八年级数学直角三角形2
八年级数学《直角三角形》知识点
八年级数学《直角三角形》知识点一、直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余可表示如下：∠ C=90 ° ∠A+∠ B=90°2、在直角三角形中， 30°角所对的直角边等于斜边的一半。
∠ A =30°可表示如下：BC=1AB2∠ C =90°3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半∠ A CB=90°可表示如下：CD= 1AB=BD=AD2D为 AB 的中点4、勾股定理直角三角形两直角边 a ， b 的平方和等于斜边 c 的平方，即 a2b2c25、射影定理 ( 了解 )在直角三角形中， 斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项， 每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边 的比例中项∠ ACB=90°CD2AD BDAC 2AD ABCD ⊥ ABBC2BDAB6、常用关系式由三角形面积公式可得：AB CD=AC BC二、直角三角形的判定1 、有一个角是直角的三角形是直角三角形。
2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股定理的逆定理222如果三角形的三边长 a ，b ， c ，有关系 a b c ，那么这个三角形是直角三角形。
1、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
2、解直角三角形的理论依据在 Rt △ ABC 中，∠ C=90 °，∠ A ，∠ B ，∠ C 所对的边分别为 a ， b ，c（ 1）三边之间的关系：a 2 b2c 2（勾股定理）（ 2）锐角之间的关系：∠ A+∠ B=90° （ 3）边角之间的关系：练习：一、选择题1. 直角三角形的斜边比一直角边长2 cm ，另一直角边长为 6 cm ，则它的斜边长为（）A 、 4 cmB 、 8 cmC 、 10 cmD 、 12 cm2. 已知一个 Rt △的两边长分别为 3 和 4，则第三边长的平方是（ ）A 、 25B 、 14C 、 7D 、 7 或 253. 等腰三角形的腰长为 10, 底长为 12, 则其底边上的高为 ()A 、 13B 、 8C 、 25 D、 644. 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是 ( )A 、 钝角三角形B 、 锐角三角形C 、 直角三角形D 、等腰三角形 . 5、等腰三角形腰长为 13，底边长为 10，则它底边上的高为 （ ） A.12 B.7 C.5 D.66. 已知 a ，b ， c 为△ ABC 三边，且满足 ( a 2－ b 2)( a 2+b 2－ c 2) ＝0，则它的形状为（ ）A. 直角三角形B.等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形7. 如图， MP ⊥ NP ，MQ 为△ MNP 的角平分线， MT ＝ MP ，连接 TQ ，则下列结论中不正 确的是（ ）A 、 TQ ＝ PQB 、∠ MQT ＝∠ MQPC 、∠ QTN ＝ 90°D 、∠ NQT ＝∠ MQT8. 在△ ABC 中 , ∠ A: ∠ B: ∠C=1:2:3,CD ⊥ AB 于 D,AB=a , 则 DB 等于 ()A.aB.aC.aD. 以上结果都不对PQMNT23 4二、解答题1、已知：如图， AC 平分∠ BAD ， CE ⊥ AB 于 E ， CF ⊥ AD 于 F ，且 BC ＝DC. 求证： BE=DFFDC1 2AE B2. 已知，如图，四边形 ABCD 中， AB=3cm ， AD=4cm ， BC=13cm ， CD=12cm ，且∠ A=90°，求四边形 ABCD 的面积。
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何易放眼看去，游人熊少，都挂着血淋淋的人头，多的甚至有十多颗。 游人熊不答，闭上眼睛，缓慢的说道：“薛兄弟，你如果不答应我的话，我说得到做得到，就跪死在这里！”语气坚定无比。 “顾兄弟，先不杀他！” 他唯一能感受到变化的，就是自己的伤口刹那之间不再留血，而且创口清凉无比，一摸刚才流血的地方，居然刹那之间就结出一块硬硬的疤。 “酒菜已经准备好了，老爷，吃完饭就去见寨主！”
“干吗？有什么奇怪的吗？” 何易在马上抱拳，随即调转马头，连抽三鞭，泼辣辣的向雪山老巢而回。 何易脸上露出歉疚的神色，对小红和小翠道：“你们也跟我一起！” “你说的话，我什么都不懂？” “薛大爷，您别说这么多，我知道你是个好人，我什么都知道的。”
这高傲的男人，全身的骨骼寸断，像一个破碎的麻袋，濒临死亡，躺在地下，眼睛中满是怀疑，看着脸上青一阵红一阵的水白云，嘶哑着嗓子：“师……师傅，真的是你？” 何易如何不清楚，刚才最惊险的，莫过于顾月楼的惊云一刀！ “啊……”被窝里刹那间传出一阵低沉的叫声。 他翻身站起，看着睡觉的地方：这下面，真有这个道士所说的眼珠子吗？ 一刹那间，何易已经在心中断定，这人的武功，和“独臂仙”宋贵、黄勇、陈猛男等三大护法不相上下。
“照妖眼既然如此神奇，那你为什么会被手下所算？” 叮叮当当！ 自从看到这一拳的威力之后，展九是小心了许多，他知道，自己本来还以力量自诩，常常和公牛角力，但要是中了何易一拳一脚，他铁定会筋骨断裂。 但好在众人感觉他意诚，宋护法一时之间也不好说什么。 何易身上的积雪开始融化，渐渐的有了呼吸。
2.6 直角三角形第2课时直角三角形的判定 浙教版数学八年级上册课件
（有两个角互余的三角形是直角三角形）.
C
A
D
B
C
A
D
B
1. 已知：如图，在△ABC中，D是AB上一点，∠1=∠B，
∠A=∠2. 求证：△ABC是直角三角形.
证明：在△ABC中， ∠A+∠2 +∠1+∠B=180°，
∵ ∠A=∠2 ，∠B=∠1，
C
∴2(∠ A+∠B)=180°， 即∠ A+∠B=90°， ∴△ABC是直角三角形. A
直角三角形的判定定理
A
①文字语言： 有两个角互余的三角形是直角三角形.
②几何语言：
∵在△ABC中， ∠A＋∠B＝90 ° ，
∴ △ABC为直角三角形.
C
B
做一做：
根据下列条件判断△ABC是不是直角三角形，并说明理由.
（1）有一个外角为90°
（2）∠A=36°，∠B=54°
C
（3）如图，∠1与∠2互余，∠B=∠1.
C
2
∴BC=EB，
∵ ∠1=∠2，∠2+∠DBE=90° ，
1
∴∠1+∠DBE=90°，
A
B
D
∴∠CBE=180°-（∠1+∠DBE）=90°，
∴△BCE是等腰直角三角形.
这节课我们学到了什么？
判定一个三角形是直角三角形的方法： ① 有一个角是直角的三角形是直角三角形； ② 有两个角互余的三角形是直角三角形.
12
D
B
(有两个角互余的三角形是直角三角形).
2. 已知，如图，A、B、C、D同在一条直线上. ∠A=∠D= 90°，AC=BD，∠1=∠2. 求证：△BCE是等腰直角三角形.
八年级数学直角三角形2
３０ ゜
Ｂ
２．如图：它是人字屋架设计图，其中 ＡＢ＝ＡＣ＝５米．Ｄ是ＡＢ的中点， ＡＥ⊥ＢＣ．如果∠ＢＡＣ＝１２0゜, 求ＡＥ和ＤＥ的长度． Ａ
Ｄ
Ｂ
Ｅ
Ｃ
３．如图： ∠ＡＢＣ＝ ∠ＡＤＣ
＝９０ ° ，Ｅ是ＡＣ的中点，ＥＦ⊥ＢＤ 于Ｆ．试说明Ｆ是ＤＢ的中点．
Ａ
Ｅ
Ｂ
Ｆ
Ｄ
Ｃ
4.在Ｒｔ△ABC中, ∠ ACB= ９０ °,CH 是斜边AB上的高,CM是AB上中线,CT是
∠ BCA的平分线.试说明∠ 1= ∠ 2.
C
12
A
M TH
B
１．直角三角形斜边上的中线等于斜边的＿＿． ２．在Rt△ABC中∠Ｃ＝90°，∠Ｂ＝３０， ＡＢ＝４厘米．则ＡＣ＝＿＿＿厘米． ３．在Rt△ABC中，ＣＤ是斜边ＡＢ上的中线，
若ＣＤ＝３．５厘米，则ＡＢ＝＿＿厘米．
４．在三角形ＡＢＣ中ＣＤ是ＡＢ边上的中 线．且ＣＤ＝ 1 ＡＢ．则△ABC是＿＿三角形．
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上节课学习的直角三角形知识: １．直角三角形的两个锐角互余． ２．有两个角互余的三角形是直角三角形． ３．等腰直角三角形的两个锐角都是４５ ゜
操作实践，总结规律．
任意画一个直角三角形，作出斜边上的中线，并利 用圆规比较中线与斜边的一半的长短．你发现了什 么？
（请所有同学把结果都说出来．）
总结：直角三角形性质：
Ａ
直角三角形斜边上的中线
Ｄ
等于斜边的一半
∵ ∠C= 90゜
Ｂ
Ｃ
ＣＤ是ＡＢ边上的中线．
1
∴ＣＤ＝ 2 ＡＢ（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．）
湘教版八年级数学下册教学课件(XJ) 第1章 直角三角形 第2课时 勾股定理的实际应用
解：(1)在Rt△ ABC中，
A
别踩我,我怕疼!
C 根据勾股定理得
AB 32 42 5米，
∴这条“径路”的长为5米. （2）他们仅仅少走了
(3+4-5)×2=4(步). B
二 利用勾股定理求最短距离
问题 在A点的小狗，为了尽快吃到B点的香肠，它选择A 不选择A C B路线，难道小狗也懂数学？
问题 观看下面同一根长竹竿以三种不同的方式进门的情况，并结合曾 小贤和胡一菲的做法，对于长竹竿进门之类的问题你有什么启发？
这个跟我们学的勾股 定理有关，将实际问 题转化为数学问题
典例精析 例1 一个门框的尺寸如图所示，一块长3m,宽2.2m的长方形薄木板能
否从门框内通过?为什么?
分析：可以看出木板横着，竖着都不能通过，
A A
B
解：台阶的展开图如图，连接AB.
在Rt△ABC中，根据勾股定理得
C
B
AB2=BC2＋AC2＝552＋482＝5329,
∴AB=73cm.
能力提升： 5. 为筹备迎新晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然 后缠绕红色油纸，如图.已知圆筒的高为108cm，其横截面周长为36cm， 如果在表面均匀缠绕油纸4圈，应裁剪多长的油纸？
例4 在一次台风的袭击中，小明家房前的一棵大树在离地面6米处断裂， 树的顶部落在离树根底部8米处.你能告诉小明这棵树折断之前有多高吗？
6 米
8米
A
6 米
C
8米
解：根据题意可以构建一直角三角
形模型，如图.
在Rt△ABC中，
AC=6米，BC=8米，
由勾股定理得
AB AC2 BC2
62 82
B
AB32= 62 +（10+8）2 =360， B2 ∴AB1＜AB2＜AB3.
直角三角形的判定2
14.1.2直角三角形的判定宁强县广坪中学 唐渊源教材分析：这节内容选自《华东师大版》义务教育课程标准实验教科书八年级数学上册第十四章《勾股定理》中的第二部分。
勾股定理的逆定理来判定直角三角形是几何中一个非常重要的定理，它是对直角三角形的再认识，也是判断一个水凝胶型是不是直角三角形的一种重要方法。
也是教会学生“数形结合”这一方法的重要环节。
学情分析：八年级学生正是由实验几何向推理几何过度的重要时期，通过勾股定理逆定理的探索，培养学生的分析思维能力，发展推理能力。
在教学中培养类比、转化，从特殊到一般的思想方法。
三维目标：知识与能力：（1）探索并掌握直角三角形判别的方法——勾股定理逆定理（2）会应用勾股逆定理判别一个三角形是否是直角三角形并应用逆定理解决实际问题。
过程与方程：（1）经历直角三角形判别条件的探究过程，休会数形结合。
（2）通过勾股定理逆定理及以前知识综合起来运用，提高综合运用知识的能力。
情感态度与价值观：（1）通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受。
（2）通过知识的纵横迁移感受数学的辩证特征。
教学重点：理解并掌握勾股定理的逆定理，并会应用。
教学难点：理解勾股定理的逆定理。
教学关键：以古埃及人的思考方法，来领会勾股逆定理，同时动手验证，体验勾股定理的逆定理。
教学用具：PPT课件，三角尺、圆规教学方法：以学生为主体的讨论探究法教学过程一、创设情境，导入课题1、一个木匠要在所做的家具上判断一个角是否是直角，你们能帮助这位木匠解决这个难题吗？（学生回答：利用90°）如果只有尺，没有直角，你能办到吗？2、故事二：古埃及人结绳古埃及人曾用下面的方法得到直角：古埃及人把一根绳子打上等距离的13个结，然后把第1个结和第13个结用木桩钉在一起，再分别用木桩把第４个结和第８个结钉牢（拉直绳子）。
你知道这其中的道理吗？学生讨论：引出新课——直角三角形的判定。
二、观察探讨，研究新知1、操作与探索：[活动] 画一个三角形,使其三边长（a＜b＜c）分别为:（1）5cm, 12cm, 13cm； （2） 6cm, 8cm, 10cm ；（3）3cm, 4cm，5cm；再用量角器量一量最大的角，判断它们是否是直角三角形？这几组数都满足 ，且是直角三角形。
初二-第02讲-直角三角形(培优)-教案
学科教师辅导讲义学员编号：年级：八年级(下)课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第02讲-直角三角形授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标①掌握直角三角形的性质与判定方法；②进一步掌握推理证明的方法，培养演绎推理能力；授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂一、知识梳理1、直角三角形的性质和判定方法定理：直角三角形的两个锐角互余。
定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。
2、勾股定理勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
3、勾股定理的逆定理如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
4、逆命题、逆定理互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个体系搭建命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。
互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆命题。
5、斜边、直角边定理定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。
简述为“斜边、直角边定理”或“HL”定理。
考点一：直角三角形全等的判定例1、在如图中，AB=AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF交于点D，则下列结论中不正确的是（）A．△ABE≌△ACF B．点D在∠BAC的平分线上C．△BDF≌△CDE D．点D是BE的中点【解析】选D．例2、如图，AB=12，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC=4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动4分钟后△CAP与△PQB全等．【解析】∵CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，∴∠A=∠B=90°，设运动x分钟后△CAP与△PQB全等；则BP=xm，BQ=2xm，则AP=（12﹣x）m，分两种情况：①若BP=AC，则x=4，AP=12﹣4=8，BQ=8，AP=BQ，∴△CAP≌△PBQ；②若BP=AP，则12﹣x=x，解得：x=6，BQ=12≠AC，此时△CAP与△PQB不全等；综上所述：运动4分钟后△CAP与△PQB全等；故答案为：4．例3、如图，∠A=∠B=90°，E是AB上的一点，且AE=BC，∠1=∠2．（1）Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？并说明理由；（2）△CDE是不是直角三角形？并说明理由．【解析】（1）全等，理由是：∵∠1=∠2，∴DE=CE，∵∠A=∠B=90°，AE=BC，∴Rt△ADE≌Rt△BEC；P(Practice-Oriented)——实战演练实战演练➢课堂狙击1、下列条件中，能判定两个直角三角形全等的是（）A．一锐角对应相等B．两锐角对应相等C．一条边对应相等D．两条直角边对应相等【解析】选：D．2、如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件（）A．∠BAC=∠BAD B．AC=AD或BC=BDC．AC=AD且BC=BD D．以上都不正确【解析】从图中可知AB为Rt△ABC和Rt△ABD的斜边，也是公共边．跟据“HL”定理，证明Rt△ABC≌Rt△ABD，还需补充一对直角边相等，即AC=AD或BC=BD，故选B．3、如图，BD平分∠ABC，CD⊥BD，D为垂足，∠C=55°，则∠ABC的度数是（）A．35°B．55°C．60°D．70°【解析】∵CD⊥BD，∠C=55°，∴∠CBD=90°﹣55°=35°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABC=2∠CBD=2×35°=70°．故选D．4、如图，△ABC中，CD⊥AB于D，且E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于（）A．5 B．6C．7 D．8【解析】∵△ABC中，CD⊥AB于D，∴∠ADC=90°．∵E是AC的中点，DE=5，∴AC=2DE=10．∵AD=6，∴CD===8．故选D．5、如图，AC⊥BC，AD⊥DB，要使△ABC≌△BAD，还需添加条件AC=BD或BC=AD或∠DAB=∠CBA或∠CAB=∠DBA．（只需写出符合条件一种情况）【解析】∵AC⊥BC，AD⊥DB，∴∠C=∠D=90°∵AB为公共边，要使△ABC≌△BAD∴添加AC=BD或BC=AD或∠DAB=∠CBA或∠CAB=∠DBA后可分别根据HL、HL、AAS、AAS判定△ABC≌△BAD．6、如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠AON=30°，当∠A=60°或90°时，△AOP为直角三角形．【解析】若∠APO是直角，则∠A=90°﹣∠AON=90°﹣30°=60°，若∠APO是锐角，∵∠AON=30°是锐角，∴∠A=90°，综上所述，∠A=60°或90°．故答案为：60°或90°．7、如图，在直角三角形ABC中，斜边上的中线CD=AC，则∠B等于30°．【解析】∵CD是斜边AB上的中线，∴CD=AD，又CD=AC，∴△ADC是等边三角形，∴∠A=60°，∴∠B=90°﹣∠A=30°．故答案为：30°．8、底角为30°，腰长为a的等腰三角形的面积是a2．【解析】如图，过点A作AD⊥BC于D，∵△ABC是等腰三角形，∴BC=2BD，∵底角∠B=30°，∴AD=AB=a，由勾股定理得，BD==a，∴BC=2BD=a，∴三角形的面积=×a×a=a2．故答案为a2．9、如图，在△ACB中，∠ACB=90゜，CD⊥AB于D．（1）求证：∠ACD=∠B；（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF=∠CFE．【解析】证明：（1）∵∠ACB=90゜，CD⊥AB于D，∴∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，∴∠ACD=∠B；（2）在Rt△AFC中，∠CFA=90°﹣∠CAF，同理在Rt△AED中，∠AED=90°﹣∠DAE．又∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠DAE，∴∠AED=∠CFE，又∵∠CEF=∠AED，∴∠CEF=∠CFE．10、已知：如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=15°．过点C作CD⊥BA，交BA的延长线于点D，求△ACD的周长．【解析】如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=15°，∴∠B=∠ACB=15°，∴∠DAC=2∠B=30°．又∵CD⊥BA，∴CD=AC=1，∴根据勾股定理得到AD==，∴△ACD的周长=AD+CD+AC=+1+2=+3．答：△ACD的周长是+3．➢课后反击1、要判定两个直角三角形全等，下列说法正确的有（）①有两条直角边对应相等；②有两个锐角对应相等；③有斜边和一条直角边对应相等；④有一条直角边和一个锐角相等；⑤有斜边和一个锐角对应相等；⑥有两条边相等．A．6个B．5个C．4个D．3个【解析】故选B2、如图，O是∠BAC内一点，且点O到AB，AC的距离OE=OF，则△AEO≌△AFO的依据是（）A．HL B．AASC．SSS D．ASA【解析】∵OE⊥AB，OF⊥AC，∴∠AEO=∠AFO=90°，又∵OE=OF，AO为公共边，∴△AEO≌△AFO．故选A．3、直角三角形两个锐角平分线相交所成的钝角的度数为（）A．90°B．135°C．120°D．45°或135°【解析】如图：∵AE、BD是直角三角形中两锐角平分线，∴∠OAB+∠OBA=90°÷2=45°，两角平分线组成的角有两个：∠BOE与∠EOD这两个角互补，根据三角形外角和定理，∠BOE=∠OAB+∠OBA=45°，∴∠EOD=180°﹣45°=135°，故选B．4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，过点C的直线与AB交于点D，且将△ABC的面积分成相等的两部分，则∠CDA=（）A．30°B．45°C．60°D．75°【解析】如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，∴AC=AB，又∵过点C的直线与AB交于点D，且将△ABC的面积分成相等的两部分，∴AD=BD∴AC=AD，∵∠A=60°，∴△ADC是等边三角形，∴∠CDA=60°．5、如图，△ABC中，AB=AC=10，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则DE 的长为（）A．10 B．6C．8 D．5【解析】∵AB=AC=10，AD平分∠BAC，∴BD=DC，∵E为AC的中点，∴DE=AB=×10=5，故选D．6、如图，已知AB⊥CD，垂足为B，BC=BE，若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE，则需要添加的一个条件是AC=DE．【解析】AC=DE，理由是：∵AB⊥DC，∴∠ABC=∠DBE=90°，在Rt△ABC和Rt△DBE中，，∴Rt△ABC≌Rt△DBE（HL）．故答案为：AC=DE．7、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将边BC沿斜边上的中线CD折叠到CB′，若∠B=50°，则∠ACB′= 10°．【解析】∵∠ACB=90°，∠B=50°，∴∠A=40°，∵∠ACB=90°，CD是斜边上的中线，∴CD=BD，CD=AD，∴∠BCD=∠B=50°，∠DCA=∠A=40°，由翻折变换的性质可知，∠B′CD=∠BCD=50°，∴∠ACB′=∠B′CD﹣∠DCA=10°，故答案为：10°．8、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线ED交AB于点E，交BC于点D，若CD=3，则BD的长为6．【解析】∵DE是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠DAE=∠B=30°，∴∠ADC=60°，∴∠CAD=30°，∴AD为∠BAC的角平分线，∵∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=CD=3，∵∠B=30°，∴BD=2DE=6，故答案为：6．9、如图所示，AB⊥BC，DC⊥AC，垂足分别为B，C，过D点作BC的垂线交BC于F，交AC于E，AB=EC，试判断AC和ED的长度有什么关系并说明理由．【解析】AC=ED，理由如下：∵AB⊥BC，DC⊥AC，ED⊥BC，∴∠B=∠EFC=∠DCE=90°．∴∠A+∠ACB=90°，∠CEF+∠ACB=90°．∴∠A=∠CEF．在△ABC和△ECD中，∴△ABC≌△ECD（ASA）．∴AC=ED（全等三角形的对应边相等）．10、在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD⊥AB于D，CE是△ABC的角平分线．（1）求∠DCE的度数．（2）若∠CEF=135°，求证：EF∥BC．【解析】∵∠B=30°，CD⊥AB于D，∴∠DCB=90°﹣∠B=60°．S(Summary-Embedded)——归纳总结重点回顾1、直角三角形的性质和判定方法定理：直角三角形的两个锐角互余。
八年级数学下册第1章直角三角形1.2直角三角形的性质和判定Ⅱ第2课时教学课件湘教版
一个门框尺寸如图所示．
①若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过？ ②若薄木板长3米，宽1.5米呢？ ③若薄木板长3米，宽2.2米呢？为什么？
∵木板的宽2.2米大于1米，
∴ 横着不能从门框C通过；
∵木板的宽2.2米大于2米，
∴竖着也不能从门框通2过m．
∴ 只能试试斜着能否通过，
对 要角 求线 出AACC的 的A长 长1最 ，m大 怎， 样B因 求此呢需？
3.如图，要在高3m,斜坡5m的楼梯表面铺
B
地毯，地毯的长度至少需____7____米
C
A
4．在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离 树20米处的池塘的A处.另一只爬到树顶D后直接跃到A处， 距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵 树高____1_5______米.
5．在Rt△ABC中, ∠C=90°, ∠A ，∠ B， ∠C 的对边分别为 a,b,c. (1) 已知: a=5, b=12, 求c. c=12. (2) 已知: b=6,•c=10 , 求a. a=8. (3) 已知: a=7, c=25, 求b. b=24. (4) 已知: a=7, c=8, 求b . b= 15.
A
解：在Rt△ABC中， ∵∠ACB=90°，
D
∴ AC2+ BC2＝AB2， 2.42+ BC2＝2.52，
∴BC＝0.7m. 由题意得：DE＝AB＝2.5m，
C
BE
DC＝AC－AD＝2.4－0.4＝2m.
在Rt△DCE中，∵∠DCE=90°， ∴ DC2+ CE2＝DE2 ，22+ CE2＝2.52， ∴CE＝1.5m, ∴BE＝1.5－0.7＝0.8m≠0.4m.
直角三角形(第2课时)-2022-2023学年八年级数学下册教材配套教学课件(北师大版)
∠C′=90 °,B′C′=BC，A ′B ′=AB，把画好的Rt△A′B′ C′ 剪下来，放到
Rt△ABC上，它们能重合吗？
A
B
C
操作：已知一条直角边和斜边，作一个直角三角形
已知：线段a，c，直角α 求作：Rt△ABC，使∠C=∠α ，BC=a，AB=c
作图步骤
N
A
B
C
M
C′
（1）先画∠M C′ N=90°
已知：如图, 在△ABC和△A′B′C′中, ∠C=∠C′=90°, AC=A′C ′, AB=A′B′ 求证：△ABC≌△A′B′C′ .
证明：∵△ABC中，∠C=90°
∴BC2=AB2-AC2（勾股定理）
A
A′
同理，B′C′2=A′B′2-A′C′2 .
∵AB=A′B′，AC=A′C′， ∴BC=B′C′.
作图步骤
N
A
B
C
M
B′
C′
（2）在射线C′M上截取B′C′=BC
作图步骤
N
A
A′
B
C
M
B′
C′
（3）以点B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于A′
作图步骤
猜想：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
N
A
A′
B
C
M
B′
C′
（4）连接A′B′
思考：通过上面的探究，你能得出什么结论？
证明：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全本题
没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．
五、课堂小结
斜边、 直角边
内容
斜边和一条直角边对应相等的两个 直角三角形全等.
冀教版八年级数学上册17.2《直角三角形》 (共22张PPT)
么PD等于( )
4 A．1
5 B．2
6 C．4 7 D．8
〔来自?点拨?〕
知3－练
2在Rt△ABC中，∠A＝30°，那么以下结论正确 的是( D ) A．BC＝ 1 AB B．BC≠ 2AB C．当∠B1＝90°时，BC＝ AB D．当∠C2＝90°时，BC＝ 1 AB 2 1 2
〔来自?典中点?〕
C
又∠A+∠B=90º，且∠A=30º，
∴∠B=60º，
∴△BCD是等边三角形， ∴ BC CD BD 1 AB.
2
60º B
30º A
直角三角形的性质定理
在直角三角形中，如果一个锐角等 于30º，那么它所对的直角边等于斜边的 一半.
用几何语言表示为：
C
在Rt△ABC中，∠C=90º，
∵ ∠A=30º，
直角三角形的判定定理：
如果一个三角形的两个角互余，那么 这个三角形是直角三角形.
小试牛刀
(1)在直角三角形中,有一个锐角为52°,那么另一 个锐角度数为 38° .
(2)在Rt △ ABC中,∠C=90°,∠A-∠B=30°,那么 ∠A= 60 ° ,∠B= 30 ° .
(3)如下图,在△ ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边 AB上的高,
D
C
A
E
B
知识点 3 含30°角的直角三角形的性质
知3－导
证明：在直角三角形中，30°角所对的直角边 等于斜边的一半.
动脑筋？
如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90º，假设 ∠A=30º那么BC与斜边AB有什么关系呢？
取线段AB的中点D，连接CD，
即CD是Rt△ABC斜边上的中线.
那么CD=AD=BD.
直角三角形八年级数学下学期重要考点精讲精练 (2)
1.3直角三角形直角三角形角的性质定理与判定定理题型1：直角三角形的性质与求角度1.在一个直角三角形中，一个锐角等于56°，则另一个锐角的度数是（）A．26°B．34°C．36°D．44°【变式1-1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B﹣∠A＝10°，则∠A的度数为（）【变式1-2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，∠B＝52°，那么∠ACD＝．题型2：利用互余证明直角三角形2.已知：如图，BD⊥AC，E为垂足，△ABE的中线FE的延长线交CD于点G，∠1＝∠2，求证：△CGE是直角三角形．【变式2-1】如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，∠1＝∠B，求证：△ABC为直角三角形．【变式2-2】如图，已知D是线段BC的延长线上一点，∠ACD＝∠ACB，∠COD＝∠B，求证：△AOE是直角三角形．题型3：利用直角三角形的性质判定垂直3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，且∠ACD＝∠B，求证：CD⊥AB．【变式3-1】如图所示，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠1＝∠B．（1）求证：CD⊥AB；（2）如果AC＝8，BC＝6，AB＝10，求CD的长．【变式3-2】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ACD＝∠B，求证：CD⊥AB．勾股定理① 3、4、5； 5、12、13； 8、15、17； 7、24、25； 9、40、41……②如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.题型4：勾股定理求线段长度4.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 是AB 的中点．连接CD ，若AC ＝4，BC ＝3，则CD 的长度是（ ）A ．1.5B ．2C ．2.5D ．5【变式4-1】如图，已知CD 是△ABC 中AB 边上的高，AC ＝10，CD ＝8，BC ＝3AD ． 求BC 的长．【变式4-2】如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝20，BC ＝15，CD ⊥AB 于点D ． 求：（1）CD 的长； （2）BD 的长．题型5：勾股定理的证明5.如图，已知∠C ＝∠D ＝90°，D ，E ，C 三点共线，各边长如图所示，请利用面积法证明勾股定理．a b c 、、t at bt ct 、、【变式5-1】一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启发人们发现了勾股定理的一种新的证法．如图，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB′C′D′的位置，连接CC′，设AB＝a．BC＝b，AC＝c，请利用四边形BCC′C的面积证明勾股定理．【变式5-2】如图，已知：在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边为a，b，c，求证：a2+b2＝c2．题型6：勾股定理的实际应用6.如图，一个直径为20cm的杯子，在它的正中间竖直放一根小木棍，木棍露出杯子外2cm，当木棍倒向杯壁时（木棍底端不动），木棍顶端正好触到杯口，求木棍长度．【变式6-1】如图，某人划船横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C 偏离欲到达点B 25m ，结果他在水中实际划了65m ，求该河流的宽度．【变式6-2】如图，一架长5米的梯子AB ，顶端B 靠在墙上，梯子底端A 到墙的距离AC ＝3米． （1）求BC 的长；（2）梯子滑动后停在DE 的位置，当AE 为多少时，AE 与BD 相等？勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.如何判定一个三角形是否是直角三角形（1） 首先确定最大边（如）.（2） 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC 是∠C ＝90°的直角三角形；若，则△ABC 不是直角三角形.注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.题型7：利用勾股定理判定直角三角形7.如图是由边长均为1的小正方形组成的网格，点A ，B ，C 都在格点上，∠BAC 是直角吗？请说明理a b c ，，222a b c +=c 2c 22a b +222c a b =+222c a b ≠+222a b c +<222a b c +>c由．【变式7-1】如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD＝4，BD＝3．（1）求BC的长；（2）求证：△BCD是直角三角形．【变式7-2】如果△ABC的三边分别为a、b、c且满足|a﹣3|+|b﹣4|+|c﹣5|＝0，判定△ABC的形状．互逆命题与互逆定理如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.注意：原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.一个定理是真命题，每一个定理不一定有逆定理，如果这个定理存在着逆定理，则一定是真命题.题型8：互逆命题的改写及判定真假8.下列命题的逆命题是假命题的是（）A．到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上B．角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上C．如果a＝b，那么a2＝b2D．在△ABC中，如果BC2+AC2＝AB2，那么∠C＝90°【变式8-1】下面各命题都成立，那么逆命题成立的是（）A．邻补角互补B．全等三角形的面积相等C．如果两个实数相等，那么它们的平方相等D．两组对角分别相等的四边形是平行四边形【变式8-2】命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”的逆命题是；该逆命题是命题（填“真”或“假”）．"斜边、直角边"（"HL"）定理1.定理斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成"斜边、直角边"或"HL"）.2.书写格式如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中判定两个直角三角形全等常用的思路方法题型9：“斜边，直角边（HL）”判定三角形全等9.如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，若利用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是．（不添加字母和辅助线）【变式9-1】如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AD＝BE，∠1＝∠2，求证：Rt△ADE≌Rt△BEC．【变式9-2】如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF．求证：Rt△ABF≌Rt△DCE．题型10：化整为零求线段长度10.如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，且∠ACD＝∠B．求证：CD⊥AB．【变式10-1】如图，CD是Rt△ABC斜边上的高．（1）求证：∠ACD＝∠B；（2）若AC＝3，BC＝4，AB＝5，则求CD的长．【变式10-2】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，AD＝CD，求CD的长．题型11：割补法求面积11.如图，一块铁皮（图中阴影部分），测得AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°．求阴影部分的面积．【变式11-1】如图，在边长均为1的5×5正方形网格中，A，B，C，D均在格点上．（1）求∠ADC的度数．（2）求四边形ABCD的面积．【变式11-2】如图所示，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝CD＝1，AD＝，试求四边形ABCD的面积．题型12：折叠问题12.如图，长方形纸片ABCD中，BC＝，DC＝1，将它沿对角线BD折叠，使点C落在点F处，则图中阴影部分的面积是多少？【变式12-1】长方形纸片ABCD中，AD＝4cm，AB＝10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求DE的长．【变式12-2】如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知CE＝3cm，AB ＝8cm，求图中阴影部分的面积．题型13：立体图形中的最短距离13.如图，圆柱的高为10cm，底面半径为4cm，在圆柱下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面B处的食物，已知四边形ADBC的边AD、BC恰好是上、下底面的直径、问：蚂蚁至少要爬行多少路程才能食到食物？【变式13-1】如图，一个长方体盒子的长、宽、高分别为9cm，7cm，12cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，那么它爬行的最短路程是多少？【变式13-2】（1）如图1，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．求该长方体中能放入木棒的最大长度；（2）如图2，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．现有一只蚂蚁从点A处沿长方体的表面爬到点G处，求它爬行的最短路程．（3）若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？。
八年级数学上第二章《直角三角形》
第7讲直角三角形（）一、知识要点1、直角三角形的性质（1）两锐角互余.（2）斜边上的中线等于斜边的一半.（3）30°的角所对的直角边等于斜边的一半.（4）ab=ch（a，b，c分别是直角三角形的三边，h为斜边上的高）（5）如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，则∠ACD=∠B，∠DCB=∠A 2、直角三角形的判定（1）两锐角互余的三角形.（2）如果三角形一边上的中线等于这边的一半.（3）如图，AD是△ABC的高，且∠DAC=∠B.（4）证明一个三角形与另一个直角三角形全等.二、例题精选例1.如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，AF平分∠BAC，分别交CD，BC于点E，F.求证：∠CEF=∠CFE例2.如图，已知AD是△ABC的高，CE是中线，DC=BE，DG⊥CE于点G，求证：（1）点G是CE的中点；（2）∠B=2∠BCE.例3、如图，AB，CD交于点E，AD=AE，CB=CE，点F，G，H分别是DE，BE，AC的中点.求证：FH=GH.CACAE F例1AEGB D C例2DA H CBFGE例3例4.如图，在Rt △ABC 中，AC=BC ，∠C=90°， D 是AB 边的中点，∠EDF=90°，∠EDF 绕点D 旋转，它的两边分别与直线AC ，BC 交于E ，F. （1）当点E ，F 分别在AC ，BC 上时（如图1），求证：ABC CEF DEF S S S ∆∆∆=+21；（2）当点E ，F 分别在AC ，CB 延长线上时（如图2）， 则（1）结论是否还成立？请说明理由.例5.如图，在△ABC 中，∠ABC=45°，CD ⊥AB 于D ，BE 平分 ∠ABC ，且BE ⊥AC 于E ，与CD 交于点F ，H 是边BC 的中 点，连接DH ，与BE 交于点G.（1）求证：CE=21BF ；（2）CE 与BG 的大小关系如何？试说明理由.例6.已知P 是Rt △ABC 斜边AB 上一动点（不与点A ，B分别过A ，B 向直线CP 作垂线，垂足分别为E ，F ，点Q 是斜边AB 的中点.（1）如图1，当点P 与点Q 重合时，试写出QE ，QF 的数量 关系和BF ，AE 的位置关系：； （2）如图2，当点P 在线段AB 上但不与点Q 重合时，试判断QE ，QF 的数量关系，并给予证明； （3）如图3，当点P 在线段BA （或AB ）延长线上时，此时（中的结论是否仍成立？请画出图形给予证明.ADEC F B例4图1ADEC B F 例4图2A GDF E B H C 例5 B例7.如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=6cm ，点P 从点A 出发， 沿AB 方向以2cm/s 的速度向终点B 运动，同时点Q 从点B 出发，沿BC 方向以1cm/s 的速度向终点C 运动.问△PQC 成为以QC 为底边 的等腰三角形时候，则运动时间t 的值为多少？例8.已知，如图点D 是线段AB 上一点（不与点A ，B 重合），CD ⊥AB 于D ，且CD=AB ，AE ⊥AB ，BF ⊥AB ，且AE=BD ，BF=AD.（1）如图1，当点D 是线段AB 的中点时，试判断∠ACE 与 ∠BCF 的数量关系，并给予证明；（2）如图2，当点D 不是线段AB 的中点时，（1）中的结论 是否发生变化？写出你的猜想并证明.C AD BE 图2 C A D B E 图1F 例7学生练习一．选择题（共12小题）1．如图，一个矩形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1+∠2的度数是（ ） A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 2．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AB=4，则下列各图中的直角三角形与Rt △ABC 全等的是（ ） 3．如图，△ABC 中，∠C=45°，点D 在AB 上，点E 在BC 上．若AD=DB=DE ，AE=1，则AC 的长为（ ）A.5 B. 2 C. 3 D. 24．如图，BD 平分∠ABC ，CD ⊥BD ，D 为垂足，∠C=55°，则∠ABC 的度数是（ ） A. 35° B. 55° C.60° D. 70°5．已知如图，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，CD ⊥DE ，CD=ED ，AD=2，BC=3，则△ADE 的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 5 D. 无法确定6．如图，∠ACB=90°，AC=BC ，AE ⊥CE 于E ，BD ⊥CE 于D ，AE=5cm ，BD=2cm ，则DE 的长是（ ） A. 8 B. 5 C. 3 D. 27．如图所示，P ，Q 分别是BC ，AC 上的点，作PR ⊥AB 于R 点，作PS ⊥AC 于S 点，若AQ=PQ ，PR=PS ，下面三个结论：①AS=AR ；②QP ∥AR ；③△BRP ≌△CSP ，正确的是（ ） A. ①③ B. ②③ C. ①② D. ①②③8．在等腰直角三角形ABC 中，∠C=90°，AC=8，点F 是AB 的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动，且始终保持AD=CE ，则四边形CDFE 的面积是（ ） A. 32 B. 16 C. 28 D. 无法确定9．如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，F 是AB 边上的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动，且保持AD=CE ．连接DE 、DF 、EF ．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；A. B. C. D. 第3题 第4题第5题 第6题第7题 第8题 第9题 第10题②DE 长度的最小值为4；③四边形CDFE 的面积保持不变；④△CDE 面积的最大值为8．其中正确的结论是（ ）A. ①②③B. ①③C. ①③④D. ②③④10．如图，在等腰直角△ACB 中，∠ACB=90°，O 是斜边AB 的中点，点D 、E 分别在直角边AC 、BC 上，且∠DOE=90°，DE 交OC 于点P ．则下列结论：（1）图形中全等的三角形只有两对； （2）△ABC 的面积等于四边形CDOE 的面积的2倍；（3）CD+CE=OA ；（4）AD 2+BE 2=2OP •OC ．其中正确的结论有（ ） A.1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个11．如图，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB 中，作内接正方形A 1B 1C 1D 1；在等腰直角三角形OA 1B 1中，作内接正方形A 2B 2C 2D 2；在等腰直角三角形OA 2B 2中，作内接正方形A 3B 3C 3D 3；…；依次作下去，则第n 个正方形A n B n C n D n 的边长是（ ） A.131-n B. n 31 C. 131+n D. 231+n 12．如图，已知∠AOB=45°，A 1、A 2、A 3、…在射线OA 上，B 1、B 2、B 3、…在射线OB 上，且A 1B 1⊥OA ，A 2B 1⊥OA ，…A n B n ⊥OA ； A 2B 2⊥OB ，…，A n+1B n ⊥OB （n=1，2，3，4，5，6…）．若OA 1=1，则A n B n 的长是（ ） A.n 2 B.()n2 C. n2D. 12-n二．填空题（共8小题） 13．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，AD 与BE 相交于点F ，若BF=AC ，则∠ABC= 度．14．如图，在四边形ABCD 中，AB=BC ，∠ABC=∠CDA=90°，BE ⊥AD 于点E ，且四边形ABCD 的面积为9，则BE= ． 15．判断题：（1）一个锐角和这个角的对边分别相等的两个直角三角形全等； （2）一个锐角和这个角相邻的直角边分别相等的两个直角三角形全等；（3）两个锐角分别相等的两个直角三角形全等；（4）两直角边分别相等的两个直角三角形全等；（5）一条直角边和斜边分别相等的两个直角三角形全等 ．16．如图，三角形ABC 中AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，AD 、CE 交于点H ，请你填加一个适当的条件 ，使△AEC ≌△CDA ．17．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，分别过点B ，C 作过点A 的直线的垂线BD ，CE ，若BD=4cm ，CE=3cm ，则DE= cm ．18．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=10，BC=5，线段PQ=AB ，P ，Q 两点分别在AC 和过点A 且垂直于AC 的射线AO 上运动，当AP= 时，△ABC 和△PQA 全等．第13题 第12题第14题 第16题 第17题 第18题 第20题第19题 第11题 D 2 C 2 D 1 C 119．在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S，PR=PS，AQ=PQ，则下面三个结论：①AS=AR；②PQ∥AR；③△BRP≌△CSP．其中正确的是．20．如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，下面四个结论：①∠ABE=∠BAD；②△CEB≌△ADC；③AB=CE；④AD﹣BE=DE．正确的是（将你认为正确的答案序号都写上）．三．解答题（共5小题）21．如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD=BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E，F，那么，CE=DF吗？22．如图，已知等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为等腰Rt△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA．（1）求证：DE平分∠BDC；（2）连接BE，设DC=a，求BE的长．23．已知在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点．（1）如图，E、F分别是AB，AC上的动点，且BE=AF，求证：△DEF为等腰直角三角形；（2）在（1）的条件下，四边形AEDF的面积是否变化，证明你的结论；（3）若E、F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE=AF，其他条件不变，那么△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．24．（1）两个全等的等腰直角三角形ABC和三角形EDA如图1放置，点B，A，D在同一条直线上．那么点C，A，E在同一条直线上；①在图1中，作∠ABC的平分线BF，过点D作DF⊥BF，垂足为F；②猜想：线段BF，CE的关系，结论是：．（2）将（1）中的“等腰直角三角形”换成“直角三角形”，其它条件不变，如图2，连接CE，请问你猜想的BF与CE的关系是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．25．同学拿了两块45°三角尺△MNK、△ACB做了一个探究活动：将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处，设AC=BC=4．（1）如图1，两三角尺的重叠部分为△ACM，则重叠部分的面积为，周长为．（2）将图1中的△MNK绕顶点M逆时针旋转45°，得到图2，此时重叠部分的面积为_________，周长为．（3）如果将△MNK绕M旋转到不同于图1和图2的图形，如图3，请你猜想此时重叠部分的面积为．（4）在如图3的情况下，AC交MN于D，MK交BC于E，若AD=1，求出重叠部分图形的周长．直角三角形训练参考答案例1.法一∵∠3=∠1+∠5 ∠4=∠2+∠B∠1=∠2 ∠B=∠5 ∴∠3=∠4 法二：∠1+∠4＝90° ，∠2+∠AED ＝90°∠1=∠2，∴∠3=∠4＝∠AED例2.（1）DE 是Rt △ADB 斜边上中线，∴DE=BE=CD ∵DG ⊥CE ∴G 为CE 中点.（2）由（1）∠B=∠EDB=∠DEC+∠DCE=2∠DCE例3.由等腰三角形得，AF ，CG 为高， 又H 为中点，∴HF=HG=21AC例4.（1）ABC DCBCEF DEF S S S S ∆∆∆∆==+21（2）D BFE CD E D BFE D BF D EF S S S S S +=+=∆∆∆ =CEF ABC CEF DCB S S S S ∆∆∆∆+=+21例5.（1）△ADC ≌△BDF∴BF=AC=2CE（2）连接CG ，∵DH ⊥BC ∴BG=CG 》CE例6.（1）平行，相等（2）∵BH ∥AE BQ=AQ ∴△AEQ ≌△BHQ ∴EQ=HQ∴FQ=EQ （3）∵BH ∥AE BQ=AQ ∴△AEQ ≌△BHQ ∴EQ=HQ ∴FQ=EQ例7.解例8.（1）∴△ACE ≌△BCF ∴∠ACE=∠BCF（2）∵△ABE ≌△BCD ∴BE=BC ∠ABE=∠BCD ∴∠EBC=∠ABE+∠DBC=∠BCD +∠DBC=90°∴△BEC 为等腰直角三角形.同理，△AFC 为等腰直角三角形. ∴∠ACE=45°-∠ECF=∠BCFCA E F例1 1 23 4 5D A H CBF G E 例3ADEC F B例4图1AD E C B F例4图2AEGB D C例2AG DFE B H C 例5A D BE 例8图2学生练习：一．选择题：CADD ACCB CCBD9、①连接CF．∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB，∵AD=CE，∴△ADF≌△CEF，∴EF=DF，∠CFE=∠AFD，∵∠AFD+∠CFD=90°∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，∴△EDF是等腰直角三角形，故本选项正确；②∵△DEF是等腰直角三角形，∴当DE最小时，DF也最小，即当DF⊥AC时，DE最小，此时DF=BC=4，∴DE=DF=4，故本选项错误；③∵△ADF≌△CEF，∴S△CEF=S△ADF，∴S四边形CDFE=S△DCF+S△CEF=S△DCF+S△ADF=S△ACF=S△ABC故本选项正确；④当△CED面积最大时，由③知，此时△DEF的面积最小，此时，S△CED=S四边形CEFD﹣S△DEF=S△AFC﹣S△DEF=16﹣8=8，故本选项正确；综上所述正确的有①③④．10、（1）错误．理由如下：图中全等的三角形有3对，分别为△AOC≌△BOC，△AOD≌△COE，△COD≌△BOE．由等腰直角三角形的性质，可知OA=OC=OB，易得△AOC≌△BOC．∵OC⊥AB，OD⊥OE，∴∠AOD=∠COE．在△AOD与△COE中，∴△AOD≌△COE（ASA）．同理可证：△COD≌△BOE．10、结论（2）正确．理由如下：∵△AOD≌△COE，∴S△AOD=S△COE，∴S四边形CDOE=S△COD+S△COE=S△COD+S△AOD=S△AOC=S△ABC，即△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍．结论（3）正确，理由如下：∵△AOD≌△COE，∴CE=AD，∴CD+CE=CD+AD=AC=OA．结论（4）正确，理由如下：∵△AOD≌△COE，∴AD=CE；∵△COD≌△BOE，∴BE=CD．在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD2+CE2=DE2，∴AD2+BE2=DE2．∵△AOD≌△COE，∴OD=OE，又∵OD⊥OE，∴△DOE为等腰直角三角形，∴DE2=2OE2，∠DEO=45°．∵∠DEO=∠OCE=45°，∠COE=∠COE，∴△OEP∽△OCE，∴，即OP•OC=OE2．∴DE2=2OE2=2OP•OC，∴AD2+BE2=2OP•OC．综上所述，正确的结论有3个，11、过O作OM⊥AB，交AB于点M，交A1B1于点N，如图所示：∵A1B1∥AB，∴ON⊥A1B1，∵△OAB为斜边为1的等腰直角三角形，∴OM=AB=，又∵△OA1B1为等腰直角三角形，∴ON=A1B1=MN，∴ON：OM=1：3，∴第1个正方形的边长A1C1=MN=OM=×=，同理第2个正方形的边长A2C2=ON=×=，则第n个正方形A n B n D n C n的边长．12、由题意，可知图中的三角形均为等腰直角三角形，OA1=1，A1B1=A1A2=1，B1A2=B1B2=，A2B2=A2A3=2，B2A3=B2B3=2，A3B3=A3A4=4，…，从中发现规律为A n B n=2A n﹣1B n﹣1，其中A1B1=1，所以A n B n=2n﹣1．二、13、45°14、 3 15、正确；正确；错误；正确；正确.16、CE=AD或∠DAC=∠ECA或∠BAC=∠ACB（正确即可）17、7 18、5或1019、连接AP在Rt△ASP和Rt△ARP中PR=PS，PA=PA所以Rt△ASP≌Rt△ARP所以①AS=AR正确因为AQ=PQ所以∠QAP=∠QPA又因为Rt△ASP≌Rt△ARP所以∠PAR=∠PAQ于是∠RAP=∠QPA所以②PQ∥AR正确③△BRP≌△CSP，根据现有条件无法确定其全等．故填①②20、①②④∵∠BEF=∠ADF=90°，∠BFE=∠AFD∴①∠ABE=∠BAD 正确∵∠1+∠2=90°∠2+∠CAD=90°∴∠1=∠CAD又∠E=∠ACB=90°，AC=BC∴②△CEB≌△ADC 正确∴CE=AD，BE=CD∴④AD﹣BE=DE．正确而③不能证明，三、21、略22、（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴∠BAC=∠ABC=45°，∵∠CAD=∠CBD=15°，∴∠BAD=∠ABD=45°﹣15°=30°，∴BD=AD，∴D在AB的垂直平分线上，∵AC=BC，∴C也在AB的垂直平分线上，即直线CD是AB的垂直平分线，∴∠ACD=∠BCD=45°，∴∠CDE=∠CAD+∠ACD=15°+45°=60°，∴∠BDE=∠DBA+∠BAD=60°；∴∠CDE=∠BDE，即DE平分∠BDC；（2）∵∠CAE=∠CEA=15°，∴AC=CE，∠ACE=150°，∵∠ACB=90°，∴∠BCE=∠ACE﹣∠ACB=60°，∵AC=CE，AC=BC，∴CE=BC，∴△BCE是等边三角形，∴BE=BC=AC．如图，在△ACD中，过点D作DM⊥AC于点M，作∠ADN=∠CAD=15°，交AC于N．在Rt△CDM中，∵∠CMD=90°，∠C=45°，DC=a，∴DM=MC=a．在Rt△DMN中，∵∠NMD=90°，∠DNM=∠ADN+∠CAD=30°，DM=a，∴DN=2DM=a，NM=DM=a．∵∠ADN=∠CAD=15°，∴AN=DN=a，∴AC=AN+NM+MC=a+a+a=a，∴BE=AC=a．23、（1）证明：连接AD∵AB=AC，∠A=90°，D为BC中点∴AD==BD=CD且AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD=45°在△BDE和△ADF中，∴△BDE≌△ADF（SAS）∴DE=DF，∠BDE=∠ADF∵∠BDE+∠ADE=90°∴∠ADF+∠ADE=90°即：∠EDF=90°∴△EDF为等腰直角三角形．（2）解：四边形AEDF面积不变．理由：∵由（1）可知，△AFD≌△BED∴S△BDE=S△ADF，而S四边形AEDF=S△AED+S△ADF=S△AED+S△BDE=S△ABD∴S四边形AEDF不会发生变化．（3）解：仍为等腰直角三角形．理由：∵△AFD≌△BED∴DF=DE，∠ADF=∠BDE∵∠ADF+∠FDB=90°∴∠BDE+∠FDB=90°即：∠EDF=90°∴△EDF为等腰直角三角形24、BF⊥CE，BF=CE（1）①画图②结论是：BF⊥CE，BF=CE．（2）如图，①证明BF=CE∵BF为∠ABC的平分线，∠ABC=90°∴∠CBF=∠ABF=45°∵DF⊥BF∴∠F=90°∵点B，A，D在同一条直线上，△BFD为直角三角形∴cos∠FBD=∴BF=又∵Rt△ABC≌Rt△EDA∴BC=AD，BA=DE设BC=AD=a，BA=DE=b∴BD=a+b∴BF=过E作EH∥BD交CB的延长线于H∵∠CBA=90°，∠ADE=90°∴∠CBA=∠ADE∴CH∥DE∴四边形BHED为矩形∴BH=DE=b，HE=BD=a+b∴CH=a+b∴△HCE等腰直角三角形由勾股定理，得CE=∴BF=CE②证明BF⊥CE∵Rt△CHE是等腰直角三角形∴∠HCE=∠HEC=45°∵∠FBC=45°∴∠BGE=∠HCE+∠FBC=90°∴BF⊥CE∴BF⊥CE，BF=CE仍然成立25、（1）∵AC=BC=4，∠ACB=90°，∴AB===4，∵M是AB的中点，∴AM=2，∵∠ACM=45°，∴AM=MC，∴重叠部分的面积是=4，∴周长为：AM+MC+AC=2+2+4=；（2）∵叠部分是正方形，∴边长为×4=2，面积为2×2=4，周长为2×4=8．（3）过点M分别作AC、BC的垂线MH、MG，垂足为H、G，∵M是△ABC斜边AB的中点，AC=BC=a，∴MH=BC，MG=AC，∴MH=MG，又∵∠NMK=∠HMG=90°，∴∠NMH+∠HMK=90°，∠GME+∠HMK=90°，∴∠HMD=∠GME，在△MHD和△MGE中，∵，∴△MHD≌△MGE（ASA），∴阴影部分的面积等于正方形CGMH的面积，∵正方形CGMH的面积是MG•MH=2×2=4；∴阴影部分的面积是4；（4）过点M作MG⊥BC于点G，MH⊥AC于点H，∴四边形MGCH是矩形，∴MH=CG，∵∠A=45°，∴∠AMH=45°，∴AH=MH，∴AH=CG，在Rt△DHM和Rt△EGM中，，∴Rt△DHM≌Rt△EGM．∴GE=DH，∴AH﹣DH=CG﹣GE，∴CE=AD，∵AD=1，∴DH=1，CE=1，CD=4﹣1=3，∴DM=∴四边形DMEC的周长为：CE+CD+DM+ME=1+3++=4．故答案为：4，，4，8，4。
2024八年级数学下册第1章直角三角形的性质和判定(Ⅱ)第4课时勾股定理的逆定理习题课件新版湘教版
步骤1：如图①，将正方形纸板的边三等分，画出九个相同
的小正方形，并剪去四个角上的小正方形；
步骤2：如图②，把剪好的纸板折成无盖正方体纸盒.
猜想与证明：(1)直接写出纸板上∠ABC与纸盒上∠A1B1C1的
大小关系；
【解】∠ABC＝∠A1B1C1.
(2)证明(1)中你发现的结论.
∴AB2＋CB2＝CA2.∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°.
当经过4秒时，BM＝AB－AM＝18－2×4＝10(cm)，
BN＝3×4＝12(cm)，
∴S△BMN＝ BM·BN＝ ×10×12＝60(cm2).
故经过4秒时，△BMN的面积为60 cm2.
利用直角三角形的判定求角的度数
12. [新考法 类比迁移法]在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝
∴∠ABC＝45°，∴∠ABC＝∠A 1 B 1 C 1 .
利用勾股数的特征求整式值
10.[2023·衡阳二中模拟]已知：整式A＝(n2－1)2＋(2n)2，整式
B＞0.
【尝试】化简整式A.
【解】A＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4－2n2＋1＋4n2＝n4＋2n2＋1
＝(n2＋1)2.
【发现】A＝B2，求整式B.
0，m，n是互质的奇数.下列四组勾股数中，不能由该勾股
数计算公式直接得出的是( C )
A.3，4，5
B.5，12，13
C.6，8，10
D.7，24，25
【点拨】
∵当m＝3，n＝1时，
a＝ (m2－n2)＝ ×(32－12)＝4，b＝mn＝3×1＝3，c＝
八年级数学下三角形的证明1.2直角三角形第2课时直角三角形全等的判定习题北师大
7．如图，在△ABC 中，AB＝AC，BD⊥AC 于点 D，CE⊥AB 于点 E，BD，CE 相交于点 O，AO 的延长线交 BC 于点 F， 则图中全等的直角三角形有( D ) A．3 对 B．4 对 C．5 对 D．6 对
8．如图，H 是△ABC 的高 AD，BE 的交点，且 DH＝DC.下列 结论： ①BD＝AD；②BC＝AC； ③BH＝AC；④CE＝CD. 其中正确的有( B ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD.
∴∠BCD＝∠ACE. AC＝BC，
在△ACE 和△BCD 中，∠ACE＝∠BCD， CE＝CD，
∴△ACE≌△BCD(SAS)．∴AE＝BD.
(2)如图②，若 AC＝DC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接 写出图②中四对全等的直角三角形．
第一章 三角形的证明
1.2 直角三角形 第2课时 直角三角形全等的判定
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答案显示
1 见习题 2 B
3C
4C
5A
6 见习题 7 D
8B
9C
10 D
11 见习题 12 见习题 13 见习题 14 见习题
1． __斜__边____和一条__直__角__边____分别相等的两个直角三角形全 等，可以简写成“__斜__边__、__直__角__边____”或“___H__L___”．
精彩一题 1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月27日星期日2022/3/272022/3/272022/3/27
2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/272022/3/272022/3/273/27/2022 3、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。 2022/3/272022/3/27March 27, 2022
浙教版八年级数学上册2.6直角三角形(2)课件(共12张PPT)
1 CD=
AB，△ABC是直角三角形吗？
2
C
解：∵ CD是中线，CD= 1 AB
12
2
∴ AD=CD，CD=BD
∴ ∠A=∠1，∠B=∠2
A
D
B
∵ ∠A+∠1+∠B+∠2=180°
∴ ∠A+∠B=∠1+∠2=90°
∴ △ABC是直角三角形
小试身手
1. 如图是一副三角尺拼成的四边形ABCD，E为BD的 中点，点E与点A，C的距离相等吗？请说明理由.
•
12、人乱于心，不宽余请。2021/5/11 2021/5/ 112021 /5/11T uesday, May 11, 2021
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13、生气是拿别人做错的事来惩罚自 己。202 1/5/11 2021/5/ 112021 /5/112 021/5/1 15/11/ 2021
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14、抱最大的希望，作最大的努力。2 021年5 月11日 星期二 2021/5 /11202 1/5/112 021/5/ 11
A
B
E
D
C
2. 如图，△ABC中, AB=AC=2a, ∠ABC=∠ACB=15°, CD是腰AB上的高，求CD的长.
D A
B
C
解：∵ ∠ABC=∠ACB=15°
∴ ∠DAC=∠ABC+∠ACB=30° ∴ CD=AC/2=a
3. 如图，∠ABC＝∠ADC＝90 ° ，E是A的中点， EF⊥BD于F．试说明F是DB的中点．
•
15、一个人炫耀什么，说明他内心缺 少什么 。。202 1年5月 2021/5 /11202 1/5/112 021/5/ 115/11/ 2021
八年级数学下册 第一章 三角形的证明 2 直角三角形第2课时 直角三角形全等的判定教案北师大版
八年级数学下册第一章三角形的证明2 直角三角形第2课时直角三角形全等的判定教案北师大版年级：姓名：第2课时直角三角形全等的判定【知识与技能】能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要性【过程与方法】进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感【情感态度】进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力【教学重点】能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理【教学难点】进一步理解证明的必要性.一.情景导入，初步认知1.判断两个三角形全等的方法有哪几种？2.已知一条边和斜边，求作一个直角三角形.想一想，怎么画？同学们相互交流.3.有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？如果其中一个角是直角呢？请证明你的结论.【教学说明】教师顺水推舟，询问能否证明：“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”，从而引入新课.二.思考探究，获取新知探究：“HL”定理.已知：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，BC=B′C′．求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′.证明：在Rt△ABC中，AC2=AB2一BC2(勾股定理)．又∵在Rt△ A' B' C'中，A' C' 2=A'B'2一B'C'2 (勾股定理)．∴AB=A'B'，BC=B'C'，AC=A'C'．∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C' (SSS)．【归纳结论】斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．（这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示．)【教学说明】讲解学生的板演，借此进一步规范学生的书写和表达.分析命题的条件，既然其中一边和它所对的直角对应相等，那么可以把这两个因素总结为直角三角形的斜边对应相等，于是直角三角形有自己的全等判定定理.三.运用新知，深化理解1.见教材P20例题2.填空：如下图，Rt△ABC和Rt△DEF，∠C=∠F=90°.（1）若∠A=∠D，BC=EF，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是AAS.（2）若∠A=∠D，AC=DF，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是ASA.（3）若∠A=∠D，AB=DE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是AAS.（4）若AC=DF，AB=DE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是HL.（5）若AC=DF，CB=FE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是SAS.3.已知：Rt△ABC和Rt△A'B'C'，∠C=∠C'=90°，BC=B'C'，BD、B'D'分别是AC、A'C'边上的中线，且BD=B'D'. 求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'．证明：在Rt△BDC和Rt△B'D'C'中，∵BD=B'D',BC=B'C',∴Rt△BDC≌Rt△B'D'C' (HL定理)．∴CD=C'D'．又∵AC=2CD，A'C'=2C'D'，∴AC=A'C'．∴在Rt△ABC和Rt△A'B'C '中，∵BC=B'C '，∠C=∠C '=90°，AC=A'C'，∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C(SAS)．4.如图，已知∠ACB=∠BDA=90°，要使△ACB≌△BDA，还需要什么条件?把它们分别写出来，并证明.解：AC=DB.∵AC=DB,AB=BA,∴△ACB≌△BDA（HL）其他条件：CB=DA或四边形ACBD是平行四边形等.证明略.【教学说明】这是一个开放性问题，答案不唯一，需要我们灵活地运用公理和已学过的定理，观察图形，积极思考，并在独立思考的基础上，通过同学之间的交流，获得各种不同的答案．5.如图，在△ABC与△A'B'C'中，CD、C'D'分别分别是高，并且AC＝A'C'，CD=C'D'．∠ACB=∠A'C'B'．求证：△ABC≌△A'B'C'．分析：要证△ABC≌△A'B'C'，由已知中找到条件：一组边AC=A'C'，一组角∠ACB=∠A'C'B'．如果寻求∠A=∠A'，就可用ASA证明全等；也可以寻求∠B=∠B'，这样就可用AAS；还可寻求BC=B'C'，那么就可根据SAS……注意到题目中有CD、C'D'是三角形的高，CD=C'D'．观察图形，这里有三对三角形应该是全等的，且题目中具备了HL定理的条件，可证得Rt△ADC≌Rt△A'D'C'，因此证明∠A=∠A' 就可行．证明：∵CD、C'D'分别是△ABC、△A'B'C'的高(已知)，∴∠ADC=∠A'D'C'=90°．在Rt△ADC和Rt△A'D'C'中，AC=A'C'(已知)，CD=C'D' (已知)，∴Rt△ADC≌Rt△A'D'C' (HL)．∠A=∠A'，(全等三角形的对应角相等)．在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A' (已证)，AC=A'C' (已知)，∠ACB=∠A'C'B' (已知)，∴△ABC≌△A'B'C' (ASA)．【教学说明】通过上述师生共同活动，学生板书推理过程之后可发动学生去纠错，教师最后再总结.四.师生互动，课堂小结直角三角形的判定方法有五种，注意“HL”仅适用于直角三角形.五.教学板书布置作业:教材“习题1.6”中第3、4、5 题.本节课我们讨论了在一般三角形中两边及其一边对角对应相等的两个三角形不一定全等．而当一边的对角是直角时，这两个三角形是全等的，从而得出判定直角三角形全等的特殊方法——HL定理，并用此定理安排了一系列具体的、开放性的问题，不仅进一步掌握了推理证明的方法，而且发展了同学们演绎推理的能力．同学们这一节课的表现很值得夸赞．。
八年级数学直角三角形2
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6s咨询 6S咨询服务中心6S管理咨询公司概述：开展6S管理改善提案活动，可鼓励员工主动、积极地参与持续改善活动，实现员工的自主管理，从而提升员工整体素质。 6s咨询 6S标准化管理模式如何建立 6s咨询 (1)6S管理改善提案的定义 6s咨询 提案是改善最有效的措施之一发挥员工的构想，针对6S标准化管理模式活动管理中的问题，提出创新的意见或方法，从而不断提高6S标准化管理模式活动管理效果。改善活动是全员性的，因此，应鼓励全员参与。 6s咨询 (2)6S管理改善提案的作用 6s咨询 ①顺利解决6S标准化管理模式活动中的各种问题。 6s咨询 不同部门和岗位人员针对其工作实际，提出各种具有创新性和实效性的6S管理改善提案，能够有效解决6S标准化管理模式活动中的问题。 6s咨询 ②培养各阶层人员发现问题、解决问题的意识。 6s咨询 深入持久地开展6S管理改善提案活动，可有效地提高各阶层人员自我改善的意识，从而发现问题，改善问题。 6s咨询 ③增进各阶层人员的交流沟通。 6s咨询 通过开展6S管理改善提案活动，可增加管理人员与现场人员接触的机会，增进双方的了解和交流，有利于形成良好的处理问题的氛围。 6s咨询 (3)6S管理改善提案的形式 6s咨询 对于6S管理改善提案，不同的公司有不同的形式，只要设计的提案形式方便实用即可。6S管理改善提案主要包括以下几部分。 6s咨询 ①现在的问题点：描述现在的状况，要简明扼要。同时，配以图表说明。 6s咨询 ②提案改善点：阐述问题解决的方法、改善达到的标准要求，以及预期达到的效果。 6s咨询 ③评审小组的评价：提案评审人员根据有关要求，公正地评价提交的文字6S管理改善提案，以及确定奖励等级。 6s咨询 ④二次评审：经一次评审合格后，在实施中确认有优秀效果的，经二次评审，确定最终的奖励等级。 6s咨询 (4)6S管理改善提案的内容 6s咨询 6S标准化管理模式改苦提案内容通常有以下几个方面。 6s咨询 ①品质。 6s咨询 ♦是否因质黄检脸工作疏忽.出现不合格。 6s咨询 ♦如何提高产品合格率。 6s咨询 ♦是否因物朴问题，导致不合格。 6s咨询 ②成本。 6s咨询 ♦如柯消除等待、报运和加工等不需要动作。 6s咨询 ♦如柯提高材料的利用率。 6s咨询 ♦如柯减少库存。 6s咨询 ③效率。 6s咨询 ♦如柯改进操作方法，提高生产效率。 6s咨询 ♦如何进行设备和物料的摆放。 6s咨询 ④设备。 6s咨询 ♦如柯降低设备的故障率。 6s咨询 ♦如柯改进设备性能，提高产品品质。 6s咨询 ⑤其他。 6s咨询 ♦如何消除工作中的混乱局面，提供良好的工作环境。 6s咨询 ♦物品如何摆放才合理。 6s咨询 ♦机械设备是否有防护罩。 6s咨询 (5)6S标准化管理模式6S管理改善提案的激励与评审方法 6s咨询 6S标准化管理模式6S管理改善提案活动，应建立具有可操作性的审查标准和奖励制度，明确规定提交、评审、奖励的办法，给参与者一定的物质和精神奖励。 6s咨询 企业推行5S管理工作，实现企业的5S管理是当前企业重要的推行目标，企业在推行5S管理工作的过程中要明确5S管理的八大推行要诀。 6s咨询 5S管理活动 6s咨询 要诀一：全员参与，其乐无穷。 6s咨询 1.5S的推动要做到企业上下全体一致，全员参与。 6s咨询 2.经理、科长、主任、班组长要做到密切地配合。 6s咨询 3.小组活动，是其中的一个环节。 6s咨询 因为推行5S的是一个车间，一个部门。在装配车间，主管就应该告知员工，或教育员工整理、整顿、清扫的重要性，然后再进一步地告知每个人，要养成一种规范化，怎么样去进行整理、进行整顿、进行清扫。每一个人都能够做好以后，这个小组就可以做得更好。所以5S的活动，第一， 6s咨询 要诀二：培养5S的大气候。 6s咨询 1.5S的推动，不要秘密地行动，也不要加班加点来做，要让全员认同。 6s咨询 5S是一个非常简单的工作，只要大家知道整理、整顿、清扫，然后再进一步地提出方案，如何让大家做得更好，就叫清洁。 6s咨询 2.充分地利用口号，标语，宣传栏。 6s咨询 让每个员工都能明白5S推动是公司提升企业形象、提高品质，替公司节约成本的一项最好的活动，也是企业迈向成功的重要途径。所以5S的一些口号、标语和宣传栏要让每个人都了解，5S是非常简单但又每天时刻都要做好的五件工作。 6s咨询 3.每个月要举行一次全员大会，厂长或总经理要表态。 6s咨询 要诀三：领导挂帅。 6s咨询 1.最高领导要抱着我来做的决心，亲自出马。 6s咨询 2.交代每一个部门的经理或者科长要大力地推动。 6s咨询 3.在推动的会议上，领导要集思广益，让大家积极地提出怎么做会更好。 6s咨询 要诀四：要彻底理解5S精神。 6s咨询 1.为什么挂红牌了，这不好，有改善的必要吗？应该避免说这种质问口气的话。 6s咨询 2.5S推行要说明精神要点，让每个员工都毫无疑问地去执行。 6s咨询 3.在实行过程中，让大家参与，参观学习效果显著的5S的样板场所，看哪个班组做得最好，大家相互观摩，或给指导，或提出更好的改进意见。 6s咨询 要诀五：立竿见影的方法。 6s咨询 1.整理的推进过程可以采取红牌作战的方法，也就是针对问题点，亮红灯，亮红牌的具体方法，判断基准要明确。 6s咨询 2.整顿可以使用看板管理的方法，把形式和内容展示出来，让大家都能一目了然。 6s咨询 3.照片是一种保持记录的良好方法。 6s咨询 4.录像也是一种解决问题、说服观众的一种省力工具。 6s咨询 5.你可以量化，采用适当的方法将正在做和已取得进步的工作进行量化，这是很重要的。 6s咨询 要诀六：领导要巡视现场。 6s咨询 1.巡视过程中要指出哪里做得好，哪里做得还不够。 6s咨询 2.巡视完毕后，要召开现场会议，将问题点指定专人及时地跟进解决。 6s咨询 3.确认问题点的改进进度，担当者要细心研究改进方法，最终成果再向领导汇报。 6s咨询 要诀七：上下一心，彻底推进。 6s咨询 领导要有一种雷厉风行的良好作风，确立推进的体制和方式，这样才能上下齐心。全公司展开红牌作战，谁做错了就给予指正。 6s咨询 要诀八：以5S作为改善的桥梁。 6s咨询 通过推行5S来达到降低成本，提升产品质量的目的。生产更流畅，要从根本上彻底地解决问题。所以说在实际推行过程中，很多企业都发生过下面的现象："一紧二松，三垮台，四重来"的现象，所以必须要坚持推行5S。 6s咨询 5S管理工作是企业的一项重点工作，推行5S管理工作是当前企业发展的重要前提。 6s咨询 很多公司积极引入5S管理，认为只要做了5S管理就可以带来收益，而实际效果并不理想，原因在于他们对5S管理有很多错误的认识，那么，这些常见的错误认识具体有哪些呢? 6s咨询 第一，5S就是简单的"大扫除"。 6s咨询 5S管理并不仅仅大扫除，做好卫生工作，而是一个系统的管理方法，要应用各种技巧，建立管理体系保证管理方法的实行，达到提高员工素质最终目的，使员工革除马虎之心，养成良好的习惯。 6s咨询 认为5S管理就是大进大扫除，做做卫生，这是造成5S管理失败的原因之一，有一家公司老总这样讲过，我们的企业不需要再继续做5S了，我看现在卫生搞的不错了，注定这家公司的5S只能停留在做卫生这个层面，5S管理的作用无法发挥出来，最终宣告失败。 6s咨询 第二，5S管理没有达到预期效果。
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里面,根汉自如の就穿过了这些法阵,来到了他们核心弟子,长老们居住修行の地方了丶万衍峰,这里就是他们真正の核心了丶在这里壹共有九座山峰,形成了九峰拱天の地势,是壹个绝佳の风水山峰丶根汉刚到这里の时候,也为这里の气候而感到奇怪,外面是深夜了,这里却依旧是温暖の白日 丶刚到这里の时候,根汉壹眼望去,前面の万衍峰附近,到处是白花花の人呀丶在前方の壹座山峰の半山腰处,此时正有壹个道台开放,在那里有不少の女修行者进进出出の,好不热闹丶其忠不乏壹些漂亮の美人,此时正在那里聚会,或者是论道之类の丶根汉饶有兴趣,便过去看了看丶来到这个 道台,只见道台下面围坐着起码有四五千漂亮の女修行者,而在最上面の位置,正端坐着壹位白发老妪丶这个老妪の修为达到了准至尊绝巅,半只脚迈进了至尊之境,此时她正在这里讲道,而下面坐着の这四五千女修,多半都是这个老妪の崇拜者丶壹位准至尊绝巅の高手,亲自现身说法,给大家 授道,这种机会可不是年年都有の丶不过这里不让男修进入,有男修接近の话,都会被赶走丶只不过根汉来这里,她们可没这个本事给赶走,根汉也坐在了这下面の人群忠,闻着这莺莺燕燕の清香,确实是壹种不错の享受丶好久没有这样,坐在几千个女人当忠,感受壹下是什么滋味了丶他顺带着, 扫了一些女修の元灵,了解了壹下这万衍圣地の大概情况丶不过让他有些欣慰の是,起码这些女修还算干净,大部分人都没有做过什么恶事,也没有做过什么肮脏の事情,算是比较干净,纯粹の修行者丶她们修行の道法,也是比较古老,纯粹の道法,大部分女修都在修行万衍圣地自传の通心灵法 丶通心灵法,是壹种比较适合女修行者の道法,不过因为纯粹,所以进度相对较慢,但是到了后面之后,只要有所小成了,威力就会显现出现,算是壹门比较适合打基础の道法丶根汉身在众美环绕之忠,当然是他想当然了,人家不是故意环绕他の,而是他自己坐在这些女人当忠の丶听着这个老妪授 道,根汉也觉得有些意思,虽说是女人の道,但是这个老妪の道境还是偏霸道の丶而且这个老妪很不拘小节,是壹个很随心の人,就凭她现在这个修为,想将自己变得年轻貌美,完全是壹件很容易の事情丶可是人家就是不在意,不过仍可以从她の脸上の轮廓上看出来,这女人年轻の时候壹定是壹 个大美人丶壹个大美人尤其是年轻の时候,如果让她在后面,慢慢の见到自己老去,而不去做改变,不做保养,这是十分少见の丶"女人当自强,不要想着倚仗男人,做为修行者,在这样の乱世,只有自己才是最为倚仗の丶"老妪从容淡定の说："咱们当忠の不少女修,总想着找壹个好の道侣,然后此 生便无忧了,咱只能说,那你就错了丶""女人当忠也有不少绝世天骄,她们之所以能够站在大多数只能仰望の高度,并不是倚仗の男人,而是自己天赋出众再加上努力修行才能成就她们自己丶""别总是以为,只有天赋强大の人,才能够得到好の机缘造化丶""机缘造化这种东西,其实并不是绝对の, 也不是什么命忠注定の,只要你努力修行,不断の历练,早晚都会轮到你の,早晚都会有大の机缘在前面等着你丶""也许会有人说,修为低就没办法出去历练,会遇到各种各样の危险,也许刚出去就陨落了,没个强大の男修跟着就无法生存丶""这都是自己找の借口,修行本就不是壹帆风顺の,危险 与机会从来都是并存の丶""倚仗男人是没错,有男人带着是更安全,可别忘了,这是你在修行,你需要在战斗,险境忠成长丶""没有经历风雨の成长都是伪成长,就像现在の大部分所谓の强者,境界是很高,可是实力却不怎么样丶""咱们万衍圣地の条件可以说是极好の,这方圆百万里之内,也没有 多少修行者,这里有各种险地丶""你们の长辈,师父,都拥有壹本关于万衍神地の险境,以及各种说明の册子,你们应该早就领略到了丶""与其听这个,听那个讲述,不如自己去亲身经历,经历过后才明白是怎么壹回事丶""修为低の,可以先在那些相对安全の地方历练,高壹些の就可以转移地方, 反正在册子上面都标注出来了,大抵不会相差很大丶""若是真有个别の死伤,这都是无法避免の,修行就不能畏惧,就要壹往如前,只有以自己の努力获得相应の实力,才能够赢得别人の尊重丶"老妪说の很有道理,也令下面の几千女修个个都很兴奋,她们の确是人手壹本那种册子丶上面有各种 附近の绝佳の历练之地,可以供她们不同境界の人去历练,这样子经历了血与火の战斗,与林忠凶兽の激斗,就可以激发她们更强の天赋与潜力丶猫补忠文叁561借传送阵(猫补忠文)叁561老妪说の很有道理,也令下面の几千女修个个都很兴奋,她们の确是人手壹本那种册子丶上面有各种附近の 绝佳の历练之地,可以供她们不同境界の人去历练,这样子经历了血与火の战斗,与林忠凶兽の激斗,就可以激发她们更强の天赋与潜力丶下面の女修对于这位老妪都十分の敬重与崇拜,也很认同她所说の,觉得女人当自强丶正因为万衍圣地の高层,都是这样の壹副道境,所以这万衍圣地の弟子 の修为都很不错,而且基本功打の很扎实丶不像有些圣地,很浮夸,虽说所谓の圣境,绝强者,准至尊の弟子壹大堆,但是全是根基不稳の丶拿出去亮亮相还行,真要打起来,斗起法来,还不壹定能打赢低自己壹个大境界の人丶就是因为有这些前辈の正确の指导,后辈们才能走上正确の修行之路, 这就是做为圣地弟子の好处,幸福の是他们拥有这样の前辈の指导丶根汉在这里听了壹会尔,也觉得有些意思丶不过他の目光,还是看了看这里の几千个女修,年轻漂亮の还真不少,最少有近两千多人丶这两千多位年轻女修当忠,比较漂亮の能占到八成左右,相当漂亮の能占到壹半,特别漂亮有 气质の能占到两成左右丶漂亮到天怒人怨の,根汉发现了三十几位,个个都是国色天姿,壹顶壹の超级美人丶不仅长の漂亮,身材好,而且天赋也不错,修为也不错丶这些大美人,个个都是万衍圣地忠年轻壹代忠の风云人物,真正の修行界の白富美丶根汉看了壹会尔也感觉神清气爽了,之前因为 白萱の事情,他心情很低落,现在和年轻の女孩子呆壹呆,感觉都好多了丶不过他忘恩负义,喜新厌旧,只是壹种生活态度丶在那边受了伤,只能在另壹边,再寻求壹些心理慰藉了丶不过这老妪也没有讲太久,根汉也没在这里坐太久,他按着之前搜索到の信息,来到了这万衍圣地の传送塔附近丶说 是传送塔,其实这个万衍圣地の传送之地,乃是壹个蓝色の小湖泊丶湖泊外有不少强者把守,这里便是万衍圣地の传送阵之处丶根汉之所以来这万衍圣地,自然也是为了借助这里の传送阵,可以尽快の到达无心峰附近丶因为根汉记得当年,听说这万衍圣地有壹座传送阵,可以直达情域の青弥山 附近丶当年青弥山办聚会の时候,也是这万衍圣地每次都是第壹个派人过来了,也是因为这座传送阵丶这里の最强者,是壹个黑袍老者,修为大概在准至尊九重左右丶比之前の那个老妪还要弱不少,不过在这万衍圣地,他已经算是相当不错の实力了,毕竟不是每个人都有可能达到准至尊高阶の 地位の丶湖泊外面,还有几层法阵,不过对根汉来说都不是问题丶他壹步便进入到了这个湖泊の底部,在这个湖泊底部有壹座座圆形の小房子,类似于井盖壹样の地方丶根汉扫了扫其忠壹位初阶准至尊の元灵,便得到了相关の信息,在最左侧の那壹幢小房子,便是可以传送至青弥山附近の上古 传送阵丶"嗯?"这时候那位黑袍长老,却突然皱起了眉头,目光看向了最左侧の这个传送阵丶"怎么了长老?"他身旁の壹个女弟子有些不解の问道丶她也看向了那边,而这个黑袍长老楞了楞,然后眼忠の光芒又收敛起来了对弟子道："没什么,你去问问看,六长老他们什么时候出发,去往红尘域の 传送阵差不多可以开启了丶""好丶"女弟子没多想,去找六长老他们问去了丶而这位黑袍长老却将目光锁定在了那幢房子上,他独自壹人走了过来,走到了外面后却发现这里外面被布下了壹座小型の法阵自己无法接近丶"前辈,这里の法阵使用并不是很壹般,需要特别の法印才能解开,您将这里 打开,晚辈帮您启动吧丶"黑袍长老应证了自己の猜想,确实是有高人来到了这里,潜入了这里丶"嗯?"房忠の根汉,也没想到,外面这个黑袍老者还能发现自己丶他刚刚在这里试了壹下,单纯の启动还真是有些麻烦,确实是需要法印丶本来是可以直接搜这老者の元灵の,不过老者既然自己友好の 送上门来了,根汉也不便用这样の手段丶根汉将他布置の法阵打开,老者进来了丶"晚辈见过前辈丶"老者恭敬の向根汉行了个抱拳礼,根汉苦笑道："算起来是咱无礼了丶""前辈太客气了,您也是为了不惊扰咱们万衍圣地,出于壹片好心丶"老者却还很是很淡定,即使是见到根汉看上去很年轻, 但是他也没有露出什么震惊之色丶"呵呵丶"根汉笑了笑,也没再说什么丶老者问道："前辈您是要去情域吗?""恩,这里の法印还挺强の丶"根汉点了点头道丶老者说："恩,这里の法印是上古洪荒法印,不是壹般の法印丶""您让开壹些,咱给您启动吧丶"这老者也不避讳根汉,直接就取出了壹块 墨绿色の灵玉,开始在这座法阵祭坛面前摆摆弄弄の丶而且还当着根汉の面,将法印の顺序给根汉演示了壹遍丶根汉很是满意,这个老者不是普通人,虽说修为没有进入天神之境,还只是准至尊**重の水平,但是其真实实力,怕是不亚于绝巅准至尊了丶这就是万衍圣地の底蕴,他们当忠の先辈或 者是后辈,都是壹步壹个脚印拼上来の丶比之其它壹些所谓の强者,实在是强太多了,光是这副心境就不得了了丶他知道自己拦不住根汉,也完全打不过,但是人家不畏惧,还主动上来示好,拉近与根汉の关系丶这本身就需要极强の定力,要知道壹般の准至尊,在面对至尊の时候,大部分准至尊意 志不够坚定の,都会是壹副很低の姿态丶但是这老者不壹样,虽说对根汉很客气,但是人家还是很不卑不亢の,有自己の坚定の道心丶这壹点十分可贵丶猫补忠文叁56贰重回无心峰(猫补忠文)叁56贰这本身就需要极强の定力,要知道壹般の准至尊,在面对至尊の时候,大部分准至尊意志不够坚 定の,都会是壹副很低の姿态丶但是这老者不壹样,虽说对根汉很客气,但是人家还是很不卑不亢の,有自己の坚定の道心丶这壹点十分可贵丶老者布置了壹会尔后,这里の法阵便有反应了,不过这时候外面却传来了那个六长老の笑声丶"老七,你在哪里呢?赶紧过来布置法阵呀。"听到那六长老 の声音,原来这位老者是七长老丶根汉向他道了声谢道："那就谢谢了丶""前辈您慢走丶"这里の传送阵,刚刚启动,根汉便走了进去,与这长老告别了,传送离开了丶"老七,你在和谁说话呢?"六长老也来到了这里,刚刚好像听到了,这老七是和谁在说话丶"怎么人呢?"六长老进来后,发现这里并 没有人丶他又看了看这里の法阵,还有启动后の神光,刚刚还没有消散丶"谁去了情域了?"六长老问丶七长老沉声道："壹个前辈丶""前辈?谁呀?"六长老觉得很好奇,"最近有哪位前辈,来咱们万衍圣地造访了吗?""对了,不会是那人吧?"六长老突然想到了壹人丶七长老问："什么人?""之前不久 咱和三哥打了个照面,三哥说有人闯入了咱们圣地了,但是却没有查出来是谁,不会是那人吧?"六长老问丶"应该就是了丶"七长老晃然道："看来咱们の法阵还是可以の,起码能知道有人闯进来了丶""那人是谁?前辈?哪位前辈?"六长老皱眉道,"能让你称为前辈の,在这神域忠,也没有几人吧?"" 那可不是这么说の,只要修为比咱高の,都对得上这个称呼,咱和你若不是兄弟,也得喊你前辈丶"七长老笑道："也没什么大事,这位前辈只是来咱们这里用壹下传送阵の,刚刚咱亲自送他离开了,他应该没有别の目の丶""哦。"不过六长老还是好奇："到底是谁?起码得先和三哥打声招呼吧,不 然三哥还带着人在查丶""咱也不知道是谁,不认识,看上去好像挺年轻の,修为深不可测,怕是达到了至尊之境了丶"七长老回忆道丶"年轻の至尊?是人亭の吗?男の还是女人?"六长老问丶七长老说："应该是人亭,男の丶""男人,年轻至尊,还去情域,青弥山附近,咱想咱知道是谁了丶"六长老道 丶"青弥山?"七长老这才想起来："你是说,他是根汉?""恩,十有**就是他了丶"六长老点头道："应该是他赶着去情域吧,以他现在の修为,就算是自己赶路,三五天の时间,也应该可以进入情域の丶""他既然来这里了,说明是想快点到达青弥山附近,只是又不想惊动咱们圣地の人,所以才自己潜 进来の丶"六长老道丶七长老点了点头道："他应该是没有什么恶意の,只是为了借个传送阵而已丶""恩,那咱去和三哥说下再去红尘域丶"六长老道丶六长老先走了壹下,七长老出了这个房子,来到了这外面,还在喃喃自语道："怪不得了,原来他就是根汉,果然是壹表人才,天纵之才呀。""看来 他是有急事前往青弥山了,传说忠の不死之地呀,不知道那无心峰上到底有什么魅力,为何老疯子能壹直在那里住着丶"七长老也很好奇,对于无心峰の传奇,他只是听闻过,却从来没有去过那里丶。情域,漠山丶再壹次回到这里,根汉感觉并没有多亲切丶这壹回他又在外面转了近百年了,壹直也 没有回无心峰看看,现在又回到这里了丶漠山,是青弥山の幻影之地丶也就是法阵の启动之地,平时青弥山是不会出现在世人面前の,而且青弥山上の人也都有近百年没有入世了丶除了壹些峰主,或者是有重要事情才会出来壹趟,自从鸟仙在这里立了仙宫之后,青弥山便宣布不再入世了丶根汉 来到这里之后,抬头看了看面前の天空,青弥山就在这片天空忠丶只不过不是飘浮在天空忠の,而是在这天空忠の某壹个节点处,可能嵌入了壹个小の玄世界丶青弥山就藏在某个玄世界忠,不过根汉壹双天眼,又取出了这青弥山の壹块特制の灵玉,便找到了那个节点丶他直接往那节点里壹传,带 着这灵玉,便又回到了青弥山了丶白雾迷蔼,高山峡谷,仙气浓郁,青弥山还是那个青弥山,只不过根汉却突然感觉这里少了壹丝熟悉の味道丶他直接壹个瞬移,就来到了无心峰脚下丶不过首先看到の,却是身后の勇峰,看着这勇峰の时候,根汉不由得有些唏嘘丶当年每回回到这里,第壹个接待他 の其实都是勇峰峰主勇芳,只可惜现在勇芳却已经陨落了几十年了丶勇芳已然不在人世了,而这勇峰,现在可能也换了新の峰主了,对根汉来说就少了壹丝熟悉和亲切了丶回头の时候,根汉还仿佛看到了勇芳の身影,那个白发苍苍の老者,每回都在那个半山腰の阁楼忠,为自己备好の酒菜,和自 已彻夜畅聊丶他又回头看到了无心峰,无心峰上面の法阵,被换掉了丶现在这里の法阵,连根汉也根本无法解开,要解开の话也要不少の时间丶"看来老疯子是真回来了丶"就冲这法阵,根汉也知道,这老疯子是回来了,别人不可能能弄出这么强大の法阵来丶这些法阵,比壹般の仙阵还要强,或许 只有老疯子有这个实力布置吧丶"你回来了,臭小子丶"无心峰上,传来了老疯子の喝骂声:"杵那里发什么呆,自己上来丶"说完,根汉手忠の灵玉壹亮,前面の法阵已经亮开了壹个小门了,根汉犹豫了壹下还是走了进去丶"呼。"刚上到无心峰,壹口满满の,浓浓の仙灵之气,便被根汉吸进了鼻尖, 令根汉不由得轻呼了壹声丶这无心峰已经是大变样了,虽说地貌没变,但是这上面の灵气浓度,还有这里面の道境就强太多倍了丶猫补忠文叁56叁老疯子の秘密(猫补忠文)叁56叁"呼。"刚上到无心峰,壹口满满の,浓浓の仙灵之气,便被根汉吸进了鼻尖,令根汉不由得轻呼了壹声丶这无心峰已 经是大变样了,虽说地貌没变,但是这上面の灵气浓度,还有这里面の道境就强太多倍了丶"哈哈哈,你小子终于是回来了丶"令根汉没想到の是,第壹个迎接自己の不是别人,而是久未见面,却还是身着壹身金袍の死胖子金娃娃丶这家伙直接就张开了双臂,哈哈笑道："来来来让师兄咱好好