2013年全国高校自主招生数学模拟试卷十七

二、填空题(每小题 9 分，共 54 分) 1．已知有向线段 PQ 的起点 P 和终点 Q 的坐标分别为(－1，1)和(2，2)，若直线 l： x+my+m=0 与 PQ 的延长线相交，则 m 的取值范围是 ． x3+sinx－2a=0， π π 2．已知 x，y∈[－4，4]，a∈R 且 3 则 cos(x+2y) = ． 4y +sinycosy+a=0 5 5 3．已知点集 A={(x，y)|(x－3)2+(y－4)2≤(2)2}，B={(x，y)|(x－4)2+(y－5)2>(2)2}，则点集 A ∩B 中的整点(即横、纵坐标均为整数的点)的个数为 θ 4．设 0<θ<π， ，则 sin2(1+cosθ)的最大值是 ． ．
2
设这个方程的两个根 α、β，满足|α－β|=2 7,求|m|的最大值和最小值.
二、(本题满分 25 分) 将与 105 互素的所有正整数从小到大排成数列，试求出这个数列 的第 1000 项。
三、(本题满分 35 分) 如图，设三角形的外接圆 O 的半径为 R,内心为 I， ∠B=60,∠A<∠C,∠A 的外角平分线交圆 O 于 E． 证明:(1) IO=AE； (2) 2R<IO+IA+IC<(1+ 3)R．
E
A
O I B C
四、 (本题满分 35 分) 给定平面上的点集 P={P1，P2，…，P1994}, P 中任三点均不共线,将 P 中的所有的点任意分成 83 组，使得每组至少有 3 个点，且每点恰好属于一组，然后将在同 一组的任两点用一条线段相连,不在同一组的两点不连线段,这样得到一个图案 G，不同的分 组方式得到不同的图案，将图案 G 中所含的以 P 中的点为顶点的三角形个数记为 m(G)． (1)求 m(G)的最小值 m0． (2)设 G*是使 m(G*)=m0 的一个图案，若 G*中的线段(指以 P 的点为端点的线段)用 4 种 颜色染色,每条线段恰好染一种颜色.证明存在一个染色方案,使 G*染色后不含以 P 的点为顶 点的三边颜色相同的三角形．
1

(4,5) (3,4)
3 2

O
1
2
3
x
5．已知一平面与一正方体的 12 条棱的夹角都等于 α，则 sinα= ． 解： 12 条棱只有三个方向， 故只要取如图中 AA与平面 ABD所成角即可． 设
A'
D' B' D
C'
C B
A
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3 AA=1，则 AC= 3，AC⊥平面 ABD，AC 被平面 ABD、BDC三等分．于是 sinα= 3 ． 6．已知 95 个数 a1，a2，a3，…，a95， 每个都只能取+1 或－1 两个值之一，那么它们 的两两之积的和 a1a2+a1a3+…+a94a95 的最小正值是 ． 解：设有 m 个+1，(95－m)个－1．则 a1+a2+…+a95=m－(95－m)=2m－95 ∴ 2(a1a2+a1a3+…+a94a95)=(a1+a2+…+a95)2－(a12+a22+…+a952)=(2m－95)2－95>0． 取 2m－95=±11．得 a1a2+a1a3+…+a94a95=13．为所求最小正值． . 三解答题 一、 (本题满分 25 分) x 的二次方程 x2+z1x+z2+m=0 中,z1， z2， m 均是复数， 且 z1－4z2=16+20i，
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2013 年全国高校自主招生数学模拟试卷十七
参考答案
一．选择题(每小题 6 分，共 36 分) 1、设 a，b，c 是实数，那么对任何实数 x， 不等式 asinx+bcosx+c>0 都成立的充要条件 是 (A) a，b 同时为 0，且 c>0 (B) a2+b2=c (C) a2+b2<c (D) a2+b2>c 2 2 解：asinx+bcosx+c= a +b sin(x+φ)+c∈[－ a2+b2+c， a2+b2+c]．故选 C． 2、给出下列两个命题：(1)设 a，b，c 都是复数，如果 a2+b2>c2，则 a2+b2－c2>0．(2)设 a，b，c 都是复数，如果 a2+b2－c2>0，则 a2+b2>c2．那么下述说法正确的是 (A)命题(1)正确，命题(2)也正确 (B)命题(1)正确，命题(2)错误 (C)命题(1)错误，命题(2)也错误 (D)命题(1)错误，命题(2)正确 2 2 2 解：⑴正确，⑵错误；理由：⑴a +b >c ，成立时，a2+b2 与 c2 都是实数，故此时 a2+b2 －c2>0 成立； ⑵ 当 a2+b2－c2>0 成立时 a2+b2－c2 是实数， 但不能保证 a2+b2 与 c2 都是实数， 故 a2+b2>c2 不一定成立．故选 B． 3、已知数列{an}满足 3an+1+an=4(n≥1)，且 a1=9，其前 n 项之和为 Sn，则满足不等式|Sn 1 －n－6|<125的最小整数 n 是 (C)7 (D)8 1 1 解：(an+1－1)=－3(an－1)，即{ an－1}是以－3为公比的等比数列， 1 1－(－3)n 1 n－1 1n 1 1 ∴ an=8(－3) +1．∴ Sn=8² 1 +n=6+n－6(－3) ，6· 3n<125，n≥7．选 C． 1+3 π log sina log cosa log cosa 4、已知 0<b<1，0<a<4，则下列三数：x=(sina) b ，y=(cosa) b ，z=(sina) b 的大小关系是 (A)x<z<y (B)y<z<x (C)z<x<y 解：0<sina<cosa<1．logbsina>logbcosa>0． (D)x<y<z (A)5 (B)6
2
设这个方程的两个根 α、β，满足|α－β|=2 7,求|m|的最大值和最小值. 解：设 m=a+bi(a，b∈R)．则△=z12－4z2－4m=16+20i－4a－4bi=4[(4－a)+(5－b)i]．设△ 的平方根为 u+vi．(u，v∈R) 即(u+vi)2=4[(4－a)+(5－b)i]． |α－β|=2 7，|α－β|2=28，|(4－a)+(5－b)i|=7，(a－4)2+(b－5)2=72， 即表示复数 m 的点在圆(a－4)2+(b－5)2=72 上，该点与原点距离的最大值为 7+ 41，最 小值为 7－ 41． 二、 (本题满分 25 分) 将与 105 互素的所有正整数从小到大排成数列， 试求出这个数列 的第 1000 项。 1 1 1 解：由 105=3×5×7；故不超过 105 而与 105 互质的正整数有 105×(1－3)(1－5)(1－7)=48 个。1000=48×20+48－8， 105×20=2100.而在不超过 105 的与 105 互质的数中第 40 个数是 86． ∴ 所求数为 2186。
x3+sinx－2a=0， π π 2．已知 x，y∈[－4，4]，a∈R 且 3 则 cos(x+2y) = 4y +sinycosy+a=0
．
பைடு நூலகம்
解：2a=x3+sinx=(－2y)3－sin(－2y)， π π π π 令 f(t)=t3+sint，t∈[－2，2]，f (t)=3t2+cost>0，即 f(t)在[－2，2]上单调增．∴ x=－2y． ∴ cos(x+2y)=1． 5 5 3．已知点集 A={(x，y)|(x－3)2+(y－4)2≤(2)2}，B={(x，y)|(x－4)2+(y－5)2>(2)2}，则点集 A ∩B 中的整点(即横、纵坐标均为整数的点)的个数为 ． 解：如图可知，共有 7 个点，即(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(4， 2)共 7 点． y θ 4．设 0<θ<π， ，则 sin2(1+cosθ)的最大值是 ． 解：令 y= sin2 (1+cosθ) >0， 2 则 y2=4 sin22 cos42 =2²2sin22 cos22 cos22 ≤2(3 )3． 4 3 ∴ y≤ 9 2 ．当 tan2 = 2 时等号成立．
2013 年全国高校自主招生数学模拟试卷十七
一、选择题(每小题 6 分，共 36 分) 1、设 a，b，c 是实数，那么对任何实数 x， 不等式 asinx+bcosx+c>0 都成立的充要条件 是 (A) a，b 同时为 0，且 c>0 (B) a2+b2=c (C) a2+b2<c (D) a2+b2>c 2、给出下列两个命题：⑴ 设 a，b，c 都是复数，如果 a2+b2>c2，则 a2+b2－c2>0；⑵设 a，b，c 都是复数，如果 a2+b2－c2>0，则 a2+b2>c2．那么下述说法正确的是 (A)命题⑴正确，命题⑵也正确 (B)命题⑴正确，命题⑵错误 (C)命题⑴错误，命题⑵也错误 (D)命题⑴错误，命题⑵正确 3、已知数列{an}满足 3an+1+an=4(n≥1)，且 a1=9，其前 n 项之和为 Sn，则满足不等式|Sn 1 －n－6|<125的最小整数 n 是 (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 π log sina log cosa log cosa 4、已知 0<b<1，0<a<4，则下列三数：x=(sina) b ，y=(cosa) b ，z=(sina) b (A)x<z<y (B)y<z<x (C)z<x<y (D)x<y<z 5、在正 n 棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是 n－2 n－1 n－2 n－1 π (A)( n π，π) (B)( n π，π) (C)(0，2) (D)( n π， n π) |x+y| |x－y| 6、在平面直角坐标系中，方程 2a + 2b =1 (a，b 是不相等的两个正数)所代表的曲 线是 (A)三角形 (C)非正方形的长方形 (B)正方形 (D)非正方形的菱形
log sina log cosa log cosa ∴ (sina) b < (sina) b < (cosa) b 即 x<z<y．选 A． 5、在正 n 棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是 n－2 n－1 n－2 n－1 π (A)( n π，π) (B)( n π，π) (C)(0，2) (D)( n π， n π)
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n－2 解：设相邻两侧面所成的二面角为 θ，易得 θ 大于正 n 边形的一个内角 n π，当棱锥 的高趋于 0 时，θ 趋于 π，故选 A． |x+y| |x－y| 6、在平面直角坐标系中，方程 2a + 2b =1 (a，b 是不相等的两个正数)所代表的曲 线是 (A)三角形 (B)正方形 (C)非正方形的长方形 (D)非正方形的菱形 解：x+y≥0，x－y≥0 时，(一、四象限角平分线之间)：(a+b)x+(b－a)y=2ab； x+y≥0，x－y<0 时，(一、二象限角平分线之间)：(b－a)x+(a+b)y=2ab； x+y<0，x－y≥0 时，(三、四象限角平分线之间)：(a－b)x－(a+b)y=2ab； x+y<0，x－y<0 时，(二、三象限角平分线之间)：－(a+b)x+(a－b)y=2ab． 四条直线在 a≠b 时围成一个菱形(非正方形)．选 D． 二、填空题(每小题 9 分，共 54 分) 1．已知有向线段 PQ 的起点 P 和终点 Q 的坐标分别为(－1，1)和(2，2)，若直线 l： x+my+m=0 与 PQ 的延长线相交，则 m 的取值范围是 ． 1 解：即 x+my+m=0 与 y=3(x+1)+1 的交点的横坐标>2． 1 4 7m 2 ∴ x+m(3x+3)+m=0，(3+m)x=－7m．x=－m+3>2．－3<m<－3．
5．已知一平面与一正方体的 12 条棱的夹角都等于 α，则 sinα= ． 6．已知 95 个数 a1，a2，a3，…，a95， 每个都只能取+1 或－1 两个值之一，那么它们 的两两之积的和 a1a2+a1a3+…+a94a95 的最小正值是 ．
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三、解答题 一、 (本题满分 25 分) x 的二次方程 x2+z1x+z2+m=0 中,z1， z2， m 均是复数， 且 z1－4z2=16+20i，