第4讲 静电场(I)_34510

不致影响原来的电场； Note2：以带“撇”的分量表示源点，不带“撇”的分量 表示观察点(场点)； Note3： ′ q (r − r ′) ′ r ′处点电荷 q，在 r 处的 E(r) 为：E (r ) = 3
′ ′ … ri (i = 1 n) 处点电荷 q i 组成的点电荷系在 r 处的E(r)为： 1 n r − r′ E (r ) = q′ ∑ 3 i 4πε 0 i =1 r − r ′ 分布电荷在 r 处产生的E(r)为： r − r′ 1 dq′ E (r ) = 3 ∫ region 4πε0 r − r′
Field and Wave Electromagnetics
主讲：李龙
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Review
矢量分析
场的基本概念；标量场的梯度；矢量场的散度、旋度；
亥姆霍兹定理；圆柱坐标系与球坐标系中的梯度、散度 和旋度。 1. 基本要求

体电荷 面电荷 线电荷
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电场强度
电场强度(Electric field intensity)
两个电荷之间互不接触却能相互作用，这种作用是通过
电场进行的。


电场是一种特殊的物质，看不见摸不着，但可以通过带电体 的相互作用来检验它，也可以由相互作用的强弱来度量电场 的强弱。 用来描述电场强弱的物理量是电场强度。我们定义位于该点 处的单位正电荷所受的力为该处的电场强度。用E表示，其 单位为牛顿/库仑（N/C）。(V/m)
亥姆霍兹定理(Helmholtz Theorem)

源分两类：
• 散度源，也称通量源； • 旋度源，也称涡旋源。

一个矢量场的性质由激发该场的源来确定； 亥姆霍兹定理：若矢量场F在无限空间中处处单值，且其 导数连续有界，而源分布在有限空间区域中，则矢量场由 其散度和旋度唯一确定，并且可以表示为一个标量函数的 梯度和一个矢量函数的旋度之和， 即
da ρl dQ = = az az 3 3 2ε 0 ( a 2 + d 2 ) 2 4πε 0 ( a 2 + d 2 ) 2
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如果电荷分布在宏观尺度h很小的薄层内，则可认为电
荷分布在一个几何曲面上，用面密度描述其分布。若面 积元ΔS内的电量为Δq，则面密度为 ∆q dq = = ρ s ( r ) lim ∆s → 0 ∆s ds
电荷线密度
对于分布在一条细线上的电荷用线密度描述其分布情况。
若线元Δl内的电量为Δq，则线密度为
(r − r ′) 3 | r − r′ |
q 'q F (r ) = 4πε 0
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库仑定律
库仑定律表明，真空中两个点电荷之间的作用力
大小与两点电荷电量之积成正比，与距离平方成反比； 力的方向沿着它们的连线； 同号电荷之间是斥力， 异号电荷之间是引力； 点电荷q′受到q的作用力为F′，且F′= －F.
其单位是库/米3(C/m3)。


ΔV趋于零，指相对于宏观尺度而言很小的体积，以便能精确地描 述电荷的空间变化情况； 相对于微观尺度，该体积元又是足够大，载有大量的带电粒子， 这样才可以将电荷分布看作空间的连续函数。
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库仑定律
电荷面密度

qi (r − ri ′) ∑ 3 i =1 r − ri ′
n
(i ) ′ r 其中，Fq 表示 i 处的点电荷 qi 对q的作用力
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库仑定律
−6 −12 q = q = 10 C ， q = − 10 C ， [例1]有三个点电荷电量分别为 1 2 3
∆q dq = ρl ( r ) lim = ∆l → 0 ∆l dl
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库仑定律
分布电荷对点电荷的作用力
以体电荷为例
பைடு நூலகம்

′ dV ′中电量为： 取 r′处体积元dV，则 dq′ = ρ ( r ′ ) dV ′ 将dq′ 看作点电荷，则对电荷q的作用力为：


R=r-r′表示从r′到r的矢量；R是r′到r的距离 ε0表征真空电性质，称为真空的介电常数，其值为
ε 0 = 8.854 × 10−12 ≈
1 × 10−9 F / m 36π
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库仑定律
R= r − r ′, R =− | r r′ |
（1）熟练掌握场的基本概念，掌握标量场的梯度、矢量 场的散度和旋度的定义、运算。 （2）了解圆柱坐标系与球坐标系中梯度、散度和旋度运 算。 重点：场的基本概念；梯度、散度和旋度的定义、运算 和物理意义 难点：矢性微分算符、亥姆霍兹定理、矢量公式。
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2. 重点、难点
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库仑定律
分布电荷
实际上，带电体总具有一定尺寸，一般不能看成点电荷，
而应认为电荷连续分布于一定区域内。 分布于一定区域内的电荷称为分布电荷。 如果电荷分布在一个体积内，则称之为体电荷； 如果电荷分布在一个曲面上，则称之为面电荷； 如果电荷分布在一条曲线上，则称之为线电荷。
F = −∇ϕ + ∇ × A
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第3讲 静电场I（Static Electric Field I）
库仑定律 电场强度 静电场的高斯定理 静电场的电位
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库仑定律
库仑定律只能直接用于点电荷。
所谓点电荷，是理想化模型。
对于实际带电体， 用电荷密度来定量描述电荷空间分布情况。
电荷体密度
在电荷分布区域内，取体积元ΔV，若其中的电量为Δq，则
电荷体密度为
∆q dq = = ρ (r ) lim ∆V → 0 ∆V dV
定义: 在 r 处放置点电荷q（试探电荷），它所受的力
Fq (r ) 为Fq (r ) ，则该处的电场强度为： E (r )= q
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电场强度
Note1：试探电荷电量应足够小，以使得试探电荷的引入
它们处于边长1m的等边三角形顶点上，如图示，求 q3所受 的力。
3 1 1 r= a y，r1′ = − ax，r2′ = ax 2 2 2 3 1 ′ r − = r a y + ax，r − = r1′ 1 1 2 2 ⇒ 3 1 r ′ ′ 1 − = r a y − ax，r − r = 2 2 2 2 q3 q1 (r − r1′) q2 (r − r2′) = Fq3 3 + 3 4πε 0 r − r2′ r − r1′
[解 ]
q3 = 4πε 0
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3 1 3 1 −9 9 3 10 + + − = = − × a a q a a ay q1 2 y 2 x 2 2 y 2 x
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4πε0 r − r ′
电场强度
[例2] 一圆环均匀分布总量Q的电荷，求其轴线上距圆心d
处的电场强度。 [解] Q
2π a r = daz r ′ a cos ϕ ′ ax + a sin ϕ ′a y = r − r′ 1 ρl dl ′ E (r ) = 3 ∫ l 4πε 0 r − r ′ ′ ′ − − + ϕ ϕ π a a a a da cos sin 2 1 x y z = ρl a dϕ ′ 3 ∫ 0 4πε 0 ( a2 + d 2 )2
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库仑定律
电荷密度
为了定量地描述电荷在区域内分布的疏密程度，引入电
荷密度的概念。
∆q dq = = ρ (r ) lim (C / m3 ) ∆V → 0 ∆V dV ∆q dq = = ρ s ( r ) lim (C / m 2 ) ∆s → 0 ∆s ds ∆q dq = = ρl ( r ) lim (C / m) ∆l → 0 ∆l dl
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库仑定律
分布电荷对点电荷的作用力可以统一地表示为：
Fq (r ) = q 4πε0
∫
region
r − r′ 3 dq′ r − r′
ρ (r ′)dV ′ ′ dq = ρ s (r ′)ds′ ρ (r l ′)dl ′
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库仑定律
迭加原理 当真空中存在两个以上的点电荷时，实验表明，任何两 个点电荷间的作用力不受其它点电荷的影响 点电荷所受的力是其它所有点电荷对它的作用力的矢量 和，即满足迭加性。
(1) ( 2 ) (n) q Fq (r ) = Fq + Fq + + Fq = 4πε 0
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第3讲 静电场（I）
静电场是指相对于观察者而言静止的电荷所产生的场。
人们对静电现象的认识可以追溯到两千多年前，早
在公元前585年，希腊哲学家泰勒斯（Thales）就 记载了用木块摩擦过的琥珀可以吸引细小的物体。 对静电场系统性、科学性研究开始于1785年法国科 学家库仑（Chavles Augustin Coulomb，1736～ 1806）发现了以其名字命名的“库仑定律”。 库仑定律和迭加原理一起，构成了静电场的理论基 础。 这节课将从库仑定律和迭加原理出发，得出描述真空 中静电场的基本方程，进而讨论介质中的静电场，静 电场的基本解法以及静电场的能量。