第3章 力矩与平面力偶系

MO (FR ) MO (F )
由图得
y
Fy
F
M O ( F ) F d F r sin(a - q ) F r (sin a cos q - sin q cosa ) F r sin a cos q - F r sin q cosa
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思考题 3-3 图3-18所示圆盘由O点处的轴承支持，在力偶M 和力F
的作用下处于平衡。能不能说力偶被力F 所平衡？为什么？
思考题3-4 力矩和力偶有什么联系？ 又有什么区别？
M O
图3-18
F
F1 180mm
解：由式
F
2
F4
M = M1 + M2 则
F3
80mm 图3-14
M =-F1 · 0.18 –F3 · 0.08 = -350 N· m
负号表明转向为顺时针。
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例 题 3- 2
长为 4 m的简支梁的两端A、B 处作用有二个力偶，大小 各为M1 =16 N· m，M2 = 4 N· m，转向如图。试求A、B支座的 约束力。
§3-2 力偶的概念
1. 力偶和力偶矩 (1) 力偶的概念 由大小相等、方向相反、作用线平行的两个力 组成的力系叫做力偶，记作（F，F′）。 例如：方向盘等
F
力偶臂 d F′ 力偶作用面 图 3-4 F1 A D F 图3-5 B F1′ C F′
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力偶中两力所在的平面——力偶作用面。 两力作用线间的垂直距离——力偶臂，计为d 。
∑M =0
M2
d
-M1+ M2+FB l cos60º 0 =
(b)
FB=6 N
FA = FB = 6 N
FA、FB为正值，说明图中所示FA、FB的指向正确。
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例 题 3- 3
如图所示的铰接四连杆机构OABD，在杆OA和BD
上分别作用着矩为M1和M2的力偶，而使机构在图示位置处于 平衡。已知OA=r，DB=2r，q =30°，不计各杆自重，试求 M1和M2间的关系。
作用线必通过该点； （3）互成平衡的二力对同一点之矩的代数和为零。 (4) 作用于物体上的力可以对物体上或物体外的任意点取矩。
F2 F O F1 图 3-2 (b) 图 3-2 (c)
o
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2. 合力矩定理 平面汇交力系的合力对于平面内任一点之矩等于所有 各分力对于该点之矩的代数和，即：
力偶无合力，即对物体不产生移动效应。力 偶本身不能平衡，故对物体产生转动效应。 力偶无合力，本身也不能平衡，因此是一个 基本的力学量。 力与力偶是静力学的两个基本要素。
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(3) 力偶矩 力偶对物体的转动效应，用力偶矩度量，以M(F，F ‘) 或M表示： M=±Fd
力偶矩是一个代数量，其绝对值等于一边力的大小与
M
O
(F ) x Fy - y Fx
(b)
由式（a），该汇交力系的合力FR=∑F，它对矩心的矩
MO (FR ) x FR y - y FR x x F y - y F x
比较（b）、（c）两式有
(c)
MO (FR ) MO (F )
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A 4m (a) M2 M1 B M1
60
A
FA M2 d
B FB
图3-15
解：作AB梁的受力图，如图（b）所示。AB梁上作用
(b)
有二个力偶组成的平面力偶系，在A、B 处的约束力也必须
组成一个同平面的力偶（FA ，FB ）才能与之平衡。
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M1
A FA B FB
由平衡方程
得 解得 故
而
x r O d
A
a
y
q
Fx
x
a-q
图 3-3
F cos a Fx , F sin a Fy r cosq x , r sin q y
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则
M O (F ) x Fy - y Fx
(a)
若作用在 A点上的是一个汇交力系（F1 、F2 、… Fn） 则可将每个力对O点之矩相加，有
FBA A M1 FO O FAB B
M 1 - FAB rcos q 0 - M 2 2 FBArcos q 0
因为
M2
D
FAB FBA
M 2 2M1
FD
所以求得
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思考题 3-1 一力偶(F1,F1′)作用在Oxy平面内,另一力偶(F2 等效，为什么？
z F2 F2′ y F1 x F1′ 图3-16
F·d 来度量力的转动效应，简称力矩，以符号M
示。
。
O
(F)表
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即
M O (F ) F d
O点为力矩的中心，称为矩心； d 为O点到力F 作用线的垂直 距离，称为力臂。 力矩的正负号：力使物体绕逆时针方向转动时为正，反
之为负。
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应注意： 在平面问题中，力对点之矩只取决于力矩的大小及其旋
的转动效应
M
A B A M
C
B
(a) 图3-10
(b)
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推论2 在保持力偶矩的大小和转向不变的条件下，可以任意改 变力偶中力和力偶臂的大小而不改变力偶对物体的转动 效应。 例如： F1d=F2D
F1 d D F2 B F2
A
F 1 (a)
B
A
(b)
图3-11
注意：上述结论只适用于刚体，而不适用于变形体。
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第三章
力矩与平面力偶系
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力对物体作用时可以产生移动和转动两种效应。
力的移动效应取决于力的大小和方向，为了度量力 的转动效应，需引入力矩的概念。
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§3-1 力矩的概念和计算
1. 力对点之矩
l
F d O 图3-1
A
（1）用扳手拧螺母； （2）开门，关门。
由上图知，力F 使物体绕O点转动的效应，不仅与力的大 小，而且与O点到力的作用线的垂直距离d有关，故用乘积
FR F11 - F22 , FR F11 - F22
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这样得到新的力偶(FR , FR′),则
M= FRd= (F11 - F22)d=F11d - F22 d=M1+M2
(2) 任意个力偶的情况
M=M1 + M2 + … + Mn , 或 M=∑Mi
Mn
M1 M2 图3-13
F
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(4) 力偶的三要素 （a）力偶矩的大小； （b）力偶的转向； （c）力偶作用面在空间的方位。
2. 平面力偶等效定理 力偶不能与力等效，只能与另一个力偶等效。
力偶矩是平面力偶作用的唯一度量。
定理：在同一平面内（或两平行平面）的两个力偶，如它
们的力偶矩的大小相等，而且转向相同，则此两力偶等效。
B A
q
M1 M2
D
O
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解：因为杆AB为二力杆，故其反
B A
力FAB和FBA只能沿A，B的连线方向。
分别取杆OA和DB为研究对象。因
q
M1
M2 D
为力偶只能与力偶平衡，所以支座O和
O
D的约束力FO 和FD 只能分别平行于
FAB 和FBA ，且与其方向相反。
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写出杆OA和DB的平衡方程： ∑M = 0
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证明 设有一力偶 (F, F′),如图所示 . 运用加减平衡力系的 公理并注意到：
( F , F ) ~ ( F , F , Q, Q) ~ ( P, P) ( F , F ) ~ ( P , P) 1 1
M ( F , F ) 2 S ABD , M ( P, P) 2 S ABC S ABD S ABC
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§3-3 平面力偶系的合成与平衡
平面力偶系：作用在物体上同一平面内的若干力偶的总称。
1. 合成
(1) 两个力偶的情况
F1 F2 d2 F2′ d1 F1′ F22 F11′ d F22′
=
F11
=
d FR
FR′
M1 F1 d1 , M 2 - F2 d 2
M 1 F11 d , M 2 - F22 d
F2′)作用在 ，
Oyz平面内,它们的力偶矩大小相等(如图)。试问此两力偶是否
O
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思考题 3-2 如图所示，在物体上作用有两力偶 ( F1, F1) 和 ( F2, F2), 其力
多边形封闭。问该物体是否平衡？为什么？
F1 F2′ F1
′
F1 F2 F2′ F1′ F2
图3-17
Q A a P
A′ P1 D
b B′ C P1′
F′ F
图3-9
P′ B Q′
M ( F , F ) M ( P, P) M ( P, P) M ( P , P) 1 1 M ( F , F ) M ( P , P) 1 1
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两个重要推论： 推论1 力偶可以在其作用面内任意移转而不改变它对物体
力偶臂的乘积，正负号表示力偶的转向：逆时针转为正，
顺时针转为负。M单位：N · m；kN · m
M (F ,
力偶矩是平面力偶作用的唯一度量。
F ) F d 或 M F d
注意：M与矩心位置无关。例如： M O ( F ) M O ( F )
F
d O x
图3-7
- F x - F (d - x) -F d
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平面力偶系的合成结果为一合力偶，合力偶矩等 于各已知力偶矩的代数和。
2. 平衡条件
平面力偶系平衡的必要和充分条件是：力偶系中各力 偶矩的代数和等于零，即 ∑Mi=0 利用这个平衡条件，可以求解一个未知量。
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例 题 3- 1
两力偶作用在板上，尺寸如图，已知 F1 = F2=1.5 kN , F3 =F4 = 1 kN, 求作用在板上的合力偶矩。
转方向（力矩的正负），因此它是一个代数量。 力矩的单位：
国际制 工程制 力矩的性质： N· m，kN· m 公斤力米（kgf· m）
O d 图 3-2 （a) F
（1）力对任一已知点之矩，不会因该力沿作用线移动而改变；
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（2）力的作用线如通过矩心，则力矩为零；反之，如果一
个力其大小不为零，而它对某点之矩为零，则此力的