【备战2014】高考数学 高频考点归类分析 传统概率的计算(真题为例)
高考数学 高频考点归类分析 传统概率的计算(真题为例)
传统概率的计算典型例题：例1. （2012年北京市理5分）设不等式组0x 20y 2≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点。
则此点到坐标原点的距离大于2的概率是【 】 A.4π B. 22π- C. 6π D. 44π-【答案】 D 。
【考点】几何概率。
【解析】不等式组0x 20y 2≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域D 是一个边长为2的正方形，如画图可知，区域内到坐标原点的距离大于2的点为红色区域，它的面积为正方形的面积减四分之一圆的面积：22122=44ππ-⋅⋅-。
∴此点到坐标原点的距离大于2的概率是44π-。
故选D 。
例2. （2012年安徽省文5分）袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于【 】 ()A15 ()B 25 ()C 35 ()D 45【答案】B 。
【考点】概率。
【解析】1个红球，2个白球和3个黑球记为红1，白1，白2，黑1，黑2，黑3。
画树状图如下：从袋中任取两球，共有15种等可能结果，满足两球颜色为一白一黑有6种， ∴概率等于62155=。
故选B 。
例3. （2012年广东省理5分）从概率位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是【 】 A.49 B. 13 C. 29 D. 19【答案】D 。
【考点】分类讨论的思想，概率。
【解析】由题意知，个位数与十位数应该一奇一偶。
①个位数为奇数，十位数为偶数共有5×5=25个两位数； ②个位数为偶数，十位数为奇数共有5×4=20个两位数。
两类共有25+20=45个数，其中个位数为0，十位数为奇数的有10,30,50,70,90共5个数。
∴概率位数为0的概率是545=19。
故选D 。
例4. （2012年湖北省理5分）如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆。
2014年高考数学(理)二轮专题复习课件：专题六概率(精)
专题六概率与统计第二讲概率专题六概率与统计体验真题世:遞;考向试做頁题.体验鬲考考冋分析.解岀聞题真题试做A ----------------------------------------------1. （2013•高考课标全国卷I）从1, 2, 3, 4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（B ）【解析】从1, 2, 3, 4中任取2个不同的数，有(1, 2), (1,3) , (1, 4), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3,4) , (4, 1), (4, 2), (4, 3),共12种情形，而满足条件“2 个数之差的绝对值为2”的只有(1, 3), (2, 4), (3, 1), (4,2),共4种情形，所以取出的2个数之差的绝对值为2的概率为詔专题六概率与统计2. (2013-高考福建卷)利用计算机产生0〜1之［可的均匀随机数a,则事件—发生的概率为_£_・【解析】已知事件“3a-l<(V f发生时，0<«<|,取区间长度为测度，由几何概型得其概率为3. (2013-高考辽宁卷)现有6道题，其中4道甲类题，2道 乙类题，张同学从中任取2道题解答.试求：(1)所取的2道题都是甲类题的概率；⑵所取的2道题不是同一类题的概率.专题六概率与统计题依次编号为5, 6•任取2道题，基本事件为：{1, 2}, {1,3}, {1, 4}, {1, 5}, {1, 6}, {2, 3}, {2, 4}, {2, 5}, {2, 6}, {3, 4}, {3, 5}, {3, 6}, {4, 5}, {4, 6}, {5, 6},共 15个，而且这些基本事件的出现是等可能的•用A 表示“都 是甲类题”这一事件，则A 包含的基本事件有{1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4},共 6 个，所以 P(A) 6 2=15=5-(2)基本事件同⑴，用B 表示“不是同一类题”这一事件，则B 包含的基本事件有{1, 5}, {1, 6}, {2, 5}, {2, 6},x{3, 5}, {3, 6}, {4, 5}, {4, 6},共 8个,所以 阳)=话【解】⑴将4道甲类题依次编号为1, 2,3, 4； 2道乙类考情分析》 ----------------------------------------------- 古典槪型及几何概型为高考的重点内容，难度为中、低 档，其中几何概型以“面积型”和“长度型”为主，古 典概型常与互斥事件、对立事件相结合命题；近年来概 率与统计结合命题多出现在解答题中.专题六概率与统计考点一古典概型古典概型是每年必考内容，试题借助一定的背景材料考 查，近几年也常与抽样方法、统计等内容结合出现在解 答题中，试题难度中等或稍易. 例① （2013・高考山东卷）某小组共有4, B, C, D, E 五 位同学，他们的身高（单位：米）及体重指标（单位：千克/ 米2）如下表所示： （1） 从该小组身高低于1・80的同学中任选2人，求选到的2 人身高都在1・78以下的概率；（2） 从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在 1・70以上且体重指标都在[18・5, 23・9）中的概率.AB C DE I身高1.69 1.73 1.75 1.79 1.82典例展示坯准高考.紧扣热点体重指标19-225・118・523320.91专题六概率与统计【思路点拨】⑴身高低于1・80的同学共有4人，因此所有可能的基本事件总数是指从4人中选取2人；（2）所有可能的基本事件总数是从5人中选取2人，而符合条件的基本事件需要同时满足身高在1・70以上且体重指标都在[18.5, 23.9）内专题六概率与统计【解】(1)从身高低于1・80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A, B), (A, C), (A, D), (B, C), (B, D), (C, D),共6 个.由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的.选到的2人身高都在1・78以下的事件有(A, B), (A, C), (B, C),共3 个.因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为P=^=|.专题六概率与统计(2)从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有(A, B), (A, C), (A, D), (.4, E)9 (B, C), (B,D), (B, E), (C, D), (C, E), (D, E),共10 个.由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的.选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在［18・5, 23.9) 中的事件有(C, D), (C, E), (D, E),共3个.因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在［18.5, 23・9)中的概率为尸=样.■名师点评.专题六概率与统计求解古典概型问题的三个步骤：(1)判断本次试验的结果是否是等可能的，设出所求的事件为A； (2)分别计算基本事件的总个数“和所求的事件A 所包含的基本事件个数加；(3)利用古典概型的概率公式P(A)=^求出事件A的概率.专题六概率与统计强化训练1袋内装有6个球，这些球依次被编号为1、2、3、…、6,设编号为〃的球重〃2—6〃 + 12(单位：克)，这些球等可能地从袋里取出(不受重量、编号的影响).(1)从袋中任意取出一个球，求其重量大于其编号的概率;(2)如果不放回地任意取出2个球，求它们重量相等的概率.专题六概率与统计栏目 导引【解】（1）若编号为/I 的球的重量大于其编号, 则 n 2—6〃 + 12＞〃，即 n 2—7〃+12＞0・ 解得或〃＞4. 所以 n=l, 2, 5, 6.所以从袋中任意取出一个球，其重量大于其编号的概率4_26=3- （2）不放回地任意取出2个球，这2个球编号的所有可能情形为:3, 4； 3, 5； 3, 6；5, 6.共有15种可能的情形.设编号分别为加与n （/n, nG{l, 2, 3, 4, 5, 6},且 球的重量相等，则有ni 2—6〃?+ 12=n 2—6/1+12,即有（加一一6）=0.所以m = ii （舍去），或/n + w = 6.满足加+ 〃 = 6的情形为1, 5； 2, 4,共2种情形. 故所求事件的概率为春. 考点二几何概型栏目导引专题六概率与统计考纲对几何概型的要求不高，因此对几何概型的考査难度不大，多与平面区域、空间几何体、函数等结合命题.专题六概率与统计例②：2013-高考湖北卷）在区间［一2, 4］上随机地取一个数工，若x满足IxlW加的概率为辛，则m= 3・【思路点拨】根据几何概型，在线性问题中用长度之比表示概率，求加的值.【解析】由lx IW 加，得一〃2 Wx W tn.当mW2时，由题意得警=辛，解得加=2・5,矛盾，舍去.即m 的值为3.专题六概率与统计■名师点评.利用几何概型求概率时，要选择好角度，从分析基本事 件的“等可能性”入手，将每个基本事件理解为在某个 特定区域内随机地取一点，而某个随当2sv4时,由题意得匚戸^解得m = 3.机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.强化训练2 （2013-成都市诊断性检测）已知集合｛仗, r2x+y—4W0刃卜x+y^0｝表示的平面区域为Q,若在区域Q内任取一x—y^O点P（x9y）9则点尸的坐标满足不等式x2+y2^2的概率为（A ）3兀■ 3兀A 广32B16< 7C7t「—v32D16专题六概率与统计【解析】作出不等式组4^04，x+y^0表示的平面区域，如图三角形ABO,且有4（；, x—y^O扌），B（4,—4）,所以SAAfio=5x^3^x4V^=y,点P 的坐标满足不等式x2+y2^2的面积S扇形=扣7T（V2）2=y,_7T所以所求概率尸=石=亍x乔=-^~・T考点三互斥事件、对立事件的概率互斥事件、对立事件的概率常借助古典概型来考査，以 实际牛产、牛活为背景.命制试题，解题的关键是遇到复杂的事件时可分解为几个互斥事件的和，或利用对立 事件求复杂事件的概率.专题六概率与统计例③ 有两枚大小相同、质地均匀的正四面体玩具，每个 玩具的各个面上分别写着数字1, 2, 3, 5•同时投掷这两枚 玩具一次，记加为两个朝下的面上的数字之和.(1) 求事件“加不小于6”的概率；(2) “加为奇数”的概率和“加为偶数”的概率相等吗？为 什么？ 【思路点拨】(1)利用列举法求解.(2)利用互斥事“加为偶数”的概率.【解】因玩具是均匀的，所以玩具各面朝下的可能性相等, 出现的可能情况有(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 5), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 5), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 5),(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 5)共16种.⑴事件“加不小于6”包含其中(1, 5), (2, 5), (3, 5), (3, 3), (5, 1), (5,2), (5, 3),(5, 5)共8 个基本事件，所以卩(心6)=磊=舟・专题六概率与统计(2) “加为奇数”的概率和“加为偶数”的概率不相等. 因为m为奇数的概率为P(m =3)+P(m=5)+P(m= 7)3 5加为偶数的概率为1 一討盍所以这两个概率值不相等.’名师点评.求解互斥事件、对立事件的概率问题时，一要先利用条件判断所给的事件是互斥事件，还是对立事件；二要将所求事件的概率转化为互斥事件、对立事件的概率；三要准确利用互斥事件、对立事件的概率公式去计算所求事件的概率.专题六概率与统计强化训练3 有编号为1, 2, 3的三个白球，编号为4,5, 6的三个黑球，这六个球除编号和颜色外完全相同, 现从中任意取出两个球.(1) 求取得的两个球颜色相同的概率；(2) 求取得的两个球颜色不相同的概率.【解】从六个球中取出两个球的基本事件:(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 3), (2, 4),(2, 5), (2, 6), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 5), (4, 6), (5, 6),共计15个基本事件.(1)记事件4为取出的两个球是白球，则这个事件包含的基本事件的是(1,2), (1, 3), (2, 3),共计3个基本事件，故P⑷=咅=寺记取出的两个球是黑球为事件同理可得P(B)=|.专题六概率与统计记事件c为取出的两个球的颜色相同，则C=A+B9且A,B互斥,根据互斥事件的概率加法公式，得P(C)=P(A + B)2= P(A)+P(B)=g・(2)记事件。
高考概率知识点总结
高考概率知识点总结高考概率是高考数学中的一个重要知识点，它是数学中的一个分支，研究事件发生的可能性及其数量关系。
在高中数学课程中，概率以概念的形式出现，而高考则要求学生具备对概率进行运算和推理的能力。
下面我将对高考概率知识点进行总结。
1. 概率的基本概念概率是用数字表示事件发生的可能性大小的数值，其取值范围为0到1之间。
0表示不可能事件，1表示必然事件。
事件的概率等于有利的结果数目与所有结果数目之比。
2. 概率的计算计算概率有两种基本的方法，分别是古典概率和频率概率。
古典概率适用于条件相同且有限个数的事件，其计算公式为：P(A) = n(A) / n(S)，其中P(A)表示事件A的概率，n(A)表示事件A发生的次数，n(S)表示样本空间中的总次数。
频率概率适用于统计实际发生次数，其计算公式为：P(A) =n(A) / N，其中P(A)表示事件A的概率，n(A)表示事件A发生的次数，N表示试验的总次数。
3. 互斥事件和对立事件互斥事件指的是两个事件不可能同时发生，即它们的交集为空。
计算互斥事件的概率时，可通过概率的加法法则进行计算：P(A∪B) = P(A) + P(B)。
对立事件指的是两个事件中至少有一个发生的情况，即它们的交集不为空。
计算对立事件的概率时，可通过概率的减法法则进行计算：P(A') = 1 - P(A)。
4. 事件的独立性和相关性独立事件指的是两个事件发生与否相互独立，即一个事件的发生不受另一个事件的影响。
对于独立事件来说，两个事件的概率可以互相相乘：P(A∩B) = P(A) × P(B)。
相关事件指的是两个事件发生与否存在一定关联，即一个事件的发生会影响另一个事件的概率。
对于相关事件来说，要计算事件的交集概率时，需要考虑条件概率：P(A∩B) = P(A) ×P(B|A)。
5. 抽样与排列组合在概率的计算中，经常会遇到抽样和排列组合的问题。
抽样问题指的是从一组对象中随机地选取若干个对象，排列组合问题指的是对已知对象进行不同排列的方式。
【备战】高考数学 高频考点归类分析 程序框图(真题为例)
程序框图典型例题：例1. （2012年全国课标卷理5分）如果执行下边的程序框图，输入正整数(2)N N ≥和实数12,,...,n a a a ，输出,A B ，则【 】()A A B +为12,,...,n a a a 的和 ()B 2A B+为12,,...,n a a a 的算术平均数 ()C A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最大的数和最小的数 ()D A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最小的数和最大的数【答案】C 。
【考点】程序框图的结构。
【解析】根据程序框图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是：A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最大的数和最小的数。
故选C 。
例2. （2012年北京市理5分）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为【 】A. 2 B .4 C.8 D. 16【答案】C。
【考点】程序框图。
【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用，程序的运行过程中各变量值变化如下表：-时，输出x 例3. （2012年天津市理5分）阅读下边的程序框图，运行相应的程序，当输入x的值为25的值为【】-（Ｂ）1（Ｃ）3（Ｄ）9（A）1【答案】C。
【考点】程序框图。
【分析】根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中各变量值变化如下表：例4. （2012年天津市文5分）阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为【】（A）8 （B）18 （C）26 （D）80【答案】C。
【考点】程序框图。
【分析】根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中各变量值变化如下表：例5. （2012年安徽省理5分）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是【】C5()D8()A3()B4()【答案】B。
【考点】程序框图的结构。
【解析】根据程序框图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是计算满x≤的最小项数：足4根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中各变量值变化如下表：y。
高考数学概率问题知识点
高考数学概率问题知识点概率作为数学中的一个重要分支，是生活中经常用到的数学知识。
在高考数学中，概率问题经常出现并占据着不少分值。
因此，了解概率问题的知识点，掌握解题方法，对于高考数学取得好成绩具有重要意义。
本文将从基础概率、条件概率、独立事件、排列组合等几个方面来介绍高考数学中的概率问题知识点。
概率是研究随机现象发生的可能性的数学分支。
其中，基础概率是概率问题的基础。
基础概率指的是在一次随机试验中，事件 A 发生的概率，常用公式为 P(A) = N(A)/N(S)，其中 P(A) 代表事件 A 发生的概率，N(A) 表示事件 A 包含的基本事件数目，N(S) 表示样本空间中的基本事件数目。
在高考数学中，基础概率题目往往比较简单，但是需要考生清楚地理解题目所给条件，正确运用概率定义和公式进行计算。
条件概率是指在事件 B 已经发生的条件下，事件 A 发生的概率，常用公式表示为P(A|B) = P(A∩B)/P(B)。
其中 P(A|B) 代表在事件 B 发生的条件下事件 A 发生的概率，P(A∩B) 表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率，P(B) 表示事件 B 发生的概率。
条件概率题目相对来说难度较大，需要考生熟练使用条件概率公式，理解题目中给定的条件，进行复杂计算。
独立事件是指事件 A 和事件 B 的发生与否互不影响的事件。
如果两个事件 A 和 B 是独立事件，那么P(A∩B) = P(A)P(B) 成立。
高考数学中独立事件的题目较为常见，要求考生熟练使用独立事件的公式进行计算。
在解题时，需要注意题目中是否明确给出事件 A 和事件 B 为独立事件，若没有明确给出，则需要通过题目所给条件来判断。
排列组合是概率问题中另一个重要的知识点。
排列是从 n 个不同元素中取出 m 个元素，按照一定顺序进行排列，记为 A(n,m)，计算公式为 A(n,m) = n!/(n-m)!。
组合是从 n 个不同元素中取出 m 个元素，不考虑顺序，记为 C(n,m)，计算公式为 C(n,m) = n! / [m!(n-m)!]。
(全国通用)2014届高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)第十章 算法、统计与概率第4课时 古典概型(1)
《最高考系列 高考总复习》2014届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）第十章 算法、统计与概率第4课时 古典概型(1)1. (必修3P 94练习3改编)下列事件：①若x∈R ，则x 2<0；②没有水分，种子不会发芽；③抛掷一枚均匀的硬币，正面向上；④若两平面α∥β，m Ìα且n Ìβ，则m∥n.其中________是必然事件， ________是不可能事件，________是随机事件． 答案：② ① ③④解析：对"x ∈R ，有x 2≥0，①是不可能事件；有水分，种子才会发芽，②是必然事件；抛掷一枚均匀的硬币，“正面向上”既可能发生也可能不发生，③是随机事件；若两平面α∥β，m Ìα且n Ìβ，则m∥n 或异面，④是随机事件．2. 甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是________．答案：12解析：(甲送给丙、乙送给丁)、(甲送给丁，乙送给丙)、(甲、乙都送给丙)、(甲、乙都送给丁)共四种情况，其中甲、乙将贺年卡送给同一人的情况有两种，所以甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是P ＝24＝12.3. (必修3P 103练习3改编)袋中有1个白球，2个黄球，先从中摸出一球，再从剩下的球中摸出一球，两次都是黄球的概率为________．答案：13解析：将3个球编号，记1个白球1号，2个黄球分别为2号、3号，则先后两次摸出两球共有(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，3)，(3，1)，(3，2)共6种等可能结果，其中两次都是黄球的有(2，3)，(3，2)两种结果，故两次都是黄球的概率为26＝13.4. 下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22，30)内的概率为________．答案：0.4解析：由茎叶图可知数据落在区间[22，30)的频数为4，故数据落在[22，30)的频率为410＝0.4，故数据落在区间[22，30)内的概率为0.4. 5. (必修3P 103练习5改编)已知某拍卖行组织拍卖的6幅名画中，有2幅是赝品．某人在这次拍卖中随机买入了两幅画，则此人买入的两幅画中恰有一幅画是赝品的概率为________．答案：815解析：将6幅名画编号为1，2，3，…，6，不妨设其中的5，6号是赝品．某人在这次拍卖中随机买入了两幅画有{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{1，6}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{2，6}，{3，4}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，{5，6}，共15个基本事件，其中买入的两幅画中恰有一幅画是赝品有{1，5}，{1，6}，{2，5}，{2，6}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}等8个基本事件，故所求的概率为815.1. 事件(1) 基本事件：在一次随机试验中可能出现的每一个基本结果．(2) 等可能基本事件：在一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件．2. 古典概型的特点(1) 所有的基本事件只有有限个．(2) 每个基本事件的发生都是等可能的． 3. 古典概型的计算公式如果一次试验的等可能基本事件共有n 个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是1n ；如果某个事件A 包含了其中m 个等可能基本事件，那么事件A 发生的概率P(A)＝mn ，即P(A)＝事件A 包含的基本事件数试验的基本事件总数.[备课札记]题型1 随机事件的频率与概率例1 (必修3P 91习题3改编)某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如下表所示：(1) 计算表中击中10环的各个频率；(2) 这位射击运动员射击一次，击中10环的概率为多少？解：(1) 击中10环的频率依次为0.8，0.95，0.88，0.92，0.89，0.904. (2) 这位射击运动员射击一次，击中10环的概率约是0.9. 备选变式（教师专享）某篮球运动员在最近几场大赛中罚球投篮的结果如下：(1) 计算表中进球的频率；(2) 这位运动员投篮一次，进球的概率是多少？解：(1) 由公式可计算出每场比赛该运动员罚球进球的频率依次为68＝34＝0.75，810＝45＝0.8，912＝34＝0.75，79≈0.78，710，1216＝34＝0.75.(2) 由(1)知，每场比赛进球的频率虽然不同，但频率总是在34的附近摆动，故可知该运动员进球的概率为34.题型2 简单的古典概型问题例2 袋内装有6个球，这些球依次被编号为1，2，3，…，6，设编号为n 的球质量为n 2－6n ＋12(单位：g)，如果从这些球中不放回的任意取出2个球(不受重量、编号的影响)，求取出的两球质量相等的概率．解：(解法1)不放回的任意取出2个球可理解为先后取出两球，若记两次取出的球编号为有序数对(m ，n)，其中m∈{1，2，3，4，5，6}，n ∈{1，2，3，4，5，6}，由于第一次取出的球有6种等可能结果，且对每一种结果，第二次都有5种等可能的结果，故共有6×5＝30个基本事件(可用坐标法表示)．设编号分别为m 与n(m ，n ∈{1，2，3，4，5，6}，且m≠n)球的重量相等，则有m 2－6m ＋12＝n 2－6n ＋12，即有(m －n)(m ＋n －6)＝0.∴ m＝n(舍去)或m ＋n ＝6.满足m ＋n ＝6的情形为(1，5)，(5，1)，(2，4)，(4，2)，共4种情形．故所求事件的概率为430＝215.(解法2)不放回的任意取出2个球也可理解为无序地一起取出两球，则取出的两球的序号集合为{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{1，6}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{2，6}，{3，4}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，{5，6}，共15种．设编号分别为m与n(m，n ∈{1，2，3，4，5，6}，且m≠n)球的重量相等，则有m2－6m＋12＝n2－6n＋12，即有(m－n)(m＋n－6)＝0.∴ m＝n(舍去)或m＋n＝6.满足m＋n＝6的情形为(1，5)，(2，4)，共2种情形．故所求事件的概率为2 15 .变式训练在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较．在试制某种洗涤剂时，需要选用两种不同的添加剂．现有芳香度分别为1，2，3，4，5，6的六种添加剂可供选用．根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验．用X表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和．求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于6的概率．解：(解法1)(有序模式)设试验中先取出x，再取出y(x，y＝1，2，3，4，5，6)，试验结果记为(x，y)，则基本事件列举有：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，…，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，共30种结果，事件X结果有(1，5)，(2，4)，(4，2)，(5，1)，故P(X)＝430＝215.(解法2)(无序模式)设任取两种添加剂记为(x，y)(x，y＝1，2，…，6)，基本事件有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，…，(5，6)共15种．事件X＝6取法有(1，5)，(2，4)，故P(X)＝215.题型3 古典概型与统计的综合例3(2013·天津)某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S＝x＋y＋z 评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．先从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：(1) 利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；(2) 在该样品的一等品中，随机抽取两件产品，①用产品编号列出所有可能的结果；②设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B 发生的概率．解：(1) 计算10件产品的综合指标S，如下表：其中S≤4的有A 1，A 2，A 4，A 5，A 7，A 9，共6件，故该样本的一等品率为610，从而可估计该批产品的一等品率为0.6.(2) ① 在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 7}，{A 1，A 9}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 7}，{A 2，A 9}，{A 4，A 5}，{A 4，A 7}，{A 4，A 9}，{A 5，A 7}，{A 5，A 9}，{A 7，A 9}，共15种．② 在该样本的一等品中，综合指标S 等于4的产品编号分别为A 1，A 2，A 5，A 7，则事件B 发生的可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 5}，{A 1，A 7}，{A 2，A 5}，{A 2，A 7}，{A 5，A 7}，共6种．所以P(B)＝615＝25.备选变式（教师专享）(2013·广东文)从一批苹果中，随机抽取50个，其重量(单位：g)的频数分布表如下：(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在[90，95)的频率；(2) 用分层抽样的方法从重量在[80，85)和[95，100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80，85)的有几个？(3) 在(2)中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80，85)和[95，100)中各有一个的概率．解：(1)重量在[90，95)的频率＝2050＝0.4.(2)若采用分层抽样的方法从重量在[80，85)和[95，100)的苹果中共抽取4个，则重量在[80，85)的个数＝55＋15×4＝1. (3)设在[80，85)中抽取的一个苹果为x ，在[95，100)中抽取的三个苹果分别为a 、b 、c ，从抽出的4个苹果中，任取2个共有(x ，a)，(x ，b)，(x ，c)，(a ，b)，(a ，c)，(b ，c)6种情况，其中符合“重量在[80，85)和[95，100)中各有一个”的情况共有(x ，a)，(x ，b)，(x ，c)3种；设“抽出的4个苹果中，任取2个，重量在[80，85)和[95，100)中各有一个”为事件A ，则事件A 的概率P(A)＝36＝12.1. 现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．答案：35解析：∵ 以1为首项，－3为公比的等比数列的10个数为1，－3，9，－27，…，其中有5个负数，1个正数1共6个数小于8，∴ 从这10个数中随机抽取一个数，它小于8的概率是610＝35.2. (2013·连云港调研)在数字1、2、3、4四个数中，任取两个不同的数，其和大于积的概率是________．2解析：在数字1、2、3、4四个数中任取两个不同的数有{1，2}，{1，3}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}共6个基本事件，其中和大于积的有3个，即{1，2}，{1，3}，{1，4}，故其和大于积的概率是36＝12.3. 口袋中有形状和大小完全相同的四个球，球的编号分别为1，2，3，4.若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之和大于5的概率为________．答案：13解析：在编号为1，2，3，4四个球中任取两个球有{1，2}，{1，3}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}共6个基本事件，其中编号之和大于5的有2个，即{2，4}，{3，4}，故两个球的编号之和大于5的概率为26＝13.4. (2013·江苏)现有某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m 、n(m≤7，n ≤9)可以任意选取，则m 、n 都取到奇数的概率为________．答案：2063解析：由题意，正整数m 有7种等可能的结果，且对于m 的每一个值，n 都有9种情况，故共有基本事件总数为7×9＝63种，而m 取到奇数的有1，3，5，7共4种情况；n 取到奇数的有1，3，5，7，9共5种情况，所以满足m 、n 都取到奇数的基本事件数为4×5＝20，故m 、n 都取到奇数的概率为2063.1. 判断下列命题正确与否． (1) 先后掷两枚质地均匀的硬币，等可能出现“两个正面”“两个反面”“一正一反”三种结果；(2) 某袋中装有大小均匀的三个红球、两个黑球、一个白球，任取一球，那么每种颜色的球被摸到的可能性相同；(3) 从－4，－3，－2，－1，0，1，2中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同；(4) 分别从3名男同学、4名女同学中各选一名代表，男、女同学当选的可能性相同． 解：以上命题均不正确．(1) 应为四种结果，还有一种是“一反一正”．(2) 摸到红球的概率为12，摸到黑球的概率为13，摸到白球的概率为16.(3) 取到小于0的数的概率为47，取到不小于0的数的概率为37.(4) 男同学当选的概率为13，女同学当选的概率为14.2. (2013·德州模拟)先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为x 、y ，则满足log 2x y ＝1的概率为________．12解析：由log 2x y ＝1得2x ＝y.又x∈{1，2，3，4，5，6}，y ∈{1，2，3，4，5，6}，所以满足题意的有x ＝1，y ＝2或x ＝2，y ＝4或x ＝3，y ＝6，共3种情况．所以所求的概率为336＝112. 3. (2013·北京西城模拟)下面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为_________．答案：45解析：记其中被污损的数字为x.依题意得甲的五次综合测评的平均成绩是15×(80×2＋90×3＋8＋9＋2＋1＋0)＝90，乙的五次综合测评的平均成绩是15×(80×3＋90×2＋3＋3＋7＋x ＋9)＝15(442＋x)．令90>15(442＋x)，由此解得x<8，即x 的可能取值是0～7，因此甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为810＝45.4. (2013·山东文)某小组共有A 、B 、C 、D 、E 五位同学，他们的身高(单位：m)以及体重指标(单位：kg/m 2)如下表所示：(1) 从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率；(2) 从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9)中的概率．解：(1) 从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A ，B)，(A ，C)，(A ，D)，(B ，C)，(B ，D)，(C ，D)共6个．由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．其中选到的2人身高都在1.78以下的事件有： (A ，B)，(A ，C)，(B ，C)共3个．因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为P ＝36＝12.(2) 从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有(A ，B)，(A ，C)，(A ，D)，(A ，E)，(B ，C)，(B ，D)，(B ，E)，(C ，D)，(C ，E)，(D ，E)，共10个．由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9)中的概率为P 1＝310.求古典概型问题的基本步骤：(1) 明确事件，分清概型．对于古典概型一定要满足“所有基本事件只有有限个，且每个基本事件的发生都是等可能的”这两个基本特征．(2) 正确计数，套用公式．正确计算基本事件总数n 及事件A 包含的基本事件数n ，再代入公式P(A)＝mn进行计算．请使用课时训练（B ）第4课时（见活页）.[备课札记]。
2014年高考文科试题分类：概率(含详细答案)
2014年高考文科数学试题分类汇编：概率一、选择填空题1．[2014·江西卷3] 掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于( )A.118B .19 C.16 D.1122．[2014·湖南卷5] 在区间[－2，3]上随机选取一个数X ，则X ≤1的概率为( )A.45B .35C.25 D.153．[2014·陕西卷6] 从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为( )A.15B .25 C.35 D.454．[2014·辽宁卷6] 若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( )A.π2B .π4C.π6 D.π85．[2014·湖北卷5] 随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p 1，点数之和大于5的概率记为p 2，点数之和为偶数的概率记为p 3，则( )A ．p 1＜p 2＜p 3B ．p 2＜p 1＜p 3C ．p 1＜p 3＜p 2D ．p 3＜p 1＜p 26．[2014·江苏卷4] 从1，2，3，6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是________．7．[2014·新课标全国卷Ⅱ13] 甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________．8．[2014·全国新课标卷Ⅰ13] 将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________．9．[2014·浙江卷14] 在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖．甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是________．10．[2014·广东卷12] 从字母a ，b ，c ，d ，e 中任取两个不同字母，则取到字母a 的概率为________．11．[2014·福建卷13] 如图所示，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．12．[2014·重庆卷15] 某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________．(用数字作答)二、解答题：1．[2014·天津卷15] 某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表：现从这6)．(1)用表中字母列举出所有可能的结果；(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率．2．[2014·四川卷16] 一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．3．[2014·陕西卷19] 某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：(1)若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．4．[2014·福建卷20] 根据世行2013年新标准，人均GDP低于1035美元为低收入国家；人均GDP为1035～4085美元为中等偏下收入国家；人均GDP为4085～12 616美元为中等偏上收入国家；人均GDP 不低于12 616美元为高收入国家．某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP如下表：(1)判断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准；(2)现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率．5．[2014·全国卷20] 设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立．(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)实验室计划购买k台设备供甲、乙、丙、丁使用．若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1，求k的最小值．7．[2014·江苏卷22] 盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．(1)从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；(2)从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E(X)．2014年高考文科数学试题分类汇编：概率一、选择填空题1．[2014·江西卷3] 掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于()A.118B.19 C.16 D.112【答案】B2．[2014·湖南卷5] 在区间[－2，3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为()A.45B.35C.25 D.15【答案】B3．[2014·陕西卷6] 从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为()A.15B.25 C.35 D.45【答案】B4．[2014·辽宁卷6] 若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是()A.π2B.π4C.π6 D.π8【答案】B5．[2014·湖北卷5] 随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1，点数之和大于5的概率记为p2，点数之和为偶数的概率记为p3，则() 【答案】CA．p1＜p2＜p3B．p2＜p1＜p3C．p1＜p3＜p2D．p3＜p1＜p26．[2014·江苏卷4] 从1，2，3，6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是________．【答案】1 37．[2014·新课标全国卷Ⅱ13] 甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________．【答案】1 38．[2014·全国新课标卷Ⅰ13] 将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________．【答案】239．[2014·浙江卷14] 在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖．甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是________．【答案】1310．[2014·广东卷12] 从字母a ，b ，c ，d ，e 中任取两个不同字母，则取到字母a 的概率为________． 【答案】2511．[2014·福建卷13] 如图所示，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．【答案】0.1812．[2014·重庆卷15] 某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________．(用数字作答) 【答案】932二、解答题：1． [2014·天津卷15] 某校夏令营有3名男同学A ，B ，C 和3名女同学X ，Y ，Z ，其年级情况如下表：现从这6)． (1)用表中字母列举出所有可能的结果；(2)设M 为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M 发生的概率．解：(1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{A ，X }，{A ，Y }，{A ，Z }，{B ，C }，{B ，X }，{B ，Y }，{B ，Z }，{C ，X }，{C ，Y }，{C ，Z }，{X ，Y }，{X ，Z }，{Y ，Z }，共15种．(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A ，Y }，{A ，Z }，{B ，X }，{B ，Z }，{C ，X }，{C ，Y }，共6种．因此，事件M发生的概率P(M)＝615＝25.2．[2014·四川卷16] 一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．解：(1)由题意，(a，b，c)所有的可能为：(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)，共27种．设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，则事件A包括(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共3种，所以P(A)＝327＝19.因此，“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为1 9.(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件B包括(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共3种．所以P(B)＝1－P(B)＝1－327＝89.因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为8 9.3．[2014·陕西卷19] 某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：(1)若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．解：(1)设A表示事件“赔付金额为3000元”，B表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率得P(A)＝1501000＝0.15，P(B)＝1201000＝0.12.由于投保金额为2800元，所以赔付金额大于投保金额的概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，得样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000＝100(辆)，而赔付金额为4000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为24100＝0.24.由频率估计概率得P(C)＝0.24.4．[2014·福建卷20] 根据世行2013年新标准，人均GDP低于1035美元为低收入国家；人均GDP为1035～4085美元为中等偏下收入国家；人均GDP为4085～12 616美元为中等偏上收入国家；人均GDP 不低于12 616美元为高收入国家．某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP如下表：(1)判断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准；(2)现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率．解：(1)设该城市人口总数为a，则该城市人均GDP为8000×0.25a＋4000×0.30a＋6000×0.15a＋3000×0.10a＋10 000×0.20aa＝6400(美元)．因为6400∈[4085，12 616)，所以该城市人均GDP达到了中等偏上收入国家标准．(2)“从5个行政区中随机抽取2个”的所有的基本事件是：{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{C，D}，{C，E}，{D，E}，共10个．设事件M为“抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准”，则事件M包含的基本事件是：{A，C}，{A，E}，{C，E}，共3个．所以所求概率为P(M)＝3 10.5．[2014·全国卷20] 设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立．(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)实验室计划购买k台设备供甲、乙、丙、丁使用．若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1，求k的最小值．解：记A 1表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i 人需使用设备，i ＝0，1，2. B 表示事件：甲需使用设备． C 表示事件：丁需使用设备．D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．E 表示事件：同一工作日4人需使用设备．F 表示事件：同一工作日需使用设备的人数大于k .(1)因为P (B )＝0.6，P (C )＝0.4，P (A i )＝C i 2×0.52，i ＝0，1，2，所以P (D )＝P (A 1·B ·C ＋A 2·B ＋A 2·B ·C )＝P (A 1·B ·C )＋P (A 2·B )＋P (A 2·B ·C )＝P (A 1)P (B )P (C )＋P (A 2)P (B )＋P (A 2)P (B )P (C )＝0.31.(2)由(1)知，若k ＝2，则P (F )＝0.31＞0.1， P (E )＝P (B ·C ·A 2)＝P (B )P (C )P (A 2)＝0.06. 若k ＝3，则P (F )＝0.06＜0.1， 所以k 的最小值为3.6．[2014·江西卷21] 将连续正整数1，2，…，n (n ∈N *)从小到大排列构成一个数123…n ，F (n )为这个数的位数(如n ＝12时，此数为123456789101112，共有15个数字，F (12)＝15)，现从这个数中随机取一个数字，p (n )为恰好取到0的概率． (1)求p (100)；(2)当n ≤2014时，求F (n )的表达式；(3)令g (n )为这个数中数字0的个数，f (n )为这个数中数字9的个数，h (n )＝f (n )－g (n )， S ＝{n |h (n )＝1，n ≤100，n ∈N *}，求当n ∈S 时p (n )的最大值．解：(1)当n ＝100时，这个数中总共有192个数字，其中数字0的个数为11，所以恰好取到0的概率为p (100)＝11192.(2)F (n )＝⎩⎨⎧n ，1≤n ≤9，2n －9，10≤n ≤99，3n －108，100≤n ≤999，4n －1107，1000≤n ≤2014.(3)当n ＝b (1≤b ≤9，b ∈N *)，g (n )＝0；当n ＝10k ＋b (1≤k ≤9，0≤b ≤9，k ∈N *，b ∈N )时，g (n )＝k ； 当n ＝100时，g (n )＝11，即g (n )＝⎩⎨⎧0，1≤n ≤9，k ，n ＝10k ＋b ，11，n ＝100.1≤k ≤9，0≤b ≤9，k ∈N *，b ∈N ， 同理有f (n )＝⎩⎨⎧0，1≤n ≤8，k ，n ＝10k ＋b －1，1≤k ≤8，0≤b ≤9，k ∈N *，b ∈N ，n －80，89≤n ≤98，20，n ＝99，100.由h (n )＝f (n )－g (n )＝1，可知n ＝9，19，29，39，49，59，69，79，89，90， 所以当n ≤100时，S ＝{9，19，29，39，49，59，69，79，89，90}． 当n ＝9时，p (9)＝0. 当n ＝90时，p (90)＝g （90）F （90）＝9171＝119.当n ＝10k ＋9(1≤k ≤8，k ∈N *)时，p (n )＝g （n ）F （n ）＝k 2n －9＝k 20k ＋9，由y ＝k20k ＋9关于k 单调递增，故当n ＝10k ＋9(1≤k ≤8，k ∈N *)时，p (n )的最大值为p (89)＝8169. 又8169<119，所以当n ∈S 时，p (n )的最大值为119.7．[2014·江苏卷22] 盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．(1)从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P ；(2)从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x 1，x 2，x 3，随机变量X 表示x 1，x 2，x 3中的最大数，求X 的概率分布和数学期望E (X )．解：(1)取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球，所以P ＝C 24＋C 23＋C 22C 29＝6＋3＋136＝518.(2)随机变量X 所有可能的取值为2，3，4.{X ＝4}表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”，故P (X ＝4)＝C 44C 49＝1126；{X ＝3}表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球，或3个黄球和1个其他颜色的球”，故P (X ＝3)＝C 34C 15＋C 33C 16C 49＝20＋6126＝1363；于是P (X ＝2)＝1－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝1－1363－1126＝1114.所以随机变量X 的概率分布如下表：因此随机变量X 的数学期望 E (X )＝2×1114＋3×1363＋4×1126＝209.。
2014高考理科数学必考点解题方法秘籍概率与数据
2014高考理科数学必考点解题方法秘籍：概率与数据概率１．随机事件的概率，其中当时称为必然事件；当时称为不可能事件P(A)=0；2.等可能事件的概率（古典概率）： P(A)=。
理解这里m、ｎ的意义。
比如：（1）将数字1、2、3、4填入编号为1、2、3、4的四个方格中，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填数字均不相同的概率是______（答：）；（2）设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率：①从中任取2件都是次品；②从中任取5件恰有2件次品；③从中有放回地任取3件至少有2件次品；④从中依次取5件恰有2件次品。
（答：①；②；③；④）3、互斥事件：（A、B互斥，即事件A、B不可能同时发生）。
计算公式：P(A+B)＝P(A)+P(B)。
比如：（1）有A、B两个口袋，A袋中有4个白球和2个黑球，B袋中有3个白球和4个黑球，从A、B袋中各取两个球交换后，求A袋中仍装有4个白球的概率。
（答：）；（2）甲、乙两个人轮流射击，先命中者为胜，最多各打5发，已知他们的命中率分别为0.3和0.4，甲先射，则甲获胜的概率是（0.425=0.013，结果保留两位小数）______（答：0.51）；（3）有一个公用电话亭，在观察使用这个电话的人的流量时，设在某一时刻，有n个人正在使用电话或等待使用的概率为P（n），且P（n）与时刻t无关，统计得到，那么在某一时刻，这个公用电话亭里一个人也没有的概率P（0）的值是（答：）4、对立事件：（A、B对立，即事件A、B不可能同时发生，但A、B中必然有一个发生）。
计算公式是：P（A）+ P(B)＝１；P()=1－P(A)；5、独立事件：（事件A、B的发生相互独立，互不影响）P(A?B)＝P(A) ? P(B) 。
提醒：（1）如果事件A、B独立，那么事件A与、与及事件与也都是独立事件；（2）如果事件A、B相互独立，那么事件A、B至少有一个不发生的概率是1－P（A B）＝1－P(A)P(B)；（3）如果事件A、B相互独立，那么事件A、B至少有一个发生的概率是1－P（）＝1－P()P()。
高考数学 高频考点归类分析 由三视图判别立体图形和表面积、体积的计算(真题为例)
典型例题：例1. （2012年全国课标卷理5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为【 】()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 18【答案】B 。
【考点】由三视图判断几何体。
【解析】由三视图可知，该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3。
因此此几何体的体积为：11633932V =⨯⨯⨯⨯=。
故选B 。
例2. （2012年北京市理5分）某三梭锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是【 】 A. 2865+ B. 3065+ C. 56125+ D. 60125+【答案】 B 。
【考点】三棱锥的三视图问题。
【解析】如下图所示。
图中蓝色数字所表示的为直接从题目所给三视图中读出的长度，黑色数字代表通过勾股定理的计算得到的边长。
本题所求表面积应为三棱锥四个面的面积之和。
利用垂直关系、等腰三角形的性质和三角形面积公式，可得：()1S =234=102⋅+⋅底，()()()22111S =234=10S =45=10S =25415=65222⋅+⋅⋅⋅⋅⋅-后左右，，这里有两个直角三角形，一个等腰三角形。
∴该三梭锥的表面积是3065+。
故选B 。
例3. （2012年广东省理5分）某几何体的三视图如图所示，它的体积为【 】A ．12π B.45π C.57π D.81π 【答案】C 。
【考点】由三视图求体积。
【解析】由三视图可知，此组合体上部是一个母线长为5，底面圆半径是3的圆锥，下部是一个高为5，底面半径是3的圆柱，几何体的直观图如图所示。
圆锥的高221534PO 几何体的体积1=9594573V V V 圆柱圆锥。
故选C 。
例4. （2012年广东省文5分）某几何体的三视图如图所示，它的体积为【 】A ． 72πB ． 48πC ． 30πD ． 24π 【答案】C 。
【考点】由三视图求体积。
【解析】由图知，该几何体是圆锥和半球体的组合体，球的半径是3，圆锥底面圆的半径是3，圆锥母线长为5，由圆锥的几何特征可求得圆锥的高为4， 则它的体积2311434330323V V V πππ=+=⋅⋅+⋅⋅=半球体圆锥。
2014高考数学必考点解题方法秘籍 概率 理
2014高考理科数学必考点解题方法秘籍：概率（1）随机事件——概率学把“可能性”引进数学在概率学中，我们称一定发生的事件为必然事件，不可能发生的事件是不可能事件，可能发生也可能不发生的事件是随机事件.概率也就是事件发生的可能性.所以必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0，而随机事件的概率在区间（0，1）之中.同时掷两枚骰子，则以下事件各是什么事件？点数之和是正整数；点数之和小于2；点数之和是3的倍数.【解析】（1）是必然事件，（2）是不可能事件；（3）是随机事件.（2）等可能事件——概率公式的起源如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且这n个结果出现的可能性相同，则称这类事件为等可能事件.由此导出基本概率公式是：()mP An=.（其中n和 m分别表示基本事件总数和事件A发生的次数.）【例2】将一枚骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（）Ａ．19Ｂ．112Ｃ．115Ｄ．118【解析】抛掷一枚骰子后，出现任何一面的可能性相同.所以本题属于等可能事件.一枚骰子连续抛掷三次，则基本事件总数36216n==；设事件A；连掷3次所得点数依次成等差数列，那么3数相等时有111，222，…666等六种；3数不相等时有123，234，345，456，135，246及其反序数等12个.于是事件A发生的次数61218m=+=种.故()18121612P A==.选B.（3）互斥事件——概率的加法原理在某种试验中，不能同时发生的事件称为互斥事件.如果A、B是互斥事件，那么：()()()P A B P A P B⋃=+.【例3】在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（）A．310 B．15 C．110 D．112【解析】设小球标注的数字之和为3与6的事件分别为A、B.显然A与B不能同时成立，是互斥事件.由于基本事件总数2510.n C ==事件A 只有1+2=3一种，；事件B 有1+5=2+4=6两种，.∵A 与B 互斥，()()()1231010P A B P A P B +∴⋃=+==.选A.（4）对立事件——两互斥事件的特写在一次试验中，如果事件A 与B 一定恰有一个发生，则称事件A 与B 是对立事件. 注意对立事件必然互斥，但是互斥事件不一定对立. 一般地，记A 的对立事件为A .由于A 与A 具有互补性，所以()()1P A P B +=.这是简化概率计算的基本公式.【例4】8个篮球队中有2个强队，先任意将这8个队分成两个组(每组4个队)进行比赛，这两个强队被分在一个组内的概率是多少?【解析】 我们用a 、b 分别记八个队中的两个强队. 令C=“a 队与b 队分在同一组”， 则C =“a 队与b 队不在同一组”.a 队与b 队不在同一组，只能分成两种情况：a 队在第一组，b 队在第二组，此时有C 36·C 33＝C 36种分法；a队在第二组，b 队在第一组，此时有C 36·C 33＝C 36种分法.这些分法中任何两种都是不同的，因此，有C 36+ C 36种分法.八个队平分成的两组的分法共C 48·C 44= C48种.每一种分法是一基本事件，任何两个基本事件都是等可能的.这样，P(C )=741454545C C C 483636=⨯⨯+⨯=+，∴P(C)=1-P(C )=1-74=73.【点评】 应抓住两个强队被分在一组和不同一组是对立的事件，由此入手来解之.（5）相互独立事件——概率的乘法原理如果事件A 与B 的发生互相没有影响，则称事件A 与B 为相互独立事件.特别注意：不能将互斥事件与相互独立事件搞混，前者相互约束，而后者相互无关；前者不可能同时发生，而后者可以同时发生.如果A 与B 是相互独立事件，那么A 与B 同时发生的概率是：()()()P A B P A P B ⋅=⋅.【例5】甲、乙两个袋中均有红、白两种颜色的小球,这些小球除颜色外完全相同,其中甲袋装有4个红球、2个白球, 乙袋装有1个红球、5个白球.现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球,则取出的两球都是红球的概率为 ．(答案用分数表示)【分析】分别从甲、乙两袋中随机地取球，则取球的结果相互没有影响.所以本题中发生的事件是相互独立事件.【解析】两袋中各有6个球，则各取1球的基本事件总数为116636C C ⋅=. 设从甲袋中取出一个球是红球的事件为A ，从乙袋中取出一个球是红球的事件为B ，那么()()41,66P A P B ==.故“取出的两球都是红球的概率”是()()411669P A P B ⋅=⨯=.（6）独立重复试验——加法原理与乘法原理的复合在调查某事件发生的概率时，往往要做大量重复的试验.这些试验不仅相互独立，而且都是同一类型的等可能事件.我们称这种试验为独立重复试验. 独立重复试验中的概率计算公式是：()()1kk kn n P k C P P =-.【例6】甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜．根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0．6，则本次比赛甲获胜的概率是（ ） (A1 0．216 (B)0．36 (C)0．432 (D)0．648【分析】两人赛球不止一局，且每局每人获胜的概率相同.所以本题这种赛球属于独立重复试验.【解析】设事件A ：在“3局2胜”的球赛中甲获胜，则A 有3种可能.前两局甲胜，其概率为210.6P =；1、3局胜，2局负，其概率为220.60.40.60.60.4P =⨯⨯=⨯ 首局负，2、3局胜，其概率为230.40.60.60.60.4P =⨯⨯=⨯ 显然3种情况互斥，()()20.610.40.40.648P A ∴=++=，故选D.【说明】本题虽然属于独立重复试验.的题型，却有不能死套公式.这是因为：如果甲前两局获胜，则无须打第3局.（7）和事件——概率计算与集合计数在某次试验中，如果事件A 与B 不互斥，则计算A 与B 都发生的概率不能用简单的加法，这是因为事件A 与B 含有交叉的部分，而这部分被重复计算一次，应该把重复计算的数据减去.和事件的正确计算方法是：()()()()P A B P A P B P A B ⋃=+-⋂.【例7】某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．（I ）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；（II ）任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培养的概率．【分析】在题设的两项培训中，每个下岗人员都有3种选择方法：参加1项、两项或不参加培训.所以仅根据现有数据，无法判断哪些是仅参加了一项培训，哪些是两项培训都参加了的.所以本题属于典型的计算和事件的题型.【解析】设事件A 表示参加财会培训，事件B 表示参加计算机培训，则A B ⋂表示同时参加两项培训.()()()0.6,0.75,0.60.750.45.P A P B P A B ==∴⋂=⨯=任选1名下岗人员，则该人参加过培训的概率是：()()()()0.60.750.450.9P A B P A P B P A B ⋃=+-⋂=+-=.设事件C 表示3人中至少有2人参加培训，则事件A 表示3人中至多1人参加培训. 根据（I ），三人中无人参加培训的概率是()3110.90.001P =-=；而三人中恰1人参加培训的概率是：()21230.90.10.027P C =⨯⨯=.这两种情况互斥，()0.0010.0270.028P C ∴=+=于是3人中至少有2人参加培训的概率是()10.0280.972.P C =-=三类概率问题的求解策略对于一个概率题，我们首先要弄清它属于哪一类型的概率，因为不同的类型需要采取不同类型的概率公式和求解方法；其次，要审清题意，注意问题中的关键语句，因为这些关键语句往往蕴含着解题的思路和方法。
2014年高考数学真题汇编(含答案)：概率与统计(精编文档).doc
【最新整理，下载后即可编辑】2014年全国高考理科数学试题分类汇编(纯word 解析版) 八、概率与统计（逐题详解）第I 部分1.【2014年陕西卷（理06）】从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（ ）1.5A2.5B3.5C4.5D【答案】 C 【解析】C p 选反向解题.53C 4C 4-1.2525===2.【2014年重庆卷（理03）】已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3x =，3.5y =，则由观测的数据得线性回归方程可能为（ ）.0.4 2.3A y x =+.2 2.4B y x =-.29.5C y x =-+ .0.3 4.4D y x =-+【答案】A【解析】根据正相关知回归直线的斜率为正，排除,C D ，回归直线经过点(,)x y --，故选A3.【2014年陕西卷（理09）】设样本数据1210,,,x x x 的均值和方差分别为1和4，若i i y x a =+（a 为非零常数， 1,2,,10i =），则12,10,y y y的均值和方差分别为（ ）（A ）1+,4a （B ）1,4a a ++ （C ）1,4 （D ）1,4+a【答案】 A【解析】A 选变均值也加此数，方差不样本数据加同一个数，.4.【2014年湖南卷（理02）】对一个容量为N 的总体抽取容量为m 的样本，若选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为1p ，2p ，3p ，则A. 321p p p <=B. 132p p p <=C. 231p p p <=D. 321p p p ==【答案】D 【解析】根据随机抽样的原理可得三种抽样方式都必须满足每个个体被抽到的概率相等，即 321p p p ==，故选D5.【2014年山东卷（理07）】为了研究某药厂的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为舒张压/kPa（A ）6 （B ）8 （C ） 12（D ）18【答案】C【解析】第一组与第二组频率之和为0.24+0.16=0.4200.450÷=500.361818612⨯=-=6.【2014年全国新课标Ⅰ（理05）】4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率A .18B .38C .58D .78【答案】：D【解析】：4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动共有4216=种，周六、周日都有同学参加公益活动有两种情况：①一天一人一天三人有11428C A =种；②每天2人有246C =种，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为867168+=；或间接解法：4位同学都在周六或周日参加公益活动有2种，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为1627168-=；选D.7.【2014年全国新课标Ⅱ（理05）】某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）A. 0.8B. 0.75C. 0.6D. 0.45【答案】 A 【解析】.,8.0,75.06.0,A p p p 故选解得则据题有优良的概率为则随后一个空气质量也设某天空气质量优良，=•=8.【2014年广东卷（理06）】已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为A. 200,20B. 100,20C. 200,10D. 100,10【答案】A【解析】由题意知：该地区中小学生总人数为：35004500200010000++=人，所以样本容量为100002%200⨯=，应抽取高中生人数为：420040794⨯=++，所以抽取的高中生近视人数为4050%20⨯=人.故选A.9.【2014年湖北卷（理04）】根据如下样本数据x 3 4 5 6 7 8y 4.0 2.5 -0.5 0.5 -2.-3.0A.0,0>>b aB.0,0<>b aC.0,0><b aD.0.0<<b a【答案】 B【解析】画出散点图如图所示，y 的值大致随x 的增加而减小，因而两个变量呈负相关，所以0<b ，0>a10.【2014年湖北卷（理07）】由不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥≤020x y y x 确定的平面区域记为1Ω，不等式⎩⎨⎧-≥+≤+21y x y x ，确定的平面区域记为2Ω，在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为（ ）A.81B.41 C.43 D.87【答案】 D【解析】依题意，不等式组表示的平面区域如图，由几何概型概率公式知，该点落在2Ω内的概率为111221722218222BDFCEFBDFSSP S⨯⨯-⨯⨯-===⨯⨯.11.【2014年江西卷（理06）】某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量之间的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是【答案】D【解析】根据独立性检验相关分析知，阅读量与性别相关数据较大，选D12.【2014年浙江卷（理09）】已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个蓝球(3m ≥，3)n ≥，从乙盒中随机抽取(1i i =，2)个球放入甲盒中.（a ）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为(1i i ξ=，2)； （b ）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为(1i p i =，2).则A.12p p >，12()()E E ξξ<B.12p p <，12()()E E ξξ>C.12p p >，12()()E E ξξ>D.12p p <，12()()E E ξξ<【答案】A 【解析】，，，所以P 1＞P 2；由已知ξ1的取值为1、2，ξ2的取值为1、2、3，所以 ==，E （ξ1）﹣E （ξ2）=．故选A第II 部分13.【2014年辽宁卷（理14）】正方形的四个顶点(1,1),(1,1),(1,1),(1,1)A B C D ----分别在抛物线2y x =-和2y x =上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，学科网则质点落在阴影区域的概率是 .【答案】【解析】∵A （﹣1，﹣1），B （1，﹣1），C （1，1），D （﹣1，1），∴正方体的ABCD 的面积S=2×2=4，根据积分的几何意义以及抛物线的对称性可知阴影部分的面积 S=2=2=2[（1﹣）﹣（﹣1+）]=2×=，则由几何槪型的概率公式可得质点落在图中阴影区域的概率是．故答案为：14.【2014年广东卷（理11）】从0,1,2,3,4,5,6,7,8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 。
【备战】高考数学 高频考点归类分析 应用导数讨论函数的增减性(真题为例)
应用导数讨论函数的增减性典型例题：例1. （2012年浙江省理5分）设0a >，0b >【 】A ．若2223a b a b +=+，则a b >B ．若2223a ba b +=+，则a b <C ．若2223a b a b -=-，则a b >D ．若2223a ba b -=-，则a b <【答案】A 。
【考点】函数的单调性，导数的应用。
【解析】对选项A ，若2223a b a b +=+，必有2222a b a b +>+。
构造函数：()22x f x x =+，则()2l n 220x f x '=⋅+>恒成立，故有函数()22x f x x =+在x ＞0上单调递增，即a ＞b 成立。
其余选项用同样方法排除。
故选A 。
例2. （2012年湖南省文5分）设定义在R 上的函数()f x 是最小正周期为2π的偶函数，()f x '是()f x 的导函数，当[]0,x π∈时，0＜()f x ＜1；当()0,x π∈ 且2x π≠时 ，()()02x f x π'->，则函数()sin y f x x =-在[-2π，2π] 上的零点个数为【 】 A .2 B .4 C.5 D. 8 【答案】Ｂ。
【考点】函数的周期性、奇偶性、图像及两个图像的交点问题。
【解析】由当()0,x π∈ 且x ≠2π时 ，()()02x f x π'->，知0,()0,()2x f x f x π⎡⎫'∈<⎪⎢⎣⎭时,为减函数；()0,()2x f x f x ππ⎛⎤'∈> ⎥⎝⎦，时,为增函数。
又[]0,x π∈时，0＜f (x )＜1，在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，在同一坐标系中作出sin y x =和()y f x =草图像如下，由图知()sin y f x x =-在[-2π，2π] 上的零点个数为4个。
【备战】高考数学 高频考点归类分析 传统概率的计算(真题为例)
高频考点分析 传统概率的计算典型例题：例1. （2012年北京市理5分）设不等式组0x 20y 2≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点。
则此点到坐标原点的距离大于2的概率是【 】 A.4πB.22π- C.6πD.44π-【答案】 D 。
【考点】几何概率。
【解析】不等式组0x 20y 2≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域D 是一个边长为2的正方形，如画图可知，区域内到坐标原点的距离大于2的点为红色区域，它的面积为正方形的面积减四分之一圆的面积：22122=44ππ-⋅⋅-。
∴此点到坐标原点的距离大于2的概率是44π-。
故选D 。
例2. （2012年安徽省文5分）袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于【 】 ()A15 ()B 25 ()C 35 ()D 45【答案】B 。
【考点】概率。
【解析】1个红球，2个白球和3个黑球记为红1，白1，白2，黑1，黑2，黑3。
画树状图如下：从袋中任取两球，共有15种等可能结果，满足两球颜色为一白一黑有6种，∴概率等于62155=。
故选B 。
例3. （2012年广东省理5分）从概率位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是【 】 A.49 B. 13 C. 29 D. 19【答案】D 。
【考点】分类讨论的思想，概率。
【解析】由题意知，个位数与十位数应该一奇一偶。
①个位数为奇数，十位数为偶数共有5×5=25个两位数； ②个位数为偶数，十位数为奇数共有5×4=20个两位数。
两类共有25+20=45个数，其中个位数为0，十位数为奇数的有10,30,50,70,90共5个数。
∴概率位数为0的概率是545=19。
故选D 。
例4. （2012年湖北省理5分）如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆。
(典型题)2014高考数学二轮复习 知识点总结 概 率
概 率【高考考情解读】 1.古典概型和几何概型的基本应用是高考的重点，选择题或填空题主要以考查几何概型、古典概型为主，试题难度较小，易于得分.2.解答题型中的古典概型问题常常与概率的基本运算性质，如互斥事件的概率加法公式、对立事件的减法公式等综合考查，试题难度不大，易于得满分.3.近几年高考题对概率问题的命制愈加地倾向与统计问题综合考查，涉及的统计问题有抽样、样本估计总体、回归分析和独立性检验，试题难度中等，考查知识点的同时也侧重考查逻辑思维能力、知识的综合应用能力和理解、分析问题的能力．1．概率的五个基本性质(1)随机事件A 的概率：0≤P (A )≤1. (2)必然事件的概率为1. (3)不可能事件的概率为0.(4)如果事件A 与事件B 互斥，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )．(5)如果事件A 与事件B 互为对立事件，那么P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝1，即P (A )＝1－P (B )．2．两种常见的概型(1)古典概型①特点：有限性，等可能性．②概率公式：P (A )＝事件A 中所含的基本事件数试验的基本事件总数.(2)几何概型①特点：无限性，等可能性． ②概率公式：P (A )＝构成事件A 的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.考点一 古典概型例1 (2013·某某)某小组共有A ，B ，C ，D ，E 五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/米2)如下表所示：ABCDE身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82 体重指标19.225.118.523.320.9(1) 1.78以下的概率；(2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率．解 (1)从身高低于1.80的4名同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(B ，C )，(B ，D )，(C ，D )共6个．设“选到的2人身高都在1.78以下”为事件M ，其包括的事件有3个，故P (M )＝36＝12.(2)从小组5名同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(C ，D )，(C ，E )，(D ，E )共10个．设“选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)”为事件N ，且事件N 包括事件有：(C ，D )，(C ，E )，(D ，E )共3个．则P (N )＝310.求古典概型概率的步骤(1)反复阅读题目，收集题目中的各种信息，理解题意； (2)判断试验是否为古典概型，并用字母表示所求事件；(3)利用列举法求出总的基本事件的个数n 及事件A 中包含的基本事件的个数m ； (4)计算事件A 的概率P (A )＝m n.(1)(2012·某某)袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球．从球中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于( ) A.15B.25 C.35D.45 答案 B解析 利用古典概型求解．设袋中红球用a 表示，2个白球分别用b 1，b 2表示，3个黑球分别用c 1，c 2，c 3表示，则从袋中任取两球所含基本事件为：(a ，b 1)，(a ，b 2)，(a ，c 1)，(a ，c 2)，(a ，c 3)，(b 1，b 2)，(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 1，c 3)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 2，c 3)，(c 1，c 2)，(c 1，c 3)，(c 2，c 3)，共15个．两球颜色为一白一黑的基本事件有：(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 1，c 3)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 2，c 3)，共6个． ∴其概率为615＝25.故选B.(2)甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}，若|a －b |≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( ) A.1136B.518C.16D.49 答案 D解析 根据题目条件知所有的数组(a ，b )共有62＝36组，而满足条件|a －b |≤1的数组(a ，b )有：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，(1,2)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,3)，(4,5)，(5,4)，(5,6)，(6,5)，共有16组，根据古典概型的概率公式知所求的概率为P ＝1636＝49.故选D.(3)盒中有6个小球，其中3个白球，记为a 1，a 2，a 3,2个红球，记为b 1，b 2,1个黑球，记为c 1，除了颜色和编号外，球没有任何区别． ①求从盒中取一球是红球的概率；②从盒中取一球，记下颜色后放回，再取一球，记下颜色，若取白球得1分，取红球得2分，取黑球得3分，求两次取球得分之和为5分的概率． 解 ①所有基本事件为：a 1，a 2，a 3，b 1，b 2，c 1共计6种．记“从盒中取一球是红球”为事件A ，事件A 包含的基本事件为：b 1，b 2， ∴P (A )＝26＝13.∴从盒中取一球是红球的概率为13.②记“两次取球得分之和为5分”为事件B ，总事件包含的基本事件为：(a 1，a 1)，(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，c 1)，(a 2，a 1)，(a 2，a 2)，(a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，c 1)，(a 3，a 1)，(a 3，a 2)，(a 3，a 3)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(a 3，c 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，(b 1，a 3)，(b 1，b 1)，(b 1，b 2)，(b 1，c 1)，(b 2，a 1)，(b 2，a 2)，(b 2，a 3)，(b 2，b 1)，(b 2，b 2)，(b 2，c 1)，(c 1，a 1)，(c 1，a 2)，(c 1，a 3)，(c 1，b 1)，(c 1，b 2)，(c 1，c 1)，共计36种．而事件B 包含的基本事件为：(b 1，c 1)，(b 2，c 1)，(c 1，b 1)，(c 1，b 2)，共计4种． ∴P (B )＝436＝19.∴“两次取球得分之和为5分”的概率为19.考点二 几何概型例2 (2013·某某)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )A.14B.12C.34D.78 答案 C解析 设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻 为x 、y ，x 、y 相互独立，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤40≤y ≤4|x －y |≤2，如图所示．∴两串彩灯第一次亮的时间相差不超过2秒的概率为P (|x －y |≤2)＝S 正方形－2S △ABCS 正方形＝4×4－2×12×2×24×4＝1216＝34.当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解；利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．(1)在区间[0,2]上任取两个实数a ，b ，则函数f (x )＝x 3＋ax －b 在区间[－1,1]上有且仅有一个零点的概率是( ) A.18B.14 C.34D.78(2)(2012·某某)如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( ) A ．1－2πB.12－1πC.2πD.1π答案 (1)D (2)A解析 (1)因为f ′(x )＝3x 2＋a ，由于a ≥0，故f ′(x )≥0恒成立， 故函数f (x )在[－1,1]上单调递增，故函数f (x )在区间[－1,1]上有且只有一个零点的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧f －1≤0，f 1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋1≥0，a －b ＋1≥0.设点(a ，b )，则基本事件所在的区域是⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤2，0≤b ≤2，画出平面区域，如图所示，根据几何概型的意义，所求的概率是以图中阴影部分的面积和以2为边长的正方形的面积的比值，这个比值是78.故选D.(2)方法一 解题关键是求出空白部分的面积，用几何概型求解． 设分别以OA ，OB 为直径的两个半圆交于点C ，OA 的中点为D ，如 图，连接OC ，DC . 不妨令OA ＝OB ＝2， 则OD ＝DA ＝DC ＝1.在以OA 为直径的半圆中，空白部分面积S 1＝π4＋12×1×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－12×1×1＝1， 所以整体图形中空白部分面积S 2＝2. 又因为S 扇形OAB ＝14×π×22＝π，所以阴影部分面积为S 3＝π－2. 所以P ＝π－2π＝1－2π.方法二 连接AB ，由S 弓形AC ＝S 弓形BC ＝S 弓形OC 可求出空白部分面积． 设分别以OA ，OB 为直径的两个半圆交于点C ，令OA ＝2. 由题意知C ∈AB 且S 弓形AC ＝S 弓形BC ＝S 弓形OC ， 所以S 空白＝S △OAB ＝12×2×2＝2.又因为S 扇形OAB ＝14×π×22＝π，所以S 阴影＝π－2. 所以P ＝S 阴影S 扇形OAB ＝π－2π＝1－2π. 考点三 互斥事件与对立事件例3 某项活动的一组志愿者全部通晓中文，并且每个志愿者还都通晓英语、日语和韩语中的一种(但无人通晓两种外语)．已知从中任抽一人，其通晓中文和英语的概率为12，通晓中文和日语的概率为310.若通晓中文和韩语的人数不超过3人．(1)求这组志愿者的人数；(2)现在从这组志愿者中选出通晓英语的志愿者1名，通晓韩语的志愿者1名，若甲通晓英语，乙通晓韩语，求甲和乙不全被选中的概率．解 (1)设通晓中文和英语的人数为x ，通晓中文和日语的人数为y ，通晓中文和韩语的人数为z ，且x ，y ，z ∈N *，则⎩⎪⎨⎪⎧x x ＋y ＋z ＝12，y x ＋y ＋z ＝310，0<z ≤3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3，z ＝2，所以这组志愿者的人数为5＋3＋2＝10.(2)设通晓中文和英语的人为A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，甲为A 1，通晓中文和韩语的人为B 1，B 2，乙为B 1，则从这组志愿者中选出通晓英语和韩语的志愿者各1名的所有情况为(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(A 5，B 1)，(A 5，B 2)，共10种，同时选中甲、乙的只有(A 1，B 1)1种． 所以甲和乙不全被选中的概率为1－110＝910.求解互斥事件、对立事件的概率问题时，一要先利用条件判断所给的事件是互斥事件，还是对立事件；二要将所求事件的概率转化为互斥事件、对立事件的概率；三要准确利用互斥事件、对立事件的概率公式去计算所求事件的概率．(2013·某某)小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为：以O 为起点，再从A 1、A 2、A 3、A 4、A 5、A 6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X .若X >0就去打球，若X ＝0就去唱歌，若X <0就去下棋．(1)写出数量积X 的所有可能取值；(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率． 解 (1)X 的所有可能取值为－2，－1,0,1. (2)数量积为－2的有OA 2→·OA →5，共1种；数量积为－1的有OA 1→·OA 5→，OA 1→·OA 6→，OA 2→·OA 4→，OA 2→·OA 6→，OA 3→·OA 4→，OA 3→·OA 5→，共6种； 数量积为0的有OA 1→·OA 3→，OA 1→·OA 4→，OA 3→·OA 6→，OA 4→·OA 6→，共4种； 数量积为1的有OA 1→·OA 2→，OA 2→·OA 3→，OA 4→·OA 5→，OA 5→·OA 6→，共4种．故所有可能的情况共有15种．所以小波去下棋的概率为P1＝7 15；因为去唱歌的概率为P2＝4 15，所以小波不去唱歌的概率为P＝1－P2＝1－415＝1115.1．互斥事件与对立事件的关系(1)对立一定互斥，互斥未必对立；(2)可将所求事件化为互斥事件A、B的和，再利用公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)来求，也可通过对立事件公式P(A)＝1－P(A)来求P(A)．2．古典概型与几何概型P(A)＝构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积1．电子钟一天显示的时间是从00：00到23：59，每一时刻都由四个数字构成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为( )A.1180B.1288C.1360D.1480答案 C解析因为时钟一分钟显示一次，故总的显示方法数为24×60＝1 440(种)，四个数字之和为23的有09：59,18：59,19：49,19：58四种情况，故所求概率为41 440＝1360.2．袋中装有大小相同且形状一样的四个球，四个球上分别标有“2”、“3”、“4”、“6”这四个数．现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数恰好能构成一个等差数列的概率是________． 答案 12解析 从四个不同的数中选三个的情况有(2,3,4)，(2,3,6)，(2,4,6)，(3,4,6)，共四种，满足成等差数列的情况有(2,3,4)和(2,4,6)，共两种．故所求概率为24＝12.3．(2012·某某)某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查． (1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目．(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析， ①列出所有可能的抽取结果； ②求抽取的2所学校均为小学的概率． 解 (1)由分层抽样定义知，从小学中抽取的学校数目为6×2121＋14＋7＝3；从中学中抽取的学校数目为6×1421＋14＋7＝2；从大学中抽取的学校数目为6×721＋14＋7＝1.故从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.(2)①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A 1，A 2，A 3,2所中学分别记为A 4，A 5，大学记为A 6，则抽取2所学校的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共15种．②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B )的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，共3种，所以P (B )＝315＝15.(推荐时间：60分钟)一、选择题1．(2013·课标全国Ⅰ)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( ) A.12B.13 C.14D.16 答案 B解析 基本事件的总数为6，构成“取出的2个数之差的绝对值为2”这个事件的基本事件的个数为2. 所以，所求概率P ＝26＝13，故选B.2．(2013·某某)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( ) A.23B.25 C.35D.910 答案 D解析 由题意，从五位大学毕业生中录用三人，所有不同的可能结果有(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10种，其中“甲与乙均未被录用”的所有不同的可能结果只有(丙，丁，戊)这1种，故其对立事件“甲或乙被录用”的可能结果有9种，所求概率P ＝910.3．(2012·)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( ) A.π4B.π－22 C.π6D.4－π4答案 D解析 根据题意作出满足条件的几何图形求解．如图所示，正方形OABC 及其内部为不等式组表示的区域D ，且区 域D 的面积为4，而阴影部分表示的是区域D 内到原点距离大于2 的区域，易知该阴影部分的面积为4－π，因此满足条件的概率是4－π4，故选D. 4．第16届亚运会于2010年11月12日在中国某某举行，运动会期间有来自A 大学2名和B 大学4名的大学生志愿者，从这6名志愿者中随机抽取2人到体操比赛场馆服务，则至少有一名A 大学志愿者的概率是( ) A.115B.25C.35D.1415 答案 C解析 若这2名学生来自两所大学， 则P 1＝2×415＝815；若这2名大学生来自A 大学， 则P 2＝115.故至少有一名A 大学志愿者的概率是815＋115＝35.5．一个袋中有3个黑球，2个白球共5个大小相同的球，每次摸出一球，放进袋里再摸第二次，则两次摸出的球都是白球的概率为( ) A.25B.45 C.225D.425答案 D解析 有放回地摸球，基本事件总数为25；两次都是白球所包含的基本事件为4.所以两次摸出的球都是白球的概率为425.6．若利用计算机在区间(0,1)上产生两个不等的随机数a 和b ，则方程x ＝22a －2bx有不等实数根的概率为( ) A.14B.12 C.34D.25 答案 B解析 方程x ＝22a －2b x，即x 2－22ax ＋2b ＝0，原方程有不等实数根，则需满足Δ＝(22a )2－4×2b >0，即a >b . 在如图所示的平面直角坐标系内，(a ，b )的所有可能结果是边长为1的正方形(不包括边界)，而事件A “方程x ＝22a －2b x有不等实数 根”的可能结果为图中阴影部分(不包括边界)．由几何概型公式可得P (A )＝12×1×11×1＝12. 二、填空题7．点A 为周长等于3的圆周上的一个定点．若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧AB 的长度小于1的概率为________．答案 23解析 如图，设A ，M ，N 为圆周的三等分点，当B 点取在优弧MAN 上时，对劣弧AB 来说，其长度小于1，故其概率为23. 8．(2013·某某)现有某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n (m ≤7，n ≤9)可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为________．答案 2063解析 P ＝4×57×9＝2063. 9．抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1,2,3,4的正四面体，其底面落于桌面，记所得的数字分别为x ，y ，则x y 为整数的概率是________．答案 12解析 将抛掷甲、乙两枚质地均匀的正四面体所得的数字x ，y 记作有序实数对(x ，y )，共包含16个基本事件，其中x y为整数的有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(4,2)，共8个基本事件，故所求的概率为816＝12. 10．已知区域Ω＝{(x ，y )|x ＋y ≤10，x ≥0，y ≥0}，A ＝{(x ，y )|x －y ≥0，x ≤5，y ≥0}，若向区域Ω上随机投1个点，则这个点落入区域A 的概率P (A )＝________.答案 14解析 作出如图所示的可行域，易得区域Ω的面积为12×10×10＝50， 区域A (阴影部分)的面积为12×5×5＝252.故该点落在区域A 的概率 P (A )＝25250＝14. 三、解答题11．某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员，某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所示，现从中随机抽取一名队员，求：(1)该队员只属于一支球队的概率；(2)该队员最多属于两支球队的概率．解 从图中可以看出，3个球队共有20名队员．(1)记“随机抽取一名队员，该队员只属于一支球队”为事件A .所以P (A )＝3＋5＋420＝35.故随机抽取一名队员，只属于一支球队的概率为35. (2)记“随机抽取一名队员，该队员最多属于两支球队”为事件B .则P (B )＝1－P (B )＝1－220＝910. 故随机抽取一名队员，该队员最多属于两支球队的概率为910. 12．在一次“知识竞赛”活动中，有A 1，A 2，B ，C 四道题，其中A 1，A 2为难度相同的容易题，B 为中档题，C 为较难题．现甲、乙两位同学均需从四道题目中随机抽取一题作答．(1)求甲、乙两位同学所选的题目难度相同的概率；(2)求甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度的概率．解 由题意可知，甲、乙两位同学分别从四道题中随机抽取一题，所有可能的结果有16个，它们是：(A 1，A 1)，(A 1，A 2)，(A 1，B )，(A 1，C )，(A 2，A 1)，(A 2，A 2)，(A 2，B )，(A 2，C )，(B ，A 1)，(B ，A 2)，(B ，B )，(B ，C )，(C ，A 1)，(C ，A 2)，(C ，B )，(C ，C )．(1)用M 表示事件“甲、乙两位同学所选的题目难度相同”，则M 包含的基本事件有：(A 1，A 1)，(A 1，A 2)，(A 2，A 1)，(A 2，A 2)，(B ，B )，(C ，C )，共6个，所以P (M )＝616＝38.(2)用N 表示事件“甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度”，则N 包含的基本事件有：(B ，A 1)，(B ，A 2)，(C ，A 1)，(C ，A 2)，(C ，B )，共5个，所以P (N )＝516. 13．现有8名数理化成绩优秀者，其中A 1，A 2，A 3数学成绩优秀，B 1，B 2，B 3物理成绩优秀，C 1，C 2化学成绩优秀．从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛．(1)求C 1被选中的概率；(2)求A 1和B 1不全被选中的概率．解 (1)从8人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间为Ω＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 1，B 3，C 1)，(A 1，B 3，C 2)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 2)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 2，C 2)，(A 2，B 3，C 1)，(A 2，B 3，C 2)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 2)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 2，C 2)，(A 3，B 3，C 1)，(A 3，B 3，C 2)}．由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等．因此这些基本事件的发生是等可能的．用M 表示“C 1恰被选中”这一事件，则M ＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 3，C 1)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 3，C 1)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 3，C 1)}．事件M 由9个基本事件组成，因而P (M )＝918＝12. (2)用N 表示“A 1，B 1不全被选中”这一事件，则其对立事件N 表示“A 1，B 1全被选中”这一事件，由于N ＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)}，事件N 由2个基本事件组成，所以P (N )＝218＝19. 由对立事件的概率公式得P (N )＝1－P (N )＝1－19＝89.。
2014年高考数学一轮复习 热点难点精讲精析 11.2概率
2014年高考一轮复习热点难点精讲精析：11.2概率一、随机事件的概率※相关链接※1．事件的判断震怒地三种事件即不可能事件、尽然事件和随机事件的概念充分理解，特别是随机事件要看它是否可能发生，并且是在一定条件下的，它不同于判断命题的真假。
2．对随机事件的理解应包含下面两个方面：（1）随机事件是指一定条件下出现的某种结果，随着条件的改变其结果也会不同，因此必须强调同一事件必须在相同的条件下研究；（2）随机事件可以重复地进行大量试验，每次试验结果不一定相同，且无法预测下一次的结果，但随着试验的重复进行，其结果呈现规律性。
※例题解析※〖例〗一个口袋装有5个白球和3个黑球，从中任意取出一个球：（1）“取出的球是红球”是什么事件？（2）“取出的球是黑球”是什么事件？（3）“取出的球是白球或黑球”是什么事件？思路解析：结合必然事件、不可能事件、随机事件的概念求解。
解答：（1）由于口袋内只装有黑、白两种颜色的球，故“取出的球是红球”是不可能事件；（2）由已知，从口袋内取出一个球，可能是白球也可能是黑球，故“取出的球是黑球”是随机事件；（3）由于口袋内装的黑、白两种颜色的球，故取出一个球不是黑球，就是白球鞋。
因此，“取出的球是白球或黑球”是必然事件。
（二）随机事件的频率与概率※相关链接※1．随机事件的频率，指此事件发生的次数与试验总次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。
我们给这个常数取一个名字，叫做这个随机事件的概率；2．概率可看做频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近。
只要次数足够多，所是频率就近似地当做随机事件的概率。
※例题解析※〖例〗某篮球运动员在最近几场大赛中罚球投篮的结果如下：（1）计算表中进球的频率；（2）这位运动员投篮一次，进球的概率是多少？ 思路解析：解答本题可根据频率的计算公式()An n f A n=，其中n 为相同条件下重复的试验次数，A n 为事件A 出现的次数，且随着试验次数的增多，频率接近概率解答：（1）由公式可计算出每场比赛该运动员罚球进球的频率依次为（2）由（1）知，每场比赛进球的频率虽然不同，但频率总是在34的附近摆动，可知该运动员投篮一次，进球的概率约为34。
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高频考点分析 传统概率的计算典型例题：例1. （2012年北京市理5分）设不等式组0x 20y 2≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点。
则此点到坐标原点的距离大于2的概率是【 】 A.4πB.22π- C.6πD.44π-【答案】 D 。
【考点】几何概率。
【解析】不等式组0x 20y 2≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域D 是一个边长为2的正方形，如画图可知，区域内到坐标原点的距离大于2的点为红色区域，它的面积为正方形的面积减四分之一圆的面积：22122=44ππ-⋅⋅-。
∴此点到坐标原点的距离大于2的概率是44π-。
故选D 。
例2. （2012年安徽省文5分）袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于【 】 ()A15 ()B 25 ()C 35 ()D 45【答案】B 。
【考点】概率。
【解析】1个红球，2个白球和3个黑球记为红1，白1，白2，黑1，黑2，黑3。
画树状图如下：从袋中任取两球，共有15种等可能结果，满足两球颜色为一白一黑有6种，∴概率等于62155=。
故选B 。
例3. （2012年广东省理5分）从概率位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是【 】 A.49 B. 13 C. 29 D. 19【答案】D 。
【考点】分类讨论的思想，概率。
【解析】由题意知，个位数与十位数应该一奇一偶。
①个位数为奇数，十位数为偶数共有5×5=25个两位数； ②个位数为偶数，十位数为奇数共有5×4=20个两位数。
两类共有25+20=45个数，其中个位数为0，十位数为奇数的有10,30,50,70,90共5个数。
∴概率位数为0的概率是545=19。
故选D 。
例4. （2012年湖北省理5分）如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆。
在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是【 】A. 21π-B.112π- C. 2π D.1π【答案】A 。
【考点】概率，扇形面积，特殊元素法。
【解析】取大圆的半径为2，则小圆半径为1，如图，两个半圆相交的阴影部分是两个弓形，连接OC ，取OA 的中点D ，连接CD 。
∴两个半圆相交的阴影部分面积为21112111=1422ππ⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪⎝--⎭。
又∵扇形OAB 的面积为21=2=4S ππ⨯扇，∴阴影部分的面积为11121+1=2222πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯⨯⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣-⎦----。
在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率22==1P πππ--。
故选A 。
例5. （2012年福建省理5分）如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为【 】A.14B.15C.16D.17 【答案】C 。
【考点】定积分的计算，几何概型的计算。
【解析】∵)31212021211=32326S x dx x x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭--⎰影阴， ∴利用几何概型公式得：116=16S P S ==影正方形阴。
故选C 。
例6. （2012年辽宁省理5分）在长为12cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，领边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32cm 2的概率为【 】 (A)16 (B) 13 (C) 23 (D) 45【答案】C 。
【考点】函数模型的应用、不等式的解法、几何概型的计算。
【解析】设线段AC 的长为x cm ，则线段CB 的长为(12x -)cm 。
那么矩形的面积为(12)x x -cm 2。
由(12)32x x -<，解得48x x <>或。
又012x <<，所以该矩形面积小于32cm 2的概率为4+42=123。
故选C 。
例7. （2012年辽宁省文5分）在长为12cm 的线段AB 上任取一点C. 现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ,CB 的长，则该矩形面积大于20cm 2的概率为【 】 :(A)16 (B) 13 (C) 23 (D) 45【答案】C 。
【考点】函数模型的应用、不等式的解法、几何概型的计算【解析】设线段AC 的长为x cm ，则线段CB 的长为(12x -)cm ,那么矩形的面积为(12)x x -cm 2，由(12)20x x ->，解得210x <<。
又012x <<，所以该矩形面积大于20cm 2的概率为82=123。
故选C 。
例8. （2012年上海市文4分）三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 ▲ （结果用最简分数表示）. 【答案】23。
【考点】排列组合概率问题（古典概型）。
【解析】设概率m p n=，则27232323=⋅⋅=C C C n 。
求k ，分三步：①选二人，让他们选择的项目相同，有23C 种；②确定上述二人所选择的相同的项目，有13C 种；③确定另一人所选的项目，有12C 种. 所以18121323=⋅⋅=C C C k ，故182273p ==。
例9. （2012年湖南省理5分）函数()sin f x x ωϕ+=（）的导函数()y f x '=的部分图像如图所示，其中，P 为图像与y 轴的交点，A ,C 为图像与x 轴的两个交点，B 为图像的最低点.（1）若6πϕ=，点P 的坐标为02⎛⎝⎭，，则ω= ▲ ; （2）若在曲线段 ABC 与x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC 内的概率为 ▲ .【答案】（1）3；（2）4π。
【考点】三角函数的图像与性质，定积分，几何概率。
【解析】（1）()y f x '=cos()x ωωϕ=+，当6πϕ=，点P的坐标为0⎛ ⎝⎭时，cos6πω=， ∴3ω=。
（2）由图知222T AC ππωω===，122ABC S AC πω∆=⋅=。
∵()y f x '=cos()x ωωϕ=+，∴曲线段 ABC 与x 轴所围成的区域面积为()()3322223[]=|sinsin 222f x dx f x ππϕϕωωππϕϕωωππ-----'-=---=⎰（）。
由几何概率知该点在△ABC 内的概率为224ABC S P S ππ∆===。
例10. （2012年浙江省文5分）从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点，则该两点间的距离为2的概率是 ▲ 。
【答案】25。
【考点】随机事件的概率。
【解析】从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点共有25C =10种，若使两点间的距离为2，则为对角线一半，选择点必含中心，共有4种可能。
故该两点间的距离为2的概率是42105=。
例11. （2012年重庆市文5分）某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其它三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为 ▲ （用数字作答）。
【答案】15。
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率，古典概型及其概率计算公式。
【分析】语文、数学、外语三门文化课两两不相邻的排法可分为两步，先把其它三门艺术课排列有33A 种排法，第二步把语文、数学、外语三门文化课插入由那三个隔开的四个空中，有34A 种排法，∴所有的排法种数为33A 34A =144。
∴在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为333466321432116543215A A A ⨯⨯⨯⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯。
例12. （2012年重庆市理5分）某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课个1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为 ▲ （用数字作答）. 【答案】35。
【考点】排列数公式及概率。
【分析】随意安排6节课的方法数为66720A =，而“相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课”的对立事件为“相邻两节文化课之间排3节艺术课或排2节艺术课”，共有2882132312323333=+A A A A A A 。
∴其概率为288317205-=。
例13. （2012年江苏省5分）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ▲ ．【答案】35。
【考点】等比数列，概率。
【解析】∵以1为首项，3-为公比的等比数列的10个数为1，－3，9，-27，···其中有5个负数，1个正数1计6个数小于8，∴从这10个数中随机抽取一个数，它小于8的概率是63= 105。
例14. （2012年山东省文12分）袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2.(Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；(Ⅱ)现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.【答案】解：(Ⅰ)画树状图：∵图中可见，从五张卡片中任取两张的所有等可能情况有10种，其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况，∴这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率为3P10 =。
(Ⅱ)画树状图：∵图中可见，从六张卡片中任取两张的所有等可能情况有15种，其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有8种情况，∴这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率为8P 15=。
【考点】概率。
【解析】(Ⅰ)画树状图，找出从五张卡片中任取两张的所有等可能情况和其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的情况，即可求出概率。
(Ⅱ)画树状图，找出从六张卡片中任取两张的所有等可能情况和其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的情况，即可求出概率。
例15. （2012年江西省文12分）如图，从1(1,0,0)A ，2(2,0,0)A ，1(0,1,0)B ，2(0,2,0)B ，1(0,0,1)C ，2(0,0,2)C 这6个点中随机选取3个点。
（1） 求这3点与原点O 恰好是正三棱锥的四个顶点的概率； （2） 求这3点与原点O 共面的概率。
【答案】解：（1）∵总的结果数为36=C 20种，满足条件的种数为2种：111222,O A B CO A B C --，∴所求概率为212010=。
（2）∵满足条件的情况为12(,,)A A B ,122(,)A A B ,121(,,)A A C ,122(,,)A A C ,121(,,)B B C ,122(,,)B B C ，∴所求概率为632010=。