2016年高考数学理试题分类汇编：圆锥曲线
圆锥曲线专题(理科)(2016高考真题分专题复习)
2016圆锥曲线专题（理）1.已知方程13m y -m x 2222=-+nn 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（ ）A.（-1，3）B.（-1，3）C.（0，3）D.（0，3）2.已知F 1，F 2是双曲线E ：1by -a x 2222=的左、右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直， sin ∠MF 2F 1=31，则E 的离心率为（ ） A.2 B. 23 C. 3 D.23.以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、E 两点．已知|AB|=24，|DE|=52，则C 的焦点到准线的距离为（ ）A.2B.4C.6D.8 4.已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：）（01by a x 2222>>=+b a 的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ）A.31 B. 21 C. 32 D. 435．已知双曲线﹣=1（b ＞0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为（ ）A ．﹣=1B ．﹣=1C ．﹣=1D ．﹣=16.已知椭圆C 1：）（11m x 222>=+m y 与双曲线C 2：）（01nx 222>=-n y 的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则（ ）A.m ＞n 且e 1e 2＞1B.m ＞n 且e 1e 2＜1C.m ＜n 且e 1e 2＞1D.m ＜n 且e 1e 2＜17.设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2=2px （p ＞0）上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM|=2|MF|，则直线OM 的斜率的最大值为（ ）A. 33B. 32C. 22 D.1 8．设抛物线（t 为参数，p ＞0）的焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B ，设C （p ，0），AF 与BC 相交于点E ．若|CF|=2|AF|，且△ACE 的面积为3，则p 的值为 ．9.若抛物线x y 42=上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是 ______ ．10.在平面直角坐标系中，已知A （1，0），B （0，-1），P 是曲线21x y -=上一个动点，则•的取值范围是 ______ ． 11．双曲线），（001by -a x 2222>>=b a 的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a= ．12.已知双曲线E ：），（001by -a x 2222>>=b a ，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E 的离心率是 ______ ．13.在平面直角坐标系中，当P （x ，y ）不是原点时，定义P 的“伴随点”为),(2222'yx x y x y P +-+；当P 是原点时，定义P 的“伴随点“为它自身，平面曲线C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线C′定义为曲线C 的“伴随曲线”．现有下列命题：①若点A 的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A ；②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线C 关于x 轴对称，则其“伴随曲线”C′关于y 轴对称；④一条直线的“伴随曲线”是一条直线．其中的真命题是 ______ （写出所有真命题的序列）．14.设圆x 2+y 2+2x-15=0的圆心为A ，直线l 过点B （1，0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ．（Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E 的轨迹方程；（Ⅱ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．15.已知椭圆E ：1322=+y t x 的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k （k ＞0）的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA ．（Ⅰ）当t=4，|AM|=|AN|时，求△AMN 的面积；（Ⅱ）当2|AM|=|AN|时，求k 的取值范围．16.已知抛物线C ：y 2=2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．（Ⅰ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；（Ⅱ）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．17.双曲线)0(1222>=-b b y x 的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 过F 2且与双曲线交于A ，B 两点．（1）直线l 的倾斜角为2π，△F 1AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； （2）设3=b ，若l 的斜率存在，且0)(11=∙+AB B F A F ，求l 的斜率．18.有一块正方形EFGH ，EH 所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F 点或河边运走．于是，菜地分为两个区域S 1和S 2，其中S 1中的蔬菜运到河边较近，S 2中的蔬菜运到F 点较近，而菜地内S 1和S 2的分界线C 上的点到河边与到F 点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O 为EF 的中点，点F 的坐标为（1，0），如图（1）求菜地内的分界线C 的方程；（2）菜农从蔬菜运量估计出S 1面积是S 2面积的两倍，由此得到S 1面积的经验值为38．设M 是C 上纵坐标为1的点，请计算以EH 为一边，另一边过点M 的矩形的面积，及五边形EOMGH 的面积，并判断哪一个更接近于S 1面积的经验值．19．设椭圆+=1（a ＞）的右焦点为F ，右顶点为A ．已知+=，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴于点H ，若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直线l 的斜率的取值范围．20.如图，设椭圆C ：)1(1ax 222>=+a y （Ⅰ）求直线y=kx+1被椭圆截得到的弦长（用a ，k 表示）（Ⅱ）若任意以点A （0，1）为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆的离心率的取值范围．21．已知椭圆C ：1by a x 2222=+（a ＞0，b ＞0）的离心率为，A （a ，0），B （0，b ），O （0，0），△OAB 的面积为1．（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ．求证：|AN|•|BM|为定值．22.已知椭圆E ：1by a x 2222=+（a ＞b ＞0）的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线l ：y=-x+3与椭圆E 有且只有一个公共点T ．（Ⅰ）求椭圆E 的方程及点T 的坐标；（Ⅱ）设O 是坐标原点，直线'l 平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P ．证明：存在常数λ，使得|PT|2=λ|PA|•|PB|，并求λ的值．23.平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：1by a x 2222=+（a ＞b ＞0）的离心率是23，抛物线E ：x 2=2y 的焦点F 是C 的一个顶点． （I ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M ．（i ）求证：点M 在定直线上；（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记△PFG 的面积为S 1，△PDM 的面积为S 2，求21S S 的最大值及取得最大值时点P 的坐标．。
2016-2018年高考数学分类汇编：专题10圆锥曲线 学生版
2016-2018年高考数学分类汇编：专题10 圆锥曲线全国1 (2)全国2 (5)全国3 (6)北京 (10)天津 (12)上海 (16)浙江 (18)江苏 (20)2016~2018三年高考真题分类汇编 专题10 圆锥曲线考纲解读真题链接全国1【2018全国1卷理8】设抛物线C: x y 42=的焦点为F,过点)0,2(-且斜率为32的直线与C 交于M ，N 两点,则FM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·FN ⃗⃗⃗⃗⃗ = A . 5 B . 6 C . 7 D . 8【2018全国1卷理11】已知双曲线C:1322=-y x ,O 为坐标原点,F 为C 的右焦点,过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN 为直角三角形,则|MN|=A .23B .3C .2√3D .4 【2018全国1卷理19】设椭圆C ：1222=+y x 的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A 、B 两点，点M 的坐标为)0,2(.(1)当l 与x 轴垂直时,求直线AM 的方程 (2)设O 为坐标原点,证明:OMB OMA ∠=∠.【2018全国1卷文4】己知椭圆:1C 14222=+y a x 的一个焦点为)0,2(,则C 的离心率为 A.31 B.21C.22D.322【2018全国1卷文20】设抛物线C ：x y 22=，点A )0,2(，B )0,2(-过点A 的直线l 与C 交于M 、N 两点.（1）当l 与x 轴垂直时,求直线BM 的方程 （2）证明:∠ABM=∠ABN【2017全国1卷理10】已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线12,l l ，直线1l 与C 交于,A B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，则AB DE +的最小值为A . 16B . 14C . 12D. 10【2017全国1卷理15为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于,M N 两点。
2016年高考数学理真题分类汇编：直线与圆锥曲线-----
直线与圆锥曲线一、选择题1. （辽宁卷理）3．已知F 是抛物线y 2=x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，=3AF BF +，则线段AB 的中点到y 轴的距离为A ．34B ．1C ．54D ．742. （全国大纲卷理）(10)已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A ，B 两点．则cos AFB ∠= (A)45 (B)35 (C)35- (D)45-3. （全国新课标理）（7）设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于 A,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（A （B （C ）2 （D ）35. （山东卷理）8.已知双曲线22221(0b 0)x y a a b-=＞，＞的两条渐近线均和圆C:22650x y x +-+=相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心,则该双曲线的方程为(A)22154x y -= (B) 22145x y -= (C) 22136x y -= (D) 22163x y -= 6. （陕西理）2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的方程是A ．28y x =- B ．28y x = C ．24y x =- D ．24y x =7. （四川理）10.在抛物线25(0)y x ax a ==-≠上取横坐标为14x =-，22x =的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆225536x y +=相切，则抛物线顶点的坐标为 （A ）(2,9)-- （B ）(0,5)- （C ）(2,9)- （D ）(1,6)-8. （浙江理）8．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=＞＞与双曲线221:14y C x -=有公共的焦点，1C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则A ．2132a =B ．213a = C ．212b =D ．22b =9. （安徽理）（2）双曲线8222=-y x 的实轴长是（A ）2 （B ） 22 （C ） 4 （D ）4210. （福建理）7．设圆锥曲线r 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线r 上存在点P 满足1122::PF F F PF =4:3:2，则曲线r 的离心率等于A ．1322或B ．23或2C ．12或2 D ．2332或 11. （湖北理）4．将两个顶点在抛物线22(0)y px p =>上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则A ．n=0B ．n=1C ． n=2D ．n ≥312. （湖南理）5．设双曲线()222109x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为 A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题1. （北京理）14．曲线C 是平面内与两个定点F1（-1，0）和F¬2（1，0）的距离的积等于常数)1(2>a a 的点的轨迹.给出下列三个结论：① 曲线C 过坐标原点；② 曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积大于21a 2。
2016年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(12 圆锥曲线与方程)
2016年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全 （12圆锥曲线与方程）一、选择题1.（2016全国Ⅰ文）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14,则该椭圆的离心率为（ ）（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34【答案】B【解析】试题分析：如图,由题意得在椭圆中,11OF c,OB b,OD 2b b 42===⨯= 在Rt OFB ∆中,|OF ||OB||BF ||OD |⨯=⨯,且222a b c =+,代入解得22a 4c =,所以椭圆得离心率得1e 2=,故选B.考点：椭圆的几何性质【名师点睛】求椭圆或双曲线离心率是高考常考问题,求解此类问题的一般步骤是先列出等式,再转化为关于a,c 的齐次方程,方程两边同时除以a 的最高次幂,转化为关于e 的方程,解方程求e .2.（2016全国Ⅰ理）已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是 ( )（A ）()1,3- （B）(- （C ）()0,3 （D）( 【答案】A考点：双曲线的性质【名师点睛】双曲线知识一般作为客观题学生出现,主要考查双曲线几何性质,属于基础题.注意双曲线的焦距是2c 不是c,这一点易出错.x3.（2016全国Ⅰ理）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点,交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB |=DE|=则C 的焦点到准线的距离为 ( )(A)2 (B)4 (C)6 (D)8【答案】B考点：抛物线的性质.【名师点睛】本题主要考查抛物线的性质及运算,注意解析几何问题中最容易出现运算错误,所以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性,基础题失分过多是相当一部分学生数学考不好的主要原因.4.（2016全国Ⅱ文） 设F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，曲线y =kx（k >0）与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k =（ ）（A ）12 （B ）1 （C ）32（D ）2 【答案】D考点： 抛物线的性质，反比例函数的性质.【名师点睛】抛物线方程有四种形式，注意焦点的位置. 对函数y =kx(0)k ≠，当0k >时，在(,0)-∞，(0,)+∞上是减函数，当0k <时，在(,0)-∞，(0,)+∞上是增函数.5.（2016全国Ⅱ理）已知12,F F 是双曲线2222:1x y E a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，211sin 3MF F ∠=,则E 的离心率为（ ）（A （B ）32（C （D ）2【答案】A考点：双曲线的性质.离心率.【名师点睛】区分双曲线中a ，b ，c 的关系与椭圆中a ，b ，c 的关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.双曲线的离心率e ∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率e ∈(0，1)．6.（2016全国Ⅲ文、理）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，,A B分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴..过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ）（A ）13（B ）12（C ）23（D ）34【答案】A考点：椭圆方程与几何性质．【思路点拨】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得,a c 的值，进而求得e 的值；（2）建立,,a b c 的齐次等式，求得ba或转化为关于e 的等式求解；(3)通过特殊值或特殊位置，求出e ．7.（2016四川文）抛物线24y x =的焦点坐标是（ ） (A)(0,2) (B) (0,1) (C) (2,0) (D) (1,0)【答案】D【解析】试题分析：由题意，24y x =的焦点坐标为(1,0)，故选D. 考点：抛物线的定义.【名师点睛】本题考查抛物线的定义．解析几何是中学数学的一个重要分支，圆锥曲线是解析几何的重要内容，它们的定义、标准方程、简单的性质是我们重点要掌握的内容，一定要熟记掌握．8. （2016四川理）设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(p 0)y px => 上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为 （A（B ）23（C（D ）1 【答案】C【解析】试题分析：设()()22,2,,P pt pt M x y （不妨设0t >），则22,2.2p FP pt pt ⎛⎫=-⎪⎝⎭由已知得13FM FP =，22,2362,3p p p x t pt y ⎧-=-⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩， 22,332,3p p x t pt y ⎧=+⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，22112122OM t k t t t ∴==≤=++，()max 2OM k ∴=，故选C. 考点：抛物线的简单的几何性质，基本不等式的应用．【名师点睛】本题考查抛物线的性质，结合题意要求，利用抛物线的参数方程表示出抛物线上点P 的坐标，利用向量法求出点M 的坐标，是我们求点坐标的常用方法，由于要求最大值，因此我们把k 斜率用参数t 表示出后，可根据表达式形式选用函数，或不等式的知识求出最值，本题采用基本不等式求出最值．9.（2016天津文）已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦距为52，且双曲线的一条渐近线与直线02=+y x 垂直，则双曲线的方程为（ ） （A ）1422=-y x （B ）1422=-y x （C ）15320322=-y x （D ）12035322=-y x【答案】A【解析】试题分析：由题意得2212,11241b x yc a b a =⇒==⇒-=，选A.考点：双曲线渐近线【名师点睛】求双曲线的标准方程关注点：(1)确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a ，b 的值，常用待定系数法．(2)利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式，以避免讨论．①若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为Ax2＋By2＝1(AB＜0)．②若已知渐近线方程为mx＋ny＝0，则双曲线方程可设为m2x2－n2y2＝λ(λ≠0)．10.（2016天津理）已知双曲线2224=1x yb-（b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（）（A）22443=1yx-（B）22344=1yx-（C）2224=1x yb-（D）2224=11x y-【答案】D考点：双曲线渐近线【名师点睛】求双曲线的标准方程关注点：(1)确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a，b的值，常用待定系数法．(2)利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式，以避免讨论．①若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为Ax2＋By2＝1(AB＜0)．②若已知渐近线方程为mx＋ny＝0，则双曲线方程可设为m2x2－n2y2＝λ(λ≠0)．11.（2016浙江理）已知椭圆C1：22xm+y2=1(m>1)与双曲线C2：22xn–y2=1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则（）A．m>n且e1e2>1 B．m>n且e1e2<1 C．m<n且e1e2>1 D．m<n且e1e2<1【答案】A考点：1、椭圆的简单几何性质；2、双曲线的简单几何性质．【易错点睛】计算椭圆1C 的焦点时，要注意222c a b =-；计算双曲线2C 的焦点时，要注意222c a b =+．否则很容易出现错误．二、填空1。
全国卷高考十年(2007-2016)圆锥曲线题目汇总
在平面直角坐标系 xOy 中， 椭圆 C 的中心为原点， 焦点 F1 , F2 在 x 轴上， 离心率为 两点，且 △ ABF2 的周长为 16，那么 C 的方程为 。
2 。 过 F1 的直线 L 交 C 于 A, B 2
31． ［2010 年高考全国新课标文数第 5 题］ 中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,2） ，则它的离心率为 （ A） 6 （B） 5 （C）
∆ ABP 的面积为
（A）18 （B）24 （C）36 （D）48
29． ［2011 年高考全国新课标理数第 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 题］ 设直线 L 过双曲线 C 的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂直，L 与 C 交于 A ,B 两点， AB 为 C 的实轴长的 2 倍， 则 C 的离心率为 （A） 2 （B） 3 （C）2 30． ［2011 年高考全国新课标理数第 14 题］ （D）3
1 3
（B）
1 2
（C）
2 3
（D）
3 4
7． ［2015 年高考全国新课标Ⅱ卷文数第 15 题］
8． ［2015 年高考全国新课标Ⅱ卷理数第 11 题］
1
新课程标准（2007-2016）数学试卷分类汇编—圆锥曲线
2016 年 10 月 13 日
9． ［2015 年高考全国新课标Ⅰ卷文数第 5 题］
63 32
D. 9
4
15． ［2014 年高考全国新课标Ⅰ卷文数第 4 题］ 已知双曲线
x2 y2 − = 1(a > 0) 的离心率为 2，则 a = （ a2 3
）
16． ［2014 年高考全国新课标Ⅰ卷文数第 10 题］
2
新课程标准（2007-2016）数学试卷分类汇编—圆锥曲线
2016年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(12圆锥曲线与方程)
2016年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（12圆锥曲线与方程）一、选择题1.（2016全国Ⅰ文）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14,则该椭圆的离心率为（）（A ）13（B ）12（C ）23（D ）34【答案】B【解析】试题分析：如图,由题意得在椭圆中,11OFc,OBb,OD2b b 42在Rt OFB 中,|OF ||OB||BF ||OD |,且222abc ,代入解得22a4c ,所以椭圆得离心率得1e2,故选 B. 考点：椭圆的几何性质【名师点睛】求椭圆或双曲线离心率是高考常考问题,求解此类问题的一般步骤是先列出等式,再转化为关于a,c 的齐次方程,方程两边同时除以a 的最高次幂,转化为关于e 的方程,解方程求 e .2.（2016全国Ⅰ理）已知方程222213x y mnmn表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是()（A ）1,3（B ）1,3（C ）0,3（D ）0,3【答案】A考点：双曲线的性质【名师点睛】双曲线知识一般作为客观题学生出现,主要考查双曲线几何性质,属于基础题.注意双曲线的焦距是2c 不是c,这一点易出错.yxOB FD3.（2016全国Ⅰ理）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点,交C的准线于D、E两点.已知|AB|=42,|DE|=25,则C的焦点到准线的距离为( )(A)2 (B)4 (C)6 (D)8【答案】B考点：抛物线的性质.【名师点睛】本题主要考查抛物线的性质及运算,注意解析几何问题中最容易出现运算错误,所以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性,基础题失分过多是相当一部分学生数学考不好的主要原因.4.（2016全国Ⅱ文）设F为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线y=kx（k>0）与C交于点P，PF⊥x轴，则k=（）（A）12（B）1 （C）32（D）2【答案】D考点：抛物线的性质，反比例函数的性质.【名师点睛】抛物线方程有四种形式，注意焦点的位置. 对函数y=kx(0)k，当0k时，在(,0)，(0,)上是减函数，当0k时，在(,0)，(0,)上是增函数.5.（2016全国Ⅱ理）已知12,F F 是双曲线2222:1x y E ab的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，211sin3MF F ,则E 的离心率为（）（A ）2（B ）32（C ）3（D ）2【答案】A考点：双曲线的性质.离心率.【名师点睛】区分双曲线中a ，b ，c 的关系与椭圆中a ，b ，c 的关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.双曲线的离心率e ∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率e ∈(0，1)．6.（2016全国Ⅲ文、理）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a bab的左焦点，,A B分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PFx 轴..过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（）（A ）13（B ）12（C ）23（D ）34【答案】A考点：椭圆方程与几何性质．【思路点拨】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得,a c 的值，进而求得e 的值；（2）建立,,a b c 的齐次等式，求得b a或转化为关于e 的等式求解；(3)通过特殊值或特殊位置，求出e ．7.（2016四川文）抛物线24yx 的焦点坐标是（）(A)(0,2) (B) (0,1) (C) (2,0) (D) (1,0)【答案】D【解析】试题分析：由题意，24yx 的焦点坐标为(1,0)，故选 D.考点：抛物线的定义.【名师点睛】本题考查抛物线的定义．解析几何是中学数学的一个重要分支，圆锥曲线是解析几何的重要内容，它们的定义、标准方程、简单的性质是我们重点要掌握的内容，一定要熟记掌握．8.（2016四川理）设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(p 0)ypx 上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为（A ）33（B ）23（C ）22（D ）1【答案】C【解析】试题分析：设22,2,,P pt pt M x y （不妨设0t ），则22,2.2p FP ptpt 由已知得13FMFP ，22,2362,3ppp xtpty ，22,332,3p p x tpt y，2211212121222OMtk ttt，max22OMk ，故选 C.考点：抛物线的简单的几何性质，基本不等式的应用．【名师点睛】本题考查抛物线的性质，结合题意要求，利用抛物线的参数方程表示出抛物线上点P 的坐标，利用向量法求出点M 的坐标，是我们求点坐标的常用方法，由于要求最大值，因此我们把k 斜率用参数t 表示出后，可根据表达式形式选用函数，或不等式的知识求出最值，本题采用基本不等式求出最值．9.（2016天津文）已知双曲线)0,0(12222ba by ax 的焦距为52，且双曲线的一条渐近线与直线02yx 垂直，则双曲线的方程为（）（A ）1422yx（B ）1422yx（C ）15320322y x（D ）12035322yx 【答案】A【解析】试题分析：由题意得2215,2,11241b xyc a b a，选A.考点：双曲线渐近线【名师点睛】求双曲线的标准方程关注点：(1)确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a ，b 的值，常用待定系数法．(2)利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式，以避免讨论．。
2016-2018年高考理科圆锥曲线真题(全国卷)
2016~2018高考圆锥曲线（全国卷）1.（2016全国一）已知方程132222=--+n m y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则m 的取值范围是（A ）（1-，3） （B ）（1-，3） （C ）（0，3） （D ）（0，3） 2.（2016全国一）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ,B 两点，交C 的准线于D ,E 两点．已知24=AB ，52=DE ，则C 的焦点到准线的距离为 （A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8 3. （2016全国一）设圆015222=-++x y x 的圆心为A ，直线l 过点)0,1(B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于D C ,两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （Ⅰ）证明EB EA +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（Ⅱ）设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交1C 于N M ,两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于Q P ,两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.4.（2016全国二）已知是双曲线的左，右焦点，点在上，与轴垂直，,则E 的离心率为（ ）（A（B ）（C （D ）25.（2016全国二）已知椭圆的焦点在轴上，是的左顶点，斜率为的直线交于两点，点在上，． （Ⅰ）当时，求的面积； （Ⅱ）当时，求的取值范围．6.（2016全国三）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线12,F F 2222:1x y E a b -=M E 1MF x 211sin 3MF F ∠=32:E 2213x y t +=x A E (0)k k >E ,A M N E MA NA ⊥4,||||t AM AN ==AMN ∆2AM AN =k段PF 交于点M ，与y 轴交于点E . 若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为 A.13B. 12C. 23D. 347.（2016全国三）已知抛物线C ：y 2=2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点. (1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.8.（2017全国一）已知F 为抛物线C ：24y x =的交点，过F 作两条互相垂直1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，AB DE +的最小值为（）A ．16B ．14C ．12D ．109.（2017全国一）已知双曲线2222:x y C a b-，（0a >，0b >）的右顶点为A ，以A 为圆心，b为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，若60MAN ∠=︒，则C 的离心率为_______．10.（2017全国一）已知椭圆C ：22221x y a b +=()0a b >>，四点()111P ，，()201P ，，31P ⎛- ⎝⎭，41P ⎛ ⎝⎭中恰有三点在椭圆C 上． （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过2P 点且与C 相交于A 、B 两点，若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-，证明：l 过定点．11.（2017全国二）若双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为( )A. 2B.C. D.12.（2017全国二）已知F 是抛物线C ：28y x = 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，若M 为FN 的中点，则FN =_____________.13.（2017全国二）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆22:12x C y +=上，过M 作x轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ =，证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .14.（2017全国三）已知双曲线22221x y C a b-=：（0a >，0b >）的一条渐近线方程为y =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点．则C 的方程为（） A ．221810x y -= B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -=15.（2017全国三）已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段1A 2A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（）A B C D ．1316.（2017全国三）已知抛物线2:2C y x ，过点（2，0）的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M是以线段AB 为直径的圆．（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点P （4，2），求直线l 与圆M 的方程．17.（2018全国一）设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅= A ．5B ．6C ．7D ．819.（2018全国一）已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |= A ．32B ．3C ．D ．420.（2018全国一）设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B两点，点M 的坐标为(2,0).（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠.21.（2018全国二）双曲线x 2a 2−y 2b 2=1 (a >0, b >0)的离心率为√3，则其渐近线方程为A. y =±√2xB. y =±√3xC. y =±√22xD. y =±√32x 22.（2018全国二）已知F 1，F 2是椭圆C ： x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0)的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为√36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P =120°，则C 的离心率为A. 23B. 12C. 13D. 1423.（2018全国二）设抛物线C ： y 2=4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k(k >0)的直线与C 交于A ，B 两点，|AB| =8， ，1）求的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．24.（2018全国三）设12,F F 是双曲线C: 22221x y a b-=（a >O ，b >0）的左、右焦点，O是坐标原点，过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ，若1PF =，则C 的离心率为 （ ）A. B. 2 C.25.（2018全国三）已知点M （-1,1）和抛物线C: 24y x =，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A,B 两点，若∠AMB=90。
2016年全国高考数学试题分类汇编考点36曲线与方程圆锥曲线的综合应用
考点36 曲线与方程、圆锥曲线的综合应用一、解答题1.(2016年全国卷Ⅰ高考理科·T20)设圆x 2＋y 2＋2x-15＝0的圆心为A ,直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合, l 交圆A 于C ,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E. (1)证明|EA|＋|EB|为定值,并写出点E 的轨迹方程.(2)设点E 的轨迹为曲线C 1,直线l 交C 1于M ,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围.【试题解析】(1)圆A 整理为(x ＋1)2＋y 2＝16,点A 坐标为(-1,0),如图,∵BE ∥AC ,则∠ACB ＝∠EBD ,由|AC|＝|AD|,则∠ADC ＝∠ACD , ∴∠EBD ＝∠EDB ,则|EB|＝|ED|,∴|AE|＋|EB|＝|AE|＋|ED|＝|AD|＝4.所以E 的轨迹为一个椭圆,方程为2x 4＋2y 3＝1(y ≠0);(2)C 1: 2x 4 ＋2y 3＝1;设l :x ＝my ＋1,因为PQ ⊥l ,设PQ :y ＝-m (x-1),联立l 与椭圆C 1,22x my 1,x y 1,43⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得(3m 2＋4)y 2＋6my-9＝0; 则|MN|＝M -y N |＝3m 4+＝()2212m13m 4++;圆心A 到PQ 距离d ＝,所以|PQ|＝22＝,∴S MPNQ ＝12|MN|·|PQ|＝12·()2212m 13m 4+⋅+＝＝24[12,8. 2.(2016年全国卷Ⅰ高考文科·T20)在直角坐标系xOy 中,直线l :y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ,交抛物线C :y 2＝2px (p ＞0)于点P ,M 关于点P 的对称点为N ,连接ON 并延长交C 于点H. (1)求OH ON.(2)除H 以外,直线MH 与C 是否有其他公共点?说明理由.【试题解析】(1)由已知得M (0,t ),P 2t ,t 2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭,又N 为M 关于点P 的对称点,故N 2t ,t p ⎛⎫⎪⎝⎭,故直线ON 的方程为y ＝p t x ,将其代入y 2＝2px 整理得px 2-2t 2x ＝0,解得x 1＝0,x 2＝22t p ,因此H 22t ,2t p ⎛⎫⎪⎝⎭,所以N 为OH 的中点,即OH ON＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点.理由如下: 直线MH 的方程为y-t ＝p2tx ,即x ＝2t p (y-t ).代入y 2＝2px 得y 2-4ty ＋4t 2＝0,解得y 1＝y 2＝2t ,即直线MH 与C 只有一个公共点,所以除H 以外,直线MH 与C 没有其他公共点.3.(2016年全国卷Ⅲ·理科·T20)(本小题满分12分)已知抛物线C :y 2＝2x 的焦点为F ,平行于x 轴的两条直线l 1,l 2分别交C 于A ,B 两点,交C 的准线于P ,Q 两点.(1)若F 在线段AB 上,R 是PQ 的中点,证明:AR ∥FQ.(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍,求AB 中点的轨迹方程.【试题解析】(1)由题意可知F 1,02⎛⎫⎪⎝⎭,设l 1:y ＝a ,l 2:y ＝b 且ab ≠0,A 2a ,a 2⎛⎫ ⎪⎝⎭,B 2b ,b 2⎛⎫ ⎪⎝⎭P 1,a 2⎛⎫-⎪⎝⎭,Q 1,b 2⎛⎫- ⎪⎝⎭,R 1a b ,22⎛⎫+- ⎪⎝⎭, 记过A ,B 两点的直线方程为l ,由点A ,B 可得直线方程为2x-(a ＋b )y ＋ab ＝0, 因为点F 在线段AB 上,所以ab ＋1＝0, 记直线AR 的斜率为k 1,直线FQ 的斜率为k 2, 所以k 1＝2a b1a -+,k 2＝b 1122--＝-b ,又因为ab ＋1＝0, 所以k 1＝22a b a b 1aba a 1a a abb ---====-+-,所以k 1＝k 2,即AR ∥FQ.(2)设直线AB 与x 轴的交点为D ()1x ,0, 所以S △ABF ＝1111a b FD a b x 222-=--, 又S △PQF ＝a b 2-,所以由题意可得S △PQF ＝2S △ABF 即:a b 2- ＝2×12·11x 2a b ⋅--, 解得x 1＝0(舍)或x 1＝1.设满足条件的AB 的中点为E (x ,y ). 当AB 与x 轴不垂直时,由k AB ＝k DE 可得2y a b x 1=+-(x ≠1).而21a b y =+,所以y 2＝x-1(x ≠1). 当AB 与x 轴垂直时,E 与D 重合,所以,所求轨迹方程为y 2＝x-1.4.(2016年全国卷Ⅲ·文科·T20)(本小题满分12分)已知抛物线C :y 2＝2x 的焦点为F ,平行于x 轴的两条直线l 1,l 2分别交C 于A ,B 两点,交C 的准线于P ,Q 两点.(1)若F 在线段AB 上,R 是PQ 的中点,证明:AR ∥FQ.(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍,求AB 中点的轨迹方程. 【试题解析】(1)由题意知F 1,02⎛⎫⎪⎝⎭.设l 1:y ＝a ,l 2:y ＝b ,且ab ≠0,则A 2a ,a 2⎛⎫ ⎪⎝⎭,B 2b ,b 2⎛⎫ ⎪⎝⎭,P 1,a 2⎛⎫- ⎪⎝⎭,Q 1,b 2⎛⎫- ⎪⎝⎭, R 1a b ,22⎛⎫+-⎪⎝⎭. 记过A ,B 两点的直线方程为l ,则l 的直线方程为2x-(a ＋b )y ＋ab ＝0. 由于F 在线段AB 上,故1＋ab ＝0. 记直线AR 的斜率为k 1,FQ 的斜率为k 2,则 k 1＝222a b a b 1ab====-b=k aa 1a a ab ---+-.所以AR ∥FQ.(2)设l 与x 轴的交点为D (x 1,0),则S △ABF ＝1111b a FD b a x 222-=--,S △PQF ＝a b 2-. 由题设可得2×1a b 11b a x 222---=.所以x 1＝0(舍去)或x 1＝1. 设满足条件的AB 的中点为E (x ,y ). 当AB 与x 轴不垂直时,由k AB ＝k DE 可得2ya b x 1=+-(x ≠1).而a b 2+＝y ,所以y 2＝x-1(x ≠1).当AB 与x 轴垂直时,E 与D (1,0)重合,所以,所求轨迹方程为y 2＝x-1.5.(2016年四川高考文科·T20)已知椭圆E : 2222x y a b+＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点,点P 1 3,2⎫⎪⎭在椭圆E 上.(1)求椭圆E 的方程.(2)设不过原点O 且斜率为12的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ,B ,线段AB 的中点为M ,直线OM 与椭圆E 交于C ,D ,证明:|MA|·|MB|＝|MC|·|MD|.【解题指南】(1)利用点在椭圆上,列出方程,解出b 的值,从而得到椭圆的标准方程.(2)利用椭圆的几何性质,数形结合,利用根与系数的关系,进行计算.【试题解析】(1)由已知,a ＝2b ,又椭圆2222x y a b +＝1(a ＞b ＞0)过点P 1 3,2⎫⎪⎭,故221344b b+＝1,解得b 2＝1,所以椭圆的方程为2x 4＋y 2＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝12x ＋m ()m 0≠,A ()11x ,y ,B ()22x ,y ,由方程组22x y 1,41y x m,2⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得x 2＋2mx ＋2m 2-2＝0,①方程①的判别式为Δ＝4()22m -,由Δ＞0,即2-m 2＞0,解得-m＜由①得x 1＋x 2＝-2m ,x 1x 2＝2m 2-2,所以M 点坐标为m m,2⎛⎫- ⎪⎝⎭,直线OM 的方程为y ＝-12x ,由22x y 1,41y x,2⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得C ⎛ ⎝⎭,D -⎝⎭, 所以MC MD ⋅＝((()25m m 2m 4-+⋅+=-, 所以21MA MB AB 4⋅= ＝()()2212121x x y y 4⎡--⎤+⎢⎥⎣⎦ ＝()()222121255x x 4x x 4m 42m 21616⎡⎤⎡⎤+-=--⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ＝54(2-m 2),所以MC MD MA MB ⋅=⋅.6.(2016年江苏高考T22)(本小题满分10分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l :x-y-2＝0,抛物线C :y 2＝2px (p ＞0). (1)若直线l 过抛物线C 的焦点,求抛物线C 的方程.(2)已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q. ①求证:线段PQ 的中点坐标为(2-p ,-p ); ②求p 的取值范围.【解题指南】(1)求出直线与x 轴的交点坐标可得p 的值.(2)利用对称知识及PQ 的中点坐标构造关于y 的一元二次方程,利用判别式大于零求解. 【试题解析】(1)因为l :x-y-2＝0,所以l 与x 轴的交点坐标为(2,0), 即抛物线的焦点为(2,0),所以p 2＝2,所以y 2＝8x.(2)①设点P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则211222y 2px y 2px ⎧=⎪⎨=⎪⎩⇒211222y x ,2p y x ,2p ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则 k PQ ＝12221212y y 2p=y y y y 2p 2p-+-,又因为P ,Q 关于直线l 对称, 所以k PQ ＝-1,即y 1＋y 2＝-2p , 所以12y y 2+＝-p ,又因为P ,Q 的中点一定在直线l 上, 所以1212x x y y =22++＋2＝2-p ,所以线段PQ 的中点坐标为(2-p ,-p ). ① 为中点坐标为(2-p ,-p ),12221212y y 2p,y y x x 42p,2p ⎧+=-⎪⎨++==-⎪⎩即1222212y y 2p,y y 8p 4p ,⎧+=-⎪⎨+=-⎪⎩ 所以12212y y 2p,y y 4p 4p,⎧+=-⎪⎨=-⎪⎩即方程y 2＋2py ＋4p 2-4p ＝0有两个不等实根. 所以Δ＞0,(2p )2-4(4p 2-4p )＞0⇒p ∈40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭.。
2016-2018年高考理科圆锥曲线真题(全国卷)
2016~2018高考圆锥曲线（全国卷）1.（2016全国一）已知方程132222=--+n m y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则m 的取值范围是（A ）（1-，3）（B ）（1-，3）（C ）（0，3）（D ）（0，3）2.（两点．已知=AB （A ）23.（l 交圆A 于C ,（Ⅱ）Q P ,两4.（2016轴垂直，2sin MF ∠（A 5.（2016全国二）已知椭圆:E 2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于,A M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥． （Ⅰ）当4,||||t AM AN ==时，求AMN ∆的面积； （Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围．6.（2016全国三）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为 A.13B.12C.23D.347.（2016全国三）已知抛物线C ：y 2=2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B(1)若F (2)若△8.（2017A 、B 两点，直线l A ．169.（2017A ，圆A与双曲线10.（20171⎛ ⎝⎭中（1）求C （2）l 过定点．11.（所截得的弦长为2，则C 的离心率为()A.2 12.（2017全国二）已知F 是抛物线C ：28y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，若M 为FN 的中点，则FN =_____________.13.（2017全国二）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆22:12x C y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =. （1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ =，证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .14.（221123x y +=A 15.（2为直径的A 16.（AB 为直（1（217.（交于M ，N 两点，则FM FN ⋅=B ．619.（2018全国一）已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C的两条渐近线的交点分别为M 、N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |=A ．32B ．3C ．D ．420.（2018全国一）设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0).（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠.21.（C.22.（，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为 B. D.23.（的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．（1且与的准线相切的圆的方程．24.（2F 作C 25.（2018全国三）已知点M （-1,1）和抛物线C:24y x =，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A,B 两点，若∠AMB=90。
2016-2018年高考理科圆锥曲线真题(全国卷)
2016~2018高考圆锥曲线（全国卷）1.（2016全国一）已知方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则m 的取值范围是（A ）（1-，3）（B ）（1-，3）（C ）（0，3）（D ）（0，3）2.（D ,E （A ）23.（合，l A 交于P ,4.（1MF 与213（A （B ）32（C （D ）25.（2016全国二）已知椭圆:E 2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于,A M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥．（Ⅰ）当4,||||t AM AN ==时，求AMN ∆的面积； （Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围．6.（2016全国三）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于7.（l 1，l 28.（2017A 、B 两点，直线A ．16 9.（2017A ，圆A 与双曲线10.（2017⎭中恰有三点在椭圆C 上．（1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过2P 点且与C 相交于A 、B 两点，若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-，证明：l 过定点．11.（2017全国二）若双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为()A.2312.（2017全国二）已知F是抛物线C：28y x=的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若M为FN的中点，则FN=_____________.13.（2017全国二）设O为坐标原点，动点M在椭圆22:1xC y+=上，过M作x轴的垂满足2NP NM=.的轨迹方程；（21PQ=，证明：过点C的左焦点14.（21 3y=A15.（A16.（为直径的圆．（1）证明：坐标原点O在圆M上；（2）设圆M过点P（4，2-），求直线l与圆M的方程．17.（2018全国一）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C交于M，N两点，则FM FN⋅=A ．5B ．6C ．7D ．819.（2018全国一）已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |=A ．32 B ．3 C ． D ．420.（21.（2018全国二）双曲线的离心率为，则其渐近线方程为A. C. D.22.（2018全国二）已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为A.B.C.D.23.（2018．（1）求的方程； （2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．24.（2018全国三）设12,F F 是双曲线C:22221x y a b-=（a >O ，b >0）的左、右焦点，O 是坐标原点，过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ，若1PF ，则C 的离心率为（）225.（2018全国三）已知点M（-1,1）和抛物线C:24y x=，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点，若∠AMB=90。
2016年高考数学真题解析之圆锥真题(理科)
2016高考圆锥曲线真题汇总（理科）1．平面直角坐标系xOy 中，椭圆C抛物线E ：22x y =的焦点F 是C 的一个顶点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M.（ⅰ）求证：点M 在定直线上;（ⅱ）直线l 与y 轴交于点G ，记△PFG 的面积为1S ，△P D M 的面积为2S ，的最大值及取得最大值时点P 的坐标.2．已知椭圆E三个顶点，直线l: 3y x =-+与椭圆E 有且只有一个公共点T.（Ⅰ）求椭圆E 的方程及点T 的坐标；（Ⅱ）设O 是坐标原点，直线l '平行于OT,与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P.证明：存在常数λ的值. 3．右焦点分别为12F F 、，直线l 过2F 且与双曲线交于A B 、两点.（1）若l 的倾斜角为，1F AB △是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； （2，若l 的斜率存在，且11()0F A F B AB +⋅=u u u r u u u r u u u r ，求l 的斜率.4a ＞1）.（Ⅰ）求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长（用a 、k 表示）；（Ⅱ）若任意以点A （0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x -y -2=0，抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）.（1）若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程；（2）已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q.①求证：线段PQ 的中点坐标为(2,)p p --；②求p 的取值范围.6．的右焦点为F,右顶点为A.其中O 为原点，e 为椭圆的离心率.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若BF ⊥HF ，且∠MOA≤∠MAO,求直线l 的斜率的取值范围.7．已知椭圆C （0a b >>），(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，△OAB 的面积为1.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N..8．已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点.（Ⅰ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；（Ⅱ）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.9．已知椭圆的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k （k > 0）的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA.（Ⅰ）当t=4AMN 的面积；k 的取值范围.10．设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E.E 的轨迹方程；（Ⅱ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.参考答案1．（Ⅰ）1422=+y x ;（Ⅱ）（Ⅰ）见解析；（此时点P 的坐标为【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷精编版）【解析】试题分析：（Ⅰ）根据椭圆的离心率和焦点求方程；（Ⅱ）（Ⅰ）由点P 的坐标和斜率设出直线l 的方程和抛物线联立，进而判断点M 在定直线上；（Ⅱ）分别列出1S ，2S 面积的表达式，根据二次函数求最值和此时点P 的坐标.试题解析： ，可得：b a 2=. 因为抛物线E 的焦点为所以椭圆C 的方程为1422=+y x .（Ⅱ），由y x 22=可得y'x =， 所以直线l 的斜率为m ， 因此直线l 的方程为设),(),,(),,(002211y x D y x B y x A ，联立方程得014)14(4322=-+-+m x m x m ， 由0∆>，得，所以直线OD 方程为，得点M 的纵坐标为 即点M 在定直线. （Ⅱ）由（Ⅰ）知直线l 方程为 令0=x 得令122+=m t ，则，即2=t 时，，满足0∆>， 所以点P 的坐标为，此时点P 的坐标为 【考点】椭圆方程；直线和抛物线的关系；二次函数求最值；运算求解能力.【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答此类题目，利用,,,a b c e 的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，应用确定函数最值的方法（如二次函数的性质、基本不等式、导数等）求“目标函数”的最值.本题的易错点是对复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出..本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题和解决问题的能力等.2．T 坐标为（2,1）；【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（四川卷精编版）【解析】试题分析：本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查学生的分析问题、解决问题的能力和数形结合的思想.第（Ⅰ）问，利用直线和椭圆只有一个公共点，联立方程，消去y 得关于x 的方程有两个相等的实数根，解出b 的值，从而得到椭圆E 的方程；第（Ⅱ）问，利用椭圆的几何性质，数形结合，根据根与系数的关系，进行求解.试题解析：E得22312(182)0x x b -+-=.① 方程①的判别式为2=24(3)b ∆-，由=0∆，得2=3b ， 此时方程①的解为=2x ， 所以椭圆E点T 坐标为（2,1）. （Ⅱ）由已知可设直线l '的方程为所以P设点A ，B 的坐标分别为1122(,)(,)A x y B x y ，.可得2234(412)0x mx m ++-=.② 方程②的判别式为2=16(92)m ∆-，由>0∆，解得【考点】椭圆的标准方程及其几何性质【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查学生的分析问题、解决问题的能力和数形结合的思想.在涉及直线与椭圆（圆锥曲线）的交点问题时，一般设交点坐标为1122(,),(,)x y x y ，同时把直线方程与椭圆方程联立，消元后，可得1212,x x x x +，再把用12,x x 表示出来，并代入1212,x x x x +的值，这种方法是解析几何中的“设而不求”法，可减少计算量，简化解题过程．3．（1（2 【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（上海卷精编版）【解析】试题分析：（1）设(),ΑΑΑx y ，根据题设条件得到()24413b b +=，从而解得2b 的值．（2）设()11,Αx y ，()22,Αx y ，直线:l ()2y k x =-与双曲线方程联立，得到一元二次方程，根据l 与双曲线交于两点，可得230k -≠，且()23610k ∆=+>．再设ΑΒ的中点为(),ΜΜΜx y ，由()110F ΑF ΒΑΒ+⋅=u u u r u u u r u u u r 即10F ΜΑΒ⋅=u u u u r u u u r ，从而得到11F Μk k ⋅=-，进而构建关于k 的方程求解即可．试题解析：（1）设(),ΑΑΑx y ．由题意，()2,0F c ，，()22241Αy b c b =-=， 因为1F ΑΒ△是等边三角形，所以即()24413b b +=，解得22b =．（2）由已知，()12,0F -，()22,0F ． 设()11,Αx y ，()22,Βx y ，直线:l ()2y k x =-．显然0k ≠． ，得()222234430k x k x k --++=． 因为l 与双曲线交于两点，所以230k -≠，且()23610k ∆=+>． 设ΑΒ的中点为(),ΜΜΜx y ． 由11()0F A F B AB +⋅=u u u r u u u r u u u r 即10F ΜΑΒ⋅=u u u u r u u u r ，知1F ΜΑΒ⊥，故11F Μk k ⋅=-．，故l 的斜率为 【考点】双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系、平面向量的数量积【名师点睛】本题对考生的计算能力要求较高，是一道难题.解答此类题目时，利用,,,a b c e 的关系，确定双曲线（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与双曲线（圆锥曲线）方程得到方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题与解决问题的能力等.4．【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（浙江卷精编版）【解析】试题分析：（Ⅰ）先联立1y kx =+和，可得1x ，2x ，再利用弦长公式可得直线1y kx =+被椭圆截得的线段长；（Ⅱ）先假设圆与椭圆的公共点有4个，再利用对称性及已知条件可得任意以点()0,1A 为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点时，a 的取值范围，进而可得椭圆离心率的取值范围．试题解析：（Ⅰ）设直线1y kx =+被椭圆截得的线段为AP ，()2222120a k x a kx ++=， 故10x =，（Ⅱ）假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足记直线AP ，AQ 的斜率分别为1k ，2k ，且1k ，20k >，12k k ≠．所以()()22222222121212120k k k k a a k k ⎡⎤-+++-=⎣⎦． 由于12k k ≠，1k ，20k >得()2222221212120k k a a k k +++-=，① 因为①式关于1k ，2k 的方程有解的充要条件是221(2)1a a +->，因此，任意以点()0,1A 为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为【考点】弦长，圆与椭圆的位置关系，椭圆的离心率．【思路点睛】（Ⅰ）先联立1y kx =+和可得直线1y kx =+被椭圆截得的线段长；（Ⅱ）利用对称性及已知条件任意以点()0,1Α为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求得 5．（1）x y 82=（2【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷精编版） 【解析】 试题分析：（1）先确定抛物线焦点，再将点代入直线方程；（2）①利用抛物线点之间关系进行化简，结合中点坐标公式求证，②利用直线与抛物线位置关系确定数量关系：2244(44)0p p p ∆=-->，解出p 的取值范围.试题解析：解：（1）抛物线2:y 2(0)C px p =>的焦点为在直线:20l x y --=上，得，即 4.p = 所以抛物线C 的方程为28.y x =（2）设1122(,),(,)P x y Q x y ，线段PQ 的中点00(,)M x y 因为点P 和Q 关于直线l 对称，所以直线l 垂直平分线段PQ ， 于是直线PQ 的斜率为1-，则可设其方程为.y x b =-+①由22y px y x b⎧=⎨=-+⎩消去x 得2220(*)y py pb +-=因为P 和Q 是抛物线C 上的相异两点，所以12,y y ≠ 从而2(2)4(2)0p pb ∆=-->，化简得20p b +>.方程（*因为00(,)M x y 在直线l 上，所以02.x p =- 因此，线段PQ 的中点坐标为(2,).p p -- ②因为(2,).M p p --在直线y x b =-+上 所以(2)p p b -=--+，即22.b p =-由①知20p b +>，于是2(22)0p p +->，所以因此p 的取值范围为【考点】直线与抛物线位置关系【名师点睛】在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑：（1）利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；（3）利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用基本不等式求出参数的取值范围；（5）利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．6．【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷精编版）【解析】试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程，只需确a 的值，得再利用222a cb -=，可解得a 的值；（Ⅱ）先化简条件：MOA MAO ∠=∠⇔||||MA MO =，即M 再OA 的中垂线上，1M x =，再利用直线与椭圆位置关系，联立方程组求B ；利用两直线方程组求H ，最后根据HF BF ⊥，列等量关系即可求出直线斜率的取值范围.试题解析：（Ⅰ）解：设(,0)F c ，由2223a c c -=，又2223a c b -==，所以21c =，因此24a =，所以椭圆的方程为 （Ⅱ）解：设直线l 的斜率为k （0≠k ），则直线l 的方程为)2(-=x k y .设),(B B y x B ，由方程组，消去y ，整理得0121616)34(2222=-+-+k x k x k .解得2=x ，或由（Ⅰ）知，)0,1(F ，设),0(H y H ，有FH u u u r (1,)H y =-， 由HF BF ⊥，得0BF HF ⋅=u u u r u u u r ，所以因此直线MH 的方程为设),(M M y x M ，由方程组消去y ，解得 在MAO △中，||||MO MA MAO MOA ≤⇔∠≤∠，即2222)2(M M M M y x y x +≤+-，化简得1≥M x ，即所以，直线l 的斜率的取值范围为 【考点】椭圆的标准方程和几何性质，直线方程【名师点睛】在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑： （1）利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；（3）利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用基本不等式求出参数的取值范围；（5）利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．7．（Ⅱ）见解析. 【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（北京卷精编版） 【解析】试题分析：，△OAB 的面积为1中222c b a +=列方程组进行求解；（Ⅱ）求其乘积为定值.试题解析：解得1,2==b a . 所以椭圆C 的方程为（Ⅱ）由（Ⅰ）知，)1,0(),0,2(B A ，设),(00y x P ，则442020=+y x .当00≠x 时，直线PA 的方程为令0=x ，得直线PB 的方程为令0=y ，得4=.当00=x 时，10-=y ，.【考点】椭圆方程、直线与椭圆的位置关系、运算求解能力【名师点睛】解决定值、定点的方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元思想的运用可有效地简化运算. 8．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）21y x =-．【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷精编版） 【解析】试题分析：（Ⅰ）设出与x 轴平行的两条直线的方程，得出,,,,A B P Q R 的坐标，然后通过证明直线AR 与直线FQ 的斜率相等即可证明AR ∥FQ ；（Ⅱ）设直线l 与x 轴的交点为1(,0)D x ，利用面积关系可求得1x 的值，设出AB 的中点(,)E x y ，根据AB 与x 轴是否垂直分两种情况讨论求解.设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且记过B A ,两点的直线为l ，则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x . （Ⅰ）由于F 在线段AB 上，故01=+ab . 记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则所以FQ AR ∥. （Ⅱ）设l与x轴的交点为)0,(1x D ，则2Q F ，11=x . 设满足条件的AB 的中点为),(y x E .当AB 与x 轴不垂直时，由DE AB k k =可所以)1(12≠-=x x y .当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合.所以，所求轨迹方程为12-=x y .【考点】抛物线的简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，轨迹方程的求法．【方法归纳】（1）解析几何中平行问题的证明主要是通过证明两条直线的斜率相等或转化为利用向量证明；（2）求轨迹的方法在高考中最常考的是直接法与代入法（相关点法），利用代入法求解时必须找准主动点与从动点．9．【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷精编版） 【解析】试题分析：（Ⅰ）先求直线AM 的方程，再求点M 的纵坐标，最后求AMN △的面积；（Ⅱ）设()11,M x y ，写出A 点坐标，并求直线AM 的方程，将其与椭圆方程组成方程组，消去y ，用,t k 表示1x ，从而表示||AM ，同理用,t k 表示||AN ，t 的取值范围求k 的取值范围.试题解析：（Ⅰ）设()11,M x y ，则由题意知10y >，当4t =时，E 的方程为()2,0A -.由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为因此直线AM 的方程为2y x =+. 将2x y =-代入得27120y y -=.解得0y =或因此AMN △的面积 （Ⅱ）由题意3t >，0k >，将直线AM的方程代入得由题设，直线AN 的方程为，即()()32321k t k k -=-..3t >等价于由此得32020k k ->⎧⎨-<⎩，或32020k k -<⎧⎨->⎩，解得 因此k 的取值范围是【考点】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系 【名师点睛】由直线（系）和圆锥曲线（系）的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数（系数）的范围问题，常把所求参数作为函数值，另一个元作为自变量求解．10．（0≠y ）；【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷精编版）【解析】 试题分析：（Ⅰ）利用椭圆定义求方程；（Ⅱ）把面积表示为关于斜率k 的函数，再求最值。
2016年高考数学理试题分类汇编：圆锥曲线
2016年高考数学理试题分类汇编圆锥曲线一、选择题1、（2016年四川高考）设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(p 0)y px => 上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为（A ）33 （B ）23（C ）22 （D ）1 【答案】C2、（2016年天津高考）已知双曲线2224=1x y b -（b >0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形的ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为（ ）（A ）22443=1y x -（B ）22344=1y x -（C ）2224=1x y b -（D ）2224=11x y - 【答案】D3、（2016年全国I 高考）已知方程x 2m 2+n –y 23m 2–n =1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（A ）(–1,3) （B ）(–1,3) （C ）(0,3) （D ）(0,3)【答案】A4、（2016年全国I 高考）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点.已知|AB |=42，|DE|=25，则C 的焦点到准线的距离为（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8 【答案】B5、（2016年全国II 高考）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a=（ ）（A ）43- （B ）34- （C ）3 （D ）2 【答案】A6、（2016年全国II 高考）圆已知12,F F 是双曲线2222:1x y E a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，211sin 3MF F ∠=,则E 的离心率为（ ） （A ）2 （B ）32（C ）3 （D ）2【答案】A7、（2016年全国III 高考）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C的左，右顶点.P为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中 点，则C 的离心率为（A ）13（B ）12（C ）23（D ）34【答案】A8、（2016年浙江高考） 已知椭圆C 1：22x m +y 2=1(m >1)与双曲线C 2：22x n–y 2=1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<1 【答案】A二、填空题1、（2016年北京高考）双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点，若正方形OABC 的边长为2，则a =_______________. 【答案】22、（2016年山东高考）已知双曲线E ：22221x y a b-= （a ＞0，b ＞0），若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |=3|BC |，则E 的离心率是_______. 【答案】2【解析】由题意c 2=BC ，所以3c =AB ，于是点),23（c c 在双曲线E 上，代入方程，得1492222=b c －a c ， 在由2c b a =+22得E 的离心率为2==ace ，应填2.3、（2016年上海高考）已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则21,l l 的距离_______________【答案】2554、（2016年浙江高考）若抛物线y 2=4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是_______． 【答案】95、(2016江苏省高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22221()x y a b a b+=＞＞0 的右焦点，直线2b y = 与椭圆交于B ，C两点，且90BFC ∠= ,则该椭圆的离心率是 ▲ .(第10题)【答案】63三、解答题1、（2016年北京高考） 已知椭圆C ：22221+=x y a b（0a b >>）的离心率为32 ，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，OAB ∆的面积为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 的椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N. 求证：BM AN ⋅为定值. 【解析】⑴由已知，31,122c ab a ==，又222a b c =+， 解得2,1, 3.a b c ===∴椭圆的方程为2214x y +=. ⑵方法一：设椭圆上一点()00,P x y ，则220014x y +=.直线PA ：()0022y y x x =--,令0x =，得0022M y y x -=-. ∴00212y BM x =+- 直线PB ：0011y y x x -=+,令0y =，得001N x x y -=-. ∴0021x AN y =+- 0000000000220000000000221122222214448422x y AN BM y x x y x y x y x y x y x y x y x y ⋅=+⋅+--+-+-=⋅--++--+=--+将220014x y +=代入上式得=4AN BM ⋅故AN BM ⋅为定值.方法二：设椭圆 上一点()2cos ,sin P θθ，直线PA:()sin 22cos 2y x θθ=--,令0x =，得sin 1cos M y θθ=-. ∴sin cos 11cos BM θθθ+-=-直线PB :sin 112cos y x θθ-=+,令0y =，得2cos 1sin N x θθ=-. ∴2sin 2cos 21sin AN θθθ+-=-2sin 2cos 2sin cos 11sin 1cos 22sin 2cos 2sin cos 21sin cos sin cos 4AN BM θθθθθθθθθθθθθθ+-+-⋅=⋅----+=--+=故AN BM ⋅为定值.2、（2016年山东高考）平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b+=＞＞ 的离心率是32，抛物线E ：22x y =的焦点F 是C 的一个顶点.（I ）求椭圆C 的方程；（II ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M . （i ）求证：点M 在定直线上;（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG △的面积为1S ，PDM △的面积为2S ，求12S S的最大值及取得最大值时点P 的坐标.【解析】(Ⅰ) 由离心率是23，有224=b a ， 又抛物线y x 2=2的焦点坐标为)21,0(F ，所以21=b ，于是1=a ， 所以椭圆C 的方程为1=4+22y x ．(Ⅱ) （i ）设P 点坐标为)0>(),2m m ,P 2m （， 由y x 2=2得x y =′，所以E 在点P 处的切线l 的斜率为m ， 因此切线l 的方程为2=2m mx －y ，设),(),,(2211y x B y x A ，),(00y x D ，将2=2m mx －y 代入1=4+22y x ，得0=1+4)4+12322－m x m －x m （．于是23214+14=+m m x x ，232104+12=2+=m m x x x ， 又)4+1(2=2=22200m －m m －mx y ，于是 直线OD 的方程为x m－y 41=． 联立方程x m －y 41=与m x =，得M 的坐标为)41M(m,－． 所以点M 在定直线41=y －上．（ii ）在切线l 的方程为2=2m mx －y 中，令0=x ，得2m =y 2－，即点G 的坐标为)2m G (0,－2，又)2m P(m,2，)21F(0,， 所以4)1+(=×21=S 21m m GF m ；再由)1)+2(4m －m ,1+4m 2m D(2223，得 )1+4(8)1+2(=1+4+2×41+2×21=S 2222322m m m m m m m于是有 222221)1+2()1+)(1+4(2=S S m m m ． 令1+2=2m t ，得222111+2=)1+)(21(2=S S t －t t t t － 当21=1t时，即2=t 时，21S S 取得最大值49．此时21=2m ，22=m ，所以P 点的坐标为)41,22P(． 所以21S S 的最大值为49，取得最大值时点P 的坐标为)41,22P(．3、（2016年上海高考） 有一块正方形菜地EFGH ,EH 所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F 点或河边运走。
2016年高考试题分类汇编(圆锥曲线客观题)
2016年高考试题分类汇编（圆锥曲线）考点1 椭圆1.（2016·全国卷Ⅲ·文理科）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221x y a b+=，（0a b >>）的左焦点，,A B 分别为C 的左、右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为A.13B.12C.23D.342.（2016·四川卷·文科）已知椭圆E ：22221x y a b +=(0)a b >>的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点1)2P 在椭圆E 上.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；3.（2016·山东卷·文科）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的长轴长为4，焦距为2.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；4.（2016·北京卷·文科）已知椭圆C ：22221x y a b+=过点(20)A ，，(0,1)B 两点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程及离心率；5.（2016·全国Ⅰ卷·文科）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为A.13B.12C. 23D.34考点2 抛物线1.（2016·四川卷·文科）抛物线24y x =的焦点坐标是A.(0,2)B.(0,1)C.(2,0)D.(1,0)2.（2016·全国Ⅱ卷·文科）设F 为抛物线C ：24y x =的焦点，曲线ky x=（0k >）与C 交于点P ，PF x ⊥轴，则k = A.12 B.1 C.32D.2 3.（2016·四川卷理科）设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(0)y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且2PM MF =,则直线OM 的斜率的最大值为23 D.14.（2016·全国卷Ⅰ·理科）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于,A B 两点，交C 的准线于,DE 两点.已AB =DE =C 的焦点到准线的距离为A.2B.4C.6D.85.（2016·浙江卷·理科）若抛物线24y x =上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是______．考点3 双曲线1.（2016·天津卷·文科）已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦距为52，且双曲线的一条渐近线与直线02=+y x 垂直，则双曲线的方程为A.1422=-y xB.1422=-y x C.15320322=-y x D.12035322=-y x 2.（2016·北京卷·文科）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线为20x y +=，一个焦点为，则a =____；b =_____.3.（2016·山东卷·文科）已知双曲线E ：22221(0,0)y a x b ba -=>>，若矩形ABCD的四个顶点在E 上，,AB CD 的中点为E 的两个焦点，且23AB CD =，则E 的离心率是_______.4.（2016·浙江卷·文科）设双曲线2213y x -=的左、右焦点分别为12F F ，．若点P 在双曲线上，且12F PF ∆为锐角三角形，则12PF PF +的取值范围是_______．5.（2016·天津卷·理科）已知双曲线22214x y b-=（0b >），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于,,,A B C D 四点，四边形的ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为A.223144x y -=B.224143x y -=C.22144x y -=D.221412x y -=7.（2016·全国卷Ⅰ·理科）已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围A.(1,3)-B.(1-C.(0,3)D.(08.（2016·全国卷Ⅱ·理科）已知12F F ，是双曲线E :22221x y a b -=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，211sin 3MF F ∠= ,则E 的离心率为32C.9.（2016·浙江卷·理科）已知椭圆1C ：2221(1)x y m m +=>与双曲线2C ：2221(0)x y n n-=>的焦点重合，12,e e 分别为1C ，2C 的离心率，则 A ．m n >且121e e > B ．m n >且121e e < C.m n <且121e e > D ．m n <且121e e <10.（2016·北京卷·理科）双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点，若正方形OABC 的边长为2，则a =_____.11.（2016·山东卷·理科）已知双曲线E ：22221(0,0)y a x b ba -=>>，若矩形ABCD的四个顶点在E 上，,AB CD 的中点为E 的两个焦点，且23AB CD =，则E 的离心率是____.。
2016全国圆锥曲线题
（2016全国1卷）（20）. （本小题满分12分）设圆的圆心为A,直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合,l 交圆A 于C,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E. （I ）证明为定值,并写出点E 的轨迹方程；
（II ）设点E 的轨迹为曲线C1,直线l 交C1于M,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P,Q 两点,学优高考网求四边形MPNQ 面积的取值范围.
（2016全国2卷）20.（本小题满分12分）
已知椭圆的焦点在轴上，是的左顶点，斜率为的直线交于两点，点在上，．
（Ⅰ）当时，求的面积；
（Ⅱ）当时，求的取值范围．
（2016全国3卷）（20）（本小题满分12分）
已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，
交的准线于两点．
（I ）若在线段上，是
的中点，证明； （II ）若
的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程. 222150x y x ++-=EA EB +:E 22
13
x y t +=x A E (0)k k >E ,A M N E MA NA ⊥4,||||t AM AN ==AMN ∆2AM AN =k C 22y x =F x 12,l l C A B ，C P Q ，F AB R PQ AR FQ PQF ∆ABF ∆AB。
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2016年高考数学理试题分类汇编圆锥曲线一、选择题1、（2016年四川高考）设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(p 0)y px => 上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为（A ）33 （B ）23 （C ）22（D ）1【答案】C2、（2016年天津高考）已知双曲线2224=1x y b -（b >0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形的ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为（ ）（A ）22443=1y x -（B ）22344=1y x -（C ）2224=1x y b -（D ）2224=11x y - 【答案】D3、（2016年全国I 高考）已知方程x 2m 2+n –y 23m 2–n =1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（A ）(–1,3) （B ）(–1,3) （C ）(0,3) （D ）(0,3)【答案】A4、（2016年全国I 高考）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点.已知|AB |=42，|DE|=25，则C 的焦点到准线的距离为（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8 【答案】B5、（2016年全国II 高考）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a=（ ）（A ）43- （B ）34- （C ）3 （D ）2 【答案】A6、（2016年全国II 高考）圆已知12,F F 是双曲线2222:1x y E a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，211sin 3MF F ∠=,则E 的离心率为（ ） （A ）2 （B ）32（C ）3 （D ）2【答案】A7、（2016年全国III 高考）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C的左，右顶点.P为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中 点，则C 的离心率为（A ）13（B ）12（C ）23（D ）34【答案】A8、（2016年浙江高考） 已知椭圆C 1：22x m +y 2=1(m >1)与双曲线C 2：22x n–y 2=1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<1 【答案】A二、填空题1、（2016年北京高考）双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点，若正方形OABC 的边长为2，则a =_______________. 【答案】22、（2016年山东高考）已知双曲线E ：22221x y a b-= （a ＞0，b ＞0），若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |=3|BC |，则E 的离心率是_______. 【答案】2【解析】由题意c 2=BC ，所以3c =AB ，于是点),23（c c 在双曲线E 上，代入方程，得1492222=bc －a c ， 在由2c b a =+22得E 的离心率为2==ace ，应填2.3、（2016年上海高考）已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则21,l l 的距离_______________【答案】2554、（2016年浙江高考）若抛物线y 2=4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是_______． 【答案】95、(2016江苏省高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22221()x y a b a b+=＞＞0 的右焦点，直线2b y = 与椭圆交于B ，C两点，且90BFC ∠= ,则该椭圆的离心率是 ▲ .(第10题)【答案】63三、解答题1、（2016年北京高考） 已知椭圆C ：22221+=x y a b （0a b >>）的离心率为32 ，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，OAB ∆的面积为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 的椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N. 求证：BM AN ⋅为定值. 【解析】⑴由已知，31,122c ab a ==，又222a b c =+， 解得2,1, 3.a b c ===∴椭圆的方程为2214x y +=. ⑵方法一：设椭圆上一点()00,P x y ，则220014x y +=.直线PA ：()0022y y x x =--,令0x =，得0022M y y x -=-. ∴00212y BM x =+- 直线PB ：0011y y x x -=+,令0y =，得001N x x y -=-. ∴0021x AN y =+- 0000000000220000000000221122222214448422x y AN BM y x x y x y x y x y x y x y x y x y ⋅=+⋅+--+-+-=⋅--++--+=--+将220014x y +=代入上式得=4AN BM ⋅故AN BM ⋅为定值.方法二：设椭圆 上一点()2cos ,sin P θθ，直线PA:()sin 22cos 2y x θθ=--,令0x =，得sin 1cos M y θθ=-. ∴sin cos 11cos BM θθθ+-=-直线PB :sin 112cos y x θθ-=+,令0y =，得2cos 1sin N x θθ=-. ∴2sin 2cos 21sin AN θθθ+-=-2sin 2cos 2sin cos 11sin 1cos 22sin 2cos 2sin cos 21sin cos sin cos 4AN BM θθθθθθθθθθθθθθ+-+-⋅=⋅----+=--+=故AN BM ⋅为定值.2、（2016年山东高考）平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b +=＞＞ 的离心率是32，抛物线E ：22x y =的焦点F 是C 的一个顶点.（I ）求椭圆C 的方程；（II ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M . （i ）求证：点M 在定直线上;（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG △的面积为1S ，PDM △的面积为2S ，求12S S的最大值及取得最大值时点P 的坐标.【解析】(Ⅰ) 由离心率是23，有224=b a ， 又抛物线y x 2=2的焦点坐标为)21,0(F ，所以21=b ，于是1=a ， 所以椭圆C 的方程为1=4+22y x ．(Ⅱ) （i ）设P 点坐标为)0>(),2m m,P 2m （， 由y x 2=2得x y =′，所以E 在点P 处的切线l 的斜率为m ， 因此切线l 的方程为2=2m m x －y ，设),(),,(2211y x B y x A ，),(00y x D ，将2=2m m x －y 代入1=4+22y x ，得0=1+4)4+12322－m x m －x m （．于是23214+14=+m m x x ，232104+12=2+=m m x x x ， 又)4+1(2=2=22200m －m m －mx y ， 于是 直线OD 的方程为x m－y 41=． 联立方程x m －y 41=与m x =，得M 的坐标为)41M(m,－． 所以点M 在定直线41=y －上． （ii ）在切线l 的方程为2=2m m x －y 中，令0=x ，得2m =y 2－，即点G 的坐标为)2m G(0,－2，又)2m P(m,2，)21F(0,， 所以4)1+(=×21=S 21m m GF m ；再由)1)+2(4m －m ,1+4m 2m D(2223，得 )1+4(8)1+2(=1+4+2×41+2×21=S 2222322m m m m m m m于是有 222221)1+2()1+)(1+4(2=S S m m m ． 令1+2=2m t ，得222111+2=)1+)(21(2=S S t －t t t t － 当21=1t时，即2=t 时，21S S 取得最大值49．此时21=2m ，22=m ，所以P 点的坐标为)41,22P(． 所以21S S 的最大值为49，取得最大值时点P 的坐标为)41,22P(．3、（2016年上海高考） 有一块正方形菜地EFGH ,EH 所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F 点或河边运走。
于是，菜地分为两个区域1S 和2S ，其中1S 中的蔬菜运到河边较近，2S 中的蔬菜运到F 点较近，而菜地内1S 和2S 的分界线C 上的点到河边与到F 点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O 为EF 的中点，点F 的坐标为（1,0），如图（1）求菜地内的分界线C 的方程（2）菜农从蔬菜运量估计出1S 面积是2S 面积的两倍，由此得到1S 面积的“经验值”为38。
设M 是C 上纵坐标为1的点，请计算以EH 为一边、另一边过点M 的矩形的面积，及五边形EOMGH 的面积，并判断哪一个更接近于1S 面积的经验值 【解析】（1）因为C 上的点到直线EH 与到点F 的距离相等，所以C 是以F 为焦点、以EH 为准线的抛物线在正方形FG E H 内的部分，其方程为24y x =（02y <<）．（2）依题意，点M 的坐标为1,14⎛⎫⎪⎝⎭． 所求的矩形面积为52，而所求的五边形面积为114． 矩形面积与“经验值”之差的绝对值为581236-=，而五边形面积与“经验值”之差的绝对值为11814312-=，所以五边形面积更接近于1S 面积的“经验值”． 4、（2016年上海高考）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.双曲线2221(0)y x b b-=>的左、右焦点分别为12F F 、，直线l 过2F 且与双曲线交于A B 、两点。