专题16 三角函数与三角恒等变换-2018年高考数学母题题源系列

专题十六 三角函数与三角恒等变换【母题原题1】【2018浙江，18】已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （）．（Ⅰ）求sin （α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin （α+β）=，求cos β的值．【答案】（Ⅰ） , （Ⅱ）或（Ⅱ）由角的终边过点得，由得.由得，所以或.点睛：三角函数求值的两种类型：(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数. (2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.【母题原题2】【2017浙江，18】已知函数()()22f x sin x cos x x R =--∈（I ）求2f 3π⎛⎫⎪⎝⎭的值 （II ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间.【答案】（I ）2；（II ）()f x 的最小正周期是π， 2+k +k k 63Z ππππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，.【解析】试题分析：本题主要考查三角函数的性质及其变换等基础知识，同时考查运算求解能力.满分14分.（Ⅰ）由函数概念2222222sin cos cos 33333f πππππ⎛⎫=--⎪⎝⎭，计算可得；（Ⅱ）化简函数关系式得()sin y A x ωφ=+，结合2T πω=可得周期，利用正弦函数的性质求函数的单调递增区间．（Ⅱ）由22cos2cos sin x x x =-与sin22sin cos x x x =得()cos2f x x x =-．2sin 26x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．所以()f x 的最小正周期是π． 由正弦函数的性质得3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈， 解得2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 所以， ()f x 的单调递增区间是2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，．【母题原题3】【2016浙江，文11理10】已知2cos 2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A ＞0)，则A=______，b=________．，1【解析】22cos sin 2)14x x x π+=++，所以 1.A b == 【考点】降幂公式，辅助角公式．【思路点睛】解答本题时先用降幂公式化简2cos x ，再用辅助角公式化简cos2sin 21x x ++，进而对照()sin Αx b ωϕ++可得Α和b 的值．【命题意图】考查三角函数的概念、三角公式、三角恒等变换、三角函数的图象和性质，考查数学式子变形能力、运算求解能力、数形结合思想及分析问题与解决问题的能力．【命题规律】近几年高考在对三角恒等变换考查的同时，对三角函数图象与性质的考查力度有所加强，往往将三角恒等变换与图象和性质结合考查，往往先利用三角公式进行化简，然后进一步研究三角函数的性质.其中三角函数的定义域值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象，难度仍然以中低档为主，重在对基础知识的考查，淡化特殊技巧，强调通解通法. 【答题模板】求解2017年一类问题，一般考虑： 第一步：化简三角函数式成为()sin y A x ωϕ=+的形式. 第二步：代入计算函数值.第三步：将x ωϕ+视为一个整体，利用正弦函数的性质，按要求运算求解. 【方法总结】1. 三角函数恒等变换要注意：（1）观察式子：主要看三点① 整体观察：整个表达式是以正余弦为主，还是正切（大多数情况是正余弦），确定后进行项的统一（有句老话：切割化弦）② 确定研究对象：是以x 作为角来变换，还是以x 的表达式（例如2x ）看做一个角来进行变换.③ 式子是否齐次：看每一项（除了常数项）的系数是否一样（合角公式第二条：齐一次），若是同一个角（之前不是确定了研究对象了么）的齐二次式或是齐一次式，那么很有可能要使用合角公式，其结果成为()()sin f x A x ωϕ=+的形式.例如：齐二次式：2sin 2cos sin 2y x x x =-+，齐一次式：sin cos 6y x x π⎛⎫=++⎪⎝⎭（2）向“同角齐次正余全”靠拢，能拆就拆，能降幂就降幂：常用到前面的公式221cos21cos2cos ,sin 22αααα+-==，2sin cos sin2ααα=（还有句老话：平方降幂） 2.三角函数式的化简要遵循“三看”原则（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式； （2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”； （3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.3.变换技巧：(1)拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；β＝α＋β2－α－β2；α－β2＝)2()2(βαβα+-+.（3）化简技巧：切化弦、“1”的代换等 4.,,A ωϕ的常规求法： （1）A ：① 对于()sin y A x ωϕ=+可通过观察在一个周期中所达到的波峰波谷（或值域）得到 ② 对于()sin y A x b ωϕ=++可通过一个周期中最大，最小值进行求解：max min2y y A -= （2）ω：由2Tπω=可得：只要确定了()sin y A x ωϕ=+的周期，即可立刻求出ω，而T 的值可根据对称轴（最值点）和对称中心（零点）的距离进行求解① 如果()sin y A x ωϕ=+相邻的两条对称轴为(),x a x b a b ==<，则()2T b a =- ② 如果()sin y A x ωϕ=+相邻的两个对称中心为()()(),0,,0a b a b <，则()2T b a =- ③ 如果()sin y A x ωϕ=+相邻的对称轴与对称中心分别为(),,0x a b =，则4T b a =- 注：在()sin y A x ωϕ=+中，对称轴与最值点等价，对称中心与零点等价.（3）ϕ：在图像或条件中不易直接看出ϕ的取值，通常可通过代入曲线上的点进行求解，要注意题目中对ϕ的限制范围1．【浙江省金华十校2018年4月高考模拟】在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则__________，__________．【答案】 02.【浙江省金华十校2018年4月高考模拟】已知函数，则函数的最小正周期__________，在区间上的值域为__________．【答案】【解析】函数的解析式：∴函数f(x)的最小正周期∴当时,，当时,，但取不到.所以值域为.3．【2018届浙江省绍兴市5月调测】已知函数，则____，该函数的最小正周期为_____． 【答案】 0【解析】分析：由题意首先化简函数的解析式，然后结合函数的解析式整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意可得：.则，函数的最小正周期为：.4．【2017届四川省成都嘉祥外国语学校4月月考】在平面直角坐标系xOy 中，若角α的始边为x 轴的非负半轴，其终边经过点()2,4P . （1）求tan α的值；（2）求()22sin 2124cos απαπα-+-⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）2；（2）53. 【解析】试题分析：（1）直接根据任意角三角函数的定义求解即可．（2）利用诱导公式化解，“弦化切”的思想即可解决．试题解析：(1)由任意三角函数的定义可得： 4tan 22α==. (2)()22sin 2cos 124απαπα-+-⎛⎫+ ⎪⎝⎭原式2sin cos 2tan 1415sin cos tan 1213αααααα+++====+++5．【2017届江苏省南京师范大学附属中学模拟二】已知角α的终边上有一点()1,2p ， （1）求tan 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值；（2）求5sin 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值． 【答案】（1）3; （2） 【解析】【试题分析】（1）先依据正切函数的定义求出1tan tan1142tan ,tan 31241tan tan 142παπααπα++⎛⎫=+=== ⎪⎝⎭--进而求得；（2）依据1tan 2α=求得sin αα==555sin 2sin2cos cos2sin 2sin cos 666πππααααα⎛⎛⎫+=+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭()21112cos 1?221252α⎛⎛⎫+-=+⋅-⋅ ⎪⎝⎭⎭=解：根据题意1tan ,sin 2ααα===， （1）1tan tan142tan 3141tan tan 142παπαπα++⎛⎫+=== ⎪⎝⎭--； （2）555sin 2sin2cos cos2sin 666πππααα⎛⎫++ ⎪⎝⎭2sin cos 2αα⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭()212cos 1?2α+-11221252⎛⎫⎛⎫=-+⋅-⋅⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭310+=-． 6．【2018届江苏省盐城中学全仿真模拟】在平面直角坐标系中，以轴为始边作角，角的终边经过点.(I)求的值；(Ⅱ)求的值.【答案】(1)；(2).【解析】分析：（1）由于角其终边经过点，故，，再利用两角和与差的正余弦公式即可；(2).则 ，.7．【浙江省杭州市2016-2017学年高二下学期期末】设A 是单位圆O 和x 轴正半轴的交点，P ，Q 是圆O 上两点，O 为坐标原点，∠AOP=π6，∠AOQ=α，α∈[0， π2]． （1）若Q 34,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，求cos （α﹣π6）的值； （2）设函数f （α）=sin α•（OP OQ ⋅ ），求f （α）的值域．【答案】（1 （2）30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：（1）由三角函数定义得34cos ,sin 55αα==，再根据两角差余弦公式得cos （α﹣π6）的值；（2）先根据向量数量积得31cos sin 22OP OQ αα⋅=+，再利用二倍角公式、配角公式得()1π1sin 2264f αα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，最后根据正弦函数性质求值域试题解析：（1）由已知得34πππcos ,sin cos cos cos sin sin 55666ααααα⎛⎫==∴-=⋅+= ⎪⎝⎭（2）()11π1sin sin sin 22264f ααααα⎫⎛⎫=+=-+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()πππ5π30,2,0,26664f ααα⎡⎤⎡⎤⎤⎡∈∴-∈-∴∈⎦⎣⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦8．【2018届浙江省绍兴市3月模拟】已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）若，且，求的值.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）第（Ⅰ）问，直接化简函数，再利用三角函数的周期公式求解. (2)第（Ⅱ）问，先解方程得到的值，再求的值.试题解析：（Ⅰ）.即.所以的最小正周期.（Ⅱ）由，得，又因为，所以，即.所以.9.【2018届浙江省杭州市第二次检测】已知函数(Ⅰ）求的最小正周期和最大值;(Ⅱ)求函数的单调减区间【答案】（Ⅰ）最小正周期是，最大值是2．（Ⅱ）【解析】试题分析：利用两角和与差的余弦公式，二倍角的三角函数公式和辅助角公式化简，即可得到的最小正周期和最大值先求出，再求单调区间解析：（Ⅰ）因为，所以.所以函的最小正周期是，最大值是2．（Ⅱ）因为，所以单调递减区间为10．【2018届浙江省温州市9月一模】已知函数．（1）求的值；（2）求的最小正周期及单调递增区间．【答案】（1）；（2），（）．【解析】试题分析：（1）将代入，由两角和的余弦公式结合特殊角的三角函数可得结果；（2）将展开与相乘后利用余弦的二倍角公式以及辅助角公式可得，根据周期公式可得的最小正周期，根据利用正弦函数的单调性，解不等式即可得到单调递增区间.试题解析：（1）．（2）．所以，的最小正周期为，当（）时，单调递增，即的单调递增区间为（）．11.【腾远2018年（浙江卷）红卷】已知函数.（1）求的值；（2）当时，求函数的取值范围.【答案】（1）1；（2）.【解析】分析：（1）由三角恒等变换的公式化简得，即可求解的值；（2）由（1）得，当时，得，即可求解的取值范围. 详解：（1），则.（2）由（1）得， 当时，， 则， 即的取值范围为.12．【2018届浙江省宁波市高三上期末】已知函数()22sin cos 12sin f x x x x =+-.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值.【答案】(Ⅰ) π，最小值为.（Ⅱ）因为34x ππ-≤≤，所以5321244x πππ-≤+≤.当242x ππ+=，即8x π=时， ()f x 当52412x ππ+=-，即3x π=-时，()221sin cos 3332f x f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.f x的最小值为. 即()。