传热学-第二章(二)
传热学(第二章)
(2-32)
热阻
R=
1 1 1 ( 4πλ r r2 1
(2-33)
由球坐标系一般形式的导热微分方程
1 T 1 T 1 T T (λr2 + 2 2 (λ ) + 2 (λ sin θ ) + Φ = ρcp r2 r r) r sin θ r sin θ θ θ τ
2 1
λ1
第二章
导热基本定律及稳态导热
2-3 通过平壁,圆筒壁,球壳和其他变截面物体的导热 通过平壁,圆筒壁,
1 T 1 T T T (λr + 2 (λ ) + (λ ) + Φ = ρcp τ r r r) r z z d dt 简化变为 dr (r dr ) = 0 (2-25)
⒉ 通过圆筒壁的导热 由导热微分方程式(2—12)
⒉ 通过圆筒壁的导热 根据热阻的定义,通过整个圆筒壁的导热热阻为 (2-29) 29) 与分析多层平壁—样,运用串联热阻叠加的原则,可得通过图2-9所示的多层圆筒壁的 导热热流量 2πl(t1 t4 ) Φ= (2-30) ln( d2 / d1) / λ1 + ln( d3 / d2 ) / λ2 + ln( d4 / d3) / λ3 ⒊ 通过球壳的导热 导热系数为常数,无内热源的空心球壁.内,外半径为r1,r2,其内外表面均匀 恒定温度为t1,t2,球壁内的温度仅沿半径变化,等温面是同心球面. 由傅立叶定律得: dt 各同心球面上的热流率q不相等,而热流量Φ相等. Φ = 4πr2λ dr dr Φ 2 = 4πλdt r
的热传导微分方程:
T(r,τ ) τ ρc 当 λ = const 时, 2T(r,τ ) + Φ = p T(r,τ ) λ λ τ [λT(r,τ )] + g(r,τ ) = ρcp
《传热学》第二章 稳态导热
断面周长： 断面面积：
进行负内热源处理后等截面直肋导热微分方程组如下：
（假定肋端绝热）
定义： 令：
—— 过余温度
使导热微分方程齐次化：
并解出其通解为：
代入边界条件求出c1和c2，并代入通解，得出特解：
等截面直肋的温度分布：
肋端过余温度：
肋片散热量：
当考虑肋端散热时，计算肋片散热量时可采用假想肋高
n层圆筒壁的单位管长热流量：
二、第三类边界条件
常物性时导热微分方程组如下：
根据第一类边界条件时的结果: （此时壁温tw1和tw2为未知） 与以上两个边界条件共三式变形后 相加,可消去tw1和tw2，得：
单层圆筒壁的单位管长热流量：
三、临界热绝缘直径
有绝缘层时的管道总热阻：
当dx增大时： 增 大 减 小
代入肋片效率定义，得到：
肋片效率计算式：
m和l对肋片效率的影响分析：
a. m一定时，l越大，Φ越大，但ηf越低
采用长肋可以提高散热量，但却使肋片散热有效性降低
b. l一定时，m越大，ηf越低
可采用变截面肋片设法降低m
根据肋片效率计算散热量的方法（查线图法）：
矩形及三角形直肋的肋片效率
环肋的肋片效率
h较小时
应用实例：细管，电线 电线的绝缘层外直径小于临界热绝缘直径时， 可起到散热作用
第四节 具有内热源的平壁导热
应用领域：混凝土墙壁凝固
研究对象：厚度为2δ的墙壁，内热源强度为qv， 两边为第三类边界，中间为绝热边界， 取墙壁的一半为研究对象建立导热微分方程 常物性时导热微分方程组如下：
积分两次，得：
《传热学》
第二章 稳态导热
导热微分方程：
稳态时满足：
传热学第二章 第二节 导热微分方程式
∂t ∂z
)
+
qv
第二节 导热微分方程式
若物性参数 λ、c 和 ρ 均为常数：
∂t ∂τ
=
a(
∂2t ∂x2
+ ∂2t ∂y2
+
∂2t ∂z2
)
+
qv ; ρc
or
∂t = a∇2t + qv
∂τ
ρc
a = λ — 热扩散率（导温系数） [m2 s] ρc （Thermal diffusivity）
dxdydz ⋅ dτ
[J]
第二节 导热微分方程式
[导入与导出净热量]:
[1] = [dQ x − dQ x+ dx ] + [dQ y − dQ y + dy ] + [dQ z − dQ z + dz ]
[1] = − ( ∂ q x + ∂ q y + ∂ q z ) d x d y d z d τ
qw
=
−
λ
(
∂t ∂n
)n
−
(
∂t ∂n
)
n
=
qw λ
第二类边界条件相当于已知任何时刻物体边界面 法向的温度梯度值
稳态导热： qw = const (恒热流边界条件）
非稳态导热： q w = f (τ )
第二节 导热微分方程式 特例：绝热边界面： 绝热边界条件
qw
=
−λ
⎛ ⎜⎝
∂t ∂n
⎞ ⎟⎠w
=
对特定的导热过程：需要得到满足该过程的补充 说明条件的唯一解
单值性条件：确定唯一解的附加补充说明条件
完整数学描述：导热微分方程 + 单值性条件 单值性条件包括四项：几何、物理、时间、边界
传热学讲义—第二章
第二章 稳态导热本章重点：具备利用导热微分方程式建立不同边界条件下稳态导热问题的数学模型的能力第一节 通过平壁的导热1-1 第一类边界条件 研究的问题：（1）几何条件：设有一单层平壁，厚度为δ，其宽度、高度远大于其厚度（宽度、高度是厚度的10倍以上）。
这时可认为沿高度与宽度两个方向的温度变化率很小，温度只沿厚度方向发生变化。
（属一维导热问题）（2）物理条件：无内热源，材料的导热系数λ为常数。
（3） 边界条件：假设平壁两侧表面分别保持均匀稳定的温度1w t 和2w t ，21w w t t >。
（为第一类边界条件，同时说明过程是稳态的）求：平壁的温度分布及通过平壁的热流密度值。
方法1 导热微分方程：采用直角坐标系，这是一个常物性、无内热源、一维稳态导热问题（温度只在 x 方向变化）。
导热微分方程式为：022=dxtd （2-1）边界条件为：10w x t t == ， 2w x t t ==δ （2-2）对式（2-1）连续积分两次，得其通解： 21c x c t += （2-3）这里1c 、2c 为常数，由边界条件确定 ，解得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=11221ww w t c t t c δ （2-4）最后得单层平壁内的温度分布为： x t t t t w w w δ211--=（2-5）由于δ 、1w t 、2w t 均为定值。
所以温度分布成线性关系，即温度分布曲线的斜率是常数（温度梯度），const t t dx dt w w =-=δ12 （2-6）热流密度为：)(21w w t t dx dt q -=-=δλλ 2/m W （2-7）若表面积为 A, 在此条件下 , 通过平壁的导热热流量则为 :t A qA ∆==Φδλ W（2-8）考虑导热系数随温度变化的情况：对于导热系数随温度线形变化，即)1(0bt +=λλ，此时导热微分方程为：0=⎪⎭⎫ ⎝⎛dx dt dx d λ 解这个方程，最后得：⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+)(211212121121122w w w w w w t t b x t t bt t bt t δ或 x tt t t b b t b t w w w w w δ12211)(21122-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+说明：壁内温度不再是直线规律，而是按曲线变化。
《传热学》课后习题答案-第二章
t q＝－gradt n x ，其中： gradt 为空间某点的温 答：傅立叶定律的一般形式为： 度梯度； n 是通过该点的等温线上的法向单位矢量，指向温度升高的方向； q 为该处的热流
密度矢量。 2 已知导热物体中某点在 x,y,z 三个方向上的热流密度分别为 热密度矢量？
W /( m 2 .K ) 。同时，有一股辐射能透过薄膜投射到薄膜与基板的结合面上，如附图所示。 t 60 基板的另一面维持在温度 t1 30 ℃。生成工艺要求薄膜与基板结合面的温度 0 ℃，试
确定辐射热流密度 q 应为多大？薄膜的导热系数
f 0.02W /( m.K )
, 基板的导热系数
2-3 有一厚为 20mm 的平板墙，导热系数为 1.3 W /( m.K ) 。为使每平方米墙的热损失不超过 1500W,在外表面上覆盖了一层导热系数为 0.12 W /( m.K ) 的保温材料。已知复合壁两侧的温 度分别为 750℃及 55℃，试确定此时保温层的厚度。 解：依据题意，有
q
1 2 1 2
q1
解：
Q Aq 41.95W q2 5200 44.62 q 116 . 53 1 所以
1 2 3 1 2 3 ＝116.53W/ m 2
t1 t 2
q2
t1 t 2
1 1
5200w / m
2-10 某些寒冷地区采用三层玻璃的窗户，如附图所示。已知玻璃厚δg=3 ㎜，空气夹层宽δ 。玻璃面向室内的表面温度 ti=15℃，面向室外 air=6 ㎜，玻璃的导热系数λg=0.8W/（m·K） 的表面温度 to=-10℃，试计算通过三层玻璃窗导热的热流密度。 解： 2-11 提高燃气进口温度是提高航空发动机效率的有效方法。 为了是发动机的叶片能承受更高 的温度而不至于损坏， 叶片均用耐高温的合金制成， 同时还提出了在叶片与高温燃气接触的 表面上涂以陶瓷材料薄层的方法， 如附图所示， 叶片内部通道则由从压气机来的空气予以冷 却。陶瓷层的导热系数为 1.3W/（m·K） ，耐高温合金能承受的最高温度为 1250K，其导热 系数为 25W/(m·K)。在耐高温合金与陶瓷层之间有一薄层粘结材料，其造成的接触热阻为 10-4 ㎡· K/W。 如果燃气的平均温度为 1700K， 与陶瓷层的表面传热系数为 1000W/(㎡· K)， 冷却空气的平均温度为 400K，与内壁间的表面传热系数为 500W/(㎡·K)，试分析此时耐高 温合金是否可以安全地工作？ 解： 2-12 在某一产品的制造过程中，厚为 1.0mm 的基板上紧贴了一层透明的薄膜，其厚度为 0.2mm。薄膜表面上有一股冷却气流流过，其温度为 20℃，对流换热表面传热系数为 40
高等传热学_第二章_稳态导热
2-1 一维稳态导热
通过长圆筒壁（图2-2）的导热由傅里叶定律直接积分的方法。 若已知圆筒壁的内外壁面温度分别为t1和t2。注意到，圆筒壁的导
热面积在径向上是变化的，但单位长度上的总热流量ql（单位为 W/m）仍应是常量（不随r变化）。由傅里叶定律可得
分离变量并积分
ql
dt 2 r dr
x 0, x ,
并整理得到
t 0 t 0
（2-1-20）
代入以上得到的通解式(2-1-19)，可以确定其中的两个任意常数，
qV t x( x) 2
（2-1-21）
2-1 一维稳态导热
如果给定两个表面的温度分别为t1和t2，即
t t1 x , t t 2 代入以上得到的通解式(2-1-19)，可以确定其中的两个任意常数， 并整理得到
2-1 一维稳态导热
图2-1通过大平壁的导热
2-1 一维稳态导热
2-1-1 无内热源的一维导热 求解导热问题的一般思路是首先从导热微分方程和相应的定解条
件出发，解得温度场。 对于如图2-1所示的大平壁的稳态导热，已知两表面的温度分别为 t1和t2。导热微分方程简化为
其通解为
d 2t 0 2 dx
t
qv 2 r C1 ln r C2 4
（2-1-25）
2-1 一维稳态导热
r＝0处温度应该有界，即 t
r 0
，可以作为一个边界条件，
由此可得C1＝0。如果给定另一个边界条件是第一类边界条件， 即r＝R，t＝t1。代入通解可得
t t1
qv 2 2 (R r ) 4
种换热设备中，常在换热表面上增添一些肋， 以增大换热表面，达到减小换热热阻的目的。
传热学第二章 稳态导热
c t
1 r
r
r
t r
1 r2
t
z
t z
Φ
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25
x r sin cos; y r sin sin; z r cos
c t
1 r2
r 2
c
a c
a 称为热扩散率，又叫导温系数。
(thermal diffusivity)
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21
热扩散率 a 反映了导热过程中材料的导热能
力（ ）与沿途物质储热能力（ c ）之间
的关系.
a值大，即 值大或 c 值小，说明物体的某 一部分一旦获得热量，该热量能在整个物体 中很快扩散
第二章 稳态导热
§2-1 基本概念 §2-2 一维稳态导热
2019/9/11
1
分析传热问题基本上是遵循经典力学的研究 方法，即针对物理现象建立物理模型，而后 从基本定律导出其数学描述(常以微分方程的 形式表达，故称数学模型)，接下来考虑求解 的理论分析方法。
导热问题是传热学中最易于采用此方法处理 的传热方式。
热扩散率表征物体被加热或冷却时，物体内 各部分温度趋于均匀一致的能力，所以a反应 导热过程动态特性，是研究非稳态导热的重 要物理量
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22
在同样加热条件下，物体的热扩散率越大，物 体内部各处的温度差别越小。
a木材 1.5107 m2 s，a铝 9.45105 m2 s
a木材 a铝 1 600
19
微元体内热源的生成热为：
传热学第二章
△n
Δn0 Δn n
温度梯度和热流密度
•温度梯度是向量，垂直于等温面， 正向朝着温度增加的方向；
•温度梯度的方向是温度变化率最大的方向。
t t n m
温度梯度的解析定义：
温度场 t f (x, y, z) 中点(x, y, z) 处的温度梯度：
gradt t i t j t k x y z
温度梯度垂直于等温面吗？
设等温面方程： t f (x, y, z) c 在点 (x, y, z)处,等温面的法线向量n n ( t , t , t ) x y z gradt 平行于 n
梯度方向垂直于等温面。
两个定义一致，解析定义便于计算
（4） 热流密度
热流密度是指单位时间经过单位面积所传递的热量，用 q 表示，单位为 W / m2。
根据上面的条件可得：
x
(
t ) x
y
(
t ) y
z
(
t z
)
qv
(cp t)
d 2t dx2
0
第一类边界条件：
x 0,t t1
x ,t t2
直接积分：
dt dx
c1
带入边界条件：
t c1x c2
c1
t2
t1
c2 t1
t
t2
t1
x
t1
dt t2 t1
dx
带入傅里叶定律得
t y
qz
t z
对于一维导热问题：
q dt
dx
3 导热系数
导热系数的定义式可由傅立叶定律的表达式得出
q t n
n
(1)物理意义：
表示了物质导热能力的大小，是在单位温度梯度作用下 的热流密度。工程计算采用的各种物质的导热系数值都是由 专门实验测定出来的。
《传热学》第2章-稳态导热
控制方程
边界条件
x , t tw 2
t
dt 1 2 0 ( 1 bt ) c1 0 ( t bt ) c1 x c2 tw1 dx 2
代入边界条件，得:
1 1 2 2 ( t bt ) c 0 c , ( t bt 1 2 0 w2 w 2 ) c1 c 2 0 w1 2 w1 2 1 2 c ( t bt 2 0 w1 w1 ) 2 t w1 t w 2 1 c [ 1 b( t w1 t w 2 )] 0 1 2
tw 2 tw3
2
tw3 tw4
3
tw1 tw4 tw1 tw4 3 相加可得： q R ,1 R ,2 R ,3 R ,i
i 1
例2-1：有一锅炉炉墙，三层，内层为230mm的耐火 砖层，中间为50mm厚的保温层，外层为240mm的 红砖层，导热系数分别为1.10 W/(m.K) ，0.072 W/(m.K) ，0.58W/(m.K)，已知炉墙内外表面温度 为500℃与50℃，求炉墙的导热热流密度和红砖墙的 最高温度。
第二章 稳态导热
Steady-State Conduction —— One Dimension
主要内容
掌握稳态导热。
§2-1 §2-2 §2-3 §2-4 §2-5 §2-6
通过平壁的导热 通过复合平壁的导热 通过圆筒壁的导热 具有内热源的平壁导热 通过肋片的导热 通过接触面的导热
对各层直接应用单层大平壁的热量计算式 tw1 tw 2 tw1 tw 2 第一层平壁 : q1 , 变换 : q1 R ,1 t w1 t w 2 1 R ,1
传热学-清华大学 (2)
b2 bq当§2-2 通过复合平壁的导热工程上会遇到这样一类平壁：无论沿宽度还是厚度方向，都是由不同材料组合而成——复合平壁在复合平壁中，由于不同材料的导热系数不同，严格地说复合平壁的温度场是二维或三维的。
如：空斗墙、空斗填充墙、空心板墙、夹心板墙若B、C、D材料的导热系数相差较大时，应按二维或三维温度场计算。
准确的方法是数值求解。
作为近似的简便计算，可按上述第一种方法、根据串、并联热阻方法计算总热阻后，再加以修正自学例题2-3= tc wln( 2t t w =∴h1h2h1h21r1h1h2λλins q l（1）增加温差（（2）减小热阻：在一些换热设备中，在换热面上加装肋片是增大换热量的重要手段如：钢片式暖气片；汽车水箱及家用冰箱、空调的散热片等肋壁：直肋、环肋；等截面、变截面电子器件冷却微细板翅结构1、等截面直肋的稳态导热严格地说，肋片中的温度场是三维l的。
其温度分布取决于内部x、y、z三个方向的导热热阻以及表面与流体之间的对流换热热阻。
求解三维、二维问题较复杂；将问题进行简化：（1）λ大、δ<<H，认为温度沿厚度变化很小；（2）宽度l >>δ，认为肋片温度只沿高度方向变化简化为一维温度场dx dtAΦx λ−=ldt d Φ=hUdx Φcdt稳态条件下肋片表面的散热量(th m A d AΦ⋅=−=θλθλl（2）上述分析近似认为肋片温度场为一维。
当Bi=hδ/λ≤0.05 时，误差小于1%。
对于短而厚的肋片，二维温度场，上述算式不适用；实际上，肋片表面上表面传热系数h 不是均匀一致的—数值计算l（3）敷设肋片不一定就能强化传热，只有满足一定的条件才能增加散热量。
设计肋片时要注意这一点。
（参考《传热学》俞佐平等编）当m数值一定时，随着肋片高度肋片散热量的计算方法：设计肋片：选择形状、计算；考虑质量、制造的难易程度、价格、空间位置的限制等（2）计算出理想情况下的散热量Φ0=hUH (t 0-t ∞)（1）由图线或计算公式得到ηf（3）由式Φ= ηf Φ0计算出实际散热量Φ§2-5 通过接触面的导热实际固体表面不是理想平整的，所以两固体表面直接接触的界面容易出现点接触，或者只是部分的而不是完全的和平整的面接触——给导热带来额外的热阻（Thermal contact resistance）——接触热阻当界面上的空隙中充满导热系数远小于固体的气体时，接触热阻的影响更突出当两固体壁具有温差时，接合处的热传递机理为接触点间的固体导热和间隙中的空气导热，对流和辐射的影响一般不大。
传热学 第2章2
套管导热对热电偶测温精度的影响 热电偶测量的是测温套管端 部的温度tH。 在稳态情况下，套管端部温度 不等于空气的温度，测温误差就是 套管端部的过余温度 。 H t H tf 忽略套管横截面上的温度变化， 并认为端部绝热，则套管导热可以 看成是等截面直肋的一维稳态导热 问题。 t t
肋片的过余温度从肋根开始沿高度方向按双曲余玄函 数的规律变化，
0
cosh m H x cosh mH
cosh mH 1 x / H 0 cosh mH
肋片的过余温 度沿高度方向逐渐 降低，mH较小时， 温度降低缓慢； mH 较 大 时 ， 温 度 降低较快。 2h mH H 一般取0.7< mH <2
Ac m 0 tanh mH h PAc 0 tanh mH
随着mH增大，散热量增加，开始增加迅速，后来越来 6 越缓慢，逐渐趋于一渐近值。（增加肋高的经济性）
x 0
肋片效率定义： 肋片的实际散热量 与假设整个肋 片都具有肋基温度时的理想散热量0之比
2. 肋片效率
2
肋片导热微分方程的两种 导出方法： （1）由肋片微元段的热平 衡导出； （2）将肋片导热看作是具 有负的内热源的一维稳态导热。
数学模型：
d x 0 2 dx
2
x = 0, t = t0 dt x H, 0 dx 内热源强度的确定： 对于图中所示的微元段，
s Pdx h t t Ph t t Ac dx Ac dx Ac
18
A2 ho t 2 tfo
o A1 A2f Ao 称为肋壁总效率。 Ao A1 A2
传热学 第二章 对流换热
δtt
tw
第一节 对流换热分析及牛顿冷却定律 一、边界层概念
在层流边界层中， 在层流边界层中，热量的传递只能依靠流体层与层间的 导热作用，此时对流换热较弱。在紊流边界层中， 导热作用，此时对流换热较弱。在紊流边界层中，层流底 层的热量传递方式仍是导热， 层的热量传递方式仍是导热，但在层流底层以外存在着对 因而对流换热较强。 流，因而对流换热较强。所以对流换热实际上是包括流体 层流的导热和层流以外的对流共同作用的综合传热过程。 层流的导热和层流以外的对流共同作用的综合传热过程。 若同一流体在相同的温度下流过同一壁面时， 若同一流体在相同的温度下流过同一壁面时，则层流底层 越薄，对流换热越强烈。 越薄，对流换热越强烈。
第一节 对流换热分析及牛顿冷却定律 一、边界层概念
（一）速度边界层 当粘性流体流过固体壁面时， 当粘性流体流过固体壁面时，若用仪器测出沿壁面法线方 方向不同点的速度u，将得到如图所示的速度分布图。 向Y方向不同点的速度 ，将得到如图所示的速度分布图。 方向不同点的速度 它表明从y=0处u=0开始，速度u随着 方向离壁面的距离 它表明从 处 开始，速度 随着y方向离壁面的距离 开始 随着 的增加而迅速增大，经过厚度为δ的薄层 的薄层， 接近达到主流 的增加而迅速增大，经过厚度为 的薄层，u接近达到主流 速度u ，这个y= 的薄层即为速度边界层 的薄层即为速度边界层， 为边界层厚 速度 ∞，这个 δ的薄层即为速度边界层， δ为边界层厚 度。边界层厚度理论上应等于由壁面到流体达到主流速度 点之间的距离，但这个点的位置难于准确确定， 点之间的距离，但这个点的位置难于准确确定，故通常把 u/ u∞=0.99处离壁面的垂直距离定义为边界层厚度。实验 处离壁面的垂直距离定义为边界层厚度。 处离壁面的垂直距离定义为边界层厚度 表明δ与壁面尺寸 相比是一个极小的量。 与壁面尺寸L相比是一个极小的量 表明 与壁面尺寸 相比是一个极小的量。
传热学-第二章导热基本定律及稳态传热
d 时间X方向流入与流出微元体的热流量
dQx
- dQxdx
- qx x
dxdydz d
( t ) dxdydz d
x x
d 时间Y方向流入与流出微元体的热流量
dQy
- dQydy
- q y y
dy dxdz d
y
( t ) dxdydz d
y
2.4 导热微分方程及定解条件
影响热导率的因素：物质的种类、材料成分、温度、压力及 密度等。
2.3 导热系数
2.3.1 气体导热系数
气体导热——由于分子的无规则热运动以及分子间 的相互碰撞
1 3
vlcv
v 3RT M
V 气体分子运动的均方根 m/s L 气体分子两次碰撞之间的平均自由程 m
Cv气体的定容比热 J/kg·℃
2.3 导热系数
2.4 导热微分方程及定解条件
建立数学模型的目的：
求解温度场 t f x, y, z,
步骤： 1）根据物体的形状选择坐标系, 选取物体中的 微元体作为研究对象； 2）根据能量守恒, 建立微元体的热平衡方程式； 3）根据傅里叶定律及已知条件, 对热平衡方程式 进行归纳、整理，最后得出导热微分方程式。
通过某一微元面积dA的热流：
dA q
d
q dA
t
n
dA
t
dydz
t
dxdz
t
பைடு நூலகம்
dxdy
n
x
y
z
2.2导热的基本定律
例：判断各边界面的热流方向
2.3 导热系数
由傅里叶定律可得，导热系数数学定义的具体形式为：
q t n
传热学-第二章(二)
假设单管长度为l，圆筒壁的外半 径小于长度的1/10。 一维、稳态、无内热源、常物性：
d dt (r ) 0 dr dr
(a)
r r1时 t t w1 第一类边界条件： r r2 时 t t w 2
对上述方程(a)积分两次:
第一次积分
第二次积分 应用边界条件
dt r c1 t c1 ln r c2 dr
直接积分，得：
t t1
x
dt c1 t c1 x c2 dx
t2 t1 c 带入边界条件： 1 c2 t1
t2 o
t2 t1 t x t1 带入Fourier 定律 dt t2 t1 dx
t w1 c1 ln r1 c2 ; t w 2 c1 ln r2 c2
t w 2 t w1 ; c1 ln(r2 r1 )
获得两个系数
ln r1 c2 t w1 (t w 2 t w1 ) ln(r2 r1 )
将系数带入第二次积分结果
t 2 t1 t t1 ln(r r1 ) ln(r2 r1 )
a 几何条件：单层平板； b 物理条件：、c、 已知；无内热源 c 时间条件： 稳态导热 : t 0 d 边界条件：第一类
o
x
根据上面的条件可得：
t t c ( ) Φ x x
控制 方程
d 2t dx
2
0
边界 条件
x 0, t t w1 第一类边条： x , t t w2
通过球壳的导热自己推导
5 其它变面积或变导热系数问题 求解导热问题的主要途径分两步： (1) 求解导热微分方程，获得温度场； (2) 根据Fourier定律和已获得的温度场计算热流量； 对于稳态、无内热源、第一类边界条件下的一维导热 问题，可以不通过温度场而直接获得热流量。此时， 一维Fourier定律：
传热学第二章
刘彦丰华北电力大学工程应用的两个基本目的：•能准确地预测所研究系统中的温度分布；•能准确地计算所研究问题中传递的热流。
要解决的问题：温度分布如何描述和表示？温度分布和导热的热流存在什么关系？如何得到导热体内部的温度分布？第二章导热基本定律及稳态导热刘彦丰华北电力大学本章内容简介2-1 导热基本定律2-2 导热微分方程式及定解条件2-3 通过平壁、圆筒壁、球壳和其它变截面物体的导热（一维稳态导热）2-4 通过肋片的导热分析2-5 具有内热源的导热及多维导热回答问题1和2回答问题3具体的稳态导热问题刘彦丰传热学Heat Transfer 华北电力大学一、温度分布的描述和表示像重力场、速度场等一样，物体中的温度分布称为温度场。
1、温度分布的文字描述和数学表示，如：在直角坐标系中非稳态温度场),,,(τz y x f t =稳态温度场),,(z y x f t =一维温度场二维温度场三维温度场)(x f t =),(τx f t =),(y x f t =),,(τy x f t =),,(z y x f t =),,,(τz y x f t =2-1 导热基本定律刘彦丰传热学Heat Transfer华北电力大学2、温度分布的图示法传热学Heat Transfer 2、温度分布的图示法等温线传热学Heat Transfer二、导热基本定律(傅立叶定律)1822年，法国数学家傅里叶（Fourier ）在实验研究基础上，发现导热基本规律——傅里叶定律.法国数学家Fourier: 法国拿破仑时代的高级官员。
曾于1798-1801追随拿破仑去埃及。
后期致力于传热理论，1807年提交了234页的论文，但直到1822年才出版。
刘彦丰华北电力大学在导热现象中，单位时间内通过给定截面的热量，正比于垂直于该截面方向上的温度梯度和截面面积，方向与温度梯度相反。
1、导热基本定律的文字表达：nntgradt q ∂∂−=−=λλ2、导热基本定律的数学表达：t+Δt tt-Δt刘彦丰华北电力大学3、意义已知物体内部的温度分布后，则由该定律求得各点的热流密度或热流量。
传热学-第二章
气体分子运动理论：常温常压下气体热导率可表示为： u ：气体分子运动的均方根速度 1 u lcv l ：气体分子在两次碰撞间平均自由行程
3
：气体的密度； cv ：气体的定容比热
气体的压力升高时：气体的密度增大、平均自由行程 减小、而两者的乘积保持不变。 除非压力很低或很高，在2.67*10-3MPa ~ 2.0*103MPa范围内， 气体的热导率基本不随压力变化 气体的温度升高时：气体分子运动速度和定容比热随 T升高 而增大。 气体的热导率随温度升高而增大 混合气体热导率不能用部分求和的方法求；只能靠实验测定
t t t q x ; q y ; q z x y z
注：傅里叶定律只适用于各向同性材料 各向同性材料：热导率在各个方向是相同的
有些天然和人造材料，如：石英、木材、叠层塑料板、叠层 金属板，其导热系数随方向而变化 —— 各向异性材料
各向异性材料中：
t t t qx xx xy xz x y z t t t q y yx yy yz x y z t t t qz zx zy zz x y z
球坐标系 （r, ，）
t r 1 t q r 1 t q r sin qr
x r sin cos ; y sin r sin ; z cos r
t 1 t 1 t q gradt t i j k r r r sin t 1 1 t 1 t 2 t c 2 ( r ) 2 ( sin ) 2 2 ( ) qv r r r r sin r sin
确定热流密度的大小，应知道物体内的温度场: t f ( x, y, z, ) 确定导热体内的温度分布是导热理论的首要任务 一、导热微分方程式 理论基础：傅里叶定律 + 热力学第一定律 化学反应 假设：(1) 所研究的物体是各向同性的连续介质 发射药熔 化过程 (2) 热导率、比热容和密度均为已知 (3) 物体内具有内热源；强度 qv [W/m3]; 内热源均匀分布；qv 表示单位体积的导热 体在单位时间内放出的热量 qV AQ0e E RT
传热学-第二章(二)
方程的通解为：
c1e mx c2 e mx
应用边界条件可得：
e mH c1 0 mH e e mH
e mH c2 0 mH e e mH
最后可得等截面内的温度分布：
e m ( H x ) e m ( H x ) ch[m( H x)] 0 0 mH mH e e ch(mH )
dt Φ A c Fourier 定律： x dx
Φxdx
dΦx d 2t Φx dx Φx Ac dx 2 dx dx
Newton冷却公式： Φd h( Pdx )(t t )
d 2t hP (t t ) 0 2 dx Ac
关于温度的二阶非 齐次常微分方程
2.4.1 通过等截面直肋的导热
假设： (1) 矩形直肋 (2) 肋 根 温 度 为 t0 ， 且 t0 > t (3) 肋片与环境的表 面传热系数为 h. (4) ， h 和 Ac 均保持 不变 求： 温度场 t 和热流量
l
分析：严格地说，肋片中的温度场是三维、稳态、无内热
源、常物性、第三类边界条件的导热问题。但由于 三 维问题比较复杂，故此，在忽略次要因素的基础上， 简化： a 宽度 l >> 和 H 肋片宽度方向温度均匀 将问题简化为一维问题。 l=1
t w1 t w 2 r2 1 ln 2 r1
h1
h2
ql
r2
tf1 tf 2 ql r2 1 1 1 ln h1 2r1 2 r1 h2 2r2 tf1 tf 2 Rl
W
m
通过单位长度圆筒壁传热过程的 热阻 [mK/W]
多层圆筒壁传热
传热学-2 导热基本定律和稳态导热
2-2 导热微分方程和定解条件
2 圆柱坐标系中的导热微分方程：
c t
1 r
(r
r
t ) r
1 r2
(
t ) ( z
t ) & z
3 球坐标系中的导热微分方程：
2-2 导热微分方程和定解条件
1 笛卡尔坐标系中微元平行六面体
热力学第一定律（能量守恒定律）：
W 0
d V U W U z
单位时间内微元体中： [导入+导出净热量] + [内热源发热量] = [热力学能的增加]
y
zdz
x
dz
dx
y
z
ydy xdx
dy x
2-2 导热微分方程和定解条件
tw1
Φ
tw2
R 1 ln d2 2l d1
2-3 一维稳态导热
第一次积分
r
dt dr
c1
t c1㏑r c2
tw1 c1㏑r1 c2;
tw2 c1㏑r2 c2
第二次积分 应用边界条件
c1
tw2 tw1
㏑r2 / r1
;
c2
tw1
tw2
tw1
㏑r1
㏑r2 / r1
获得两 个系数
t
t1
注意：①上式对稳态和非稳n态均使用； ②导热现象依 gradt 的存在而存在， 若 gradt＝0，则 q＝0； ③“－”不能少，“－”表示 q与 gradt 方向相
反， 若无，则违反热二定律。
2-1 导热基本定律和热导率
大学《传热学》试题及答案(二)
大学《传热学》试题及答案第二章热传导一、名词解释1．温度场：某一瞬间物体内各点温度分布的总称。
一般来说，它是空间坐标和时间坐标的函数。
2．等温面(线)：由物体内温度相同的点所连成的面（或线）。
3．温度梯度：在等温面法线方向上最大温度变化率。
4．热导率：物性参数，热流密度矢量与温度降度的比值，数值上等于1 K ／m的温度梯度作用下产生的热流密度。
热导率是材料固有的热物理性质，表示物质导热能力的大小。
5．导温系数：材料传播温度变化能力大小的指标。
6．稳态导热：物体中各点温度不随时间而改变的导热过程。
7．非稳态导热：物体中各点温度随时间而改变的导热过程。
8．傅里叶定律：在各向同性均质的导热物体中，通过某导热面积的热流密度正比于该导热面法向温度变化率。
9．保温(隔热)材料：λ≤0.12 W/(m·K)(平均温度不高于350℃时)的材料。
10．肋效率：肋片实际散热量与肋片最大可能散热量之比。
11．接触热阻：材料表面由于存在一定的粗糙度使相接触的表面之间存在间隙，给导热过程带来额外热阻。
12．定解条件(单值性条件)：使微分方程获得适合某一特定问题解的附加条件，包括初始条件和边界条件。
二、填空题1．导热基本定律是_____定律，可表述为。
（傅立叶，）2．非稳态导热时，物体内的_____场和热流量随_____而变化。
（温度，时间）3．导温系数的表达式为_____，单位是_____，其物理意义为_____。
（a=λ/cρ,m2/s,材料传播温度变化能力的指标）4．肋效率的定义为_______。
（肋片实际散热量与肋片最大可能散热量之比。
）5．按照导热机理，水的气、液、固三种状态中_______态下的导热系数最小。
（气）6．一般，材料的导热系数与_____和_____有关。
（种类，温度）7．保温材料是指_____的材料.（λ≤0.12 W/(m·K)(平均温度不高于350℃时)）8．已知材料的导热系数与温度的关系为λ＝λ0(1+bt)，当材料两侧壁温分别为t1、t2时，其平均导热系数可取下的导热系数。
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l
P 2l
H AL
肋片的纵截面积
1 2
2h 3 2 h 3 mH H 2 H2 H AL
影响肋片效率的因素：肋片材料的热导率 、肋片表面与周围介 质之间的表面传热系数 h、肋片的几何形状和尺寸（P、A、H）
d 2t hP (t t ) 0 导热微分方程： 2 dx Ac
引入过余温度 t t 。令 m 则有：
hP const Ac
关于温度的二阶齐 次常微分方程
d 2 2 m 2 dx
混合边界条件： x 0 时， ＝ 0＝t0 t
d 0 x H 时， dx
i (ti ti 11) ti 1 ti q i i i
多层、第三类边条
tf1
q
tf1 tf 2 1 n i 1 h1 i 1 i h2
h1 t2 t3
h2 tf2
W 单位： 2 m
传热系数？ tf1
？
t1 t2 t3 t2
？
tf2
三层平壁的稳态导热
2.3.2 通过圆筒壁的导热
1 单层圆筒壁
圆柱坐标系：
c
t 1 t 1 t t ( r ) 2 ( ) ( ) Φ r r r r z z
假设单管长度为l，圆筒壁的外半 径小于长度的1/10。 一维、稳态、无内热源、常物性：
a 几何条件：一维大平壁厚度； b 物理条件：、c、 已知；无内热源 c 时间条件： 稳态导热 : t 0 d 边界条件：第一类
o
x
根据上面的条件可得：
t t c ( ) Φ x x
控制 方程
d 2t dx
2
0
边界 条件
第一类边条：
x 0, t t w1 x , t t w2
§2-3 典型一维稳态导热问题的分析解
本节将针对一维、稳态、常物性、无内热源情况，考察平 板和圆柱内的导热。
t t t t 直角坐标系： c ( ) ( ) ( ) Φ x x y y z z
2.3.1 通过平壁的导热
1 单层平壁的导热
方程的通解为：
c1e mx c2 e mx
应用边界条件可得：
e mH c1 2 0 mH e e mH
最后可得等截面内的温度分布：
e m ( H x ) e m ( H x ) ch[m( H x)] 0 0 mH mH e e ch(mH )
t w1 t w 2 r2 1 ln 2 r1
h1
h2
ql
r2
tf1 tf 2 ql r2 1 1 1 ln h1 2r1 2 r1 h2 2r2 tf1 tf 2 Rl
W
m
通过单位长度圆筒壁传热过程的 热阻 [mK/W]
多层圆筒壁传热
tf1 tf 2 ql n d i 1 1 1 1 ln h1d1 i 1 2i di h2d n 1
2.3.3 通过球壳的导热
类似地，可通过球壳的导热推导出2-33，2-34，2-35式
2.3.4 带第二类、第三类边界条件的导热实例 2.3.5 变截面或变导热系数的一维问题
求解导热问题主要有两种途径：
(1) 求解导热微分方程，获得温度场；根据 Fourier定律计 算热流量;
(2) 对于稳态、无内热源、第一类边界条件下的一维导热
n
t1 t n 1
i i 1 i
n
问：现在已经知道了q，如何计算其中第 i 层的右侧壁温？
q 第一层： q 第二层：
1 (t1 t2 ) t2 t1 q 1 1 1
2 (t2 t3 ) t3 t2 q 2 2 2
第i
q 层：
ln( r r1 ) t t w1 (t w1 t w2 ) ln( r2 r1 )
•圆筒壁内温度分布曲线的形状？
dt t w1 t w 2 1 d 2t t w1 t w 2 1 ; 2 dr ln( r2 r1 ) r dr ln( r2 r1 ) r 2
d 2t 若 t w1 t w 2 : 0 2 dr
d dt (r )0 dr dr
(a)
r r1时 t t w1 第一类边界条件： r r2时 t t w2
对上述方程(a)积分两次:
第一次积分
第二次积分
dt r c1 t c1 ln r c2 dr
应用边界条件
t w1 c1 ln r1 c2 ; t w2 c1 ln r2 c2
t w2 t w1 c1 ; ln( r2 r1 )
获得两个系数
ln r1 c2 t w1 (t w2 t w1 ) ln( r2 r1 )
将积分常数带入通解
t w2 t w1 t t w1 ln( r r1 ) ln( r2 r1 )
显然，温度呈对数曲线分布
圆筒壁内温度分布：
• 假设各层之间接触良好，可以近似地认
为接合面上各处的温度相等 边界条件： x 0
t t1
n i
x
i 1
t tn1
t1 t2 t3 t4
热阻：
r1
1 , , rn n 1 n
三层平壁的稳态导热
由热阻分析法：
q
t1 t n 1
ri
i 1
问题，可以不通过温度场而直接应用 Fourier定律获得 热流量。此时， 一维Fourier定律： dt Φ A dx 当＝(t), A=A(x)时，
dt Φ (t ) A( x) dx
分离变量后积分，并注意到热流量Φ与x 无关(稳态)，得
dx x1 A( x)
x2
t2
即x＝H
肋端过余温度：
ch[m( H x)] 1 0 0 ch (mH ) ch (mH )
几点说明：
(1) 上述推导中忽略了肋端的散热（认为肋端绝热）。对 于一般工程计算，尤其高而薄的肋片，足够精确。若必 须考虑肋端散热，取：H’=H + /2 (2)上述分析近似认为肋片温度场为一维。 当Bi=h/ 0.05 时，误差小于1%。对于短而厚的肋片， 二维温度场，上述算式不适用；实际上，肋片表面上表面 传热系数h不是均匀一致的 — 数值计算
t t1
x
直接积分，得：
dt c1 t c1 x c2 dx
t2 t1 c 带入边界条件： 1 c2 t1
t2 o
t2 t1 t x t1 带入Fourier 定律 dt t 2 t1 dx
t w1 t w ( n1) Φ n 1 ri 1 ln ri i 1 2i L t w1 t w ( n1) ql n 1 ri 1 ln ri i 1 2i
W W m
通过单位长度圆筒壁的热流量
单层圆筒壁，第三类边界条件，稳态导热
ql
r1
2r1h1 (t f 1 t w1 ) ql 2r2 h2 (t w 2 t f 2 )
当 随温度呈线性分布时，即 ＝ 0＋at，则
t1 t2 0 a 2 实际上，不论 如何变化，只要能计算出平均导热系 数，就可以利用前面讲过的所有定导热系数公式，只 是需要将换成平均导热系数。
§2-4 通过肋片的导热
第三类边界条件下通过平壁的一维稳态导热：
Φ
1 1 h1 A A h2 A
d) t ( t t tΦ ( t ) A ( x ) 1 t12 (t )dt 2 d x
t2 t1
t (t )
t2
1
t2 t1
x2
(t2 t1 )
t1 (t )dt
t 2 t1
(t1 t2 )
x1
dx A( x)
线性分布
t 2 t1 t q t ( A )
r
R A
热阻分析法适用于一维、稳态、无内热源的情况
2 多层平壁的导热
• 多层平壁：由几层不同材料组成 • 例：房屋的墙壁 — 白灰内层、水泥 沙浆层、红砖（青砖）主体层等组成 t1 t2 t3 t4
dt Φ A c Fourier 定律： x dx
Φxdx
dΦx d 2t Φx dx Φx Ac dx 2 dx dx
Newton冷却公式： Φd h( Pdx )(t t )
d 2t hP (t t ) 0 2 dx Ac
关于温度的二阶非 齐次常微分方程
tf1 tf 2
W
为了增加传热量，可以采取哪些措施?
（1）增加温差（tf1 - tf2），但受工艺条件限制 （2）减小热阻： a) 金属壁一般很薄( 很小)、热导率很大，故导热热阻一般可忽略 b) 增大h1、h2，但提高h1、h2并非任意的 c) 增大换热面积 A 也能增加传热量
在一些换热设备中，在换热面上加装肋片是增大换热量的重要手段 肋壁：直肋、环肋；等截面、变截面
向上凹
d t 若 t w1 t w 2 : 0 2 dr
2
向上凸
下面来看一下圆筒壁内部的热流密度和热流分布情况
ln( r r1 ) t t w1 (t w1 t w 2 ) ln( r2 r1 )
dt t w1 t w 2 1 dr ln( r2 r1 ) r
虽然是稳态导热，但 热流密度 q 与半径 r 成反比！