2019北京怀柔高三数学一模理科试卷
怀柔区高三一模数学试卷及答案理科 (1)
怀柔区高三一模数学试卷及答案理科
找一部古代言小说是不，是穿越的已经忘记了只，是一开始主不要嫁给那，个主想要逃有关磁力异，能穿越的小说我想写穿，越小说希望大家给些＜，要正反角都要］托求一，部穿越言小说穿越王小，说如果有的我求几本小，说穿越的主一开始有喜，欢的还为了这个伤害了，主但后来喜欢主求一篇，耽小说穿越到架空的古，代的世界夫给捡到了一，本很久以前的穿越小说，主很和一滚被窝尸另外，一个的也回来了她在床，上十分纠结一部动漫很，多内容都记清了之记得，一只猫变的小时候被男，照顾还救了她一命记清，了如吃低脂肪的鱼类以，及多喝脱脂奶多吃含丰，富纤维质及热量较低的，蔬菜如韭菜冬瓜黄瓜想，减肥记得使用红色餐具，哟红色餐具有助减肥餐，具颜色会影响减肥效果，吗《食欲》杂志刊登一，项最新研究宣称使用红，色餐具可提高减肥效果，在由德国和瑞士科学家，联合完成的这项新研究，中名男性参试者被要求，使用贴有红色或蓝色标，签的杯子喝茶结果发现，使用红色茶杯的时候参，试者饮茶量减少了%在，研究的第二阶段科学家
使用红色蓝色或白色盘，子向名参试者发放脆饼，干结果发现使用红盘子，的参试者吃的饼干最少，科学家还发现由于红色，通常与“危险”“禁止，”或“停止”等密切相，关因此红色餐具可以帮，助减肥者少吃或避免零，食节后消脂方案大盘点，多喝乌龙茶茶叶具有消，腻减肥延年益寿的作用，还有消食下气泻热清神，生津止渴利尿解毒等
功，效尤其是乌龙茶玉米须，代茶饮以开水冲泡干净，玉米须(干品-克)当，茶喝不仅对过度肥胖者，有效对一些高血压患者，也有效果多喝绿豆海带，汁取绿豆海带各克每日，一剂煮食肥胖者常服可，减肥降脂多喝瓜菜汤平，时可以灵活选用一些常，见果蔬如冬瓜黄瓜萝卜，豆芽山楂黑木耳嫩豆腐，等轮换按家常用量做成，瓜菜汤喝久之多可获得，减肥效果当然寒凉底子，的朋友不宜多饮养成饭，前喝汤的习惯。
北京市怀柔区高三一模数学试题(解析版)
北京市怀柔区高三一模数学试题一、单项选择题1．集合{1,0,1,2},{|03}A B x x =-=<<，那么图中阴影局部的集合为〔 〕A ．{}1-B ．{1,2}C ．{1,0}-D ．{0,1,2}【答案】B【分析】根据维恩图分析阴影局部，利用集合的交集计算即可. 【详解】由维恩图可知，阴影局部为集合{1,2}A B =.应选：B.2．在复平面内，复数12,z z 对应的点的关于实轴对称，假设12z i =+，那么12z z ⋅=〔 〕 A ．2i - B ．5C 5D ．3【答案】B【分析】根据共轭复数的性质即可求解.【详解】因为复数12,z z 对应的点的关于实轴对称， 所以12,z z 互为共轭复数， 所以222121||215z z z ⋅==+=， 应选：B3．在5(21)x -的展开式中，2x 的系数为〔 〕 A ．20 B ．20- C ．40- D ．40【答案】C【分析】根据二项式展开式的通项求2x 的系数.【详解】由题得()521x -的展开式的通项为555155(2)(1)(1)2.rrr rr r r r T C x C x ---+=-=-令5-r =2,那么r =3,所以2x 的系数为33535(1)240.C --=-故答案为：C4．曲线22153x y -=与曲线22135x y -=的〔 〕A ．焦距相等B ．实半轴长相等C ．虚半轴长相等D ．离心率相等【答案】A【分析】根据双曲线的标准方程求出c 即可得出结论.【详解】由双曲线22153x y -=可知，225,3a b ==，2538c =+=，由双曲线22135x y -=可知2223,5,538a b c '''===+=，所以焦距相等，实半轴长不相等，虚半轴长不相等，离心率不相等. 应选：A5．要得到函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图象〔 〕 A ．向右平移6π个 B ．向右平移3π个C ．向左平移3π个D ．向左平移6π个 【答案】D【分析】直接根据三角函数的图象平移规那么得出正确的结论即可； 【详解】解：函数sin 2sin 236y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ∴要得到函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图象向左平移6π个． 应选：D ．【点睛】此题考查三角函数图象平移的应用问题，属于根底题． 6．某四棱柱的三视图如下列图，该几何体的体积为〔 〕A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】C【分析】先复原几何体，再根据直四棱柱体积公式求解. 【详解】解：由三视图复原原几何体如下列图：该几何体为直四棱柱，底面为直角梯形，那么其体积为122262+⨯⨯=． 应选：C ．7．“0a =〞是直线(1)(1)20()a x a y a a R ++-+=∈与圆224x y +=相交的〔 〕 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．即不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据直线与圆相交的判定，充分条件，必要条件即可求解【详解】当0a =时，直线为0x y -=，过圆心(0,0)，故直线与圆224x y +=相交， 当直线(1)(1)20()a x a y a a R ++-+=∈与圆224x y +=相交时，圆心到直线的距离222(1)(1)d a a =<++-，化简得220a +>，显然恒成立，不能推出0a =，所以“0a =〞是直线(1)(1)20()a x a y a a R ++-+=∈与圆224x y +=相交的充分不必要条件， 应选：A8．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，假设528a a =，那么以下式子中的数值不能确定的是〔 〕A ．53a aB ．53 S SC ．1n na a +D ．1n nS S + 【答案】D【分析】根据的等式变形，利用等比数列的性质求出公比q 的值，然后分别根据等比数列的通项公式及前n 项和公式，即可找出四个选项中数值不能确定的选项．【详解】解：因为528a a =，所以3528a q a ==，所以2q ，所以2534a q a ==，12n n a q a +==，()()11111121212 121212n n n n n n a S S a +++---==---，所以()()5155333112123112 1271212a S S a ---===--- 应选：D9．函数2log (0)()3(0)x x x f x x >⎧=⎨⎩，且关于x 的方程()f x x a =-+恰有两个互异的实数解，那么实数a 的取值范围为〔 〕 A ．(,1)-∞ B ．(,1]-∞C ．(1,2)D ．(1,)+∞【答案】B【分析】当0x ≤时，031x <≤，当0x >时，2log x R ∈，由题意可得，函数()y f x =与直线y x a =-+有两个交点，数形结合求得实数a 的范围．【详解】方程()f x x a =-+恰有两个互异的实数解，转化为()y f x =与y x a =-+的图象有2个不同的交点，作函数()y f x =与y x a =-+的图象如下，由图可知，当1a ≤时，方程()f x x a =-+恰有两个互异的实数解. 应选：B【点睛】关键点点睛：方程根的个数转化为两个函数图象交点的个数，作出图象是解决问题的关键，属于中档题．10．形状､节奏､声音或轨迹，这些现象都可以分解成自复制的结构.即相同的形式会按比例逐渐缩小，并无限重复下去，也就是说，在前一个形式中重复出现被缩小的相同形式，依此类推，如下列图，将图1的正三角形的各边都三等分，以每条边中间一段为边再向外做一个正三角形，去掉中间一段得到图2，称为“一次分形〞；用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得到图3，称为“二次分形〞；依次进行“n 次分形〞，得到一个周长不小于初始三角形周长100倍的分形图，那么n 最小值是〔 〕(取lg30.4771,lg 20.3010≈≈)A ．15B ．16C ．17D ．18【答案】C【分析】根据分形的变化规律，得出一条长为a 线段n 次分形后变为长为43na ⎛⎫ ⎪⎝⎭的折线，建立不等关系，利用对数求解即可.【详解】设正三角形的一条边长为a ，“一次分形〞后变为长为43a的折线， “二次分形〞后折线长度为243a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，⋯“n 次分形〞后折线长度为43na ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以得到一个周长不小于初始三角形周长100倍的分形图，只需满足41003na a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，两边同时取常用对数得：4lg lg10023n ≥=， 即得：(2lg 2lg3)2n -≥， 解得2216.012lg 2lg30.60200.4771n ≥=≈--，故至少需要17次分形， 应选：C.【点睛】关键点点睛：仔细读题，弄懂分形变化的规律，即正三角形的一条边长为a ，“一次分形〞后变为长为43a 的折线，“二次分形〞后折线长度为243a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，⋯“n 次分形〞后折线长度为43na ⎛⎫ ⎪⎝⎭是解题的关键.二、填空题11．函数()122log 1y x x =+-的定义域为______.【答案】[0,1)【分析】根据函数解析式，列出不等式组求解即可. 【详解】因为函数()122log 1y x x =+-，所以010x x ≥⎧⎨->⎩解得01x ≤<，所以函数定义域为[0,1)，故答案为：[0,1)12．假设抛物线C 顶点在原点，焦点在y 轴上，且过点(2,1)，那么C 的标准方程是___________. 【答案】24x y =【分析】利用待定系数法求出抛物线方程即可；【详解】解：因为抛物线C 顶点在原点，焦点在y 轴上，故设抛物线方程为2x my =，又抛物线过点(2,1)，所以22m =，即4m =，所以抛物线方程为24x y = 故答案为：24x y =13．在ABC 中，12,1,cos 4a b A ===，那么c =___________. 【答案】2【分析】直接利用余弦定理计算可得； 【详解】解：因为12,1,cos 4a b A ===，2222cos a b c bc A =+-，所以222121214c c =+-⨯⨯⨯解得2c =或32c 〔舍去〕故答案为：214．假设函数()sin cos()f x x x ϕ=-+的一个零点为6x π=，那么常数ϕ的一个取值为___________. 【答案】6π【分析】根据零点的概念及特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】因为函数()sin cos()f x x x ϕ=-+的一个零点为6x π=，所以1()cos()0626f ππϕ=-+=，即1cos()62πϕ+=，所以6π=ϕ时，满足条件，6π=ϕ是常数ϕ的一个取值.故答案为：6π15．如图，在直角梯形ABCD 中，//,,2,1,(0)AB CD AB BC AB CD BC a a ⊥===>，P 为线段AD 上一个动点，设,AP xAD PB PC y =⋅=，对于函数()y f x =给出以下四个结论：①当2a =时，函数()f x 的值域为[1,4]； ②(0,)a ∀∈+∞，都有(1)1f =成立；③(0,)a ∀∈+∞，函数()f x 的最大值都等于4； ④0,()a ∃∈+∞，函数()f x 的最小值为负数. 其中所有正确结论的序号是___________. 【答案】②③④【分析】先利用垂直建立坐标系，根据长度写点的坐标，再化简函数()()222()144f x a x a x =+-++，利用二次函数性质依次判断四个选项的正误即得结果.【详解】建立如图坐标系，根据题意，()()()()2,0,0,0,0,,1,A B C a D a ，()1,AD a =-， 故(),AP xAD x ax ==-，01x ≤≤，故()2,P x ax -， 那么()2,BP x ax =-，()2,CP x ax a =--， 那么()()()()22222144()y PB PC BP CP x ax ax a a x a x f x ==⋅=⋅=-+-=+-++，当2a =时，224458455()5x f x x x ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭=，01x ≤≤，故当45x =时，()f x 最小值为45，当0x =时，()f x 最大值为4，即值域为4,45⎡⎤⎢⎥⎣⎦，①错误； (0,)a ∀∈+∞时，()()22(1)1441f a a =+-++=，②正确；()()222()144f x a x a x =+-++，对称轴为()()2224131,2222121a x a a +⎛⎫==+∈ ⎪++⎝⎭， 当()2131221a +≥+时，即02a <≤，函数()f x 在[]0,1上递减，故当0x =时，()f x 取得最大值(0)4f =，当1x =时，()f x 取得最小值(1)1f =；当2a >时，()211312221a <+<+，根据抛物线对称性可知，当0x =时，函数()f x 取得最大值(0)4f =，当()22421a x a +=+时，()f x 取得最小值()()2224441a a+-+. 综上可知，(0,)a ∀∈+∞，函数()f x 的最大值都等于4，故③正确； 取32a =>时，()f x 取得最小值()()222241394404104041a a +-=-=-<⨯+，故④正确.故答案为：②③④. 【点睛】关键点点睛：此题的解题关键在于建立适当的直角坐标系得到函数()f x ，才能结合二次函数的图象性质突破难点.三、解答题16．如图，在四棱柱1111ABCD A BC D -中，1AB ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱12A A =.〔1〕求证：1//C D 平面11ABB A ； 〔2〕求证：1AC BC ⊥；〔3〕求二面角11C BD D --的余弦值. 【答案】〔1〕证明见解析〔2〕证明见解析〔3〕427. 【分析】(1)根据四棱柱的性质可得面面平行，由面面平行的性质即可求证； 〔2〕建立空间直角坐标系，利用向量法证明线线垂直； 〔3〕根据平面的法向量，利用法向量的夹角公式求二面角即可. 【详解】〔1〕四棱柱1111ABCD A BC D -中，111//,C C BB C C ⊄平面11ABB A , 1//C C ∴平面11ABB A ,由正方形ABCD 可知，//DC AB ,且DC ⊄平面11ABB A ，//DC ∴平面11ABB A ,1DC C C C =,DC ⊂平面11DCC D ,1C C ⊂平面11DCC D , ∴平面11//DCC D 平面11ABB A ，1C D ⊂平面11DCC D , ∴1//C D 平面11ABB A〔2〕以A 为原点，AD 为x 轴，AB 为y 轴，1AB 为z 轴，建立空间直角坐标系，∴()()()()(10,0,0,0,1,01,1,0,1,0,0,1,3A B C D D ⋅-，221111//,=213C D AB C D AB =-=1(13)C ∴,1(1,1,0),(1,3)AC BC →→==-∴11100AC BC →→⋅=-+=,1AC BC →→∴⊥, 即1AC BC ⊥.〔3〕设平面1C BD 的法向量111(,,)m x y z →=，1(1,1,0),(1,BD BC →→=-=-,10BD m BC m ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩,即1111100x y x y -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令11x =，那么111,0y z ==，(1,1,0)m →∴=，设平面1BDD 的法向量222(,,)n x y z →=，()1,1,0BD =-，1(0,DD →=-100BD n DD n ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩，即22220x y y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩， 令21z =，那么22x y =n →∴=，23cos ,||||72m n m n m n →→⋅∴<>===⋅ 即二面角11C BD D --. 【点睛】关键点点睛：根据四棱柱的性质及条件1AB ⊥平面ABCD ，建立空间直角坐标系，利用向量法求解是解题的关键，属于中档题. 17．函数()sin ,()cos 66h x x g x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为，求： 〔1〕()f x 的单调递增区间； 〔2〕()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的取值范围.条件①：()()()f x h x x =；条件②：()()()f x h x g x =⋅；条件③：()()()f x h x g x =-.注：如果选择不同条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】选①，〔1〕单调递增区间[2,2]()k k k z πππ-∈，〔2〕[0,2]；选②，〔1〕单调递增区间为5[,],()1212k k k Z ππππ-+∈，〔2〕1[]42-；〔3〕选③，〔1〕单调递增区间为57[2,2],1212k k k Z ππππ-+∈，〔2〕. 【分析】选①，根据辅助角公式化简函数为()2cos f x x =，〔1〕根据余弦函数的图象与性质求解单调区间；〔2〕根据自变量的范围，利用余弦函数的图象与性质即可求解； 选②，根据二倍角的正弦公式化简得1()sin(2)23f x x π=+，(1)利用正弦型函数图象与性质求单调区间；(2) 根据自变量范围求出23x π+的范围，利用正弦函数的图象性质求值域；选③，根据辅助角公式化简可得())12f x x π=-，〔1〕利用正弦型函数的图象与性质求其单调区间；〔2〕根据自变量范围求出12x π-的范围，利用正弦函数求范围即可.【详解】选①：()()()sin())2sin()6663f x h x x x x x ππππ==+++=++ 2sin()2cos 2x x π=+=，〔1〕由()2cos f x x =知，单调递增区间[2,2]()k k k z πππ-∈ 〔2〕当[0,]2x π∈时，0cos 1x ≤≤，所以()2cos [0,2]f x x =∈. 选②：1()()()sin cos sin(2)6623f x h x g x x x x πππ⎛⎫⎛⎫=⋅=+⋅+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 〔1〕令222,232k x k k Z πππππ-≤+≤+∈, 解得5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈， 所以()f x 的单调递增区间为5[,],1212k k k Z ππππ-+∈ 〔2〕当[0,]2x π∈时，42333x πππ≤+≤，所以sin(2)13x π+≤，所以11()sin(2)[]232f x x π=+∈. 选③：()()()sin()cos()))666412f x h xg x x x x x πππππ=-=+-+=+-=-， (1)令22,2122k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，解得57π22,1212k x k k Z πππ-+≤≤+∈， 所以()f x 的单调递增区间为57[2,2],1212k k k Z ππππ-+∈， 〔2〕当[0,]2x π∈时，5121212x πππ-≤-≤，所以sin()4124x π-≤-≤，所以())6f x x π=-∈【点睛】关键点点睛：根据所选条件，利用辅助角公式或者二倍角的正弦公式化简函数，根据正弦型函数图象与性质或余弦函数图象与性质，确定单调性及值域，属于中档题. 18．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，对该流水线上的产品进行简单随机抽样，获得数据如下表：包装质量在(495,510]克的产品为一等品，其余为二等品 〔1〕估计从该流水线任取一件产品为一等品的概率；〔2〕从上述抽取的样本产品中任取2件，设X 为一等品的产品数量，求X 的分布列； 〔3〕从该流水线上任取2件产品，设Y 为一等品的产品数量，求Y 的分布列；试比较期望EX 与那么望EY 的大小.(结论不要求证明) 【答案】〔1〕45；〔2〕分布列见解析；〔3〕分布列见解析，()()E Y E X = 【分析】〔1〕直接利用古典概型的概率公式计算可得；〔2〕依题意X 的可能取值为0、1、2，求出所对应的概率，列出分布列； 〔3〕依题意42,5Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，即可求出Y 的分布列，再求出数学期望，即可得解； 【详解】解：〔1〕样本中一共有3475120++++=件产品，包装质量在(495,510]克的产品有47516++=件，故从该流水线任取一件产品为一等品的概率164205P == 〔2〕依题意X 的可能取值为0、1、2；()21622012219C P X C ===，()1116422032195C C P X C ===，()242203095C P X C ===故X 的分布列为：〔3〕由〔2〕可得()2101995955E X =⨯+⨯+⨯= 依题意42,5Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，那么Y 的可能取值为0，1，2 ()24162525P Y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()12448115525P X C ⎛⎫==⨯-⨯= ⎪⎝⎭，()24101525P X ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭故Y 的分布列为：所以()255E Y =⨯= 所以()()E Y E X = 19．函数1()ln xf x e x a x ⎛⎫=⋅-+⎪⎝⎭，其中a R ∈. 〔1〕假设曲线()y f x =在1x =处的切线与直线y ex =平行，求a 的值； 〔2〕假设函数()f x 在定义域内单调递减，求a 的取值范围. 【答案】〔1〕2〔2〕11ln 22(,2]+-∞ 【分析】〔1〕对函数求导，令(1)e f ，即可求得a 的值；〔2〕由题可知，()0f x '≤在(0,)+∞上恒成立，参变别离，利用导数求最值即可求解.【详解】〔1〕由题可知21()ln xf x e x a x ⎛⎫'=--+ ⎪⎝⎭，那么(1)(1)f e a e '=-+=，解得2a =．〔2〕∵1()ln xf x e x a x ⎛⎫=⋅-+⎪⎝⎭在(0,)+∞上是减函数， ∴21()ln 0xf x e x a x ⎛⎫'=--+≤ ⎪⎝⎭对(0,)x ∈+∞恒成立，所以21ln a x x ≤+， 令21()ln g x x x =+，那么由322112()(1)0g x x x x x'=-+=-=得x =当x ∈时，()0g x '<，当)x ∈+∞时，()0g x '>，所以()g x 在x ∈上单调递减，在)x ∈+∞上单调递增，所以min 11()ln 222g x g ==+， 故只需min 11ln 222()a g x =+≤故a 的取值范围是11ln 22(,2]+-∞．【点睛】关键点点睛：函数在定义域上单调递减转化为函数导数在(0,)+∞上小于等于零恒成立，采用了参变别离法，再构造函数，利用导数求出新函数的最值，其中转化的思想，参变量别离的方法，是解题的关键，属于中档题．20．椭圆2222:1x y C a b+=过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且2a c =，假设直线:1l y kx =+与椭圆C 交于M ，N 两点，过点M 作x 轴的垂线分别与直线,PO NO 交于点A ，B ，其中O 为原点.〔1〕求椭圆C 的方程； 〔2〕假设||1||AB AM =，求k 的值.【答案】〔1〕22143x y +=〔2〕1【分析】〔1〕根据椭圆过点及2a c =求解即可；〔2〕设1122(,1),(,1)M x kx N x kx ++，表示出,A B 点的坐标，联立直线1y kx =+与椭圆的方程，根据A 为BM 的中点，化简求解即可.【详解】〔1〕椭圆2222:1x y C a b+=过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且2a c = 222222219144a b a c a b c ⎧+=⎪⎪∴=⎨⎪=+⎪⎩， 2224,3,1a b c ===∴ ∴椭圆C 的方程为22143x y +=〔2〕如图，设1122(,1),(,1)M x kx N x kx ++，31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，3:2OP y x ∴=， 113(,)2A x x ∴，22112211:,(,)kx kx x x ON y x B x x x ++∴=， 由221143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得 22(43)880k x kx ++-=，226432(43)0k k ∆=++>，12122288,4343k x x x x k k -+-==++， ||1||AB AM =，A ∴为BM 的中点，12111231kx x x x kx x +∴=++，即12121123kx x x x x kx x ++=+，121212123x x kx x kx x x x ∴=+++，22224434341683k k k k k -∴-=-+++，2424k ∴-=-，解得1k =.【点睛】关键点点睛：根据条件得到点A 为BM 的中点，根据此条件建立相关坐标之间的关系，是解决问题的关键，注意韦达定理在解题中的应用，属于中档题. 21．定义满足以下两个性质的有穷数列123,,,,n a a a a 为()3,4,n n =⋅⋅⋅阶“期待数列〞：①1230n a a a a ++++=；②1231n a a a a ++++=.〔1〕假设等比数列{}n a 为4阶“期待数列〞，求{}n a 的公比； 〔2〕假设等差数列{}n a 是21k +阶“期待数列〞(1,2,3,,21n k =+.k 是正整数，求{}n a 的通项公式；〔3〕记2k 阶“期待数列〞{}n a 的前n 项和为n S (1,2,3,,2n k =.k 是不小于2的整数)，求证：12k S ≤. 【答案】〔1〕公比为-1；〔2〕0d >时，()11n n a k k k=-+()n N *∈；0d <时，()11n n a k k k=-++()n N *∈；〔3〕证明见详解.【分析】〔1〕先根据新定义得到对应关系式，再结合等比数列求和公式解得公比即可； 〔2〕先根据新定义得到对应关系式，结合等差数列求和公式和性质得到10k a +=，再利用等差数列性质求绝对值之和解得d ，根据()11n k a a n k d +=+-+⎡⎤⎣⎦求通项公式即可；〔3〕先利用新定义计算数列中所有非负项之和和所有负数项之和，再求k S 的最大值和最小值，即证结论.【详解】解：〔1〕依题意，等比数列{}n a 为4阶“期待数列〞， 故数列满足①12340a a a a +++=，②12341a a a a +++=.易见0n a ≠，假设公比q 为1，那么①式即140a =，不符合题意，故1q ≠， 故①式即()41101a q q-=-，即41=q ，故1q =-，所以{}n a 的公比为-1；〔2〕依题意，等差数列{}n a 是21k +阶“期待数列〞，设等差数列{}n a 公差为d ， 那么数列满足①123210k a a a a +++++=；②123211k a a a a +++++=.故①式即()()1212102k k a a +++=，即121120k k aa a +++==，即10k a +=.假设0d >时，有123,,,,0k a a a a <，2321,,,0k k k a a a +++>， 那么②式即122321......1k k k k a a a a a a +++----++++=，故()()()213221...1k k k k a a a a a a +++-+-++-=，即()11k k d ⋅+=，得()11d k k =+，所以()()()()11110111n k n a a n k d n k k k k k k+=+-+=+--⋅=-⎡⎤⎣⎦++；假设0d <时，有123,,,,0k a a a a >，2321,,,0k k k a a a +++<， 那么②式即1232321......1k k k k a a a a a a a +++++++----=，故()()()122321...1k k k k a a a a a a +++-+-++-=，即()11k k d -⋅+=，得()11d k k =-+，所以()()()()11110111n k n a a n k d n k k k k k k+-=+-+=+--⋅=-+⎡⎤⎣⎦++.综上，0d >时，()11n n a k k k =-+()n N *∈；0d <时，()11n n a k k k=-++()n N *∈； 〔3〕设2k 阶“期待数列〞{}n a 的所有非负项之和为A ，所有负数项之和为B ， 依题意数列满足①12320k a a a a ++++=；②12321k a a a a ++++=.即0,1A B A B +=-=，那么解得11,22A B ==-， 当所有非负数项一起构成k S 时，k S 最大为12A =，即12k S ≤； 当所有负数项一起构成k S 时，k S 最小为12B =-，即12k S ≥-.故1122kS-≤≤，所以12kS≤.【点睛】关键点点睛：此题解题关键是理解并利用新定义解出每一问的关系式，再结合等差数列、等比数列相关公式即突破难点.。
2019北京怀柔区高三一模数学(理)试题及答案
2019北京年怀柔区高三一模数学(理)本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分(选择题共40分)一、选择题(共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)．1．若集合A={x|(－1<x<2}，B ={x|1≤x≤3}，则A∩B =A．(－1,2) B．[1,2) C．[1,3] D．(－1,3]2．复数=A．-i B．i C．1--i D．1-+i3．设x,y满足约束条件,1,2,y xx yx≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2z x y=-的最大值为A．1B．3C．5D．94．执行右图所示的程序框图，若输入10x=，则输出y的值为A．3B．6C．3 2D．5 4 -5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱长为A．B ．C ．D ．6．若函数()22-=-x x f x ，则()f xA ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数 7．已知a b ,是两个非零向量，则“=a b ”是“=a b 且a b ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．某学习小组，调查鲜花市场价格得知，购买2只玫瑰与1只康乃馨所需费用之和大于8元，而购买4只玫瑰与5只康乃馨所需费用之和小于22元．设购买2只玫瑰花所需费用为A 元，购买3只康乃馨所需费用为B 元，则A B 、的大小关系是A ．AB > B ． A B <C ．A B =D ．A B 、的大小关系不确定第二部分 (非选择题共110分)二、填空题(共6小题，每小题5分，共30分．)9．已知抛物线22=y px 的准线方程为1x =-，则=p __________．10．若{}n a 是等比数列，且公比4=q ,12321++=a a a ，则n a =__________． 11．函数21()sin cos s 2=+-f x x x co x 的最小正周期是________，(f x ）的取值范围是__________． 12．在极坐标系中，曲线ρ=2cos θ上的点到点(1,)π距离的最大值为 __________．13．设a b c ，，是任意实数，能够说明“若<<c b a 且0<ac ，则<ab ac ”是假命题的一组整数a b c ，，的值依次为__________．14．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”，是程序化寻求精确分数来表示数值的算法．其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和d c （,,,*∈a b c d N ），则++b da c是x 的更精确的不足近似值或过剩近似值．已知 3.14159π=⋅⋅⋅，令31491015π<<，则第一次用“调日法”后得165是π的更为精确的过剩近似值，即3116105π<<，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为__________．三、解答题(共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．) 15．（本小题满分13分）在中，角，，所的对边分别是a，b，c，，．（Ⅰ）求边c的值；（Ⅱ）若，求的面积．16．（本小题满分14分）已知三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AC=12AB=2，N为AB上一点，AB=4AN，M，S分别为PB，BC的中点.（Ⅰ）证明：CM⊥SN；（Ⅱ）求直线SN与平面CMN所成角的大小；（Ⅲ）求二面角--B NC M大小的余弦值.17．（本小题满分13分）某大型企业为鼓励员工利用网络进行营销，准备为员工办理手机流量套餐.为了解员工手机流量的使用情况，通过抽样，得到100位员工每人手机月平均使用流量L(单位:M)的数据，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）从该企业的员工中随机抽取3人，求这3人中至多有1人手机月流量不超过900M的概率；（Ⅱ）据了解，某网络运营商推出两款流量套餐，详情如下：流量套餐的规则是：每月1日收取套餐费.如果手机实际使用流量超出套餐流量，则需要购买流量叠加包，每一个叠加包(包含200M 的流量)需要10元，可以多次购买，如果当月流量有剩余，将会被清零.该企业准备订购其中一款流量套餐，每月为员工支付套餐费，以及购买流量叠加包所需月费用．若以所需费用的数学期望为决策依据，该企业订购哪一款套餐更经济？18．（本小题满分13分）已知函数()ln ()=-∈f x x ax a R .（Ⅰ）当2=a 时，求()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）若对于任意的(0,)x ∈+∞，都有()0f x <，求a 的取值范围.19．（本小题满分13分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(1,0)F ，点(0,)B b 满足||2FB =.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）过点F 作直线l 交椭圆E 于M N 、两点，若BFM ∆与BFN ∆的面积之比为2，求直线l 的方程.20．（本小题满分14分）设集合W 由满足下列两个条件的数列{}n a 构成： ①212n n n a a a +++<；②存在实数M ，使M a n ≤（ n 为正整数）. （Ⅰ）在只有5项的有限数列{}n a 、 {}n b 中，其中1231,2,a a a ===3，44a =，55a =；123451,4,5,4,1b b b b b =====，试判断数列{}n a 、{}n b 是否为集合W 中的元素；（Ⅱ）设{}n c 是等差数列，n S 是其前n 项和，334,18c S ==，证明数列{}W S n ∈；并写出M 的取值范围； （Ⅲ）设数列{}n d W ∈，且对满足条件的常数M ，存在正整数k ，使k d M =．求证：123k k k d d d +++>>.数学试题答案一、选择题(共8小题，每小题5分，共40分)．二、填空题(共6小题，每小题5分，共30分．)9. 2； 10. 14-n ； 11.π，[-； 12. 3； 13. 1,0,1-； 14. 227. 三、解答题(共6小题，共80分．) 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由及正弦定理得,∴-----------------------------------------------------------------------------------5分 （Ⅱ）在中，由余弦定理得，所以整理得，解得或（舍去）因为，所以。
2019怀柔一模数学试题及答案
A2019年怀柔区高级中等学校招生模拟考试（一）2019.51．据央广网消息，近年来，数字技术推动数字贸易兴起，通过采用数字技术，提高员工生产力、降低成本、创造新收益，数字贸易在中国国内创造了高达人民币3200 000 000 000元的经济效益.将3200 000 000 000用科学计数法表示应为A．113.210⨯B．123.210⨯C．123210⨯D．130.3210⨯2. 如图所示，数轴上点A关于原点对称点表示的数是A．2 B．﹣2C．±2 D．03．如图，AB∥CD，DA⊥CE于点A．若∠D=35°，则∠EAB的度数为A．35°B．45°C．55°D．65°4．如图，左图是由4个大小相同的正方体组合而成的几何体，其主视图是A．B．C．D．5．在一个布口袋里装有白、红、黑三种颜色的小球，它们除颜色外没有任何区别，其中白球2只，红球4只，黑球3只，将袋中的球搅匀，随机从袋中取出1只球，则取出黑球的概率是A．B．C．D．6. 如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD=2，△ABC的周长为14，则BC的长为A．3 B．4 C．5 D．67．《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安.今乙发已先二日，甲仍发长安.问几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安.现乙先出发2日，甲才从长安出发.问甲乙经过多少日相逢？设甲乙经过x日相逢，可列方程为A．B．C．D．8．2019年1月3日，嫦娥四号探测器自主着落在月球背面，实现人类探测器首次月背软着陆. 当时,中国已提前发射的“鹊桥”中继星正在地球、月球延长线上的L2点（第二拉格朗日点）附近，沿L2点的动态平衡轨道飞行，为嫦娥四号着陆器和月球车提供地球、月球中继通信支持，保障嫦娥四号任务的完成与实施.如图，已知月球到地球的平均距离约为38万公里，L2点到月球的平均距离约为6.5万公里.某刻，测得线121314167512x x+=+2175x x++=7512x x-=+275x x+=CEBA段CL2与AL2垂直，∠CBL2=56°，则下列计算鹊桥中继星到地球的距离AC 方法正确的是A ．AC 2=(6.5sin56°)2+44.52B ．AC 2=(6.5tan56°)2+44.52 C ．AC 2=(6.5cos56°)2-44.52D ．AC 2=(6.5cos56°)2+6.52二、填空题(本题共16分，每小题2分)9．若代数式32x -有意义，则实数x 的取值范围是 .10．若正多边形的一个外角是72°，则该正多边形的内角和为 .11．分解因式：22xy xy x -+= . 12．半径为6cm ，圆心角为40°的扇形的面积为 cm 2．13．化简代数式11+122x x x x ⎛⎫-÷ ⎪++⎝⎭，正确的结果为 . 14．如图，在△ABC 中，DE ∥AB ，DE 分别与AC ，BC 交于D ，E 两点.若△ABC 与△DEC 的周长比为3:2， AC=6，则 DC= .15．如图，这是怀柔地图的一部分，分别以正东、正北 方向为x 轴、y 轴正方向建立直角坐标系.规定： 一个单位长度表示1km ，北京生存岛实践基 地A 处的坐标是（2，0），A 处到雁栖湖国际会展 中心B 处相距4km ，且A 在B 南偏西45°方向上，则雁栖湖国际会展中心B 处的坐标是 .16. 如图，在中， ，将绕顶点顺时针旋转得到 D 是的中点，连接BD ， 若BC=2,∠ABC=60°，则线段BD 的最大值为 .三、解答题(本题共68分，第17—22题，每小题5分，第23- 26题，每小题6分，第27、28题，每小题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．计算：213tan 60()23--°．18．解不等式组：并写出它的所有整数解．Rt ABC ∆90ACB ∠=ABC ∆C '',A B C ∆''A B 3(1)51924x x x x -+-<⎧⎪⎨⎪⎩≤，，CB鹊桥中继星B A OE D C B A 19.下面是“已知斜边作一个直角三角形”的尺规作图过程. 已知：线段AB.求作：一个直角三角形ABC,使线段AB 为斜边.作法：如图，①过A 任意作一条射线l ； ②在射线l 上任取两点D ，E ； ③分别以点D ，E 为圆心，DB ，EB 长为半径作弧,两弧相交于点P ； ④作射线BP 交射线l 于点C.所以△ABC 就是所求作的直角三角形.思考：（1）按上述方法，以线段AB 为斜边还可以作 个直角三角形；（2）这些直角三角形的直角顶点C 所形成的的图形是 ，理由是 .20．已知关于x 的方程2220x x m -+-=有两个不相等的实数根． （1）求m 的取值范围；（2）如果m 为正整数，且该方程的根都是整数，求m 的值．21．在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB =AD ，对角线AC ，BD 交于点O ，AC 平分∠BAD ，过点C 作CE ∥DB 交AB 的延长线于点E ，连接OE .（1）求证:四边形ABCD 是菱形；（2）若∠DAB=60°，且AB =4，求OE 的长．22．如图，AB 为⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，且点C 是的中点. 连接AC ，过点C 作⊙O 的切线EF 交射线AD 于点E .（1）求证：AE ⊥EF ； （2）连接BC . 若，AB=5，求BC 的长.23．在平面直角坐标系xoy 中，直线y=kx+b (k<0),经过点（6，0），且与坐标轴围成的三角形的面积是9，BD 165AE =FAB与函数（）的图象G 交于A ，B 两点. （1）求直线的表达式；（2）横、纵坐标都是整数的点叫作整点.记图像G 在点A 、B 之间的部分与线段AB 围成的区域（不含边界）为W.①当m=2时，直接写出区域W 内的整点的坐标 ； ②若区域W 内恰有3个整数点，结合函数图象，求m 的取值范围.24．2019年初，电影《流浪地球》和《绿皮书》陆续热播，为了解某大学1800名学生对两部电影的喜爱程度，调查小组随机抽取了该大学20名学生对两部电影打分，过程如下. 收集数据 20名大学生对两部电影的打分结果如下：《流浪地球》 78 75 99 98 79 67 88 78 76 98 88 79 97 91 78 80 93 90 99 99 《绿皮书》88 79 68 97 85 74 96 84 92 97 89 81 91 75 80 85 91 89 97 92 整理、描述数据 绘制了如下频数分布直方图和统计表，请补充完整.（说明：60≤x<70表示一般喜欢，70≤x<80表示比较喜欢，80≤x<90表示喜欢，90≤x<100表示超级喜欢）), xm=y 0x >26人数分数绿皮书流浪地球分数人数1412106225．如图，正方形ABCD 中，AB=5，点E 为BC 边上一动点，连接AE ，以AE 为边，在线段AE 右侧作正方形AEFG ，连接CF 、DF.设BE=（当点E 与点B 重合时，的值为0），DF=,CF=.小明根据学习函数的经验，对函数、随自变量的变化而变化的规律进行了探究.下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量、观察、计算，得到了与、的几组对应值；（2）在同一平面直角坐标系中，描出补全后的表中各组数值所对应的点(,),(,)，并画出函数,的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△CDF 为等腰三角形时， BE 的长度约为 cm.26．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线222++-=a ax x y 2的顶点C ，过点B （0，t ）作与y 轴垂直的直线l ，分别交抛物线于E ，F 两点，设点E （x 1，y 1），点F （x 2，y 2）（x 1＜x 2）． （1）求抛物线顶点C 的坐标；（2）当点C 到直线l 的距离为2时，求线段EF 的长；（3）若存在实数m ，使得x 1≥m -1且x 2≤m +5成立，直接写出t 的取值范围．x x 1y 2y 1y2y x x 1y 2y xOy x 1y x 2y 1y 2yEGFDC BAC27．如图，等边△ABC 中，P 是AB 上一点，过点P 作PD ⊥AC 于点D ，作PE ⊥BC 于点E ，M 是AB 的中点，连接ME ，MD ． （1）依题意补全图形； （2）用等式表示线段BE ，AD 与AB （3）求证：MD=ME ．28．对于平面直角坐标系xoy 中的点P 和图形G 上任意一点M ，给出如下定义：图形G 关于原点O 的中心对称图形为G′，点M 在G′上的对应点为M′，若∠MP M′=90°，则称点P 为图形G ，G′的“直角点”，记作Rt(G ，P ，G′).已知点A （-2,0），B （2,0），C （0, ）． （1）如图1，在点P 1（1,1），P 2（0,3），P 3（0,-2）这三个点中, Rt(OA ，P,OA′)是 ； （2）如图2，⊙D 的圆心为D （1,1），半径为1，在直线上存在点P ，满足Rt(⊙D ，P ，⊙D′)，求b 的取值范围； （3）⊙T 的半径为，圆心（t,），若⊙T 上存在点P ，满足Rt(△ABC ，P ，△ABC′)，直接写出⊙T 的横坐标的取值范围．32b x y +=33t 33图2图12019年怀柔区高级中等学校招生模拟考试（一）数学试卷答案及评分参考一、选择题(本题共16分，每小题2分)二、填空题(本题共16分，每小题2分)9.x≠2 10.540° 11．x (y -1)212．4π 13.14.4 15.2（） 16.4 三、解答题(本题共68分，第17—22题，每小题5分，第23- 26题，每小题6分，第27、28题，每小题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．解：原式392=--………………………………… 4分． ………………………………… 5分18．解：原不等式组为3(1)51732x x xx -+-<⎧⎪⎨⎪⎩≤，， 解不等式①，得．解不等式②，得． ………………………………… 3分 ∴原不等式组的解集为． ………………………………… 4分 ∴原不等式组的整数解为，，． ………………………………… 5分 19.（1）无数. ………………………………… 2分（2）圆，到定点的距离等于定长的所有点组成的集合是圆. ………………… 5分 20．解：（1）∵方程有两个不相等的实数根．∴4420m ∆=-->（）． ∴ 3m <． ……………………… 2分（2）∵ 3m <且m 为正整数， ∴ 1m =或2. ……………………… 3分 当1m =时，原方程为2210x x --=．它的根不是整数，不符合题意，舍去； 当2m =时，原方程为220x x -=．∴ (2)0x x -=．∴ 120,2x x ==．符合题意. 综上所述，2m = …………………………… 5分 21.(1)证明:∵AB ∥DC ，∴∠CAB =∠ACD .∵AC 平分∠BAD ，∴∠CAB =∠CAD .2x 7=-2x -≥<1x 2<1x -≤2-1-0① ②OED CBA∴∠CAD =∠ACD ，∴DA =DC . ∵AB =AD ，∴AB =DC .∴四边形ABCD 是平行四边形.∵AB =AD ，∴四边形ABCD 是菱形. ………………………………… 2分 (2)解:∵四边形ABCD 是菱形，∠D AB=60°， ∴∠OAB =30，∠AOB =90°. ∵AB = 4，∴OB =2，AO=OC=∵CE ∥DB , ∴四边形DBEC 是平行四边形. ∴CE=DB =4，∠ACE =90°.∴OE………………………………… 5分 22. （1）证明：连接OC . ∵，∴∠1=∠2. ∵点C 是的中点.∴∠1=∠3. ∴∠3=∠2.∴. ∵EF 是⊙O 的切线，∴OC ⊥EF .∴AE ⊥EF . ………………………………… 2分 （2）∵AB 为的直径，∴∠ACB =90°.∵ ，∴∠AEC =90°. ∴△AEC ∽△ACB . 又∵∠1=∠3，∴,AC 2=AE.AB=.∴AC=4.根据勾股定理，由AB=5, AC=4,求得BC=3. …………………………………5分 23.解：如图，（1）设直线与y 轴的交点为C （0，b ），∵直线与两坐标轴围成的三角形的面积是9，∴.. ∵k<0，∴.∴直线y=kx+b 经过点（6，0）和（0，3）∴表达式为………………………2分 （2）①（3，1）…………………………………4分===OA OC =BD AE OC ∥O AE EF ⊥AE AC AC AB=165165⨯=9621=⋅⨯b 3±=b 3=b 321-+=x y F②当图象经过点（1,1）时,则m=1. 当图象经过点（2,1）时,则m=2.所以， ………………6分 24.补全《流浪地球》的分布直方图如下. ………………………2分……………………………4分 (1)720…………………………………5分(2)答案不唯一，如： 喜欢《流浪地球》理由：在被调查者中，喜欢《流浪地球》的众数高于喜欢《绿皮书》的众数. 喜欢《绿皮书》理由：在被调查者中，喜欢《绿皮书》的中位数高于喜欢的《流浪地球》中位数； 为《绿皮书》打分在80分以上的有16人，而为《流浪地球》打分在80分以上的只有12人…………………………………6分 25.（1）…………………………………2分（2）…………………………………4分xm=y xm=y 21<≤m流浪地球分数人数14121062FE CAB（3）2.5 3.54 5……………………………6分 26.解：（1）∵a a--x ==22，∴顶点C （a ，2） （2）把y =4代入22+=x y 中， ±=x 2 ∴EF =22（3）2＜t ≤11 27.（1）补全图形如图：（2）线段BE ，AD 与AB 的数量关系是：AD+ BE=12AB ． ∵△ABC 是等边三角形，∴∠A=∠B=60°．∵PD ⊥AC ，PE ⊥BC ，∴∠APD=∠BPE=30°，∴AD=AP ，AD=AP ．∴AD+ BE=（AP+ BP ）=AB ．………………………………3分 （3）取BC 中点F ，连接MF ．∴MF=AC ．MF ∥AC ． ∴∠MFB=∠ACB=60°．∴∠A=∠MFE=60°． ∵AM=AB ，AB=AC ，∴MF=MA ． ∵EF+ BE=BC ， ∴AD + BE=AB ．∴EF=AD.∴△MAD≌△MFE（SAS）．∴MD=ME ．…………………………………7分28.解：（1）P 1，P 3. …………………………………2分 （2）当b >0时，点O 到直线的距离为时，.…………………………4分当b <0时，.∴.………6分（3）.………………………7分 212121212121212121b x y +=312+222+=b 222--=b 222222+≤≤--b 2929≤≤-t。
2019怀柔区高三一模数学试卷及答案理科
怀柔区2019～2019学年度第二学期高三适应性练习数 学（理科）2019.3本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选 涂其它答案，不能答在试卷上．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知全集R U =，}21{<<-=x x A ，}0{≥=x x B ，则=)(B A C UA ．}20{<≤x xB ．}0{≥x xC ．}1{-≤x xD ．}1{->x x2．复数=-+i i11A ．i -B ．1-C ．iD ．13．已知等比数列}{n a 的公比为2，且531=+a a ，则42a a +的值为A ．10B ．15C ．20D ．254．如图是一正方体被过棱的中点M 、N 和顶点A 、D 、C 1的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的主视图为A ．B ．C ．D ． 5．若＝(1,2,－3)，＝(2,a －1,a 2－31)， 则“a ＝1”是“⊥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．右图是计算函数2x ,x 1y 0,1x 2x ,x 2⎧-≤-⎪=-<≤⎨⎪>⎩的值的程序框图，则在①、②、③处应分别填入的是 A ．y x =-，y 0=，2y x =B ．y x =-，2y x =，y 0= C ．y 0=，2y x =，y x =-D ．y 0=，y x =-， 2y x =7．在极坐标系中，定点1,2A π⎛⎫⎪⎝⎭，动点B 在直线cos sinρθρθ+上运动，当线段AB 最短时，动点B 的极坐标是A ．)4,22(π B ．)43,22(πC ．)4,23(π D ．)43,23(π 8．已知三棱锥A BCO -，OA OB OC 、、两两垂直且长度均为6，长为2的线段MN 的一个端点M 在棱OA 上运动，另一个端点N 在BCO ∆内运动（含边界），则MN 的中点P 的轨迹与三棱锥的面所围 成的几何体的体积为A ．6π B ．6π或636π+C ．366π-D ．6π或366π-第Ⅱ卷（非选择题 共110分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．命题：0,2≥∈∀x R x 的否定是 ．10．函数1cos 2)(2-=x x f 的最小正周期为 ；单调递减区间为 ． 11．如图是甲、乙两班同学身高（单位：cm ）数据的茎叶图，则甲班同学身高的中位数为 ；若从乙班身高不低于170cm 的同学中随机抽取两名，则身高为173cm 的同学被抽中的概率为 ．甲班 乙班2 18 19 9 1 0 17 0 3 6 8 9 8 8 3 2 16 2 5 8 8 15 912．已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，2=PA ．AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于点B ，1=PB ，则圆O 的半径=R ．13．已知抛物线)0(22>=p px y 与双曲线12222=-by a x 有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为 ．14注：加满油后已行驶距离加满油后已用油量油耗=，当前油耗汽车剩余油量可继续行驶距离=，指定时间内的行驶距离指定时间内的用油量平均油耗=．从以上信息可以推断在10：00—11：00这一小时内 （填上所有正确判断的序号）． ① 行驶了80公里； ② 行驶不足80公里；③ 平均油耗超过9.6升/100公里； ④ 平均油耗恰为9.6升/100公里； ⑤ 平均车速超过80公里/小时．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在ABC ∆中，c b a 、、分别为角C B A 、、所对的三边，已知222+c b a bc -=． （Ⅰ）求角A 的值；（Ⅱ）若a =cos C =，求c 的长． 16．（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且2P A A D ==，,,E F H分别是线段,,PA PD AB 的中点． （Ⅰ）求证：PB //平面EFH ； （Ⅱ）求证：PD ⊥平面AHF ； （Ⅲ）求二面角H EF A --的大小．17．（本小题满分13分）为了参加广州亚运会，从四支较强的排球队中选出18人组成女子排球国家队，队员来源人数如下（Ⅰ）从这18名队员中随机选出两名，求两人来自同一支队的概率；（Ⅱ）中国女排奋力拼搏，战胜韩国队获得冠军．若要求选出两位队员代表发言，设其中来自北京队的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列，及数学期望ξE．18．（本题满分13分）已知函数2()ln f x x ax b x =++（0x >，实数a ，b 为常数）．（Ⅰ）若1,1a b ==-，求)(x f 在1=x 处的切线方程； （Ⅱ）若2a b =--，讨论函数()f x 的单调性．已知点)2,1(A 是离心率为22的椭圆C ：)0(12222>>=+b a a y b x 上的一点．斜率为2的直线BD 交椭圆C 于B 、D 两点，且A 、B 、D 三点不重合．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）ABD ∆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？ （Ⅲ）求证：直线AB 、AD 的斜率之和为定值．已知集合},,,,{321n a a a a A =，其中)2,1(>≤≤∈n n i R a i ，)(A l 表示和)1(n j i a a j i ≤<≤+中所有不同值的个数．（Ⅰ）设集合}8,6,4,2{=P ，}16,8,4,2{=Q ，分别求)(P l 和)(Q l ； （Ⅱ）若集合}2,,8,4,2{nA =，求证：2)1()(-=n n A l ； （Ⅲ）)(A l 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由？参考答案及评分标准(理科) 2019.3一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.9. R x ∈∃,02<x 10. π；)](2,[Z k k k ∈+πππ 11. 169；3112.3 13. 12+ 14. ② ③三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 15．（本小题满分13分）在ABC ∆中，c b a 、、分别为角C B A 、、所对的三边，已知222+c b a bc -=． （Ⅰ）求角A 的值；（Ⅱ）若a =cos 3C =，求c 的长． 解：（Ⅰ） 222+c b a bc -= ， 2221c o s22b c a A bc +-==-------------------------4分 π<<A 03π=∴A -----------------------------------------------------------------------------6分（Ⅱ）在ABC ∆中，3π=A，a =，cos 3C =sin C ∴===------------------------------------------8分 由正弦定理知：,sin sin a C A C= ∴ACa c sin sin=3==-----------------------------------------------12分∴362=c -------------------------------------------------------------------------------13分16．（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且2P A A D ==，,,E F H 分别是线段,,PA PD AB 的中点． （Ⅰ）求证：PB //平面EFH ； （Ⅱ）求证：PD ⊥平面AHF ； （Ⅲ）求二面角H EF A --的大小．解：建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0)A B C D ∴,)2,0,0(P ，)1,0,0(E ，)1,1,0(F ，(1,0,0)H ．----------------------------1分（Ⅰ）证明：∵(2,0,2)PB =-，(1,0,1)EH =-，∴2PB EH =,∵⊄PB 平面EFH ，且EH ⊂平面EFH ，∴PB //平面EFH ．-------------------------------------------------5分（Ⅱ）解：(0,2,2)PD =-，(1,0,0)AH =， (0,1,1)AF =，0021(2)10,0120(2)00.PD AF PD AH ⋅=⨯+⨯+-⨯=⋅=⨯+⨯+-⨯=,PD AF PD AH ∴⊥⊥， 又AF AH A =，PD ∴⊥平面AHF ． -----------------------------------------------------9分（Ⅲ）设平面HEF 的法向量为),,(z y x =,因为(0,1,0)EF =，(1,0,1)EH =-，则0,0,n EF y n EH x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩取).1,0,1(= 又因为平面AEF 的法向量为),0,0,1(=m所以cos ,2||||2m n m n m n ⋅<>====-------------------------12分 ,45,m n ∴<>=所以二面角H EF A --的大小为45．-------------------------------------------------14分17．（本小题满分13分）为了参加广州亚运会，从四支较强的排球队中选出18人组成女子排球国家队，队员来源人数如下(Ⅰ(Ⅱ)中国女排奋力拼搏，战胜韩国队获得冠军．若要求选出两位队员代表发言，设其中来自北京队的人数 为ξ，求随机变量ξ的分布列，及数学期望ξE ．解：(Ⅰ)“从这18名队员中随机选出两名，两人来自于同一队”记作事件A ，则222246352182()9C C C C P A C +++==. ------------------------------------------------------------5分 (Ⅱ)ξ的所有可能取值为0，1，2. -----------------------------------------------------------------2分∵21421891(0)153C P C ξ===，1141421856(1)153C C P C ξ===，242186(2)153C P C ξ===，∴ξ的分布列为：--------------------------------10分∴915664()0121531531539E ξ=⨯+⨯+⨯=. -------------------------------------------------------13分18．（本题满分13分）已知函数2()ln f x x ax b x =++（0x >，实数a ，b 为常数）．（Ⅰ）若1,1a b ==-，求)(x f 在1=x 处的切线方程； （Ⅱ）若2a b =--，讨论函数()f x 的单调性．解：（Ⅰ）因为1,1a b ==-，所以函数2()ln f x x x x =+-，2)1(=f又1()21f x x x'=+-，2)1('=f -------------------------------------------------------------2分 所以)1(22-=-x y即)(x f 在1=x 处的切线方程为02=-y x -------------------------------------------------5分（Ⅱ）因为2a b =--，所以2()(2)ln f x x b x b x =-++，则 (2)(1)()2(2)b x b x f x xb x x --'=-++= )0(>x令()0f x '=，得12bx =，21x =．----------------------------------------------------------------7分（1）当02b≤，即0≤b 时，函数()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞； -------------------------------------------------------------------------------------------------------8分（2）当01b<<，即02b <<时，)(x f '，)(x f 的变化情况如下表：所以，函数()f x 的单调递增区间为(0,)2，(1,)+∞，单调递减区间为(,1)2b ；-------9分（3）当12b=，即2b =时，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞；-----------------------------10分（4）当1b>，即2b >时，)(x f '，)(x f 的变化情况如下表：所以函数()f x 的单调递增区间为(0,1)，(,)2+∞，单调递减区间为(1,)2b ；--------------12分综上，当0≤b 时，函数()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞；当02b <<时，函数()f x 的单调递增区间为(0,)2b ，(1,)+∞，单调递减区间为(,1)2b ；当2b =时，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞；当2b >时，函数()f x 的单调递增区间为(0,1)，(,)2b +∞，单调递减区间为(1,)2b ．-----------------------------------------------------------------------------------------------------------13分19．（本小题满分14分）已知点)2,1(A 是离心率为22的椭圆C ：)0(12222>>=+b a a y b x 上的一点．斜率为2的直线BD 交椭圆C 于B 、D 两点，且A 、B 、D 三点不重合．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）ABD ∆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？ （Ⅲ）求证：直线AB 、AD 的斜率之和为定值．解：（Ⅰ） a c e ==22， 12122=+ab ，222c b a +=∴2=a ，2=b ，2=c∴14222=+y x --------------------------------------------------------------------------------------5分 （Ⅱ）设直线BD 的方程为b x y +=2∴⎩⎨⎧=++=42222y x b x y 0422422=-++⇒b bx x ∴06482>+-=∆b 2222<<-⇒b,2221b x x -=+ ----① 44221-=b x x -----② 222128264864343)2(1b b x x BD -=-=∆=-+= ，设d 为点A 到直线BD ：b x y +=2的距离， ∴3b d =∴2)8(422122≤-==∆b b d BD S ABD ，当且仅当2±=b 时取等号. 因为2±)22,22(-∈，所以当2±=b 时，ABD ∆的面积最大，最大值为2--------10分（Ⅲ）设),(11y x D ，),(22y x B ，直线AB 、AD 的斜率分别为：AB k 、AD k ，则=+AB AD k k 122122121222112211--++--+=--+--x b x x b x x y x y =]1)(2[22212121++--++x x x x x x b ------* 将（Ⅱ）中①、②式代入*式整理得]1)(2[22212121++--++x x x x x x b =0，即=+AB AD k k 0----------------------------------------------------------------------------------------------14分20．(本小题满分13分)已知集合},,,,{321n a a a a A =，其中)2,1(>≤≤∈n n i R a i ，)(A l 表示和)1(n j i a a j i ≤<≤+中所有不同值的个数．（Ⅰ）设集合}8,6,4,2{=P ，}16,8,4,2{=Q ，分别求)(P l 和)(Q l ；（Ⅱ）若集合}2,,8,4,2{nA =，求证：2)1()(-=n n A l ； （Ⅲ）)(A l 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由？ 解：（Ⅰ）由,1486,1284,1064,1082,862,642=+=+=+=+=+=+ 得5)(=P l .由,24168,20164,1284,18162,1082,642=+=+=+=+=+=+得6)(=Q l .----------------------------------------------------------------------------------------------5分（Ⅱ）证明：因为)1(n j i a a j i ≤<≤+最多有2)1(2-=n n C n 个值，所以.2)1()(-≤n n A l 又集合}2,,8,4,2{nA =，任取),1,1(,n l k n j i a a a a l k j i ≤<≤≤<≤++ 当l j ≠时,不妨设l j <，则l k l j j j i a a a a a a +<≤=<++122，即l k j i a a a a +≠+.当k i l j ≠=,时，l k j i a a a a +≠+.因此，当且仅当l j k i ==,时， l k j i a a a a +=+. 即所有)1(n j i a a j i ≤<≤+的值两两不同， 所以.2)1()(-=n n A l -----------------------------------------------------------------------------------------9分 （Ⅲ） )(A l 存在最小值，且最小值为32-n ．不妨设,321n a a a a <<<< 可得,1213121n n n n a a a a a a a a a a +<<+<+<<+<+-所以)1(n j i a a j i ≤<≤+中至少有32-n 个不同的数，即.32)(-≥n A l 事实上，设n a a a a ,,,,321 成等差数列，考虑)1(n j i a a j i ≤<≤+，根据等差数列的性质， 当n j i ≤+时，11-++=+j i j i a a a a ；当n j i >+时，n n j i j i a a a a +=+-+；因此每个和)1(n j i a a j i ≤<≤+等于)2(1n k a a k ≤≤+中的一个，或者等于)12(-≤≤+n l a a n l 中的一个.所以对这样的32)(,-=n A l A ,所以)(A l 的最小值为32-n . --------------------------------------13分。
2019年北京市高考数学一模试卷(理科)(解析版)
2019年北京市高考数学一模试卷(理科)(解析版)2019年北京市高考数学一模试卷（理科）一、选择题共8个小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z=i（1+i），则|z|等于（）A。
2B。
√2C。
1D。
2√22.在方程r=2cosθ+3sinθ（θ为参数）所表示的曲线上的点是（）A。
(2.-7)B。
(3.1)C。
(1.5)D。
(2.1)3.设公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=2(a2+a3)，则Sn=（）A。
5anB。
6anC。
7anD。
14an4.将函数y=sin2x的图象向左平移π/4个单位后得到函数y=g(x)的图象。
则函数g(x)的一个增区间是（）A。
(π/4.3π/4)B。
(3π/4.5π/4)C。
(5π/4.7π/4)D。
(7π/4.9π/4)5.使“a>b”成立的一个充分不必要条件是（）A。
a>b+1B。
a>b-1C。
a^2>b^2D。
a^3>b^36.下列函数：①y=-|x|；②y=(x-1)^3；③y=log2(x-1)；④y=-6.在x中，在(1.+∞)上是增函数且不存在零点的函数的序号是（）A。
①④B。
②③C。
②④D。
①③④7.某三棱锥的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥的俯视图的面积为（）A。
6B。
8C。
10D。
128.远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（）A。
336B。
510C。
1326D。
3603二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9.在(1-x)^5的展开式中，x^2的系数为______（用数字作答）。
答案：1010.已知向量a=(1.b)。
b=(-2.-1)，且向量a+b的模长为√10.则实数x=______。
精品2019届高三数学一模检测试题理(含解析)新人教版
.
首项必须看清题目中是由哪个函数平移，平移后是哪个函数；
其次， 在平移时， 还要注意自变量 x 的系数是否为 1，如果 x 有系数， 需要将系数提出来求平移量， 平移时遵循“左
加右减” .
15. 已知直线
过点
，若可行域
的外接圆直径为 20，则 _____．
【答案】
【解析】
由题意知可行域为图中△ OAB及其内部，
A.
B.
【答案】 A 【解析】复数
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，........................ .
，
，
C.
D.
, 是虚数单位，若
，
，
.
是实数，则
若
是实数，则
故选 A.
，解得
.
3. 若双曲线
与直线
无交点，则离心率 的取值范围是
A.
B.
C.
D.
【答案】 D
【解析】双曲线
的渐近线为
.
※精品试卷※
若双曲线
与直线
A.
B.
C.
D.
【答案】 C
【解析】由题意知，
是定义在 R上的周期为 2 的偶函数，
令
, 作其与 y=f ( x) 的图象如下，
※精品试卷※
，若在区
函数
有 4 个不相等实根，等价于
与 y=f ( x) 有 4 个交点，
所以
，解得
.
故选 C.
点睛：已知函数零点 ( 方程根 ) 的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：
. 问积几何？答曰：二千一百
一十二尺 . 术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一” . 这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高
2019年北京怀柔一模数学试题含答案
1A2019年怀柔区高级中等学校招生模拟考试（一）数 学 试 卷 2019.5一、选择题(本题共16分，每小题2分)第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个 1. 据央广网消息，近年来，数字技术推动数字贸易兴起，通过采用数字技术，提高员工生产力、降低成本、创造新收益，数字贸易在中国国内创造了高达人民币3200 000 000 000元的经济效益.将3200 000 000 000用科学计数法表示应为A.113.210⨯ B. 123.210⨯ C. 123210⨯ D. 130.3210⨯ 2. 如图所示，数轴上点A 关于原点对称点表示的数是 A. 2 B. ﹣2 C. ±2D. 03．如图，AB ∥CD ，DA ⊥CE 于点A ．若∠D=35°，则∠EAB 的度数为A.35°B.45°C. 55°D.65°4.如图,左图是由4个大小相同的正方体组合而成的几何体，其主视图是A. B. C. D.5. 在一个布口袋里装有白、红、黑三种颜色的小球，它们除颜色外没有任何区别，其中白球2只，红球4只，黑球3只，将袋中的球搅匀，随机从袋中取出1只球，则取出黑球的概率是A ．12B ．13C ．14 D ．166. 如图，△ABC 的内切圆⊙O 与AB ，BC ，CA 分别相切于点D ，E ，F ，且AD=2，△ABC 的周长为14，则BC 的长为A ．3B ．4C ．5D ．6CE BA27.《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安.今乙发已先二日，甲仍发长安.问几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安.现乙先出发2日，甲才从长安出发.问甲乙经过多少日相逢？设甲乙经过x 日相逢，可列方程为 A.7512x x +=+ B. 2175x x ++= C. 7512x x -=+ D. 275x x +=8. 2019年1月3日，嫦娥四号探测器自主着落在月球背面，实现人类探测器首次月背软着陆. 当时,中国已提前发射的 “鹊桥”中继星正在地球、月球延长线上的L2点（第二拉格朗日点）附近，沿L2点的动态平衡轨道飞行， 为嫦娥四号着陆器和月球车提供地球、月球中继通信支持，保障嫦娥四号任务的完成与实施. 如图，已知月球到地球的平均距离约为38万公里，L2点到月球的平均距离约为6.5万公里.某刻，测得线段CL2与AL2垂直，∠CBL2=56°，则下列计算鹊桥中继星到地球的距离AC 方法正确的是A ．AC 2=(6.5sin56°)2+44.52B ．AC 2=(6.5tan56°)2+44.52C ．AC 2=(6.5cos56°)2-44.52D ．AC 2=(6.5cos56°)2+6.52二、填空题(本题共16分，每小题2分) 9. 若代数式32x -有意义，则实数x 的取值范围是 . 10. 若正多边形的一个外角是72°，则该正多边形的内角和为 . 11.分解因式：22xy xy x -+= .12．半径为6cm ，圆心角为40°的扇形的面积为 cm 2．13.化简代数式11+122x x x x ⎛⎫-÷ ⎪++⎝⎭，正确的结果为 . 14.如图，在△ABC 中，DE ∥AB ，DE 分别与AC ，BC 交于D ，E 两点. 若△ABC 与△DEC 的周长比为3:2， AC=6，则 DC= .15.如图，这是怀柔地图的一部分，分别以正东、正北方向为x 轴、y 轴正方向建立直角坐标系.规定： 一个单位长度表示1km ，北京生存岛实践基 地A 处的坐标是（2，0），A 处到雁栖湖国际会展 中心B 处相距4km ，且A 在B 南偏西45°方向上，则雁栖湖国际会展中心B 处的坐标是 .CB鹊桥中继星3BA16. 如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠= ，将ABC ∆绕顶点C 顺时针旋转得到'',A B C ∆ D 是''A B 的中点，连接BD ， 若BC=2,∠ABC=60°，则线段BD 的最大值为 .三、解答题(本题共68分，第17—22题，每小题5分，第23- 26题，每小题6分，第27、28题，每小题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．计算：213tan 60()23--°．18．解不等式组：3(1)51924x x xx -+-<⎧⎪⎨⎪⎩≤，，并写出它的所有整数解．19.下面是“已知斜边作一个直角三角形”的尺规作图过程. 已知：线段AB.求作：一个直角三角形ABC,使线段AB 为斜边. 作法：如图，①过A 任意作一条射线l ； ②在射线l 上任取两点D ，E ；③分别以点D ，E 为圆心，DB ，EB 长为半径作弧,两弧相交于点P ； ④作射线BP 交射线l 于点C. 所以△ABC 就是所求作的直角三角形.思考：（1）按上述方法，以线段AB 为斜边还可以作 个直角三角形；（2）这些直角三角形的直角顶点C 所形成的的图形是 ，理由是 .20.已知关于x 的方程2220x x m -+-=有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）如果m 为正整数，且该方程的根都是整数，求m 的值．AB4OED CBA21.在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB =AD ，对角线AC ，BD 交于点O ，AC 平分∠BAD ，过点C 作CE ∥DB 交AB 的延长线于点E ，连接OE .（1）求证:四边形ABCD 是菱形；（2）若∠D AB=60°，且AB =4，求OE 的长．22.如图，AB 为⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，且点C 是BD 的中点. 连接AC ，过点C 作⊙O的切线EF 交射线AD 于点E . （1）求证：AE ⊥EF ；（2）连接BC . 若165AE =，AB=5，求BC 的长.23.在平面直角坐标系xoy 中，直线y=kx+b (k<0),经过点（6，0），且与坐标轴围成的三角形的面积是9，与函数xm=y （0x >）的图象G 交于A ，B 两点. （1）求直线的表达式；（2）横、纵坐标都是整数的点叫作整点.记图像G 在点A 、B 之间的部分与线段AB 围成的区域（不含边界）为W.①当m=2时，直接写出区域W 内的整点的坐标 ；②若区域W 内恰有3个整数点，结合函数图象，求m 的取值范围.F524.2019年初，电影《流浪地球》和《绿皮书》陆续热播，为了解某大学1800名学生对两部电影的喜爱程度，调查小组随机抽取了该大学20名学生对两部电影打分，过程如下. 收集数据 20名大学生对两部电影的打分结果如下：《流浪地球》 78 75 99 98 79 67 88 78 76 98 88 79 97 91 78 80 93 90 99 99 《绿皮书》 88 79 68 97 85 74 96 84 92 97 89 81 91 75 80 85 91 89 97 92 整理、描述数据 绘制了如下频数分布直方图和统计表，请补充完整.（说明：60≤x<70表示一般喜欢，70≤x<80表示比较喜欢，80≤x<90表示喜欢，90≤x<100表示超级喜欢）分析数据、推断结论（1）估计该大学超级喜欢电影《绿皮书》的有 人；（2）你认为观众更喜欢这两部电影中的(填《流浪地球》或《绿皮书》),理由是 .2人数分数绿皮书流浪地球分数人数14121062625.如图，正方形ABCD 中，AB=5，点E 为BC 边上一动点，连接AE ，以AE 为边，在线段AE右侧作正方形AEFG ，连接CF 、DF.设BE=x （当点E 与点B 重合时，x 的值为0），DF=1y ,CF=2y .小明根据学习函数的经验，对函数1y 、2y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究. 下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量、观察、计算，得到了x 与1y 、2y 的几组对应值；（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点(x ,1y ),(x ,2y )，并画出函数1y ,2y 的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△CDF 为等腰三角形时，BE 的长度约为 cm.EGFDCBA7C26.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线222++-=a ax x y 2的顶点C ，过点B （0，t ）作与y 轴垂直的直线l ，分别交抛物线于E ，F 两点，设点E （x 1，y 1），点F （x 2，y 2）（x 1＜x 2）．（1）求抛物线顶点C 的坐标；（2）当点C 到直线l 的距离为2时，求线段EF 的长；（3）若存在实数m ，使得x 1≥m -1且x 2≤m +5成立，直接写出t 的取值范围．27.如图，等边△ABC 中，P 是AB 上一点，过点P 作PD ⊥AC 于点D ，作PE ⊥BC 于点E ，M是AB 的中点，连接ME ，MD ． （1）依题意补全图形；（2）用等式表示线段BE ，AD 与AB （3）求证：MD=ME ．828.对于平面直角坐标系xoy 中的点P 和图形G 上任意一点M ，给出如下定义：图形G 关于原点O 的中心对称图形为G ′，点M 在G ′上的对应点为M ′，若∠MP M ′=90°，则称点P 为图形G ，G ′的“直角点”，记作Rt(G ，P ，G ′). 已知点A （-2,0），B （2,0），C （0, 32）．（1）如图1，在点P 1（1,1），P 2（0,3），P 3（0,-2）这三个点中,Rt(OA ，P,OA ′)是 ； （2）如图2，⊙D 的圆心为D （1,1），半径为1，在直线bx y +=3上存在点P ，满足Rt(⊙D ，P ，⊙D ′)，求b 的取值范围； （3）⊙T 的半径为3，圆心（t,t 33），若⊙T 上存在点P ，满足Rt(△ABC ，P ，△ABC ′)， 直接写出⊙T 的横坐标的取值范围．图2 图192019年怀柔区高级中等学校招生模拟考试（一）数学试卷答案及评分参考一、选择题(本题共16分，每小题2分)二、填空题(本题共16分，每小题2分)9.x≠2 10.540° 11．x (y -1)212．4π 13.2x14.4 15.2（） 16.4 三、解答题(本题共68分，第17—22题，每小题5分，第23- 26题，每小题6分，第27、28题，每小题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．解：原式392=--………………………………… 4分7=-． ………………………………… 5分18．解：原不等式组为3(1)51732x x xx -+-<⎧⎪⎨⎪⎩≤，， 解不等式①，得2x -≥．解不等式②，得<1x ． ………………………………… 3分 ∴原不等式组的解集为2<1x -≤． ………………………………… 4分 ∴原不等式组的整数解为2-，1-，0． ………………………………… 5分 19.（1）无数. ………………………………… 2分（2）圆，到定点的距离等于定长的所有点组成的集合是圆. ………………… 5分 20．解：（1）∵方程有两个不相等的实数根．∴4420m ∆=-->（）． ∴ 3m <． ……………………… 2分（2）∵ 3m <且m 为正整数， ∴ 1m =或2. ……………………… 3分 当1m =时，原方程为2210x x --=．它的根不是整数，不符合题意，舍去； 当2m =时，原方程为220x x -=．∴ (2)0x x -=．① ②10OEDCBA∴ 120,2x x ==．符合题意. 综上所述，2m = …………………………… 5分 21.(1)证明:∵AB ∥DC ，∴∠CAB =∠ACD . ∵AC 平分∠BAD ，∴∠CAB =∠CAD . ∴∠CAD =∠ACD ，∴DA =DC . ∵AB =AD ，∴AB =DC .∴四边形ABCD 是平行四边形.∵AB =AD ，∴四边形ABCD 是菱形. ………………………………… 2分 (2)解:∵四边形ABCD 是菱形，∠D AB=60°， ∴∠OAB =30，∠AOB =90°. ∵AB = 4，∴OB =2，AO=OC=∵CE ∥DB , ∴四边形DBEC 是平行四边形. ∴CE=DB =4，∠ACE =90°.∴OE==………………………………… 5分 22. （1）证明：连接OC . ∵OA OC =，∴∠1=∠2. ∵点C 是BD 的中点.∴∠1=∠3. ∴∠3=∠2.∴AE OC ∥.∵EF 是⊙O 的切线，∴OC ⊥EF .∴AE ⊥EF . ………………………………… 2分 （2）∵AB 为O 的直径，∴∠ACB =90°. ∵AE EF ⊥ ，∴∠AEC =90°. ∴△AEC ∽△ACB . 又∵∠1=∠3，∴AE AC AC AB =,AC 2=AE.AB=165165⨯=.∴AC=4. 根据勾股定理，由AB=5, AC=4,求得BC=3. ………………………………… 5分 23.解：如图，（1）设直线与y 轴的交点为C （0，b ），∵直线与两坐标轴围成的三角形的面积是9，∴9621=⋅⨯b .3±=b . ∵k<0，∴3=b .F11∴直线y=kx+b 经过点（6，0）和（0，3） ∴表达式为321-+=x y ………………………2分 （2）①（3，1）…………………………………4分②当x m=y 图象经过点（1,1）时,则m=1. 当xm=y 图象经过点（2,1）时,则m=2.所以，21<≤m ………………6分24.补全《流浪地球》的分布直方图如下. ………………………2分……………………………4分 (1)720…………………………………5分(2)答案不唯一，如： 喜欢《流浪地球》理由：在被调查者中，喜欢《流浪地球》的众数高于喜欢《绿皮书》的众数.喜欢《绿皮书》理由：在被调查者中，喜欢《绿皮书》的中位数高于喜欢的《流浪地球》中位数；为《绿皮书》打分在80分以上的有16人，而为《流浪地球》打分在80分以上的只有12人…………………………………6分 25.（1）…………………………………2分（2）…………………………………4分流浪地球分数人数6212CAB（3）2.5 3.54 5……………………………6分 26.解：（1）∵a a--x ==22，∴顶点C （a ，2） （2）把y =4代入22+=x y 中， ±=x 2 ∴EF =22（3）2＜t ≤11 27.（1）补全图形如图：（2）线段BE ，AD 与AB 的数量关系是：AD+ BE=12AB ． ∵△ABC 是等边三角形，∴∠A=∠B=60°． ∵PD ⊥AC ，PE ⊥BC ，∴∠APD=∠BPE=30°， ∴AD=21AP ，AD=21AP ． ∴AD+ BE=21（AP+ BP ）=21AB ．………………………………3分 （3）取BC 中点F ，连接MF ．∴MF=21AC ．MF ∥21AC ． ∴∠MFB=∠ACB=60°．∴∠A=∠MFE=60°． ∵AM=21AB ，AB=AC ，∴MF=MA ． ∵EF+ BE=21BC ， ∴AD + BE=21AB ．∴EF=AD.∴△MAD ≌△MFE （SAS ）．∴MD=ME ．…………………………………7分1328.解：（1）P 1，P 3. …………………………………2分 （2）当b >0时，点O 到直线b x y +=3的距离为12+时，222+=b .…………………………4分当b <0时，222--=b .∴222222+≤≤--b .………6分 （3）2929≤≤-t .………………………7分。
北京怀柔区2019高三年级调研考试-数学(理)
北京怀柔区2019高三年级调研考试-数学（理）数学〔理科〕2018.4【一】选择题：本大题共8个小题，每题5分，共40分、在每题给出的四个选项中，有且只有一项为哪一项符合题目要求的、1、全集U ＝｛一L ，0，1，2｝，集合A ＝｛一L ，2｝，B ＝｛0，2｝，那么=⋂B A C U )(A 、｛0｝B 、｛2｝C 、｛0，L ，2｝D 、φ2、i 为虚数单位，2=i z，那么复数=zA 、i -1B 、i +1C 、2ID 、－2I3、“A ＝2”是“直线AX 十2Y ＝0与直线X ＋Y ＝L 平行”的 A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件4、一个四棱锥的三视图如下图，其中主 视图是腰长为1的等腰直角三角形，那么这个几何体的体积是A 、21B 、1C 、23D 、25、函数2(sin cos )1y x x =+-是 A 、最小正周期为π2的奇函数B 、最小正周期为π2的偶函数C 、最小正周期为π的奇函数D 、最小正周期为π的偶函数6、过点π4,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭引圆4sin ρθ=的一条切线，那么切线长为 A 、33B 、36C 、22D 、247、将图中的正方体标上字母，使其成为正方体11ABCD A -主视图俯视图同的标字母方式共有A 、24种B 、48种C 、72种D 、144种 8、假设函数()()y f x x R =∈满足()()2f x f x +=，且[]1,1x ∈-时，()21f x x =-，函数()()()lg 010x x g x x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩，那么函数()()()h x f x g x =-在区间[]5,5-内的零点的个数为A 、5B 、7C 、8D 、10【二】填空题：本大题共6小题，每题5分，总分值30分、9、二项式521⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中含4x 是〔用数字作答〕、10、如图给出的是计算2011151311+⋅⋅⋅+++的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是、11、如图，PAA 为切点，PBC 是圆 的割线，且PB PA 3=那么=BC PB、12、当(1,2)x ∈时，不等式2(1)log a x x -<恒成立，那么实数A 的取值范围为、 13、不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>-≥-≤+122y y x y x 表示的平面区域为,M 假设直线13+-=k kx y 与平面区域M 有公共点，那么k 的取值范围是、14、手表的表面在一平面上、整点1，2，…，12这12个数字等间隔地分布在半径为22的圆周上、从整点I 到整点〔I ＋1〕的向量记作1+i i tt ，那么P2111243323221t t t t t t t t t t t t ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅＝、【三】解答题：本大题共6小题，总分值80分、解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤、15、〔本小题总分值13分〕在ABC ∆中，a b c 、、分别为角A B C 、、的对边，且满足222b c a bc +-=、 〔Ⅰ〕求角A 的值；〔Ⅱ〕假设a =B 的大小为x ，ABC ∆的周长为y ，求()y f x =的最大值、 16、〔本小题总分值14分〕如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC 与BD 的交点为O ，E 为侧棱SC 上一点、〔Ⅰ〕当E 为侧棱SC 的中点时，求证：SA ∥平面BDE ；〔Ⅱ〕求证：平面BDE ⊥平面SAC ； 〔Ⅲ〕当二面角E BD C --的大小为45︒时，试判断点E 在SC 上的位置，并说明理由、17、〔本小题总分值13分〕某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量〔单位：克〕，重量的分组区间为(]495,490，(]500,495，…，(]515,510、由此得到样本的频率分布直方图，如下图：〔Ⅰ〕根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量；〔Ⅱ〕在上述抽取的40个产品中任职2件，设ξ为重量超过505克的产品数量，求ξ的分布列；〔Ⅲ〕从流水线上任取5件产品，估计其中恰有2件产品的重量超过505克的概率、18、〔本小题总分值13分〕x xx g e x x ax x f ln )(],,0(,ln )(=∈-=，其中e 是自然常数，R a ∈、〔Ⅰ〕讨论1=a 时，()f x 的单调性、极值；〔Ⅱ〕求证：在〔Ⅰ〕的条件下，1()()2f x g x >+；〔Ⅲ〕是否存在实数a ，使()f x 的最小值是3，假设存在，求出a 的值；假设不存在，说明理由、19、〔本小题总分值14分〕：椭圆12222=+b y a x 〔0>>b a 〕，过点)0,(a A -，),0(b B 的直线倾斜角为6π，原点到该直线的距离为23、〔Ⅰ〕求椭圆的方程；〔Ⅱ〕斜率大于零的直线过)0,1(-D 与椭圆交于E ，F 两点，假设DF ED 2=，求直线EF 的方程；〔Ⅲ〕是否存在实数k ，直线2+=kx y 交椭圆于P ，Q 两点，以PQ 为直径的圆过点)0,1(-D ？假设存在，求出k 的值；假设不存在，请说明理由、20、〔本小题总分值13分〕定义：对于任意*n ∈N ，满足条件212n n n a a a +++≤且na M ≤〔M 是与n 无关的常数〕的无穷数列{}na 称为T 数列、〔Ⅰ〕假设29n a n n =-+（*n ∈N ），证明：数列{}n a 是T 数列；〔Ⅱ〕设数列{}n b 的通项为3502nn b n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且数列{}n b 是T 数列，求常数M 的取值范围；〔Ⅲ〕设数列1n pc n =-（*n ∈N ，1p >），问数列{}n c 是否是T 数列？请说明理由、参考答案及评分标准【一】选择题：本大题共8个小题；每题5分，共40分、 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C C A C D B C【二】填空题：本大题共6小题，每题5分，总分值30分、9、1010、2011≤i 11、2112、]2,1(13、)0,31[-14、936-【三】解答题：本大题共6小题，总分值80分、 15、〔本小题总分值13分〕在ABC ∆中，a b c 、、分别为角A B C 、、的对边，且满足222b c a bc +-=、 〔Ⅰ〕求角A 的值；〔Ⅱ〕假设a =B 的大小为x ，ABC ∆的周长为y ，求()y f x =的最大值、解：〔Ⅰ〕∵222b c a bc +-=，∴2221cos 22b c a A bc +-==又0A π<<，∴3A π=； －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－5分〔Ⅱ〕∵A a x b sin sin =，∴xx x a b sin 2sin 233sin 3sin=⋅=⋅=π同理)32sin(sin sin x C A a c -=⋅=π∴3)6sin(323)32sin(2sin 2++=+-+=ππx x x y∵320,3ππ<<∴=x A ∴)65,6(6πππ∈+x ，∴62x ππ+=即3x π=时，max y =－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－13分16、〔本小题总分值14分〕如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC 与BD 的交点为O ，E 为侧棱SC 上一点、〔Ⅰ〕当E 为侧棱SC 的中点时，求证：SA ∥平面BDE ；〔Ⅱ〕求证：平面BDE ⊥平面SAC ； 〔Ⅲ〕当二面角E BD C --的大小为45︒ 时，试判断点E 在SC 上的位置，并说明理由、 〔Ⅰ〕证明：连接OE ，由条件可得SA ∥OE . 因为SA Ë平面BDE ，OE Ì平面BDE ，所以SA ∥平面BDE .－－－－－－－－－－－－－－－4分〔Ⅱ〕证明：由〔Ⅰ〕知SO ABCD ⊥面，AC ⊥建立如下图的空间直角坐标系. 设四棱锥S ABCD -的底面边长为2，那么(0, 0, 0)O ，(0, 0,S ，) 0, 0A ，()0, 0B ，() 0, 0C ，()0, 0D .所以() 0, 0AC =-，()0, 0BD =-.设CE a =〔02a <<〕，由可求得45ECO ∠=︒.所以(, 0, )22E a，(, )22BE a a =.设平面BDE 法向量为(, , )x y z =n ，那么0,0BD BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,()0.22y x az =⎧⎪⎨+=⎪⎩令1z =，得(, 0, 1)2aa =-n .易知()0, 0BD =-是平面SAC 的法向量.因为(, 0, 1)(0, 0)02aBD a ⋅=⋅-=-n ，所以BD ⊥n ，所以平面BDE ⊥平面SAC .－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－9分〔Ⅲ〕解：设CE a =〔02a <<〕，由〔Ⅱ〕可知，平面BDE 法向量为(, 0, 1)2aa =-n .因为SO ABCD ⊥底面，所以OS =是平面SAC 的一个法向量. 由二面角E BD C --的大小为45︒.所以cos , cos 45OS 〈〉=︒=n ，2=，解得1a =.【所以点E 是SC 的中点.－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－14分17、〔本小题总分值13分〕某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量〔单位：克〕，重量的分组区间为(]495,490，(]500,495，…，(]515,510、由此得到样本的频率分布直方图，如下图：〔Ⅰ〕根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量；〔Ⅱ〕在上述抽取的40个产品中任职2件，设ξ为重量超过505克的产品数量，求ξ的分布列；〔Ⅲ〕从流水线上任取5件产品，估计其中恰有2件产品的重量超过505克的概率、 解：〔Ⅰ〕重量超过505克的产品数量是12)501.0505.0(40=⨯+⨯⨯件－－－－－－－－－－－－2分〔Ⅱ〕ξ的所有可能取值为0，1，222824063(0)130C P C ξ===，11122824056(1)130C C P C ξ===，21224011(2)130C P C ξ===，ξ的分布列为－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－9分〔Ⅲ〕由〔Ⅰ〕的统计数据知，抽取的40件产品中有12件产品的重量超过505克，其频率为3.0，可见从流水线上任取一件产品，其重量超过505克的概率为3.0，令ξ为任取的5件产品中重量超过505克的产品数，那么)3.0,5(~B ξ，故所求的概率为3087.0)7.0()3.0()2(3225===C p ξ－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－13分18、〔本小题总分值13分〕x xx g e x x ax x f ln )(],,0(,ln )(=∈-=，其中e 是自然常数，R a ∈、〔Ⅰ〕讨论1=a 时，()f x 的单调性、极值；〔Ⅱ〕求证：在〔Ⅰ〕的条件下，1()()2f x g x >+；〔Ⅲ〕是否存在实数a ，使()f x 的最小值是3，假设存在，求出a 的值；假设不存在，说明理由、解：〔Ⅰ〕 x x x f ln )(-=，x x x x f 111)(-=-='∴当10<<x 时，/()0f x <，此时()f x 单调递减 当e x <<1时，/()0f x >，此时()f x 单调递增∴()f x 的极小值为1)1(=f －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－4分〔Ⅱ〕 ()f x 的极小值为1，即()f x 在],0(e 上的最小值为1，∴0)(>x f ，min ()1f x =……5分令21ln 21)()(+=+=x x x g x h ，x x x h ln 1)(-='，当e x <<0时，0)(>'x h ，()h x 在],0(e 上单调递增 ∴min max |)(|12121211)()(x f e e h x h ==+<+== ∴在〔1〕的条件下，1()()2f x g x >+－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－8分〔Ⅲ〕假设存在实数a ，使x ax x f ln )(-=〔],0(e x ∈〕有最小值3，/1()f x a x =-x ax 1-=当0≤a 时，)(x f 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e f x f ，e a 4=〔舍去〕，所以，此时)(x f 无最小值.当e a <<10时，)(x f 在)1,0(a 上单调递减，在],1(e a 上单调递增3ln 1)1()(min =+==a a f x f ，2e a =，满足条件.当e a ≥1时，)(x f 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e f x f ，e a 4=〔舍去〕，所以，此时)(x f 无最小值.综上，存在实数2e a =，使得当],0(e x ∈时()f x 有最小值3.－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－13分19、〔本小题总分值14分〕：椭圆12222=+b y a x 〔0>>b a 〕，过点)0,(a A -，),0(b B 的直线倾斜角为6π，原点到该直线的距离为23、〔Ⅰ〕求椭圆的方程；〔Ⅱ〕斜率大于零的直线过)0,1(-D 与椭圆交于E ，F 两点，假设DF ED 2=，求直线EF 的方程；〔Ⅲ〕是否存在实数k ，直线2+=kx y 交椭圆于P ，Q 两点，以PQ 为直径的圆过点)0,1(-D ？假设存在，求出k 的值；假设不存在，请说明理由、解：〔Ⅰ〕由33=a b ，22232121b a b a +⋅⋅=⋅，得3=a ，1=b ， 所以椭圆方程是：1322=+y x －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－4分〔Ⅱ〕设EF ：1-=my x 〔0>m 〕代入1322=+y x ，得022)3(22=--+my y m ，设),(11y x E ，),(22y x F ，由DF ED 2=，得212y y -=、由322221+=-=+m m y y y ，32222221+-=-=m y y y －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－6分 得31)32(222+=+-m m m ，1=∴m ，1-=m 〔舍去〕，〔没舍去扣1分〕直线EF 的方程为：1-=y x 即01=+-y x －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－9分〔Ⅲ〕将2+=kx y 代入1322=+y x ，得0912)13(22=+++kx x k 〔×〕 记),(11y x P ，),(22y x Q ，PQ 为直径的圆过)0,1(-D ，那么QD PD ⊥，即0)1)(1(),1(),1(21212211=+++=+⋅+y y x x y x y x ，又211+=kx y ，222+=kx y ，得01314125))(12()1(221212=++-=+++++k k x x k x x k 、 解得67=k ，此时〔×〕方程0>∆，∴存在67=k ，满足题设条件、－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－14分20、〔本小题总分值13分〕定义：对于任意*n ∈N ，满足条件212n n n a a a +++≤且na M ≤〔M 是与n 无关的常数〕的无穷数列{}na 称为T 数列、 〔Ⅰ〕假设29n a n n =-+（*n ∈N ），证明：数列{}n a 是T 数列；〔Ⅱ〕设数列{}n b 的通项为3502nn b n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且数列{}n b 是T 数列，求常数M 的取值范围； 〔Ⅲ〕设数列1n p c n =-（*n ∈N ，1p >），问数列{}n c 是否是T 数列？请说明理由、 解：〔Ⅰ〕由29n a n n =-+，得 2)1(18)1(2)2(9)2(9222212-=+-+++++-+-=-+++n n n n n n a a a n n n所以数列{}n a 满足212n n n a a a +++≤. 又298124n a n ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，当N ＝4或5时，n a 取得最大值20，即n a ≤20. 综上，数列{}n a 是T 数列.－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－4分 〔Ⅱ〕因为11331350(1)50502222n n n n n b b n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+--+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以当1350022n ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭即11n ≤时，10n nb b +->，此时数列{}n b 单调递增 当12n ≥时，10n n b b +-<，此时数列{}n b 单调递减；故数列{}n b 的最大项是12b ，所以，M 的取值范围是1236002M ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－9分〔Ⅲ〕①当12p <≤时，当1n =时1231,1,1,23p p c p c c =-=-=- 由13252203p c c c +-=-≤得65p ≤， 即当615p <≤时符合122++≤+n n n c c c 条件.假设2n ≥，那么1≤n p ，此时1n p c n =- 于是2122(1)(1)2(1)021(1)(2)n n n p p p p c c c n n n n n n ++-+-=-+---=<++++又对于*n ∈N 有11n p c n =-<，所以当615p <≤时数列{}n c 是T 数列； ②当23p <≤时，取1n =那么：1231,1,1,23p p c p c c =-=-=-由0322231>-=-+p c c c ，所以23p <≤时数列{}n c 不是T 数列③当3p >时，取1n =那么1231,1,1,23p p c p c c =-=-=- 由1325206p c c c +-=>，所以3p >时数列{}n c 不是T 数列. 综上：当615p <≤时数列{}n c 是T 数列；当65p >时数列{}n c 不是T 数列 －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－13分。
2019年北京市高三一模数学理试题分类汇编：概率与统计(附答案)
北京市12区2019届高三第一次模拟（3、4月）数学理试题分类汇编概率与统计一、解答题1、（朝阳区2019届高三一模）某部门在同一上班高峰时段对甲、乙两地铁站各随机抽取了50名乘客，统计其乘车等待时间（指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过40分钟）．将统计数据按[5,10),[10,15),[15,20),,[35,40]分组，制成频率分布直方图：乘车等待时间（分钟）0.036乙站O400.0480.0080.0160.052O405101520253035频率/组距0.0480.0120.0280.0360.0120.040甲站频率/组距乘车等待时间（分钟）3530252015105假设乘客乘车等待时间相互独立．（Ⅰ）在上班高峰时段，从甲站的乘客中随机抽取1人，记为A ；从乙站的乘客中随机抽取1人，记为B .用频率估计概率，求“乘客A ,B 乘车等待时间都小于20分钟”的概率；（Ⅱ）从上班高峰时段,从乙站乘车的乘客中随机抽取3人，X 表示乘车等待时间小于20分钟的人数，用频率估计概率，求随机变量X 的分布列与数学期望.2、（东城区2019届高三一模）改革开放40年来，体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及．下图是我国2006年至2016年体育产业年增加值及年增速图．其中条形图为体育产业年增加值（单位：亿元），折线图为体育产业年增长率（％）．（Ⅰ）从2007年至2016年随机选择1年，求该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多500亿元以上的概率；（Ⅱ）从2007年至2016年随机选择3年，设X是选出的三年中体育产业年增长率超过20%的年数，求X的分布列与数学期望；（Ⅲ）由图判断，从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大？（结论不要求证明）3、（丰台区2019届高三一模）随着经济全球化、信息化的发展，企业之间的竞争从资源的争夺转向人才的竞争．吸引、留住培养和用好人才成为人力资源管理的战略目标和紧迫任务．在此背景下，某信息网站在15个城市中对刚毕业的大学生的月平均收入薪资和月平均期望薪资做了调查，数据如下图所示．（Ⅰ）若某大学毕业生从这15座城市中随机选择一座城市就业，求该生选中月平均收入薪资高于8500元的城市的概率；（Ⅱ）现有2名大学毕业生在这15座城市中各随机选择一座城市就业，且2人的选择相互独立．记X 为选中月平均收入薪资高于8500元的城市的人数，求X 的分布列和数学期望()E X ；（Ⅲ）记图中月平均收入薪资对应数据的方差为21s ，月平均期望薪资对应数据的方差为22s ，判断21s 与22s 的大小．（只需写出结论）4、（海淀区2019届高三一模） 据《人民网》报道，“美国国家航空航天局( NASA)发文称，相比20年前世界变得更绿色了.卫星资料显示中国和印度的行动主导了地球变绿．”据统计，中国新增绿化面积的42%来自于植树造林，下表是中国十个地区在2017年植树造林的相关数据．（造林总面积为人工造林、飞播造林、新封山育林、退化林修复、人工更新的面积之和） 单位：公顷造林方式 地区 造林总面积人工造林飞播造林新封山育林退化林修复人工更新 内蒙 618484 311052 74094 136006 90382 6950 河北 583361 345625 33333 135107 65653 3643 河南 149002 97647 1342922417 15376 133重庆 226333 10060062400 63333 陕西 297642 ， 184108 33602 63865 16067 甘肃 325580 26014457438 7998新疆 263903 118105 6264 126647 10796 2091青海 178414 16051 159734 2629宁夏 91531 58960 22938 8298 1335 北京 1906410012400039991053(I)请根据上述数据分别写出在这十个地区中人工造林面积与造林总面积的比值最大和最 小的地区；(Ⅱ)在这十个地区中，任选一个地区，求该地区人工造林面积占造林总面积的比值超过 50%的概率是多少？(Ⅲ)在这十个地区中，从新封山育林面积超过五万公顷的地区中，任选两个地区，记X 为 这两个地区中退化林修复面积超过六万公顷的地区的个数，求X 的分布列及数学期望．5、（怀柔区2019届高三一模）某大型企业为鼓励员工利用网络进行营销，准备为员工办理手机流量套餐.为了解员工手机流量的使用情况，通过抽样，得到100位员工 每人手机月平均使用流量L (单位:M ) 的数据，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）从该企业的员工中随机抽取3人，求这3人中至多有1人手机月流量不超过900M的概率；（Ⅱ）据了解，某网络运营商推出两款流量套餐，详情如下：套餐名称月套餐费(单位:元) 月套餐流量(单位:M)A 20 700B 30 1000流量套餐的规则是：每月1日收取套餐费.如果手机实际使用流量超出套餐流量，则需要购买流量叠加包，每一个叠加包(包含200M的流量)需要10元，可以多次购买，如果当月流量有剩余，将会被清零.该企业准备订购其中一款流量套餐，每月为员工支付套餐费，以及购买流量叠加包所需月费用．若以所需费用的数学期望为决策依据，该企业订购哪一款套餐更经济？A B C D6、（门头沟区2019届高三一模）在某区“创文明城区”（简称“创城”）活动中，教委对本区,,,四所高中校按各校人数分层抽样调查，将调查情况进行整理后制成下表：学校A B C D抽查人数50 15 10 25“创城”活动中参与的人数40 10 9 15（注：参与率是指：一所学校“创城”活动中参与的人数与被抽查人数的比值）假设每名高中学生是否参与“创城”活动是相互独立的.（Ⅰ）若该区共2000名高中学生，估计A学校参与“创城”活动的人数；（Ⅱ）在随机抽查的100名高中学生中，从,A C两学校抽出的高中学生中各随机抽取1名学生，求恰有1人参与“创城”活动的概率；（Ⅲ）若将上表中的参与率视为概率，从A学校高中学生中随机抽取3人，求这3人参与“创城”活动人数的分布列及数学期望.7、（石景山区2019届高三一模）某不透明纸箱中共有4个小球，其中1个白球，3个红球，它们除颜色外均相同．（Ⅰ）一次从纸箱中摸出两个小球，求恰好摸出2个红球的概率；（Ⅱ）每次从纸箱中摸出一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取4次，记得到红球的次数为ξ，求ξ的分布列；（Ⅲ）每次从纸箱中摸出一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取100次，得到几次红球的概率最大？只需写出结论．8、（顺义区2019届高三第二次统练（一模））国际上常用恩格尔系数（食品支出总额占个人消费支出总额的比重）反映一个国家或家庭生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高.联合国根据恩格尔系数的大小，对世界各国的生活质量有一个划分标准如下：下表记录了我国在改革开放后某市A，B，C，D，E五个家庭在五个年份的恩格尔系数.年份家庭恩格尔系数（%）A B C D E1978年57.7 52.5 62.3 61.0 58.81988年54.248.3 51.9 55.4 52.61998年44.741.6 43.5 49.0 47.42008年37.9 36.5 29.2 41.3 42.72018年28.627.7 19.8 35.7 34.2（Ⅰ）从以上五个家庭中随机选出一个家庭，求该家庭在2008年和2018年都达到了“富裕”或更高生活质量的概率；(Ⅱ)从以上五个家庭中随机选出三个家庭，记这三个家庭在2018年达到“富裕”或更高生活质量的个数为X，求X的分布列；(Ⅲ)如果将“贫穷”，“温饱”，“小康”，“相对富裕”，“富裕”，“极其富裕”六种生活质量分别对应数值：0，1，2，3，4，5. 请写出A，B，C，D，E五个家庭在以上五个年份中生活质量方差最大的家庭和方差最小的家庭（结论不要求证明）.9、（西城区2019届高三一模）为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动. 活动后，为了解阅读情况，学校统计了甲、乙两组各10名学生的阅读量（单位：本），统计结果用茎叶图记录如下，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a表示.（Ⅰ）若甲组阅读量的平均值大于乙组阅读量的平均值， 求图中a 的所有可能取值；（Ⅱ）将甲、乙两组中阅读量超过．．15本的学生称为“阅读达人”. 设3a ，现从所有“阅读达人”里任取3人，求其中乙组的人数X 的分布列和数学期望.（Ⅲ）记甲组阅读量的方差为20s . 在甲组中增加一名学生A 得到新的甲组，若A 的阅读量为10，则记新甲组阅读量的方差为21s ；若A 的阅读量为20，则记新甲组阅读量的方差为22s ，试比较20s ，21s ，22s 的大小.（结论不要求证明）10、（延庆区2019届高三一模） 2020年我国全面建成小康社会，其中小康生活的住房标准是城镇人均住房建筑面积30平方米. 下表为2007年—2016年中，我区城镇和农村人均住房建筑面积统计数据. 单位：平方米.（Ⅰ）现从上述表格中随机抽取连续两年数据，求这两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于2 平方米的概率；（Ⅱ）在给出的10年数据中，随机抽取三年，记X 为同年中农村人均住房建筑面积超过城镇人 均住房建筑面积4平方米的年数，求X 的分布列和数学期望()E X ；（Ⅲ）将城镇和农村的人均住房建筑面积经四舍五入取整后作为样本数据．记2012—2016年中城镇人均住房面积的方差为21s ，农村人均住房面积的方差为22s ，判断21s 与22s 的大小．（只需写出结论）.11、（房山区2019届高三一模）苹果是人们日常生活中常见的营养型水果.某地水果批发市场销售来自5个不同产地的富士苹果，各产地的包装规格相同，它们的批发价格（元/箱）和市场份额如下：产地 A B C D E批发价格150 160 140 155 170市场份额15% 10% 25% 20% 30% 市场份额亦称“市场占有率”.指某一产品的销售量在市场同类产品中所占比重.2007年 2008年 2009年 2010年 2011年 2012年 2013年 2014年 2015年 2016年城镇 18.66 20.25 22.79 25 27.1 28.3 31.6 32.9 34.6 36.6 农村23.324.826.527.930.732.434.137.141.245.8（Ⅰ）从该地批发市场销售的富士苹果中随机抽取一箱，估计该箱苹果价格低于160元的概率； （Ⅱ）按市场份额进行分层抽样，随机抽取20箱富士苹果进行检验， ①从产地,A B 共抽取n 箱,求n 的值；②从这n 箱中随机抽取三箱进行等级检验，随机变量X 表示来自产地B 的箱数，求X 的分布列和数学期望.（Ⅲ）产地F 的富士苹果明年将进入该地市场，定价160元/箱，并占有一定市场份额，原有五个产地的苹果价格不变，所占市场份额之比．不变（不考虑其他因素）.设今年苹果的平均批发价为每箱1M 元，明年苹果的平均批发价为每箱2M 元，比较12,M M 的大小.（只需写出结论）12、（大兴区2019届高三一模）某机构对A 市居民手机内安装的“APP ”(英文Application 的缩写，一般指手机软件)的个数和用途进行调研，在使用智能手机的居民中随机抽取了100人，获得了他们手机内安装APP 的个数，整理得到如图所示频率分布直方图：（Ⅰ）从A 市随机抽取一名使用智能手机的居民，试估计该居民手机内安装APP 的个数不低于30的概率；（Ⅱ）从A 市随机抽取3名使用智能手机的居民进一步做调研，用X 表示这3人中手机内安装APP的个数在[20,40)的人数．①求随机变量X 的分布列及数学期望；②用Y 1表示这3人中安装APP 个数低于20的人数，用Y 2表示这3人中手机内安装APP 的个数不低于40的人数．试比较EY 1和EY 2的大小．(只需写出结论)参考答案1、解：（Ⅰ）设M 表示事件“乘客A 乘车等待时间小于20分钟”，N 表示事件“乘客B 乘车等待时间小于20分钟”，C 表示事件“乘客A,B 乘车等待时间都小于20分钟”． 由题意知，乘客A 乘车等待时间小于20分钟的频率为0.0120.0400.048)50.5(++⨯=，故()P M 的估计值为0.5．乘客B 乘车等待时间小于20分钟的频率为0.0160.0280.036)50.4(++⨯=，故()P N 的估计值为0.4．又121()()()()255P C P MN P M P N ==⋅=⨯=.故事件C 的概率为15．………………………………………………………….6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，乙站乘客乘车等待时间小于20分钟的频率为0.4， 所以乙站乘客乘车等待时间小于20分钟的概率为25. 显然，X 的可能取值为0,1,2,3且2(3,)5~X B .所以033327(0)()5125P X C ===；1232354(1)()55125P X C ==⋅=； 2232336(2)()55125P X C ==⋅=；33328(3)()5125P X C ===.故随机变量X 的分布列为X 0 1 2 3P27125 54125 36125 812526355EX =⨯= .……………….13分 2、解:（Ⅰ）设A 表示事件“从2007年至2016年随机选出1年，该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多500亿元以上”．由题意可知，2009年，2011年，2015年，2016年满足要求， 故42()105P A ==． ............................4分 （Ⅱ）由题意可知，X 的所有可能取值为0,1,2，3，且36310C 1(0)=C 6P X ==； 1246310C C 1(1)=C 2P X ==；2146310C C 3(2)=C 10P X ==； 34310C 1(3)=C 30P X ==.所以X 的分布列为：X0 1 2 3P16 12 310 130故X 的期望11316()01236210305E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． (10)分（Ⅲ）从2008年或2009年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大．从2014年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大． ............................13分 3、解：（Ⅰ）设该生选中月平均收入薪资高于8500元的城市为事件A .因为 15座城市中月平均收入薪资高于8500元的有6个，所以 2()5P A =. （Ⅱ）由（Ⅰ）知选中平均薪资高于8500元的城市的概率为25，低于8500元的概率为35， 所以X ~2(2,)5B .239(0)()525P X ===；122312(1)5525P X C ==⨯⨯=；22224(2)()525P X C ==⨯=. 所以随机变量X 的分布列为：P0 1 2X925 1225425所以X 的数学期望为24()255E X =⨯=.（Ⅲ）2212s s > .4、解：(Ⅰ) 人工造林面积与总面积比最大的地区为甘肃省人工造林面积与总面积比最小的地区为青海省(Ⅱ) 设在这十个地区中,任选一个地区，该地区人工造林面积占总面积的比值超过为事件A在十个地区中，有7个地区（内蒙、河北、河南、陕西、甘肃、宁夏、北京）人工造林 面积占总面积比超过50%，则7()10P A =（Ⅲ）新封山育林面积超过五万公顷有7个地区：内蒙、河北、河南、重庆、陕西、甘肃、新疆、青海，其中退化林修复面积超过六万公顷有3个地区：内蒙、河北、重庆，所以X 的取值为012,, 所以242712(0)42C P X C ===， 11342724(1)42C C P X C ===23276(2)42C P X C ===随机变量X 的分布列为X 012P1242244264212246366012424242427EX =⨯+⨯+⨯==5、解：（Ⅰ）由题意100位员工每人手机月平均使用流量不超过900M 的概率为1(0.00020.0008)1000.9-+⨯=.从该企业的员工中随机抽取3，可近似看为独立重复实验，至多1个可分为恰有1人和没有人超过900M ，设事件A 为“3人中至多有1人手机月流量不超过900M”，则1200333()0.90.10.90.10.028=⨯⨯+⨯⨯=P A C C------------------------------------------------------------------------------------------------------6分 （Ⅱ）若该企业选择A 套餐，设一个员工所需费用为X ，则X 可能为20，30，40。
2019年高考数学(理科)模拟试卷(一)
2019年高考数学(理科)模拟试卷(一) 2019年高考数学(理科)模拟试卷(一)第Ⅰ卷(选择题满分60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|y=lg(3-2x)}，B={x|x²≤4}，则A∪B=（）A。
{x|-2≤x<2}B。
{x|x<2}C。
{x|-2<x<2}D。
{x|x≤2}2.若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（）A。
(-∞,1)B。
(-∞,-1)C。
(1,+∞)D。
(-1,+∞)3.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为（）A。
6斤B。
9斤C。
9.5斤D。
12斤4.某三棱锥的三视图如图M1-1，则该三棱锥的体积为（）A。
60B。
30C。
20D。
105.设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数。
若存在实数t，使得[t]=1，[t²]=2，…，[tn]=n同时成立，则正整数n的最大值是（）A。
3B。
4C。
5D。
66.执行两次如图M1-2所示的程序框图，若第一次输入的x值为7，第二次输入的x值为9，则第一次、第二次输出的a 值分别为（）A。
0,0B。
1,1C。
0,1D。
1,07.某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图M1-3，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则m+n的值是（）A。
10B。
11C。
12D。
138.若x，y满足约束条件x+y-3≥0，x-2y≤0，则x≥（）A。
[0,6]B。
[0,4]C。
[6,+∞)D。
[4,+∞)13.首先求出向量a和b的夹角，由向量点乘公式可得cosθ = (a·b)/(|a||b|) = 9/√20，其中θ为夹角。
(完整版)2019年北京市各区高三一模试题分类汇编：1三角函数(理科)(含答案解析)
2019年北京市各区高三一模试题分类汇编01三角函数(理科)1 (2019年东城一模理科)2 (2019年西城一模理科)下列函数中，对于任意x ∈R ，同时满足条件()()f x f x =-和(π)()f x f x -=的函数是（ D ）（A ）()sin =f x x （C ）()cos =f x x（B ）()sin cos =f x x x （D ）22()cos sin =-f x x x3 (2019年朝阳一模理科) 在ABC △中，π4A =，BC =AC =”是“π3B =”的（B ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条4 (2019年丰台一模理科)已知tan 2=α，则sin cos sin cos -+αααα的值为_______________.5 (2019年顺义一模理科)已知函数()cos(2)cos 23f x x xπ=+-，其中x R ∈，给出下列四个结论 ①.函数()f x 是最小正周期为π的奇函数； ②.函数()f x 图象的一条对称轴是23x π=；③.函数()f x 图象的一个对称中心为5(,0)12π；④.函数()f x 的递增区间为2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 则正确结论的个数是(C)(A) 1 个 (B) 2 个 (C) 3 个 ( D) 4 个 6 (2019年延庆一模理科)同时具有性质“①最小正周期是π， ②图像关于3π=x 对称，③在]3,6[ππ-上是增函数”的一个函数是(C)A ．)62sin(π+=x y B ．)32cos(π+=x y C ．)62sin(π-=x y D ．)62cos(π-=x y7 (2019年东城一模理科)8 (2019年西城一模理科)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c. 已知222b c a bc +=+.（Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）如果cos =B ，2b =，求△ABC 的面积. 9 (2019年海淀一模理科)已知函数ππ()2sincos 66f x x x =，过两点(,()),(1,(1))A t f t B t f t ++的直线的斜率记为()g t ．（Ⅰ）求(0)g 的值；（II ）写出函数()g t 的解析式，求()g t 在33[,]22-上的取值范围．10 (2019年朝阳一模理科)已知函数22()2sin()cos sin cos f x x x x x =π-⋅+-，x ∈R ．（Ⅰ）求()2f π的值及函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在[]0,π上的单调减区间11 (2019年丰台一模理科)已知函数2()cos(2)2sin 13f x x x =--+π．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值.12 (2019年石景山一模理科)在△ABC 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且a b c <<，2sin b A =．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若2a =，b =，求c 边的长和△ABC 的面积 13 (2019年顺义一模理科)已知ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别 为a ，b ，c，且满足3sin sin )2A A A +=（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若a =，ABC S =V ，求b ，c 的值. 14 (2019年延庆一模理科)在三角形ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且2=a ，4π=C ，53cos =B ．（Ⅰ）求A sin 的值；（Ⅱ）求ABC ∆的面积2019年北京市各区高三一模试题汇编--三角函数(理科) 答案：1．D ；2．D ；3．B ；4．13；5．C ；6．C ； 7．8.（Ⅰ）解：因为 222b c a bc +=+，所以 2221cos 22b c a A bc +-==，…………… 3分 又因为 (0,π)∈A ，所以 π3A =. ……………… 5分（Ⅱ）解：因为cos =B ，(0,π)∈B ，所以sin B ==.…………7分由正弦定理 sin sin =a bA B ， ……………9分 得 sin 3sin ==b Aa B. ………………10分因为 222b c a bc +=+， 所以 2250--=c c ， 解得1=c因为 0>c ，所以1=c . ………………11分 故△ABC的面积1sin 2S bc A ==……………13分 9.解：（Ⅰ）π()sin3f x x =———————————————2分 (1)(0)(0)1f fg -=——————3分πsin sin 03=-=．————5分（Ⅱ）(1)()π()sin()sin 1333f t f tg t t t t t ππ+-==+-+-——————————6分 πππsin cos cos sin sin 33333t t t ππ=+-—————————————————7分1ππsin 233t t =-+————————————————8分ππsin()33t =--————————————————10分因为33[,]22t ∈-，所以ππ5ππ[,]3366t -∈-，————————————————11分 所以π1sin()[1,]332t π-∈-，———————————————12分所以()g t 在33[,]22-上的取值范围是1[,1]2-————————————————13分10.解：()f x =sin2cos2x x-)4x π-．（Ⅰ）())1224f πππ=⋅-==．显然，函数()f x 的最小正周期为π……… 8分（Ⅱ）令ππ3π2π22π242k x k +-+≤≤得37ππππ88k x k ++≤≤，k ∈Z ．又因为[]0,πx ∈，所以3π7π,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．函数()f x 在[]0,π上的单调减区间为3π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦…13分11.解：（Ⅰ）()cos 2cossin 2sincos 233f x x x x ππ=++1cos 22cos 22x x x =+32cos 22x x =+13(sin 22)2x x =+2coscos 2sin )33x x ππ=+)3x π=+----------------------------------------------5分所以()f x 的最小正周期为π.----------------------------------------------7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知())3f x x π=+因为[0,]2x π∈，所以ππ4π2[,]333x +∈，当ππ232x +=，即π12x =时，函数()f x，当π4π233x +=，即π2x =时，函数()f x 取最小值32-. 所以，函数()f x 在区间[0,]2π32-.--------------13分 12.解：2sin b A =，2sin sin A B A =，……………2分 因为0A π<<，所以sin 0A ≠，所以sin B =， …………………… 4分 因为0B π<<，且a b c <<，所以60B =o ．…………………………6分 （Ⅱ）因为2a =，b =22212222c c =+-⨯⨯⨯，即2230c c --=，解得3c =或1c =-（舍），所以c 边的长为3．…………………………10分11333=sin 2322ABC S ac B ∆=⨯⨯⨯=．…………………………13分 13.14.解：（Ⅰ）Θ53cos =B ，∴54sin =B ……………………1分∴)sin(sin C B A +=……………………2分C B C B sin cos cos sin +=……………………4分102722532254=⨯+⨯=……………………6分 （Ⅱ）ΘAaB b sin sin =……………………8分 1027254=∴b ，728=∴b ……………………10分C ab S ABC sin 21=∴∆，……………………11分22728221⨯⨯⨯=78=………………………………13分。
北京市12区2019届高三第一次模拟(3、4月)数学理试题分类汇编 函数
x x ( 2x ) （A ） f ( x ) = x -1 （B ） f (x) = log | x |5、（怀柔区 2019 届高三一模）若函数 f ( x) = 2 - 2 ，则 f ( x ) f (x )的“友好点对”，且点对 ( A , B )与 (B, A )可看作同一个“友好点对”.若函数 f (x ) = ⎨ ⎪ x + , x > 0北京市 12 区 2019 届高三第一次模拟（ 3、4 月）数学理试题分类汇编函数⎧ 2x , x < 1,1、（朝阳区 2019 届高三一模）若函数 f ( x ) = ⎨则函数 f ( x ) 的值域是 ⎩- log 2 x, x ≥ 1,A ． (-∞,2)B ． (-∞,2]C ． [0, +∞)D ． (-∞,0) (0,2)2 、（ 东 城 区2019 届 高 三 一 模 ） 已 知 函 数 f ( x ) = 4 x - x 3 ， 若 ∀x , x ∈ [ a, b ] , ≠121都,有 22 f ( x + x )> 12f ( 2 x + ) f 成立，则满足条件的一个区间是________.1 23、（丰台区 2019 届高三一模） 下列函数中，同时满足：①图象关于 y 轴对称；② ∀x , x ∈ (0, +∞)( x ≠ x ) ，1212f (x ) - f (x )2 1 x - x21> 0 的是2（C ） f (x) = cos x（D ） f ( x ) = 2 x +14、（海淀区 2019 届高三一模）已知函数 f ( x ) = x ， g ( x ) = ax 2 - x ，其中 a > 0 .若 ∀x ∈ [1,2], ∃x ∈ [1,2] ，使12得 f ( x ) f ( x ) = g ( x ) g ( x ) 成立，则 a = ____．12 1 2x - xA ．是奇函数，且在 R 上是增函数B ．是偶函数，且在 R 上是增函数C ．是奇函数，且在 R 上是减函数D ．是偶函数，且在 R 上是减函数6、（门头沟区 2019 届高三一模） 若函数 f (x )图象上存在两个点 A ， B 关于原点对称，则点对( A , B )称为函数⎧ x 2 + 2ex + m - 1, x ≤ 0⎪e 2⎩ x（其中 e 为自然对数的底数， e ≈ 2.718 ）恰好有两个“友好点对”，则实数 m 的取值范围为A ． m ≤ (e - 1)2B ． m > (e - 1)2C ． m < (e - 1)2D ． m ≥ (e - 1)27、（石景山区 2019 届高三一模）若 x > y > a > b > 1 ，则下列各式中一定正确的是A. a x> byB. ln x < ln yC. sin x > sin yD. a9、（延庆区 2019 届高三一模）设 f (x) 是定义在 R 上的单调递减函数，能说明“一定存在x ∈ R 使得 f ( x ) <1 ” （ x （6、C7、A8、 (2, ) （答案不唯一） 9、 f ( x) = ⎪ + 110、Bb<x y8、（顺义区 2019 届高三第二次统练（一模））“当 c > 1 时，能使不等式 l og c > log c ”成立的一组正数 a, b 的 a b值依次为________________为假命题的一个函数是 f ( x ) = _____．10、 房山区 2019 届高三一模）已知函数 f ( x ) = 2 x ( x < 0) 与 g ( x ) = ln(x + a) 的图象上存在关于 y 轴对称的点，则a 的取值范围是(A) (-∞,2)(C) (2,e)(B) (-∞,e)(D) (e,+∞)11、（房山区 2019 届高三一模）函数 y = f ( x ), x ∈[1,+∞) ，数列{a } 满足 a = f (n ) , n ∈ N * ，nn①函数 f ( x ) 是增函数；②数列{a } 是递增数列．n写出一个满足①的函数 f ( x ) 的解析式.写出一个满足②但不满足①的函数 f ( x ) 的解析式.12、（平谷区2019届高三一模）下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是（ ）A 、 y =1xB 、y ＝lnxC 、y ＝sinxD 、y ＝2－13、 朝阳区 2019 届高三一模）能说明“函数 f ( x ) 的图象在区间 [0,2 ] 上是一条连续不断的曲线．若 f (0) ⋅ f (2) > 0 ， 则 f ( x ) 在 (0,2) 内无零点”为假命题的一个函数是 ．参考答案1、A2、 (0,1) (答案不唯一)3、B4、325、A1 ⎛ 1 ⎫x 2⎝ 2 ⎭11、 f ( x ) = x 2； f ( x ) = ( x - 4 )2答案不唯一12、B13、 y = ( x - 1)2 （答案不唯一）3。
2019年北京各区一模理科数学分类汇编---立体几何(含答案)
2019年北京各区一模理科数学分类汇编---立体几何（含答案）一、选择、填空题1、（朝阳区2019届高三一模）某三棱锥的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该三棱锥的体积为A ．4B ．2C ．83D ．43正（主）视图 俯视图侧（左）视图2、（东城区2019届高三一模）正方体被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该截面图形的形状为（A ）等腰三角形 （B ）直角三角形 （C ）平行四边形 （D ）梯形3、（丰台区2019届高三一模）已知α和β是两个不同平面，l αβ=，12l l ,是与l 不同的两条直线，且1l α⊂，2l β⊂，12l l ∥，那么下列命题正确的是 （A ）l 与12,l l 都不相交（B ）l 与12,l l 都相交（C ）l 恰与12,l l 中的一条相交（D ）l 至少与12,l l 中的一条相交4、（怀柔区2019届高三一模）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱长为A ．B ．C ．D ．5、（门头沟区2019届高三一模）一个体积为123的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为A.36 B ．8 C ．38 D ．126、（门头沟区2019届高三一模）如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不垂直的是7、（石景山区2019届高三一模）某几何体的三视图如右图所示，该几何体的体积为 A. 2 B. 6 C. 10 D. 248、（顺义区2019届高三第二次统练（一模））某几何体的三视图如下图所示,则该几何体的表面积是A．12 B. 2 C.2+2 D. 3+29、（西城区2019届高三一模）某四棱锥的三视图如图所示，那么此四棱锥的体积为____．10、（延庆区2019届高三一模）已知一个正四面体的底面积为33，那么它的正视图（如右图）的面积为（A）42（B）33（C）26（D）3211、（房山区2019届高三一模）某三棱锥的三视图如图所示，正视图与侧视图是两个全等的等腰直角三角形，直角边长为1，俯视图是正方形，则该三棱锥的四个面的面积中最大的是(A) 12(B)22(C)32(D)1侧（左）视图正（主）视图俯视图12、（平谷区2019届高三一模）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面中直角三角形的个数为A．1 B．2 C．3D．4参考答案1、D2、A3、A4、C5、A6、D7、B8、D9、4310、D11、C 12、D 二、解答题1、（朝阳区2019届高三一模）如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADEF ⊥平面ABCD ．四边形ADEF 为正方形，四边形ABCD 为梯形，且//AD BC ，90BAD ∠=︒，1AB AD ==，3BC =． （Ⅰ）求证：AF CD ⊥；（Ⅱ）求直线BF 与平面CDE 所成角的正弦值；（Ⅲ）线段BD 上是否存在点M ，使得直线//CE 平面AFM ? 若存在，求BMBD的值；若不存在，请说明理由．2、（东城区2019届高三一模）如图，在棱长均为2的三棱柱111ABC A B C -中，点C 在平面11A ABB 内的射影O 为1AB 与1A B 的交点，,E F 分别为11,BC A C 的中点． （Ⅰ）求证：四边形11A ABB 为正方形；（Ⅱ）求直线EF 与平面11A ACC 所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段1AB 上存在一点D ，使得直线EF 与平面1A CD 没有公共点，求1ADDB 的值.3、（丰台区2019届高三一模）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为直角梯形，AB CD ∥，AB BC ⊥，平面ABCD ⊥平面11ABB A ，160BAA ∠=︒，1=2=22AB AA BC CD ==．（Ⅰ）求证：1BC AA ⊥；（Ⅱ）求二面角1D AA B --的余弦值；（Ⅲ）在线段1DB 上是否存在点M ，使得CM ∥平面1DAA ？若存在，求1DMDB 的值；若不存在，请说明理由．MCDBA1111C D B A4、（海淀区2019届高三一模）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,2AC BC AC BC CC ⊥===，点,,D E F 分别为棱11111,,AC B C BB 的中点． (Ⅱ)求证：1AC ∥平面DEF (Ⅱ)求证：平面1ACB ⊥平面DEF ;(Ⅲ)在线段1AA 上是否存在一点P ，使得直线DP 与平面1ACB 所成的角为300?如果存在，求出线段AP 的长；如果不存在，说明理由．5、（怀柔区2019届高三一模）已知三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，PA=AC=12AB=2，N 为AB 上一点，AB=4AN ，M ，S 分别为PB ，BC 的中点. （Ⅰ）证明：CM ⊥SN ；（Ⅱ）求直线SN 与平面CMN 所成角的大小； （Ⅲ）求二面角--B NC M 大小的余弦值.6、（门头沟区2019届高三一模）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为6的菱形，且060ABC ∠=，PA ABCD ⊥平面，6PA =，F 是棱PA 上的一个动点，E 为PD 的中点.（Ⅰ）求证：BD CF ⊥ （Ⅱ）若2AF =,（i ）求PC 与平面BDF 所成角的正弦值；（ii ）侧面PAD 内是否存在过点E 的一条直线，使得该直线上任一点M 与C 的连线,都满足//CM 平面BDF ，若存在,求出此直线被直线,PA PD 所截线段的长度，若不存在，请明理由.7、（石景山区2019届高三一模）如图，在四棱锥E ABCD -中，平面ABCD ⊥平面AEB ，且四边形ABCD 为矩形，120BAE=∠︒，4AE=AB=，2AD=，F G ，分别为BE AE ，的中点，H 在线段BC 上（不包括端点）． （Ⅰ）求证：CD ∥平面FGH ； （Ⅱ）求证：平面DAF ⊥平面CEB ；（Ⅲ）是否存在点H ，使得二面角H GF B --的大小为π6？若存在，求BHBC； 若不存在，说明理由．8、（顺义区2019届高三第二次统练（一模））如图，在四棱锥ABCD P -中，等边三角形PCD 所在的平面垂直于底面ABCD ，112AB AD CD ===， 90=∠=∠ADC BAD ，M 是棱PD 的中点．（Ⅰ）求证：AD PCD ⊥平面；（Ⅱ）求二面角D BC M --的余弦值；（Ⅲ）判断直线CM 与平面PAB 的是否平行，并说明理由．PABCDM·9、（西城区2019届高三一模）如图，在多面体ABCDEF 中，梯形ADEF 与平行四边形ABCD 所在平面互相垂直， //AF DE ，DE AD ⊥，AD BE ⊥，112AF AD DE ===，2AB =. （Ⅰ）求证：//BF 平面CDE ； （Ⅱ）求二面角B EF D --的余弦值；（Ⅲ）判断线段BE 上是否存在点Q ，使得平面CDQ ⊥平面BEF ？若存在，求 出BQBE的值，若不存在，说明理由．10、（延庆区2019届高三一模） 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，135BCD ∠=，侧面PAB ⊥底面ABCD ，PA AB ⊥,2AB AC PA ===, ,E F 分别为,BC AD 的中点，点M 在线段PD 上.（Ⅰ）求证：直线EF ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若M 为PD 的中点，求平面MEF 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值； （Ⅲ）设=PM PD λ，当λ为何值时，直线ME 与平面PBC 所成角的正弦值为1515，求λ的值.11、（房山区2019届高三一模）如图1，在矩形ABCD 中，4,2AB AD ==，,,E F O 分别为,,DC AE BC 的中点.以AE 为折痕把△ADE 折起，使点D 到达点P 的位置，且平面PAE ⊥平面ABCE (如图2)．（Ⅰ）求证：BC ⊥平面POF ；（Ⅱ）求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段PE 上是否存在点M ,使得AM ∥平面PBC ? 若存在，求PMPE的值；若不存在，说明理由.图 2PO FE图 1C BAO F EDC BA参考答案 1、解：（Ⅰ）证明：因为ADEF 为正方形，所以AF AD ⊥．又因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，且平面ADEF平面ABCD AD =，所以AF ⊥平面ABCD ． 所以AF CD ⊥．………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，AF ⊥平面ABCD ，所以AF AD ⊥，AF AB ⊥． 因为90BAD ∠=︒，所以,,AB AD AF 两两垂直．分别以,,AB AD AF 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如图）． 因为1AB AD ==，3BC =，所以(0,0,0),(1,0,0),(1,3,0),(0,1,0),(0,1,1),(0,0,1)A B C D E F ， 所以(1,0,1),(1,2,0),(0,0,1)BF DC DE =-==． 设平面CDE 的一个法向量为(,,)x y z =n ， 则0,0.DC DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即20,0. x y z +=⎧⎨=⎩令2x =，则1y =-， 所以(2,1,0)=-n ．设直线BF 与平面CDE 所成角为θ， 则|2(1)|10sin |cos ,|552BF θ⨯-=〈〉==⨯n ．……………….9分 （Ⅲ）设( (01])BMBDλλ=∈，， zy xEDCB AFMFEC 1OBB 1A 1AC设()111,,M x y z ，则()1111,,(1,1,0)x y z λ-=-， 所以1111,,0x y z λλ=-==，所以()1,,0M λλ-， 所以()1,,0AM λλ=-．设平面AFM 的一个法向量为000(,,)x y z =m ，则0,0.AM AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m因为()0,0,1AF =，所以000(1)0,0. x y z λλ-+=⎧⎨=⎩令0x λ=，则01y λ=-，所以(,1,0)λλ=-m ．在线段BD 上存在点M ，使得//CE 平面AFM 等价于存在[0,1]λ∈，使得0CE ⋅=m ． 因为()1,2,1CE =--，由0CE ⋅=m ， 所以2(1)0λλ---=， 解得2[0,1]3λ=∈， 所以线段BD 上存在点M ，使得//CE 平面AFM ，且23BM BD =．……………….14分 2、解：（Ⅰ）连结CO ．因为C 在平面11A ABB 内的射影O 为1AB 与1A B 的交点， 所以CO ⊥平面11A ABB ．由已知三棱柱111ABC A B C -各棱长均相等，所以AC BC =，且11A ABB 为菱形.由勾股定理得OA OB =，即11AB A B =. 所以四边形11A ABB 为正方形. (5)分（Ⅱ）由（Ⅰ）知CO ⊥平面11,A ABB 1,.CO OA CO OA ⊥⊥ 在正方形11A ABB 中，1OA OA ⊥． 如图建立空间直角坐标系O xyz -．由题意得11(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(2,0,0),(0,0,2),(2,2,2)O A A B C C --， 2222(,0,),(2,,)2222E F --．FEC 1OBB 1A 1AxyzCFEC 1OBB 1A 1AxyzCD所以1(2,2,0),(0,2,2).A A AC =-=-设平面11A ACC 的法向量为(,,),x y z =m则10,0.AA AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即220,220.x y y z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩ 令1,x =则1, 1.y z == 于是(1,1,1)=m ． 又因为322(,,0)22EF =-， 设直线EF 与平面11A ACC 所成角为θ，则30sin |cos |15EF ,EF EFθ⋅=〈〉==m m m ． 所以直线EF 与平面1A AC 所成角的正弦值为3015. ............................10分 （Ⅲ）直线EF 与平面1A CD 没有公共点，即EF ∥平面1A CD ．设D 点坐标为0(0,,0)y ，D 与O 重合时不合题意，所以00y ≠． 因为10(2,,0)A D y =-，1(2,0,2)AC =-． 设111(,,)x y z =n 为平面1A CD 的法向量，则110,0.A D A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即1011120,220.x y y x z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩ 令11x =，则102y y =，11z =. 于是02(1,,1)y =n .若EF ∥平面1A CD ，0EF ⋅=n . 又322(,,0)22EF =-， 所以3222022y -⨯=，解得023y =． 此时EF ⊄平面1A CD ，所以223AD = ，1423DB =. 所以112AD DB =． ......................14分 3、解：（Ⅰ）因为 平面ABCD ⊥平面11ABB A ，平面ABCD 平面11ABB A AB =，AB BC ⊥，BC ⊂平面ABCD ，所以 BC ⊥平面11ABB A . 因为 1AA ⊂平面11ABB A ， 所以 1BC AA ⊥.（Ⅱ）取11A B 的中点N ，连结BN .平行四边形11ABB A 中1AB AA =，160BAA ∠=︒.易证BN ⊥11A B . 由（Ⅰ）知BC ⊥平面11ABB A . 故以为B 原点，BABN BC ，，所在直线为坐标轴， 建立如图所示空间直角坐标系B xyz -. 依题意，1(2,0,0),(1,3,0),(1,0,1)A A D ， 设平面1DAA 的一个法向量为(,,)x y z =n则1(13,0AA =-，，），(1,0,1)AD =- 则100AA AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ， 即300x y x z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，令=1y ，得=(3,1,3)n ．易知平面11ABB A 的一个法向量为=(0,0,1)m ，设二面角1D AA B --的平面角为α，可知α为锐角，则321cos cos ,7313α⋅=<>===⋅++n m n m n m ， 即二面角1D AA B --的余弦值为217． （Ⅲ）解：设1DM DB λ=，[0,1]λ∈，(,)M x y z ,．因为(1,0,1)D ，1(1,3,0)B -，(0,0,1)C ， 所以1(2,3,1),(1,,1)DB DM x y z =--=-- 所以12,3,1x y z λλλ=-==-.(12,3,1)M λλλ-- (12,3,)CM λλλ=-- 因为CM ∥平面1DAA所以0CM =⋅n即3(12)330λλλ-+-=，所以1=2λ． 所以存在点M ，使得CM ∥平面1DAA ，此时112DM DB =． 4、解：(Ⅰ)方法一：连结1BCNz yxMC DBA1111C D B A因为,D E 分别为11A C ,11B C 中点, 所以11//DE A B 又因为11//AB A B ，所以//DE AB因为,E F 分别为11B C ,1B B 中点，所以1//EF BC 又因为DEEF E =DE ⊂平面DEF ，EF ⊂平面DEF AB ⊂平面1ABC ，1BC ⊂平面1ABC所以平面1ABC 平面DEF又1AC ⊂平面1ABC ，所以1AC 平面DEF方法二：取1AA 中点为G ,连结FG 由11AA BB 且11AA BB =又点F 为1BB 中点，所以11FGA B又因为,D E 分别为11A C ,11B C 中点,所以11DE A B所以DEFG所以,,,D E F G 共面于平面DEF 因为D ,G 分别为111,AC AA 中点, 所以1AC DG1AC ⊄平面DEFDG ⊂平面DEF所以1AC 平面DEF方法三：在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC 又因为AC BC ⊥以C 为原点，分别以1,,CA CB CC 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系C xyz - 由题意得1(2,0,0),(0,0,2),(1,0,2)A C D ,(0,1,2),(0,2,1)E F . 所以(1,1,0)DE =-,(0,1,1)EF =-设平面DEF 的法向量为111(,,)x y z =n ，则0DE EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即111100x y y z -+=⎧⎨-=⎩ 令11x =，得111,1y z ==于是(1,1,1)=n 又因为1(2,0,2)AC =-所以12020AC ⋅=-++=n 又因为1AC ⊄平面DEF ， 所以1AC 平面DEF（Ⅱ）方法一：在直棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC因为AC ⊂ABC ，所以1CC AC ⊥ 又因为AC BC ⊥， 且1CC BC C =所以AC ⊥平面11BB C CEF ⊂平面11BB C C ，所以AC EF ⊥又1BC CC =，四边形11BB C C 为正方形所以11BC B C ⊥ 又1BC EF ，所以1B C EF ⊥又AC EF ⊥， 且1ACB C C =所以EF ⊥平面1ACB 又EF ⊂平面DEF所以平面1ACB ⊥平面DEF方法二：设平面1ACB 的法向量为222(,,)x y z =m ，1(2,0,0),(0,2,2)CA CB ==100CA CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，即22220220x y z =⎧⎨+=⎩ 令21y =，得220,1x z ==-于是(0,1,1)=-m(1,1,1)(0,1,1)0⋅=⋅-=n m即⊥n m ，所以平面1ACB ⊥平面DEF （Ⅲ）设直线DP 与平面1ACB 所成角为θ，则30θ=︒设1(01)AP AA λλ=≤≤，则(0,0,2)AP λ=(1,0,22)DP λ=-所以2221cos sin30221(22)DP DP λθλ-⋅===︒=⋅+-m m解得12λ=或32λ=（舍） 所以点P 存在，即1AA 的中点，1AP =5、证明：以A 为原点，AB ，AC ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则P （0,0,2），C （0,2,0），B （4,0,0），M （2,0,1），N （1,0,0），S （2,1,0）--------------2分（Ⅰ）(2,2,1)=-CM ,(1,1,0)=--SN2(1)(2)(1)100⋅=⨯-+-⨯-+⨯=CM SN ，∴CM ⊥SN ------------------------------------------------5分（Ⅱ）(1,2,0)=-CN设a=（x ，y ，z ）为平面CMN 的一个法向量， 则20220-=⎧⎨-+=⎩x y x y z ，令1=y ，则2=x ，2=-z ，∴a=（2，1，-2）2(1)1(1)02cos ,223⨯-+⨯-+<>==⨯a SN ∴SN 与片面CMN 所成角为45°。
北京市12区2019届高三第一次模拟(3、4月)数学理试题分类汇编：不等式
北京市12区2019届高三第一次模拟（3、4月）数学理试题分类汇编不等式1、（朝阳区2019届高三一模）记不等式组0,3,y y x y kx ≥⎧⎪≤+⎨⎪≤⎩所表示的平面区域为D ．“点(1,1)D -∈”是“1k ≤-”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2、（东城区2019届高三一模）若,x y 满足010,26,x y y y x +⎧⎪+⎨⎪-⎩≥，≤≥则x y -的最大值为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4 3、（海淀区2019届高三一模）已知x y >，则下列各式中一定成立的是(A)11x y < (B) 12x y+> (C) 11()()22x y > (D) 222x y -+>4、（海淀区2019届高三一模）设关于,x y 的不等式组00,1x y y kx ≥⎧⎪≥⎨⎪≥+⎩， 表示的平面区域为Ω．记区域Ω上的点与点(0,1)A -距离的最小值为()d k ，则 (I)当=1k 时，(1)=d ； (Ⅱ)若()2d k ≥，则k 的取值范围是____．5、（怀柔区2019届高三一模）设x ,y 满足约束条件,1,2,y x x y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2z x y =-的最大值为A ．1B ．3C ．5D ．96、（门头沟区2019届高三一模）若x y ，满足条件10100x y x y y +-⎧⎪-+⎨⎪≥⎩≤≥，则2z x y =+的最大值为 ．7、（石景山区2019届高三一模）若1x y a b >>>>，则下列各式中一定正确的是A. x y a b >B. ln ln x y <C. sin sin x y >D.a bx y< 8、（顺义区2019届高三第二次统练（一模））若实数x y ，满足2000x y x y x ⎧-+⎪+⎨⎪⎩，，，≥≥≤则2x y +的最小值是A ．-2B ．-1C ．0D ．49、（延庆区2019届高三一模）已知(0,1)x ∈，令log 3x a =，sin b x =，2x c =，那么,,a b c 之间的大小关系为（A ）a b c << （B ）b a c << （C ）b c a << （D ）c a b <<10、（房山区2019届高三一模）若,x y 满足223,,x y x x y ⎧⎪⎨⎪+⎩，≤≤≥则2x y +的最大值为 .11、（平谷区2019届高三一模）若实数x, y 满足，则z ＝y －x 的最小值为（ ）A. －2B. 2C. －4D. 412、（门头沟区2019届高三一模）已知,R x y +∈，求24(2)()z x y x y=++的最值. 甲、乙两位同学分别给出了两种不同的解法： 甲：2444(2)()2818x y z x y x y y x =++=+++≥ 乙：248(2)()22216z x y xy x y xy=++≥⋅= ①你认为甲、乙两人解法正确的是 .②请你给出一个类似的利用基本不等式求最值的问题，使甲、乙的解法都正确13、（石景山区2019届高三一模）若变量,x y 满足约束条件1,1,1,x y y x x +⎧⎪-⎨⎪⎩≥≤≤则2z x y =-的最小值为_________． 14、（西城区2019届高三一模）团体购买公园门票，票价如下表：购票人数1~50 51~100 100以上门票价格13元/人11元/人9元/人现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园，若按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1290元；若两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为990元，那么这两个部门的人数之差为（A）20（B）30（C）35（D）40参考答案1、C2、D3、D4、2,[1,)-+∞5、C6、27、A8、B9、A10、1011、C12、甲11)()(,)x y x y Rx y+++∈z=（开放性试题13、－114、答案：B解析：设市场部和生产部的员工人数分别为x，y，不妨设y＞x，因为990不能被13整除，所以，两个部门人数之和：x＋y≥51，（1）若51≤x＋y≤100，则11（x＋y）＝990，得：x＋y＝90（1）由分别购票费为1290元可知，1≤x≤50，51≤y≤100，由13x＋11y＝1290 （2）解（1）（2）得：x＝150，y＝－60，不符合题意。
2019北京高三一模数学---极坐标与参数方程分类汇编理科
1 /2 2019北京高三一模数学---极坐标与参数方程分类汇编理科1.2019东城一模理（ 11）若曲线:C cos ,2sin x a y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）关于直线:l 1,22x t y t=+⎧⎨=-+⎩(t 为参数)对称，则a = ；此时原点O 到曲线C 上点的距离的最大值为 .2.2019西城一模理4．下列直线中，与曲线C ：12,()24x t t y t=+⎧⎨=-+⎩为参数没有公共点的是 （A ）20x y +=（B ）240x y +-= （C ）20x y -=（D ）240x y --=3.2019海淀一模理( 12)在极坐标系中，若圆2cos a ρθ=关于直线cos sin 10ρθθ++=对称，则a =4.2019朝阳一模理11．在极坐标系中，直线cos 1ρθ=与圆4cos ρθ=相交于,A B 两点，则AB =___．5.2019丰台一模理 11．直线1y kx =+与圆2cos ,32sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）相交于,M N两点．若||MN =k =____． 6.2019石景山一模理11. 在极坐标系中，直线sin 2ρθ=与圆4sin ρθ=的位置关系为______．（填“相交”、 “相切”或“相离”）7.2019怀柔一模理12．在极坐标系中，曲线ρ=2cos θ上的点到点(1,)π距离的最大值为 __________．8.2019延庆一模理6. 已知曲线2:2x t C y a t =⎧⎨=+⎩，（t 为参数），若曲线C 上存在点P 为曲线:1D ρ=上一点，则实数a 的取值范围为（A）[ （B）[ （C ）[1,1]- （D ）[2,2]- 9.2019平谷一模理5. 在极坐标中，点（2， ）到直线 （cos θ+ sin θ）=6的距离为（ ）A. 1B. 3-C. +3D. 52 / 2。
2019北京市12区高三一模 数学理试题分类汇编圆锥曲线
2019北京市12区高三一模 数学理试题分类汇编圆锥曲线一、选择、填空题1、（朝阳区2019届高三一模）双曲线2214x y -=的右焦点到其一条渐近线的距离是 ．2、（东城区2019届高三一模）已知直线l 过抛物线28y x =的焦点F ，与抛物线交于A ，B 两点，与其准线交于点C .若点F 是AC 的中点，则线段BC 的长为(A)83(B) 3 (C)163(D)6 3、（丰台区2019届高三一模）已知12,F F 为椭圆22212x y M m +=：和双曲线2221x N y n-=：的公共焦点，P 为它们的一个公共点，且112PF F F ⊥，那么椭圆M 和双曲线N 的离心率之积为（A（B ）1 （C）2（D ）124、（海淀区2019届高三一模）椭圆221:14x C y +=与双曲线22222:1x y C a b-=的离心率之积为1，则双曲线2C 的两条渐近线的倾斜角分别为 (A)6π，6π- (B) 3π，3π- (C) 6π，56π (D) 3π，23π5、（怀柔区2019届高三一模）已知抛物线的准线方程为，则__________．6、（门头沟区2019届高三一模）双曲线22:21C x y -=的渐近线方程是 .7、（石景山区2019届高三一模）13. 过双曲线22221x y a b-=的一个焦点F 作其渐近线的平行线l ，直线l 与y 轴交于点P ，若线段OP 的中点为双曲线的虚轴端点（O 为坐标原点），则双曲线的离心率为____．8、（顺义区2019届高三第二次统练（一模））设双曲线C 经过点（4,0），且与双曲线2214x y -=具有相同渐近线，则C 的方程为 ；渐近线方程为 .9、（西城区2019届高三一模）设1F ，2F 为双曲线2222 1(0,0)x y C a b a b-=>>：的两个焦点，若双曲线C 的两个顶点恰好将线段12F F 三等分，则双曲线C 的离心率为____．10、（平谷区2019届高三一模）设双曲线C 经过点（4，3），且与22149x y -=具有相同渐近线，则C 的方程为________；离心率为________.22=y px 1x =-=p数学试题答案1、12、C3、B4、C5、26、y =7、28、141622=-y x ，x y 21±=. 9、310、依题意，设双曲线C 的方程为：2249x y k -=，经过点（4,3）， 所以，16949k -=，解得：k ＝3， 所以，C 的方程为：2211227x y -=，离心率为：c e a ==二、解答题1、（朝阳区2019届高三一模）已知点00(,)M x y 为椭圆22:12x C y +=上任意一点，直线00:22l x x y y +=与圆22(1)6x y -+=交于,A B 两点，点F 为椭圆C 的左焦点．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率及左焦点F 的坐标； （Ⅱ）求证：直线l 与椭圆C 相切；（Ⅲ）判断AFB ∠是否为定值，并说明理由．2、（东城区2019届高三一模）已知椭圆22:1(0)4x y C m m m+=>与x 轴交于两点12,A A ，与y 轴的一个交点为B ，△12BA A 的面积为2.（Ⅰ）求椭圆C 的方程及离心率；（Ⅱ）在y 轴右侧且平行于y 轴的直线l 与椭圆C 交于不同的两点12,P P ，直线11A P 与直线22A P 交于点P .以原点O 为圆心，以1A B 为半径的圆与x 轴交于,M N 两点（点M 在点N 的左侧），求PM PN -的值.3、（丰台区2019届高三一模）已知抛物线2:2C y px =过点(2,2)M ，,A B 是抛物线C 上不同两点，且AB OM ∥（其中O 是坐标原点），直线AO 与BM 交于点P ，线段AB 的中点为Q . （Ⅰ）求抛物线C 的准线方程； （Ⅱ）求证：直线PQ 与x 轴平行.4、（海淀区2019届高三一模）已知抛物线2:2G y px =，其中0p >．点(2,0)M 在G 的焦点F 的右侧，且M 到G 的准线的距离是M 与F 距离的3倍．经过点M 的直线与抛物线G 交于不同的A B ，两点，直线OA 与直线2x =-交于点P ，经过点B 且与直线OA 垂直的直线l 交x 轴于点Q . (I)求抛物线的方程和F 的坐标；(Ⅱ)判断直线PQ 与直线AB 的位置关系，并说明理由．5、（怀柔区2019届高三一模）已知椭圆的右焦点为，点满足.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点作直线交椭圆于两点，若与的面积之比为2，求直线的方程.6、（门头沟区2019届高三一模）如图， 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>,12,F F 分别为其左、右焦点，过1F 的直线与此椭圆相交于,D E 两点，且2F DE △的周长为8,椭圆C的离心率为2. (Ⅰ)求椭圆C 的方程；2222:1(0)x y E a b a b+=>>(1,0)F (0,)B b ||2FB =E F l E M N 、BFM ∆BFN ∆l（Ⅱ）在平面直角坐标系中，已知点(0,1)P 与点(0,2)Q ，过P 的动直线（不与x 轴平行）与椭圆相交于,A B 两点，点1B 是点B 关于y 轴的对称点.求证：（i ）1,,Q A B 三点共线. （ii ）.7、（石景山区2019届高三一模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，右焦点为(,0)F c ，左顶点为A ，右顶点B 在直线l :2x =上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点P 是椭圆C 上异于A ，B 的点，直线AP 交直线l 于点D ，当点P 运动时，判断以BD 为直径的圆与直线的位置关系，并加以证明．8、（顺义区2019届高三第二次统练（一模））已知M N ，为抛物线:C 24y x =上两点， M N ，的纵坐标之和为4，O 为坐标原点. （I ）求直线MN 的斜率；（II ）若点()2,0B -满足OBM OBN ∠=∠，求此时直线MN 的方程.9、（西城区2019届高三一模）已知椭圆W : 2214x y m m+=的长轴长为4，左、右顶点分别为,A B ，经过点(,0)P n 的直线与椭圆W 相交于不同的两点,C D （不与点,A B 重合）.（Ⅰ）当0n =，且直线CD ⊥x 轴时， 求四边形ACBD 的面积；（Ⅱ）设1n =，直线CB 与直线4x =相交于点M ，求证：,,A D M 三点共线.10、（延庆区2019届高三一模）已知椭圆G :22212x y a +=，左、右焦点分别为(,0)c -、(,0)c ，若点(,1)M c 在椭圆上.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；xOy l QA PAQB PB=PF（Ⅱ）若直线:l 20(0)y m m -+=≠与椭圆G 交于两个不同的点A ，B ，直线MA ，MB与x 轴分别交于P ，Q 两点，求证：PM QM =．11、（房山区2019届高三一模）已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为，21左顶点为A ，右焦点为F ，且.3=AF（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ） 过点F 做互相垂直的两条直线1l ，2l 分别交直线:4l x =于,M N 两点，直线,AM AN 分别交椭圆于,P Q 两点，求证：,,P F Q 三点共线.数学试题答案1、解：（Ⅰ）由题意a 1b =，1c =所以离心率c e a ==，左焦点(1,0)F -．………………………………………….4分 （Ⅱ）当00y =时直线l方程为x =或x =l 与椭圆C 相切．当00y ≠时，由22001,222x y x x y y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩得2222000(2)4440y x x x x y +-+-=， 由题知，220012x y +=，即220022x y +=， 所以 22220000(4)4(2)(44)x y x y ∆=-+- 220016[2(1)]x y =-- =22016(22)0x y +-=． 故直线l 与椭圆C 相切．………………………………………………………….8分（Ⅲ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，当00y =时，12x x =，12y y =-，1x =2211(1)FA FB x y ⋅=+-2211(1)6(1)x x =+-+-21240x =-=， 所以FA FB ⊥，即90AFB ∠=．当00y ≠时，由2200(1)6,22x y x x y y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩ 得2222000(1)2(2)2100y x y x x y +-++-=， 则20012202(2)1y x x x y ++=+，21222101y x x y -=+， 2001212122220001()42x x y y x x x x y y y =-++200254422x x y --+=+． 因为1122(1,)(1,)FA FB x y x y ⋅=+⋅+ 1212121x x x x y y =++++2222000000220042084225442222y y x y x x y y -++++--+=+++ 220025(2)10022x y y -++==+． 所以FA FB ⊥，即90AFB ∠=．故AFB ∠为定值90． ………………………………………………………….14分2、解：（Ⅰ）因为0,m >由椭圆方程知：224,,a m b m a b ====1212222BA A S ab m ∆=⨯===，所以 1.m =所以椭圆C 的方程为2214x y +=. 由2,1a b ==，222a b c =+，得c = 所以椭圆C的离心率为2. ............................5分 （Ⅱ）设点(,)P P P x y ,1002000(,),(,)(0),P x y P x y x ->不妨设12(2,0),(2,0),A A - 设()0110:22y P A y x x =++，()0220:22yP A y x x -=--， 由()()00002222y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨-⎪=-⎪-⎩，得0004,2.P Px x y y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即0004,42=.22PPp P P P x x y x x y y y x ⎧=⎪⎪⎪⎨⎪⎪==⎪⎩又220014x y +=，得2224()414P P Px y x +=， 化简得221(0).4P P P x y x -=> 因为1(2,0),(0,1)A B -，所以1A B =(M N所以点P 的轨迹为双曲线2214x y -=的右支，,M N 两点恰为其焦点，12,A A 为双曲线的顶点，且124A A =，所以4PM PN -=. ............................13分3、解：（Ⅰ）由题意得22=4p ，解得1p =．所以抛物线C 的准线方程为122p x =-=- ． （Ⅱ）设221212,,,22y y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由AB OM ∥得1AB OM k k ==，则212221212122y y y y y y -==+-，所以212y y +=． 所以线段AB 中点Q 的为纵坐标1Q y =．直线AO 方程为121122y y x x y y ==┅① 直线BM 方程为()()222222222222y y x x y y --=-=-+-┅② 联立①②解得121y x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ，即点P 的为纵坐标1P y =．如果直线BM 斜率不存在，结论也显然成立． 所以直线PQ 与x 轴平行．4、解：(Ⅰ)抛物线22y px =的准线方程为2p x =-，焦点坐标为(,0)2pF 所以有23(2)22p p+=-，解得1p = 所以抛物线方程为24y x =，焦点坐标为(1,0)F(Ⅱ)直线PQ AB方法一：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，设直线AB 的方程为2x my =+联立方程 22,4,x my y x =+⎧⎨=⎩消元得，2480y my --=所以124y y m +=，128y y =-2212121416x x y y == 显然12120x x y y ≠，直线OA 的方程为11y y x x =令2x =-，则112y y x -=，则112(2,)y P x -- 因为OA BQ ⊥ ，所以11BQ x k y =-直线BQ 的方程为1221()x y y x x y -=--， 令0y =，则12121221114y y y y x x x x x x x +=+==-，则14(,0)Q x - ① 当0m =时，直线AB 的斜率不存在，12x =，可知 ， 直线PQ 的斜率不存在，则PQAB② 当0m ≠时，111111121=422(2)2PQy x y y k x my m x ===--+-+++，1AB k m =， 则PQ AB综上所述，PQ AB方法二： 直线PQAB(1) 若直线AB的斜率不存在，根据对称性，不妨设(2,A -，B直线AO的方程为y =，则(P -直线BQ的方程为2)y x -=-，即y x + 令0y =，则(2,0)Q -，则直线PQ 的斜率不存在，因此PQAB(2) 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，当直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为(2)y k x =-，0k ≠联立方程，24(2)y xy k x ⎧=⎨=-⎩消元得，22224440k x k x k x -+-=，整理得，2222(44)40k x k x k -++=由韦达定理，可得212244k x x k ++=，124x x =2212121664y y x x ==，因为120y y <，可得128y y =-.显然12120x x y y ≠， 直线OA 的方程为11y y x x =令2x =-，则112y y x -=，则112(2,)y P x -- 因为OA BQ ⊥ ，所以11BQ x k y =-直线BQ 的方程为1221()x y y x x y -=--， 令0y =，则12121221114y y y y x x x x x x x +=+==-，则14(,0)Q x - 1111111222(2)=442242PQy x y k x k k x x x -===--+-+，则PQ AB综上所述，PQAB5、解 （Ⅰ） 椭圆的右焦点为，点满足，，解得.由公式，得所以2222:1(0)x y E a b a b+=>>(1,0)F (0,)B b ||2FB =2=0)b b =>222c a b =-2134,2(0)a a a =+==>2,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩所以椭圆的方程为22143+=x y --------------------------------------------------5分 （Ⅱ）直线l 的斜率不存在时，,,不符合题意；设直线l 的方程为y=k(x-1), 由 得，（3+4）设M(①② 由，得， 即. 可得，即 ③由① ③ 得， 代入② 得，，解得， 所以，所求直线的方程为. ------------------------------------13分 6、解：（Ⅰ）由题意知：2222248,,2,1442c x y a e a b a ==⇒===+= （Ⅱ）（i ）当直线的斜率不存在时，满足题意. E FM FM=BFN BFM S S ∆∆={134)1(22=+-=y x x k y 2k 01248222=-+-k x k x (),11N y x ),,22y x 2221438恒成立。
北京怀柔区2019高三年级调研考试-数学(理)
北京怀柔区2019高三年级调研考试-数学（理）数学〔理科〕2018.4【一】选择题：本大题共8个小题，每题5分，共40分、在每题给出的四个选项中， 有且只有一项为哪一项符合题目要求的、1、全集U={一l ，0，1，2}，集合A={一l ，2}，B={0，2}，那么=⋂B A C U)(A 、{0}B 、{2}C 、{0，l ，2}D 、φ 2、i 为虚数单位，2=iz，那么复数=zA 、i -1B 、i +1C 、2iD 、－2i 3、“a=2”是“直线ax 十2y=0与直线x+y=l 平行”的A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件 4、一个四棱锥的三视图如下图，其中主视图是腰长为1的等腰直角三角形，那么 这个几何体的体积是A 、21B 、1C 、23D 、25、函数2(sin cos )1y x x =+-是A 、最小正周期为π2的奇函数B 、最小正周期为π2的偶函数C 、最小正周期为π的奇函数D 、最小正周期为π的偶函数 6、过点π4,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭引圆4sin ρθ=的一条切线，那么切线长为 A 、33B 、36C 、22D 、247、将图中的正方体标上字母,使其成为正方体1111ABCD A B C D -,同的标字母方式共有A 、24种B 、48种C 、72种D 、144种 8、假设函数()()y f x x R =∈满足()()2f x f x +=，且[1x ∈-2x ，函数()()()lg 010x x g x x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩，那么函数()()()h x f x g x =-[]5,5-个数为A 、5B 、7C 、8D 、10【二】填空题：本大题共6小题，每题5分，总分值30分、主视图 俯视图9、二项式521⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中含4x 的项的系数是〔用数字作答〕、10、如图给出的是计算2011151311+⋅⋅⋅+++的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是、11、如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆 的割线，且PB PA 3=那么=BCPB 、12、当(1,2)x ∈时，不等式2(1)log a x x -<13、不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>-≥-≤+122y y x y x 表示的平面区域为,M M 有公共点，那么k 的取值范围是、14、手表的表面在一平面上、整点1，2，…，12这12个数字等间隔地分布在半径为22的圆周上、从整点i 到整点〔i ＋1〕的向量记作1+i i t t ，那么2111243323221t t t t t t t t t t t t ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅＝、【三】解答题：本大题共6小题，总分值80分、解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤、 15、〔本小题总分值13分〕在ABC ∆中，a b c 、、分别为角A B C 、、的对边，且满足222b c a bc +-=、 〔Ⅰ〕求角A 的值；〔Ⅱ〕假设a =B 的大小为x ，ABC ∆的周长为y ，求()y f x =的最大值、 16、〔本小题总分值14分〕如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC 与BD 的交点为O ，E 为侧棱SC 上一点、 〔Ⅰ〕当E 为侧棱SC 的中点时，求证：SA ∥平面BDE ；〔Ⅱ〕求证：平面BDE ⊥平面SAC ； 〔Ⅲ〕当二面角E BD C --的大小为45︒时，试判断点E 在SC 上的位置，并说明理由、17、〔本小题总分值13分〕某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产 品作为样本称出它们的重量〔单位：克〕，重量的分组区间为(]495,490，(]500,495，…，P(]515,510、由此得到样本的频率分布直方图，如下图：〔Ⅰ〕根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量；〔Ⅱ〕在上述抽取的40个产品中任职2件，设ξ为重量超过505克的产品数量，求ξ的分布列；〔Ⅲ〕从流水线上任取5件产品，估计其中恰 有2件产品的重量超过505克的概率、 18、〔本小题总分值13分〕xxx g e x x ax x f ln )(],,0(,ln )(=∈-=，其中e 是自然常数，R a ∈、〔Ⅰ〕讨论1=a 时，()f x 的单调性、极值； 〔Ⅱ〕求证：在〔Ⅰ〕的条件下，1()()2f xg x >+；〔Ⅲ〕是否存在实数a ，使()f x 的最小值是3，假设存在，求出a 的值；假设不存在，说明理由、 19、〔本小题总分值14分〕：椭圆12222=+by ax 〔0>>b a 〕，过点)0,(a A -，),0(b B 的直线倾斜角为6π，原点到该直线的距离为23、〔Ⅰ〕求椭圆的方程；〔Ⅱ〕斜率大于零的直线过)0,1(-D 与椭圆交于E ，F 两点，假设DF ED 2=，求直线EF 的方程；〔Ⅲ〕是否存在实数k ，直线2+=kx y 交椭圆于P ，Q 两点，以PQ 为直径的圆过点)0,1(-D ？假设存在，求出k 的值；假设不存在，请说明理由、 20、〔本小题总分值13分〕定义：对于任意*n ∈N ，满足条件212n n n a aa +++≤且na M ≤〔M 是与n 无关的常数〕的无穷数列{}na 称为T 数列、〔Ⅰ〕假设29n a n n =-+(*n ∈N )，证明：数列{}n a 是T 数列； 〔Ⅱ〕设数列{}nb 的通项为3502nnbn ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且数列{}nb 是T 数列，求常数M 的取值范围；〔Ⅲ〕设数列1n p c n=-(*n ∈N ，1p >)，问数列{}n c 是否是T 数列？请说明理由、 参考答案及评分标准【一】选择题：本大题共8个小题；每题5分，共40分、题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ACCACDBC【二】填空题：本大题共6小题，每题5分，总分值30分、9、1010、2011≤i 11、2112、]2,1(13、)0,31[-14、936- 【三】解答题：本大题共6小题，总分值80分、15、〔本小题总分值13分〕在ABC ∆中，a b c 、、分别为角A B C 、、的对边，且满足222b c a bc +-=、 〔Ⅰ〕求角A 的值；〔Ⅱ〕假设a =B 的大小为x ，ABC ∆的周长为y ，求()y f x =的最大值、 解：〔Ⅰ〕∵222b c a bc +-=，∴2221cos 22b c a A bc+-==又0A π<<， ∴3A π=；-------------------------------------------------------------5分 〔Ⅱ〕∵Aa xb sin sin =，∴xx x a b sin 2sin 233sin 3sin=⋅=⋅=π同理)32sin(sin sin x C A a c -=⋅=π∴3)6sin(323)32sin(2sin 2++=+-+=ππx x x y ∵320,3ππ<<∴=x A ∴)65,6(6πππ∈+x ， ∴62x ππ+=即3x π=时，max y =分 16、〔本小题总分值14分〕如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC 与BD 的交点为O ，E 为侧棱SC 上一点、 〔Ⅰ〕当E 为侧棱SC 的中点时，求证：SA ∥平面BDE ；〔Ⅱ〕求证：平面BDE ⊥平面SAC ； 〔Ⅲ〕当二面角E BD C --的大小为45︒ 时，试判断点E 在SC 上的位置，并说明理由、 〔Ⅰ〕证明：连接OE ，由条件可得SA ∥OE . 因为SA Ë平面BDE ，OE Ì平面BDE ，所以SA ∥平面BDE .-----------------------------------------4分 〔Ⅱ〕证明：由〔Ⅰ〕知SO ABCD ⊥面，AC BD ⊥.建立如下图的空间直角坐标系.设四棱锥S ABCD -的底面边长为2， 那么(0, 0, 0)O，(0, 0,S，)0, 0A，()0, 0B，()0, 0C ，()0, 0D .所以() 0, 0AC =-，()0, 0BD =-.设CE a =〔02a <<〕，由可求得45ECO ∠=︒.所以(, 0, )22E a a，(, )22BE a =.设平面BDE 法向量为(, , )x y z =n ，那么0,0BD BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,()0.22y a x az =⎧⎪⎨+=⎪⎩令1z =，得(, 0, 1)2a a=-n .易知()0, 0BD =-是平面SAC 的法向量.因为(, 0, 1)(0, 0)02aBD a⋅=⋅-=-n ， 所以BD⊥n ，所以平面BDE ⊥平面SA.-------------------------------------9分 〔Ⅲ〕解：设CE a =〔02a <<〕，由〔Ⅱ〕可知，平面BDE 法向量为(, 0, 1)2aa=-n . 因为SO ABCD ⊥底面，所以(0, 0,OS =是平面SAC 的一个法向量.由二面角E BD C --的大小为45︒.所以cos , cos 452OS 〈〉=︒=n ，=，解得1a =.[所以点E是SC的中点.-----------------------------------------------------------------14分 17、〔本小题总分值13分〕某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产 品作为样本称出它们的重量〔单位：克〕，重量的分组区间为(]495,490，(]500,495，…，(]515,510、由此得到样本的频率分布直方图，如下图：〔Ⅰ〕根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量；〔Ⅱ〕在上述抽取的40个产品中任职2件，设ξ为重量超过505克的产品数量，求ξ的分布列；〔Ⅲ〕从流水线上任取5件产品，估计其中恰 有2件产品的重量超过505克的概率、 解：〔Ⅰ〕重量超过505克的产品数量是12)501.0505.0(40=⨯+⨯⨯件------------2分〔Ⅱ〕ξ的所有可能取值为0,1,222824063(0)130C P C ξ===,11122824056(1)130C C P C ξ===,21224011(2)130C P C ξ===,ξ的分布列为-------------------------------------------------------9分〔Ⅲ〕由〔Ⅰ〕的统计数据知，抽取的40件产品中有12件产品的重量超过505克，其频率为3.0，可见从流水线上任取一件产品，其重量超过505克的概率为3.0，令ξ为任取的5件产品中重量超过505克的产品数，那么)3.0,5(~B ξ， 故所求的概率为3087.0)7.0()3.0()2(3225===C p ξ-----------------------13分 18、〔本小题总分值13分〕xx x g e x x ax x f ln )(],,0(,ln )(=∈-=，其中e 是自然常数，R a ∈、〔Ⅰ〕讨论1=a 时,()f x 的单调性、极值；〔Ⅱ〕求证：在〔Ⅰ〕的条件下，1()()2f xg x >+;〔Ⅲ〕是否存在实数a ，使()f x 的最小值是3，假设存在，求出a 的值；假设不存在，说明理由、 解：〔Ⅰ〕 x x x f ln )(-=，xx x x f 111)(-=-='∴当10<<x 时，/()0f x <，此时()f x 单调递减当e x <<1时，/()0f x >，此时()f x 单调递增 ∴()f x 的极小值为1)1(=f -----------------------------------------------------------4分 〔Ⅱ〕 ()f x 的极小值为1，即()f x 在],0(e 上的最小值为1，∴0)(>x f ，min ()1f x =……5分令21ln 21)()(+=+=x x x g x h ，xx x h ln 1)(-='，当e x <<0时，0)(>'x h ，()h x 在],0(e 上单调递增∴minmax|)(|12121211)()(x f e e h x h ==+<+== ∴在〔1〕的条件下，1()()2f xg x >+------------------------------------------------8分〔Ⅲ〕假设存在实数a ，使x ax x f ln )(-=〔],0(e x ∈〕有最小值3，/1()f x a x =-xax 1-=① 当0≤a 时，)(x f 在],0(e 上单调递减，31)()(min=-==ae e f x f ，ea 4=〔舍去〕，所以，此时)(x f 无最小值. ② 当ea<<10时，)(x f 在)1,0(a 上单调递减，在],1(e a 上单调递增3ln 1)1()(min =+==a af x f ，2e a =，满足条件. ③ 当e a ≥1时，)(x f 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e f x f ，e a 4=〔舍去〕，所以，此时)(x f 无最小值.综上，存在实数2e a =，使得当],0(e x ∈时()f x 有最小值3.---------------------13分 19、〔本小题总分值14分〕：椭圆12222=+by ax 〔0>>b a 〕，过点)0,(a A -，),0(b B 的直线倾斜角为6π，原点到该直线的距离为23、〔Ⅰ〕求椭圆的方程；〔Ⅱ〕斜率大于零的直线过)0,1(-D 与椭圆交于E ，F 两点，假设2=，求直线EF 的方程；〔Ⅲ〕是否存在实数k ，直线2+=kx y 交椭圆于P ，Q 两点，以PQ 为直径的圆过点)0,1(-D ？假设存在，求出k 的值；假设不存在，请说明理由、 解：〔Ⅰ〕由33=a b ，22232121b a b a +⋅⋅=⋅，得3=a ，1=b ，所以椭圆方程是：1322=+y x ---------------------------------------------------------4分〔Ⅱ〕设EF ：1-=my x 〔0>m 〕代入1322=+y x ，得022)3(22=--+my y m ，设),(11y x E ，),(22y x F ，由2=，得212y y -=、由322221+=-=+m my y y ，32222221+-=-=m y y y ----------------------------6分得31)32(222+=+-m m m ，1=∴m ，1-=m 〔舍去〕，〔没舍去扣1分〕 直线EF 的方程为：1-=y x 即01=+-y x ----------------------------------------9分〔Ⅲ〕将2+=kx y 代入1322=+y x ，得0912)13(22=+++kx x k 〔*〕记),(11y x P ，),(22y x Q ，PQ 为直径的圆过)0,1(-D ，那么QD PD ⊥，即0)1)(1(),1(),1(21212211=+++=+⋅+y y x x y x y x ，又211+=kx y ，222+=kx y ，得01314125))(12()1(221212=++-=+++++k k x x k x x k 、 解得67=k ，此时〔*〕方程0>∆，∴存在67=k ，满足题设条件、------------------------------------------------------14分 20、〔本小题总分值13分〕定义：对于任意*n ∈N ，满足条件212nn n a a a +++≤且na M ≤〔M 是与n 无关的常数〕的无穷数列{}na 称为T 数列、〔Ⅰ〕假设29n a n n =-+(*n ∈N )，证明：数列{}n a 是T 数列； 〔Ⅱ〕设数列{}nb 的通项为3502nnbn ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且数列{}nb 是T 数列，求常数M 的取值范围；〔Ⅲ〕设数列1n p c n=-(*n ∈N ，1p >)，问数列{}n c 是否是T 数列？请说明理由、 解：〔Ⅰ〕由29n a n n =-+，得2)1(18)1(2)2(9)2(9222212-=+-+++++-+-=-+++n n n n n n a a a n n n所以数列{}n a 满足212n n n a a a +++≤.又298124n a n ⎛⎫=--+⎪⎝⎭，当n =4或5时，na 取得最大值20，即na ≤20.综上，数列{}na 是T 数列.------------------------------------------------------------4分 〔Ⅱ〕因为11331350(1)50502222n n n n n b b n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+--+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以当1350022n⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭即11n ≤时，10n nb b +->，此时数列{}n b 单调递增 当12n ≥时，10n nb b +-<，此时数列{}nb 单调递减；故数列{}nb 的最大项是12b ，所以，M 的取值范围是1236002M ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭----------------------------------------9分〔Ⅲ〕①当12p <≤时，当1n =时1231,1,1,23p p c p c c =-=-=-由13252203p c c c +-=-≤得65p ≤， 即当615p <≤时符合122++≤+n n n c c c 条件. 假设2n ≥，那么1≤n p ,此时1n p c n=-于是2122(1)(1)2(1)021(1)(2)n n n p p p pc c c n n n n n n ++-+-=-+---=<++++ 又对于*n ∈N 有11n pc n=-<，所以当615p <≤时数列{}n c 是T 数列； ②当23p <≤时，取1n =那么：1231,1,1,23p p c p c c =-=-=-由0322231>-=-+p c c c ，所以23p <≤时数列{}n c 不是T 数列 ③当3p >时，取1n =那么1231,1,1,23p pc p c c =-=-=- 由1325206p c c c +-=>，所以3p >时数列{}n c 不是T 数列. 综上：当615p <≤时数列{}n c 是T 数列；当65p >时数列{}n c 不是T 数列-----------------------------------------------------------------------------13分。
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2019北京怀柔高三数学一模理科试卷怀柔区2019学年度第二学期高三期中练习数学（理科）2019.3本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目等涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合}2{>-1Q，则=QP，}0=xx{≤1x<-=xP IA．}11x C．}2<x|{≤-x<x{≤|1{<<x B．}2-x1|D．}1x|x>{-2．若向量a=（1，—1），b=（—1，1），c=（5，1），则c+a+b=A ．aB ． bC ．cD ．a+b3．抛物线24y x =-的准线方程是A ．116x = B ．1x = C ．1y = D ．116y =4．已知1=a ，复数),()2()1(2R b a i a a z ∈-+-=，则“1=a ”是“z 为纯虚数”的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件5．如图，是CCTV 青年歌手大奖赛上某位选手得分的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方 差为A ．647 B ．9 C ．738 D ．780 6．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱AA 1⊥底面A 1B 1C 1，主视图是边长为2的正方形，该三棱柱的左视图面积为A．4B．32C ．22D．37．一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为A．827B．271C．2627D．15278．如图，一个粒子在第一象限运动，在第一秒内，它从原点运动到(0,1)，然后接着按图所示在x轴，y 轴平行方向来回运动（即(0,0)→(0,1)→(1,1)→(1,0) →(2,0) ……），若每秒运动一个单位长度，那么第2010秒时，这个粒子所在的位置为A．（16,44）B．（15,44）．C．（14,44）D．（13,44）y第Ⅱ卷（非选择题共110分）注意事项：用黑色签字笔将答案写在答题卡上规定的区域内．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．9．函数sin cos y x x =的最小正周期为 . 10．经过极点，圆心在极轴上，且半径为1的圆的极坐标方程为 _.11．如图，是计算111124620++++L 的值的一个程序框 图，其中判断框内应填入的条件是 . 12．若函数2)(3++-=cx xx f )(R c ∈，则/3()2f -、/(1)f-、/(0)f的大小关系是_. 13．如图，圆O 和圆O '相交于A ，B 两点，AC 是圆O '的切线，AD 是圆O 的切线，若BC ＝2，AB ＝4，则=BD _. 14．已知函数⎩⎨⎧>-≤++-=0,20,)(2x x c bx x x f ，若1)1(=-f ，2)0(-=f ，则函数x x f x g +=)()(的零点个数为 ____.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共12分）..C O BD A已知函数)2sin()42cos(21)(x x x f --+=ππ．（Ⅰ）求函数)(x f 的定义域；（Ⅱ）求)(x f 在区间[,)42ππ-上的最大值与最小值．16．（本小题满分14分）如图，已知四棱锥S —ABCD 的底面ABCD 是矩形，M 、N 分别是CD 、SC 的中点，SA ⊥底面ABCD ， SA =AD =1，AB =2．（I ）求证：MN ⊥平面ABN ；（II）求二面角A—BN—C的余弦值．17．（本小题满分13分）已知函数()32331f x axx a=-+-(R a ∈,且0)a ≠，求)(x f '及函数)(x f 的极大值与极小值．18．（本小题满分13分）甲、乙两人同时参加奥运志愿者选拔赛的考试，已知在备选的10道题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题才能入选．（I）求甲答对试题数 的分布列及数学期望；（II）求甲、乙两人至少有一人入选的概率．19．（本小题满分14分）已知椭圆C的中心在坐标原点，离心率e ，一2个焦点的坐标为()3,0．（I ）求椭圆C 方程； （II ）设直线1:2l y x m =+与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点T ．当m 变化时，求TAB ∆面积的最大值．20．（本小题满分14分）当np p p ,,,21Λ均为正数时，称np pp n+++Λ21为np p p ,,,21Λ的“均倒数”．已知数列{}na 的各项均为正数，且其前n 项的“均倒数”为121+n ．（Ⅰ）试求数列{}na 的通项公式；（Ⅱ）设12+=n a cn n，试判断并说明()*1n ncc n N +-∈的符号；（Ⅲ）已知(0)n a nb t t =>，记数列{}nb 的前n 项和为nS ，试求1n nS S +的值；（Ⅳ）设函数124)(2+-+-=n a x xx f n，是否存在最大的实数λ，使当λ≤x 时，对于一切正整数n ，都有0)(≤x f 恒成立？怀柔区2019学年度第二学期高三数学期中练习参考答案及评分标准(理科)2010.3 一、选择题：本大题共8 小题，每小题 5 分，共40 分.二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.9. π 10.2cos ρθ=11.20n ≤12. /(0)f ＞/(1)f -＞/3()2f - 13. 814. 3三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.15. （本小题共12分） 解：（Ⅰ）由题意 0)2sin(≠-x π ⇒ Zk k x ∈≠-,2ππ⇒Zk k x ∈+≠,2ππ故所求定义域为{Z k k x x ∈+≠,2|ππ} …………4分 （Ⅱ）x x x x x x f cos 2sin 2cos 1)2sin()42cos(21)(++=--+=ππxxx x cos cos sin 2cos 22+=x x sin 2cos 2+=)4sin(22π+=x …………9分3,04244x x ππππ-≤<∴≤+<Q ，…………10分∴当04x π+=即4x π=-时，min()0f x =；当42x ππ+=即4x π=时，max ()f x = ……12分16．（本小题满分14分）解：（I ）以A 点为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AD为z 轴的空间直角坐标系，如图所示. 则依题意可知相关各点的坐标分别是：A （0，0，0），B （2，0，0），C （2，1，0），D （0，1，0），S （0，0，1）(图略)).21,21,22(),0,1,22(N M ∴ ……………………2分).21,21,22(),0,0,2(),21,21,0(==-=∴…………………………4分.,.0,0⊥⊥∴==⋅==⋅∴ΛΛ ∴MN⊥平面ABN .……………………………………………………………………7分（II ）设平面NBC 的法向量.,),,,(c b a ⊥⊥=则且又易知)1,1,2(),0,1,0(-==⎩⎨⎧==∴⎩⎨⎧=-+=⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅∴.2,0.02,0,0,0a c b c b a b 即令a =1，则).2,0,1(=……………………………………………………11分 显然，)21,21,0(-=就是平面ABN 的法向量..33||||,cos ==⋅>=<∴ΛMN n由图形知，二面角A —BN —C 是钝角二面角…………………………………12分.33---∴的余弦值是二面角C BN A ……………………………………14分17．（本小题满分13分） 解：由题设知)2(363)(,02ax ax x ax x f a -=-='∴≠ (2)分令2()00f x x x a'===得 或 ……………………………4分当0a >时，随x 的变化，()/fx 与()f x 的变化如下：∴()()301f x f a==-极大，()22431f x f a a a ⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭极小……………8分当0a <时，随x 的变化，()'f x 与()f x 的变化如下：∴()()301f x f a==-极大，()22431f x f a a a ⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭极小…………………12分综上，当0a >时，()31f x a=-极大，()2431f x a a=--+极小；当a <时，()31f x a=-极大，()2431f x a a=--+极小.……………13分18．（本小题满分13分）解：（I ）依题意，甲答对试题数ξ的可能取值为0,1,2,3，…………………1分 则,301)0(31034===C C P ξ12643103(1),10C C P C ξ⋅=== ,21)2(3101426=⋅==C C C P ξ.61)3(31036===C C P ξ ………………………………………………… 5分ξ∴的分布列为…………………… 6分甲答对试题数ξ的数学期望为.5961321210313010=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ………………………………7分（II ）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ，则2()(2)(3),3P A P P ξξ==+==.15141205656)(310381228=+=+=C C C C B P (9)分因为事件A 、B 相互独立， ∴ 甲、乙两人考试均不合格的概率为 .451]15141][321[)()()(=--=⋅=⋅B P A P B A P ………………………11分∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为.45444511)(1=-=⋅-=B A P P 答：甲、乙两人于少有一人考试合格的概率为.4544 …………………13分另解：甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为.454415143215143115123)()()(=⨯+⨯+⨯=⋅+⋅+⋅=B A P B A P B A P P答：甲、乙两人于少有一人考试合格的概率为.4544 19．（本小题满分14分）解法一：（I ）依题意，设椭圆C 的方程为22221x y a b +=)0(>>b a2c c e a ===Q,2=∴a …… …………3分,1222=-=c a b ………………4分∴椭圆C的方程是2214x y += ………………5分（II ）221412x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩由2222214()4,222020,840,7x x m x mx m m m ++=++-=∆>-><<L L L L 得即令得分设()()1122,,,A x y B x y ，AB 中点为()0,M x y……()21212012002,22 111,,2221,2x x m x x m AB x x x m y x m m M m m +=-=-====+=-=+=⎛⎫∴- ⎪⎝⎭则(),0,1012,1233,,044MT AB T t mMT AB k k t m t m T m -⊥∴⋅=⋅=-+⎛⎫=-∴- ⎪⎝⎭Q 设解得 (11)分||45)2(521||||21.||4541161||222m m MT AB S m m m MT TAB ⋅-⋅=⋅=∴=+=∴∆.1)1(8522+--=m ………………13分22<<-m Θ， ∴当21m =，即1m =±时，TABS ∆取得最大值为.85 ………………14分 解法二：（I ）同解法一（II ）221412x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩由2222214()4,222020,840,7x x m x mx m m m ++=++-=∆>-><<L L L L 得即令得分设()()1122,,,A x y B x y ，AB 中点为()0,M x y212122,22x x m x x m ∴+=-=-… ……………8分()01200111,,2221,2x x x m y x m m M m m =+=-=+=⎛⎫∴- ⎪⎝⎭………………10分MT AB ⊥MT∴的方程为322y x m =-- 令0y =，得34x m =-，3,04T m ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭………………9分设AB 交x 轴与点R,则()2,0R m -.||45||m TR =∴ ………………11分2122121214)(||41||||41||||21x x x x TR x x TR y y TR S TAB -+⋅=-⋅=-⋅=∴∆)2(8522m m -=,852)2(8522=-+⋅≤m m (13)分∴当21m=，即1m =±时，TABS ∆取得最大值为.85 (14)分20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）121(21)n n a a a a n n -++⋅⋅⋅++=+,121(1)(21)n a a a n n -++⋅⋅⋅+=--，两式相减，得41(2)na n n =-≥ . 又111211a =⨯+，解得 13411a ==⨯- , ∴41()na n n N +=-∈ . ………4分（Ⅱ）∵4132212121nna n c n n n -===-+++, 11322323n n a c n n ++==-++ , ∴1332123n n c c n n +-=-++＞0， 即1n nc+＞c . ………7分（Ⅲ）∵41()na n nb t t t -==＞0,∴374112n nnS b b b t t t -=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+，当1t =时,nS n = ,11n nS n S n++=; ………8分 当t ＞0且1t ≠时,344(1)1n n t t S t -=-，441411n n nn S t S t ++-=-. ………10分综上得，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠>--=+=++1,0,111,14441t t t t t n n S S nn nn………11分（Ⅳ）由（Ⅱ）知数列 {}nc 是单调递增数列,11c =是其的最小项，即11n c c ≥=．假设存在最大实数,使当x λ≤时,对于一切正整数n ,都有2()4021naf x x x n =-+-≤+ 恒成立，则2421nna x x c n -+≤=+ ()n N +∈．只需2141xx c -+≤=，即2410x x -+≥．解之得2x ≥+ 或2x ≤-．于是,可取2λ=-14分。