第3章 力矩与平面力偶系
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工程力学I-第3章 力矩与平面力偶系
D
x
§3-2 关于力偶的概念
力偶：一对等值、反向而不共线的平行力，用 符号（F ,F′）表示。
力偶臂：两个力作用
线之间的垂直距离d。
F’
F
力偶的作用面：两个 力作用线所决定的平 面
§3-2 关于力偶的概念
F F
d
d
F
d
F
F
F
转动游戏方向盘
拧水龙头
扳手拧螺母
§3-2 关于力偶的概念
Q AABD AABC 显然， 并注意到力偶矩的转向也相同， 则有M ( F , F ) M ( P, P) P
M (P 1, P 1 ) M ( P, P ) 显然， 1, P 1) 从而有M ，( F , F ) M ( P
P1
力偶等效
M ( F , F ) M ( P 1, P 1)
（1）力对点之矩，不仅取决于力的大小，还与矩心的位置有关。
（2）力对任一点之矩，不因该力的作用点沿其作用线移动而改变。 *（3）力的大小等于零或其作用线通过矩心时，力矩等于零。 （4）互成平衡的两个力对同一点之矩的代数和为零。
Mo(F)＝±Fd
§3-1 关于力矩的概念及其计算
合力矩定理：
y Fy
(3)将力P和P’沿各自的作用 线移至任意点A’，B’，根 据力的可传性原理，有 (P,P’) =(P1,P1’) 。
§3-2 关于力偶的概念
(4) A′
P1′ b F′ A A F B Q′ D P′ B′ C
M (F , F ) AB BD 2 AABD ,
M（P, P'） AB BC 2 AABC
第三章 力偶与平面力偶理论)
M 0 F F h
力对点之矩（力矩）是一个代数量，它的绝 对值等于力的大小与力臂的乘积；
它的正负：力使物体绕矩心逆时针转向时为正，反之为负。 常用单位为 N· m 或 kN· m。 注意：力矩在下列几种情况下等于零 （1）力的大小等于零；
（2）力的作用线通过矩心，即力臂等于零；
（3） 互成平衡的二力对同一点之矩为零。
78.93N m
按合力矩定理 M O F M O Ft M O Fr
F cos θ r 78.93N m
例3-2 已知：q,l； 求： 合力及合力作用线位置. 解： 取微元如图
x q q l l x 1 P q dx ql 0 l 2
M Mi Mi
i 1 n
平面力偶系平衡的充要条件 M = 0，有如下平衡方程
Mi
0
平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力 偶矩的代数和等于零。
例3-1
已知: F=1400N, θ 20 , r 60mm
求: M O F .
解:直接按定义
MO
F F h F r cos θ
M1 F1 d M2 F2 d
M1 F1d
M 2 F2d
Mn Fn d
M n Fnd
=
=
FR F1 F2 Fn
F1 F2 Fn FR
=
=
=
M FRd F1d F2d Fnd M1 M 2 M n
定理：同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，则两力偶 彼此等效。 推论： 任一力偶可在它的作用面内任意转移，而不改变它对刚体 的作用。因此力偶对刚体的作用与力偶在其作用面内的位置无 关。 只要保持力偶矩不变，可以同时改变力偶中力的大小与 力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变.
第三章-力矩和平面力偶系-第四章-平面任意力系
例3－1 试计算力对A点之矩。
解 本题有两种解法。 方法一： 按力矩的定义计算 由图中几何关系有：
d=ADsinα =(AB-DB)sinα =(AB- BCctgα)sinα =(a- bctgα)sinα =asinα-bcosα
所以
mA(F)=F•d =F(asinα-bcosα)
方法二：
解：
图（a）：
MA = - 8×2 = -16 kN ·m
MB = 8×2 = 16 kN ·m
图（b）： MA = - 4×2×1 = -8 kN · m
MB = 4×2×1 = 8 kN ·m
第二节 力偶
▪ 一、力偶 力偶矩
▪
在日常生活和工程实际中经常见到物体受动两个大小相等、方向相反，
但不在同一直线上的两个平行力作用的情况。例如
2．力偶矩：
▪ 作为力偶对物体转动效应的量度，称为力偶矩，
用m或m( F ,F′)表示。在平面问题中，将力偶中
的一个力的大小和力偶臂的乘积冠以正负号，如图：
即m(F)＝F•d=±2ΔABC
通常规定：力偶使物体逆时针方 向转动时，力偶矩为正，反之为 负。
在国际单位制中，力矩的单位 是牛顿•米（N•m）或千牛顿•米 （kN•m）。
▪
在同一平面内的两个力偶，只要两力偶的
力偶矩的代数值相等，则这两个力偶相等。这
就是平面力偶的等效条件。
▪ 根据力偶的等效性，可得出下面两个推论：
▪ 推论1 力偶可在其作用面内任意移动和转动， 而不会改变它对物体的效应。
▪ 推论2 只要保持力偶矩不变，可同时改变力 偶中力的大小和力偶臂的长度，而不会改变它 对物体的作用效应。
主矩： Mo=m1+m2+···+mn
第三章_力对点的矩_平面力偶系
4
平面力偶系的合成和平衡条件
平面力偶系的合成
平面力偶系：作用在同一平面内的一群力偶。 平面力偶系：作用在同一平面内的一群力偶。
=
FR = F1 + F2 + Fn
=
=
′ FR = F1′ + F2′ + Fn′
平面力偶系合成的结果是一个合力偶， 平面力偶系合成的结果是一个合力偶，合力 偶矩等于力偶系中各力偶矩的代数和 中各力偶矩的代数和。 偶矩等于力偶系中各力偶矩的代数和。
力对点的矩
F
h
O
M 0 ( F ) = ± Fh
力对点的矩是一个代数量，它的绝对值 绝对值等于力的大小 力对点的矩是一个代数量，它的绝对值等于力的大小 与力臂的乘积，它的正负可按下法确定， 正负可按下法确定 与力臂的乘积，它的正负可按下法确定，力使物体绕 矩心逆时针转向时为正，反之为负。 矩心逆时针转向时为正，反之为负。 力矩表示力使物体绕某点旋转的量度。 力矩表示力使物体绕某点旋转的量度。 量度
A α M1
OBBiblioteka M2DB 解： 因为杆AB为二力杆，故其反力F 和F 只 因为杆AB为二力杆 故其反力FAB 为二力杆， BA A
α
M1 M2
D
能沿A 能沿A，B的连线方向。 的连线方向。 分别取杆OA和DB为研究对象 分别取杆OA和DB为研究对象。因为力偶只能 为研究对象。 与力偶平衡，所以支座O 与力偶平衡，所以支座O和D的约束力FO 和FD 只 的约束力F ∴ 能分别平行于F 能分别平行于FAB 和FBA ，且与其方向相反。 且与其方向相反。 B 写出杆OA和DB的平衡方程 写出杆OA和DB的平衡方程： ∑M = 0 的平衡方程：
力对点的矩
工程力学第三章力矩与平面力偶系_图文
反力也必须组成一个同平面的力偶 （ ， ）与 之平衡。
例题讲解
【解】作 AB 梁的受力图，如图（ b ）所示。AB梁上作用 有二个力偶组成的平面力偶系，在 A 、B 处的约束
反力也必须组成一个同平面的力偶 （ ， ） 与之平衡。 由平衡方程
() RA 、RB为正值，说明图中所示RA 、RB 的指向正确。
力臂d
=
1m
×
sinα
=
1m
×
。 sin45 =
m
MB(F)=+F×d= +15kN×0.5 m = +7.5 kN ·m
注意：负号必须标注，正号可标也可不标。一般不标注。
§3-1力矩的概念和计算
（二）合力矩定理
表达式： 证明： 由图得
而 则
Fy
F
A
Fx
()
§3-1力矩的概念和计算
()
若作用在 A 点上的是一个汇交力系（ 、 、 ），则可将每个力对 o 点之矩相加，有
2. 力偶的三要素 （2）力偶的方向； （3）力偶的作用面。
3. 力偶的性质 （1）力偶在任何坐标轴上的投影等于零；
（2）力偶不能合成为一力，或者说力 偶没有合 力，即它不能与一个力等效， y
因而也不能被一个力平衡；
（3）力偶对物体不产生移动效应，只 产生转动 效应，既它可以也只能改变物
体的转动状 态。
例题讲解
【例题5】在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等 直径的孔,每个钻头的力偶矩为 求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力?
解: 各力偶的合力偶距为
根据平面力偶系平衡方程有:
由力偶只能与力偶平衡的性质 ，力NA与力NB组成一力偶。
例题讲解
例题讲解
【解】作 AB 梁的受力图，如图（ b ）所示。AB梁上作用 有二个力偶组成的平面力偶系，在 A 、B 处的约束
反力也必须组成一个同平面的力偶 （ ， ） 与之平衡。 由平衡方程
() RA 、RB为正值，说明图中所示RA 、RB 的指向正确。
力臂d
=
1m
×
sinα
=
1m
×
。 sin45 =
m
MB(F)=+F×d= +15kN×0.5 m = +7.5 kN ·m
注意：负号必须标注，正号可标也可不标。一般不标注。
§3-1力矩的概念和计算
（二）合力矩定理
表达式： 证明： 由图得
而 则
Fy
F
A
Fx
()
§3-1力矩的概念和计算
()
若作用在 A 点上的是一个汇交力系（ 、 、 ），则可将每个力对 o 点之矩相加，有
2. 力偶的三要素 （2）力偶的方向； （3）力偶的作用面。
3. 力偶的性质 （1）力偶在任何坐标轴上的投影等于零；
（2）力偶不能合成为一力，或者说力 偶没有合 力，即它不能与一个力等效， y
因而也不能被一个力平衡；
（3）力偶对物体不产生移动效应，只 产生转动 效应，既它可以也只能改变物
体的转动状 态。
例题讲解
【例题5】在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等 直径的孔,每个钻头的力偶矩为 求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力?
解: 各力偶的合力偶距为
根据平面力偶系平衡方程有:
由力偶只能与力偶平衡的性质 ，力NA与力NB组成一力偶。
例题讲解
第3章-平面与空间一般力系
【解】 土压力 FR 可使挡土墙绕A点倾覆，
故求土压力 FR使墙倾覆的力矩，就是求 FR
对A点的力矩。由已知尺寸求力臂d不方便，但如果将
FR分解为两分力 F1 和 F2
M A (FR ) M A (F1) M A (F2 )
F1h / 3 F2b
，
＝FR cos 30
＝150kN 3
1h3.5m -F1R50siknN301h1.5m
注意：主矢与简化中心位置无关，主矩则有关。因此说
到力系的主矩时，必须指出是力系对于哪一点的主矩。
主矢的解析表达法
R RX 2 RY 2
RX X1 X 2 X n X1 X 2 X n X
同理： RY Y
R X 2 Y 2
Tan RY Y RX X
M0=∑M0=M0(F1)+M0(F2)+…M0(Fn)=∑M0(F)
又B处的支座反力垂直于支持面，要形成与已知力偶M反向的 力偶，B处的支座反力 FB 方向只能斜向上，A处的支座反力
FA 的方向斜向下，作用线与 FB 平行，且有 FA FB
n
由平衡条件 Mi 0 ，得： i 1
FB d M 0
30°
FB (4m sin 30 ) 20MkN m 0
n
Mi 0
i 1
【例题3-3】 如图3-10(a)所示的简支梁AB，受一力偶的作用。
已知力偶 M 20kN m ，梁长l 4m ，梁的自重不计。 求梁A、B支座处的反力。
30°
M
A B
4m
60°
d
M
A FA
B FB 4m
【解】 取梁AB为研究对象，梁AB上作用一集中力偶M且保持 平衡，由于力偶只能用力偶来平衡，则A、B处的支座反力必形 成一对与已知力偶M反向的力偶
故求土压力 FR使墙倾覆的力矩，就是求 FR
对A点的力矩。由已知尺寸求力臂d不方便，但如果将
FR分解为两分力 F1 和 F2
M A (FR ) M A (F1) M A (F2 )
F1h / 3 F2b
，
＝FR cos 30
＝150kN 3
1h3.5m -F1R50siknN301h1.5m
注意：主矢与简化中心位置无关，主矩则有关。因此说
到力系的主矩时，必须指出是力系对于哪一点的主矩。
主矢的解析表达法
R RX 2 RY 2
RX X1 X 2 X n X1 X 2 X n X
同理： RY Y
R X 2 Y 2
Tan RY Y RX X
M0=∑M0=M0(F1)+M0(F2)+…M0(Fn)=∑M0(F)
又B处的支座反力垂直于支持面，要形成与已知力偶M反向的 力偶，B处的支座反力 FB 方向只能斜向上，A处的支座反力
FA 的方向斜向下，作用线与 FB 平行，且有 FA FB
n
由平衡条件 Mi 0 ，得： i 1
FB d M 0
30°
FB (4m sin 30 ) 20MkN m 0
n
Mi 0
i 1
【例题3-3】 如图3-10(a)所示的简支梁AB，受一力偶的作用。
已知力偶 M 20kN m ，梁长l 4m ，梁的自重不计。 求梁A、B支座处的反力。
30°
M
A B
4m
60°
d
M
A FA
B FB 4m
【解】 取梁AB为研究对象，梁AB上作用一集中力偶M且保持 平衡，由于力偶只能用力偶来平衡，则A、B处的支座反力必形 成一对与已知力偶M反向的力偶
理论力学第三章力矩与平面力偶理论（H）
理论⼒学第三章⼒矩与平⾯⼒偶理论（H）第3章⼒矩与平⾯⼒偶理论※平⾯⼒对点之矩的概念及计算※⼒偶及其性质※平⾯⼒偶系的合成与平衡※结论与讨论§3-1 平⾯⼒对点之矩的概念及计算1.⼒对点之矩AFBhhF M O ?±=)(F h ——⼒臂O ——矩⼼OABM O Δ±=2)(F M O (F ) ——代数量（标量）“＋”——使物体逆时针转时⼒矩为正；“－”——使物体顺时针转时⼒矩为负。
2. 合⼒之矩定理平⾯汇交⼒系合⼒对于平⾯内⼀点之矩等于所有各分⼒对于该点之矩的代数和。
3. ⼒矩与合⼒矩的解析表达式xA FF xF yOαyx yx y y O x O O yF xF M M M ?=+=)()()(F F F )()()()()(21i O n O O O R O M M M M M F F F F F ∑=+++=")()(ix i iy i R O F y F x M ?∑=FF nαOrF rF 已知：F n ，α，r求：⼒F n 块对轮⼼O 的⼒矩。
h解：（1）直接计算αcos )(r F h F M n n n O ==F （2）利⽤合⼒之矩定理计算αcos )()()()(r F M M M M n O O r O n O ==+=F F F F 例题1§3-2 ⼒偶及其性质1.⼒偶与⼒偶矩⼒偶——两个⼤⼩相等、⽅向相反且不共线的平⾏⼒组成的⼒系。
⼒偶臂——⼒偶的两⼒之间的垂直⼒偶的作⽤⾯——⼒偶所在的平⾯。
（1）⼒偶不能合成为⼀个⼒，也不能⽤⼀个⼒来平衡。
⼒和⼒偶是静⼒学的两个基本要素。
（2）⼒偶矩是度量⼒偶对刚体的转动效果；它有两个要素：⼒偶矩的⼤⼩和⼒偶矩的转向。
F′FABOdx FdFxxdFMMMOOO=+′=′+=′)()()(),(FFFF⼒偶矩±=FdM2.平⾯⼒偶的等效定理1F ′F ′2F ′0F ′F 00F ′F 0ABDCdF F 1F 2★在同平⾯内的两个⼒偶，如果⼒偶矩相等，则两⼒偶彼此等效。
工程力学(人民交通出版社)第3章 第2节力偶系
Fy
F
C
B D
b
Fx x
a
MA( F ) MA( Fx ) MA( Fy ) Fx b Fy a F cos b F sin a Fa sin Fb cos
F Fx Fy
Fx F cos Fy F sin
Mo (F , F ' ) Mo (F ) Mo (F ' ) F (d x ) F ' x F d
⑦正负规定：逆时针为正 ⑧单位量纲：N m 或 kN m
二、力偶与力偶矩
2、力偶的特点 ⑨力偶的三要素： 力偶矩的大小、力偶的转向、力偶的作用面 ⑩力偶矩矢 用一个矢量表达三要素：力偶矩矢。
§3-2
力矩与力偶理论
一、力对点之矩 二、力偶与力偶矩 三、力偶系的合成与平衡
一、力对点之矩
1、平面中力矩的概念
力对物体可产生运动效应，在一般情况下，既可能产生移动（平动）效应， 也可能产生转动效应，或者同时产生这两种运动效应。力的移动效应取决于 力的大小和方向，而力使物体绕某点的转动效应，则用力对该点的矩来度量， 简称力矩。
2）合力矩定理 将力Fn分解为切由合力矩定理得：
M o (Fn ) M o (Ft ) M o (Fr ) Fn r cos 0 Fn r cos
小结力偶和力偶矩
1. 力矩是力学中的一个基本概念。度量力对物体的转动 效应：
即有： Mx mx My my Mz mz 同理： M Mx 2 My 2 Mz 2
( Mx ) ( My ) ( Mz )
2 2 2
z
MZ
第三章 力对点之矩与平面力偶
第三章力对点之矩与平面力偶一、判断题1、力偶是物体间相互的机械作用，这种作用的效果是使物体的运动状态发生改变。
力偶没合力，不能用一个力来等效代换，也不能用一个力来与之平衡。
（√）2、力偶使物体转动的效果完全由力偶矩来确定，而与矩心位置无关。
只要力偶矩相同，不管其在作用面内任意位置，其对刚体的作用效果都相同。
（√）3、01=∑=n i i M是平面力偶系平衡的充要条件。
（√）4、半径为R 的圆轮可绕通过轮心轴O 转动，轮上作用一个力偶矩为M 的力偶和一与轮缘相切的力F,使轮处于平衡状态。
这说明力偶可用一力与之平衡。
（×）5.刚体的某平面内作用一力和一力偶，由于力与力偶不能等效，所以不能将它们等效变换为一个力。
（×）解析：一个力和一个力偶可以简化为一个力。
6、物体受同一平面内四个力的作用，这四个力组成两个力偶（F1，F1′）和(F2,F2′），其组成的力多边形自行封闭，该物体处于平衡。
（×）7、力偶不是基本力学量，因为构成力偶的两力为基本量。
（×）解析：(1)力学中的基本物理量是长度、质量、时间。
(2)国际单位制中的基本单位：长度，米（m）；质量，千克（kg）；时间，秒（s）；电流，安（A）；热力学温度，开（K）；物质的量，摩（mol)；发光强度，坎（cd）。
8、自由刚体受到力偶作用时总绕力偶臂中点转动。
（×）解析：动力学可以证明，静止的自由刚体受力偶作用时，总是绕着刚体的质量中心转动（与质量分布有关，与作用位置无关）。
9、力偶的合力等于零。
（×）解析：力偶是一对大小相等方向相反但不在同一条直线上的两个力,这与力的平衡定理作用在同一直线上的两个力大小相等方向相反则两力平衡是相悖的.力偶对平面内任意点的力矩不为零.10、力偶的合成符合矢量加法法则。
（×）解析：三角形法则，平行四边形法则。
三角形法则是：如果是两个矢量的相加将这两个矢量的首尾相接，从一个矢量的开头指向另一个矢量的末尾就是它们的和向量。
力矩与平面力偶系
工程力学与建筑结构
1.4 力偶的合成 作用在同一物体上的若干个力偶组成一个力偶系，若
力偶系中各力偶均作用在同一平面，则称为平面力偶系。 平面力偶系合成的结果为一合力偶，其合力偶矩等于
各分力偶矩的代数和。即 M =M1＋M2＋…＋Mn=∑M
1.5力偶系的平衡条件 平面力偶系平衡的必要和充分条件是：力偶系中各力
偶矩的代数和为零。即 ∑M=0
工程力学与建筑结构
工程力学与建筑结构
工程力学与建筑结构
力矩与平面力偶系 1.1力矩的概念
用力的大小F与d的乘积度量力F使扳手绕O点的转动 效示应。，即称为力F对O点之矩，简称力矩，用符号MO（F）表
MO（F）=±Fd 式中，O点称为“矩心”，d称为“力臂”。 力矩的正负规定为：力使物体绕矩心逆时针方向转动时， 力矩为正；反之为负。
M=±Fd
力偶矩的正负规定与力矩正负规定一致，即：使物体 逆时针方向转动的力偶矩为正；反之为负。
F
F
B
h
铰杠
丝锥
F'
F d
F'
A
(a)
F' (b)
(c)
工程力学与建筑结构
在平面问题中，力偶矩也是代数量。力偶矩的单位与力矩 单位相同，即N•m。 根据力偶的概念可以证明，力偶具有以下性质： （1）力偶在其作用面上任一轴的投影为零。 （2）力偶对其作用面上任一点之矩，与矩心位置无关，恒 等于力偶矩。
系中所有分力对同一点之矩的代数和。
MO（FR）=MO（F1）＋ MO （F2）＋…＋ MO （Fn）=∑ MO （F）
F1 y
A
FR
F2
O x
工程力学与建筑结构
1.3 力偶的概念
理论力学03力矩力偶与平面力偶系
本章讨论平面力偶系的合成与平衡问题
一、平面力偶系的合成 平面力偶系可合成为一个合力偶； 合力偶矩等于各分力偶矩的代数和，即
M1
M2 M3
M4
M Mi
二、平面力偶系的平衡方程
Mi 0
M
说明：根据平面力偶系的平衡方程，可解 一个未知量。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
[例2] 已知梁长 l = 5 m，M = 100 kN·m ；若不计梁的自重，试求 铰支座 A 、B 处的约束力。
2. 力偶中的两个力对任一点的矩的代数和 恒等于力偶矩，与矩心位置无关。
dF F
3. 作用于刚体同一平面内两个力偶等效的充要条件为其力偶矩 相等。
结论：力偶矩唯一决定了力偶对刚体的作用效应。
◆ 通常用力偶矩符号来代表力偶：
F
d
M Fd
F
M 或M
第三节 平面力偶系
平面力偶系：由位于同一平面内的一群力偶所组成的力系
构平衡。试求作用于摆杆 BO1上的力偶矩 M2 （各构件的自重不计）
解： 1）首先研究曲柄 AO与套筒A 的组合 画受力图 列平衡方程
Mi 0, M1 FA r sin 30 0
解得
FA
FO
2M1 r
M1
O
FO
FA
FA
FO
2M1 r
2）再选取摆杆 BO1 为研究对象
画受力图
列平衡方程
Mi 0, M 2 FA AO1 0
的平行力称为一个力偶，记作 F, F。
dF F
二、力偶矩 定义
M Fd
为平面内力偶 F, F 的矩，简称力偶矩。
说明： 1）平面内力偶矩为代数量，其正负号表转向，一般规定 逆时针转向为正，反之为负。
力矩和平面力偶系
（力偶三要素：力偶矩旳大小；力偶旳转向和力 偶旳作用面。）
所以两个力偶等效，必须是该两个力偶旳力偶矩 大小相同，转向相同，作用面相同。（对刚体， 可作用面平行。）
例题：
F
1.习题3-2
a
b
Fx F cosa
a
Fy f sin a
M A (F ) -Fx b Fy 0 -Fb cosa
M B (F ) -Fx b Fy a F (a sin a - b cosa )
2．习题3-7
正三角形ABC
B F2
F1 F2 F3 F
X F1 cos 60 F2 cos 60 - F3 0
F1
Y F1 sin 60 - F2 sin 60 0
A
即合力FR=0
F1x
F
cos 60
第三章: 力矩与平面力偶系
本章研究力矩和力偶旳概念、力偶旳 性质、平面力偶系旳合成与平衡。本 章与第二章旳理论是研究平面一般力 系旳基础。
§3-1 力矩旳概念和计算
一般情况下，力对物体作用时能够产 生移动和转动两种外效应。力旳移动 效应取决于力旳大小和方向。为了度 量力旳转动效应，需要引入力矩旳概 念。
设物体上作用有一 力偶臂为d旳力偶 （Ｆ，Ｆ‘）
该力偶对作用面内任 一点Ｏ之矩为：
Ｏ x
F
F’ d
Ｍo(F)+Mo(F’)=F(x+d)-Fx=Fd
力偶对作用面内任一点旳矩之大小恒等于力偶中 一力旳大小和力偶臂旳乘积，而与矩心旳位置无关。
力偶对物体旳转动效应可用力与力偶臂旳乘积Fd 及转向来度量，该物理量称为力偶矩。
互成平衡旳二力对同一点旳力矩之和为 零
虽然力矩概念由力对物体上固定点旳 作用引出。实际上，作用于物体上旳力 能够对任意点取矩，即矩心可是空间中 旳任意点。
所以两个力偶等效，必须是该两个力偶旳力偶矩 大小相同，转向相同，作用面相同。（对刚体， 可作用面平行。）
例题：
F
1.习题3-2
a
b
Fx F cosa
a
Fy f sin a
M A (F ) -Fx b Fy 0 -Fb cosa
M B (F ) -Fx b Fy a F (a sin a - b cosa )
2．习题3-7
正三角形ABC
B F2
F1 F2 F3 F
X F1 cos 60 F2 cos 60 - F3 0
F1
Y F1 sin 60 - F2 sin 60 0
A
即合力FR=0
F1x
F
cos 60
第三章: 力矩与平面力偶系
本章研究力矩和力偶旳概念、力偶旳 性质、平面力偶系旳合成与平衡。本 章与第二章旳理论是研究平面一般力 系旳基础。
§3-1 力矩旳概念和计算
一般情况下，力对物体作用时能够产 生移动和转动两种外效应。力旳移动 效应取决于力旳大小和方向。为了度 量力旳转动效应，需要引入力矩旳概 念。
设物体上作用有一 力偶臂为d旳力偶 （Ｆ，Ｆ‘）
该力偶对作用面内任 一点Ｏ之矩为：
Ｏ x
F
F’ d
Ｍo(F)+Mo(F’)=F(x+d)-Fx=Fd
力偶对作用面内任一点旳矩之大小恒等于力偶中 一力旳大小和力偶臂旳乘积，而与矩心旳位置无关。
力偶对物体旳转动效应可用力与力偶臂旳乘积Fd 及转向来度量，该物理量称为力偶矩。
互成平衡旳二力对同一点旳力矩之和为 零
虽然力矩概念由力对物体上固定点旳 作用引出。实际上，作用于物体上旳力 能够对任意点取矩，即矩心可是空间中 旳任意点。
03--第三章 力矩与平面力偶系(修订)
例3-5 ：
已知 M 2kN m,OA r 0.5m,θ 30; 1
求：平衡时的 M 2及铰链O，B处的约束力.
解：取轮,由力偶只能由力偶平衡的性质,画受力图.
M 0 M1 FA r sin 0
解得 FO FA 8kN
取杆BC，画受力图.
M 0
FA'
r
sin
M2
0
解得 M2 8kNm
F 'd Fd
力矩的符号 M F 力偶矩的符号 M O
3.只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任 意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力 臂的长短，对刚体的作用效果不变.
=
=
=
ABC ABD
ABC？ABD
M FR，Fi R FRd1 2ABD
M
F,
Fi
Fd
2ABC
=
=
=
=
l
q dx x
0
l
0
x2 l
q dx
得 h 2l 3
例3-4
已知：M1 M 2 10N m, M3 20N m, l 200mm;
求： 光滑螺柱AB所受水平力.
解：由力偶只能由力偶平衡的性质， 其受力图为
M 0
FAl M1 M2 M3 0
解得
FA
FB
M1 M2 l
M3
200N
力偶矩 M F d 2 1 F d 2ABC
2
二. 力偶与力偶矩的性质 1.力偶在任意坐标轴上的投影等于零.
2.力偶对任意点取矩都等于力偶矩， 不因矩心的改变而改变.
M F d
MO1 F
F,
d
F
x1
MO1 F M
同济版_理论力学_王斌耀(同济理力最好老师)_第3章 力矩理论与 力偶理论
z
Fz B β
y=180mm
F Fy
A
Fx α Fxy
y
z=200mm
0 x x=0, =0, y=180mm, =180mm, z=200mm. =200mm.
§3-2力偶的概念
一、力偶与力偶矩
大小相等、方向相反、作用线相互平行的两个力所 大小相等、方向相反、 组成的力系称为力偶。 组成的力系称为力偶。
M O ( FR ) = M O ( F1 ) + M O( F2 ) = ∑ M O ( Fi )
合力对点(或轴) 合力对点(或轴)之矩等于各分力对 同点(或同轴)之矩的矢量和(代数和) 同点(或同轴)之矩的矢量和(代数和)。
z A
F1 F2
y
FR
r × FR = ∑ r × Fi
i =1
O
n
r
x
1、平面力偶
F
F’
1、平面力偶
F’ F
F’ F
F
A
d
rBA
B
F′
+ _
M=±Fd (Nm) ±
力偶作用平面
d：力偶臂
2、空间力偶 力偶的矢量表示
M A = rBA × F = M B = rAB × F
'
M
右手法 则为正
B
F
rBA
A
F’
力偶矩矢量垂直于力偶所在平面,其大小和方向与取矩点无关 力偶矩矢量垂直于力偶所在平面 其大小和方向与取矩点无关. 其大小和方向与取矩点无关
P力作用点的矢径 力作用点的矢径
r = xi + yj + zk ,
x = 5cm, y = 6cm, z = 0
理论力学 第三章 平面力偶系
M O2 F , F F d x2 F x2 F 'd Fd
力矩的符号 M O F
力偶矩的符号 M
13
性质3：平面力偶等效定理 作用在同一平面内的两个力偶，只要它的力偶矩的大小相等， 转向相同，则该两个力偶彼此等效。 [证] 设物体的某一平面 FR F’R
B
A
m2 m1 FA
m3
B FB
解：1 以梁为研究对象，受力如图。
（力偶只能与力偶平衡）
m 0 : FAl m1 m2 m3 0
解之得：
m1 m2 m3 FA FB l
20
[例2] 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径
的孔,每个钻头的力偶矩为
动的效果或效应，就称为
力对点的矩，简称力矩。 矩心：在力矩作用面，O称为矩心。 力臂：O到力的作用线的垂直距离h
1.大小：力F与力臂的乘积 两个要素： 2.方向：转动方向
3
大小和转向：
M O ( F ) F d
+
-
说明： ① M O ( F )是代数量。
② M O ( F )是影响转动的独立因素。 ③单位Nm，工程单位kgfm。 ④ M O ( F ) =2⊿AOB=Fd ,2倍⊿形面积。 力矩的性质： 1）力矩取决于力F的大小，也取决于矩心的位置。 2）力矩不因力沿其作用线移动改变。 3）力矩的力F=0或力F过矩心时，力矩为零。
FR
由上述证明可得下列两个推论： ②只要保持力偶矩大小和转向 ①力偶可以在其作用面内任 意移动，而不影响它对刚体 的作用效应。
不变，可以任意改变力偶中力
的大小和相应力偶臂的长短， 而不改变它对刚体的作用效应。
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F2′)作用在 ，
Oyz平面内,它们的力偶矩大小相等(如图)。试问此两力偶是否
O
建筑力学电子教案
思考题 3-2 如图所示，在物体上作用有两力偶 ( F1, F1) 和 ( F2, F2), 其力
多边形封闭。问该物体是否平衡？为什么？
F1 F2′ F1
′
F1 F2 F2′ F1′ F2
图3-17
§3-2 力偶的概念
1. 力偶和力偶矩 (1) 力偶的概念 由大小相等、方向相反、作用线平行的两个力 组成的力系叫做力偶，记作（F，F′）。 例如：方向盘等
F
力偶臂 d F′ 力偶作用面 图 3-4 F1 A D F 图3-5 B F1′ C F′
建筑力学电子教案
力偶中两力所在的平面——力偶作用面。 两力作用线间的垂直距离——力偶臂，计为d 。
力偶臂的乘积，正负号表示力偶的转向：逆时针转为正，
顺时针转为负。M单位：N · m；kN · m
M (F ,
力偶矩是平面力偶作用的唯一度量。
F ) F d 或 M F d
注意：M与矩心位置无关。例如： M O ( F ) M O ( F )
F
d O x
图3-7
- F x - F (d - x) -F d
作用线必通过该点； （3）互成平衡的二力对同一点之矩的代数和为零。 (4) 作用于物体上的力可以对物体上或物体外的任意点取矩。
F2 F O F1 图 3-2 (b) 图 3-2 (c)
o
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2. 合力矩定理 平面汇交力系的合力对于平面内任一点之矩等于所有 各分力对于该点之矩的代数和，即：
的转动效应
M
A B A M
C
B
(a) 图3-10
(b)
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推论2 在保持力偶矩的大小和转向不变的条件下，可以任意改 变力偶中力和力偶臂的大小而不改变力偶对物体的转动 效应。 例如： F1d=F2D
F1 d D F2 B F2
A
F 1 (a)
B
A
(b)
图3-11
注意：上述结论只适用于刚体，而不适用于变形体。
M
O
(F ) x Fy - y Fx
(b)
由式（a），该汇交力系的合力FR=∑F，它对矩心的矩
MO (FR ) x FR y - y FR x x F y - y F x
比较（b）、（c）两式有
(c)
MO (FR ) MO (F )
建筑力学电子教案
∑M =0
M2
d
-M1+ M2+FB l cos60º 0 =
(b)
FB=6 N
FA = FB = 6 N
FA、FB为正值，说明图中所示FA、FB的指向正确。
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例 题 3- 3
如图所示的铰接四连杆机构OABD，在杆OA和BD
上分别作用着矩为M1和M2的力偶，而使机构在图示位置处于 平衡。已知OA=r，DB=2r，q =30°，不计各杆自重，试求 M1和M2间的关系。
F
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(4) 力偶的三要素 （a）力偶矩的大小； （b）力偶的转向； （c）力偶作用面在空间的方位。
2. 平面力偶等效定理 力偶不能与力等效，只能与另一个力偶等效。
力偶矩是平面力偶作用的唯一度量。
定理：在同一平面内（或两平行平面）的两个力偶，如它
们的力偶矩的大小相等，而且转向相同，则此两力偶等效。
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§3-3 平面力偶系的合成与平衡
平面力偶系：作用在物体上同一平面内的若干力偶的总称。
1. 合成
(1) 两个力偶的情况
F1 F2 d2 F2′ d1 F1′ F22 F11′ d F22′
=
F11
=
d FR
FR′
M1 F1 d1 , M 2 - F2 d 2
M 1 F11 d , M 2 - F22 d
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证明 设有一力偶 (F, F′),如图所示 . 运用加减平衡力系的 公理并注意到：
( F , F ) ~ ( F , F , Q, Q) ~ ( P, P) ( F , F ) ~ ( P , P) 1 1
M ( F , F ) 2 S ABD , M ( P, P) 2 S ABC S ABD S ABC
力偶无合力，即对物体不产生移动效应。力 偶本身不能平衡，故对物体产生转动效应。 力偶无合力，本身也不能平衡，因此是一个 基本的力学量。 力与力偶是静力学的两个基本要素。
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(3) 力偶矩 力偶对物体的转动效应，用力偶矩度量，以M(F，F ‘) 或M表示： M=±Fd
力偶矩是一个代数量，其绝对值等于一边力的大小与
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第三章
力矩与平面力偶系
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力对物体作用时可以产生移动和转动两种效应。
力的移动效应取决于力的大小和方向，为了度量力 的转动效应，需引入力矩的概念。
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§3-1 力矩的概念和计算
1. 力对点之矩
l
F d O 图3-1
A
（1）用扳手拧螺母； （2）开门，关门。
由上图知，力F 使物体绕O点转动的效应，不仅与力的大 小，而且与O点到力的作用线的垂直距离d有关，故用乘积
F·d 来度量力的转动效应，简称力矩，以符号M
示。
。
O
(F)表
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即
M O (F ) F d
O点为力矩的中心，称为矩心； d 为O点到力F 作用线的垂直 距离，称为力臂。 力矩的正负号：力使物体绕逆时针方向转动时为正，反
之为负。
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应注意： 在平面问题中，力对点之矩只取决于力矩的大小及其旋
MO (FR ) MO (F )
由图得
y
Fy
F
M O ( F ) F d F r sin(a - q ) F r (sin a cos q - sin q cosa ) F r sin a cos q - F r sin q cosa
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思考题 3-3 图3-18所示圆盘由O点处的轴承支持，在力偶M 和力F
的作用下处于平衡。能不能说力偶被力F 所平衡？为什么？
思考题3-4 力矩和力偶有什么联系？ 又有什么区别？
M O
图3-18
F
A 4m (a) M2 M1 B M1
60
A
FA M2 d
B FB
图3-15
解：作AB梁的受力图，如图（b）所示。AB梁上作用
(b)
有二个力偶组成的平面力偶系，在A、B 处的约束力也必须
组成一个同平面的力偶（FA ，FB ）才能与之平衡。
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M1
A FA B FB
由平衡方程
得 解得 故
B A
q
M1 M2
D
O
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解：因为杆AB为二力杆，故其反
B A
力FAB和FBA只能沿A，B的连线方向。
分别取杆OA和DB为研究对象。因
q
M1
M2 D
为力偶只能与力偶平衡，所以支座O和
O
D的约束力FO 和FD 只能分别平行于
FAB 和FBA ，且与其方向相反。
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写出杆OA和DB的平衡方程： ∑M = 0
而
x r O d
A
a
y
q
Fx
x
a-q
图 3-3
F cos a Fx , F sin a Fy r cosq x , r sin q y
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则
M O (F ) x Fy - y Fx
(a)
若作用在 A点上的是一个汇交力系（F1 、F2 、… Fn） 则可将每个力对O点之矩相加，有
FR F11 - F22 , FR F11 - F22
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这样得到新的力偶(FR , FR′),则
M= FRd= (F11 - F22)d=F11d - F22 d=M1+M2
(2) 任意个力偶的情况
M=M1 + M2 + … + Mn , 或 M=∑Mi
Mn
M1 M2 图3-13
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平面力偶系的合成结果为一合力偶，合力偶矩等 于各已知力偶矩的代数和。
2. 平衡条件
平面力偶系平衡的必要和充分条件是：力偶系中各力 偶矩的代数和等于零，即 ∑Mi=0 利用这个平衡条件，可以求解一个未知量。
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例 题 3- 1
两力偶作用在板上，尺寸如图，已知 F1 = F2=1.5 kN , F3 =F4 = 1 kN, 求作用在板上的合力偶矩。
FBA A M1 FO O FAB B
M 1 - FAB rcos q 0 - M 2 2 FBArcos q 0
因为
M2
D
FAB FBA
M 2 2M1
FD
所以求得
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思考题 3-1 一力偶(F1,F1′)作用在Oxy平面内,另一力偶(F2 等效，为什么？
z F2 F2′ y F1 x F1′ 图3-16
Q A a P
A′ P1 D
b B′ C P1′
F′ F
图3-9
P′ B Q′
M ( F , F ) M ( P, P) M ( P, P) M ( P , P) 1 1 M ( F , F ) M ( P , P) 1 1