2017年秋季新版北师大版九年级数学上学期第1章、特殊平行四边形单元复习导学案9
新北师大版数学九年级上第一章特殊平行四边形复习第一章 ppt课件
┃知识归纳┃
[总结] 顺次连接对角线相等的四边形 四边中点所得的四边形是__菱__形____；
顺次连接对角线互相垂直的四边形四
边中点所得的四边形是__矩__形____．
顺次连接对角线相等且互相垂直的四 边形四边中点所得的四边形是正__方__形___.
┃考点攻略┃ ► 考点二 和矩形有关的折叠计算问题 例2 如图, 将矩形ABCD沿直线AE折叠, 顶 点D恰好落在BC边上的F点处.已知CE=3 cm, AB=8 cm，求图中阴影部分的面积．
[解析] 要求阴影部分的面积，由于阴影 部分由两个直角三角形构成，所以只要根据 勾股定理求出直角三角形的直角边即可．
新北师大版数学九年级上第一章特殊平 行四边形复习第一章
┃考点攻略┃
► 考点一 菱形的性质和判定
例1 如图，菱形ABCD的对角 线AC与BD相交于点O, 点E, F 分别为边AB, AD的中点, 连接 EF, OE, OF. 求证: 四边形AEOF是菱形．
[解析] 由点E, F分别为边AB, AD的中 点, 可知OE∥AD, OF∥AB, 而AE=AF, 故 四边形AEOF是菱形. 新北师大版数学九年级上第一章特殊平
新北师大版数学九年级上第一章特殊平 行四边形复习第一章
2．菱形的判定方法 (1)有一组邻边相等的___平__行__四__边__形___ 是菱形(定义)； (2)对角线互相垂直的__平__行__四__边__形____ 是菱形； (3)四边相等的____四__边__形_____是菱形．
新北师大版数学九年级上第一章特殊平 行四边形复习第一章
新北师大版数学九年级上册 期末总复习
第一章特殊平行四边形复习
秋九年级数学上册 第一章 特殊平行四边形复习教案1(新版)北师大版-(新版)北师大版初中九年级上册数
第一章特殊平行四边形中考考点综述：特殊平行四边形即矩形、菱形、正方形，它们是历年中考的必考内容之一，主要出现的题型多样，注重考查学生的基础证明和计算能力，以及灵活运用数学思想方法解决问题的能力。
内容主要包括：矩形、菱形、正方形的性质与判定，以及相关计算，了解平行四边形与矩形、菱形、正方形之间的联系，掌握平行四边形是矩形、菱形、正方形的条件。
知识目标掌握矩形、菱形、正方形等概念，掌握矩形、菱形、正方形的性质和判定，通过定理的证明和应用的教学，使学生逐步学会分别从题设和结论出发，寻找论证思路分析法和综合法。
重难点：1.矩形、菱形性质及判定的应用2. 相关知识的综合应用教学过程知识点归纳对称性既是轴对称图形，又是中心对称图形矩形，菱形和正方形之间的联系如下表所示：一．菱形菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．【强调】菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等．菱形的性质性质1 菱形的四条边都相等；性质2菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；菱形的判定菱形判定方法1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形．注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直． 菱形判定方法2:四边都相等的四边形是菱形．例1 已知：如图，四边形ABCD 是菱形，F 是AB 上一点，DF 交AC 于E ． 求证：∠AFD=∠CBE ．例2已知：如图ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别交于E 、F ． 求证：四边形AFCE 是菱形．例3、如图，在 ABCD 中，O 是对角线AC 的中点，过点O 作AC 的垂线与边AD 、BC 分别交于E 、F ，求证：四边形AFCE 是菱形.例4、已知如图，菱形ABCD 中，E 是BC 上一点，AE 、BD 交于M ， 若AB=AE,∠EAD=2∠BAE 。
求证：AM=BE 。
ABCDEFO12BM ADCE例5． 如图，在菱形ABCD 中，∠A =60°,AB =4,O 为对角线BD 的中点，过O 点作OE ⊥AB ，垂足为E ．求线段BE 的长．例6、如图，四边形ABCD 是菱形，DE⊥AB 交BA 的延长线于E ，DF⊥BC，交BC 的延长线于F 。
2017年秋季新版北师大版九年级数学上学期第1章、特殊平行四边形单元复习导学案6
特殊的平行四边形【学习目标】回顾菱形的性质和判定定理，矩形的性质和判定定理；能运用菱形和矩形的性质和判定解决一些数学问题．【学习重点】菱形和矩形的性质和判定的运用．【学习难点】灵活能运用菱形和矩形的性质和判定解决一些数学问题．【自主学习】阅读本章第一、二节主要内容,回答下列问题:1.菱形是特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的性质外，还特殊在：（1）菱形的______都相等．（2）菱形的两条对角线________，并且________________．（3）菱形的面积有两种算法：（1）________．（2）_________________．2.菱形的判定定理：（1）对角线互相_______的______________是菱形．（2）有一组邻边________的_______________是菱形．（3）四条边相等的___________是菱形．3.矩形的性质定理：（1）矩形是特殊的平行四边形，矩矩形的对角线________，矩形的四个角都__________．（2）在直角三角形中，斜边上的中线是斜边的_________．4.矩形的判定定理：①有一个角是__________的_________________是矩形．②对角钱________的_____________是矩形．③有三个角是直角的__________是矩形．5. 你能用某种“关系图”说明平行四边形、矩形、菱形之间的关系吗？【合作探究】探究一: 菱形的性质和判定：1．如图，已知：在□ABCD中，AB＝BC．（1）求证：AC⊥BD，（2）求证：BD平分∠ABC与∠ADC. （3）若AC＝4，BD＝8，求S菱形ABCD2. 下列条件中不能判定四边形ABCD是菱形的是（） A．□ABCD，AB＝BC B．□ABCD，AC⊥BD C．AB＝BC＝CD＝AD D．□ABCD，AC＝BD 探究二:矩形的性质和判定：1.如图，已知：在□ABCD中，∠A＝900．（1）则AC＝____（2）若AC与BD相交于O点，AC＝8cm，则OB＝_____ cm．ABCDOOAB CDD A C F PE B 2. 下列说法错误的是（ ）．A ．矩形的对角线互相平分B ．矩形的对角线相等C ．有一个角是直角的四边形是矩形D ．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形【展示提升】1．在△ABC 中，∠B ＝∠C ，AD 是∠BAC 的平分线，E 、F 分别是AB ，AC 的中点． 问:(1)DE 、DF 有什么关系？ (2) 四边形AEDF 是什么四边形? 试证明.2. 如图，菱形ABCD 中，过点C 作CE ⊥AB ，交AB 的延长线于点E ，作CF ⊥AD ，交AD 的延长线于点F ．（1）求证：△CBE ≌△CDF ； （2）若∠CAE ＝30°，CE ＝3，求菱形ABCD 的面积．3. 如图，在△AB C 中，AB ＝AC ，CD ⊥AB 于D ，P•为BC 上的任意一点，过P 点分别作PE ⊥AB ，PF ⊥CA ，垂足分别为E ，F ，则有PE ＋PF ＝CD ，你能说明为什么吗？【达标检测】1. 如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO 的顶点P 的坐标是（3，4），则顶点M 、N D AB C E F ADB C E F的坐标分别是（ ）A ．M （5，0），N （8，4）B ．M （4，0），N （8，4）C ．M （5，0），N （7，4）D ．M （4，0），N （7，4）2.已知DE ∥AC 、DF ∥AB ，添加下列条件后，不能判断四边形DEAF 为菱形的是（ ）A. AD 平分∠BACB. AB ＝AC 且BD ＝CDC. AD 为中线D. EF ⊥AD3. 如右图所示，把两个大小完全一样的矩形拼成“L ”形图案，则∠FAC=_______， ∠FCA=________．4.四边形ABCD 的对角线相交于点O ，下列条件不能判定它是矩形的是（ ）A ．AB=CD ，AB ∥CD ，∠BAD=90°B ．AO=CO ，BO=DO ，AC=BDC ．∠BAD=∠ABC=90°，∠BCD+∠ADC=180°D ．∠BAD=∠BCD ，∠ABC=∠ADC=90°5. 如图，已知E 、F 分别是▱ABCD 的边BC 、AD 上的点，且BE ＝DF ．（1）求证：四边形AECF 是平行四边形；（2）若BC ＝10，∠BAC ＝90°，且四边形AECF 是菱形，求BE 的长．6. 如图，O 为菱形A BCD 对角线的交点，DE ∥AC ，CE ∥BD ．（1）试判断四边形OCED 的形状，并说明理由； （2）若AC ＝6，BD ＝8，求线段OE 的长．7. 如图，在□ABCD 中，AB ＝6，BC ＝10，对角线AC ⊥AB ，点E ，F 分别是边BC ，AD上的点，第1题第2题第3题 A B C DE F A B D O E F A B CDE且BE＝DF．（1）求证：四边形AEC F是平行四边形；（2）填空：①当BE的长度为_______时，四边形AECF是菱形；②当BE的长度为_______时，四边形AECF是矩形．【师生反思】收获之处：不足之处：。
2017年秋季新版北师大版九年级数学上学期第1章、特殊平行四边形单元复习学案10
特殊平行四边形（二）一、学习目标1.体会证明的必要性，理解证明的基本过程。
思考题1：有一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形吗？ 2.掌握用综合法证明的格式，初步感受公理化思想。
思考题2：正方形具有哪些性质？你能证明它们吗？ 二、问题与例题问题1：还记得什么是菱形吗？它有哪些性质和判别方法？问题2：怎样推证菱形性质？ 例1：如图,四边形ABCD 是边长为13cm 的菱形,其中对角线B D 长10cm.通过以上已知条件你能获得哪些结论？若将菱形ABCD 的边长改为10cm. 你又能获得那些结论？并说明你的理由。
（1）已知：菱形ABCD 中，E 、F 分别是CB 、CD 上的点且BE=DF 。
求证：(1)△ABE ≌△ADF（2）连接AC 你能确定AC 与EF 的关系吗？问题3：请同学们拿出课前准备的正方形，观察它与我们刚学习的菱形有什么不同？正方形是怎样定义的？正方形具有哪些性质？你能证明它们吗？例2：如图，四边形ABCD 是正方形，延长BC 至点E ，使CE=AC ，连结AE ，交CD 于F ，你能求出∠AFC 的度数吗？问题4：请大家将课前准备的菱形拿出，以小组为单位用自己手中的工具：直尺、三角板或圆规迅速检查一下你们小组成员所做的四边形是不是菱形，你是怎样检查的？你为什么要这样做？用你的检查方法判断你们小组有几个人做得不标准？你还记得怎样判别一个平行四边形是菱形吗?那么满足什么条件的四边形是菱形?你能证明吗？ 三、目标检测1、求证：有一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形。
2、已知两条对角线，怎样用尺规作一个菱形？3、书中P 96第6、7题； 四、配餐作业A 组 巩固基础1．下列命题中正确的是( )A ．矩形的对角线相互垂直B ．菱形的对角线相等C ．平行四边形是轴对称图形D ．等腰梯形的对角线相等 2．如图：在菱形ABCD 中，AC ＝6, BD ＝8,则菱形的边长为（ ） A ．5 B ．10 C ．6 D ．83．如图，在菱形ABCD 中，∠A =110°，E ，F 分别是边AB 和BC 的中点，EP ⊥CD 于点P ，则∠FPC =（ ）A ．35°B ．45°C ．50°D ．55° B 组 强化训练1．在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 为AB 的中点，且OE=a ，则菱形ABCD 的周长为（ ）A ．16 aB ．12 aC ．8 aD ．4 a2．如图，菱形ABCD 中，AE 垂直平分BC ，垂足为E ，AB=4cm ．那么，菱形ABCD 的面积是 ，对角线BD 的长是 ．A B DCOA DB F A D CBEADEP CBF A 组3题3．如图，在三角形ABC 中，AB ＞AC ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，△ADE 沿线段DE 翻折，使点A 落在边BC 上，记为A '．若四边形ADA E '是菱形，则下列说法正确的是( ) A. DE 是△ABC 的中位线 B. AA '是BC 边上的中线 C. AA '是BC 边上的高 D. AA '是△ABC 的角平分线（第2题图） （第3题图） （第4题图） （第5题图）4．如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm ，若墙上钉子间的距离AB=BC=16cm ，则∠1= 度5．如图，菱形ABCD 中，∠B＝60°，AB ＝2，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连接AE 、EF 、AF ，则△AEF 的周长为（ ） A ．32B ．33C ．34D ．3C 组拓展延伸1．已知：如图，在□ABCD 中，对角线AC 的垂直平分线分别交AD 、BC 于E 、F 点．求证：四边形AECF 是菱形．2．已知：如图，在菱形ABCD 中， ∠ABC =60°，AE ⊥BC 于E ，且AE=32． （1）求菱形ABCD 的边长和两条对角线的长； （2）求菱形ABCD 的面积．BFAD EBCABDEA 'B1AB C。
北师大版数学九年级上册第一章特殊平行四边形小结与复习课件
O
又∵△ABO是等边三角形,
B
C
∴OA= OB=AB= 4,∠BAC=60°.
∴AC= BD= 2OA = 2×4 = 8.
考点讲练
∴□ABCD是矩形 （对角线相等的平行四边形是矩形）.
∴∠ABC=90°（矩形的四个角都是直角） .
A
D
在Rt△ABC中,由勾股定理,得
AB2 + BC2 =AC2 ,
A
D
（矩形的四个角都是直角）
O
B
C
∴BD = 2AB = 2 ×2.5 = 5.
考点讲练
例3 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于
点O，过点A作AE∥BD，过点D作ED∥AC，两线相
交于点E． 求证：四边形AODE是菱形；
证明：∵AE∥BD，ED∥AC，
∴四边形AODE是平行四边形.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC= OB=OD= 1 BD，
1 2
AC，
∴OA=OC=O2D，
∴四边形AODE是菱形.
考点讲练
【变式题】如图，O是菱形ABCD对角线的交点，作
BE∥AC，CE∥BD，BE、CE交于点E，四边形CEBO
是矩形吗？说出你的理由.
解：四边形CEBO是矩形. 理由如下：已知四边形ABCD是菱形. A
∵DE∥AC,CE∥BD，
A D
B
O
E
C
∴四边形CEBO是平行四边形.
∴四边形CEBO是矩形（有一个角是直角的平行
四边形是矩形）.
考点讲练 核心知识点三 正方形的性质和判定
例4 如图，已知在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC 的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF＝AE；
2017年秋季新版北师大版九年级数学上学期第1章、特殊平行四边形单元复习课件22
8．如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，D是BC上的一点，且AD⊥AB， 点E是BD的中点，连接AE，若AE＝6.5，AD＝5，则AC＝____ 6.5 ，△ABE 25 ． 的周长是____
9．(2016·江西模拟)如图，在矩形 ABCD 中，点 E，F 分别是 AB，CD 的中点，连接 DE 和 BF，分别取 DE，BF 的中点 M，N，连 接 AM，CN，MN，若 AB＝2 2，BC＝2 3，则图中阴影部分的面积
) D
4．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AD∥BC，AD＝BC，使 四边形ABCD为正方形，下列条件中：①AC＝BD；②AB＝AD；③AB
＝CD；④AC⊥BD.需要满足(
A．①② B．②③ C．②④ D．①②或①④
) D
5．(2015·青岛)如图，将矩形 ABCD 沿 EF 折叠，使顶点 C 恰好 落在 AB 边的中点 C′上，若 AB＝6，BC＝9，则 BF 的长为( A．4 B．3 2 C．4.5 D．5
2 2
1 15 ＝10，S 菱形 AECF＝ AC·EF＝CF·AB，EF＝ cm 2 2
14．如图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，∠BAE＝ ∠BCE，∠AED＝∠CED.点G是BC，AE的延长线的交点，AG与CD 相交于点F.求证：四边形ABCD是正方形．
证明：∵∠AED＝∠CED，∴∠AEB＝∠CEB，∵∠BAE＝ ∠BCE，BE＝BE，∴△ABE≌△CBE，∴AB＝CB，∵四边形ABCD 是矩形，∴四边形ABCD是正方形
分别交AD，BC于E，F.
(1)求证：四边形AECF是菱形； (2)若AB＝6 cm，BC＝8 cm，求折痕EF的长．
(1)证明：易得△AOE≌△COF，∴OE＝OF，又 OA＝OC，∴四 边形 AECF 是平行四边形，又 EF⊥AC，∴▱AECF 是菱形 (2)解：设 AF＝CF＝x cm，BF＝(8－x)cm，在 Rt△ABF 中，62 25 25 ＋(8－x) ＝x ，x＝ ，∴CF＝ cm，在 Rt△ABC 中，AC＝ 如图，E，F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的 点，且CE＝DF，AE，BF相交于点O，下列结论：①AE＝BF；② AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝S四边形DEOF.其中正确的有( A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 B)
2017年秋季新版北师大版九年级数学上学期第1章、特殊平行四边形单元复习导学案4
．菱形ABCD 的周长为40cm，两条对角线AC：BD=4：3，那么对角线AC=______cm，BD=______cm
5．四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，AB=12cm，则∠ABD的度数为_____，∠DAB的度数为______；对角线BD=_______，AC=_______；菱形ABCD的面积为_______．
9．如 图，在菱形ABCD中，CE⊥AB，E为垂足，BC=2，BE=1，求菱形的周长和面积． 已知：如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于
点O；正方形A’B’C’D’的顶点A’与点O重合，A’B’交BC于点E，A’D’交CD于点F，E是BC的中点。
（1）求证：F是CD的中点
（2）若正方形A’B’C’D’绕点 O旋转某个角度后，OE=OF吗？
第三章《特殊平行四边形（二）》导学案
课题
课型
新授课
课时
教师
教学目标
1．能进一步理解掌握矩形、菱形、正方形的性质定理、判定定理．
2．进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用．
重点
特殊四边形——矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理的灵活应用．
难点
特殊四边形——矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理的灵活应用．
想一想 议一议
依次连结正方形各边的中点得到的四边形是正方形．
这个题是先证明了四边形A1B1C1D1的四条边相等，即是菱形，然后又证明了这个四边形的一个角是直角，即有一个角为直角的菱形是正方形，从而得证四边形A1B1C1D1是正方形．
证明四 边形A1B1C1D1的四条边相等时，可以用三角形全等，也可以用中位线的性质定理和正方形的性质来证明．要灵活应用这些性质
（2）议一议
2017年秋季新版北师大版九年级数学上学期第1章、特殊平行四边形单元复习导学案12
特殊平行四边形1.1.1 菱形的性质学习难点: 菱形的性质定理证明、运用，生活数学与理论数学的相互转化.教学过程:一、课前预习：1．复习平行四边形的性质.边：角：对角线：对称性：2.将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，打开，你发现这是一个什么样的图形?菱形的定义是什么？_______3.请你折—折，观察并填空.(1)菱形是不是中心对称图形?对称中心是_______.(2)是不是轴对称图形?对称轴有几条?_______ ，分别是二、探索活动：探索活动（一）：菱形是一种特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质。
菱形特有的性质是：菱形的四条边_____________；菱形的对角线_____________，并且每一条对角线_______________.探索活动（二）：定理证明：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.已知：_________________________________________________求证：（1）__________________________；（2）__________________________。
探索活动(三)：已知菱形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O,图中存在特殊的三角形吗？如果菱形的两条对角线长分别为6和8，由此你能获得有关这个菱形的哪些结论？（可得到边长为；周长为面积为）你认为菱形的面积与菱形的两条对角线的长有关吗？如果有关，怎样根据菱形的对角线的计算它的面积？由此可得：菱形的面积__________________________________.由此得到菱形的两种面积计算方法：1. _____________________________________________2. _____________________________________________四、课堂检测：1．已知四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，AC=8cm，DB=6cm，•菱形的边长是________cm．2．菱形ABCD的周长为40cm，两条对角线AC：BD=4：3，那么对角线AC=______cm，BD=______cm．3．已知菱形的面积为30平方厘米，如果一条对角线长为12厘米，则别一条对角线长为________厘米.4.在菱形ABCD中，CE⊥AB，E为垂足，BC=2，BE=1，求菱形的周长和面积．六、课后作业1．已知菱形的周长为16cm，则菱形的边长为_____cm．2．已知菱形的边长是5cm，一条对角线长为8cm，则另一条对角线长为______cm．3．若菱形的边长等于一条对角线的长，则它的一组邻角的度数分别为4．菱形的两邻角之比为1：2，边长为2，则菱形的面积为__________．5．已知四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，AB=12cm，则∠ABD的度数为_____， ∠DAB 的度数为______；对角线BD=_______，AC=_______；菱形ABCD的面积为_______．6．菱形的两条对角线把菱形分成全等的直角三角形的个数是（）．（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个7．己知：如图，菱形ABCD中，∠B=600，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为 .你能说出矩形与菱形的性质有哪些区别吗？矩形的对边，四个角，对角线；菱形的四条边，对边，对角，1 图3-2-9A B C 对角线《1.2菱形的判定》导学案一、温故互查：二人小组复述.____________________________是菱形.菱形的边角对角线二、设问导读：阅读教材P5--8、完成下列问题：1.判断一个平行四边形是菱形,从边的角度可以利用菱形的定义即______________或___________的四边形是菱形.;从对角线的角度来判定:_________________________.2.已知:在平行四边形ABCD 中,AB=BC,AC 与BD 相交于点0,求证(1)AB=BC=CD=AD(2)AC ⊥BD 且AC 平分∠BAC 与∠BCD3.证明”对角线互相垂直的平行四边形是菱形”要用到_____________的对角线互相平分以及线段的垂直平分线上的点__________________或三角形______.5.菱形的面积等于__________________.6.________是特殊的菱形,它具有_____与_______的一切性质.所以正方形的___________________,________________;___________________,______________,________________________.三、自学检测：1.在菱形ABCD 中，∠ABC=60°，AC=6,四边形ABCD 的周长为______.2. 在菱形ABCD 中，AC=6,BD=10,四边形ABCD 的面积是________16cm AB BC ==，则∠1= 度．4．如图3-2-10所示，在ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将ABE △沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得GFC △．（1）求证：BE DG =；（2）若60B ∠=°，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论．四、巩固训练：A D G CB F E 图3-2-10图3-2-12 1.如图3-2-11所示，将一个长为10cm ，宽为8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到 图3-2-11的菱形的面积为________。
2017年秋季新版北师大版九年级数学上学期第1章、特殊平行四边形单元复习教案6
3.2特殊的平行四边形（2）教学过程想一．巧设情境引入新知师：上节课我们学习了一类特殊的平行四边形—矩形，我们以前还接触过哪类特殊的平行四边形？生：菱形．师：那什么样的四边形是菱形呢？生：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．师：因为菱形是特殊的平行四边形，所以它不仅具有平行四边形的所有性质，而且具有它本身独特的性质．你还记得菱形的那些性质？我们按照边、角、对角线的顺序回忆。
生：菱形的对边平行，四条边都相等，对角相等，对角线互相平分、垂直，并且每条对角线平分一组对角．生：还有菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形．师：这些性质在以前的学习中都是通过折纸、猜想等活动归纳出来的。
本节课我们来验证明这些性质。
板书课题---§3.2 特殊的平行四边形设计意图：通过提问让学生明白菱形属于特殊平行四边形的一种，对于菱形的学习可以类比矩形的学习，让学生在心理上感觉本节课的内容很容易接受。
二．小组合作 探究学习师：同学们是怎么理解“菱形的四条边相等”生：因为菱形是特殊的平行四边形，所以它不仅具有平行四边形的所有性质，而且具有它本身独特的性质，菱形的对边相等邻边也想等所以四条边都相等。
师：谁能说出这个性质的已知、求证呢?如图，已知四边形ABCD 是菱形， 求证：AB ＝BC ＝CD ＝DA ． 找同学口述证明过程 定理：菱形的四条边相等。
师：“菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角”对于这一性质呢？如图：已知在菱形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，求证：AC ⊥BD ，AC 平分∠BAD 和∠BCDBD 平分∠ABC 和∠ADC ．证明：∵ 四边形ABCD 是菱形∴ AB=BC=DA=DC∴ AC ⊥BD （到线段两段距离相等的点在线短的垂直平分线上）∴∠BAC=∠DAC （三线合一）同理∠BCA=∠DCA ∠ABD=∠CBD ∠ADB=∠CDB即：AC 平分∠BAD 和∠BCDBD 平分∠ABC 和∠ADC ． 定理：菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角。
2017年秋季新版北师大版九年级数学上学期第1章、特殊平行四边形单元复习讲学稿1
3.2特殊平行四边形（第一课时）模块一：温故知新（独立进行）10分钟学习目标与要求：复习特殊平行四边形的含义、矩形的性质等知识。
学习内容摘记（整理归纳等）1、你学过的特殊平行四边形有：_________、_________、____________。
2、你能用一张图来表示平行四边形与矩形、菱形、正方形这四者之间的关系吗？3、矩形除了具备平行四边形的性质外，还有一些特殊性质：四个角，对角线。
【知识要点回顾】有一个角是的平行四边形叫矩形。
模块二：自主学习（独立进行）20分钟学习目标与要求：能运用综合法证明矩形的有关性质。
学习内容摘记（整理归纳等）自主探究研读课本P95-p96，并回答以下问题。
问题一：已知：四边形ABCD是矩形。
求证：∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°。
问题二：已知：矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O。
求证：AC＝DB。
点击中考：一、判断题1.矩形的对角线互相平分。
（）2.矩形的对角线互相垂直。
（）3.对角线相等的四边形是矩形。
（）4.矩形具有平行四边形的一切性质。
（）5.对角线相等的平行四边形是矩形。
（）矩形的性质定理：定理1、矩形的四个角都是。
定理2、矩形的对角线。
三人小组互评：组内互助互查，并根据书写内容，对子间给出星级评定：（★五星评定）模块三：合作交流 (小组合作、展示、精讲）25分钟学习目标与要求:掌握直角三角形特殊性质及矩形性质的有关运用。
研讨内容摘记（整理归纳等）各小组根据题意交流研讨完成【合作探究一、二、三】。
要求：C类同学在白板上展示，B类同学指导，A类同学督查；一、【合作探究一】课本p95议一议。
如图，已知：BE是Rt△ABC的斜边AC上的中线。
求证：BE＝21AC。
提问:请你根据以上的证明可得出什么结论?二、【合作探究二】矩形有关性质的运用。
已知矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD＝120°，AB=2.5cm，求矩形对角线的长。
(1)请你根据题意画出图形； (2)在下面空白处写出解题过程。
九年级数学上册 第一章 特殊平行四边形 特殊平行四边形复习 (新版)北师大版-(新版)北师大版初中九
特殊平行四边形基础题知识点1 菱形的性质与判定1．对角线互相垂直平分的四边形是( )A．一般的平行四边形 B．菱形C．矩形 D．正方形2．已知菱形的周长等于40 cm，两对角线的比为3∶4，则对角线的长分别是( )A．3 cm，4 cm B．6 cm，8 cmC．12 cm，16 cm D．24 cm，32 cm3．如图，剪两X对边平行的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一X，重合部分构成一个四边形，则下列结论中，不一定成立的是( )A．∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCDB．AB＝BCC．AB＝CD，AD＝BCD．∠DAB＋∠BCD＝180°4．(某某中考)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AM⊥BC，垂足为M，AN⊥∠BAD＝∠BCD，AM＝AN，求证：四边形ABCD是菱形．知识点2 矩形的性质与判定5．矩形具有而平行四边形不具有的性质是( )A．对角线互相平分 B．对角线相等C．对角线互相垂直 D．四边相等6．在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，在下列各组条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是( )A．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BDB．AO＝CO，BO＝DO，∠A＝90°C．∠A＝∠C，∠B＋∠C＝180°，AC⊥BDD．∠A＝∠B＝90°，AC＝BD7．如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB＝2，BC＝3，则图中阴影部分的面积为( )A．6B．3C．2D．18．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO中，且∠ABC＋∠ADC＝180°.(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)若∠ADF∶∠FDC＝3∶2，DF⊥AC，则∠BDF的度数是多少？知识点3 正方形的性质与判定9．下列对正方形的描述错误的是( )A．正方形的四个角都是直角B．正方形的对角线互相垂直C．邻边相等的矩形是正方形D．对角线相等的平行四边形是正方形10．下列条件能使菱形ABCD是正方形的有( )①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④AC＝BD.A．①③ B．②③C．②④ D．①②③11．(某某中考)如图，正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且AE⊥BF，垂足为G，求证：AE＝BF.12．已知ABCD为正方形，△AEF为等边三角形，求证：(1)BE＝DF；(2)∠BAE＝15°.中档题13．菱形，矩形，正方形都具有的性质是( )A．对角线相等且互相平分B．对角线相等且互相垂直平分C．对角线互相平分D．四条边相等，四个角相等14．如图，菱形ABCD中，E是AD的中点，将△CDE沿CE折叠后，点A和点D恰好重合，若菱形ABCD的面积为43，则菱形ABCD的周长是( )A．8 2 B．16 2 C．8 3 D．16 315．(某某中考)在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝4，点E，F在直线AD上，且四边形BCFE为菱形．若线段EF的中点为点M，则线段AM的长为________．16．正方形ABCD的边长为4，点E是正方形边上的点，AE＝5，BF⊥AE，垂足为点F，求BF的长．17．已知四边形ABCD是矩形，对角线AC和BD相交于点P，若在矩形的上方加一个△DEA，且使DE∥AC，AE∥BD.(1)求证：四边形DEAP是菱形；(2)若AE＝CD，求∠DPC的度数．18．如图，在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，P、Q分别是BM、DN的中点．(1)求证：四边形MPNQ是菱形；(2)若AB ＝2，BC ＝4，求四边形MPNQ 的面积．19．(某某中考)如图，在平面直角坐标系中，点A(2，n)，B(m ，n)(m ＞2)，D(p ，q)(q ＜n)，点B ，D 在直线y ＝12x ＋1上．四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点E ，且AB ∥CD ，CD ＝4，BE ＝DE ，△AEB 的面积是2.求证：四边形ABCD 是矩形．20．(某某中考)如图，AB∥CD，点E、F分别在AB、CD上，连接EF，∠AEF、∠CFE的平分线交于点G，∠BEF、∠DFE的平分线交于点H.(1)求证：四边形EGFH是矩形；(2)小明在完成(1)的证明后继续进行了探索，过G作MN∥EF，分别交AB、CD于点M、N，过H作PQ∥EF，分别交AB、CD于点P、Q，得到四边形MNQP，此时，他猜想四边形MNQP是菱形，请在下列框中补全他的证明思路．由AB∥CD，MN∥EF，PQ∥EF，易证四边形MNQP是平行四边形，要证平行四边形MNQP是菱形，只要证MN＝NQ，由已知条件：______________，MN∥EF，故只要证GM＝FQ，即证△MGE≌△QFH，易证________________，________________，故只要证∠EMG＝∠QFH，易证∠MGE＝∠GEF，∠QFH＝∠EFH，________________，即可得证．21．如图，矩形A1B1C1D1的边长A1D1＝8，A1B1＝6，顺次连接A1B1C1D1各边的中点得到A2B2C2D2，顺次连接A2B2C2D2各边的中点得到A3B3C3D3，…，依此类推．(1)求四边形A2B2C2D2的边长，并证明四边形A2B2C2D2是菱形；(2)四边形A10B10C10D10是矩形还是菱形？A10B10的长是多少？(第(2)问写出结果即可)基础题1.A2.C3.D4.证明：∵AD ∥BC ，∴∠BAD ＋∠B ＝180°.∵∠BAD ＝∠BCD ，∴∠BCD ＋∠B ＝180°.∴AB ∥CD.∴四边形ABCD 为平行四边形．∴∠B ＝∠D.∵AM ⊥BC ，AN ⊥DC ，∴∠AMB ＝∠AND ＝90°.∵AM ＝AN ，∴△AMB ≌△AND.∴AB ＝AD.∴四边形ABCD 是菱形．5.B6.C7.B8.(1)证明：∵AO ＝CO ，BO ＝DO ，∴四边形ABCD 是平行四边形．∴∠ABC ＝∠ADC.∵∠ABC ＋∠ADC ＝180°，∴∠ABC ＝∠ADC ＝90°.∴四边形ABCD 是矩形．（2）∵∠ADC ＝90°，∠ADF ∶∠FDC ＝3∶2，∴∠FDC ＝36°.∵DF ⊥AC ，∴∠DCO ＝90°－36°＝54°.∵四边形ABCD 是矩形，∴OC ＝OD.∴∠ODC ＝54°.∴∠BDF ＝∠ODC －∠FDC ＝18°.9.D 10.C11.证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ，∠ABC ＝∠BCF ＝90°.∴∠BAE ＋∠AEB ＝90°.又∵AE ⊥BF ，∴∠CBF ＋∠AEB ＝90°.∴∠BAE ＝∠CBF.在△ABE 与△BCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAE ＝∠CBF ，AB ＝BC ，∠ABE ＝∠BCF ，∴△ABE ≌△BCF(ASA)．∴AE ＝BF.12.证明：(1)∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝AD ，∠B ＝∠D.∵△AEF 为等边三角形，∴AE ＝AF.在Rt △ABE 和Rt △ADF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，AE ＝AF ， ∴Rt △ABE ≌Rt △ADF(HL)．∴BE ＝DF.（2）由(1)可知△ABE ≌△ADF ，∴∠BAE ＝∠DAF.又∠BAD ＝90°，∠EAF ＝60°，∴∠BAE ＋∠DAF ＝30°.∴∠BAE ＝15°.中档题 13.C 14.A 15.5.5或0.5 16.由勾股定理得BE ＝AE 2－AB 2＝52－42＝3，∵BF ⊥AE ，∴S △ABE ＝12AE ·BF ＝12AB ·BE ，即12×5×BF ＝12×4×3，解得BF ＝125. 17.(1)证明：∵DE ∥AC ，AE ∥BD ，∴四边形DEAP 为平行四边形．∵四边形ABCD 为矩形，∴AP ＝12AC ，DP ＝12BD ，AC ＝BD.∴AP ＝PD.∴四边形DEAP 为菱形． （2）∵四边形DEAP 为菱形，∴AE ＝PD.∵AE ＝CD ，∴PD ＝CD ＝PC.∴△PDC 为等边三角形．∴∠DPC ＝60°. 18(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC.∵M 、N 分别是AD 、BC 的中点，∴DM ＝BN.又∵DM ∥BN ，∴四边形DMBN 是平行四边形，∴BM ＝DN ，BM ∥DN ，∵P 、Q 分别是BM 、DN 的中点，∴MP ＝NQ.又∵MP ∥NQ ，∴四边形MPNQ 是平行四边形．连接MN.∵AD ∥BC ，AD ＝BC ，M 、N 分别AD 、BC 的中点，∴DM ＝.∴四边形DMNC 是矩形．∴∠DMN ＝∠C ＝90°. ∵Q 是DN 中点，∴MQ ＝NQ.∴四边形MPNQ 是菱形．（2）∵AB ＝2，BC ＝4，M 为AD 中点，Q 为DN 中点，∴平行四边形DMBN 的面积是12×2×4＝4.∴△DMN 的面积是2.∴△MQN 的面积是1. 同理：△MPN 的面积是1，∴四边形MPNQ 的面积是1＋1＝2..19.证明：∵AB ∥CD ，∴∠ABD ＝∠CDB ，∠BAC ＝∠ACD.又∵BE ＝DE ，∴△ABE ≌△CDE.∴AE ＝CE.∴四边形ABCD 为平行四边形．∴AB ＝CD ＝4.∴m ＝6.∵点B 在直线y ＝12x ＋1上，∴n ＝4.∴A(2，4)，B(6，4)．∴AB ∥CD ∥x 轴． ∵△AEB 的面积是2，∴ABCD 的面积是8. 又∵CD ＝4，∴ABCD 的高是2.∴q ＝2.把q ＝2代入直线y ＝12x ＋1得p ＝2，∴点D(2，2)．∴点C(6，2)．∴AD ∥BC ∥y 轴．∴四边形ABCD 是矩形． 20.(1)证明：∵EH 平分∠BEF ，FH 平分∠DFE ，∴∠FEH ＝12∠BEF ，∠EFH ＝12∠DFE. ∵AB ∥CD ，∴∠BEF ＋∠DFE ＝180°.∴∠FEH ＋∠EFH ＝12(∠BEF ＋∠DFE)＝12×180°＝90°. ∵∠FEH ＋∠EFH ＋∠EHF ＝180°，∴∠EHF ＝180°－(∠FEH ＋∠EFH)＝180°－90°＝90°.同理：∠EGF ＝90°.word11 / 11 ∵EG 平分∠AEF ，EH 平分∠BEF ，∴∠FEG ＝12∠AEF ，∠FEH ＝12∠BEF. ∵点A 、E 、B 在同一条直线上，∴∠AEB ＝180°，即∠AEF ＋∠BEF ＝180°.∴∠FEG ＋∠FEH ＝12(∠AEF ＋∠BEF)＝12×180°＝90°，即∠GEH ＝90°. ∴四边形EGFH 是矩形．（2）答案不唯一，如：由AB ∥CD ，MN ∥EF ，PQ ∥EF ，易证四边形MNQP 是平行四边形，要证平行四边形MNQP 是菱形，只要证MN ＝NQ ，由已知条件：FG 平分∠CFE ，MN ∥EF ，故只要证GM ＝FQ ，即可证△MGE ≌△QFH ，易证GE ＝FH ，∠GME ＝∠∠MGE ＝∠QFH ，易证∠MGE ＝∠GEF ，∠QFH ＝∠EFH ，∠GEF ＝∠EFH ，即可得证．综合题21.（1）连接A 1C 1，B 1D 1.已知A 1B 1C 1D 1是矩形，∴A 1C 1＝B 1D 1.又A 2，B 2，C 2，D 2是中点，根据三角形中位线性质得：A 2B 2＝C 2D 2＝12A 1C 1，A 2D 2＝B 2C 2＝12B 1D 1， ∴A 2B 2＝C 2D 2＝A 2D 2＝B 2C 2.∴四边形A 2B 2C 2D 2是菱形．在直角三角形A 1B 1C 1中，根据勾股定理得A 1C 1＝A 1B 21＋B 1C 21＝62＋82＝10，∴A 2B 2＝12A 1C 1＝12×10＝5. 所以四边形A 2B 2C 2D 2的边长为5.（2）通过观察分析总结各个图形有如下关系：A n ＋2B n ＋2＋2D n ＋2与A n B n D n 相似，A n ＋2B n ＋2＋2D n ＋2的边长是A n B n D n 边长的一半． 例如，A 3B 3C 3D 3的边长是A 1B 1C 1D 1边长的一半，A 4B 4C 4D 4的边长是A 2B 2C 2D 2边长的一半，…因此A 10B 10C 10D 10的边长是A 2B 2C 2D 2的(12)4＝116， 所以A 10B 10C 10D 10也是菱形，A 10B 10＝A 2B 216＝516.。
2017秋北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形章小结复习(教案)
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“特殊平行四边形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
-特殊平行四边形的应用问题：如求面积、周长等，教师需讲解如何运用所学性质解决实际问题。
举例解释：
-以矩形为例，强调其对边相等、对角线互相平分且相等的性质，并展示如何利用这些性质计算矩形的面积和周长。
2.教学难点
-矩形、菱形、正方形性质的理解与运用：学生需理解这些性质的本质，并能将其应用于解决实际问题。
2017秋北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形章小结复习（教案）
一、教学内容
2017秋北师大版九年级数学上册第一章《特殊平行四边形》章小结复习，主要包括以下内容：
1.矩形的定义、性质和判定方法；
2.菱形的定义、性质和判定方法；
3.正方形的定义、性质和判定方法；
4.特殊平行四边形的应用问题，如求面积、周长等；
5.各类特殊平行四边形之间的关系及相互转化。
二、核心素养目标
1.培养学生运用几何图形性质解决问题的能力，提高空间想象力和逻辑思维能力；
2.培养学生通过特殊平行四边形的学习，掌握数学推理和论证的方法，增强数学抽象和数学建模的核心素养；
3.培养学生将特殊平行四边形知识应用于实际问题的解决，提高数学应用意识和创新意识；
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解特殊平行四边形的基本概念。特殊平行四边形是指具有特殊性质的四边形，如矩形、菱形和正方形。它们在几何图形中具有重要地位，并在生活中有广泛的应用。
2017年秋季新版北师大版九年级数学上学期第1章、特殊平行四边形单元复习教案5
[生]直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半．
[生]能．
1 AC． 2
证明： （如图） 过 A 点作 BC 的平行线，与 BE 的延 长线交于点 D，连接 CD，则∠DAE＝ ∠BCE． ∵BE 是 Rt△ABC 的斜边 AC 上的中 线， ∴AE＝EC． 又∵∠AED＝∠CEB， ∴△AED≌△CEB． ∴AD＝BC． ∵AD//BC． ∴四边形 ABCD 是平行四边形. ∵∠ABC＝90° ∴□ABCD 是矩形. ∴AC=BD，BE＝ED＝ ∴BE＝ B E C 对直角三角形的 性质探究过程的 设计主要是让学 生多参与，多展现 方法，让学生体现 一题多解的思想. A D 师生配合完成证明
1 BD． 2
1 AC． 2
探究直角三角形的判 定：
你能说出上述结论的逆命题吗？ 它是真命题吗？若是， 请给予证明； 若不是，举出反例. 定理：如果一个三角形一边上的中 线等于这边的一半，那么这个三角 形是直角三角形. 已知：BE 为△ABC 的中线 且 BE= 一名学生口答，有不同意见的 继续发言 . 在学生发言结束后 一生板书证明过程. 证明：∵BE 为△ABC 的中线 且 BE=
1 AC 2
1 AC 2
∴AE= BE=CE ∴ ∠ABE=∠A； ∠EBC=∠C ∵∠A+∠ABC+∠C=180° E ∴2（∠ABE+∠EBC） =180° ∴∠ABE+∠EBC= 90°
求证：∠ABC=90° A
B
C
即∠ ABC=90°
探究矩形的判定： 八年级我们已经研究过矩形的判 定，下面请同学们回想一下矩形的 判别方法有哪些？ 1、定义 2、 有三个角是直角的四边形是矩形 3、 对角线相等的平行四边形是矩形 口答： 两名学生根据老师给出的图形 说出已知、求证和证明过程 . 问：你能证明 2、3 两个命题的正确 性吗？ A B 一名学生口答，其他学生在必 要时给以补 充. 通过提问检查学 生的预习情况，在 学生相互补充的 基础上进一步加 深印象.Leabharlann 思维拓展：你能按照如图所示的辅
北师大版九年级数学上册教学设计：第一章《特殊的平行四边形》回顾与复习
九年级学生在学习《特殊的平行四边形》之前，已经具备了平行四边形的基本概念和性质，以及四边形的有关知识。在此基础上，他们对特殊的平行四边形（矩形、菱形、正方形）的学习具备了一定的基础。但在实际应用中，学生可能对特殊平行四边形的判定方法、性质运用及实际问题解决等方面存在一定的困难。因此，在本章节的教学中，应注意以下学情：
3.教学评价：
（1）过程性评价：关注学生在课堂上的表现，如积极参与、合作交流、问题解决等，给予及时的鼓励和反馈。
（2）总结性评价：通过课后作业、阶段测试等方式，了解学生对特殊平行四边形性质及应用的掌握程度。
4.教学策略：
（1）关注学生的个体差异，因材施教，提高每个学生的学习效果。
（2）注重情感教育，激发学生的学习兴趣，增强学生的自信心。
（2）对作业中的疑问及时请教同学或老师，提高问题解决能力。
（3）按时提交作业，养成良好的学习习惯。
（1）阅读教材附录中的相关阅读材料，了解特殊平行四边形在实际生活中的应用。
（2）思考并讨论：矩形、菱形、正方形之间的联系与区别。
4.思考题：
（1）特殊平行四边形除了教材中提到的性质外，还有哪些性质？
（2）如何运用特殊平行四边形的性质解决一些复杂的几何问题？
5.作业要求：
（1）认真完成作业，保持字迹清晰、卷面整洁。
北师大版九年级数学上册教学设计：第一章《特殊的平行四边形》回顾与复习
一、教学目标
（一）知识与技能
在本章节《特殊的平行四边形》回顾与复习中，使学生掌握以下知识与技能：
1.理解并掌握平行四边形的基本性质，如对边平行且相等、对角线互相平分等。
2.熟练运用特殊的平行四边形（矩形、菱形、正方形）的性质进行计算和解决问题。
九年级数学上册第一章特殊平行四边形复习学案1新版北师大版
第一章特殊平行四边形【学习目标】1、掌握并能区分矩形、菱形、正方形的性质与判定（重点）2、矩形、菱形、正方形的性质与判定综合运用.（难点）【学习方案】正方形、平行四边形、矩形、菱形的性质可比较如下：平行四边形矩形菱形正方形对边平行且相等四条边都相等对角相等四个角都是直角对角线互相平分对角线互相垂直对角线相等每条对角线平分一组对角（凡是图形所具有的性质,在表中相应的空格中填上“√”,没有的性质不要填写)矩形的判定方法．矩形判定方法1：对角钱相等的平行四边形是矩形．矩形判定方法2：有三个角是直角的四边形是矩形．矩形判定方法3：有一个角是直角的平行四边形是矩形．矩形判定方法4：对角线相等且互相平分的四边形是矩形直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半1、已知：如图 ,矩形 ABCD,AB长8 cm ,对角线比AD边长4 cm．求AD的长及点A到BD的距离AE 的长．2、如图,已知矩形ABCD中,E是AD上的一点,F是AB上的一点,EF⊥EC,且EF=EC,DE=4cm,矩形ABCD 的周长为32cm,求AE的长．3、如图,在□ABCD 中,E 为BC 的中点,连接AE 并延长交DC 的延长线于点F ．(1)求证：AB=CF ；(2)当BC 与AF 满足什么数量关系时,四边形ABFC 是矩形,并说明理由．※4、如图,在□ABCD 中,DE ⊥AB 于E,BM ＝MC ＝DC,求证：∠EMC=3∠BEM.菱形的判定菱形判定方法1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直． 菱形判定方法2:四边都相等的四边形是菱形1、 已知：如图,四边形ABCD 是菱形,F 是AB 上一点,DF 交AC 于E ． 求证：∠AFD=∠CBE ．2、已知：如图ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别交于E 、F ．求证：四边形AFCE 是菱形．FE DC BAM B DC3、如图,在菱形ABCD 中,∠A =60°,AB =4,O 为对角线BD 的中点,过O 点作OE ⊥AB ,垂足为E ．求线段BE 的长．4、如图,四边形ABCD 是菱形,DE⊥AB 交BA 的延长线于E,DF⊥BC ,交BC 的延长线于F 。
九年级数学上册 第一章 特殊平行四边形本章复习教案 (新版)北师大版-(新版)北师大版初中九年级上册
第一章特殊平行四边形【知识与技能】熟练掌握平行四边形的定义，平行四边形的性质及判定定理，并运用它们进行有关的证明和计算.【过程与方法】引导学生通过练习回忆已学过的知识，提高逻辑思维能力、推理能力和归纳概括能力，训练思维的灵活性，领悟数学思想.【情感态度】在整理知识点的过程中发展学生的独立思考习惯，让学生感受成功，并找到解决平行四边形问题的一般方法.【教学重点】使学生能熟练地运用平行四边形的性质、判定定理.【教学难点】构造平行四边形解决问题.一、知识结构二、释疑解惑，加深理解1.菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质，另外，菱形的四条边相等、对角线互相垂直.2.菱形的判定：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边相等的四边形是菱形.3.矩形的性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等.4.矩形的判定：对角线相等的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形.5.正方形的性质：正方形的四个角都是直角，四条边相等；正方形的对角线相等且互相垂直平分.6.正方形的判定：对角线相等的菱形是正方形；对角线垂直的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形叫做正方形.【教学说明】让学生对知识进行回忆，进一步体会特殊平行四边形的性质、判定.三、典例精析，复习新知1.矩形的一条较短边的长为5cm，两条对角线的夹角为60°，则它的对角线的长等于 10 cm.°，边长是20cm，则较长的对角线是203cm.3.如图，E是正方形ABCD内一点，如果△ABE为等边三角形，那么∠DCE=15度.4.如图，周长为68的矩形ABCD被分成7个大小完全一样的小矩形，则矩形ABCD的面积为（C）解析：设小矩形的长、宽分别为x、y，根据周长为68的矩形ABCD，可以列出方程3x+y=34；根据图示可以列出方程2x=5y，联立两个方程组成方程组，解方程组就可以求出矩形ABCD 的面积.设小矩形的长、宽分别为x、y，依题意得33425x yx y+==⎧⎨⎩，解之得104 xy==⎧⎨⎩∴则矩形ABCD的面积为7×10×4=280.故选C.5.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AP∥BD，DP∥AC，AP、DP相交于点P，则四边形AODP是什么样的特殊四边形，并说明你的理由.分析：由AP∥BD，DP∥AC先判断四边形AODP是平行四边形，再由AO=DO判断四边形AODP为菱形.解：四边形AODP是菱形，理由如下：∵AP∥BD，DP∥AC，∴四边形AODP是平行四边形.又∵矩形的对角线互相平分，得AO=DO，由菱形的判定得四边形AODP为菱形.6.如图所示，有两条笔直的公路BD和EF（宽度不计），从一块矩形的土地ABCD中穿过，已知EF是BD的垂直平分线，BD=40米，EF=30米，求四边形BEDF的面积.分析：连接DE、BF，因为四边形ABCD是矩形，所以AB∥CD，进而求证DF=BE，再求证FD=FB，即可判定四边形BFDE是菱形，根据菱形面积计算公式即可计算菱形BFDE的面积.解：如图，连接DE、BF，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠ODF=∠OBE，由EF垂直平分BD，得OD=OB，∠DOF=∠BOE=90°，又BE∥DF，∴∠FDO=∠OBE，∴△DOF≌△BOE，∴DF=BE，∴四边形BEDF是平行四边形，又∵EF是BD的垂直平分线，∴FD=FB，因此四边形BFDE是菱形，∴S菱形BFDE=12 EF·BD=12×30×40=600（米2）.7.如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个颜色不同的正方形组成，设中间最小的一个正方形边长为1，求这个矩形色块图的面积.分析：因为矩形内都是正方形，正方形的各边长相等，又有中间小正方形的边长为1，可利用边长之间的关系建立等式.解：由图可知DF-AE=1，AE=BE+1，2CF-DF=1，即DF=AE+1，AE=CF+1+1，DF=CF+3，故2CF-CF-3=1，解得CF=4，∴BE=5，AE=6，∴AB=11，BC=13，S=AB·BC=11×13=143.【教学说明】通过上面的解题分析，再对整个学习过程进行总结，能够促进理解，提高认识水平，从而促进数学观点的形成和发展.四、复习训练，巩固提高1.已知：如图，在矩形ABCD中，CE⊥BD，E为垂足，∠DCE∶∠ECB=3∶1，则∠ACE=45度.解析：根据矩形的性质首先求出∠DCE，∠ECB的度数.然后利用三角形内角和定理求解即可.2.如图，E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，且CE=AC，AE交CD于点F，则∠E= 22.5 度.解析：由于正方形的对角线平分一组对角，那么∠ACB=45°，即∠ACE=135°，在等腰△CAE中，已知顶角的度数，即可由三角形内角和定理求得∠E的度数.3.如图，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF，请回答下列问题，并说明理由.（1）四边形ADEF 是什么四边形；（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形ADEF 是矩形.△ABD ，△EBC 都是等边三角形，容易得到全等条件证明△DBE ≌△ABC ≌△FEC ，然后利用全等三角形的性质和平行四边形的判定可以证明四边形ADEF 是平行四边形.（2）若平行四边形ADEF 是矩形，则∠DAE=90°，然后根据已知可以得到∠BAC=150°. 解：（1）四边形ADEF 是平行四边形.理由：∵△ABD ，△EBC 都是等边三角形.∴AD=BD=AB ，BC=BE=EC∠DBA=∠EBC=60°∴∠DBE+∠EBA=∠ABC+∠EBA.∴∠DBE=∠ABC.在△DBE 和△ABC 中BD BA DBE ABC BE BC =∠==⎪∠⎧⎪⎨⎩，∴△DBE ≌△ABC.∴DE=AC.又∵△ACF 是等边三角形，∴AC=AF.∴DE=AF.同理可证：AD=EF ，∴四边形ADEF 是平行四边形.（2）若四边形ADEF 是矩形，则∠FAD=90°，∠BAC=360°-∠DAF-∠DAB-∠FAC=360°-90°-60°-60°=150°.∴∠BAC=150°时，四边形ADEF 是矩形.【教学说明】让学生先独立完成，而后将不会的问题各小组交流讨论得出结果.养成学以致用的好习惯.五、师生互动，课堂小结先小组内交流本节课的收获和感想，然后以小组为单位派代表进行总结.教师进行补充.【教学说明】归纳平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定，体验事物之间的联系与区别.布置作业:教材“复习题”中第5、8、12题.通过本节课的复习，归纳矩形、菱形、正方形的性质和判定，使学生体验事物之间的联系与区别.从而加强对新知识的理解与应用.。
2017年秋季新版北师大版九年级数学上学期第1章、特殊平行四边形单元复习导学案10
自学导读：
学习目 标：
自学检测：
探究展示：
疑难点记录：
二 、合作互助质疑 解惑
小组内统 一答案，组长 负责将自学检测和探究展示的题目按组员的水平合理分工以便 展示；组长将本组共同 的疑难问题整理记录，准备全班交流。同学们相互讨论讨论解题思路，畅所欲言，互相补充，然组先把问题展示提出2、其他组展示所提出的疑难问题的正确答案
3、组员按所分题目抢答展示。
四、反串互动拓展提升
五、感悟成功颗粒归仓
1、知识归纳：
2、本节课的重难 点是：
3、感悟生成：
六、达标测试巩固落实
3.2特殊平行四边形导学案（3）
课型： 新授
编号：
主备人：
审核：
小主人：
教学目标 ：1．经历探 索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论 证的 能力。
2．能运用综合法证明 正方形的性质定理和判定定理以及其他相关结论。
3．体会证明过程中所运 用 的归纳概括以及转化等数学思想方法 。
一、自主学习 目标导学
2017年秋季新版北师大版九年级数学上学期第1章、特殊平行四边形单元复习学案9
第四章复习 四边形中的常见计算与证明1．四边形系列概念的生成关系：平行四边形平行四边形菱形矩形，正方形2．常用重要推理模式图：①双角平分线推 90 ②双垂直推角等；③角平分线、平行线、等腰三角形二推一3．四边形中常用面积模型：4．举例与练习：例1．如图，在□ABCD 中，已知AD ＝8㎝， AB ＝6㎝， DE平分∠ADC 交BC 边于点E ，则BE 等于（）A.2cmB.4cmC.6cmD.8cm例2．在□ABCD 中AB =7cm,对角线BD =21cm,CE ⊥BD 于点E ,且CE =5cm, 则AB ,CD 间的距离为 ．1． ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，△BOC 的周长比△AOB的周长小2，▱ABCD 的周长为44，则AB= AB CDEBCD2．如图，四边形ABED 与四边形AFCD 都是平行四边形，AF 和DE 相交成直角，AG =3cm,DG =4cm,ABED 的面积是36cm 2, 则四边形ABCD 的周长为（ ）A.49cmB.43cmC.41cmD.46cm例3. 已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，直线EH 经过点O ，交AB 于E ，交CD 于H ，直线FG 经过点O ，交BC 于F ，交AD 于G ，连接EF 、HG ．试判断EF 、HG 的位置关系，并说明原因．例4. 已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，垂足为点D ，AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线，CE ⊥AN ，垂足为点E ， 求证：四边形ADCE 为矩形；（学习建议：通过本题体会等腰三角形的三线合一和双角平分线推 90这个模型．）例5：△ABC 中，点O 是AC 上的一个动点，过点O 作直线MN//BC , 设MN 交∠ACB 的平分线于点E ，交∠ACB 外角的平分线于点F ． （1）求证：EO =FO ； （2）当点O 运动到何处时，四边形AECF例6．将两张宽度相等的矩形纸片叠放在一起得到如图所示的四边形ABCD ． 求证：四边形ABCD 是菱形；N 例4图例7 如图，点P 是正方形对角线上任意一点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥BC 于F ， 若AC =2, 求四边形BFPE 的周长．课后作业：1.如图，在菱形ABCD 中，AB = 5，∠BCD = 120°，则对角线AC 等于 ,菱形的面积等于 .2.如图，菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝2，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连接AE 、EF 、AF ，则△AEF 的周长为（ ） A ． 32 B ． 33 C ． 34 D ． 33.如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，602AOB AB ∠==°，，则矩形的对角线AC 的长是（ ） A ．2 B ．4C．D．4. 已知菱形的边长和一条对角线的长均为2cm ，则菱形的面积为（ ） A ． 23cmB ． 24cm C ．2 D ．25. 如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，如果将该矩形沿对角线BD折叠，那BACDFADEBCOD CAB么图中阴影部分的面积是 。
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从对角线的角度 （4）————————— ———————————————————
自学导读：
学习目标（一） 用综合法证明菱形的独有的性质阅读课本P98页内容，回答相应问题。
（请学 生交流大 体思路；画出图形， 用规范的数学语言写出证明过程；同学之间进行交流，找出自己还存在的问题。）定理：菱形的四条边都相等。
3.2特殊平行四边形导学案（2）
课型：新授
编号：
主备人：
审核：
小主人：
教学目标：1．经历探索、猜想质定理和判定定理。
3．体会证明过程中所运用的归纳概括以及转化等数学思想方。
一、自主学 习目标导学
知识点链接：1.平行四边形有性质：从边的角度：（1）———————————————————（2）————————————————
问题：对角线互相垂直平分的四边形是菱形 吗?为什么？口述其过程。
定理：四条边都相等的四边形是菱形。
自学检测：1、如图 ，点O是矩形ABCD的交点，DE∥AC，CE∥BD。
求证：四边形OCED是菱形。
2、菱形的面积等于 其对角线成绩的一半。
疑难点记录：
感悟成功颗粒归仓
1、知识归纳：
2、本节课的重难点是：
从角的角度（3）——————————————————————————（4）——————————————————————————————
从对角 线的角度（5）————————————————— ———————————
2.平行四边形的判定条件：从边的角度：（1）———————————————————（2）————————————————
3、感悟生成：
达标测试巩固落实
1、两条等宽的纸 条交叉叠在一起，重叠的部分(四边形ABCD)是菱形吗？为什么？
2、如图，四边形ABCD中，A B∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB 于E。求证：四边形AECD是菱形。
定理：菱形的对角线互相垂直，并且每条对角 线平分一组对角
拓展： 如图, 四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对角线BD长10cm.
通 过以上已知条件 你能获得哪些结论？
学习目标（二）用综合法证明菱形的判定方法（定理的证明严格的完成，各小组之间进行交流）
菱形的定义：
定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。