八年级数学直角三角形全等的判定
人教版八年级上册数学直角三角形全等的判定
D C
A
B
E F
CE=BF. 求证：AE=DF.
C
D
FE
A
B
变式训练
如图：AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD. 求证：BC=AD.
DO
C
A
B
自我测评
如图，AC=AD，∠C，∠D是直角， 求证： BC=BD
C
A
B
D
变式训练
1.如图所示，△ABC中，AB＝AC， AD⊥BC于点D. 求证：∠1＝∠2.
实际应用
如图，C是路段AB的中点，两人从C同时出发， 以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到 达D，E两地，DA⊥AB，EB⊥AB，D、E与路 段AB的距离相等吗？为什么？
实际问题 数学问题
D
求证：ＤＡ＝ＥＢ
A
E C
B
能力提升
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，D是BC
的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，
F.则图中全等三角形共有（ ）
A.2对
B.3对
C.4对
D.5对
本节课你有哪些收获？
作业
1. 课本44页6，7，8题。 2.如图，已知AD，AF分别是两个钝角三角形的 高，若AD=AF,AC=AE,求证：BC=BE.
AAS SAS
A
D
B
CF
E
思考:若AB＝DE，AC＝DF, △ABC与△DEF全等吗？
A
D
B
CF
E
互动探究 A
任意画出一个Rt△ABC,∠B=90°。
再画一个Rt△A´B´C´，使得 ∠B´= 90°， B´C´=BC，A´C´= AC。
∟
C
Bபைடு நூலகம்
八年级上册数学教案《直角三角形全等的判定》
八年级上册数学教案《直角三角形全等的判定》学情分析本节课是在学生已经会用多种方法判定任意两个三角形全等的基础上，进一步学习判定两个直角三角形全等的简便方法——斜边、直角边。
通过探索直角三角形全等的条件，并用这些结果解决一些实际问题，来提高我们用数学解决实际问题的灵活性和能力。
由于这是第一次涉及特殊三角形的特殊性，为后续学习特殊三角形作准备。
教学目的1、掌握“斜边”“直角边”作直角三角形。
2、探究并掌握利用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等。
3、能恰当利用“HL”解决简单问题。
教学重点1、掌握判定两个直角三角形全等的特殊方法HL。
2、灵活运用直角三角形的判定方法解决问题。
教学难点用“HL”来确定两个三角形全等的条件及证明的书写格式。
教学方法讨论法、谈话法、讲授法、演示法、实验法教学过程一、温习回顾目前我们学过的证明三角形全等的方法有哪些？边边边、边角边、角边角。
二、学习新知1、思考对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，这两个直角三角形就全等了？由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足：一直角边及其相对（或相邻）的锐角分别相等斜边和一锐角分别相等。
两直角边分别相等。
这两个直角三角形就全等了。
2、如果满足斜边和一条直角边分别相等，这两个直角三角形全等吗？探究：任意画出一个Rt△ABC，使∠C = 90°，再画一个Rt△A′B′C′，使∠C′ = 90°，B′C′ = BC，A′B′ = AB，把画好的Rt△A′B′C′剪下来，放到Rt△ABC上，它们全等吗？画一个Rt△A′B′C′，使∠C′ = 90°，B′C′ = BC，A′B′ = AB：（1）画∠MC′N =90°（2）在射线C′M上截取B′C′ = BC；（3）以点B′为圆心，AB长为半径画弧，交射线C′N于点A′；（4）连接A′B′。
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。
2.8 直角三角形全等的判定八年级上册数学浙教版
注意：“HL”只能判定两个直角三角形全等，因此在依据此定理书写证明过程时，要突出直角三角形这个条件，且必须是斜边和一条直角边对应相等.
典例1（2022·杭州拱墅区期中）如图， ， ， ，要根据“HL”证明 ，则还要添加一个条件是( )
第2章 特殊三角形
2.8 直角三角形全等的判定
学习目标
1.掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理.
2.掌握角平分线性质定理的逆定理.
3.能利用HL证明两个直角三角形全等.
知识点1 斜边、直角边定理（HL） 重点
判定定理
几何语言
图示
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写. D.
A
解析：添加的条件是 .理由： ， ， .在 和 中， .
知识点2 角平分线性质定理的逆定理 重点
角平分线性质定理的逆定理：角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.几何语言：如图， ， ， ， 平分 （或 ）.
注意 利用角平分线性质定理的逆定理证明点在角平分线上时，必须有“两垂直，一相等”这三个条件，缺一不可.
典例2 如图，已知 于点 ， 于点 ， , 相交于点 ，连结 ， .求证： 平分 .
证明：在 和 中，∵∴ ,∴ .又 , ,∴点 在 的平分线上，∴ 平分 .
八年级下册数学1.3-直角三角形全等的判定
（2）请将所画的三角形剪下，与同桌相互 对比，是否能重合？
试一试
请写出证明过程
结论：
有斜边和一条直角边对边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
B
∵∠C=∠C′=90°
∴在Rt△ABC和Rt△ABC 中 A AB=A B
C B′
BC=BC
C′
B′ C′ (HL) A ′ ∴Rt△ABC≌ Rt△A′
例题1 ：如图所示，BD,CE分别是△ABC的高,且BE=CD.
求证： Rt△BEC≌Rt△CDB
A
证明：BD,CE是△ABC的高
BEC CDB 90 在Rt△BEC和Rt△CDB中,
BC CB BE CD
复习提问
你知道的三角形全等判定方法有哪些？
• • • •
1.边边边 2.两边夹角 3.两角夹边 4.两角及对边
简称 简称 简称 简称
“SSS” “SAS” “ASA” “AAS”
引入提问
在直角三角形中，还有别的证 明全等的定理吗？
做一做
（1）请画一个Rt△ＡＢＣ，满足∠ＡＣＢ=90°， ＡＢ＝10cm，ＡＣ＝6cm.
灵活运用各种方法证明直角三角形全等
课本21面 习题1.3 A组 第1题 第2题
判断： 满足下列条件的两个三角形是否全等?为什么?
4.有两边对应相等的两个直角三角形全等.
情况1：全等 (SAS)
情况2：全等 ( HL)
课堂总结
一般三角 形全等的 判定
“SAS” “ ASA ” “ AAS ” “ SSS ”
直角三角 形全等的 判定
“ SAS ” “ ASA ” “ AAS ” “ SSS ” “ HL ”
八年级下册数学3直角三角形全等的判定
直角三角形全等的判定1. 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，记作“HL ”. 另外还有SAS,ASA,AAS,SSS 共五种。
2. 判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等？ ①一个锐角和这个锐角的对边对应相等：______________ ②一个锐角及和这个锐角相邻的一直角边对应相等：__________ ③一个锐角与一斜边对应相等：_________________ ④两直角边对应相等：______________________ ⑤两边相等：_____________________ ⑥两锐角对应相等：______________ ⑦一锐角和一边对应相等：_______________3.BC EF AC DF ABC DEF ∠∠如图，有两个长度相同的滑梯、，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，两个滑梯的倾斜角和的大小有怎样的关系？4.,,,AC CD BD CD AB EF AB E CD F AC FD ABF ⊥⊥=∆如图，，，的垂直平分线交于交于且求证：是等腰直角三角形。
5.,,,AB AE BC ED B E AF CD F CF DF ==∠=∠⊥=如图，，为垂足，求证：。
BE6.,,,,.ABC AD BC CE AB D E AD CE H AEH CEB ∆⊥⊥∆∆如图，在中，垂足分别为、、交于点请添加一个条件：使≌7.,,,,,,,,M A N ABC AB AC BM MN CN MN M N BM AN MN BM CN ∆=⊥⊥=如图，点在同一条直线上，为等腰三角形，垂足分别为、且试求与之间的数量关系。
8.,,,,AB AC BD AC D CD AB E BD CE F BAF CAF =⊥⊥∠∠如图，于点于点与相交于点与相等吗？9.,15,10,,A B km C D DA AB A CB AB B DA km CB km AB E C D E E A ⊥⊥==如图，铁路上、两站（视为直线上两点）相距25,、为铁路同旁的两个村庄，于点于点，现在要在铁路上建一个土特产产品收购站使、两村庄到站的距离相等，求站应建在离站多远处，并说明理由。
初二数学知识点之全等三角形五大判定方法
初二数学知识点之全等三角形五大判定方法一、边边边（SSS）学习全等三角形判定法则时，第一条就是边边边。
内容：它们的夹角分别相等的两个三角形全等。
理解：若给出三条线段的长度(满足三角形三边关系)，即可确定出的三角形形状，大小。
若给出三条线段长度AB=c，BC=a，AC=b，确定过程如下：①先确定一边AB；②分别以AB为圆心，分别做半径为b，a长的圆，交于C点；③最后连接AC，BC。
这样三角形的大小，形状就都被确定出来了。
二、边角边（SAS）内容：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。
理解：若确定两条公共端点线段的长度，及它们的夹角，即可确定出的三角形形状，大小。
若给出AB=c BC=a ∠B=α，确定过程如下：①画∠EAD=α；②在射线AE上截取AC=c，在射线AD上截取AB=c；③连接BC。
这样，三角形的.大小形状同样被确定了。
三、角边角（ASA）内容：两角和他们的夹边分别相等的两个三角形全等。
理解：若给出三角形的两个角的大小和它们的夹边的长度了，即可确定出的三角形形状，大小。
若有AB=c，∠CAB=α，∠CBA=β，确定过程如下：①先确定一边AB=c；②在AB同旁画∠DAB=α，∠EBA=β，AD，BE交于点C。
这样，三角形的大小形状同样被确定了。
四、角角边（AAS）内容：两边分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。
理解：若给出三角形的两个角的大小和其中一个角对边的长度了，即可确定出的三角形形状，大小。
若有AB=c，∠CAB=α，∠ACB=β，确定过程如下：由三角形的内角和为180度可得出剩下一角∠CBA的度数，这样，利用角边角的思路即可确定三角形形状大小。
相关定理：三角形内角和为180度五、斜边，直角边（HL）内容：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。
(HL)理解：若确定一个三角形为直角三角形，同时得到其一个直角边和斜边的长度，即可确定出三角形的形状大小。
若确定三角形为直角三角形，还得到其一直角边和斜边，则可勾股定理得出剩下一边，再通过SSS或SAS即可确定三角形形状大小。
八年级数学上册例题讲解辅导：直角三角形全等的判定
八年级数学上册例题讲解辅导：直角三角形全等的判定重点：掌握直角三角形全等的判定定理：斜边、直角边公理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)难点：创建全等条件与三角形中各定理联系解综合问题。
讲一讲例1：已知：如图△ABC中，BDperp;AC，CEperp;AB，BD、CE交于O点，且BD=CE求证：OB=OC.分析：欲证OB=OC可证明ang;1=ang;2，由已知发现，ang;1，ang;2均在直角三角形中，因此证明△BCE与△CBD 全等即可证明：∵CEperp;AB，BDperp;AC，则ang;BEC=ang;CDB=90deg;there4;在Rt△BCE与Rt△CBD中there4;Rt△BCE≌Rt△CBD(HL)there4;ang;1=ang;2，there4;OB=OC例2：已知：Rt△ABC中，ang;ACB是直角，D是AB上一点，BD=BC，过D作AB的垂线交AC于E，求证：CDperp;BE 分析：由已知可以得到△DBE与△BCE全等即可证明DE=EC又BD=BC，可知B、E在线段CD的中垂线上，故CDperp;BE。
证明：∵DEperp;ABthere4;ang;BDE=90deg;，∵ang;ACB=90deg;there4;在Rt△DEB中与Rt△CEB中BD=BCBE=BEthere4;Rt△DEB≌Rt△CEB(HL)there4;DE=EC又∵BD=BCthere4;E、B在CD的垂直平分线上即BEperp;CD.例3：已知△ABC中，CDperp;AB于D，过D作DEperp;AC，F为BC中点，过F作FGperp;DC求证：DG=EG。
分析：在Rt△DEC中，若能够证明G为DC中点则有DG=EG因此此题转化为证明DG与GC相等的问题，利用已知的众多条件可以通过直角三角形的全等得到。
证明：作FQperp;BD于Q，there4;ang;FQB=90deg;∵DEperp;ACthere4;ang;DEC=90deg;∵FGperp;CD CDperp;BD there4;BDFG，ang;BDC=ang;FGC=90deg;there4;QFCDthere4;QF=DG，there4;ang;B=ang;GFC∵F为BC中点there4;BF=FC在Rt△BQF与Rt△FGC中there4;△BQF≌△FGC(AAS)there4;QF=GC ∵QF=DG there4;DG=GCthere4;在Rt△DEC中，∵G为DC中点there4;DG=EG1.选择：(1)两个三角形的两条边及其中一条边的对角对应相等，则下列四个命题中，真命题的个数是( )个①这两个三角形全等; ②相等的角为锐角时全等③相等的角为钝角对全等; ④相等的角为直角时全等A.0B.1C.2D.3(2)在下列定理中假命题是( )A.一个等腰三角形必能分成两个全等的直角三角形B.一个直角三角形必能分成两个等腰三角形C.两个全等的直角三角形必能拼成一个等腰三角形D.两个等腰三角形必能拼成一个直角三角形(3)如图，Rt△ABC中，ang;B=90deg;，ang;ACB=60deg;，延长BC到D，使CD=AC则AC：BD=( )A.1：1B.3：1C.4：1D.2：3(4)如图，在Rt△ABC中，ang;ACB=90deg;，CD、CE，分别是斜边AB上的高与中线，CF是ang;ACB的平分线。
北师大版数学八年级下册《直角三角形全等的判定》教案1
北师大版数学八年级下册《直角三角形全等的判定》教案1一. 教材分析《直角三角形全等的判定》是北师大版数学八年级下册的一章内容。
本节课主要让学生掌握直角三角形全等的判定方法，并能够运用这些方法解决实际问题。
本节课的内容是学生学习几何知识的重要基础，对于培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力具有重要意义。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了三角形的基本概念、性质和判定方法。
他们具备了一定的逻辑思维能力和空间想象能力，能够理解和掌握新的知识。
但是，对于一些具体的全等判定方法，学生可能还不是很清楚，需要通过实例进行讲解和练习。
三. 教学目标1.让学生掌握直角三角形全等的判定方法。
2.培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。
3.培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
四. 教学重难点1.教学重点：直角三角形全等的判定方法。
2.教学难点：运用直角三角形全等判定方法解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、实例教学法和小组合作学习法。
通过提出问题，引导学生思考和探索，通过实例讲解和练习，让学生理解和掌握直角三角形全等的判定方法，通过小组合作学习，培养学生的合作精神和团队意识。
六. 教学准备准备相关的教学材料，如PPT、实例图片、练习题等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出问题，引导学生思考和探索直角三角形全等的判定方法。
例如，如何判断两个直角三角形是否全等？2.呈现（10分钟）通过实例讲解和练习，让学生理解和掌握直角三角形全等的判定方法。
例如，演示两个直角三角形全等的情况，让学生观察和分析，引导学生总结全等的条件。
3.操练（10分钟）让学生进行相关的练习题，巩固所学的直角三角形全等判定方法。
例如，给出两个直角三角形，让学生判断它们是否全等。
4.巩固（5分钟）通过小组合作学习，让学生运用直角三角形全等判定方法解决实际问题。
例如，给出一个实际问题，让学生分组讨论和解决。
5.拓展（5分钟）让学生思考和探索直角三角形全等判定方法的应用。
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