力矩与平面力偶系

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两个重要推论：
推论1 力偶可以在其作用面内任意移转而不改变 它对物体的转动效应
M
M
A
BA
C
B
(a)
(b)
图3-10
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推论2 在保持力偶矩的大小和转向不变的条件下，
可以任意改变力偶中力和力偶臂的大小而不
改变力偶对物体的转动效应，其中F1d=F2D
FA、FB为正值，说明图中所示FA、FB的指向正确。
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例 题 3- 3
如图所示的铰接四连杆机构OABD，在杆OA
和BD上分别作用着矩为M1和M2的力偶，而使机 构在图示位置处于平衡。已知OA=r，DB=2r，θ
=30°，不计各杆自重，试求M1和M2间的关系。
B
A
M1 O
x A
r
y
O
而
F r sin cos
d
图 3-3
F cos Fx , F sin Fy r cos xA , r sin yA
8
F Fx
x
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则 MO(F) xA Fy yA Fx
(a)
若作用在 A点上的是一个汇交力系（F1 、F2 、…
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例 题 3- 1 两力偶作用在板上，尺寸如图，已
知 F1 = F2=1.5 kN , F3 =F4 = 1 kN, 求作用在板上
的合力偶矩。
解：由式
F 1 180mm
F2
则 M = M1 + M2
F 4 M =-F1 · 0.18 –
F3 · 0.08
F3
80mm
= -350 N· m
图3-14
F2′
F1 F1′
F1
F2
F2′
F2
F1′
图3-17
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思考题 3-3
图3-18所示圆盘由O点处的轴承支持，在力偶 M 和力F 的作用下处于平衡。能不能说力偶被力F 所平衡？为什么？
思考题3-4 力矩和力偶有什么联
系？又有什么区别？
M O
图3-18 F
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F1
D
d
A
BA
F2 B
F2 F1
(a)
(b)
图3-11
注意：上述结论只适用于刚体，而不适用于变形体。
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§3-3 平面力偶系的合成与平衡
平面力偶系：作用在物体上同一平面内的若干力偶的
总称。 1. 合成 (1) 两个力偶的情况
F1
d1
F2 d2
F1′
=
M1 F1 dF12′, M 2 F2 d2
图中所示两轮在图示主动力作用下能否处于平
衡？为什么？若不能平衡，可否再在轮上加一个力 使之平衡？如何加？
r O1
(a)
F/2
r
O2
F
F/2
图3-20 (b)
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(F , F ) ~ (P1 , P1)
M (F , F ) 2S ABD ,
M ( P, P) 2S ABC
QA
A′ b
P1 D
F′ P′
B′P1′ C
S ABD S ABC
a PF
B Q′
M(F , F ) M(P, P)
图3-9
M (P, P) M (P1 , P1)
M (F , F ) M (P1 , P1)
Fn） 则可将每个力对O点之矩相加，有
MO(F) xA Fy yA Fx
(b)
该汇交力系的合力FR=∑F，由式(a)，它对O点的矩 为：
MO(FR) xA FR y yA FRx xA Fy yA Fx (c)
比较(b)、(c)两式有
MO (FR ) MO (F )
M2 D
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例 题 3- 3
A
M1 O
B
M2 D
解：因为杆AB为二力杆， 故其反力FAB和FBA只能沿A，B 的连线方向。
分别取杆OA和DB为研究对
象。因为力偶只能与力偶平衡，
所以支座O和D的约束力FO 和FD 只能分别平行于FAB 和FBA ，且 与其方向相反。
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作用有二个力偶组成的平面力偶系，在A、B 处的
约束力也必须组成一个同平面的力偶（FA ，FB ） 才能与之平衡。
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例 题 3- 2
M1
由平衡方程 ∑M =0
A FA
得 -M1+ M2+FB l cos60º= 0
B FB
M2 d
解得 FB=6 N
(b)
故 FA = FB = 6 N
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写出杆OA和DB的平衡方程： ∑M = 0
FBA
B
A
FAB
M1
FO
O
M2 D
FD
M1 FABrcos 0 M 2 2FBArcos 0 因为 FAB FBA
所以求得 M 2 2M1
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思考题 3-1 一力偶(F1,F1′)作用在Oxy平面内,另一力偶
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思考题 3-5
两轮半径同为 r ，一轮在轮缘上受一大小为F
的力作用，另一轮在轮缘上受两个方向相反、大小
都是F/2 的力作用，各轮上的力对轮心的矩是否相
同？两轮上的力对轮的外效应是否相同？
r O1
F/2 r
O2
F
(a)
图3-19
F/2 (b)
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思考题 3-6
d
工程制 公斤力米（kgf·m） 图 3-2 (a) 力矩的性质：
(1) 力对任一已知点之矩，不会因该力沿作用线移动 而改变；
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(2) 力的作用线如通过矩心，则力矩为零；反之，如 果一 个力其大小不为零，而它对某点之矩为零， 则此力的作用线必通过该点；
(3) 互成平衡的二力对同一点之矩的代数和为零。
F d
(2) 开门，关门。
O
图3-1
由上图知，力F 使物体绕O点转动的效应，不仅与
力的大小，而且与O点到力的作用线的垂直距离d
有关，故用乘积F·d 来度量力的转动效应。该乘积
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根据转动效应的转向取适当的正负号称为力F对点O 之矩，简称力矩，以符号M O (F)表示。
即 MO(F) F d
(2) 任意个力偶的情况 M=M1 + M2 + … + Mn , 或 M=∑Mi
Mn M1
M2
图3-13
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2. 平衡条件 平面力偶系平衡的必要和充分条件是：力偶
系中各力偶矩的代数和等于零，即
∑Mi=0 利用这个平衡条件，可以求解一个未知量。
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F2
F
O
o 图 3-2 (b)
F1
图 3-2 (c)
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2. 合力矩定理
表达式： MO (FR ) MO (F )
证明：由图得
y
MO (F ) F d F r sin( )
Fy
F r (sin cos
sin cos ) F r sin cos
11
(2) 力偶的性质 (a) 力偶在任何坐标轴上的投影等于零；
(b)力偶不能合成为一力，或者说力偶没有合力，
即它不能与一个力等效，因而也不能被一个力平
衡； (c) 力偶对物体不产生移动效应，只产生转动效 应，即它可以也只能改变物体的转动状态。
Fd
力偶臂
F′
图3-6
力偶作用面 x
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O点称为力矩的中心，简称矩心；O点到力F 作用线 的垂直距离d，称为力臂。
力矩的正负号：力使物体绕逆时针方向转动为
正，反之为负。
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应注意：
在平面问题中，力对点之矩只取决于力矩的
大小及其旋转方向（力矩的正负），因此它是一
个代数量。 力矩的单位：
O
F
国际制 N·m，kN·m
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谁曾经想过用杠杆来移动地球？ 古希腊科学家阿基米德曾说过“如果给我一个支点，我就能撬
起地球”。这句名言从理论上讲是完全正确的， 因为杠杆能使力变大，只要杠杆足够长，就 能产生足够大的力来“搬动”地球。
动力臂越长，施力的一方经过的距离越
(F2 ，F2′)作用在Oyz平面内,它们的力偶矩大小相等 (如图)。试问此两力偶是否等效，为什么？
z F2
F2′ O
y
F1
F1′
x
图3-16
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思考题 3-2
如图所示，在物体上作用有两力偶(F1,F1′) 和 (F2,F2′)其力多边形封闭。问该物体是否平 衡？为什么？
F22 d
F11′
=
d
FR
FR′
F11
F22′
M1 F11 d ,
M 2 F22 d
FR F11 F22 , FR F11 F22
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这样得到新的力偶(FR , FR′),则 M= FRd= (F11 - F22)d=F11d - F22 d=M1+M2
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(3) 力偶矩 其转动效应——力对点之矩，即用力偶中
的两个力对其作用面内任一点之矩的代数和来
度量。
M(F , F) F d 或 M F d
例如：
MO (F ) MO (F ) F x F (d x) F d
Fd
O
x
F
图3-7
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(4) 力偶的三要素 (a) 力偶矩的大小； (b) 力偶的转向； (c) 力偶作用面在空间的方位。
证毕。
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§3-2 力偶的概念
1. 力偶和力偶矩
(1) 力偶的概念 把大小相等、方向相反、作用线平行的
两个力叫做力偶。并记作（F，F′）。可用 图3-4表示, 例如：方向盘等
Fd
力偶臂
F′
图 3-4
力偶作用面
F1
C
F′
A
D F
B F1′
图3-5
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第 3 章 力矩与平面力偶系
§3-1 力矩的概念和计算 §3-2 力偶的概念 §3-3 平面力偶系的合成与平衡
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力对物体作用时可以产生移动和转动两种效应。力 的移动效应取决于力的大小和方向，为了度量力的转动 效应，需引入力矩的概念。
主要研究内容： (1) 力矩和力偶的概念； (2) 力偶的性质； (3) 平面力偶系的合成与平衡。
负号表明转向为顺时针。
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例 题 3- 2 长为 4 m的简支梁的两端A、B 处作
用有二个力偶，大小各为M1 =16 N· m，M2 = 4 N· m，转向如图。试求A、B支座的约束力。
M1 A
4m
B M2 60
M1 A FA
B FB d M2
(a)
图3-15
(b)
解：作AB梁的受力图，如图(b)所示。AB梁上
2. 平面力偶等效定理 定理：在同一平面内（或两平行平面）的两
个力偶，如它们的力偶矩的大小相等，而且转向
相同，则此两力偶等效。 F1
例如：方向盘
A
F
C D
F′
B 图3-8 F1′
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证明：设有一力偶 (F, F ′),如图所示 . 运用加减 平衡力系的公理并注意到：
(F , F ) ~ (F , F ,Q,Q) ~ (P, P)
长，力省了，可增加了距离。如果真有一个支 点，要撬动地球，恐怕撬棍的动力臂长得你 无法想象，比阻力臂要长1000万万亿倍，要 把地球撬起1厘米，如果按每秒移动1米计算， 要花3万亿年的时间，这比地球的历史还要长。 ——来自中国科普网
§3-1 力矩的概念和计算
1. 力对点之矩
l
A (1) 用扳手拧螺母；