初高中衔接教材第7讲 函数的单调性与最值
函数的单调性和最值PPT精品课件
函数单调性的性质
函数单调性具有传递性，即如果函数 在区间I上单调递增，且在区间J上单 调递增，则函数在区间I和J的交集上 也是单调递增的。
函数单调性具有相对性，即如果函数 在区间I上单调递增，且另一个函数在 区间J上单调递增，则这两个函数在区 间I和J的交集上也是单调递增的。
求函数最值的方法
配方法：将函数进行配方，利用二次 函数的性质求最值。
导数法：求出函数的导数，令导数为 0，解出极值点，再比较区间端点和
极值点的函数值，得到最值。
判别式法：对于一些特殊的分式函数， 通过判别式法求最值。
实际问题的解决
利用函数的单调性和最值解决实际问 题，如最大利润、最小成本等问题。
通过建立数学模型，将实际问题转化 为数学问题，利用函数的单调性和最 值求解。
函数的拐点
定义
函数图像上凹凸性发生变化的点，即二阶导数由正变负或由负变正的点。
判断方法
求函数二阶导数，令其等于0，然后检查三阶导数在该点的符号，以确定函数在拐点左 侧是凹还是凸。
极值和拐点的应用
优化问题
通过找到函数的极值点，可以确定使目标函数 取得最大或最小值的自变量取值。
动态分析
拐点可以用于分析经济、物理等系统的变化趋 势和稳定性。
单调性在生活中的应用
单调性在经济学中有着广泛的应用，例如在股票价格、商品价格和供需关系等方面的分析中，可以利用单调性来判断市场的 变化趋势。
单调性在物理学中也有着重要的应用，例如在研究物体的运动规律、热量传递和电磁场等方面，可以利用单调性来分析物理 现象的变化趋势。
高中数学：《函数的单调性与最值》教学讲解课件
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(3)换元法：用换元法时一定要注意新变 元的取值范围；
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(3)换元法：用换元法时一定要注意新变 元的取值范围；
函数的单调性与最值
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学法大视野P24
3.利用函数的图象确定函数的单调区间
例3. 求函数f ( x) x2 | x |的单调递减
区间.
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4.利用不等式与恒等式确定函数的单调性
例4. 已知函数y f ( x)的定义域为R,且对任
意a, b R, 都有f (a b) f (a) f (b), 且当x 0时, f ( x) 0恒成立,证明 :函 数y f ( x)是R上的减函数.
夹角为60˚，要求横截面的周长为定值m，
问渠深h为多少时，可使流量最大？
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小结
知识点2：求函数的最大(小)值的方法
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小结
知识点2：求函数的最大(小)值的方法
(1)配方法：主要适用于二次函数或可化为 二次函数的函数，要特别注意自变量的范围；
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小结
知识点2：求函数的最大(小)值的方法
(1)配方法：主要适用于二次函数或可化为 二次函数的函数，要特别注意自变量的范围；
x 并确定取得最小值时 x的值.列表如下 :
x … 0.5 1 1.5 1.7 1.9 2 y … 8.5 5 4.17 4.05 4.005 4
x 2.1 2.2 2.3 3 4 5 7 … y 4.005 4.02 4.04 4.3 5 5.8 7.57 …
函数的单调性极值与最值课件
2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或
y
不存在的点.
x1 , x4 为极大点
x 2 , x5 为极小点
x3 不是极值点
o a x1 x2 x3 x4 x5 b x
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定理 1 (极值第一判别法)
设函数 f (x)在 x0 的某邻域内连续, 且在空心邻域 内有导数, 当x由小到大通过 x0 时,
x2
2
x1
)2
[
f
(1)
f (2 )]
当 f (x) 0时,
f
( x1
) 2
f
(
x2
)
f (x1 x2 ),
2
说明 (1) 成立; (2) 证毕
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推论
如果在区间(a,b)内恒有f ''(x) 0(或f ''(x) 0). 且使得f ''(x) 0的点只是一些离散的点，则函 数曲线y f (x)在区间(a,b)内上凹（或下凹）
综上,f (x)在(0,1)内只有一个零点，即方 程f (x)=0,亦即xex 2在(0,1)内仅有一个实根.
例6 设f (x)在[a, b]上连续，且在(a, b)内f ''(x) 0,
证明 f (x) f (a) 在(a, b)内单调增加. xa
证明 设F (x) f (x) f (a) , x (a,b) xa
而F ' (x)
f ' (x)(x a) f ' ( )(x a)
(x a)2
f ' (x) f ' ( ) 0,
xa F (x) f (x) f (a) 在(a,b)内单调递增.
2023届高考数学一轮复习讲义：第7讲 函数的单调性与最值
第7讲函数的单调性与最值1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D 当x1<x2时，都有，那么就称函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有，那么就称函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是或，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值前提 设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足 条件 (1)∀x ∈I ，都有 ； (2)∃x 0∈I ，使得(1)∀x ∈I ，都有 ； (2)∃x 0∈I ，使得结论M 为最大值M 为最小值➢考点1 函数的单调性[名师点睛]确定函数单调性的四种方法 (1)定义法：利用定义判断．(2)导数法：适用于初等函数可以求导的函数．(3)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接． (4)性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性． 1．（2022·全国·高三专题练习）函数2()23f x x x -- ） A ．(,1]-∞B ．[3,)+∞C ．(,1]-∞-D ．[1,)+∞2．（2022·全国·高三专题练习）讨论函数()1axf x x =-（0a ≠）在(11)-，上的单调性.[举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）函数222x x y -++=的单调递增区间是（ ）A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(,1]-∞-C ．112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，D ．[]12-， 2．（2022·全国·高三专题练习）函数()213log 412y x x =-++单调递减区间是（ ）A ．(),2-∞B ．()2,+∞C ．()2,2-D ．()2,6-3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()2f x x x x =-+，则下列结论正确的是（ ） A ．递增区间是(0,)+∞ B ．递减区间是(,1)-∞- C ．递增区间是(,1)-∞-D ．递增区间是(1,1)-4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的图象如图所示，则函数()()12log g x f x =的单调递增区间为（ ）A ．(],3-∞-，[]0,3B ．[]3,0-，[)3,+∞C ．(),5-∞-，[)0,1D ．(]1,0-，()5,+∞5．（2022·广西柳州·三模）下列函数在(),0∞-上是单调递增函数的是（ ） A ．tan y x =B ．()ln y x =-C ．12xy =D ．1y x=-6．（2022·全国·高三专题练习）函数y =|-x 2+2x +1|的单调递增区间是_________ ；单调递减区间是_________．7．（2022·全国·高三专题练习）函数216y x x =-+_____． 8．（2022·福建·三模）写出一个同时具有下列性质①②③的函数()f x =________. ①定义域为R ；②值域为(,1)-∞；③对任意12,(0,)x x ∈+∞且12x x ≠，均有()()12120f x f x x x ->-.9．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）1x=+lg 4xx -．判断并证明函数f （x ）的单调性；10．（2022·全国·高三专题练习）已知定义域为实数集R 的函数()11222xx f x +-=+．判断函数f （x ）在R 上的单调性，并用定义证明．➢考点2 函数单调性的应用1．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数()()e e 2x xx f x --=，则21log3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，342b f -⎛⎫= ⎪⎝⎭，432c f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的大小关系为（ ）A ．b ac << B ．a b c << C ．c a b << D ．a c b <<2．（2022·广东深圳·高三期末）已知函数()1e ,111,1x x f x x x x-⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩，则()f x 的最大值为______．3．（2022·河北唐山·二模）已知函数()f x ()()21f x f x >-，则x 的取值范围是（ ） A ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．()1,1,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数1()ax f x x a-=-在(2,)+∞上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(-∞，1)(1-⋃，)+∞ B ．(1,1)-C ．(-∞，1)(1-⋃，2]D ．(-∞，1)(1-⋃，2)[举一反三]1．（2022·辽宁朝阳·高三开学考试）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意两个不相等的正数12,x x ，都有()()2112120x f x x f x x x ->-，记(2)(3)(1),,23f f a f b c -===，则（ ）A ．c a b <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．b c a <<2．（2022·重庆·模拟预测）设函数()()()32200x xx f x x x -⎧-+>⎪=⎨-≤⎪⎩，若ln 2a =，0.23b =，0.3log 2c =，则（ ）A ．()()()f a f b f c >>B ．()()()f b f a f c >>C ．()()()f a f c f b >>D ．()()()f c f a f b >>3．（2022·全国·高三专题练习）函数()41f x x x =++在1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为（ ） A ．153,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[]3,4C ．153,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．154,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦4．（2022·重庆八中模拟预测）已知函数()1y f x =-是定义在R 上的偶函数，且()f x 在(),1-∞-单调递减，()00f =，则()()210f x f x +<的解集为（ ）A ．()(),20,-∞-⋃+∞B ．()2,0-C ．312,,022⎛⎫⎛⎫--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．31,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭5．（2022·河北·模拟预测）设函数()()212,1,2,1,x x f x x x ⎧++<⎪=⎨-≥⎪⎩则不等式()()340f f x +->的解集为（ ） A ．()1,1- B ．()(),11,-∞-⋃+∞ C ．()7,7-D ．()(),77,-∞-⋃+∞6．（2022·全国·高三专题练习）若函数21,1()2,,1ax x f x x ax x -<⎧=⎨-≥⎩是R 上的单调函数，则a 的取值范围（ ） A ．20,3⎛⎫⎪⎝⎭B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(]0,1D ．()0,17．（2022·全国·高三专题练习）函数2()2(1)3f x x m x =-+-+在区间(],4-∞上单调递增，则m 的取值范围是（ ）A ．[)3,-+∞B ．[)3,+∞C ．(],5-∞D ．(],3-∞-8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()2313,11,1a x a x f x x x ⎧-+<=⎨-+≥⎩在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．11,63⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D ．11,,63⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭9．（多选）（2022·全国·高三专题练习）函数()21x af x x -=+在区间()b +∞，上单调递增，则下列说法正确的是（ ） A ．2a >-B ．1b >-C ．1b ≥-D ．2a <-10．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）函数()53x f x x a +=-+在()1,+∞上是减函数，则实数a 的范围是_______.11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f (x )m ≠1)在区间(0，1]上是减函数，则实数m 的取值范围是________．12．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 满足：①(0)0f =；②在[13]，上是减函数；③(1)(1)f x f x +=-.请写出一个满足以上条件的()f x =___________.13．（2022·全国·高三专题练习）已知y =f (x )是定义在区间(-2，2)上单调递减的函数，若f (m -1)>f (1-2m )，则m 的取值范围是_______.14．（2022·全国·高三专题练习）若函数2()4f x x ax =-+在[]1.3内不单调，则实数a 的取值范围是__________．15．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()y f x =是定义在R 的递减函数，若对于任意(0x ∈，1]不等式2(31)(1)(2)f mx f mx x f m ->+->+恒成立，求实数m 的取值范围.16．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x x .（1）若1a ，求函数的定义域；（2）是否存在实数a，使得函数()f x在定义域内具有单调性？若存在，求出a的取值范围第7讲函数的单调性与最值1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值前提 设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足 条件 (1)∀x ∈I ，都有f (x )≤M ； (2)∃x 0∈I ，使得f (x 0)＝M(1)∀x ∈I ，都有f (x )≥M ； (2)∃x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论M 为最大值M 为最小值➢考点1 函数的单调性[名师点睛]确定函数单调性的四种方法 (1)定义法：利用定义判断．(2)导数法：适用于初等函数可以求导的函数．(3)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接． (4)性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性． 1．（2022·全国·高三专题练习）函数2()23f x x x -- ） A ．(,1]-∞ B ．[3,)+∞ C ．(,1]-∞-D ．[1,)+∞【答案】B 【解析】由题意，可得2230x x --≥，解得1x ≤-或3x ≥， 所以函数2()23f x x x =--(][),13,-∞-⋃+∞，二次函数223y x x =--的对称轴为1x =，且在(][),13,-∞-⋃+∞上的单调递增区间为[3,)+∞，根据复合函数的单调性，可知函数2()23f x x x =--[3,)+∞.故选：B.2．（2022·全国·高三专题练习）讨论函数()1axf x x =-（0a ≠）在(11)-，上的单调性. 【解】任取1x 、2(11)x ∈-，，且12x x <，(11)1()(1)11a x f x a x x -+==+--，则：21121212()11()()(1)(1)11(1)(1)a x x f x f x a a x x x x --=+-+=----，当0a >时，12())0(f x f x ->，即12()()f x f x >，函数()f x 在(11)-，上单调递减； 当0a <时，12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <，函数()f x 在(11)-，上单调递增. [举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）函数y = ）A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(,1]-∞-C ．112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，D ．[]12-， 【答案】C 【解析】令220x x -++≥，解得12x -≤≤， 令22t x x =-++，则y =∵函数22t x x =-++在区间112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增，在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，y =内递增，∴根据复合函数的单调性可知，函数y =112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，．故选：C2．（2022·全国·高三专题练习）函数()213log 412y x x =-++单调递减区间是（ ） A ．(),2-∞ B ．()2,+∞ C ．()2,2- D ．()2,6-【答案】C 【解析】 令13log y u=，2412u x x =-++．由24120u x x =-++>，得26x -<<．因为函数13log y u=是关于u 的递减函数，且()2,2x ∈-时，2412u x x =-++为增函数，所以()213log 412y x x =-++为减函数，所以函数()213log 412y x x =-++的单调减区间是()2,2-．故选：C.3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()2f x x x x =-+，则下列结论正确的是（ ） A ．递增区间是(0,)+∞ B ．递减区间是(,1)-∞- C ．递增区间是(,1)-∞- D ．递增区间是(1,1)-【答案】D 【解析】因为函数222,0()22,0x x x f x x x x x x x ⎧-+≥=-+=⎨+<⎩，作出函数()f x 的图象，如图所示：由图可知，递增区间是(1,1)-，递减区间是(,1)-∞-和()1,+∞． 故选：D ．4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的图象如图所示，则函数()()12log g x f x =的单调递增区间为（ ）A ．(],3-∞-，[]0,3B ．[]3,0-，[)3,+∞C ．(),5-∞-，[)0,1D ．(]1,0-，()5,+∞【答案】C 【解析】因为12log y x=在()0,∞+上为减函数，所以只要求()y f x =的单调递减区间，且()0f x >.由图可知，使得函数()y f x =单调递减且满足()0f x >的x 的取值范围是()[),50,1-∞-.因此，函数()()12log g x f x =的单调递增区间为(),5-∞-、[)0,1.故选：C.5．（2022·广西柳州·三模）下列函数在(),0∞-上是单调递增函数的是（ ） A ．tan y x = B ．()ln y x =-C ．12xy =D ．1y x=-【答案】D 【解析】选项A. 函数tan y x =在(),0∞-上只有单调增区间，但不是一直单调递增，故不满足； 选项B. 由复合函数的单调性可知函数()ln y x =-在(),0∞-上单调递减，故不满足；选项C. 函数1122xx y ⎛⎫== ⎪⎝⎭在(),0∞-上单调递减，故不满足；选项D. 函数1y x=-在(),0∞-上单调递增，故满足，故选：D6．（2022·全国·高三专题练习）函数y =|-x 2+2x +1|的单调递增区间是_________ ；单调递减区间是_________．【答案】 (12,1)-，(12,)++∞ (,12)-∞-，(1,12)【解析】作出函数y =|-x 2+2x +1|的图像，如图所示，观察图像得，函数y =|-x 2+2x +1|在(12,1)-和(12,)++∞上单调递增，在(,12)-∞和(1,12)上单调递减，所以原函数的单调增区间是(1，(1)+∞，单调递减区间是(,1-∞，(1,12).故答案为：(1-，(1)++∞；(,1-∞，(1,12)7．（2022·全国·高三专题练习）函数1y =_____． 【答案】[3,6] 【解析】226060x x x x -+≥⇒-≤，解得06x ≤≤，令()()22639x x x x μ=-+=--+，对称轴为3x =，所以函数()x μ在(),3-∞为单调递增；在[)3,+∞上单调递减.所以函数1y =[3,6]. 故答案为：[3,6]8．（2022·福建·三模）写出一个同时具有下列性质①②③的函数()f x =________. ①定义域为R ；②值域为(,1)-∞；③对任意12,(0,)x x ∈+∞且12x x ≠，均有()()12120f x f x x x ->-.【答案】1()12xf x =-（答案不唯一） 【解析】 1()12x f x =-，定义域为R ；102x>，1()112x f x =-<，值域为(,1)-∞； 是增函数，满足对任意12,(0,)x x ∈+∞且12x x ≠，均有()()12120f x f x x x ->-.故答案为：1()12xf x =-（答案不唯一）. 9．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）1x=+lg 4xx -．判断并证明函数f （x ）的单调性；【解】由题意，040x x x ≠⎧⎪-⎨>⎪⎩，解得04x <<故f （x ）的定义域为（0，4） 令441x u x x -==-，lg y u =，由于41u x=-在（0，4）单调递减，lg y u =在(0,)+∞单调递增，因此4lgxy x-=在（0，4）单调递减，又1y x =在（0，4）单调递减，故f （x ）1x =+4lgx x -在（0，4）上单调递减，证明如下： 设0＜x 1＜x 2＜4，则： ()()()()121221121122122144411lg lg lg 4x x x x x x f x f x x x x x x x x x -----=+--=+-， ∵0＜x 1＜x 2＜4，∴x 2﹣x 1＞0，x 1x 2＞0，4﹣x 1＞4﹣x 2＞0，12214114x xx x --＞，＞， ∴()()()()1212211221214401lg 044x x x x x x x x x x x x -----＞，＞，＞， ∴f （x 1）＞f （x 2），∴f （x ）在（0，4）上单调递减11．（2022·全国·高三专题练习）已知定义域为实数集R 的函数()11222xx f x +-=+．判断函数f （x ）在R 上的单调性，并用定义证明．【解】由题意11211()22212x x x f x +-==-+++， 令1112,2xu y u =+=-+，由于12x u =+在R 上单调递增，112y u=-+在(0,)+∞单调递减，由复合函数单调性可知f （x ）在R 上为减函数. 证明：设∀x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，所以f （x 1）﹣f （x 2）()()211212112212121212x x x x x x -=-=++++，由于x 1＜x 2，y ＝2x 在R 上单增 所以21220x x -＞，且2x ＞0 所以f （x 1）＞f （x 2）， 所以f （x ）在R 上单调递减．➢考点2 函数单调性的应用1．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数()()e e 2x xx f x --=，则21log3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，342b f -⎛⎫= ⎪⎝⎭，432c f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的大小关系为（ ）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．c a b <<D ．a c b <<【答案】A【解析】()f x 的定义域为R ， 因为()()()e e ee ()22x xxx x x f x f x ------===，所以()f x 为偶函数，所以()()2221log log 3log 33a f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，443322c f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当0x >时，()()()ee e e 2xx x xx f x ---++'=，因为0x >，所以e1,0e 1xx -><<，所以e e 0x x -->，(e e )0x x x -+>，所以()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，因为2x y =在R 上单调递增，且340143-<<<，所以43013402222-<<<<，即433402122-<<<<，因为2log y x =在(0,)+∞上为增函数，且234<<，所以222log 2log 3log 4<<，即21log 32<<，所以4334202log 32-<<<，所以()433422log 32f f f -⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即b a c <<，故选：A2．（2022·广东深圳·高三期末）已知函数()1e ,111,1x x f x x x x-⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩，则()f x 的最大值为______．【答案】1 【解析】解：(],1x ∈-∞时，()1x f x e -=单调递增，()()1111f x f e -==≤；()1,x ∈+∞时，()1+1f x x x=-单调递减，()11+111f x <-=.所以()f x 的最大值为1． 故答案为：1．3．（2022·河北唐山·二模）已知函数()f x ()()21f x f x >-，则x 的取值范围是（ ） A ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．()1,1,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】解：()f x 定义域为R ， 又()()-=-f x f x ，所以()f x 是奇函数，当0x =时，()00f =，当0x >时，()=f x ()f x 在()0,∞+上递增， 所以()f x 在定义域R 上递增，又()()21f x f x >-，所以21x x >-，解得13x >，故选：C4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数1()ax f x x a-=-在(2,)+∞上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(-∞，1)(1-⋃，)+∞ B ．(1,1)-C ．(-∞，1)(1-⋃，2]D ．(-∞，1)(1-⋃，2)【答案】C 【解析】解：根据题意，函数221()11()ax a x a a a f x a x a x a x a--+--===+---， 若()f x 在区间(2,)+∞上单调递减，必有2102a a ⎧->⎨⎩，解可得：1a <-或12a <，即a 的取值范围为(-∞，1)(1-⋃，2]， 故选：C ． [举一反三]1．（2022·辽宁朝阳·高三开学考试）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意两个不相等的正数12,x x ，都有()()2112120x f x x f x x x ->-，记(2)(3)(1),,23f f a f b c -===，则（ ）A ．c a b <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．b c a <<【答案】B 【解析】依题意，12,(0,)x x ∀∈+∞，12x x ≠，122112121212()()()()00f x f x x f x x f x x x x x x x -->⇔>--， 于是得函数()f x x 在(0,)+∞上单调递增，而函数()f x 是R 上的偶函数，即(2)(2)22f f b -==，显然有(1)(2)(3)123f f f <<，因此得：a b c <<， 所以a b c <<. 故选：B2．（2022·重庆·模拟预测）设函数()()()32200x xx f x x x -⎧-+>⎪=⎨-≤⎪⎩，若ln 2a =，0.23b =，0.3log 2c =，则（ ）A ．()()()f a f b f c >>B ．()()()f b f a f c >>C ．()()()f a f c f b >>D ．()()()f c f a f b >>【答案】D 【解析】解：因为()()()32200x x x f x x x -⎧-+>⎪=⎨-≤⎪⎩，又2x y =在()0,∞+上单调递增，2x y -=在()0,∞+上单调递减，则()22xx g x -=-+在()0,∞+上单调递减且()002002g -+==，又()3h x x =-在(),0∞-上单调递减且()3000h =-=，所以()f x 在R 上单调递减，又因为0.20331>=，即1b >，0ln1ln 2lne 1=<<=，即01a <<，0.30.3log 2log 10<=，即0c <，所以b a c >>，所以()()()f b f a f c <<； 故选：D3．（2022·全国·高三专题练习）函数()41f x x x =++在1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为（ ） A ．153,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[]3,4C ．153,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．154,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】设1x t ，1x t =-，1,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则1,32t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()41g t t t =+-，根据双勾函数性质：函数在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在(]2,3上单调递增，()()max 1151015max ,3max ,2232g t g g ⎧⎫⎛⎫⎧⎫===⎨⎬⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭⎩⎭，()()min 23g t g ==，故函数值域为153,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：C.4．（2022·重庆八中模拟预测）已知函数()1y f x =-是定义在R 上的偶函数，且()f x 在(),1-∞-单调递减，()00f =，则()()210f x f x +<的解集为（ ）A ．()(),20,-∞-⋃+∞B ．()2,0-C ．312,,022⎛⎫⎛⎫--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．31,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】因为函数()1y f x =-是定义在R 上的偶函数，所以()y f x =的图象关于直线1x =-对称.因为()f x 在(),1-∞-上单调递减，所以在()1,-+∞上单调递增. 因为()00f =，所以()()200f f -==.所以当()(),20,x ∈-∞-⋃+∞时，()0f x >；当()2,0x ∈-时，()0f x <．由()()210f x f x +<，得20,2210.x x x ⎧-⎨-<+<⎩或或20,212210.x x x -<<⎧⎨+-+⎩或解得312,,022x ⎛⎫⎛⎫∈--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：C5．（2022·河北·模拟预测）设函数()()212,1,2,1,x x f x x x ⎧++<⎪=⎨-≥⎪⎩则不等式()()340f f x +->的解集为（ ） A ．()1,1- B ．()(),11,-∞-⋃+∞ C ．()7,7- D ．()(),77,-∞-⋃+∞【答案】A 【解析】解：因为()()212,12,1x x f x x x ⎧++<⎪=⎨-≥⎪⎩，所以()36f =-，()()233126f -=-++=，则()()340f f x +->，即()()()4363f x f f ->-==-，()f x 的函数图象如下所示：由函数图象可知当3x >-时()6f x <且()f x 在(),3∞--上单调递减，所以()()43f x f ->-等价于43x -<-，即1x <，解得11x -<<，即()1,1x ∈-； 故选：A6．（2022·全国·高三专题练习）若函数21,1()2,,1ax x f x x ax x -<⎧=⎨-≥⎩是R 上的单调函数，则a 的取值范围（ ） A ．20,3⎛⎫⎪⎝⎭B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(]0,1D ．()0,1【答案】B 【解析】因为分段函数()f x 在R 上的单调函数，由于22y x ax =-开口向上，故在1≥x 上单调递增，故分段函数()f x 在在R 上的单调递增，所以要满足：0212112a aa a>⎧⎪-⎪-≤⎨⎪-≤-⎪⎩，解得：203a <≤ 故选：B7．（2022·全国·高三专题练习）函数2()2(1)3f x x m x =-+-+在区间(],4-∞上单调递增，则m 的取值范围是（ ）A ．[)3,-+∞B ．[)3,+∞C ．(],5-∞D ．(],3-∞-【答案】D 【解析】解：函数2()2(1)3f x x m x =-+-+的图像的对称轴为2(1)12m x m -=-=--， 因为函数2()2(1)3f x x m x =-+-+在区间(],4-∞上单调递增，所以14m -≥，解得3m ≤-， 所以m 的取值范围为(],3-∞-， 故选：D8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()2313,11,1a x a x f x x x ⎧-+<=⎨-+≥⎩在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．11,63⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．11,,63⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭【答案】B 【解析】由题意可知，()313y a x a =-+在(),1-∞上为减函数，则310a -<， 函数21y x =-+在[)1,+∞上为减函数，且有()3130a a -+≥，所以，310610a a -<⎧⎨-≥⎩，解得1163a ≤<.综上所述，实数a 的取值范围是11,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：B.9．（多选）（2022·全国·高三专题练习）函数()21x af x x -=+在区间()b +∞，上单调递增，则下列说法正确的是（ ） A ．2a >- B ．1b >- C ．1b ≥- D ．2a <-【答案】AC 【解析】 ()22211x a a f x x x -+==-++， ()f x 在区间()b +∞，上单调递增，20a ∴+>，2a >-∴，由()f x 在区间()1+∞-，上单调递增， 1b.故选：AC10．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）函数()53x f x x a +=-+在()1,+∞上是减函数，则实数a 的范围是_______. 【答案】(2,4]- 【解析】 函数5()3x f x x a +=-+，定义域为(,3)(3,)x a a ∈-∞-⋃-+∞，又322()133x a a a f x x a x a -++++==+-+-+，因为函数5()3x f x x a +=-+在(1,)+∞上是减函数，所以只需23a y x a +=-+在(1,)+∞上是减函数，因此2031a a +>⎧⎨-≤⎩，解得24a -<≤.故答案为：24a -<≤11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f (x )m ≠1)在区间(0，1]上是减函数，则实数m 的取值范围是________． 【答案】(－∞，0)∪(1，4] 【解析】由题意可得4－mx ≥0，x ∈(0，1]恒成立，所以m ≤4()xmin ＝4．当0<m ≤4时，4－mx 单调递减，所以m －1>0，解得1<m ≤4； 当m <0时，4－mx 单调递增，所以m －1<0，解得m <1，所以m <0． 故实数m 的取值范围是(－∞，0)∪(1，4]． 故答案为： (－∞，0)∪(1，4].12．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 满足：①(0)0f =；②在[13]，上是减函数；③(1)(1)f x f x +=-.请写出一个满足以上条件的()f x =___________. 【答案】22x x -+ 【解析】由(1)(1)f x f x +=-可得()f x 关于1x =对称，所以开口向下，对称轴为1x =，且过原点的二次函数满足题目中的三个条件， 故答案为：22x x -+13．（2022·全国·高三专题练习）已知y =f (x )是定义在区间(-2，2)上单调递减的函数，若f (m -1)>f (1-2m )，则m 的取值范围是_______.【答案】1223⎛⎫- ⎪⎝⎭，【解析】由题意得：-2-12-21-22-11-2m m m m <<⎧⎪<<⎨⎪<⎩，，，解得12-<m <23.故答案为：1223⎛⎫- ⎪⎝⎭，14．（2022·全国·高三专题练习）若函数2()4f x x ax =-+在[]1.3内不单调，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】13(,)22【解析】解：由题意得2()4f x x ax =-+的对称轴为2x a =，因为函数()f x 在[]1.3内不单调，所以123a <<，得1322a <<．故答案为：13(,)22．15．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()y f x =是定义在R 的递减函数，若对于任意(0x ∈，1]不等式2(31)(1)(2)f mx f mx x f m ->+->+恒成立，求实数m 的取值范围.【解】因为函数()y f x =是定义在R 的递减函数，所以2(31)(1)(2)f mx f mx x f m ->+->+对(0x ∈，1]恒成立2231112mx mx x mx x m ⎧-<+-⇔⎨+-<+⎩在(0x ∈，1]恒成立.整理，当(0x ∈，1]时，2222(1)1mx x m x x ⎧<-⎨-<+⎩恒成立， （1）当1x =，2102m <⎧⎨<⎩，所以12m <；（2）当(0,1)x ∈时，222211x m xx m x ⎧-<⎪⎪⎨+⎪>⎪-⎩恒成立，1,2xy y x ==-都在(0,1)x ∈上为减函数22122x x y x x -∴==-在(0,1)x ∈上为减函数， ∴22122x x ->，222x m x-∴<恒成立⇔12m ≤. 结合当1x =时，12m <①又2222212(1)(1)21,01(1)(1)x x x x x x y y x x x +--+--'===<-++，当(0,1)x ∈ 故211x y x +=-在(0,1)x ∈上是减函数，∴2111x x +<--.211x m x +∴>-恒成立1m ⇔≥-② ∴①、②两式求交集1[1,)2m ∈-由（1）（2）可知当[1m ∈-，1)2时，对任意(0x ∈，1]时，2(31)(1)(2)f mx f mx x f m ->+->+恒成立.16．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x x . （1）若1a =，求函数的定义域；（2）是否存在实数a ，使得函数()f x 在定义域内具有单调性？若存在，求出a 的取值范围. 【解】（1）()f x x ，∴|1|10x +-≥，解得(,2][0,)x ∈-∞-+∞； 所以函数的定义域为(,2][0,)x ∈-∞-+∞.（2）当x a ≥-，211()24f x x x ⎫===-+⎪⎭，在1[,)4+∞递减，此时需满足14a -≥，即14a -≤时，函数()f x 在[,)a -+∞上递减；当x a <-，()f x x x ，在(,2]a -∞-上递减， ∵104a ≤-<，∴20a a ->->，即当14a -≤时，函数()f x 在(,)a -∞-上递减；综上，当14a -≤时，函数()f x 在定义域R 上连续，且单调递减.所以a 的取值范围是1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦。
高中数学教案函数的单调性与最值
高中数学教案函数的单调性与最值高中数学教案：函数的单调性与最值一、引言函数是数学中的一个重要概念，它描述了数值之间的关系。
而函数的单调性以及最值则是我们研究函数性质时的关键内容。
本教案将重点介绍函数的单调性以及最值的概念、性质和计算方法，帮助学生更好地理解和掌握这一知识点。
二、函数的单调性1. 定义函数的单调性指的是在定义域上的变化趋势。
具体而言，若函数在其定义域上递增，则称为函数的单调递增；若函数在其定义域上递减，则称为函数的单调递减。
2. 判断方法（1）对于函数y=f(x)，当x1 < x2时，比较f(x1)与f(x2)的大小关系： - 若f(x1) < f(x2)，则函数递增；- 若f(x1) > f(x2)，则函数递减；- 若f(x1) = f(x2)，则函数不单调。
（2）对于一阶导数存在的函数，可以通过导函数的正负性判断函数的单调性：- 若导函数f'(x) > 0，则函数递增；- 若导函数f'(x) < 0，则函数递减；- 若导函数f'(x) = 0，可以进一步分析。
3. 经典例题（1）求函数f(x)=x^2的单调性。
解：由f'(x) = 2x，当x > 0时，f'(x) > 0；当x < 0时，f'(x) < 0。
因此，函数f(x)=x^2在x > 0时单调递增，在x < 0时单调递减。
（2）求函数f(x)=3x^4-4x^3的单调性。
解：由f'(x) = 12x^3-12x^2 = 12x^2(x-1)，可知当x < 0时，f'(x) < 0；当0 < x < 1时，f'(x) > 0；当x > 1时，f'(x) > 0。
因此，函数f(x)=3x^4-4x^3在x < 0时单调递减，在0 < x < 1时单调递增，在x > 1时单调递增。
名师辅导——初高中数学衔接工具书——函数的单调性与最值【解析版】
名师辅导——初高中数学衔接工具书函数的单调性与最值函数是描述事物运动变化的数学模型，如果了解函数的变化规律，那么也就基本把握了相应事物的变化规律，因此要研究函数的性质 1﹒函数的单调性观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：思考1：随x 的增大，y 的值有什么变化？思考2：观察y x =和2y x =的图象，并且观察自变量变化时，函数值有什么变化规律？（1）()f x x =① 从左至右图象上升还是下降?②在区间 ____(,)-∞+∞_______ 上，随着x 的增大，()f x 的值逐渐__增大______ ． （2）2()f x x =①在区间 ____(,0)-∞___ 上，随着x 的增大，()f x 的值逐渐_减小_______ ． ②在区间 ____(0,)+∞____ 上，随着x 的增大，()f x 的值逐渐__增大______ ． 如何利用解析式2()f x x =描述“随着随着x 的增大，相应的()f x 的值随着增大”？在区间(0,)+∞上，任取两个12,x x ，得到221122(),()f x x f x x ==，当12x x <时，有12()()f x f x <，xy–1–2–3123–1–2–3123O这时我们就说函数2()f x x =在(0,)+∞上是增函数． 1.1 单调递增函数设函数()y f x =的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在区间D 上是增函数．图1 单调增函数 图2单调减函数几点说明：① 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；②必须是对于区间D 内的任意两个自变量12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <． 1.2单调递减函数设函数()y f x =的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说()f x 在区间D 上是减函数．【例1】 如图6是定义在闭区间[-5，5]上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，函数()y f x =是增函数还是减函数.解：函数()y f x =在区间[5,2],[1,3]--是减函数，在区间[2,1],[3,5]-是增函数．注意：函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题；对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调，因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以． 练习1 画出函数24||3y x x =-+的图象，并指出它的的单调区间．解：图象如下，在区间(,2]-?、[0,2]是减函数，在区间[2,0]-、[2,)+?是增函数．【例2】证明：函数()32f x x =+在(),-∞+∞上是增函数． 思考：如何证明一个函数是单调递增的呢？证明：在区间(),-∞+∞上任取两个值12,x x 且12x x <， ………步骤①：取值2121()()(32)(32)f x f x x x -=+-+则213()x x =- ………步骤②：作差变形()12,,x x ∈-∞+∞，且12x x <，210x x ∴->21()()0f x f x ∴->即21()()f x f x > ………步骤③：判断符号所以函数()32f x x =+在区间上(),-∞+∞是增函数. ………步骤④：下结论 小结：利用定义证明函数()f x 在给定的区间D 上的单调性的一般步骤： ①取值： 任取12,x x D ∈，且12x x <； ②作差：12()()f x f x -；③变形：（因式分解和配方等）乘积或商式； ④定号：（即判断差12()()f x f x -的正负）；⑤下结论：（即指出函数()f x 在给定的区间D 上的单调性）． 【例3】物理学中的玻意耳定律()kp k V=为正常数告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强p 将增大．试用函数的单调性证明之．证明：根据单调性的定义，设1V ，2V 是定义域(0，+∞)上的任意两个实数，且12V V <，则21121212()()V V k kp V p V k V V VV --=-=，由12,(0,)V V ∈+∞且12V V <，得120VV >，210V V ->，又0k >， 于是12()()0p V p V ->，即21()()p V p V >，所以，函数kp V=是(0,)V ∈+∞上的减函数 也就是说，当体积V 减少时，压强p 将增大． 练习1：利用单调性的定义判断2()1xf x x =-在(0,1)上的单调性 解：设12,x x 是区间(0,1)上的任意两个实数，且12x x <，则1212212112121212222(1)2(1)2()()()11(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x f x f x x x x x x x -----=-==------ 由于1201x x <<<，得210x x ->，12(1)(1)0x x -->于是12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >所以，函数2()1xf x x =-是区间(0,1)上的减函数. 【例4】 设函数1()f x x x=+，证明：()f x 在(0,1)单调递减；在(1,)+∞上单调递增．证明：任取1212(0,1,,)x x x x ∈<且,21121212121212122111()()()()()()x x f x f x x x x x x x x x x x x x --=+-+=-+-=-+1212121212()(1)1()(1)x x x x x x x x x x --=--= 1201x x <<<，∴120x x -<，121x x <，1210x x -<，∴12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，∴函数1()f x x x=+在(0,1)上是减函数． 同理可证，1()f x x x=+在(1,)+∞上单调递增．练习1：证明3()1f x x =-+在R 上的单调递减 证明：任取1212,,R x x x x ∈<且33223312122121221111()()(()())()f x f x x x x x x x x x x x -=---=+-+++-=，因为12x x <，所以210x x ->，2222221112213()024x x x x x x x ++=++>，所以12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，所以3()1f x x =-+在R 上的单调递减． 【例5】若函数2()2(1)2f x x b x =+-+在(,4]-∞上是减函数，求b 的取值范围 解：2()2(1)2f x x b x =+-+是开口向上的抛物线，由图象可知，()f x 在2(1)(,]2b ---∞是减函数， 2(1)(,4](,]2b --∴-∞-⊆-∞-，(1)4b ∴--≥，3b ∴≤-．练习1：函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，则2(1)f a a -+______3()4f （比较大小）. 解：221331()0244a a a -+=-+≥>，又 f (x )在(0,)+∞上是减函数，23(1)()4f a a f ∴-+≤.练习2：若函数2()2f x x mx =-+在(,4]-∞上是减函数，则m 的取值范围是__________ 解：[8,)+∞.练习3：讨论函数223f(x)x ax =-+在(2,2)-内的单调性.解：223f(x)x ax =-+的对称轴是x a =当2a ≤-时，f(x)在(2,2)-上单调递增；当22a -<<时，f(x)在(2,)a -单调递减，在(,2)a 上单调递增； 当2a ≥时，f(x)在(2,2)-上单调递减.A 组1．在区间(0,)+∞上不是增函数的函数是（ ） A ．y =2x ＋1B ．y =3x 2＋1C ．y =x2D ．y =2x 2＋x ＋1 2．函数f (x )=4x 2－mx ＋5在区间(2,)-+∞上是增函数，在区间(,2)-∞-上是减函数，则f (1)等于（ ） A ．－7B ．1C ．17D ．253．函数f (x )在区间(－2，3)上是增函数，则y =f (x ＋5)的递增区间是 （ ） A ．(3，8) B ．(－7，－2)C ．(－2，3)D ．(0，5)4．若()f x 是[,]a b 上增函数，对于任意的12,[,]x x a b ∈(12x x ≠)，下列结论不正确的是( ) A ．1212()()0f x f x x x ->- B ．1212()[()()]0x x f x f x -->C ．12()()()()f a f x f x f b <<<D ．21210()()x x f x f x ->-5．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是 （ ） A ．]1,(],0,(-∞-∞B ．),1[],0,(+∞-∞C ．]1,(),,0[-∞+∞D ),1[),,0[+∞+∞B 组1．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ≤3B ．a ≥－3C ．a ≤5D ．a ≥32．已知f (x )在区间(－∞，＋∞)上是增函数，a 、b ∈R 且a ＋b ≤0，则下列不等式中正确的是（ ） A ．f (a )＋f (b )≤－f (a )＋f (b )］ B ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b ) C ．f (a )＋f (b )≥－f (a )＋f (b )］D ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )3．若f(x)是R 上增函数，且12()()f x f x >，则12,x x 的大小关系为___________4．f(x)是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且()()()xf f x f y y=-（1）求f (1)的值．（2）若f (6)= 1，解不等式 f ( x ＋3 )－f (x1) ＜2 ．5．设f (x )是定义在(－2，2)上的减函数，并且f (m －1)－f (1－2m )＞0，求实数m 的取值范围．2.函数的最值 2.1 函数的最大值一般地，设函数()f x 的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =. 那么，我们称M 是函数()y f x =)的最大值（maximum value ）． 2.2函数的最小值一般地，设函数()f x 的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =. 那么，我们称m 是函数()y f x =)的最小值（minimum value ）． 注意：1、函数最大（小）值首先应该是某一个函数值，即存在0x I ∈，使得0()f x M =；2、函数最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的的x I ∈，都有()f x M ≤（()f x m ≥）． 【例1】 求函数2()41f x x x =-+，[1,5]x ∈-的值域解：22()41(2)3f x x x x =-+=--，因为2[1,5]∈-，所以当2x =时，min ()3f x =-；当1x =-或5x =时，max ()1406f x =++=，所以函数()f x 的值域为：[3,6]-． 【例2】求函数21y x =-在区间[2，6]上的最大值和最小值． 解：设12,x x 是区间[2,6]上的任意两个实数，且12x x <，则2121121221212[(1)(1)]2()22()()11(1)(1)(1)(1)x x x x f x f x x x x x x x -----=-==------ 由于1226x x <<<，得210x x ->，12(1)(1)0x x -->于是12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >所以，函数21y x =-是区间[2,6]上的减函数． 因此，函数21y x =-在区间[2,6]上的两个端点上分别取得最大值和最小值，即在点x=2时取最大值，最大值是2，在x=6时取最小值，最小值为0.4 ． 小结：利用函数单调性判断函数的最大(小)值的方法： （1）利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大(小)值 （2）利用图象求函数的最大(小)值（3）利用函数单调性的判断函数的最大(小)值如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递增，则函数y=f(x)在x=a 处有最小值f(a),在x=b 处有最大值f(b) ； 如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递减，在区间[b ，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b 处有最小值f(b)； 练习1．求函数1(2)2x f x x =-+-的最值解：方法一：当1x ≤时，3(5)f x x =-，()(1)2f x f ≥=； 当12x <<时，()3f x x =-，(2)()(1)f f x f <<，即1()2f x <<； 当2x ≥时，351))((2f x x f =-≥=． 所以min ()(1)2f f x ==，()f x 无最大值．方法二：画出()f x 的图象，如右图所示，当2x =，()f x 有最小值1，()f x 无最大值．练习2．求函数1()f x x x=-（[2,4]x ∈）的最大值和最小值 解：可以证明1()f x x x =-在[2,4]x ∈上是单调递增函数，所以min 13()(2)222f x f ==-=； max115()(4)444f x f ==-=．练习3 已知函数2(1)f x x x t =--，求()f x 在区间[0,2]上的最小值(其中t 为常数) ． 解：函数21y x tx =--的对称轴为2t x =． (1) 当对称轴在所给范围左侧．即0t <时：当0x =时，min 1y =-；(2) 当对称轴在所给范围之间．即022t ≤≤，即04t ≤≤时，当2tx =，2min 14t y =--；(3) 当对称轴在所给范围右侧．即4t >时，当2x =时，min 32y t =-综上所述：2min1,01,04432,4t t y t t t -<⎧⎪⎪=--≤≤⎨⎪->⎪⎩．A 组1．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时，f (x )为增函数，当x ∈(－∞，－2]时，函数f (x )为减函数，则m 等于( )A ．－4B ．－8C ．8D ．无法确定2．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋6 x ∈[1，2]x ＋8 x ∈[－1，1]，则f(x)的最大值、最小值为( )A ．10,7B ．10,8C ．8,6D ．以上都不对 3．下列四个函数：①y ＝x x －1；②y ＝x 2＋x ；③y ＝－(x ＋1)2；④y ＝x1－x＋2.其中在(－∞，0)上为减函数的是( )A ．①B ．④C ．①④D ．①②④4．若函数f (x )＝4x 2－kx －8在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是________．B 组1．函数y ＝－x 2的单调减区间是( )A ．[0，＋∞)B ．(－∞，0]C ．(－∞，0)D ．(－∞，＋∞)2．若函数f (x )定义在[－1,3]上，且满足f (0)<f (1)，则函数f (x )在区间[－1,3]上的单调性是( A ．单调递增 B ．单调递减 C ．先减后增 D ．无法判断3．已知函数y ＝f (x )，x ∈A ，若对任意a ，b ∈A ，当a <b 时，都有f (a )<f (b )，则方程f (x )＝0的根( ) A ．有且只有一个 B ．可能有两个 C ．至多有一个 D ．有两个以上 4．设函数f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，则( )A ．f (a )＞f (2a )B ．f (a 2)＜f (a )C ．f (a 2＋a )＜f (a )D ．f (a 2＋1)＜f (a ) 5．下列四个函数在(－∞，0)上为增函数的是( ) ①y ＝|x |；②y ＝|x |x ；③y ＝－x 2|x |；④y ＝x ＋x|x |.A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④6．下列说法中正确的有( )①若x 1，x 2∈I ，当x 1＜x 2时，f (x 1)＜f (x 2)，则y ＝f (x )在I 上是增函数；②函数y ＝x 2在R 上是增函数；③函数y ＝－1x 在定义域上是增函数；④y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．A ．0个B ．1个新 课C ．2个D ．3个7．若函数y ＝－bx 在(0，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是________．8．若f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (1)＝0，f (3)＝0(1)求b 与c 的值；(2)试证明函数f (x )在区间(2，＋∞)上是增函数．9．已知f (x )是定义在[－1,1]上的增函数，且f (x －1)＜f (1－3x )，求x 的取值范围． 10．设函数y ＝f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上单调递增，求a 的取值范围．3.2 函数的单调性与最值答案1.函数的单调性A 组1-5：CDBC C1．A 2．B 3．12x x >4．解析：①在等式中0≠=y x 令，则f (1)=0． ②在等式中令x=36，y=6则.2)6(2)36(),6()36()636(==∴-=f f f f f 故原不等式为：),36()1()3(f xf x f <-+即f [x (x ＋3)]＜f (36)， 又f (x )在(0，＋∞)上为增函数，故不等式等价于：.23153036)3(00103-<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<>>+x x x x x 5．解析： ∵f (x )在(－2，2)上是减函数∴由f (m －1)－f (1－2m )＞0，得f (m －1)＞f (1－2m )∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<<-<<-⎪⎩⎪⎨⎧-<-<-<-<-<-32232131211,2212212m m m m m m m 即 解得3221<<-m ，∴m 的取值范围是(－32,21)2.函数的最值A 组1．B 2．A 3．A 4．(－∞，40]∪[64，＋∞)B 组1．A. 2．D. 3．C 4．D 5．C 6．A. 7．(－∞，0)8．解：(1)∵f (1)＝0，f (3)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＋c ＝09＋3b ＋c ＝0，解得b ＝－4，c ＝3. (2)证明：∵f (x )＝x 2－4x ＋3，∴设x 1，x 2∈(2，＋∞)且x 1＜x 2，f (x 1)－f (x 2)＝(x 21－4x 1＋3)－(x 22－4x 2＋3)＝(x 21－x 22)－4(x 1－x 2)＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2－4)，∵x 1－x 2＜0，x 1＞2，x 2＞2，∴x 1＋x 2－4＞0.∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)．∴函数f (x )在区间(2，＋∞)上为增函数．9．已知f (x )是定义在[－1,1]上的增函数，且f (x －1)＜f (1－3x )，求x 的取值范围．解：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x －1≤1－1≤1－3x ≤1，x －1＜1－3x 即⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤20≤x ≤23，x ＜12∴0≤x ＜12. 10．设函数y ＝f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上单调递增，求a 的取值范围． 解：设任意的x 1，x 2∈(－2，＋∞)，且x 1＜x 2，∵f (x 1)－f (x 2)＝ax 1＋1x 1＋2－ax 2＋1x 2＋2＝(ax 1＋1)(x 2＋2)－(ax 2＋1)(x 1＋2)(x 1＋2)(x 2＋2)＝(x 1－x 2)(2a －1)(x 1＋2)(x 2＋2). ∵f (x )在(－2，＋∞)上单调递增，∴f (x 1)－f (x 2)＜0.∴(x 1－x 2)(2a －1)(x 1＋2)(x 2＋2)＜0，∵x 1－x 2＜0，x 1＋2＞0，x 2＋2＞0，1∴2a－1＞0，∴a＞2。
高考数学复习考点知识讲解课件7 函数的单调性与最值
以 f(x)的最大值为 f(2)＝7.
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求函数最值的五种常用方法 (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值． (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值． (3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最 值． (4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本 不等式求出最值． (5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值．
A．32
B．2
C．3
D．3.5
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[解析] ∵函数 y＝x－x 1＝1＋x－1 1在[2,3]上单调递减，∴当 x＝2 时，y 取得最大值 2.故选 B．
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4．函数 f(x)＝12 x2－x－1 的单调递增区间为( A )
A．－∞，1－2
5
B．－∞，12
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诊断自测 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)对于函数 f(x)，x∈D，若对任意 x1，x2∈D，且 x1≠x2 有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则 函数 f(x)在区间 D 上是增函数．( √ ) (2)函数 y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( × ) (3)对于函数 y＝f(x)，若 f(1)<f(3)，则 f(x)为增函数．( × ) (4)函数 y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．( × )
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函数讲函数的单调性与最值课件
函数讲函数的单调性与最值课件pptxxx年xx月xx日contents •函数的单调性•函数的单调性的判定•函数的最值•函数最值的应用•求函数最值的常用方法•利用导数判定函数的单调性和最值目录01函数的单调性设函数f(x)在区间[a,b]上，若对于任意x1,x2∈[a,b]，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，则称f(x)在[a,b]上单调递增；当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，则称f(x)在[a,b]上单调递减。
几何意义单调性是函数的一种基本性质，它反映了函数在自变量变化时函数值的变化情况。
定义单调性的定义VS增函数和减函数定义设函数f(x)的定义域为D，如果对于任意的x1,x2∈D，且x1<x2，都有f(x1)<f(x2)，则称f(x)在D上为增函数；如果对于任意的x1,x2∈D，且x1<x2，都有f(x1)>f(x2)，则称f(x)在D上为减函数。
特点增函数在定义域内每一点对应的函数值都随着自变量的增加而增加；减函数在定义域内每一点对应的函数值都随着自变量的增加而减小。
函数的单调区间定义设函数f(x)在区间(a,b)上，如果对于任意x1,x2∈(a,b)，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，则称f(x)在区间(a,b)上单调递增；当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，则称f(x)在区间(a,b)上单调递减。
求法一般通过求导数或利用函数的单调性的定义来解决。
02函数的单调性的判定总结词最基本、最直接的定义方法，分步骤进行判断。
详细描述定义法是通过定义来判断函数的单调性，首先将函数进行分段，然后对每一段进行单调性的判断。
在判断过程中，要分步骤进行，先确定函数的定义域，然后对每一段进行判断。
定义法总结词以形助数，通过观察图像的变化趋势来判断函数的单调性。
详细描述图像法是通过画图来判断函数的单调性，根据函数的图像，可以直观地看出函数的单调性。
高中数学教案函数的单调性与最值(二)
高中数学教案函数的单调性与最值（二）高中数学教案：函数的单调性与最值（二）一、引言在上一节课中，我们学习了函数的单调性和最值的概念，并通过图像来了解了这些概念。
本节课我们将进一步深入探讨函数的单调性和最值的相关性质，并通过例题巩固所学知识。
二、单调性的判定1. 单调性的定义函数的单调性是指函数在定义域上的增减性质。
具体地说，如果对于定义域上的任意两个不同的实数x₁和x₂，都有f(x₁)≤f(x₂)（或者f(x₁)≥f(x₂)），那么函数f(x)就是递增（递减）函数。
2. 利用导数判断函数的单调性a) 函数f(x)在开区间(a, b)上连续且可导，当f'(x) > 0（或者f'(x) < 0）时，函数f(x)在(a, b)上是递增（递减）的。
b) 函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，且在开区间(a, b)上可导，当f'(x) ≥ 0（或者f'(x) ≤ 0）时，函数f(x)在[a, b]上是递增（递减）的。
三、最值的求解1. 极值点与最值a) 极大值点与极小值点函数f(x)在定义域内某点x₀处的函数值f(x₀)称为f(x)的极大值（或极小值）。
b) 最大值与最小值函数f(x)在定义域内具有的最大函数值f(x)的值称为f(x)的最大值，简称最大值。
同理，函数f(x)在定义域内具有的最小函数值f(x)的值称为f(x)的最小值，简称最小值。
2. 求解最值的方法a) 图像法通过绘制函数图像，并观察图像的高点和低点，可以初步判断函数的最值所在位置。
b) 导数法考察函数f(x)在定义域的内部和端点处的导数值，可以判断函数的最值所在位置。
c) 区间划分法将定义域分成几个子区间，在每个子区间内分别求函数的函数值，比较得出最值。
四、练习题1. 设函数f(x) = x³ - 3x² + 2x + 1，求f(x)的单调递增区间和单调递减区间。
2. 设函数f(x) = x⁴ - 2x²，求f(x)的极值点和最值。
函数的单调性与最值(理课件)
在工程学中，凹凸性用于描述机械零件的受力变形情况。通过分析零件在不同受力情况下 的凹凸性，可以预测零件的变形程度和承载能力。
05
综合实例
利用单调性解决实际问题
预测股票价格
确定最优方案
利用股票价格的过去数据，通过分析 股票价格的增减趋势，利用单调性预 测未来的股票价格。
在多个方案中，通过比较方案函数值 的单调性，确定最优方案，实现目标 的最优化。
最优资源配置问题
在资源有限的情况下，如何合理分 配资源使得效益最大。这可以通过 求解相关效益函数的最值来实现。
03
函数的极值
函数极值的定义
极值点
函数取得极值的点称为极值点。
极大值与极小值
在极值点左侧函数பைடு நூலகம்递增，右侧递减的为极大值；左侧递减，右侧递增的为极 小值。
极值的判定条件
01
02
03
一阶导数判定法
复合函数法
对于复合函数，可以根据复合函数的单调性 法则来判断原函数的单调性。
单调函数的应用
单调性在求解函数的极值和最值问题中有着 重要的应用。通过判断函数的单调性，可以 确定函数的极值点和最值点，进而求出函数 的极值和最值。
单调性在不等式证明中也有着广泛的应用。 通过判断函数的单调性，可以证明不等式或 比较大小关系。
03
极值
如果函数在某点的左侧是减小的，右侧是增加的，则该点为极小值点，
对应的函数值为极小值；反之，则为极大值点，对应的函数值为极大值。
求函数最值的方法
不等式法
利用不等式性质，结合函数的增 减性求最值。
换元法
通过换元将复杂函数转化为简单 函数，再利用已知函数的性质求 最值。
01
函数的单调性与最值一轮复习课件
总结与提高建议
函数的单调性与最值是解析几何的重要内容，深入掌握相关概念和方法，能够帮助我们更好地理解函数及其图 像，并在实际应用中做出准确的判断和决策。
最值在优化问题中的应用
企业策略
通过最大化收益或最小化成本， 优化企业的经营决策，实现最佳 效益。
饮食管理
寻找平衡的饮食计划，优化营养 摄入，保持身体健康和良好的体 重。
能源规划
确定最佳的能源来源和供应策略， 实现可持续发展和环境友好型的 能源消耗。
实例分析：求解函数的单调性和最值
1
问题
给定函数y=x³-3x²+2x，分析其单调性和寻找最值。
例如，y=x²在区间[0,∞)上是单调递增的，因为平方函数的值随着自变量增大而增大。
如何判断函数的单调性？
通过图像
观察函数的图像，如果图像随 着自变量的增大而上升，则函 数是单调递增的。
通过导数
计算函数的导数，如果导数大 于零，则函数是单调递增的。
通过一阶导数符号变 化
分析函数的一阶导数符号的变 化情况，如果导数符号始终为 正或负，则函数是单调递增或 递减的。
函数的单调性与最值一轮 复习课件
我们将深入探讨函数的单调性与最值，包括定义、判断方法、性质、应用以 及实例分析等。
什么是函数的单调性？
1 定义
函数的单调性是指其值随自变量的增减而保持单调递增或单调递减的特性。
2 意义
单调性能帮助我们了解函数的变化趋势，从而在实际问题中作出合理的判断与决策。
3 示例
常见错误及解决方法
• 错误：未正确解析函数的导数。 • 解决方法：仔细复习求导规则，注意符号的正确运用。 • 错误：忽略了驻点的存在。 • 解决方法：对函数的导数方程求解，找到所有驻点。 • 错误：混淆了单调递增和单调递减的定义。 • 解决方法：充分理解单调递增和单调递减的概念，区分它们的特点与性质。
函数的单调性和最值精品PPT精选文档
26
例2、“菊花”烟花是最壮观的烟花一之。 制造时 一般是期望在它达到高最点时爆裂。 如果烟
花距地面的高度h米与时间t秒之间的关系为
ht 4.9t2 14.7t 18,那么烟花冲出后什么
时候是它爆裂的最佳刻时？这时距地面的高
度是多少精确到1米？
t=1.5秒
O
x1
x
15
y
y x2
f (0)
O
x
16
函y数 fx的最:小值
设函 y数 fx的定义 I，如 域果 为存 实N 数 满N 足 是 yfx的最，小 那值 么
1 对于 x I 任 ，都 意 fx 有 N 的
， 2 存 x 0 I 在 使 fx 0 得 N
17
探究:函数单调性与函数的最值的关系
称函数 f(x)在这个区间上是减函数。 单调区间
2
在某区间上，
增函数 图象上升
y
点此播放动画视频
o
x
减函数 图象下降。
y
o
x
3
三、用定义证明函数单调性的步骤是：
(1) 、 取 值
即取 x1,x2是该区间内的值 任且 x1意 x2两个
（2）、作差变形
即 fx 1 求 fx 2 ,通过 、配 因 、有 方 式理 分化
ƒ(0)=1 x
1、对任意的xR 都有ƒ(x)≤1
2、存在0，使得ƒ(0)=1 6
函y 数 fx的最:大值 设函 y数 fx的定义 I，如 域果 为存 实M 数 是函 y数 fx的最,那 大么 值
(1 )对于 x I 任 ，都 意 fx 有 M 的
， 2 存 x 0 I 在 使 fx 0 得 M
函数的单调性与最值讲义
函数的单调性讲义知识点一：函数单调性(1)相关概念增函数：一般地，设函数)(x f 的定义域为I ，如果对于属于定义域I 内某个区间上任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <，都有)()(21x f x f <，那么就说)(x f 在这个区间上是增函数，如下图（1）；用数学符号表示：()()()()()[]()x f x f x f x x x x x f x f ⇔>--⇔>--0021212121是增函数.减函数：一般地，设函数)(x f 的定义域为I ，如果对于属于定义域I 内某个区间上任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <，都有)()(21x f x f >，那么就说)(x f 在这个区间上是减函数，如下图（2）.用数学符号表示：()()()()()[]()x f x f x f x x x x x f x f ⇔<--⇔<--0021212121是减函数.单调性：如果函数)(x f 在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数)(x f y =在这一区间具有（严格的）单调性.单调区间：函数)(x f 在某个区间上具有单调性，则这一区间就叫做函数)(x f y =的单调区间.（2）对于函数单调性的定义的理解，要注意以下三点： ①单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性；②单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的21,x x 具有任意性，不能用特殊值代替.③由于定义都是充要性命题，因此由)(x f 是增（减）函数，且)()()(212121x x x x x f x f ><⇔<，这说明单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等关系可以“正逆互推”.知识点二：函数单调性的判定方法（常用的）（1） 定义法（基本法）；①取值：任取D x x ∈21,，且21x x <； ②作差：()()21x f x f -； ③变形：通常是因式分解或配方； ④定号：即判断差()()21x f x f -的正负；⑤下结论：即指出函数()x f 在给定区间D 上的单调性.例：判断函数xx y 1+=在（1，+∞）上的单调性． 变式训练：证明函数()xx f 1=在()+∞,0上是减函数.（2） 利用已知函数的单调性；在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知的单调性，因此掌握并熟记一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数的单调性，将大大缩短我们的判断过程.如果函数()x f y =在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数()x f y =在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做()x f y =的单调区间.①()0≠+=a b ax y 的单调性：0>a 增函数，0<a 减函数； ②()0≠=k xky 的单调性：0>k 减区间()()+∞∞-,0,0,；0<k 增区间()()+∞∞-,0,0,；③()02≠++=a c bx ax y 的单调性：0>a ，减区间⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-a b 2,，增区间⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,2a b ； 0<a ，增区间⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-a b 2,，减区间⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,2a b ；④()x f 在区间A 上是增（减）函数，则0>k 时，()x kf 在A 上是增（减）函数；0<k 时则相反；⑤若()x f 、()x g 是区间A 上的增（减）函数，则()()x g x f +在区间A 上是增（减）函数；⑥若()0>x f 且在区间A 上是增（减）函数，则()x f 1在A 上是减（增）函数，()x f 在A 上是增（减）函数；⑦轴（与x 轴垂直）对称图形的函数在它们的对称区间上的单调性相反，中心对称图形的函数在它们的对称区间上单调性相同，例如求下列函数的单调区间：x y =，2-=x y ，212-+=x y .（3） 利用函数的图像；函数y ＝|x 2－2x －3|的单调增区间是________． 【解析】 y ＝|x 2－2x －3|＝|(x －1)2－4|， 作出该函数的图像(如图)．由图像可知，其增区间为[－1,1]和[3，＋∞)．（4） 依据一些常用结论及复合函数单调性的判定方法； ①两个增（减）函数的和仍为增（减）函数；②一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是增（减）函数； ③奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性； ④偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性； ⑤互为反函数的两个函数有相同的单调性；⑥如果)(x f 在区间D 上是增（减）函数，那么)(x f 在区间D 的任一子区间上也是增（减）函数；⑦如果)()(x g u u f y ==和单调性相同，那么)]([x g f y =是增函数；如果)()(x g u u f y ==和单调性相反，那么)]([x g f y =是减函数.对于复合函数的单调性，列出下表以助记忆.)(u f y =)(x g u =)]([x g f y =上述规律可概括为“同性则增，异性则减”例：函数322-+=x x y 的单调减区间是 （ ）A.]3,(--∞B.),1[+∞-C.]1,(--∞D.),1[+∞（5） 求导（以后会学到）.知识点三：函数单调性的应用（1） 利用函数的单调性可以比较函数值的大小；例：已知2()f x x bx c =++对称轴为2x = ，比较(1)f 、(2)f 、(4)f 的大小。
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初高中衔接教材（数学）/2015.8
第六讲函数的单调性与最值
函数是描述事物运动变化的数学模型，如果了解函数的变化规律，那么也就基本把握了相应事物的变化规律，因此要研究函数的性质
1﹒函数的单调性
观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：
思考1：随x的增大，y的值有什么变化？
思考2：观察y?x和y?x2的图象，并且观察自变量变化时，函数值有什么变化规律？
（1）f(x)?x
①从左至右图象上升还是下降?
②在区间 ____________ 上，随着x的增大，f(x)的值逐渐________ ．
（2）f(x)?x
①在区间 ____________ 上，随着x的增大，f(x)的值逐渐________ ．
②在区间 ____________ 上，随着x的增大，f(x)的值逐渐________ ．
2如何利用解析式f(x)?x描述“随着随着x的增大，相应的f(x)的值随着增大”？ 2
在区间(0,??)上，任取两个x1,x2，得到f(x1)?x1,f(x2)?x2，当x1?x2时，有22
f(x1)?f(x2)，这时我们就说函数f(x)?x2在(0,??)上是增函数．。