周期函数

1 f (x ) 1+f (x ) 结论 4： f (x a ) ，则是以 T 4a 1-f (x )
为周期的周期函数.
结论 5:若函数 y f (x )的图像关于直线 x=a,x=b 都对称,则 f(x)
|a b |是它的一个周期。 为周期函数且 2
结论 6：函数 y f (x )的图象关于两点 A(a,0)、B(b,0)都对称，则
1 f ( x) f ( x 1) 1 f ( x)
， 当 0 x ≤ 1 时，
f ( x) 2 x ，则 f (11.5) 。 1-f (x ) 解： 由 f (x +1) 1+f (x ) 1-f ( x ) 1-f (x +1) 1- 1+ f ( x ) (x +1 ） +1) 得 f（ 1+f (x +1) 1-f ( x )
=2
所以 f ( x ) 为以4为周期的函数
f (9)=f (2 4 1) =f (1)
结论 1：若 y f (x )满足 f (x a ) f (x )，则 T=2a 2a
变式 1. 已知函数 y f (x )满足 f(x+2)= 则 f (10)=？
1 ，且 f (2)=1 ， f x
周期函数
今天星期四， 7天后星期几？ 星期四 15天后呢？ 星期五
y
y sin x
o
2

3 2
2
x
2 ) f (x )
1.f(x)=sinx, T=2π，怎么得来？f (x
1 2.相邻两条对称轴之间的距离为 T, 2 1 3.相邻两个对称中心的距离为 2 T,
4.对称中心与和它相邻的对称轴之间的距 1 离为 T。
.
四、课堂小结： 周期函数的定义： f ( x + T ) = f ( x ) 周期的求法：递推 几个重要结论：
结论 1：若 y f (x )满足 f (x a ) f (x )，则 T=2a 2a 2a 1 结论 2：若函数 y f (x )满足 f (x a ) ，则 T= f x 1 f (x ) f (x a ) 结论 3： ， 则 f ( x )是以 T 2a 为周期的周期函数.
例 1，已知函数 y
f (x )满足 f (x 2) f (x )，且 f (1)=2 ，
则 f (9)=？ 解： 由 f (x 2) f (x )
得 f（ (x 2 ） +2) f (x +2) [f (x )] 即
f (x )
f (x 4) f (x )
4a 为周期的周
期函数.
例 3.已知函数 y f (x )和 y f (x +2)都是奇函数， 求证 y f (x )是周期函数。
解： 因为 f ( x ) 为奇函数，所以 f (-x )=-f (x ) 因为 f (x +2)为奇函数，所以
f (-x +2)=-f (x +2) =f (（x +2 ） ) =f (- x -2)
4
结论 5:若函数 y f (x )的图像关于直线 x=a,x=b 都对称,则 f(x)为周期函数且 2|a b |是它的一个周期。 结论 6：函数 y f(x )的图象关于两点 A(a,0)、B(b,0)都对称， 则函数 f (x )是以 2|a b |为周期的周期函数； 结:7:函数 y f(x )的图象关于 A(a,0)和直线 x b 都对称，则 函数 f (x )是以 4|a b |为周期的周期函数；
4
问题探究 问题1.根据下列函数的图像，判定函数是否 为周期函数，如果是，指出它的周期。
（1） T=a
（2） T=b
（3） T=2
问题3.若函数f(x)满足f(x)=f(x+4),且f(1)=1,则 f(2017)= 。 函数的周期性： 对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的常数 T，使得当x取定义域内的每一个值时， f(x+T)=f(x)都成立，那么就把函数y=f(x)叫 做周期函数，T叫做函数的周期.如果T为函数 的一个周期，那么T的整数倍nT也是函数的 周期；如果在所有的周期中存在着一个最小 的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周 期.

1 解： 由 f (x 2) f (x ) 1 (x 2 ） +2) 得f（ f (x +2)

1
1 f (x )
=f ( x )
f (x 4) f (x ) 所以 f ( x ) 为以4为周期的函数
即
f (10)=f (2 4 2) =f (2)
=1
1 结论 2：若函数 y f (x )满足 f (x a ) ，则 T=2a f x
f ( x) ， 且 当 x [0, 2) 时 ， f ( x) log2 ( x 1 ） 有 f ( x 2） ，则 f (2008) f (2009) 的值为
（ C． 1
） D． 2
A． 2
B． 1
例 2. 设函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数， 对于 任意的 x R ， 都有
练习 3： (1)设函数 y f (x )定义在 R 上的偶函数， y f (x +2)也是 偶函数， f (1)=2 ，则 f (2017)= .
（2）. 设函数 y f ( x) 定义在 R 上的奇函数，且 y f ( x) 图像
1 关于直线 x 2 对称，则 f (1) f (2) f (3) f (4) f (5)
=f ( x )
1+f ( x ) f (x 2) f (x ) 所以 f ( x ) 为以2为周期的函数
即
1+
f (11. 5)=f (6 2-0. 5) =f (-0. 5) =-f (0.5) =-1
1 f ( x) 变式 2：已知函数 y f (x )满足 f ( x 2) 1 f ( x) 且 f (1)=2 ，求 f (2017)
所以 f ( x )为以4为周期的函数
y
y sin x
o
2

3 2
2
x
2 ) f (x )
1.f(x)=sinx, T=2π，怎么得来？f (x
1 2.相邻两条对称轴之间的距离为 T, 2 1 3.相邻两个对称中心的距离为 2 T,
4.对称中心与和它相邻的对称轴之间的距 1 离为 T。
练习 1：
1 （1） 函数 f ( x ) 对于任意实数 x 满足条件 f (x -3) ，若 f (x )
f (1) 5 ，则 f ( f ( 13 )) 等于 (
A. 5 B.
5
) D.
1 5
C.
1 5
（2）已知函数 f ( x) 是 (, ) 上的偶函数，若对于 x 0 ，都
|a b |为周期的周期函数； 函数 f ( x )是以 2
结:7:函数 y f (x )的图象关于 A(a,0)和直线 x b 都对称，则 函数 f ( x )是以 4|a b |为周期的周期函数；
五、课后作业：
1-
1 =f (x )
f (2017)=f (252 8+1)=f (1)
=2
1 f (x ) 结论 3： f (x a ) ，则 f ( x )是以 T 1 f (x )
2a 为周期的周
期函数.
1+f (x ) 结论 4： f (x a ) ，则 f ( x )是以 T 1-f (x )
1+f (x ) 解： 由 f (x +2) 1-f (x ) 1+f ( x ) 1+ 1+f (x +2) 1f ( x ) f （ ( x +2 ） +2) 得 1-f (x +2) 1+f ( x )
1 1-f ( x ) f ( x 4) 即 则 f ( x )1 1 f ((x 4)+4) f (x ) 1 f (x 4) f (x ) 所以 f ( x ) 为以8为周期的函数