则 x2006y2007 的
值为： （ ） A 、0 B、1 C、 －1 D、 2
3、求下列二次根式中字母x的取值范围：
⑴ 2x 1 ⑵ x2 3 ⑶ 2x 2x
⑷2
x5
⑸ x1 x 1
第一章 二次根式复习
4.若2<x<5化简 (x1)2 (x5)2
4 9
18 6
4
3
2、若 yx22x6 ,则 xy
3、若二次根式 x2的值等于2，则x＝
《成比例线段》教案 (2)
成比例线段教学目标【知识与技能】1.掌握比例线段的概念及其性质.2.会求两条线段的比及判断四条线段是否成比例.3.知道黄金分割的定义，会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点.【过程与方法】能够灵活运用比例线段的性质解决问题.【情感态度】感知知识的实际应用，增强对知识就是力量的客观认识，进一步加强理论联系实际的学习方法.【教学重点】能够灵活运用比例线段的性质解决问题.【教学难点】掌握黄金分割的概念，并能解决相关的实际问题.教学过程一、情景导入，初步认知1.1、2、4、8这四个数成比例吗？如何确定四个数成比例？2.比例根本性质是什么？【教学说明】复习回忆，引入新课.二、思考探究，获取新知1.如以以下图，在方格纸上〔设小方格边长为单位1〕有△ABC与△A′B′C′，它们的顶点都在格点上，试求出线段AB,BC,AC,A′B′,B′C′,A′C′的长度，并计算AB与A′B′,BC与B′C′,AC与A′C′的长度的比值.【教学说明】注意：(1)两线段是几何图形，可用它的长度比来确定；(2)度量线段的长，单位有多种，但求比值必须在同一长度单位下，比值一定是正数，比值与采用的长度单位无关.(3)表示方式与数字的比表示类同，但它也可以表示为AB∶CD.2.什么是比例线段？【归纳结论】在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫作成比例线段，简称比例线段.3.能否将一条线段AB分成不相等的两局部，使较短线段CB与较长线段AC的比等于线段AC与线段AB的比呢？即，使得：CB AC AC AB.【教学说明】引导学生用一元二次方程的知识解决问题.【教学说明】学生通过“计算、证明〞等活动，得到并加深对黄金分割的理解.三、运用新知，深化理解1.四条线段a、b、c、d的长度，试判断它们是否成比例.〔1〕a=16cm，b=8cm，c=5cm，d=10cm;〔2〕a=8cm，b=5cm，c=6cm，d=10cm.〔2〕由得ab≠cd,ac≠bd,ad≠bc，所以a、b、c、d四条线段不成比例.2.假设ac=bd，那么以下各式一定成立的是()【答案】 B3.C是线段AB的一个黄金分割点，那么AC∶AB为〔〕【答案】 D∶b∶c=4∶3∶2,且a+3b－3c=14.〔1〕求a,b,c;〔2〕求4a－3b+c的值.解：〔1〕设a=4k,b=3k,c=2k.∵a+3b－3c=14,∴4k+9k－6k=14,∴7k=14,∴k=2,∴a=8,b=6,c=4.〔2〕4a－3b+c=32－18+4=18.△ABC中，D是BC上一点，假设AB=15 cm，AC=10 cm，且BD∶DC=AB∶AC，BD－DC=2 cm，求BC.解：略.8.在比例尺为1︰2000的地图上测得AB两地间的图上距离为5cm，那么AB两地间的实际距离为多少米？解：设两地之间的实际距离为x，那么：15 2000x,x=5×2000=10000cm=100m，身体躯干(脚底到肚脐的高度)为，那么她应选择约多高的高跟鞋看起来更美.(精确到十分位)10.线段AB，求作线段AB的黄金分割点C，使AC＞BC.解：作法：〔1〕延长线段AB至F，使AB＝BF，分别以A、F为圆心，以大于等于线段AB的长为半径作弧，两弧相交于点G，连接BG，那么BG⊥AB，在BG上取点D，使BD＝12 AB，〔2〕连接AD，在AD上截取DE＝DB，〔3〕在AB上截取AC＝AE.如图，点C就是线段AB的黄金分割点.【教学说明】通过例题分析使学生进一步理解比例线段的应用和黄金分割的意义.使学生能更好地掌握本节知识.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业∶教材“习题”中第2、3、4 题.教学反思在学习本节内容之前，学生已理解比例线段的性质，初步掌握了比例线段在几何中的应用.本节课学习的黄金分割是一个新的概念，学生缺少这方面知识的积累，因此教学中在内容选择上，充分利用网络资源，选用大量图文作为背景，通过建筑、艺术、生活中的实例了解黄金分割，表达数学丰富的文化价值.同时，在应用中进一步理解线段的比、成比例线段等相关内容，在实际操作、思考、交流等过程中增强学生的实践意识.这节课的缺乏之处是教学内容比拟多，因为时间关系，有关黄金分割的相关计算和应用学生练习得比拟少，局部学生对这种类型的题目掌握不好.另外学生对黄金分割点的证明理解还不到位.一次函数复习〔二〕折线C B A O ---，其中)350,(1t A ，)350,(2t B ，)0,8017(C ，四边形OABC 的面积为70，那么=-12t t 〔 〕 A ．51B ．163 C ．807 D ．160314.甲、乙两名运发动进行长跑训练，两人距终点的路程y 〔米〕与跑步时间x 〔分〕之间的函数图 象如以下图，根据图象所提供的信息解答问题： ⑴求甲距终点的路程y 〔米〕和跑步时间 x 〔分〕 之间的函数关系式；⑵当x =15时，两人相距多少米？在15＜x ＜20的 时段内，求两人速度之差． 能力提升：1. 如图，过点Q 〔0，3.5〕的一次函数与正比例函数y =2x 的图象相交于点P ，能表示这个一次函数图象的方程是 〔 〕A ．3x －2y+3.5＝0B ．3x －2y －3.5＝0C ．3x －2y+7＝0D ．3x +2y －7＝0 y ＝－3x －2的图象不经过〔 〕A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3. 函数y=kx 的函数值随x 的增大而增大，那么函数的图像经过〔 〕 A ．一、二象限 B ． 一、三象限 C ．二、三象限 D ．二、四象限 4. 将直线 y = 2 x ─ 4 向上平移5个单位后，所得直线的表达式是______________.5. 假设一次函数y kx b =+，当x 得值减小1，y 的值就减小2，那么当x 的值增加2时，y 的值〔 〕A ．增加4B ．减小4C ．增加2D ．减小2 二、拓展探究1.某加油站五月份营销一种油品的销售利润y 〔万元〕与销售量x 〔万升〕之间函数关系的图象如图中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止至15日进油时的销售利润为5.5万元．〔销售利润＝〔售价－本钱价〕×销售量〕请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答以下问题：⑴求销售量x 为多少时，销售利润为4万元；⑵分别求出线段AB 与BC 所对应的函数关系式；⑶我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在OA 、AB 、BC 三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大？〔直接写出答案〕O x 〔万升〕y 〔万元〕 CB A 4 10 1日：有库存6万升，本钱价4元/升，售价5元/升． 13日：售价调整为5.5元/升．15日：进油4万升，本钱价4.5元/升． 31日：本月共销售10万升．五月份销售记录一次函数复习〔二〕〔2题〕C.〔－21，－21〕 D.〔－22，－22〕3.沪杭高速铁路已开工建设，在研究列车的行驶速度时，得到一个数学问题．如图3，假设v 是关于t 的函数，图象为折线C B A O ---，其中)350,(1t A ，)350,(2t B ，)0,8017(C ，四边形OABC 的面积为70，那么=-12t t 〔 〕 A ．51B ．163 C ．807 D ．160315.甲、乙两名运发动进行长跑训练，两人距终点的路程y 〔米〕与跑步时间x 〔分〕之间的函数图 象如以下图，根据图象所提供的信息解答问题： ⑴求甲距终点的路程y 〔米〕和跑步时间 x 〔分〕 之间的函数关系式；⑵当x =15时，两人相距多少米？在15＜x ＜20的 时段内，求两人速度之差． 能力提升：1. 如图，过点Q 〔0，3.5〕的一次函数与正比例函数y =2x 的图象相交于点P ，能表示这个一次函数图象的方程是 〔 〕A ．3x －2y+3.5＝0B ．3x －2y －3.5＝0C ．3x －2y+7＝0D ．3x +2y －7＝0 y ＝－3x －2的图象不经过〔 〕A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3. 函数y=kx 的函数值随x 的增大而增大，那么函数的图像经过〔 〕 A ．一、二象限 B ． 一、三象限 C ．二、三象限 D ．二、四象限 4. 将直线 y = 2 x ─ 4 向上平移5个单位后，所得直线的表达式是______________.5. 假设一次函数y kx b =+，当x 得值减小1，y 的值就减小2，那么当x 的值增加2时，y 的值〔 〕A ．增加4B ．减小4C ．增加2D ．减小2 二、拓展探究1.某加油站五月份营销一种油品的销售利润y 〔万元〕与销售量x 〔万升〕之间函数关系的图象如图中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止至15日进油时的销售利润为5.5万元．〔销售利润＝〔售价－本钱价〕×销售量〕请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答以下问题：⑴求销售量x 为多少时，销售利润为4万元；⑵分别求出线段AB 与BC 所对应的函数关系式；⑶我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在OA 、AB 、BC 三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大？〔直接写出答案〕Ox 〔万升〕y 〔万元〕 CB A 4 10 1日：有库存6万升，本钱价4元/升，售价5元/升． 13日：售价调整为5.5元/升．15日：进油4万升，本钱价4.5元/升． 31日：本月共销售10万升．五月份销售记录。
4_1成比例线段(二)教学设计
第四章图形的相似1．成比例线段（二）一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：这节课是“成比例线段”的第二课时，学生已经通过第一节课的学习，观察了大量的图片，列举了很多现实生活中的情境，理解了线段的比的知识，知道了选用同一单位长度量线段的长度，从而求出两条线段的比。
也学会了使用比例线段的基本性质解决实际问题，并通过图片创设的问题情境，重现了现实生活中的比例模型，初步掌握了解决相关比的问题的方法。
在这个基础上，进一步来学习成比例线段的相关性质，学生不会感到陌生，反而容易接受本节课的继续学习。
学生活动经验基础：上一节课，学生已经收集了一些相似图形的图片，如大小不同的两张中国地图、国旗，同底相片等。
已经感受了数学知识源于生活，用于生活。
各小组展示并讨论过线段比的事例，具有了一定的合作交流的基础和水平。
难点处理：比例的基本性质的推理是本节课的难点，教学中要尽量让学生发扬小组合作的精神，在小组中展开讨论，教师参与指点。
二、教学任务分析教科书在学生理解线段的比的基础上，进一步提出了本节课的具体要求：理解并掌握比例的基本性质及其简单应用。
学好了本节课，既承接了全等三角形的内容，又为本章的后续学习相似三角形和相似多边形奠定了基础。
在知识技能方面，要求学生了解线段的比和成比例线段；理解并掌握比例的基本性质及其简单应用；发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的水平。
学生经历使用线段的比解决问题的过程，在观察、计算、讨论、想象等活动中获取知识。
通过本节课的教学，培养学生的数学应用意识，体会数学与现实生活的密切联系。
教学目标：（一）知识目标：了解线比例线段的基本性质；理解并掌握比例的基本性质及其简单应用；发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的水平。
（二）水平目标：经历使用线段的比解决问题的过程，在观察、计算、讨论、想象等活动中获取知识。
（三）情感与价值观目标：通过本节课的教学，培养学生的数学应用意识，体会数学与现实生活的密切联系。
成比例线段
2、小明认为: a c a c (1)、如果 （a b 0，c d 0） .那么 b d ba d c ab cd a c (2)、如果 .那么 . b d b d 这两个结论正确吗？为 什么？
第五环节：巩固提高：
1、若 x y 17 x , 则 _____ y 9 y a 1 3a b 2、若 , 则 的值为 ____ b 4 2b a b c 3、已知： . 3 5 7 a bc a 2b 3c 求（ 1 ） 的值（2） 的值 b ac
已知，a，b，c，d，e，f 六个数。
如果 a c a b cd a b cd , 那么 和 成立吗？为什么？ b d b d b d
AB BC CD AD , , , HE EF FG HG
(2)
如B BC CD AD HE EF FG HG 的值又是多少？在求解过程中， 你有什
第四章
图形的相似
1．成比例线段（二）
1. 知识目标： 了解线比例线段的基本性质；理解并掌握比例的基本性 质及其简单应用；发展学生从数学的角度提出问题、分析问
教 学 目 标
题和解决问题的能力。 2．能力目标： 经历运用线段的比解决问题的过程，在观察、计算、讨 论、想象等活动中获取知识。 3．情感与价值观要求 通过本节课的教学，培养学生的数学应用意识，体会数 学与现实生活的密切联系
么发现？
已知，a，b，c，d，e，f 六个数。
a c e ace a 如果 (b d f 0), 那么 成立吗？为什么？ b d f bd f b
a c ab cd 合比性质：如果 , 那么 . b d b d a c m a c m a 等比性质：如果 (b d n 0), 那么 . b d n b d n b
23.1成比例线段(2)比例的基本性质
等于什么？
a 相等吗？ b
与同伴进行交流。 设参数法,为“桥梁”，在解题中增设k，
又在解题中自行消失。
当题目中出现等比的形式时通常考虑这种方法.
a c e =k . 用“设k法”， 设 b d f
比例的等比性质.
交换比例的前后项
比例的合比性质：
尝试练习
1 .若
a b b _____
a 3 b 4 ，则
ab b
____
ab _____ a b
Ａ
D E C
AB AC 2. 已知：在△ABC 中， ＝ . DB EC AD AE 求证： ＝ ； DB EC
B
．
做一做
ac a c k ，那么 （1）如果 bd b d 与同伴进行交流。
a c b d
比例式
ad bc
等积式 外项之积等于内项之积
文字叙述
知识探索
a c 想 一 想 根据比例的基本性质，由 b d ，你还可以 得到哪些类似的结论呢？
比例式的几种形式
a b (1) c d
交换比例的内项
a c b d
d c （2） b a
Байду номын сангаас
交换比例的外项
b d (3) a c
比例线段（3）
教学目标
1.理解并掌握比例的性质。
2.运用比例的性质解决相关问题。
知识回顾
比例式中的概念：
比例前项
比例内项
a c b d
比例后项
a : b = c : d
比例外项
新知探究
比例的基本性质
比例线段知识点及练习题
第十八章 相似形——比例线段及相似知识点讲解【知识点讲解】一、比例线段1.线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a ，b 的长度分别是m ，n ，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n ，或写成nm b a = ,其中a 叫做比的前项;b 叫做比的后项。
2.成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．3.比例的项：已知四条线段ａ，ｂ，ｃ，ｄ，如果dc b a = ，那么ａ，ｂ，ｃ，ｄ，叫做组成比例的项，线段ａ，d 叫做比例外项，线段ｂ，ｃ叫做比例内项，线段ｄ还叫做ａ，ｂ，ｃ的第四比例项． 4.比例中项：如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a:b=b:c 或c b b a =，那么线段ｂ叫做线段ａ和ｃ的比例中项．二、比例的性质：(1)比例的基本性质：bc ad d c b a =⇔= ac b cb b a =⇔=2 (2)反比性质： cd a b d c b a =⇔= (3)更比性质: 或 d b c a d c b a =⇒=或ac bd = (4)合比性质: d d c b b a d c b a ±=±⇒= (5)等比性质: n m fe d c b a ====...且 ba n f db m ec a n fd b =++++++++⇒≠++++......0...比例线段练习 １、判断下列四条线段是否成比例① a=2，b=5,c=15，d=23； ② a=2，b=3, c=2，d=3； ③ a=4，b=6, c=5，d=10；④ a=12，b=8, c=15，d=102、已知：ad=bc（1） 将其改写成比例式；（2） 写出所有以a ，d 为内项的比例式；（3） 写出使b 作为第四项比例项的比例式；（4）若db c a =；写出以c 作第四比例项的比例式； 3 、计算.(1)已知：x ∶y=5∶4，y ∶z=3∶7.求x ∶y ∶z.(2)已知：a ，b ，c 为三角形三边长，(a-c) ∶(c+b) ∶(c-b)=2∶7∶(-1)，周长为24.求三边长.4 、在相同时刻的物高与影长成比例，如果一古塔在地面上影长为50m ，同时，高为1.5m 的测竿的影长为2.5m ，那么，古塔的高是多么米?5、EF BE CD AB =，AB=10cm ，AD=2cm ，BC=7.2cm ，E 为BC 中点.求EF ，BF 的长.6.(1)已知：x ：(x+1)=(1—x)：3，求x 。
4.1.2成比例线段(2)导学案
北师版九数上册第四章图形的相似4.1成比例线段（2） 主备人： 审核人： 学生姓名： 使用日期： 学习目标 掌握比例的基本性质的简单应用，掌握设比值法，熟练运用等比性质。
教学重点：等比性质的推导过程 教学难点：熟练运用等比性质学习过程一、知识链接1、什么是线段的比？什么是成比例线段？2、四条线段a 、c 、 d 、b 是成比例线段，则可表示为 。
3、若3m=2n ，你能得到m/n= ；n/m= . 二、自主探究阅读教材79---80页内容，思考下列问题：1、如果f e d c b a ==,那么ba f db ec a =++++成立吗？为什么？ 2、如果d c b a =,那么dd c b b a ±=±成立吗？为什么？ 3、如果d c b a ==…=n m （b +d +…+n ≠0）,那么b a n d b m c a =++++++ 成立吗？为什么. 4、试猜想n m fe dc b a =⋅⋅⋅===（0≠+⋅⋅⋅+++n fd b ）与n f d b me c a +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+++相等吗？能否证明你的猜想？、让同学们讨论、交流、验证，从中得出结论：归纳：等比性质：如果n m d c b a =⋅⋅⋅==（0≠+⋅⋅⋅++n d b ），那么nd b m c a +⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++＝ba ． 等比性质中，为什么要0≠+⋅⋅⋅++n db 这个条件？北师版九数上册第四章图形的相似三、课堂检测A 组：1、已知0432≠==c b a ,则c b a +的值为( )A.54B.45C.2D.21 2、如果x ∶(x ＋y )＝3∶5，那么x y ＝( ) A.32 B.38 C.23 D.853、若32=y x ，则3x －2y=（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0、4、已知2=yx ，则=+y y x ；=-x y x . 5、已知,32===f e d c b a 则fb e a ++=___________. 6、已知2=-+b a b a ，那么b a 的值是 ； 3x =6y ，则y ：x=________ . 7、若2x =3y =4z ≠0，则z y x 32+=________ B 组：1、已知2723=+b b a ，求b a 的值 2、已知a ∶b ∶c =4∶3∶2,且a +3b －3c =14.（1）求a ,b ,c （2）求4a －3b +c 的值.3、已知 3a=2b, 5b=4c,那么a:b:c=_______________四、谈收获。
数学教案比例线段第2课时
数学教案－比例线段（第2课时）一、教学目标1．理解成比例线段以及项、比例外项、比例内项、第四比例项、比例中项等的概念．2．掌握比例基本性质和合分比性质．3．通过通过的应用，培养学习的计算能力．4．通过比例性质的教学，渗透转化思想．5．通过比例性质的教学，激发学生学习兴趣．二、教学设计先学后做，启发引导三、重点及难点1．教学重点比例性质及应用．2．教学难点正确理解成比例线段及应用．四、课时安排1课时五、教具学具准备股影仪、胶片、常用画图工具六、教学步骤1．什么是线段的比？2．已知这两条线段的比是吗，为什么？1．比例线段：见教材P203页。
如：见教材P203页图5－2。
又如：即a、b、c、d是成比例线段。
注：①已知问这四条线段成比例吗？（答：成比例。
，这里与顺序无关）。
②若已知a、b、c、d是成比例线段，是指不能写成（在说四条线段成比例时，一定要将这四条线段按顺序列出，这里与顺序有关）。
板书教材P203页比例线段的一些附属概念。
2．比例的性质：（1）比例的基本性质：如果，那么。
它的逆命题也成立，即：如果，那么。
推论：如果，那么。
反之亦然：如果，那么。
①基本性质证明了“比例式”和“等积式”是可以互化的。
②由，除可得到外，还可得到其它七个比例式。
即由一个等积式，可写成八个不同的比例式（让学生试写）。
然后教师教给方法。
即：先按左：右＝右：左“写出四个比例式。
再由等式的对称性写出另外四个比例式：。
注意区别与联系。
③用比例的基本性质，可检查所作的比例变形是否正确。
即把比例式化成等积式，看与原式所得的等积式是否相同即可。
④等积化比例、比例化等积是本章一个重要能力，要使学生达到非常熟练的程度，以利于后面学习。
（2）合比性质：如果，那么证明：∵，∴即：同理可证：（找学生板演）（3）等比性质：如果那么证明：设；则∴等比性质的证明思路及思想非常重要，它是解决数学中连比问题的通法，希望同学们认真体会，务必掌握。
例1（要求了解即可）（1）已知：，求证：。
4.1成比例线段(2)
n
b
复习回顾
运用两条线段的比要注意
1.两条线段比是一个正数,它没有单位. 2.两条线段比与所选的长度单位无关. 3.求两条线段比时.如果单位不同.那么必 须先化成同一单位.再求它们的比 .
生活常识: 同一时刻物高与影长成比例. 图上长度与实际长度的比通常称为比例 尺.
知识回顾
四条线段a,b,c,d中,如果 a与b的比等于c 与d的比, 即 a/b=c/d, 那么这四条线段 a,b,c,d 叫做成比例线段,简称比例线段.
两条线段的比实际上就是两个数的比.
探究新知
如图，已知
，你能求出
的值吗？如果
,那么
有怎
么样的关系？在求解过程中，你有什么发现？
探究新知
如图，
的值相等吗？
的值又是多少？在求解过 程中，你有什么发现？
议一议
已知a，b，c，d，e，f六个数.
比例的性质
如果
a b
=
c d
=
e f
,
那么
a+c b+d
4.1 成比例线段 （2）
学习方法报 数学周刊
复习回顾 什么叫做两条线段的比呢?
如果选用一个长度单位量得两条线段a ，b 的长度分别为m ,n .那么两条线段的比 a∶b = m∶n 或 a m
bn
其中a，b分别叫做这个线段比的前项和后项.
如果把 m 表示成比值k , 那么 a k , 或a k b.
y
4
4
B.
y x
2 4
y 4
C.
2
2
x
y4 4
D.
2 x
y x
4.1 成比例线段 第2课时 等比性质
例题解析：
a 2 a b a -b (1)、已知 , 求 与 ； b 3 b b AB BC CA 3 (2)、在ABC 与DEF中，若 , DE EF FD 4 且ABC 的周长为18cm，求DEF的周长。
A
BE CF 如图，已知 = ， AB AC E AE AF 那么 AB = AC ， 理由： B BE CF AC CF AC –CF = = = AB AC AB BE AB –BE AC–CF AC AF AC = = AB–BE AB AE AB AB–BE≠0 AF AE AE AF = = . AC AB AB AC
么样的关系？在求解过程中，你有什么发现？
已知，a，b，c，d，e，f六个数。
a c a b cd (1)如果 , 那么 和 b d b d a b c d 成立吗？为什么？ b d
(2)
AB BC CD AD 如图， , , , HE EF FG HG
AB BC CD AD 的值相等吗？ HE EF FG HG
第三 章
图形的相似
第2课时 等比性质
1、成比例线段定义
2、比例的基本性质 3、若 3m = 2n
n 呢？ m
m ，你可以得到 n
的值吗？
(1)、如图已知
BD CE 1 ，你能求出 BD AD 与 CE AE AD AE 2 AD AE
AB AB AB BD AC CE有怎 的值吗？如果 , 那么 与 BC CE BD CE
的值又是多少？在求解过程中，你有什么发现？
已知，a，b，c，d，e，f六个数。
a c e (2)如果 (b d f 0), b d f ace a 那么 成立吗？为什么？ bd f b
23.1成比例线段(2)比例的基本性质
即ac-ad=ac-bc 课本P50 例题
【证明】 a c b d ad bc ad bc
ac ad ac bc a(c d ) c(a b)
比例的基本性质 两边同乘以-1 两边同加ac
a c a b, 且 , c d b d a c a b c d
a c 如果 ，那么 ad bc a c b d 如果 ad bc ，那么 b d
也可表示为
a c b d
比例式
ad bc
等积式 两内项之积等于两外项之积
文字叙述
比例式的几种形式
a b (1) c d
交换比例的内项
a c b d
d c （2） b a
交换比例的外项
2a b
5
例4 x y z 0 如果
x yz 9 那么 _______ x yz
2
3
4
课堂小结
1、比例的基本性质：
a c b d
ad bc
两内项之积等于两外项之积
2、比例式的四种形式： （1）交换内项；（2）交换外项； （3）交换前后项； （4）自身。 3、比例中项的概念： 如果
例1
a c 已知 , b d
ab cd 求证： (1) b d
a c 1 1, 只须得到 b d
分析：要得到 a b c d , b d
这与已知 有何关系？
a c 【证明】 b d a c 1 1 b d
所以，只要在已知比例式两边同加上1即可。
ab cd b d
b d (3) a c
交换比例的前后项
尝试练习
a c 8 1、在比例式 中，已知a=4,c=3,d=6,则b=_____ b d
北师大版九年级数学上册第一章《成比例线段》
a b
c d
下课了!
解： 设AD xcm,则DB (12 - x)cm
AD AE DB EC
x 6 12 x 5
即5x 6(12 x)
A
D
E
解得：x 72
B
C
11
答：AD长为 72 cm. 11
方法一 解：
a 3 b2
a 3b 2
若 a 3 ,求 a b , a b 2 b ab 方法二 解：
①若a=6 mm，b=24 mm，求a∶b； ②若c=20 cm，d=0.8m，求 c∶d．
解: 1. a 6mm 1 ; 2. c 20cm 20cm 1 ;
b 24mm 4
d 0.8m 80cm 4
想一想： 1.在计算两条线段的比时我们要注意什么？ 2.两条线段长度的比与所采用的长度单位有 没有关系？ 3.两条线段的比结果有单位吗？
A 为（ ）
A、100：3 B 、1:3 C、10:3 D、1000:3
2、甲、乙两地相距35km，图上距离为7cm,则这张图的比例
C 尺为（ ）
A、5:1 B、 1:5 C、1:500000 D、500000:1
3、已知点B在线段AC上，２BC=AB。求下列线段的比
值：（1）AB：BC（2）AC：AB（3）BC：AC
北师大版九年级数学上册第一章
《 成比例线段 》
学习目标： 1.理解线段的比和成比例线段。
2.掌握比例的基本性质及其简单 的应用。
在实际生活中，经常会看到许多形状相同的图形片
A B
C D
如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD的长
度分别是m、n；那么这两条线段的比就是两条线
段的长度比。
九年级数学 第四章 图形的相似1 成比例线段第2课时 等比的性质作业
AB A′B′
＝BB′CC′
＝CC′DD′
＝DD′AA′
＝23
，且四边形 A′B′C′D′的周长
为 60 cm，则四边形 ABCD 的周长为_4_0__cm.
5．如果ab ＝dc ＝ef ＝k(b＋d＋f≠0)，且 a＋c＋e＝3(b＋d＋f)， 那么 k＝__3__．
第五页，共十四页。
6．已知 a，b，c 是△ABC 的三边长，且a5 ＝b4 ＝6c ≠0. (1)求2a3＋c b 的值； (2)若△ABC 的周长为 90，求各边的长． 解：(1)2a3＋c b ＝79 (2)a＝30，b＝24，c＝36
第十页，共十四页。
第十一页，共十四页。
10．阅读下面的解题过程，然后解题： 题目：已知a－x b ＝b－y c ＝c－z a (a，b，c 互相不相等)，求 x＋y＋z 的值． 解：设a－x b ＝b－y c ＝c－z a ＝k，则 x＝k(a－b)，y＝k(b－c)，z＝k(c－a)， ∴x＋y＋z＝k(a－b＋b－c＋c－a)＝k·0＝0. 依照上述方法解答下列问题：已知：y＋x z ＝z＋y x ＝x＋z y (x＋y＋z≠0)， 求xx－＋yy－＋zz 的值．
第四章 图形(túxíng)的相似 4．1 成比例(bǐlì)线段
第2课时 等比的性质
第一页，共十四页。
第二页，共十四页。
1．已知a2 ＝b3 ＝4c ，则a＋c b 的值是( D )
A．45
B．74
C．1 D．54
2．(郑州月考)若四条不相等的线段 a，b，c，d 满足ab ＝dc ，
则下列式子中，成立的是( D )
第六页，共十四页。
第七页，共十四页。
7．若 2a＝3b＝4c，且 abc≠0，则ca－＋2bb 的值是( B ) A．2 B．－2 C．3 D．－3 8．若a5 ＝b7 ＝8c ，且 3a－2b＋c＝3，则 2a＋4b－3c 的值是( D ) A．14 B．42 C．7 D．134
学习比例线段应注意的几个问题
学习比例线段应注意的几个问题比例线段是学习图形相似的基础,正确理解比例线段的概念以及比例的性质至关重要.为帮助同学们学好这部分内容，下面就学习中注意的问题点拨如下.一、理解线段的比线段的比：同一长度单位的两条线段的比叫做这两条线段的比，即若线段a ，b 的长度分别是m ，n ，则nm b a =（或a ：b=m ：n ）. 提示：计算两条线段的比，要注意两个问题：（1）两条线段的长度单位要一致；如都cm 或都以m 为单位等：（2）两条线段的比与选用的单位无关.如都以cm 为单位得到的比值和都以m 为单位得到的比值是相等的.二、理解比例线段四条线段a ，b ，c ，d ，如果a 与b 的比等于 c 与d 的比，即dc b a =，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段.提示：（1）成比例线段是四条线段之间所具有的关系，不能说某两条线段是成比例线段；（2）若dc b a =，则线段a ，b ，c ，d 是成比例的线段，其中a 是第一比例项，d 是第四比例项，a ，d 称为比例的内项，b ，c 成为比例的内项.三、理解比例的性质1．比例的基本性质：已知四个数a ，b ，c ，d ，如果dc b a =，那么a d=bc ； 如果a d=bc （a ，b ，c ，d 都不等于0），那么d c b a = 提示：（1）这里的四个数可以是正数，也可以是负数；（2）由d c b a =得a d=bc 可以理解为由比例式转化为等积式；由a d=bc 得dc b a =，可理解为由等积式转化为比例式； （2）由a d=bc （a ，b ，c ，d 都不等于0）转化为比例式，得到具有不惟一性，如可以得到db c a =，ac bd =等一些比例式. 2．如果d c b a =，那么dd c b b a ±=±. 提示：（1）这一性质称为合比；（2）此性质的推断方法比较多，即可以设dc b a ==k ，得到a =kb ，c=kd 代入推导，也可以在dc b a =的两边都加上1(或减1),两边分别通分推导. 3.若nm f e d c b a ===(b+d+f +…+n ≠0),则b a n f d b m e c a =++++++++ . 提示: (1)这一性质叫做等比;(2)利用这性质的前提条件是b+d+f +…+n ≠0;(3)此性质可通过设nm f e d c b a ====k,得到a =kb,c=kd,e=kf ,…,m=kn,然后代入nf d b m e c a ++++++++ ,通过约分即可推导出性质.。
9.1+成比例线段第二课时+泰安东岳中学吴明刚+课件
等比性质
如果 a c m b d
bd
n
n 0 ，
那么 a c m a .
bd n b
例题讲解
例2（1）已知
a
2，求
a
b
和
a
b
的值；
b3
b
b
（2）在△ABC和△DEF中，DABE
BC EF
CA FD
3, 4
且△ABC的周长是18cm，求△DEF的周长.
解：（1）
a 2, b3
如果
a c e b d f 0
bd f
，那么
ace bd f
a b
成立吗？为什么？
解：设
a c e k ，则
bd f
a kb, c kd , e kf
a c e kb kd kf k(b d f ) k
bd f bd f
bd f
ace a bd f b
2 AB AC ，
BD CE
AB 1 AC 1.
BD
CE
即 AB BD AC CE .
BD
CE
（3）∵
合a 比c性质
bd
如果 a ∴ c ，ba那么1 adcb1 c d ,
bd
∴
a
b
b
cb d a db
c
d d
.
同理，如果 ab c d
bd
那么：a b c d 。
b
d
探究活动二
DE EF FD 4 ( AB BC CA) 4 18 24
即 △DEF的周长为234cm.
3
小试牛刀
1、已知
a b
4
3，那么
a
成比例线段的八种形式
成比例线段的八种形式成比例线段是指两个线段的比值相等。
在几何学中，成比例线段有八种形式，分别是：1. 相等线段：当两个线段的长度相等时，它们是成比例线段的一种形式。
例如，AB和CD两个线段的长度相等，即AB = CD。
2. 同向线段：当两个线段的方向相同，并且它们的长度之比相等时，它们是成比例线段的一种形式。
例如，AB和CD两个线段的方向相同，并且它们的长度之比为k，即AB/CD = k。
3. 反向线段：当两个线段的方向相反，并且它们的长度之比相等时，它们是成比例线段的一种形式。
例如，AB和CD两个线段的方向相反，并且它们的长度之比为k，即AB/CD = k。
4. 互补线段：当两个线段的长度之和为常数，并且它们的长度之比相等时，它们是成比例线段的一种形式。
例如，AB和CD两个线段的长度之和为常数m，且它们的长度之比为k，即AB/(m-AB) = CD/(m-CD) = k。
5. 互逆线段：当两个线段的长度之积为常数，并且它们的长度之比相等时，它们是成比例线段的一种形式。
例如，AB和CD两个线段的长度之积为常数n，且它们的长度之比为k，即AB/CD = n/k。
6. 平方线段：当两个线段的长度之比等于它们的平方之比时，它们是成比例线段的一种形式。
例如，AB和CD两个线段的长度之比为k，且它们的平方之比为k^2，即AB^2/CD^2 = k^2。
7. 立方线段：当两个线段的长度之比等于它们的立方之比时，它们是成比例线段的一种形式。
例如，AB和CD两个线段的长度之比为k，且它们的立方之比为k^3，即AB^3/CD^3 = k^3。
8. 平方根线段：当两个线段的长度之比等于它们的平方根之比时，它们是成比例线段的一种形式。
例如，AB和CD两个线段的长度之比为k，且它们的平方根之比为√k，即√(AB/CD) = √k。
这八种形式的成比例线段在几何学中具有重要的应用价值，可以用于解决各种与线段长度相关的问题。
第1部分 第4章 第4节 相似三角形
《海岛算经》 《海岛算经》由刘徽于三国魏景元四年(公元 263 年)所撰，本为《九 章算术注》之第十卷，题为《重差》．《海岛算经》都是用表尺重复从 不同位置测望，取测量所得的差数进行计算，从而求得山高或谷深， 这就是刘徽的重差理论．《海岛算经》中，从题目文字可知所有计算都 是用筹算进行的．“为实”指作为一个分数的分子，“为法”指作为分 数的分母．所用的长度单位有里、丈、步、尺、寸：1 里＝150 丈；1 丈＝10 尺；1 步＝6 尺；1 尺＝10 寸．
(2)直角三角形 a．一组⑫_锐__角__对应相等，两三角形相似． b．两直角边对应成比例，两三角形相似． c．斜边和一条直角边对应成比例，两三角形相似．
(3)判定三角形相似的思路及几种常见类型
三角
有平行截线——用平行线的性质，找等角
形相
似的
判定
思路
三角 形相 似的 判定 思路
几种 常见 类型
【解析】由题意，得 AH⊥HG，CB⊥HG，∴∠AHF＝90°，∠ CBF＝90°，∴∠AHF＝∠CBF，∵∠AFB＝∠CFB，∴△CBF∽△ AHF，∴ABHC ＝HBFF，同理可得，HDEA＝HDGG，∵BF＝123，BD＝1000， DG＝127，∴HF＝HB＋123，HG＝HB＋1000＋127＝HB＋1127，∴H3A ＝HB1＋23123，H3A＝HB＋1217127，解得 HB＝30750，HA＝753.
2．(2019·顺庆区校级自主招生)在平面直角坐标系中，第一个正 方形 ABCD 的位置如图所示，点 A 的坐标为(1，0)，点 D 的坐标为(0， 2)，延长 CB 交 x 轴于 A1，作第一个正方形 A1B1C1C；延长 C1B1 交 x 轴于点 A2，作第二个正方形 A2B2C2C1；…按这样的规律进行下去，第 2019 个正方形的面积为( B )
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第四章图形的相似
4.1成比例线段（第2课时）
班别：姓名：学号：.
一、问题引入：
1、如图，HG AD FG CD EF BC HE AB ,,,的值相等吗？HG
FG EF HE AD CD BC AB ++++++的值又是多少？在求解过程中，你有什么发现？
2、已知，a ，b ，c ，d ，e ，f 六个数.
3、归纳出等比性质
二、基础训练：
2、已知1
3=b a 且a+b=8,则a －b=____________. 三、例题展示：
例：在△ABC 与△DEF 中，若
4
3===FD CA EF BC DE AB ,且△ABC 的周长为18㎝， 求△DEF 的周长．
成立吗？为什么？那么如果b a f d b e c f d b f e d c b =++++≠++==a ),0(a 2c 1(________0),._3d
___a c a b d b d b +==+≠+=、已知的值
四、课堂检测：
4、已知△ABC 与△A ’B ’C ’中,
''''''
AB BC CA A B B C C A ==,BC=4cm,B ’C ’=5cm,△ABC 的周长为18cm,则△A ’B ’C ’的周长为．
5、如图所示,已知在△ABC 中,D 是BC 上一点且AB BD AC DC =,AB ＝7cm,AC ＝5cm,BC ＝8cm,求BD 和DC 的长度． ,
_____,9171==+y x y y x 则、若____23,412的值为则、若b b a b a +=的值）的值（）求（、已知：c a c b b c b c b a +-+++==32a 2a 1.7533。