6-4第4讲 基本不等式
不等式的性质基本不等式课件高三数学一轮复习
举题说法
不等式的性质
1 (1) (多选)已知a，b，c满足c＜a＜b，且ac＜0，那么下列各式一
定成立的是
( BCD
)
A．ac(a－c)＞0
B．c(b－a)＜0
【解C析．】c因b2为＜aa，b2b，c满足c＜a＜b，且Dac．＜a0b，＞所a以c c＜0，a＞0，b＞0，a－c＞0，b
3．已知 x＞1，则 x＋x－1 1的最小值为 ( C )
A．1 C．3
B．2 D．4
【解析】因为 x＞1，所以 x－1＞0，所以 x＋x－1 1＝(x－1)＋x－1 1＋1≥2 (x－1)·x－1 1 ＋1＝3，当且仅当 x－1＝x－1 1，即 x＝2(x＝0 舍去)时等号成立，此时 x＋x－1 1取最小 值 3.
4．(多选)下列说法正确的是
()
A．若
x＜1，则函数 2
y＝2x＋2x1－1的最小值为－1
B．若实数 a，b，c 满足 a＞0，b＞0，c＞0，且 a＋b＋c＝2，则a＋4 1＋b＋1 c的最小值
是3
C．若实数 a，b 满足 a＞0，b＞0，且 2a＋b＋ab＝6，则 2a＋b 的最大值是 4
D．若实数 a，b 满足 a＞0，b＞0，且 a＋b＝2，则a＋a21＋b＋b21的最小值是 1
【解析】设 2α－β＝m(α＋β)＋n(αห้องสมุดไป่ตู้β)，则mm＋ －nn＝ ＝2－，1， 解得mn＝＝3212，，
所以 2α－β
＝12(α＋β)＋32(α－β).
因为 π＜α＋β＜54π，－π＜α－β＜－π3，所以π2＜12(α＋β)＜58π，－32π＜32(α－β)＜－π2，所
以－π＜12(α＋β)＋32(α－β)＜π8，即－π＜2α－β＜π8，所以 2α－β 的取值范围是－π，π8.
2017届高三数学一轮复习课件：6-4 基本不等式
微知识❹ 常用的几个重要不等式
(1)a＋b≥ 2 ab (a＞0，b＞0)。
(2)ab≤ a＋2 b2
(a，b∈R)。
(3)a＋2 b2≤a2＋2 b2(a，b∈R)。 (4)ba＋ab≥ 2 (a，b 同号)。
以上不等式等号成立的条件均为 a＝b。
第六页，编辑于星期六：点 五十八分。
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[规律方法] (1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建 立数学模型，转化为数学问题求解。 (2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就 不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解。
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D．[－4,4]
解析：M＝a2＋a 4＝a＋4a。 当 a＞0 时，M≥4；当 a＜0 时，M≤－4。 答案：A
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4．若 x＞1，则 x＋x－4 1的最小值为__________。 解析：x＋x－4 1＝x－1＋x－4 1＋1≥4＋1＝5。 当且仅当 x－1＝x－4 1，即 x＝3 时等号成立。 答案：5
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微考点
基本不等式的综合应用
角度一：基本不等式与其他知识综合的最值问题
【典例 2】若点 A(1,1)在直线 mx＋ny－2＝0 上，其中 mn＞0，则m1 ＋1n的最 小值为________。
解析：因为点 A(1,1)在直线 mx＋ny－2＝0 上，所以 m＋n－2＝0，即m2 ＋n2 ＝1，
取得“＝”，故选 D 项。
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4 第4讲 基本不等式
第4讲 基本不等式1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0． (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． (4)a 2＋b 22≥⎛⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数．导师提醒关注应用基本不等式的两个易错点(1)应用基本不等式求最值要注意：“一正、二定、三相等”．忽略某个条件，就会出错．(2)在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式．若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( )(2)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22成立的条件是ab >0.( )(3)“x >0且y >0”是“x y ＋yx≥2”的充要条件．( )(4)若a >0，则a 3＋1a 2的最小值是2a .( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 函数f (x )＝x ＋1x 的值域为( )A ．[－2，2]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．R解析：选C.当x >0时，x ＋1x ≥2x ·1x＝2. 当x <0时，－x >0. －x ＋1－x≥2（－x ）·1（－x ）＝2.所以x ＋1x≤－2.所以f (x )＝x ＋1x的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．故选C.(教材习题改编)设x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( )A ．80B ．77C ．81D ．82解析：选C.xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝⎝⎛⎭⎫1822＝81，当且仅当x ＝y ＝9时等号成立，故选C.若x >1，则x ＋4x －1的最小值为________．解析：因为x >1，所以x －1>0，所以x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5. 当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时等号成立．答案：5利用基本不等式求最值(多维探究)角度一 通过配凑法利用基本不等式求最值(1)已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________． (2)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________．【解析】 (1)x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x )≤13·⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋（4－3x ）22＝43， 当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时，取等号．(2)y ＝x 2＋2x －1＝（x 2－2x ＋1）＋（2x －2）＋3x －1＝（x －1）2＋2（x －1）＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2.当且仅当(x －1)＝3（x －1），即x ＝3＋1时，等号成立．【答案】 (1)23(2)23＋2角度二 通过常数代换利用基本不等式求最值若a ＞0，b ＞0，lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，则a ＋b 的最小值为( ) A ．8 B ．6 C ．4D ．2【解析】 由lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，得lg(ab )＝lg(a ＋b )，即ab ＝a ＋b ，则有1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·ab＝4，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，所以a ＋b 的最小值为4，故选C.【答案】 C角度三 通过消元法利用基本不等式求最值(一题多解)已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________． 【解析】 法一：由已知得x ＋3y ＝9－xy ， 又因为x >0，y >0， 所以x ＋3y ≥23xy ，所以3xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y 时， 即x ＝3，y ＝1时取等号， (x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0. 令x ＋3y ＝t ，则t >0且t 2＋12t －108≥0， 得t ≥6即x ＋3y ≥6. 法二：由x ＋3y ＋xy ＝9， 得x ＝9－3y 1＋y，所以x ＋3y ＝9－3y 1＋y ＋3y ＝9－3y ＋3y （1＋y ）1＋y＝9＋3y 21＋y ＝3（1＋y ）2－6（1＋y ）＋121＋y ＝3(1＋y )＋121＋y －6≥23（1＋y ）·121＋y－6＝12－6＝6.当且仅当3(1＋y )＝121＋y ，即y ＝1时等号成立． 所以x ＋3y 的最小值为6. 【答案】 6角度四 多次利用基本不等式求最值若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab的最小值为________．【解析】 因为ab ＞0，所以a 4＋4b 4＋1ab ≥24a 4b 4＋1ab ＝4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab≥24ab ·1ab＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2，ab ＝12时取等号，故a 4＋4b 4＋1ab的最小值是4. 【答案】 4(1)利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式．(2)常数代换法，主要解决形如“已知x ＋y ＝t (t 为常数)，求a x ＋b y 的最值”的问题，先将ax ＋b y 转化为⎝⎛⎭⎫a x ＋b y ·x ＋y t，再用基本不等式求最值．(3)当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值．(4)当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法．1．已知x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为______．解析：因为x ＜54，所以5－4x ＞0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1. 当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立． 故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1. 答案：12．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，则1a ＋1b 的最小值为________．解析：因为a ＋b ＝1，所以1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥2＋2b a ·ab＝2＋2＝4. 当且仅当a ＝b ＝12时，“＝”成立．答案：43．已知a ＞b ＞0，那么a 2＋1b （a －b ）的最小值为________．解析：由题意a ＞b ＞0，则a －b ＞0，所以b (a －b )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋a －b 22＝a 24，所以a 2＋1b （a －b ）≥a 2＋4a 2≥2a 2·4a2＝4， 当且仅当b ＝a －b 且a 2＝4a 2，即a ＝2，b ＝22时取“＝”，所以a 2＋1b （a －b ）的最小值为4.答案：4基本不等式的实际应用(师生共研)某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件【解析】 若每批生产x 件产品，则每件产品的生产准备费用是800x 元，仓储费用是x8元，总的费用是800x ＋x8≥2800x ·x 8＝20，当且仅当800x ＝x8，即x ＝80时取等号，故选B. 【答案】 B利用基本不等式求解实际问题的注意事项(1)根据实际问题抽象出目标函数的表达式，再利用基本不等式求得函数的最值． (2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．(4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则该公司年平均利润的最大值是________万元．解析：每台机器运转x 年的年平均利润为y x ＝18－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ，而x ＞0，故yx ≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．答案：8基本不等式的综合应用(多维探究)角度一 与其他知识的交汇问题(1)已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c的最小值是________．(2)设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n的最小值是________．【解析】 (1)圆x 2＋y 2－2y －5＝0化成标准方程， 得x 2＋(y －1)2＝6， 所以圆心为C (0，1)．因为直线ax ＋by ＋c －1＝0经过圆心C ， 所以a ×0＋b ×1＋c －1＝0， 即b ＋c ＝1.因此4b ＋1c ＝(b ＋c )⎝⎛⎭⎫4b ＋1c ＝4c b ＋bc ＋5. 因为b ，c >0， 所以4c b ＋b c≥24c b ·bc＝4. 当且仅当b ＝2c ，且b ＋c ＝1， 即b ＝23，c ＝13时，4b ＋1c 取得最小值9.(2)a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n （1＋n ）2，所以S n ＋8a n ＝n （1＋n ）2＋8n ＝12(n ＋16n ＋1)≥12⎝⎛⎭⎫2n ·16n ＋1＝92， 当且仅当n ＝4时取等号． 所以S n ＋8a n 的最小值是92.【答案】 (1)9(2)92角度二 求参数的值或取值范围已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意的正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为________．【解析】 (x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋axy ≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2(x ，y ，a >0)， 当且仅当y ＝ax 时取等号，所以(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y 的最小值为(a ＋1)2， 所以(a ＋1)2≥9恒成立． 所以a ≥4.【答案】 4(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．1．(2019·石家庄教学质量检测(一))已知直线l ：ax ＋by －ab ＝0(a >0，b >0)经过点(2，3)，则a ＋b 的最小值为________．解析：因为直线l 经过点(2，3)，所以2a ＋3b －ab ＝0，则3a ＋2b＝1， 所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫3a ＋2b ＝5＋3b a ＋2ab ≥5＋2 6. 当且仅当3b a ＝2ab，即a ＝3＋6，b ＝2＋6时等号成立． 答案：5＋2 62．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________．解析：对任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立， 即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即a ≥－⎝⎛⎭⎫x ＋8x ＋3. 设g (x )＝x ＋8x ，当x ＝8x ，即x ＝22时，g (x )取得最小值，又x ∈N *，则g (2)＝6，g (3)＝173.因为g (2)＞g (3)，所以g (x )min ＝173， 所以－⎝⎛⎭⎫x ＋8x ＋3≤－83， 所以a ≥－83，故a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－83，＋∞. 答案：⎣⎡⎭⎫－83，＋∞ 3．当x ∈R 时，32x －(k ＋1)3x ＋2>0恒成立，则k 的取值范围是________． 解析：由32x －(k ＋1)3x ＋2>0， 解得k ＋1<3x ＋23x .因为3x ＋23x ≥22⎝⎛当且仅当3x ＝23x ，即x ＝log 32时，⎭⎪⎪⎫等号成立)，所以3x ＋23x 的最小值为2 2.又当x ∈R 时，32x －(k ＋1)3x ＋2>0恒成立， 所以当x ∈R 时，k ＋1<⎝⎛⎭⎫3x ＋23x min，即k ＋1<22，即k <22－1. 答案：(－∞，22－1)[基础题组练]1．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C. 1a ＋1b >2abD. b a ＋a b≥2 解析：选D.因为a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，所以A 错误．对于B ，C ，当a <0，b <0时，明显错误．对于D ，因为ab >0， 所以b a ＋a b≥2b a ·a b＝2. 2．下列不等式一定成立的是( ) A ．lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0) B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 解析：选C.对于选项A ，当x >0时，x 2＋14－x ＝⎝⎛⎭⎫x －122≥0，所以lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14≥lg x ； 对于选项B ，当sin x <0时显然不成立； 对于选项C ，x 2＋1＝|x |2＋1≥2|x |，一定成立； 对于选项D ，因为x 2＋1≥1， 所以0<1x 2＋1≤1.故选C.3．已知f (x )＝x 2－2x ＋1x ，则f (x )在⎣⎡⎦⎤12，3上的最小值为( ) A. 12 B. 43 C ．－1D ．0解析：选D.f (x )＝x 2－2x ＋1x ＝x ＋1x －2≥2－2＝0，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号．又1∈⎣⎡⎦⎤12，3，所以f (x )在⎣⎡⎦⎤12，3上的最小值是0. 4．若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2 B ．2 C ．2 2D ．4解析：选C.因为1a ＋2b ＝ab ，所以a ＞0，b ＞0，由ab ＝1a ＋2b≥21a ×2b＝22ab， 所以ab ≥22(当且仅当b ＝2a 时取等号)， 所以ab 的最小值为2 2.5．已知x >0，y >0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，则1x ＋13y 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．2 3解析：选C.因为lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2， 所以lg(2x ·8y )＝lg 2， 所以2x ＋3y ＝2， 所以x ＋3y ＝1. 因为x >0，y >0，所以1x ＋13y ＝(x ＋3y )⎝⎛⎭⎫1x ＋13y ＝2＋3y x ＋x3y ≥2＋23y x ·x 3y ＝4，当且仅当x ＝3y ＝12时取等号．所以1x ＋13y的最小值为4.故选C.6．若正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，且1xy ≥M 恒成立，则M 的最大值为________．解析：因为正实数x ，y 满足x ＋y ＝2， 所以xy ≤（x ＋y ）24＝224＝1，所以1xy≥1；又1xy≥M 恒成立， 所以M ≤1，即M 的最大值为1. 答案：17．已知a >0，b >0，a ＋2b ＝3，则2a ＋1b 的最小值为________．解析：由a ＋2b ＝3得13a ＋23b ＝1，所以2a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫13a ＋23b ⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ＝43＋a 3b ＋4b 3a ≥43＋2a 3b ·4b 3a ＝83. 当且仅当a ＝2b ＝32时取等号．答案：838．已知正数x ，y 满足x ＋22xy ≤λ(x ＋y )恒成立，则实数λ的最小值为________． 解析：依题意得x ＋22xy ≤x ＋(x ＋2y )＝2(x ＋y )，即x ＋22xyx ＋y ≤2(当且仅当x ＝2y 时取等号)，即x ＋22xy x ＋y 的最大值为2.又λ≥x ＋22xyx ＋y恒成立，因此有λ≥2，即λ的最小值为2.答案：29．(1)当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值；(2)设0<x <2，求函数y ＝x （4－2x ）的最大值． 解：(1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2x 2＋83－2x ＋32.当x <32时，有3－2x >0，所以3－2x 2＋83－2x ≥23－2x 2·83－2x＝4， 当且仅当3－2x 2＝83－2x，即x ＝－12时取等号．于是y ≤－4＋32＝－52，故函数的最大值为－52.(2)因为0<x <2，所以2－x >0， 所以y ＝x （4－2x ）＝2·x （2－x ）≤2·x ＋2－x2＝2，当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号， 所以当x ＝1时，函数y ＝x （4－2x ）的最大值为 2.10．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值． 解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0， 得8x ＋2y ＝1， 又x >0，y >0， 则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y ＝8xy. 得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立． 所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1，则x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫8x ＋2y ·(x ＋y ) ＝10＋2x y ＋8yx≥10＋22x y ·8yx＝18. 当且仅当x ＝12，y ＝6时等号成立， 所以x ＋y 的最小值为18.[综合题组练]1．(应用型)已知a ＞0，b ＞0，若不等式3a ＋1b ≥ma ＋3b 恒成立，则m 的最大值为( )A ．9B ．12C ．18D ．24解析：选B.由3a ＋1b ≥ma ＋3b ，得m ≤(a ＋3b )⎝⎛⎭⎫3a ＋1b ＝9b a ＋ab ＋6. 又9b a ＋ab ＋6≥29＋6＝12， 当且仅当9b a ＝ab ，即a ＝3b 时等号成立，所以m ≤12，所以m 的最大值为12.2．(应用型)若正数a ，b 满足a ＋b ＝2，则1a ＋1＋4b ＋1的最小值是( )A ．1 B.94C ．9D ．16 解析：选B.1a ＋1＋4b ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋4b ＋1·（a ＋1）＋（b ＋1）4 ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋4＋b ＋1a ＋1＋4（a ＋1）b ＋1≥14⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5＋2b ＋1a ＋1·4（a ＋1）b ＋1＝94， 当且仅当b ＋1a ＋1＝4（a ＋1）b ＋1，即a ＝13，b ＝53时取等号，故选B.3．(创新型)(2019·山东青岛模拟)已知x ＞0，y ＞0，(lg 2)·x ＋(lg 8)y ＝lg 2，则1x ＋13y 的最小值是________．解析：因为(lg 2)x ＋(lg 8)y ＝lg 2，所以x ＋3y ＝1，则1x ＋13y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋13y (x ＋3y )＝2＋3y x ＋x 3y≥4，当且仅当3y x ＝x 3y ，即x ＝12，y ＝16时取等号，故1x ＋13y的最小值为4.答案：44．(创新型)规定：“⊗”表示一种运算，即a ⊗b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)．若1⊗k ＝3，则k 的值为________，此时函数f (x )＝k ⊗xx的最小值为________．解析：由题意得1⊗k ＝k ＋1＋k ＝3，即k ＋k －2＝0，解得k ＝1或k ＝－2(舍去)，所以k ＝1，故k 的值为1，又f (x )＝1⊗x x ＝x ＋x ＋1x ＝1＋x ＋1x ≥1＋2＝3，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号， 故函数f (x )的最小值为3. 答案：1 35．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20. 求：(1)u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)1x ＋1y 的最小值． 解：(1)因为x >0，y >0，所以由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy . 因为2x ＋5y ＝20，所以210xy ≤20，xy ≤10， 当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.所以u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.所以当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2)因为x >0，y >0， 所以1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·2x ＋5y20＝120⎝⎛⎭⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝⎛⎭⎫7＋2 5y x ·2x y ＝7＋21020. 当且仅当5y x ＝2xy时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.所以1x ＋1y 的最小值为7＋21020.6．某厂家拟定在2019年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m (m ≥0)万元满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)．如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2019年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2019年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； (2)该厂家2019年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？ 解：(1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1(万件)， 所以1＝3－k ⇒k ＝2，所以x ＝3－2m ＋1(m ≥0)，每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx (元)，所以2019年的利润y ＝1.5x ×8＋16xx－8－16x －m＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋（m ＋1）＋29(m ≥0)．(2)因为m ≥0时，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8，所以y ≤－8＋29＝21，当且仅当16m ＋1＝m ＋1⇒m ＝3(万元)时，y max ＝21(万元)．故该厂家2019年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．。
一轮复习课件 第6章 第4节 基本不等式
【典例剖析】
(1)若 a，b∈R，且 ab>0，则下列不等式中，恒成立
的是
A．a2＋b2>2ab
B．a＋b≥2 ab
C.1a＋1b>
2 ab
D.ba＋ab≥2
(2)已知 a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：1＋1a1＋1b≥9.
(2)解：方法一：因为 a＞0，b＞0，a＋b＝1， 所以1＋1a1＋1b＝1＋a＋a b1＋a＋b b ＝2＋ba2＋ab＝5＋2ba＋ab≥5＋4＝9. 当且仅当ba＝ab且 a＋b＝1， 即 a＝b＝12时等号成立．
方法二：1＋1a1＋1b＝1＋1a＋1b＋a1b ＝1＋a＋ abb＋a1b＝1＋a2b， 因为 a，b 为正数，a＋b＝1， 所以 ab≤a＋2 b2＝14， 于是a1b≥4，a2b≥8， 因此1＋1a1＋1b≥1＋8＝9， 当且仅当 a＝b 且 a＋b＝1，即 a＝b＝12时等号成立．
(1)第一列货车到达 B 市所需时间为40a0 h，由于两列货车的 间距不得小于2a02 km，所以第 17 列货车到达 B 市所需时间为 40a0＋16·a2a02＝40a0＋14600a≥8，当且仅当40a0＝14600a即 a＝100(km/h) 时成立，所以最快需要 8 h，故选 B.
答案：B
(3)解：显然 a≠4，当 a＞4 时，a－4＞0， ∴a－3 4＋a＝a－3 4＋(a－4)＋4≥2 a－3 4×a－4＋4 ＝2 3＋4， 当且仅当a－3 4＝a－4，即 a＝4＋ 3时，取等号； 当 a＜4 时，a－4＜0，
∴a－3 4＋a＝a－3 4＋(a－4)＋4＝－4－3 a＋4－a＋4 ≤－2 4－3 a×4－a＋4＝－2 3＋4， 当且仅当4－3 a＝(4－a)，即 a＝4－ 3时，取等号． ∴a－3 4＋a 的取值范围是(－∞，－2 3＋4]∪[2 3＋4，＋ ∞)．
第四节 基本不等式
又因为m>0，n>0，所以
m1 ＋n2
(m＋n)＝3＋
n m
＋
2m n
≥3＋2
2 2，
当且仅当n＝ 2m时，取等号．
mn ·2nm ＝3＋
(2)因为3a＋b＝2ab，所以
3 2b
＋
1 2a
(2)依题意得21a＋21b＋a＋8 b＝a2＋abb＋a＋8 b＝a＋2 b＋a＋8 b≥2
a＋2 b×a＋8 b＝4，
当且仅当a＋2 b＝a＋8 b，即a＋b＝4时取等号．因此，21a＋21b＋a＋8 b的最小值为4. [答案] (1)D (2)4
[方法技巧] 1．拼凑法求最值 拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和 为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实 质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键． 2．拼凑法求解最值应注意的问题 (1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调 整，做到等价变形； (2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项时应注意检验利用基本不等式的条件．
(2)由(1)知y＝－m1＋6 1＋m＋1＋29(m≥0)． ∵当m≥0时，m1＋6 1＋(m＋1)≥2 m1＋6 1·m＋1＝8， 当且仅当m1＋6 1＝m＋1，即m＝3时取等号． ∴y≤－8＋29＝21， 即当m＝3时，y取得最大值21. ∴当该厂家2021年的促销费用投入3万元时，厂家获得的利润最大，为21万 元．
(m≥0)满足x＝3－
k m＋1
(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售
量只能是1万件．已知2021年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件
第04讲 基本不等式高考数学大一轮复习核心题型讲与练+易错重难点专项突破(新高考版)
G ( x )万元，且 G ( x )＝
2 + 120，0 < ≤ 50，
4 900
201＋
− 2 100，50 < ≤ 100，
200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.
每台该产品的售价为
(1)写出年利润 W ( x )(单位：万元)关于年产量 x (单位：台)的函数解析式(利润＝销售
2．几个重要的不等式
2ab
1a2＋b2≥______a，b∈R；
b a
2
2a＋b≥___a，b同号且不为零；
当且仅当a＝b
2
a＋b
3ab≤
时等号成立
a，b∈R；
2
2
2
2
a ＋b
a＋b
4
a，b∈R.
≤
2
2
(2)[2024宁夏银川模拟]已知0＜ x ＜4，则 (4 − ) 的最大值为 2
[解析] 0＜ x ＜4，则0＜4－ x ＜4，由基本不等式可得 (4
.
+4−
− ) ≤
＝2，
2
当且仅当 x ＝4－ x ，即 x ＝2时，等号成立.故 (4 − ) 的最大值为2.
角度2 常数代换法
−4
8
−4
＞0，因为 a ＞0，所以 a ＞4，所以8 a ＋ b ＝8 a
＋5]≥8×(2 4 ＋5)＝72，当且仅当 a ＝6时取等号.故选C.
8
4
8
4
解法二 ∵8 a ＋4 b ＝ ab ， a ＞0， b ＞0，∴ ＋ ＝1，∴8 a ＋ b ＝(8 a ＋ b )( ＋ ) ＝
2019版高考数学一轮复习第6章不等式第4讲基本不等式课件【优质ppt版本】
触类旁通 利用基本不等式求最值问题的解题策略
(1)利用基本(均值)不等式解题一定要注意应用的前提： “一正”“二定”“三相等”．
(2)在利用基本(均值)不等式求最值时，要根据式子的特 征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本 (均值)不等式．
【变式训练 1】 (1)已知 0<x<1，则 x(3－3x)取得最大
值时 x 的值为( )
1132 A.3 B.2 C.4 D.3
解析
∵
0<x<1
，
∴
x·(3
－
3x)
＝
1 3
·3x·(3
－
3x)≤
1 3
3x＋23－3x2＝34，当 3x＝3－3x，即 x＝12时，x(3－3x)取得 最大值34.选 C.
3．其中a＋2 b叫做正数 a，b 的 做正数 a，b 的 几何平均数 ．
算术平均数
， ab叫
考点 3 利用基本不等式求最大、最小值问题 1．如果 x，y∈(0，＋∞)，且 xy＝P(定值)， 那么当 x＝y 时，x＋y 有最小值 2 P.(简记：“积定 和最小”) 2．如果 x，y∈(0，＋∞)，且 x＋y＝S(定值)， 那么当 x＝y 时，xy 有最大值S42.(简记：“和定积最大”)
触类旁通 求条件最值注意的问题
(1)要敏锐的洞察到已知条件与要求式子的联系，并能 灵活进行转化；
(2)常用的技巧有：“1”的代换，配凑法，放缩法，换元 法．
【变式训练 2】 (1)[2018·珠海模拟]已知 x>0，y>0，x ＋3y＋xy＝9，则 x＋3y 的最小值为( )
基本不等式课件——2025届高三数学一轮复习
核心考点
课时分层作业
[跟进训练]
1．(1)(多选)(2024·河北沧州模拟)下列函数中，函数的最小值为4的是(
A．y＝x(4－x)
1
C．y＝ +
B．y＝
1
(0＜x＜1)
1−
)
2 +9
2 +5
D．y＝ +
4
(2)(2024·重庆巴蜀中学模拟)已知x>0，y>0，且xy＋x－2y＝4，则2x＋y的最小
是(
)
2 +2
B．ab≤
2
2 + 2
+ 2
C．
≥
2
2
A．
+ ≥2
BC
[当 <0时，A不成立；当ab<0时，D不成立．]
D．
2
≤
+
4．(人教A版必修第一册P46例3(2)改编)一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩
形菜园，墙长18
15
15
m，当这个矩形的长为________m，宽为________m时，菜园面积
由x＋y＝xy得，(x－1)(y－1)＝1，
2
1
2
1
于是得
+
＝1＋ ＋2＋ ＝3＋
−1
−1
−1
−1
−1
＝3＋2
1
2
2，当且仅当 ＝ ，
−1 −1
2
2
即x＝1＋ ，y＝1＋ 2时取“＝”，
2
+
的最小值为3＋2
−1
−1
6、4第四节 基本不等式
【解析】 将已知条件进行转化，利用基本不等式求解． 11 3 ∵x>0，y>0，由 x＋3y＝5xy 得5y ＋x＝1.
1 3 1 ∴3x＋4y＝5(3x＋4y)y ＋x
12y 13x ＋4＋9＋ ＝5 y x 13 13x 12y ＝ 5 ＋5 y ＋ x 13 1 ≥ 5 ＋5×2 3x 12y y ·x ＝5(当且仅当 x＝2y 时取等号)，
解析：每台机器运转 x 年的年平均利润为x＝18－x＋ x ，而 x＞0，
y 故x≤18－2 25＝8，当且仅当 x＝5 时等号成立，此时年平均利润最大， 最大值为 8 万元．
答案：5 8
【易错警示】 忽视等号成立条件而致误 【典例】 (2012年高考浙江卷)若正数x，y满足x＋3y＝ 5xy，则3x＋4y的最小值是( )
∵a＞1，∴b＞0. ∵ab＝4a＋b－1， ∴(a＋1)(b＋2)＝ab＋2a＋b＋2 4a－1 ＝6a＋2b＋1＝6a＋ ·＋ ＋1＝6a＋8＋ ＋1 a－1 a－1 6 ＝6(a－1)＋ ＋15. a－1 ∵a－1＞0， 6 ∴原式＝6(a－1)＋ ＋15≥2 6×6＋15＝27，当且仅当(a－1)2 a－1 ＝1(a＞1)，即 a＝2 时成立． ∴最小值为 27.
24 A. 5 C．5 28 B. 5 D．6
【错解】 由 x＋3y≥2 3xy， ∴5xy≥2 3xy， 12 ∴xy≥25.又 3x＋4y≥2 12xy≥2 故选 A. 12 24 12×25＝ 5 .
【错因】 上述解法其错误的主要在于两次使用基本不 等式都忽视了等号成立的条件，且同一题目中两次等号 成立的条件不同，所以取不到最小值．
2
值为(
)
高考数学复习考点知识讲解课件4 基本不等式
— 返回 —
2．两个重要的不等式 (1)a2＋b2≥____2_a_b____(a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时取等号． (2)ab≤a＋2 b2(a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时取等号． 3．利用基本不等式求最值 (1)已知 x，y 都是正数，如果积 xy 等于定值 P，那么当 x＝y 时，和 x＋y 有最小值 ___2___P____. (2)已知 x，y 都是正数，如果和 x＋y 等于定值 S，那么当 x＝y 时，积 xy 有最大值
解法二：由题设易知 a>0，b>0，∴ ab＝1a＋2b≥2 时“＝”成立，即 ab≥2 2，故选 C．
a2b，当且仅当 a＝4 2，b＝24 2
— 24 —
(新教材) 高三总复习•数学
3．已知 x≥52，则 f(x)＝x2－2x4－x＋4 5的最小值为____1______．
— 返回 —
[解析] 因为 x≥52，所以 x－2>0，所以 f(x)＝x2－2x4－x＋4 5＝x2－x2－2＋ 2 1＝12x－2＋x－1 2 ≥1，当且仅当 x－2＝x－1 2，即 x＝3 时等号成立．
角度 3：消元法求最值 【例 3】 (1)已知 x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则 x＋3y 的最小值为___6___．
4 (2)已知 5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则 x2＋y2 的最小值是___5____．
— 19 —
(新教材) 高三总复习•数学
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[解析] (1)解法一：由已知得 x＋3y＝9－xy， 因为 x>0，y>0，所以 x＋3y≥2 3xy， 所以 3xy≤x＋23y2，当且仅当 x＝3y，即 x＝3，y＝1 时取等号，即(x＋3y)2＋12(x＋3y) －108≥0. 令 x＋3y＝t，则 t>0 且 t2＋12t－108≥0，得 t≥6，即 x＋3y 的最小值为 6. 解法二：由 x＋3y＋xy＝9，得 x＝91－＋3yy， 所以 x＋3y＝91－＋3yy＋3y＝9－3y＋1＋3yy1＋y ＝91＋＋3yy2＝31＋y2－1＋61y ＋y＋12
高考数学复习知识点讲解教案第4讲 基本不等式
− 2 = 3 ≤
2
3 + 2
,
4
2
≤ 8,即 + ≤ 2 2,故C正确;对于D,由 > 0, > 0, + − = 2，
（当且仅当 =
2
时,等号成立）,得
≤ 4,故D错误.故选BC.
+
2
− 2 = ≤
2
2
+
2
,
探究点二 变形用基本不等式求最值
微点1 配凑法
4
（简记：和定积最大）
常用结论
1.若 > 0， > 0，则1
2
1
+
≤ ≤
2.当 > 0时，函数 = +
数 = +
+
2
≤
2 +2
，当且仅当
2
= 时，等号成立.
> 0 在 = 处取得最小值2 ；当 < 0时，函
> 0 在 = − 处取得最大值−2 .
=
2
2
⋅ 2 2 1 − 2 2 ，再利用基本不等式求解.
> 0，
2
2
⋅
2
2
1−
2
2
1
时等号成立，故
2
1−
≤
2
2
⋅
2
2
2 +1−2
2
=
2
2
2 的最大值为 .
4
2
，
4
[总结反思]
基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能,利用
一轮复习配套讲义：第6篇 第4讲 基本不等式(2)
第4讲 根本不等式[最|新考纲]1．了解根本不等式的证明过程．2．会用根本不等式解决简单的最|大(小)值问题.知 识 梳 理1．根本不等式：ab ≤a ＋b2 (1)根本不等式成立的条件：a >0 ,b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．(3)其中a ＋b2称为正数a ,b 的算术平均数 ,ab 称为正数a ,b 的几何平均数． 2．几个重要的不等式(1)重要不等式：a 2＋b 2≥2ab (a ,b ∈R )．当且仅当a ＝b 时取等号． (2)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ,b ∈R ) ,当且仅当a ＝b 时取等号． (3)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ,b ∈R ) ,当且仅当a ＝b 时取等号． (4)b a ＋ab ≥2(a ,b 同号) ,当且仅当a ＝b 时取等号． 3．利用根本不等式求最|值 x ＞0 ,y ＞0 ,那么(1)如果积xy 是定值p ,那么当且仅当x ＝y 时 ,x ＋y 有最|小值是2p (简记：积定和最|小)．(2)如果和x ＋y 是定值s ,那么当且仅当x ＝y 时 ,xy 有最|大值是s 24(简记：和定积最|大)．辨 析 感 悟1．对根本不等式的认识(1)当a ≥0 ,b ≥0时 ,a ＋b2≥ab .(√)(2)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是相同的．(×) 2．对几个重要不等式的认识(3)(a ＋b )2≥4ab (a ,b ∈R )．(√) (4)2ab a ＋b＝21a ＋1b≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22.(×)(5)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (a ,b ,c ∈R )．(√) 3．利用根本不等式确定最|值(6)函数y ＝sin x ＋4sin x ,x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 π2的最|小值为4.(×) (7)(2021·福州模拟改编)假设x ＞－3 ,那么x ＋4x ＋3的最|小值为1.(√) (8)(2021·四川卷改编)函数f (x )＝4x ＋ax (x ＞0 ,a ＞0)在x ＝3时取得最|小值 ,那么a ＝36.(√) [感悟·提升]两个防范 一是在应用根本不等式求最|值时 ,要把握不等式成立的三个条件 ,就是 "一正 - -各项均为正；二定 - -积或和为定值；三相等 - -等号能否取得〞 ,假设忽略了某个条件 ,就会出现错误．对于公式a ＋b ≥2ab ,ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22,要弄清它们的作用、使用条件及内在联系 ,两个公式也表达了ab 和a ＋b 的转化关系．如(2)、(4)、(6)．二是在利用不等式求最|值时 ,一定要尽量防止屡次使用根本不等式．假设必须屡次使用 ,那么一定要保证它们等号成立的条件一致.学生用书第103页【例1】x ＞0 ,y ＞0 ,z ＞0. 求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋z x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋z y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x z ＋y z ≥8.证明 ∵x ＞0 ,y ＞0 ,z ＞0 ,∴y x ＋z x ≥2 yz x ＞0 ,x y ＋z y ≥2 xzy ＞0 , x z ＋y z ≥2 xyz ＞0 ,∴⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋z x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋z y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x z ＋y z ≥ 8 yz ·xz ·xyxyz＝8.当且仅当x ＝y ＝z 时等号成立．规律方法 利用根本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况 ,证明思路是从已证不等式和问题的条件出发 ,借助不等式的性质和有关定理 ,经过逐步的逻辑推理最|后转化为需证问题． 【训练1】a ＞0 ,b ＞0 ,c ＞0 ,且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1c ≥9.证明 ∵a ＞0 ,b ＞0 ,c ＞0 ,且a ＋b ＋c ＝1 , ∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c≥3＋2＋2＋2＝9 ,当且仅当a ＝b ＝c ＝13时 ,取等号．考点二 利用根本不等式求最|值【例2】 (1)(2021·山东卷)设正实数x ,y ,z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0 ,那么当xyz 取得最|大值时 ,2x ＋1y －2z 的最|大值为( )． A ．0 B ．1 C.94D ．3(2)(2021·广州一模)2x ＋2y ＝1 ,(x ＞0 ,y ＞0) ,那么x ＋y 的最|小值为( )． A ．1 B ．2 C ．4 D ．8审题路线 (1)x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0⇒变形得z ＝x 2－3xy ＋4y 2⇒代入zxy ⇒变形后利用根本不等式⇒取等号的条件把2x ＋1y －2z 转化关于1y 的一元二次函数⇒利用配方法求最|大值．解析 (1)由x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0 ,得z ＝x 2－3xy ＋4y 2 , ∴xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4yx －3.又x ,y ,z 为正实数 ,∴x y ＋4yx ≥4 , 当且仅当x ＝2y 时取等号 ,此时z ＝2y 2. ∴2x ＋1y －2z ＝22y ＋1y －22y 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 2＋2y＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1 ,当1y ＝1 ,即y ＝1时 ,上式有最|大值1.(2)∵x ＞0 ,y ＞0 ,∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2y ＝ 4＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y x ≥4＋4x y ·yx ＝8.当且仅当x y ＝yx ,即x ＝y ＝4时取等号． 答案 (1)B (2)D规律方法 条件最|值的求解通常有两种方法：一是消元法 ,即根据条件建立两个量之间的函数关系 ,然后代入代数式转化为函数的最|值求解；二是将条件灵活变形 ,利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子 ,然后利用根本不等式求解最|值．【训练2】 (1)假设正数x ,y 满足x ＋3y ＝5xy ,那么3x ＋4y 的最|小值是( )． A.245B.285 C ．5 D ．6(2)(2021·浙江十校联考)假设正数x ,y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30 ,那么xy 的最|大值是( )． A.43B.53 C ．2 D.54解析 (1)由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1 ,∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫15y ＋35x ＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5(当且仅当3x 5y ＝12y 5x ,即x ＝1 ,y ＝12时 ,等号成立) , ∴3x ＋4y 的最|小值是5.(2)由x ＞0 ,y ＞0 ,得4x 2＋9y 2＋3xy ≥2×(2x )×(3y )＋3xy (当且仅当2x ＝3y 时等号成立) ,∴12xy ＋3xy ≤30 ,即xy ≤2 ,∴xy 的最|大值为2. 答案 (1)C (2)C考点三 根本不等式的实际应用【例3】(2021·济宁期末)小|王大学毕业后 ,决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查 ,生产某小型电子产品需投入年固定本钱为3万元 ,每生产x 万件 ,需另投入流动本钱为W (x )万元 ,在年产量缺乏8万件时 ,W (x )＝13x 2＋x (万元)．在年产量不小于8万件时 ,W (x )＝6x ＋100x －38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析 ,小|王生产的商品能当年全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定本钱－流动本钱)(2)年产量为多少万件时 ,小|王在这一商品的生产中所获利润最|大 ?最|大利润是多少 ?解 (1)因为每件商品售价为5元 ,那么x 万件商品销售收入为5x 万元 ,依题意得 ,当0＜x ＜8时 ,L (x )＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋x －3＝－13x 2＋4x －3；当x ≥8时 ,L (x )＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫6x ＋100x －38－3＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x .所以L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋4x －30＜x ＜835－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x x ≥8.(2)当0＜x ＜8时 ,L (x )＝－13(x －6)2＋9.此时 ,当x ＝6时 ,L (x )取得最|大值L (6)＝9万元 , 当x ≥8时 ,L (x )＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x ≤35－2x ·100x ＝35－20＝15 ,此时 ,当且仅当x ＝100x 时 ,即x ＝10时 ,L (x )取得最|大值15万元．∵9＜15 ,所以当年产量为10万件时 ,小|王在这一商品的生产中所获利润最|大．最|大利润为15万元．规律方法 (1)利用根本不等式解决实际问题时 ,应先仔细阅读题目信息 ,理解题意 ,明确其中的数量关系 ,并引入变量 ,依题意列出相应的函数关系式 ,然后用根本不等式求解．(2)在求所列函数的最|值时 ,假设用根本不等式时 ,等号取不到 ,可利用函数单调性求解．【训练3】 为响应国|家扩大内需的政策 ,某厂家拟在2021年举行促销活动 ,经调查测算 ,该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用t (t ≥0)万元满足x ＝4－k2t ＋1(k 为常数)．如果不搞促销活动 ,那么该产品的年销量只能是1万件．2021年生产该产品的固定投入为6万元 ,每生产1万件该产品需要再投入12万元 ,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均本钱的1.5倍(产品本钱包括固定投入和再投入两局部)．(1)将该厂家2021年该产品的利润y 万元表示为年促销费用t 万元的函数； (2)该厂家2021年的年促销费用投入多少万元时 ,厂家利润最|大 ? 解 (1)由题意有1＝4－k 1 ,得k ＝3 ,故x ＝4－32t ＋1.∴y ＝1.5×6＋12xx×x －(6＋12x )－t ＝3＋6x －t ＝3＋6⎝ ⎛⎭⎪⎫4－32t ＋1－t ＝27－182t ＋1－t (t ≥0)．(2)由(1)知：y ＝27－182t ＋1－t ＝27.5－⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤9t ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋12.由根本不等式9t ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋12≥29t ＋12·⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋12＝6 , 当且仅当9t ＋12＝t ＋12 ,即t ＝2.5时等号成立 ,故y ＝27－182t ＋1－t ＝27.5－⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤9t ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋12 ≤27.5－6＝21.5.当且仅当9t ＋12＝t ＋12时 ,等号成立 ,即t ＝2.5时 ,y 有最|大值21.5.所以2021年的年促销费用投入2.5万元时 ,该厂家利润最|大 ,最|大利润为21.5万元． 1．根本不等式具有将 "和式〞转化为 "积式〞和将 "积式〞转化为 "和式〞的放缩功能 ,常常用于比拟数(式)的大小或证明不等式 ,解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点 ,选择好利用根本不等式的切入点．2．连续使用公式时取等号的条件很严格 ,要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．教你审题7 - -如何挖掘根本不等式中的 "相等〞【典例】(2021·天津卷)设a ＋b ＝2 ,b >0 ,那么12|a |＋|a |b 取得最|小值为________． [审题] 一审条件：a ＋b ＝2 ,b ＞0 ,转化为条件求最|值问题； 二审问题：12|a |＋|a |b 转化为 "1〞的代换； 三审过程：利用根本不等式时取等号的条件．解析 因为a ＋b ＝2 ,所以12|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ≥a4|a |＋2b 4|a |·|a |b＝a 4|a |＋1≥－14＋1＝34 ,当且仅当b 4|a |＝|a |b ,a <0 ,即a ＝－2 ,b ＝4时取等号 ,故12|a |＋|a |b 的最|小值为34. 答案 34[反思感悟]在求解含有两个变量的代数式的最|值问题时 ,通常的解决方法是变量替换或常值 "1”的替换 ,即由条件得到某个式子的值为常数 ,然后将欲求最|值的代数式乘上常数 ,再对代数式进行变形整理 ,从而可利用根本不等式求最|值． 【自主体验】(2021·台州一模)设x ,y 均为正实数 ,且32＋x ＋32＋y＝1 ,那么xy 的最|小值为( )． A ．4 B ．4 3 C ．9 D ．16 解析 由32＋x ＋32＋y＝1可化为xy ＝8＋x ＋y ,∵x ,y 均为正实数 ,∴xy ＝8＋x ＋y ≥8＋2xy (当且仅当x ＝y 时等号成立) ,即xy －2xy －8≥0 ,解得xy ≥4 ,即xy ≥16 ,故xy 的最|小值为16. 答案 D对应学生用书P303根底稳固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1．(2021·泰安一模)假设a ,b ∈R ,且ab ＞0 ,那么以下不等式中 ,恒成立的是( )．A ．a ＋b ≥2ab B.1a ＋1b ＞2abC.b a ＋ab ≥2 D ．a 2＋b 2＞2ab解析 因为ab ＞0 ,即b a ＞0 ,a b ＞0 ,所以b a ＋ab ≥2b a ×ab ＝2.答案 C2．(2021·杭州一模)设a ＞0 ,b ＞0.假设a ＋b ＝1 ,那么1a ＋1b 的最|小值是( )． A ．2 B.14 C ．4 D ．8解析由题意1a＋1b＝a＋ba＋a＋bb＝2＋ba＋ab≥2＋2ba×ab＝4 ,当且仅当ba＝ab,即a＝b＝12时,取等号,所以最|小值为4.答案 C3．(2021·金华十校模拟)a＞0 ,b＞0 ,a ,b的等比中项是1 ,且m＝b＋1a,n＝a＋1b,那么m＋n的最|小值是()．A．3 B．4 C．5 D．6解析由题意知：ab＝1 ,∴m＝b＋1a＝2b ,n＝a＋1b＝2a ,∴m＋n＝2(a＋b)≥4ab＝4.答案 B4．(2021·陕西卷)小|王从甲地到乙地的时速分别为a和b(a<b) ,其全程的平均时速为v ,那么()．A．a<v<ab B．v＝abC.ab<v<a＋b2D．v＝a＋b2解析设甲、乙两地之间的距离为s.∵a<b ,∴v＝2ssa＋sb＝2sab(a＋b)s＝2aba＋b<2ab2ab＝ab.又v－a＝2aba＋b－a＝ab－a2a＋b>a2－a2a＋b＝0 ,∴v>a.答案 A5．(2021·兰州模拟)函数y＝x－4＋9x＋1(x＞－1) ,当x＝a时,y取得最|小值b ,那么a＋b＝()．A．－3 B．2 C．3 D．8解析y＝x－4＋9x＋1＝x＋1＋9x＋1－5 ,由x＞－1 ,得x＋1＞0 ,9x＋1＞0 ,所以由根本不等式得y＝x＋1＋9x＋1－5≥2(x＋1)×9x＋1－5＝1 ,当且仅当x＋1＝9x ＋1 ,即(x ＋1)2＝9 ,所以x ＋1＝3 ,即x ＝2时取等号 ,所以a ＝2 ,b ＝1 ,a ＋b ＝3. 答案 C 二、填空题6．(2021·广州模拟)假设正实数a ,b 满足ab ＝2 ,那么(1＋2a )·(1＋b )的最|小值为________．解析 (1＋2a )(1＋b )＝5＋2a ＋b ≥5＋22ab ＝9.当且仅当2a ＝b ,即a ＝1 ,b ＝2时取等号． 答案 97．x ,y ∈R ＋ ,且满足x 3＋y4＝1 ,那么xy 的最|大值为______． 解析 ∵x ＞0 ,y ＞0且1＝x 3＋y4≥2xy 12 ,∴xy ≤3.当且仅当x 3＝y 4 ,即当x ＝32 ,y ＝2时取等号． 答案 38．函数y ＝a 1－x (a ＞0 ,a ≠1)的图象恒过定点A ,假设点A 在直线mx ＋ny －1＝0(mn ＞0)上 ,那么1m ＋1n 的最|小值为________． 解析 ∵y ＝a 1－x 恒过点A (1,1) ,又∵A 在直线上 ,∴m ＋n ＝1.而1m ＋1n ＝m ＋n m ＋m ＋n n ＝2＋n m ＋m n ≥2＋2＝4 ,当且仅当m ＝n ＝12时 ,取 "＝〞 ,∴1m ＋1n 的最|小值为4. 答案 4 三、解答题9．a ＞0 ,b ＞0 ,a ＋b ＝1 ,求证：1a ＋1b ＋1ab ≥8.证明 1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b ＋a ＋b ab ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ,∵a ＋b ＝1 ,a ＞0 ,b ＞0 ,∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋a b ＋ba ≥2＋2＝4 , ∴1a ＋1b ＋1ab ≥8⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝b ＝12时等号成立.10．x >0 ,y >0 ,且2x ＋5y ＝20. (1)求u ＝lg x ＋lg y 的最|大值； (2)求1x ＋1y 的最|小值． 解 (1)∵x >0 ,y >0 ,∴由根本不等式 ,得2x ＋5y ≥210xy . ∵2x ＋5y ＝20 ,∴210xy ≤20 ,xy ≤10 ,当且仅当2x ＝5y 时 ,等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝202x ＝5y 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝2 此时xy 有最|大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5 ,y ＝2时 ,u ＝lg x ＋lg y 有最|大值1. (2)∵x >0 ,y >0 ,∴1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋25y x ·2x y ＝7＋21020 , 当且仅当5y x ＝2xy 时 ,等号成立．由⎩⎨⎧2x ＋5y ＝205y x ＝2xy 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最|小值为7＋21020.能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．x >0 ,y >0 ,且2x ＋1y ＝1 ,假设x ＋2y >m 2＋2m 恒成立 ,那么实数m 的取值范围是( )．A ．(－∞ ,－2]∪[4 ,＋∞)B ．(－∞ ,－4]∪[2 ,＋∞)C ．(－2,4)D ．(－4,2)解析 ∵x >0 ,y >0且2x ＋1y ＝1 , ∴x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝4＋4y x ＋x y ≥4＋24y x ·x y ＝8 ,当且仅当4y x ＝x y ,即x ＝4 ,y ＝2时取等号 ,∴(x ＋2y )min ＝8 ,要使x ＋2y >m 2＋2m 恒成立 , 只需(x ＋2y )min >m 2＋2m 恒成立 , 即8>m 2＋2m ,解得－4<m <2. 答案 D2．(2021·郑州模拟)正实数a ,b 满足a ＋2b ＝1 ,那么a 2＋4b 2＋1ab 的最|小值为( )．A.72 B ．4 C.16136 D.172解析 因为1＝a ＋2b ≥22ab ,所以ab ≤18 ,当且仅当a ＝2b ＝12时取等号．又因为a 2＋4b 2＋1ab ≥2a 2·4b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab .令t ＝ab ,所以f (t )＝4t ＋1t 在⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤0 18单调递减 ,所以f (t )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝172.此时a ＝2b ＝12. 答案 D 二、填空题3．(2021·南昌模拟)x ＞0 ,y ＞0 ,x ＋3y ＋xy ＝9 ,那么x ＋3y 的最|小值为________． 解析 由 ,得xy ＝9－(x ＋3y ) ,即3xy ＝27－3(x ＋3y )≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22,令x ＋3y ＝t ,那么t 2＋12t －108≥0 ,解得t ≥6 ,即x ＋3y ≥6. 答案 6三、解答题4．(2021·泰安期末考试)小|王于年初用50万元购置一辆大货车 ,第|一年因缴纳各种费用需支出6万元 ,从第二年起 ,每年都比上一年增加支出2万元 ,假定该车每年的运输收入均为25万元．小|王在该车运输累计收入超过总支出后 ,考虑将大货车作为二手车出售 ,假设该车在第x 年年底出售 ,其销售价格为(25－x )万元(国|家规定大货车的报废年限为10年)．(1)大货车运输到第几年年底 ,该车运输累计收入超过总支出 ?(2)在第几年年底将大货车出售 ,能使小|王获得的年平均利润最|大 ?(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)解 (1)设大货车到第x 年年底的运输累计收入与总支出的差为y 万元 , 那么y ＝25x －[6x ＋x (x －1)]－50(0＜x ≤10 ,x ∈N ) , 即y ＝－x 2＋20x －50(0＜x ≤10 ,x ∈N ) ,由－x 2＋20x －50＞0 ,解得10－52＜x ＜10＋5 2.而2＜10－52＜3 ,故从第3年开始运输累计收入超过总支出．(2)因为利润＝累计收入＋销售收入－总支出 ,所以销售二手货车后 ,小|王的年平均利润为y ＝1x [y ＋(25－x )]＝1x (－x 2＋19x －25)＝19－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ,而19－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ≤19－2x ·25x ＝9 ,当且仅当x ＝5时等号成立 ,即小|王应当在第5年将大货车出售 ,才能使年平均利润最|大．方法强化练 - -不等式 (对应学生用书P305)(建议用时：75分钟)一、选择题1． "|x |＜2”是 "x 2－x －6＜0”的( )． A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析 不等式|x |＜2的解集是(－2,2) ,而不等式x 2－x －6＜0的解集是(－2,3) ,于是当x ∈(－2,2)时 ,可得x ∈(－2,3) ,反之那么不成立 ,应选A. 答案 A2．(2021·青岛一模)假设a ,b 是任意实数 ,且a ＞b ,那么以下不等式成立的是( )．A ．a 2＞b 2B.b a ＜1 C ．lg(a －b )＞0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13b解析 ∵0＜13＜1 ,∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 是减函数 ,又a ＞b ,∴⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13b . 答案 D3．(2021·杭州二中调研)假设不等式|8x ＋9|＜7和不等式ax 2＋bx ＞2的解集相等 ,那么实数a ,b 的值分别为( )． A ．a ＝－8 ,b ＝－10 B ．a ＝－4 ,b ＝－9 C ．a ＝－1 ,b ＝9 D ．a ＝－1 ,b ＝2解析 据题意可得|8x ＋9|＜7的解集是{x |－2＜x ＜－14} ,故由{x |－2＜x ＜－14}是一元二次不等式ax 2＋bx ＞2的解集 ,可知x 1＝－2 ,x 2＝－14是ax 2＋bx －2＝0的两个根 ,根据根与系数的关系可得x 1x 2＝－2a ＝12 , ∴a ＝－4 ,x 1＋x 2＝－b a ＝－94 ,∴b ＝－9 ,应选B. 答案 B4．(2021·浙江温岭中学模拟)以下命题错误的选项是( )． A ．假设a ≥0 ,b ≥0 ,那么a ＋b2≥ab B ．假设a ＋b2≥ab ,那么a ≥0 ,b ≥0 C ．假设a ＞0 ,b ＞0 ,且a ＋b2＞ab ,那么a ≠b D ．假设a ＋b2＞ab ,且a ≠b ,那么a ＞0 ,b ＞0解析 假设a ＋b2＞ab ,且a ≠b ,那么a ＝0 ,b ＞0或a ＞0 ,b ＝0或a ＞0 ,b ＞0.故D 错误． 答案 D5．(2021·长沙诊断)实数x ,y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0 x ＋2y ≥03x ＋y －5≤0 那么2x ＋y 的最|大值是( )．A ．0B ．3C ．4D ．5解析 设z ＝2x ＋y ,得y ＝－2x ＋z ,作出不等式对应的区域 ,平移直线y ＝－2x ＋z ,由图象可知当直线经过点B 时 ,直线的截距最|大 ,由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝03x ＋y －5＝0 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2 即B (1,2) ,代入z ＝2x ＋y ,得z ＝2x ＋y ＝4. 答案 C6．(2021·北京海淀一模)设x ,y ∈R ＋ ,且x ＋4y ＝40 ,那么lg x ＋lg y 的最|大值是( )．A ．40B ．10C ．4D ．2解析 ∵x ,y ∈R ＋ ,∴40＝x ＋4y ≥24xy ＝4xy ,当x ＝4y ＝20时取等号 , ∴xy ≤100 ,lg x ＋lg y ＝lg xy ≤lg 100＝2. 答案 D7．某种生产设备购置时费用为10万元 ,每年的设备管理费共计9千元 ,这种生产设备的维修费为第|一年2千元 ,第二年4千元 ,第三年6千元 ,而且以后以每年2千元的增量逐年递增 ,那么这种生产设备最|多使用多少年报废最|合算(即使用多少年的年平均费用最|少)( )． A ．8 B ．9 C ．10 D ．11解析 设使用x 年的年平均费用为y 万元．由 ,得y ＝10＋0.9x ＋0.2x 2＋0.2x2x ,即y ＝1＋10x ＋x 10(x ∈N *)．由根本不等式知y ≥1＋210x ·x 10＝3 ,当且仅当10x ＝x10 ,即x ＝10时取等号．因此使用10年报废最|合算 ,年平均费用为3万元． 答案 C8．(2021·天水一模)实数x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1 y ≤a (a >1)x －y ≤0 假设目标函数z ＝x ＋y 取得最|大值4 ,那么实数a 的值为( )． A ．4 B ．3 C ．2 D.32 解析作出可行域 ,由题意可知可行域为△ABC 内部及边界 ,y ＝－x ＋z ,那么z 的几何意义为直线在y 轴上的截距 ,将目标函数平移可知当直线经过点A 时 ,目标函数取得最|大值4 ,此时A 点坐标为(a ,a ) ,代入得4＝a ＋a ＝2a ,所以a ＝2. 答案 C9．(2021·湖州模拟)设x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0x －y ＋2≥0x ≥0 y ≥0.假设目标函数z ＝ax＋by (a ＞0 ,b ＞0)的最|大值为12 ,那么2a ＋3b 的最|小值为( )．A.256B.83C.113 D ．4解析 不等式表示的平面区域如下图阴影局部．当直线ax ＋by ＝z (a ＞0 ,b ＞0)过直线x －y ＋2＝0与直线3x －y －6＝0的交点(4,6)时 ,目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0 ,b ＞0)取得最|大值12 ,即4a ＋6b ＝12 ,即2a ＋3b ＝6. 所以2a ＋3b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b ·2a ＋3b 6＝136＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b≥136＋2＝256(当且仅当a ＝b ＝65时等号成立)． 答案 A10．(2021·金丽衢十二校联考)任意非零实数x ,y 满足3x 2＋4xy ≤λ(x 2＋y 2)恒成立 ,那么实数λ的最|小值为( )．A ．4B ．5 C.115D.72解析 依题意 ,得3x 2＋4xy ≤3x 2＋[x 2＋(2y )2]＝4(x 2＋y 2) ,因此有3x 2＋4xyx 2＋y2≤4 ,当且仅当x ＝2y 时取等号 ,即3x 2＋4xy x 2＋y 2的最|大值是4 ,结合题意得λ≥3x 2＋4xyx 2＋y 2 ,故λ≥4 ,即λ的最|小值是4. 答案 A 二、填空题11．(2021·烟台模拟)关于x 的不等式ax 2＋2x ＋c >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13 12 ,那么不等式－cx 2＋2x －a >0的解集为________．解析由ax 2＋2x ＋c >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13 12知a <0 ,且－13 ,12为方程ax 2＋2x ＋c ＝0的两个根 ,由根与系数的关系得－13＋12＝－2a ,⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×12＝ca ,解得a ＝－12 ,c ＝2 ,∴－cx 2＋2x －a >0 ,即2x 2－2x －12<0 ,其解集为(－2,3)． 答案 (－2,3)12．(2021·武汉质检)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3xx ≥0⎝ ⎛⎭⎪⎫13xx ＜0那么不等式f (x )＜9的解集是________．解析 当x ≥0时 ,由3x ＜9得0≤x ＜2. 当x ＜0时 ,由⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＜9得－2＜x ＜0.故f (x )＜9的解集为(－2,2)． 答案 (－2,2)13．(2021·湖北七市联考)点P (x ,y )在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0 x ＋y ≤3y ≥x ＋1表示的平面区域内 ,假设点P (x ,y )到直线y ＝kx －1(k ＞0)的最|大距离为2 2 ,那么k ＝________. 解析 在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线y ＝kx －1的大概位置 ,如下图 ,因为k ＞0 ,所以由图可知 ,点(0,3)到直线y ＝kx －1的距离最|大 ,因此|0－1－3|k 2＋1＝2 2 ,解得k ＝1(负值舍去)．答案 114．(2021·湘潭诊断)向量a ＝(x －1,2) ,b ＝(4 ,y ) ,假设a ⊥b ,那么9x ＋3y 的最|小值为________．解析 由a ⊥b 得a ·b ＝4(x －1)＋2y ＝0 ,即2x ＋y ＝2.所以9x ＋3y ≥29x ·3y ＝232x ＋y ＝6. 答案 615．(2021·宁波十校联考)设a ,b ∈(0 ,＋∞) ,a ≠b ,x ,y ∈(0 ,＋∞) ,那么a 2x ＋b 2y ≥(a ＋b )2x ＋y ,当且仅当a x ＝b y 时 ,上式取等号 ,利用以上结论 ,可以得到函数f (x )＝2x＋91－2x(x ∈(0 ,12))的最|小值为________． 解析 根据结论 ,f (x )＝2x ＋91－2x ＝42x ＋91－2x ≥(2＋3)22x ＋(1－2x )＝25 ,当且仅当22x ＝31－2x ,即x ＝15∈(0 ,12)时 ,f (x )取最|小值为25. 答案 25 三、解答题16．(2021·长沙模拟)f (x )＝2xx 2＋6. (1)假设f (x )>k 的解集为{x |x <－3或x >－2} ,求k 的值； (2)假设对任意x >0 ,f (x )≤t 恒成立 ,求实数t 的范围． 解 (1)f (x )>k ⇔kx 2－2x ＋6k <0 , 由其解集为{x |x <－3或x >－2} ,得x 1＝－3 ,x 2＝－2是方程kx 2－2x ＋6k ＝0的两根 , 所以－2－3＝2k ,即k ＝－25. (2)∵x >0 ,f (x )＝2x x 2＋6＝2x ＋6x≤66 , 由f (x )≤t 对任意x >0恒成立 ,故实数t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫66 ＋∞.17．(2021·广州诊断)某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状) ,高度恒定 ,它的后墙利用旧墙不花钱 ,正面用铁栅 ,每米长造价40元 ,两侧墙砌砖 ,每米长造价45元 ,顶部每平方米造价20元 ,求：仓库面积S 的最|大允许值是多少 ?为使S 到达最|大 ,而实际投资又不超过预算 ,那么正面铁栅应设计为多长 ? 解 设铁栅长为x 米 ,一侧砖墙长为y 米 ,那么顶部面积S ＝xy ,依题设 ,得40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200 ,由根本不等式 ,得3 200≥240x ·90y ＋20xy ＝120 xy ＋20xy ＝120S ＋20S ,那么S ＋6S －160≤0 ,即(S －10)(S ＋16)≤0 ,故0＜S ≤10 ,从而0＜S ≤100 ,所以S 的最|大允许值是100平方米 ,取得此最|大值的条件是40x ＝90y 且xy ＝100 ,解得x ＝15 ,即铁栅的长应设计为15米． 18．(2021·泉州调研)函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3x ＋1. (1)当a ＝－2时 ,讨论f (x )的单调性；(2)假设x ∈[2 ,＋∞)时 ,f (x )≥0 ,求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝－2时 ,f (x )＝x 3－32x 2＋3x ＋1. f ′(x )＝3x 2－62x ＋3.令f ′(x )＝0 ,得x ＝2－1或2＋1.当x ∈(－∞ ,2－1)时 ,f ′(x )＞0 ,f (x )在(－∞ ,2－1)上是增函数； 当x ∈(2－1 ,2＋1)时 ,f ′(x )＜0 ,f (x )在(2－1 ,2＋1)上是减函数； 当x ∈(2＋1 ,＋∞)时 ,f ′(x )＞0 ,f (x )在(2＋1 ,＋∞)上是增函数． (2)法一 ∵当x ∈[2 ,＋∞)时 ,f (x )≥0 , ∴3ax 2≥－x 3－3x －1 , ∴a ≥－x 3－1x －13x 2 ,设g (x )＝－x 3－1x －13x 2 ,∴求g (x )的最|大值即可 ,那么g ′(x )＝－13＋1x 2＋23x 3＝－x 3＋3x ＋23x 3,设h (x )＝－x 3＋3x ＋2 ,那么h ′(x )＝－3x 2＋3 ,当x ≥2时 ,h ′(x )＜0 , ∴h (x )在[2 ,＋∞)上单调递减 , ∴g ′(x )在[2 ,＋∞)上单调递减 , ∴g ′(x )≤g ′(2)＝0 , ∴g (x )在(2 ,＋∞)上单调递减 , ∴g (x )max ＝g (2)＝－54 , ∴a ≥－54.法二 因为x ∈[2 ,＋∞)时 ,f (x )≥0 ,所以由f (2)≥0 ,得a ≥－54. 当a ≥－54 ,x ∈(2 ,＋∞)时 ,f ′(x )＝3(x 2＋2ax ＋1)≥ 3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－52x ＋1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(x －2)＞0 , 所以f (x )在(2 ,＋∞)上是增函数 ,于是当x ∈[2 ,＋∞)时 ,f (x )≥f (2)≥0. 综上 ,a 的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－54 ＋∞. 学生用书第105页教育工作中的百分之一的废品 ,就会使国|家遭受严重的损失 .- -马卡连柯教师应当善于组织 ,善于行动 ,善于运用诙谐 ,既要快乐适时 ,又要生气得当 .教公众号：惟微小筑。
第四节 基本不等式： ab≤a+b2(a,b∈R+)
＋b≤－8)．∴a＋b 的最小值为 4. 答案：(1)16 (2)4
a＋b ，试比较 P，Q，R 的大小． ln 2
自主解答：
考点探究
解析：∵a>b>1，∴ln a>ln b>0， ln a＋ln b ∴ ln a·ln b< ，即 P<Q. 2 a＋b 又∵ ab< ， 2
a＋b ， ∴ln ab<ln 2
ln a＋ln b a＋b ，即 Q<R . ∴ <ln 2 2 ∴P<Q<R.
4 显然等号取不到，事实上，设 t＝sin x，则 t∈(0，1]，y＝t＋ 在(0， t 1]上为减函数，故当 t＝1 时，y 取最小值 5，∴③错误．故选 B. 答案：B 点评： 利用基本不等式判断一个不等式的正误， 主要看该不等式 是否满足基本不等式成立的条件．
考点探究
变式探究 a2＋b2 2． “a＞b＞0”是“ab＜ ”的(A) 2 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
考点探究
k 解析：设 y 为流出的水中杂质的质量分数，则 y＝ ，其中 k＞ ab
0 为比例系数． 依题意，即求的 a、b 值使 y 最小． 根据题设，有 4b＋2ab＋2a＝60(a＞0，b＞0)， 30－a ∴b＝ (0＜a＜30)． 2＋a k k 于是有 y＝ ＝ ab 30a－a2 2＋a ＝ k 64 64 －a＋32－ 34－（a＋2＋ ） a＋2 a＋2 ＝ k
6-4第四节 基本不等式(2015年高考总复习)
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1 1 变式思考 2 (1)已知x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，则 ＋ 的最 x y 小值为__________． 2x (2)当x＞0时，f(x)＝ 2 的最大值为__________． x ＋1
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பைடு நூலகம்
题型一 【例1】 ＋b＋c＝1.
利用基本不等式证明不等式
(2013· 新课标全国卷Ⅱ)设a，b，c均为正数，且a
1 证明：(1)ab＋bc＋ac≤3； a2 b2 c2 (2) ＋ ＋ ≥1. b c a 【思维启迪】
答案 B
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5 1 3．若x＞ ，则f(x)＝4x＋ 的最小值为( 4 4x－5 A．－3 C．5 B．2 D．7
)
1 1 解析 f(x)＝4x＋ ＝4x－5＋ ＋5. 4x－5 4x－5 5 1 ∵x＞ ，∴4x－5＞0，∴4x－5＋ ≥2. 4 4x－5 3 故f(x)≥2＋5＝7，等号成立的条件是x＝ . 2
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备考这样做 1.注意基本不等式求最值时的条件． 2.在复习时注意对式子的灵活变形． 3.注意分类讨论思想及与函数思想的综合应用.
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D 读教材· 抓基础
回扣教材 扫除盲点
第4讲 基本不等式
第4讲基本不等式一、选择题1．若x＞0，则x ＋4x的最小值为( )．A．2 B．3 C．2 2 D．4解析∵x＞0，∴x＋4x≥4.答案 D2．已知x＞0，y＞0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则a＋b2cd的最小值是( )．A．0 B．1 C．2 D．4解析由题知a＋b＝x＋y，cd＝xy，x＞0，y＞0，则a＋b2cd＝x＋y2xy≥2xy2xy＝4，当且仅当x＝y时取等号．答案 D3．小王从甲地到乙地的时速分别为a和b(a<b)，其全程的平均时速为v，则()．A．a<v<ab B．v＝abC.ab<v<a＋b2D．v＝a＋b2解析设甲、乙两地之间的距离为s.∵a<b，∴v＝2ssa＋sb＝2aba＋b<2ab2ab＝ab.又v－a＝2aba＋b－a＝ab－a2a＋b>a2－a2a＋b＝0，∴v>a.答案 A4．若正实数a，b满足a＋b＝1，则( )．A.1a＋1b有最大值4 B．ab有最小值14C.a ＋b 有最大值 2 D ．a 2＋b 2有最小值22解析 由基本不等式，得ab ≤a 2＋b 22＝a ＋b2－2ab2，所以ab ≤14，故B 错；1a ＋1b ＝a ＋bab ＝1ab≥4，故A 错；由基本不等式得a ＋b 2≤a ＋b 2＝12，即a ＋b ≤ 2，故C 正确；a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ≥1－2×14＝12，故D 错．答案 C5．气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n 天的维修保养费为⎝ ⎛⎭⎪⎫n 10＋4.9，n ∈N *元，使用它直至“报废最合算”(所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器的平均每天耗资最少)一共使用了( ) A ．600天 B ．800天 C ．1 000天 D ．1 200天解析 设一共使用了n 天，则使用n 天的平均耗资为32 000＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋n 10＋4.9n2n＝32 000n＋n20＋4.95，当且仅当32 000n ＝n20时，取得最小值，此时n ＝800.本题的函数模型是一个在生活中较为常见的模型，注意如何建立这类问题的函数关系式，在有的问题中仪器还可以做废品再卖一点钱，这样要从总的耗资中把这部分除去． 答案 B6．已知两条直线l 1：y ＝m 和l 2：y ＝82m ＋1(m >0)，l 1与函数y ＝|log 2x |的图象从左至右相交于点A ，B ，l 2与函数y ＝|log 2x |的图象从左至右相交于点C ，D .记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为a ，b .当m 变化时，ba 的最小值为( )． A ．16 2B ．8 2C ．834D ．434解析 如图，作出y ＝|log 2x |的图象，由图可知A ，C 点的横坐标在区间(0,1)内，B ，D 点的横坐标在区间(1，＋∞)内，而且x C －x A 与x B －x D 同号，所以b a ＝x B －x Dx C －x A ，根据已知|log 2x A |＝m ，即－log 2x A ＝m ，所以x A ＝2－m .同理可得x C ＝2－82m ＋1，x B ＝2m，x D ＝282m ＋1，所以b a ＝2m －282m ＋12－82m ＋1－2－m＝2m －282m ＋11282m ＋1－12m ＝2m －282m ＋12m －282m ＋12m ·282m ＋1＝282m ＋1＋m ，由于82m ＋1＋m ＝82m ＋1＋2m ＋12－12≥4－12＝72，当且仅当82m ＋1＝2m ＋12，即2m ＋1＝4，即m ＝32时等号成立，故b a 的最小值为272＝8 2. 答案 B 二、填空题7．设x ，y 为实数．若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________．解析 依题意有(2x ＋y )2＝1＋3xy ＝1＋32×2x ×y ≤1＋32·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋y 22，得58(2x ＋y )2≤1，即|2x ＋y |≤2105.当且仅当2x ＝y ＝105时，2x ＋y 取最大值2105. 答案21058．在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f (x )＝2x的图象交于P ，Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________．解析 假设直线与函数f (x )＝2x的图象在第一象限内的交点为P ，在第三象限内的交点为Q ，由题意知线段PQ 的长为OP 长的2倍． 假设P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，2x 0，则|PQ |＝2|OP |＝2x 20＋4x 20≥4.当且仅当x 20＝4x 20，即x 0＝2时，取“＝”号． 答案 49．若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________． 解析 由a ，b ∈R ＋，由基本不等式得a ＋b ≥2ab ， 则ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，即ab －2ab －3≥0⇔(ab －3)(ab ＋1)≥0⇒ab ≥3， ∴ab ≥9. 答案 [9，＋∞)10．已知两正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1y 的最小值为________。
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2 (2)已知0＜x＜5，则y＝2x－5x2的最大值为________． (3)若x，y∈(0，＋∞)且2x＋8y－xy＝0，则x＋y的最小值为 ________．
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解析
1 (1)∵x＞1，∴f(x)＝(x－1)＋ ＋1≥2＋1＝3， x－1
当且仅当x＝2时取等号． 1 (2)y＝2x－5x ＝x(2－5x)＝ · (2－5x)， 5x· 5
8 2 8y 2x ＋ ＝10＋ ＋ ∴x＋y＝(x＋y) x y x y 4y x ＝10＋2 x ＋y≥10＋2×2×
4y x xx＝2y时取等号， 又2x＋8y－xy＝0，∴x＝12，y＝6， ∴当x＝12，y＝6时，x＋y取最小值18. 1 答案 (1)3 (2)5 (3)18
和公式等号成立的条件等．
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两个变形 a2＋b2 a＋b2 (1) ≥ 2 ≥ab(a，b∈R，当且仅当 a＝b 时取等号)； 2 (2) a2＋b2 a＋b 2 ≥ ≥ ab≥ (a＞0，b＞0，当且仅当 a＝b 2 2 1 1 a＋b
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4．利用基本不等式求最值问题 已知 x＞0，y＞0，则 (1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，x＋y 有最 小 值 是 2 p.(简记：积定和最小) (2)如果和 x＋y 是定值 p， 那么当且仅当 x＝y 时， 有最 大 值 xy p2 是 4 .(简记：和定积最大)
2
2 ∵0＜x＜ ，∴5x＜2,2－5x＞0， 5
5x＋2－5x 2 ∴5x(2－5x)≤ ＝1， 2
1 1 1 ∴y≤ ，当且仅当5x＝2－5x，即x＝ 时，ymax＝ . 5 5 5
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2 8 (3)由2x＋8y－xy＝0，得2x＋8y＝xy，∴ y＋x＝1，
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解析
x 若对任意x＞0， 2 x ＋3x＋1
≤a恒成立，只需求得y＝
x x 的最大值即可，因为x＞0，所以y＝ 2 ＝ x2＋3x＋1 x ＋3x＋1 1 ≤ 1 x＋x ＋3 2 1 1 ＝ ，当且仅当x＝1时取等号，所以a的取值 1 5 x· x
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利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相 等，和定积最大，积定和最小”．常用的方法为：拆、凑、代 换、平方．
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【训练1】 ________．
(1)已知x＞1，则f(x)＝x＋
1 x－1
的最小值为
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考向四
利用基本不等式解实际问题
【例4】►某单位建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形 小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5 m．房屋正面的造价为400元/m2，房屋侧面的造价为150元 /m2，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3 m， 且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最 低？ [审题视点] 用长度x表示出造价，利用基本不等式求最值即
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【2013年高考会这样考】 1．考查应用基本不等式求最值、证明不等式的问题． 2．考查应用基本不等式解决实际问题． 【复习指导】 1．平时突出对基本不等式取等号的条件及运算能力的强化训 练． 2．训练过程中注意对等价转化、分类讨论及逻辑推理能力的 培养．
800(0＜x≤5)， ＋5 800≥900×2 16 x× x ＋5 800＝13
则y＝900 000(元)，
16 x＋ x
16 当且仅当x＝ x ，即x＝4时取等号． 故当侧面的长度为4米时，总造价最低．
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解实际应用题要注意以下几点： (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数； (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等 式求得函数的最值； (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的 自变量的取值范围)内求解．
b a c a c b ＝3＋a＋b＋a＋c＋b＋c
≥3＋2＋2＋2＝9， 1 当且仅当a＝b＝c＝3时，取等号．
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考向三 利用基本不等式解决恒成立问题 x 【例3】►(2010· 山东)若对任意x＞0， 2 ≤a恒成立，则a x ＋3x＋1 的取值范围是________． x x [审题视点] 先求 2 (x＞0)的最大值，要使得 2 x ＋3x＋1 x ＋3x＋1 x ≤a(x＞0)恒成立，只要 2 (x＞0)的最大值小于等于a即 x ＋3x＋1 可．
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a＋b 1 2 2．下列不等式：①a ＋1＞2a；② ≤2；③x ＋ 2 ≥1. x ＋1 ab
2
其中正确的个数是(
)．
A．0 B．1 C．2 D．3 解析 1 1 2 ①②不正确，③正确，x ＋ 2 ＝(x ＋1)＋ 2 － x ＋1 x ＋1
2
1≥2－1＝1. 答案 B
(2011· 宿州模拟)已知x＞0，y＞0，xy＝x＋2y，若
xy≥m－2恒成立，则实数m的最大值是________． 解析 由x＞0，y＞0，xy＝x＋2y≥2 2xy ，得xy≥8，于是由
m－2≤xy恒成立，得m－2≤8，m≤10，故m的最大值为10. 答案 10
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【训练2】 已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1. 1 1 1 求证： ＋ ＋ ≥9. a b c 证明 ∵a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，
1 1 1 a＋b＋c a＋b＋c a＋b＋c ∴a＋b＋c＝ a ＋ b ＋ c b c a c a b ＝3＋a＋a＋b＋b＋c＋c
证明
∵a＞0，b＞0，c＞0， bc ca · ＝2c； a b bc ab · ＝2b； a c ca ab · ＝2a. b c
bc ca ∴ ＋ ≥2 a b bc ab ＋ ≥2 a c ca ab ＋ ≥2 b c
bc ca ab 以上三式相加得：2 a ＋ b ＋ c ≥2(a＋b＋c)，
a＋b 2 (3)ab≤ 2 (a，b∈R)．
a2＋b2 a＋b2 (4) ≥ 2 (a，b∈R)． 2 3．算术平均数与几何平均数 a＋b 设 a＞0， b＞0， a， 的算术平均数为 2 ， 则 b 几何平均数为 ab， 基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几 何平均数．
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一个技巧 运用公式解题时， 既要掌握公式的正用， 也要注意公式的逆用， a2＋b2 a＋b 例如 a2＋b2≥2ab 逆用就是 ab≤ 2 ； 2 ≥ ab(a，b＞0) 逆用就是
a＋b 2 ab≤ 2 (a，b＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧
可．还应注意定义域0＜x≤5；函数取最小值时的x是否在定义 域内，若不在定义域内，不能用基本不等式求最值，可以考虑 单调性．
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12 解 由题意可得，造价y＝3(2x×150＋ x ×400)＋5
16 900x＋ x ＋5
800＝
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考向二 利用基本不等式证明不等式 bc ca ab 【例2】►已知a＞0，b＞0，c＞0，求证： a ＋ b ＋ c ≥a＋b＋ c. [审题视点] 加得到． 先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质相
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双基自测 1 1． (人教 A 版教材习题改编)函数 y＝x＋ (x＞0)的值域为( x A．(－∞，－2]∪[2，＋∞) C．[2，＋∞) 解析 1 ∵x＞0，∴y＝x＋x ≥2， B．(0，＋∞) D．(2，＋∞) )．
当且仅当 x＝1 时取等号 答案 C
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基础梳理 a＋b 1．基本不等式： ab≤ 2 (1)基本不等式成立的条件： a＞0，b＞0 . (2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时取等号．
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2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥ 2ab (a，b∈R)． b a (2)a＋b≥ 2 (a，b 同号)．
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解析
(1)∵x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，
1 1 2x＋y 2x＋y ∴x＋y＝ x ＋ y y 2x ＝3＋x＋ y ≥3＋2 2. y 2x 当且仅当x＝ y 时，取等号． 2x 2 2 1 (2)∵x＞0，∴f(x)＝ 2 ＝ ≤ ＝1，当且仅当x＝ ，即x 1 2 x x ＋1 x＋ x ＝1时取等号． 答案 (1)3＋2 2 (2)1
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3．若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为( 1 A. B．1 C．2 D．4 2 解析 ∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，