新课标数学必修4同步练习_2.1平面向量的概念、加、减、数乘运算
必修四平面向量知识点整理+例题+练习+问题详解
平面向量知识点整理1、概念向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 相反向量：0a b b a a b =-⇔=-⇔+=向量表示：几何表示法AB ；字母a 表示；坐标表示：a ＝ｘｉ＋ｙj ＝（ｘ，ｙ）.向量的模：设OA a =u u u r r ，则有向线段OA uu u r 的长度叫做向量a r的长度或模，记作：||a r .（ 222222||,||a x y a a x y =+==+r r r 。
） 零向量：长度为0的向量。
a ＝O ⇔｜a ｜＝O .【例题】1.下列命题：（1）若a b =r r ，则a b =r r 。
（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。
（3）若AB DC =u u u r u u u r，则ABCD 是平行四边形。
（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =u u u r u u u r 。
（5）若,a b b c ==r r r r ，则a c =r r 。
（6）若//,//a b b c r r r r ，则//a c r r。
其中正确的是_______2.已知,a b r r 均为单位向量，它们的夹角为60o，那么|3|a b +u u r r ＝_____2、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相接连端点． ⑵平行四边形法则的特点：起点相同连对角．⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+r r rr r r ．⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+r r r r ；②结合律：()()a b c a b c ++=++r r r r rr ；③00a a a +=+=r r r r r．⑸坐标运算：设()11,a x y =r ，()22,b x y =r ，则()1212,a b x x y y +=++rr ． 3、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．⑵坐标运算：设()11,a x y =r ，()22,b x y =r ，则()1212,a b x x y y -=--rr ．设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--u u u r． 【例题】（1）①AB BC CD ++=u u u ru u u ru u u r___；②AB AD DC --=u u u ru u u ru u u r____；③()()AB CD AC BD ---=u u u r u u u r u u u r u u u r_____（2）若形ABCD 的边长为1，,,AB a BC b AC c ===u u u r r u u u r r u u u r r ，则||a b c ++r r r＝_____4、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a r 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λr．①a a λλ=r r ；②当0λ>时，a λr的方向与a r 的方向相同；当0λ<时，a λr的方向与a r 的方向相反；当0λ=时，0a λ=r r ．⑵运算律：①()()a a λμλμ=r r ；②()a a a λμλμ+=+r r r；③()a b a b λλλ+=+r r r r ．⑶坐标运算：设(),a x y =r ，则()(),,a x y x y λλλλ==r．【例题】（1）若M （-3，-2），N （6，-1），且1MP MN 3--→--→=-，则点P 的坐标为_______5、向量共线定理：向量()0a a ≠rr r 与b r 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=r r ．设()11,a x y =r，()22,b x y =r ，（0b ≠r r ）22()(||||)a b a b ⇔⋅=r r r r 。
高中数学 第二章 平面向量 2.1 向量的线性运算 2.1.4
2.1.4数乘向量
一、【使用说明】
1、课前完成导学案，牢记基础知识，掌握基本题型；
2、认真限时完成，规范书写；课上小组合作探究，答疑解惑。
二、【重点难点】
重点：数乘向量的定义、运算律；
难点：正确的运用法则、运算律，进行向量的线性运算.
三、【学习目标】
1、理解并掌握数乘向量的定义及数乘运算的满足的运算律；
2、正确运用法则、运算率，进行向量的线性运算；
四、自主学习
1、数乘向量的定义及其几何意义：
2、数乘向量运算满足的运算律：
例1、 计算下列各式：
（1）2
1)2(⨯
-；（2）)(3)(2--+；（3）))(())((+---+μλλμ
例2设是未知向量，解方程0)(3)(5=-++b x a x .
例3如图所示，已知A O =OA 3，B A ''=AB 3，说明向量OB 与B O 的关系.
B '
O A A '
五、合作探究
1、 化简下列各式：
（1）)23(5)32(4-+- （2）)32(3)43(2-+-+-
（3）b 4
1)25(612(41+--+
2、求未知向量x ：
（1）)(2=++ （2）3)(4=-+
（3）0)3(2
1)31(2=++---
b c x b a x
3、在ABC ∆中，设D 为边BC 的终点，求证：
（1）)(2
1+=； （2）223=++
六、总结升华
1、知识与方法：
2、数学思想及方法：。
向量的加减法、数乘向量及向量的坐标“练习课 线上课程课件-北师大版高中数学必修4
根据平面向量基本定理，一定存在实数m,n,使得
m 2n -12
3m
4n
8
解得
m 32 n -22
四 例题剖析
题型4：共线定理的应用 例5 已知向量AB (6,1), BC (x, y),CD (2, 3),当BC∥DA 时，
求实数x, y应满足的关系式.
分析 向量BC与DA平行，关键是转化它的等价条件.
解 DA=-AD (AB BC CD) -x 4,2 y x 4, 2 y,
根据向量共线定理得 x1y2 x2 y1 x(2 y) y(x 4) 0, 从而 x 2y 0.
四 例题剖析
题型4 共线定理的应用
变式1 [湖北高考]已知ABC和点M 满足：MA MB MC 0 ，
由BP和BA有公共点B， A, P, B三点共线.
P A
O
三 问题探究
问题探究2：【课本87页A组T 5】
如图，D是ABC中BC边的中点.
C
1 试用AB，AC表示 AD;
EG
D
2 若点G是ABC的重心，能否用AB，AC表示 AG;
A
3若点G是ABC的重心，那么GA GB GC ?
F
B
分析 1 AD 1 AB 1 AC； 2 AG 2 AD 1 AB 1 AC；
2.重难点
重点是共线定理和平面向量基本定理. 难点是如何用向量的方法解决一些问题..
二 知识回顾
1.数乘向量的定义：
一般地，实数λ与向量a的积是一个向量,记作λa. 它的长度为 |λa|=|λ||a| .它的方向：当λ>0时，λa与a方向 相同 ； 当λ<0时，λa与a方向 相反 ；当λ=0时，λa=0,方向任意 .
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第5课时平面向量的坐标表示及其运算1.掌握向量的正交分解及坐标表示,理解直角坐标系中的特殊意义.2.理解向量坐标的定义,并能正确用坐标表示坐标平面上的向量,对起点不在原点的平面向量能利用向量相等的关系来用坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算.4.理解用坐标表示平面向量共线的条件.足球运动员在踢足球的过程中,将球踢出时的一瞬间的速度为υ.能否建立适当的坐标系,表示踢出时的水平速度和竖直速度?能不能用水平方向和竖直方向的单位向量来表示这个速度呢?问题1:平面向量的正交分解把一个向量分解为两个的向量的线性表示,叫作向量的正交分解,向量的正交分解是平面向量基本定理的特例,即当基底e1、e2时的情况.问题2:平面向量的坐标表示在平面直角坐标系内,分别取与x轴,y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底,a为坐标平面内的任意向量,如图,以坐标原点O为起点作=a,由平面向量基本定理可知,一对实数x,y,使得= ,因此a=xi+yj.我们把实数对叫作向量a的坐标,记作.问题3:平面向量在坐标表示下的线性运算(1)向量和的坐标运算:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b= .即两个向量的和的坐标等于这两个向量相应坐标的和.(2)向量差的坐标运算:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a-b= .即实数与向量的差的坐标等于这两个向量相应坐标的差.(3)实数与向量的积的坐标运算:设λ∈R,a=(x,y),则λa=.即实数与向量的乘积的坐标分别等于实数与相应坐标的乘积.(4)的坐标表示:若A(x1,y1),B(x2,y2),则=-= .即一个向量的坐标等于其终点的相应坐标减去起点的相应坐标.问题4:如何用坐标表示两个平面向量共线?由向量的共线定理可知:若a,b(b≠0)共线,则存在唯一的实数使得.设a=(x1,y1),b=(x2,y2)≠0,则(x1,y1)=λ(x2,y2)=,得即两式相减消去λ得,这就是两个向量平行的条件.由于规定向量可与任一向量平行,所以在应用时可以去掉b≠0,即:当且仅当x1y2-x2y1=0时,向量a,b 共线.若x2≠0,且y2≠0(也可写作x2y2≠0),则x1y2-x2y1=0可以写成(两向量平行的条件是相应坐标).1.已知i、j分别为与x轴正方向、y轴正方向相同的两个单位向量,若a=(3,4),则a可以用i、j表示为().A.a=3i+4jB.a=3i-4jC.a=-3i+4jD.a=4i+3j2.已知平面向量a=(1,2),b=(-2,m),且a∥b,则2a+3b=().A.(-2,-4)B.(-3,-6)C.(-4,-8)D.(-5,-10)3.设a=(1,2),b=(2,3),若向量λa+b与向量c=(-4,-7)共线,则λ=.4.(1)设向量a,b的坐标分别是(-1,2),(3,-5),求a+b,a-b,2a+3b.(2)设a,b,c的坐标分别是(1,-3),(-2,4),(0,5),求3a-b+c的坐标.平面向量的正交分解在直角坐标系xOy中,向量a,b的位置如图所示,已知|a|=4,|b|=3,且∠AOx=45°,∠OAB=105°,分别求向量a,b的坐标及A、B点的坐标.平面向量的坐标运算已知点A(-1,2),B(2,8)及=,=-,求点C、D和的坐标.平行向量的坐标运算已知四边形ABCD的顶点依次为A(0,-x),B(x2,3),C(x,3),D(3x,x+4),若AB∥CD,求x的值.在平面内以点O的正东方向为x轴的正方向,正北方向为y轴的正方向建立直角坐标系.质点在平面内做直线运动.分别求下列位移向量的坐标.(1)用向量表示沿东北方向移动了2个长度单位;(2)用向量表示沿西偏北60°方向移动了3个长度单位;(3)用向量表示沿东偏南30°方向移动了4个长度单位.已知A、B、C的坐标分别为A(2,-4)、B(0,6)、C(-8,10),求向量+2-的坐标.已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行?平行时它们是同向还是反向?1.设向量=(-2,-5),若点A的坐标为(3,7),则点B的坐标为().A.(5,12)B.(12,5)C.(2,1)D.(1,2)2.已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量同方向的单位向量为().A.(,-)B.(,-)C.(-,)D.(-,)3.已知边长为单位长度的正方形ABCD,若A与坐标原点重合,边AB,AD分别落在x轴、y轴正方向上,则向量2+3+的坐标为.4.已知平行四边形ABCD的三个顶点A,B,C的坐标分别为(-2,1)、(-1,3)、(3,4),求顶点D 的坐标.(2013年·陕西卷)已知向量a=(1,m),b=(m,2), 若a∥b,则实数m等于().A.-B.C.-或D.0考题变式(我来改编):答案第5课时平面向量的坐标表示及其运算知识体系梳理问题1:相互垂直垂直问题2:有且仅有xi+yj (x,y)a=(x,y)问题3:(1)(x1+x2,y1+y2)(2)(x1-x2,y1-y2)(3)(λx,λy)(4)(x1-x2,y1-y2)问题4:a=λb(λx2,λy2)λx2λy2x1y2-x2y1=0零=成比例基础学习交流1.A a=(3,4)=3i+4j.2.C由a=(1,2),b=(-2,m),且a∥b,得1×m=2×(-2)⇒m=-4,从而b=(-2,-4),那么2a+3b=2×(1,2)+3×(-2,-4)=(-4,-8).3.2∵λa+b=(λ+2,2λ+3)与c=(-4,-7)共线,∴(λ+2)×(-7)-(2λ+3)×(-4)=0,解得λ=2.4.解:(1)a+b=(-1,2)+(3,-5)=(-1+3,2-5)=(2,-3),a-b=(-1,2)-(3,-5)=(-1-3,2+5)=(-4,7),2 a+3b=2(-1,2)+3(3,-5)=(-2+9,4-15)=(7,-11).(2)3a-b+c=3(1,-3)-(-2,4)+(0,5)=(3,-9)-(-2,4)+(0,5)=(3+2+0,-9-4+5)=(5,-8).重点难点探究探究一:【解析】设a=(a1,a2),b=(b1,b2),∵∠AOx=45°,∴a1=|a|cos 45°=4×=2,a2=|a|sin 45°=4×=2,∴a=(2,2)=,∴A点的坐标为(2,2).将b的起点平移至原点,令b的终点为B',由题意可知∠B'Ox=120°,所以b1=|b|cos 120°=3×(-)=-,b2=|b|sin 120°=3×=,∴b=(-,).又∵b==-,∴=b+=(2-,2+).故a=(2,2),b=(-,),A点的坐标为(2,2),B点的坐标为(2-,2+).【小结】(1)相等向量的坐标是相同的,而它们的起点、终点坐标可以不同.在解决很多问题时,常常需要把始点不在原点的向量移到原点.(2)起点在原点的向量终点坐标即为向量坐标,起点不在原点的向量的坐标为终点坐标减去起点坐标.求终点坐标时可用起点坐标加上向量坐标.(3)若已知向量a=(x,y),a的模为|a|,a的方向与x轴正方向的夹角为θ,由三角函数的定义可知,x=|a|cos θ,y=|a|sin θ.要注意公式中的θ是向量a的方向与x轴正方向的夹角.探究二:【解析】设点C(x1,y1),D(x2,y2),由题意得=(x1+1,y1-2),=(3,6),=(-1-x2,2-y2),∵=,=-,∴(x1+1,y1-2)=(3,6)=(1,2),(-1-x2,2-y2)=-(-3,-6)=(1,2),则有和解得和∴点C、D的坐标分别为(0,4)和(-2,0), =(-2,-4).【小结】求点的坐标时,可先设点的坐标,根据题中给出的关系,列出方程组求解即可.探究三:【解析】∵AB∥CD,∴∥,又∵=(x2,x+3),=(2x,x+1),∴x2(x+1)-2x(x+3)=0,解得x=-2或x=0或x=3.[问题]上述解法正确吗?[结论]不正确,错误一:没有注意四边形ABCD顶点的顺序,需满足,反向才行.错误二:没有注意向量的平行与线段平行的不同,∥时,AB与CD可能平行也可能重合.于是,正确解答如下:=(x2,x+3),=(2x,x+1),∵在四边形ABCD中,AB∥CD,∴与平行且反向.于是解得x=-2.经检验,x=-2满足题意.【小结】两个向量平行包括它们对应的有向线段不共线和共线两种情况,但在含有几何背景的向量平行中就要排除共线的情况,如本题中要保证ABCD是四边形就要注意向量,不能在同一条直线上且反向平行.思维拓展应用应用一:设(1)(2)(3)中的向量分别为=a,=b,=c,并设P(x1,y1),Q(x2,y2),R(x3,y3).(1)如图,因为∠POP'=45°,||=2,所以a==+=i+j,所以a=(,).(2)因为∠QOQ'=60°,||=3,所以b==+=-i+j,所以b=(-,).(3)因为∠ROR'=30°,||=4,所以c==+=2i-2j,所以c=(2,-2).应用二:A(2,-4)、B(0,6)、C(-8,10),得=(-2,10),=(-8,4),=(-10,14),∴+2-=(-2,10)+2(-8,4)-(-10,14)=(-2,10)+(-16,8)-(-5,7)=(-18,18)-(-5,7)=(-13,11).应用三:(法一)ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4).∵(ka+b)∥(a-3b),∴(k-3)×(-4)-10(2k+2)=0,解得k=-.此时ka+b=(--3,-+2)=(-,)=-(10,-4)=-(a-3b).∴k=-,且此时ka+b与a-3b平行,并且反向.(法二)由题意知ka+b=(k-3,2k+2),a-3b=(10,-4),当ka+b与a-3b平行时,存在唯一实数λ,使ka+b=λ(a-3b),由(k-3,2k+2)=λ(10,-4),∴解得∴当k=-时,ka+b与a-3b平行,这时ka+b=-(a-3b).∵λ=-<0,∴它们的方向相反.∴k=-,此时ka+b与a-3b平行,并且反向.基础智能检测1.D设点B的坐标为(x,y),则=(x,y),=(3,7),=-=(x-3,y-7)=(-2,-5),∴解得2.A=(3,-4),所以||=5,这样同方向的单位向量是=(,-),选A.3.(3,4)如图,建立直角坐标系,有A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),即=(1,0),=(0,1),=(1,1),则有2+3+=(2,0)+(0,3)+(1,1)=(3,4).4.解:设顶点D的坐标为(x,y).∵=(-1-(-2),3-1)=(1,2),=(3-x,4-y),由=,得(1,2)=(3-x,4-y).∴∴∴顶点D的坐标为(2,2).全新视角拓展C因为a=(1,m),b=(m,2),且a∥b,所以1·2=m·m⇒m=±,所以选C.思维导图构建xi+yj (x,y)(x1±x2,y1±y2)(λx1,λy1)(x2-x1,y2-y1)x1y2=x2y1。
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第5课时平面向量的坐标表示及其运算、课程学习目标1. 掌握向量的正交分解及坐标表示，理解直角坐标系中磁的特殊意义•2. 理解向量坐标的定义，并能正确用坐标表示坐标平面上的向量，对起点不在原点的平面向量能利用向量相等的关系来用坐标表示3. 会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算4. 理解用坐标表示平面向量共线的条件左知识记忆与理解二I靠学区■不看不讲W Jfi ‘IRgieF■’TV]知识徉系梳理iisva足球运动员在踢足球的过程中，将球踢出时的一瞬间的速度为U.能否建立适当的坐标系，表示踢出时的水平速度和竖直速度？能不能用水平方向和竖直方向的单位向量来表示这个速度呢？问题1:平面向量的正交分解把一个向量分解为两个 ___________ 的向量的线性表示，叫作向量的正交分解，向量的正交分解是平面向量基本定理的特例，即当基底e i、e2 _______________ 时的情况.问题2:平面向量的坐标表示在平面直角坐标系内，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，a为坐标平面内的任意向量，如图，以坐标原点0为起点作；^=a，由平面向量基本定理可知，一对实数x，y，使得碘僅 _________ ，因此a=xi+yj.我们把实数对__________ 叫作向量a的坐标，记作___________ .问题3:平面向量在坐标表示下的线性运算(1) 向量和的坐标运算：若a=(x i, y i)，b=(X2, y2)，则a+b= ____________ .即两个向量的和的坐标等于这两个向量相应坐标的和(2) 向量差的坐标运算：若a=(x i, y i)，b=(X2, y2)，则a-b= ______________ .即实数与向量的差的坐标等于这两个向量相应坐标的差(3) 实数与向量的积的坐标运算：设入€ R, a=(x, y),贝U入a= __________ .即实数与向量的乘积的坐标分别等于实数与相应坐标的乘积⑷漏的坐标表示：若A(x i, y i), B(X2, y",则凤菸.一-丽= ________________________ .即一个向量的坐标等于其终点的相应坐标减去起点的相应坐标:量知行j lin,若a=(3,4),则a可以用).B a= 3i- 4j C.a=- 3i+ 4j D.a= 4i+ 3ja=(1,2), b=(-2, m),且a// b,则2a+3b=( ).B(-3,-6) C. (-4,-8) D. (-5, -10)入二.思维探究与创新J第二层级\导学凰讦辺栉A ft A A童点港点探究()««-平面向量的正交分解在直角坐标系xOy中，向量a, b的位置如图所示，已知|a|= 4, |b|= 3,且 / AOx=45° , / OAB=05° ,分别求向量a, b的坐标及A、B点的坐标.平面向量的坐标运算已知点A(-1,2),巳2,8)及.=爾，卜，-：!=*.疣，求点C、D和广门的坐标."三平行向量的坐标运算已知四边形ABCD勺顶点依次为A(0, -x), B(x2,3), C(x,3), D(3x,x+4),若AB// CD求x 的值.才A K A他力JMMt思维拓展应用直用一在平面内以点O的正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向建立直角坐标系质点在平面内做直线运动.分别求下列位移向量的坐标.(1) 用向量表示沿东北方向移动了2个长度单位；(2) 用向量表示沿西偏北60°方向移动了3个长度单位；(3) 用向量表示沿东偏南30°方向移动了4个长度单位.已知A、B C的坐标分别为A(2, -4)、耳0,6)、C(-8,10),求向量一+2存-：黍的坐标.应用三已知a=(1,2), b=(-3,2),当k为何值时，ka+b与a-3b平行？平行时它们是同向还是反向用与9&展国孝区・不嵐不许世祀「It僅救虚幌、基础智能检测1. 设向量，.=(-2,-5),若点A的坐标为(3,7),则点B的坐标为().A (5,12) B. (12,5) C(2,1) D . (1,2)2. 已知点A(1,3), B(4, -1),则与向量乔？同方向的单位向量为().A(f,峙)B. (£,-吉C (-謠)D.(看)3. 已知边长为单位长度的正方形ABCP若A与坐标原点重合，边AB AD分别落在x轴、y轴正方向上，则向量2._+3_._+評的坐标为 ________ .4. 已知平行四边形ABC啲三个顶点ABC的坐标分别为(-2,1)、(-1,3)、(3,4),求顶点D 的坐标.料样・鼻祀5槻* $丄杞全新视角拓嚴(2013年•陕西卷)已知向量a=(1, m), b=(m2), 若a// b,则实数m等于().A-‘历B血 C.-桎或洛 D. 0考题变式(我来改编):第5课时 平面向量的坐标表示及其运算知识体系梳理问题1:相互垂直垂直答案学滋社卞,'1歩•表朱1细> illl.t ： .71-： ff ：讥位n|fiO tJ J .<■卡初内杆：一向» 0 .邙几刊一引W ®S|需国刃为向踐■的喙喬表亦”记作■二¥腐向ft的世孙袁拆1li'JBf'^j 的舉标址算"他』）上赳知加上」4l"ia屮舟41*比・蛊屣嘉車忧・学习体验分事问题 2:有且仅有 xi+yj (x , y ) a=( x , y )问题 3：(1)( X 1+X 2, y i +y 2) (2)( X 1-X 2, y i -y 2)(3)(入 x,入 y)(4)( X 1-X 2, y i -y 2)问题 4: a=Xb (入 X 2,入 y2) 入 X 2 Xy 2 X i y 2-X 2y i =0 零 = 成比例 T-a "W M基础学习交流 1. A a=(3,4) =3i+ 4j.2. C 由 a=(i,2), b=(-2, m ),且 a // b ,得 i x m=2X (-2)?m=4,从而 b=(-2, -4),那么 2a+3b=2X (i,2) +3 X (-2, -4) =(-4, -8).3.2 •.•入 a+b=(入+ 2,2 入+3)与 c=(-4,-7)共线,A (入+2) X (-7)-(2 入+3) X (-4) =0,解得入二2.4.解:⑴ a+b=(-i,2) +(3, -5) =(-i +3,2 -5)=(2, -3), a-b=(-i,2) -(3, -5) =(-i -3,2 +5) =(-4,7),2 a+3b=2(-i,2)+3(3, -5) =(-2+9,4-i5) =(7, -ii).(2)3 a-b+c=3(i, -3)-(-2,4) +(0,5) =(3, -9) -(-2,4) +(0,5) =(3+2+0, -9-4+5) =(5, -8). 重点难点探究探究一:【解析】设 a=(a i , a 2), b=( b i , b 2), ■/ Z AOx=5°, Aa i =|a| cos 45 ° =4X =2J*a 2=|a| sin 45 ° =4X 字=2界，A a=(2 搭,2 叔)=y ,AA 点的坐标为(2嵌,2雨).将b 的起点平移至原点，令b 的终点为B', 由题意可知Z B'Ox=i20°,所以 b i =|b| cos i20 ° =3X (-.)=-], b 2=|b| sin i20 ° =3X 手•• b =(-，).又•/ b=^=.-- %：•••一 =b+. =(2 J?- ,2 .+ ). 故 a=(2 - ,2), b=(--,^^), A 点的坐标为(2 讹£,2皿-),B 点的坐标为(2 --.,2 .+•).【小结】(i)相等向量的坐标是相同的，而它们的起点、终点坐标可以不同.在解决很多 问题时，常常需要把始点不在原点的向量移到原点 .(2) 起点在原点的向量终点坐标即为向量坐标，起点不在原点的向量的坐标为终点坐标减去起点坐标.求终点坐标时可用起点坐标加上向量坐标(3) 若已知向量a=(x ,y ), a 的模为|a| , a 的方向与 定义可知，x=|a| cos e , y=|a| sin e.要注意公式中的 角.探究二：【解析】 设点乳=(X i +i, y i - 2),皿;=(3,6),曲;=(-i -x 2,2 -y 2), •.•朋=；抄：,兀=冷丽，/. (X i +i,y i -2) = (3,6) =(i,2), (-i -x 2,2 -y 2)=-； 贝U 有-和 解得 「和. A 点 C D 的坐标分别为(0,4)和(-2,0), ,=(-2,-4).【小结】求点的坐标时，可先设点的坐标，根据题中给出的关系，列出方程组求解即可. 探究三：【解析】T AB// CD A ：- //亠，X 轴正方向的夹角为e ,由三角函数的 e是向量a 的方向与X 轴正方向的夹C (x i , y i ),D (X 2, y 2), 由 题意得-3,-6) =(i,2),f-L-xa = 1,)"J —Il J—学一乙- 2 ■又：，=(x , x+3)^ _ =(2x, x+1),2•••x (x+1)-2x(x+3)=0,解得x=- 2或x=0或x=3.［问题］上述解法正确吗？［结论］不正确，错误一：没有注意四边形ABC□顶点的顺序，需满足，亠，…反向才行• 错误二：没有注意向量的平行与线段平行的不同，一 // 一一时,AB与CD可能平行也可能重合.=-.(10，-4) =-_(a-3b).k=-.,且此时ka+b与a-3b平行,并且反向.(法二)由题意知ka+b=(k-3,2 k+2), a-3b=(10, -4),当ka+b与a-3b平行时,存在唯一实数入, 使ka+b=X (a-3b),由(k-3,2 k+2) = X (10, -4),•••当k=-时，ka+b 与a-3b 平行, 这时ka+b=-. ( a- 3b).V O, 向相反.• k=-.,此时ka+b与a-3b平行,并且反向基础智能检测1. D 设点 B 的坐标为(x, y),..=(x,y)_. =(3,7), 」=..-丽［=(x-3,y-7)=(-2,-5), •_ 解得叮二2. A ：_=(3, -4),所以| 一 |=5,这样同方向的单位向量是=(,-),选A.3.于是,正确解答如下：札话=(x1 2 3, x+3), T；=(2X, x+1),•••在四边形ABCD^ ,AB// CD二嘉与莎平行且反向.J JHL- H_dflL ■皿■ a-V J -------解得x=-2.C Q ■ -TT% 、h fh曰,是经检验，x=- 2满足题意.【小结】两个向量平行包括它们对应的有向线段不共线和共线两种情况背景的向量平行中就要排除共线的情况不能在同一条直线上且反向平行思维拓展应用应用一：设(1)(2)(3) F(X1, yd,Q X2, y2), R>3, y3).，但在含有几何,如本题中要保证ABC是四边形就要注意向量歹？一的向量分另U为乩=a,=b，乔？=c,并设(*-a = ia^ b办+ 7 —-J.3解得(3,4) 如图，建立直角坐标系，有A(0,0), B(1,0), Q1,1), Q0,1),即一 =(1,0),諮=(0,1),..=(1,1),则有2」+3-- + ..=(2,0) +(0,3) +(1,1) =(3,4).4.解：设顶点D的坐标为(x, y).亠=(-1-(-2),3 -1)=(1,2), =(3-x ,4-y),由乔=…，得(1,2) =(3 -x ,4 -y)..i 一…：. -…1戈二4-V,…5 =亍・•顶点D的坐标为(2,2).全新视角拓展C 因为a=(1, n)i, b=(m2),且a// b,所以1 ^2 =m- n? m=±^,所以选C.思维导图构建xi+yj (x, y) (X1±X2, y1 ±y2) (入X1, Xy 1) (x2-x 1, y2-y 1) X1y2=X2y1(1) 如图，因为/ POP'=45°, | 裕|=2,所以a=^=-F+^=^i+；.^j ,所以a=(羽，屜).(2) 因为/ QOQ'=O°,同|=3,所以b=^=吋+.. 一玉血=-i+一j ,所以b=(二,竽).(3) 因为/ ROR'=30°, | 巫|=4,所以c=^?=..七屜=2阀i- 2j ,所以C=(2 •.画，-2).应用二：A(2, -4)、B(0,6)、C(-8,10),得，=(-2,10),…=(-8,4), ..=(-10,14),•••忌+2站-蘇=(-2,10) +2( - 8,4) - (-10,14)=(-2,10) +(-16,8) -(-5,7)=(-18,18) -(-5,7)=(-13,11).应用三:(法一)ka+b=k(1,2) +(-3,2) =( k- 3,2 k+2), a-3b=(1,2) -3(-3,2) =(10, -4).■/ (ka+b) //( a- 3b),• (k- 3) X (-4)-10(2 k+2) =0,解得k=-. 此时ka+b=(-討-3, - +2) =( - ,-)。
高中数学 第二章 平面向量 2.1.3 向量的减法 新人教B版必修4
在四边形ABFE中， E→F＋F→B＋B→A＋A→E＝0， ∴E→F＝B→F＋A→B＋E→A.② ①＋②得E→F＋E→F＝C→F＋D→C＋E→D＋B→F＋A→B＋E→A＝(C→F＋B→F)＋ (E→D＋E→A)＋(A→B＋D→C)．
∵E、F分别是AD、BC的中点，
∴E→D＋E→A＝0，C→F ＋B→F＝0.
∴E→F＋E→F＝A→B＋D→C. 方法二 如图，在平面内取点O，连接 AO、EO、DO、CO、FO、BO，则
E→F＝E→O＋O→F＝E→A＋A→O＋O→B＋B→F， A→B＝A→O＋O→B，
D→C＝D→O＋O→C ＝D→E＋E→A＋A→O＋O→B＋B→F＋F→C. ∵E、F是AD、BC的中点，
∴D→E＝E→A，B→F＝F→C. ∴E→F＋E→F＝E→A＋A→O＋O→B＋B→F＋E→A＋A→O＋O→B＋B→F ＝D→E＋A→O＋O→B＋F→C＋E→A＋A→O＋O→B＋B→F
例2 如图，解答下列各题：
(1)用 a，d，e 表示D→B； 解 由题意知，A→B＝a，B→C＝b，C→D＝c，
D→E＝d，E→A＝e，则 D→B＝D→E＋E→A＋A→B＝d＋e＋a.
(2)用 b，c 表示D→B； 解 D→B＝C→B－C→D＝－B→C－C→D＝－b－c. (3)用 a，b，e 表示E→C； 解 E→C＝E→A＋A→B＋B→C＝e＋a＋b. (4)用 d，c 表示E→C. 解 E→C＝－C→E＝－(C→D＋D→E)＝－c－d.
＋C→A＝C→A＋A→B＝C－B→D)．
解 方法一 (A→B－C→D)－(A→C－B→D)
＝A→B－C→D－A→C＋B→D＝A→B＋D→C＋C→A＋B→D
＝(A→B＋B→D)＋(D→C＋C→A)＝A→D＋D→A＝0.
高中数学第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念练习新人教A版必修4(2021年整理)
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2．1 平面向量的实际背景及基本概念2．1。
1 向量的物理背景与概念2．1.2 向量的几何表示2．1。
3 相等向量与共线向量题号1234567891011得分答案一、选择题（本大题共7小题,每小题5分，共35分)1．下列说法正确的是（)A．若|a｜>｜b|,则a〉bB．若｜a|＝|b｜，则a＝bC．若a＝b，则a∥bD．若a≠b，则a与b不是共线向量2．已知A,B,C是⊙O上三点,则向量错误!，错误!，错误!是( ) A．共线向量 B．单位向量C．模相等的向量 D．相等向量3．下列说法中，不正确的是（）A．向量错误!的长度与向量错误!的长度相等B．任何一个非零向量都可以平行移动C．长度不相等但方向相反的两个向量一定是共线向量D．两个有共同起点且共线的向量其终点必相同4．如图L2.1。
1所示，△ABC的三边边长均不相等,E，F，D分别是边AC，AB，BC的中点，则与向量错误!的模相等的向量共有（）图L21。
1A．6个 B．5个C．4个 D．3个5．如图L21。
2所示，四边形ABCD，CEFG，DCGH都是全等的菱形，HE与CG相交于点M，则下列关系中不一定成立的是( ）图L212A．|错误!|＝｜错误!| B。
高一数学平面向量计算题
高一数学必修四-平面向量计算题2.1 平面向量的实际背景及基本概念1.下列各量中不是向量的是 【 】A .浮力B .风速C .位移D .密度2.下列说法中错误．．的是【 】A .零向量是没有方向的B .零向量的长度为0C .零向量与任一向量平行D .零向量的方向是任意的3.把平面上一切单位向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是【 】A .一条线段B .一段圆弧C .圆上一群孤立点D .一个单位圆4.下列命题：①方向不同的两个向量不可能是共线向量；②长度相等、方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的两个向量是相等向量；④若a ≠b ，则|a |≠|b |. 其中正确命题的个数是 【 】A ．1B ．2C ．3D ．45．下列命题中，正确的是【 】A . 若a b =，则a b =B . 若a b =，则//a bC . 若a b >，则a b >D . 若1a =，则1a =6.在△ABC 中，AB =AC ，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则【 】A . AB 与AC 共线 B . DE 与CB 共线C . 与相等D . 与相等7.已知非零向量a ∥b ，若非零向量c ∥a ，则c 与b 必定 .8.已知a 、b 是两非零向量，且a 与b 不共线，若非零向量c 与a 共线，则c 与b 必定 . 9.已知|AB |=1，| AC |=2，若∠BAC =60°，则|BC |= . 10.在四边形ABCD 中， =，且||=||，则四边形ABCD是 .2.2.1 向量的加法运算及其几何意义1．设00,a b 分别是与,a b 向的单位向量，则下列结论中正确的是【 】A ．00a b =B ．001a b ⋅= C ．00||||2a b += D ．00||2a b += 2.在平行四边形中ABCD ，,AB AD ==a b ，则用a 、b 表示AC 的是【 】A ．a ＋aB ．b +bC ．0D ．a ＋b3.若a +b +c =0，则a 、b 、c 【 】A .一定可以构成一个三角形；B .一定不可能构成一个三角形；C .都是非零向量时能构成一个三角形；D .都是非零向量时也可能无法构成一个三角形4.一船从某河的一岸驶向另一岸船速为1v ，水速为2v ，已知船可垂直到达对岸则 【 】A <B >C ≤D ≥5.若非零向量，a b 满足+=a b b ，则【 】Ａ.2>2+a a b Ｂ.22<+a a b Ｃ.2>+2b a b Ｄ.22<+b a b6.一艘船从A 点出发以m/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行的速度的大小为4km/h ，求水流的速度7.一艘船距对岸，以/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对岸时，船的实际航程为8km ，求河水的流速8.一艘船从A 点出发以1v 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2v ，船的实际航行的速度的大小为4km/h ，方向与水流间的夹角是60 ，求1v 和v9.一艘船以5km/h 的速度在行驶，同时河水的流速为2km/h ，则船的实际航行速度大小最大是km/h ，最小是km/h2.2.2 向量的减法运算及其几何意义1.在△ABC 中， =a ， =b ，则等于【 】A .a +bB .-a +(-b )C .a -bD .b -a 2.下列等式:①a +0=a ②b +a =a +b ③-(-a )=a ④a +(-a )=0 ⑤a +(-b )=a -b 正确的个数是 【 】A .2B .3C .4D .5 3.下列等式中一定能成立的是【 】A . AB +AC =BC B . AB -AC =BC C .AB +AC =CBD .-=4.化简-++的结果等于【 】A .B .C .D .5.如图，在四边形ABCD 中，根据图示填空:a +b = ，b +c = ，c -d = ，a +b +c -d = .6.一艘船从A 点出发以23km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，而船实际行驶速度的大小为4 km/h ，则河水的流速的大小为 .7.若a 、b 共线且|a +b |＜|a -b |成立，则a 与b 的关系为 .8.在正六边形ABCDEF 中， =m ， =n ，则= .9.已知a 、b 是非零向量，则|a -b |=|a |+|b |时，应满足条件 .10.在五边形ABCDE 中，设=a ， =b ， =c ， =d ，用a 、b 、c 、d 表示.2.2.3 向量数乘运算及其几何意义1．下列命题中正确的是【 】A ．OA OB AB -= B ．0AB BA +=C ．00AB ⋅=D ．AB BC CD AD ++=2．下列命题正确的是【 】A ．单位向量都相等B ．若与是共线向量，与是共线向量，则与是共线向量C ．||||b a b a -=+，则0a b ⋅=D ．若0a 与0b 是单位向量，则001a b ⋅=3. 已知向量,01≠e R ∈λ，+=1e a λb e ,2=21e 若向量a 与b 共线，则下列 关系一定成立是【 】A . 0=λB . 02=eC .1e ∥2eD .1e ∥2e 或0=λ4.对于向量,,a b c 和实数λ ，下列命题中真命题是 【 】A .若0 =⋅b a ，则0a =或0b =B .若0a λ=，则0λ=或0a =C .若22a b =，则a b =或a b =- D .若 c a b a ⋅=⋅，则b c =5.下列命题中，正确的命题是【 】A .a b a +≥且.a b b +≥B .a b a +≥或.a b b +≥C .若,a b c >>则c b b a +>+D .若a 与 b 不平行，则a b a b +>+6.已知ABCD 是平行四边形，O 为平面上任意一点，设,,,OA a OB b OC c OD d ====，则有【 】A .0 =+++d c b aB .0 =-+-d c b aC .0 =--+d c b aD .0 =+--d c b a7.向量a 与 b 都不是零向量，则下列说法中不正确的是【 】A .向量a 与 b 同向，则向量a + b 与a 的方向相同B .向量a 与 b 同向，则向量a + b 与b 的方向相同C .向量a 与 b 反向，且,b a >则向量a + b 与a 同向D .向量a 与 b 反向，且,b a <则向量a + b 与a 同向8.若a 、b 为非零向量，且|a +b |=|a |+|b |，则有【 】A .a ∥b 且a 、b 方向相同B .a =bC .a =－bD .以上都不对9.在四边形ABCD 中，－－等于【 】 A . B . C . D .2.3.1 平面向量基本定理1.若ABCD 是正方形，E 是DC 边的中点，且,AB a AD b ==，则BE 等于【 】A .12b a +B .12b a -C .12a b +D . 12a b - 2. 若O 为平行四边形ABCD 的中心， = 4e 1， = 6e 2，则3e 2－2e 1等于 【 】A .AOB .BOC .COD .3. 已知ABC ∆的三个顶点,,A B C 及平面内一点P ，满足0PA PB PC ++=，若实数λ满AB AC AP λ+=，则λ的值为【 】A .2B .32C .3D .64. 在ABC △中，AB =c ，AC =b .若点D 满足2BD DC =，则AD =【 】 A .2133+b c B .5233-c b C .2133-b c D .1233+b c5. 如右图在平行四边形ABCD 中，=，=，NC AN 3=， M 为BC 的中点，则= 【 】A .a b 2141- B .2141- C .)(41- D .)(41- 6.如右图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点， D E 与A F 相交于点H ， 设AH b BC a AB 则,,==等于_____.7.已知D 为ABC ∆的边BC 的中点，ABC ∆所在平面内有一点P ，满足0PA BP CP ++=，设||||AP PD λ=，则λ的值为______ 8.在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，或AF AE AC μλ+=，其中λ，μR ，则λ+μ= _________. 9．在 ABCD 中，设对角线=a ，BD =b 试用a ，b 表示AB ，10．设1e ， 2e 是两个不共线向量，已知=21e +k 2e ， CB =1e +32e ， CD =21e -2e ， 若三点A ， B ， D 共线，求k 的值C B E C ADH F2.3.2—2.3.3 平面向量的正交分解和坐标表示及运算1. 若(2,4)AB =，(1,3)AC =， 则BC = 【 】A .(1，1)B .(－1，－1)C .(3，7)D .(-3，-7)2.下列各组向量中，不能作为平面内所有的向量的基底的一组是【 】Ａ.)5,0(),2,1(=-=b a Ｂ.)1,2(),2,1(==b aＣ.)4,3(),1,2(=-= Ｄ.)2,4(),1,2(-=-=3.已知平面向量(11)(11)==-，，，a b ，则向量1322-=a b 【 】 Ａ.(21)--，Ｂ.(21)-， Ｃ.(10)-， Ｄ.(12)-， 4.若向量()3,2-=x a 与向量()2,1+=y b 相等，则 【 】A .x =1，y =3B .x =3，y =1C .x =1，y = -5D .x =5，y = -15.点B 的坐标为(1，2)，的坐标为(m ，n )，则点A 的坐标为 【 】A .()n m --2,1B .()2,1--n mC .()n m ++2,1D .()m n ++2,16.在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若(2,4)AB =，(1,3)AC =，则BD = 【 】A ．（－2，－4）B ．（－3，－5）C ．（3，5）D ．（2，4）7.已知向量)3,1(=，)0,2(-=，则+=_____________________.8.已知向量()1,2-=a ，()3,1-=b ，则b a 32-的坐标是 .9.已知点O 是平行四边形ABCD 的对角线交点，AD =(2，5)，AB =(-2，3)，则CD 坐标为 ，DO 坐标为 ，CO 的坐标为 .10．已知OA =(x 1，y 1)，OB =(x 2，y 2)，线段AB 的中点为C ，则OC 的坐标为 .2.3.4 平面向量共线的坐标表示1. 已知平面向量(1,2)a =，(2,)b m =-，且a //b ，则23a b +＝【 】A .(5,10)--B .(4,8)--C .(3,6)--D .(2,4)--2．已知向量()3,x a = ，()1,3-=b ， 且a 与b 共线，则x 等于【 】A . 1-B . 9C .9-D .13．已知()5,2-=a ，︱b ︱=︱a 2︱，若b 与a 反向，则b 等于【 】A .(-4，10)B .(4，-10)C .(-1 ， 25)D . (1， 25-) 4． 平行四边形ABCD 的三个顶点为A （-2，1）、B （-1，3）、C （3，4），则点D 的坐标是【 】A .（2，1）B .（2，2）C . （1，2）D .（2，3） 5．与向量()5,12=d 不．平行的向量是【 】 A .()5,12-- B .⎪⎭⎫ ⎝⎛135,1312 C .()5,12- D .()10,24 6.已知a ，b 是不共线的向量，AB ＝λa ＋b ，AC ＝a ＋μb (λ，μ∈R)， 那么A ，B ，C 三点时λ，μ满足的条件是 【 】A ．λ＋μ＝2B ．λ－μ＝1C ．λμ＝－1D ．λμ＝17.与向量)4,3(--=同方向的单位向量是_______.8.设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线，则=λ .9．已知A (-1，-2)，B (4，8)，C (5，x )，如果A ，B ，C 三点共线，则x 的值为 .10．已知向量()2,3=a ，()1,1-=b ，向量m 与b a 23-平行，︱m ︱=4137求向量m 的坐标.2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义 1下列叙述不正确的是【 】A 向量的数量积满足交换律B 向量的数量积满足分配律C 向量的数量积满足结合律D a ·b 是一个实数 2已知|a |=6，|b |=4，a 与b 的夹角为６０°，则(a +2b )·(a -3b )等于【 】 A 72 B -72 C 36 D 3. 已知向量a =1，b =2，b a ⋅=1，则向量a 与b 的夹角大小为【 】A .4πB .3π C .32π D .65π 4已知|a |=1，|b |=2，且(a -b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是 【 】A 60°B 30°C 135°D ４５°5.若平面四边形ABCD 满足0,()0,AB CD AB AD AC →→→→→→=∙=+-则该四边形一定是 【 】A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．直角梯形6.若向量a →=(cos sin )αα，，b →=(cos sin )ββ，，则a →与b →一定满足 【 】A .a →与b →的夹角等于αβ-B .a b →⊥→C .a b →→//D .()()a b a b →+→⊥→-→7.下列式子中（其中的a 、b 、c 为平面向量），正确的是【 】A ．=-B ．a （b ·c ）= （a ·b ）cC ．()()(,)a a λμλμλμ=∈RD ．00=⋅AB 8设|a |=3，|b |=5，且a +λb 与a －λb 垂直，则λ＝9已知a +b =2i -8j ，a -b =-8i +16j ，其中i 、j 是直角坐标系中x 轴、y 轴正方向上的单位向量，那么a ·b = .10已知a ⊥b 、c 与a 、b 的夹角均为60°，且|a |=1，|b |=2，|c |=3，则(a +2b -c )２＝______ 11已知|a |=1，|b |=2，(1)若a ∥b ，求a ·b ；(2)若a 、b 的夹角为６０°，求|a +b |；(3)若a -b 与a 垂直，求a 与b 的夹角12设m 、n 是两个单位向量，其夹角为６０°，求向量a =2m +n 与b =2n -3m的夹角2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1. 已知向量(56)=-，a ，(65)=，b ，则a 与b 【 】 A .垂直 B .不垂直也不平行 C .平行且同向 D .平行且反向2.若a =(-4，3)，b =(5，6)，则3|a |２－４b a ⋅＝【 】A .23B .57C .63D .833.已知a (1，2)，b (2，3)，c (-2，5)，则△a b c 为【 】A .直角三角形B .锐角三角形C .钝角三角形D .不等边三角形4.已知a =(4，3)，向量b 是垂直a 的单位向量，则b 等于【 】A .)54,53(或)53,54(B .)54,53(或)54,53(--C .)54,53(-或)53,54(-D .)54,53(-或)54,53(- 5.已知a =(2，3)，b =(-4，7)，则a 在b 方向上的投影为【 】A .13B .513C .565D .656.已知|a |=10，b =(1，2)且a ∥b ，则a 的坐标为 .7.已知a =(1，2)，b (1，1)，c =b -k a ，若c ⊥a ，则c ＝ .8.a =(2，3)，b =(-2，4)，则(a +b )·(a -b )= .9.已知a (3，2)，b (-1，-1)，若点P (x ，-21)在线段a b 的中垂线上，则x = . 10.已知a (1，0)，b (3，1)，c (2，0)，且a =BC ，b =CA ，则a 与b 的夹角为 .11.已知a =(3，-1)，b =(1，2)，求满足条件x ·a =9与x ·b =-4的向量x .。
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第二章平面向量
第一节平面向量的概念、加、减、数乘运算
一、考试要求：
1、了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何意义。
2、掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义。
3、掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义。
4、了解向量的线性运算性质及其几何意义。
二、知识梳理：
（3） 向量是既有大小又有________的量，向量常用_______线段来表示，向量AB的长
度记作_______,长度为零的向量叫做__________，记作______,长度等于1的向量叫做
____________;方向相同或相反的向量叫______________,也叫______________,长度相
等，方向相同的向量叫______________。
（4） 向量的加法是由几何作图定义得向量ab可由__________法则或__________法
则作得。
（5） 实数与向量a的积是一个向量，记作______，它的长度和方向规定如下：①
_____a
；②当>0时，a与a的方向_______，当<0时，a与a的方向
_______，当=0时，a=____
（6） 向量b与a共线的充要条件是_________________________________(其中0a)
三、基础练习：
1、 下面的几个命题：①若共线与则babba；②长度不等且方向相反的两向量不
一定是共线向量；
③若,ab满足ab且a与b同向，则ab；④由于0方向不定，故0不能与任何向量
平行；⑤对于任意向量,,ab必有bababa
其中正确命题的序号是：（ ）
A、①②③ B、⑤ C、③⑤ D、①⑤
2、 在正六边形ABCDEF中，O为其中心，则2FAABBOED
A、FE B、AC C、DC D、FC
3、如图所示，D、E、F分别是△ABC的边，AB、BC、CA的中点,则DBAF＝( )
A.FD B.FC
F E
D
A B
C
C.FE D.BE
4．(07福建卷)对于向量a，b，c和实数，下列命题中真命题是（ ）
Ａ．若ba=0，则0a或0b Ｂ．若0a，则0或0a
Ｃ．若22ab，则ab或ab Ｄ．若caba，则bc
5．(07湖南卷) 若OEF，，是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ ）
A．EFOFOE B．EFOFOE
C．EFOFOE D．EFOFOE
6、如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是DC、BC中点，
已知dANcAM,，用c、d表示AB＝ ，AD 。
7、设12,ee是两个不共线向量，则向量12beeR与向量122aee共线的充要
条件是____________
四、典型例题：
1.设两个非零向量a与b不共线
（1）、若,28,33,ABabBCabCDab求证A、B、D三点共线
（2）、试确定实数k的值，使向量bak与bka共线。
2.如图，D、E是△ABC中AB、AC的中点，M、N分别是DE、BC的中点，已知bBC，
试用a、b分别表示MNCE与、DE
3.已知存在非零实数λ、μ，且λ+μ＝1，使OBOAOC，求证：OCOB、、OA的
A
D E
M
N
B
C
A
D
M
C
N
B
终点A、B、C共线。
五、自我测评：
1.（2006，山东） 设向量a=（1，－3），b＝（－2，4），若表示向量4a，3b－2a，c的
有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c= .
2. 已知e1、e2是平面内一组基底，下列四组向量中，不能作为一组基底的是（ ）
A.e1+e2，e1－e2 B.3e1－2e2，4e1－6e2 C.e1+2e2 D.e2，e1+e2
3.下列命题：
①若a与b为非零向量，且a//b时，则ab必与a或b中之一的方向相同；
②若e为单位向量，且//ae，则aae；
③若a与b共线，又b与c共线，则a与c必共线；
④若平面内四点A、B、C、D，则必有.ACBDBCAD
正确的命题个数是（ ）
A、1 B、2 C、3 D、0
4、MNMPNQPQ等于（ ）
A、2NP B、2MQ C、2MP D、
0
5．(07年安徽卷)在四面体O-ABC中，,,,cOCbOBaABD为BC的中点，E为AD
的中点，则OE= （用a，b，c表示）.
6.一条渔船距对岸4km,以2km/h速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航
程为8km，求河水的流速。
六、课后练习：
1、已知向量,ab，且2,56,72,ABabBCabCDab则一定共线的三点是（ ）
（A）、A、B、D （B）、A、B、C （C）、B、C、D （D）、A、C、D
2、已知向量3,4,sin,cosab且//ab，则tan
A、34 B、34 C、43 D、43
3、 已知,,ABaBCbCAc则0abc是A、B、C三点构成三角形的（ ）
A、充分不必要条件； B、必要不充分条件；
C、充要条件； D、既不充分也不必要条件。
4、O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，OAOCOCOBOBOA，
点O是△ABC的（ ）
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
5、已知向量1212,,,)2,1(,0ebeeaRiei若a与b共线，则（ ）
A、0 B、10e C、12//ee D、12//ee或0
6、若1212,,,OPaOPbPPPP则__________OP（用,ab表示）
7、已知,OAaOBb，且4,60,abAOB，则其中ab与a方向的夹角是
________，ab与a的夹角是________
8、若非零向量,满足,则与所成角的大小为________
9、已知在△ABC中，D、E、F分别是BC、CA、AB的中点，求证：
（1）、//DEAB （2）、12DEAB （3）、0ADBECF
10、已知△OAB中，点C是以A为中心的B的对称点，D是将OB分成2：1的一个内分
点，DC与OA交于E，设bOBaOA,.
D
O
C
A
B
E
（1）用a与b表示DEOC、；
（2）若OAOE，求实数λ的值。
七、数学快餐
1.下列命题中，真命题的个数为( )
①bababa与方向相同 ②bababa与方向相反
③bababa与有相等的模 ④bababa与方向相同
A.0 B.1 C.2 D.3
2．(07年全国II) 在ABC△中，已知D是AB边上一点，123ADDBCDCACB，，
则（ ）
A．23 B．13 C．13 D．23
3.设e1、e2是两个不共线的向量，则向量m=-e1+ke2(k∈R)与向量a=e2-2e1，共线的充要条件
是( )
A.k=0 B.k=1 C.k=2 Dk=21
4.已知正方形ABCD边长为1，cACbBCaAB,,，则a+b+c的根等于( )
A.0 B.3 C.22 D.2
5.两个非零向量相等是两个向量相等的 条件。
6.如图所示，已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶
点A、B、C的向量为r1、r2、r3，则OD=
7．（07浙江卷）若非零向量a、b满足｜a一b｜＝｜b｜，则
(A) ｜2b｜＞｜a一2b｜ (B) ｜2b｜＜｜a一2b｜
(C) ｜2a｜＞｜2a一b｜ (D) ｜2a｜＜｜2a一b｜
A
D
C
B
r1
r2
r3