工程硕士 数理统计课件 第五讲(2)-19页精选文档
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数理统计知识点PPT课件
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为底边，作高为 fi xi'
频率直方图.
的矩形，xi' xi'1 xi' , i 1,2,, n 1 ,即得
2021/6/13
3
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三、几个在统计中常用的概率分布
1、正态分布 N (m,s 2 )
密度函数： p(x)
1
( xm )2
e 2s 2 分布函数：F (x)
2p s
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
-6
-4
-2
0
2
4
6
2021/6/13
6
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4. F 分布 F（n1，n2） 若 X~ 2 （n1），Y~ 2 （n2），且相互独立，则随机变量
X
F n1 Y
n2
服从自由度为（n1，n2）的 F 分布，记作 F~ F（n1，n2）.
2021/6/13
17
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1、总体方差s 2 已知
用 u 检验，检验的拒绝域为
W {z u } 1 2
即 W {z u1 或z u1 }
2
2
2．总体方差s 2 未知
用样本方差s 2 代替总体方差s 2 ，这种检验叫 t 检验.
H0
H1
Ⅰ m m0 m m0 Ⅱ m m0 m m0 Ⅲ m m0 m m0
其中 m 为均值，s 2 为方差， x .
1
e dy x
( ym )2 2s 2
2ps
标准正态分布：N（0，1）
0.4
密度函数
j (x)
概率论与数理统计课件第5章-PPT精品文档
PX Q 0 . 5 2
1
第三四分位数Q3： PX Q 0 . 7 5 3
例1
为对某小麦杂交组合F2代的株高X进行研究，抽
取容量为100的样本，测试的原始数据记录如下(单位： 厘米)，试根据以上数据，画出它的频率直方图，求随
机变量X的分布状况。
87 99 86 87 84 85 96 90 103 88 91 94 94 91 88 109 83 89 111 98 102 92 82 80 91 84 88 91 110 99 86 94 83 80 91 85 73 98 89 102 99 81 80 87 95 70 97 104 88 102 69 94 95 92 92 90 94 75 91 95 102 76 104 98 83 94 90 96 80 80 90 92 105 92 92 90 94 97 86 91 95 94 88 96 80 94 92 91 77 83
样本方差( X X i n 1i 1
几个常用的统计量
设 (X ,X , 1 2 是总体 X 的一个样本， ,X n) 样本均方差或标准差
2 1 n S X i X n 1i 1
它们的观测值用相应的小写字母表示.反映总 体X取值的平均，或反映总体X取值的离散程度。
几个常用的统计量
设 (X ,X , 1 2 是总体 X 的一个样本， ,X n)
子样的K阶（原点）矩
1 n k Ak X i n i 1
子样的K阶中心矩
1 B k X i X n i1
n
k
数据的简单处理
为了研究随机现象，首要的工作是收集原始数据. 一般通过抽样调查或试验得到的数据往往是杂乱无章
数理统计的基本概念PPT精品文档40页
则样本的联合分布为
n
n
P { X 1 x 1 ,X 2 x 2 , ,X n x n } P { X i x i} p i．
i 1
i 1
§6.2 抽样分布
6.2.1 统计量的概念
由样本推断总体的某些情况时，需要对样本进行“ 加工”，构造出若干个样本的已知 (确定)的函数， 其作用是把样本中所含的某一方面的信息集中起来 。这种不含任何未知参数的样本的函数称为统计量。 它是完全由样本所决定的量。
统计量的分布称为抽样分布，下面介绍来自正 态总体的几个重要统计量的分布，称为统计学的三 大分布： 2 分布，t分布和F分布.
6.2.2 χ 2 分布
定义4: 设 X1, X2, …, Xn 是来自总体 N(0, 1), 的样本，则称统计量
与总体X具有相同的概率分布，则称随机变量 X1,X2, ,Xn为来自总体X的容量为n的简单随机 样本，简称样本．
它们的 x1,x观 2, ,x 察 n称值 为,样 又本 称值 为 X的 n个独立 . 的观察值
注意：样本的二重性。
6.1.2 样本的分布 样本 X1,X2,…,Xn 可以被看作n维随机向量,自
定义2：设 X1,X2, ,Xn是来自总体X的样本， g(X 1,X 2, ,X n)是样本 X1,X2, ,Xn的函数，如果 g(X 1,X 2, ,X n)中不包含任何未知参数，则称它
是一个统计量。
定义３：几个常用的统计量
样本均值
X
1 n
n i1
Xi
反映总体 均值的信息
样本方差 S2n11in1(Xi X)2n11(in1 Xi2nX2)
200 20 00 20 00 20 00 20 00 20 000
数理统计的基本知识概要PPT课件
总体就可以用一个随机变量及其分布来描述. 因此在理论上可以把总体与概率分布等同起来.
第7页/共43页
一、总体和样本
例如: 研究某批灯泡的寿命时，关心的数量指标 就是寿命，那么，此总体就可以用随机变量X表示， 或用其分布函数F(x)表示.
总体
寿命 X 可用一概率 （指数）分布来刻划
某批灯泡的寿命
F(x)
一、总体和样本
2. 样本
总体分布一般是未知，或只知道是包含未知 参数的分布，为推断总体分布及各种特征，按一定
规则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以获得
有关总体的信息 ，这一抽取过程称为 “抽样”，所
抽取的部分个体称为样本. 样本中所包含的个体数
目称为样本容量.
从国产轿车中抽5辆 进行耗油量试验
样本容量为5 抽到哪5辆是随机的
第10页/共43页
一、总体和样本
n称为这个样本的容量.
1. 代表性： X1,X2,…,Xn中每一个与所考察的总体有 相同的分布.
2. 独立性： X1,X2,…,Xn是相互独立的随机变量.
一旦取定一组样本X1，… ,Xn ,得到n个具体的数 (x1,x2,…,xn)，称为样本的一次观察值，简称样本值 .
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三、分布函数的近似求法
0,
x 4
1 10 , 4 x 0
2 10 , 0 x 2
F10 ( x)
4 7
10 , 10 ,
2 x 2.5 2.5 x 3
8 10 , 3 x 3.2 9 10 , 3.2 x 4
1,
x4
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三、分布函数的近似求法
对于任何实数x，Fn ( x) 等于在n次重复独立试验 中事件 { X x} 的频率，由频率与概率的关系知， Fn ( x) 可作为总体X的分布函数F(x)的近似，且当样 本容量充分大时，Fn ( x) 几乎为F(x).
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一、总体和样本
例如: 研究某批灯泡的寿命时，关心的数量指标 就是寿命，那么，此总体就可以用随机变量X表示， 或用其分布函数F(x)表示.
总体
寿命 X 可用一概率 （指数）分布来刻划
某批灯泡的寿命
F(x)
一、总体和样本
2. 样本
总体分布一般是未知，或只知道是包含未知 参数的分布，为推断总体分布及各种特征，按一定
规则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以获得
有关总体的信息 ，这一抽取过程称为 “抽样”，所
抽取的部分个体称为样本. 样本中所包含的个体数
目称为样本容量.
从国产轿车中抽5辆 进行耗油量试验
样本容量为5 抽到哪5辆是随机的
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一、总体和样本
n称为这个样本的容量.
1. 代表性： X1,X2,…,Xn中每一个与所考察的总体有 相同的分布.
2. 独立性： X1,X2,…,Xn是相互独立的随机变量.
一旦取定一组样本X1，… ,Xn ,得到n个具体的数 (x1,x2,…,xn)，称为样本的一次观察值，简称样本值 .
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三、分布函数的近似求法
0,
x 4
1 10 , 4 x 0
2 10 , 0 x 2
F10 ( x)
4 7
10 , 10 ,
2 x 2.5 2.5 x 3
8 10 , 3 x 3.2 9 10 , 3.2 x 4
1,
x4
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三、分布函数的近似求法
对于任何实数x，Fn ( x) 等于在n次重复独立试验 中事件 { X x} 的频率，由频率与概率的关系知， Fn ( x) 可作为总体X的分布函数F(x)的近似，且当样 本容量充分大时，Fn ( x) 几乎为F(x).
概率论与数理统计第五讲共28页文档
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
1、不要是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
概率论与数理统计第五讲 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。
硕士研究生数理统计课件
ξ2、……、ξn ）来自于总体F(x)。
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第二章 数理统计的基本概念与抽样分布
定理：若（ ξ1、ξ2、……、ξn ）来自于F(x)(或P(x))， 则（ ξ1、ξ2、……、ξn ）的联合分布密度函数
n
n
∏ F(xi) 或∏ P(xi)
i=1
i=1
例一： ξ～N(0,1),（ξ1、ξ2、ξ3）是一个样本，
§2.1数理统计的几个基本概念 一、总体与样本
有限总体 总体 研究对象的全体
无限总体 个体 每个研究对象 关心 与它们的性能相联 系的某个数量指标 实验前不知结果 是一个随机变量（有 一个分布）。
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第二章 数理统计的基本概念与抽样分布
总体 个体
一个具有确定概率分布的随机变量 随机变量可能取的数值
数理统计是统计？ 统计的内涵：
1.统计工作 2.统计资料 3.统计学
专业统计 大统计
数理统计
统计既是一种理论，也是许多方法的总称。
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绪论
二、统计的题材 统计的题材包括范围极广——设计生成数据
的试验，数据的收集、分析、描述和解释。
n
X的性质：(1)(Xi X ) 0 i 1
(2)若Yi aXi b，则Y aX b
(3)EX EX
(4)DX DX n
S2的性质：(1)E(S 2 ) n 1 DX E(S*2) DX n
n
n
(2)x R,有 (Xi -X)2 (Xi -x)2
合格率大于等于90%，信不信？ 3.温度与压力有无关系？有什么样的关系？ 4.一天所加工的零件的误差是否服从正态分布？ 5.几个地区人的血液中胆固醇的含量的平均值
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第二章 数理统计的基本概念与抽样分布
定理：若（ ξ1、ξ2、……、ξn ）来自于F(x)(或P(x))， 则（ ξ1、ξ2、……、ξn ）的联合分布密度函数
n
n
∏ F(xi) 或∏ P(xi)
i=1
i=1
例一： ξ～N(0,1),（ξ1、ξ2、ξ3）是一个样本，
§2.1数理统计的几个基本概念 一、总体与样本
有限总体 总体 研究对象的全体
无限总体 个体 每个研究对象 关心 与它们的性能相联 系的某个数量指标 实验前不知结果 是一个随机变量（有 一个分布）。
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第二章 数理统计的基本概念与抽样分布
总体 个体
一个具有确定概率分布的随机变量 随机变量可能取的数值
数理统计是统计？ 统计的内涵：
1.统计工作 2.统计资料 3.统计学
专业统计 大统计
数理统计
统计既是一种理论，也是许多方法的总称。
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绪论
二、统计的题材 统计的题材包括范围极广——设计生成数据
的试验，数据的收集、分析、描述和解释。
n
X的性质：(1)(Xi X ) 0 i 1
(2)若Yi aXi b，则Y aX b
(3)EX EX
(4)DX DX n
S2的性质：(1)E(S 2 ) n 1 DX E(S*2) DX n
n
n
(2)x R,有 (Xi -X)2 (Xi -x)2
合格率大于等于90%，信不信？ 3.温度与压力有无关系？有什么样的关系？ 4.一天所加工的零件的误差是否服从正态分布？ 5.几个地区人的血液中胆固醇的含量的平均值
概率论与数理统计教程第二版茆诗松课件PPT第五章
12 April 2016
第五章 统计量及其分布
第19页
§5.2 样本数据的整理与显示
5.2.1 经验分布函数
设 x1, x2, …, xn 是取自总体分布函数为F(x)的样 本，若将样本观测值由小到大进行排列,为 x(1), x(2), …, x(n)，则称 x(1), x(2), …, x(n) 为有序样本， 用有序样本定义如下函数 0, x < x(1) Fn ( x ) k / n , x(k ) x x(k 1) , 1, x(n ) x
原因在于总体的差异上！
1979年4月17日日本《朝日新闻》刊登调查报 告指出，日产SONY彩电的彩色浓度服从正态 分布N(m, (5/3)2) ，而美产SONY彩电的彩色浓 度服从(m5 , m+5)上的均匀分布。
12 April 2016
第五章 统计量及其分布
第8页
图5.1.1 SONY彩电彩色浓度分布图
第五章 统计量及其分布
第22页
其经验分布函数为
Fn(x) =
0， 0.2， 0.4， 0.8， 1，
x < 344 344 x < 347 347 x < 351 351 x < 355 x 355
由伯努里大数定律： 只要 n 相当大，Fn(x)依概率收敛于F(x) 。
12 April 2016
第五章 统计量及其分布
第6页
比如：两个生产同类产品的工厂的产品的总体 分布：
X p 0 0.983 1 0.017
X
p
0
0.915
1
0.085
12 April 2016
第五章 统计量及其分布
数理统计的基本概念PPT模板
3 次序统计量和样本分布函数
例 4 设总体服从泊松分布，容量为 10 的样本观测值如下： 2，1，4，3，5，6，4，8，4，3．
试构造样本的分布函数 F10 (x) ．
解 将样本的观测值由小到大排列为1 2 3 3 4 4 4 5 6 8 ，所以样本的频 率分布如表 5-1 所示．
设 X1 ，X2 ， ，Xn 是总体 X 的样本，则可定义以下统计量．
（1）样本均值为
X
1 n
n i 1
Xi
，
（5-1）
它的观测值记为
x
1 n
n i 1
xi
．
数理统计的基础知识
数理统计的基本概念
1.2 参数与统计量
（2）样本方差为
S2 1 n n 1 i1
Xi X
2
1 n 1
n i 1
数理统计的基本概念
1.2 参数与统计量
由于样本具有二重性，统计量作为样本的函数也具有二重性，即 对一次具体的观察或试验，它们都是具体的数值，但当脱离具体的某 次观察或试验，样本是随机变量，因此统计量也是随机变量．
统计量是用来对总体分布参数进行估计或检验的，它包含了样本 中有关参数的信息，在数理统计中，根据不同的目的构造了许多不同 的统计量．
设 样 本 X1 ，X2 ， ，Xn 的 次 序 统 计 量 为
X (1) X (2)
X(n) ，对应的样本观测值为
x(1) x(2)
x(n) ，令
0 ，x x(1) ，
1 n
，x(1)
x x(2) ，
Fn
(x)
k
n
，x(k )
x x(k 1) ，
1，x x(n) ．
（5-6）
例 4 设总体服从泊松分布，容量为 10 的样本观测值如下： 2，1，4，3，5，6，4，8，4，3．
试构造样本的分布函数 F10 (x) ．
解 将样本的观测值由小到大排列为1 2 3 3 4 4 4 5 6 8 ，所以样本的频 率分布如表 5-1 所示．
设 X1 ，X2 ， ，Xn 是总体 X 的样本，则可定义以下统计量．
（1）样本均值为
X
1 n
n i 1
Xi
，
（5-1）
它的观测值记为
x
1 n
n i 1
xi
．
数理统计的基础知识
数理统计的基本概念
1.2 参数与统计量
（2）样本方差为
S2 1 n n 1 i1
Xi X
2
1 n 1
n i 1
数理统计的基本概念
1.2 参数与统计量
由于样本具有二重性，统计量作为样本的函数也具有二重性，即 对一次具体的观察或试验，它们都是具体的数值，但当脱离具体的某 次观察或试验，样本是随机变量，因此统计量也是随机变量．
统计量是用来对总体分布参数进行估计或检验的，它包含了样本 中有关参数的信息，在数理统计中，根据不同的目的构造了许多不同 的统计量．
设 样 本 X1 ，X2 ， ，Xn 的 次 序 统 计 量 为
X (1) X (2)
X(n) ，对应的样本观测值为
x(1) x(2)
x(n) ，令
0 ，x x(1) ，
1 n
，x(1)
x x(2) ，
Fn
(x)
k
n
，x(k )
x x(k 1) ，
1，x x(n) ．
（5-6）
数理统计全集ppt课件
ak
1 n
n i1
xik
由大数定律可知：
bk
1n ni1(xi
x)k
Ak
1n n i1
Xi k
依概率收敛于
E( X k )
.
例1. 从一批相同的电子元件中随机地抽出8个，测得使用
寿命（单位：小时）分别为：2300，2430，2580，2400，
2280，1960，2460，2000，试计算样本均值、样本方差及
n
证 明：设 χ2 X i2 X i ~N (0,1)i1,2,,n i 1 X1,X2,,Xn相互独立,则
E (X i)0 ,D (X i)1 , E (X i2) D (X i) E (X i)21,
E χ2 E n Xi2 n E（X i2） n i1 i1
.
E(Xi4)
1 x4ex22dx3 2π
ψ(x) Γ(Γn2(1)n1Γ 2n(2)n22)(n n1 2)(n n1 2x0)n211
1 x n1
n1n2 2
n2
x0 x0
.
f(x;n1,n2) n1 20
n2 n2 25
n2 10
o
x
.
注意：统计的三大分布的定义、基本性质在后面的
学习中经常用到，要牢记！！
4、上α分位点
例3.设总体X和Y相互独立，同服从 N(0,32 )
分布，而 X1，X2，…, X9 和 Y1，Y2，…, Y9 分别是来自X和Y的简单随机样本，求统计量
U X1X2 X9 的分布. Y12 Y22 Y92
解：Xi ~N(0,9)
9
Xi ~ N(0,81)
i1
9
Xi
i1 ~ N(0,1) 9
工程硕士 数理统计课件 第五讲(1)24页PPT
一、 矩估计法
用样本矩来估计总体矩,这种估计法称为矩估计法.
E ( X k ) x k f( x ;
1 ,
2 , L ,k ) d x
令 1 ni n1Xik=EXk k1,2,L
k阶 总 体 矩 ： EXk k1,2,L
假 设 总 体 X 的 前 k 阶 矩 存 在 ,
目 录 前一页 后一页 退 出
点估计
注意： 构 造 一 个 适 当 的 统 计 量 ˆ g ( X 1 , L ,X n ) ， 用 它 的 观 察
值 ˆ ( x 1 , L ,x n ) 来 估 计 未 知 参 数 。 估 计 量 是 统 计 量 ， 因 而 它 是 随 机 变 量 （ 一 维 或 多 维 ） ； 而 估 计 值 则 是 一 维 或 多 维 数 组 .
X为连续型 这 是 一 个 包 含 k 个 未 知 参 数 1 ,2 ,L ,k 的 方 程 组 ,
X为离散型 参数为的泊松分布 未， 知，有以下样本值；
试估计参 （数用矩法）解 。出 其 中 1, 2,L, k.
k阶 总 体 矩 ： EXk k1,2,L
理 论 依 据 ： 辛 钦 大 数 定 律
特 别 ， 若 X ~ N (,2 ) , ,2 未 知 ； 称为矩估计量；
$ 1 $ 1 (x 1 ,L ,x n );$ 2 $ 2 (x 1 ,L ,x n )称为矩估计值。
例 1 设某炸药厂一天中发生着火现象的次数X服从
矩估计
是一种有 旦用 得的 到形 了 x1， 式 样 ，x， n本 ，一 观测
矩法求估计量的步骤： X1,,Xn为来自X总 的体 样. 本矩估计
(一 ) 写 出 似 然 函 数
数理统计课件全集
国产轿车每公里耗油 量的全体就是总体
类似地，在研究某地区中学生的营养状况时， 若关心的数量指标是身高和体重，我们用X和Y分 别表示身高和体重，那么此总体就可用二维随机变 量(X,Y) 来表示，而每个学生的身高和体重就是个 体.
二、样本 简单随机样本
1）抽样和样本
为推断总体分布及各种特征，按一定规则从总体 中抽取若干个体进行观察试验，以获得有关总体的 信息，这一抽取过程称为 “抽样”，所抽取的部分 个体称为样本. 样本中所包含的个体数目称为样本 容量.
y2 e 2
0
y0 其它
其中
Γ
(
n 2
)
是函数 Γ(s)etts1d（ t s0） 在 0
s
n 2
处的值.
2 分布的概率密度图形如下：
f(y)
0.5 0.4
n=1
0.3
0.2 n=4
0.1
n=10
0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 x
显然 χ 2 分布的概率密度图形随自由度的不同而
第一节 基本概念
描述统计学
数
理
对随机现象进行观测、试验，以取得有
统
代表性的观测值
计 的
推断统计学
分
对已取得的观测值进行整理、分析,作
类
出推断、决策,从而找出所研究的对象的
规律性
一、总体和个体 二、样本 简单随机样本
一、总体和个体
一个统计问题总有它明确的研究对象. 研究对象的全体称为总体(母体)， 组成总体的每个元素称为个体.
统计是从手中已有的资料 — 样本值，去推断 总体的情况 — 总体分布F(x)的性质.
样本是联系二者的桥梁
总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是 样本取到样本值的规律，因而可以由样本值去推断 总体.
类似地，在研究某地区中学生的营养状况时， 若关心的数量指标是身高和体重，我们用X和Y分 别表示身高和体重，那么此总体就可用二维随机变 量(X,Y) 来表示，而每个学生的身高和体重就是个 体.
二、样本 简单随机样本
1）抽样和样本
为推断总体分布及各种特征，按一定规则从总体 中抽取若干个体进行观察试验，以获得有关总体的 信息，这一抽取过程称为 “抽样”，所抽取的部分 个体称为样本. 样本中所包含的个体数目称为样本 容量.
y2 e 2
0
y0 其它
其中
Γ
(
n 2
)
是函数 Γ(s)etts1d（ t s0） 在 0
s
n 2
处的值.
2 分布的概率密度图形如下：
f(y)
0.5 0.4
n=1
0.3
0.2 n=4
0.1
n=10
0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 x
显然 χ 2 分布的概率密度图形随自由度的不同而
第一节 基本概念
描述统计学
数
理
对随机现象进行观测、试验，以取得有
统
代表性的观测值
计 的
推断统计学
分
对已取得的观测值进行整理、分析,作
类
出推断、决策,从而找出所研究的对象的
规律性
一、总体和个体 二、样本 简单随机样本
一、总体和个体
一个统计问题总有它明确的研究对象. 研究对象的全体称为总体(母体)， 组成总体的每个元素称为个体.
统计是从手中已有的资料 — 样本值，去推断 总体的情况 — 总体分布F(x)的性质.
样本是联系二者的桥梁
总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是 样本取到样本值的规律，因而可以由样本值去推断 总体.
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对 于 给 定 的 1 ， 查 2 分 布 表 ， 得 1 与 2 ， 使 得 ：
P {122}1，
虽 然 2 分 布 密 度 函 数 无 对 称 性 ， 我 们 仍 采 用 使 概 率 对 称 的 区 间 ：
P {21 } P {22 }/2 ，
查2(n1)分布,得 表
1 2 (n 1)
而选取样本T函数 X： ~t(n1).
S/ n
由 t分布表P 的 {T | | 构 }造 1， 及可知：
即P{X}1，
S/ n t1 (n1),
2
由此得： -t1 2(n1)SX /-nt1 2(n1)
推得，置信区间为：
S
S
[X -t1(n1) 2
n,Xt1 2(n1)
] n
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区间[ ， ]是一个随机区间；
称 为 置 信 水 平 . 1给 出 该 区 间 含 真 值 的 可 靠 程 度 .
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例如： 5若 % ，即置1信 度 9为 % 5 .
这时重复 10次 抽 0 ， 样则在10得 个 0到 区的 间中
真值的 9个 5有左右，真 不值 包的 5含 个有 左. 右
例2 用仪器测量温度，重复测量7次，测得温度 分别为：120,113.4,111.2,114.5,112.0,112.9,113.6度;
设温度 X~N(,2)。
在置信 9% 5 度 时为 ，试求温 的 度所 的在 均范 值
解： 已知 n7,0.05. 由样本值算得：
x11.8,2s21.2.9
查 表 得 t 0 . 9 7 5 ( 6 ) 2 . 4 4 7 . 由 此 得 置 信 区 间 ：
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例3 设某机床加工的零件长度 X~N(,2)，
今抽查16个零件，测得长度（单位：mm）如下：
12.15, 12.12, 12.01, 12.08, 12.09, 12.16, 12.03, 12.01, 12.06, 12.13, 12.07, 12.11, 12.08, 12.01, 12.03, 12.06,
1.29
1.29
11.822.447 , 11.822.447
7
7
11.71,511.835
[X -t1 2(n1 )S n,Xt1 2(n1 )S n]
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（2）方差的区间估计
设 X1,,Xn为总 X~N 体 (,2)的一个 . 样本
样本函 2数 (n ： 12)S2 ~2(n1).
2
2 1
(n1)
2
2
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由此得： 2 2(n1)(n 12)S2122(n1)
推得：(12n(1n)S21)2 (n2(n1)S12)
2
2
这就是说，置信区间为：
1 2 (n 1)
2
2
2 1
(n1)
2
(n 1)
2 1
(n
2
S
2
1)
,
(n
2
2
1)S 2 (n 1)
于是可以认为未 就 知落 参在 数这个区间内
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定义：设总 X 含 体 一待 ； 估 对 参 X 于 1, 数 ,X 样 n, 本
找出统 X 1 ， 计 ， 量 X n 与 X 1 ， ， X n
使P { 得 ： } 1 , (0 1 )
称区 [， 间 ]为 的置信 1的 度置 为信 . 区
x1(111 52 011 )0115 9
查 正 态 分 布 表 得 临 界 值 z 0 . 9 7 5 1 . 9 6 ， 由 此 得 置 信 区 间 ：
1151.967/ 9,1151.967/ 9
110.43,119.57
[x-z1 2
n0 ,xz12
0 ]
n
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2) 方差未知时 由于方差 2未知，
(3)从不等 a式 Z(X1,Xn;)b得到等价的不 ,其中 （X1,Xn）， （X1,Xn）
都是统计 . 量
(4)随机[， 区 ]是 间置1 信 的 度置 为信 . 区
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二、一个正态总体未知参数的置信区间
（1） 数学期望的区间估计
设 X1,,Xn为总 X~体 N(,2)的一个 , 样 在置1 信 下 度 ，来 的确 置定 信 [1， 区 2].间
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例1 已知幼儿身高服从正态分布，现从5~6岁的
幼儿中随机地抽查了9人，其高度分别为：
115,120,131,115,109,115,115,105,110（cm）;
假设标 0准 7，差 置信 9% 5度 ；为
试求总体的 均置 值信.区间
解： 已知 0 7,n9,0.0.5由样本值算得
通常，采用95%的置信度， 有时也取99% 或90%.
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求置信区间的步骤：
(1)找 一 个 样Z本 Z(的 X1,函 ,Xn;数 ),
它 包 含 待估 ，参 而数 不 包 含 其数它 .且未 知 Z的 分 布 是 已 知赖的于，未不知 依 . 参 数
(2)对给定的 1置 ，信 确度 定 a,b,使 常数 P{aZb}1.
1)方差已知时
设已知方 2 差 02, 构造样本的 U函 X数 ~ N(0,1).
0/ n
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由 正 态 分 布 表 的 构 造 ， 由 P { | U | } 1 ， 可 知 ：
查 正 态 分 布 表 () 1 /2 , z,得 ：
1
-z1 2
(X-) 0n zFra bibliotek 22
推得，随机区间：[X-z12n0 ,Xz12n0]
是的置信1度 的 为置信. 区间
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说明： （1）置信区间不唯一，在置信度固定的条件下， 置信区间越短，估计精度越高. （2）在置信度固定的条件下，n 越大，置信区间 越短，估计精度越高. （3）在样本量 n 固定时，置信度越大，置信区间 越长，估计精度越低.
一、 置信区间与置信度
所谓区间估计就是两 构个 造统计量
X 1 ， ， X n 与 X 1 ， ， X n
由它们组成一个区间
X1，，Xn，X1，，Xn
对 于 一 个得 具到 体样 问x 本 1 题 ， 观 ， xn测 当
后 ， 我 们体 便的 得区 到间 一： 个 具
x1，，xn，x1，，xn
P {122}1，
虽 然 2 分 布 密 度 函 数 无 对 称 性 ， 我 们 仍 采 用 使 概 率 对 称 的 区 间 ：
P {21 } P {22 }/2 ，
查2(n1)分布,得 表
1 2 (n 1)
而选取样本T函数 X： ~t(n1).
S/ n
由 t分布表P 的 {T | | 构 }造 1， 及可知：
即P{X}1，
S/ n t1 (n1),
2
由此得： -t1 2(n1)SX /-nt1 2(n1)
推得，置信区间为：
S
S
[X -t1(n1) 2
n,Xt1 2(n1)
] n
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区间[ ， ]是一个随机区间；
称 为 置 信 水 平 . 1给 出 该 区 间 含 真 值 的 可 靠 程 度 .
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例如： 5若 % ，即置1信 度 9为 % 5 .
这时重复 10次 抽 0 ， 样则在10得 个 0到 区的 间中
真值的 9个 5有左右，真 不值 包的 5含 个有 左. 右
例2 用仪器测量温度，重复测量7次，测得温度 分别为：120,113.4,111.2,114.5,112.0,112.9,113.6度;
设温度 X~N(,2)。
在置信 9% 5 度 时为 ，试求温 的 度所 的在 均范 值
解： 已知 n7,0.05. 由样本值算得：
x11.8,2s21.2.9
查 表 得 t 0 . 9 7 5 ( 6 ) 2 . 4 4 7 . 由 此 得 置 信 区 间 ：
目 录 前一页 后一页 退 出
例3 设某机床加工的零件长度 X~N(,2)，
今抽查16个零件，测得长度（单位：mm）如下：
12.15, 12.12, 12.01, 12.08, 12.09, 12.16, 12.03, 12.01, 12.06, 12.13, 12.07, 12.11, 12.08, 12.01, 12.03, 12.06,
1.29
1.29
11.822.447 , 11.822.447
7
7
11.71,511.835
[X -t1 2(n1 )S n,Xt1 2(n1 )S n]
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（2）方差的区间估计
设 X1,,Xn为总 X~N 体 (,2)的一个 . 样本
样本函 2数 (n ： 12)S2 ~2(n1).
2
2 1
(n1)
2
2
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由此得： 2 2(n1)(n 12)S2122(n1)
推得：(12n(1n)S21)2 (n2(n1)S12)
2
2
这就是说，置信区间为：
1 2 (n 1)
2
2
2 1
(n1)
2
(n 1)
2 1
(n
2
S
2
1)
,
(n
2
2
1)S 2 (n 1)
于是可以认为未 就 知落 参在 数这个区间内
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定义：设总 X 含 体 一待 ； 估 对 参 X 于 1, 数 ,X 样 n, 本
找出统 X 1 ， 计 ， 量 X n 与 X 1 ， ， X n
使P { 得 ： } 1 , (0 1 )
称区 [， 间 ]为 的置信 1的 度置 为信 . 区
x1(111 52 011 )0115 9
查 正 态 分 布 表 得 临 界 值 z 0 . 9 7 5 1 . 9 6 ， 由 此 得 置 信 区 间 ：
1151.967/ 9,1151.967/ 9
110.43,119.57
[x-z1 2
n0 ,xz12
0 ]
n
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2) 方差未知时 由于方差 2未知，
(3)从不等 a式 Z(X1,Xn;)b得到等价的不 ,其中 （X1,Xn）， （X1,Xn）
都是统计 . 量
(4)随机[， 区 ]是 间置1 信 的 度置 为信 . 区
目 录 前一页 后一页 退 出
二、一个正态总体未知参数的置信区间
（1） 数学期望的区间估计
设 X1,,Xn为总 X~体 N(,2)的一个 , 样 在置1 信 下 度 ，来 的确 置定 信 [1， 区 2].间
目 录 前一页 后一页 退 出
例1 已知幼儿身高服从正态分布，现从5~6岁的
幼儿中随机地抽查了9人，其高度分别为：
115,120,131,115,109,115,115,105,110（cm）;
假设标 0准 7，差 置信 9% 5度 ；为
试求总体的 均置 值信.区间
解： 已知 0 7,n9,0.0.5由样本值算得
通常，采用95%的置信度， 有时也取99% 或90%.
目 录 前一页 后一页 退 出
求置信区间的步骤：
(1)找 一 个 样Z本 Z(的 X1,函 ,Xn;数 ),
它 包 含 待估 ，参 而数 不 包 含 其数它 .且未 知 Z的 分 布 是 已 知赖的于，未不知 依 . 参 数
(2)对给定的 1置 ，信 确度 定 a,b,使 常数 P{aZb}1.
1)方差已知时
设已知方 2 差 02, 构造样本的 U函 X数 ~ N(0,1).
0/ n
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由 正 态 分 布 表 的 构 造 ， 由 P { | U | } 1 ， 可 知 ：
查 正 态 分 布 表 () 1 /2 , z,得 ：
1
-z1 2
(X-) 0n zFra bibliotek 22
推得，随机区间：[X-z12n0 ,Xz12n0]
是的置信1度 的 为置信. 区间
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说明： （1）置信区间不唯一，在置信度固定的条件下， 置信区间越短，估计精度越高. （2）在置信度固定的条件下，n 越大，置信区间 越短，估计精度越高. （3）在样本量 n 固定时，置信度越大，置信区间 越长，估计精度越低.
一、 置信区间与置信度
所谓区间估计就是两 构个 造统计量
X 1 ， ， X n 与 X 1 ， ， X n
由它们组成一个区间
X1，，Xn，X1，，Xn
对 于 一 个得 具到 体样 问x 本 1 题 ， 观 ， xn测 当
后 ， 我 们体 便的 得区 到间 一： 个 具
x1，，xn，x1，，xn