高一数学12月月考试题及答案
北京市2023-2024学年高一上学期12月月考试题 数学含解析
2023-2024学年度第一学期北京高一数学12月月考试卷（答案在最后）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分1.已知集合{}2,A x x k k ==∈Z ，{}33B x x =-<<，那么A B = （）A.{}1,1- B.{}2,0-C.{}2,0,2- D.{}2,1,0,1--2.方程组22205x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是（）A.()(){}1,2,1,2--B.()(){}1,2,1,2--C.()(){}2,1,2,1-- D.()(){}2,1,2,1--3.命题“x ∃∈R ，2230x x --<”的否定形式是（）A.x ∃∈R ，2230x x -->B.x ∃∈R ，2230x x --≥C.x ∀∈R ，2230x x --< D.x ∀∈R ，2230x x --≥4.下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的是（）A.ln y x =B.2x y =C.3y x = D.1y x=-5.某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是A.56B.60C.140D.1206.设lg2a =，12log 3b =，0.22c =，则（）A.a b c <<B.a c b<< C.b a c<< D.<<b c a7.若122log log 2a b +=，则有A.2a b= B.2b a= C.4a b= D.4b a=8.若()f x 是偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，()1f x x =-，则()10f x -<的解集是（）A.{}10x x -<<B.{0x x <或}12x <<C.{}02x x << D.{}12x x <<9.设函数()f x 的定义域为R ，则“()f x 是R 上的增函数”是“任意0a >，()()y f x a f x =+-无零点”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.某企业生产,A B 两种型号的产品，每年的产量分别为10万支和40万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的,A B 两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%，那么至少经过多少年后，A 产品的年产量会超过B 产品的年产量（取20.3010lg =）A.6年B.7年C.8年D.9年二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11.函数()1lg(1)2f x x x =-+-的定义域为___________.12.已知方程2410x x -+=的两根为1x 和2x ，则2212x x +=______；12x x -=______.13.设函数()f x 同时满足以下条件：①定义域为R ；②()01f =；③1x ∀，2R x ∈，当12x x ≠时，()()21210f x f x x x -<-；试写出一个函数解析式()f x =______.14.设函数()3log ,x af x x x a ≤≤=>⎪⎩，其中0a >.①若5a =，则()81f f ⎡⎤⎣⎦______；②若函数()3y f x =-有两个零点，则a 的取值范围是______.15.给定函数y ＝f (x )，设集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}．若对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，则称函数f (x )具有性质P ．给出下列三个函数：①1y x =；②12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③y ＝lgx ．其中，具有性质P 的函数的序号是_____．三、解答题（本大题共6小题，共85分.）16.某校高一新生共有320人，其中男生192人，女生128人．为了解高一新生对数学选修课程的看法，采用分层抽样的方法从高一新生中抽取5人进行访谈．（Ⅰ）这5人中男生、女生各多少名？（Ⅱ）从这5人中随即抽取2人完成访谈问卷，求2人中恰有1名女生的概率．17.已知函数()211f x x =-.（1）证明：()f x 为偶函数；（2）用定义证明：()f x 是()1,+∞上的减函数；（3）直接写出()f x 在()1,+∞的值域.18.甲和乙分别记录了从初中一年级（2017年）到高中三年级（2022年）每年的视力值，如下表所示2017年2018年2019年2020年2021年2022年甲4.944.904.954.824.80 4.79乙 4.86 4.904.864.844.744.72（1）计算乙从2017年到2022年这6年的视力平均值；（2）从2017年到2022年这6年中随机选取2年，求这两年甲的视力值都比乙高0.05以上的概率；（3）甲和乙的视力平均值从哪年开始连续三年的方差最小？（结论不要求证明）19.某厂将“冰墩墩”的运动造型徽章纪念品定价为50元一个，该厂租用生产这种纪念品的厂房，租金为每年20万元，该纪念品年产量为x 万个()020x <≤，每年需投入的其它成本为()215,0102256060756,1020x x x C x x x x ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩（单位：万元），且该纪念品每年都能买光.（1）求年利润()f x （单位：万元）关于x 的函数关系式；（2）当年产量x 为何值时，该厂的年利润最大？求出此时的年利润.20.已知函数()()12log 21xf x mx =+-，m ∈R .（1）求()0f ；（2）若函数()f x 是偶函数，求m 的值；（3）当1m =-时，当函数()y f x =的图象在直线=2y -的上方时，求x 的取值范围.21.设A 是实数集的非空子集，称集合{|,B uv u v A =∈且}u v ≠为集合A 的生成集．（1）当{}2,3,5A =时，写出集合A 的生成集B ；（2）若A 是由5个正实数构成的集合，求其生成集B 中元素个数的最小值；（3）判断是否存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，并说明理由．2023-2024学年度第一学期北京高一数学12月月考试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分1.已知集合{}2,A x x k k ==∈Z ，{}33B x x =-<<，那么A B = （）A.{}1,1- B.{}2,0-C.{}2,0,2- D.{}2,1,0,1--【答案】C 【解析】【分析】解不等式()323k k Z -<<∈，求得整数k 的取值，由此可求得A B ⋂.【详解】解不等式323k -<<，得3322k -<<，k Z ∈ ，所以，整数k 的可能取值有1-、0、1，因此，{}2,0,2A B =- .故选：C.【点睛】本题考查交集的计算，考查计算能力，属于基础题.2.方程组22205x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是（）A.()(){}1,2,1,2--B.()(){}1,2,1,2--C.()(){}2,1,2,1-- D.()(){}2,1,2,1--【答案】A 【解析】【分析】利用代入消元法，求解方程组的解集即可．【详解】因为22205x y x y +=⎧⎨+=⎩，所以2y x =-代入225x y +=，即()2225x x +-=，解得1x =±.当=1x -时，()212y =-⨯-=；当1x =时，212y =-⨯=-.故22205x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是()(){}1,2,1,2--.故选：A.3.命题“x ∃∈R ，2230x x --<”的否定形式是（）A.x ∃∈R ，2230x x -->B.x ∃∈R ，2230x x --≥C.x ∀∈R ，2230x x --<D.x ∀∈R ，2230x x --≥【答案】D 【解析】【分析】直接根据特称命题的否定是全称命题来得答案.【详解】根据特称命题的否定是全称命题可得命题“x ∃∈R ，2230x x --<”的否定形式是x ∀∈R ，2230x x --≥.故选：D.4.下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的是（）A.ln y x =B.2x y =C.3y x =D.1y x=-【答案】C 【解析】【分析】由函数的奇偶性和单调性的定义对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A ，ln y x =的定义域为{}0x x >，不关于原点对称，所以ln y x =是非奇非偶函数，故A 不正确；对于B ，2x y =的定义域为R ，关于原点对称，而()()122xx f x f x --==≠-，所以2x y =不是奇函数，故B 不正确；对于C ，3y x =的定义域为R ，关于原点对称，而()()()33f x x x f x -=-=-=-，所以3y x =是奇函数且在R 上是增函数，故C 正确；对于D ，1y x=-定义域为{}0x x ≠，关于原点对称，()()1f x f x x -==-，所以1y x=-是奇函数，1y x=-在(),0∞-和()0,∞+上单调递增，不能说成在定义域上单调递增，因为不满足增函数的定义，故D 不正确.故选：C .5.某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是A.56B.60C.140D.120【答案】C 【解析】【详解】试题分析：由题意得，自习时间不少于22.5小时的频率为(0.160.080.04) 2.50.7++⨯=，故自习时间不少于22.5小时的人数为0.7200140⨯=，故选C.考点：频率分布直方图及其应用．6.设lg2a =，12log 3b =，0.22c =，则（）A.a b c <<B.a c b<< C.b a c<< D.<<b c a【答案】C 【解析】【分析】借助中间量0,1可确定大小.【详解】对于lg2a =，由lg2lg1=0,lg2lg10=1><得01a <<，对于12log 3b =，由1122log 3log 10<=得0b <，对于0.22c =，由0.20221>=得1c >，所以b a c <<.故选：C.7.若122log log 2a b +=，则有A.2a b = B.2b a= C.4a b= D.4b a=【答案】C 【解析】【分析】由对数的运算可得212log log a b +=2log 2ab=,再求解即可.【详解】解:因为212log log a b +=222log log log 2a b ab-==,所以224a b==，即4a b =，故选:C.【点睛】本题考查了对数的运算,属基础题.8.若()f x 是偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，()1f x x =-，则()10f x -<的解集是（）A.{}10x x -<<B.{0x x <或}12x <<C.{}02x x << D.{}12x x <<【答案】C 【解析】【分析】根据()f x 是偶函数，先得到()0f x <的解集，再由()10f x -<，将1x -代入求解.【详解】因为[)0,x ∈+∞时，()1f x x =-，所以由()0f x <，解得01x ≤<，又因为()f x 是偶函数，所以()0f x <的解集是11x -<<，所以()10f x -<，得111x -<-<，解得02x <<所以()10f x -<的解集是{}02x x <<，故选：C9.设函数()f x 的定义域为R ，则“()f x 是R 上的增函数”是“任意0a >，()()y f x a f x =+-无零点”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由()f x 是R 上的增函数得()()f x a f x +>，即()()0y f x a f x =+>-无零点，满足充分性；反之若对任意0a >，()()f x a f x +<，满足()()y f x a f x =+-无零点，但不满足()f x 是R 上的增函数，不满足必要性，即可判断.【详解】若()f x 是R 上的增函数，则对任意0a >，显然x a x +>，故()()f x a f x +>，即()()0y f x a f x =+>-无零点，满足充分性；反之，若对任意0a >，()()f x a f x +<，即()()0f x a f x +<-，满足()()y f x a f x =+-无零点，但()f x 是R 上的减函数，不满足必要性，故“()f x 是R 上的增函数”是“任意0a >，()()y f x a f x =+-无零点”的充分而不必要条件.故选：A.10.某企业生产,A B 两种型号的产品，每年的产量分别为10万支和40万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的,A B 两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%，那么至少经过多少年后，A 产品的年产量会超过B 产品的年产量（取20.3010lg =）A.6年 B.7年 C.8年 D.9年【答案】B 【解析】【分析】依题求出经过x 年后，A 产品和B 产品的年产量分别为310(2x，640()5x，根据题意列出不等式，求出x 的范围即可得到答案.【详解】依题经过x 年后，A 产品的年产量为1310(110()22xx+=）B 产品的年产量为1640(140()55x x +=，依题意若A 产品的年产量会超过B 产品的年产量，则3610()40(25xx>化简得154x x +>，即lg 5(1)lg 4x x >+，所以2lg 213lg 2x >-，又20.3010lg =，则2lg 26.206213lg 2≈-所以至少经过7年A 产品的年产量会超过B 产品的年产量.故选：B【点睛】本题主要考查指数函数模型，解指数型不等式，属于基础题.二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11.函数()1lg(1)2f x x x =-+-的定义域为___________.【答案】()()1,22,⋃+∞【解析】【分析】根据函数的解析式，列出函数有意义时满足的不等式，求得答案.【详解】函数()()1lg 12f x x x =-+-需满足1020x x ->⎧⎨-≠⎩，解得1x >且2x ≠，故函数()()1lg 12f x x x =-+-的定义域为()()1,22,⋃+∞，故答案为：()()1,22,⋃+∞12.已知方程2410x x -+=的两根为1x 和2x ，则2212x x +=______；12x x -=______.【答案】①.14②.【解析】【分析】利用韦达定理可得2212x x +、12x x -的值.【详解】因为方程2410x x -+=的两根为1x 和2x ，由韦达定理可得124x x +=，121=x x ，所以，()2221222121242114x x x x x x =+-=-=+⨯，12x x -===.故答案为：14；.13.设函数()f x 同时满足以下条件：①定义域为R ；②()01f =；③1x ∀，2R x ∈，当12x x ≠时，()()21210f x f x x x -<-；试写出一个函数解析式()f x =______.【答案】1x -+（答案不唯一）【解析】【分析】由题意首先由③得到函数的单调性，再结合函数定义域，特殊点的函数值，容易联想到一次函数，由此即可得解.【详解】由③，不妨设12x x ∀<，即210x x ->，都有()()21210f x f x x x -<-，即()()210f x f x -<，即()()21f x f x <，所以由题意可知()f x 是定义域为R 的减函数且满足()01f =，不妨设一次函数y x b =-+满足题意，则10b =-+，即1b =.故答案为：1x -+.14.设函数()3log ,x a f x x x a ≤≤=>⎪⎩，其中0a >.①若5a =，则()81f f ⎡⎤⎣⎦______；②若函数()3y f x =-有两个零点，则a 的取值范围是______.【答案】①.2②.[)9,27【解析】【分析】①代值计算即可；②分别画出()y f x =与3y =的图象，函数有两个零点，结合图象可得答案．【详解】①当5a =时，()35log ,5x f x x x ≤≤=>⎪⎩因为815>，所以()43381log 81log 345f ===<，所以()()8142f f f ⎡⎤===⎣⎦.②因为函数()3y f x =-有两个零点，所以()3f x =，即()y f x =与3y =的图象有两个交点.3=得9x =，3log 3x =得27x =.结合图象可得927a ≤<，即[)9,27a ∈.所以a 的取值范围是[)9,27.故答案为：①2；②[)9,27.15.给定函数y ＝f (x )，设集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}．若对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，则称函数f (x )具有性质P ．给出下列三个函数：①1y x =；②12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③y ＝lgx ．其中，具有性质P 的函数的序号是_____．【答案】①③【解析】【分析】A 即为函数的定义域，B 即为函数的值域，求出每个函数的定义域及值域，直接判断即可．【详解】对①，A ＝(﹣∞，0)∪(0，+∞)，B ＝(﹣∞，0)∪(0，+∞)，显然对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，即具有性质P ；对②，A ＝R ，B ＝(0，+∞)，当x ＞0时，不存在y ∈B ，使得x +y ＝0成立，即不具有性质P ；对③，A ＝(0，+∞)，B ＝R ，显然对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，即具有性质P ；故答案为：①③．【点睛】本题以新定义为载体，旨在考查函数的定义域及值域，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共85分.）16.某校高一新生共有320人，其中男生192人，女生128人．为了解高一新生对数学选修课程的看法，采用分层抽样的方法从高一新生中抽取5人进行访谈．（Ⅰ）这5人中男生、女生各多少名？（Ⅱ）从这5人中随即抽取2人完成访谈问卷，求2人中恰有1名女生的概率．【答案】（Ⅰ）男生3人，女生2人；（Ⅱ）35【解析】【分析】(Ⅰ)利用分层抽样按比例计算出这5人中男生人数和女生人数．(Ⅱ)记这5人中的3名男生为B 1，B 2，B 3，2名女生为G 1，G 2，利用列举法能求出抽取的2人中恰有1名女生的概率．【详解】(Ⅰ)这5人中男生人数为19253320⨯=，女生人数为12852320⨯=．(Ⅱ)记这5人中的3名男生为B 1，B 2，B 3，2名女生为G 1，G 2，则样本空间为：Ω＝{(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，G 1)，(B 1，G 2)，(B 2，B 3)，(B 2，G 1)，(B 2，G 2)，(B 3，G 1)，(B 3，G 2)，(G 1，G 2)}，样本空间中，共包含10个样本点．设事件A 为“抽取的2人中恰有1名女生”，则A ＝{(B 1，G 1)，(B 1，G 2)，(B 2，G 1)，(B 2，G 2)，(B 3，G 1)，(B 3，G 2)}，事件A 共包含6个样本点．从而()63105P A ==所以抽取的2人中恰有1名女生的概率为35．【点睛】本题考查古典概型概率，考查分层抽样、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．17.已知函数()211f x x =-.（1）证明：()f x 为偶函数；（2）用定义证明：()f x 是()1,+∞上的减函数；（3）直接写出()f x 在()1,+∞的值域.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）()0,∞+【解析】【分析】（1）根据奇偶性的定义证明即可；（2）利用单调性定义证明即可；（3）根据单调性直接求得即可.【小问1详解】由函数()211f x x =-可知210x -¹，即1x ≠±，所以函数()f x 的定义域为{}1D x x =≠±，所以x D ∀∈，()()()221111f x f x x x -===---，故()f x 为偶函数.【小问2详解】假设()12,1,x x ∀∈+∞且12x x <，则()()()()()()()()()()()222221212121122222222212121212111111111111x x x x x x x x f x f x x x x x x x x x ----+--=-===--------，由()12,1,x x ∀∈+∞，12x x <知()()222121120,0,110x x x x x x ->+>++>，从而()()120f x f x ->，即()()12f x f x >.所以()f x 是()1,+∞上的减函数.【小问3详解】因为()f x 在()1,+∞上减函数，所以()f x 在()1,+∞的值域为()0,∞+.18.甲和乙分别记录了从初中一年级（2017年）到高中三年级（2022年）每年的视力值，如下表所示2017年2018年2019年2020年2021年2022年甲 4.94 4.90 4.95 4.82 4.80 4.79乙4.864.904.864.844.744.72（1）计算乙从2017年到2022年这6年的视力平均值；（2）从2017年到2022年这6年中随机选取2年，求这两年甲的视力值都比乙高0.05以上的概率；（3）甲和乙的视力平均值从哪年开始连续三年的方差最小？（结论不要求证明）【答案】（1）4.82（2）25（3）甲的视力平均值从2020开始连续三年的方差最小，乙的视力平均值从2017开始连续三年的方差最小.【解析】【分析】（1）利用平均数公式计算即可；（2）列表分析，利用古典概型概率公式计算即可（3）由表中数据分析波动性即可得结论.【小问1详解】乙从2017年到2022年这6年的视力平均值为：4.86 4.90 4.86 4.84 4.74 4.724.826+++++=.【小问2详解】列表：2017年2018年2019年2020年2021年2022年甲 4.94 4.90 4.95 4.82 4.80 4.79乙 4.864.904.864.844.744.72甲与乙视力值的差0.0800.090.02-0.060.07由表格可知：2017年到2022年这6年中随机选取2年，这两年甲的视力值都比乙高0.05上的年份由有4年，故所求概率为：2426C 62C 155P ===【小问3详解】从表格数据分析可得：甲的视力平均值从2020开始连续三年的方差最小，乙的视力平均值从2017开始连续三年的方差最小.19.某厂将“冰墩墩”的运动造型徽章纪念品定价为50元一个，该厂租用生产这种纪念品的厂房，租金为每年20万元，该纪念品年产量为x 万个()020x <≤，每年需投入的其它成本为()215,0102256060756,1020x x x C x x x x ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩（单位：万元），且该纪念品每年都能买光.（1）求年利润()f x （单位：万元）关于x 的函数关系式；（2）当年产量x 为何值时，该厂的年利润最大？求出此时的年利润.【答案】（1）()214520,0102256010736,1020x x x f x x x x ⎧-+-<≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-++<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）当年产量x 为16万个时，该厂的年利润最大，为416万元【解析】【分析】（1）根据利润等于销售总额减去总成本即可得出答案.（2）求出分段函数每一段的最大值，进行比较即可得出答案.【小问1详解】由题意得：()()5020f x x C x =--，()020x <≤.因为()215,0102256060756,1020x x x C x x x x ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩所以()2150205,01022560502060756,1020x x x x f x x x x x ⎧⎛⎫--+<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪--+-<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，即()214520,0102256010736,1020x x x f x x x x ⎧-+-<≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-++<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩.【小问2详解】当010x <≤时，函数()2145202f x x x =-+-在(]0,10单调递增，此时()()2max 110104510203802f x f ==-⨯+⨯-=.当1020x <≤时，函数()256010736f x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭在()10,16上单调递增，在()16,20上单调递减，此时()()max 256016101673641638016f x f ⎛⎫==-⨯++=> ⎪⎝⎭.综上可得：当年产量x 为16万个时，该厂的年利润最大，为416万元.20.已知函数()()12log 21x f x mx =+-，m ∈R .（1）求()0f ；（2）若函数()f x 是偶函数，求m 的值；（3）当1m =-时，当函数()y f x =的图象在直线=2y -的上方时，求x 的取值范围.【答案】（1）1-（2）12m =-（3）21log 3x >【解析】【分析】（1）直接将0x =代入计算；（2）通过计算()()0f x f x --=恒成立可得m 的值；（3）解不等式()12log 212xx ++>-即可.【小问1详解】由已知得()()12log 2110f =+=-；【小问2详解】函数()f x 是偶函数，()()()()11122221log 21log 21log 212x xxx mxf x f x mx mx --⎡⎤+∴--=+--++⎢+⎣-=⎥⎦()1222210log 2x mx x mx x m =-=--=-+=，又()210x m -+=要恒成立，故210m +=，解得12m =-；【小问3详解】当1m =-时，()()12log 21x f x x =++，当函数()y f x =的图象在直线=2y -的上方时有()12log 212xx ++>-，()2211222112422l 2og 212log 21x xxxx x x --+--⎛⎫⎛⎫⇒==⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝+>--=+<⎭21log 31321223xx⇒⨯>⇒>=解得21log 3x >.21.设A 是实数集的非空子集，称集合{|,B uv u v A =∈且}u v ≠为集合A 的生成集．（1）当{}2,3,5A =时，写出集合A 的生成集B ；（2）若A 是由5个正实数构成的集合，求其生成集B 中元素个数的最小值；（3）判断是否存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，并说明理由．【答案】（1）{}6,10,15B =（2）7（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解.（2）设{}12345,,,,A a a a a a =，且123450a a a a a <<<<<，利用生成集的定义即可求解；（3）不存在，理由反证法说明.【小问1详解】{}2,3,5A =Q ，{}6,10,15B ∴=【小问2详解】设{}12345,,,,A a a a a a =，不妨设123450a a a a a <<<<<，因为41213141525355a a a a a a a a a a a a a a <<<<<<，所以B 中元素个数大于等于7个，又{}254132,2,2,2,2A =，{}34689572,2,2,2,2,2,2B =，此时B 中元素个数等于7个，所以生成集B 中元素个数的最小值为7.【小问3详解】不存在，理由如下：假设存在4个正实数构成的集合{},,,A a b c d =，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，不妨设0a b c d <<<<，则集合A 的生成集{},,,,,B ab ac ad bc bd cd =则必有2,16ab cd ==，其4个正实数的乘积32abcd =；也有3,10ac bd ==，其4个正实数的乘积30abcd =，矛盾；所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =【点睛】关键点点睛：本题考查集合的新定义，解题的关键是理解集合A 的生成集的定义，考查学生的分析解题能力，属于较难题.。
四川省成都市2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题含答案
成都2023-2024学年度上期12月月考高一数学试卷（答案在最后）注意事项：1.本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.2.本堂考试120分钟，满分150分；3.答题前，考生务必先将自己的姓名､学号填写在答题卡上，并使用2B 铅笔填涂.4.考试结束后，将答题卡交回.第I 卷选择题部分，共60分一､单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}012M =,,，{}1,2,3N =，则M N ⋃=（）.A.{}1,2 B.{}0 C.{}0,1,2,3 D.{}0,1【答案】C 【解析】【分析】结合集合的并集运算即可.【详解】结合题意：{}{}{}0,1,21,2,30,1,2,3M N == ，故选：C.2.“=1x ”是“()()120x x --=”的（）条件A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】先解一元二次方程，再根据充分必要条件的推理得出结果.【详解】根据题意，显然当=1x ，可得()()120x x --=成立，所以充分性满足；当()()120x x --=时，可得1x =或2x =，所以必要性不满足；即“=1x ”是“()()120x x --=”的充分不必要条件.故选：A.3.函数()2xf x x =+的零点所在区间是（）A.()2,1-- B.()1,0- C.()0,1 D.()1,2【答案】B 【解析】【分析】分析函数()f x 的单调性，结合零点存在定理可得出结论.【详解】因为函数y x =、2x y =均为R 上的增函数，故函数()2xf x x =+为R 上的增函数，因为()1021112f --+=--=<，()010f =>，由零点存在定理可知，函数()2xf x x =+的零点所在区间是()1,0-.故选：B.4.设奇函数()f x 的定义域为[]5,5-，若当[]0,5x ∈时，()f x 的图象如图，则不等式()0f x <的解集是（）A.(]2,5 B.[)(]5,22,5-⋃ C.()(]2,02,5- D.[)(]5,02,5- 【答案】C 【解析】【分析】结合函数的图像及奇偶性即可解不等式.【详解】根据图像，当0x >时，()0f x <的解为25x <≤，因为函数()f x 为奇函数，所以当0x <时，若()0f x <，即()0f x --<，则()0f x ->所以02x <-<，解得20x -<<，综合得不等式()0f x <的解集是()(]2,02,5- .故选：C.5.设函数()31,11,1xx x f x a x -≤⎧=⎨->⎩（0a >且1a ≠），若()()18f f =，则=a （）A.3B.3± C. D.±【答案】A 【解析】【分析】根据分段函数解析式计算可得.【详解】因为()31,11,1x x x f x a x -≤⎧=⎨->⎩（0a >且1a ≠），所以()1312f =-=，所以()()()21218ff f a==-=，解得3a =或3a =-（舍去）.故选：A6.已知0.10.644,2,log 0.6a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A.c<a<bB.c b a <<C.a b c <<D.b a c<<【答案】A 【解析】【分析】化简a ，通过讨论函数()2xf x =和()4log g x x =的单调性和取值范围即可得出,,a b c 的大小关系.【详解】解：由题意，0.10.242a ==，在()2xf x =中，函数单调递增，且()0f x >，∴0.20.6022b a <<==，在()4log g x x =中，函数单调递增，且当01x <<时，()0g x <，∴4log 0.60c =<，∴c<a<b ，故选：A.7.在我们的日常生活中，经常会发现一个有趣的现象：以数字1开头的数字在各个领域中出现的频率似乎要高于其他数字．这就是著名的本福特定律，也被称为“第一位数定律”或者“首位数现象”，意指在一堆从实际生活中得到的十进制数据中，一个数的首位数字是d （1d =，2，L ，9）的概率为1lg 1d ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．以此判断，一个数的首位数字是1的概率与首位数字是5的概率之比约为（）（参考数据：lg20.301≈，lg30.477≈）A.2.9 B.3.2C.3.8D.3.9【答案】C 【解析】【分析】根据所给定义及对数的运算性质计算可得.【详解】依题意一个数的首位数字是1的概率为lg 2，一个数的首位数字是5的概率为16lg 1lg 55⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所求的比为()lg 2lg 2lg 26lg 6lg 5lg 2lg 3lg10lg 2lg5==-+--lg 20.3013.82lg 2lg 3120.3010.4771=≈≈+-⨯+-．故选：C8.已知函数()f x 定义域为[]1,2a a -，且()1y f x =-的图象关于1x =对称，当[]0,2x a ∈时，()f x 单调递减，则关于x 的不等式()()123f x f x a ->-的解集是（）A.25,36⎛⎤⎥⎝⎦B.15,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.12,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D.20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】分析可知函数()f x 为偶函数，根据偶函数的定义域关于原点对称可求出实数a 的值，根据函数()f x 的单调性、偶函数的性质，结合()()123f x f x a ->-可得出关于实数x 的不等式组，由此可解得x的取值范围.【详解】因为函数()1y f x =-的图象关于1x =对称，令()()1g x f x =-，则()()2g x g x -=，即()()211f x f x --=-，即()()11f x f x -=-，所以，()()f x f x -=，故函数()f x 是定义在[]1,2a a -上的偶函数，则120a a -+=，解得13a =，所以，函数()f x 是定义在22,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的偶函数，由题意可知，函数()f x 在20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，由()()121f x f x ->-可得()()121fx f x ->-，所以，12122133222133x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪-≤-≤⎨⎪⎪-≤-≤⎪⎩，解得2536x <≤.因此，不等式()()123f x f x a ->-的解集为25,36⎛⎤⎥⎝⎦.故选：A.二､多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知实数a b c d ,,,，则下列说法正确的有（）A.若0a b <<，则11a b> B.若0a b >>，0c d >>，则ac bd >C.若,a b c d >>，则a d b c ->- D.若a b >，则22a b >【答案】ABC 【解析】【分析】利用不等式性质及特殊值逐项分析即可.【详解】选项A ：因为0b a >>，所以110a b>>，故A 正确；选项B ：因为0a b >>，0c d >>，所以0ac bd >>，故B 正确；选项C ：因为,a b c d >>，所以d c ->-，所以a d b c ->-，故C 正确；选项D ：a b >，取222,2a b a b ==-⇒=，故D 错误；故选：ABC.10.下列说法正确的有（）A.命题“R x ∀∈，210x x ++>”的否定为“R x ∃∈，210x x ++≤”B.若a b >，c d >，则ac bd>C.若幂函数()22231mm y m m x--=--在区间()0,∞+上是减函数，则2m =或1-D.方程()230x a x a +-+=有一个正实根，一个负实根，则a<0．【答案】AD 【解析】【分析】根据全称命题与存在性命题的关系可判定A ；举反例可判定B ；根据幂函数定义和性质可判定C ；根据一元二次方程的性质可判定D.【详解】对于A 选项，根据全称量词命题的否定的知识可知，命题“R x ∀∈，210x x ++>”的否定为“R x ∃∈，210x x ++≤”，A 选项正确；对于B 选项，若a b >，c d >，如1a =，0b =，1c =-，2d =-，则ac bd <，B 选项错误；对于C 选项，函数()22231m m y m m x --=--是幂函数，所以2211230m m m m ⎧--=⎨--<⎩，解得2m =，所以C 选项错误；对于D 选项，设()()23f x x a x a =+-+，则()f x 有两个零点，且两个零点一正一负，则()00f a =<，所以D 选项正确.故选：AD.11.已知定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的，且满足以下条件：①R x ∀∈，()()f x f x -=；②1x ∀，()20,x ∈+∞，当12x x ≠时，()()21210f x f x x x ->-；③()10f -=．则下列选项成立的是（）A.()()34f f >B.若()()12f m f -<，则()1,3m ∈-C.若()0f x x>，则()()1,00,x ∈-⋃+∞ D.R x ∀∈，R m ∃∈，使得()f x m≥【答案】BD 【解析】【分析】根据给定条件探求出函数()f x 的奇偶性和在()0,∞+的单调性，再逐一分析各选项的条件，计算判断作答.【详解】由R x ∀∈，()()f x f x -=得：函数()f x 是R 上的偶函数，由12,(0,)x x ∀∈+∞，12x x ≠，()()21210f x f x x x ->-得：()f x 在()0,∞+上单调递增，对于A ，根据函数()f x 在()0,∞+上单调递增，可得()()34f f <，故A 错误；对于B ，根据函数()f x 是R 上的偶函数，且()f x 在()0,∞+上单调递增，在(),0∞-上单调递减，则()()()()12|1|2f m f f m f -<⇔-<，又函数()f x 的图象是连续不断的，则有|1|2m -<，解得13m -<<，故B 正确；对于C ，由()0f x x>，则()00f x x >⎧⎨>⎩或()00f x x <⎧⎨<⎩，又()()110f f -==，解得1x >或10x -<<，即()()1,01,x ∈-⋃+∞，故C 错误；对于D ，因R 上的偶函数()f x 的图象连续不断，且()f x 在()0,∞+上单调递增，因此，R x ∀∈，()(0)f x f ≥，取实数m ，使得(0)m f ≤，则R x ∀∈，()f x m ≥，故D 正确.故选：BD.12.直线y m =与函数()223,02ln ,0x x x f x x x ⎧--+≤⎪=⎨->⎪⎩的图象相交于四个不同的点，若从小到大交点横坐标依次记为a ，b ，c ，d ，则下列结论正确的是（）A.[]3,4m ∈B.)40,eabcd ⎡∈⎣C.211,e e c ⎛⎤∈⎥⎝⎦D.56211e 2,e 2e e a b c d ⎡⎫+++∈+-+-⎪⎢⎣⎭【答案】BCD 【解析】【分析】画出函数的图象，利用数形结合思想，结合二次函数和对数函数的性质进行求解即可.【详解】函数的图象如下图所示：当0x ≤时，()2223(1)4f x x x x =--+=-++4≤，此时()30f x x =⇒=或2x =-；当20e x <≤时()2ln f x x =-，此时函数单调递减，当2e x >时()ln 2f x x =-，此时函数单调递增，此时()53e f x x =⇒=或1ex =，()64e f x x =⇒=或21e x =，直线y m =与函数()223,02ln ,0x x x f x x x ⎧--+≤⎪=⎨->⎪⎩有四个不同的点，必有34m ≤<，此时256211210e e e e ea b c d -≤<-<≤<<≤<<≤<，其中2(1)2a b +=⨯-=-，且2223232ln ln 2a a b b c d m --+=--+=-=-=，因此有3ab m =-，42ln ln 2ln 4e c d cd cd -=-⇒=⇒=，显然[0,1)ab ∈，因此)40,eabcd ⎡∈⎣，所以选项A 不正确，选项B 、C 正确；因为2a b +=-，211e e c <≤56e e d <≤<，结合图象知：56211e 2e 2e ea b c d +-≤+++<+-，因此选项D 正确，故选：BCD【点睛】关键点睛：利用数形结合思想，得到a ，b ，c ，d 的取值范围是解题的关键.第II 卷非选择题部分，共90分三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若函数()()log 21a f x x =++（0a >且1a ≠），则函数()f x 恒过定点_____．【答案】()1,1-【解析】【分析】根据对数函数的知识求得定点坐标.【详解】由于()1log 111a f -=+=，所以函数()f x 恒过定点()1,1-.故选：()1,1-14.函数()212log 45y x x =--的递减区间为____________.【答案】()5,+∞【解析】【分析】由复合函数的单调性只需求出245u x x =--的单调递增区间，且要满足2450u x x =-->，从而求出答案.【详解】因为12log y u =在()0,∞+上单调递减，由复合函数的单调性可知，()212log 45y x x =--的递减区间为245u x x =--的单调递增区间，且要满足2450u x x =-->，解得5x >或1x <-，其中()224529u x x x =--=--在()5,+∞上单调递增，故()212log 45y x x =--的递减区间为()5,+∞.故答案为：()5,+∞15.如果关于x 的不等式22630x ax a -+-≥的解集为[]12,x x ，其中常数0a >，则12123ax x x x ++的最小值是______.【答案】【解析】【分析】根据不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系和基本不等式即可求解.【详解】不等式22630x ax a -+-≥的解集为[]12,x x ，其中常数0a >，所以12,x x 是方程22630x ax a -+=的实数根，0a >时，()222064324a a a ∆==-⨯>-，所以1221263x x a x x a +=⎧⎨=⎩，所以1212316a x x a x x a ++=+≥，当且仅当16a a =，即66a =时取等号，故12123ax x x x ++的最小值是故答案为：16.定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x +=，且当[]2,4x ∈时，()224,232,34x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩，()1g x ax =+，对[][]124,2,2,1x x ∀∈--∃∈-，使得()()21g x f x =，则实数a 的取值范围为__________.【答案】55,,816⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【解析】【分析】求出()f x 在[]2,4上的值域，利用()()22f x f x +=得到()f x 在[]2,0-上的值域，再求出()g x 在[]2,1-上的值域，根据题意得到两值域的包含关系，从而求出a 的取值范围.【详解】当[]2,4x ∈时，()224,232,34x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩，由于224(2)4y x x x =-+=--+为对称轴为2x =开口向下的二次函数，222x y x x x+==+，由对勾函数的性质可知，函数在(]3,4上单调递增，可得()f x 在[]2,3上单调递减，在(]3,4上单调递增，()()()924,33,42f f f ===，()f x \在[]2,3上的值域为[]3,4，在(]3,4上的值域为119,32⎛⎤⎥⎝⎦，()f x \在[]2,4上的值域为93,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，()()()()()()11122,246248f x f x f x f x f x f x +=∴=+=+=+ ，故当[][]4,2,62,4x x ∈--+∈，()f x \在[]4,2--上的值域为39,816⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当0a >时，()g x 为增函数，()1g x ax =+在[]2,1-上的值域为[]21,1a a -++，31289116a a ⎧≥-⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩，解得516a ≥，故a 的范围是516a ≥；当0<a 时，()g x 为单调递减函数，()1g x ax =+在[]2,1-上的值域为[]1,21a a +-+，31891216a a ⎧≥+⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩，解得5;8a ≤-故a 的范围是58a -≤，综上可知故a 的范围是55,,816⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.四､解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知集合{}2230A x x x =-->，{}40B x x a =-≤.（1）当1a =时，求A B ⋂；（2）若A B = R ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()(]134∞--⋃，，（2）34⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，【解析】【分析】（1）代入1a =，求解集合A ，B ，按照交集的定义直接求解即可；（2）求解集合B ，由并集为全集得出集合B 的范围，从而求出a 的范围.【小问1详解】解：由2230x x -->得1x <-或3x >.所以()()13A ∞∞=--⋃+，，.当1a =时，(]4B ∞=-，.所以()(]134A B ∞⋂=--⋃，，.【小问2详解】由题意知(4B a ∞=-，].又()()13A ∞∞=--⋃+，，，因为A B = R ，所以43a ≥.所以34a ≥.所以实数a 的取值范围是34⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.18.计算（1）2ln3325(0.125)e -+++（24,=求11122a a a a --+-【答案】（1）（2）3±【解析】【分析】（1）直接利用指数幂的运算和对数的运算化简求值；（2）先求出114a a-+=，再求出1122a a --=±即得解.【小问1详解】解：原式=2333421--++（）=741++-.【小问2详解】解：4,=∴224,=1216a a -∴++=.114a a -∴+=.又112122()214212a a a a ---=+-=-=11-22a a ∴-=±.111223a a a a --+∴==±-.19.已知函数()()()lg 2lg 2f x x x =+--.（1）求()f x 的定义域；（2）判断()f x 的奇偶性并予以证明；（3）求不等式()1f x >的解集.【答案】（1）()2,2-（2）奇函数，证明见解析（3）18,211⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据对数函数的性质进行求解即可；（2）根据函数奇偶性的定义进行判断和证明；（3）根据对数函数的单调性进行求解．【小问1详解】要使函数()f x 有意义,则2020x x +>⎧⎨->⎩，解得22x -<<，故所求函数()f x 的定义域为()2,2-；【小问2详解】证明：由（1）知()f x 的定义域为()2,2-，设()2,2x ∀∈-，则()2,2x -∈-,且()()()()lg 2lg 2-=-+-+=-f x x x f x ，故()f x 为奇函数；【小问3详解】因为()1f x >，所以()2lg12+=>-x f x x ，即2lg >lg102x x +-可得2102x x +>-，解得1811x >,又22x -<<，所以18211x <<，所以不等式()1f x >的解集是18,211⎛⎫ ⎪⎝⎭．20.科学实验中，实验员将某种染料倒入装有水的透明水桶，想测试染料的扩散效果，染料在水桶中扩散的速度是先快后慢，1秒后染料扩散的体积是31cm ，2秒后染料扩散的体积是33cm ，染料扩散的体积y 与时间x （单位：秒）的关系有两种函数模型可供选择：①3x y m =，②3log y m x b =+，其中m ，b 均为常数．（1）试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；（2）若染料扩散的体积达到35cm ，至少需要多少秒．【答案】（1）选3log y m x b =+，22log 1y x =+（2）至少需4秒【解析】【分析】(1)根据两种函数模型的特点和题中染料实际扩散的速度选择模型，代入数据即可求出模型的解析式；(2)根据题干条件，列出不等式，解之即可求解.【小问1详解】因为函数3x y m =中，y 随x 的增长而增长，且增长的速度也越来越快，二函数3log y m x b =+中，y 随x 的增长而增长，且增长的速度也越来越慢，根据染料扩散的速度是先快后慢，所以选第二个模型更合适，即3log y m x b =+，由题意可得：33log 11log 23m b m b +=⎧⎨+=⎩，解得：212log 3b m =⎧⎨=⎩，所以该模型的解析式为：2322log 3log 12log 1y x x =+=+，【小问2详解】由（1）知：22log 1y x =+，由题意知：5y ≥，也即22log 15x +≥，则有22log 4x ≥，∴2log 2x ≥，∴4x ≥，∴至少需要4秒．21.已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且对一切0,0x y >>都有()()()x f f x f y y=-，当1x >时，有()0f x >；（1）求(1)f 的值；（2）判断()f x 的单调性并证明；（3）若(6)1f =，解不等式1(5)(2f x f x+-<；【答案】（1）f （1）＝0；（2）()f x 在（0，＋∞）上是增函数，证明见详解；（3）()0,4【解析】【分析】（1）利用赋值法即可求(1)f 的值；（2）任取12,x x ∈（0，＋∞），且12x x <，利用条件可得()()210f x f x ->，进而可得单调性；（3）结合函数单调性将不等式进行转化即可得到结论．【详解】解：令x ＝y ＞0，则f （1）＝f （x ）−f （x ）＝0，所以f （1）＝0；（2）任取12,x x ∈（0，＋∞），且12x x <，则()()2211x f x f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为210x x >>，所以211x x >，则210x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以()()210f x f x ->即()()21f x f x >，所以()f x 在（0，＋∞）上是增函数；（3）因为(6)1f =，所以36()(36)(6)6f f f =-，所以(36)2(6)2f f ==，由1(5)()2f x f x+-<，得[](5)(36)f x x f +<，所以5010(5)36x x x x +>⎧⎪⎪>⎨⎪+<⎪⎩，解得04x <<所以原不等式的解为()0,4．【点睛】本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法是解决抽象函数的关键，是中档题．22.已知函数()ln()()f x x a a R =+∈的图象过点()1,0，2()()2f x g x x e =-.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()ln(2)y f x x k =+-在区间()1,2上有零点，求整数k 的值；（3）设0m >，若对于任意1,x m m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()ln(1)g x m <--，求m 的取值范围.【答案】（1）()ln f x x =；（2）k 的取值为2或3；（3）()1,2.【解析】【分析】（1）根据题意，得到ln(1)0a +=，求得a 的值，即可求解；（2）由（1）可得()2ln 2y x kx =-，得到2210x kx --=，设2()21h x x kx =--，根据题意转化为函数()y h x =在()1,2上有零点，列出不等式组，即可求解；（3）求得()g x 的最大值()g m ，得出max ()ln(1)g x m <--，得到22ln(1)m m m -<--，设2()2ln(1)(1)h m m m m m =-+->，结合()h m 单调性和最值，即可求解.【详解】（1）函数()ln()()f x x a a R =+∈的图像过点()1,0，所以ln(1)0a +=，解得0a =，所以函数()f x 的解析式为()ln f x x =.（2）由（1）可知()2ln ln(2)ln 2y x x k x kx =+-=-，(1,2)x ∈，令()2ln 20x kx -=，得2210x kx --=，设2()21h x x kx =--，则函数()ln(2)y f x x k =+-在区间()1,2上有零点，等价于函数()y h x =在()1,2上有零点，所以(1)10(2)720h k h k =-<⎧⎨=->⎩，解得712k <<，因为Z k ∈，所以k 的取值为2或3.（3）因为0m >且1m m>，所以1m >且101m <<，因为2()22()22(1)1f x g x x e x x x =-=-=--，所以()g x 的最大值可能是()g m 或1g m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为22112()2g m g m m m m m ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22122m m m m ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭112m m m m ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭21(1)0m m m m -⎛⎫=-⋅> ⎪⎝⎭所以2max ()()2g x g m m m ==-，只需max ()ln(1)g x m <--，即22ln(1)m m m -<--，设2()2ln(1)(1)h m m m m m =-+->，()h m 在(1,)+∞上单调递增，又(2)0h =，∴22ln(1)0m m m -+-<，即()(2)h m h <，所以12m <<，1,2.所以m的取值范围是()【点睛】已知函数的零点个数求解参数的取值范围问题的常用方法：f x中分1、分离参数法：一般命题的情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从()离出参数，构造新的函数，求得新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，从而确定参数的取值范围；。
河南省新乡市原阳县2023-2024学年高一上学期12月月考试题 数学含解析
原阳2023-2024学年上学期高一年级12月月考数学试卷（答案在最后）总分150分时长120分钟命题人审核人一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合U =R ，集合{}1M x x =<，11242xN x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<<⎨⎬⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则{}2x x ≥=（）A.()U M N ðB.U N Mð C.()U M N ð D.U M N⋃ð2.已知21log 3a =，32b -=，ln 23c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.a b c<< B.b a c<< C.b<c<aD.a c b<<3.命题2:210p ax x ++=有实数根，若p ⌝是假命题，则实数a 的取值范围是（）A.{|1}a a <B.{|1}a a ≤ C.{|1}a a > D.以上都不对4.若规定a b ad bc cd=-，则不等式0213x x<<的解集是（）A .(1,1)-B.(C.D.(1)-⋃5.在今年的全国政协、人大两会上，代表们呼吁政府切实关心老百姓看病贵的问题，国家决定对某药品分两次降价，假设平均每次降价的百分率为x .已知该药品的原价是m 元，降价后的价格是y 元，则y 与x 的函数关系是（）A.y ＝m (1－x )2B.y ＝m (1＋x )2C.y ＝2m (1－x )D.y ＝2m (1＋x )6.已知7log 2a =，0.7log 0.2b =，0.20.7c =，则a ，b ，c 的大小关系为A.a c b<< B.a b c<< C.b<c<aD.c<a<b7.某食品加工厂2021年获利20万元，经调整食品结构，开发新产品，计划从2022年开始每年比上一年获利增加20%，问从哪一年开始这家加工厂年获利超过60万元（lg 20.3010≈，lg30.4771≈）（）A.2026年B.2027年C.2028年D.2029年8.定义在()0,∞+上的函数()f x 满足：()()112212x f x x f x x x --＜0，且(2)4f =，则不等式8()0f x x->的解集为（）A.()2,∞+ B.()0,2 C.()0,4 D.()4,+∞二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.已知函数()2f x x =的值域为[]0,4，则()f x 的定义域可以是（）A.[]0,2 B.[]2,1- C.[]1,2 D.{}2,0,2-10.已知正实数a ，b 满足42a b +=，则（）A.14ab ≤B.2164a b +≥ C.1192a b +≥D.4+≥11.（多选）已知函数()221f x x x =-++的定义域为()2,3-，则函数()f x 的单调递增区间是（）A.(),1-∞- B.()3,1-- C.()0,1 D.()1,312.设()33,0log ,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，若()0f x a -=有三个不同的实数根，则实数a 的取值可以是（）A.12B.1C.1-D.2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，16题第一个空2分，第二个空3分．13.已知奇函数f (x )在区间[3，6]上是增函数，且在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为－1，则f (6)＋f (－3)的值为________．14.若关于x 的不等式2210ax ax +-<的解集为R ，则实数a 的取值范围是__________．15.若正数x ，y 满足40x y xy +-=，则3x y+的最大值为________．16.设函数()()11,022,0xx f x f x x ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪->⎩，()log (1)a g x x =-，（其中1a >），（1）()2021f =________；（2）若函数()f x 与()g x 的图象有3个交点，则实数a 的取值范围为________．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.求下列各式的值．（1）411231322(0.25)(2)[(2)]1)2---⨯-+-；（2）82715lglg lg12.5log 9log 828-+-⋅．18.（1）已知集合{}2120|A x x ax b =++=，{}20|B x x ax b =-+=满足()R {2}A B ⋂=ð，()R {4}A B = ð，求实数a ，b 的值；（2）已知集合{}121|A x a x a =-<<+，函数2lg()y x x =-的定义域为B ，若A B ⋂=∅，求实数a 的取值范围．19.已知函数14()2x x f x m +=--．（1）当0m =时，求函数()f x 的零点；（2）若()f x 有两个零点，求实数m 的取值范围．20.某化工厂每一天中污水污染指数()f x 与时刻x （时）的函数关系为25()log (1)21f x x a a =+-++，[0,24]x ∈，其中a 为污水治理调节参数，且()0,1a ∈．（1）若12a =，求一天中哪个时刻污水污染指数最低；（2）规定每天中()f x 的最大值作为当天的污水污染指数，要使该厂每天的污水污染指数不超过3，则调节参数a 应控制在什么范围内？21.（1）对任意11x -≤≤，函数()2442y x a x a =+-+-的值恒大于0，求实数a 的取值范围；（2）不等式()228x y y x y λ+≥+对于任意的,R x y ∈恒成立，求实数λ的取值范围．22.已知函数()2e ,e ,x x x x m f x x x m ⎧--≤=⎨+>⎩和()2ln ,01ln ,1x x x g x x x x --<≤⎧=⎨+≥⎩有相同的最小值，（e 为自然对数的底数，且e 2.71828= ）（1）求m ；（2）证明：存在直线y b =与函数()y f x =，()y g x =恰好共有三个不同的交点；（3）若（2）中三个交点的横坐标分别为1x ，2x ，3x ()123x x x <<，求1232x x x ++的值．原阳2023-2024学年上学期高一年级12月月考数学试卷总分150分时长120分钟命题人审核人一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合U =R ，集合{}1M x x =<，11242xN x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<<⎨⎬⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则{}2x x ≥=（）A.()U M N ðB.U N Mð C.()U M N ð D.U M N⋃ð【答案】A 【解析】【分析】解指数不等式化简集合N ，再利用集合的交并补运算逐项判断即可.【详解】依题意，21111{|()()(}{|12}222x N x x x -=<<=-<<，而{}1M x x =<，对于A ，{|2}M N x x ⋃=<，因此(){|2}U M N x x =≥ ð，A 是；对于B ，{|1}U M x x =≥ð，因此(){|1}U N M x x =>- ð，B 不是；对于C ，{|11}M N x x ⋂=-<<，因此(){|1U M N x x =≤- ð或1}x ≥，C 不是；对于D ，{|1U N x x =≤-ð或2}x ≥，因此(){|1U M N x x =< ð或2}x ≥，D 不是.故选：A 2.已知21log 3a =，32b -=，ln 23c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.a b c <<B.b a c<< C.b<c<aD.a c b<<【答案】A 【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可.【详解】解：因为221log log 103a =<=，300221-<<=，即01b <<，ln20331c =>=，所以a b c <<.故选：A3.命题2:210p ax x ++=有实数根，若p ⌝是假命题，则实数a 的取值范围是（）A.{|1}a a <B.{|1}a a ≤ C.{|1}a a > D.以上都不对【答案】B 【解析】【分析】p ⌝是假命题，则p 为真命题，即2210ax x ++=有实数根，分类讨论0a =与0a ≠时的情况即可.【详解】当0a =时，即210x +=有实数根，解得12x =，故符合要求；当0a ≠时，即有440a ∆=-≥，解得1a ≤且0a ≠；综上所述，1a ≤.故选：B.4.若规定a b ad bc cd=-，则不等式0213x x<<的解集是（）A.(1,1)-B.(C.D.(1)-⋃【答案】D 【解析】【分析】由题意化简0213x x <<，直接求解即可.【详解】因为a b ad bc cd=-，所以2133x xx =-，所以2032x <-<，即213x <<，解得1x <<或1x <<-，故选：D5.在今年的全国政协、人大两会上，代表们呼吁政府切实关心老百姓看病贵的问题，国家决定对某药品分两次降价，假设平均每次降价的百分率为x .已知该药品的原价是m 元，降价后的价格是y 元，则y 与x 的函数关系是（）A.y ＝m (1－x )2B.y ＝m (1＋x )2C.y ＝2m (1－x )D.y ＝2m (1＋x )【答案】A 【解析】【分析】根据指数函数模型列式求解．【详解】第一次降价后价格为(1)m x -，第二次降价后价格变为2(1)(1)(1)y m x x m x =--=-．故选：A ．【点睛】本题考查指数函数模型的应用，平行增长率问题．属于基础题．6.已知7log 2a =，0.7log 0.2b =，0.20.7c =，则a ，b ，c 的大小关系为A.a c b << B.a b c<< C.b<c<aD.c<a<b【答案】A 【解析】【分析】771log 2log 2<=，0.70.7log 0.2log 0.71>=，0.20.70.71<<，再比较,,a b c 的大小.【详解】71log 22a =<，0.70.7log 0.2log 0.71b =>=，0.20.70.71c <=<，a c b <<，故选A.【点睛】本题考查了指对数比较大小，属于简单题型，同底的对数，指数可利用单调性比较大小，同指数不同底数，按照幂函数的单调性比较大小，或是和中间值比较大小.7.某食品加工厂2021年获利20万元，经调整食品结构，开发新产品，计划从2022年开始每年比上一年获利增加20%，问从哪一年开始这家加工厂年获利超过60万元（lg 20.3010≈，lg30.4771≈）（）A.2026年B.2027年C.2028年D.2029年【答案】C 【解析】【分析】依据题意设出解析式，再用对数的相关知识求解即可.【详解】设第n 年获利y 元，则=20 1.2n y n ⨯，是正整数，2022年是第一年，故201.260n ⨯>，解得 1.2lg 3lg 3log 3== 6.03lg1.2lg 32lg 21n >≈+-故7n ≥，即从2028年开始这家加工厂年获利超过60万元.故选：C8.定义在()0,∞+上的函数()f x 满足：()()112212x f x x f x x x --＜0，且(2)4f =，则不等式8()0f x x->的解集为（）A.()2,∞+ B.()0,2 C.()0,4 D.()4,+∞【答案】B 【解析】【分析】根据()()112212x f x x f x x x --＜0，得到()()g x xf x =在()0,∞+上递减，然后由(2)4f =，得到()28=g ，将不等式8()0f x x->转化为()(2)g x g >求解.【详解】因为定义在()0,∞+上的函数()f x 满足：()()112212x f x x f x x x --＜0，所以()()g x xf x =在()0,∞+上递减，因为(2)4f =，所以()28=g ，因为不等式8()0f x x->，所以()80xf x x->，所以()80xf x ->，所以()8xf x >，即()(2)g x g >，所以02x <<，故选：B【点睛】本题主要考查函数单调性的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.已知函数()2f x x =的值域为[]0,4，则()f x 的定义域可以是（）A.[]0,2 B.[]2,1- C.[]1,2 D.{}2,0,2-【答案】AB 【解析】【分析】根据2y x =的图象求得正确答案.【详解】画出2y x =的图象如下图所示，由24x =解得2x =±，()2f x x =的图象是函数2y x =的图象的一部分，依题意，()2f x x =的值域为[]0,4，由图可知，()f x 的定义域可以是[]0,2、[]2,1-.故选：AB10.已知正实数a ，b 满足42a b +=，则（）A.14ab ≤B.2164a b +≥ C.1192a b +≥ D.4+≥【答案】ABC 【解析】【分析】利用基本不等式可得A,B,D 正误，利用1的妙用可得C 的正误.【详解】对于A ，因为42a b ≤+=，所以14ab ≤，当且仅当41a b ==，即11,4a b ==时，取到等号，故A 正确；对于B ，2164a b +≥==，当且仅当41a b ==，即11,4a b ==时，取到等号，故B 正确；对于C ，()1111114194552222a b a b a b a b b a ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当2a b =，即21,33a b ==时，取到等号，故C 正确；对于D，244a b +=++，2+≤，当且仅当41a b ==，即11,4a b ==时，取到等号，故D 错误．故选：ABC .11.（多选）已知函数()221f x x x =-++的定义域为()2,3-，则函数()f x 的单调递增区间是（）A.(),1-∞- B.()3,1-- C.()0,1 D.()1,3【答案】BC 【解析】【分析】根据题意求出()f x 的定义域，将()f x 的解析式中绝对值符号去掉，结合二次函数的图象与性质即可判断.【详解】因为函数()221f x x x =-++的定义域为()2,3-，对称轴为直线1x =，开口向下，所以函数()f x 满足23x -<<，所以33x -<<.又()22221,03,2121,30,x x x f x x x x x x ⎧-++≤<=-++=⎨--+-<<⎩且221y x x =--+图象的对称轴为直线=1x -，所以由二次函数的图象与性质可知，函数()f x 的单调递增区间是()3,1--和()0,1.故选BC.【点睛】本题主要考查含绝对值的二次函数的单调性问题，注意数形结合思想的应用，属于提升题.12.设()33,0log ,0xx f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，若()0f x a -=有三个不同的实数根，则实数a 的取值可以是（）A.12B.1C.1-D.2【答案】AB 【解析】【分析】先作出函数的图像，()0f x a -=有三个不同的实数根，化为函数33(0)()log (0)xx f x xx ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩与直线y a =有三个交点，结合图像，即可得出结果.【详解】解：作出函数33(0)()log (0)xx f x xx ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩图像如下：又()0f x a -=有三个不同的实数根，所以函数33(0)()log (0)xx f x xx ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩与直线y a =有三个交点，由图像可得：01a <≤.故选：AB三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，16题第一个空2分，第二个空3分．13.已知奇函数f (x )在区间[3，6]上是增函数，且在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为－1，则f (6)＋f (－3)的值为________．【答案】9【解析】【详解】由已知得，f (6)＝8，f (3)＝－1，因为f (x )是奇函数，所以f (6)＋f (－3)＝f (6)－f (3)＝8－(－1)＝9.答案：9.14.若关于x 的不等式2210ax ax +-<的解集为R ，则实数a 的取值范围是__________．【答案】(]1,0-【解析】【分析】分两种情况0a =和0a ≠，可求出实数a 的取值范围.【详解】 关于x 的不等式2210ax ax +-<的解集为R .当0a =时，原不等式为1<0-，该不等式在R 上恒成立；当0a ≠时，则有2Δ440a a a <⎧⎨=+<⎩，解得10a -<<.综上所述，实数a 的取值范围是(]1,0-.故答案为：(]1,0-15.若正数x ，y 满足40x y xy +-=，则3x y+的最大值为________．【答案】13【解析】【分析】先利用基本不等式中“1”的妙用求得x y +的取值范围，从而求得3x y +的最大值.【详解】因为正数x ，y 满足40x y xy +-=，所以4x y xy +=，即141y x+=，则()14455549x y x y x y y x y x ⎛⎫+=++=++≥+=+= ⎪⎝⎭，当且仅当4x y y x =且141y x+=，即6,3x y ==时取等号，此时x y +取得最小值9，则3x y +的最大值为13．故答案为：1316.设函数()()11,022,0xx f x f x x ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪->⎩，()log (1)a g x x =-，（其中1a >），（1）()2021f =________；（2）若函数()f x 与()g x 的图象有3个交点，则实数a 的取值范围为________．【答案】①.1②.【解析】【分析】根据题意，推得()2021(1)f f =-，即可求得()2021f 的值，作出函数()y f x =和()y g x =的图象，结合log (41)3a -=和log (61)3a -=，结合图象，即可求得a 的取值范围.【详解】由题意，函数()()11,022,0xx f x f x x ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪->⎩，所以()()()()112021201920171(1)()112f f f f f -=====-=-= ；当02x <≤时，则220x -<-≤，可得()()212(12x f x f x -=-=-；当24x <≤时，则022x <-≤，可得()()412()12x f x f x -=-=-；当46x <≤时，则224x <-≤，可得()()612(12x f x f x -=-=-；当68x <≤时，则426x <-≤，可得()()812(12x f x f x -=-=-，画出函数()y f x =和()y g x =的图象，如图所示，由log (41)3a -=，可得a =log (61)3a -=，可得=a ，由图象可知，若两个函数的图象有3a <≤，所以实数a 的取值范围为.故答案为：1；.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.求下列各式的值．（1）411231322(0.25)(2)[(2)]1)2---⨯-+-；（2）82715lglg lg12.5log 9log 828-+-⋅．【答案】（1）1252-（2）13【解析】【分析】（1）根据指数幂的运算法则和运算性质，准确化简、运算，即可求解；（2）根据对数的运算法则和对数的换底公式，准确化简、运算，即可求解.【小问1详解】解：根据指数幂的运算法则和运算性质，可得：4112313221125(0.25)(2)[(2)]1)2416(1)22---⨯-+-=-⨯+--.【小问2详解】解：由对数的运算法则和对数的运算性质，可得：1827151525lg 9lg8lg lg lg12.5log 9log 8lg lg lg 28282lg8lg 27-⎛⎫-+-⋅=++-⋅ ⎪⎝⎭18252lg 3221lg()lg1012523lg 3333=⨯⨯-=-=-=.18.（1）已知集合{}2120|A x x ax b =++=，{}20|B x x ax b =-+=满足()R {2}A B ⋂=ð，()R {4}A B = ð，求实数a ，b 的值；（2）已知集合{}121|A x a x a =-<<+，函数2lg()y x x =-的定义域为B ，若A B ⋂=∅，求实数a 的取值范围．【答案】（1）812,77a b ==-；（2）[)1,2,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦ 【解析】【分析】（1）根据题目条件得到2,4B A ∈∈，从而得到方程组，求出实数a ，b 的值；（2）先根据对数函数的定义域得到{}|01B x x =<<，分A =∅与A ≠∅两种情况，得到不等式，求出实数a 的取值范围.【详解】（1）()R {2}A B ⋂=ð，(){}R 4A B ⋂=ð，故2,4B A ∈∈，故164120420a b a b ++=⎧⎨-+=⎩，解得87127a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩；（2）由题意得20x x ->，解得01x <<，故{}|01B x x =<<，A B ⋂=∅，当A =∅时，121a a -≥+，解得2a ≤-，当A ≠∅时，需满足12111a a a -<+⎧⎨-≥⎩或121210a a a -<+⎧⎨+≤⎩，解得2a ≥或122a -<≤-，综上，实数a 的取值范围是[)1,2,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦ .19.已知函数14()2x x f x m +=--．（1）当0m =时，求函数()f x 的零点；（2）若()f x 有两个零点，求实数m 的取值范围．【答案】（1）1（2）(1,0)-【解析】【分析】（1）m=0代入解析式直接求解即可；（2）转化为方程220t t m --=在()0,+∞上有两解，利用二次函数根的分布求解即可【详解】（1）0m =时，()()21422x x xf x +=-=-()22222x x x ⋅=-，令()0f x =可得22x =，即1x =．()f x ∴的零点是1．（2）令2x t =，显然0t >，则()22f x t t m =--．()f x 有两个零点，且2x t =为单调函数，∴方程220t t m --=在()0,+∞上有两解，0440120m m m ->⎧⎪∴+>⎨⎪--<⎩，解得：10m -<<．m ∴的取值范围是()1,0-．【点睛】本题考查函数零点，二次函数零点问题，熟记二次函数的性质是关键，是中档题20.某化工厂每一天中污水污染指数()f x 与时刻x （时）的函数关系为25()log (1)21f x x a a =+-++，[0,24]x ∈，其中a 为污水治理调节参数，且()0,1a ∈．（1）若12a =，求一天中哪个时刻污水污染指数最低；（2）规定每天中()f x 的最大值作为当天的污水污染指数，要使该厂每天的污水污染指数不超过3，则调节参数a 应控制在什么范围内？【答案】（1）一天中早上4点该厂的污水污染指数最低（2）调节参数a 应控制在2(0,]3内.【解析】【分析】（1）12a =时，令()251log 102x +-=，解得x 即可得出；（2）利用换元法()25log 1t x =+，再利用函数的单调性即可得出.【小问1详解】因为12a =，()()251log 1222f x x =+-+≥.当()2f x =时，()251log 102x +-=，即121255x +==，解得4x =.所以一天中早上4点该厂的污水污染指数最低.【小问2详解】设()25log 1t x =+，则当024x ≤≤时，01t ≤≤.设()[]21,0,1g t t a a t =-++∈,则()31,01,1t a t a g t t a a t -++≤≤⎧=⎨++<≤⎩,()g t 在[]0,a 上是减函数，在[],1a 上是增函数，则()()(){}max max 0,1f x g g =,因为()()031,12g a g a =+=+,则有()()0313123g a g a ⎧=+≤⎪⎨=+≤⎪⎩，解得23a ≤，又()0,1a ∈，故调节参数a 应控制在20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦内.21.（1）对任意11x -≤≤，函数()2442y x a x a =+-+-的值恒大于0，求实数a 的取值范围；（2）不等式()228x y y x y λ+≥+对于任意的,R x y ∈恒成立，求实数λ的取值范围．【答案】（1）1a <（2）{|84}λλ-≤≤【解析】【分析】（1）化简后分离参数，求出函数的最小值即可得解；（2）转化为二次不等式恒成立，利用判别式建立不等式求解即可.【详解】（1）由题意，当11x -≤≤时，()24420x a x a +-+->恒成立，则2(2)44x a x x ->-+-，因为11x -≤≤，所以224444222x x x x a x x x-+--+<==---，所以min (2)a x <-，由2y x =-单调递减，知当1x =时，min (2)1x -=，即1a <.（2）因为()228x y y x y λ+≥+对于任意的,R x y ∈成立，所以()2280x y y x y λ+-+≥对于任意的,R x y ∈成立.即()2280x yx y λλ-+-≥恒成立，由二次不等式的性质可得，()222224843(2)0y y y λλλλ∆=+-=+-≤，所以4)80()(λλ+-≤，解得84λ-≤≤.故实数入的取值范围为{|84}λλ-≤≤.22.已知函数()2e ,e ,x x x x m f x x x m ⎧--≤=⎨+>⎩和()2ln ,01ln ,1x x x g x x x x --<≤⎧=⎨+≥⎩有相同的最小值，（e 为自然对数的底数，且e 2.71828= ）（1）求m ；（2）证明：存在直线y b =与函数()y f x =，()y g x =恰好共有三个不同的交点；（3）若（2）中三个交点的横坐标分别为1x ，2x ，3x ()123x x x <<，求1232x x x ++的值．【答案】（1）0.（2）见解析；（3）2.【解析】【分析】（1）根据()f x ，()g x 单调性求出最小值，两个最小值相等求出m 的值.（2）根据函数单调性与图像判断并证明即可.（3）根据三个交点处函数值相等，再由函数式的结构得到三个交点的横坐标分别为1x ，2x ，3x 之间的关系，转化为2x 即可求解.【小问1详解】由()2e ,e ,x x x x m f x x x m⎧--≤=⎨+>⎩，(],x m ∈-∞时()01e x f x '=-<-，(),x m ∈+∞时()e 10x f x '=+>则()f x 在(],m -∞单调递减，在(),m +∞单调递增，所以()f x 最小值()()min 2e mm f x f m ==--；()2ln ,01ln ,1x x x g x x x x --<≤⎧=⎨+≥⎩(]0,1x ∈时，()110g x x '=--<，()1,x ∈+∞时，()110g x x'=+>所以()g x 在(]0,1单调递减，在()1,+∞单调递增，所以()g x 最小值()()min 11g x g ==；()()min min 2e 1m f x m g x =--==，即2e 1e 10m m m m --=⇒+-=令()=e 1m q m m +-，()=e 10m q m '+>所以()=e 1m q m m +-在定义域上单调递增，因为0(0)e 10q =-=，所以e 10m m +-=解得0m =.【小问2详解】由（1）知0m =，即()2e ,0e ,0x x x x f x x x ⎧--≤=⎨+>⎩；因为()()min min 1f x g x ==，所以当1b >时，考虑()f x b =与()g x b =解的个数，根据()f x ，()g x 单调性作图如下：易知x →-∞时，()f x →+∞；x →+∞时，()f x →+∞；0x +→时，()g x ∞→+；x →+∞时，()g x ∞→+；则()f x b =在区间(),0∞-与()0,∞+各有一个根，()g x b =在区间()0,1与()1,+∞各有一个根，要证：存在直线y b =与函数()y f x =，()y g x =恰好共有三个不同的交点，即证：()()f x g x =在()0,1上有交点.当()0,1x ∈时，令()()()()e 2ln e ln 22x xh x f x g x x x x x x =-=+---=++-1()e 20x h x x'=++>，所以()h x 在()0,1上单调递增，(1)e>0h =，31e 3312(e 320e e h =-+-<，所以存在()00,1x ∈，使()00()f x g x =，即()()f x g x =在()0,1上有交点，得证.所以存在直线y b =与函数()y f x =，()y g x =恰好共有三个不同的交点.【小问3详解】如图y b =与函数()y f x =，()y g x =恰好共有三个不同的交点，三个交点的横坐标分别为1x ，2x ，3x ，()123x x x <<，则有121222332e e 2ln ln x x x x x x x x --+=+==--，因为112ln 122122e 2ln 2e 2eln x x x x x x x x ----⇒--=-=-而()2e x f x x =--单调递减，所以12ln x x =，因为322ln 23323e ln e eln x x x x x x x x +=+⇒+=+，而()e x f x x =+单调递增，所以23ln x x =，又因为2222222e 2ln e ln 22x x x x x x x +=--⇒++=.所以212322e 222ln x x x x x x ++=++=.【点睛】本题考查了导数的应用，利用导数求函数的单调性，函数的零点，利用同构去解决三个交点横坐标之间的数量关系.。
北京市东城区2023-2024学年高一上学期12月月考数学模拟试题(含答案)
北京市东城区2023-2024学年高一上学期12月月考数学模拟试题1．已知集合，，则（ ）{}51A x x =-<≤{}29B x x =≤A B ⋃=A ．B ．C ．D ．[)3,1-[]3,1-(]5,3-[]3,3-2．已知函数()3sin 2f x x =，将函数()f x 的图象沿x 轴向右平移8π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则函数()g x 的解析式为（ ）A ．()π3sin 28g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()π3sin 24g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．D ．()π3sin 28g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()π3sin 24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭3．设0m n <<，则下列不等关系中不能成立的是（ ）A ．m n>B ．33m n<C ．11m n >D ．11m n m>-4．已知函数26()(1)f x x x =+-，则下列区间中含有()f x 的零点的是（ ）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)5．已知0.50.65log 0.5,5,0.5a b c ===，则（ ）A ．a c b<<B ．a b c <<C ．c<a<b D ．b<c<a 6．下列函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（）A ．2xy =B ．ln ||y x =C ．3y x =D ．tan y x=7．设x ∈R ，则“()10x x +>”是“01x <<”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．设()f x 是奇函数，且在()0,∞+内是减函数，又()30f -=，则()0x f x ⋅<的解集是（ ）A ．{30xx -<<∣或3}x >B ．{3xx <-∣或03}x <<C ．{30x x -<<∣或03}x <<D ．或{3xx <-∣3}x >9．已知函数()()1104f x x x x =++>，则（ ）A ．当且仅当12x =，时，()f x 有最小值32B ．当且仅当12x =时，()f x 有最小值2C ．当且仅当1x =时，()f x 有最小值32D ．当且仅当1x =时，()f x 有最小值.210．已知函数()y f x =图象是连续不断的，并且是R 上的增函数，有如下的对应值表A ．()00f <B ．当2x >时，()0f x >C ．函数()f x 有且仅有一个零点D ．函数()()g x f x x=+可能无零点11．函数(01)||x xa y a x =<<的图像的大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．12．分贝（dB ）、奈培（Np ）均可用来量化声音的响度，其定义式分别为01dB =10lgA A ，011Np =ln 2A A ，其中A 为待测值，0A 为基准值．如果1dB =Np(R)t t ∈，那么t ≈（ ）（参考数据：lg e 0.4343≈）A ．8.686B ．4.343C ．0.8686D ．0.115二、填空题（本大题共6小题）13．命题“0x ∀>，20x>”的否定是．14．已知函数()38log xf x x=+，则13f ⎛⎫=⎪⎝⎭.15．函数()()ln 31x f x x +=+的定义域为.16．若函数()sin y A x ωϕ=+(0,0π)ωϕ>≤<的部分图象如图所示，则此函数的解析式为．17．已知函数21,0()2,0x x f x x x x ⎧->=⎨+≤⎩，那么((3))f f -= ；当方程()f x a =有且仅有3个不同的根时，实数a 的取值范围是.18．设函数()f x 的定义域为D ，若()f x 满足：“1x D ∀∈，都存在2x D ∈，使得()()120f x f x +=”则称函数()f x 具有性质τ，给出下列四个结论：①函数()f x x =具有性质τ；②所有奇函数都具有性质τ；③若函数()f x 和函数都具有性质，则函数也具有性质；()g x τ()()f x g x +τ④若函数，具有性质，则.2()f x x a =+[2,1]x ∈-τ2a =-其中所有正确结论的序号是 .三、解答题（本大题共6小题）19．已知全集U =R ，{2A x x a =≤-或}x a ≥，{}250B x x x =-<．(1)当1a =时，求()U A B A B A B ⋂⋃⋂,,ð；(2)若A B B = ，求实数a 的取值范围．20．已知角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的非负半轴重合,它的终边经过点()1,3P -.(1)求sin2cos2tan2ααα、、的值；(2)求πtan 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭、πtan 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；(3)求sin 2cos 2cos 3sin αααα+-的值.21．设函数()2cos cos (02)f x x x x ωωωω=⋅+<<，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知.(1)求函数()f x 的解析式；(2)求()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎣⎦上的值域；(3)求函数()f x 在[]0,π上的单调递增区间.条件①：函数()f x 的图象经过点5π1,122⎛⎫⎪⎝⎭；条件②：函数()f x 的图象的一条对称轴为π6x =；条件③：函数()f x 的图象的相邻两个对称中心之间的距离为π2.22．已知函数()24x f x x =+.(1)判断函数()f x 奇偶性，并证明你的结论；(2)判断函数()f x 在()0,2上的单调性，并证明你的结论；(3)若在区间[]2,0-上不等式()f x m >恒成立，求m 的取值范围.23．函数()()πsin 0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭部分图象如图所示,已知41πx x -=.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知.(1)求函数()f x 的解析式；(2)求函数()f x 的最小正周期和对称轴方程；(3)设0α>,若函数()()g x f x α=+为奇函数,求α的最小值.条件①：1π12x =；条件②：2π6x =；条件③.3π2x =注：如果选择多个条件组合分别解答,则按第一个解答计分.24．设A 是实数集的非空子集，称集合{|,B uv u v A=∈且}u v ≠为集合A 的生成集．(1)当{}2,3,5A =时，写出集合A 的生成集B ；(2)若A 是由5个正实数构成的集合，求其生成集B 中元素个数的最小值；(3)判断是否存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，并说明理由．答案1．【正确答案】C【分析】解29x ≤得出集合B ，然后根据并集的运算，即可得出答案.【详解】解29x ≤可得，33x-≤≤，所以{}3|3B x x =-≤≤.所以，{}{}{}51|3353A B x x x x x x ⋃=-<≤⋃-≤≤=-<≤.故选：C.2．【正确答案】B【分析】根据平移变换的性质即可求解.【详解】将函数()f x 的图象沿x 轴向右平移π8个单位长度，得到ππ33si 2πn 88sin(24f x x x ⎛⎫⎛-=⎫=- ⎪⎪- ⎝⎭⎝⎭，故()π3sin 24g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故选：B3．【正确答案】D【分析】利用不等式的性质判断ABC ，举反例判断 D.【详解】对于A ：0m n << ，0m n ∴->->，即m n>，A 正确；对于B ：0m n << ，33m n ∴<，B 正确；对于C ：0m n << ，0mn ∴>，m n mn mn ∴<，即11m n >，C 正确；对于D ：取2,1m n =-=-，满足0m n <<，但11112m n m =-<=--，D 错误.故选：D.4．【正确答案】B 【分析】先判断26()(1)f x x x =+-在(0,)+∞上递增，再根据零点存在性定理求解即可.【详解】因为函数26(,1)y x x y +==-在(0,)+∞上都递增，所以26()(1)f x x x =+-在(0,)+∞上递增，又因为()260(1)(11)201f f <=+-=-<，()4(3)f f >>26(2)(21)602f =+-=>，所以()1(2)0f f <，所以区间(1,2)含有()f x 的零点，故选：B.5．【正确答案】A【分析】利用指对数函数性质判断大小关系即可.【详解】由0.600.5055log 0.5log 100.55150.5a c b <==<=<<===，即a c b <<.故选：A6．【正确答案】C【分析】利用指数函数的图象与性质、对数函数的图象与性质、幂函数的图象与性质、正切函数的图象与性质分析即可得解.【详解】解：对于选项A ，指数函数2xy =是非奇非偶函数，故A 错误；对于选项B ，函数ln ||y x =是偶函数，故B 错误；对于选项C ，幂函数3y x =既是奇函数，又是定义域R 上的增函数，故C 正确；对于选项D ，正切函数tan y x =在每个周期内是增函数，在定义域上不是增函数，故D 错误.故选：C.7．【正确答案】B【分析】根据题意解出不等式比较两范围大小即可得出结果.【详解】解不等式()10x x +>可得0x >或1x <-；显然{}1|0x x <<是{0xx 或}1x <-的真子集，所以可得“()10x x +>”是“01x <<”的必要不充分条件.故选：B8．【正确答案】D【分析】根据题意，得到函数()f x 在(0,)+∞为减函数，且()30f =，结合不等式()0x f x ⋅<，分类讨论，即可求解.【详解】由函数()f x 是奇函数，且在()0,∞+内是减函数，可得函数()f x 在(),0∞-为减函数，又由()30f -=，可得()()330f f =--=，因为不等式()0x f x ⋅<，当0x >时，则()0f x <，解得3x >；当0x <时，则()0f x >，解得3x <-，所以不等式()0x f x ⋅<的解集为{3xx <-∣或3}x >.故选：D.9．【正确答案】B【分析】根据题意，由基本不等式，代入计算，即可得到结果.【详解】因为0x >，则()11124f x x x =++≥=，当且仅当14x x =时，即12x =时，等号成立，所以当且仅当12x =时，()f x 有最小值 2.故选：B10．【正确答案】D【分析】根据函数的单调性，结合表格中的数据判断AB ；利用零点存在性定理判断CD.【详解】对于A ，因为函数()y f x =是R 上的增函数，所以()()010.240f f <=-<，正确；对于B ，因为函数()y f x =是R 上的增函数，所以当2x >时，()()2 1.210f x f >=>，正确；对于C ，因为函数()y f x =是R 上的增函数，()10f <且()20f >，即()()120f f <，所以函数()f x 有且仅有一个在区间()1,2的零点，正确；对于D ，因为函数()()g x f x x=+连续，且()()()()()0010,1110g f f g f =<<=+>，即()()010g g <，所以函数()()g x f x x=+在区间()0,1上一定存在零点，错误，故选：D.11．【正确答案】D【分析】化简函数解析式，利用指数函数的性质判断函数的单调性，即可得出答案.【详解】根据01a <<(01)||xxa y a x =<<,0,0x xa x y a x ⎧>∴=⎨-<⎩ 01a <<，∴xy a =是减函数，x y a =-是增函数.(01)||x xa y a x =<<在(0)+∞，上单调递减，在()0-∞，上单调递增故选：D.本题主要考查了根据函数表达式求函数图象，解题关键是掌握指数函数图象的特征，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.12．【正确答案】A【分析】结合题意得到00110lgln 2A A t A A =⨯，再利用换元法与换底公式即可得解.【详解】因为01dB =10lgA A ，011Np =ln 2A A ，1dB =Np(R)t t ∈，所以00110lgln 2A A t A A =⨯，令0A x A =，则110lg ln 2x t x=⨯，所以lg ln e lg e2020lg 20lg 20lg e 200.43438.686ln ln lg x t x x x x x =⋅=⋅=⋅=≈⨯=.故选：A.13．【正确答案】000,20x x ∃>≤【分析】直接根据全称命题的否定为特称命题解答即可；【详解】命题“0x ∀>，20x>”为全称命题，又全称命题的否定为特称命题，故其否定为“000,20x x ∃>≤”故000,20x x ∃>≤14．【正确答案】1【分析】结合指数与对数的运算法则，计算即可.【详解】结合题意.()113333118log 2121133f ⎛⎫=+=-=-= ⎪⎝⎭故答案为.115．【正确答案】()()3,11,---+∞ 【分析】根据对数的真数大于零，分母不等于零列不等式求解.【详解】由已知得3010x x +>⎧⎨+≠⎩，解得3x >-且1x ≠-，即函数定义域为()()3,11,---+∞ .故答案为.()()3,11,---+∞ 16．【正确答案】π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【分析】根据图象，可得()3332A --==，πT =，图象过点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，且在π3x =附近单调递减.进而可求出2ω=，π22ππ,3k k ϕ⨯+=+∈Z ，根据ϕ的范围即可解出ϕ，进而得到解析式.【详解】由已知可得，函数最大值为3，最小值为-3，所以()3332A --==.又由图象知，5πππ2632T =-=，所以πT =.因为0ω>，所以2ππT ω==，所以2ω=，所以()3sin 2y x ϕ=+.又由图象可推得，图象过点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，且在π3x =附近单调递减，所以有π22ππ,3k k ϕ⨯+=+∈Z ，解得π2π,3k k ϕ=+∈Z .又0πϕ≤<，所以.π3ϕ=所以，函数的解析式为.π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故答案为.π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭17．【正确答案】2[)0,1【分析】入解析式即可求出((3))f f -；方程()f x a =有且仅有3个不同的根即()y f x =与y a =的图象有3个交点，结合()y f x =图象，即可得出答案.【详解】因为()21,02,0x x f x x x x ⎧->=⎨+≤⎩，所以()()23363f -=--=，所以()((3))32f f f -==；画出函数()fx 的图象，方程()f x a =有且仅有3个不同的根即()y f x =与y a =的图象有3个交点，由图可得.01a ≤<故2；[)0,1.18．【正确答案】①②④【分析】根据函数具有性质τ，知函数的值域关于原点对称，从而依次判断得结论.【详解】由题知，若()f x 满足性质τ即：“1x D ∀∈，都存在2x D ∈，使得()()120f x f x +=”则()f x 的值域关于原点对称.对于①，函数()f x x =，值域为R 关于原点对称，显然具有性质τ，故正确；对于②，因为所有的奇函数对应定义域内任意x 的都有()()f x f x -=-，则值域关于原点对称，显然具有性质τ，故正确；对于③，设2()1f x x =-，x ⎡∈⎣，值域为[]1,1-，具有性质τ，()1g x =+，x ⎡∈⎣，值域为[]1,1-，具有性质τ，2()()f x g x x +=，x ⎡∈⎣，值域为，不具有性质，故错误；1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦τ对于④，若函数，具有性质，则的值域关于原点对称.2()f x x a =+[2,1]x ∈-τ()f x 又 ，时，的值域为，2()f x x a =+[2,1]x ∈-()f x [,4]a a +则，解得，故正确.40a a ++=2a =-故答案为:①②④.19．【正确答案】(1){}15A B x x ⋂=≤<，{1A B x x ⋃=≤-或}0x >，(){}01UA B x x ⋂=<<ð(2)(][),07,-∞+∞ 【分析】（1）代入数据计算得到集合A 和B ，再根据的交并补运算计算得到答案.（2）确定B A ⊆，再根据集合的包含关系计算得到答案.【详解】（1）1a =时，{1A x x =≤-或}1x ≥，{}{}25005B x x x x x =-<=<<，{}15A B x x ⋂=≤<，{1A B x x ⋃=≤-或}0x >，{}11U A x x =-<<ð，故(){}01UA B x x ⋂=<<ð.（2）A B B = ，则B A ⊆，{2A x x a =≤-或}x a ≥，{}05B x x =<<，则25a -≥或0a ≤，解得0a ≤或7a ≥，即(][),07,a ∈-∞+∞ .20．【正确答案】(1)343sin 2,cos 2,tan 2554ααα=-=-=(2)π1πtan ,tan 2424αα⎛⎫⎛⎫+=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(3)111-【分析】(1)已知角α的终边上一点(),P x y ,则sin αα==再结合二倍角公式代入运算即可;(2)已知角α的终边上一点(),P x y ,则tan ,y x α=再结合正切两角和差公式运算即可;(3)通过sin tan ,cos ααα=构造齐次式分式,再代入正切值运算即可.【详解】（1） 角α的终边经过点()1,3P -,sin αα∴====3sin 22sin cos 2,5ααα⎛∴==⨯=- ⎝224cos 22cos 121,5αα=-=⨯-=-sin 23tan 2.cos 24ααα==（2）由题得3tan 3,1α-==-()πtan 1311tan ,41tan 132ααα+-+⎛⎫∴+===- ⎪---⎝⎭()πtan 131tan 2.41tan 13ααα---⎛⎫-=== ⎪++-⎝⎭（3）由(2)知tan 3,α=-()sin 2cos tan 2321.2cos 3sin 23tan 23311αααααα++-+∴===----⨯-21．【正确答案】(1)()1sin 262πf x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭;(2)30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦;(3)π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦,2π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）根据三角函数的恒等变换可得()π1sin 262f x x ω⎛⎫=++⎪⎝⎭，分别选择条件①，②，③都可得到1ω=，从而可得()π1sin 262f x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭；（2）通过换元法并结合正弦函数的图象与单调性，求解值域即可.（3）通过换元法并结合正弦函数的单调性即可求解()f x 在[]0,π上的单调递增区间.【详解】（1）结合题意可得：()211cos cos 2cos 2,22f x x x x x x ωωωωω=⋅+=++所以()π1sin 2,(02)62f x x ωω⎛⎫=++<< ⎪⎝⎭，若选条件①：因为函数()f x 的图象经过点5π1,122⎛⎫⎪⎝⎭，所以5π5ππ11sin 21212622f ω⎛⎫⎛⎫=⨯++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即5ππsin 0sin π66k ω⎛⎫+== ⎪⎝⎭，所以5πππ,Z 66k k ω+=∈，即6155k ω=-，Z k ∈,因为02ω<<，所以当1k =时，1ω=,满足题意,故函数()f x 的解析式为()π1sin 262f x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭.若选条件②：因为函数()f x 的图象的一条对称轴为π6x =；所以πππ2π662k ω⨯+=+，Z k ∈,即31k ω=+,Z k ∈，因为02ω<<，所以当1k =时，1ω=,满足题意,故函数()f x 的解析式为()π1sin 262f x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭.若选条件③：因为函数()f x 的图象的相邻两个对称中心之间的距离为π2，所以π,22T =即πT =，由周期公式可得2ππ2T ω==，解得,满足题意,1ω=故函数的解析式为.()f x ()π1sin 262f x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭（2）由（1）问可得，()π1sin 262f x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭令，因为，所以，π26t x =+π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ππ7π2,666t x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦由的图象可知：1sin 2y t =+在上单调递增，在单调递减；1sin 2y t =+ππ,62⎡⎤⎢⎣⎦π7π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦当，即时，；π2t =π6x =()max ππ13sin 26622f x ⎛⎫=⨯++= ⎪⎝⎭当，即时，.7π6t =π2x =()minππ1sin 20262f x ⎛⎫=⨯++= ⎪⎝⎭所以在上的值域为.()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦（3）由（1）问可得，()π1sin 262f x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭令，因为，所以，π26t x =+[]0,πx ∈ππ13π2,666t x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦由的图象可知：1sin 2y t =+①在上单调递增， 1sin 2y t =+ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以，解得：，所以在单调递增；πππ2662x ≤+≤π06x ≤≤()f x π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦②在单调递增，1sin 2y t =+3π13π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以，解得：，所以在单调递增；63ππ13π262x ≤+≤2ππ3x ££()f x 2π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦函数在上的单调递增区间为,.()f x []0,ππ0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦2π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦22．【正确答案】(1)奇函数，证明见解析(2)单调递增，证明见解析(3)14m <-【分析】（1）通过判断()(),f x f x -的关系得奇偶性；（2）任取()12,0,2x x ∈，且12x x >，通过计算()()12f x f x -的正负来确定单调性；（3）将恒成立问题转化为最值问题，利用奇偶性和单调性求出()f x 在区间[]2,0-上的最小值即可.【详解】（1）函数()f x 为奇函数．证明：由已知函数()24xf x x =+的定义域为R ，又()()()2244xxf x f x x x --==-=-+-+，所以函数()f x 为奇函数；（2）函数()f x 在()0,2上单调递增.证明：任取()12,0,2x x ∈，且12x x >，则()()()()()()()()()()22122121121212222222121212444444444x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-+---=-==++++++，因为()12,0,2x x ∈，且12x x >，所以1212400,x x x x <--<，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，所以函数()f x 在()0,2上单调递增；（3）在区间[]2,0-上不等式()f x m >恒成立，即()min f x m >，又由（1）（2）得函数()f x 在[]2,0-上单调递增，故()()min 212444f x f -=-==-+，所以14m <-.23．【正确答案】(1)选择条件①②或者①③或者②③均可求得()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2)最小正周期π,T =对称轴方程为ππ,Ζ32k x k =+∈(3)π12【分析】（1）根据图像得函数()f x 的一个周期为π,从而求得ω=2,选择两个条件,根据五点法求函数解析式参数的方法代入求解即可.（2）根据函数解析式,代入2π,T ω=求得最小正周期；根据正弦函数的对称轴为ππ,Ζ,2k k +∈代入求得()f x 的对称轴方程.（3）根据()g x 的解析式,结合()11sin sin ,Ζx k x k π+=±∈,可得若()g x 为奇函数,则π2π,Ζ,6k k α'='-∈再进行计算即可.【详解】（1）根据图像和41πx x -=,2ππ,0,2,T ωωω∴==>∴= ()()sin 2.f x A x ϕ∴=+若选条件①②,则根据五点法得1ππ20,,66x ϕϕϕ+=+=∴=-则()2ππsin 21,2,66f x A A ⎛⎫=⨯-=∴= ⎪⎝⎭()π2sin 2.6f x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭若选条件①③,则根据五点法得1ππ20,,66x ϕϕϕ+=+=∴=-则()3ππsin 21,2,26f x A A ⎛⎫=⨯-=∴= ⎪⎝⎭()π2sin 2.6f x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭若选条件②③,则当23π23x x x +==时,()f x 取得最大值A ,∴根据五点法得πππ2,,326ϕϕ⨯+=∴=-()2ππsin 21,2,66f x A A ⎛⎫∴=⨯-=∴= ⎪⎝⎭()π2sin 2.6f x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭（2）()π2sin 2,6f x x ⎛⎫=-∴ ⎪⎝⎭ 最小正周期2ππ.2T ==令ππ2π,Ζ,62x k k -=+∈解得ππ,Ζ,32k x k =+∈∴()f x 的对称轴方程为ππ,Ζ.32k x k =+∈（3）由题得()()()ππ2sin 22sin 22,66g x f x x x ααα⎡⎤⎛⎫=+=+-=+- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭()g x 为奇函数,π2π,Ζ,6k k α∴'='-∈解得ππ,Ζ.122k k α''=+∈0,α>∴ 当0k '=时,α取得最小值π.1224．【正确答案】(1){}6,10,15B =(2)7(3)不存在，理由见解析【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解.（2）设{}12345,,,,A a a a a a =，且123450a a a a a <<<<<，利用生成集的定义即可求解；（3）不存在，理由反证法说明.【详解】（1）{}2,3,5A =Q ，{}6,10,15B ∴=（2）设{}12345,,,,A a a a a a =，不妨设123450a a a a a <<<<<，因为41213141525355a a a a a a a a a a a a a a <<<<<<，所以B 中元素个数大于等于7个，又{}254132,2,2,2,2A =，{}34689572,2,2,2,2,2,2B =，此时B 中元素个数等于7个，所以生成集B 中元素个数的最小值为7.（3）不存在，理由如下：假设存在4个正实数构成的集合{},,,A a b c d =，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，不妨设0a b c d <<<<，则集合A 的生成集{},,,,,B ab ac ad bc bd cd =则必有2,16ab cd ==，其4个正实数的乘积32abcd =；也有3,10ac bd ==，其4个正实数的乘积30abcd =，矛盾；所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =关键点点睛：本题考查集合的新定义，解题的关键是理解集合A 的生成集的定义，考查学生的分析解题能力，属于较难题.。
四川省成都市成华区某校2023-2024学年高一上学期12月月考试题 数学含解析
高一数学（答案在最后）一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列关系或运算中①0{0}∈，②0∈∅，③{}210x x ∅⊆+=，④{}(){}{}2,0,1x y x x y y x =⋂==正确的个数为（）A.1B.2C.3D.42.已知幂函数2()(3)m f x m x =-在(0,)+∞上单调递减，则实数m 的值为（）A.2- B.2C.D.2-或23.下列每组中的两个函数是相同函数的是（）A.(),()f x x g x ==B.22(),()(1)f x x g x x ==-C.2()2lg ,()lg f x x g x x == D.()lg(1)(1),()lg(1)lg(1)f x x xg x x x =+-=++-4.若角α的终边过点()5,12，则cos sin αα-=()A.513B.713C.713-D.513-5.函数f （x ）=2x e x +-的零点所在的一个区间是A.（-2,-1）B.（-1,0）C.（0,1）D.（1,2）6.已知弧长为4π的扇形圆心角为6π，则此扇形的面积为（）A.24πB.36πC.48πD.96π7.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL 血液中酒精含量达到20⁓79mg 的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上认定为醉酒驾车，都属于违法驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL.如果停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时25%的速度减少，要保证他不违法驾车，则他至少要休息(其中取lg 20.30,lg 30.48==)（）A.7小时B.6小时C.5小时D.4小时8.已知1122log log a b <且a 、b 都不等于1，则下列不等式不一定成立的是（）A.11a b< B.若0m >，则b b ma a m+<+C.11()()43a b< D.11log log 22a b<二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.下列说法正确的是（）A.命题“m ∃∈N N ”的否定为“m ∃∈N N ”B.命题“a ∀∈R ，一元二次方程210x ax --=有实根”的否定为假命题C.“x 、y 为无理数”是“x y +为无理数”的充分不必要条件D.“a b >”是“22ac bc >”的必要不充分条件10.设函数()(0)af x x a x=+≠，则（）A.当0x >时，函数()f x 有最小值为B.当a<0时，函数()f x 是增函数C.当0,4x a >=时，函数()f x 有最小值为4D.存在正实数m ，使得函数()f x 在[,)m +∞上单调递增11.下列四组图象中，每组分别都是两个函数的图象，其中两个函数图象与解析式对应可能正确的是（）A. B.C. D.12.设函数()f x 满足：对任意实数x 、y 都有,()()()4f x y f x f y +=+-且当0x >时，()4f x >.设()()4g x f x =-.则下列命题正确的是（）A.(2023)(2023)8f f -+=B.函数()f x 有对称中心(0,4)C.函数()g x 为奇函数D.函数()g x 为减函数三、填空题：本题共4小题．13.函数24()23x f x a -=+（0a >，且1a ≠）必过定点__________.14.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对区间(],0-∞上的任意1x ，2x ，当12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x -<-．若实数t 满()()213f t f t +≤-，则t 的取值范围是______．15.已知函数()2112x ax f x +-⎛⎫=⎪⎝⎭在[]1,2上单调递减，则实数a 的取值范围是___________.16.设函数()2log f x 的定义域为1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，且满足()21log 1x f x x -=+，则不等式1142042x xf f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的解集是_______.四、解答题：本题共6小题，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17.计算下列各式的值：（1）0(π4)-+；（2）52log 323log 9log 8lg 2lg 55⨯++-.18.已知角α终边上有一点()P m，且sin (0)4m m α=>.（1）求m 的值，并求cos α与tan α的值；（2）化简并求()()()π11πcos πcos cos 229πcos πsin πsin 2αααααα⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫---+ ⎪⎝⎭的值.19.设点(),x y 是奇函数()f x 图象上的动点，且1x >时满足3xy x y =++.（1）求1x <-时，函数()f x 的解析式；（2）用定义法证明：函数()f x 在(),1-∞-上单调递减；（3）当1x >时，求x y +的最小值.20.学校数学学习小组在假期社会实践活动中，对某公司的一种产品销售情况的调查发现：受不可抗力因素影响，该种产品在2022年8月份（价格浮动较大的一个月，以31天计）的最后7天无法进行销售，日销售单价()P x （单位：千元/千克）与第x 天（124x ≤≤，*x ∈N ）的函数关系满足()151kP x x =++（k 为正实数）．因公司数据保存不当，只能查到该产品的日销售量()Q x （单位：千克）与x 的如下数据：()416Q =，()617Q =，()()1213Q Q >，已知第4天该产品的日销售收入为256千元（日销售收入=日销售单价⨯日销售量）．（1）给出以下三种函数模型：①()2xQ x a b =⋅+；②()3log Q x a x b =⋅+；③()12Q x a x b =-+，请你根据上述数据，帮助这组同学从中选择最合适的一种函数模型来描述该产品在2022年8月份的日销售量()Q x 与x 的关系，并求出该函数的解析式；（2）在（1）的基础上，求出该公司在2022年8月份第1天到第12天中，该产品日销售收入()f x （单位，千元）的最小值．21.已知函数222,1,()log (1), 1.x x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩（1）作出函数()f x 的图象（不写作法），并根据图象写出函数()f x 的单调区间；（2）设函数()()=-g x f x k 有四个零点,,,m n a b ，且m n a b <<<，求m n ab ++的取值范围.22.已知函数3()log (91)xf x mx =++是偶函数，()33x xg x n -=-⋅是奇函数．（1）求实数,m n 的值；（2）若关于x 的不等式2()(())(3)f x g ag x g a <+在(0,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围．高一数学一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列关系或运算中①0{0}∈，②0∈∅，③{}210x x ∅⊆+=，④{}(){}{}2,0,1x y x x y y x =⋂==正确的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】根据元素与集合的关系判断①②，根据子集概念判断③，根据集合的交集判断④.【详解】①0{0}∈正确；②空集不含任何元素，故0∈∅错误；③因为空集是任何集合的子集，故{}210x x ∅⊆+=正确；④因为{}R x y x ==，(){}2,x y y x =为点的集合，故{}(){}2,x y x x y y x =⋂==∅，故{}(){}{}2,0,1x y x x y y x =⋂==错误.所以正确的个数为2.故选：B2.已知幂函数2()(3)m f x m x =-在(0,)+∞上单调递减，则实数m 的值为（）A.2-B.2C.D.2-或2【答案】A 【解析】【分析】根据幂函数的定义及单调性求解即可.【详解】因为幂函数2()(3)m f x m x =-在(0,)+∞上单调递减，所以231m -=且0m <，解得2m =-，故选：A3.下列每组中的两个函数是相同函数的是（）A.(),()f x x g x ==B.22(),()(1)f x x g x x ==-C.2()2lg ,()lg f x x g x x == D.()lg(1)(1),()lg(1)lg(1)f x x xg x x x =+-=++-【答案】D【解析】【分析】根据函数定义域与解析式进行判断即可.【详解】选项A 中，函数()g x x ==，即(),()f x g x 的对应关系不同，故不是同一函数；选项B 中，显然(),()f x g x 的对应关系不同，故不是同一函数；选项C 中，函数()2lg f x x =的定义域为()0,∞+，2()lg g x x =的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，不是同一函数；选项D 中，函数()(),f x g x 的定义域为()1,1-，且()lg(1)lg(1)lg(1)(1)()=++-=+-=g x x x x x f x ，所以是同一个函数；故选：D ．4.若角α的终边过点()5,12，则cos sin αα-=()A.513B.713C.713-D.513-【答案】C 【解析】【分析】根据三角函数的定义求得正确答案.13=，所以5127cos sin 131313αα-=-=-.故选：C5.函数f （x ）=2x e x +-的零点所在的一个区间是A.（-2,-1） B.（-1,0）C.（0,1）D.（1,2）【答案】C 【解析】【详解】试题分析：()()()()2102220,1120,0020,1120f e f e f e f e ---=--<-=--<=+-=+- ()()100f f ∴<，所以零点在区间（0，1）上考点：零点存在性定理6.已知弧长为4π的扇形圆心角为6π，则此扇形的面积为（）A.24πB.36πC.48πD.96π【答案】C 【解析】【分析】根据题意求出扇形的半径，再根据扇形的面积公式即可得解.【详解】解：设扇形的半径为R ，因为弧长为4π的扇形圆心角为6π，所以46R ππ=，所以24R =，所以此扇形的面积为214826R ππ⨯=.故选：C .7.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL 血液中酒精含量达到20⁓79mg 的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上认定为醉酒驾车，都属于违法驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL.如果停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时25%的速度减少，要保证他不违法驾车，则他至少要休息(其中取lg 20.30,lg 30.48==)（）A.7小时B.6小时C.5小时D.4小时【答案】B 【解析】【分析】根据已知条件列不等式，由此求得正确答案.【详解】设需要休息x 小时，依题意，()3100125%100204xx⎛⎫⨯-=⨯< ⎪⎝⎭，32410x⎛⎫< ⎪⎝⎭，两边取以10为底的对数得32lg lg 410x <，所以lg 2lg10lg 210.310.75.8lg 3lg 4lg 32lg 20.4820.30.12x --->===≈---⨯，所以至少需要6小时.故选：B8.已知1122log log a b <且a 、b 都不等于1，则下列不等式不一定成立的是（）A.11a b< B.若0m >，则b b m a a m+<+C.11()()43a b< D.11log log 22ab <【答案】D 【解析】【分析】由1122log log a b <且,a b 都不等于1，则得0a b >>，然后根据不等式性质可对A 判断，利用作差法可对B 判断，利用指数函数性质可对C 判断，利用对数函数性质及特殊值可对D 判断.【详解】由题意知1122log log a b <且,a b 都不等于1，所以0a b >>，对A ：由0a b >>，所以11a b<，故A 一定成立；对B ：()()()()()0b a m a b m m b a b b m a a m a a m a a m +-+-+-==<+++，故B 一定成立；对C ：111443abb⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 一定成立；对D ：由0a b >>，不妨设3,2a b ==，则3311log log 123>=-，21log 12=-，故D 不一定成立.故选：D.二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.下列说法正确的是（）A.命题“m ∃∈N N ”的否定为“m ∃∈N N ”B.命题“a ∀∈R ，一元二次方程210x ax --=有实根”的否定为假命题C.“x 、y 为无理数”是“x y +为无理数”的充分不必要条件D.“a b >”是“22ac bc >”的必要不充分条件【答案】BD 【解析】【分析】A.利用含有一个量词的命题的否定的定义判断；B.利用判别式判断； C.举例判断；D.利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】A.因为命题“m ∃∈N N ”是存在量词命题，所以其否定全称量词命题，即为“m ∀∈N N ”，故错误；B.因为240=∆+>a ，所以命题“a ∀∈R ，一元二次方程210x ax --=有实根”是真命题，所以其否定为假命题，故正确；C.若x y ==，则0x y +=，故不充分，故错误；D.当0c =时，22ac bc =，故充分性不成立，当22ac bc >时，则()20c a b ->，即20c >，且0a b ->，则a b >，故必要性成立，故正确；故选：BD10.设函数()(0)af x x a x=+≠，则（）A.当0x >时，函数()f x 有最小值为B.当a<0时，函数()f x 是增函数C.当0,4x a >=时，函数()f x 有最小值为4D.存在正实数m ，使得函数()f x 在[,)m +∞上单调递增【答案】CD 【解析】【分析】选项A ，举特殊情况a<0时，()(0)af x x a x=+≠在区间(0,)+∞上单调递增，此时函数()f x 没有最小值；选项B ，函数()f x 在0x =处不连续，函数()f x 不是增函数；选项C ，利用基本不等式求出最小值即可；选项D ，对a 的取值分类讨论，其中0a >时，利用复合函数和对勾函数寻找正实数m 判断单调性即可.【详解】函数()(0)af x x a x=+≠的定义域是{|0}x x ≠，对于选项A ，当a<0时，在区间(0,)+∞上函数y x =和ay x=都单调递增，故()(0)af x x a x=+≠在区间(0,)+∞上单调递增，此时函数()f x 没有最小值，选项A 错误；对于选项B ，定义域是{|0}x x ≠，函数()f x 在0x =处不连续，函数()f x 不是增函数，选项B 错误；对于选项C ，0,4x a >=，则44x x +≥=（2x =时等号成立），函数()f x 有最小值为4，选项C 成立；对于选项D ，当a<0时，()(0)af x x a x=+≠在区间(0,)+∞上单调递增，此时存在正实数m ，使得函数()f x 在[,)m +∞上单调递增；当0a >12x x ≤<，121212121212()()()()()()x x x x a a af x f x x x x x x x ---=+-+=，12x x ≤<得：120x x -<，120x x a >>，10x x a ->，所以12())0(f x f x -<，12()()f x f x <成立，()(0)af x x a x=+≠在区间+∞)，使得函数()f x在+∞)上单调递增；选项D 正确；故选：CD.11.下列四组图象中，每组分别都是两个函数的图象，其中两个函数图象与解析式对应可能正确的是（）A.B.C.D.【答案】ABD 【解析】【分析】根据每个选项中两个函数的图象，求出实数a 的取值范围，然后观察每个选项中实数a 的范围是否一致，即可得出合适的选项.【详解】对于A 选项，指数函数1xxa y a -=⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，则101a <<，可得1a >，对数函数log a y x =在()0,∞+上为增函数，则1a >，A 满足条件；对于B 选项，对数函数log a y x =在()0,∞+上为减函数，则01a <<，由幂函数a y x =在第一象限内的图象可知，01a <<，取13a =，令()13a f x x x ===，该函数的定义域为R ，()()f x f x -===-，此时函数a y x =为奇函数，B 满足条件；对于C 选项，函数y ax a =-为减函数，且该函数的图象交y 轴于点()0,a -，由图可得02a a >⎧⎨-<-⎩，解得2a >，函数a y x=的图象在第二、四象限，则a<0，C 不满足条件；对于D 选项，函数y ax a =-为减函数，且该函数的图象交y 轴于点()0,a -，由图可得001a a <⎧⎨<-<⎩，解得10a -<<，由幂函数a y x =在第一象限的图象可知，a<0，取67a =-，令()67a g x x x -==={}0x x ≠，()()g x g x -==，此时，函数a y x =为偶函数，合乎题意，D 满足条件.故选：ABD.12.设函数()f x 满足：对任意实数x 、y 都有,()()()4f x y f x f y +=+-且当0x >时，()4f x >.设()()4g x f x =-.则下列命题正确的是（）A.(2023)(2023)8f f -+= B.函数()f x 有对称中心(0,4)C.函数()g x 为奇函数D.函数()g x 为减函数【答案】ABC【解析】【分析】令0x y ==，可得()04f =，再令2023,2023x y ==-，判断选项A ；令y x =-，即可判断选项B ；由()()4g x f x =-，判断选项C ；令,0y x ∈>R ,利用函数的单调性定义进行判断选项D.【详解】由对于任意实数,x y ，()()()4f x y f x f y +=+-，令0x y ==，则()()()0004f f f =+-，即()04f =,再令2023,2023x y ==-,则()()()020*******f f f =+--，即()()202320238f f +-=，故A 正确;令y x =-，则()()()04f f x f x =+--，即()()8f x f x +-=，故B 正确；由()()4g x f x =-，则()()()()440g x g x f x f x +-=-+--=，即()g x 是奇函数，故C 正确；对于任意,0y x ∈>R ,则x y y +>，当0x >时，()4f x >，则()()()40f x y f y f x +-=->，所以()f x 单调递增，即()g x 单调递增，故D 错误.故选：ABC三、填空题：本题共4小题．13.函数24()23x f x a -=+（0a >，且1a ≠）必过定点__________.【答案】()25，【解析】【分析】根据指数函数的性质，即可求解.【详解】因为01(0a a =>，且1)a ≠，所以令240x -=，得2x =，此时5y =，所以函数()f x 必过定点()2,5.故答案为：()2,514.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对区间(],0-∞上的任意1x ，2x ，当12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x -<-．若实数t 满()()213f t f t +≤-，则t 的取值范围是______．【答案】24,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系建立不等式，解之可得答案.【详解】因为对区间(],0-∞上的任意1x ，2x ，当12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x -<-，所以函数()f x 在(],0-∞上单调递减，又函数()f x 是定义在R 上的偶函数，所以函数()f x 在[)0,+∞上单调递增，实数t 满()()213f t f t +≤-，所以213t t +≤-，两边平方得23+1080t t -≤，解得243t -≤≤，故答案为：24,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.15.已知函数()2112x ax f x +-⎛⎫=⎪⎝⎭在[]1,2上单调递减，则实数a 的取值范围是___________.【答案】[)2,-+∞【解析】【分析】根据复合函数单调性求出()f x 在,2a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减，再由()f x 在[]1,2上单调递减，得到12a -≤，进而求得a 的取值范围.【详解】令21t x ax =+-，则12t y ⎛⎫= ⎪⎝⎭.因为21t x ax =+-在,2a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，在,2a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，12t y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，所以()f x 在,2a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递增，在,2a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减.因为()f x 在[]1,2上单调递减，所以有12a -≤，解得2a ≥-.故答案为：[)2,-+∞16.设函数()2log f x 的定义域为1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，且满足()21log 1x f x x -=+，则不等式1142042x x f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的解集是_______.【答案】11,2⎛⎤-- ⎥⎝⎦【解析】【分析】由题意利用换元法得到关于t 的函数，判断出()f t 的奇偶性和单调性，然后将不等式变形，由单调性和定义域得到关于x 的不等式，求解即可.【详解】令2log t x =，则2t x =，由1,44x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得[]2,2t ∈-，所以21()21t t f t -=+，[]2,2t ∈-，因为()211221()212121t t t t t t f t f t ------===-=-+++，所以函数()f t 为奇函数，因为212()12121t t t f t -==-++，而21t y =+在其定义域内单调递增，则221t y =+在其定义域内单调递减，所以函数()f t 单调递增，而不等式1142042x x f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭可变形为111422422x x x f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以11242242x x ⎛⎫⎛⎫-≤-<-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由1244x ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭，解得12x ≤-，由1222x ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，解得2x ≥-，由114242x x ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令12x m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得220m m --<，即12m -<<，所以1122x ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭，则1x >-，综上，112x -<≤-.故答案为：11,2⎛⎤-- ⎥⎝⎦.【点睛】方法点睛：本题考查函数的性质，利用函数的奇偶性和单调性解不等式，脱掉“f ”是解有关函数不等式的常用方法.四、解答题：本题共6小题，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17.计算下列各式的值：（1）0(π4)-+；（2）52log 323log 9log 8lg 2lg 55⨯++-.【答案】（1）4（2）2-【解析】【分析】（1）根据指数幂以及根式的运算求解；（2）根据对数的运算求解.【小问1详解】原式=1134-=-+；【小问2详解】原式=()22323321036192log log lg ⨯+-=+-=-.18.已知角α终边上有一点()P m，且sin (0)4m m α=>.（1）求m 的值，并求cos α与tan α的值；（2）化简并求()()()π11πcos πcos cos 229πcos πsin πsin 2αααααα⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫---+ ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）m =cos 4α=-，tan 3α=-（2）3-【解析】【分析】（1）直接利用三角函数的定义依次计算得到答案.（2）根据诱导公式化简得到原式等于tanα，计算得到答案.【小问1详解】sin4mα==，0m>，解得m=.故cos4α==-，tan3α==-.【小问2详解】()()()11πcosπcos coscos sin sin22tan9πcos sin cos3cosπsinπsinπ2ααααααααααααα⎛⎫⎛⎫++-⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭===--⎛⎫---+⎪⎝⎭.19.设点(),x y是奇函数()f x图象上的动点，且1x>时满足3xy x y=++.（1）求1x<-时，函数()f x的解析式；（2）用定义法证明：函数()f x在(),1-∞-上单调递减；（3）当1x>时，求x y+的最小值.【答案】（1）()()311xf x xx-=-<-+（2）证明见解析（3）6【解析】【分析】（1）根据题意，求出当1x>时，函数()f x的解析式，然后利用奇函数的性质可求出当1x<-时，函数()f x的解析式；（2）任取1x、()2,1x∞∈--且12x x<，作差()()12f x f x-，变形后判断()()12f x f x-的符号，结合函数单调性的定义可得出结论；（3）当1x>时，可得出4121x y xx+=-++-，利用基本不等式可求得x y+的最小值.【小问1详解】当1x>时，由3xy x y=++得()13y x x-=+，则()31xf x yx+==-，当1x<-时，1x->，则()3311x xf xx x-+--==--+，因为函数()f x 为奇函数，则()()31x f x f x x -=--=-+.所以，()()311x f x x x -=-<-+.【小问2详解】由（1）知()()341111x f x x x x -=-=-+<-++，对任意的1x 、()2,1x ∞∈--且12x x <，有()()()()()21121212124444411111111x x f x f x x x x x x x -⎛⎫⎛⎫-=---=-= ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭，因为121x x <<-，210x x ->，110x +<，210x +<，所以，()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，所以，()f x 在(),1∞--上单调递减.【小问3详解】由（1）知，当1x >时，344112111x x y x x x x x x ++=+=++=-++---2426≥+=+=，当且仅当()4111x x x -=>-时，即当3x y ==时，等号成立，故x y +的最小值为6.20.学校数学学习小组在假期社会实践活动中，对某公司的一种产品销售情况的调查发现：受不可抗力因素影响，该种产品在2022年8月份（价格浮动较大的一个月，以31天计）的最后7天无法进行销售，日销售单价()P x （单位：千元/千克）与第x 天（124x ≤≤，*x ∈N ）的函数关系满足()151k P x x =++（k 为正实数）．因公司数据保存不当，只能查到该产品的日销售量()Q x （单位：千克）与x 的如下数据：()416Q =，()617Q =，()()1213Q Q >，已知第4天该产品的日销售收入为256千元（日销售收入=日销售单价⨯日销售量）．（1）给出以下三种函数模型：①()2xQ x a b =⋅+；②()3log Q x a x b =⋅+；③()12Q x a x b =-+，请你根据上述数据，帮助这组同学从中选择最合适的一种函数模型来描述该产品在2022年8月份的日销售量()Q x 与x 的关系，并求出该函数的解析式；（2）在（1）的基础上，求出该公司在2022年8月份第1天到第12天中，该产品日销售收入()f x （单位，千元）的最小值．【答案】（1）()11220,124,N 2Q x x x x *=--+≤≤∈；（2）最小值为250千元.【解析】【分析】（1）由第4天该产品的日销售收入及()416Q =求出k ，再由销量的变化关系及函数模型选择函数()Q x 的关系式，再代入计算作答.（2）利用（1）的函数模型求出()f x 的表达式，再求出当12x ≤时，()f x 的最小值作答.【小问1详解】当4x =时，由(15)162561k x +⋅=+，得5k =，即5()151P x x =++，（124x ≤≤，*x ∈N ），因为()416Q =，()617Q =，则()()46Q Q <，而()()1213Q Q >，即日销售量数据有增有减，显然0a ≠，模型①②都是单调函数，不符合题意，选择模型③，将()416Q =，()617Q =代入模型③得：4121661217a b a b ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得1220a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，所以模型③的函数解析式为()11220,124,N 2Q x x x x *=--+≤≤∈.【小问2详解】由（1）知，当112,N x x *≤≤∈时，5()151P x x =++，()11(12)201422Q x x x =--+=+，因此51512752715)(14)15)[(1)]205[3(1)]121222()(1(f x x x x x ++=+++=+++++=+205250≥+，当且仅当273(1)1x x +=+，即2x =时取等号，所以当2x =时，该产品日销售收入()f x 最小，最小值为250千元.【点睛】思路点睛：涉及实际应用问题，在理解题意的基础上，找出分散的数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，恰当引入变量，将实际问题转化、抽象为数学问题作答.21.已知函数222,1,()log (1), 1.x x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩（1）作出函数()f x 的图象（不写作法），并根据图象写出函数()f x 的单调区间；（2）设函数()()=-g x f x k 有四个零点,,,m n a b ，且m n a b <<<，求m n ab ++的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）652,8⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）根据二次函数及对数函数的图象作出函数图象，再根据函数图象写出单调区间即可；（2）依题意()f x 的图象与直线y k =有四个不同的公共点，根据二次函数的对称性可求出m n +，根据对数函数的性质可求出,a b 的关系，进而可得出答案.【小问1详解】()f x 图象如图所示：()f x 的单调递增区间：()()1,1,2,∞-+，()f x 的单调递减区间：()(),1,1,2∞--；【小问2详解】依题意()f x 的图象与直线y k =有四个不同的公共点，其横坐标分别为,,,m n a b ，且m n a b <<<，由二次函数图象对称性可知：2m n +=-，由()()2log 1log 1a b --=-知()()111a b --=，则111b a =+-，11121111a ab a a a a a a =+=++=++----，111m n ab a a ∴++=+--，由(]0,3k ∈，得9,28a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，令1t a =-，则1,18t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，故1m n ab t t++=+，由对勾函数的性质可得函数1y t t =+在1,18⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，所以652,8m n ab ⎛⎤++∈ ⎥⎝⎦，即m n ab ++的取值范围为652,8⎛⎤ ⎥⎝⎦.22.已知函数3()log (91)x f x mx =++是偶函数，()33x x g x n -=-⋅是奇函数．（1）求实数,m n 的值；（2）若关于x 的不等式2()(())(3)f x g ag x g a <+在(0,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】22.1m =-，1n =23.4,2⎡-+⎣【解析】【分析】（1）根据奇函数偶函数的性质运算即可求出参数，注意检验.（2）首先根据()33x x g x -=-的单调性化简不等式，进一步通过换元法，将不等式转换为()()240,0h t t at a t =-++>>恒成立即可，分类讨论即可求解.【小问1详解】由题知函数()(),f x g x 定义域均为R ，∵()f x 是偶函数，∴()()11.f f =-即3310log 10log 3m m +=-，即 1.m =-此时()3()log 91x f x x =+-，而此时()()()3333()log 91log 91log 3log 33x x x x x f x x -=+-=+-=+，所以()()()3log 33x x f x f x --=+=，且定义域关于原点对称，满足题意，∵()g x 是奇函数，∴()000330, 1.g n n =-⋅==此时()33x xg x -=-，所以()()()3333x x x x g x g x ---=-=--=-，且定义域关于原点对称，满足题意.【小问2详解】()33x x g x -=-在R 上单调递增，故有()()23f x ag x a <+对()0,x ∞∈+恒成立，又()()()3333()log 91log 91log 3log 33x x x x x f x x -=+-=+-=+，∴()()()322log 3333333x x x x x x a a a -+---<+=++对()0,x ∞∈+恒成立.令33x x t ,-=-由()0,x ∞∈+知()0,t ∞∈+.则有24at a t <++对()0,t ∞∈+恒成立.即240t at a -++>对()0,t ∞∈+恒成立.令()()240.h t t at a t =-++>只需()min 0h t >即可.又()h t 对称轴为2a t =，当02a ≤即0a ≤时，()h t 在()0,∞+上单调递增，只需()040h a =+≥即可.∴40a .-≤≤当02a >即0a >时，()h t 在02a ⎛⎤ ⎥⎝⎦，上单调递减，在2a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，上单调递增.∴()2min40.24a a h t h a ⎛⎫==-++> ⎪⎝⎭解得22a -<<+∴02a <<+综上所述，a 的取值范围为4,2.⎡-+⎣【点睛】关键点睛：第一问的关键是利用奇偶函数的性质记得一定要检验，第二问的关键是利用函数单调性以及换元法来求解.。
高一12月月考数学试题(含答案)
高一12月月考数学试题(含答案)数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．） 1.⎪⎭⎫ ⎝⎛-π 623sin 的值等于 . 2．设α角属于第二象限，且2cos 2cos αα-=，则2α角属于第 象限.3.4tan 3cos 2sin 的值的符号为 .4.在函数x y sin =、x y sin =、2sin(2)3y x π=+、2cos(2)3y x π=+中，最小正周期为π的函数有 个.5.已知点P(θcos ，θsin )在第三象限，则角θ的终边落在第______象限．6.设k = 80cos ，则= 100tan ____________ .7.已知()sin 1f x ax b x =++，若(5)7f =，则(5)f -=8.函数y =||xx sin sin +x x cos cos ||+||x x tan tan 的值域是 . 9.如果 αα α α cos 5sin 3cos 2sin +-= - 5，那么αtan 的值为 . 10.如果ααcos sin +=43，那么ααcos sin -的值为 .11.若(cos )cos3f x x =，那么(sin30)f ︒的值为 . 12.若集合|,3A x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭，{}|22B x x =-≤≤，则集合B A 为 ．13.函数y=2sin(2x+6π)(x ∈[-π,0］)的单调递减区间是 .14.已知sin θ＝1－a 1＋a ，cos θ＝3a －11＋a ，若θ是第二象限角，则实数a 的值是________．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（14分）已知角α的终边经过点P (4a ，- 3a )(a ≠0)，求 2sin α + cos α的值；16.（14分） 已知扇形的周长为30，当它的半径R 和圆心角α各取何值时，扇形的面积最大？并求出扇形面积的最大值．17．（15分）已知2tan =α，求下列各式的值：（1）ααααcos 9sin 4cos 3sin 2--；（2）αααα2222cos 9sin 4cos 3sin 2--；（3）αααα22cos 5cos sin 3sin 4--.18．（15分）已知)62sin()(π+-=x x f 求：（1）函数的最小正周期；（2）函数的单调增区间；（3）若63ππ≤≤-x ，求函数的值域。
12月月考高一数学
高一数学月考试题一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1、若)1(,,)1(,1,4,)21(,2522>==-=+====a a y x y x y x y x y y x y x x上述函数是幂函数的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 2、给出下列命题①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直 ②过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行 ③过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 ④过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直 其中正确命题的个数为（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3、一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 45， 腰和上底边均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是 （ ） A.2221+B. 22+C. 21+D. 221+ 4、已知函数：①y ＝2x；②y ＝log 2x ；③y ＝x －1；④12y x =；则下列函数图象(第一象限部分)从左到右依次与函数序号的对应顺序是( )A ．②①③④B ．②③①④C ．④①③②D ．④③①②5、已知圆柱的轴截面是边长为4的正方形，则圆柱 的表面积是 （ ）A ．16πB ．8πC ．24πD ． 32π6. 已知三点A （－2,－1）、B （x ，2）、C （1，0）共线，则x 为：（ ）A 、7B 、-5C 、3D 、-18、计算3log 213lg lg52+-的结果为(A)2 (B)1 (C)3 (D)-1 9、 设y 1=40.9,y 2=lo 4.3,y 3=()1.5,则( ) A.y 3>y 1>y 2B.y 2>y 1>y 3C.y 1>y 2>y 3D.y 1>y 3>y 210、已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β ，有以下四个命题：①α∥β => l ⊥m ②α⊥β => l ∥m ③l ∥m => a ⊥β ④l ⊥m => α∥β其中正确的两个命题是（ ）（A ）①与② B) ③与④ (C) ②与④ (D) ①与③二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)11、已知矩形的长为a 2，宽为a ，将此矩形卷成一个圆柱，则此圆柱的体积为_________．12.幂函数223()(1)m m f x m m x +-=--在(0,)+∞上为增函数,则m =___________.13、一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积为_____．14、 已知长方体的全面积是11，十二条棱长度之和是24，则这个长方体的一条对角线长为 15、A 、B 、C 是球O 上的三点，⊿ABC 是边长为33cm 的正三角形，球O 的半径为4cm,则球心O 到平面ABC 的距离是密 封 线 内 不 准 答 题姓 名 班 级 考三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16. （本小题12分）已知三角形ABC 的顶点坐标为A （-1，5）、B （-2，-1）、C （4，3），M 是BC 边上的中点。
辽宁省实验中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题及答案
辽宁省实验中学2023—2024学年度上学期12月阶段测试高一数学试卷一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是考试时间：120分钟试题满分：150分符合题目要求的。
1．已知集合(){}2{14,},,,A x x x B x y y x x A =<<∈==∈Z ，则A B = （ ）A ．{}2B ．{}2,3C ．{}4,9D ．∅2．已知函数()()2231mm f x m m x −−=+−是幂函数，且()0,x ∈+∞时，()f x 单调递增，则m 的值为（ ）A ．1B ．1−C ．2−D ．2−或13．若,a b 是方程230x x +−=的两个实数根，则22a a b ++=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．一种药在病人血液中的量保持在500mg 以上时才有疗效，而低于100mg 时病人就有危险．现给某病人的静脉注射了这种药2500mg ，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，以保证疗效，那么下次给病人注射这种药的时间最迟大约是（参考数据：lg20.3010≈）（ ） A ．5小时后B ．7小时后C ．9小时后D ．11小时后5．已知31log 2833log 3,log 4,3a b c−===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．a c b >>D ．c b a >>6．设函数()y f x =存在反函数()1y f x −=，且函数()2y x f x =−的图象过点()2,3，则函数()1yf x −=−的图象一定过点（ ）A ．()1,1−B ．()3,2C ．()1,0D ．()2,17．函数()f x 和()g x 的定义域均为R ，已知()13yf x =+为偶函数，()11yg x =++为奇函数，对于x ∀∈R ，均有()()23f x g x x +=+，则()()44f g =（ ） A ．66B ．70C ．124D ．1448．已知函数()24,0e 1,0xx x x f x x − −+≥= −< ，若关于x 的不等式()()22[]0f x mf x n −−<恰有两个整数解，则实数m 的最小值是（ ）A ．21−B ．14−C ．7−D ．6−二．选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024学年河南省顶级名校高一上学期12月月考数学试题及答案
高一12月月考数学试题第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合{}lg 0A x x =>，{}0,1,2,3B =，则A B = （ ）A.{}2,3B.{}1,2,3 C.()1,+∞ D.()2,32.已知5cos 13α=-，且α为第二象限角，则sin α=（ ）A.1213-B.513-C.1213D.1253.函数()2log 27f x x x =+-的零点一定位于区间（ ）A.()1,2 B.()2,3 C.()3,4 D.()5,64.()tan 420-︒的值为（）A. C.5.“11x<”是“1x >”的（ ）条件A.充分非必要 B.必要非充分C.充要D.既非充分也非必要6.已知3cos 35πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A.45±B.45C.45-D.357.若对于任意的0x >，不等式()2310x a x +-+≥恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A.[)5,+∞ B.()5,+∞ C.(],5-∞ D.(),5-∞8.设函数()2,01,0x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ）A.(],1-∞ B.()1,+∞ C.[)1,+∞ D.(),1-∞二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9.下列结论中，正确的有（）A.()sin sin x x π-=B.()tan tan x x π+=-C.3cos sin 2x x π⎛⎫-=⎪⎝⎭ D.3cos sin 2x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭10.若0x y >>，则下列结论正确的是（ ）A.33xy> B.33x y> C.1122log log x y> D.11x y>11.若a ，()0,b ∈+∞，1a b +=，则下列说法正确的是（ ）A.ab 的最大值为14B.11a b a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是4C.144a b -的最大值为2 D.12a b+的最小值为3+12.函数()21,321,xx af x x x x a ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-++>⎩则下列结论正确的是（ ）A.当0a =时，函数()f x 的单调增区间为()0,1B.不论a 为何值，函数()f x 既没有最小值，也没有最大值C.不论a 为何值，函数()f x 的图象与x 轴都有交点D.存在实数a ，使得函数()f x 为R 上的减函数第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在平面直角坐标系中，点()tan2022,sin2022P ︒︒位于第______象限.14.函数23x y a+=-（0a >，且1a ≠）的图象过定点A ，则点A 的坐标是______.15.设25abm ==，且211a b+=，则m =______.16.若扇形周长为10，当其面积最大时，其扇形内切圆的半径r 为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）化简求值：（1）23log 3log 4lg2lg5⋅--；（2）27sin cos tan cos 6336ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.18.（本小题满分12分）已知()()()3cos tan 2021sin 223sin sin 2f ππαπαααππαα⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.（1）化简()fα；（2）若α是第四象限角，且20211cos 24πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，求()f α的值.19.（本小题满分12分）已知二次函数()241f x ax x =--.（1）当a 取何值时，不等式()0f x <对一切实数x 都成立；（2）若()f x 在区间()1,1-内恰有一个零点，求实数a 的取值范围。
高一12月月考数学试题及答案
高一12月月考 数学试题第I 卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂到答题卡的相应位置. 1.若{}{}1,2,3,1,2A B ==，则A B = A.{}1,2 B.{}3 C.{}1,2,3 D.φ2.已知⎩⎨⎧≤>=0,30,log )(2x x x x f x ，则()2f -=A.9B.91C.9-D.91- 3.函数()01>=+x e y x 的反函数是A.()0ln 1>+=x x yB.()0ln 1>+-=x x yC.()e x x y >+=ln 1D.()e x x y >+-=ln 14.函数()f x =A.[)0,+∞B.[)1,+∞C.(],0-∞D.(],1-∞ 5.下列函数中与函数y x =是同一个函数的是A.y x =B.y x =-C.y 2y =6.若幂函数()()21mf x m m x =--在()0,+∞上为增函数，则实数m =A.2B.1-C.3D.1- 或27.已知各顶点都在一个球面上的正方体的体积为8，则这个球的表面积是 A.π8 B.π12 C.π16 D.π208.设()833-+=x x f x，用二分法求方程()2,10833∈=-+x x x在内近似解的过程中得()()()025.1,05.1,01<><f f f ，则方程的根落在区间A.()1,1.25B.()1.25,1.5C.()1.5,2D.不能确定9.在四面体PABC 中，PA PB PC 、、两两垂直，且均相等，E 是AB 的中点， 则异面直线AC 与PE 所成的角为A.6π B.4π C.3π D.2πC 1A 1B 110.设ln 2a =，3log 2b =，125c -=则A.a b c <<B.a c b <<C.c b a <<D.b c a <<11.一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是 A.1 B.2 C.31 D.3412.已知函数())ln31f x x =+，则()1lg 2lg 2f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭A.1-B.0C.1D.2第II 卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写到答题卡的相应位置.13.= .14.函数2()2f x x x =-的单调增区间是 .15.已知函数()212log 21y ax x a =++-的值域为[)0,+∞,则a = .16.一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上.已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，请将解答过程填写在答题卡的相应位置.17.(10分)已知全集{}22,3,23U a a =+-,{}21,2A a =-,若{}5U C A =,求a 的值.18.(12分) 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB BC CA ===，1AA =， 求1AB 与侧面1AC 所成的角.F E P D CB A19.(12分)已知关于x 的方程()22160x m x m +-+-=有一个根不大于1-，另一个根不小于1. （1）求实数m 的取值范围； （2）求方程两根平方和的最值.20.(12分)如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 为正方形，⊥PA 底面ABCD ，E F 、分别是AC PB 、的中点.（1）求证：//EF 平面PCD ； （2）求证：平面⊥PBD 平面PAC .21.(12分)某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出场单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件．（1）设一次订购x 件，服装的实际出厂单价为p 元，写出函数)(x f p =的表达式； （2）当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？22.(12分)设x x f 3)(=,且)(43)(,18)2(R x x g a f x ax ∈-==+. （1）求)(x g 的解析式；（2）判断)(x g 在[]1,0上的单调性并用定义证明；(3) 设[]{}()02,2M m t m =-=-方程g 在上有两个不同的解，求集合M .D C 1A 1B 1CC 1A 1B 1AB桂林市第十八中学14级高一上学期段考数学答案一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B D A C A B B C C D D二、填空题： 13.2514.[)()()1,1,+∞+∞也可以填15.1三、解答题：17.(10分)已知全集{}22,3,23U a a =+-,{}21,2A a =-,若{}5U C A =,求a 的值.17.解： 由2235|21|3a a a ⎧+-=⎨-=⎩,6 分得2421a a a a ==-⎧⎨==-⎩或或，8 分2a ∴=10 分18.(12分) 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB BC CA ===，1AA =， 求1AB 与侧面1AC 所成的角.18.解：取11C A 的中点D ，连接AD D B ，1, ∵1AB BC CA === ∴⊥D B 111C A ,∵1111C B A AA 面⊥ ∴D B AA 11⊥ ∴111A ACC D B 面⊥, ∴AD 是111A ACC AB 在平面内的射影∴AD B 1∠是111A ACC AB 与平面所成角 6 分PFEP DCBA∵12B D =,1AB == ∴AD B Rt 1∆中，21sin 111==∠AB D B AD B , ∴0130=∠AD B ∴111A ACC AB 与平面所成角是030. 12 分19.(12分)已知关于x 的方程()22160x m x m +-+-=有一个根不大于1-，另一个根不小于1. （1）求实数m 的取值范围； （2）求方程两根平方和的最值.19.解：（1）设()()2216f x x m x m =+-+-，则()()1010f f -≤⎧⎪⎨≤⎪⎩，4 分解得：42m -≤≤6 分（2）设方程()22160x m x m +-+-=的两根为12,x x ，则()1212216x x m x x m +=--⎧⎨⋅=-⎩8 分∴()2222212121234324613444x x x x x x m m m ⎛⎫+=+-⋅=-+=-+ ⎪⎝⎭所以，当34m =时。
天津市2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题含答案
天津2023年12月高一年级月考数学试卷（答案在最后）一、选择题（每题4分，共计48分）1.已知集合{1,3,5,7}A =，{4,5,6,7}B =，则A B = （）A.{5,7}B.{1,3,4}C.{1,3,4,6}D.{1,3,4,5,6,7}【答案】A 【解析】【分析】根据题意，利用交集的运算即可求出A B ⋂.【详解】解：由题可知，{1,3,5,7}A =，{4,5,6,7}B =，由交集的运算可得{}5,7A B = .故选：A.2.命题“0x ∀>，2210x x -+≥”的否定是（）A.0x ∃>，2210x x -+<B.0x ∀>，2210x x -+<C.0x ∃≤，2210x x -+<D.0x ∀≤，2210x x -+<【答案】A 【解析】【分析】根据题意，全称命题的否定是存在命题，全称改存在，再否定结论.【详解】因为命题“0x ∀>，2210x x -+≥”是全称命题，全称命题的否定是存在命题，所以命题“0x ∀>，2210x x -+≥”的否定是“0x ∃>，2210x x -+<”故选：A3.设x R ∈，则“1x <”是“220x x +-<”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】解出两个不等式，利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】解不等式1x <，可得11x -<<；解不等式220x x +-<，可得2<<1x -.因为，()1,1-()2,1-，因此，“1x <”是“220x x +-<”的充分而不必要条件.故选：A.4.半径为1，圆心角为2π3的扇形的面积是（）A.4π3 B.2π3C.πD.π3【答案】D 【解析】【分析】利用扇形的面积公式即可得解.【详解】因为扇形的半径为1，圆心角为2π3，所以扇形的面积为212ππ1233⨯⨯=.故选：D.5.已知函数()ln 4f x x x =+-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（）A.（0，1） B.（1，2）C.（2，3）D.（3，4）【答案】C 【解析】【分析】判断函数的单调性，以及f （2），f （3）函数值的符号，利用零点存在性定理判断即可．【详解】函数()ln 4f x x x =+-，是增函数且为连续函数，又f （2）ln 2240=+-<，f （3）ln3340=+->，可得()()230f f <所以函数()ln 4f x x x =+-包含零点的区间是(2,3)．故选：C ．【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.6.已知角α的终边上有一点P 的坐标是()3,4a a ，其中0a <，则sin α=（）A.4aB.45C.35D.45-【答案】D 【解析】【分析】利用三角函数的定义即可得解.【详解】因为0a <，所以a a =-，因为角α的终边上有一点P 的坐标是()3,4a a ，所以44sin 55a a α===-.故选：D.7.已知2log 5a =，3log 8b =，0.20.3c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A.a b c >>B.c b a>> C.a c b>> D.b a c>>【答案】A 【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得解.【详解】由题意，得22log 54log 2a ==>，3331log 3log 8log 92=<<=，即12b <<，0.2000.30.31c <=<=，所以a b c >>.故选：A.8.函数()2213x xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为（）A.()0,1 B.()0,3 C.(]0,3 D.()3,∞+【答案】C 【解析】【分析】根据二次函数、指数函数性质求指数复合函数的值域.【详解】由222(1)1[1,)t x x x =-=--∈-+∞，则1()(0,3]3ty =∈，所以()2213x xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为(]0,3.故选：C9.若函数()f x 和()g x 都是R 上的奇函数，()()()2F x af x bg x =++，若()25F -=，则()2F =（）A.1B.1- C.5- D.5【答案】B 【解析】【分析】利用奇函数的性质，即可求解()()22af bg +的值，即可求解()2F 的值.【详解】因为函数()f x 和()g x 都是R 上的奇函数，所以()()22f f -=-，()()22g g -=-，()()()()()22222225F af bg af bg -=-+-+=-++=⎡⎤⎣⎦，则()()223af bg +=-，()()()2222321F af bg =++=-+=-.故选：B10.化简()()48392log 3log 3log 2log 2++的值为（）A.1B.2C.4D.6【答案】B 【解析】【分析】根据对数的性质可求代数式的值.【详解】原式2233111(2log 3log 3)(log 2log 2)232=⨯++2343log 3log 2232=⨯=，故选：B11.函数y =）A.[)1,+∞B.[)1,3C.()1,3 D.(),3-∞【答案】B 【解析】【分析】利用具体函数定义域的求法，结合对数函数的性质即可得解.【详解】因为y =所以()12log 31030x x ⎧-+≥⎪⎨⎪->⎩，解得13x ≤<.故选：B.12.已知函数()21,01ln ,0x x f x x x-⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，()()g x f x x a =--，若函数()g x 有2个零点，则实数a 的取值范围是（）A.[)1,0- B.[)1,+∞ C.(],1-∞ D.[)2,+∞【答案】D 【解析】【分析】根据题意，转化为()y f x =和y x a =+有两个交点，画出两个函数的图形，结合函数的图象，即可求得实数a 的取值范围.【详解】由函数()21,01ln ,0x x f x x x-⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，因为()()g x f x x a =--，令()0g x =，即()f x x a =+，由函数()g x 有2个零点，即()y f x =和y x a =+有两个交点，在同一坐标系内画出两个函数的图形，如图所示，结合函数的图象，要使得函数()g x 有2个零点，则2a ≥，所以实数a 的取值范围为[2,)+∞.故选：D.二、填空题（每题4分，共计24分）13.cos120︒=__________．【答案】-12【解析】【详解】()1cos120cos 18060cos602=-=-=-oooo .故答案为12-.14.若幂函数()f x 的图象经过点()25,5，则()f x 的解析式为______.【答案】()12f x x =【解析】【分析】由幂函数所过的点求解析式即可.【详解】令幂函数()f x x α=，且过点()25,5，则12552αα=⇒=，所以()12f x x =.故答案为：()12f x x=15.已知102m =，103n =，则10m n -=________．【答案】23【解析】【分析】利用指数及指数幂的运算律求解.【详解】102m= ，103n=，10032110m m n n-∴==故答案为：23.16.已知,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，4cos 5x =，则tan x =________．【答案】34-【解析】【分析】根据同角平方关系，先求出3sin 5x =-，再根据商数关系，求出tan x .【详解】由4cos 5x =，,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，可得3sin 5x ==-，则根据商数关系得sin 3tan cos 4x x x ==-.故答案为：34-.17.函数12(01)1y x x x=+<<-的最小值为________．【答案】3+【解析】【分析】函数变形为12(1)1y x x x x ⎛⎫=++- ⎪-⎝⎭，利用基本不等式“1”求最小值.【详解】01x <<Q ，011x ∴<-<，121212(1)3332111x x y x x x x x x x x -⎛⎫∴=+=++-=++≥++ ⎪---⎝⎭，当且仅当121x xx x-=-，即1x =时，等号成立.所以函数12(01)1y x x x=+<<-的最小值为3+.故答案为：3+【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.18.若f (x )＝(31)4,1,1a x a x ax x -+<⎧⎨-≥⎩是定义在R 上的减函数，则a 的取值范围是________.【答案】1183⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【解析】【分析】根据分段函数的单调性可得310(31)140a a a a a -<⎧⎪-⨯+≥-⎨⎪>⎩，解不等式组即可求解.【详解】由题意知，310(31)140a a a a a -<⎧⎪-⨯+≥-⎨⎪>⎩，解得1380a a a ⎧<⎪⎪≥⎨⎪>⎪⎩，所以11,83a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故答案为：11,83⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查了由分段函数的单调性求参数的取值范围，属于基础题.三、解答题（共计28分）19.若不等式2520ax x +->的解集是122x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，（1）求a 的值；（2）求不等式22510ax x a -+->的解集.【答案】（1）2-（2）13,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由已知不等式的解集得到2520ax x +-=的两个实数根为12和2，利用韦达定理即可求出a 的值；（2）代入a 的值，由一元二次不等式的求解即可得解．【小问1详解】依题意可得：2520ax x +-=的两个实数根为12和2，由韦达定理得：15221222aa ⎧+=-⎪⎪⎨-⎪⨯=⎪⎩，解得：2a =-；【小问2详解】由（1）不等式22510ax x a -+->，即22530x x +-<，解得：132x -<<，故不等式的解集是1(3,2-．20.已知函数()()22log 43f x x ax =-+（1）当1a =时，求()f x 的定义域和单调递减区间；（2）若函数()f x 在()1,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围.【答案】（1）() f x 的定义域为(,1)(3,)-∞+∞ ；单调递减区间为(,1)-∞（2）1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）先由对数函数的性质求得()f x 的定义域，再利用复合函数的单调性，结合二次函数与对数函数的单调性即可得解；（2）利用复合函数单调性的性质，得到243u x ax =-+的性质，从而得到关于a 的不等式组，解之即可得解.【小问1详解】令243u x ax =-+，2log y u =．当1a =时，243u x x =-+，由0u >得2430x x -+>，解得3x >或1x <．故()f x 的定义域为(,1)(3,)-∞+∞ ．因为函数2log y u =在定义域上单调递增，()224321u x x x =-+=--在(,1)-∞上单调递减，在(3,)+∞单调递增，所以()22()log 43f x x x =-+的单调递减区间为(,1)-∞．【小问2详解】因为()f x 在()1,+∞上单调递增，又2log y u =在定义域上单调递增，所以243u x ax =-+在()1,+∞上单调递增，且0u >恒成立，因为243u x ax =-+开口向上，对称轴为2x a =，所以2211430a a ≤⎧⎨-+≥⎩，解得12a ≤，故实数a 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.21.已知函数()221x x af x +=-，且函数()f x 为奇函数（1）求函数的定义域；（2）求实数a 的值（3）用定义证明函数()f x 在()0,∞+上单调递减【答案】（1）{|0}x x ≠；（2）1a =；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）由分式的性质，解指数方程求定义域；（2）由奇函数性质有()()f x f x -=-，得到(1)21x a a -⋅=-恒成立，即可求参数；（3）令120x x >>，应用作差法比较()()12,f x f x 大小即可证结论.【小问1详解】由题设210x -≠，即0x ≠，故函数的定义域为{|0}x x ≠.【小问2详解】由()212()2112x x x x a a f x f x --++⋅-===---，则1221221x x x x a a +⋅+=---，所以122x x a a +⋅=+，即(1)21x a a -⋅=-恒成立，故1a =.【小问3详解】令120x x >>，则()()1212211212122121(21)(21)(21)(21)2121(21)(21)x x x x x x x x x x f x f x +++--+--=-=----21122(22)(21)(21)x x x x -=--，由21220x x -<，1210x ->，2210x ->，故()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以函数()f x 在()0,∞+上单调递减.。
高一数学12月月考试题含解析 试题
卜人入州八九几市潮王学校、二零二零—二零二壹高一年级12月联考数学试卷一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的〕2,1,0,1P，|1Q x y x ，UPQA.2,1B.2 C.0,1D.1,0,1【答案】B 【解析】 【分析】对于集合Q ，求得函数的定义域，然后求得Q 的补集，再和集合P 取交集得到结果. 【详解】对于集合Q，依题意有10x ，解得1x，故,1U C Q，所以2U PC Q.【点睛】本小题主要考察集合的研究对象，考察集合的补集和交集，以及函数的定义域的求法，属于根底题.函数的定义域主要由以下方面考虑来求解：一个是分数的分母不能为零，二个是偶次方根的被开方数为非负数，第三是对数的真数要大于零，第四个是零次方的底数不能为零.A.420B.860C.1060D.1260 【答案】C 【解析】 【分析】 将角化为360k 的形式，由此判断出角的终边所在象限.【详解】42036060位于第一象限；8602360140位于第二象限；1060336020位于第四象限；12603360180位于x 轴负半轴.综上所述，选C.【点睛】本小题考察任意角，考察角的终边所在的象限.要将角化为360k ，由此判断出角终边所在象限.3.以下各组函数中，表示同一函数的是A.1,y y xB.211,1x yx y x C.33,y x yxD.2,yx yx【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的三要素即可判断出．【详解】A ．y=1，x∈R；y=x 0，x∈R，且x≠0，定义域不同，不表示同一函数；B ．y=x ﹣1，x∈R；y=211x x ，x≠﹣1，定义域不同，不表示同一函数；C ．y=x ，33yx =x ，定义域与对应法那么都一样，表示同一函数；D ．y=|x|，x∈R；2()yx ，x≥0，定义域不同，不表示同一函数．综上可知：只有C 正确． 应选：C ．【点睛】此题通过判断函数是否为同一函数主要考察函数的定义域、值域以及对应法那么，属于中档题.判断函数是否为同一函数，能综合考察学生对函数定义的理解，是单元测试卷经常出现的题型，要解答这类问题，关键是看两个函数的三要素：定义域、值域、对应法那么是否都一样，三者有一个不同，两个函数就不是同一函数.4.以下函数中，既是偶函数又在(0,)单调递增的是A.12y xB.1()2xyC.21y xD.23y x【答案】D 【解析】 【分析】先排除不是偶函数的选项.然后判断剩余选项在0,上的单调性，由此得出正确选项.【详解】对于A 选项，由于函数定义域是0,，不关于原点对称，故是非奇非偶函数，排除A 选项.当0x时，12xy ，21yx 为减函数，排除B 、C 选项.23y x 符合题目要求，应选D.【点睛】本小题主要考察函数的奇偶性以及函数的单调性.判断函数的奇偶性首先判断函数的定义域是否关于原点对称.cos 0，且tan 0，那么角的终边位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数值在各个象限的正负，判断出角的终边所在的象限. 【详解】由于cos 0，故角为第一、第四象限角.由于tan 0，故角为第二、第四象限角.所以角为第四象限角.应选D.【点睛】本小题主要考察三角函数值在各个象限的正负值，根据正切值和余弦值同时满足的象限得出正确选项.lg 2100x x 的根所在的一个区间是A.〔3，4〕B.〔4，5〕C.〔5，6〕D.〔2，3〕 【答案】B【解析】 【分析】 构造函数lg 210f x x x ，利用零点存在性定理判断函数零点所在的区间，也即是方程的根所在的区间.【详解】构造函数lg 210f x x x ，3lg340,4lg420,5lg50f f f ，根据零点的存在性定理可知，函数的零点即对应方程的根在区间4,5，应选B.【点睛】本小题主要考察方程的根和函数零点的对应关系，考察零点的存在性定理的应用，属于根底题.sin 26f xx的图像向右平移6个单位后，所得的图像对应的解析式为〔〕A.y sin 2xB.ycos2xC.ysin(2)6xD.y2sin(2)3x【答案】C 【解析】试题分析：根据三角函数图像变换规律：左正右负，因此图像向右平移6个单位，所以，选C.考点：三角函数图像变换2lg+2x f x x x 的图像关于〔〕对称 A.原点B.x 轴C.直线1x D.y 轴【答案】A 【解析】 【分析】 通过计算f x f x可知函数图像关于原点对称.由此得出正确选项.【详解】由202x x ，解得2x 或者2x .22lglg21x x f x x x f xx x ，故函数为奇函数，图像关于原点对称.应选A.【点睛】本小题主要考察函数图像的对称性，考察函数奇偶性的判断.要验证一个函数是奇函数，还是偶函数，首先要求得函数的定义域，假设定义域不关于原点对称，那么函数为非奇非偶函数，.然后通过计算f x，化简后看是等于f x还是f x，由此来判断出函数的奇偶性.sin2cos 0，那么2sin 3sin cos的值是A.25B.25C.35D.35【答案】B 【解析】 【分析】 先利用条件求得tan的值，然后对所求的式子除以22sin cos ，再分子分母同时除以2cos ，变为tan的式子，来求得表达式的值.【详解】由sin 2cos得sintan2cos.2sin 3sin cos22222sin 3sin cos tan 3tan462sin cos tan 1415.应选B. 【点睛】本小题主要考察同角三角函数关系式，考察齐次方程的计算.同角三角函数关系包括平方关系22sin cos 1和商数关系sin tancos.形如sin cos sin cos x xx x、2sin sin cos x x x 此类的式子，都可以通过化简为齐次方程的方法，变两弦为正切，来求解出表达式的值.属于根底题.11015ln 2,3,log 6a b c ，那么A.a b cB.a c bC.c a bD.b a c【答案】D【解析】 【分析】首先找到小于零的，然后找到0,1之间的，再找到1,的，由此确定三个数的大小关系.【详解】依题意1155log 6log 10c，另外两个数是正数，故c 是最小的.由于ln 2lne 1a ，，1010331b ，故b a c ，所以选D.【点睛】本小题主要考察根据指数函数和对数函数的性质比较大小，利用的是“0,1分段法〞，属于根底题.11.23,1log ,1a a x a x f xx x 是R 上的增函数，那么a 的取值范围是A.1, B.,2C.1,2D.1,22【答案】C 【解析】 【分析】由于函数是R 上的递增函数，故分段函数的每一段都是增函数，且第一段的最高点，不高于第二段的最低点，由此列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围.【详解】由于函数是R 上的递增函数，故20123log 1a a a a a解得12a .应选C.【点睛】本小题主要考察分段函数的单调性，考察一次函数的单调性和对数函数单调性的判断.对于一次函数y kx b 来说，当0k 时，函数为单调递增函数，当0k 时，函数为单调递减函数.对于指数函数log a yx 来说，当1a 时，函数为增函数，当01a 时，函数为减函数.2231m m f x m m x 是幂函数，对任意12,0,,x x ，且12x x ，满足12120f x f x x x ，假设,a b R ，且f a f b的值是负值，那么以下结论可能成立的是A.0,0ab ab B.0,0a b abC.0,0a b abD.以上都可能【答案】C 【解析】 【分析】首先根据函数是幂函数，求得m 的两个值，然后根据函数在0,上是增函数，确定m 的详细值.再结合函数的奇偶性可判断得正确选项. 【详解】由于函数f x 为幂函数，故211m m ，解得1,2m m .当1m时，21f x x ，当2m 时，3f x x .由于“对任意12,0,,x x ，且12x x ，满足12120f x f x x x 〞故函数在0,上为增函数，故3f xx .由于fx f x，故函数值单调递增的奇函数.由于0f a f b，所以0a b 且0ab ，应选C.【点睛】本小题主要考察求解幂函数的解析式，考察幂函数的单调性以及奇偶性.属于中档题. 二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕13.1,0()4,0x x x f x x ，那么2f f______【答案】34【解析】 【分析】 先计算2f 的值，将此值再代入对于的函数解析式内，求得最终的函数值.【详解】依题意24242f ，4413212144f . 【点睛】本小题考察分段函数求值，考察指数运算，考察根式的运算，考察运算求解才能，属于根底题.2()(2)(1)2f x k x k x 是定义在,a b上的偶函数，那么k a b______【答案】1【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称，求得a b 的值.根据二次函数为偶函数，一次项系数为零，求得k 的值，由此求得ka b 的值.【详解】由于函数为偶函数，故定义域关于原点对称，故0a b .根据二次函数为偶函数，一次项系数为零，即10k，故1k ，所以101k a b .【点睛】本小题主要考察函数的奇偶性，奇函数或者者偶函数的定义域要关于原点对称，属于根底题.πcos 23f xx的图像右移个单位所得图像关于原点对称，那么的最小值为______ 【答案】5π12【解析】 【分析】 先求得函数右移个单位之后的解析式，再根据新的函数图像关于原点对称，求得的表达式，由此求得的最小值.【详解】函数图像向右移个单位后得到ππcos 2cos 2233xx ，由于新的函数图像关于原点对称，故ππ22132k ，故ππ21322k ，由于0，所以当1k 时，获得最小为5π12. 【点睛】本小题主要考察三角函数图像变换，考察三角函数诱导公式以及三角函数的对称性，属于根底题.32,1x f xa g xx ，假设存在12,0,1x x ，使得12f xg x 成立，那么实数a 的取值范围是______【答案】1,1【分析】 先求得函数,f x g x在0,1上的值域，使两个值域的交集不为空集的a 的范围即是所求.【详解】函数f x和函数g x都是0,1上的增函数，故值域为1,2,1,2f x a ag x ，要使两个值域有交集，那么112a a，或者者122a a ，解得01a ，或者者10a ，即1,1a .【点睛】本小题主要考察函数的单调性，考察函数的值域，考察存在性问题的求解.属于中档题.题目所给的函数一个含有指数，一个含有幂函数.指数函数的单调性要看底数，底数大于1，那么为增函数，底数在0和1之间，那么为减函数.幂函数的指数大于零时，在第一象限是增函数.三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分．解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤〕17.〔Ⅰ〕计算4114422212e0.040.25log 322〔其中e 为自然对数的底数〕； 〔Ⅱ〕化简22314sin(1050)tan()cos()(1tan 20)cos 2043．【答案】〔I 〕e ；〔II 〕1.【解析】 【分析】 〔I 〕由于2e ，故442e2ee 2，522log 32log 25，其它的将小数化为分数，利用指数运算的公式化简.然后求这几个式子的和.〔II 〕sin 1050sin 336030sin30，31πππtantan 8πtan444，4π2π2πcos cos2πcos333，最后一个式子中21tan 20的正切转化为两弦来化简.【详解】〔Ⅰ〕原式=〔Ⅱ〕原式==【点睛】本小题主要考察利用根式、指数和对数的运算公式化简式子，考察利用三角函数诱导公式化简求值，属于根底题.2,0()1,()1,0x x f x x g x x ，求()()f g x g f x 和的解析式．【答案】21,00,0x x f g xx ,21,11,1x x g f xx【解析】 【分析】 求f g x时，将g x的表达式代入函数f x 解析式，直接交换x 即可.求g f x时，先令10x 求得1x，代入g x 第一段，令10,1x x ，代入g x的第二段，由此求得函数g f x的解析式.【详解】由题意，即【点睛】本小题主要考察符合函数的解析式的求法，在求解过程中，特别是分段函数，要注意求定义域.属于根底题.()log (1),()log (1)a a f x x g x x ，〔其中0,a 且1a 〕． 〔Ⅰ〕求函数()()y f x g x 的定义域； 〔Ⅱ〕判断函数()()yf xg x 的奇偶性,并予以证明．【答案】〔I 〕1,1；〔II 〕偶函数，证明见解析.【解析】【分析】〔I 〕取函数f x和g x 定义域的交集，得到函数y f x g x 的交集.〔II 〕通过化简f x g x f x g x ，可证得函数为偶函数.【详解】〔Ⅰ〕使函数有意义,必须有解得 所以函数y f x g x 的定义域是 〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知函数的定义域关于原点对称.且y f x g x 所以函数是偶函数【点睛】本小题主要考察函数定义域的求法，考察函数的奇偶性的判断.判断一个函数的奇偶性，首先要求得函数的定义域，然后根据奇函数和偶函数的定义，通过定义来判断函数的奇偶性.20.根据场调查，某型号的空气净化器有如下的统计规律，每消费该型号空气净化器x 〔百台〕，其总本钱为()P x 〔万元〕，其中固定本钱为12万元，并且每消费1百台的消费本钱为10万元〔总本钱=固定本钱+消费本钱〕，销售收入()Q x 〔万元〕满足20.522,016()224,16x x x Q x x ，假定该产品销售平衡〔即消费的产品都能卖掉〕，根据上述统计规律，请完成以下问题：〔Ⅰ〕求利润函数()y f x 的解析式〔利润=销售收入-总本钱〕； 〔Ⅱ〕假定你是工厂老板，你该如何决定该产品消费的数量？【答案】〔I 〕20.51212016()212-1016x x x f x x x ；〔II 〕应该决定消费16百台，因为这样可使利润最大.【解析】【分析】〔I 〕收件计算得总的本钱P x ，用销售收入减去总本钱得到销售利润的解析式.〔2〕利用二次函数的单调性和一次函数的单调性，对销售利润的两段解析式，分别求得最大值，比较后可得到利润的最大值.【详解】〔I 〕由题意得)1012P x x （故20.51212016212-1016x x x f xx x 〔II 〕当16x时，函数f x 递减，∴212-101652f x 万元 当016x 时，函数20.51212f x x x ,当x=16时获得最大值， 当16x 时，f x 有最大值308万元所以应该决定消费16百台，因为这样可使利润最大.【点睛】本小题主要考察利用函数来解决实际问题，求出函数表达式后，利用一次函数和二次函数的单调性来求得最大值.属于根底题.1,(20)()2sin(),(0)kx x f x x x 的局部图像如图，其中(0),(0,)2， 〔Ⅰ〕求k 、、的值 〔Ⅱ〕求函数()f x 的单调增区间〔Ⅲ〕解不等式()1f x ． 【答案】〔I 〕11π,,226k ；〔II 〕*2π4π2π2,,4π4π333k x k k N ；〔III 〕*8π2,04π,4π3k k k N . 【解析】 【分析】 〔I 〕根据直线过的两个点的坐标，求得k 的值.利用三角函数图像局部的零点和最小值点间的间隔，求得的值，利用8π,23，求得的值.〔II 〕先利用三角函数的单调性，求得当0x 时函数的递增区间，结合函数图像可求得函数函数的递增区间.〔III 〕根据图像可知函数在2,0时符合题意.当0x 时，1π2sin126f x x，解三角不等式求得x的取值范围.两个取值范围合并求得不等式的解集.【详解】〔Ⅰ〕由题知由的图像知24 T，得1 2由故〔Ⅱ〕当时。
北京市海淀区2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题含解析
北京2023-2024学年第一学期12月练习高一数学2023.12（答案在最后）说明：本试卷共4页，共120分.考试时长90分钟.一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.）1.已知命题:0p x ∀>，25410x x -+≥，则命题p 的否定为（）A.0x ∀>，25410x x -+< B.0x ∀<，25410x x -+<C.0x ∃>，25410x x -+< D.0x ∃<，25410x x -+<【答案】C【解析】【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题易求.【详解】根据全称量词命题的否定为存在量词命题知：命题:0p x ∀>，25410x x -+≥的否定为：0x ∃>，25410x x -+<.故选：C2.设集合{}33x A x =>，{}230B x x x =-<，则A B = （）A.()1,3 B.[)1,3C.()0,3 D.[)0,3【答案】A【解析】【分析】先化简集合A ，B ，再根据集合的运算得解.【详解】由33x >，即133x >，因为3x y =是R 上的单调递增函数，所以1x >，{}1A x x ∴=>；又230x x -<，解得03x <<，{}03B x x ∴=<<；()1,3A B ∴⋂=.故选：A.3.以下函数既是偶函数又在(0,)+∞上单调递减的是（）A.4()f x x =B.()f x =C.1()2x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D.12()log f x x =【答案】D【解析】【分析】利用奇偶性的定义和指数函数、对数函数、幂函数的性质，对选项逐一判断即可.【详解】选项A 中，4()f x x =，满足()44()()f x x x f x -=-==，()f x 是偶函数，但由幂函数性质知4()f x x =在(0,)+∞上单调递增，故不符合题意；选项B 中，由幂函数性质知，()f x =在定义域[)0,∞+内单调递增，0x <无意义，故不具有奇偶性，不符合题意；选项C 中，由指数函数性质可知，1()2x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，但1()()22x x f x f x -⎛⎫-= ⎪⎝⎭=≠，故不是偶函数，不符合题意；选项D 中，12()log f x x =定义域()(),00,-∞⋃+∞，满足1122()log log ()f x x x f x -=-==，故()f x 是偶函数，当0x >时，12()log f x x =，由对数函数性质可知，12()log f x x =在(0,)+∞上单调递减，故12()log f x x =符合题意.故选：D.4.已知x y <，则下列不等式一定成立的是（）A.33x y < B.11x y >C.22x y--< D.()()22lg 1lg 1x y +<+【答案】A【解析】【分析】根据不等式的性质，幂函数，指数函数和对数函数的性质判断．【详解】对A ，根据幂函数3y x =在R 上单调递增得x y <时，33x y <，故A 正确；对B ，当0x y <<时，11x y<，B 错；对C ，x y <，则x y ->-，根据指数函数2x y =在R 上单调递增得22x y -->，故C 错误；对D ，x y <时，例如，2,1x y =-=，则2211x y +>+，根据对数函数lg y x =在()0,∞+上单调递增，则()()22lg 1>lg 1x y ++，因此D 错；故选：A ．5.函数()lg 1y x =-的图象是（）A. B. C.D.【答案】C【解析】【分析】将函数lg y x =的图象进行变换可得出函数()lg 1y x =-的图象，由此可得出合适的选项.【详解】将函数lg y x =的图象先向右平移1个单位长度，可得到函数()lg 1y x =-的图象，再将所得函数图象位于x 轴下方的图象关于x 轴翻折，位于x 轴上方图象不变，可得到函数()lg 1y x =-的图象.故合乎条件的图象为选项C 中的图象.故选：C.【点睛】结论点睛：两种常见的图象翻折变换：()()x x x f x f x −−−−−−−−−−−−→保留轴上方，将轴下方的图象沿轴对称，()()y y y f x f x −−−−−−−−−−−−−→保留轴右方图像，将轴右方图象沿着轴对称.6.已知()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()f x 单调递增，且()40f =，则满足不等式()10x f x ⋅-<的x 的取值范围是（）A.()3,1-B.()1,5C.()()3,01,5-D.()(),31,5-∞- 【答案】C【解析】【分析】由奇函数的定义和单调性的性质，即可求解不等式．【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，0x >时，()f x 单调递增，且()40f =，所以当()(),40,4x ∈-∞-⋃时，()0f x <，当()()4,04,x ∈-⋃+∞时，()0f x >，不等式()10x f x ⋅-<，则当0x <时，有()10f x ->，即410x -<-<或14x ->，解得31x -<<或5x >，又0x <，30x ∴-<<；当0x >时，有()10f x -<，即14x -<-或014x <-<，又0x >，解得15x <<；综上，不等式()10x f x ⋅-<的解集为()()3,01,5- .故选：C.7.已知函数2,1(),1x a x f x x a x ⎧-≤=⎨-+>⎩，则“函数()f x 有两个零点”成立的充分不必要条件是a ∈A.(0,2]B.(1,2]C.(1,2)D.(0,1]【答案】C【解析】【分析】根据()f x 单调性，结合已知条件，求得()f x 有两个零点的充要条件，再结合选项进行选择即可.【详解】2,1(),1x a x f x x a x ⎧-≤=⎨-+>⎩ ()f x ∴在,1∞（-）上单调递增，在1+∞（，）上单调递减．故“函数()f x 有两个零点”(1)20,0,(1)10f a a f a ⇔=-≥-<>-+>，解得12a <≤，“函数()f x 有两个零点”成立的充分不必要条件必须为(1,2]的子集，只有C 符合，故选：C ．【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，涉及由函数零点个数求参数范围问题，属综合基础题.8.在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有6，7，8，9四个数字，这些小球除数字外都相同.甲、乙两人玩“猜数字”游戏，甲先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为m ，再由乙猜这个小球上的数字，记为n .如果m ，n 满足1m n -≤，那么就称甲、乙两人“心领神会”，则两人“心领神会”的概率是（）A.14 B.38 C.12 D.58【答案】D【解析】【分析】根据古典概型的计算公式，结合绝对值不等式进行求解即可.【详解】根据题意，m ，n 的情况如下：()()()()()()()()6,6,6,7,6,8,6,9,7,6,7,7,7,8,7,9,()()()()()()()()8,6,8,7,8,8,8,9,9,6,9,7,9,8,9,9,共16种情况，其中m ，n 满足1m n -≤的情况如下：()()()()()()()()()()6,6,6,7,7,6,7,7,7,8,8,7,8,8,8,9,9,8,9,9,共10种情况，所以两人“心领神会”的概率是105168=，故选：D9.函数()213log 3y x ax =-+在[1,2]上恒为正数，则实数a 的取值范围是（）A.a <<B.72a <<C.732a <<D.3a <<【答案】D【解析】【分析】根据底数是13，213()log (3)y f x x ax ==-+在[1,2]上恒为正数，故2031x ax <-+<在[1,2]上恒成立，进而解不等式就可以了．【详解】解：由于底数是13，从而213()log (3)y f x x ax ==-+在[1,2]上恒为正数，故2031x ax <-+<在[1,2]上恒成立，即23x a x x x+<<+由于[1,2]x ∈，3x x +≥=当且仅当3x x =即x =由对勾函数的性质可知，函数()2g x x x =+在⎡⎣上单调递减，在2⎤⎦上单调递增，且()()123g g ==所以3a <<故选：D ．【点睛】本题主要考查对数型函数，一元二次函数值域问题，属于中档题．10.形如221n +(n 是非负整数)的数称为费马数，记为.n F 数学家费马根据0123,,,,F F F F 4F 都是质数提出了猜想:费马数都是质数.多年之后，数学家欧拉计算出5F 不是质数，那5F 的位数是（）(参考数据:lg 2≈0.3010)A.9B.10C.11D.12【答案】B【解析】【分析】32521F =+,设322m =,两边取常用对数估算m 的位数即可.【详解】32521F =+ ,设322m =，则两边取常用对数得32lg lg 232lg 2320.30109.632m ===´=.9.63291010m =»，故5F 的位数是10，故选：B ．【点睛】解决对数运算问题的常用方法：(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．(2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．(4)利用常用对数中的lg 2lg 51+=简化计算.二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上）11.函数()2lg 54y x x =-+的定义域为__________.【答案】()()4,,1+∞⋃-∞【解析】【分析】利用对数函数真数大于零，解不等式即可求得结果.【详解】由对数函数定义可得2540x x -+>，解得>4x 或1x <，所以函数定义域为()()4,,1+∞⋃-∞.故答案为：()()4,,1+∞⋃-∞12.某高中学校进行问卷调查，用比例分配的分层随机抽样方法从该校三个年级中抽取36人进行问卷调查，其中高一年级抽取了15人，高二年级抽取了12人，且高三年级共有学生900人，则该高中的学生总数为__________人.【答案】3600【解析】【分析】根据分层抽样的抽样比即可求解.【详解】由题意可知：高三年级抽取了3615129--=人，由于高三共有900人，所以抽样比为1100，所以高中学生总数为361003600⨯=，故答案为：360013.令0.76a =，60.7b =，0.7log 6c =，则三个数a ，b ，c 的大小顺序是______.（用“<”连接）【答案】c b a<<【解析】【分析】根据指数函数和对数函数单调性，结合临界值0,1即可确定大小关系.【详解】0.7000.60.70.76610.70.70log 1log 6>==>>=> ，c b a ∴<<.故答案为：c b a <<.14.为了解本书居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为1s ，2s ，3s ，则它们的大小关系为______.（用“<”连接）【答案】231s s s <<【解析】【分析】根据平均数公式及方差公式分别计算21s 、22s 、23s ，即可判断；【详解】由图甲：平均值为()150012500.000617500.000422500.000227500.000232500.0006x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯2200=，22221(12502200)(175021200)(22502200)0.30.20.s =-+⨯+⨯⨯--22)0.10.3(27502200)(32502200+-⨯⨯-+672500=，212500.117500.222500.427500.232500.1x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯2250=，22222(12502250)(175024250)(22502250)0.10.20.s =-+⨯+⨯⨯--22)0.20.1(27502250)(32502250+-⨯⨯-+300000=，312500.217500.222500.327500.232500.1x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯2150=，22223(12502150)(175023150)(22502150)0.20.20.s =-+⨯+⨯⨯--22)0.20.1(27502150)(32502150+-⨯⨯-+390000=，则标准差231s s s <<，故答案为：231s s s <<.15.如图，在等边三角形ABC 中，AB =6.动点P 从点A 出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A 点，记P 运动的路程为x ，点P 到此三角形中心O 距离的平方为f (x )，给出下列三个结论：①函数f (x )的最大值为12；②函数f (x )的图象的对称轴方程为x =9；③关于x 的方程()3f x kx =+最多有5个实数根.其中，所有正确结论的序号是____.【答案】①②【解析】【分析】写出P 分别在,,AB BC CA 上运动时的函数解析式2()f x OP =，利用分段函数图象可解.【详解】P 分别在AB 上运动时的函数解析式22()3(3),(06)f x OP x x ==+-≤≤，P 分别在BC 上运动时的函数解析式22()3(9),(612)f x OP x x ==+-≤≤，P 分别在CA 上运动时的函数解析式22()3(15),(1218)f x OP x x ==+-≤≤，22223(3),(06)()||3(9),(612)3(15),(1218)x x f x OP x x x x ⎧+-≤≤⎪==+-≤≤⎨⎪+-≤≤⎩，由图象可得，方程()3f x kx =+最多有6个实数根故正确的是①②.故答案为：①②【点睛】利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质问题，函数的零点、方程根的问题，有关不等式的问题等.解决上述问题的关键是根据题意画出相应函数的图象，利用数形结合思想求解.三、解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.已知集合213A x x ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，{}221,B x m x m m =-≤≤+∈R .（1）当6m =时，求集合A B ⋃；（2）若A B B = ，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{313}A B xx =<≤ ∣（2）(),3-∞-【解析】【分析】（1）直接代入计算，再根据并集含义计算即可；（2）分集合B 是否为空集讨论即可.【小问1详解】由()()222311005303333x x x x x x x ->⇒->⇒->⇒--<----解得{35}A xx =<<∣.当6m =时，{}413B x x =≤≤∣，则{313}A B xx =<≤ ∣【小问2详解】由A B B = ，得B A ⊆.当B =∅时，有221m m ->+，解得3m <-.当B ≠∅时，有323215m m m ≥-⎧⎪->⎨⎪+<⎩，无解.综上，(),3m ∈-∞-.17.已知函数()22f x x =+.（1）求函数()f x 的定义域和值域；（2）求函数()f x 在区间[](),1t t t +∈R 上的最小值.【答案】17.定义域为R ，值域为[)2,+∞18.答案见解析【解析】【分析】（1）根据二次函数的性质可得答案；（2）讨论对称轴与区间的关系，结合二次函数性质可得答案.【小问1详解】由题意定义域为R ，因为20x ≥，所以222x ≥+，即值域为[)2,+∞.【小问2详解】()f x 图象的对称轴为0x=，当10t +≤时，即1t ≤-时，()f x 在区间[],1t t +上单调递减，则()f x 在区间[],1t t +上的最小值为()2(1)12f t t +=++；当01t t <<+时，即10t -<<时，()f x 在[),0t 上单调递减，在(]0,1t +上单调递增，则()f x 在区间[],1t t +上的最小值为(0)2f =；当0t ≥时，()f x 在区间[],1t t +上单调递增，()f x 在区间[],1t t +上的最小值为2()2f t t =+；综上可得1t ≤-时，最小值为()212t ++；10t -<<时，最小值为2；0t ≥时，最小值为22t +.18.在新高考背景下，北京高中学生需从思想政治､历史､地理､物理､化学､生物这6个科目中选择3个科目学习并参加相应的等级性考试.为提前了解学生的选科意愿，某校在期中考试之后，组织该校高一学生进行了模拟选科.为了解物理和其他科目组合的人数分布情况，某教师整理了该校高一（1）班和高一（2）班的相关数据，如下表：物理+化学物理+生物物理+思想政治物理+历史物理+地理高一（1）班106217高一（2）班.159316其中高一（1）班共有40名学生，高一（2）班共有38名学生.假设所有学生的选择互不影响.（1）从该校高一（1）班和高一（2）班所有学生中随机选取1人，求此人在模拟选科中选择了“物理+化学”的概率；（2）从表中选择“物理+思想政治”的学生中随机选取2人参加座谈会，求这2人均来自高一（2）班的概率；（3）该校在本学期期末考试之后组织高一学生进行了第二次选科，现从高一（1）班和高一（2）班各随机选取1人进行访谈，发现他们在第二次选科中都选择了“物理+历史”.根据这一结果，能否认为在第二次选科中选择“物理+历史”的人数发生了变化？说明理由.【答案】（1）2578（2）310（3）答案见解析【解析】【分析】（1）（2）根据古典概型的概率公式即可求解，（3）根据小概率事件即可求解.【小问1详解】依题意得高一（1）班和高一（2）班学生共有403878+=人，即该随机试验的样本空间有78个样本点.设事件A =“此人在模拟选科中选择了“物理+化学”，则事件A 包含101525+=个样本点，所以()2578P A =.【小问2详解】依题意得高一（1）班选择“物理+思想政治”的学生有2人，分别记为12,A A ；高一（2）班选择“物理+思想政治”的学生有3人，分别记为123,,B B B .该随机试验的样本空间可以表示为：Ω={12111213212223121323,,,,,,,,,A A A B A B A B A B A B A B B B B B B B }即()Ω10n =.设事件B =“这2人均来自高一（2）班”，则{}121323,,B B B B B B B =，所以()3n B =，故()()()3Ω10n B P B n ==.【小问3详解】设事件C =“从高一（1）随机选取1人，此人在第二次选科中选择了“物理+历史”，事件D =“从高一（2）班随机选取1人，此人在第二次选科中选择了“物理+历史”，事件E =“这两人在第二次选科中都选择了“物理+历史”.假设第二次选科中选择“物理+历史”的人数没有发生变化，则由模拟选科数据可知，()()11,4038P C P D ==.所以()()()()11140381520P E P CD P C P D ===⨯=.答案示例1：可以认为第二次选科中选择“物理+历史”的人数发生变化.理由如下：()P E 比较小，概率比较小的事件一般不容易发生.一旦发生，就有理由认为第二次选科中选择“物理+历史”的人数发生了变化.答案示例2：无法确定第二次选科中选择“物理+历史”的人数是否发生变化.理由如下：事件E 是随机事件，()P E 虽然比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生，所以无法确定第二次选科中选择“物理+历史”的人数是否有变化.19.已知函数()2log 2ax f x x -=+（0a >且1a ≠）．（1）求()f x 的定义域；（2）若当2a =时，函数()()g x f x b =-在()2,+∞有且只有一个零点，求实数b 的范围；（3）是否存在实数a ，使得当()f x 的定义域为[],m n 时，值域为[]1log ,1log a a n m ++，若存在，求出实数a 的范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）()(),22,∞∞--⋃+（2）(),0∞-（3）存在；3220,2a ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由202x x ->+可得()f x 的定义域；（2）注意到()24122x t x x x -==-++在()2,∞+上单调递增，则()f x 在()2,∞+，即b 的范围是就是()f x 在()2,∞+上的值域；（3）由题可得01a <<，则问题转化为22x ax x -=+在()2,∞+上有两个互异实根，即可得答案.【小问1详解】由202x x ->+，得<2x -或2x >．∴()f x 的定义域为()(),22,∞∞--⋃+；【小问2详解】令()24122x t x x x -==-++，因函数42=+y x 在()2,∞+上单调递减，则()t x 在()2,∞+上为增函数，故()t x 的值域为()0,1.又2a =，∴()f x 在()2,∞+上为增函数；函数()()g x f x b =-在()2,∞+有且只有一个零点，即()f x b =在()2,∞+有且只有一个解，∵函数()f x 在()2,∞+的值域为(),0∞-，∴b 的范围是(),0∞-．【小问3详解】假设存在这样的实数a ，使得当()f x 的定义域为[],m n 时，值域为[]1log ,1log a a n m ++，由m n <且1log a n +1log a m <+，可得01a <<．又由（2）()412t x x =-+在()2,∞+上为增函数，log a y x =在()2,∞+上为减函数.则()f x 在()2,∞+上为减函数，得()()()()2log 1log log 22log 1log log 2a a a aa a m f m m am m n f n n an n -⎧==+=⎪⎪+⎨-⎪==+=⎪+⎩.即22x ax x -=+在()2,∞+上有两个互异实根，因()2221202x ax ax a x x -=⇒+-+=+即()()2212g x ax a x =+-+，有两个大于2的相异零点.设()g x 零点为12,x x ，则()()()()212122180Δ02144220221240a a a x x a x x a aa ⎧⎪-->⎧>⎪-⎪⎪+>⇒->⎨⎨⎪⎪-->⎩⎪-++>⎪⎩.解得302a -<<．又∵01a <<，故存在这样的实数30,2a ⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭符合题意．20.对于函数()f x ，若在定义域内存在实数0x ，且00x ≠，满足()()00f x f x -=，则称()f x 为“弱偶函数”.若在定义域内存在实数0x ，满足()()00f x f x -=-，则称()f x 为“弱奇函数”.（1）判断函数()31,0,0x f x x x x ⎧>⎪=⎨⎪<⎩是否为“弱奇函数”或“弱偶函数”；（直接写出结论）（2）已知函数()()21g x x x =-+，试判断()g x 为其定义域上的“弱奇函数”，若是，求出所有满足()()00g x g x -=-的0x 的值，若不是，请说明理由；（3）若()43,4x h x x x ≥=+<⎪⎩为其定义域上的“弱奇函数”.求实数m 取值范围.【答案】（1）弱奇函数（2）()g x 不是其定义域上的“弱奇函数”.（3）15,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）根据所给定义判断即可；（2）对x 分类讨论即可；（3）首先由20x mx -≥在[)4,+∞上恒成立，求出m 的取值范围，依题意存在实数0x 使得()()00h x h x -=-，分04x ≥、044x -<<、04x ≤-三种情况讨论，分别结合方程有解求出m 的取值范围，即可得解.【小问1详解】当0x <时，则0x ->，若31x x=-，无实数解，舍去；若31x x=--，解得=1x -（正舍），当0x >时，则0x -<，若31x x-=，无实数解，舍去；若31x x-=-，解得1x =（负舍），则存在实数01x =±，满足()()00f x f x -=-，则()f x 是“弱奇函数”，【小问2详解】假设()()21g x x x =-+为其定义域上的“弱奇函数”，则()()2121x x x x -+=+-，若1x >，则()()()()2121x x x x -+=+-，则0x =，舍去；若11x -≤≤，则()()()()2121x x x x -+=+-，则x =若1x ≤-，则()()()()2121x x x x -+=+-，则0x =，舍去；从而()()00g x g x -=-无解，所以()g x 不是其定义域上的“弱奇函数”.【小问3详解】由20x mx -≥在[)4,+∞上恒成立，转化为m x ≤在[)4,+∞上恒成立，即4m ≤.因为()43,4x h x x x ≥=+<⎪⎩为其定义域上的“弱奇函数”，所以存在实数0x 使得()()00h x h x -=-，当04x ≥时，则04x -≤-，所以03x -+=，即03x -=，所以()220003x x mx -=-，0069x mx -+=-，即096m x =-在[)4,+∞有解可保证()f x 是“弱奇函数"，所以15,64m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，又因为4m ≤，所以15,44m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；当044x -<<时，044x -<-<，此时()00330x x -+--=，不成立；当04x ≤-时，则04x -≥()03x =-+，则22000069x mx x x +=++，即()069m x -=，即096m x =+在(],4-∞-有解可保证()f x 是“弱奇函数”，所以15,64m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，由4m ≤可知15,44m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；综上所述，实数m 的取值范围为15,44m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.【点睛】关键点睛：本题属于新定义问题，对于新定义问题，关键是理解所给定义，将问题转化为方程有解，分段函数注意分类讨论.。
最新版高一数学12月月考试题及答案(新人教A版 第7套)
昆二十四中高一年级上学期12月份月考试题高一 数学试卷（考试时间：120分钟 满分：150分）第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合{}012345U =，，，，，，集合{}035M =，，，{}145N =，，，则 M )(N C U 等于（ ） A ．{}0,1,3,4,5 B ．{}0,2,3,5 C ．{}0,3 D ．{}52．已知集合}01|{2=-=x x A ，则下列式子表示正确的有（ ） ①A ∈1 ②A ∈-}1{③A ⊆φ ④A ⊆-}1,1{A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．300cos 的值是 ( )A ．21B ．21-C ．23 D ．23-4．若sin 0α<，且tan 0α>，则α是（ ）角 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限5．为了得到函数R x xy ∈+=),63sin(2π的图像，只需把函数R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点（ ） A ．向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变） B ．向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）C ．向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变） D ．向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）6．已知=-=-ααααcos sin ,45cos sin 则（ ） A ．329-B ．169-C ．47D ．3297．已知角α的终边过点(4，－3)，则)cos(απ-等于 ( )A ．54 B ．54- C ．53 D ．53-8．α是第四象限角，125tan -=α，则αsin 等于 ( ) A ．51 B ．51- C ． 135 D ．135- 9．)2112cos(π+=x y 是 ( ) A ．周期为π4的奇函数 B ．周期为2π的奇函数 C ．周期为π的偶函数 D ．周期为π2的偶函数 10．定义在R 上的偶函数)(x f ，对任意1x ，0[2∈x ，)∞+，21x x ≠有1212)()(x x x f x f --<0，则（ ）A ．)1()2()3(f f f <-<B ．)3()2()1(f f f <-<C ．)3()1()2(f f f <<-D ．)2()1()3(-<<f f f 11．函数x x x f cos )(-=在),(+∞-∞内 ( )A ．没有零点B ．有且仅有一个零点C ．有且仅有两个零点D ．有无穷多个零点12．若函数x x f ωsin )(=)0(>ω在]3,0[π上单调递增，在]2,3[ππ上单调递减，则=ω ( )A ．32 B ． 23C ．2D ．3 第Ⅱ卷二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价。
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昆二十四中高一年级上学期12月份月考试题高一 数学试卷（考试时间：120分钟 满分：150分）第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合{}012345U =，，，，，，集合{}035M =，，，{}145N =，，，则 M )(N C U 等于（ ） A ．{}0,1,3,4,5 B ．{}0,2,3,5 C ．{}0,3 D ．{}52．已知集合}01|{2=-=x x A ，则下列式子表示正确的有（ ） ①A ∈1 ②A ∈-}1{③A ⊆φ ④A ⊆-}1,1{A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．300cos 的值是 ( )A ．21B ．21-C ．23 D ．23-4．若sin 0α<，且tan 0α>，则α是（ ）角 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限5．为了得到函数R x xy ∈+=),63sin(2π的图像，只需把函数R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点（ ） A ．向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变） B ．向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）C ．向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变） D ．向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）6．已知=-=-ααααcos sin ,45cos sin 则（ ） A ．329-B ．169-C ．47D ．3297．已知角α的终边过点(4，－3)，则)cos(απ-等于 ( )A ．54 B ．54- C ．53 D ．53- 8．α是第四象限角，125tan -=α，则αsin 等于 ( ) A ．51 B ．51- C ． 135 D ．135- 9．)2112cos(π+=x y 是 ( ) A ．周期为π4的奇函数 B ．周期为2π的奇函数 C ．周期为π的偶函数 D ．周期为π2的偶函数 10．定义在R 上的偶函数)(x f ，对任意1x ，0[2∈x ，)∞+，21x x ≠有1212)()(x x x f x f --<0，则（ ）A ．)1()2()3(f f f <-<B ．)3()2()1(f f f <-<C ．)3()1()2(f f f <<-D ．)2()1()3(-<<f f f 11．函数x x x f cos )(-=在),(+∞-∞内 ( )A ．没有零点B ．有且仅有一个零点C ．有且仅有两个零点D ．有无穷多个零点12．若函数x x f ωsin )(=)0(>ω在]3,0[π上单调递增，在]2,3[ππ上单调递减，则=ω ( )A ．32 B ． 23C ．2D ．3 第Ⅱ卷二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价。
该地区的电网销售电价若某家庭1月份至5月份的高峰时间段用电量为300千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭1月份至5月份应付的电费为___________元．14．已知)(x f y =在定义域R 上为减函数，且)12()1(-<-a f a f ，则a 的取值范围是________．15．设函数1cos )(3+=x x x f ，若2012)(-=a f ，则=-)(a f ________． 16．已知函数)42sin()(π-=x x f ，在下列四个命题中：①()f x 的最小正周期是π4；②()f x 的图象可由x x g 2sin )(=的图象向右平移4π个单位长度得到； ③ 若21x x ≠，且1)()(21-==x f x f ，则πk x x =-21)0,(≠∈k z k 且； ④ 直线8π-=x 是函数)(x f 图象的一条对称轴．其中正确命题的序号是________(把你认为正确命题的序号都填上)．三、解答题：(本大题共6小题，其中第17题10分，第18—22题各12分，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤；把答案填在答题卡相应位置上)． 17．（本题10分）已知函数)93lg(4)(-+-=x x x f 的定义域为A ，集合B ＝},0{R a a x x ∈<-（1）求：集合A ； （2）求：A B ．18．（本题满分12分）已知：54)sin(-=+απ，παπ<<2． (1) 求)2cos(απ-的值．； (2) 求αtan 的值．；(3) 求 ααααα222cos sin 3cos sin 2sin ++的值．19．（本题满分12分）已知函数()3sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 的最值及取得最值时的x 的取值集合； （3）求函数()f x 的单调递减区间．20.（本题满分12分）已知函数b ax a x f +++=6)62sin()(πω，R x ∈(，0>a ，)0>ω 的最小正周期为π，函数)(x f 的最大值是47，最小值是 43． (1) 求ω，a ，b 的值； (2) 求出)(x f 的单调递增区间．21.（本题满分12分）函数)sin()(ϕω+=x A x f 0(>A ，0>ω，)2πϕ<的一段图象过点0(，)1，如图所示． (1)求函数)(x f 的表达式； (2)把)(x f 的图象向右平移4π个单位长度得到)(x g 的图象，求)(x g 的对称轴方程和对称中心．22．（本题满分12分）知函数)x sin()x (f 6221πω++=（其中01ω<<）， 若直线3x π=是函数)x (f 图象的一条对称轴．（1）求ω及最小正周期；（2）求函数()f x ,[]ππ,x -∈的单调减区间．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）13．219 14．)32,(-∞ 15． 2018 16． ③ ④三、解答题：(本大题共6小题，其中第17题10分，第18—22题各12分，共70分)17．解:（1）42334093042≤<⇒⎩⎨⎧>≤⇒⎩⎨⎧>-≥-x x x x x ，定义域A ＝(]4,2；……4分 （2）B ＝{}Ｒa a x x ∈<-,0＝（－∞，a ） ①当a φ=≤B ，A 时2 …………… 6分 ②当2<a a ）（B ，A ,24=≤ 时 …………… 8分 ③当a >4时，(]42，B A = …………… 10分 18．解：（1）(1)∵54)sin(-=+απ ∴ 54sin -=-α ∴ 54sin =α …………………… 2分 ∵1cos sin 22=+αα∴ 259sin 1cos 22=-=αα 又παπ<<2∴ 53cos -=α …………………… 6分（1）53cos )2cos(-==-ααπ …………………… 8分 （2）34cos sin tan -==ααα …………………… 10分 （3）5781tan 3tan 2tan cos sin 3cos sin 2sin 22222-=++=++αααααααα …………………… 12分19．解:（1）π=T …………………… 4分（2）4max =y 时，},6{z k k x x ∈+=ππ； …………………… 6分2min -=y 时，},32{z k k x x ∈+=ππ …………………… 8分 （3）单调递减区间为;z k k k ∈++],32,6[ππππ …………………… 12分 20．解：(1)由函数最小正周期为π，得2π2ω＝π，∴ ω＝1 …………………… 2分又f (x )的最大值是74，最小值是34，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋a 2＋b ＝74，－a ＋a 2＋b ＝34，解得：a ＝12，b ＝67 …………………… 6分(2)由(1)知：f (x )＝12sin(2x ＋π6)＋54，当2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，即k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )时，f (x )单调递增，∴ f (x )的单调递增区间为[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )． ……………………12分21. 解: (1)由图知，T ＝π，于是ω＝2πT＝2. …………………… 2分将y ＝A sin2x 的图象向左平移π12，得y ＝A sin(2x ＋φ)的图象，于是φ＝2×π12＝π6.将(0,1)代入y ＝A sin(2x ＋π6)，得A ＝2.故)(x f ＝2sin(2x ＋π6)． …………………… 6分 (2)依题意，)(x g ＝2sin[2(x －π4)＋π6]＝－2cos(2x ＋π6)，…………………… 8分求对称轴：令ππk x =+62 (k ∈Z )，则122ππ-=k x )(z k ∈ ∴)(x g 的对称轴为：122ππ-=k x )(z k ∈ …………………… 10分 求对称中心：令262πππ+=+k x (k ∈Z )，则62ππ+=k x )(z k ∈ ∴)(x g 的对称中心为：)0,62(ππ+k )(z k ∈ …………………… 12分 21. (1)解：由题可知:)z k (k ∈+=+⋅2632ππππω故有k 2321+=ω 2110=∴<<ωω ………4分 ∴ππ2)6sin(21)(=++=T x x f 周期 ……… 6分(2)≤+≤+622πππx k ππk 223+ ∴≤≤+x k ππ23ππk 234+ ……… 8分 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=ππππk ,k A 23423设,[]ππ,B -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋃⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⋂ππππ,,B A 332则 )z k (k ,k X sin y ,x X ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=+=πππππ22322216的单调减区间为则设⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--ππππ,,)x (f 332和的单调减区间为故 ……… 12分。