6-4第4讲 基本不等式
不等式的性质基本不等式课件高三数学一轮复习
举题说法
不等式的性质
1 (1) (多选)已知a，b，c满足c＜a＜b，且ac＜0，那么下列各式一
定成立的是
( BCD
)
A．ac(a－c)＞0
B．c(b－a)＜0
【解C析．】c因b2为＜aa，b2b，c满足c＜a＜b，且Dac．＜a0b，＞所a以c c＜0，a＞0，b＞0，a－c＞0，b
3．已知 x＞1，则 x＋x－1 1的最小值为 ( C )
A．1 C．3
B．2 D．4
【解析】因为 x＞1，所以 x－1＞0，所以 x＋x－1 1＝(x－1)＋x－1 1＋1≥2 (x－1)·x－1 1 ＋1＝3，当且仅当 x－1＝x－1 1，即 x＝2(x＝0 舍去)时等号成立，此时 x＋x－1 1取最小 值 3.
4．(多选)下列说法正确的是
()
A．若
x＜1，则函数 2
y＝2x＋2x1－1的最小值为－1
B．若实数 a，b，c 满足 a＞0，b＞0，c＞0，且 a＋b＋c＝2，则a＋4 1＋b＋1 c的最小值
是3
C．若实数 a，b 满足 a＞0，b＞0，且 2a＋b＋ab＝6，则 2a＋b 的最大值是 4
D．若实数 a，b 满足 a＞0，b＞0，且 a＋b＝2，则a＋a21＋b＋b21的最小值是 1
【解析】设 2α－β＝m(α＋β)＋n(αห้องสมุดไป่ตู้β)，则mm＋ －nn＝ ＝2－，1， 解得mn＝＝3212，，
所以 2α－β
＝12(α＋β)＋32(α－β).
因为 π＜α＋β＜54π，－π＜α－β＜－π3，所以π2＜12(α＋β)＜58π，－32π＜32(α－β)＜－π2，所
以－π＜12(α＋β)＋32(α－β)＜π8，即－π＜2α－β＜π8，所以 2α－β 的取值范围是－π，π8.
2017届高三数学一轮复习课件：6-4 基本不等式
微知识❹ 常用的几个重要不等式
(1)a＋b≥ 2 ab (a＞0，b＞0)。
(2)ab≤ a＋2 b2
(a，b∈R)。
(3)a＋2 b2≤a2＋2 b2(a，b∈R)。 (4)ba＋ab≥ 2 (a，b 同号)。
以上不等式等号成立的条件均为 a＝b。
第六页，编辑于星期六：点 五十八分。
第二十八页，编辑于星期六：点 五十八分。
[规律方法] (1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建 立数学模型，转化为数学问题求解。 (2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就 不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解。
第二十九页，编辑于星期六：点 五十八分。
D．[－4,4]
解析：M＝a2＋a 4＝a＋4a。 当 a＞0 时，M≥4；当 a＜0 时，M≤－4。 答案：A
第十页，编辑于星期六：点 五十八分。
4．若 x＞1，则 x＋x－4 1的最小值为__________。 解析：x＋x－4 1＝x－1＋x－4 1＋1≥4＋1＝5。 当且仅当 x－1＝x－4 1，即 x＝3 时等号成立。 答案：5
第十九页，编辑于星期六：点 五十八分。
微考点
基本不等式的综合应用
角度一：基本不等式与其他知识综合的最值问题
【典例 2】若点 A(1,1)在直线 mx＋ny－2＝0 上，其中 mn＞0，则m1 ＋1n的最 小值为________。
解析：因为点 A(1,1)在直线 mx＋ny－2＝0 上，所以 m＋n－2＝0，即m2 ＋n2 ＝1，
取得“＝”，故选 D 项。
第十五页，编辑于星期六：点 五十八分。
4 第4讲 基本不等式
第4讲 基本不等式1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0． (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． (4)a 2＋b 22≥⎛⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数．导师提醒关注应用基本不等式的两个易错点(1)应用基本不等式求最值要注意：“一正、二定、三相等”．忽略某个条件，就会出错．(2)在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式．若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( )(2)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22成立的条件是ab >0.( )(3)“x >0且y >0”是“x y ＋yx≥2”的充要条件．( )(4)若a >0，则a 3＋1a 2的最小值是2a .( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 函数f (x )＝x ＋1x 的值域为( )A ．[－2，2]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．R解析：选C.当x >0时，x ＋1x ≥2x ·1x＝2. 当x <0时，－x >0. －x ＋1－x≥2（－x ）·1（－x ）＝2.所以x ＋1x≤－2.所以f (x )＝x ＋1x的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．故选C.(教材习题改编)设x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( )A ．80B ．77C ．81D ．82解析：选C.xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝⎝⎛⎭⎫1822＝81，当且仅当x ＝y ＝9时等号成立，故选C.若x >1，则x ＋4x －1的最小值为________．解析：因为x >1，所以x －1>0，所以x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5. 当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时等号成立．答案：5利用基本不等式求最值(多维探究)角度一 通过配凑法利用基本不等式求最值(1)已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________． (2)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________．【解析】 (1)x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x )≤13·⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋（4－3x ）22＝43， 当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时，取等号．(2)y ＝x 2＋2x －1＝（x 2－2x ＋1）＋（2x －2）＋3x －1＝（x －1）2＋2（x －1）＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2.当且仅当(x －1)＝3（x －1），即x ＝3＋1时，等号成立．【答案】 (1)23(2)23＋2角度二 通过常数代换利用基本不等式求最值若a ＞0，b ＞0，lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，则a ＋b 的最小值为( ) A ．8 B ．6 C ．4D ．2【解析】 由lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，得lg(ab )＝lg(a ＋b )，即ab ＝a ＋b ，则有1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·ab＝4，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，所以a ＋b 的最小值为4，故选C.【答案】 C角度三 通过消元法利用基本不等式求最值(一题多解)已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________． 【解析】 法一：由已知得x ＋3y ＝9－xy ， 又因为x >0，y >0， 所以x ＋3y ≥23xy ，所以3xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y 时， 即x ＝3，y ＝1时取等号， (x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0. 令x ＋3y ＝t ，则t >0且t 2＋12t －108≥0， 得t ≥6即x ＋3y ≥6. 法二：由x ＋3y ＋xy ＝9， 得x ＝9－3y 1＋y，所以x ＋3y ＝9－3y 1＋y ＋3y ＝9－3y ＋3y （1＋y ）1＋y＝9＋3y 21＋y ＝3（1＋y ）2－6（1＋y ）＋121＋y ＝3(1＋y )＋121＋y －6≥23（1＋y ）·121＋y－6＝12－6＝6.当且仅当3(1＋y )＝121＋y ，即y ＝1时等号成立． 所以x ＋3y 的最小值为6. 【答案】 6角度四 多次利用基本不等式求最值若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab的最小值为________．【解析】 因为ab ＞0，所以a 4＋4b 4＋1ab ≥24a 4b 4＋1ab ＝4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab≥24ab ·1ab＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2，ab ＝12时取等号，故a 4＋4b 4＋1ab的最小值是4. 【答案】 4(1)利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式．(2)常数代换法，主要解决形如“已知x ＋y ＝t (t 为常数)，求a x ＋b y 的最值”的问题，先将ax ＋b y 转化为⎝⎛⎭⎫a x ＋b y ·x ＋y t，再用基本不等式求最值．(3)当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值．(4)当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法．1．已知x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为______．解析：因为x ＜54，所以5－4x ＞0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1. 当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立． 故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1. 答案：12．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，则1a ＋1b 的最小值为________．解析：因为a ＋b ＝1，所以1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥2＋2b a ·ab＝2＋2＝4. 当且仅当a ＝b ＝12时，“＝”成立．答案：43．已知a ＞b ＞0，那么a 2＋1b （a －b ）的最小值为________．解析：由题意a ＞b ＞0，则a －b ＞0，所以b (a －b )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋a －b 22＝a 24，所以a 2＋1b （a －b ）≥a 2＋4a 2≥2a 2·4a2＝4， 当且仅当b ＝a －b 且a 2＝4a 2，即a ＝2，b ＝22时取“＝”，所以a 2＋1b （a －b ）的最小值为4.答案：4基本不等式的实际应用(师生共研)某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件【解析】 若每批生产x 件产品，则每件产品的生产准备费用是800x 元，仓储费用是x8元，总的费用是800x ＋x8≥2800x ·x 8＝20，当且仅当800x ＝x8，即x ＝80时取等号，故选B. 【答案】 B利用基本不等式求解实际问题的注意事项(1)根据实际问题抽象出目标函数的表达式，再利用基本不等式求得函数的最值． (2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．(4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则该公司年平均利润的最大值是________万元．解析：每台机器运转x 年的年平均利润为y x ＝18－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ，而x ＞0，故yx ≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．答案：8基本不等式的综合应用(多维探究)角度一 与其他知识的交汇问题(1)已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c的最小值是________．(2)设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n的最小值是________．【解析】 (1)圆x 2＋y 2－2y －5＝0化成标准方程， 得x 2＋(y －1)2＝6， 所以圆心为C (0，1)．因为直线ax ＋by ＋c －1＝0经过圆心C ， 所以a ×0＋b ×1＋c －1＝0， 即b ＋c ＝1.因此4b ＋1c ＝(b ＋c )⎝⎛⎭⎫4b ＋1c ＝4c b ＋bc ＋5. 因为b ，c >0， 所以4c b ＋b c≥24c b ·bc＝4. 当且仅当b ＝2c ，且b ＋c ＝1， 即b ＝23，c ＝13时，4b ＋1c 取得最小值9.(2)a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n （1＋n ）2，所以S n ＋8a n ＝n （1＋n ）2＋8n ＝12(n ＋16n ＋1)≥12⎝⎛⎭⎫2n ·16n ＋1＝92， 当且仅当n ＝4时取等号． 所以S n ＋8a n 的最小值是92.【答案】 (1)9(2)92角度二 求参数的值或取值范围已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意的正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为________．【解析】 (x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋axy ≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2(x ，y ，a >0)， 当且仅当y ＝ax 时取等号，所以(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y 的最小值为(a ＋1)2， 所以(a ＋1)2≥9恒成立． 所以a ≥4.【答案】 4(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．1．(2019·石家庄教学质量检测(一))已知直线l ：ax ＋by －ab ＝0(a >0，b >0)经过点(2，3)，则a ＋b 的最小值为________．解析：因为直线l 经过点(2，3)，所以2a ＋3b －ab ＝0，则3a ＋2b＝1， 所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫3a ＋2b ＝5＋3b a ＋2ab ≥5＋2 6. 当且仅当3b a ＝2ab，即a ＝3＋6，b ＝2＋6时等号成立． 答案：5＋2 62．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________．解析：对任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立， 即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即a ≥－⎝⎛⎭⎫x ＋8x ＋3. 设g (x )＝x ＋8x ，当x ＝8x ，即x ＝22时，g (x )取得最小值，又x ∈N *，则g (2)＝6，g (3)＝173.因为g (2)＞g (3)，所以g (x )min ＝173， 所以－⎝⎛⎭⎫x ＋8x ＋3≤－83， 所以a ≥－83，故a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－83，＋∞. 答案：⎣⎡⎭⎫－83，＋∞ 3．当x ∈R 时，32x －(k ＋1)3x ＋2>0恒成立，则k 的取值范围是________． 解析：由32x －(k ＋1)3x ＋2>0， 解得k ＋1<3x ＋23x .因为3x ＋23x ≥22⎝⎛当且仅当3x ＝23x ，即x ＝log 32时，⎭⎪⎪⎫等号成立)，所以3x ＋23x 的最小值为2 2.又当x ∈R 时，32x －(k ＋1)3x ＋2>0恒成立， 所以当x ∈R 时，k ＋1<⎝⎛⎭⎫3x ＋23x min，即k ＋1<22，即k <22－1. 答案：(－∞，22－1)[基础题组练]1．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C. 1a ＋1b >2abD. b a ＋a b≥2 解析：选D.因为a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，所以A 错误．对于B ，C ，当a <0，b <0时，明显错误．对于D ，因为ab >0， 所以b a ＋a b≥2b a ·a b＝2. 2．下列不等式一定成立的是( ) A ．lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0) B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 解析：选C.对于选项A ，当x >0时，x 2＋14－x ＝⎝⎛⎭⎫x －122≥0，所以lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14≥lg x ； 对于选项B ，当sin x <0时显然不成立； 对于选项C ，x 2＋1＝|x |2＋1≥2|x |，一定成立； 对于选项D ，因为x 2＋1≥1， 所以0<1x 2＋1≤1.故选C.3．已知f (x )＝x 2－2x ＋1x ，则f (x )在⎣⎡⎦⎤12，3上的最小值为( ) A. 12 B. 43 C ．－1D ．0解析：选D.f (x )＝x 2－2x ＋1x ＝x ＋1x －2≥2－2＝0，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号．又1∈⎣⎡⎦⎤12，3，所以f (x )在⎣⎡⎦⎤12，3上的最小值是0. 4．若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2 B ．2 C ．2 2D ．4解析：选C.因为1a ＋2b ＝ab ，所以a ＞0，b ＞0，由ab ＝1a ＋2b≥21a ×2b＝22ab， 所以ab ≥22(当且仅当b ＝2a 时取等号)， 所以ab 的最小值为2 2.5．已知x >0，y >0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，则1x ＋13y 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．2 3解析：选C.因为lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2， 所以lg(2x ·8y )＝lg 2， 所以2x ＋3y ＝2， 所以x ＋3y ＝1. 因为x >0，y >0，所以1x ＋13y ＝(x ＋3y )⎝⎛⎭⎫1x ＋13y ＝2＋3y x ＋x3y ≥2＋23y x ·x 3y ＝4，当且仅当x ＝3y ＝12时取等号．所以1x ＋13y的最小值为4.故选C.6．若正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，且1xy ≥M 恒成立，则M 的最大值为________．解析：因为正实数x ，y 满足x ＋y ＝2， 所以xy ≤（x ＋y ）24＝224＝1，所以1xy≥1；又1xy≥M 恒成立， 所以M ≤1，即M 的最大值为1. 答案：17．已知a >0，b >0，a ＋2b ＝3，则2a ＋1b 的最小值为________．解析：由a ＋2b ＝3得13a ＋23b ＝1，所以2a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫13a ＋23b ⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ＝43＋a 3b ＋4b 3a ≥43＋2a 3b ·4b 3a ＝83. 当且仅当a ＝2b ＝32时取等号．答案：838．已知正数x ，y 满足x ＋22xy ≤λ(x ＋y )恒成立，则实数λ的最小值为________． 解析：依题意得x ＋22xy ≤x ＋(x ＋2y )＝2(x ＋y )，即x ＋22xyx ＋y ≤2(当且仅当x ＝2y 时取等号)，即x ＋22xy x ＋y 的最大值为2.又λ≥x ＋22xyx ＋y恒成立，因此有λ≥2，即λ的最小值为2.答案：29．(1)当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值；(2)设0<x <2，求函数y ＝x （4－2x ）的最大值． 解：(1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2x 2＋83－2x ＋32.当x <32时，有3－2x >0，所以3－2x 2＋83－2x ≥23－2x 2·83－2x＝4， 当且仅当3－2x 2＝83－2x，即x ＝－12时取等号．于是y ≤－4＋32＝－52，故函数的最大值为－52.(2)因为0<x <2，所以2－x >0， 所以y ＝x （4－2x ）＝2·x （2－x ）≤2·x ＋2－x2＝2，当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号， 所以当x ＝1时，函数y ＝x （4－2x ）的最大值为 2.10．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值． 解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0， 得8x ＋2y ＝1， 又x >0，y >0， 则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y ＝8xy. 得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立． 所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1，则x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫8x ＋2y ·(x ＋y ) ＝10＋2x y ＋8yx≥10＋22x y ·8yx＝18. 当且仅当x ＝12，y ＝6时等号成立， 所以x ＋y 的最小值为18.[综合题组练]1．(应用型)已知a ＞0，b ＞0，若不等式3a ＋1b ≥ma ＋3b 恒成立，则m 的最大值为( )A ．9B ．12C ．18D ．24解析：选B.由3a ＋1b ≥ma ＋3b ，得m ≤(a ＋3b )⎝⎛⎭⎫3a ＋1b ＝9b a ＋ab ＋6. 又9b a ＋ab ＋6≥29＋6＝12， 当且仅当9b a ＝ab ，即a ＝3b 时等号成立，所以m ≤12，所以m 的最大值为12.2．(应用型)若正数a ，b 满足a ＋b ＝2，则1a ＋1＋4b ＋1的最小值是( )A ．1 B.94C ．9D ．16 解析：选B.1a ＋1＋4b ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋4b ＋1·（a ＋1）＋（b ＋1）4 ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋4＋b ＋1a ＋1＋4（a ＋1）b ＋1≥14⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5＋2b ＋1a ＋1·4（a ＋1）b ＋1＝94， 当且仅当b ＋1a ＋1＝4（a ＋1）b ＋1，即a ＝13，b ＝53时取等号，故选B.3．(创新型)(2019·山东青岛模拟)已知x ＞0，y ＞0，(lg 2)·x ＋(lg 8)y ＝lg 2，则1x ＋13y 的最小值是________．解析：因为(lg 2)x ＋(lg 8)y ＝lg 2，所以x ＋3y ＝1，则1x ＋13y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋13y (x ＋3y )＝2＋3y x ＋x 3y≥4，当且仅当3y x ＝x 3y ，即x ＝12，y ＝16时取等号，故1x ＋13y的最小值为4.答案：44．(创新型)规定：“⊗”表示一种运算，即a ⊗b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)．若1⊗k ＝3，则k 的值为________，此时函数f (x )＝k ⊗xx的最小值为________．解析：由题意得1⊗k ＝k ＋1＋k ＝3，即k ＋k －2＝0，解得k ＝1或k ＝－2(舍去)，所以k ＝1，故k 的值为1，又f (x )＝1⊗x x ＝x ＋x ＋1x ＝1＋x ＋1x ≥1＋2＝3，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号， 故函数f (x )的最小值为3. 答案：1 35．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20. 求：(1)u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)1x ＋1y 的最小值． 解：(1)因为x >0，y >0，所以由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy . 因为2x ＋5y ＝20，所以210xy ≤20，xy ≤10， 当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.所以u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.所以当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2)因为x >0，y >0， 所以1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·2x ＋5y20＝120⎝⎛⎭⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝⎛⎭⎫7＋2 5y x ·2x y ＝7＋21020. 当且仅当5y x ＝2xy时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.所以1x ＋1y 的最小值为7＋21020.6．某厂家拟定在2019年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m (m ≥0)万元满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)．如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2019年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2019年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； (2)该厂家2019年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？ 解：(1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1(万件)， 所以1＝3－k ⇒k ＝2，所以x ＝3－2m ＋1(m ≥0)，每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx (元)，所以2019年的利润y ＝1.5x ×8＋16xx－8－16x －m＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋（m ＋1）＋29(m ≥0)．(2)因为m ≥0时，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8，所以y ≤－8＋29＝21，当且仅当16m ＋1＝m ＋1⇒m ＝3(万元)时，y max ＝21(万元)．故该厂家2019年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．。
一轮复习课件 第6章 第4节 基本不等式
【典例剖析】
(1)若 a，b∈R，且 ab>0，则下列不等式中，恒成立
的是
A．a2＋b2>2ab
B．a＋b≥2 ab
C.1a＋1b>
2 ab
D.ba＋ab≥2
(2)已知 a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：1＋1a1＋1b≥9.
(2)解：方法一：因为 a＞0，b＞0，a＋b＝1， 所以1＋1a1＋1b＝1＋a＋a b1＋a＋b b ＝2＋ba2＋ab＝5＋2ba＋ab≥5＋4＝9. 当且仅当ba＝ab且 a＋b＝1， 即 a＝b＝12时等号成立．
方法二：1＋1a1＋1b＝1＋1a＋1b＋a1b ＝1＋a＋ abb＋a1b＝1＋a2b， 因为 a，b 为正数，a＋b＝1， 所以 ab≤a＋2 b2＝14， 于是a1b≥4，a2b≥8， 因此1＋1a1＋1b≥1＋8＝9， 当且仅当 a＝b 且 a＋b＝1，即 a＝b＝12时等号成立．
(1)第一列货车到达 B 市所需时间为40a0 h，由于两列货车的 间距不得小于2a02 km，所以第 17 列货车到达 B 市所需时间为 40a0＋16·a2a02＝40a0＋14600a≥8，当且仅当40a0＝14600a即 a＝100(km/h) 时成立，所以最快需要 8 h，故选 B.
答案：B
(3)解：显然 a≠4，当 a＞4 时，a－4＞0， ∴a－3 4＋a＝a－3 4＋(a－4)＋4≥2 a－3 4×a－4＋4 ＝2 3＋4， 当且仅当a－3 4＝a－4，即 a＝4＋ 3时，取等号； 当 a＜4 时，a－4＜0，
∴a－3 4＋a＝a－3 4＋(a－4)＋4＝－4－3 a＋4－a＋4 ≤－2 4－3 a×4－a＋4＝－2 3＋4， 当且仅当4－3 a＝(4－a)，即 a＝4－ 3时，取等号． ∴a－3 4＋a 的取值范围是(－∞，－2 3＋4]∪[2 3＋4，＋ ∞)．
第四节 基本不等式
又因为m>0，n>0，所以
m1 ＋n2
(m＋n)＝3＋
n m
＋
2m n
≥3＋2
2 2，
当且仅当n＝ 2m时，取等号．
mn ·2nm ＝3＋
(2)因为3a＋b＝2ab，所以
3 2b
＋
1 2a
(2)依题意得21a＋21b＋a＋8 b＝a2＋abb＋a＋8 b＝a＋2 b＋a＋8 b≥2
a＋2 b×a＋8 b＝4，
当且仅当a＋2 b＝a＋8 b，即a＋b＝4时取等号．因此，21a＋21b＋a＋8 b的最小值为4. [答案] (1)D (2)4
[方法技巧] 1．拼凑法求最值 拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和 为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实 质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键． 2．拼凑法求解最值应注意的问题 (1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调 整，做到等价变形； (2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项时应注意检验利用基本不等式的条件．
(2)由(1)知y＝－m1＋6 1＋m＋1＋29(m≥0)． ∵当m≥0时，m1＋6 1＋(m＋1)≥2 m1＋6 1·m＋1＝8， 当且仅当m1＋6 1＝m＋1，即m＝3时取等号． ∴y≤－8＋29＝21， 即当m＝3时，y取得最大值21. ∴当该厂家2021年的促销费用投入3万元时，厂家获得的利润最大，为21万 元．
(m≥0)满足x＝3－
k m＋1
(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售
量只能是1万件．已知2021年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件
第04讲 基本不等式高考数学大一轮复习核心题型讲与练+易错重难点专项突破(新高考版)
G ( x )万元，且 G ( x )＝
2 + 120，0 < ≤ 50，
4 900
201＋
− 2 100，50 < ≤ 100，
200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.
每台该产品的售价为
(1)写出年利润 W ( x )(单位：万元)关于年产量 x (单位：台)的函数解析式(利润＝销售
2．几个重要的不等式
2ab
1a2＋b2≥______a，b∈R；
b a
2
2a＋b≥___a，b同号且不为零；
当且仅当a＝b
2
a＋b
3ab≤
时等号成立
a，b∈R；
2
2
2
2
a ＋b
a＋b
4
a，b∈R.
≤
2
2
(2)[2024宁夏银川模拟]已知0＜ x ＜4，则 (4 − ) 的最大值为 2
[解析] 0＜ x ＜4，则0＜4－ x ＜4，由基本不等式可得 (4
.
+4−
− ) ≤
＝2，
2
当且仅当 x ＝4－ x ，即 x ＝2时，等号成立.故 (4 − ) 的最大值为2.
角度2 常数代换法
−4
8
−4
＞0，因为 a ＞0，所以 a ＞4，所以8 a ＋ b ＝8 a
＋5]≥8×(2 4 ＋5)＝72，当且仅当 a ＝6时取等号.故选C.
8
4
8
4
解法二 ∵8 a ＋4 b ＝ ab ， a ＞0， b ＞0，∴ ＋ ＝1，∴8 a ＋ b ＝(8 a ＋ b )( ＋ ) ＝
2019版高考数学一轮复习第6章不等式第4讲基本不等式课件【优质ppt版本】
触类旁通 利用基本不等式求最值问题的解题策略
(1)利用基本(均值)不等式解题一定要注意应用的前提： “一正”“二定”“三相等”．
(2)在利用基本(均值)不等式求最值时，要根据式子的特 征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本 (均值)不等式．
【变式训练 1】 (1)已知 0<x<1，则 x(3－3x)取得最大
值时 x 的值为( )
1132 A.3 B.2 C.4 D.3
解析
∵
0<x<1
，
∴
x·(3
－
3x)
＝
1 3
·3x·(3
－
3x)≤
1 3
3x＋23－3x2＝34，当 3x＝3－3x，即 x＝12时，x(3－3x)取得 最大值34.选 C.
3．其中a＋2 b叫做正数 a，b 的 做正数 a，b 的 几何平均数 ．
算术平均数
， ab叫
考点 3 利用基本不等式求最大、最小值问题 1．如果 x，y∈(0，＋∞)，且 xy＝P(定值)， 那么当 x＝y 时，x＋y 有最小值 2 P.(简记：“积定 和最小”) 2．如果 x，y∈(0，＋∞)，且 x＋y＝S(定值)， 那么当 x＝y 时，xy 有最大值S42.(简记：“和定积最大”)
触类旁通 求条件最值注意的问题
(1)要敏锐的洞察到已知条件与要求式子的联系，并能 灵活进行转化；
(2)常用的技巧有：“1”的代换，配凑法，放缩法，换元 法．
【变式训练 2】 (1)[2018·珠海模拟]已知 x>0，y>0，x ＋3y＋xy＝9，则 x＋3y 的最小值为( )
基本不等式课件——2025届高三数学一轮复习
核心考点
课时分层作业
[跟进训练]
1．(1)(多选)(2024·河北沧州模拟)下列函数中，函数的最小值为4的是(
A．y＝x(4－x)
1
C．y＝ +
B．y＝
1
(0＜x＜1)
1−
)
2 +9
2 +5
D．y＝ +
4
(2)(2024·重庆巴蜀中学模拟)已知x>0，y>0，且xy＋x－2y＝4，则2x＋y的最小
是(
)
2 +2
B．ab≤
2
2 + 2
+ 2
C．
≥
2
2
A．
+ ≥2
BC
[当 <0时，A不成立；当ab<0时，D不成立．]
D．
2
≤
+
4．(人教A版必修第一册P46例3(2)改编)一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩
形菜园，墙长18
15
15
m，当这个矩形的长为________m，宽为________m时，菜园面积
由x＋y＝xy得，(x－1)(y－1)＝1，
2
1
2
1
于是得
+
＝1＋ ＋2＋ ＝3＋
−1
−1
−1
−1
−1
＝3＋2
1
2
2，当且仅当 ＝ ，
−1 −1
2
2
即x＝1＋ ，y＝1＋ 2时取“＝”，
2
+
的最小值为3＋2
−1
−1
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2 (2)已知0＜x＜5，则y＝2x－5x2的最大值为________． (3)若x，y∈(0，＋∞)且2x＋8y－xy＝0，则x＋y的最小值为 ________．
考基自主导学
考向探究导析
考题专项突破
活页限时训练
解析
1 (1)∵x＞1，∴f(x)＝(x－1)＋ ＋1≥2＋1＝3， x－1
当且仅当x＝2时取等号． 1 (2)y＝2x－5x ＝x(2－5x)＝ · (2－5x)， 5x· 5
8 2 8y 2x ＋ ＝10＋ ＋ ∴x＋y＝(x＋y) x y x y 4y x ＝10＋2 x ＋y≥10＋2×2×
4y x xx＝2y时取等号， 又2x＋8y－xy＝0，∴x＝12，y＝6， ∴当x＝12，y＝6时，x＋y取最小值18. 1 答案 (1)3 (2)5 (3)18
和公式等号成立的条件等．
考基自主导学
考向探究导析
考题专项突破
活页限时训练
两个变形 a2＋b2 a＋b2 (1) ≥ 2 ≥ab(a，b∈R，当且仅当 a＝b 时取等号)； 2 (2) a2＋b2 a＋b 2 ≥ ≥ ab≥ (a＞0，b＞0，当且仅当 a＝b 2 2 1 1 a＋b
考基自主导学 考向探究导析 考题专项突破 活页限时训练
4．利用基本不等式求最值问题 已知 x＞0，y＞0，则 (1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，x＋y 有最 小 值 是 2 p.(简记：积定和最小) (2)如果和 x＋y 是定值 p， 那么当且仅当 x＝y 时， 有最 大 值 xy p2 是 4 .(简记：和定积最大)
2
2 ∵0＜x＜ ，∴5x＜2,2－5x＞0， 5
5x＋2－5x 2 ∴5x(2－5x)≤ ＝1， 2
1 1 1 ∴y≤ ，当且仅当5x＝2－5x，即x＝ 时，ymax＝ . 5 5 5
考基自主导学
考向探究导析
考题专项突破
活页限时训练
2 8 (3)由2x＋8y－xy＝0，得2x＋8y＝xy，∴ y＋x＝1，
考基自主导学
考向探究导析
考题专项突破
活页限时训练
解析
x 若对任意x＞0， 2 x ＋3x＋1
≤a恒成立，只需求得y＝
x x 的最大值即可，因为x＞0，所以y＝ 2 ＝ x2＋3x＋1 x ＋3x＋1 1 ≤ 1 x＋x ＋3 2 1 1 ＝ ，当且仅当x＝1时取等号，所以a的取值 1 5 x· x
考基自主导学 考向探究导析 考题专项突破 活页限时训练
利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相 等，和定积最大，积定和最小”．常用的方法为：拆、凑、代 换、平方．
考基自主导学
考向探究导析
考题专项突破
活页限时训练
【训练1】 ________．
(1)已知x＞1，则f(x)＝x＋
1 x－1
的最小值为
活页限时训练
考向四
利用基本不等式解实际问题
【例4】►某单位建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形 小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5 m．房屋正面的造价为400元/m2，房屋侧面的造价为150元 /m2，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3 m， 且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最 低？ [审题视点] 用长度x表示出造价，利用基本不等式求最值即
第4讲 基本不等式
考基自主导学
考向探究导析
考题专项突破
活页限时训练
【2013年高考会这样考】 1．考查应用基本不等式求最值、证明不等式的问题． 2．考查应用基本不等式解决实际问题． 【复习指导】 1．平时突出对基本不等式取等号的条件及运算能力的强化训 练． 2．训练过程中注意对等价转化、分类讨论及逻辑推理能力的 培养．
800(0＜x≤5)， ＋5 800≥900×2 16 x× x ＋5 800＝13
则y＝900 000(元)，
16 x＋ x
16 当且仅当x＝ x ，即x＝4时取等号． 故当侧面的长度为4米时，总造价最低．
考基自主导学
考向探究导析
考题专项突破
活页限时训练
解实际应用题要注意以下几点： (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数； (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等 式求得函数的最值； (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的 自变量的取值范围)内求解．
b a c a c b ＝3＋a＋b＋a＋c＋b＋c
≥3＋2＋2＋2＝9， 1 当且仅当a＝b＝c＝3时，取等号．
考基自主导学 考向探究导析 考题专项突破 活页限时训练
考向三 利用基本不等式解决恒成立问题 x 【例3】►(2010· 山东)若对任意x＞0， 2 ≤a恒成立，则a x ＋3x＋1 的取值范围是________． x x [审题视点] 先求 2 (x＞0)的最大值，要使得 2 x ＋3x＋1 x ＋3x＋1 x ≤a(x＞0)恒成立，只要 2 (x＞0)的最大值小于等于a即 x ＋3x＋1 可．
考基自主导学
考向探究导析
考题专项突破
活页限时训练
a＋b 1 2 2．下列不等式：①a ＋1＞2a；② ≤2；③x ＋ 2 ≥1. x ＋1 ab
2
其中正确的个数是(
)．
A．0 B．1 C．2 D．3 解析 1 1 2 ①②不正确，③正确，x ＋ 2 ＝(x ＋1)＋ 2 － x ＋1 x ＋1
2
1≥2－1＝1. 答案 B
(2011· 宿州模拟)已知x＞0，y＞0，xy＝x＋2y，若
xy≥m－2恒成立，则实数m的最大值是________． 解析 由x＞0，y＞0，xy＝x＋2y≥2 2xy ，得xy≥8，于是由
m－2≤xy恒成立，得m－2≤8，m≤10，故m的最大值为10. 答案 10
考基自主导学
考向探究导析
考题专项突破
考题专项突破
活页限时训练
【训练2】 已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1. 1 1 1 求证： ＋ ＋ ≥9. a b c 证明 ∵a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，
1 1 1 a＋b＋c a＋b＋c a＋b＋c ∴a＋b＋c＝ a ＋ b ＋ c b c a c a b ＝3＋a＋a＋b＋b＋c＋c
证明
∵a＞0，b＞0，c＞0， bc ca · ＝2c； a b bc ab · ＝2b； a c ca ab · ＝2a. b c
bc ca ∴ ＋ ≥2 a b bc ab ＋ ≥2 a c ca ab ＋ ≥2 b c
bc ca ab 以上三式相加得：2 a ＋ b ＋ c ≥2(a＋b＋c)，
a＋b 2 (3)ab≤ 2 (a，b∈R)．
a2＋b2 a＋b2 (4) ≥ 2 (a，b∈R)． 2 3．算术平均数与几何平均数 a＋b 设 a＞0， b＞0， a， 的算术平均数为 2 ， 则 b 几何平均数为 ab， 基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几 何平均数．
考基自主导学
考向探究导析
考题专项突破
活页限时训练
一个技巧 运用公式解题时， 既要掌握公式的正用， 也要注意公式的逆用， a2＋b2 a＋b 例如 a2＋b2≥2ab 逆用就是 ab≤ 2 ； 2 ≥ ab(a，b＞0) 逆用就是
a＋b 2 ab≤ 2 (a，b＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧
可．还应注意定义域0＜x≤5；函数取最小值时的x是否在定义 域内，若不在定义域内，不能用基本不等式求最值，可以考虑 单调性．
考基自主导学 考向探究导析 考题专项突破 活页限时训练
12 解 由题意可得，造价y＝3(2x×150＋ x ×400)＋5
16 900x＋ x ＋5
800＝
考基自主导学 考向探究导析 考题专项突破 活页限时训练
考向二 利用基本不等式证明不等式 bc ca ab 【例2】►已知a＞0，b＞0，c＞0，求证： a ＋ b ＋ c ≥a＋b＋ c. [审题视点] 加得到． 先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质相
考基自主导学
考向探究导析
考题专项突破
活页限时训练
考基自主导学
考向探究导析
考题专项突破
活页限时训练
双基自测 1 1． (人教 A 版教材习题改编)函数 y＝x＋ (x＞0)的值域为( x A．(－∞，－2]∪[2，＋∞) C．[2，＋∞) 解析 1 ∵x＞0，∴y＝x＋x ≥2， B．(0，＋∞) D．(2，＋∞) )．
当且仅当 x＝1 时取等号 答案 C
考基自主导学
考向探究导析
考题专项突破
活页限时训练
基础梳理 a＋b 1．基本不等式： ab≤ 2 (1)基本不等式成立的条件： a＞0，b＞0 . (2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时取等号．
考基自主导学
考向探究导析
考题专项突破
活页限时训练
2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥ 2ab (a，b∈R)． b a (2)a＋b≥ 2 (a，b 同号)．
考基自主导学 考向探究导析 考题专项突破 活页限时训练
解析
(1)∵x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，
1 1 2x＋y 2x＋y ∴x＋y＝ x ＋ y y 2x ＝3＋x＋ y ≥3＋2 2. y 2x 当且仅当x＝ y 时，取等号． 2x 2 2 1 (2)∵x＞0，∴f(x)＝ 2 ＝ ≤ ＝1，当且仅当x＝ ，即x 1 2 x x ＋1 x＋ x ＝1时取等号． 答案 (1)3＋2 2 (2)1
考基自主导学
考向探究导析
考题专项突破
活页限时训练
3．若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为( 1 A. B．1 C．2 D．4 2 解析 ∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，