2021 第7章 第4节 基本不等式
基本不等式 完整版课件
• 不等式的证明技巧—字母轮换不 等式的证法
求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2≥
abc(a＋b＋c)．
• [分析] 本题中的表达式具有轮换对称关系，将表达式中字母轮换
a→b→c→a后表达式不变，这类问题证明一般变为几个表达式(通常几
个字母就需几个表达式)迭加(乘)，从而获解．
[证明] 先证 a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2， ∵a2＋b2≥2ab(a，b∈R)， ∴a4＋b4≥2a2b2，b4＋c4≥2b2c2，c4＋a4≥2c2a2， ∴2(a4＋b4＋c4)≥2a2b2＋2b2c2＋2c2a2， ∴a4＋b4＋c2≥a2b2＋b2c2＋c2a2，
又∵ba＋ab≥2，ac＋ac≥2，bc＋bc≥2，
当且仅当ba＝ab，ac＝ac，bc＝bc，即 a＝b＝c＝13时，等号成立，
∴1a＋1b＋1c≥3＋2＋2＋2＝9.
[方法总结] 在对代数式进行变换时，并不是只能将代数 式中的“元”消去，也可利用整体代换将某些“常数”消去．
已知 a、b、c∈(0，＋∞)，且 a＋b＋c＝1， 求证：(1a－1)(1b－1)(1c－1)≥8.
• [答案] 一正 二定 三相等
• 1.由基本不等式导出的几个结论
(1)反向不等式：a＋b≤ 2a2＋b2(a、b∈R＋)，由 a2＋ b2≥2ab，两边同加上 a2＋b2 得 2(a2＋b2)≥(a＋b)2 开方即得．
(2)ab≤(a＋2 b)2，(a、b∈R＋)，由a＋2 b≥ ab两边平方即得． (3)一个重要不等式链：b≥a＞0 时，b≥ a2＋2 b2≥a＋2 b ≥ ab≥a2＋abb＝1a＋2 1b≥a.
• 综合法证明不等式
已知 a、b、c、d 都是实数，且 a2＋b2＝1，c2 ＋d2＝1，求证：|ac＋bd|≤1.
基本不等式
、柯西不等式等。
优化问题
02
在优化问题中，幂平均不等式可以用于寻找最优解或确定最优
解的范围。
统计学应用
03
在统计学中，幂平均不等式可以用于分析数据的分布和离散程
度。
24
06
排序原理与切比雪夫（ Chebyshev）不等式
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25
排序原理简介
2024/1/26
01
排序原理是一种基本的数学原理，用于比较和排列一组数的大 小。
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因式分解法
将一元二次不等式因式分解，然后利用不等式的性质进行求解。
14
一元二次不等式组解法
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分别求解法
分别求出每个不等式的解集，然 后取它们的交集作为不等式组的 解集。
图像法
在同一坐标系中画出每个不等式 的图像，然后找出满足所有不等 式的区域作为不等式组的解集。
15
17
算术平均值-几何平均值（AM-GM）不等式
对于所有非负实数 $a_1, a_2, ldots, a_n$，有
$frac{a_1 + a_2 + cdots + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2cdots a_n}$当且仅当 $a_1 = a_2 = ldots = a_n$ 时取等号。
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加权平均值不等式是AM-GM不等式的推广，具有更广泛的应用范围。
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柯西-施瓦茨（Cauchy-Schwarz）不等式
对于任意实数 $a_1, a_2, ldots, a_n$ 和 $b_1, b_2, ldots, b_n$，有
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$(a_1^2 + a_2^2 + cdots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + cdots + b_n^2) geq (a_1b_1 + a_2b_2 + cdots + a_nb_n)^2$当且仅当 $a_i = kb_i (i = 1, 2, ldots, n)$ 时取等号，其中 $k$ 为常数。
基本不等式(完整版)
2b＋a≥2，ab>0； ab
a＋b 3ab≤ 2 2，a，b∈R；
当且仅当 a＝b 时 等号成立.
4a2＋b2≥
a＋b 2
2，a，b∈R
2
（5） 2 ab a b a2 b2 (a 0,b 0) .
11
2
2
ab
一、直接法
【例 1】以下结论，正确的是（ ） A．y＝x+ ≥4
B．ex+ ＞2
A. 2
B．2
C．2 2
D．4
解析：由1＋2＝ ab知 a>0，b>0，所以 ab＝1＋2≥2 2 ，即 ab≥2 2，
ab
ab
ab
1＝2，
ab 当且仅当 1＋2＝
即 a＝4 2，b＝2 4 2时取“＝”，所以 ab 的最小值为 2 ab，
2.故选 C
ab
变式 1：若实数 x、y 满足 2x+2y＝1，则 x+y 的取值范围是（ ）
证明： (a b)2 0 a2 2ab b2 0 a2 b2 2ab
推论： ab a2 b2 （ a,b R ）. 2
2、如果 a 0 ， b 0 ,则 a b 2 ab ，（当且仅当 a b 时取等号“=”）.
推论： ab
(a b )2 （ a
a2 0 ，b 0 ）；
C．x（1﹣x）≤（
）2 ＝
D．sinx+
（0＜x＜π）的最小值是 2
解：A：当 x＜0 时，不满足题意；B：
C：由基本不等式可得，x（1﹣x） 等号，故 C 符合题意； D：当 0＜x＜π时，0＜sinx≤1，则 故选：C．
＝2，不符合题意； ＝ ，当且仅当 x＝1﹣x 即 x＝ 时取
基本不等式课件(共43张PPT)
02
基本不等式的证明方法
综合法证明基本不等式
利用已知的基本不等式推导
01
通过已知的不等式关系，结合不等式的性质（如传递性、可加
性等），推导出目标不等式。
构造辅助函数
02
根据不等式的特点，构造一个辅助函数，通过对辅助函数的分
析来证明原不等式。
利用数学归纳法
03
对于涉及自然数n的不等式，可以考虑使用数学归纳法进行证明。
分析法证明基本不等式
寻找反例
通过寻找反例来证明某个不等式不成 立，从而推导出原不等式。
利数，可以利用中间值定理 来证明存在某个点使得函数值满足给 定的不等式。
通过分析不等式在极限情况下的性质， 来证明原不等式。
归纳法证明基本不等式
第一数学归纳法
通过对n=1和n=k+1时的情况进行归纳假设和推导，来证 明对于所有正整数n，原不等式都成立。
拓展公式及其应用
要点一
幂平均不等式
对于正实数$a, b$和实数$p, q$，且$p < q$，有 $left(frac{a^p + b^p}{2}right)^{1/p} leq left(frac{a^q + b^q}{2}right)^{1/q}$，用于比较不同幂次的平均值大小。
要点二
切比雪夫不等式
算术-几何平均不等式（AM-GM不等式）：对于非负实数$a_1, a_2, ldots, a_n$，有 $frac{a_1 + a_2 + ldots + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2ldots a_n}$，用于求解最值问题。
柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz不等式）：对于任意实数序列${a_i}$和${b_i}$，有 $left(sum_{i=1}^{n}a_i^2right)left(sum_{i=1}^{n}b_i^2right) geq left(sum_{i=1}^{n}a_ib_iright)^2$，用于证明与内积有关的不等式问题。
基本不等式完整版(非常全面)96099
基本不等式完整版(非常全面)96099实用标准——基本不等式专题辅导一、知识点总结1、基本不等式原始形式1) 若 $a,b\in R$，则 $a^2+b^2\geq 2ab$；2) 若 $a,b\in R$，则 $ab\leq \frac{a^2+b^2}{2}$。
2、基本不等式一般形式（均值不等式）若 $a,b\in R^*$，则 $a+b\geq 2\sqrt{ab}$。
3、基本不等式的两个重要变形1) 若 $a,b\in R^*$，则 $\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$；2) 若 $a,b\in R^*$，则 $ab\leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2$。
总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值。
特别说明：以上不等式中，当且仅当 $a=b$ 时取等号。
4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”。
5、常用结论1) 若 $x>0$，则 $x+\frac{1}{x}\geq 2$（当且仅当$x=1$ 时取等号）；2) 若 $x<0$，则 $x+\frac{1}{x}\leq -2$（当且仅当 $x=-1$ 时取等号）；3) 若 $a,b>0$，则 $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$（当且仅当 $a=b$ 时取等号）；4) 若 $a,b\in R$，则 $ab\leq \frac{(a+b)^2}{4}\leq\frac{a^2+b^2}{2}$；5) 若 $a,b\in R^*$，则 $1\leq ab\leq \frac{a^2+b^2}{2}\leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2$。
特别说明：以上不等式中，当且仅当 $a=b$ 时取等号。
6、柯西不等式1) 若 $a,b,c,d\in R$，则 $(a^2+b^2)(c^2+d^2)\geq(ac+bd)^2$；2) 若 $a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3\in R$，则$(a_1^2+a_2^2+a_3^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2)\geq(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)^2$；3) 设 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 和 $b_1,b_2,\cdots,b_n$ 是两组实数，则有$(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\cdots+b_n^2)\geq (a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n)^2$。
知识讲解_基本不等式_基础
基本不等式编稿：张希勇 审稿：李霞【学习目标】1. 理解基本不等式的内容及其证明.2. 能应用基本不等式解决求最值、证明不等式、比较大小求取值范围等问题.【要点梳理】要点一、基本不等式1.对公式222a b ab +≥及2a b +≥. （1）成立的条件是不同的：前者只要求,a b 都是实数，而后者要求,a b 都是正数；（2）取等“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当a b =时取等”.2.由公式222a b ab +≥和2a b +≥ ①2b a a b+≥（,a b 同）； ②2b a a b+≤-（,a b 异）；③20,0)112a b a b a b +≤≤>>+或222()(0,0)22a b a b ab a b ++≤≤>> 要点诠释： 222a b ab +≥可以变形为：222a b ab +≤，2a b +≥可以变形为：2()2a b ab +≤.a +b 2的证明 方法一：几何面积法 如图，在正方形ABCD 中有四个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边长为a 、b.这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形ABCD 的面积为22a b +.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：222a b ab +≥.当直角三角形变为等腰直角三角形，即a b =时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=.得到结论：如果+,R a b ∈，那么222a b ab +≥（当且仅当a b =时取等“=”）特别的，如果0a >，0b >,分别代替a 、b ，可得：如果0a >，0b >,则a b +≥a b =时取等“=”）.通常我们把上式写作：如果0a >，0b >2a b +≤，（当且仅当a b =时取等“=”） 方法二：代数法∵2222()0a b ab a b +-=-≥，当a b ≠时，2()0a b ->；当a b =时，2()0a b -=.所以22()2a b ab +≥，（当且仅当a b =时取等“=”）.要点诠释：特别的，如果0a >，0b >,分别代替a 、b ，可得：如果0a >，0b >,则a b +≥a b =时取等“=”）.通常我们把上式写作：如果0a >，0b >2a b +≤，（当且仅当a b =时取等“=”）.2a b +≤的几何意义 如图，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC a =,BC b =，过点C 作DC AB ⊥交圆于点D ，连接AD 、BD .易证~Rt ACD Rt DCB ∆∆，那么2CD CA CB =⋅，即CD =. 这个圆的半径为2b a +，它大于或等于CD ，即ab b a ≥+2，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a b =时，等成立.要点诠释：1.在数学中，我们称2b a +为,a b 的算术平均数，称ab 为,a b 的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2.如果把2b a +看作是正数,a b 的等差中项，ab 看作是正数,a b 的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.2a b +≤求最大（小）值 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.要点诠释：1．两个不等式：222a b ab +≥与2a b +≥a ，b 都是实数，后者要求a ，b 都是正数.如22(3)(2)2(3)(2)-+-≥⨯-⨯-是成立的，而(3)(2)2-+-≥的.2．两个不等式：222a b ab +≥与2a b +≥都是带有等的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”这句话的含义要有正确的理解.当a=b 取等，其含义是2a b a b +=⇒=；仅当a=b 取等，其含义是2a b a b +==.综合上述两条，a=b 是2a b +=的充要条件. 3．基本不等式的功能在于“和积互化”.若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值.4．利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件：①各项都是正数；②和（或积）为定值；③各项能取得相等的值.5．基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行：①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；③在定义域内，求出函数的最大或最小值；④写出正确答案.【典型例题】类型一：对公式222a b ab +≥及2a b +≥ 例1.下列结论正确的是( )A ．当x >0且x ≠1时，1lg 2lg x x +≥ B ．当x >02≥ C ．当x ≥2时，1x x+的最小值为2 D ．当0<x ≤2时，1x x-无最大值 【思路点拨】利用基本不等式求最值，要注意使用的条件“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可。
高三数学复习(理)：第4讲 基本不等式
第4讲 基本不等式[学生用书P132]1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0． (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎛⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． (4)a 2＋b 22≥⎛⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数．常用结论已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( ) (2)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22成立的条件是ab >0.( ) (3)“x >0且y >0”是“x y ＋yx ≥2”的充要条件．( ) (4)若a >0，则a 3＋1a 2的最小值是2a .( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 二、易错纠偏 常见误区|Ｋ(1)忽视不等式成立的条件a >0且b >0；(2)忽视等号成立的条件． 1．若x <0，则x ＋1x ( ) A ．有最小值，且最小值为2 B ．有最大值，且最大值为2 C ．有最小值，且最小值为－2 D ．有最大值，且最大值为－2 解析：选D.因为x <0，所以－x >0， －x ＋1－x≥21＝2，当且仅当x ＝－1时，等号成立， 所以x ＋1x ≤－2.2．若x ≥2，则x ＋4x ＋2的最小值为________．解析：设x＋2＝t，则x＋4x＋2＝t＋4t－2.又由x≥2，得t≥4，而函数y＝t＋4t－2在[2，＋∞)上是增函数，因此当t＝4时，t＋4t －2取得最小值4＋44－2＝3.答案：3[学生用书P133]利用基本不等式求最值(多维探究)角度一通过拼凑法利用基本不等式求最值(1)已知0<x<1，则x(4－3x)取得最大值时x的值为________．(2)已知x<54，则f(x)＝4x－2＋14x－5的最大值为________．【解析】(1)x(4－3x)＝13·(3x)(4－3x)≤13·⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x＋（4－3x）22＝43，当且仅当3x＝4－3x，即x＝23时，取等号．(2)因为x<54，所以5－4x>0，则f(x)＝4x－2＋14x－5＝－⎝⎛⎭⎪⎫5－4x＋15－4x＋3≤－2 （5－4x）15－4x＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝15－4x，即x＝1时，等号成立．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.【答案】 (1)23 (2)1通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 角度二 通过常数代换法求最值已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b 的最小值为________．【解析】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b b ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a b ＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9.当且仅当a ＝b ＝12时，取等号．【答案】 9【迁移探究1】 (变问法)若本例中的条件不变，则1a ＋1b 的最小值为________．解析：因为a >0，b >0，a ＋b ＝1， 所以1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·a b ＝4，即1a ＋1b 的最小值为4，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．答案：4【迁移探究2】 (变条件)若本例条件变为已知a >0，b >0，4a ＋b ＝4，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b 的最小值为________． 解析：由4a ＋b ＝4得a ＋b4＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋a ＋b 4a ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋a ＋b 4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b 4a ⎝ ⎛⎭⎪⎫54＋a b ＝52＋2a b ＋5b 16a ＋14≥114＋258＝114＋102.当且仅当42a ＝5b 时取等号．答案：114＋102常数代换法求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； (4)利用基本不等式求解最值． 角度三 通过消元法求最值若正数x ，y 满足x 2＋6xy －1＝0，则x ＋2y 的最小值是( ) A.223B ．23 C.33D.233【解析】 因为正数x ，y 满足x 2＋6xy －1＝0，所以y ＝1－x 26x .由⎩⎨⎧x >0，y >0，即⎩⎨⎧x >0，1－x 26x >0，解得0<x <1.所以x ＋2y ＝x ＋1－x 23x ＝2x 3＋13x ≥22x 3·13x ＝223，当且仅当2x 3＝13x ，即x ＝22，y ＝212时取等号．故x ＋2y 的最小值为223.【答案】 A通过消元法求最值的方法消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．但应注意保留元的范围．角度四 多次利用基本不等式求最值若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab的最小值为________．【解析】 因为ab ＞0，所以a 4＋4b 4＋1ab ≥24a 4b 4＋1ab ＝4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab≥24ab ·1ab ＝4，当且仅当⎩⎨⎧a 2＝2b 2，ab ＝12时取等号，故a 4＋4b 4＋1ab的最小值是4.【答案】 4当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法．1．(2021·湖北八校第一次联考)已知x ＞0，y ＞0，且1x ＋9y ＝1，则x ＋y 的最小值为( )A ．12B ．16C ．20D ．24解析：选B.方法一：由题意x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y (x ＋y )＝1＋y x ＋9x y ＋9≥1＋2y x ×9xy＋9＝16，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0，1x ＋9y ＝1，y x ＝9x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝12时取等号，故选B.方法二：由1x ＋9y ＝1得9x ＋y －xy ＝0，即(x －1)(y －9)＝9，可知x ＞1，y ＞9，所以x ＋y ＝(x －1)＋(y －9)＋10≥2（x －1）（y －9）＋10＝16，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，y ＞9，1x ＋9y＝1，x －1＝y －9＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝12时取等号，故选B. 2．(2021·贵阳市四校联考)已知a ＋b ＝2，且a ＞－1，b ＞0，则1a ＋1＋1b的最小值为( )A.23 B ．1 C.43D.32解析：选C.由a ＋b ＝2，得a ＋1＋b ＝3.因为a ＞－1，所以a ＋1＞0，所以1a ＋1＋1b ＝13(a ＋1＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋1b ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2＋b a ＋1＋a ＋1b ≥13·⎝⎛⎭⎪⎪⎫2＋2ba ＋1·a ＋1b ＝43，当且仅当b a ＋1＝a ＋1b ，即a ＝12，b ＝32时等号成立，所以1a ＋1＋1b 的最小值为43，故选C.3．已知x ，y 为正实数，则4x x ＋3y＋3y x 的最小值为( )A.53 B ．103 C.32 D ．3解析：选 D.由题意得x >0，y >0，4x x ＋3y ＋3y x ＝4x x ＋3y ＋x ＋3y x －1≥24x x ＋3y ·x ＋3yx－1＝4－1＝3(当且仅当x ＝3y 时等号成立)．基本不等式的实际应用(师生共研)某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，则每批应生产产品() A．60件B．80件C．100件D．120件【解析】若每批生产x件产品，则每件产品的生产准备费用是800x元，仓储费用是x8元，总的费用是800x＋x8≥2800x·x8＝20，当且仅当800x＝x8，即x＝80时取等号，故选B.【答案】 B利用基本不等式求解实际问题的注意事项(1)根据实际问题抽象出目标函数的表达式，再利用基本不等式求得函数的最值．(2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．(3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．(4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．(2021·安徽安庆大观模拟)如图所示，矩形ABCD的边AB靠在墙PQ上，另外三边是由篱笆围成的．若该矩形的面积为4，则围成矩形ABCD 所需要篱笆的()A ．最小长度为8B ．最小长度为4 2C ．最大长度为8D ．最大长度为4 2解析：选B.设BC ＝a ，a ＞0，CD ＝b ，b ＞0，则ab ＝4，所以围成矩形ABCD 所需要的篱笆长度为2a ＋b ＝2a ＋4a ≥22a ·4a ＝42，当且仅当2a ＝4a ，即a ＝2时取等号，此时长度取得最小值4 2.故选B.基本不等式的综合应用(多维探究) 角度一 与其他知识的交汇问题(2021·吉林通钢一中等三校第五次联考)在Rt △ABC 中，已知∠C ＝90°，CA ＝3，CB ＝4，P 为线段AB 上的一点，且CP →＝x ·CA →|CA →|＋y ·CB →|CB →|，则1x ＋1y 的最小值为( )A.76 B ．712C.712＋33D.76＋33【解析】 因为CA ＝3，CB ＝4，即|CA →|＝3，|CB →|＝4， 所以CP →＝x CA →|CA →|＋y CB →|CB →|＝x 3CA →＋y 4CB →，因为P 为线段AB 上的一点，即P ，A ，B 三点共线， 所以x 3＋y4＝1(x ＞0，y ＞0)，所以1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋y 4＝712＋x 3y ＋y 4x ≥712＋2112＝712＋33， 当且仅当x 3y ＝y 4x 时等号成立，所以1x ＋1y 的最小值为712＋33，故选C. 【答案】 C角度二 求参数的值或取值范围已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意的正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为________．【解析】 (x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋ax y ≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2(x ，y ，a >0)，当且仅当y ＝ax 时取等号，所以(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y 的最小值为(a ＋1)2，所以(a ＋1)2≥9恒成立． 所以a ≥4. 【答案】 4(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解． (3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．1．已知x >0，y >0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，则1x ＋13y 的最小值是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4D ．2 3解析：选C.因为lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，所以lg(2x ·8y )＝lg 2，所以2x ＋3y ＝2，所以x ＋3y ＝1.因为x >0，y >0，所以1x ＋13y ＝(x ＋3y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋13y ＝2＋3y x ＋x 3y ≥2＋23y x ·x 3y ＝4，当且仅当x ＝3y ＝12时取等号，所以1x ＋13y 的最小值为4.故选C.2．设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n的最小值是________．解析：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n （1＋n ）2，所以S n ＋8a n ＝n （1＋n ）2＋8n ＝12(n ＋16n ＋1) ≥12⎝⎛⎭⎪⎫2n ·16n ＋1＝92，当且仅当n ＝4时取等号．所以S n ＋8a n 的最小值是92.答案：923．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________．解析：对任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立， 即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3.设g (x )＝x ＋8x ，当x ＝8x ，即x ＝22时，g (x )取得最小值，又x ∈N *，则g (2)＝6，g (3)＝173.因为g (2)＞g (3)，所以g (x )min ＝173，所以－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3≤－83，所以a ≥－83，故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞[学生用书P135]核心素养系列12 逻辑推理——利用基本不等式连续放缩求最值已知a >b >0，那么a 2＋1b （a －b ）的最小值为________．【解析】 因为a >b >0，所以a －b >0，所以b (a －b )≤⎝⎛⎭⎪⎫b ＋a －b 22＝a 24，所以a 2＋1b （a －b ）≥a 2＋4a 2≥2a 2·4a 2＝4，当且仅当b ＝a －b 且a 2＝4a 2，即a ＝2且b ＝22时取等号，所以a 2＋1b （a －b ）的最小值为4.【答案】 4设a >b >0，则a 2＋1ab ＋1a （a －b ）的最小值是________．【解析】 因为a >b >0，所以a －b >0，所以a 2＋1ab ＋1a （a －b ）＝(a 2－ab )＋1（a 2－ab ）＋1ab＋ab ≥2（a 2－ab ）·1（a 2－ab ）＋21ab ×ab ＝4(当且仅当a 2－ab ＝1a 2－ab且1ab ＝ab ，即a ＝2，b ＝22时取等号)．【答案】 4利用基本不等式求函数或代数式的最值时一定要注意验证等号是否成立，特别是当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法．已知正实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝1，c ＋d ＝1，则1abc ＋1d 的最小值是( )A ．10B ．9C ．42D.3 3解析：选B.因为a ＋b ＝1，a >0，b >0，所以ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14，所以1ab ≥4，当且仅当a ＝b ＝12时取等号．又因为c ＋d ＝1，c >0，d >0，所以1abc ＋1d ≥4·1c ＋1d ＝(c ＋d )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4c ＋1d ＝5＋4d c ＋c d ≥5＋24d c ·c d ＝9，当且仅当a ＝b ＝12，且c ＝23，d ＝13时取等号，即1abc ＋1d 的最小值为9，故选B.[学生用书P393(单独成册)][A 级 基础练]1．若正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，则1xy 的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选A.因为正实数x ，y 满足x ＋y ＝2， 所以xy ≤（x ＋y ）24＝224＝1，所以1xy ≥1.2．若a >0，b >0，a ＋b ＝ab ，则a ＋b 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选B.方法一：由于a ＋b ＝ab ≤（a ＋b ）24，因此a ＋b ≥4或a ＋b ≤0(舍去)，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，故选B.方法二：由题意，得1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )(1a ＋1b )＝2＋a b ＋ba ≥2＋2＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，故选B.方法三：由题意知a ＝b b －1(b >1)，所以a ＋b ＝b b －1＋b ＝2＋b －1＋1b －1≥2＋2＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，故选B.3．已知f (x )＝x 2－2x ＋1x ，则f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上的最小值为( )A.12 B ．43 C ．－1D ．0解析：选D.f (x )＝x 2－2x ＋1x ＝x ＋1x －2≥2－2＝0，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号．又1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上的最小值是0.4．若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2 B ．2 C ．2 2D ．4解析：选C.因为1a ＋2b ＝ab ，所以a ＞0，b ＞0， 由ab ＝1a ＋2b ≥21a ×2b ＝22ab ，所以ab ≥22(当且仅当b ＝2a 时取等号)， 所以ab 的最小值为2 2. 5．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为( ) A ．0 B ．12 C ．1D.32解析：选A.y ＝x ＋22x ＋1－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋1x ＋12－2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12·1x ＋12－2＝0，当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立．所以函数的最小值为0.故选A.6．(2021·四省八校第二次质量检测)已知a ＝(1，x )，b ＝(y ，1)，x ＞0，y ＞0.若a ∥b ，则xyx ＋y的最大值为( ) A.12 B ．1 C. 2D ．2解析：选 A.方法一：a ∥b ⇒xy ＝1，所以y ＝1x ，所以xy x ＋y ＝1x ＋y ＝1x ＋1x≤12x ×1x ＝12(当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号)，所以xy x ＋y的最大值为12，故选A.方法二：a ∥b ⇒xy ＝1，又x ＞0，y ＞0，所以xy x ＋y ＝1x ＋y ≤12xy＝12(当且仅当x ＝y ＝1时取等号)，所以xy x ＋y的最大值为12，故选A.7．(2020·高考天津卷)已知a >0，b >0，且ab ＝1，则12a ＋12b ＋8a ＋b 的最小值为________．解析：依题意得12a ＋12b ＋8a ＋b ＝a ＋b 2ab ＋8a ＋b ＝a ＋b 2＋8a ＋b≥2a ＋b 2×8a ＋b ＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b >0，ab ＝1，a ＋b 2＝8a ＋b ，即⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝1，a ＋b ＝4时取等号．因此，12a ＋12b ＋8a ＋b 的最小值为4.答案：48．(2020·高考江苏卷)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是__________．解析：方法一：由5x 2y 2＋y 4＝1得x 2＝15y 2－y 25，则x 2＋y 2＝15y 2＋4y 25≥215y 2·4y 25＝45，当且仅当15y 2＝4y 25，即y 2＝12时取等号，则x 2＋y 2的最小值是45.方法二：4＝(5x 2＋y 2)·4y 2≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤（5x 2＋y 2）＋4y 222＝254·(x 2＋y 2)2，则x 2＋y 2≥45，当且仅当5x 2＋y 2 ＝4y 2＝2，即x 2＝310，y 2＝12时取等号，则x 2＋y 2的最小值是45.答案：459．(1)当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值；(2)设0<x <2，求函数y ＝x （4－2x ）的最大值． 解：(1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3－2x 2＋83－2x ＋32. 当x <32时，有3－2x >0， 所以3－2x 2＋83－2x ≥23－2x 2·83－2x＝4，当且仅当3－2x 2＝83－2x ，即x ＝－12(x ＝72舍去)时取等号． 于是y ≤－4＋32＝－52， 故函数的最大值为－52. (2)因为0<x <2，所以2－x >0， 所以y ＝x （4－2x ）＝2·x （2－x ）≤2·x ＋2－x2＝2，当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号， 所以当x ＝1时，函数y ＝x （4－2x ）取最大值，为 2.10．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1，又x >0，y >0， 则1＝8x ＋2y ≥2 8x ·2y ＝8xy. 得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立． 所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，则x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x ≥10＋22x y ·8yx ＝18. 当且仅当x ＝12，y ＝6时等号成立， 所以x ＋y 的最小值为18.[B 级 综合练]11．已知a ＞0，b ＞0，若不等式3a ＋1b ≥ma ＋3b 恒成立，则m 的最大值为( )A ．9B ．12C ．18D ．24解析：选B.由3a ＋1b ≥ma ＋3b，得m ≤(a ＋3b )⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋1b ＝9b a ＋ab ＋6.又9b a ＋ab ＋6≥29＋6＝12，当且仅当9b a ＝ab ，即a ＝3b 时等号成立， 所以m ≤12，所以m 的最大值为12. 12．(2020·福建龙岩一模)已知x >0，y >0，且1x ＋1＋1y ＝12，则x ＋y 的最小值为( )A ．3B ．5C．7 D．9解析：选C.因为x>0，y>0.且1x＋1＋1y＝12，所以x＋1＋y＝2⎝⎛⎭⎪⎫1x＋1＋1y(x＋1＋y)＝2(1＋1＋yx＋1＋x＋1y)≥2⎝⎛⎭⎪⎪⎫2＋2yx＋1·x＋1y＝8，当且仅当yx＋1＝x＋1y，即x＝3，y＝4时取等号，所以x＋y≥7，故x＋y的最小值为7，故选C.13．若a＋b≠0，则a2＋b2＋1（a＋b）2的最小值为________．解析：a2＋b2＋1（a＋b）2≥（a＋b）22＋1（a＋b）2≥212＝2，当且仅当a＝b＝2－34时，a2＋b2＋1（a＋b）2取得最小值 2.答案： 214．某厂家拟定在2021年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x＝3－km＋1(k为常数)．如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2021年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的 1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2021年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；(2)该厂家2021年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？解：(1)由题意知，当m＝0时，x＝1(万件)，所以1＝3－k⇒k＝2，所以x＝3－2m＋1(m≥0)，每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx(元)，所以2021年的利润y＝1.5x×8＋16xx－8－16x－m＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋（m ＋1）＋29(m ≥0)． (2)因为m ≥0时，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8， 所以y ≤－8＋29＝21，当且仅当16m ＋1＝m ＋1⇒m ＝3时，y max ＝21.故该厂家2021年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，为21万元．[C 级 提升练]15．已知角α，β的顶点都为坐标原点，始边都与x 轴的非负半轴重合，且都为第一象限的角，α，β终边上分别有点A (1，a )，B (2，b )，且α＝2β，则1a ＋b 的最小值为( )A ．1B ． 2 C. 3D ．2解析：选C.由已知得，a >0，b >0，tan α＝a ，tan β＝b2，因为α＝2β，所以tan α＝tan 2β，所以a ＝2·b 21－⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22＝4b 4－b 2，所以1a ＋b ＝4－b 24b ＋b ＝1b ＋3b 4≥21b ·3b4＝3，当且仅当1b ＝3b 4，即b ＝233时，取等号．故1a ＋b 的最小值为 3.16．(2021·江西吉安期末)已知函数f (x )＝sin 2xsin x ＋2，则f (x ) 的最大值为________．解析：设t ＝sin x ＋2，则t ∈[1，3]，则sin 2x ＝(t －2)2，则g (t )＝（t －2）2t ＝t ＋4t －4(1≤t ≤3)，由“对勾函数”的性质可得g (t )在[1，2)上为减函数，在(2，3]上为增函数，又g (1)＝1，g (3)＝13，所以g (t )max ＝g (1)＝1.即f (x )的最大值为1.答案：1。
第4讲 基本不等式PPT课件
知识与方法回顾
知识梳理 辨析感悟
探究 一 利用基本不等式证明 简单不等式
例1 训练1
技能与规律探究
探究二 利用基本不等式 求最值
例2 训练2
探究三 基本不等式的实际
例3 训练3
经典题目再现
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1．基本不等式： ab≤a＋2 b
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(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
条件最值的求解通常有两种方法： 一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，
然后代入代数式转化为函数的最值求解； 二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或
积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．
规 律 方
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训练 2 (1)若正数 x，y 满足 x＋3y＝5xy，则 3x＋4y 的最小值是( c )．
∴1a＋b1＋1c＝a＋ab＋c＋a＋bb＋c＋a＋cb＋c ＝3＋ab＋ac＋ab＋bc＋ac＋bc ＝3＋ba＋ba＋ac＋ac＋bc＋bc ≥3＋2＋2＋2＝9， 当且仅当 a＝b＝c＝31时，取等号．
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利用基本不等式求最值
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考点
例 2 (1)(2013·山东卷)设正实数 x,y,z 满足 x2－3xy＋4y2－z＝0,则当xzy取
a2＋b2 2 .( )
(5)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．( )
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3．利用基本不等式求最值的理解
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(6)函数 y＝sin x＋sin4 x，x∈0，π2的最小值为 4.( ) (7)(2014·福州模拟改编)若 x＞－3，则 x＋x＋4 3的最小值为 1.( )
基本不等式教学课件
基本不等式教学课件一、引言基本不等式是数学中的重要概念之一，它在解决数学问题和推理过程中起到了至关重要的作用。
本教学课件旨在帮助学生全面理解基本不等式的概念、性质和解题方法，以提升他们的数学推理和解题能力。
二、基本不等式的概念基本不等式是指关于变量的一种不等式，它涉及到数值的大小关系。
在基本不等式中，比较的对象可以是数字、变量或者表达式。
基本不等式的一般形式可以表示为：a≥b 或者a≤b，其中a和b分别表示两个数值、变量或者表达式。
三、基本不等式的性质1. 反身性质：对于任意实数a，在基本不等式a≥a和a≤a中，不等号成立。
2. 传递性质：对于任意实数a、b和c，如果a≥b且b≥c成立，那么a≥c也成立。
3. 加法性质：对于任意实数a、b和c，如果a≥b成立，那么a+c≥b+c也成立。
4. 减法性质：对于任意实数a、b和c，如果a≥b成立，那么a-c≥b-c 也成立。
5. 乘法性质：对于任意实数a、b和c，如果a≥b成立，且c≥0，那么ac≥bc也成立。
如果c<0，那么ac≤bc也成立。
四、基本不等式的解题方法1. 加减法解法：利用加法和减法的性质，将不等式中的项进行增减，以求得解。
2. 乘法解法：利用乘法的性质，将不等式中的项进行增减，以求得解。
需要注意乘法解法在乘以负数时需要改变不等号的方向。
3. 合并解法：将多个基本不等式进行合并后，进行分析推导，得到最终的解。
五、练习题演示1. 示例一：已知不等式3x-5<7，需要求解x的取值范围。
通过加减法解法，可得3x<12，进一步得到x<4。
因此，不等式的解为x取所有小于4的实数。
2. 示例二：已知不等式2(x+3)>5，需要求解x的取值范围。
通过乘法解法，可得2x+6>5，进一步得到2x>-1。
由于2为正数，因此不等式的解为x取所有大于-1/2的实数。
3. 示例三：已知不等式3(x-2)>2(x+3)，需要求解x的取值范围。
基本不等式ppt课件
12 3
1 4b 3a 1
＋
8＋ a ＋ b ≥ 8＋2
5a b(a＋2b)＝5
5
4b 3a
4b 3a 8＋4 3
(当且仅当 a ＝ b ，
·
＝
5
a b
8＋4 3
2 3
即 2b＝ 3a 时取等号)，∴ ＋ 的最小值为
.故选 B.
a b
5
22．(多选)(2021·湖南省长沙市长郡中学上学期适应性调查考试)小王从
n 4m 9
4m·n ＝2，
2
1
当且仅当 n＝3，m＝6时取等号．故选 C.
2
3
3．设 x＞0，则函数 y＝x＋
－2的最小值为( A )
2x＋1
A．0
1
B．2
解析
2≥2
C．1
3
D．2
1
2
3
由 于 x>0 ， 则 y ＝ x ＋
－ ＝ x＋2 ＋
2
2x＋1
1
x＋ ·
2
m· n 4
二、高考小题
13．(2021·全国乙卷)下列函数中最小值为 4 的是( C )
A．y＝x ＋2x＋4
4
B．y＝|sin x|＋|sin x|
C．y＝2 ＋2
4
D．y＝ln x＋
ln x
2
x
2－x
15．(2020·上海高考)下列不等式恒成立的是( B )
A．a2＋b2≤2ab
C．a＋b≥2 |ab|
命题中正确的是( AB )
A．若 P＝1，则 S 有最小值 2
B．若 S＋P＝3，则 P 有最大值 1
基本不等式(共43张)ppt课件
判别式及根的关系
根的关系
判别式：$Delta = b^2 4ac$，用于判断一元二次方
程的根的情况。
01
02
03
当 $Delta > 0$ 时，方程有 两个不相等的实根；
当 $Delta = 0$ 时，方程有 两个相等的实根（即一个重
根）；
04
2024/1/25
05
当 $Delta < 0$ 时，方程无 实根，有两个共轭复根。
基本不等式性质
传递性
若$a > b$且$b > c$，则$a > c$。
正数乘法保序性
若$a > b > 0$且$c > d > 0$ ，则$ac > bd$。
对称性
若$a = b$，则$b = a$；若 $a > b$，则$b < a$。
2024/1/25
可加性
若$a > b$且$c > d$，则$a + c > b + d$。
2024/1/25
35
思考题与练习题
思考题：如何利用均值不 等式证明其他不等式？
2024/1/25
|x - 3| < 5
练习题：解下列不等式， 并在数轴上表示解集
(x + 1)/(x - 2) > 0
36
THANKS。
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37
次不等式组来解决。
12
03
一元二次不等式解法
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13
一元二次不等式概念
一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。
标准形式
$ax^2+bx+c>0$ 或 $ax^2+bx+c<0$，其中 $a neq 0$。
第四节 基本不等式
又因为m>0，n>0，所以
m1 ＋n2
(m＋n)＝3＋
n m
＋
2m n
≥3＋2
2 2，
当且仅当n＝ 2m时，取等号．
mn ·2nm ＝3＋
(2)因为3a＋b＝2ab，所以
3 2b
＋
1 2a
(2)依题意得21a＋21b＋a＋8 b＝a2＋abb＋a＋8 b＝a＋2 b＋a＋8 b≥2
a＋2 b×a＋8 b＝4，
当且仅当a＋2 b＝a＋8 b，即a＋b＝4时取等号．因此，21a＋21b＋a＋8 b的最小值为4. [答案] (1)D (2)4
[方法技巧] 1．拼凑法求最值 拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和 为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实 质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键． 2．拼凑法求解最值应注意的问题 (1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调 整，做到等价变形； (2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项时应注意检验利用基本不等式的条件．
(2)由(1)知y＝－m1＋6 1＋m＋1＋29(m≥0)． ∵当m≥0时，m1＋6 1＋(m＋1)≥2 m1＋6 1·m＋1＝8， 当且仅当m1＋6 1＝m＋1，即m＝3时取等号． ∴y≤－8＋29＝21， 即当m＝3时，y取得最大值21. ∴当该厂家2021年的促销费用投入3万元时，厂家获得的利润最大，为21万 元．
(m≥0)满足x＝3－
k m＋1
(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售
量只能是1万件．已知2021年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件
《基本不等式》 知识清单
《基本不等式》知识清单一、基本不等式的定义如果 a，b 是正数，那么\（＼sqrt{ab} ＼leq ＼frac{a ＋ b}｛2}＼），当且仅当 a ＝ b 时，等号成立。
其中，＼（＼frac{a ＋ b}｛2}＼）叫做正数 a，b 的算术平均数，＼（＼sqrt{ab}＼）叫做正数 a，b 的几何平均数。
基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
二、基本不等式的推导对于正数 a，b，有：＼（（＼sqrt{a} ＼sqrt{b}）＾2 ＼geq 0\）＼（a 2\sqrt{ab} ＋ b ＼geq 0\）＼（a ＋ b ＼geq 2\sqrt{ab}＼）＼（＼frac{a ＋ b}｛2} ＼geq ＼sqrt{ab}＼）当且仅当\（＼sqrt{a} ＝＼sqrt{b}＼），即 a ＝ b 时，等号成立。
三、基本不等式的几何解释以长为 a ＋ b 的线段为直径作圆，在直径 AB 上取点 C，使 AC ＝ a，CB ＝ b。
过点 C 作垂直于直径 AB 的弦 DE，连接 AD，DB。
根据圆的性质，可得\（CD ＝＼sqrt{ab}＼），而半径\（＼frac{a＋ b}｛2}＼）。
因为半径不小于弦长的一半，所以\（＼frac{a ＋ b}｛2} ＼geq ＼sqrt{ab}＼），当且仅当 C 为圆心时，等号成立，即 a ＝ b 。
四、基本不等式的变形1、＼（a^2 ＋ b^2 ＼geq 2ab\）（当且仅当 a ＝ b 时，等号成立）推导：＼（a^2 ＋ b^2 2ab ＝（a b)＾2 ＼geq 0\），所以\（a^2 ＋b^2 ＼geq 2ab\）2、＼（ab ＼leq （＼frac{a ＋ b}｛2}）＾2\）（当且仅当 a ＝ b 时，等号成立）推导：由基本不等式\（＼frac{a ＋ b}｛2} ＼geq ＼sqrt{ab}＼），两边平方可得\（ab ＼leq （＼frac{a ＋ b}｛2}）＾2\）3、＼（＼frac{b}｛a} ＋＼frac{a}｛b} ＼geq 2\）（a，b 同号且不为 0，当且仅当 a ＝ b 时，等号成立）推导：＼（＼frac{b}｛a} ＋＼frac{a}｛b} ＼geq 2\sqrt{＼frac{b}｛a} ＼times ＼frac{a}｛b}｝＝ 2\）五、用基本不等式求最值1、若两个正数的和为定值，则当这两个数相等时，它们的积取得最大值。
基本不等式ppt课件
a+b
当且仅当a
2
= b时，等号成立.
思考：如图，是圆的直径，点是上一点， = ，
D
= .过点作垂直于的弦，连接，.
a+b
ab
2
半径 = _______________，则
= _______________
与大小关系怎么样？
a+b
≥
(1)当积xy等于定值P时，
≥
2
证明：∵ x，y都是正数， ∴
1 2
时，积有最大值 .
4
xy.
p， ∴ x + y ≥ 2 p，
积定和最小
当且仅当x = y时，上式等号成立.
于是，当x = y时，和x + y有最小值2 p.
(2)当和x + y等于定值S时， xy ≤
S
，∴xy
2
当且仅当x = y，上式等号成立.
2
2
∴x +
4
]
2−x
4
，得x
2−x
4
的最大值为−2.
x−2
+ 2 ≤ −2 (2 − x)(
4
)
2−x
+ 2 = −2，
= 0或x = 4(舍去)，即x = 0时等号成立.
练习巩固
练习2：已知0 < < 1,求 1 − 的最大值.
解：∵0 < < 1，∴ 1 − x > 0
∴ 1 − ≤
∴x +
4
x+4
− 4 ≥ 2 (x + 4) ∙
4
，即x
x+4
4
的最小值为0.
基本不等式(很全面)
基本不等式【知识框架】1、基本不等式原始形式（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ （2）若R b a ∈,，则222b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式）若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+3、基本不等式的两个重要变形（1）若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 （2）若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、常用结论（1）若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”） （4）若R b a ∈,，则2)2(222b a b a ab +≤+≤ （5）若*,R b a ∈，则2211122b a b a ab+≤+≤≤+ 6、柯西不等式（1）若,,,a b c d R ∈，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+（2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有：22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++（3）设1212,,,,,,n n a a a b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅与b 是两组实数，则有22212(n a a a ++⋅⋅⋅+)22212)n b b b ++⋅⋅⋅+(21122()n n a b a b a b ≥++⋅⋅⋅+【题型归纳】题型一：利用基本不等式证明不等式题目1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥ba 112+题目2、已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：cabc ab c b a ++>++222题目3、已知1a b c ++=，求证：22213a b c ++≥题目4、已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：abc c b a 8)1)(1)(1(≥---题目5、已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：1111118⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪题目6、（新课标Ⅱ卷数学（理）设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明: (Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)2221a b c b c a ++≥.题型二：利用不等式求函数值域题目1、求下列函数的值域（1）22213x x y += （2）)4(x x y -=（3）)0(1>+=x x x y （4）)0(1<+=x x x y题型三：利用不等式求最值 （一）（凑项）1、已知2>x ，求函数42442-+-=x x y 的最小值；变式1：已知2>x ，求函数4242-+=x x y 的最小值；变式2：已知2<x ，求函数4242-+=x x y 的最大值；变式3：已知2<x ，求函数4224xy x x =+-的最大值；练习：1、已知54x >，求函数14245y x x =-+-的最小值；题目2、已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值；题型四：利用不等式求最值 （二）（凑系数）题目1、当时，求(82)y x x =-的最大值；变式1：当时，求4(82)y x x =-的最大值；变式2：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。
2021届步步高数学大一轮复习讲义(理科)第七章 7.4基本不等式及其应用
§7.4基本不等式及其应用1．基本不等式：ab≤a＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大)概念方法微思考1．若两个正数的和为定值，则这两个正数的积一定有最大值吗？提示 不一定．若这两个正数能相等，则这两个数的积一定有最大值；若这两个正数不相等，则这两个正数的积无最大值． 2．函数y ＝x ＋1x的最小值是2吗？提示 不是．因为函数y ＝x ＋1x 的定义域是{x |x ≠0}，当x <0时，y <0，所以函数y ＝x ＋1x 无最小值．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数f (x )＝cos x ＋4cos x，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2的最小值等于4.( × ) (2)“x >0且y >0”是“x y ＋yx≥2”的充要条件．( × )(3)(a ＋b )2≥4ab (a ，b ∈R )．( √ )(4)若a >0，则a 3＋1a 2的最小值为2a .( × )题组二 教材改编2．设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81 D ．82 答案 C解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋y2≥xy ，即xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max ＝81. 3．若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m 2. 答案 25解析 设矩形的一边为x m ，面积为y m 2， 则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ，其中0<x <10，∴y ＝x (10－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋(10－x )22＝25， 当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25.题组三 易错自纠4．“x >0”是“x ＋1x ≥2成立”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 当x >0时，x ＋1x≥2x ·1x＝2. 因为x ，1x 同号，所以若x ＋1x ≥2，则x >0，1x >0，所以“x >0”是“x ＋1x ≥2成立”的充要条件，故选C.5．若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( )A ．1＋ 2B ．1＋ 3C ．3D ．4答案 C解析 当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3，故选C. 6．若正数x ，y 满足3x ＋y ＝5xy ，则4x ＋3y 的最小值是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案 D解析 由3x ＋y ＝5xy ，得3x ＋y xy ＝3y ＋1x ＝5，所以4x ＋3y ＝(4x ＋3y )·15⎝⎛⎭⎫3y ＋1x ＝15⎝⎛⎭⎫4＋9＋3y x ＋12x y ≥15(4＋9＋236)＝5， 当且仅当3y x ＝12x y ，即x ＝12，y ＝1时，“＝”成立，故4x ＋3y 的最小值为5.故选D.利用基本不等式求最值命题点1 配凑法例1 (1)已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________． 答案 23解析 x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x )≤13·⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋(4－3x )22＝43， 当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时，取等号．(2)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取得最小值，则a 等于( ) A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4答案 C解析 ∵x >2，∴x －2>0， f (x )＝x ＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)·1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时取等号，故a ＝3.(3)已知函数f (x )＝－x 2x ＋1(x <－1)，则( )A ．f (x )有最小值4B ．f (x )有最小值－4C ．f (x )有最大值4D ．f (x )有最大值－4答案 A解析 f (x )＝－x 2x ＋1＝－x 2－1＋1x ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋1x ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1＋1x ＋1－2 ＝－(x ＋1)＋1－(x ＋1)＋2.因为x <－1，所以x ＋1<0，－(x ＋1)>0， 所以f (x )≥21＋2＝4，当且仅当－(x ＋1)＝1－(x ＋1)，即x ＝－2时，等号成立．故f (x )有最小值4. 命题点2 常数代换法例2 若直线2mx －ny －2＝0(m >0，n >0)过点(1，－2)，则1m ＋2n 的最小值为( )A ．2B ．6C ．12D ．3＋2 2 答案 D解析 由题意知2m ＋2n ＝2，即m ＋n ＝1， ∴1m ＋2n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋2n (m ＋n )＝3＋n m ＋2mn ≥3＋22， 当且仅当n m ＝2mn ，即n ＝2－2，m ＝2－1时取等号．命题点3 消元法例3 若正数x ，y 满足x 2＋6xy －1＝0，则x ＋2y 的最小值是( ) A.223 B.23 C.33 D.233答案 A解析 由题意知y ＝1－x 26x，由⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，即⎩⎨⎧x >0，1－x 26x>0，解得0<x <1.∴x ＋2y ＝x ＋1－x 23x ＝2x 3＋13x ≥223，当且仅当2x 3＝13x ，即x ＝22时取等号．思维升华 (1)前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式． (3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法．跟踪训练1 (1)(2020·云南师大附中适应性考试)已知正数a ，b 满足a ＋2b ＋ab ＝6，则a ＋2b 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8 答案 B解析 6＝ab ＋(a ＋2b )＝12×a ×2b ＋(a ＋2b )≤12×(a ＋2b )24＋(a ＋2b )，所以a ＋2b ≥4或a ＋2b ≤－12(舍去)， 当且仅当a ＝2b ＝2时取等号， 所以a ＋2b 的最小值为4.(2)若直线l ：ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)过点(－1,2)，当2a ＋1b 取最小值时直线l 的斜率为( )A ．2 B.12 C. 2 D ．2 2答案 A解析 因为直线l 过点(－1,2)，所以－a －2b ＋2＝0，即a ＋2b2＝1，所以2a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ·a ＋2b 2＝12⎝⎛⎭⎫4＋4b a ＋a b ≥12⎝⎛⎭⎫4＋24b a ×a b ＝4， 当且仅当4b a ＝a b ，即a ＝1，b ＝12时取等号，所以斜率ab＝2，故选A.基本不等式的综合应用命题点1 基本不等式与其他知识交汇的最值问题例4 (2020·贵州遵义第一次统考)已知函数f (x )＝log a (x ＋3)－1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋4＝0上，其中mn >0，则1m ＋1＋2n 的最小值为________．答案 43解析 函数f (x )＝log a (x ＋3)－1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点(－2，－1)， 所以A (－2，－1)，将A (－2，－1)代入到直线mx ＋ny ＋4＝0中， 得2m ＋n ＝4，即2(m ＋1)＋n ＝6，所以1m ＋1＋2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1＋2n ×16×[2(m ＋1)＋n ]＝16⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋n m ＋1＋4(m ＋1)n ＋2≥16(2＋2×2＋2)＝43， 当且仅当n m ＋1＝4(m ＋1)n ，即m ＝12，n ＝3时等号成立．命题点2 求参数值或取值范围例5 已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 答案 B解析 已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，只要求(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋ay 的最小值大于或等于9，∵1＋a ＋y x ＋axy ≥a ＋2a ＋1，当且仅当y ＝ax 时，等号成立， ∴a ＋2a ＋1≥9，∴a ≥2或a ≤－4(舍去)，∴a ≥4， 即正实数a 的最小值为4，故选B.思维升华 求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．跟踪训练2 (1)已知函数f (x )＝ax 2＋bx (a >0，b >0)的图象在点(1，f (1))处的切线的斜率为2，则8a ＋bab的最小值是( ) A ．10 B ．9 C ．8 D ．3 2答案 B解析 由函数f (x )＝ax 2＋bx ，得f ′(x )＝2ax ＋b ， 由函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线斜率为2， 所以f ′(1)＝2a ＋b ＝2，所以8a ＋b ab ＝1a ＋8b ＝12⎝⎛⎭⎫1a ＋8b (2a ＋b ) ＝12⎝⎛⎭⎫10＋b a ＋16a b ≥12⎝⎛⎭⎫10＋2b a ·16a b ＝12(10＋8)＝9， 当且仅当b a ＝16a b ，即a ＝13，b ＝43时等号成立，所以8a ＋bab的最小值为9，故选B.(2)在△ABC 中，A ＝π6，△ABC 的面积为2，则2sin C sin C ＋2sin B ＋sin Bsin C的最小值为( )A.32 B.334C.32D.53答案 C解析 由△ABC 的面积为2，所以S ＝12bc sin A ＝12bc sin π6＝2，得bc ＝8，在△ABC 中，由正弦定理得 2sin C sin C ＋2sin B ＋sin B sin C ＝2c c ＋2b ＋bc＝2·8b8b ＋2b ＋b 8b ＝168＋2b 2＋b 28 ＝84＋b 2＋b 2＋48－12≥284＋b 2·b 2＋48－12＝2－12＝32，当且仅当b ＝2，c ＝4时，等号成立，故选C.基本不等式的实际应用例6 (1)(2017·江苏)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________． 答案 30解析 一年的总运费为6×600x ＝3 600x(万元)． 一年的总存储费用为4x 万元．总运费与总存储费用的和为⎝⎛⎭⎫3 600x ＋4x 万元． 因为3 600x＋4x ≥23 600x·4x ＝240， 当且仅当3 600x＝4x ，即x ＝30时取得等号，所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．(2)某人准备在一块占地面积为1 800 m 2的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1 m 的小路(如图所示)，大棚总占地面积为S m 2，其中a ∶b ＝1∶2，则S 的最大值为________．答案 1 568解析 由题意可得xy ＝1 800，b ＝2a ，x >3，y >3， 则y ＝a ＋b ＋3＝3a ＋3，所以S ＝(x －2)a ＋(x －3)b ＝(3x －8)a ＝(3x －8)y －33＝1 808－3x －83y＝1 808－3x －83×1 800x＝1 808－⎝⎛⎭⎫3x ＋4 800x ≤1 808－23x ×4 800x＝1 808－240＝1 568，当且仅当3x ＝4 800x ，即x ＝40，y ＝45时等号成立，S 取得最大值，所以当x ＝40，y ＝45时，S 取得最大值为1 568.思维升华 利用基本不等式求解实际问题时根据实际问题抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值．跟踪训练3 某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4 800 m 3，深度为3 m ．如果池底每1 m 2的造价为150元，池壁每1 m 2的造价为120元，要使水池总造价最低，那么水池底部的周长为________ m. 答案 160解析 设水池底面一边的长度为x m ，则另一边的长度为4 8003x m ，由题意可得水池总造价f (x )＝150×4 8003＋120⎝⎛⎭⎫2×3x ＋2×3×4 8003x ＝240 000＋720⎝⎛⎭⎫x ＋1 600x (x >0)， 则f (x )＝720⎝⎛⎭⎫x ＋1 600x ＋240 000 ≥720×2x ·1 600x＋240 000＝720×2×40＋240 000＝297 600，当且仅当x ＝1 600x ，即x ＝40时，f (x )有最小值297 600，此时另一边的长度为4 8003x＝40(m)，因此，要使水池的总造价最低，水池底部的周长应为160 m.1．函数f (x )＝x 2＋4|x |的最小值为( )A ．3B ．4C ．6D ．8 答案 B解析 f (x )＝x 2＋4|x |＝|x |＋4|x |≥24＝4，当且仅当x ＝±2时，等号成立，故选B. 2．“a >b >0”是“ab <a 2＋b 22”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由a >b >0得a 2＋b 2>2ab ， 但由a 2＋b 2>2ab 不能得到a >b >0，故“a >b >0”是“ab <a 2＋b 22”的充分不必要条件．3．已知x >0，y >0，且x ＋2y ＝2，则xy ( ) A ．有最大值为1 B ．有最小值为1 C ．有最大值为12D ．有最小值为12答案 C解析 ∵x >0，y >0，且x ＋2y ＝2， ∴x ＋2y ≥2x ·2y ， 即xy ≤12，当且仅当x ＝2y ，即x ＝1，y ＝12时等号成立，∴xy 有最大值，最大值为12.4．若实数x ，y 满足xy ＋6x ＝4⎝⎛⎭⎫0<x <23，则4x ＋1y 的最小值为( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．32 答案 B解析 实数x ，y 满足xy ＋6x ＝4⎝⎛⎭⎫0<x <23， ∴x ＝4y ＋6∈⎝⎛⎭⎫0，23，y >0， 则4x ＋1y ＝y ＋6＋1y ≥2＋6＝8， 当且仅当y ＝1，x ＝47时取等号．∴4x ＋1y的最小值为8. 5．若a >0，b >0，lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，则a ＋b 的最小值为( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．2答案 C解析 由lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，得lg(ab )＝lg(a ＋b )，即ab ＝a ＋b ，则有1a ＋1b ＝1，所以a ＋b＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·ab＝4，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，所以a ＋b 的最小值为4，故选C.6．(2020·西南名校联盟适应性考试)已知x >0，y >0，且x ＋2y ＝1，则x 2＋y xy 的最小值是( )A ．3－2 2B ．22＋1 C.2－1 D.2＋1答案 B解析 x 2＋y xy ＝x 2＋(x ＋2y )y xy ＝x y ＋1＋2y x ≥22＋1，当且仅当x ＝2y ，即x ＝2－1，y ＝1－22时等号成立． 7．已知a >0，b >0，且2a ＋b ＝4，则1ab 的最小值是________．答案 12解析 ∵a >0，b >0，∴4＝2a ＋b ≥22ab ，即ab ≤2， 当且仅当a ＝1，b ＝2时等号成立， ∴1ab ≥12. 8．用一根长为12的钢筋焊接一个正三棱柱形状的广告牌支架，则该三棱柱的侧面积的最大值是________． 答案 6解析 设正三棱柱的底边长为x ，高为y ，则6x ＋3y ＝12， ∴12＝6x ＋3y ≥218xy ，∴xy ≤2，∴3xy ≤6，当且仅当x ＝1，y ＝2时取等号， 故三棱柱的侧面积的最大值为6.9．设x ，y 均为正数，且xy ＋x －y －10＝0，则x ＋y 的最小值是________． 答案 6解析 由xy ＋x －y －10＝0，得x ＝y ＋10y ＋1＝9y ＋1＋1，∴x ＋y ＝9y ＋1＋1＋y ≥29y ＋1·(1＋y )＝6， 当且仅当9y ＋1＝1＋y ，即x ＝4，y ＝2时，等号成立．10．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________．答案 23＋2解析 ∵x >1，∴x －1>0，∴y ＝x 2＋2x －1＝(x 2－2x ＋1)＋(2x －2)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2.当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时，等号成立．11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若ac ＝4，sin B ＋2sin C cos A ＝0，求△ABC 面积的最大值．解 由正弦定理得，b ＋2c cos A ＝0，由余弦定理得b ＋2c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝0，即2b 2＝a 2－c 2，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－a 2－c 222ac ＝a 2＋3c 24ac≥23ac 4ac ＝32， 当且仅当c 2＝433，b 2＝433，a 2＝43时取等号，∴B ∈⎝⎛⎦⎤0，π6，∴0<sin B ≤12， 则S △ABC ＝12ac sin B ≤12×4×12＝1，∴△ABC 面积的最大值为1. 12．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20.(1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)求1x ＋1y 的最小值．解 (1)∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy . ∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10， 当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2)∵x >0，y >0，∴1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝⎛⎭⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝⎛⎭⎫7＋2 5y x ·2x y ＝7＋21020， 由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.当且仅当x ＝1010－203，y ＝20－4103时，等号成立．∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020.13．在△ABC 中，点P 满足BP →＝2PC →，过点P 的直线与AB ，AC 所在直线分别交于点M ，N ，若AM →＝mAB →，AN →＝nAC →(m >0，n >0)，则m ＋2n 的最小值为( ) A ．3 B ．4 C.83 D.103答案 A解析 ∵AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋23()AC →－AB → ＝13AB →＋23AC →＝13m AM →＋23n AN →， ∵M ，P ，N 三点共线，∴13m ＋23n ＝1，∴m ＋2n ＝(m ＋2n )⎝⎛⎭⎫13m ＋23n ＝13＋43＋2n 3m ＋2m 3n ≥53＋22n 3m ×2m 3n＝53＋43＝3， 当且仅当m ＝n ＝1时等号成立．14．已知△ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2－bc ，且△ABC 的面积为334，则a 的最小值为________． 答案3解析 由题意得b 2＋c 2－a 2＝bc ， ∴2bc cos A ＝bc ，∴cos A ＝12，∴A ＝π3.∵△ABC 的面积为334，∴12bc sin A ＝343，∴bc ＝3. ∵a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴a 2≥2bc －bc ＝bc ＝3(当且仅当b ＝c ＝3时，等号成立)， ∴a ≥ 3.15．已知a >b >0，那么a 2＋1b (a －b )的最小值为________． 答案 4解析 由a >b >0，得a －b >0， ∴b (a －b )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋a －b 22＝a 24， ∴a 2＋1b (a －b )≥a 2＋4a 2≥2a 2·4a2＝4， 当且仅当b ＝a －b ，且a 2＝4a 2，即a ＝2，b ＝22时取等号． ∴a 2＋1b (a －b )的最小值为4. 16．已知P 为椭圆x 24＋y 23＝1上一个动点，过点P 作圆(x ＋1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别是A ，B ，则P A →·PB →的取值范围为( ) A.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤32，569 C.⎣⎡⎦⎤22－3，569 D.[)22－3，＋∞答案 C解析 如图，由题意设∠APB ＝2θ，则|P A |＝|PB |＝1tan θ， ∴P A →·PB →＝|P A →||PB →|cos 2θ＝1tan 2θ·cos 2θ＝1＋cos 2θ1－cos 2θ·cos 2θ， 设cos 2θ＝t ，则P A →·PB →＝t (1＋t )1－t ＝(1－t )＋21－t－3 ≥2(1－t )·21－t－3＝22－3， 当且仅当1－t ＝21－t，即t ＝1－2时等号成立， 此时cos 2θ＝1－ 2.又当点P 在椭圆的右顶点时，sin θ＝13， ∴cos 2θ＝1－2sin 2θ＝79， 此时P A →·PB →最大，且最大值为1＋791－79×79＝569. ∴P A →·PB →的取值范围是⎣⎡⎦⎤22－3，569.故选C.。
基本不等式优秀PPT课件
E
Rt三角形ACD与Rt三角形DCB相似
a CD CD b
CD2 ab CD ab
a b ab (当且仅当a b时，取" "号)
2
基本不等式的几何意义是：“.半径不小于半弦。” 11
1.如图,AB是圆o的
P
直径，Q是AB上任
一点，
AQ=a,BQ=b,过
点Q作垂直于AB的
A
ao
Qb
B
弦PQ，连AP,aBbP,
则半弦PQa=__b __,
半径AO=__2___
你能用这个图得出基本 2.PQ与AO的大小关系怎样
不等式的几何解释吗?
动态演示
几何意义：圆的半径不小于圆内半弦长
.
12
证明:当 a 0,b 0 时,a b ab . 2
证明:要证 a b ab ① 2
只要证 a b ( 2 ab ) ②
那么错在哪里？
１．已知函数 f (x)
x
1
，求函数的
最小值和此时x的取值． x
运用均值不等式的过程中，忽略了“正数”这个
条件．
.
30
２．已知函数
f (x) x 3 (x 2) x2
，
求函数的最小值．
用均值不等式求最值，必须满足“定值”这个 条件．
.
31
a2 b2
b
B
C a2 +b2 > 2ab
S四个三角形 2ab S大正方形 a2 b2
.
4
新课探究
特别地，当a=b时又有怎样的结论？
D
a2 +b2 =2ab
A
a GHFE
C
b
.
5
〖2021年整理〗《基本不等式》优秀教案
课时2 基本不等式任远一、教学目标（一）核心素养通过学习重要不等式222a b ab +≥推导出基本不等式，即两个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数，进而推广到三个正数的情形。
使学生掌握从旧知到新知，再推广的思想方法．（二）学习目标1学会推导并掌握均值不等式定理；2能利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式3．能够简单应用定理证明不等式并解决一些简单的实际问题（三）学习重点均值不等式定理的证明及应用（四）学习难点等号成立的条件及解题中的转化技巧二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第5页至第9页，填空：①22a b + 2ab ，当且仅当 时，等号成立，其中,a b ∈ ；，当且仅当 时，等号成立，其中,a b ∈ ； ③3a b c ++≥ ，当且仅当 时，等号成立，其中,,a b c ∈ ； （2）想一想：（1）中三个结论等号成立条件有什么区别？它们有什么应用？答：①中等号成立时，,a b ∈R ；②③中等号成立时,(0,)a b ∈+∞应用于求函数的最值2．预习自测（1）两个正数的算术平均数 它们的几何平均数A ．大于B ．小于C ．不大于D ．不小于【知识点】基本不等式【解答过程】两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数【思路点拨】掌握基本不等式【答案】D ．（2）若6x y +=，则xy 的最大值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【知识点】基本不等式 【解题过程】由2()2x y xy +≤，得26()2xy ≤，即9xy ≤，当且仅当3x y ==时，等式成立 【思路点拨】注意使用基本不等式时的条件【答案】D ．（3）函数2sin ,(0,]sin 2y x x x π=+∈的最小值为（ ）A ．B ．3C ．4D ．5【知识点】基本不等式【解题过程】2sin sin y x x =+≥当且仅当2sin sin x x =即sin x =取等号，不满足sin [0,1]x ∈，当2x π=时，min 3y =【思路点拨】注意使用基本不等式时的取得条件【答案】B（4）已知三个正数,,a b c 满足27abc =，则24a b c ++的最小值为（ ）A ．21B ．18C ．15D ．12【知识点】三个正数的均值不等式【解题过程】由243a b c ++≥，2418a b c ++≥=，当且仅当24a b c ==即36,3,2a b c ===取等号 【思路点拨】【答案】B二课堂设计1.知识回顾（1）比较两个实数的大小可用作差比较法（2）0;0;0a b a b a b a b a b a b >⇔->=⇔-=<⇔-<（3）运用不等式的基本性质时要注意两边同乘一个数时的正负2．问题探究探究一 认识基本不等式●活动① 重要不等式定理1 如果,a b ∈R ，那么222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立证明：由作差比较法得，222()2()0a b ab a b +-=-≥，且当且仅当a b =时，等式成立几何解释：如果把实数,a b 作为线段长度，那么可以这样a b ≥解释定理1（以为例）如图，在正方形ABCD 中，AB a =；在正方形CEFG 中，EF b =那么22ABCD CEFG S S a b +=+正方形正方形矩形,BCGH JCDI 的长均为a ，宽均为b ，它们面积之和为2BCGH JCDI S S ab +=矩形正方形以上两个矩形的公共部分为以边长为b 的正方形，其面积为2b ，所以上述两个矩形面积之和2ab 就等于图中阴影部分的面积，它不大于两个正方形的面积之和，即222a b ab +≥，当且仅当a b =时，两个矩形成为两个正方形，阴影部分面积等于两个正方形面积之和，即222a b ab +=【设计意图】认识重要不等式，回顾作差比较法．●活动② 基本不等式将定理1作简单的恒等变形，就可以得到以下的基本不等式：定理2（基本不等式） 如果,0a b >，那么2a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立 证明：因为22((22a b a b a b ab +=+≥=所以2a b ab +≥，a b =，即a b =时，等号成立几何解释：如图，CD 是Rt ABC ∆中斜边AB 上的高，OC 是斜边AB 上的中线，,AD a BD b ==于是，11()22OC AB a b ==+由Rt DCA ∆∽Rt DCB ∆，得2CD AD BD =⋅，即CD ab =，易知，OC CD ≥，且当且仅当,O D 重合时OC CD =，所以2a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立 综上所述，基本不等式的几何意义是：直角三角形斜边上的中线不小于斜边上的高如果,a b 都是正数，我们就称2a b +为,a b ab 为,a b 的几何平均数于是，基本不等式可以表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数【设计意图】通过对基本不等式的证明，加深对基本不等式的理解，突破重点．●活动③ 了解基本不等式的使用步骤基本不等式可以用证明不等式以及求某些代数式的最值，使用时要注意：“一正”：使用基本不等式的两个数或式必须是正数；“二定”：求最值时，使用基本不等式的两个数或式应该和或积为定值；“三相等”：要验证能否取得等号，若能，则所求为最值，否则，不是，可参考双勾函数的图像求最值 由基本不等式2a b ab +≥，得2()2,4a b a b ab ab ++≥≤： （1）当积为定值时，和有最小值，为ab（2）当和为定值时，积有最大值，为2()4a b + 【设计意图】通过对基本不等式的分析，了解基本不等式的用法探究二 三个正数的均值不等式●活动① 认识三个正数的均值性质类比基本不等式的形式，我们猜想，对于3个正数,,a b c ，可能有：如果,,a b c +∈R ，那么33a b c abc ++≥a b c ==时，等号成立 如何证明这个猜想呢？仍然类比基本不等式的推出过程，我们先证明：已知,,a b c +∈R ，那么3333a b c abc ++≥，当且仅当a b c ==时，等号成立证明：因为33332233()333a b c abc a b a b ab c abc ++-=+--+-332222()333()(()())3()a b c a b ab abc a b c a b a b c c ab a b c =++---=+++-++-++22222()(()()3)()()a b c a b a b c c ab a b c a b c ab ac bc =+++-++-=++++---2221()(()()())02a b c a b b c a c =++-+-+-≥ 所以3333a b c abc ++≥，当且仅当a b c ==时，等号成立对上述结果作简单的恒等变形，就可以得到定理3 如果,,a b c +∈R ，那么3a b c ++≥，当且仅当a b c ==时，等号成立 这个不等式可以表述为：三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数事实上，基本不等式可以推广到一般的情形，对于n 个正数12,,,n a a a ，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，即122n n n a a a a n +++≥，当且仅当12n a a a ===时，等号成立 【设计意图】通过对三个正数均值不等式的认识，为后面的运用做好铺垫．探究三 均值不等式的应用●活动① 利用基本不等式求最值例1 求函数12(0)y x x x=+>的最小值 【知识点】基本不等式【解题过程】解：12y x x =+≥=当且仅当12x x =，即x =时取等号，所以函数12(0)y x x x =+>的最小值为【思路点拨】掌握利用基本不等式求函数最值【答案】同类训练 求函数12(0)y x x x=+<的最大值 【知识点】基本不等式【解题过程】解：112((2)())y x x x x =+=--+-≤-=-，当且仅当12x x-=-，即x =号，所以函数12(0)y x x x=+<的最大值为- 【思路点拨】注意使用基本不等式求函数最值时的条件【答案】-同类训练 求函数12(1)y x x x=+≥的最小值 【知识点】基本不等式【数学思想】数形结合思想【解题过程】由双勾函数12(1)y x x x=+≥的图像可知，函数在[1,)+∞上单调递增，所以12(1)y x x x=+≥的最小值为3 【思路点拨】由例1可知，使用基本不等式求此函数最值时，无法取等号，可利用双勾函数的图像求最值【答案】3例2 求函数14(1)1y x x x =+>-的最小值 【知识点】基本不等式，换元法【解题过程】法1：（配凑法）1144(1)44811y x x x x =+=-++≥+=--，当且仅当14(1)1x x -=-，即32x =时取等号法2：（换元法）令1(0)x t t -=>，则114(1)4448y t t t t =++=++≥+=，当且仅当14t t=，即13,22t x ==时取等号 【思路点拨】配凑法与换元法实质相同，都要注意使用基本不等式的条件【答案】8同类训练 求函数2449(1)1x x y x x ++=>-+的最小值 【知识点】基本不等式，换元法【解题过程】令1(0)x t t +=>，则224(1)4(1)9449944t t t t y t t t t-+-+-+===+-48≥-=，当且仅当94t t =，即31,22t x ==时取等号 【思路点拨】与例2为同类型题目，可使用换元法，利用基本不等式同类训练 求函数y =的最小值【知识点】基本不等式，换元法【数学思想】数形结合思想【解题过程】令(2)t t =≥，则2112t y t t t +==+≥，当且仅当1t =时取等号，不满足2t ≥，由双勾函数图像可知，函数在[2,)+∞单调递增，所以函数的最小值为52【思路点拨】当类似基本不等式的类型不能取等号时，可考虑利用双勾函数图像【答案】2【设计意图】通过对例题的讲解，使学生掌握利用基本不等式求函数的最值．●活动② 求含双变量的代数式的最值例3 若236(0,0)x y x y +=>>，求以下代数式的最值:①xy 的最大值；②213x y+的最小值 【知识点】基本不等式【解题过程】①236x y +=≥，所以32xy ≤,当且仅当233x y ==，即3,12x y ==时取等号；②2121112613()(23)(5)(53366362x y x y x y x y y x +=++=++≥+=,当且仅当263x y y x=，即22,3x y ==时取等号【思路点拨】注意利用基本不等式求代数式的最值的方法 【答案】①32 ②32同类训练 已知211,,2m n m n +∈+=R ，求2m n +的最小值 【知识点】基本不等式【解题过程】2142(2)()22(4)2(416n m m n m n m n m n +=++⋅=++≥+=，当且仅当4n m m n=，即8,4m n ==时取等号 【思路点拨】掌握“1”的代换的应用例4 已知2234(0,0)32x y xy x y +-=>>，求2x y +的最大值 【知识点】基本不等式 【解题过程】由223432x y xy +-=，得23(2)532x y xy +-=， 所以223552(2)2()32222x y x y x y ++-=⋅≤，即233(2)832x y +≤，所以122x y +≤，当且仅当11,48x y ==时取等号【思路点拨】在“积”与“和”的混合关系中，要明确保留和变换的分别是哪一部分 【答案】12同类训练 已知0,0,228x y x y xy >>++=，求2x y +的最小值【知识点】基本不等式【解题过程】因为228x y xy ++=，所以2(2)28(2)4x y x y x y +⋅=-+≤， 所以2(2)4(2)320x y x y +++-≥，即(28)(24)0x y x y +++-≥，因为0,0x y >>，所以24x y +≥，当且仅当2x y =，即2,1x y ==时取等号【思路点拨】掌握利用基本不等式求“积”与“和”的最值【答案】4【设计意图】通过对例题的讲解，掌握利用基本不等式求含双变量的代数式的最值．●活动③ 三个正数的均值不等式的应用例5 求函数242(0)y x x x=+>最小值 【知识点】三个正数的均值不等式【解题过程】22226y x x x =++≥=，当且仅当222x x=,即1x =时取等号 【思路点拨】掌握利用三个三个正数的均值不等式求最值【答案】6同类训练 把一块边长是3的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线折转做成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？【知识点】三个正数均值不等式【解题过程】解：设切去的正方形边长为x ，无盖方底盒子的容积为V ，则231132324(32)(32)(32)4()2443x x x V x x x x x -+-+=-=-⋅-⋅≤= 当且仅当324x x -=，即12x =时取等号 【思路点拨】掌握利用三个正数的均值不等式解决实际问题 【答案】当切去的正方形边长是12时，才能使盒子的容积最大 【设计意图】通过对例题的讲解，掌握利用三个正数的均值不等式求代数式的最值． 3 课堂总结知识梳理（1）两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．（2）运用基本不等式求最值时要注意：一正、二定、三相等．（3）利用三个正数的均值不等式求最值时要注意取等条件．重难点归纳（1）正确理解基本不等式的意义．（2）灵活应用均值不等式求代数式的最值．（三）课后作业基础型 自主突破1．下列各式中，最小值等于2的是A xyy x + C ．1tan tan θθ+ D ．22x x -+【知识点】基本不等式【解题过程】因为20,20x x ->>，所以22x x -+≥当且仅当22x x -=，即0x =时，等号成立．【思路点拨】利用基本不等式求最值【答案】D2．设,R x y ∈且5x y +=，则33x y +的最小值是A ．10B ．C ．D ．【知识点】基本不等式【解题过程】33x y +≥==当且仅当52x y ==时，等号成立．【思路点拨】利用基本不等式求最值【答案】D3．设,x y 为正数，则14()()x y x y++的最小值为 A ．6 B ．9 C ．12 D ．15【知识点】基本不等式【解题过程】,x y 为正数，144()()559y x x y x y x y ++=++≥+=，当且仅当4y x x y=，即2y x =时等号成立【思路点拨】利用基本不等式求最值【答案】B4．若直线1(0,0)x y a b a b+=>>过点(1,1)，则a b +的最小值等于 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【知识点】基本不等式 【解题过程】因为直线1(0,0)x y a b a b +=>>过点(1,1)，所以111a b+=所以11()()224a b a b a b a b b a +=++=++≥+=，当且仅当2a b ==时，等号成立． 【思路点拨】利用基本不等式求最值【答案】C5．设0x >，则函数133y x x=--的最大值是________． 【知识点】基本不等式【解题过程】11333(3)3y x x x x =--=-+≤-，当且仅当13x x =，即x = 【思路点拨】利用基本不等式求最值时，注意使用条件【答案】3-6．设,,R x y z +∈，且6x y z ++=，则lg lg lg x y z ++的取值范围是A ．(,lg 6]-∞B ．(,3lg 2]-∞C ．[lg 6,)+∞D ．[3lg 2,)+∞【知识点】基本不等式；对数的运算【解题过程】因为lg lg lg ()x y z lg xyz ++=，而33()23x y z xyz ++≤= 【思路点拨】利用基本不等式求最值 所以3lg lg lg ()lg 23lg 2x y z lg xyz ++=≤=，当且仅当2x y z ===时取等号．【答案】B能力型 师生共研7．已知不等式1()()9a x y x y++≥对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为 A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【知识点】基本不等式；恒成立 【解题过程】不等式1()()9a x y x y++≥对任意正实数,x y 恒成立，则min 1(()())9a x y x y ++≥，21()()111)a y ax x y a a x y x y++=+++≥++=，得到21)9+≥，2≥4≤-舍去．即正实数a 的最小值为4 【思路点拨】利用基本不等式求最值【答案】B8．若log 2x y =-，则x y +的最小值是【知识点】三个正数的均值不等式；对数的运算【解题过程】当log 2x y =-，得2x y -=且0,0x y >>，221122x x x y x x x +=+=++≥=当且仅当212x x=，即x =时取等号． 【思路点拨】利用基本不等式求最值【答案】A探究型 多维突破9．定义运算“*”：22*(,,0)R x y x y x y xy xy-=∈≠，当0,0x y >>时，*(2)*x y y x +的最小值为________．【知识点】基本不等式．【数学思想】转化与化归思想 【解题过程】因为22*(,,0)x y x y x y xy xy-=∈≠R ，所以22222242*(2)*222x y y x x y x y x y y x xy yx xy y x --++=+==+≥=，当且仅当2x y y x=，即x =时等号成立【思路点拨】利用基本不等式求最值25()(52)(0)2f x x x x =-<<． 【知识点】三个正数的均值不等式 【解题过程】231145252250()(52)=4(52)(52)()44327x x x f x x x x x x +-+-=-⋅⋅-⋅-≤=， 当且仅当452x x =-，即56x =时，等号成立． 【思路点拨】利用基本不等式求最值【答案】错误!自助餐11.若不等式240x ax ++≥对一切(0,1]x ∈恒成立，则a 的取值范围为（ ）A [0,)+∞B [4,)-+∞C [5,)-+∞D [4,4]-【知识点】基本不等式；恒成立问题．【数学思想】转化与化归思想【解题过程】由240x ax ++≥，得4a x x -≤+，所以min 4(),(0,1]a x x x -≤+∈，因为45x x +≥，当且仅当1x =时取等号，所以5a -≤，即5a ≥-．【思路点拨】利用基本不等式求最值【答案】D12．直线220(,)ax by a b R ++-=∈平分圆222460x y x y +---=，则21a b+的最小值是（ ） 2 22【知识点】基本不等式；圆．【解题过程】由题可得，直线220(,)ax by a b ++-=∈R 过圆心(1,2)，所以1(,)a b a b ++=∈R 所以21212=()()33a b a b a b a b b a +++=++≥+，当且仅当2a b b a=，即21a b ==-时等号成立 【思路点拨】利用基本不等式求最值【答案】D13．已知正数x y 、满足3xy x y =++，则xy 的取值范围是【知识点】基本不等式【解题过程】3xy x y =++≥，3≥1≤-（舍去），即9xy ≥，当且仅3x y ==时取等号【思路点拨】利用基本不等式求最值【答案】[9,)+∞14．已知函数()2x f x =，点(,)P a b 在函数1(0)y x x =>的图象上，那么()()f a f b ⋅的最小值是________．【知识点】基本不等式【解题过程】点(,)P a b 在函数1(0)y x x =>的图象上，所以有1ab =因为0,0a b >>，所以()()=224a b f a f b +⋅≥=，当且仅当1a b ==时，等号成立．【思路点拨】利用基本不等式求最值【答案】415．设,,0x y z >且346x y z ++=，则23x y z 的最大值是_________．【知识点】n 个正数的均值不等式【解题过程】因为634422x x x y z y y y z =++=+++++≥，所以231x y z ≤，当且仅当42x y z ==，即12,1,4x y z ===时取等号 【思路点拨】利用三个正数的均值不等式求最值【答案】116某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2021年法国欧洲杯期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销售量x 万件与年促销费t 万元之间满足3x -与1t +成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件．已知2021年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每个促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．1若计划2021年生产的化妆品正好能销售完，试将2021年的利润y 万元表示为促销费t 万元的函数；2该企业2021年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？【知识点】基本不等式【数学思想】函数与方程思想【解题过程】1由题意可设31k x t -=+，将0,1t x ==代入，得2k =所以231x t =-+ 当年生产x 万件时，年生产成本为232332(3)31x t +=-++，当销售x 万件时，年销售收入为211.5[32(3)3]12t t -+++ 由题意，生产x 万件化妆品正好销完，得年利润29835(0)2(1)t t y t t -++=≥+．2令1(1)t λλ=+≥，则2(1)98(1)353250()504222y λλλλλ--+-+==-+≤-=， 当且仅当32=2λλ，即8λ=，7t =时等号成立 【思路点拨】利用基本不等式解决实际问题【答案】（1）29835(0)2(1)t t y t t -++=≥+；（2）当促销费定在7万元时，年利润最大。
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第四节 基本不等式[最新考纲] 1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 2．几个重要的不等式3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)x ＋y ≥2xy ，若xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p (简记：积定和最小)．(2)xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，若x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值q 24(简记：和定积最大)．[常用结论] 重要不等式链 若a ≥b ＞0，则a ≥a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b ≥b .一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( )(2)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2的最小值等于4. ( )(3)x >0，y >0是x y ＋yx ≥2的充要条件． ( ) (4)若a >0，则a 3＋1a 2的最小值为2a . ( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)× 二、教材改编1．设x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81 D ．82C [xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，等号成立．故选C.] 2．若x ＞0，则x ＋4x ( ) A ．有最大值，且最大值为4 B ．有最小值，且最小值为4 C ．有最大值，且最大值为2 2 D ．有最小值，且最小值为2 2 B [x ＞0时，x ＋4x ≥2x ×4x ＝4，当且仅当x ＝2时等号成立．故选B.]3．若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是 m 2.25 [设一边长为x m ，则另一边长可表示为(10－x )m ，由题知0＜x ＜10，则面积S ＝x (10－x )≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋10－x 22＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时等号成立，故当矩形的长与宽相等，且都为5 m 时面积取到最大值25 m 2.]4．一个长方体的体积为32，高为2，底面的长和宽分别为x 和y ，则x ＋y 的最小值为 ．8 [由题意知xy ＝16，则x ＋y ≥2xy ＝8；当且仅当x ＝y ＝4时等号成立，故x ＋y 的最小值为8.]考点1 利用基本不等式求最值 利用基本不等式求最值的三种思路利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有三种思路：(1)对条件使用基本不等式直接求解．(直接法)(2)针对待求最值的式子，通过拆项(添项)、分离常数、变系数、凑因子等方法配凑出和或积为常数的两项，然后用基本不等式求解．(配凑法)(3)已知条件中有值为1的式子，把待求最值的式子和值为1的式子相乘，再用基本不等式求解．(常数代换法)直接法求最值(1)若a ，b 都是正数，且a ＋b ＝1，则(a ＋1)(b ＋1)的最大值为( )A.32 B ．2 C.94 D ．4 (2)ab ＞0，则a 2＋2b 2ab 的最小值为( ) A ．2 2B. 2 C ．3 D ．2(3)(2019·天津高考)设x＞0，y＞0，x＋2y＝4，则(x＋1)(2y＋1)xy的最小值为．(1)C(2)A(3)92[(1)(a＋1)(b＋1)≤[(a＋1)＋(b＋1)]2＝⎝⎛⎭⎪⎫322＝94，故选C.(2)∵ab＞0，∴a2＋2b2ab＝ab＋2ba≥2ab·2ba＝22，当且仅当ab ＝2ba，即a＝2b时等号成立，故选A.(3)(x＋1)(2y＋1)xy＝2xy＋x＋2y＋1xy＝2xy＋5xy＝2＋5xy，∵x＞0，y＞0且x＋2y＝4，∴4＝x＋2y≥22xy，∴xy≤2，∴1xy≥12，∴2＋5xy≥2＋52＝92.]解答本例T(2)，T(3)时，先把待求最值的式子变形，这是解题的关键．配凑法求最值(1)已知x∈⎝⎛⎭⎪⎫0，14，则x(1－4x)取最大值时x的值是()A.14 B.16 C.18 D.110(2)已知不等式2x＋m＋2x－1＞0对一切x∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞恒成立，则实数m的取值范围是()A．m＞－6 B．m＜－6 C．m＞－7 D．m＜－7(3)若－4＜x＜1，则f(x)＝x2－2x＋22x－2()A．有最小值1 B．有最大值1 C．有最小值－1 D．有最大值－1(1)C (2)A (3)D [(1)由x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14知1－4x ＞0，则x (1－4x )＝14·4x (1－4x )≤14×⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋1－4x 22＝116， 当且仅当4x ＝1－4x ，即x ＝18时等号成立，故选C. (2)由题意知，－m ＜2x ＋2x －1对一切x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞恒成立，又x ≥32时，x －1＞0，则2x ＋2x －1＝2(x －1)＋2x －1＋2≥22(x －1)×2x －1＋2＝6， 当且仅当2(x －1)＝2x －1，即x ＝2时等号成立． ∴－m ＜6，即m ＞－6，故选A. (3)∵－4＜x ＜1，∴0＜1－x ＜5， ∴f (x )＝x 2－2x ＋22x －2＝x 2－2x ＋1＋12(x －1)＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1－x )＋11－x ≤－12×2(1－x )·11－x ＝－1，当且仅当1－x ＝11－x ，即x ＝0时等号成立．∴函数f (x )有最大值－1，无最小值，故选D.]形如f (x )＝ax 2＋bx ＋cdx ＋e的函数，可化为f (x )＝1m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(x ＋k )＋1x ＋k 的形式，再利用基本不等式求解，如本例T (3)．[教师备选例题]已知x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为 ．1 [因为x ＜54，所以5－4x ＞0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2(5－4x )·15－4x＋3＝－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时，等号成立． 故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.] 常数代换法求最值(1)已知实数x ，y 满足x ＞0，y ＞0，且2x ＋1y ＝1，则x ＋2y 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8(2)设a ＞0，b ＞0，若33是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b 的最小值为( ) A ．12 B ．4 C.34D.43(1)D (2)D [(1)x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝4＋4y x ＋x y ≥4＋24y x ·xy ＝8，当且仅当4y x ＝xy ，即x ＝4，y ＝2时等号成立，故选D.(2)由题意知3a ·3b ＝(33)2，即3a ＋b ＝33，∴a ＋b ＝3，∴1a ＋1b ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b a ＋a b ≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋2b a ·a b ＝43， 当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝32时等号成立，故选D.]使用常数代换法时，若式子的值不为1，应注意平衡系数，如本例T (2)．[教师备选例题]已知正实数x ，y 满足2x ＋y ＝2，则2x ＋1y 的最小值为 ． 92[∵正实数x ，y 满足2x ＋y ＝2，则2x ＋1y ＝12(2x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2y x ＋2x y ≥12⎝⎛⎭⎪⎫5＋2×2y x ·2x y ＝92，当且仅当x ＝y ＝23时取等号． ∴2x ＋1y 的最小值为92.]1.设x ＞0，y ＞0，且x ＋4y ＝40，则lg x ＋lg y 的最大值是( )A ．40B ．10C ．4D ．2D [由x ＞0，y ＞0，x ＋4y ＝40得40＝x ＋4y ≥24xy ∴xy ≤10，即xy ≤100(当且仅当x ＝20，y ＝5时等号成立)， ∴lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 100＝2，故选D.]2．若对于任意的x ＞0，不等式xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．a ≥15 B ．a ＞15 C ．a ＜15D ．a ≤15A [由x ＞0，得x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12x ·1x ＋3＝15，当且仅当x ＝1时，等号成立．则a ≥15，故选A.]3．若a ，b ，c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝2，则4a ＋1＋1b ＋c的最小值是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．6B [由题意知(a ＋1)＋(b ＋c )＝3，则 4a ＋1＋1b ＋c ＝13⎝⎛⎭⎪⎫4a ＋1＋1b ＋c [(a ＋1)＋(b ＋c )]＝13⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5＋4(b ＋c )a ＋1＋a ＋1b ＋c ≥13⎝⎛⎭⎪⎪⎫5＋24(b ＋c )a ＋1×a ＋1b ＋c ＝3， 当且仅当4(b ＋c )a ＋1＝a ＋1b ＋c，即a ＝1，b ＋c ＝1时等号成立，故选B.]考点2 基本不等式的实际应用利用基本不等式解决实际问题的三个注意点(1)设变量时，一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．(3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．(2019·常州模拟)习总书记指出：“绿水青山就是金山银山”．常州市一乡镇响应号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．调研过程中发现：某珍稀水果树的单株产量W (单位：千克)与肥料费用10x (单位：元)满足如下关系：W (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5(x 2＋2)，0≤x ≤2，48x x ＋1，2＜x ≤5，其它成本投入(如培育管理等人工费)为20x (单位：元)．已知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且供不应求．记该单株水果树获得的利润为f (x )(单位：元)．(1)求f (x )的函数关系式；(2)当投入的肥料费用为多少时，该单株水果树获得的利润最大？最大利润是多少？[解] (1)由已知f (x )＝10W (x )－20x －10x ＝10W (x )－30x ＝⎩⎪⎨⎪⎧10×5(x 2＋2)－30x ，0≤x ≤2，10×48x 1＋x－30x ，2＜x ≤5则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧50x 2－30x ＋100，0≤x ≤2，480x1＋x－30x ，2＜x ≤5.(2)由(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧50x 2－30x ＋100，0≤x ≤2480x1＋x－30x ，2＜x ≤5变形得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧50⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3102＋1192，0≤x ≤2，510－30⎣⎢⎡⎦⎥⎤161＋x ＋(1＋x )，2＜x ≤5.当0≤x ≤2时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，310上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤310，2上单调递增， 且f (0)＝100＜f (2)＝240， ∴f (x )ma x ＝f (2)＝240；当2＜x ≤5时，f (x )＝510－30⎣⎢⎡⎦⎥⎤161＋x ＋(1＋x )， ∵x ＋1＋16x ＋1≥2(1＋x )·161＋x＝8，当且仅当161＋x＝1＋x 时，即x ＝3时等号成立． ∴f (x )ma x ＝510－30×8＝270，因为240＜270，所以当x ＝3时，f (x )ma x ＝270.答：当投入的肥料费用为30元时，种植该果树获得的最大利润是270元．解答本例第(2)问时，对f (x )＝480x1＋x －30的变形是解题的关键． 1.(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是 ．30 [一年的总运费为6×600x ＝3 600x (万元)． 一年的总存储费用为4x 万元．总运费与总存储费用的和为⎝ ⎛⎭⎪⎫3 600x ＋4x 万元．因为3 600x ＋4x ≥2 3 600x ·4x ＝240，当且仅当3 600x ＝4x ，即x ＝30时取得等号，所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．]2．一批救灾物资随51辆汽车从某市以v km/h 的速度匀速直达灾区，已知两地公路线长400 km ，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于v 2800 km ，那么这批物资全部到达灾区，最少需要 小时．10 [设全部物资到达灾区所需时间为t 小时，由题意可知，t 相当于最后一辆车行驶了50个v 2800km ＋400 km 所用的时间， 因此，t ＝50×v 2800＋400v＝v 16＋400v ≥2v 16·400v ＝10.当且仅当v 16＝400v ，即v ＝80时取“＝”．故这些汽车以80 km/h 的速度匀速行驶时，所需时间最少要10小时．]。