1978年普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案

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1978年普通高等学校招生全国统一考试数学试题含答案

1978年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科考生五，六两题选做一题六两题选做一题，不要求做第七题）一．（下列各题每题4分，五个题共20分） 1．分解因式：x 2-4xy+4y 2-4z 2.解：原式=（x-2y)2-(2z)2=(x-2y-2z)(x-2y+2z)2.已知正方形的边长为a ，求侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积解：设底面半径为r ，则底面周长2πr=a则.42,2222πππππa a a a r a r =⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅==体积3．求函数)2lg(x y +=的定义域解： ∵lg(2+x)≥0,∴2+x ≥1.故x ≥-1为其定义域4．不查表求cos800cos350+cos100cos550的值解：原式=sin100cos350+cos100sin350=sin(100+350)=sin450=22 5.化简：二 .（本题满分14分）已知方程kx 2+y 2=4，其中k 为实数对于不同范围的k 值，分别指.254:.)()1.0()4(41 21214323121b b a ab =⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛−−−−原式解出方程所代表图形的内形，并画出显示其数量特征的草图解：1）k>0时，方程的图形是椭圆，中心在坐标原点，此时又可分为：①k>1时,长轴在y 轴上，半长轴=2，半短轴=k2;②k=1时,为半径r=2的圆; ③k<1时,长轴在x 轴上，半长轴=k2，半短轴=22)k=0时，方程为y 2=4图形是两条平行于x 轴的直线2±=y如图 3）k<0时，方程为三．（本题满分14分）（如图）AB 是半圆的直径，C 是半圆上一点，直线MN 切半圆于CY Y YXX y=-214422=+−y k x点，AM ⊥MN 于M 点，BN ⊥MN 于N 点，CD ⊥AB 于D 点，求证：1)CD=CM=CN. 2)CD 2=AM ·BN 1)证：连CA ，CB ，则∠ACB=900∠ACM=∠ABC ∠ACD=∠ABC ∴∠ACM=∠ACD ∴△AMC ≌△ADC∴CM=CD 同理CN=CD CD=CM=CN2）∵CD ⊥AB ，∠ACD=900∴ CD 2=AD ·DB 由1）知AM=AD ，BN=BD∴CD 2=AM ·BN四．（本题满分12分）18361818181836181818log 9(2),18 5.log 45.:185,log 5.log 59log 5log 9log 45.log 182log 18log 22b b a a b a ba=≠==∴=⋅++===⋅+−已知求解五．（本题满分20分）已知△ABC 的三内角的大小成等差数列，tgAtgC=32+求角A ，B ，C 的大小又已知顶点C 的对边c 上的高等于a ,b,c的长（提示：必要时可验证324)31(2+=+）M C NA B D212:1802.60,1202tgA tgC (1-tgAtgC)tg(A C)3(1)(2)tgA,tgC x (320.:1,2,1,245,A B C B A C B A C tgAtgC x x x A C tgA tgC A C ++=︒=+∴=︒+=︒=++=+==+−+++===+<==∴=︒解又而由可知是的两根解这方程得设则得12045758;cos 45cos 60 4.c a b c AD DB b a =︒−︒=︒∴=====+=︒+︒=又知上的高等于六．（本题满分20分）22222224223sin 2sin 1,:3sin cos 2.33sin 22sin 20,:sin 2sin 23sin cos ..2sin 2cos 9sin cos 9sin 9sin 1.1sin ()3sin(2)sin cos 2cos sin 2sin (3sin )cos (3sin cos ) αβαβαββαααβαααααααβαβαβααααα+==−===∴+=+∴=∴=+=+=+由得由得为锐角22 3sin (sin cos )3sin 1.2ααααπαβ=+==∴+=七．（本题满分20分，文科考生不要求作此题）已知函数y=x 2+(2m+1)x+m 2-1(m 为实数） 1）m 是什么数值时，y 的极值是0？2）求证：不论m 是什么数值，函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线L 1上画出m=-1、0、1时抛物线的草图，来检验这个结论3）平行于L 1的直线中，哪些与抛物线相交，哪些不相交？求证：任.22:0,2sin2-3sin2 ,1sin 2sin 3,,:22πβαβαβαβα=+==+求证且为锐角已知一条平行于L 1而与抛物线相交的直线，被各抛物线截出的线段都相等解：用配方法得：2214545.24450,450,421452.(,),242m 11455x -,,22443:..4,,,,m m m y x y m m m m m m y m x y m m +++⎛⎫=+−∴− ⎪⎝⎭+==−++−−++==−−=−=−−−=的极小值为所以当极值为时函数图象抛物线的顶点坐标为即二式相减得此即各抛物线顶点坐标所满足的方程它的图象是一条直线方程中不含因此不论是什么值抛物线的顶点都在这条222.1,0,1,,115193(),(),().424242m x y y x y x y x =−+=−+=++=+直线上当时之间函数关系为图略 3.设L ：x-y=a 为任一条平行于L 1的直线与抛物线y=x 2+(2m+1)x+m 2-1方程联立求解，消去y ，得x 2+2mx+m 2-1+a =0∴（x+m)2=1-a因而当1-a ≥0即a ≤1时，直线L 与抛物线相交，而a ＞1时，直线L 与抛物线不相交而这与m 无关因此直线L 被各抛物线截出的线段都相等一九七八年副题)1(222)]1()1[(45,1.1,1.1,1a a m a m L L a m a m L a m x a −=−−−−−+−∴︒−+−−−−−±−=≤于被抛物线截出的线段等直线它的倾斜角为的斜率为因直线为与抛物线两交点横坐标即直线时当1．（1）分解因式：x 2-2xy+y 2+2x-2y-3 解：原式=(x-y-1)(x-y+3)(2)求的值65cos 4030sin 2ππ−+︒−︒ctgtg 解：原式=3/4（4）已知直圆锥体的底面半径等于1cm ，母线的长等于2cm ，求它的体积解：)(3312131322cm V ππ=−⋅⋅= .)35()9125(30)5001()52(10)5( 2121211的值计算+−+−−解：原式=302．已知两数x 1 ,x 2满足下列条件：1）它们的和是等差数列1，3，…的第20项; 2）它们的积是等比数列2，-6，…的前4项和求根为211,1x x 的方程略解：x 1 +x 2=39，x 1x 2=-401/x 1+1/x 2=-39/401/x 1·1/x 2=-1/40所求方程为：40x 2+39x-1=0.3.已知：△ABC 的外接圆的切线AD 交BC 的延长线于D 点，求证：为所求之定义域且且解的定义域求函数12.01,0525:.1)525lg()3( −≠<∴≠+>−+−=x x x x y x xCDBDAC AB ACD ABC ==∆∆22的面积的面积证：因为AD 是△ABC 的外接圆的切线，所以 ∠B=∠1∴△ABD ∽△CAD22AC AB ACD ABC =∆∆∴的面积的面积作AE ⊥BD 于点E ，则.2121CDBDAE CD AEBD ACD ABC =⋅⋅=∆∆的面积的面积4．（如图）CD 是BC 的延长线，AB=BC=CA=CD=a ，DM 与AB ，AC 分别交于M 点和N 点，且∠BDM=α求证：ααααtg atg CN tg atg BM −=+=34,34证：作ME ⊥DC 于E ，由△ABC 是等边三角形，在直角△MBE 中，1,,22,122BE BM ME BM ME tg BM ED a BM α==∴==∴=−类似地，过N 作NF ⊥BC 于F ，在直角△NFC 中，可证：ααtg atg CN −=345．设有f(x)=4x 4-4px 3+4qx 2+2p(m+1)x+(m+1)2.(p ≠0）求证：AB E F D1）如果f(x)的系数满足p 2-4q-4(m+1)=0,那么f(x)恰好是一个二次三项式的平方2）如果f(x)与F(x)=(2x 2+a x+b)2表示同一个多项式，那么 p 2-4q-4(m+1)=0222432222222222222222224:1)1,444()4442()4444 (2x )(4)(2)()4444 (2x )2(2x )()444 (2x ).4()p qm p q p q f x x px qx p x p q p q px p q x px p q p q px px p q px f x −+=−−∴=−++⋅+−−=−−−+⋅+−−=−−−⋅+−=−−∴证等于一个二次三项4322224322222222)4442(1)(1)(2) 44(4)2,44(1)44(2)2(1)2(3)(1)(4)4(1)(2)4,(3x px qx p m m x ax b x ax a b x abx b p a q a b p m abm bq p a p b a b −+++++=++=−++++−=⎧⎪=+⎪∴⎨+=⎪⎪+=⎩−=−=式的平方由可得代入得将的表达式代入2224),2(1)2,4[44(1)]0.0,44(1)0.q p p m p p p q m p p q m −+=−⋅∴−−+=≠∴−−+=得6．已知：a sinx+bcosx =0.………………………………①Asin2x+Bcos2x=C.………………………………②其中a ,b 不同时为0求证：2a bA+(b 2-a 2)B+(a 2+b 2)C=02222cos ,sin :ba a y ba b y +=+−=设证则①可写成cosysinx-sinycosx=0, ∴sin(x-y)=0∴x-y=k π(k 为整数)， ∴x=y+k π又sin2x=sin2(y+k π)=sin2y=2sinycosy= 222b a ab+−cos2x=cos2y=cos 2y-sin 2y=2222ba b a +−代入②，得22222222222(),2()()0.abA a b B C a b a babA b a B a b C −−+=++∴+−++= 7．已知L 为过点P )23,233(−−而倾斜角为300的直线，圆C 为中心在坐标原点而半径等于1的圆，Q 表示顶点在原点而焦点在)0,82(的抛物线设A 为L 和C 在第三象限的交点，B 为C 和Q 在第四象限的交点1）写出直线L 、圆C 和抛物线Q 的方程，并作草图2）写出线段PA 、圆弧AB 和抛物线上OB 一段的函数表达式3）设P ＇、B ＇依次为从P 、B 到x 轴的垂足求由圆弧AB 和直线段BB ＇、B ＇P ＇、P ＇P 、PA 所包含的面积解：1）直线L 、圆C 和抛物线Q的方程为222::1:x 2L y x C x y Q y =+==草图如图Y X2)由2211:(),(y x A x x y PA f x x x ⎧=⎪=⎨⎪+=⎩=≤≤解得点横坐标线段的函数表达式为2222321:():().(03)7.241.471().244y x B x x y AB f x x OB f x x POP OAB BOB ππ⎧=⎪=⎨⎪+=⎩=≤≤=≤≤'∆=='∆==+解得点横坐标圆弧的函数表达式为抛物线上一段的函数表达式为的面积扇形的面积的面积故所求面积图中阴影部分YL P。

1978年普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案

1978年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科考生五，六两题选做一题六两题选做一题，不要求做第七题）一．（下列各题每题4分，五个题共20分） 1．分解因式：x 2-4xy+4y 2-4z 2.解：原式=（x-2y)2-(2z)2=(x-2y-2z)(x-2y+2z)2.已知正方形的边长为a ，求侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积解：设底面半径为r ，则底面周长2πr=a则.42,2222πππππa a a a r a r =⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅==体积3．求函数)2lg(x y +=的定义域解： ∵lg(2+x)≥0,∴2+x ≥1.故x ≥-1为其定义域4．不查表求cos800cos350+cos100cos550的值解：原式=sin100cos350+cos100sin350=sin(100+350)=sin450=22 5.化简：二 .（本题满分14分）已知方程kx 2+y 2=4，其中k 为实数对于不同范围的k 值，分别指出方程所代表图形的内形，并画出显示其数量特征的草图.254:.)()1.0()4(41 21214323121b b a ab =⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛----原式解解：1）k>0时，方程的图形是椭圆，中心在坐标原点，此时又可分为：①k>1时,长轴在y 轴上，半长轴=2，半短轴=k2;②k=1时,为半径r=2的圆; ③k<1时,长轴在x 轴上，半长轴=k2，半短轴=22)k=0时，方程为y 2=4图形是两条平行于x 轴的直线2±=y如图 3）k<0时，方程为三．（本题满分14分）（如图）AB 是半圆的直径，C 是半圆上一点，直线MN 切半圆于C 点，AM ⊥MN 于M 点，BN ⊥MN 于N 点，CD ⊥AB 于D 点，Y Y YXX y=-214422=+-y k x求证：1)CD=CM=CN. 2)CD 2=AM ·BN 1)证：连CA ，CB ，则∠ACB=900∠ACM=∠ABC ∠ACD=∠ABC ∴∠ACM=∠ACD ∴△AMC ≌△ADC∴CM=CD 同理CN=CD CD=CM=CN2）∵CD ⊥AB ，∠ACD=900∴ CD 2=AD ·DB 由1）知AM=AD ，BN=BD∴CD 2=AM ·BN四．（本题满分12分）18361818181836181818log 9(2),18 5.log 45.:185,log 5.log 59log 5log 9log 45.log 182log 18log 22b b a a b a ba=≠==∴=⋅++===⋅+-已知求解五．（本题满分20分）已知△ABC 的三内角的大小成等差数列，tgAtgC=32+求角A ，B ，C 的大小又已知顶点C 的对边c 上的高等于a ,b,c的长（提示：必要时可验证324)31(2+=+）M C NA B D212:1802.60,1202tgA tgC (1-tgAtgC)tg(A C)3(1)(2)tgA,tgC x (320.:1,2,1,245,A B C B A C B A C tgAtgC x x x A C tgA tgC A C ++=︒=+∴=︒+=︒=++=+==-++===<==+∴=︒解又而由可知是的两根解这方程得设则得12045758;sin 60sin 45cos 45cos 60 4.c a b c AD DB b a =︒-︒=︒∴====︒︒=+=︒+︒=又知上的高等于六．（本题满分20分）22222224223sin 2sin 1,:3sin cos 2.33sin 22sin 20,:sin 2sin 23sin cos ..2sin 2cos 9sin cos 9sin 9sin 1.1sin ()3sin(2)sin cos 2cos sin 2sin (3sin )cos (3sin cos ) αβαβαββαααβαααααααβαβαβααααα+==-===∴+=+∴=∴=+=+=+由得由得为锐角22 3sin (sin cos )3sin 1.2ααααπαβ=+==∴+=七．（本题满分20分，文科考生不要求作此题）已知函数y=x 2+(2m+1)x+m 2-1(m 为实数） 1）m 是什么数值时，y 的极值是0？2）求证：不论m 是什么数值，函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线L 1上画出m=-1、0、1时抛物线的草图，来检验这个结论3）平行于L 1的直线中，哪些与抛物线相交，哪些不相交？求证：任.22:0,2sin2-3sin2 ,1sin 2sin 3,,:22πβαβαβαβα=+==+求证且为锐角已知一条平行于L 1而与抛物线相交的直线，被各抛物线截出的线段都相等解：用配方法得：2214545.24450,450,421452.(,),242m 11455x -,,22443:..4,,,,m m m y x y m m m m m m y m x y m m +++⎛⎫=+-∴- ⎪⎝⎭+==-++--++==--=-=---=的极小值为所以当极值为时函数图象抛物线的顶点坐标为即二式相减得此即各抛物线顶点坐标所满足的方程它的图象是一条直线方程中不含因此不论是什么值抛物线的顶点都在这条222.1,0,1,,115193(),(),().424242m x y y x y x y x =-+=-+=++=+直线上当时之间函数关系为图略 3.设L ：x-y=a 为任一条平行于L 1的直线与抛物线y=x 2+(2m+1)x+m 2-1方程联立求解，消去y ，得x 2+2mx+m 2-1+a =0∴（x+m)2=1-因而当1-a ≥0即a ≤1时，直线L 与抛物线相交，而a ＞1时，直线L 与抛物线不相交而这与m 无关因此直线L 被各抛物线截出的线段都相等一九七八年副题)1(222)]1()1[(45,1.1,1.1,1a a m a m L L a m a m L a m x a -=-----+-∴︒-+-----±-=≤于被抛物线截出的线段等直线它的倾斜角为的斜率为因直线为与抛物线两交点横坐标即直线时当1．（1）分解因式：x 2-2xy+y 2+2x-2y-3 解：原式=(x-y-1)(x-y+3)(2)求的值65cos 4030sin 2ππ-+︒-︒ctgtg 解：原式=3/4（4）已知直圆锥体的底面半径等于1cm ，母线的长等于2cm ，求它的体积解：)(3312131322cm V ππ=-⋅⋅= .)35()9125(30)5001()52(10)5( 2121211的值计算+-+--解：原式=302．已知两数x 1 ,x 2满足下列条件：1）它们的和是等差数列1，3，…的第20项; 2）它们的积是等比数列2，-6，…的前4项和求根为211,1x x 的方程略解：x 1 +x 2=39，x 1x 2=-401/x 1+1/x 2=-39/401/x 1·1/x 2=-1/40所求方程为：40x 2+39x-1=0.3.已知：△ABC 的外接圆的切线AD 交BC 的延长线于D 点，求证：为所求之定义域且且解的定义域求函数12.01,0525:.1)525lg()3( -≠<∴≠+>-+-=x x x x y x xCDBDAC AB ACD ABC ==∆∆22的面积的面积证：因为AD 是△ABC 的外接圆的切线，所以 ∠B=∠1∴△ABD ∽△CAD22AC AB ACD ABC =∆∆∴的面积的面积作AE ⊥BD 于点E ，则.2121CDBDAE CD AEBD ACD ABC =⋅⋅=∆∆的面积的面积4．（如图）CD 是BC 的延长线，AB=BC=CA=CD=a ，DM 与AB ，AC 分别交于M 点和N 点，且∠BDM=α求证：ααααtg atg CN tg atg BM -=+=34,34证：作ME ⊥DC 于E ，由△ABC 是等边三角形，在直角△MBE 中，1,,22,122BE BM ME BM ME tg BM ED a BM α==∴==∴=-类似地，过N 作NF ⊥BC 于F ，在直角△NFC 中，可证：ααtg atg CN -=345．设有f(x)=4x 4-4px 3+4qx 2+2p(m+1)x+(m+1)2.(p ≠0）求证：AB E F D1）如果f(x)的系数满足p 2-4q-4(m+1)=0,那么f(x)恰好是一个二次三项式的平方2）如果f(x)与F(x)=(2x 2+a x+b)2表示同一个多项式，那么 p 2-4q-4(m+1)=0222432222222222222222224:1)1,444()4442()4444 (2x )(4)(2)()4444 (2x )2(2x )()444 (2x ).4()p qm p q p q f x x px qx p x p q p q px p q x px p q p q px px p q px f x -+=--∴=-++⋅+--=---+⋅+--=---⋅+-=--∴证等于一个二次三项4322224322222222)4442(1)(1)(2) 44(4)2,44(1)44(2)2(1)2(3)(1)(4)4(1)(2)4,(3x px qx p m m x ax b x ax a b x abx b p a q a b p m abm bq p a p b a b -+++++=++=-++++-=⎧⎪=+⎪∴⎨+=⎪⎪+=⎩-=-=式的平方由可得代入得将的表达式代入2224),2(1)2,4[44(1)]0.0,44(1)0.q p p m p p p q m p p q m -+=-⋅∴--+=≠∴--+=得6．已知：a sinx+bcosx =0.………………………………①Asin2x+Bcos2x=C.………………………………②其中a ,b 不同时为0求证：2a bA+(b 2-a 2)B+(a 2+b 2)C=02222cos ,sin :ba a y ba b y +=+-=设证则①可写成cosysinx-sinycosx=0, ∴sin(x-y)=0∴x-y=k π(k 为整数)， ∴x=y+k π又sin2x=sin2(y+k π)=sin2y=2sinycosy= 222b a ab+-cos2x=cos2y=cos 2y-sin 2y=2222ba b a +-代入②，得22222222222(),2()()0.abA a b B C a b a babA b a B a b C --+=++∴+-++= 7．已知L 为过点P 23,233(--而倾斜角为300的直线，圆C 为中心在坐标原点而半径等于1的圆，Q 表示顶点在原点而焦点在)0,82(的抛物线设A 为L 和C 在第三象限的交点，B 为C 和Q 在第四象限的交点1）写出直线L 、圆C 和抛物线Q 的方程，并作草图2）写出线段PA 、圆弧AB 和抛物线上OB 一段的函数表达式3）设P ＇、B ＇依次为从P 、B 到x 轴的垂足求由圆弧AB 和直线段BB ＇、B ＇P ＇、P ＇P 、PA 所包含的面积解：1）直线L 、圆C 和抛物线Q的方程为222::1:x 2L y x C x y Q y =+==草图如图Y X2)由22121:(),(y A x x y PA f x x x ⎧=⎪=-⎨⎪+=⎩=≤≤解得点横坐标线段的函数表达式为2222321:()2:().(023)7.241.471().244y x B x x y AB f x x OB f x x POP OAB BOB ππ⎧=⎪=⎨⎪+=⎩=≤≤=≤≤'∆=='∆==+解得点横坐标圆弧的函数表达式为抛物线上一段的函数表达式为的面积扇形的面积的面积故所求面积图中阴影部分YL。

1978年高考数学全国卷

1978年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科考生五，六两题选做一题六两题选做一题，不要求做第七题）一．（下列各题每题4分，五个题共20分） 1．分解因式：x 2-4xy+4y 2-4z 2.解：原式=（x-2y)2-(2z)2=(x-2y-2z)(x-2y+2z)2.已知正方形的边长为a ，求侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积解：设底面半径为r ，则底面周长2πr=a则.42,2222πππππa a a a r a r =⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅==体积3．求函数)2lg(x y +=的定义域解： ∵lg(2+x)≥0,∴2+x ≥1.故x ≥-1为其定义域4．不查表求cos800cos350+cos100cos550的值解：原式=sin100cos350+cos100sin350=sin(100+350)=sin450=22 5.化简：二 .（本题满分14分）已知方程kx 2+y 2=4，其中k 为实数对于不同范围的k 值，分别指.254:.)()1.0()4(41 21214323121b b a ab =⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛----原式解出方程所代表图形的内形，并画出显示其数量特征的草图解：1）k>0时，方程的图形是椭圆，中心在坐标原点，此时又可分为：①k>1时,长轴在y 轴上，半长轴=2，半短轴=k2;②k=1时,为半径r=2的圆; ③k<1时,长轴在x 轴上，半长轴=k2，半短轴=22)k=0时，方程为y 2=4图形是两条平行于x 轴的直线2±=y如图 3）k<0时，方程为三．（本题满分14分）（如图）AB 是半圆的直径，C 是半圆上一点，直线MN 切半圆于CY Y YXX y=-214422=+-y k x点，AM ⊥MN 于M 点，BN ⊥MN 于N 点，CD ⊥AB 于D 点，求证：1)CD=CM=CN. 2)CD 2=AM ·BN 1)证：连CA ，CB ，则∠ACB=900∠ACM=∠ABC ∠ACD=∠ABC ∴∠ACM=∠ACD ∴△AMC ≌△ADC∴CM=CD 同理CN=CD CD=CM=CN2）∵CD ⊥AB ，∠ACD=900∴ CD 2=AD ·DB 由1）知AM=AD ，BN=BD∴CD 2=AM ·BN四．（本题满分12分）18361818181836181818log 9(2),18 5.log 45.:185,log 5.log 59log 5log 9log 45.log 182log 18log 22b b a a b a ba=≠==∴=⋅++===⋅+- 已知求解五．（本题满分20分）已知△ABC 的三内角的大小成等差数列，tgAtgC=32+求角A ，B ，C 的大小又已知顶点C 的对边c 上的高等于a ,b,c的长（提示：必要时可验证324)31(2+=+）M C NA B D212:1802.60,1202tgA tgC (1-tgAtgC)tg(A C)3(1)(2)tgA,tgC x (320.:1,2,1,245,A B C B A C B A C tgAtgC x x x A C tgA tgC A C ++=︒=+∴=︒+=︒=++=+==-+++===+<==∴=︒ 解又而由可知是的两根解这方程得设则得12045758;cos 45cos 60 4.c a b c AD DB b a =︒-︒=︒∴=====+=︒+︒=又知上的高等于六．（本题满分20分）22222224223sin 2sin 1,:3sin cos 2.33sin 22sin 20,:sin 2sin 23sin cos ..2sin 2cos 9sin cos 9sin 9sin 1.1sin ()3sin(2)sin cos 2cos sin 2sin (3sin )cos (3sin cos ) αβαβαββαααβαααααααβαβαβααααα+==-===∴+=+∴=∴=+=+=+由得由得为锐角22 3sin (sin cos )3sin 1.2ααααπαβ=+==∴+=七．（本题满分20分，文科考生不要求作此题）已知函数y=x 2+(2m+1)x+m 2-1(m 为实数） 1）m 是什么数值时，y 的极值是0？2）求证：不论m 是什么数值，函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线L 1上画出m=-1、0、1时抛物线的草图，来检验这个结论3）平行于L 1的直线中，哪些与抛物线相交，哪些不相交？求证：任.22:0,2sin2-3sin2 ,1sin 2sin 3,,:22πβαβαβαβα=+==+求证且为锐角已知一条平行于L 1而与抛物线相交的直线，被各抛物线截出的线段都相等解：用配方法得：2214545.24450,450,421452.(,),242m 11455x -,,22443:..4,,,,m m m y x y m m m m m m y m x y m m +++⎛⎫=+-∴- ⎪⎝⎭+==-++--++==--=-=---=的极小值为所以当极值为时函数图象抛物线的顶点坐标为即二式相减得此即各抛物线顶点坐标所满足的方程它的图象是一条直线方程中不含因此不论是什么值抛物线的顶点都在这条222.1,0,1,,115193(),(),().424242m x y y x y x y x =-+=-+=++=+直线上当时之间函数关系为图略 3.设L ：x-y=a 为任一条平行于L 1的直线与抛物线y=x 2+(2m+1)x+m 2-1方程联立求解，消去y ，得x 2+2mx+m 2-1+a =0∴（x+m)2=1-a因而当1-a ≥0即a ≤1时，直线L 与抛物线相交，而a ＞1时，直线L 与抛物线不相交而这与m 无关因此直线L 被各抛物线截出的线段都相等一九七八年副题)1(222)]1()1[(45,1.1,1.1,1a a m a m L L a m a m L a m x a -=-----+-∴︒-+-----±-=≤于被抛物线截出的线段等直线它的倾斜角为的斜率为因直线为与抛物线两交点横坐标即直线时当1．（1）分解因式：x 2-2xy+y 2+2x-2y-3 解：原式=(x-y-1)(x-y+3)(2)求的值65cos 4030sin 2ππ-+︒-︒ctg tg 解：原式=3/4（4）已知直圆锥体的底面半径等于1cm ，母线的长等于2cm ，求它的体积解：)(3312131322cm V ππ=-⋅⋅= .)35()9125(30)5001()52(10)5( 2121211的值计算+-+--解：原式=302．已知两数x 1 ,x 2满足下列条件：1）它们的和是等差数列1，3，…的第20项; 2）它们的积是等比数列2，-6，…的前4项和求根为211,1x x 的方程略解：x 1 +x 2=39，x 1x 2=-401/x 1+1/x 2=-39/401/x 1·1/x 2=-1/40所求方程为：40x 2+39x-1=0.3.已知：△ABC 的外接圆的切线AD 交BC 的延长线于D 点，求证：为所求之定义域且且解的定义域求函数12.01,0525:.1)525lg()3( -≠<∴≠+>-+-=x x x x y x xCDBDAC AB ACD ABC ==∆∆22的面积的面积证：因为AD 是△ABC 的外接圆的切线，所以 ∠B=∠1∴△ABD ∽△CAD22AC AB ACD ABC =∆∆∴的面积的面积作AE ⊥BD 于点E ，则.2121CDBDAE CD AEBD ACD ABC =⋅⋅=∆∆的面积的面积4．（如图）CD 是BC 的延长线，AB=BC=CA=CD=a ，DM 与AB ，AC 分别交于M 点和N 点，且∠BDM=α求证：ααααtg atg CN tg atg BM -=+=34,34证：作ME ⊥DC 于E ，由△ABC 是等边三角形，在直角△MBE 中，1,,222,122BE BM ME BM BMME tg BM ED a BM α==∴==∴=-类似地，过N 作NF ⊥BC 于F ，在直角△NFC 中，可证：ααtg atg CN -=345．设有f(x)=4x 4-4px 3+4qx 2+2p(m+1)x+(m+1)2.(p ≠0）求证：AB E F D1）如果f(x)的系数满足p 2-4q-4(m+1)=0,那么f(x)恰好是一个二次三项式的平方2）如果f(x)与F(x)=(2x 2+a x+b)2表示同一个多项式，那么 p 2-4q-4(m+1)=0222432222222222222222224:1)1,444()4442()4444 (2x )(4)(2)()4444 (2x )2(2x )()444 (2x ).4()p qm p q p q f x x px qx p x p q p q px p q x px p q p q px px p q px f x -+=--∴=-++⋅+--=---+⋅+--=---⋅+-=--∴ 证等于一个二次三项4322224322222222)4442(1)(1)(2) 44(4)2,44(1)44(2)2(1)2(3)(1)(4)4(1)(2)4,(3x px qx p m m x ax b x ax a b x abx b p a q a b p m ab m b q p a p b a b -+++++=++=-++++-=⎧⎪=+⎪∴⎨+=⎪⎪+=⎩-=-=式的平方由可得代入得将的表达式代入2224),2(1)2,4[44(1)]0.0,44(1)0.q p p m p p p q m p p q m -+=-⋅∴--+=≠∴--+= 得6．已知：a sinx+bcosx =0.………………………………①Asin2x+Bcos2x=C.………………………………②其中a ,b 不同时为0求证：2a bA+(b 2-a 2)B+(a 2+b 2)C=02222cos ,sin :ba a y ba b y +=+-=设证则①可写成cosysinx-sinycosx=0, ∴sin(x-y)=0∴x-y=k π(k 为整数)， ∴x=y+k π又sin2x=sin2(y+k π)=sin2y=2sinycosy= 222b a ab+-cos2x=cos2y=cos 2y-sin 2y=2222ba b a +-代入②，得22222222222(),2()()0.abA a b B C a b a babA b a B a b C --+=++∴+-++= 7．已知L 为过点P 23,233(--而倾斜角为300的直线，圆C 为中心在坐标原点而半径等于1的圆，Q 表示顶点在原点而焦点在)0,82(的抛物线设A 为L 和C 在第三象限的交点，B 为C 和Q 在第四象限的交点1）写出直线L 、圆C 和抛物线Q 的方程，并作草图2）写出线段PA 、圆弧AB 和抛物线上OB 一段的函数表达式3）设P ＇、B ＇依次为从P 、B 到x 轴的垂足求由圆弧AB 和直线段BB ＇、B ＇P ＇、P ＇P 、PA 所包含的面积解：1）直线L 、圆C 和抛物线Q的方程为222:3:1:x 2L y x C x y Q y =+==草图如图Y X2)由221321:(),(y x A x x y PA f x x x ⎧=⎪=-⎨⎪+=⎩=≤≤解得点横坐标线段的函数表达式为22223221:()2:().(023)7.241.471().244y x B x x y AB f x x OB f x x POP OAB BOB ππ⎧=⎪=⎨⎪+=⎩=≤≤=≤≤'∆=='∆==+解得点横坐标圆弧的函数表达式为抛物线上一段的函数表达式为的面积扇形的面积的面积故所求面积图中阴影部分YL。

1978年高考数学天下卷

.
奎奎
a
二 .（本题满分 14 分）
已知方程 kx2+y2=4，其中 k 为实数对于不同范围的 k 值，分别奎奎奎奎奎奎奎
2.社会主义本质理论对探索怎样建设3.社19会57主年义2月具，有毛重在要《的关实于践正意确义处。理社人会民主内义2.社部本科会矛质学主盾理的义的论1本本问的.邓质质题提小是的》出平创科讲，提新学话为出，内中我“创涵提们社邓新。出寻始会小的邓（找终主平关小1一代义）坚键平种表的我2持在对能.1中本国把科人社9够国质社5发学才会从4先，会展社年，主更进是主作会，人义深生解义为主毛才本层产放制执义在的质次1力生度政理《成所.认社1的产还兴论论长作.识会发发力刚国和十靠的社主展展，刚的实大教概会义才要发建第践关坚育括主本是求展立一的系2持。，义质硬、，生，要基》以人一，理道发大产还务本重发才方从论理展力力没是成要展资面而把，才促，有由果讲社的源强为我把是进消完中，话会办是调中四们发（硬先灭全国抓中主法第必国、对展2道进剥建共住提三义解一）须的科社生理生削立产“出、经决资采解社学会产，产，党什（代济前源取放会技主力是力消还的么1表基进。从和主术义作）对的除不执是中础科低发义是1的为吧社3发两完政社9国基的学级展.建第发认社二国5会展极全地会先本问技到6生设一展识会、内主，年分巩位主进建题术高产在生才提主发外义是底化固所义生立，实级力改产是高义1展一时中我，的决邓产的是力9，革力硬到建是切间5国最思定怎小力同实和国另3开道了设党积经共对终想年的样平的时行国家一放理一的执极验产农达。1，建一发，改民资方中2，个根政因教党业到（是设月再展我革教本面探是新本兴素训站、共2对社，强要国开育主指索）适的任国都的在手一同执会毛调求的放水义出出第创应科务在的调深时工、富1政主泽，政以平的4了一三造.时学，社第动刻坚代.业发裕规义东中一治来，过2解条节性代水符会一起总持前.和展。律”关社国个领我始度放发、地主平合阶要来结社列资才”认这于会社公域们终形和展社提题。马级务为。会，本是1识个总主会有也党是式发更会9出变社克二关中主保硬的根8路义主制发的衡。展快主了化会思6、系国义持道3深本线基义占生一年量所生、义社.的主社发解用工现理化问的本基主了条，综谓产人的会需义会生决和业金商，题1完制本体重主邓合国力民根主要本基.主变事所平化向业1也，整度制，大要小国家的享本9义。质本义化业有方建的是深5的度一变经平力资手受社任理原6本的服问法设根社对刻表确的个化验年提和本段到会 1务论理第质同务题进与本会一党揭.述立确共，。出社主社和社主基的，二理时的行社体主、实示：，立同确苏“会义会目会3义本提是节论，基关改会现义社现了.从为，富立共社文，社主的主一改矛出巩、的我本键造主和改会其社中当使裕了二会明就会义。义、造盾，固对重国方是。义根造之所会华代占，中十主程是主基建中的和为和第社要针这改本基一承主人中世这国大义度在义本设国基两进发一会意。靠不造要本本担义民国界是共以财的国基制内成特本类一展节主义的（自仅同求完质的本共一人我产后富重家本度涵果色完矛步社、义主2己保时。成理历质和切口们党毛属要直）制的包最伴社成盾推会中本要的证并，论史，国发四必领泽于标接正度确括大随会，的进主国质矛发了举标第的这成展分须导东人志控确的立（，着主是学改义特理盾展2社。志五提需是立进之坚的提民。制处确是1.能社义我说采革制色论也。会实着章）出要对，步一持人出，和理立中够会建国，取开度社的发的践中把。马到奠的民要社支经，国社充经设强积放的会提生稳证国解克社定东民“会配济是历会分济道调极和必主出了定明历放思会了方主以下建4广史主体制路要引社然义变，.史和主主把制大专苏义的设大上义现度初严导会要二建化而党上发义义对度国政为的资和劳最的出和步经格、主求设。且坚长展的改企基进党的鉴致本社动深本对社探济区逐义。确道人极持达生重造业础入在根社”富主会人刻质资会索结分步现立路民大社数产大基的。了过本会，是义发民最和本经的构过代社的对的会千力逐发本改社渡原主探全经展真伟根主济理发正渡化会初于促主年概步展完造会时则义索民济中正大本义结论生确的建新主步经进义的括实，成和主期。基自共的成任优构成了处方设中义探济了改阶为现对，对义总本己同国一为社务越的果根理式提国基索文社造级国于这人制社路政的致家系国会性根本两。供的本化会与剥家建是的度会线治道富资列家变的一本变类中了成制迅主社削的设一改的，第制路。本重的革道、变化不国强立度速义会制社中个造建这三主度。社大主，路社化，同这大，的发事主度的会国过结立是节要。会义关人也，1会社性场的标重展业义的本主特.渡合极世、内人主有系解和是奠主我会质巨思志大的的工结（质义色时起大界社容民义初。决社2定义国主的大想着意需发业束30。工社期来地社（会被民原级了会）世了基社义矛而武我义要展化，（业会。，提会2主概则和3在生把纪理本会经盾深器国同），同实2化主党把高主对义括专，高一产资中）论制的济，刻。新经遵改总时现新是义在对了义手制为政第级个资本国强基度阶成在特的通民济循革之并了民党具这资工运二七度“实一形以料主又调础的级分新别社过主文自4过，举由主在有个本人动、届业在一质是式农的.（义一消，初关已民是它会（没主化愿于和的新主过重过主阶史新社二的中化上发之民主1工次灭开步系占主要是变4收义不互集平方民（）义渡大渡义级上民会中社国三已展）分为人商划剥阔确也绝主正中革官能利中改针主3用社时的时工和又主全会的改成生坚。主）业时削了立发对义确国，僚命满、的造，主和会期理期商广一主义会确”为产持初题正者代，广2生优革处革不资阶足典计解对义平的论.的业大个义改提立。无，积级资的确改的消阔了势命理命仅√本段人型划决于向赎五总和总搞劳历革造出改“产第极形本、分造历除前根，理人的没中而民示体了在社3买种路实路糟动史命的使造一阶二领式主落（.析成史两景本社论民具有国形基需党范制诸深会的经线践线成人性理历中，化级是导的义后1农为巨极。√的会内体对革成本要的和如刻主）方济的意和为民的论史国党”专共、工的村自变分邓中主指部实生命的结建国初实的义积法成主义总自的伟是经“ 和即政同稳家商半的食。化小国义导矛际产在走社束状设家步现社的极改分体。任食积大以验稳政社；致步资业殖阶其们平社革。公下盾出力一农会和况。帮构社会转引造—。务其极胜一毛步府会人富前本的民级力吐对1会命有，。发的个村主社之加助想会变导资—要.，力性利、泽地采主民。进农社地和的出社第必制中（，发以包义会间强的，变革农本社从是的和。适东由取义代”的业会半阶社了会二须已国3不展农围的主党原要革中社民主会根）要社创合为农了工表这方是、主封层会最主节级走成共拘造民城国义矛的则求与保会组义主本从在会造中主业积大段针国手义建状主终义、构农为产泥成为市营改盾建，2中经持主织工义上全一主性国要极化会话，家工改的.况义达本社成村我党武于破主、经造，设以央济社义起商性改体个义。特代转领，制成采对业造东，劳到质会主包国领装已坏体武济阶成，互向发会基来业中质变人相劳点表变导“度为取私的方制动共所主要围社导斗有，的装段为（助地展稳本，。国的中民当动的为，三、社循营社大定者同作义有城会中争的而半夺掌我1合方，定制走共国出长者社中工稳改会序��

1978高考数学真题答案

1978年高考数学试题答案一．（下列各题每题4分，五个题共20分） 1、解：原式=（x-2y)2-(2z)2=(x-2y-2z)(x-2y+2z)2、解：设底面半径为r ，则底面周长2πr=a则.42,2222πππππa a a a ra r =⎪⎭⎫⎝⎛=⋅==体积3、解： ∵lg(2+x)≥0,∴2+x ≥1.故x ≥-1为其定义域。

4、解：原式=sin100cos350+cos100sin350=sin(100+350)=sin450=225.化简：二 .（本题满分14分）解：1）k>0时，方程的图形是椭圆，中心在坐标原点，此时又可分为：①k>1时,长轴在y 轴上，半长轴=2，半短轴=k2;②k=1时,为半径r=2的圆; ③k<1时,长轴在x 轴上，半长轴=k2，半短轴=2。

如图：2)k=0时，方程为y 2=4。

图形是两条平行于x 轴的直线2±=y如图。

3）k<0时，方程为 Y Y YX .254:.21b =原式解14422=+-ykx这时图形是双曲线，中心在坐标原点，实轴在y 轴上。

如图：三．（本题满分14分）1)证：连CA ，CB ，则∠ACB=900。

∠ACM=∠ABC ∠ACD=∠ABC ∴∠ACM=∠ACD 。

∴△AMC ≌△ADC ∴CM=CD 同理CN=CD 。

∴CD=CM=CN 。

2）∵CD ⊥AB ，∠ACD=900。

∴ CD 2=AD ·DB 由1）知AM=AD ，BN=BD 。

∴CD 2=AM ·BN 。

四．（本题满分12分）五．（本题满分20分）XMCBD.22log18log9log 5log 218log95log 45log.5log,518:1818181818183618ab a b b-+=++=⋅⋅==∴= 解.43460cos 45cos ;6445sin 34;860sin 34,347545120,45.32,1,32,1:.032)33(x tgC tgA,(2)(1)(2).33)3)(3-(-1C)A tgAtgC)tg(-(1tgC tgA (1)32120,60.2180:212+=︒+︒=+==︒==︒=∴︒=︒-︒=︒=∴+==<+===+++-+=-=+=++=︒=+︒=∴+=︒=++a b DB AD c b a c C A tgC tgA C A x x x tgAtgCC A B C A B C B A 上的高等于又知则得设解这方程得的两根是可知由而又解六．（本题满分20分）七．（本题满分20分，文科考生不要求作此题）解：用配方法得：3.设L ：x-y=a 为任一条平行于L 1的直线。

1978高考数学真题答案

1978年高考数学试题答案一．（下列各题每题4分，五个题共20分） 1、解：原式=（x-2y)2-(2z)2=(x-2y-2z)(x-2y+2z)2、解：设底面半径为r ，则底面周长2πr=a则.42,2222πππππa a a a r a r =⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅==体积3、解： ∵lg(2+x)≥0,∴2+x ≥1.故x ≥-1为其定义域。

如图：y 2=4x 轴的直线2±=y 如图。

3）k<0时，方程为Y Y YA (0,2)XO O .254:.21b =原式解14422=+-y kx这时图形是双曲线，中心在坐标原点，实轴在y 轴上。

如图：三．（本题满分14分）1)证：连CA ，CB ，则∠ACB=900。

∠ACM=∠ABC ∠ACD=∠ABC ∴∠ACM=∠ACD 。

∴△AMC ≌△ADC ∴CM=CD 同理CN=CD 。

∴CD=CM=CN 。

2）∵CD ⊥AB ，∠ACD=900。

∴ CD 2=AD ·DB 由1）知AM=AD ，BN=BD 。

∴CD 2=AM ·BN 。

四．（本题满分12分）五．（本题满分20分）y=2Xy=-2MCNBD.22log 18log 9log 5log 218log 95log 45log .5log ,518:1818181818183618aba b b -+=++=⋅⋅==∴= 解.43460cos 45cos ;6445sin 34;860sin 34,347545120,45.32,1,32,1:.032)33(x tgC tgA,(2)(1)(2) .33)3)(3-(-1C)A tgAtgC)tg(-(1tgC tgA (1)32120,60.2180:212+=︒+︒=+==︒==︒=∴︒=︒-︒=︒=∴+==<+===+++-+=-=+=++=︒=+︒=∴+=︒=++a b DB AD c b a c C A tgC tgA C A x x x tgAtgC C A B C A B C B A 上的高等于又知则得设解这方程得的两根是可知由而又解六．（本题满分20分）七．（本题满分20分，文科考生不要求作此题）解：用配方法得：3.设L ：x-y=a 为任一条平行于L 1的直线。

1978年全国高考数学试题及答案解析

1978年全国高考数学试题及答案解析
注意事项:
1.理工科考生要求除作（一）棗（四）题和（七）题外,再由（五）、（六）两题中选作一题.文科考生要求作（一）棗（四）题,再由（五）、（六）两题中选作一题;不要求作第（七）题.
2.考生解题作答时,不必抄题.但须准确地写明题号,例如（一）2、（五）等.
（一）1.分解因式:x2-4xy+4y2-4z2.
[Key]
（一）1.解:原式=(x2-4xy+4y2)-4z2
=(x-2y)2-(2z)2
=(x-2y-2z)(x-2y+2z).
2.已知正方形的边长为a.求侧面积等于这个正方形的面积、高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积.
[Key] 2.解:设直圆柱体的底面半径为r.则底面周长2πr=a.
[Key] 3.解:∵lg(2+x)≥0,∴2+x≥1.
x≥-1为所求的定义域.
[Key]
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【高考试题】1978年全国高考数学试题及答案

【高考试题】1978年全国高考数学试题及答案1978年试题注意事项:1.理工科考生要求除作（一）棗（四）题和（七）题外,再由（五）、（六）两题中选作一题.文科考生要求作（一）棗（四）题,再由（五）、（六）两题中选作一题;不要求作第（七）题.2.考生解题作答时,不必抄题.但须准确地写明题号,例如（一）2、（五）等.（一）1.分解因式:x2-4xy+4y2-4z2.[Key]（一）1.解:原式=(x2-4xy+4y2)-4z2=(x-2y)2-(2z)2=(x-2y-2z)(x-2y+2z).2.已知正方形的边长为a.求侧面积等于这个正方形的面积、高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积.[Key] 2.解:设直圆柱体的底面半径为r.则底面周长2πr=a.[Key] 3.解:∵lg(2+x)≥0,∴2+x≥1.x≥-1为所求的定义域.[Key][Key]（二）已知方程kx2+y2=4,其中k为实数.对于不同范围的k值,分别指出方程所代表图形的类型,并画出显示其数量特征的草图.[Key] （二）解:（注意:只要求考生作出全面而正确的分析,不要求写法和本题解完全一致.）（三）（如图）AB是半圆的直径,C是半圆上一点,直线MN切半圆于C点,AM⊥MN于M点,BN⊥MN 于N点,CD⊥AB于D点.求证:1)CD=CM=CN;2)CD2=AM·BN.[Key] （三）证明:1)连CA、CB,则∠ACB=90°.∠ACM=∠ABC（弦切角等于同弧上的圆周角）,∠ACD=∠ABC（同角的余角相等）,∴∠ACM=∠ACD.∴△ACM≌△ADC.∴CM=CD.同理CN=CD.∴CD=CM=CN.2)∵CD⊥AB,∠ACB=90°,∴CD2=AD·DB（比例中项定理）.由1),可知AM=AD,BN=BD,∴CD2=AM·BN.（四）已知log189=a(a≠2),18b=5.求log3645.[Key] （四）解法一:∵log189=a,∴18a=9.又18b=5,∴45=9×5=18a·18b=18a+b,设log3645=x,则36x=45=18a+b,∴log1836x=log1818a+b但36=2×18=4×9,∴log18(2×18)=log18(22×9).即1+log182=2log182+log189=2log182+a.∴log182=1-a.以下解法同解法一.（五）（本题和第（六）题选作一题）已知△ABC的三内角的大小成[Key] （五）解:A+B+C=180°,又2B=A+C.∴3B=180°,B=60°,A+C=120°.。

1978年全国统一高考数学试卷

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——培根1978年全国统一高考数学试卷一、解答题（共11小题，满分120分）1．（4分）将多项式x5y﹣9xy5分别在下列范围内分解因式：（1）有理数范围；（2）实数范围；（3）复数范围．2．（4分）已知正方形的边长为a，求侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积．3．（4分）求函数的定义域．4．（4分）不查表求cos80°cos35°+cos10°cos55°的值．5．（4分）化简：6．（14分）已知方程kx2+y2=4，其中k为实数对于不同范围的k值，分别指出方程所代表图形的内形，并画出显示其数量特征的草图．7．（14分）如图，AB是半圆的直径，C是半圆上一点，直线MN切半圆于C点，AM⊥MN于M点，BN⊥MN于N点，CD⊥AB于D点．求证：（1）CD=CM=CN；（2）CD2=AM•BN．8．（12分）已知：18b=5，log189=a（a≠2）求log3645．9．（20分）已知△ABC的三内角的大小成等差数列，tgAtgC=求角A，B，C的大小，又已知顶点C的对边c上的高等于，求三角形各边a，b，c的长．（提示：必要时可验证）10．（20分）已知：α，β为锐角，且3sin2α+2sin2β=1，3sin2α﹣2sin2β=0．求证：．11．（20分）已知函数y=x2+（2m+1）x+m2﹣1（m为实数）（1）m是什么数值时，y的极值是0？（2）求证：不论m是什么数值，函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线L1上．1978年全国统一高考数学试卷参考答案与试题解析一、解答题（共11小题，满分120分）1．（4分）将多项式x5y﹣9xy5分别在下列范围内分解因式：（1）有理数范围；（2）实数范围；（3）复数范围．考点：虚数单位i及其性质．专题：计算题．分析：直接根据（1）有理数范围；（2）实数范围；（3）复数范围．的要求，分解因式即可．解答：解：（1）x5y﹣9xy5=xy（x2+3y2）（x2﹣3y2）．（2）x5y﹣9xy5=xy（x2+3y2）（x+y）（x﹣y）．（3）x5y﹣9xy5=xy（x+yi）（x﹣yi）（x+y）（x﹣y）．点评：本题考查实数系与数系的扩充，考查学生的基础知识，是基础题．2．（4分）已知正方形的边长为a，求侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；综合法．分析：由题设，设圆柱体的半径为r，由于侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长，即2πr=a，由此方程求得半径，再由直圆柱体的体积公式求体积即可．解答：解：设底面半径为r，直圆柱体的高为h因为侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长所以有底面周长2πr=a，h=a，解得，由公式圆柱体体积V=πr2h=．答：直圆柱体的体积的体积是点评：本题考查正方形的面积公式与圆柱体的侧面积公式以及体积公式，是考查基本公式掌握熟练程度的一道题．3．（4分）求函数的定义域．考点：对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．专题：计算题．分析：使函数的分母不为0，对数的真数大于0，偶次根式被开放数非负．解答：解：由题意知：x﹣1＞0 且2﹣x＞0解得1＜x＜2．故函数定义域为（1，2）．点评：本题求将对数、根式、分式复合在一起的综合型函数的定义域，注意取交集．4．（4分）不查表求cos80°cos35°+cos10°cos55°的值．考点：两角和与差的正弦函数．专题：计算题．分析：先利用诱导公式使原式等于sin10°cos35°+cos10°sin35°，进而利用两角和公式化简整理，最后利用特殊角求得答案．解答：解：原式=sin10°cos35°+cos10°sin35°=sin（10°+35°）=sin45°=点评：本题主要考查了两角和公式，诱导公式的化简求值．属基础题．5．（4分）化简：考点：根式与分数指数幂的互化及其化简运算．分析：根据指数的运算性质逐步进行化简，求值即可得到答案．解答：解：原式==2•=点评：指数式的化简关键是熟练掌握指数的运算性质：①a r•a s=a r+s（a＞0，r，s∈R）．②（a r）s=a r•s（a ＞0，r，s∈Q）．③（a•b）r=a r•b r（a＞0，b＞0，r∈Q）．6．（14分）已知方程kx2+y2=4，其中k为实数对于不同范围的k值，分别指出方程所代表图形的内形，并画出显示其数量特征的草图．考点：圆锥曲线的共同特征．专题：计算题．分析：（1）k=1，方程的图形是圆半径为2，当k＞1且k≠时，方程的图形是椭圆，中心在坐标原点，长轴在y轴上；当1＞k＞0时方程的图形是椭圆，中心在坐标原点，长轴在x轴上（2）k=0时，方程为y2=4，图形是两条平行于x轴的直线y=±2（3））k＜0时，这时图形是双曲线，中心在坐标原点，实轴在y轴上，解答：解：（1）k＞0时，方程的图形是椭圆，中心在坐标原点，此时又可分为：①k＞1时，长轴在y轴上，半长轴=2，半短轴=；②k=1时，为半径r=2的圆；③k＜1时，长轴在x轴上，半长轴=，半短轴=2（2）k=0时，方程为y2=4，图形是两条平行于x轴的直线y=±2如图：（3）k＜0时，方程为，这时图形是双曲线，中心在坐标原点，实轴在y轴上，如图：点评：本题主要考查了圆锥曲线的共同特征．属基础题．7．（14分）如图，AB是半圆的直径，C是半圆上一点，直线MN切半圆于C点，AM⊥MN于M点，BN⊥MN于N点，CD⊥AB于D点．求证：（1）CD=CM=CN；（2）CD2=AM•BN．考点：与圆有关的比例线段．专题：证明题．分析：（1）首先根据题中圆的切线条件得二组角相等，再依据全等三角形的判定定理得两三角形全等，从而证得线段相等；（2）在直角三角形ABC中应用射影定理求得一个线段的等式，再根据线段的相等关系可求得CD2=AM•BN．解答：证明：（1）连接CA、CB，则∠ACB=90°∠ACM=∠ABC，∠ACD=∠ABC∴∠ACM=∠ACD∴△AMC≌△ADC∴CM=CD同理CN=CD∴CD=CM=CN（2）∵CD⊥AB，∠ACD=90°∴CD2=AD•DB由（1）知AM=AD，BN=BD∴CD2=AM•BN．点评：本题考查与圆有关的切线性质、全等三角形的判定以及平面几何的射影定理，属容易题．8．（12分）已知：18b=5，log189=a（a≠2）求log3645．考点：对数的运算性质．分析：根据指数与对数式的互化，可先将18b=5化为log185=b，然后代入即可得到答案．解答：解：∵18b=5，∴log185=b∴点评：本题主要考查指数式与对数式的互化以及对数的换底公式．一定要掌握对数的运算法则．9．（20分）已知△ABC的三内角的大小成等差数列，tgAtgC=求角A，B，C的大小，又已知顶点C的对边c上的高等于，求三角形各边a，b，c的长．（提示：必要时可验证）考点：同角三角函数基本关系的运用；等差数列的性质；三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：△ABC的三内角的大小成等差数列，求出B=60°，A+C=120°，利用两角和的正切，求出tgA+tgC，然后求出tgA，tgC，求出A，C的值，利用任意角的三角函数求出a，b，c．解答：解：A+B+C=180°又2B=A+C．∴B=60°，A+C=120°∵而tgA+tgC=（1﹣tgAtgC）tg（A+C）=．（2）由（1）（2）可知tgA，tgC是=0的两根．解这方程得：x1=1，x2=2+设A＜C，则得tgA=1，tgC=2+．∴A=45°，C=120°﹣45°=75°又知c上的高等于4，∴a==8；b=；c=AD+DB=bcos45°+acos60°=4．点评：本题考查同角三角函数基本关系的运用，等差数列的性质，三角形中的几何计算，考查计算能力，是中档题．10．（20分）已知：α，β为锐角，且3sin2α+2sin2β=1，3sin2α﹣2si n2β=0．求证：．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：证明题．分析：欲证：．往往通过转化为证明其某一三角函数值是一个特殊值得到证明，利用题中的两个关系，我们先求sin（α+2β）的值即可解决问题．解答：解：由3sin2α+2sin2β=1，得：3sin2α=cos2β．．．∴sin22β+cos22β=9sin2αcos2α+9sin4α∴9sin2α=1．∴sinα=（α为锐角）∴sin（α+2β）=sinαcos2β+cosαsin2β=sinα（3sin2α）+cosα（3sinαcosα）=3sinα（sin2α+cos2α）=3sinα=1∴．点评：本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用以及二倍角公式，证明的关键是求出sin（α+2β），是一道三角变换的中档题．11．（20分）已知函数y=x2+（2m+1）x+m2﹣1（m为实数）（1）m是什么数值时，y的极值是0？（2）求证：不论m是什么数值，函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线L1上．考点：利用导数研究函数的极值；抛物线的应用．专题：计算题；证明题．分析：（1）二次函数研究极值问题，可利用配方法研究极值，根据y的极值是0建立等量关系．（2）先求出函数图象抛物线的顶点坐标，根据点的横坐标与纵坐标消取参数m即可得顶点轨迹，再进一步验证即可．解答：解：（1）用配方法得：∴的极小值为．所以当极值为0时，（2）函数图象抛物线的顶点坐标为即，二式相减得：，此即各抛物线顶点坐标所满足的方程它的图象是一条直线，方程中不含m，因此，不论m是什么值，抛物线的顶点都在这条直线上．点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及抛物线的应用，属于中档题．。

1978年全国统一高考数学试卷(附加题)

求证：
．，
．
5．（14 分）设有 f（x）=4x4﹣4px3+4qx2+2p（m+1）x+（m+1）2．（p≠0）求证：（1）如果 f（x）的系数满足 p2﹣4q﹣4（m+1）=0，那么 f（x）恰好是一个二次三项式的平方．（2）如果 f（x）与 F（x）=（2x2+ax+b）2 表示同一个多项式，那么 p2﹣4q﹣4（m+1）=0．
1978 年全国统一高考数学试卷（附加题）一、解答题（共 7 小题，满分 100 分）
1．（14 分）（1）分解因式：x2﹣2xy+y2+2x﹣2y﹣3．
（2）求
（3）求函数 y=
的定义域．
（4）已知直圆锥体的底面半径等于 1cm，母线的长等于 2cm，求它的体积．
（5）计算：
2．（14 分）已知两数 x1，x2 满足下列条件：（1）它们的和是等差数列 1，3，…的第 20 项；
的值．
6．（14 分）已知：asinx+bcosx=0 ①，Asin2x+Bcos2x=C ②，其中 a，b 不同时为 0，求证：
2abA+（b2﹣a2）B+（a2+b2）C=0
7．（16 分）已知 L 为过点 P
径等于 1 的圆，Q 表示顶点在原点而焦点是
且倾斜角为 30°的直线，圆 C 为圆心是坐标原点且半
解：（1）原式=（x﹣y）2+2（x﹣y）﹣3=（x﹣y﹣1）（x﹣y+3）
（2）原式= ﹣0+1﹣
=
（3）∵25﹣5x＞0，且 x+1≠0．∴x＜2 且 x≠﹣1，∴所求定义域为：（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，2）．（4）

1978全国高考数学试题

1978年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科考生五，六两题选做一题文科考生五，六两题选做一题，不要求做第七题）一．（下列各题每题4分，五个题共20分） 1．分解因式：x 2-4xy+4y 2-4z 2.解：原式=（x-2y)2-(2z)2=(x-2y-2z)(x-2y+2z)2.已知正方形的边长为a ，求侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积解：设底面半径为r ，则底面周长2πr=a则.42,2222πππππa a a a r a r =⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅==体积3．求函数)2lg(x y +=的定义域解：∵lg(2+x)≥0,∴2+x ≥1.故x ≥-1为其定义域4．不查表求cos800cos350+cos100cos550的值解：原式=sin100cos350+cos100sin350=sin(100+350)=sin450=22 5.化简：二.（本题满分14分）已知方程kx 2+y 2=4，其中k 为实数对于不同范围的k 值，分别指出方程所代表图形的内形，并画出显示其数量特征的草图解：1）k>0时，方程的图形是椭圆，中心在坐标原点，此时又可分为：①k>1时,长轴在y 轴上，半长轴=2，半短轴=k2;②k=1时,为半径r=2的圆;.254:.)()1.0()4(41 21214323121b b a ab =⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛----原式解③k<1时,长轴在x 轴上，半长轴=k2，半短轴=2如图： 2)k=0时，方程为y 2=4图形是两条平行于x 轴的直线2±=y如图 3）k<0时，方程为这时图形是双曲线，中心在坐标原点，实轴在y 轴上如图：三．（本题满分14分）（如图）AB 是半圆的直径，C是半圆上一点，直线MN 切半圆于C 点，AM ⊥MN 于M 点，BN ⊥MN 于N 点，CD ⊥AB 于D 点，求证：1)CD=CM=CN.2)CD 2=AM ·BN 1)证：连CA ，CB ，则∠ACB=900∠ACM=∠ABC ∠ACD=∠ABC∴∠ACM=∠ACD ∴△AMC ≌△ADC∴CM=CD 同理CN=CD ∴CD=CM=CN2）∵CD ⊥AB ，∠ACD=900∴CD 2=AD ·DBYYYk=2Ak=1(0,2)k=1/4 OAX OBXOXYYy=2k=-4 A O OXBX y=-2MC NAB D14422=+-y kx由1）知AM=AD ，BN=BD∴CD 2=AM ·BN四．（本题满分12分）五．（本题满分20分）已知△ABC 的三内角的大小成等差数列，tgAtgC=32+求角A ，B ，C 的大小又已知顶点C 的对边c 上的高等于34求三角形各边a ,b,c 的长（提示：必要时可验证324)31(2+=+）212:1802.60,1202 3 (1)tgA tgC (1-tgAtgC)tg(A C)(-1-3)(3)3 3. (2)(1)(2)tgA,tgC x (33)230.:1,23,1,2 3.45,A B C B A C B A C tgAtgC x x x A C tgA tgC A C ++=︒=+∴=︒+=︒=++=+=-=+-+++===+<==+∴=︒解又而由可知是的两根解这方程得设则得1204575434343,8;46;sin 60sin 45cos 45cos 6043 4.c a b c AD DB b a =︒-︒=︒∴====︒︒=+=︒+︒=+又知上的高等于六．（本题满分20分）22222224223sin 2sin 1,:3sin cos 2.33sin 22sin 20,:sin 2sin 23sin cos ..2sin 2cos 9sin cos 9sin 9sin 1.1sin ()3sin(2)sin cos 2cos sin 2sin (3sin )cos (3sin cos ) αβαβαββαααβαααααααβαβαβααααα+==-===∴+=+∴=∴=+=+=+由得由得为锐角22 3sin (sin cos )3sin 1.2ααααπαβ=+==∴+=七．（本题满分20分，文科考生不要求作此题）已知函数y=x 2+(2m+1)x+m 2-1(m 为实数） 1）m 是什么数值时，y 的极值是0？2）求证：不论m 是什么数值，函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线L 1上画出m=-1、0、1时抛物线的草图，来检验这个结论3）平行于L 1的直线中，哪些与抛物线相交，哪些不相交？求证：任一条平行于L 1而与抛物线相交的直线，被各抛物线截出的线段都相等解：用配方法得：2214545.24450,450,421452.(,),242m 11455 x -,,22443:..4,,,,m m m y x y m m m m m m y m x y m m +++⎛⎫=+-∴- ⎪⎝⎭+==-++--++==--=-=---=的极小值为所以当极值为时函数图象抛物线的顶点坐标为即二式相减得此即各抛物线顶点坐标所满足的方程它的图象是一条直线方程中不含因此不论是什么值抛物线的顶点都在这条222.1,0,1,,115193(),(),().424242m x y y x y x y x =-+=-+=++=+直线上当时之间函数关系为图略3.设L ：x-y=a 为任一条平行于L 1的直线与抛物线y=x 2+(2m+1)x+m 2-1方程联立求解，消去y ，得x 2+2mx+m 2-1+a =0∴（x+m)2=1-a因而当1-a ≥0即a ≤1时，直线L 与抛物线相交，而a ＞1时，直线L 与抛物线不相交而这与m 无关因此直线L 被各抛物线截出的线段都相等一九七八年副题)1(222)]1()1[(45,1.1,1.1,1a a m a m L L a m a m L a m x a -=-----+-∴︒-+-----±-=≤于被抛物线截出的线段等直线它的倾斜角为的斜率为因直线为与抛物线两交点横坐标即直线时当1．（1）分解因式：x 2-2xy+y 2+2x-2y-3 解：原式=(x-y-1)(x-y+3)(2)求的值65cos 4030sin 2ππ-+︒-︒ctg tg 解：原式=3/4（4）已知直圆锥体的底面半径等于1cm ，母线的长等于2cm ，求它的体积解：)(3312131322cm V ππ=-⋅⋅= 解：原式=302．已知两数x 1,x 2满足下列条件：1）它们的和是等差数列1，3，…的第20项; 2）它们的积是等比数列2，-6，…的前4项和求根为211,1x x 的方程略解：x 1+x 2=39，x 1x 2=-40故：1/x 1+1/x 2=-39/401/x 1·1/x 2=-1/40所求方程为：40x 2+39x-1=0.3.已知：△ABC 的外接圆的切线AD 交BC 的延长线于D 点，求证：证：因为AD 是△ABC 的外接圆的切线，所以∠B=∠1∴△ABD ∽△CAD作AE ⊥BD 于点E ，则A 1 BECD为所求之定义域且且解的定义域求函数12.01,0525:.1)525lg()3( -≠<∴≠+>-+-=x x x x y x x4．（如图）CD 是BC 的延长线，AB=BC=CA=CD=a ，DM 与AB ，AC 分别交于M 点和N 点，且∠BDM=α求证：ααααtg atg CN tg atg BM -=+=34,34证：作ME ⊥DC 于E ，由△ABC 是等边三角形，在直角△MBE中，13,,22342,.1322BE BM ME BM BMME atg tg BM ED tg a BM ααα==∴==∴=+-类似地，过N 作NF⊥BC 于F ，在直角△NFC 中，可证：5．设有f(x)=4x 4-4px 3+4qx 2+2p(m+1)x+(m+1)2.(p ≠0）求证：1）如果f(x)的系数满足p 2-4q-4(m+1)=0,那么f(x)恰好是一个二次三项式的平方2）如果f(x)与F(x)=(2x 2+a x+b)2表示同一个多项式，那么 p 2-4q-4(m+1)=06．已知：a sinx+bcosx=0.………………………………①Asin2x+Bcos2x=C.………………………………②其中a ,b 不同时为0求证：2a bA+(b 2-a 2)B+(a 2+b 2)C=0 则①可写成cosysinx-sinycosx=0, ∴sin(x-y)=0∴x-y=k π(k 为整数)， ∴x=y+k π又sin2x=sin2(y+k π)=sin2y=2sinycosy=222ba ab+-A M N α BEFDcos2x=cos2y=cos 2y-sin 2y=2222ba b a +-代入②，得 7．已知L 为过点P )23,233(--而倾斜角为300的直线，圆C 为中心在坐标原点而半径等于1的圆，Q 表示顶点在原点而焦点在)0,82(的抛物线设A 为L 和C 在第三象限的交点，B 为C 和Q 在第四象限的交点1）写出直线L 、圆C 和抛物线Q 的方程，并作草图2）写出线段PA 、圆弧AB 和抛物线上OB 一段的函数表达式3）设P ＇、B ＇依次为从P 、B 到x 轴的垂足求由圆弧AB 和直线段BB ＇、B ＇P ＇、P ＇P 、PA 所包含的面积解：1）直线L 、圆C 和抛物线Q 的方程为2223:3:12:x 2L y x C x y Q y =+==草图如图2)由Y O X BQ LPACYP ＇B ＇ OX B ACQ LP。

1978年普通高等学校招生全国统一考试数学试题

1978年普通高等学校招生全国统一考试数学试题第一部分：选择题1. 单选题1. 某同学记笔记时错将乘法公式记成了加法公式，导致了后续计算的错误。

他原本要计算6×9，记成了6+9= 。

A. 9B. 12C. 15D. 542. 数列{an}满足a1=2，an+1=an+3(n≥1)，则a4= 。

A. 2B. 6C. 12D. 203. 设函数f(x) = (x^2 - 4x + 3) / (x - 3)，则f(4)的值为：A. -2B. -3C. 1D. 24. 若直线y=mx+1（m为常数）与曲线y=x^2相切，则m的值为：A. 0B. 1/2C. -1/2D. 15. 已知函数f(x) = e^x，g(x) = ln(x+1)，则f(g(3))等于：A. 3B. eC. e^4D. 2e2. 多选题1. 已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c（a>0）的图像开口：A. 向上B. 向下C. 左D. 右2. 下列数列中，是等差数列的是：A. 1, 3, 5, 7, 11B. 2, 4, 7, 9, 12C. 2, 4, 6, 8, 10D. 1, 1, 2, 3, 53. 设集合A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}，集合B={2, 4, 6, 8}，则A∩B等于：A. {2, 4, 6}B. {1, 3, 5, 7}C. {1, 2, 3, 4, 5, 6}D. {2, 4, 6, 8}4. 已知函数f(x)的定义域为R，值域为{1, 2, 3}，则f(x)可能的表达式有：A. f(x) = x^2 + 1B. f(x) = |x-2| + 1C. f(x) = x^2 - 2x + 1D. f(x)= sin(x)第二部分：解答题1. 解答题已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + bx + 9与x轴有两个相切点，求常数b的值。

2. 解答题已知直线L通过点A(1,1)和点B(3,5)，设点P(x,y)在L上，且点P在x轴和y轴之间，则点A、B和P三点组成的三角形的面积为多少？3. 解答题已知三角形ABC中，边AC=6，角A=30°，角C=90°，点D、E在边AC上，且AD=3、CE=2，连接DE并延长到点F，使得AF=5。

高考数学普通高等学校招生全国统一考试78

高考数学普通高等学校招生全国统一考试78本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟.第I 卷参考公式：如果事件A 、B 互斥；那么P （A+B ）=P(A)+P(B) 如果事件A 、B 相互独立；那么P （A ·B ）=P(A)·P(B)如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ；那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C k n P k (1－P)n －k一、选择题：每小题5分；共60分. 1．已知α为第三象限角；则2α所在的象限是（）A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限解：α第三象限；即3222k k k Z πππαπ+<<+∈,∴3224k k k Z παπππ+<<+∈,可知2α在第二象限或第四象限,选D 2．已知过点A(－2；m)和B(m ；4)的直线与直线2x+y-1=0平行；则m 的值为（）A ．0B ．－8C ．2D ．10 解：直线2x+y-1=0的一个方向向量为a =(1,-2),(2,4)AB m m =+-,由AB a 即(m+2)×(-2)-1×(4-m)=0,m=-8,选B 3．在8)1)(1(+-x x 的展开式中5x 的系数是（）A ．－14B ．14C ．－28D ．28解：(x+1)8展开式中x 4,x 5的系数分别为48C ,58C ,∴(x-1)(x+1)8展开式中x 5的系数为458814C C -=,选B4．设三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积为V ；P 、Q 分别是侧棱AA 1、CC 1上的点；且PA=QC 1；则球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径；球的体积公式V=334R π；其中R 表示球的半径A ．16VB ．14VC ．13VD ．12V解：如图；1111111113A ABCB A BC B AC Q ABC A B C V V V V ----===111B PCQA B CQA B PCA V V V ---=+,∵AF=QC 1,∴APQC 1,APQC 都是平行四边形, ∴111B PCQA B CQA B PCA V V V ---=+=12(11B CQA B PCA V V --+) =1111223ABC A B C V -⋅=11113ABC A B C V -,选C 5．设713=x；则（）A ．－2<x<－1B ．－3<x<－2C ．－1<x<0D ．0<x<1解：211337--<<,21x -<<-,选A 6．若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===；则（）A ．a <b<cB ．c<b<aC ．c<a <bD ．b<a <c解：由题意得a=3015ln2,b=3010ln 3,c=306ln 5,∵62353153525105(5)(2)2(2)(3)3=<==<=,∴c<a<b,选C 7．设02x π≤≤,且1sin 2sin cos x x x -=-,则（）A ．0x π≤≤B ．744x ππ≤≤C ．544x ππ≤≤ D ．322x ππ≤≤解：∵由1sin 2sin cos x x x -=-得|sinx-cosx|=sinx-cosx,又02x π≤<, ∴544x ππ≤≤,选C 8．αααα2cos cos 2cos 12sin 22⋅+ =（）A ．tan αB ．tan 2αC ．1D ．12解：22sin 2cos 1cos 2cos 2αααα⋅=+222sin 2cos tan 22cos cos 2ααααα⋅=,选B9．已知双曲线1222=-y x 的焦点为F 1、F 2；点M 在双曲线上且120,MF MF ⋅=则点M 到 x 轴的距离为（）A ．43 B ．53C D 解：由120MF MF ⋅=,得MF 1⊥MF 2,不妨设M(x,y)上在双曲线右支上；且在x 轴上方,则有(ex-a)2+(ex+a)2=4c 2；即(ex)2+a 2=2c 2,∵得x 2=53,y 2=23,由此可知M 点到x 选C 10．设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2；过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ；若△F 1PF 2为等腰直角三角形；则椭圆的离心率是（）A B C ．2 D 1解：由题意可得22b c a=,∵b 2=a 2-c 2e=c a ,得e 2+2e-1=0,∵e>1,解得1,选D 11．不共面的四个定点到平面α的距离都相等；这样的平面α共有（）A ．3个B ．4个C ．6个D ．7解：共有7个；它们是由四个定点组成的四面体的三对异面直线间的公垂线的三个中垂面；四面体的四条高的四个中垂面；选D12．计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制；采用数字0～9和字母A ～F 共16个计数例如；用十六进制表示：E+D=1B ；则A ×B= （） A ．6E B ．72 C ．5F D ．B0解：∵A=10,B=11,又A ×B=10×11=110=16×6+14,∴在16进制中A ×B=6E,∴选A第Ⅱ卷二．填空题：每小题4分；共（16分）13．经问卷调查；某班学生对摄影分别执“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度；其中执“一般”态度的比“不喜欢”态度的多12人；按分层抽样方法从全班选出部分学生座谈摄影；如果选出的5位“喜欢”摄影的同学、1位“不喜欢”摄影的同学和3位执“一般”态度的同学；那么全班学生中“喜欢”摄影的比全班人数的一半还多人.解：设执“不喜欢”的学生为x 人；则执“一般”的学生为(x+12)人；由题意得1123x x =+,x=6,∴执“喜欢”的学生有30人,全班共有人数为12+6+6+30=54(人),∴全班学生中“喜欢”摄影的比全班人数的一半还多3人。

1978数学试题及答案

1978数学试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5，求f'(x)的值。

A. 6x^2 - 6x + 4B. 6x^2 - 6x + 3C. 6x^2 - 6x + 2D. 6x^2 - 6x + 1答案：A2. 已知函数f(x) = x^2 + 2x + 1，求f(-1)的值。

A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B3. 已知函数f(x) = sin(x) + cos(x)，求f'(x)的值。

A. cos(x) - sin(x)B. sin(x) + cos(x)C. -sin(x) + cos(x)D. -sin(x) - cos(x)答案：C4. 已知函数f(x) = e^x，求f'(x)的值。

A. e^xB. -e^xC. e^(-x)D. -e^(-x)答案：A5. 已知函数f(x) = ln(x)，求f'(x)的值。

A. 1/xB. -1/xC. xD. -x答案：A6. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求f(x)的最小值。

A. 0B. 1C. 4D. 8答案：A7. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求f'(x) = 0的解。

A. x = 1, 2, 3B. x = 2, 3C. x = 1, 3D. x = 1, 2答案：B8. 已知函数f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1，求f'(x)的值。

A. 4x^3 - 12x^2 + 12x - 4B. 4x^3 - 12x^2 + 12x - 1C. 4x^3 - 12x^2 + 12x - 2D. 4x^3 - 12x^2 + 12x - 3答案：A9. 已知函数f(x) = x^2 - 6x + 9，求f(x)的对称轴。

A. x = 3B. x = -3C. x = 0D. x = 6答案：A10. 已知函数f(x) = 2x - 3，求f(2)的值。

978全国高考数学试题

1978年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科考生五，六两题选做一题文科考生五，六两题选做一题，不要求做第七题）一．（下列各题每题4分，五个题共20分） 1．分解因式：x 2-4xy+4y 2-4z 2.解：原式=（x-2y)2-(2z)2=(x-2y-2z)(x-2y+2z)2.已知正方形的边长为a ，求侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积解：设底面半径为r ，则底面周长2πr=a则.42,2222πππππa a a a r a r =⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅==体积3．求函数)2lg(x y +=的定义域解： ∵lg(2+x)≥0,∴2+x ≥1.故x ≥-1为其定义域4．不查表求cos800cos350+cos100cos550的值解：原式=sin100cos350+cos100sin350=sin(100+350)=sin450=22 5.化简：二 .（本题满分14分）已知方程kx 2+y 2=4，其中k 为实数对于不同范围的k 值，分别指出方程所代表图形的内形，并画出显示其数量特征的草图解：1）k>0时，方程的图形是椭圆，中心在坐标原点，此时又可分为：①k>1.254:.)()1.0()4(41 21214323121b b a ab =⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛----原式解时,长轴在y 轴上，半长轴=2，半短轴=k2;②k=1时,为半径r=2的圆;③k<1时,长轴在x 轴上，半长轴=k2，半短轴=2如图： 2)k=0时，方程为y 2=4图形是两条平行于x 轴的直线2±=y如图 3）k<0时，方程为这时图形是双曲线，中心在坐标原点，实轴在y 轴上如图：三．（本题满分14分）（如图）AB 是半圆的直径，C 是半圆上一点，直线MN 切半圆于C 点，AM ⊥MN 于M 点，BN ⊥MN 于N 点，CD ⊥AB 于D 点，求证：1)CD=CM=CN. 2)CD 2=AM ·BNY Y Y k=2 A k=1 (0,2) k=1/4 O A XO B X O XY Y y=2 k=-4 A O O X B X y=-214422=+-y k x1)证：连CA ，CB ，则∠ACB=900∠ACM=∠ABC ∠ACD=∠ABC∴∠ACM=∠ACD ∴△AMC ≌△ADC∴CM=CD 同理CN=CD ∴CD=CM=CN2）∵CD ⊥AB ，∠ACD=900∴ CD 2=AD ·DB 由1）知AM=AD ，BN=BD∴CD 2=AM ·BN四．（本题满分12分）五．（本题满分20分）已知△ABC 的三内角的大小成等差数列，tgAtgC=32+求角A ，B ，C 的大小又已知顶点C 的对边c 上的高等于34求三角形各边a ,b,c 的长（提示：必要时可验证324)31(2+=+）212:1802.60,1202 3 (1)tgA tgC (1-tgAtgC)tg(A C)(-1-3)(3)3 3. (2)(1)(2)tgA,tgC x (33)230.:1,23,1,2 3.45,A B C B A C B A C tgAtgC x x x A C tgA tgC A C ++=︒=+∴=︒+=︒=++=+=-=+-+++===+<==+∴=︒解又而由可知是的两根解这方程得设则得1204575434343,8;46;sin 60sin 45cos 45cos 6043 4.c a b c AD DB b a =︒-︒=︒∴====︒︒=+=︒+︒=+又知上的高等于六．（本题满分20分）M C NA B D22222224223sin 2sin 1,:3sin cos 2.33sin 22sin 20,:sin 2sin 23sin cos ..2sin 2cos 9sin cos 9sin 9sin 1.1sin ()3sin(2)sin cos 2cos sin 2sin (3sin )cos (3sin cos ) αβαβαββαααβαααααααβαβαβααααα+==-===∴+=+∴=∴=+=+=+由得由得为锐角22 3sin (sin cos )3sin 1.2ααααπαβ=+==∴+=七．（本题满分20分，文科考生不要求作此题）已知函数y=x 2+(2m+1)x+m 2-1(m 为实数） 1）m 是什么数值时，y 的极值是0？2）求证：不论m 是什么数值，函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线L 1上画出m=-1、0、1时抛物线的草图，来检验这个结论3）平行于L 1的直线中，哪些与抛物线相交，哪些不相交？求证：任一条平行于L 1而与抛物线相交的直线，被各抛物线截出的线段都相等解：用配方法得：2214545.24450,450,421452.(,),242m 11455x -,,22443:..4,,,,m m m y x y m m m m m m y m x y m m +++⎛⎫=+-∴- ⎪⎝⎭+==-++--++==--=-=---=的极小值为所以当极值为时函数图象抛物线的顶点坐标为即二式相减得此即各抛物线顶点坐标所满足的方程它的图象是一条直线方程中不含因此不论是什么值抛物线的顶点都在这条222.1,0,1,,115193(),(),().424242m x y y x y x y x =-+=-+=++=+直线上当时之间函数关系为图略 3.设L ：x-y=a 为任一条平行于L 1的直线与抛物线y=x 2+(2m+1)x+m 2-1方程联立求解，消去y ，得x 2+2mx+m 2-1+a =0∴（x+m)2=1-a因而当1-a ≥0即a ≤1时，直线L 与抛物线相交，而a ＞1时，直线L 与抛物线不相交而这与m 无关因此直线L 被各抛物线截出的线段都相等一九七八年副题1．（1）分解因式：x 2-2xy+y 2+2x-2y-3 解：原式=(x-y-1)(x-y+3)(2)求的值65cos 4030sin 2ππ-+︒-︒ctg tg 解：原式=3/4（4）已知直圆锥体的底面半径等于1cm ，母线的长等于2cm ，求它的体积解：)(3312131322cm V ππ=-⋅⋅= 解：原式=302．已知两数x 1 ,x 2满足下列条件：1）它们的和是等差数列1，3，…的第20项; 2）它们的积是等比数列2，-6，…的前4项和)1(222)]1()1[(45,1.1,1.1,1a a m a m L L a m a m L a m x a -=-----+-∴︒-+-----±-=≤于被抛物线截出的线段等直线它的倾斜角为的斜率为因直线为与抛物线两交点横坐标即直线时当为所求之定义域且且解的定义域求函数12.01,0525:.1)525lg()3( -≠<∴≠+>-+-=x x x x y x x求根为211,1x x 的方程略解：x 1 +x 2=39，x 1x 2=-40故：1/x 1+1/x 2=-39/401/x 1·1/x 2=-1/40所求方程为：40x 2+39x-1=0.3.已知：△ABC 的外接圆的切线AD 交BC 的延长线于D 点，求证：证：因为AD 是△ABC 的外接圆的切线，所以 ∠B=∠1∴△ABD ∽△CAD 作AE ⊥BD 于点E ，则4．（如图）CD 是BC 的延长线，AB=BC=CA=CD=a ，DM 与AB ，AC 分别交于M 点和N点，且∠BDM=α求证：ααααtg atg CN tg atg BM -=+=34,34证：作ME ⊥DC 于E ，由△ABC 是等边三角形，在直角△MBE 中，13,,22342,.1322BE BM ME BM BMME atg tg BM ED tg a BM ααα==∴==∴=+-类似地，过N 作NF ⊥BC 于F ，在直角△NFC 中，可证： 5．设有f(x)=4x 4-4px 3+4qx 2+2p(m+1)x+(m+1)2.(p ≠0）求证：1）如果f(x)的系数满足p 2-4q-4(m+1)=0,那么f(x)恰好是一个二次三项式的平方A 1B EC DA M N αB E F D2）如果f(x)与F(x)=(2x 2+a x+b)2表示同一个多项式，那么 p 2-4q-4(m+1)=06．已知：a sinx+bcosx =0.………………………………①Asin2x+Bcos2x=C.………………………………②其中a ,b 不同时为0求证：2a bA+(b 2-a 2)B+(a 2+b 2)C=0 则①可写成cosysinx-sinycosx=0, ∴sin(x-y)=0∴x-y=k π(k 为整数)， ∴x=y+k π又sin2x=sin2(y+k π)=sin2y=2sinycosy= 222ba ab+-cos2x=cos2y=cos 2y-sin 2y=2222ba b a +-代入②，得 7．已知L 为过点P )23,233(--而倾斜角为300的直线，圆C 为中心在坐标原点而半径等于1的圆，Q 表示顶点在原点而焦点在)0,82(的抛物线设A 为L 和C 在第三象限的交点，B 为C 和Q 在第四象限的交点1）写出直线L 、圆C 和抛物线Q 的方程，并作草图2）写出线段PA 、圆弧AB 和抛物线上OB 一段的函数表达式3）设P ＇、B ＇依次为从P 、B 到x 轴的垂足求由圆弧AB 和直线段BB ＇、B ＇P ＇、P ＇P 、PA 所包含的面积解：1）直线L 、圆C 和抛物线Q的方程为2223:3:12:x 2L y x C x y Q y =+==草图如图2)由YO XB Q L P A CY P ＇ B ＇ O X B A C Q L P。