传热学-第二章k4
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对于等截面的直肋，方程变为：
H
t∞ t∞
d 2t hP (t t ) 0 2 dx Ac
引入过余温度 =t t
d 2 2 m 0 2 dx
dt x 0, t t0 ; x H , 0 dx
hP m Ac
1 m
m：一为正的常数，其倒数具有 长度量纲，表征肋片导热性能、 换热性能及几何结构之间的相 d x 0, t0 t 0 ; x H , 0 对关系。 dx
x
一维、稳态、物性参数为常数、无内热源的导热问题
1、肋片导热微分方程及其求解
针对该模型，取一微元 体，在稳态下其能量平 衡方程可以表达为：
H
净导入微元体的导热热流量(沿着肋片高度方向)=散 失于环境中的对流换热热流量（从肋片四周表面）
由傅里叶定律，导入微元体的热流量为
dt Qx Ac dx
按照牛顿冷却公式，微元体散失 于环境中的对流换热热流量为 :
Qh h t t Pdx
P为肋片的截面周长
H
一般形式的肋片导热的微分方程式 :
d dt Ac hP(t t ) 0 dx dx
d dt Ac hP(t t ) 0 dx dx
3) 肋片问题为一维的假定
当 Bi h 0.05 时，这种近似分析的误差
不超过1％
肋片温度为二维温度场的模型，采用数值解法求解
例 如图所示长为30cm，直径为12.5mm的铜杆，导热 系数为386W/（m.K）,两端分别连接在温度为2000C的墙 上。温度为380C的空气横向掠过铜杆，表面传热系数为 17W/（m2.K）,求杆散失给空气的热量是多少？
t0=2000C
t0=2000C
h=17W/（m2.K） tf=380C
12.5mm
30cm
解：
th mH hP0 H 1/2 Ac0mth mH hP Ac0 th mH mH
例 蒸汽管道上装有如图所示的测温套管。套管长 l= 6cm，直径为1.5cm，壁厚为2mm，套管的导热 系数为40W/m.K，水银温度计的读数为1800C,管道 壁温t0=1000C,蒸汽与套管壁的表面传热系数为 140W/m2.K,如果仅考虑套管中的导热，则蒸汽真实 的温度是多少？ 管壁 分析：温度计套管可以看成一个等 截面的空心的环肋。 套管的截面积：
x 0
emH e mH emH e mH ch(mH ) ; th(mH ) mH 2 e e mH
几点考虑
1) 肋端散热的考虑 推导中忽略了肋端的散热（认为肋端绝热）。 对于一般工程计算，尤其高而薄的肋片，足够 精确。若必须考虑肋端散热，取：H’=H+ /2
H
2) 换热系数为常数的假定 为了推导和求解的方便，我们将h、均假定为常数。 但实际上换热系数h并不是常数，而是随肋高而变 化的。而在自然对流环境下换热系数还是温度的函 数。因此，我们在肋片散热计算中也应注意由此引 起的误差。
Байду номын сангаас
导出微元体的热流量 :
Qx dx
H
Qx dt d dt Qx dx Ac Ac dx x dx dx dx
净导入微元体的热流量为 :
Q Qx Qx+dx
d dt Ac dx dx dx
1 A d12 d 2 2 4
一、通过等截面直肋的导热
从肋基处开始导热 x
肋片表面和空气间的复合 换热量为 h
t0 t
h
x
H
dx
Ac
t0
x dx
l=1
h t
假定：
1、肋片在垂直于纸面方向很长，不考虑温度 沿该方向上的变化（取单位长度l=1） 2、导热系数和表面传热系数皆为常数 y 3、沿着肋片高度H方向，截面积Ac不变 4、表面换热热阻远大于导热热阻，所以截面 上温度可以认为是均匀的 5、肋片顶端可以看成绝热 6、无内热源
§2-4 通过肋片的导热 肋片的定义：依附于基础表面上的扩展表面，其目的 是扩大散热面积，增强传热
肋片总是安装在传热系数比较弱的一面
液体
气体
气体
液体
工程上常用的肋片
肋片分析的主要任务是确定肋片沿高度方向的温度分布 情况以及肋片的散热量
工程应用背景： （1）换热器翅片 （2）燃气轮机叶片 （3) 室内暖气片 （4) 温度计套管 生物应用背景：
d 2 2 m 0 2 dx
此公式是一个二阶线性齐 次常微分方程，其通解形 式为 :
H
t∞ t∞
c1e c2e
mx
mx
边界条件：肋基温度已知，肋端绝热，即： d x H, 0 x 0, 0； dx x H 带入定解条件，得到肋片的温度分布为：
＝ 0
表面，故肋片总的散热量也可由傅里叶定律得出 ：
d = Ac dx
= 0
d dx
x 0
Ac0mth mH hP Ac0 th mH
hP m Ac
ch m x H ch mH
m0 th mH
科学家有争论说：恐龙是温血的动物， 其身上的肋片加强了过多运动带来的 热量散失。
肋片的伸展方向有对流换热和辐射传热
由于肋片的作用是为了增大传热，故肋片材料的导热性能都比 较好，而环境的换热都比较差，且从节省材料的角度出发，肋 片的厚度通常远小于它的高度。 因而垂直于肋面方向上的导热热阻会远小于它与环境的换热 热阻。于是我们可以把通过肋片的导热问题视为沿肋片方向 上的一维导热问题。
ch m x H ch mH
= 0
ch m x H ch mH
H
等截面直肋片中的温度变化为双 曲线余弦函数关系逐渐下降
肋端（x=H）处的温度
H
ch mH
0
H tH t
0 t0 t
由肋片散入外界的全部热流量都要通过x=0处的肋基
H
t∞ t∞
d 2t hP (t t ) 0 2 dx Ac
引入过余温度 =t t
d 2 2 m 0 2 dx
dt x 0, t t0 ; x H , 0 dx
hP m Ac
1 m
m：一为正的常数，其倒数具有 长度量纲，表征肋片导热性能、 换热性能及几何结构之间的相 d x 0, t0 t 0 ; x H , 0 对关系。 dx
x
一维、稳态、物性参数为常数、无内热源的导热问题
1、肋片导热微分方程及其求解
针对该模型，取一微元 体，在稳态下其能量平 衡方程可以表达为：
H
净导入微元体的导热热流量(沿着肋片高度方向)=散 失于环境中的对流换热热流量（从肋片四周表面）
由傅里叶定律，导入微元体的热流量为
dt Qx Ac dx
按照牛顿冷却公式，微元体散失 于环境中的对流换热热流量为 :
Qh h t t Pdx
P为肋片的截面周长
H
一般形式的肋片导热的微分方程式 :
d dt Ac hP(t t ) 0 dx dx
d dt Ac hP(t t ) 0 dx dx
3) 肋片问题为一维的假定
当 Bi h 0.05 时，这种近似分析的误差
不超过1％
肋片温度为二维温度场的模型，采用数值解法求解
例 如图所示长为30cm，直径为12.5mm的铜杆，导热 系数为386W/（m.K）,两端分别连接在温度为2000C的墙 上。温度为380C的空气横向掠过铜杆，表面传热系数为 17W/（m2.K）,求杆散失给空气的热量是多少？
t0=2000C
t0=2000C
h=17W/（m2.K） tf=380C
12.5mm
30cm
解：
th mH hP0 H 1/2 Ac0mth mH hP Ac0 th mH mH
例 蒸汽管道上装有如图所示的测温套管。套管长 l= 6cm，直径为1.5cm，壁厚为2mm，套管的导热 系数为40W/m.K，水银温度计的读数为1800C,管道 壁温t0=1000C,蒸汽与套管壁的表面传热系数为 140W/m2.K,如果仅考虑套管中的导热，则蒸汽真实 的温度是多少？ 管壁 分析：温度计套管可以看成一个等 截面的空心的环肋。 套管的截面积：
x 0
emH e mH emH e mH ch(mH ) ; th(mH ) mH 2 e e mH
几点考虑
1) 肋端散热的考虑 推导中忽略了肋端的散热（认为肋端绝热）。 对于一般工程计算，尤其高而薄的肋片，足够 精确。若必须考虑肋端散热，取：H’=H+ /2
H
2) 换热系数为常数的假定 为了推导和求解的方便，我们将h、均假定为常数。 但实际上换热系数h并不是常数，而是随肋高而变 化的。而在自然对流环境下换热系数还是温度的函 数。因此，我们在肋片散热计算中也应注意由此引 起的误差。
Байду номын сангаас
导出微元体的热流量 :
Qx dx
H
Qx dt d dt Qx dx Ac Ac dx x dx dx dx
净导入微元体的热流量为 :
Q Qx Qx+dx
d dt Ac dx dx dx
1 A d12 d 2 2 4
一、通过等截面直肋的导热
从肋基处开始导热 x
肋片表面和空气间的复合 换热量为 h
t0 t
h
x
H
dx
Ac
t0
x dx
l=1
h t
假定：
1、肋片在垂直于纸面方向很长，不考虑温度 沿该方向上的变化（取单位长度l=1） 2、导热系数和表面传热系数皆为常数 y 3、沿着肋片高度H方向，截面积Ac不变 4、表面换热热阻远大于导热热阻，所以截面 上温度可以认为是均匀的 5、肋片顶端可以看成绝热 6、无内热源
§2-4 通过肋片的导热 肋片的定义：依附于基础表面上的扩展表面，其目的 是扩大散热面积，增强传热
肋片总是安装在传热系数比较弱的一面
液体
气体
气体
液体
工程上常用的肋片
肋片分析的主要任务是确定肋片沿高度方向的温度分布 情况以及肋片的散热量
工程应用背景： （1）换热器翅片 （2）燃气轮机叶片 （3) 室内暖气片 （4) 温度计套管 生物应用背景：
d 2 2 m 0 2 dx
此公式是一个二阶线性齐 次常微分方程，其通解形 式为 :
H
t∞ t∞
c1e c2e
mx
mx
边界条件：肋基温度已知，肋端绝热，即： d x H, 0 x 0, 0； dx x H 带入定解条件，得到肋片的温度分布为：
＝ 0
表面，故肋片总的散热量也可由傅里叶定律得出 ：
d = Ac dx
= 0
d dx
x 0
Ac0mth mH hP Ac0 th mH
hP m Ac
ch m x H ch mH
m0 th mH
科学家有争论说：恐龙是温血的动物， 其身上的肋片加强了过多运动带来的 热量散失。
肋片的伸展方向有对流换热和辐射传热
由于肋片的作用是为了增大传热，故肋片材料的导热性能都比 较好，而环境的换热都比较差，且从节省材料的角度出发，肋 片的厚度通常远小于它的高度。 因而垂直于肋面方向上的导热热阻会远小于它与环境的换热 热阻。于是我们可以把通过肋片的导热问题视为沿肋片方向 上的一维导热问题。
ch m x H ch mH
= 0
ch m x H ch mH
H
等截面直肋片中的温度变化为双 曲线余弦函数关系逐渐下降
肋端（x=H）处的温度
H
ch mH
0
H tH t
0 t0 t
由肋片散入外界的全部热流量都要通过x=0处的肋基