指数函数及其性质(二)同步辅导与检测课件 新人教A版必修1

(2)∵4 ＝2
0.9
1.8, 0.48
8
＝2
1.44
∵y＝2x 在定义域 R 上为增函数， 1－1.5 1.8 1.5 1.44 0.9 ∴2 ＞2 ＞2 ，即 4 ＞ 2 ＞80.48. 4 2 40 －2 0 (3)∵0.6 ＞0.6 ＝1， 3 － ＜ 3 ＝1， 3 4 2 －2 ∴0.6 ＞ 3 － . 3 0.4 0.3 (4) ∵ 0.3 ＜ 0.3 ，当指数相同且大于 0 时，底数越大图象 0.4 0.3 (4)∵0.3 ＜ 0.3 ，当指数相同且大于 0 时，底数越大 0.3 0.3 0.4 0.3 ∴ 0.3 ＜ 0.4 ， ∴ 0.3 ＜ 0.4 . 图象越高，
∴0.30.3＜0.40.3，∴0.30.4＜0.40.3.
1－1.5 ， 2 ＝21.5，
跟踪训练 1．比较下列各组数的大小． (1)0.90.1与0.90.2； 1 －π (2) 与1； π (3)2.3－0.28与0.67－3.1. 解析：(1)0.90.1,0.90.2可看作函数y＝0.9x的两个函数值， 由于底数0.9＜1，所以指数函数y＝0.9x在R上是减函数， 因为0.1＜0.2，所以0.90.1＞0.90.2. 1 x 1 (2)考察函数y＝ ，∵0＜ ＜1， π π 1 x在(－∞，＋∞)上是减函数， ∴函数y＝ π 1 －π＞ 1 0 又－π＜0，∴ ＝1. π π
由于a2x＋1≤ax－5， ∴2x＋1≤x－5，解得x≤－6. 综上所述，x的取值范围是 当0＜a＜1时，x≥－6；
当a＞1时，x≤－6.
跟踪训练 3．已知集合M＝{－1,1}，N＝ 则M∩N等于( A．{－1,1} C．{0} )
1 x＋1 x ＜2 ＜4，x∈Z 2
基本初等函数(Ⅰ)
2.1
指数函数
2.1.4 指数函数及其性质(二)
1．熟练掌握指数函数的图象和性质．
2．会求指数型函数y＝kax(k∈R，a＞0且a≠1)的定义
域、值域，并能判断其单调性．
3．理解指数函数的简单应用模型，培养数学应用意
识．
基础梳理 1．由所给不等式，比较m，n的大小： ①若3m＜3n，则__________； ②若0.6m＜0.6n，则__________； ③若am＜an(a＞1)，则__________ ； ④若am＜an(0＜a＜1)，则__________． 2．在闭区间[m，n]上，讨论函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)值域． ①若a＞1，则f(x)＝ax的值域是：__________； ②若0＜a＜1，则f(x)＝ax的值域是：__________. 3．函数y＝2x与函数y＝x的图象有什么关系？ 1．①m＜n ②m＞n ③m＜n ④m＞n 2．①[am，an] ②[an，am] 3．两函数的图象关于y轴对称
2．要得到函数y＝23－x的图象，只需将函数y＝x的图象 ) A．向右平移3个单位 C．向右平移8个单位 B．向左平移3个单位 D．向左平移8个单位
解析：∵y＝2
3－x
1x－3 ＝ 2
1x 1x－3 ∴y＝ 2 的图象向右平移 3 个单位得到 y＝ 2 . 答案：A
2
y＝2|x|的图象，再将y＝2|x|的图象左移一个单位即可得到y＝2|x
＋1|的图象．
点评：函数y＝ax的图象与y＝a－x的图象关于y轴对称，y ＝ax的图象与y＝－ax的图象关于x轴对称，函数y＝ax的图象 与y＝－a－x的图象关于坐标原点对称．
一、选择填空题 1．已知指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)在[0,1]上的最大 值与最小值的和为3，则a等于( ) A. 1
(3)由指数函数的性质，知 2.3－0.28＜2.30＝1， 0.67－3.1＞0.670＝1，
所以2.3－0.28＜0.67－3.1.
求指数函数的单调区间 确定函数 其加以证明． 的单调区间，并对
(1)当x1，x2∈(－∞，1]时，x1＋x2－2＜0，
y2 这时(x2－x1)(x2＋x1－2)＜0即 ＞1， y1
3．函数y＝( 1 )|1－x|的值域是(
2
)
A．(0，＋∞) C．(0,1]
B．[1，＋∞) D．[
1 ，1] 2
2
解析：设|1－x|＝t，则t≥0，y＝( 1 )t，t≥0
即所求值域为：(0,1]．
答案：C
利用指数函数的单调性比较大小 比较下列各组数的大小．
5－0.4 1－1.5 0.9, 0.48 (1)0.8 与 4 ；(2)4 8 ， 2 ；
4．将函数y＝2x的图象向右平移一个单位即可得到函数 ____________的图象．
5．设f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，则有： ①f(0)＝______，f(1)＝______； ②若x≠0，则__________________； ③若x≠1，则__________________； ④f(x)取遍所有正数当且仅当：________. 4．y＝2x－1 5．①1 a ②f(x)＞0且f(x)≠1
1x＋1 2 x＜－1， |x＋1| y＝2 ＝ x＋1 x≥－1. 2 其图象分成两部分，一部分是将 1x＋1 y1＝ 2 (x＜－1)的图象作出，
而它的图象可以看作将y＝(1)x的图象沿x轴的负方向平 移一个单位而得到，另一部分是将y＝2x＋1(x≥－1)的图象作出， 而它的图象可以看作将y＝2x的图象沿x轴的负方向平移一个 单位而得到，如右图所示． 法二：故先作出y＝2x(x≥0)的图象，再作关于y轴对称，
x2 3 x 2
3 在 2，＋∞
3 上是增函数，在－∞，2上是减函数．


解简单的指数不等式 已知不等式a2x＋1≤ax－5(a＞0，且a≠1)，试求x 的取值范围． 解析：(1)当0＜a＜1时，由于a2x＋1≤ax－5， ∴2x＋1≥x－5，解得x≥－6.
(2)当a＞1时，
③f(x)＞0且f(x)≠a ④x∈R
6．指数函数增长模型：设原有量为N，年平均增长率
N(1＋p) 为p，则经过时间x年后的总量y＝__________.
x
1001＋8 y＝ 100
例如：2010年某镇工业总产值为100亿，计划今后每年 平均增长率为8%, 则经过x年后的总产值为原来的多少倍？
x
∴y2＞y1，此时函数单调递增；
(2)当x1，x2∈[1，＋∞)时，x1＋x2－2＞0,
Байду номын сангаас
y2 这时(x2－x1)(x2＋x1－2)＞0即 y ＜1， 1
∴y2＜y1，此时函数单调递减．
∴函数
在[1，＋∞)上单调递减．
在(－∞，1]上单调递增，
跟踪训练 2．已知a＞0且a≠1，讨论函数 单调性．
的
32 17 解析：设 u＝－x ＋3x＋2＝－ x－2 ＋ ， 4
2
3 3 则当 x≥ 时，u 是减函数，当 x＜ 时，u 是增函数． 2 2 又因为当 a＞1 时，y＝au 是增函数， 当 0＜a＜1 时，y＝au 是减函数，
所以当 a＞1 时，原函数 f(x)＝ a
x2 3 x 2
3 在 2，＋∞
3 上是减函数，在 －∞，2 上是增函数， 当 0＜a＜1 时，原函数 f(x)＝ a
N(1＋p)
x
1001＋8% x y＝ ＝(1＋8%) 100
思考应用 1．指数函数y＝2x的函数值域为[1，＋∞)，则x的范围
是多少？
[0，＋∞)
2．指数函数y＝2x的函数值能否为负值？
不能
自测自评 1．函数f(x)＝3－x－1的值域是( C ) A．R C．(－1，＋∞) ( B．(0，＋∞) D．[0，＋∞)
2
B．2 D.
1 4
C．4
解析：∵指数函数在其定义域内是单调函数， ∴端点处取得最大、小值， ∴a0＋a＝3，故a＝2.
答案：B
1．比较指数式的大小，多用指数函数的单调性． 2．注意函数图象由简单到复杂的变换过程． 3．研究较复杂的函数性质时，首先要搞清它是由哪 些简单函数复合而成，这样容易理解整体性质．
，
B．{－1} D．{－1,0}
解析：因为N＝{x|2－1＜2x＋1＜22，x∈Z}，又函数y＝ 2x在R上为增函数， ∴N＝{x|－1＜x＋1＜2，x∈Z} ＝{x|－2＜x＜1，x∈Z}＝{－1,0}． ∴M∩N＝{－1,1}∩{－1,0}＝{－1}．
答案：B
指数函数的图象研究其定义域、值域问题 1|x－1| 求函数 y＝ 2 的定义域、值域，并作出图象． 1 x 1 1 , x 1 解析：函数y＝ 的定义域为 R； x－1 2 x －1，x≥1 解析：函数 y＝ 2 ， x ＜ 1 的定义域为 R； 2 x 1 2 , x 1 1t 令 t＝|x－1|，则 t≥0，由 y＝ 2 的图象知：
0.5
4 2 (3)0.6 与 3 － ；(4)0.30.4 与 0.40.3. 3
－2
5－0.4 40.4 解析：(1) 4 ＝ 5 ＝0.80.4，
∵函数 y＝0.8x 在定义域 R 上是减函数， 又∵0.5＞0.4，∴0.80.5＜0.80.4， 0.5 5－0.4 即 0.8 ＜ 4 .

当 t≥0 时，0＜y≤1，故所求函数的值域是(0,1]． 1|x| 图象如下(其对称性可与 y＝ 2 比较)．
跟踪训练
4．画出函数 y＝2
|x＋1|
的图象．
分析：通过分类讨论可去掉绝对值号，变为分段函数， 进而作出图象．另外，也可把函数y＝2|x＋1|看作由y＝2|x|左移 一个单位得到，而y＝2|x|的图象，可由y＝2x的图经对称变换 得到． 解析：法一：由函数解析式可得