《利用二分法求方程的近似解》课件1u(北师大必修1)
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北师版高中数学必修一4.1.2《用二分法求方程的近似解》ppt课件
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知 识逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等 等，这些用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
（2.531 25，2.539 062 5） 2.535 156 25
0.029 0.01 0.001
精确度|ab|
1 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.03125
0.015625
0.007813
那么我们一起来总结一下二分法的解题步骤
给定精确度 ，用二分法求函数f(x)零点近似解的步骤如下：
例1 求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数
新课——把例1改写：
例1(补) 求函数f(x)=lnx+2x-6的零点
(即求方程lnx+2x-6=0的实数根,精确到0.01)
3.1.2 用二分法求方程的近似解
二分法
对于区间[a,b]上连续不断、且f(a)f(b)<0 的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所 在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步 逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做
方法一： 用计数器或计算机作出x,f(x)的对应值表
方法二： 用几何画板作出函数y=f(x)的图象
用《几何画板》软件，演示 方法三： 画出y=lnx及y=-2x+6的图象
用《EXCLE》软件，演示
例2 借助计算器或计算机用二分法求方程 2x+3x=7 的近似解(精确到0.1).
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等 等，这些用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
（2.531 25，2.539 062 5） 2.535 156 25
0.029 0.01 0.001
精确度|ab|
1 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.03125
0.015625
0.007813
那么我们一起来总结一下二分法的解题步骤
给定精确度 ，用二分法求函数f(x)零点近似解的步骤如下：
例1 求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数
新课——把例1改写：
例1(补) 求函数f(x)=lnx+2x-6的零点
(即求方程lnx+2x-6=0的实数根,精确到0.01)
3.1.2 用二分法求方程的近似解
二分法
对于区间[a,b]上连续不断、且f(a)f(b)<0 的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所 在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步 逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做
方法一： 用计数器或计算机作出x,f(x)的对应值表
方法二： 用几何画板作出函数y=f(x)的图象
用《几何画板》软件，演示 方法三： 画出y=lnx及y=-2x+6的图象
用《EXCLE》软件，演示
例2 借助计算器或计算机用二分法求方程 2x+3x=7 的近似解(精确到0.1).
北师大版高中数学必修一4.1.2利用二分法求方程的近似解课件
-3-
1.2 利用二分法求方程的近似解
目标导航
Z 知识梳理 D典例透析
HISHI练
UITANGYANLIAN
2.用二分法求方程的近似解的过程 过程如图.
-4-
1.2 利用二分法求方程的近似解
目标导航
Z 知识梳理 D典例透析
HISHISHULI
IANLITOUXI
次数 左端点 第 1 次1 第 2 次 1.25 第 3 次 1.25 第 4 次 1.312 5
左端点函数值 -1 -0.296 875 -0.296 875 -0.051 514
右端点 1.5 1.5 1.375 1.375
右端点函数值 0.875 0.875 0.224 609 0.224 609
1.2 利用二分法求方程的近似解
-1-
1.2 利用二分法求方程的近似解
目标导航
Z 知识梳理 D典例透析
HISHISHULI
IANLITOUXI
S随堂演练
UITANGYANLIAN
1.理解二分法的定义,掌握二分法求方程近似解的过程. 2.会用二分法求方程的近似解,体会二分法思想在数学中的应用.
-2-
S随堂演练
UITANGYANLIAN
在图中: “初始区间”是一个两端函数值反号的区间; “M”的含义:取新区间,一个端点是原区间的中点,另一端是原区 间两端点中的一个,新区间两端点的函数值反号; “N”的含义:方程解满足要求的精度; “P”的含义:选取区间内的任意一个数作为方程的近似解. 在二分法求方程解的步骤中,初始区间的选定,往往需要通过分 析函数的性质和试验估计.初始区间可以选得不同,不影响最终计 算结果.
-8-
1.2 利用二分法求方程的近似解
利用二分法求方程的近似解ppt课件
因为f(6.8125)·f(6.75)<0，所以x0∈(6.75，6.8125).
因为|6.75-6.8125|=0.0625<0.1，
所以函数f(x)=lo x+x-4最大零点的近似值可取6.8125.
03
题型突破
解题通法
利用二分法求函数零点应关注三点：
(1)要选好计算的初始区间，这个区间既要包含函数的零点，又要使其长度尽量小.
因此，区间 0.5，1 内任意一个数都是满足精确度的近似解．
02
探索新知
如果要获得方程2 3 + 3 − 3 = 0精确度为0.01的近似解，如何逐步缩小区间？
通过取区间的中点，将零点所在区间逐次减半．有限次重复相同步骤，借助函数零点的
存在定理，将零点所在区间尽量缩小，达到精确度要求后，此区间内的任意一个数都可
因为f(6.75)·f(7)<0，所以x0∈(6.75，7).
再取区间(6.75，7)的中点x3=6.875，算得f(6.875)≈0.094，
因为f(6.75)·f(6.875)<0，所以x0∈(6.75，6.875).
再取区间(6.75，6.875)的中点x4=6.8125，算得f(6.8125)≈0.044，
端点的函数值一正一负，即 • < 0，则在开区间 ， 内，函数 = 至少有
一个零点，即在区间 ， 内相应的方程 = 0至少有一个解．
02
探索新知
实例分析
我们已经学过一元一次方程、一元二次方程的解法，但是，绝大部分方程没有
求解公式，如2 3 + 3 − 3 = 0，那么如何确定方程2 3 + 3 − 3 = 0的解呢？
间 0，1 内存在零点，
因为|6.75-6.8125|=0.0625<0.1，
所以函数f(x)=lo x+x-4最大零点的近似值可取6.8125.
03
题型突破
解题通法
利用二分法求函数零点应关注三点：
(1)要选好计算的初始区间，这个区间既要包含函数的零点，又要使其长度尽量小.
因此，区间 0.5，1 内任意一个数都是满足精确度的近似解．
02
探索新知
如果要获得方程2 3 + 3 − 3 = 0精确度为0.01的近似解，如何逐步缩小区间？
通过取区间的中点，将零点所在区间逐次减半．有限次重复相同步骤，借助函数零点的
存在定理，将零点所在区间尽量缩小，达到精确度要求后，此区间内的任意一个数都可
因为f(6.75)·f(7)<0，所以x0∈(6.75，7).
再取区间(6.75，7)的中点x3=6.875，算得f(6.875)≈0.094，
因为f(6.75)·f(6.875)<0，所以x0∈(6.75，6.875).
再取区间(6.75，6.875)的中点x4=6.8125，算得f(6.8125)≈0.044，
端点的函数值一正一负，即 • < 0，则在开区间 ， 内，函数 = 至少有
一个零点，即在区间 ， 内相应的方程 = 0至少有一个解．
02
探索新知
实例分析
我们已经学过一元一次方程、一元二次方程的解法，但是，绝大部分方程没有
求解公式，如2 3 + 3 − 3 = 0，那么如何确定方程2 3 + 3 − 3 = 0的解呢？
间 0，1 内存在零点，
北师大版数学必修一利用二分法求方程的近似解教学课件
求方程 ln x 2x 6 0的近似解的问题
可以转化为函数 f x ln x 2x 6 在区
间（2，3）内零点的近似值。
如何找到零点近似值 ？？
在已知存在零点的区间确定函数的 零点的近似值，实际上就是如何缩小零 点所在的范围，或是如何得到一个更小 的区间，使得零点还在里面，从而得到 零点的近似值。
课外作业: 课本P92 习题3.
作业 使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点
游戏： “看商品猜价格”，请同学们猜一下下面这部科学计算器(120～200元间)的价格。 若再将近似值保留两为小数，那么2．53，2．54都可以作为在精确度为0．01的要求下的函数在(2，3)内的零点的近似值．一般地，为
取1, 2区间的中点x1 1.5, f 1.5 0.33,因为 f 1 f 1.5 0所以x0 1,1.5.
取（1，1.5）的中点x2=1.25 ,f(1.25)= -0.87， 因为f(1.25)·f(1.5)<0，所以x0∈（1.25，1.5）
同理可得， x0∈（1.375，1.5），x0∈(1.375， 1.4375），由于 |1.375-1.4375|=0.0625< 0.1
同号去，异号算， 零点落在异号间; 周而复始怎么办? 精确度上来判断.
借助计算器用二分法求 x3 3x 1 0
的近似解(精确度0.1).
方程的近似解为
x 0.3125或0.375.
取（1，1.
通过这样的方法，我们可以得到任意精确度的零点近似值．
设函数的零点为 ,
间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到
上节回忆
2、如何判断函数y=f(x)在区间[a,b]上是否 有零点? (1)函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连 续不断的一条曲线 (2) f(a)·f(b)<0
北师大版高中数学必修一课件§11.2利用二分法求方程的近似解
f(b)＜0)，判断近似解所在的区间(a,b).
2．“二分”解所在的区间，即取区间(a,b)的中
点
ab
x1
. 2
3．计算f(x1)： (1)若f(x1)＝0，则x0＝x1； (2)若f(a)•f(x1)＜0，则令b＝x1(此时x0∈(a,x1)); (3)若f(x1)•f(b)＜0，则令a＝x1(此时x0∈(x1,b)). 4．判断是否达到给定的精度，若达到，则得出近似解； 若未达到，则重复步骤2～4．
达标练习
思考题
从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现在 某接点发生故障,需及时修理,为了尽快断定故障发生点, 一般至少需要检查几个接点？
6 7 8 9 10
1 2345
11 12
13 14 15
1.理解二分法是一种求方程近似解的常用方法． 2.能借助计算机(器)用二分法求方程的近似解，体会程序 化的思想即算法思想． 3.进一步认识数学来源于生活，又应用于生活． 4.感悟重要的数学思想：等价转化、函数与方程、数形结 合、分类讨论以及无限逼近的思想.
y y=x2-2x-1
由图可知：方程x2-2x-1=0 的一个解x1在区间(2,3)内， 另一个解x2在区间(-1,0)内．
x
-1 0 1 2 3
结论：借助函数f(x)=x2-2x-1的图象，我们发现f(2)=
-1<0,f(3)=2>0，这表明此函数图象在区间(2,3)上穿过
x轴一次，可得出方程在区间(2,3)上有惟一解.
例题：利用计算器，求方程2x=4-x的近似解（精度为0.1）
怎样找到它的解所在的区间呢？
在同一坐标系内画函数y=2x 与y=4-x的图象（如图）；
方程有一个解x0∈(0,4)； 如果画得很准确，可得x0∈(1,2).
高中数学必修一北师大版本《5.1.2 利用二分法求方程的近似解》教学课件
方法归纳 现实生活中的线路断路、地下管道的堵塞、水管的泄漏等故 障我们也可以采用二分法进行排查，即采用中点查找法．竞猜物 体问题或将人员分配到不同的岗位来共同完成任务，需要把有限 的资金分配到不同生产企业，如何使时间最短、利润最高，这都 需要用二分法来解决．
跟踪训练2 在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全 相同的假币(质量轻一点)．现在只有一台天平，要想找出这枚假 币，最多要称几次？
2．以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函 数零点近似值的是( )
解析：根据二分法的基本方法，函数f(x)在区间[a，b]上的图 象连续不断，且f(a)·f(b)＜0，即函数的零点是变号零点，才能将区 间[a，b]一分为二，逐步得到零点的近似值．对各图象分析可知， 选项A、B、D都符合条件，而选项C不符合，因为图象在零点两侧 函数值不异号，因此不能用二分法求函数零点的近似值．
答案：C
3．[多选题]若函数 f(x)唯一的零点在区间(1,3)，(1,4)，(1,5)内， 那么下列命题中正确的是( )
A．函数 f(x)在(1,2)或[2,3)上有零点 B．函数 f(x)在(3,5)上无零点 C．函数 f(x)在(2,5)上有零点 D．函数 f(x)在(2,4)上不一定有零点
解析：将26枚金币平均分成两份，放在天平上，则假币一定 在轻的那13枚金币里面；从这13枚金币中拿出1枚，然后将剩下的 12枚金币平均分成两份，放在天平上，若天平平衡，则假币一定 是拿出的那一枚，若不平衡，则假币一定在轻的那6枚金币里面； 将这6枚金币平均分成两份，放在天平上，则假币一定在轻的那3 枚金币里面；将这3枚金币任拿出2枚放在天平上，若平衡，则剩 下的那一枚即是假币，若不平衡，则轻的那一枚即是假币．
2.437 5.
《4.1.2利用二分法求方程的近似解》课件1-优质公开课-北师大必修1精品
方
堂
案 设
2．函数 f(x)在区间(a，b)上有唯一的零点；
双 基
计
达
课
3．f(a)·f(b)<0.
标
前
自 主
则用二分法一定能够求出函数 y＝f(x)的零点．
课 时
导
作
学
业
课 堂 互 动 探 究
教 师 备 课 资 源
菜单
BS ·数学 必修1
教
学
思
教
想
法
方
分
下列函数中能用二分法求零点的是( )
析
法 技
0.1125
课 时
导
学
第5次
0.493 75
－0.016 669 324
0.55
0.057 342 561
0.056 25
作 业
课 堂 互 动 探 究
教 师 备 课 资 源
菜单
BS ·数学 必修1
教
ห้องสมุดไป่ตู้
学
思
教
想
法 分
至此，区间[0.493 75,0.55]的区间长度为 0.056 25，它小
方 法
析
技
菜单
BS ·数学 必修1
思 想 方 法 技 巧
当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
教 学 教 法 分 析
教 学 方 案 设 计
课 前 自 主 导 学
课 堂 互 动 探 究
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BS ·数学 必修1
思 想 方 法 技 巧
当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
教 学 教 法 分 析
菜单
高中数学北师大版必修一4.1.2【教学课件】《利用二分法求方程的近似解》
1
3
−2+1=
1− 3 3
<0
所以 ������0 ∈ (−0.5,0)
。用二分法求解，列表如下：
北京师范大学出版社 | 必修一
中点值
中点(端点)函数值
������ −0.5 < 0 ������ 0 > 0
取值区间
(－0.5,0)
−0.5 − 0.25 ������2 = 2 = −0.375
������3 = −0.5 − 0.375 2 = −0.4375
������ 1 ������ =3 − +1 所以原方程只有一解，设为 ������ = ������0 ； 令 ������ ������ = 3 + ������ + 1 ������ + 1
�ห้องสมุดไป่ตู้����
因为 ������ 0 = 1 − 1 + 1 = 1 >
������ −0.5 = 0，
图像经过零点x0时，函数值不变号，因此不能用二分法求解。故选A
北京师范大学出版社 | 必修一
思考1：所有的函数求零点问题都可以用二分法吗？
解：不是。“二分法”与判定函数零点的定义密切相关，只
有满足函数图像在零点附近连续且在该零点左右函数值异号
才能应用“二分法”求函数零点。即二分法仅对函数的变号
零点适用，对函数的不变号零点不适用。
③若 ������ ������ ∙ ������ ������ < 0 ，则令 ������ = ������ (此时零点 ������0 ∈ [������ , ������])。 (4)判断 ������, ������ 的两端的近似值是否相等，若相等得零点的近似解； 否则重复(2)～(4)步。特别注意要运算彻底。
北师版高中数学必修第一册精品课件 第5章 函数应用 1.2 利用二分法求方程的近似解
正?你如何防范?
提示:以上错解没有考虑到区间的端点也可能是函数的零点.
正解:根据二分法原理,依次“二分”区间后,零点应存在于更小的
区间.因此,在区间
答案:D
,
或
,
内有零点,或零点是 ,故选
D.
1.运用二分法时要注意二分法是不断把区间一分为二逐渐逼近
零点的方法.有时中点值会恰好为函数的零点.如本例中“f
【典例】 已知函数 f(x)在区间(0,a)(a>0)内有唯一的零点,在用
二分法寻找零点的过程中,依次确定了零点所在的区间为
,
,
,
,则下列说法正确的是(
A.函数 f(x)在区间
B.函数 f(x)在区间
C.函数 f(x)在区间
D.函数 f(x)在区间
,
,
,
连续的曲线, f(a)·f(b)<0 ,则每次取区间的中点,将区间
一分为二,再经比较,按需要留下其中一个小区间的求方程近
似解的方法称为二分法.
二、利用二分法求方程的近似解的过程
【问题思考】
1.所有函数的零点都可以用二分法求出吗?
提示:不是,例如函数y=(x+1)2的零点就无法用二分法求出.
2.当|a-b|<ε时,为什么说区间[a,b]上的任意实数x都可以作为
提示:(1)①取区间(2,3)的中点2.5.②计算f(2.5)的值,用计算器
算得f(2.5)≈-0.084.因为f(2.5)·f(3)<0,所以零点在区间(2.5,3)内.
(2)再取区间(2.5,3)的中点2.75,用计算器算得f(2.75)≈0.512.因
提示:以上错解没有考虑到区间的端点也可能是函数的零点.
正解:根据二分法原理,依次“二分”区间后,零点应存在于更小的
区间.因此,在区间
答案:D
,
或
,
内有零点,或零点是 ,故选
D.
1.运用二分法时要注意二分法是不断把区间一分为二逐渐逼近
零点的方法.有时中点值会恰好为函数的零点.如本例中“f
【典例】 已知函数 f(x)在区间(0,a)(a>0)内有唯一的零点,在用
二分法寻找零点的过程中,依次确定了零点所在的区间为
,
,
,
,则下列说法正确的是(
A.函数 f(x)在区间
B.函数 f(x)在区间
C.函数 f(x)在区间
D.函数 f(x)在区间
,
,
,
连续的曲线, f(a)·f(b)<0 ,则每次取区间的中点,将区间
一分为二,再经比较,按需要留下其中一个小区间的求方程近
似解的方法称为二分法.
二、利用二分法求方程的近似解的过程
【问题思考】
1.所有函数的零点都可以用二分法求出吗?
提示:不是,例如函数y=(x+1)2的零点就无法用二分法求出.
2.当|a-b|<ε时,为什么说区间[a,b]上的任意实数x都可以作为
提示:(1)①取区间(2,3)的中点2.5.②计算f(2.5)的值,用计算器
算得f(2.5)≈-0.084.因为f(2.5)·f(3)<0,所以零点在区间(2.5,3)内.
(2)再取区间(2.5,3)的中点2.75,用计算器算得f(2.75)≈0.512.因
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利用二分法求方程 的近似解
情景引入
在一个风雨交加的夜里,从某水库闸房 到防洪指挥部的电话线路发生了故障.这是 一条10km长的线路,如何迅速查出故障所在?
如果沿着线路一小段一小段查找,困难 很多.每查一个点要爬一次电线杆子,10km长, 大约有200多根电线杆子呢.想一想,维修线 路的工人师傅怎样工作最合理？
再取区间(1,1.5)的中点 x1=1.25， 然后用计算器算得 f(1.25)≈-0.87. 因为 f(1.25)· f(1.5)<0, 所以 x0∈(1.25,1.5)
区间列表
第1次 第2次 第3次 第4次 第5次
左端点 右端点 1 2 1 1.5 1.25 1.5 1.375 1.5 1.375 1.4375
同理可得 x0∈(1.375,1.5) x0∈(1.375,1.4375) 由于 |1.375-1.4375|=0.0625<0.1 此时区间(1.375,1.4375)的两个端 点精确到0.1的近似值都是1.4,所 以 原方程精确到0.1的近似解为1.4
二分法不仅仅用于求函数的零点和方程的 根,它在现实生活中也有许多重要的应用, 请解答下面的题目：
例4 求方程2x3+3x-3=0的一个实数解, 精确到0.01.
解 令f(x)=2x +3x-3
x -1 0 1 2
3
f(x)
-9.5
-3
2
19
观察表可知f(0)· f(1)<0，说明这个 函数在区间[0,1]内有零点x0
取区间(0,1)的中点 x1=0.5 然后用计算器算得 f(0.5)=-1.25 因为 f(0.5)· f(1)<0 所以 x0∈(0.5,1) 再取区间(0.5,1)的中点x1=0.75 然后用计算器算得 f(0.75)=0.09375 因为 f(0.5)· f(0.75)<0, 所以 x0∈(0.5,0.75).......
如 此 所就 在得 区到 间方 的程 列实 表数 解
左端点
第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 第9次 第10次 第11次 0 0 0.5 0.5 0.625 0.687 5 0.718 75 0.734 375 0.742 187 5 0.742 187 5 0.742 187 5
N 是
P 结束
否
方程解满足要求的精确度
练习 借助计算器或计算机用二分法 x 求方程2 ＋3x=7的近似解（精确到 x 0.1） 解 令f(x)=2 +3x-7
x f(x) 0 -6 1 -2 2 3 3 10
观察表可知f(1)· f(2)<0，说明这 个函数在区间(1,2)内有零点x0
取区间(1,2)的中点 x1=1.5， 然后用计算器算得 f(1.5)≈0.33. 因为 f(1)· f(1.5)<0, 所以 x0∈(1,1.5)
探究新知 知道了方程解存在,我们如何来求这个 方程的解?
如下函数f(x)的图像与直角坐标系中的x 轴有交ห้องสมุดไป่ตู้(x0,0),知x0是方程f(x)=0的解
在[-1,5]上,f(x)的图像是一 y 条连续的曲线, f(x) 且f(-1)· f(5)<0 x0∈[-1,5] 取[-1,5]中点2, f(2)· f(5)<0 x0∈[2,5] -1 O 取[2,5]中点3.5.......
取区间的中点
是
中点函数 值为零 否
M
N 是
结束
否
右端点
2 1 1 0.75 0.75 0.75 0.75 0.75 0.75 0.746 093 75 0.744 140 625
选定初始区间
两端函数值反号的区 间
程利 实用 数十 解分 的法 过求 程方
取区间的中点
是
中点函数 值为零 否
M
取新区间,一个端点是原区间的 中点,另一端点是原区间两端点 中的一个,新区间两端点的函数 值反号
x0
1 2
3 4
5
x
探究新知 就是每次都取区间的中点,将区间一分 为二,再经比较,按需要留下其中一个 小区间的方法,其实质是不断把函数零 点所在的区间逐步缩小,使区间两个端 点逐步逼近零点,进而得到函数零点近 似值.
二分法的定义：
对于在区间[a,b]上连续不断,且 f(a)· f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把 函数f(x)的零点所在的区间一分为二, 使区间的两个端点逐步逼近零点,进而 得到零点近似值的方法,叫做二分法.
同理可得 x0∈(0.625,0.75),…… x0∈(0.7421875,0.744140625) 由于 |0.7421875-0.744140625| =0.001953125<0.01 此时区间(0.7421875,0.744140625)的 两个端点精确到0.01的近似值都是 0.74,所以原方程精确到0.01的近似解 为0.74
1.有12个形状大小相同的小球， 其中有一个球比其他小球略重， 你用天平称几次可以找出这个球 要求次数越少越好。
2.若有27个球呢？
补充练习
下列函数图像与x轴均有交点，但不宜用 二分法求交点横坐标的是( B)
x1 x2 x3
x1 B
O
x1 x2
A
C
D
小结
选定初始区间
掌握用二分法 求函数方程近 似解的步骤
情景引入
在一个风雨交加的夜里,从某水库闸房 到防洪指挥部的电话线路发生了故障.这是 一条10km长的线路,如何迅速查出故障所在?
如果沿着线路一小段一小段查找,困难 很多.每查一个点要爬一次电线杆子,10km长, 大约有200多根电线杆子呢.想一想,维修线 路的工人师傅怎样工作最合理？
再取区间(1,1.5)的中点 x1=1.25， 然后用计算器算得 f(1.25)≈-0.87. 因为 f(1.25)· f(1.5)<0, 所以 x0∈(1.25,1.5)
区间列表
第1次 第2次 第3次 第4次 第5次
左端点 右端点 1 2 1 1.5 1.25 1.5 1.375 1.5 1.375 1.4375
同理可得 x0∈(1.375,1.5) x0∈(1.375,1.4375) 由于 |1.375-1.4375|=0.0625<0.1 此时区间(1.375,1.4375)的两个端 点精确到0.1的近似值都是1.4,所 以 原方程精确到0.1的近似解为1.4
二分法不仅仅用于求函数的零点和方程的 根,它在现实生活中也有许多重要的应用, 请解答下面的题目：
例4 求方程2x3+3x-3=0的一个实数解, 精确到0.01.
解 令f(x)=2x +3x-3
x -1 0 1 2
3
f(x)
-9.5
-3
2
19
观察表可知f(0)· f(1)<0，说明这个 函数在区间[0,1]内有零点x0
取区间(0,1)的中点 x1=0.5 然后用计算器算得 f(0.5)=-1.25 因为 f(0.5)· f(1)<0 所以 x0∈(0.5,1) 再取区间(0.5,1)的中点x1=0.75 然后用计算器算得 f(0.75)=0.09375 因为 f(0.5)· f(0.75)<0, 所以 x0∈(0.5,0.75).......
如 此 所就 在得 区到 间方 的程 列实 表数 解
左端点
第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 第9次 第10次 第11次 0 0 0.5 0.5 0.625 0.687 5 0.718 75 0.734 375 0.742 187 5 0.742 187 5 0.742 187 5
N 是
P 结束
否
方程解满足要求的精确度
练习 借助计算器或计算机用二分法 x 求方程2 ＋3x=7的近似解（精确到 x 0.1） 解 令f(x)=2 +3x-7
x f(x) 0 -6 1 -2 2 3 3 10
观察表可知f(1)· f(2)<0，说明这 个函数在区间(1,2)内有零点x0
取区间(1,2)的中点 x1=1.5， 然后用计算器算得 f(1.5)≈0.33. 因为 f(1)· f(1.5)<0, 所以 x0∈(1,1.5)
探究新知 知道了方程解存在,我们如何来求这个 方程的解?
如下函数f(x)的图像与直角坐标系中的x 轴有交ห้องสมุดไป่ตู้(x0,0),知x0是方程f(x)=0的解
在[-1,5]上,f(x)的图像是一 y 条连续的曲线, f(x) 且f(-1)· f(5)<0 x0∈[-1,5] 取[-1,5]中点2, f(2)· f(5)<0 x0∈[2,5] -1 O 取[2,5]中点3.5.......
取区间的中点
是
中点函数 值为零 否
M
N 是
结束
否
右端点
2 1 1 0.75 0.75 0.75 0.75 0.75 0.75 0.746 093 75 0.744 140 625
选定初始区间
两端函数值反号的区 间
程利 实用 数十 解分 的法 过求 程方
取区间的中点
是
中点函数 值为零 否
M
取新区间,一个端点是原区间的 中点,另一端点是原区间两端点 中的一个,新区间两端点的函数 值反号
x0
1 2
3 4
5
x
探究新知 就是每次都取区间的中点,将区间一分 为二,再经比较,按需要留下其中一个 小区间的方法,其实质是不断把函数零 点所在的区间逐步缩小,使区间两个端 点逐步逼近零点,进而得到函数零点近 似值.
二分法的定义：
对于在区间[a,b]上连续不断,且 f(a)· f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把 函数f(x)的零点所在的区间一分为二, 使区间的两个端点逐步逼近零点,进而 得到零点近似值的方法,叫做二分法.
同理可得 x0∈(0.625,0.75),…… x0∈(0.7421875,0.744140625) 由于 |0.7421875-0.744140625| =0.001953125<0.01 此时区间(0.7421875,0.744140625)的 两个端点精确到0.01的近似值都是 0.74,所以原方程精确到0.01的近似解 为0.74
1.有12个形状大小相同的小球， 其中有一个球比其他小球略重， 你用天平称几次可以找出这个球 要求次数越少越好。
2.若有27个球呢？
补充练习
下列函数图像与x轴均有交点，但不宜用 二分法求交点横坐标的是( B)
x1 x2 x3
x1 B
O
x1 x2
A
C
D
小结
选定初始区间
掌握用二分法 求函数方程近 似解的步骤