2021 第7章 第4节 基本不等式

第四节 基本不等式

[最新考纲] 1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．

1．基本不等式ab ≤a ＋b

2

(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 2．几个重要的不等式

3．算术平均数与几何平均数

设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b

2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则

(1)x ＋y ≥2xy ，若xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p (简记：积定和最小)．

(2)xy ≤⎝

⎛⎭⎪⎫

x ＋y 22

，若x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值q 24(简记：和定积最大)．

[常用结论

] 重要不等式链 若a ≥b ＞0，则a ≥

a 2＋

b 22≥a ＋b 2≥ab ≥2ab

a ＋

b ≥b .

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x ＋1

x 的最小值是2.

( )

(2)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈⎝ ⎛

⎭⎪⎫0，π2的最小值等于4. ( )

(3)x >0，y >0是x y ＋y

x ≥2的充要条件． ( ) (4)若a >0，则a 3＋1

a 2的最小值为2a . ( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)× 二、教材改编

1．设x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81 D ．82

C [xy ≤⎝

⎛⎭⎪⎫

x ＋y 22

＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，等号成立．故选C.] 2．若x ＞0，则x ＋4

x ( ) A ．有最大值，且最大值为4 B ．有最小值，且最小值为4 C ．有最大值，且最大值为2 2 D ．有最小值，且最小值为2 2 B [x ＞0时，x ＋4

x ≥2

x ×4

x ＝4，当且仅当x ＝2时等号成立．故选B.]

3．若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是 m 2.

25 [设一边长为x m ，则另一边长可表示为(10－x )m ，

由题知0＜x ＜10，则面积S ＝x (10－x )≤⎝

⎛⎭⎪⎫x ＋10－x 22

＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时等号成立，故当矩形的长与宽相等，且都为5 m 时面积取到最大值25 m 2.]

4．一个长方体的体积为32，高为2，底面的长和宽分别为x 和y ，则x ＋y 的最小值为 ．

8 [由题意知xy ＝16，则x ＋y ≥2xy ＝8；当且仅当x ＝y ＝4时等号成立，故x ＋y 的最小值为8.]

考点1 利用基本不等式求最值 利用基本不等式求最值的三种思路

利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有三种思路：

(1)对条件使用基本不等式直接求解．(直接法)

(2)针对待求最值的式子，通过拆项(添项)、分离常数、变系数、凑因子等方法配凑出和或积为常数的两项，然后用基本不等式求解．(配凑法)

(3)已知条件中有值为1的式子，把待求最值的式子和值为1的式子相乘，再用基本不等式求解．(常数代换法)

直接法求最值

(1)若a ，b 都是正数，且a ＋b ＝1，则(a ＋1)(b ＋1)的最大值为( )

A.32 B ．2 C.9

4 D ．4 (2)ab ＞0，则a 2＋2b 2

ab 的最小值为( ) A ．2 2

B. 2 C ．3 D ．2

(3)(2019·天津高考)设x＞0，y＞0，x＋2y＝4，则(x＋1)(2y＋1)

xy的最小值

为．

(1)C(2)A(3)9

2[(1)(a＋1)(b＋1)≤

[(a＋1)＋(b＋1)]

2

＝

⎝

⎛

⎭

⎪

⎫3

2

2＝94，故选C.

(2)∵ab＞0，∴a2＋2b2

ab

＝a

b

＋2b

a≥2

a

b·

2b

a

＝22，

当且仅当a

b ＝2b

a

，即a＝2b时等号成立，故选A.

(3)(x＋1)(2y＋1)

xy

＝

2xy＋x＋2y＋1

xy

＝

2xy＋5

xy

＝2＋5

xy

，

∵x＞0，y＞0且x＋2y＝4，∴4＝x＋2y≥22xy，

∴xy≤2，∴1

xy≥

1

2

，

∴2＋5

xy≥2＋

5

2

＝9

2.]

解答本例T(2)，T(3)时，先把待求最值的式子变形，这是解题的关键．配凑法求最值

(1)已知x∈⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

0，

1

4，则x(1－4x)取最大值时x的值是()

A.1

4 B.

1

6 C.

1

8 D.

1

10

(2)已知不等式2x＋m＋

2

x－1

＞0对一切x∈

⎣

⎢

⎡

⎭

⎪

⎫

3

2，＋∞恒成立，则实数m的取

值范围是()

A．m＞－6 B．m＜－6 C．m＞－7 D．m＜－7

(3)若－4＜x＜1，则f(x)＝x2－2x＋2

2x－2

()

A．有最小值1 B．有最大值1 C．有最小值－1 D．有最大值－1