21.2.1 直接开平方法

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新人教21.2.1配方法解一元二次方程(第2课时)

1 x1 1, x 2 . 2
2 3 3 x 6x 4 0
移项，得
3 x 6 x 4,
2
二次项系数化为1，得
2
4 x 2x , 3
2
为什么方程两边都加12？
配方
因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时， (x－1)2都是非负数，上式都不成立，即原方程无实数根．
整理得：X2+6X－16 =0 怎样解这个方程？
想一想解方程x 6 x 16 0的流程怎样 ? x 6 x 16 0
2
2
移项
2
x 2 6 x 16
两边加上32,使左边配成
x 2bx b 的形式
2
2
x 6 x 3 16 3
2 2
左边写成完全平方形式 ( x 3) 25 降次
2
x 3 5
x 3 5, x 3 5
得: x1 2, x2 8
以上解法中,为什么在方程x2+6x=16两边加不行. 9?加其他数行吗? 像上面那样,通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法, 叫做配方法. 2＋10x＋ 25 =(x＋ 2 (1)x ) 5 填空：
化二次项系数为1.
移项:把常数项移到方程的右边;
配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方; 开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 求解:解一元一次方程; 定解:写出原方程的解.
2.解下列方程 3x 2 6 x 4 0 ; 4 x 2 6 x 3 0; ３４
2 2
2
例1 解下列方程：
1 x2 8x 1 0；
解：（1）移项，得 x2－8x=－1, 配方 x2－8x+42=－1+42 , 为什么方程两边都加上 42？加其他数行吗？

人教版九年级数学上册21.2.1 配方法课件(共19张PPT)

第2课时配方法
像上面那样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法．可以看出，配方是为了降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程．
第2课时配方法
2 2x2 1 3x；
解：移项，得 2x2－3x=－1,
二次项系数化为1，得 x2 3 x 1 ,
第二十一章一元二次方程
21.2.1 配方法
第1课时直接开平方法
第1课时直接开平方法
问题：一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用
这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
解：设其中一个盒子的棱长为x dm，则这个盒子的表面积为6x2dm2，列出方程 10×6x2=1500.
直
概念
根据平方根的意义求一元二次方程的根的方法
接
开
平
基本思路
把方程化成x2=p或(x+n)2=p
方
法
策略思想
一元二次方程降次，转化为两个一元一次方程
21.2.1 配方法
第2课时配方法
第2课时配方法
探究：怎样解方程x2+6x+4=0？我们已经会解方程（x + 3）2= 5.因为它的左边是含有x的完全平方式，右边是非负数，所以可以直接降次解方程. 那么，能否将方程x2+6x+4=0转化为可以直接降次的形式再次求解呢？解方程x2+6x+4=0的过程可以用下面的框图表示：
（2）当p=0时，方程（Ⅰ）有两个相等的实数根 x1 x2 0.
（3）当p<0时，因为对任何实数 x，都有x2≥0 ，所以方程（Ⅰ）无实数根.
根据平方根的意义,直接

21.2 解一元二次方程(直接开平方法)(教学设计)

章节名称21.2 解一元二次方程（直接开平方法）编号课型新授课备课人上课时间年月日教学目标知识与技能：1)利用开平方法解形如x2＝p(p≥0)的方程。

2)利用开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程。

过程与方法:回顾平方根的知识，通过对实际生活中的问题列出一元二次方程，通过整理并求解的过程，让学生初步掌握利用直接开平方解一元二次方程（形如：x2＝p(p≥0）的方法，再通过数学转换的方法，将一个一元二次方程（形如：(mx＋n)2＝p(p≥0)）“降次”为两个一元一次方程，这样就可以通过解一元一次方程来求一元二次方程的解。

情感态度与价值观：1）培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识。

2）激发学生对学数学的兴趣，体会学数学的快乐，培养用数学的意识。

教学重点运用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程。

教学难点通过平方根的意义解形如x2＝p(p≥0)的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(mx＋n)2＝p(p ≥0)的一元二次方程。

板书设计21.2 解一元一次方程（直接开平方法）一般地，对于方程x2＝p，1)当p＞0时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根p2xpx1-==，；2)当p＝0时，根据平方根的意义，方程有两个相等的实数根x1=x2=0；3)当p＜0时，因为对于任意实数x，都有x2≥0，所以方程无实数根。

教学过程教学环节教生活动设计意图导入新课【课前回顾】师：求下列各数的平方根 1）169 2）8125生：1）±135[多媒体展示][课前回顾]对于方程x2=p，1）当p= 4时，求方程的解？2）当p= 0时, 求方程的解？3）当p=-4时, 方程有解吗?为什么?师：尝试求解方程？生：1）x1=2, x2=﹣22）x1=x2=03）无解，当p＜0时，因为对于任意实数x，都有x2≥0，所以方程无解【情景导入】[多媒体展示][情景引入]一桶油漆可刷的面积为1500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗?师：列出方程，观察方程的样式，解方程求出棱长？生：设正方体的棱长为 x dm，则一个正方体的表面积为 6x2 dm2，则列出方程为：10×6x2=1500 ，化简整理，得x2=25，据平方根的意义，得x=±5,即x1=5, x2=﹣5。

人教版九年级数学上册21.2.1解一元二次方程(第1课时)一等奖优秀教学设计

人教版义务教育课程标准实验教科书九年级上册
21.2.1解一元二次方程（第1课时）教学设计
一、教材分析
1、地位作用：本节为一元二次方程解法的起始课。

一元二次方程的求解是初中代数学习中非常重要的一部分，而直接开平方法则是解一元二次方程的基础方法，它看似简单，却不容忽视。

首先“直接开平方法解一元二次方程”是配方法解一元二次方程的基础；其次，求解二次函数与x轴交点等问题中都必须应用一元二次方程的解法；同时这一节的教材编写中还突出体现了“换元、转化、类比”等重要的数学思想方法。

因此这一节不仅是为后续学习打下坚实基础的一节课，更是让学生体验并逐步掌握相关数学思想方法的一节课。

2、教学目标：①了解形如x2=a (a≥0)和（mx+n）2=p(p≥0)的一元二次方程的解法——直接开平方法；
②会用直接开平方法解一元二次方程；
③了解转化、降次思想在解方程中的运用。

3、教学重、难点
教学重点：①解形如x2=a和（mx+n）2=p(p≥0)的方程；
②通过本节课的学习体会换元和转化思想。

教学难点：①解形如（mx+n）2=p(p≥0)的方程。

突破重难点的方法：直接开平方法适用一元二次方程类型的探究，通过根据平方根的意义解形如x2=a (a≥0)，知识迁移到根据平方根的意义解形如（mx+n）2=p（p≥0）的方程，做好合适的铺垫，引导学生发现运用直接开平方法解一元二次方程的求解途径，引导学生运用换元、转化思想探求一元二次方程如何用直接开平方法来解，提高探究能力。

二、教学准备：多媒体课件、导学案、
三、教学过程。

九年级上册数学21.2 解一元二次方程直接开平方法

21．2.1 配方法第1课时直接开平方法1．学会根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．2．运用开平方法解形如(x ＋m )2＝n 的方程．3．体验类比、转化、降次的数学思想方法，增强学习数学的兴趣．一、情境导入一个正方形花坛的面积为10，若设其边长为x ，根据正方形的面积可列出怎样的方程？用怎样的方法可以求出所列方程的解呢？二、合作探究探究点：直接开平方法【类型一】用直接开平方法解一元二次方程运用开平方法解下列方程： (1)4x 2＝9；(2)(x ＋3)2－2＝0.解析：(1)先把方程化为x 2＝a (a ≥0)的形式；(2)原方程可变形为(x ＋3)2＝2，则x ＋3是2的平方根，从而可以运用开平方法求解．解：(1)由4x 2＝9，得x 2＝94，两边直接开平方，得x ＝±32，∴原方程的解是x 1＝32，x 2＝－32.(2)移项，得(x ＋3)2＝2.两边直接开平方，得x ＋3＝± 2.∴x ＋3＝2或x ＋3＝－ 2.∴原方程的解是x 1＝2－3，x 2＝－2－3.方法总结：由上面的解法可以看出，一元二次方程是通过降次，把一元二次方程转化为一元一次方程求解的，这是解一元二次方程的基本思想；一般地，对于形如x 2＝a (a ≥0)的方程，根据平方根的定义，可解得x 1＝a ，x 2＝－a .【类型二】直接开平方法的应用次方程ax 2＝b (ab >0)的两个根分别是m ＋1与2m －4，则ba＝________.解析：∵ax 2＝b ，∴x ＝±ba，∴方程的两个根互为相反数，∴m ＋1＋2m －4＝0，解得m ＝1，∴一元二次方程ax 2＝b (ab ＞0)的两个根分别是2与－2，∴b a ＝2，∴b a＝4，故答案为4.【类型三】直接开平方法与方程的解的综合应用若一元二次方程(a ＋2)x 2－ax ＋a 2－4＝0的一个根为0，则a ＝________．解析：∵一元二次方程(a ＋2)x 2－ax ＋a 2－4＝0的一个根为0，∴a ＋2≠0且a 2－4＝0，∴a＝2.故答案为2.【类型四】直接开平方法的实际应用有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm，宽为8cm的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，边长应为多少厘米？分析：要求新正方形的边长，可先求出原正方形和矩形的面积之和，然后再用开平方计算．解：设新正方形的边长为x cm，根据题意得x2＝112＋13×8，即x2＝225，解得x ＝±15.因为边长为正，所以x＝－15不合题意，舍去，所以只取x＝15.答：新正方形的边长应为15cm.方法总结：在解决与平方根有关的实际问题时，除了根据题意解题外，有时还要结合实际，把平方根中不符合实际情况的负值舍去．三、板书设计教学过程中，强调利用开平方法解一元二次方程的本质是求一个数的平方根的过程．同时体会到解一元二次方程过程就是一个“降次”的过程.。

21.2.1 解一元二次方程-配方法

x1 a ,x2 a
这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.
2、把一元二次方程的左边配成一个完全平方式, 然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
注意:配方时, 等式两边同时加上的是一次项系数一半的平方.
思维拓展
2 1、把方程x -3x+p=0配方得到
(x+m)2=
1 2
(1)求常数p，m的值；
(2)求方程的解。
2、若: x y 4 x 6 y 13 0,
2 2
则x _____ -8
y
理论迁移
1、将代数式x2+6x+2化成(x+p)2+q的形式为 (x+3)2-7 。 2、比较大小：
6x ≤ x2+9．（填“＞”、“＜”、“≥”、 3、若代数式2x2-6x+b可化为2(x-a)2-1，则 a+b的值是 5 。
课堂小结
1、一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方
根的定义，可解得
例题精讲
例1 用配方法解下列方程：
(1) x2 - 8x ＋1 =0
(2) 2x2 +1=3x (3) 3x2-6x+4=0
教材P42
2、 3
归纳总结
解一元二次方程的基本思路：
二次方程
降次
一次方程
把原方程变为(mx+n)2＝P的形式(其中m、 n、P是常数）。
当P≥0时，两边同时开平方，这样原方程就转化为两个一元一次方程。当P<0时，原方程的解又如何？
ห้องสมุดไป่ตู้
把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,然后用直接开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法.

21.2.1 一元二次方程的解法及配方法的应用练习

21.2专题训练一元二次方程的解法及配方法的应用一、一元二次方程的解法1．用直接开平方法解方程：(1)(4x －1)2＝225；解：x 1＝4，x 2＝－72(2)13(x －2)2＝8；解：x 1＝2＋26，x 2＝2－2 6(3)9x 2－6x ＋1＝9；解：x 1＝43，x 2＝－23(4)3(2x ＋1)2－2＝0.解：x 1＝－12＋66，x 2＝－12－662．用配方法解方程：(1)2t 2－3t ＝－1；解：t 1＝12，t 2＝1(2)2x 2＋5x －1＝0；解：x 1＝－5＋334，x 2＝－5－334(3)(2x －1)(3x －1)＝3－6x ；解：x 1＝12，x 2＝－23(4)(2x －1)2＝x(3x ＋2)－7.解：x 1＝4，x 2＝23．用公式法解方程：(1)x 2＝6x ＋1;解：x 1＝3＋10，x 2＝3－10(2)0.2x 2－0.1＝0.4x ；解：x 1＝2＋62，x 2＝2－62(3)2x －2＝2x 2.解：原方程无实数根4．用因式分解法解方程：(1)(x －1)2－2(x －1)＝0；解：x 1＝3，x 2＝1(2)5x(x －3)＝(x －3)(x ＋1)；解：x 1＝3，x 2＝14(3)(x ＋2)2－10(x ＋2)＋25＝0.解：x 1＝x 2＝35．用适当的方法解方程：(1)2(x －3)2＝x 2－9；解：x 1＝3，x 2＝9(2)(2x ＋1)(4x －2)＝(2x －1)2＋2；解：x 1＝－1＋62，x 2＝－1－62(3)(x ＋1)(x －1)＋2(x ＋3)＝8.解：x 1＝1，x 2＝－3二、配方法的应用(一)最大(小)值 6．利用配方法证明：无论x 取何实数值，代数式－x 2－x －1的值总是负数，并求出它的最大值．解：－x 2－x －1＝－(x ＋12)2－34，∵－(x ＋12)2≤0，∴－(x ＋12)2－34＜0，故结论成立．当x ＝－12时，－x 2－x －1有最大值－347．对关于x的二次三项式x2＋4x＋9进行配方得x2＋4x＋9＝(x＋m)2＋n.(1)求m，n的值；(2)求x为何值时，x2＋4x＋9有最小值，并求出最小值为多少？解：(1)∵x2＋4x＋9＝(x＋m)2＋n＝x2＋2mx＋m2＋n，∴2m＝4，m2＋n＝9，∴m＝2，n＝5(2)∵m＝2，n＝5，∴x2＋4x＋9＝(x＋2)2＋5，∴当x＝－2时，有最小值是5(二)非负数的和为08．已知a2＋b2＋4a－2b＋5＝0，求3a2＋5b2－5的值．解：∵a2＋b2＋4a－2b＋5＝0，∴(a2＋4a＋4)＋(b2－2b＋1)＝0，即(a＋2)2＋(b－1)2＝0，∴a＝－2，b＝1.∴3a2＋5b2－4＝3×(－2)2＋5×12－5＝129．若a，b，c是△ABC的三边长且满足a2－6a＋b2－8b＋c－5＋25＝0，请根据已知条件判断其形状．解：等式变形为a2－6a＋9＋b2－8b＋16＋c－5＝0，即(a－3)2＋(b－4)2＋c－5＝0，由非负性得(a－3)2＝0，(b－4)2＝0，c－5＝0，∴a＝3，b＝4，c＝5.∵32＋42＝52，即a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形。

人教版数学九年级上册21.2.1《直接开平方法》教学设计

人教版数学九年级上册21.2.1《直接开平方法》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册21.2.1《直接开平方法》是初中数学的重要内容，主要介绍了实数的开平方运算。

这一节内容是在学生已经掌握了实数、有理数、无理数等相关知识的基础上进行讲解的，旨在让学生掌握开平方运算的方法，进一步理解无理数的概念。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和运算能力，对于实数、有理数、无理数等概念已经有了初步的认识。

但是，学生对于无理数的理解仍然存在一定的困难，尤其是对于无理数的运算，因此，在教学过程中，需要引导学生理解无理数的概念，并通过实例让学生感受无理数的存在。

三. 教学目标1.让学生掌握直接开平方法，能够正确进行开平方运算。

2.引导学生理解无理数的概念，能够正确识别无理数。

3.培养学生的运算能力，提高学生的数学素养。

四. 教学重难点1.重点：直接开平方法，无理数的概念。

2.难点：无理数的识别和运算。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生通过解决问题来掌握开平方运算的方法。

2.采用实例教学法，通过具体的例子让学生理解无理数的概念。

3.采用小组合作学习法，让学生在小组内进行讨论和交流，提高学生的合作能力。

六. 教学准备1.准备相关的教学PPT，包括开平方运算的步骤和实例。

2.准备一些有关无理数的实际问题，用于课堂讨论。

3.准备一些练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些实际问题，如测量物体长度、计算物体面积等，引导学生思考这些问题与开平方运算的关系。

2.呈现（15分钟）介绍直接开平方法的具体步骤，并通过PPT展示相关的实例，让学生理解开平方运算的方法。

3.操练（15分钟）让学生独立完成一些开平方运算的练习题，教师巡回指导，解答学生的问题。

4.巩固（10分钟）让学生分组讨论，总结开平方运算的规律和方法，并分享各自的经验和心得。

5.拓展（10分钟）介绍无理数的概念，并通过实例让学生识别无理数。

21.2 解一元二次方程

• • • •
用因式分解法解下列方程 x∧2-5x=0 3x(2x+1)=2(2x+1) 9x∧2-16=0
补充：十字相乘法
• 如6y∧2+19y+15=0
• 用因式分解法解下列方程 • 4x∧2+8x+3=0
• 6x∧2-7x+2=o
用适当的方法解下列方程
• • • •
(2x+1)(2x-1)=11 (x+2)∧2=-6x (4x∧2-9)-2(2x-3)=0 x(x-3)=4
• 2.已知关于x的一元二次方程x∧2+2x-a=0有2个相同的实数根，则a的值是多少?
• 1.有2个 • 1个 • 没有 • 2.a=-1
一元二次方程求根的推导过程：公式法
因式分解法
• • • • • 因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零； ②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解。
• (2)将二次三项式2x^2-4x+6进行配方，正确的结果是______.
7
• ( 1 ) 已知方程5x^2+kx-6=0的一个跟是6，求另一个根和k.
• （2）设a b是方程x^2-3x-3=0的2个解，则b∕ a+a∕ b的值为_____. • （3）若一个一元二次方程的两根为a,b，且满足a^2+b^2=10,ab=3，则这个方程是______________.
• • • • •
设一元二次方程2x∧2-2x=5的两个实数为a和b，则下列结论正确的是—— A.a+b=2 B.a+b=-1 C.ab=5∕2 D.ab=-5∕ 2

21.2 解一元二次方程4 1 第1课时直接开平方法

21.2解一元二次方程21.2.1配方法第1课时直接开平方法一、导学1.导入课题：情景：一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，求盒子的棱长.问题1：本题的等量关系是什么？问题2：设正方体的棱长为x dm，请列出方程并化简.问题3：根据平方根的意义解方程x2=25.由此导入并板书课题直接开平方法.2.学习目标：(1)能根据平方根的意义解形如x2=p及a x2+c=0的一元二次方程.(2)能运用开平方法解形如(m x+n)2=p(p≥0)的方程.(3)体会“降次”的数学思想.3.学习重、难点：重点：运用开平方法解形如(m x+n)2=p(p≥0)的方程.难点：降次的数学思想.4.自学指导：(1)自学内容：教材第5页到第6页“练习”之前的内容.(2)自学时间：10分钟.(3)自学方法：完成探究提纲.(4)探究提纲：①根据平方根的意义，解方程：x2=36；2x2-4=0；3x2-4=8.x=±6，x2=2，x2=4，x1=6，x2= -6. x=±2，x2=±2，x1=，x2= -. x1=2，x2= -2.②当p>0时，方程x2=p有两个不等的实数根x1= -x2=.当p=0时，方程x2=p有两个相等的实数根x1=x2=0.当p<0时，方程x2=p无实数根.③探究方程(x+3)2=5的根：因为(x+3)2=5，所以x+3是5的平方根,所以x+3等于5或-5.即x+3=,或x+3= -.解x+3=,得x1=-3；解x+3=-,得x2= --3.于是，方程(x+3)2=5的根为x1=-3, x2= --3.解方程(x+3)2=5的过程实质上是把一个一元二次方程降次,转化为两个一元一次方程,再解两个一元一次方程即得原方程的解.二、自学学生可参考自学指导进行自学.三、助学1.师助生：(1)明了学情：看学生能否顺利解决所给问题，注意书写格式方面存在的问题.(2)差异指导：注意帮助学困生复习平方根等知识，紧扣平方根讨论p的符号与方程的解的个数的关系.2.生助生：同桌之间互相批改，相互讨论改正错误.四、强化1.教师示范：解方程x2+4x+4=1.分析：很清楚，x2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为(x+2)2=1.解：由已知，得：(x+2)2=1直接开平方，得：x+2=±1即x+2=1或x+2=-1所以，方程的两根为x1= -1，x2= -3.2.练习：解下列方程：3.上面的方程都能化成x2=p或(m x+n)2=p(p≥0)的形式，那么可由“降次”得到x=±或m x+n=±p≥0)求解.4.以师生对话的形式讨论(m x+n)2=p的解的个数问题.五、评价1.学生的自我评价(围绕三维目标)：你会解哪些形式的一元二次方程？怎样解？2.教师对学生的评价：(1)表现性评价：点评学生的学习态度、方法、积极性及存在的不足之处等.(2)纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价(教学反思)：(1)本课时通过创设问题情景，激发学生探究新知的欲望.(2)本课时还通过回忆旧知识为新知学习作好铺垫.(3)教师引导学生自主、合作、探究、验证，培养学生分析问题、解决问题的能力.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固(80分)1.(10分)一元二次方程(x+6)2=16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6=4，则另一个一元一次方程是(D)A. x-6= -4B. x-6=4C. x+6=4D. x+6= -42.(10分)方程3x2+9=0的根为(D)A. 3B. －3C. ±3D. 无实数根3.(10分)若8x2-16=0，则x的值是±2.4.(10分)已知方程2(x-3)2=72，那么这个一元二次方程的两根是x1=9,x2= -3.5.(40分)解下列方程:(1) 4x2=81；(2) (x＋6)2－9=0；解：由已知，得：x2=，解：由已知，得：(x+6)2=9，直接开平方，得x=±，直接开平方，得x+6=±3，所以方程的两根为x1=，x2= -. 所以方程的两根为x1= -3, x2= -9.(3) x2+2x+1=4；(4) 9x2+6x+1=4.解：由已知，得：(x+1)2=4，解：由已知，得：(3x+1)2=4，直接开平方，得x+1=±2，直接开平方，得3x+1=±2，所以方程的两根为x1=1, x2= -3. 所以方程的两根为x1= -1, x2=.二、综合应用(10分)6.(10分)如果x=3是一元二次方程a x2=c的一个根，则方程的另一根是(B)A. 3B. -3C. 0D. 1三、拓展延伸(10分)7.(10分)解关于x的方程(x+m)2=n.解：①当n>0时，此时方程两边直接开方.得x+m=±，方程的两根为x1=-m,x2= --m.②当n=0时，此时(x+m)2=0,直接开方得x+m=0,方程的两根为x1=x2= -m.③当n<0时，因为对任意实数x，都有(x+m)2≥0，所以方程无实数根.。

21.2.1配方法解一元二次方程说课课件人教版九年级数学上册

思考：解方程 (2x 1)2 5 …②
x2 6x 9 2 …③
问题3：方程②与方程①在形式上有何联系？可否借鉴方程①的解法，求解方程②
解：由方程②得
(2x 1) 5
整体思想
所以 (2x 1) 5 或 (2x 1) 5
解得
x1
5 1， 2
1 5 x2 2
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问题4：方程③与方程②①在形式上有何异同？能否将方程③转化为方程②的形式？怎样求解？
①若 8x2 16 0，则x的值是
.
②如果方程 2(x 3)2 72 ，那么这个一元二次方程
的两根是 .
③解关于x的方程 (x m)2 n.
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五、教学评价分析
数学教学主要是数学活动的教学。
教师要真正成为学习的组织者、引导者和合作者。
谢谢各位评委！谢谢各位老师！
⑤ x 2 4x 4 5 ； ⑥ 9x2 6x 。1 4
（五）反思评价、发展提高
学生谈本课的学习感受和收获；
我学会了……
我体会到……
我感到困难的是……
课后作业布置： ⑴必做题：解下列方程
① 36x2 1 0
② 4x2 81
③ (x 5)2 25 ⑵选做题
④ x2 2x 1 4
结论：方程等号的左边是一个完全平方式，右边是一个非负常数，这类一元二次方程都可以表示为 x2 p( p 0) 或 (mx n)2 p ( p 0) 的形式.
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问题6：你能由问题5中的结论，谈一谈此类方程解法的特点吗？
交流得出: ①转化为用直接开平方法解形如： x 2 p( p 0) 的方程，得 x p ，变一元
配方法解一元二次方程
一、教材分析

21.2.1直接开平方

课题：人教版九年级数学21.2.1直接开平方课型：新授课主备人：教学目标1.理解一元二次方程降次的转化思想 .2．会利用直接开平方法解形如x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程．3．能规范、熟练运用直接开平方法一元二次方程。

重点：运用直接开平方法解形如x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程，领会降次——转化的数学思想。

难点：将方程转化为形如x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程，并且能通过直接开平方法将一元二次方程转化为一次方程求解。

教学过程：一、课堂导入及出示学习目标（一）情境引入导语：上节课我们主要学习了一元二次方程和相关的概念，那么今天这节课我们一起来研究如何解一元二次方程。

师生活动：点题，板书课题设计意图：开门见山明确本节课内容。

（二）学习目标教师追问1：首先我们看一下本节课的学习目标。

（大屏幕展示）学习目标：1.理解一元二次方程降次的转化思想2.会利用直接开平方法解形如x2=p或（mx+n）2=p （p≥0）的一元二次方程．师生活动：学生代表朗读或齐读本节课的学习目标（心中有目标，效率才会高。

）设计意图：让学生明确本节课的学习内容，抓住学习重点，可以为本节课的学习起到事半功倍的效果。

二、知识回顾：1. 平方根的定义：如果一个数的等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根。

若x 2=a ，则x 叫做a 的平方根。

记作x= 即x= 或x= ，2.求下列各数的平方根1.21( )，5( )， ( )，8( )，0( )3.平方根的性质：正数有个平方根，它们是，0的平方根是，负数平方根。

师生活动：由学生独立完成，学生代表回答，教师及时订正。

设计意图：通过对平方根相关知识的回顾，主要为直接开平方法解一元二次方程的学习做好铺垫。

三、预习导学自学指导1认真阅读课本P5页问题1. 完成以下问题：解：设其中一个盒子的棱长为x dm,则这个盒子的表面积为dm 2，根据一桶油漆可刷的面积，列方程为整理得 x 2=根据平方根的意义得，x=即x 1= ; x 2= ;94独立思考并完成上述问题，然后以小组为单位，组内互查互助，3分钟后比赛哪个组完成效果好。

21.2.1解一元二次方程-直接开平方法(解析版)

人教版数学九年级上册同步练习21.2.1解一元二次方程-直接开平方法一．选择题（共12小题）1.方程2ax c =有实数根的条件是（）A. a≠0B. ac≠OC. ac≥OD. c a ≥O 【答案】D【解析】【分析】若方程ax 2=c 有解，那么a≠0，并且ac≥0，由此即可确定方程ax 2=c 有实数根的条件．【详解】∵ax 2=c ，若方程有解，∴a≠0，并且ac≥0， ∴0c a≥. 故选：D.【点睛】考查了直接开平方法解一元二次方程以及方程是否有解的问题，结合方程的形式和非负数的性质即可解决问题．2.对形如(x +m )2=n 的方程,下列说法正确的为( )A. 可用直接开平方法求得根xB. 当n ≥0时,x mC. 当n ≥0时,x mD. 当n ≥0时,x【答案】B【解析】【分析】解形如(x+m)2=n 的方程时，只有当n≥0时，方程有实数解.当n ＜0时，方程没有实数解.由此即可解答.【详解】(x +m )2=n （n≥0），x+m=∴x m.故选B.【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a （a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．3.方程（x﹣3）2=m2的解是（）A. x1=m，x2=﹣mB. x1=3+m，x2=3﹣mC. x1=3+m，x2=﹣3﹣mD. x1=3+m，x2=﹣3+m【答案】B【解析】【分析】方程利用平方根定义开方即可求出解．【详解】方程（x-3）2=m2，开方得：x-3=m或x-3=-m，解得：x1=3+m，x2=3-m，故选：B．【点睛】考查了解一元二次方程-直接开平方法，熟练掌握平方根定义是解本题的关键．4.下列方程中，适合用直接开方法解的个数有（）①13x2=1；②（x﹣2）2=5；③14（x+3）2=3；④x2=x+3；⑤3x2﹣3=x2+1；⑥y2﹣2y﹣3=0A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】D【解析】【分析】直接开平方法必须具备两个条件：①方程的左边是一个完全平方式；②右边是非负数．根据这两个条件即可作出判断．【详解】①②③⑤都是或可变形为x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c，而这四种形式都可用直接开平方法，故选：D．【点睛】用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．5.方程(x+2)2=9的适当的解法是A. 直接开平方法B. 配方法C. 公式法D. 因式分解法【答案】A【解析】试题分析：根据方程特征可知选用直接开平方法最简便。

直接开方法课件

解析：先将－16移到方程的右边，再同第 (1) 小题一样地解.
解：移项，得 (x − 1)2 = 16. ∵ x − 1 是 16 的平方根， ∴ x − 1 = ±4，即 x1 = 5，x2 −3.
21.2.1 直接开平方法（3）28(3 − 2x)2 − 7 = 0.
解析：先将 −7 移到方程的右边，再将等式两边同时除以 28，再同第 (1) 小题一样地去解.
21.2.1 直接开平方法
3. 解下列方程： (1) x2 − 81＝0；解：x1＝9，x2＝−9. (2) 2x2＝50；解：x1＝5，x2＝ −5. (3) (x＋1)2＝4 解：x1＝1，x2＝−3.
21.2.1 直接开平方法
思维拓展
解方程： (x 2)2 (2x 5)2.
解： x 22 2x 52，
∴ x 2 (2x 5)，即 x 2 2x 5，
或 x 2 2x 5.
∴ 方程的两根为
x1 7， x2 1.
课堂2小1.结2.1 直接开平方法
概念利用平方根的定义求方程的根的方法
直
接
开平
步骤
关键要把方程化成 x2 = p (p≥0) 或 (x + n)2 = p (p≥0) 的情势
21.2.1 直接开平方法
21.2.1 直接开平方法
21.2.1 直接开平方法复习引入
1. 如果 x2 = a，那么 x 叫做 a 的平方根 . 2. 如果 x2 = a (a≥0)，那么 x = a .
3. 如果 x2 = 64，那么 x = ±8 .
4. 任何数都可以作为被开方数吗？负数不可以作为被开方数.
21.2.1 直接开平方法探讨交流
1. 能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？如果一个一元二次方程具有 x2 = p 或 (x＋n)2 = p (p≥0) 的

数学人教版九年级上册学案.2.1降次解一元二次方程(1)──直接开平方法

§21.2.1降次解一元二次方程(1)──直接开平方法一、学习目标目标A: 复习回顾平方根的定义及完全平方公式的结构。

目标B ：掌握直接开平方法解一元二次方程。

目标C ：理解并熟练降次解一元二次方程。

二、问题引领问题A ：复习回顾平方根的定义及完全平方公式的结构。

1. 已知x 2=16，则x= .2. 3的平方根为 .3. 填空：(1) =++222b ab a ( )2 ; (2) x 2-8x+16=(x-______)2; (3) 29x + +4=( + )2; (4) = 2)25(-x 问题B ：掌握直接开平方法解一元二次方程。

问题一桶油漆可刷的面积为1500dm 2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？解：设正方体的棱长为xdm ，则一个正方体的表面积为 dm 2根据一桶油漆可刷的面积，可以列出方程：________________________解得：x 2=______________ 则 x =______________∵ ∴正方体的棱长是【归纳】一般地，对于形如x 2=a(a ≥0)的方程，由平方根的定义得x 1= ,x 2= ,这样我们就将一元二次方程降次为两个方程, 然后求出方程的解，这种解方程的方法叫做直接开平方法,降次是解一元二次方程的基本策略.【归纳】(1)应用直接开平方法解形如x 2=p(p ≥0),那么x=(2)应用直接开平方法解形如(mx+n)2=p(p ≥0),那么mx+n=问题C.理解并熟练降次解一元二次方程。

例1（1）x2-1.21=0 （2）4x2-1=0解下列方程：例2解下列方程：⑴ （x ＋1）2= 2 ⑵ （x －1）2－4 = 0 ⑶ 12（3－2x ）2－3 =例3.解方程(2x －1)2=(x －2)2【归纳】一元二次方程化为(x+n)2=p 的形式时，原方程的解的情况为：若p>0,则原方程；若p=0，则原方程；若p<0,则原方程。