新课标数学必修4同步练习_2.1平面向量的概念、加、减、数乘运算

第二章平面向量

第一节平面向量的概念、加、减、数乘运算

一、考试要求：

1、了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何意义。

2、掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义。

3、掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义。

4、了解向量的线性运算性质及其几何意义。

二、知识梳理：

（3） 向量是既有大小又有________的量，向量常用_______线段来表示，向量AB 的长

度记作_______,长度为零的向量叫做__________，记作______,长度等于1的向量叫做____________;方向相同或相反的向量叫______________,也叫______________,长度相等，方向相同的向量叫______________。

（4） 向量的加法是由几何作图定义得向量a b +可由__________法则或__________法

则作得。

（5） 实数λ与向量a 的积是一个向量，记作______，它的长度和方向规定如下：①

_____a λ=；②当λ>0时，a λ与a 的方向_______，当λ<0时，a λ与a 的方向

_______，当λ=0时，a λ=____

（6） 向量b 与a 共线的充要条件是_________________________________(其中0a ≠)

三、基础练习：

1、

共线与则b a ==；②长度不等且方向相反的两向量不

一定是共线向量；

③若,a b 满足a b >且a 与b 同向，则a b >；④由于0方向不定，故0不能与任何向量平行；⑤对于任意向量,,a b

+≤+≤-其中正确命题的序号是：（ ）

A 、①②③

B 、⑤

C 、③⑤

D 、①⑤ 2、 在正六边形ABCDEF 中，O 为其中心，则()2FA AB BO ED +++=

A 、FE

B 、A

C C 、DC

D 、FC

3、如图所示，D 、E 、F 分别是△ABC 的边，AB 、BC 、CA 的中点,则DB AF -＝( ) A.FD

B.FC

C.

D.

4．(07福建卷)对于向量a ，b ，c 和实数λ，下列命题中真命题是（ ） Ａ．若∙=0，则0=a 或0=b

Ｂ．若0λ=a ，则0λ=或0=a

Ｃ．若22

=a b ，则=a b 或=-a b Ｄ．若∙=∙，则=b c

5．(07湖南卷) 若O E F ，，是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ ） A ．EF OF OE =+ B ．EF OF OE =-

C ．EF OF OE =-+

D ．EF OF O

E =--

6、如图，在平行四边形ABCD 中，M 、N 分别是DC 、BC 中点， 已知==,，用c 、d 表示＝

，

。

7、设12,e e 是两个不共线向量，则向量()12b e e R λλ=+∈与向量122a e e =-共线的充要条件是____________

四、典型例题：

1.设两个非零向量a 与b 不共线

（1）、若,28,33,AB a b BC a b CD a b =+=+=-求证A 、B 、D 三点共线

（2）、试确定实数k 的值，使向量b a k +与b k a

+共线。

2.如图，D 、E 是△ABC 中AB 、AC 的中点，M 、N 分别是DE 、BC 的中点，已知=，

试用a 、b 分别表示与、

3.已知存在非零实数λ、μ，且λ+μ＝1，使μλ+=，求证：、、的

A

D

E

M

N

B

C

终点A 、B 、C 共线。

五、自我测评：

1.（2006，山东） 设向量a =（1，－3），b ＝（－2，4），若表示向量4a ，3b －2a ，c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c = .

2. 已知e 1、e 2是平面内一组基底，下列四组向量中，不能作为一组基底的是（ ） A.e 1+e 2，e 1－e 2 B.3e 1－2e 2，4e 1－6e 2 C.e 1+2e 2 D.e 2，e 1+e 2

3.下列命题：

①若a 与b 为非零向量，且a //b 时，则a b +必与a 或b 中之一的方向相同； ②若e 为单位向量，且//a e ，则a a e =； ③若a 与b 共线，又b 与c 共线，则a 与c 必共线；

④若平面内四点A 、B 、C 、D ，则必有.AC BD BC AD +=+

正确的命题个数是（ ）

A 、1

B 、2

C 、3

D 、0 4、MN MP NQ PQ -+-等于（ ）

A 、2NP

B 、2MQ

C 、2MP

D 、0

5．(07年安徽卷)在四面体O-ABC 中，,,,===D 为BC 的中点，E 为AD

的中点，则= （用a ，b ，c 表示）.

6.一条渔船距对岸4km,以2km/h 速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航程为8km ，求河水的流速。

六、课后练习：

1、已知向量,a b ，且2,56,72,

A B a b B C a b C D a b =+=-+=-则一定共线的三点是（ ）

（A ）、A 、B 、D （B ）、A 、B 、C （C ）、B 、C 、D （D ）、A 、C 、D 2、已知向量()()3,4,sin ,cos a b αα==且//a b ，则()tan α=

A 、

34 B 、34- C 、43 D 、4

3

- 3、 已知,,AB a BC b CA c ===则0a b c ++=是A 、B 、C 三点构成三角形的（ ）

A 、充分不必要条件；

B 、必要不充分条件；

C 、充要条件；

D 、既不充分也不必要条件。

4、O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，点O 是△ABC 的（ ） A.外心 B.内心 C.重心

D.垂心

5、已知向量1212,,,)2,1(,0e b e e a R i e i =+===≠λ若a 与b 共线，则（ ）

A 、0λ=

B 、10e =

C 、12//e e

D 、12//e e 或0λ= 6、若1212,,,OP a OP b PP PP λ===则__________OP =（用,a b 表示）

7、已知,OA a OB b ==，且4,60,a b AOB ==∠=，则其中a b +与a 方向的夹角是

________，a b -与a 的夹角是________

8、若非零向量,αβ满足,αβαβ+=-则α与β所成角的大小为________ 9、已知在△ABC 中，D 、E 、F 分别是BC 、CA 、AB 的中点，求证：

（1）、//DE AB （2）、12

D

E A B = （3）、0A D B E C

F ++=

10、已知△OAB 中，点C 是以A 为中心的B 的对称点，D 是将OB 分成2：1的一个内分点，DC 与OA 交于E ，设b OB a OA ==,.

D

B