专题01 二次根式的有关概念和性质(知识点串讲)(原卷版)
九年级上册二次根式知识点
九年级上册二次根式知识点作为初中数学的重要部分，二次根式是需要我们掌握的一个重要概念。
在九年级上册，我们将学习并深入理解二次根式的性质、运算以及应用。
下面，我将为大家总结九年级上册二次根式的知识点。
一、二次根式的定义二次根式是指具有形如√a（其中a为一个非负实数）的数。
其中，√称为根号，a称为被开方数，√a称为二次根式。
二、二次根式的性质1. 非负性：二次根式的结果不小于0，即√a≥0。
2. 排除负号：我们规定根号不能取负值，即√a≠-√a。
3. 分解因数：对于任何正实数a，有√a = √(n² × m)，其中n²是a 的一个因数。
三、二次根式的化简当被开方数能够分解成两个因数的乘积时，我们可以通过分解因数的方法将二次根式化简。
例如√12 = √(4 × 3) = √4 × √3 = 2√3。
四、二次根式的运算1. 加减运算：二次根式的加减运算需要满足根号下的数相等，才能进行运算。
例如√5 + √5 = 2√5，2√3 - √3 = √3。
2. 乘法运算：二次根式的乘法运算可以将根号下的数相乘，并将结果放在根号下。
例如√2 × √3 = √6。
3. 除法运算：除法运算需要使用有理化的方法，即通过将除数和被除数分别乘上其共轭式的形式来进行运算。
例如，（√5 + √3）/ (√5 - √3) = （√5 + √3）×（√5 + √3）/ [(√5 - √3) × （√5 + √3）] = 8 + 2√15。
五、二次根式的应用1. 几何应用：在几何学中，二次根式经常用于计算图形的边长、面积、体积等。
2. 物理应用：在物理学中，二次根式可以用于计算电流、电压、速度、力等相关问题。
3. 经济应用：在经济学中，二次根式可以用于计算平均收益、成本、利润率等。
六、二次根式的拓展1. 无理数的定义：二次根式属于无理数，即不能表示为两个整数之比的实数。
二次根式知识点总结
二次根式知识点总结二次根式是和平方根有关的一种运算。
在高中数学中，二次根式是一个重要的内容，掌握好二次根式的相关知识点，对于理解和解题都是非常有帮助的。
一、二次根式的概念1.二次根式是指那些含有平方根的式子，且平方根的指数为22.一般形式为√a，其中a为非负实数。
二、二次根式的化简1.化简二次根式的基本思想是将根号内的数分解成互质的因子，并使用分配律和化简公式化简。
2.可以用平方根的合并和分离处理来化简二次根式。
3. 对于含有和减号的二次根式，可以尝试使用公式√a±√b =√(a±b±2√ab)来进行化简。
三、二次根式的运算1.加减法：二次根式相加减时需要化为相同的根式形式，然后按照实数的运算规则进行运算。
2. 乘法：二次根式相乘时可以利用乘法公式√a * √b = √(ab)进行化简。
3.除法：二次根式相除时可以利用除法公式√a/√b=√(a/b)进行化简。
四、二次根式的简化和约分1.对于平方数，可以用因式分解的方法将其进行简化，即将根号下的数分解成完全平方数的乘积。
2.对于不完全平方数，可以用分式的形式表示二次根式，如√2=√(4/2)=2/√23.二次根式的约分是指将二次根式分子分母的公因式约掉，以简化二次根式的形式。
五、二次根式的性质1.非负实数的二次根式是唯一确定的。
2.二次根式的大小关系：对于非负实数，如果a>b，则√a>√b。
3.二次根式的积是可以用二次根式表示的，但是二次根式的和、差和商不一定能用二次根式表示。
4.当a和b为非负实数时，如果√a=-√b，则a=b=0，否则a≠b。
六、二次根式的应用1.二次根式在几何问题中常常用来表示边长或者面积。
2.二次根式在物理问题中常常用来表示物理量的大小。
3.二次根式在工程问题中常常用来表示长度、面积、体积等量。
二次根式知识点归纳
二次根式知识点归纳二次根式是数学中的一个重要概念，也是我们在中学阶段学习的数学知识之一、学好二次根式的知识，不仅可以提高我们的数学实力，还能够帮助我们更好地理解和应用数学。
下面是对二次根式的知识点进行归纳总结。
一、二次根式的定义与性质1.二次根式的定义：如果一个数x的平方等于一个有理数a，那么称x是a的二次根，记作√a=x。
其中，a是被开方数，x是二次根。
2.二次根式的性质：二次根式具有以下基本性质：-非负性：对于所有的a≥0，√a≥0。
-唯一性：对于任意一个正数a，二次根√a是唯一确定的。
-传递性：对于任意的a≥0和b≥0，如果√a=√b，那么a=b。
-加减性：对于任意的a≥0和b≥0，有√a±√b=√(a±b)。
-乘除性：对于任意的a≥0和b≥0，有√(a×b)=√a×√b，√(a/b)=√a/√b（其中，b不为零）。
二、二次根式的化简1.因式分解法：将二次根式的被开方数进行因式分解，然后利用乘除性质化简。
2.合并同类项法：将二次根式中相同的根号项合并，然后根据加减性质化简。
三、二次根式的比较大小1.当被开方数相同时，二次根式相等，即√a=√b，当且仅当a=b。
2.当被开方数不同时，可以通过平方的方式来比较大小。
即对于a≥b≥0，有√a≥√b。
四、二次根式的运算1.加减运算：对于任意的a≥0和b≥0，可以进行二次根式的加减运算。
-加法：√a+√b=√(a+b)。
-减法：√a-√b=√(a-b)（需要满足a≥b）。
2.乘法运算：对于任意的a≥0和b≥0，可以进行二次根式的乘法运算。
-乘法：√a×√b=√(a×b)。
3.除法运算：对于任意的a≥0和b>0，可以进行二次根式的除法运算。
-除法：√a/√b=√(a/b)（需要满足b≠0）。
五、二次根式的应用二次根式在实际问题中的应用非常广泛1.几何问题：二次根式可以用来表示长度、面积、体积等物理量，例如计算一个正方形的对角线长度、一个圆的半径等等。
二次根式知识点
二次根式知识点二次根式在数学中是一个十分重要的概念，涉及到数学中的代数、方程、函数等多个知识领域。
本文将介绍二次根式的定义、性质、运算法则以及实际问题中的应用，并且通过实例帮助读者更好地理解和应用二次根式。
一、二次根式的定义在数学中，二次根式是指形如$\\sqrt{a}$的表达式，其中a是一个实数且$a\\geq0$。
该表达式表示的是一个非负实数，使得它的平方等于a，即$(\\sqrt{a})^2 = a$。
二、二次根式的性质1.二次根式的值一定是非负实数，即$\\sqrt{a} \\geq 0$。
2.如果$a \\geq 0$且$b \\geq 0$，则$\\sqrt{a} \\cdot \\sqrt{b} =\\sqrt{ab}$。
3.如果$a \\geq 0$且$b \\geq 0$，则$\\sqrt{a} + \\sqrt{b}$不一定等于$\\sqrt{a+b}$。
三、二次根式的运算法则1.加减法：二次根式只有在被加减数相同时才能相加或相减，即$\\sqrt{a} \\pm \\sqrt{a} = 2\\sqrt{a}$。
2.乘法：二次根式的乘法可按照分配律进行展开，即$(\\sqrt{a} \\pm\\sqrt{b})(\\sqrt{a} \\pm \\sqrt{b}) = a + 2\\sqrt{ab} + b$。
3.除法：二次根式的除法需要进行有理化处理，即将分母中的二次根式消去。
四、二次根式的应用二次根式常常在实际问题中得到应用，比如在几何中计算斜边长、梯形面积等问题中经常会出现。
下面通过一个实际问题来展示二次根式的应用：例题：一个正方形的对角线长为$\\sqrt{2}$米，求正方形的边长。
解答：设正方形的边长为x米，则根据勾股定理可得：x2+x2=2。
化简得到2x2=2，解方程得x=1。
因此，正方形的边长为1米。
结语通过本文的介绍，相信读者对二次根式有了更深入的了解。
二次根式作为数学中的一个基础知识点，在代数、几何、概率等各个领域都有着重要的应用价值。
专题01 二次根式的有关概念和性质(知识点串讲)(解析版)
专题01 二次根式的有关概念和性质知识网络重难突破知识点一 二次根式的有关概念 二次根式概念：一般地，我们把形如（a ≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。
【注意】 1.二次根式，被开方数a 可以是一个具体的数，也可以是代数式。
2.二次根式是一个非负数。
3.二次根式与算术平方根有着内在联系，（a ≥0）就表示a 的算术平方根。
二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
【典型例题】1．（2018·黔西县期中）下面式子是二次根式的是（ A ） A 21a +B 333C 1-D ．12a 2．（2019·朝阳市期中）下列各式中不是二次根式的是（B ） A 21x +B 4-C 0D 2()a b -3．（2018·48n n 是（ B ） A ．6B ．3C ．48D ．24．（2018·26的值在（ D ） A ．2和3之间B ．3和4之间C ．4和5之间D ．5和6之间5．（2019·虹桥区期末）在平面直角坐标系中，点M （a ，b ）的坐标满足（a ﹣3）22b -0，则点M 在（ A ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．（2019·孝感市期中）已知三角形的三边长为a 、b 、c ，如果2(5)12130a b c -+--=，则△ABC 是（ C ）A ．以a 为斜边的直角三角形 B ．以b 为斜边的直角三角形C ．以c 为斜边的直角三角形D ．不是直角三角形7．（2019·滨州市期中）下列式子：①13；②3-；③﹣21x +；④327；⑤2(2)-，是二次根式的有（B ）A ．①③ B ．①③⑤C ．①②③D ．①②③⑤8．（2019·汕头市期末）若211a aa a--=，则a 的取值范围是（ D ） A ．0a >B ．1a ≥C ．01a ≤≤D ．01a <≤9．（2019·抚顺市期末）若二次根式51x -有意义，则x 的取值范围是( B ) A ．x ＞15B ．x≥15C ．x≤15D ．x≤510．（2018·德州市期末）使代数式34x x --有意义的自变量x 的取值范围是（C ） A ．x≥3B ．x ＞3且x≠4C ．x≥3且x≠4D ．x ＞311．（2017·东胜市期末）方程有两个实数根，则的取值范围（B ）A ．B ．且C ．D ．且12．（2018·泉州市期中）若a ab+有意义，那么直角坐标系中点A(a,b)在（ A ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限知识点二 二次根式的性质 二次根式的性质：1．含有两种相同的运算，两者都需要进行平方和开方。
人教版八年级数学下册专题01 二次根式的有关概念和性质 题型归纳 (解析版)
专题01 二次根式的有关概念和性质【思维导图】◎考点题型1 求二次根式的值例．（2022·浙江·九年级专题练习）当0x =时, ）A ．4B ．2CD ．0【答案】B 【解析】 【分析】把0x = 【详解】解：把0x =2= 故选：B ． 【点睛】本题考查了二次根式的定义和二次根式的性质,能灵活运用二次根式的性质进行计算是解题的关键．变式1．（2020·山东定陶·八年级期末）当 x ＝－3 时, ）A ．3B ．－3C ．±3D 【答案】A【分析】把x ＝－3代入二次根式进行化简即可求解. 【详解】解：当x ＝－3时3=. 故选A. 【点睛】本题考查了二次根式的计算,正确理解算术平方根的意义是关键. 变式2．（2020·北京·一模）如果31a ,那么代数式21(1)11aa a +÷--的值为（ ）A ．3BCD 2【答案】B 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算法则化简原式,再把a 的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】 解：原式=()()111a a a a a ÷--+=()()1111a a a a a a-+⨯=+-；当31a时,原式11+=故选：B ． 【点睛】本题考查了分式的化简求值,属于常考题型,熟练掌握分式的混合运算法则是解题关键．变式3．（2020·湖北鄂城· ）A B ．2 C ．22 D ．2±【答案】B 【解析】 【分析】根据乘方和开方的运算法则进行计算即可． 【详解】2=故答案为：B ．本题考查了开方和乘方的运算问题,掌握乘方和开方的运算法则是解题的关键．◎考点题型2 求二次根式中的参数例．（山东阳谷·,则正整数n的最小值是（）A．2B．4C．6D．8【答案】C【解析】【分析】,=则6n是完全平方数,满足条件的最小正整数n为6．【详解】解：24n=,∴,即6n是完全平方数；∴n的最小正整数值为6．故选：C．【点睛】本题主要考查了二次根式的定义,关键是根据乘除法则和二次根式有意义的条件,二次根式有意义的条件时被开方数是非负数进行解答变式1．（全国·,最小的正整数n是（）A．6B．3C．4D．2【答案】B【解析】【分析】根据题意,算数平方根是正整数,可得被开方数是能开方的正整数．【详解】是正整数,所以n 的最小正整数是3,故选：B．【点睛】本题主要考查了二次根式的定义,利用开方运算是解答本题的关键．变式2．（2020·四川三台·,则正整数n 的最小值是（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．6【答案】B 【解析】 【分析】,然后再判断n 的最小正整数值． 【详解】=,,则也是整数； ∴n 的最小正整数值是3； 故选B ． 【点睛】变式3．（2020·江西南丰·20b -=,则2019()a b +的值是（ ）． A ．1 B ．－1C ．2019D ．－2019【答案】B 【解析】 【分析】利用非负数的性质列出方程组,求出方程组的解得到a 与b 的值,代入原式计算即可求出值． 【详解】20b -=,∴3020a b +=⎧⎨-=⎩, ∴32a b =-⎧⎨=⎩, ∴20192019()(32)1a b +=-+=-, 故选择：B. 【点睛】此题考查了非负数的性质及二元一次方程组,熟练掌握几个非负数的和为零,则每一个非负数都为零是解本题的关键．◎考点题型3 二次根式有意义的条件例．（2022·河北·在实数范围内有意义,则x 的值可能为（ ） A ．0 B ．﹣2 C ．﹣1 D ．1【答案】D 【解析】 【分析】,可列不等式组10,10x x 得到不等式组的解集,再逐一分析各选项即可. 【详解】解： , 1010x x ①②由①得：1,x ≥ 由②得：1,x ≠- 所以：1,x ≥故A,B,C 不符合题意,D 符合题意, 故选D 【点睛】本题考查的是分式有意义的条件,二次根式有意义的条件,掌握“分式与二次根式的综合形式的代数式有意义的条件”是解本题的关键.变式1．（2022·湖南岳阳·,则实数x 的取值范围是（ ） A ．1x ≥- B ．0x ≠C ．1≥xD ．0x >【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数解答．解：由题意得10x -≥, 解得1≥x , 故选：C ． 【点睛】此题考查了二次根式的非负数,解题的关键是熟练掌握二次根式的双重非负性列式进行解答．变式2．（2022·福建惠安·有意义,则x 的取值范围为（ ） A ．1x ≥- B ．1x >- C ．1≥x D ．1x ≤【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件分析即可． 【详解】, ∴10x +≥ 解得1x ≥- 故选A 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件,理解被开方数为非负数是解题的关键．变式3中x 的取值范围是（ ） A ．x ＞2 B ．x ≥﹣2C ．x ≠2D ．x ≥﹣2且x ≠2【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式及分式有意义的条件可直接进行求解． 【详解】 解：由题意得：20x +≥且20x -≠,解得：2x ≥-且2x ≠； 故选D ．本题主要考查二次根式及分式有意义的条件,熟练掌握二次根式及分式有意义的条件是解题的关键．◎考点题型4 利用二次根式的性质化简例．（2022·贵州松桃·八年级期末）下列各式中正确的是（ ）A 2=-B 2=±C ．22= D ．(22=-【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的性质即可依次判断． 【详解】A. 2,故错误；B. 2=,故错误；C.22=,正确；D. (22=,故错误；故选C ． 【点睛】此题主要考查二次根式的计算,解题的关键是熟知二次根式的性质．变式1．（2022·江苏·2x =-成立,则x 的取值范围是（ ） A ．2x ≤ B ．2x ≥C ．02x ≤≤D ．任意实数【答案】A 【解析】 【分析】根据实数的性质及去绝对值的方法即可求解． 【详解】22x x =-=-∴x -2≤0故选A ． 【点睛】此题主要考查实数的性质,解题的关键是熟知平方根的性质及去绝对值的方法． 变式2．（上海奉贤·七年级期末）下列计算错误的是（ ）A 2=-B 2C 2D ．2(2=【答案】A 【解析】 【分析】直接利用二次根式的性质以及二次根式的乘法运算法则化简,进而判断即可． 【详解】解：A 2,故此选项计算错误,符合题意；B 2=,故此选项计算正确,不合题意；C 2=,故此选项计算正确,不合题意；D ．2(2=,故此选项计算正确,不合题意； 故选：A ． 【点睛】此题考查了二次根式的性质及二次根式的乘法运算法则,熟记乘法法则是解题的关键．变式3．（2022·2的结果是（ ） A ．61x -- B ．1-C ．61x +D ．1【答案】D 【解析】 【分析】x 的取值范围,,利用二次根式的性质去根号,然后合并同类项即可． 【详解】0x ≥∴31=+x故原式化简为：3131x x +-=． 故选：D ． 【点睛】本题主要是考查了去二次根号以及二次根式的基本性质,熟练掌握二次根式的性质,求解该题的关键．◎考点题型5 复合二次根式的化简例．（浙江滨江·八年级期中）对式子,使根号外不含字母m ,正确的结果是（ ）A B ．C ．D 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用二次根式的性质化简求出答案． 【详解】解：由题意可得：30m -≥,∴0m ≤∴=故选：C 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简,正确掌握二次根式的性质是解题关键．变式1．（河南原阳· ）AB C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式成立的条件确定x 的取值,从而利用二次根式的性质进行化简． 【详解】解：由题意可得：x ＜0∴(11x x x⋅=⋅-故选：D ． 【点睛】本题考查二次根式的化简,理解二次根式成立的条件及二次根式的性质正确化简计算是解题关键．变式2．（湖北鄂州·八年级期末）把(2-x) 2-x ）适当变形后移入根号内,得（ ）AB C ． D ．【答案】D 【解析】 【分析】由题意易得x>2,然后根据二次根式的性质可进行求解． 【详解】 解：由题意得： 102x >-,解得：x>2,∴(2x -= 故选D ． 【点睛】本题主要考查二次根式的性质,熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．变式3．（2018·全国·2得（ ） A ．2 B ．﹣4x+4C ．xD ．5x ﹣2【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的性质求解可得答案. 【详解】解:1-3x≥0,x≤13,∴2x-1≤1-3＜0,∴原式-(1-3x)=1-2x-1+3x=x, 故选C. 【点睛】主要考查了根据二次根式的意义及化简.:当a ＞0时=a;当a<0时,=-a.二次根式2=a,(a≥0).。
专题01二次根式的概念和性质(知识点考点大串讲)-原卷版
专题01二次根式的概念和性质（知识点考点大串讲）【知识点考点--思维导图】◉知识点一：二次根式的定义技巧：二次根式概念：一般地，我们把形如（a ≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。
【注意】 1.二次根式，被开方数a 可以是一个具体的数，也可以是代数式。
2.二次根式是一个非负数。
3.二次根式与算术平方根有着内在联系，（a ≥0）就表示a 的算术平方根。
◎考点1：二次根式的值例1．（2021·湖南衡阳市·九年级期末）下列计算正确的是（ ）A 1=B =C =D 5=-练习1．（2020·河南八年级期末）已知当12a <<时，1a -的值是（ ） A ．3-B ．12a -C ．32a -D ．23a -练习2．（2019·四川绵阳市· ）A ．a 为正整数B ．a 为正数CD练习3．（2020·山东菏泽市·八年级期末）当 x ＝－3 为（ ）A ．3B ．－3C ．±3D◎考点2：求二次根式中的参数例1．（2021·河南周口市·0)x >2)y =-，0)x <，x y +中二次根式有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个练习1．（2021·n 是（ ） A ．6B ．3C ．4D ．2练习2．（2020·广东佛山市·八年级月考）下列说法：①π的相反数是-π；②若||x =x=③若a 为实数，则a 的倒数是1a；④-x,则x<0．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个练习3．（2020·眉山市东坡区苏辙中学九年级月考）若|x 0的值为（ ） A ．5 B ．﹣6C ．6D ．36◉知识点二：二次根式有意义的条件技巧：二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
二次根式的有关概念和性质
专题01二次根式的概念和性质（知识点考点串编）【思维导图】◎考点1：二次根式的值例．（2022·浙江·九年级专题练习）当0x =的值等于（ ）A ．4B ．2CD ．0【答案】B【解析】【分析】把0x =解题即可【详解】◉知识点一：二次根式的定义知识点技巧：二次根式概念：一般地，我们把形如（a ≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。
【注意】1.二次根式，被开方数a 可以是一个具体的数，也可以是代数式。
2.二次根式是一个非负数。
3.二次根式与算术平方根有着内在联系，（a ≥0）就表示a 的算术平方根。
解：把0x =2=故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式的定义和二次根式的性质，能灵活运用二次根式的性质进行计算是解题的关键．练习1．（2021·全国·八年级专题练习）当a 为实数时，下列各式中是二次根式的是（ ）个A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【答案】B 【解析】【分析】0)a >的代数进行分析得出答案．【详解】共4个．故选：B ．【点睛】0)a >的代数式，正确把握定义是解题关键．练习2．（2021·河北·结果相同的是（ ）．A ．321-+B ．321+-C ．321++D ．321--【答案】A【解析】【分析】根据有理数运算和二次根式的性质计算，即可得到答案．【详解】2==∵3212-+=，且选项B 、C 、D 的运算结果分别为：4、6、0【点睛】本题考查了二次根式、有理数运算的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、含乘方的有理数混合运算的性质，即可得到答案．练习3．（2021·河南林州·八年级期末）已知当12a <<a -的值是（ ）A ．3-B ．12a -C ．32a -D ．23a -【答案】C【解析】【分析】由题意直接根据二次根式的性质以及去绝对值的方法，进行分析运算即可.【详解】解：∵12a <<，212132a a a a a a -=---=-+-=-.故选：C.【点睛】本题考查二次根式和去绝对值，熟练掌握二次根式的性质以及去绝对值的方法是解题的关键.◎考点2：求二次根式中的参数例．（2021·n 的最小值是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】【分析】=，则6n 是完全平方数，满足条件的最小正整数n 为6．【详解】解：=∴6n 是完全平方数；∴n 的最小正整数值为6．【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，关键是根据乘除法则和二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件时被开方数是非负数进行解答练习1．（2020·甘肃·酒泉市第二中学八年级期中）若x 、y 为实数，且0x +=，则2019x y æöç÷èø的值( )A ．-2B ．1C ．2D ．-1【答案】D【解析】【分析】根据非负数的性质可求出x 、y 的值，然后把x 、y 的值代入所求式子计算即可．【详解】解：∵0x +=，∴x +2=0，y －2=0，∴x =﹣2，y =2，∴220190192=12x y -æöæöç÷è=-ç÷èøø．故选：D ．【点睛】本题主要考查了非负数的性质，明确实数绝对值和二次根式的非负性以及﹣1的奇次幂的性质是解题关键．练习2．（2020·江苏·丰县欢口镇欢口初级中学八年级阶段练习）如果3y ，则2x y -的平方根是（ ）A ．-7B ．1C ．7D ．±1【答案】D【解析】【分析】根据二次根式的性质求出x 、y 的值，再代入求解即可．解：由题意可得：24020x x -+¹＝，，解得：2x ＝，故3y ＝，则21x y -＝，故2x y -的平方根是：±1．故选：D ．【点睛】本题考查了关于二次根式的运算问题，掌握二次根式的性质、平方根的性质是解题的关键．练习3．（2021·全国·n 的值是( )A ．0B ．1C ．2D ．5【答案】D【解析】【分析】首先化简二次根式进而得出n 的最小值．【详解】=∴最小正整数n 的值是5．故选D ．【点睛】本题考查了二次根式的定义，正确化简二次根式得出是解题的关键．例．（2022·全国·九年级专题练习）在函数1y =中，自变量x 的取值范围是（ ）A ．x ＜2B ．x ≥2C ．x ＞2D ．x ≠2【答案】C 【解析】◉知识点二：二次根式有意义的条件知识点技巧：二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
二次根式的有关概念及性质专题(教案)
在今天的教学过程中，我发现学生们对于二次根式的概念和性质的理解存在一些困难。在讲解二次根式的定义时，我意识到需要更多具体的例子来帮助学生形象地理解被开方数和根指数的概念。例如，通过展示√9=3和√(-3)²=3的例子，学生们更能明白被开方数的正负性对于二次根式的意义。
在讲授二次根式的性质时，我发现学生们在运用这些性质进行化简和计算时容易出现混淆。我意识到，除了提供例题，还需要让学生们通过小组讨论和实际操作来加深记忆。比如，在讲解性质（1）√a²=|a|时，可以让同学们通过剪纸活动来直观感受这一性质。
1.培养学生的数学抽象能力：通过二次根式的学习，使学生能够从具体问题中抽象出数学模型，理解并运用二次根式表示实际问题中的数量关系。
2.提高学生的逻辑推理能力：引导学生通过探索二次根式的性质，培养其从特殊到一般的推理方法，并能运用这些性质进行数学证明和解决问题。
3.增强学生的数学运算能力：让学生掌握二次根式的化简与计算方法，提高四则运算的速度和准确性，培养解决实际问题时运用数学运算的能力。
举例：解释为什么√(-3)²=3，而非-3。
（2）二次根式性质的灵活运用：学生在运用二次根式性质进行化简和计算时，容易忘记或混淆性质，导致错误。
举例：在计算√2+√8时，学生可能会直接相加，而忘记化简为√2+2√2。
（3）二次根式的混合运算：学生在进行二次根式的混合运算时，容易出错，如加减乘除运算的顺序和法则。
举例：解释为什么(√2+√3)(√2-√3)=1，而非0。
（4）实际问题中的二次根式应用：学生往往难以将实际问题转化为二次根式的数学模型，从而解决问题。
举例：在求边长为√3的等边三角形面积时，学生可能不知道如何应用二次根式。
九年级二次根式的知识点
九年级二次根式的知识点二次根式是九年级数学中的重要知识点之一，本文将对二次根式的定义、性质以及相关运算进行详细介绍，以帮助学生更好地理解和掌握这一概念。
一、定义二次根式是指以平方根形式表示的数，其中包括一个根号和一个被开方的数。
表示为√a，读作根号a，其中a为非负实数。
例如，√9 = 3，√16 = 4。
二、性质1. 非负性：二次根式的被开方数必须是非负实数，即a ≥ 0。
因此，√(-a) 没有实数解。
2. 唯一性：非负实数的二次根式是唯一的。
例如，只有一个非负实数的平方是4，即√4 = 2。
3. 乘法性：两个非负实数的二次根式相乘，等于它们的被开方数相乘的二次根式。
即√a * √b = √(a * b)。
三、化简与合并为了方便运算和进一步的求解，可以对二次根式进行化简和合并。
1. 化简：将二次根式中的平方因式提到根号外。
例如，√4x² =2x。
2. 合并：合并同类项时，可利用二次根式的乘法性质。
例如，√2 + √3可以合并为√6。
四、加减运算要进行二次根式的加减运算，必须先化简和合并同类项。
1. 化简：将二次根式中的平方因式提到根号外。
2. 合并：合并同类项，即将相同的二次根式加减在一起。
3. 注意：二次根式与整数不能合并。
例如，√2 + 3不能简化为√5。
五、乘法运算要进行二次根式的乘法运算，可以直接利用乘法性质。
1. 将二次根式相乘，结果等于它们的被开方数相乘的二次根式。
2. 注意：乘法运算时，要注意化简和合并同类项。
六、除法运算要进行二次根式的除法运算，需要用到有理化技巧。
1. 将分母有理化，即让分母的二次根式化简为整数。
2. 将有理化后的二次根式与被除数相乘，得到结果。
七、例题解析1. 化简：化简√8x³y⁴。
解：将8x³y⁴写成因式的形式，即8 * x * x² * y² * y²。
将因式中平方的因子提到根号外，得到2xy²√2x。
考点01 二次根式及运算-2020-2021学年八年级数学下学期高频考点专题突破(原卷版)
考点1.二次根式及运算知识框架⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩二次根式的概念二次根式有意义的条件二次根式的性质二次根式的除法最简二次根式与同类二次根式二次根式的加减运算二次根式的混合运算最简二次根式与同类二次根式的识别利用二次根式性质化简符号利用二次根式的性质化简二次根式的混合运算利用二次根式性质求代数式的值复合二次根式的化简含二次根式的规律探究基础知识点重难点题型二次根式的应用⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩知识点3-1二次根式的概念1）二次根式：形如a （a ≥0）叫做二次根式注：①表示的是算术平方根；②二次根式表示的是一个式子，而平方根表示的是一种运算③“2”中的“2”可以省略，“3”表示三次根式，不可省略1．（2020ꞏ浙江八年级期中）下列各式一定是二次根式的是（）A BCD 2．（2020ꞏ湖北丹江口ꞏ初二期末）下列式子一定是二次根式的是()ABCD 3．（2020ꞏ涡阳县王元中学）在下列代数式中，不是二次根式的是（）A BCD ．4x4．（2020ꞏ大石桥市石佛中学初二期中）下列各式不是二次根式的是（）A B C D 5．（2020ꞏ朝阳市第一中学初二期中）下列各式中不是二次根式的是（）A B C D 知识点3-2二次根式有意义的条件1）二次根式（a ）有意义的条件：被开方数（式）为非负数（a ≥0）注：①a 仅是一个表示式，可为常数、单项式、多项式等整式② a 不一定无意义。
当a ≤0时，-a ≥0，有意义。
关键是看被开方数这个整体是否非负1．（2020ꞏ浙江杭州市ꞏ七年级期末）a 应该满足的条件是（）A ．0a ≥B ．0a =C ．0a ≤D ．0a ≠2．（2020ꞏ浙江杭州市ꞏ八年级其他模拟）x 的取值范围是（）A ．2x ≥B ．2x >C ．0x >D ．2x ≠3．（2020ꞏ浙江省杭州市萧山区高桥初级中学八年级月考）已知点P （x ，y ）在函数21y x =的图象上，那么点P 应在平面直角坐标系中的（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．（2020ꞏ浙江杭州市ꞏ八年级其他模拟）=成立．则x 的取值范围为（）A ．3x ≤B ．2x ≥C ．23x <<D ．23x ≤≤5．（2020ꞏ浙江杭州市ꞏ九年级期末）函数y =x 的取值范围是________．6．（2020ꞏ浙江杭州市ꞏ八年级其他模拟）代数式a 的取值范围是_______．知识点3-3二次根式的性质1）性质一：二次根式结果非负性，即a ≥0（a ≥0）注：“”表示的是算术平方根2）性质二：非负数的算术平方根的平方等于它本身，即；（a ）2=a 。
二次根式的概念和性质(基础)知识讲解
二次根式的概念和性质（基础）知识讲解责编：杜少波【学习目标】1、理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由.2、理解并掌握下列结论：，，，并利用它们进行计算和化简.3、理解并掌握同类二次根式和最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简.【要点梳理】要点一、二次根式及代数式的概念1.二次根式：一般地，我们把形如(a ≥0)•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 要点诠释：二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.2.代数式：形如5，a ，a+b ，ab ，，x 3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式. 要点二、二次根式的性质1、； 2.；3.. 要点诠释：1.二次根式(a ≥0)的值是非负数。
一个非负数可以写成它的算术平方根的形式， 即2(0a a a =≥）. 2a 2()a 要注意区别与联系：1).a 的取值范围不同，2)a 中a ≥02a a 为任意值。
2).a ≥0时，2()a 2a a ；a <0时，2)a 2a a -.要点三、最简二次根式（1）被开方数不含有分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：（1) 被开方数是分数或分式；（2）含有能开方的因数或因式.要点四、同类二次根式1. 定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式要点诠释：(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关.2.合并同类二次根式合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似)要点诠释：(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式【典型例题】类型一、二次根式的概念1.当x 为实数时，下列各式()2223,1,,,,x x x x x --，，，属二次根式的有____ 个.【答案】 3【解析】 ()22,,x x x - 这三个式子满足无论x 取何值，被开方数都大于等于零.【总结升华】二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0． 举一反三：【变式】下列式子中二次根式的个数有（ ）（1）13；（2）3-； （3）21x -+；（4）38； （5）21()3-；（6）1x -（1x >） A ．2 B.3 C.4 D.5【答案】B【高清课堂：高清ID 号：381279关联的位置名称：二次根式及其乘除法（上）经典例题1】2. x 取何值时，下列函数在实数范围内有意义？（1）1y x =- （2）y=2+x －x 23-；【答案与解析】 （1）1x -≥0，所以x ≥1. （2）2x +≥0,32x -≥0,所以2-≤x ≤32；【总结升华】重点考查二次根式的概念：被开方数是正数或零.举一反三：【变式】下列格式中，一定是二次根式的是（ ）A. 23-B. ()20.3-C. 2-D. x【答案】B. 类型二、二次根式的性质3. 计算下列各式：(1)232()4-⨯- (2)2(3.14)π- 【答案与解析】(1) 33=-2=-42⨯原式. (2) =3.14-=-3.14ππ原式.【总结升华】 二次根式性质的运用.举一反三【高清课堂：高清ID 号：381279关联的位置名称：二次根式及其乘除法（上）经典例题3】【变式】（1）2)252(-=_____________ （2）2)2(2a a ---=_____________【答案】(1) 10;(2) 0.4. （2015•蓬溪县校级模拟）已知：实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，化简：﹣|a ﹣b|．【答案与解析】解：从数轴上a 、b 的位置关系可知：﹣2＜a ＜﹣1，1＜b ＜2，且b ＞a ，故a+1＜0，b ﹣1＞0，a ﹣b ＜0，原式=|a+1|+2|b ﹣1|﹣|a ﹣b|=﹣（a+1）+2（b ﹣1）+（a ﹣b ）=b ﹣3．【总结升华】本题主要考查了利用数轴比较两个数的大小和利用二次根式的性质进行化简，属于基础题.举一反三【变式】若整数m 2(1)1,5m m m +=+<且则m 的值是___________.【答案】m=0或m=-1.类型三、最简二次根式5.下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？请说明理由.(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7). 【答案与解析】和都是最简二次根式，其余的都不是，理由如下：的被开方数是小数，能写成分数，含有分母；和的被开方数中都含有分母；和的被开方数中分别含有能开得尽方的因数和因式.【总结升华】判断一个二次根式是不是最简二次根式，就看它是否满足最简二次根式的两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；不满足其中任何一条的二次根式都不是最简二次根式.举一反三【变式】（2015•东莞二模）下列各式中,是最简二次根式的是（）A．15B．0.1C．15 D.212【答案】C.类型四：同类二次根式6. （2016•巴中）下列二次根式中，与3是同类二次根式的是( )A. 18B.13C.149D.1150【答案】 B. 【解析】故选B.【总结升华】同类二次根式的判断，关键是能够熟练准确地化二次根式为最简二次根式.举一反三：【变式】如果两个最简二次根式和是同类二次根式，那么a、b的值是( ) A.a=2，b=1 B.a=1，b=2 C. a=1，b=-1 D. a=1，b=1【答案】 D.根据题意，得解之，得，故选D.。
专题01 二次根式的概念及性质(知识点串讲)(解析版)
专题01 二次根式的概念及性质知识框架重难突破一、二次根式及代数式的概念1.二次根式的概念：一般地，我们把形如(a ≥0)•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 备注：二次根式的两个要素：①必须含有，②被开方数可以是数、字母和代数式，但必须大于等于0. 2.代数式的概念：形如5，a ，a+b ，ab ，，x 3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式. 例1．（2019·上海市建平中学西校初二月考）下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A 1a +B 1a -C 21a -D 222a a ++【答案】D【解析】A 、被开方数可能为负数，二次根式无意义，故选项错误；B 、被开方数可能为负数，二次根式无意义，故选项错误；C 、被开方数可能为负数，二次根式无意义，故选项错误；D 、正确．故选：D ．练习1．（2019·郑州枫杨外国语学校初二月考）下列式子：7，2x ，1π-，22a b +，100，21a -，1a +( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【答案】B【解析】解：7，22a b +，100，1a +是二次根式，共4个，故选：B ． 练习2．（2019·上海市闵行区上虹中学初二月考）下列各式中，一定是二次根式的有（ ） ①2 ②a ③21a + ④4 ⑤x - A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 【答案】B【解析】解：①2是二次根式；②a 不是二次根式；③21a +，∵a 2≥0，∴a 2+1＞0，故21a +是二次根式；④4是二次根式；⑤x -不是二次根式. 故选B.例2．（2019·上海初二期末）下列各式中，是代数式的是 （ ）A ．s vt =B ．()2a 10+≥C ．2x x -D ．x 5≠【答案】C【解析】解：A. s vt =式子中包含等号，不是代数式，所以错误；B. ()2a 10+≥式子中包含不等号，不是代数式，所以错误；C. 2x x -式子是由数和字母的乘方、减法运算得到的式子，是代数式，所以正确；D. x 5≠式子中包含不等号，不是代数式，所以错误；故答案选C.练习1．（2019·全国初一课时练习）以下是代数式的是（ ）A ．m ab =B ．22()()a b a b a b +-=-C ．1a +D ．2S R π= 【答案】C【解析】因为代数式中不含“=”号，所以是代数式的是C ．故选C ．二、二次根式的性质及双重非负性1.二次根式双重非负性：a ≥0，（a ≥0）；2. 二次根式的性质：（1）（a ≥0）；（2）.备注：（1）二次根式(a ≥0)的值是非负数。
初中数学知识点归纳二次根式
初中数学知识点归纳二次根式二次根式是初中数学中的一个重要知识点，它是一个数的平方根，或者可以表示成形如√a的形式，其中a是一个正整数。
在学习二次根式的过程中，我们需要掌握二次根式的化简、计算与运算等基本技巧。
下面我将详细介绍二次根式的相关知识点。
1.二次根式的定义与性质二次根式可以表示成√a的形式，其中a是一个正整数。
二次根式有以下基本性质：（1）√a=b，其中b是一个正数，那么a=b²；（2）√a=b，其中b是一个正数，那么b²=a，即b是a的一个正平方根；（3）0<√a<√b，其中a<b。
2.二次根式的化简化简二次根式是指将一个二次根式以最简形式表达出来。
（1）对于根号中的数，可以找出完全平方数因式，然后求出根号中被平方的数的平方根。
（2）对于根号外的系数，可以利用乘方运算法则进行整理。
3.二次根式的运算二次根式之间的运算包括加法、减法、乘法和除法。
（1）加减法：二次根式的加减法可以转化为同类项相加减的问题，将根号内的数进行化简和整理即可。
（2）乘法：乘法运算可以通过合并同类项、运用公式进行展开、化简来求解。
（3）除法：除法运算需要利用有理化技巧，将二次根式的被除数和除数分别乘以一个适当的有理化因子，使得分子没有根号。
4.二次根式的应用二次根式在初中数学中常常与勾股定理、平方差公式等知识点相结合，应用于解决各种几何问题。
（1）使用二次根式计算直角三角形的边长：根据勾股定理，可以利用二次根式计算直角三角形的边长。
（2）使用二次根式计算面积：利用二次根式可以计算各类面积，如矩形、正方形、圆等。
5.二次根式的估算在实际生活和解题过程中，我们常常需要对二次根式进行估算。
可以利用四舍五入和近似计算的方法对二次根式进行估算，得到一个较为接近的结果。
以上就是关于初中数学中二次根式的相关知识点的归纳。
通过学习和掌握这些知识，可以更好地理解和运用二次根式，提高数学解题的能力。
专题01 二次根式的概念及性质(知识点串讲)(原卷版)
专题01 二次根式的概念及性质知识框架重难突破一、二次根式及代数式的概念1.二次根式的概念：一般地，我们把形如(a≥0)•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．备注：二次根式的两个要素：①必须含有，②被开方数可以是数、字母和代数式，但必须大于等于0）2.代数式的概念：形如5，a，a+b，ab，，x3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.二、二次根式的性质及双重非负性1.二次根式双重非负性：a≥0，（a≥0）；2. 二次根式的性质：（1）（a≥0）；（2）.备注：（1）二次根式(a≥0)的值是非负数。
一个非负数可以写成它的算术平方根的形式，即2=≥）.()(0a a a（22a2)a要注意区别与联系：1)a的取值范围不同，2)a中a≥02a a为任意值。
2)a≥0时，2)a2a a；a<0时，2)a2a a-.（3）二次根式有意义情况：1A0A；≥2有意义的条件：000≥⎧⎪≥⎪⎨⋅⋅⋅⎪⎪≥⎩A B N ;3有意义的条件是0>A ; 41B 有意义的条件是00≥⎧⎨≠⎩A B 例1．（2019·四川蓬溪�初三期中）下列代数式中，属于二次根式的为( ) ABC1)a ≥D．练习1．（2019·遂宁市安居育才中学校初三期中）下列式子一定是二次根式的是（ ） ABCD练习2．（2020·山东文登�初二期中）x y x x y >=->+中，二次根式有（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个例2．（2019·山东长清�的值在（ ） A ．2和3之间B ．3和4之间C ．4和5之间D ．5和6之间练习1．（2020·四川三台�n 的最小值是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．6练习2．（2020·n 的最大值为（ ） A ．12B ．11C ．8D ．3例3．（2018·四川开江�x 的取值范围是_____．练习11．（2020·有意义，则实数x 的取值范围是 A ．x 1≠B ．x 0≥C ．x 0>D ．x 0≥且x 1≠练习2．（2019·四川雁江�初三其他）函数y =x 的取值范围是______． 例4．（2020·乌拉特前旗第三中学初一期中）下列计算正确的是（ ） A2=±B3=-C ．(25= D ．(23=-练习1．（2019·山东沂水�初二期中）计算: =_________.练习2．（2019·湖北武昌�初二期中）若1x <，化简：2(1)x -=____________ 例5．（2020·四川米易�初三期末）已知实数a 在数轴上的位置如图所示，则化简()211a a --+=__________．练习1．（2018·全国初二期中）已知a ，b ，c 为三角形三边，则222()()()a b c b c a b c a +-+--++-=______．例6．（2018·安徽庐江�初二期中）化简二次根式3x -的结果是（ ） A ．x x -B ．﹣x xC ．x xD ．﹣x x -练习1．（2020·山东肥城�初二期中）把1m m-根号外的因式移入根号内得（ ） A ．m B ．m - C ．m -D ．m --练习2．（2019·深圳布心中学初二期中）化简二次根式 22a a a+-的结果是（ ） A ．2a -- B ．－2a -- C ．2a -D ．－2a -例7．（2019·安徽阜阳�初二期中）知n=20192019m m ----6，求m n -的值．练习1．（2020·长春北师大附属学校初二期中）先化简，再求值：a +212a a -+，其中a ＝1010． 如图是小亮和小芳的解答过程．（1） 的解法是错误的，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：2a ＝ （a ＜0）； （2）先化简，再求值：x 244x x -+，其中x ＝﹣2019．练习2．（2020·北京市第四十四中学初二期中）阅读下面的解答过程，然后作答： 有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数 m 和n ，使m 2+n 2=a 且 mn=，则a+2可变为m 2+n 2+2mn ，即变成（m+n ）2，从而使得化简．例如：∵5+2=3+2+2=（）2+（）2+2=（+）2∴==+请你仿照上例将下列各式化简 （1），（2）．例8．（2019·山东微山�初二期中）[阅读材料]材料一：把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化，通常把分子、分母乘以同一个不等于0的式子，以达到化去分母中根号的目的．32+ ()()13232323232⨯==++-2a b ±,m n ，使22m n a +=，并且mn b ====±m n===1（理解应用）()1的结果等于()2计算：+···练习1．（2020·沈阳市第七中学初二期末）观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题：例1= 1===例2= 利用以上结论解答以下问题：（不必证明）（1= ；= ；= ．（2）利用上面结论，求下列式子的值．...练习2．（2020·全国初二单元测试）观察下列各式：1=-==…（1）按照上述各式反映的规律，写出下一个等式；（2）按照上述各式反映的规律，写出用n （n 是正整数）表示的等式，并给出该等式的证明.。
二次根式章节知识点总结
二次根式【知识脉络】【基础知识】Ⅰ. 二次根式 二次根式的概念形如a （0≥a ）的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式， 但必须注意：因为负数没有平方根，所以0≥a 是a 为二次根式的前提条件，如5， 12+x ，)1(1≥-x x 等是二次根 式，而2-，72--x 等都不是二次根式。
Ⅱ. 二次根式的一般性质（1）．二次根式a （0≥a ）的双重非负性 a （0≥a ）表示a 的算术平方根，也就是说，a （0≥a ）是一个非负数，即0≥a （0≥a ）。
注：这个性质在解答题目时应用较多，如若0=+b a ，则a=0,b=0；若0=+b a ， 则a=0,b=0； 若02=+b a ，则a=0,b=0。
（2）．二次根式2)(a 的性质 )0()(2≥=a a a 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：上面的公式也可以反过来应用：若0≥a ，则2)(a a =，如：2)2(2=，2)21(21=。
（3）．二次根式的性质 ⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a 文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注：2a 中的a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 取何值，2a 一定有意义；（4）．2)(a 与2a 的异同点a ．不同点：2)(a 与2a 表示的意义是不同的，2)(a 表示一个正数a 的算术平方根的平方，而2a 表示一个实数a 的平方的算术平方根；在2)(a 中0≥a ，而2a 中a 可以是正实数，0，负实数。
但2)(a 与2a 都是非负数，即0)(2≥a ，02≥a 。
因而它的运算的结果是有差别的： )0()(2≥=a a a ，而⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a 。
b ．相同点：当被开方数都是非负数，即0≥a 时，2)(a =2a ；0<a 时，2)(a 无意义，而a a -=2。
二次根式的知识点汇总
17、(09台州市)计算： ．
四、二次根式与整式的化简求值问题：
18、（09广州市）先化简，再求值： ，其中
19、（09孝感市）已知： 求下列各式的值．
（1） ；（2）
20、（09威海市）
先化简，再求值： ，其中 ．
1、已知 ， ，求： 的值；
2、已知： ，计算：（1） ；（2）
① =___________.
② =（）×( ) ( )；
③ =___________.
2011安徽，4，4分）设a= －1，a在两个相邻整数之间，则这两个整数是（）
A．1和2B．2和3C．3和4D．4和5
（2011山东烟台，5,4分）如果 ，则（）
A．a＜ B.a≤ C.a＞ D.a≥
2011安徽芜湖，14，5分）已知 、 为两个连续的整数，且 ，则 ．
A． B． C． D．
4、在电路中，已知一个电阻的阻值R和它消耗的电功率P.由电功率计算公式 可得它两端的电压U为（）；
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
5、使代数式 有意义的x的取值范围是（）
A、 ；B、 ；C、 ；D、 且 ；
6函数 的自变量 的取值范围是（）
A． B．
C． D．
函数 ＋ 中自变量 的取值范围是（）
2.如果 求 的算术平方根。
6.在ΔABC中，a，b，c为三角形的三边，则 =_______。
7.已知
8.如果 ，则 =_______。
三、分式的有理化
1、已知x= ,y= ，求x2－y2的值。
5.已知 ，求下列各式的值；
1 ；
2 ；
3 ;
四、整数部分与小数部分
1. 的整数部分是_________，小数部分是________。
八年级数学下册专题01 二次根式压轴(四大类型)(原卷版)
专题01 二次根式化简常考压轴（四大类型）本章内容与已学内容“实数”“整式”“勾股定理”联系紧密，同时也是以后将要学习的“解直角三角形”“一元二次方程”和“二次函数”等内容的重要基础，并为学习高中数学中的不等式、函数以及解析几何等的大部分知识作好准备。
【类型一】利用数轴化简根式】【类型二】含字母的二次根式化简(注意范围)】【类型三】双重二次根式化简【类型四】二次根式有意义的条件【类型一：利用数轴化简根式】【典例1】已知，如图所示，实数a、b、c在数轴上的位置．化简：．【变式1-1】已知实数a，b在数轴上的对应点如图，则化简：，得（）A．﹣3a B．﹣a+2b C．﹣2a D．a﹣b【变式1-2】已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示：化简：．【变式1-3】已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：+﹣| a﹣b|．【变式1-4】已知实数在数轴上的对应点如图所示，化简．【类型二：含字母的二次根式化简(注意范围) 】【典例2】化简﹣x的结果是（）A．B．﹣C．﹣D．﹣【变式2-1】已知a＞b，则的化简结果是（）A．B．﹣C．D．﹣【变式2-2】化简的结果正确的是（）A．2m2B．﹣2m2C．﹣2m2﹣D．2m2【变式2-3】化简﹣a的结果是（）A．﹣2a B．﹣2a C．0D．2a【变式2-4】化简二次根式的正确结果是（）A．B．C．D．【类型三：双重二次根式化简】【典例3】材料：如何将双重二次根式（a＞0，b＞0，a±2＞0）化简呢？如能找到两个数m，n（m＞0，n＞0），使得（）2+（）2＝a，即m+n＝a，且使＝，即m•n＝b，那么＝（）2+（）2±2＝（±）2∴＝，双重二次根式得以化简．例如化简：因为3＝1+2且2＝1×2∴3±2＝（）2+（）2±2×＝|1±|．由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到m，n（m＞0，n＞0）使得m+n＝a，且m•n＝b，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式．请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：（1）填空：＝，＝；（2）化简：；（3）计算：+．【变式3-1】阅读材料：小李同学在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小李同学进行了以下探索：设（其中a、b、m、n均为整数），则有．∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小李同学就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小李同学的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝，b＝；（2）若，且a、m、n均为正整数，求a的值；（3）化简：．【变式3-2】【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：；+2×1×＝（1+）2．【类比归纳】（1）请你仿照小明的方法将7+2化成另一个式子的平方；（2）请运用小明的方法化简；．【变式探究】（3）若a+2＝，且a，m，n均为正整数，求a的值．【变式3-3】先阅读下列解答过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个正数a，b，使a+b＝m，ab＝n，使得＝m，，那么便有：（a＞b）．例如：化简：解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即：＝7，，所以．问题：（1）填空：＝，＝；（2）化简：（请写出计算过程）；（3）化简：．【类型四：二次根式有意义的条件】【典例4】已知x，y为实数，y＝，求xy的平方根．【变式4-1】已知y＝﹣+9x，求的平方根．【变式4-2】已知+2＝b+8．（1）求a的值；（2）求a2﹣b2的平方根．【变式4-3】已知x满足|2015﹣x|+＝x，求x﹣20152的值．1．若2＜a＜3，则等于（）A．5﹣2a B．1﹣2a C．2a﹣5D．2a﹣12．把a中根号外面的因式移到根号内的结果是．3．若|2017﹣m|+＝m，则m﹣20172＝．4．若实数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，试化简：﹣+|b+c|+|a﹣c|．5．阅读材料：康康在学习二次根式后、发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的康康进行了以下探索：设（其中a、b、m、n均为正整数），则有（有理数和无理数分别对应相等），∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样康康就找到了一种把式子化为平方式的方法．请你仿照康康的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含c、d的式子分别表示a、b，得：a＝，b＝；（2）若，且e、f均为正整数，试化简：；（3）化简：．6．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a且mn ＝，则a±2将变成m2+n2±2mn，即变成（m±n）2，从而使得以化简．例如，因为5+2＝3+2+2＝（）2+（）2+2×＝（+）2，所以＝＝+．请仿照上面的例子化简下列根式：（1）；（2）．7．x、y均为实数y＜++，化简：．8．若＝•，求（x+1）的值．9．先阅读下列的解答过程，然后作答：形如的化简，只要我们找到两个数a，b使a+b＝m，ab＝n，这样（）2+（）2＝m，•＝，那么便有＝＝±（a ＞b），例如：化简．解：首先把化为，这里m＝7，n＝12；由于4+3＝7，4×3＝12，即（）2+（）2＝7，•＝，∴＝＝＝2+．由上述例题的方法化简：（1）；（2）；（3）．10．已知实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简+|a+b|+|﹣a|﹣．11．已知△ABC的三边长为a，b，c，化简+﹣．。
专题01 二次根式的定义及性质(原卷版)(重点突围)
专题01 二次根式的定义及性质
【考点导航】
目录
【典型例题】 (1)
【考点一二次根式的定义】 (1)
【考点二二次根式有意义的条件】 (1)
【考点三求二次根式的值】 (2)
【考点四求二次根式中的参数】 (2)
【考点五利用二次根式的性质化简】 (2)
【考点六复合二次根式的化简】 (3)
【过关检测】 (4)
【典型例题】
【考点一二次根式的定义】
【变式训练】
【考点二二次根式有意义的条件】
【变式训练】
【考点三求二次根式的值】
【变式训练】
【考点四求二次根式中的参数】
【变式训练】
【考点五利用二次根式的性质化简】
【变式训练】
【考点六复合二次根式的化简】
【变式训练】
【过关检测】
A．2B．-2C．2a-6D．-2a+6
三、解答题。
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专题01 二次根式的有关概念和性质
知识网络
重难突破
知识点一 二次根式的有关概念 二次根式概念：一般地，我们把形如（a ≥0）的式子叫做二次根式，“
”称为二次根号。
【注意】 1.二次根式，被开方数a 可以是一个具体的数，也可以是代数式。
2.二次根式
是一个非负数。
3.二次根式与算术平方根有着内在联系，
（a ≥0）就表示a 的算术平方根。
二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式
有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
【典型例题】
1．（2018·黔西县期中）下面式子是二次根式的是（ ） A 21a +B 333C 1-D ．
1
2
a 2．（2019·朝阳市期中）下列各式中不是二次根式的是（ ） A 21x +
B 4-
C 0
D 2()a b -
3．（2018·48n n 是（ ） A ．6
B ．3
C ．48
D ．2
4．（2018·26的值在（ ） A ．2和3之间
B ．3和4之间
C ．4和5之间
D ．5和6之间
5．（2019·虹桥区期末）在平面直角坐标系中，点M （a ，b ）的坐标满足（a ﹣3）22b -0，则点M 在（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
6．（2019·孝感市期中）已知三角形的三边长为a 、b 、c ，如果2
(5)12130a b c -+-+-=，则△ABC 是
（ ）
A ．以a 为斜边的直角三角形
B ．以b 为斜边的直角三角形
C ．以c 为斜边的直角三角形
D ．不是直角三角形
7．（2019·滨州市期中）下列式子：①1
3
；②3-；③﹣21x +；④327；⑤2(2)-，是二次根式的有（ ） A ．①③
B ．①③⑤
C ．①②③
D ．①②③⑤
8．（2019·汕头市期末）若2
11a a
a a
--=，则a 的取值范围是（ ） A ．0a >
B ．1a ≥
C ．01a ≤≤
D ．01a <≤
9．（2019·抚顺市期末）若二次根式51x -有意义，则x 的取值范围是( ) A ．x ＞
1
5
B ．x≥
15
C ．x≤
15
D ．x≤5
10．（2018·德州市期末）使代数式3
4
x x --有意义的自变量x 的取值范围是（ ） A ．x≥3
B ．x ＞3且x≠4
C ．x≥3且x≠4
D ．x ＞3
11．（2017·东胜市期末）方程有两个实数根，则的取值范围（ ）
A ．
B ．
且
C ．
D ．
且
12．（2018·泉州市期中）若a ab
+有意义，那么直角坐标系中点A(a,b)在（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
知识点二 二次根式的性质 二次根式的性质：
1．含有两种相同的运算，两者都需要进行平方和开方。
2．结果的取值范围相同，两者的结果都是非负数。
3．当a ≧0时，
【典型例题】
1．（2019·南开区期末）若32a 3a +＝﹣a 3a +，则a 的取值范围是（ ） A ．﹣3≤a≤0
B ．a≤0
C ．a ＜0
D ．a≥﹣3
2．（2019·龙海市期中）把1
m m
-
根号外的因式移到根号内，得（ ） A ．m B ．-m C ．-m - D ．m -
3．（2018·南阳市期中）已知x<1，则221x x -+化简的结果是( ) A ．x-1
B ．1-x
C ．-x-1
D ．1+x
4．（2019·东安市期末）实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简2a a b -+的结果为（ ）
A ．2a+b
B ．-2a+b
C ．b
D ．2a-b
5．（2017·卢龙县期中）如果2a a 2a 1-+，那么a 的取值范围是（ ） A ．a 0=
B ．a 1=
C ．a 1≤
D ．a=0a=1或
6．（2018·隆昌县渔箭中学初三期末）如图，a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，22()a a c c b +-的结果是（ ）
A ．2c ﹣b
B ．﹣b
C ．b
D ．﹣2a ﹣b
7．（2019·晋城市期末）下列等式正确的是（ ） A ．（3）2=3
B ．2(3)-=﹣3
C ．33=3
D ．（﹣3）2=﹣3
8．（2019·燕山区期末）下列运算正确的是（ ） A ．4＝±2
B ．（4）2＝4
C ．2(4)-＝﹣4
D ．（﹣4）2＝﹣4
9．（2019·合肥市期末）实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+2()a b +的结果是( )
A ．﹣2a-b
B ．2a ﹣b
C ．﹣b
D ．b
10．（2018·安庆市期末）已知 4＜a ＜7()
2
4a -()
2
7a - ）
A ．3
B ．-3
C ．2a-11
D ．11-2a
11．（2019·德州市期末）下列各式中正确的是（ ） A 164=±
B 2
(2)2-=
C 273=
D 33
=12．（2019·洛阳市期中）把1
a
-
( ) A a -B ．a -C a D ．a
巩固训练
一、 选择题（共10小题）
1．（2020·沧州市期末）实数5不能写成的形式是（ ） A 25B 2(5)-
C ．2(5)
D ．2(5)--
2．（2020·张家口市期末）8
4
是（ ） A ．分数
B ．整数
C ．有理数
D ．无理数
3．（2018·邵阳市期末）把x 1
x
-
根号外的因数移到根号内，结果是（ ） A ．x B ．x -
C ．-x -
D ．-x
4．（2020·南通市期末）若代数式有意义，则实数x 的取值范围是( ) A ．
B ．
C ．
D ．
且
5．（2020·成都市期中）若式子21x x -+-有意义，则x 的取值范围是（ ）
A ．x ≤2
B ．x ≥1
C ．x ≥2
D ．1≤x ≤2
6．（2020·巴中市期末）下列的式子一定是二次根式的是（ ） A ．2x --
B ．x
C ．22x +
D ．22x -
7．（2020·南通市期末）当x 为任意实数时，下列式子中有意义的式子为（ ） A ．
100
x
x +
B ．
2
1x C ．2x +
D ．
()
2
1x -
8．（2020·海口市期末）下列运算正确的是（ ） A ．42=± B ．
()
2
44-=-
C ．382-=-
D ．1212-=-
9．（2019·沈阳市期中）化简25的结果为（ ） A ．5±
B ．5
C ．-5
D ．5
10．（2020·成都市期中）函数2y x =+中，自变量x 的取值范围在数轴上表示正确的是( ) A ．
B ．
C ．
D ．
二、 填空题（共5小题）
11．（2020·1
12
x -
x 的取值范围是_____．
12．（2020·温州市期末）若270x y -++=，则x y -=_______ .
13．（2019·西安市期中）如果|a |+a ＝0，则22(1)a a -+＝_____．
14．（2020·淮南市期末）函数31
1
x y x +=
-的自变量x 取值范围是___________ . 15．（2019·曲靖市期末）若代数式32x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是_____． 三、 解答题（共2小题）
16．（2019·来宾市期末）已知：a 、b 、c 是△ABC 的三边长，化简－＋
.
17．（2019·武汉市期中）已知2是x 的立方根，且（y-2z+5）2+
=0，求
的值.。