力矩与平面力偶系
工程力学I-第3章 力矩与平面力偶系
D
x
§3-2 关于力偶的概念
力偶：一对等值、反向而不共线的平行力，用 符号（F ,F′）表示。
力偶臂：两个力作用
线之间的垂直距离d。
F’
F
力偶的作用面：两个 力作用线所决定的平 面
§3-2 关于力偶的概念
F F
d
d
F
d
F
F
F
转动游戏方向盘
拧水龙头
扳手拧螺母
§3-2 关于力偶的概念
Q AABD AABC 显然， 并注意到力偶矩的转向也相同， 则有M ( F , F ) M ( P, P) P
M (P 1, P 1 ) M ( P, P ) 显然， 1, P 1) 从而有M ，( F , F ) M ( P
P1
力偶等效
M ( F , F ) M ( P 1, P 1)
（1）力对点之矩，不仅取决于力的大小，还与矩心的位置有关。
（2）力对任一点之矩，不因该力的作用点沿其作用线移动而改变。 *（3）力的大小等于零或其作用线通过矩心时，力矩等于零。 （4）互成平衡的两个力对同一点之矩的代数和为零。
Mo(F)＝±Fd
§3-1 关于力矩的概念及其计算
合力矩定理：
y Fy
(3)将力P和P’沿各自的作用 线移至任意点A’，B’，根 据力的可传性原理，有 (P,P’) =(P1,P1’) 。
§3-2 关于力偶的概念
(4) A′
P1′ b F′ A A F B Q′ D P′ B′ C
M (F , F ) AB BD 2 AABD ,
M（P, P'） AB BC 2 AABC
第三章-力矩和平面力偶系-第四章-平面任意力系
例3－1 试计算力对A点之矩。
解 本题有两种解法。 方法一： 按力矩的定义计算 由图中几何关系有：
d=ADsinα =(AB-DB)sinα =(AB- BCctgα)sinα =(a- bctgα)sinα =asinα-bcosα
所以
mA(F)=F•d =F(asinα-bcosα)
方法二：
解：
图（a）：
MA = - 8×2 = -16 kN ·m
MB = 8×2 = 16 kN ·m
图（b）： MA = - 4×2×1 = -8 kN · m
MB = 4×2×1 = 8 kN ·m
第二节 力偶
▪ 一、力偶 力偶矩
▪
在日常生活和工程实际中经常见到物体受动两个大小相等、方向相反，
但不在同一直线上的两个平行力作用的情况。例如
2．力偶矩：
▪ 作为力偶对物体转动效应的量度，称为力偶矩，
用m或m( F ,F′)表示。在平面问题中，将力偶中
的一个力的大小和力偶臂的乘积冠以正负号，如图：
即m(F)＝F•d=±2ΔABC
通常规定：力偶使物体逆时针方 向转动时，力偶矩为正，反之为 负。
在国际单位制中，力矩的单位 是牛顿•米（N•m）或千牛顿•米 （kN•m）。
▪
在同一平面内的两个力偶，只要两力偶的
力偶矩的代数值相等，则这两个力偶相等。这
就是平面力偶的等效条件。
▪ 根据力偶的等效性，可得出下面两个推论：
▪ 推论1 力偶可在其作用面内任意移动和转动， 而不会改变它对物体的效应。
▪ 推论2 只要保持力偶矩不变，可同时改变力 偶中力的大小和力偶臂的长度，而不会改变它 对物体的作用效应。
主矩： Mo=m1+m2+···+mn
力矩与平面力偶系
在非平衡状态下，平面力偶中的两个力将不再保持大小相等、方向相反的关系。它们的大小和方向将发生变化， 以适应物体转动的需要。同时，随着物体转动的进行，作用于物体的力矩也将发生变化，以满足物体转动加速度 的要求。
04
实际应用案例分析
工程领域应用举例
桥梁设计
在桥梁设计中，力矩与平面力偶系的概念对于确定桥梁结构的稳定性和安全性至关重要。 通过计算和分析桥梁各部分的受力情况，工程师可以确保桥梁能够承受各种荷载和外部环 境因素的影响。
当平面力偶系处于平衡状态时，若受到微小扰动而偏离平衡位置，若系统能自动 恢复到原平衡状态，则称该系统是稳定的；若不能自动恢复，则称该系统是不稳 定的。稳定性与系统的结构、刚度、阻尼等因素有关。
03
力矩与平面力偶系关系探讨
相互作用原理阐述
力矩与平面力偶相互作用
力矩是力对物体产生的转动效应，而平面力偶是一对大小相等、方向相反且作用线平行的力，它们共 同作用在物体上，使物体产生转动。
力矩方向判断步骤
首先确定力的作用点和方向，然后确定转动轴的位置，最后根据右手螺旋定则 判断力矩的方向。
02
平面力偶系简介
定义及性质
定义
平面力偶系是由两个大小相等、方向相反且不共线的平行力 组成的力系。
性质
力偶系中的两个力不产生合力，只产生转动效应，即力偶矩 。力偶矩的大小与两力的大小和两力之间的距离有关，而与 力的作用点位置无关。
力矩与平面力偶系
汇报人：XX
contents
目录
• 力矩基本概念 • 平面力偶系简介 • 力矩与平面力偶系关系探讨 • 实际应用案例分析 • 实验设计与操作演示 • 知识拓展与前沿动态
01
力矩基本概念
工程力学__静力学 第三章 力矩 平面力偶系
工程力学课件
§3-4 平面力偶系的合成与平衡
设在同一平面内的两个力偶(F1,F`1)和(F2，F`2)，它们的力 偶臂各为d1和d2(图a)，其力偶矩分别为M1和M2。求其合成结果。
在力偶的作用面内任取 一 线 段 AB=d ， 在 不 改 变 力 偶矩的条件下将各力偶的臂 都化为d，于是得到与原力 偶等效的两个力偶(F3,F`3)和 (F4,F`4)，F3和F4的大小可由 下列等式算出：
M O (F ) 2 AOAB
通常规定：力使物体绕矩心作逆时 针方向转动时，力矩取正号；作顺时针 方向转动时，取负号。
根据以上情况，平面内力对点之矩， 只取决于力矩的大小及旋转方向，因此 平面内力对点之矩是一个代数量。
综上所述可知： ①力F对O点之矩不仅取决于力F的大小,同时还与矩心的位置有关 ②力F对任一点之矩，不会因该力沿其作用线移动而改变，因为 此时力和力臂的大小均未改变 ③力的作用线通过矩心时,力矩等于零 ④互成平衡的二力对同一点之矩的代数和等于零
力偶对物体的作用效应是怎样的呢?由于力偶中的两个力大 小相等、方向相反、作用线平行，因此这两个力在任何坐标轴 上投影之和等于零(图c)。可见，力偶无合力，即力偶对物体不 产生移动效应。实践证明力偶只能使物体产生转动效应。
工程力学课件
如何度量力偶对物体的转动效应呢? 显然可用力偶中两个力对矩心的力矩之和来度量。如图所 示，在力偶平面内任取一点O为矩心，设O点与力F作用线的 距离为x，则力偶的两个力对于O点之矩的和为
由 M 0 知 M0 Fc CD sin 0
sin
240
0.8
2402 (320 140)2
得
FC
M0 CD sin
力矩与平面力偶系
工程力学与建筑结构
1.4 力偶的合成 作用在同一物体上的若干个力偶组成一个力偶系，若
力偶系中各力偶均作用在同一平面，则称为平面力偶系。 平面力偶系合成的结果为一合力偶，其合力偶矩等于
各分力偶矩的代数和。即 M =M1＋M2＋…＋Mn=∑M
1.5力偶系的平衡条件 平面力偶系平衡的必要和充分条件是：力偶系中各力
偶矩的代数和为零。即 ∑M=0
工程力学与建筑结构
工程力学与建筑结构
工程力学与建筑结构
力矩与平面力偶系 1.1力矩的概念
用力的大小F与d的乘积度量力F使扳手绕O点的转动 效示应。，即称为力F对O点之矩，简称力矩，用符号MO（F）表
MO（F）=±Fd 式中，O点称为“矩心”，d称为“力臂”。 力矩的正负规定为：力使物体绕矩心逆时针方向转动时， 力矩为正；反之为负。
M=±Fd
力偶矩的正负规定与力矩正负规定一致，即：使物体 逆时针方向转动的力偶矩为正；反之为负。
F
F
B
h
铰杠
丝锥
F'
F d
F'
A
(a)
F' (b)
(c)
工程力学与建筑结构
在平面问题中，力偶矩也是代数量。力偶矩的单位与力矩 单位相同，即N•m。 根据力偶的概念可以证明，力偶具有以下性质： （1）力偶在其作用面上任一轴的投影为零。 （2）力偶对其作用面上任一点之矩，与矩心位置无关，恒 等于力偶矩。
系中所有分力对同一点之矩的代数和。
MO（FR）=MO（F1）＋ MO （F2）＋…＋ MO （Fn）=∑ MO （F）
F1 y
A
FR
F2
O x
工程力学与建筑结构
1.3 力偶的概念
力矩与平面力偶系
5.力偶对物体不产生移动效应，只产生转动效应。
力偶的三要素： 力偶对物体的转动效应，取决于下列三个因素： 1.力偶矩的大小 2.力偶的转向 3.力偶的作用面
1 8
§3-3平面力偶系的合成和平衡条件
平面力偶系：作用在物体上同一平面内的若干力偶。
已知：M1, M2 ,Mn;
FAl M1 M 2 M3 0
解得
FA
FB
M1
M2 l
M3
200N
2 2
综合例题
已知 M 2kN m,OA r 0.5m,θ 30 ; 1
求：平衡时的 M 2及铰链O，B处的约束力.
解：取轮,由力偶只能由力偶平衡的性质,画受力图.
M 0 M1 FA r sin 0
解得 FO FA 8kN
cos
AB
r2
r1
cos
d
AB
cos
r2
cos
r1
mA (F ) Fd F (r1 r2 cos )
1 0
§3-2 平面力偶理论
一.力偶和力偶矩
1.力偶
由两个等值、反向、作用线平行的力组成的力系称为力偶，
记作
F
,
F
1
1
2.力偶矩 力偶中两力所在平面称为力偶作用面
力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂
:逆时针转动为正,反之为负.
力对点之矩是一个代数量，它的绝对值等于力的大小与力臂
的乘积，它的正负：力使物体绕矩心逆时针转向时为证，反之为
负.常用单位Nm或kNm
4
例:F=50N,d=0.3m. 求F力对O点之矩. 解:Mo(F)= Fd = … = 15Nm (1)当F=0,或d=0（力作用线通过矩心）时，力矩为零。 (2)当力沿其作用线 滑移时，力矩不变。 (3)力矩与矩心有关。 在平面问题中，力对点之矩实际上指力使物体绕通过矩心的 某一轴转动效果的度量，该轴垂直于由力的作用线和矩心所 决定的平面。
理论力学03力矩力偶与平面力偶系
本章讨论平面力偶系的合成与平衡问题
一、平面力偶系的合成 平面力偶系可合成为一个合力偶； 合力偶矩等于各分力偶矩的代数和，即
M1
M2 M3
M4
M Mi
二、平面力偶系的平衡方程
Mi 0
M
说明：根据平面力偶系的平衡方程，可解 一个未知量。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
[例2] 已知梁长 l = 5 m，M = 100 kN·m ；若不计梁的自重，试求 铰支座 A 、B 处的约束力。
2. 力偶中的两个力对任一点的矩的代数和 恒等于力偶矩，与矩心位置无关。
dF F
3. 作用于刚体同一平面内两个力偶等效的充要条件为其力偶矩 相等。
结论：力偶矩唯一决定了力偶对刚体的作用效应。
◆ 通常用力偶矩符号来代表力偶：
F
d
M Fd
F
M 或M
第三节 平面力偶系
平面力偶系：由位于同一平面内的一群力偶所组成的力系
构平衡。试求作用于摆杆 BO1上的力偶矩 M2 （各构件的自重不计）
解： 1）首先研究曲柄 AO与套筒A 的组合 画受力图 列平衡方程
Mi 0, M1 FA r sin 30 0
解得
FA
FO
2M1 r
M1
O
FO
FA
FA
FO
2M1 r
2）再选取摆杆 BO1 为研究对象
画受力图
列平衡方程
Mi 0, M 2 FA AO1 0
的平行力称为一个力偶，记作 F, F。
dF F
二、力偶矩 定义
M Fd
为平面内力偶 F, F 的矩，简称力偶矩。
说明： 1）平面内力偶矩为代数量，其正负号表转向，一般规定 逆时针转向为正，反之为负。
力矩和平面力偶系
所以两个力偶等效，必须是该两个力偶旳力偶矩 大小相同，转向相同，作用面相同。（对刚体， 可作用面平行。）
例题：
F
1.习题3-2
a
b
Fx F cosa
a
Fy f sin a
M A (F ) -Fx b Fy 0 -Fb cosa
M B (F ) -Fx b Fy a F (a sin a - b cosa )
2．习题3-7
正三角形ABC
B F2
F1 F2 F3 F
X F1 cos 60 F2 cos 60 - F3 0
F1
Y F1 sin 60 - F2 sin 60 0
A
即合力FR=0
F1x
F
cos 60
第三章: 力矩与平面力偶系
本章研究力矩和力偶旳概念、力偶旳 性质、平面力偶系旳合成与平衡。本 章与第二章旳理论是研究平面一般力 系旳基础。
§3-1 力矩旳概念和计算
一般情况下，力对物体作用时能够产 生移动和转动两种外效应。力旳移动 效应取决于力旳大小和方向。为了度 量力旳转动效应，需要引入力矩旳概 念。
设物体上作用有一 力偶臂为d旳力偶 （Ｆ，Ｆ‘）
该力偶对作用面内任 一点Ｏ之矩为：
Ｏ x
F
F’ d
Ｍo(F)+Mo(F’)=F(x+d)-Fx=Fd
力偶对作用面内任一点旳矩之大小恒等于力偶中 一力旳大小和力偶臂旳乘积，而与矩心旳位置无关。
力偶对物体旳转动效应可用力与力偶臂旳乘积Fd 及转向来度量，该物理量称为力偶矩。
互成平衡旳二力对同一点旳力矩之和为 零
虽然力矩概念由力对物体上固定点旳 作用引出。实际上，作用于物体上旳力 能够对任意点取矩，即矩心可是空间中 旳任意点。
工程力学力矩与平面力偶系课件
吊桥的受力分析
详细描述
吊桥在风力和车辆负载的作用下保持平衡。通过分析吊 桥的受力，可以了解平面力系中力的平衡条件。
平面力系的实例三
总结词
旋转门的工作原理
详细描述
旋转门在开启和关闭过程中受到推力和拉力作用。这 些力产生力矩，使门旋转。这个例子展示了力矩在平 面力系中的作用。
谢谢聆听
04
验证解的合理性
通过代入原始数据或进行实物实 验验证解的合理性。
05 平面力系的实例分析
平面力系的实例一
要点一
总结词
平衡状态下的斜面
要点二
详细描述
一个斜面上的物体在重力作用下处于平衡状态，重力可分 解为两个力，一个沿斜面向下，另一个垂直于斜面。这个 例子展示了平面力系中力的合成与分解。
平面力系的实例二
VS
详细描述
力偶是工程力学中一个基本概念，它由两 个力组成，这两个力大小相等、方向相反 ，且作用线相互平行但不在同一直线上。 力偶在平面或空间中都可以存在，但在平 面问题中更为常见。
力偶的性质
总结词
力偶具有方向性、大小不变性和作用点无关性。
详细描述
力偶具有三个重要的性质。首先，力偶具有方向性，它只能沿其所在的平面转动，不能在平面内移动 。其次，力偶的大小是恒定的，不会因为改变作用点而改变。最后，力偶的作用点无关性意味着力偶 可以在其作用线上任意移动，只要保持两个力的大小和方向不变，其效果就不会改变。
平面力的合成
总结词
平面力的合成是指将两个或多个在同一平面内的力合成为一 个力的过程。
详细描述
平面力的合成可以通过平行四边形法则或三角形法则进行。 具体来说，两个在同一平面内的力可以合成一个力，这个力 的方向和大小可以通过平行四边形法则或三角形法则确定。
力矩与平面力偶系
力矩与平面力偶系2.2.1 力对点之矩(简称为力矩)1.力对点之矩的概念为了描述力对刚体运动的转动效应，引入力对点之矩的概念。
（F）来表示，即力对点之矩用MOMo(F) = ± Fd一般地，设平面上作用一力F，在平面内任取一点O——矩心，O点到力作用线的垂直距离d称为力臂。
Mo(F) = ± 2△OAB力对点之矩是一代数量，式中的正负号用来表明力矩的转动方向。
矩心不同，力矩不同。
规定：力使物体绕矩心作逆时针方向转动时，力矩取正号；反之，取负号。
力矩的单位是Nmm。
由力矩的定义可知：（1）若将力F沿其作用线移动，则因为力的大小、方向和力臂都没有改变，所以不会改变该力对某一矩心的力矩。
（2）若F=0，则Mo(F) = 0；若Mo(F) = 0，F≠0，则d=0，即力F通过O点。
力矩等于零的条件是：力等于零或力的作用线通过矩心。
2.合力矩定理设在物体上A点作用有平面汇交力系F1、F2、---Fn，该力的合力F可由汇交力系的合成求得。
计算力系中各力对平面内任一点O的矩，令OA=l，则---由上图可以看出，合力F对O点的矩为据合力投影定理，有F y=F1y+F2y+---+F ny两边同乘以l，得F y l=F1y l+F2y l+---+F ny l即M o(F)=M o(F1)+M o(F2)+---+M o(F n)合力矩定理：平面汇交力系的合力对平面内任意一点之矩，等于其所有分力对同一点的力矩的代数和。
3.力对点之矩的求法(力矩的求法)（1）用力矩的定义式，即用力和力臂的乘积求力矩。
注意：力臂d 是矩心到力作用线的距离，即力臂必须垂直于力的作用线。
例2-3 如图所示，构件OBC 的O 端为铰链支座约束，力F 作用于C 点，其方向角为α，又知OB=l，BC=h ，求力F 对O 点的力矩。
解 （1）利用力矩的定义进行求解如图，过点O作出力F作用线的垂线，与其交于a点,则力臂d即为线段o a。
05力矩与平面力偶系
NB 0.2 m1 m2 m3 m4 0
N
B
60 0.2
300N
N A NB 300 N
例2
一简支梁作用一矩为M 的力偶，不
计梁重，求二支座约束力。
M
l
A
B
M
FA
l
A
B
FB
解：以梁为研究对象。
梁上除作用有力偶 M 外，还 有反力FA，FB 。
因为力偶只能与力偶平衡，所 以 FA=FB。
（1）力偶矩的大小 （2）力偶在作用面的转向。
因此，平面力偶矩是一个代数量，以M表示，即
M=±Fd=±2A△ABC
转向用正负号表示，用力矩规定。力偶矩的单位为 N•m，与力矩相同。
18
2．同平面内力偶的等效定理 定理：在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相 等，则两力偶彼此等效。
19
由此可得两个推论：
B
约束力必沿AD杆。根据力偶只能与力偶
l
D
45
平衡的性质，可以判断A与B 端的约束 力FA 和FB 构成一力偶，因此有： FA = FB 。梁AB受力如图。
列平衡方程：
FA
M
A
B
M 0, M FA l cos 45 0
FB
解得
FA
FB
M l cos 45
2M l 29
例4
如图所示的铰接四连杆机构OABD，在杆OA和BD 上分别作用着矩为M1和M2的力偶，而使机构在图示位 置处于平衡。已知OA=r，DB=2r， =30°，不计杆重， 试求M1和M2间的关系。
B
A
M1
O
M2
D
第三章-力矩和平面力偶系-第四章-平面任意力系
FR
FR
FR
O
MO
O
d FR
Od
O’
O’
FR
只要满足：
FR FR ,
dMO FR
第二节 平面任意力系平衡方程及其应用
平面一般力系的平衡条件 力系的主向量R和力系的主矩Mo都等 于零。即
R R x 2 R y 2( X )2 ( Y )2 0
M o m o(F)0
力系中所有各力在两个任 选坐标轴的每个轴上的投影的 代数和分别等于零，以及各力 对于平面内任意一点之矩的代 数和也等于零。
应该注意，力的平移定理只适 用于刚体，而不适用于变形体，并 且只能在同一刚体上平行移动。
力系的简化
如果一个刚体上承受的力比较多，多 于3个，并且不是一个汇交力系，这种 情况下如何解决这个刚体的平衡问题？ 如何研究这些力之间的关系？再复杂 些，比如还有力偶等等，又如何处理？
第四章 平面任意力系
一、平面任意力系的概念
力F可以视F为 由P力 点向 O点的平 , 移
但是平移时必对须力附偶加一 且其力偶 : M 矩 O为 rF
(F, F)
P r O
F
F
F
对于一个空间力系，我们都可以将这些力平移到某点O，从而组成 一个汇交于O 点的力系——空间汇交力系，同时，各个力平移时分别产 生一个力偶组成力偶系。
• 空间汇交力系可以产生一个合力——称为主矢量（主矢） • 力偶系组成一个合力偶矩——称为主矩
问题： 会力改的变作其用对线刚本体身的是作否用可效以应平吗移？？如果平移F，
假设点 P 作用力 F ，今在同一刚体上 P 某点 O，沿与力 F 平行方向施加一对大小
r
相等（等于F）、方向相反的力 F与F
土木工程力学教案——力矩与平面力偶系
力矩与平面力偶系第一节 力对点之矩力对点的矩是很早以前人们在使用杠杆、滑车、绞盘等机械搬运或提升重物时所形成的一个概念。
现以板手拧螺母为例来说明。
如图3－1所示，在板手的A 点施加一力F ，将使板手和螺母一起绕螺钉中心O 转动，这就是说，力有使物体（扳手）产生转动的效应。
实践经验表明，扳手的转动效果不仅与力F 的大小有关，而且还与点O 到力作用线的垂直距离d 有关。
当d 保持不变时，力F 越大，转动越快。
当力F 不变时，d 值越大，转动也越快。
若改变力的作用方向，则扳手的转动方向就会发生改变，因此，我们用F 与d 的乘积再冠以适当的正负号来表示力F 使物体绕O 点转动的效应，并称为力F 对O 点之矩，简称力矩，以符号M O （F ）表示，即d F F M ⋅±=)(O （3－1）O 点称为转动中心，简称矩心。
矩心O 到力作用线的垂直距离d 称为力臂。
式中的正负号表示力矩的转向。
通常规定：力使物体绕矩心作逆时针方向转动时，力矩为正，反之为负。
在平面力系中，力矩或为正值，或为负值，因此，力矩可视为代数量。
由图3－2可以看出，力对点之矩还可以用以矩心为顶点，以力矢量为底边所构成的三角形的面积的二倍来表示。
即面积OAB 2)(O ∆±=F M （3－2）显然，力矩在下列两种情况下等于零：（1）力等于零；（2）力的作用线通过矩心，即力臂等于零。
力矩的单位是牛顿•米（N •m ）或千牛顿•米（kN •m ）【例3－1】 分别计算图3－3所示的F 1、F 2对O 点的力矩。
【解】：由式（3－1），有 m kN 455.130)(mkN 530sin 110)(222O 111O ⋅-=⨯-=⋅-=⋅=︒⨯⨯=⋅=d F F M d F F M第二节合力矩定理图3-1我们知道平面汇交力系对物体的作用效应可以用它的合力R 来代替。
这里的作用效应包括物体绕某点转动的效应，而力使物体绕某点的转动效应由力对该点之矩来度量，因此，平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩等于该力系的各分力对该点之矩的代数和。
理论力学--力矩-平面力偶系
F
d d
F
F
F
M F d
M O1 F , F M O1 F M O1 F
F d x1 F x1 Fd
§2-2 平面力对点之矩 · 平面力偶
平面力偶的等效定理： 在同平面内的两个力偶，若 力偶矩相等，则两力偶彼此等效。 两个推论：
M F
O i
平面汇交力系: M O FR M O Fi
平面汇交力系的合力矩定理：合力对平面内任一点 的矩，等于所有各分力对同一点的矩的代数和。
§2-2 平面力对点之矩 · 平面力偶 力矩与合力矩的解析表达式
(1)力矩的解析表达式 y
M O F M O Fx M O Fy
F
y
l M O (F ) F d F sin
O
MO (Q) Q l
② 应用合力矩定理
Fy
Fx A
d
x
l
Q
M O (F ) Fx l Fy l cot
F sin l F cos lcot l F sin
③ 应用合力矩公式
§2-2 平面力对点之矩 · 平面力偶 平面力偶系的合成证明:
已知：M 1 , M 2 ,
Mn;
求：它们的合成结果。
证明：
任选一段距离d：
M 1 F1d , F1 M 1 / d
M 2 F2 d , F2 M 2 / d
M2 Mn
M1
M n Fn d , Fn M n / d
第二章
平面力系
第二章 平面力系（之二）
§2-2 平面力对点之矩 · 平面力偶
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力矩与平面力偶系
2.2.1 力对点之矩 (简称为力矩)
1.力对点之矩的概念
为了描述力对刚体运动的转动效应，引入力对点之矩的概念。
（F）来表示，即
力对点之矩用M
O
Mo(F) = ± Fd
一般地，设平面上作用一力F，在平面内任取一点O——矩心，O点到力作用线的垂直距离d称为力臂。
Mo(F) = ± 2△OAB
力对点之矩是一代数量，式中的正负号用来表明力矩的转动方向。
矩心不同，力矩不同。
规定：力使物体绕矩心作逆时针方向转动时，力矩取正号；反之，取负号。
力矩的单位是Nmm。
由力矩的定义可知：
（1）若将力F沿其作用线移动，则因为力的大小、方向和力臂都没有改变，所以不会改变该力对某一矩心的力矩。
（2）若F=0，则Mo(F) = 0；若Mo(F) = 0，F≠0，则d=0，即力F通过O点。
力矩等于零的条件是：力等于零或力的作用线通过矩心。
2.合力矩定理
设在物体上A点作用有平面汇交力系F
1、F
2
、---F
n
，该力的合力F可由汇交力系
的合成求得。
计算力系中各力对平面内任一点O的矩，令OA=l，则
---
由上图可以看出，合力F 对O 点的矩为
据合力投影定理，有
F y =F 1y +F 2y +---+F ny
两边同乘以l ，得
F y l =F 1y l +F 2y l +---+F ny l
即
M o (F )=M o (F 1)+M o (F 2)+---+M o (F n )
合力矩定理：平面汇交力系的合力对平面内任意一点之矩，等于其所有分力对同一点的力矩的代数和。
3
.力对点之矩的求法(力矩的求法)
（1）用力矩的定义式，即用力和力臂的乘积求力矩。
注意：力臂d是矩心到力作用线的距离，即力臂必须垂直于力的作用线。
例2-3 如图所示，构件OBC的O端为铰链支座约束，力F作用于C点，其方向角为α，又知OB=l，BC=h，求力F对O点的力矩。
解（1）利用力矩的定义进行求解
如图，过点O作出力F作用线的垂线，与其交于a点,则力臂d即为线段o a。
再过B点作力作用线的平行线，与力臂的延长线交于b点，则有
（2）利用合力矩定理求解
将力F分解成一对正交的分力
力F的力矩就是这两个分力对点O的力矩的代数。
即
2.2.2力偶及其性质
1.力偶的定义
在工程实践中常见物体受两个大小相等、方向相反、作用线相互平行的力的作用，使物体产生转动。
例如，用手拧水龙头、转动方向盘等。
力偶——大小相等、方向相反、作用线相互平行的两力，如图中的力F与F'构成一力偶。
记作
(F，F')
力偶作用面——两个力所在的平面
力偶臂——两个力作用线之间的垂直距离d
力偶的转向——力偶使物体转动的方向
力偶只能使物体转动或改变转动状态。
怎样度量？
力使物体转动的效应，用力对点的矩度量。
设物体上作用一力偶臂为d的力偶(F，F')，该力偶对任一点O的矩为
M O (F)+M
O
(F')=F(x+d)-F'x=Fd
由于点O是任意选取的，故
力偶对作用面内任一点的矩
=
力偶中力的大小和力偶臂的乘积
（与矩心位置无关）
力偶矩——力偶中力的大小和力偶臂的乘积，记作
M(F,F')或M
M(F,F')=±Fd
规定：力偶逆时针转向时，力偶矩为正，反之为负。
力偶矩的单位是Nmm。
力偶同力矩一样，是一代数量。
Mo(F) = ± Fd
力偶的三要素——大小、转向和作用平面
2.力偶的性质
（1）力偶无合力。
力偶不能用一个力来等效，也不能用一个力来平衡。
可以将力和力偶看成组成力系的两个基本物理量。
（2）力偶对其作用平面内任一点的力矩，恒等于其力偶矩。
（3）力偶的等效性
力偶的等效性——作用在同一平面的两个力偶，若它们的力偶矩大小相等、转向相同，则这两个力偶是等效的。
力偶的等效条件：
1）力偶可以在其作用面内任意移转而不改变它对物体的作用。
即力偶对物体的作用与它在作用面内的位置无关。
经验：
不论将力偶加在A、B位置还是C、D位置，对方向盘的作用效应不变。
2）只要保持力偶矩不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不会改变力偶对物体的作用。
经验：
2.2.3平面力偶系的合成与平衡
平面力偶系——作用在刚体上同一平面内的多个力偶。
1.平面力偶系的合成
例两个力偶的合成
2.平面力偶系的平衡
平面力偶系合成的结果为一个合力偶，因而要使力偶系平衡，就必须使合力偶矩等于零，
例2-4 梁AB 受一主动力偶作用，其力偶矩M=100Nm ，梁长l=5m ，梁的自重不计，求两支座的约束反力。
解（1）以梁为研究对象，进行受力分析并画出受力图
F
A 必须与F
B
大小相等、方向相反、作用线平行。
（2）列平衡方程
例2-5 电机轴通过联轴器与工件相连接，联轴器上四个螺栓A、B、C、D的孔心均匀地分布在同一圆周上，见图2-2-6，此圆周的直径d=150mm ，电机轴传给联轴器的力偶矩M=25kNm，求每个螺栓所受的力。
解以联轴器为研究对象。
作用于联轴器上的力有电动机传给联轴器的力偶矩M，四个螺栓的约束反力，假
设四个螺栓的受力均匀，则F
1=F
2
=F
3
=F
4
=F，其方向如图所示。
由平面力偶系平衡
条件可知，F
1与F
3
、F
2
与F
4
组成两个力偶，并与电动机传给联轴器的力偶矩M
平衡。
据平面力偶系的平衡方程。