用函数观点看一元二次方程练习题
26.2用函数观点看一元二次方程_(2课时)
●请你把这节课你学到了东西告诉你的同 请你把这节课你学到了东西告诉你的同 讨 论 然后告诉老师？ 桌，然后告诉老师？
这节课应有以下内容： 节课应有以下内容：
二次函数与一 元二次方程的 关系
二 次 函 数 与
当二次函数y=ax2+bx+c中y的值 当二次函数 中 的值 确定， 的值时， 确定，求x的值时，二次函数就变 的值时 为一元二次方程。即当y取定值时 取定值时， 为一元二次方程。即当 取定值时， 二次函数就为一元二次方程。 二次函数就为一元二次方程。
y
y = x2 + x − 2
O
y = x2 − 6x + 9
y
(a)
O
(b)
(c)
对应二次函数(1)-(3)得到图象(a)-(c)。
x
O
x y
y = x2 − x + 1
x
y
O
y = x + x−2
2
y = x2 − 6 x + 9
y y
O O
y = x2 − x + 1
y = x 2 + x − 2 的函数图象与 轴的公共点的横坐标是 和1， 的函数图象与x轴的公共点的横坐标是 轴的公共点的横坐标是-2和 ， （1） ）
两个交点
轴 的 交 点
交 一个交点 点 没有交点 的交点的
b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 一元二次方程的
二次函数与x 二次函数与
x
练习:看谁算的又快又准。 练习 看谁算的又快又准。 看谁算的又快又准 1.不与 轴相交的抛物线是 D ) 不与x轴相交的抛物线是 不与 轴相交的抛物线是( A y=2x2 – 3 B y= - 2 x2 + 3 D y=-2(x+1)2 - 3 C y= - x2 – 2x 2.如果关于 的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个相等的实 如果关于x的一元二次方程 如果关于 有两个相等的实 1 数根,则 ＿＿ ＿＿,此时抛物线 轴有＿ 数根 则m=＿＿ 此时抛物线 y=x2-2x+m与x轴有＿ 个 与 轴有 1 交点. 交点 16 3.已知抛物线 y=x2 – 8x +c的顶点在 x轴上 则c=＿＿＿＿ 已知抛物线 轴上,则 ＿＿＿＿ ＿＿＿＿. 的顶点在 轴上 (0,2) 4.抛物线 抛物线y=x2-3x+2 与y轴交于点＿＿＿＿ 与x轴交 轴交于点＿＿＿＿ 抛物线 轴交于点＿＿＿＿,与 轴交 (1,0) 于点＿＿＿ 于点＿＿＿ (2,0) . ＿
从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式(原卷版)
3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式【知识点梳理】知识点一：一元二次不等式的概念一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如20(0)ax bx c ++>≥或20(0)ax bx c ++<≤（其中a ，b ，c 均为常数，)0a ≠的不等式都是一元二次不等式．知识点二：二次函数的零点一般地，对于二次函数2y ax bx c =++，我们把使20ax bx c ++=的实数x 叫做二次函数2y ax bx c =++的零点．知识点三：一元二次不等式的解集的概念使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集． 知识点四：二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x ≤，设24b ac ∆=-，它的解按照0∆>，0∆=，0∆<可分三种情况，相应地，二次函数2y ax bx c =++(0)a >的图像与x 轴的位置关系也分为三种情况．因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >或20ax bx c ++<(0)a >的解集． 24b ac ∆=-0∆> 0∆= 0∆<二次函数 2y ax bx c=++（0a >）的图象20(0)ax bx c a ++=>的根有两相异实根 1212,()x x x x <有两相等实根122bx x a ==-无实根20(0)ax bx c a ++>>的解集{}12x x x x x <>或2b x x a ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭R20(0)ax bx c a ++<>的解集{}12x xx x <<∅ ∅（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根12x x 、是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线y =2ax bx c ++与x 轴的交点的横坐标；（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；（3）解集分0,0,0∆>∆=∆<三种情况，得到一元二次不等式20ax bx c ++>与20ax bx c ++<的解集．知识点五：利用不等式解决实际问题的一般步骤 （1）选取合适的字母表示题中的未知数；（2）由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式（组）； （3）求解所列出的不等式（组）； （4）结合题目的实际意义确定答案． 知识点六：一元二次不等式恒成立问题（1）转化为一元二次不等式解集为R 的情况，即20(0)ax bx c a ++>≠恒成立00a >⎧⇔⎨∆<⎩恒成立20(0)ax bx c a ++<≠00.a <⎧⇔⎨∆<⎩（2）分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题． 知识点七：简单的分式不等式的解法 系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间”【题型归纳目录】题型一：解不含参数的一元二次不等式 题型二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇 题型三：含有参数的一元二次不等式的解法 题型四：一次分式不等式的解法题型五：实际问题中的一元二次不等式问题 题型六：不等式的恒成立问题 【典型例题】题型一：解不含参数的一元二次不等式例1．（2022·全国·高一课时练习）不等式()273x x +≥-的解集为（ ）A ．(]1,3,2⎡⎫-∞-⋃-+∞⎪⎢⎣⎭B ．13,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．(]1,2,3⎡⎫-∞-⋃-+∞⎪⎢⎣⎭D ．12,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【方法技巧与总结】解不含参数的一元二次不等式的一般步骤（1）通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正． （2）对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式． （3）求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根． （4）根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图． （5）根据图象写出不等式的解集．例2．（多选题）（2022·湖南·株洲二中高一开学考试）与不等式220x x -+>的解集相同的不等式有（ ） A ．220x x --<+ B ．22320x x -+> C ．230x x -+≥D ．220x x +->例3．（2022·全国·高一课时练习）解下列不等式： (1)262318x x x -≤-<； (2)1232x x +≥-； (3)2320x x -+>.题型二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇例4．（2022·全国·高一专题练习）若不等式220ax bx +-<的解集为{}|21x x -<<，则a b +=（ ） A ．2-B ．0C ．1D ．2【方法技巧与总结】 三个“二次”之间的关系（1）三个“二次”中，一元二次函数是主体，讨论一元二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究．（2）讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的一元二次函数相联系，通过一元二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：例5．（2022·全国·高一课时练习）若关于x 的不等式2260ax x a -+>的解集为{|1}x m x <<,则=a ______，m =______．例6．（2022·江苏·高一专题练习）若不等式20ax bx c ++>的解集为{}12x x -<<，则不等式()21(1)2a x b x c ax ++-+>的解集是（ ）A ．{}03x x <<B ．{0x x <或}3x >C ．{}13x x <<D ．{}13x x -<<例7．（2022·浙江·磐安县第二中学高一开学考试）已知不等式20ax bx c ++>的解集为()2,3，则20cx bx a ++>的解集为（ ） A ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,,32⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．11,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．11,,23∞∞⎛⎫⎛⎫--⋃-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭例8．（2022·全国·高一专题练习）设集合{}|1A x x =≥，{}2|0B x x mx =-≤，若{}|14A B x x ⋂=≤≤，则m 的值为_________.例9．（2022·江苏·高一专题练习）已知不等式20ax bx c ++>的解集是{|}x x αβ<<，0α>，则不等式20cx bx a ++>的解集是____________.例10．（2022·全国·高一单元测试）已知关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++<的解集为{}3|1x x <<，则20cx bx a -+>的解集是___________.题型三：含有参数的一元二次不等式的解法例11．（2022·全国·高一课时练习）不等式()()222240a x a x -+--≥的解集为∅，则实数a的取值范围是（ ） A ．{2|a a <-或2}a ≥ B ．{}22a a -<< C ．{}22a a -<≤D ．{}2a a <【方法技巧与总结】解含参数的一元二次不等式的一般步骤（1）讨论二次项系数：二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．（2）判断方程根的个数：讨论判别式Δ与0的关系．（3）写出解集：确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．例12．（2022·江苏·盐城市田家炳中学高一期中）已知不等式220ax bx -+>的解集为{}12x x x 或．(1)求实数a ，b 的值；(2)解关于x 的不等式()20x ac b x bx -++>（其中c 为实数）．例13．（2022·全国·高一专题练习）已知关于x 的不等式ax 2﹣x +1﹣a ＜0． (1)当a ＝2时，解关于x 的不等式； (2)当a ＞0时，解关于x 的不等式．例14．（2022·全国·高一专题练习）解关于x 的不等式 220x x a ++>．例15．（2022·全国·高一专题练习）解关于x 的不等式2110x a x a ⎛⎫-++< ⎪⎝⎭．例16．（2022·全国·高一专题练习）若R a ∈，解关于x 的不等式2(1)10ax a x +++>．例17．（2022·全国·高一专题练习）若关于x 的不等式2220x m x m -++<（）的解集中恰有4个正整数，求实数m 的取值范围.例18．（2022·陕西·长安一中高一期中）已知关于x 的不等式()()230a b x a b +-<+的解集为34x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭．(1)写出a 和b 满足的关系；(2)解关于x 的不等式()()()222120a b x a b x a ---->++．题型四：一次分式不等式的解法例19．（2022·全国·高一课时练习）不等式()()232101xx x x -++≤-的解集为（ ）A ．[－1，2]B ．[－2，1]C ．[－2，1)∪(1，3]D ．[－1，1)∪(1，2]【方法技巧与总结】分式不等式转化为整式不等式的基本类型有哪些？ （1）()()00cx dax b cx d ax b+>⇔++>+ （2）()()00cx dax b cx d ax b+<⇔++<+ （3）()()00cx dax b cx d ax b+≥⇔++>+且0ax b +≠ （4）()()00cx dax b cx d ax b+≤⇔++≤+且0ax b +≠ 例20．（2022·湖南·株洲二中高一开学考试）已知不等式210ax bx ++>的解集为1123xx ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣，求不等式30ax x b +≤-的解集.例21．（2022·陕西·长安一中高一期末）不等式22301x x x +-≥+的解集为__________． 例22．（2022·全国·高一课时练习）不等式301x x +>-的解集为______________．例23．（2022·宁夏·灵武市第一中学高一期末）不等式201xx->+的解集为___________. 例24．（2022·全国·高一课时练习）不等式21131x x ->+的解集是____________. 例25．（2022·全国·高一课时练习）关于x 的不等式()(5)0x b ax ++>的解集为{|1x x <-或3}x >，(1)求关于x 的不等式220x bx a +-<的解集 (2)求关于x 的不等式11x ax b->-的解集．题型五：实际问题中的一元二次不等式问题例26．（2022·贵州黔东南·高一期末）黔东南某地有一座水库，设计最大容量为128000m 3．根据预测，汛期时水库的进水量n S （单位：m 3）与天数()*n n N ∈的关系是5000()(10)n S n n t n =+≤，水库原有水量为80000m 3，若水闸开闸泄水，则每天可泄水4000m 3；水库水量差最大容量23000m 3时系统就会自动报警提醒，水库水量超过最大容量时，堤坝就会发生危险；如果汛期来临水库不泄洪，1天后就会出现系统自动报警． (1)求t 的值；(2)当汛期来临第一天，水库就开始泄洪，估计汛期将持续10天，问：此期间堤坝会发生危险吗？请说明理由．【方法技巧与总结】利用不等式解决实际问题需注意以下四点（1）阅读理解材料：应用题所用语言多为文字语言，而且不少应用题文字叙述篇幅较长．阅读理解材料要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型，这就要求解题者领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，初步形成用怎样的模型能够解决问题的思路，明确解题方向．（2）建立数学模型：根据（1）中的分析，把实际问题用“符号语言”“图形语言”抽象成数学模型，并且，建立所得数学模型与已知数学模型的对应关系，以便确立下一步的努力方向．（3）讨论不等关系：根据（2）中建立起来的数学模型和题目要求，讨论与结论有关的不等关系，得到有关理论参数的值．（4）作出问题结论：根据（3）中得到的理论参数的值，结合题目要求作出问题的结论． 例27．（2022·全国·高一课时练习）某旅店有200张床位．若每张床位一晚上的租金为50元，则可全部租出；若将出租收费标准每晚提高10x 元（x 为正整数），则租出的床位会相应减少10x 张．若要使该旅店某晚的收入超过12600元，则每张床位的出租价格可定在什么范围内？例28．（2022·湖南·高一课时练习）汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离称为“刹车距离”．刹车距离是分析交通事故的一个重要指标．在一个限速为40km/h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12m ，乙车的刹车距离略超过10m ，又知甲、乙两种车型的刹车距离()m s 与车速()km/h x 分别有如下关系式：210.10.01s v v =+，220.050.005s v v =+．问：甲、乙两辆汽车是否有超速现象？例29．（2022·湖北十堰·高一期中）某学校欲在广场旁的一块矩形空地上进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均种满宽度相同的鲜花.已知两块绿草坪的面积均为200平方米.(1)若矩形草坪的长比宽至少多10米，求草坪宽的最大值； (2)若草坪四周及中间的宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值.题型六：不等式的恒成立问题例30．（2022·全国·高一单元测试）对任意实数x ，不等式2230kx kx +-<恒成立，则实数k 的取值范围是（ ） A ．()0,24B ．(]24,0-C ．(]0,24D ．[)24,∞+【方法技巧与总结】不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为R ，要解决这个问题还需要讨论二次项的系数．例31．（2022·全国·高一课时练习）若0a >，且关于x 的不等式22334ax ax a -+-<在R 上有解，求实数a 的取值范围．例32．（2022·湖南·雅礼中学高一开学考试）不等式()()221110a x a x ----<的解集是全体实数，求实数a 的取值范围________．例33．（2022·江苏·盐城市田家炳中学高一期中）已知命题p ：x R ∃∈，210x ax -+<，若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围为_________．例34．（2022·全国·高一专题练习）不等式 2(2)4(2)120a x a x -+--<的解集为R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．{}|12a a -≤<B ．{}|12a a -<≤C ．{}|12a a -<<D ．{}|12a a -≤≤例35．（2022·全国·高一课时练习）已知对任意[]1,3m ∈，215mx mx m --<-+恒成立，则实数x 的取值范围是（ ）A ．6,7⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1515∞∞⎛⎫-+-⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．6,7⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1515-+⎝⎭例36．（2022·全国·高一课时练习）已知关于x 的不等式244x mx x m +>+-． (1)若对任意实数x ，不等式恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若对于04m ≤≤，不等式恒成立，求实数x 的取值范围．例37．（2022·全国·高一课时练习）在x ∃∈R ①，2220x x a ++-=，②存在集合{24}A x x =<<，非空集合{}3B x a x a =<<，使得A B =∅这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．问题：求解实数a ，使得命题{}:12p x x x ∀∈≤≤，20x a -≥，命题q ：______都是真命题． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【同步练习】一、单选题 1．（2022·全国·高一课时练习）不等式23180x x -++<的解集为（ ） A ．{6x x >或3}x <- B ．{}36x x -<< C ．{3x x >或6}x <-D ．{}63x x -<<2．（2022·全国·高一课时练习）已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则不等式20ax bx c ++>的解集是（ ）A ．{}21x x -<<B ．{|2x x <-或1}x >C ．{}21x x -≤≤D ．{|2x x ≤-或1}x ≥3．（2022·全国·高一课时练习）已知函数2y x ax b =++（,R a b ∈）的最小值为0，若关于x 的不等式2x ax b c 的解集为{}|4x m x m <<+，则实数c 的值为（ ） A ．9B ．8C ．6D ．44．（2022·全国·高一课时练习）若使不等式()2220x a x a +++≤成立的任意一个x 都满足不等式10x -≤，则实数a 的取值范围为（ ） A ．{}1a a >-B ．{}1a a ≥-C ．{}1a a <-D ．{}1a a ≤-5．（2022·全国·高一课时练习）已知()()()2022y x m x n n m =--+<，且(),αβαβ<是方程0y =的两实数根，则α，β，m ，n 的大小关系是（ ）A ．m n αβ<<<B ．m n αβ<<<C ．m n αβ<<<D ．m n αβ<<<6．（2022·湖南·长沙一中高一开学考试）关于x 的方程()2290ax a x a +++=有两个不相等的实数根12,x x ，且121x x ，那么a 的取值范围是（ ）A ．2275a -<< B ．25a > C ．27a <- D ．2011a -<< 7．（2022·全国·高一单元测试）已知 0,0x y >>且141x y+=，若28x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ． 1|2x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭B ．{}|3x x ≤-}C ．{}|1x x ≥D ．{}|91x x -<< 8．（2022·全国·高一课时练习）在R 上定义运算():1x y x y ⊗⊗=-.若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 都成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1322a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭ B ．{}02a a << C ．{}11a a -<< D ．3122a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭ 二、多选题9．（2022·全国·高一课时练习）不等式22x bx c x b ++≥+对任意的x ∈R 恒成立，则（ ） A ．2440b c -+≤ B ．0b ≤ C ．1c ≥ D ．0b c +≥ 10．（2022·江苏·高一）已知关于x 的一元二次不等式()22120ax a x --->，其中0a <，则该不等式的解集可能是（ ）A ．∅B ．12,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()1,2,a ⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭ D ．1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 11．（2022·福建省龙岩第一中学高一开学考试）已知关于x 的不等式20ax bx c ++≥的解集为{3x x ≤或}4x ≥，则下列结论中，正确结论的序号是（ ）A ．0a >B ．不等式0bx c +>的解集为{}4x x <-C ．不等式20cx bx a -+<的解集为14x x ⎧<-⎨⎩或13x ⎫>⎬⎭ D ．0a b c ++> 12．（2022·湖南·株洲二中高一开学考试）已知关于x 的不等式组222802(27)70x x x k x k ⎧-->⎨+++<⎩仅有一个整数解，则k 的值可能为（ ）A ．5-B ．3-C ．πD ．5三、填空题13．（2022·全国·高一专题练习）若不等式220ax bx ++>的解集是1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则0ax b +>的解集为__________.14．（2022·陕西·千阳县中学高一开学考试）不等式517x ≥--的解集为__________. 15．（2022·全国·高一专题练习）关于x 的不等式()210x a x a -++<的解集中恰有1个整数，则实数a 的取值范围是_________.16．（2022·全国·高一课时练习）知关于x 的不等式2240ax bx ++<的解集为4(,)m m ，其中0m <，则44b a b+的最小值为______． 四、解答题17．（2022·全国·高一专题练习）解下列不等式：(1)22530x x +->；(2)220x x +-≤；(3)4220x x --≥；(4)21x x >．18．（2022·辽宁·营口市第二高级中学高一期末）已知关于x 的不等式2320(R)ax x a ++>∈.(1)若2320ax x ++>的解集为{}1x b x <<，求实数,a b 的值；(2)求关于x 的不等式2321ax x ax -+>-的解集.19．（2022·湖南·株洲二中高一开学考试）解下列关于x 的不等式：（a 为实数）(1)220x x a ++<(2)102ax x ->-.20．（2022·全国·高一课时练习）已知二次函数2y ax bx c =++(a ，b ，R c ∈)只能同时满足下列三个条件中的两个：①0y <的解集为{}13x x -<<；②1a =-；③y 的最小值为4-．(1)请写出满足题意的两个条件的序号，并求a ，b ，c 的值；(2)求关于x 的不等式()()2223y m x m m ≥-+-∈R 的解集．21．（2022·四川省成都市第八中学校高一开学考试）已知ABC 的两边AB AC ，的长是关于x的一元二次方程2223320x k x k k -++++=（）的两个实数根，第三边BC 长为5. (1)求AB AC AB AC +⋅，（用k 表示）;(2)k 为何值时，ABC 是以BC 为斜边的直角三角形，并求此时三角形的周长.。
解一元二次方程练习题(配方法公式法)
解一元二次方程练习题(配方法)配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。
配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式1．用适当的数填空：①、x 2+6x+ =（x+ ）2 ②、x 2－5x+ =（x － ）2；③、x 2+ x+ =（x+ ）2 ④、x 2－9x+ =（x － ）22．将二次三项式2x 2-3x-5进行配方，其结果为_________．3．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______．4．将x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为___ ____，•所以方程的根为_________．5．若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是6．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是7．把方程x 2+3=4x 配方，得8．用配方法解方程x 2+4x=10的根为9．用配方法解下列方程：（1）3x 2-5x=2． （2）x 2+8x=9（3）x 2+12x-15=0 （4）41 x 2-x-4=010.用配方法求解下列问题（1）求2x 2-7x+2的最小值 ； （2）求-3x 2+5x+1的最大值。
解一元二次方程练习题(公式法)公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b aac b b x 公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c一、填空题1．一般地，对于一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0），当b 2-4ac≥0时，它的根是__ ___ 当b-4ac<0时，方程___ ______．2．方程ax 2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，则有____ ____ ，•若有两个不相等的实数根，则有_____ ____，若方程无解，则有__________．3．用公式法解方程x 2 = -8x-15，其中b 2-4ac= _______，x 1=_____，x 2=________．4．已知一个矩形的长比宽多2cm ，其面积为8cm 2，则此长方形的周长为________．5．用公式法解方程4y 2=12y+3，得到6．不解方程，判断方程：①x 2+3x+7=0；②x 2+4=0；③x 2+x-1=0中，有实数根的方程有 个 7．当x=_____ __时，代数式13x +与2214x x +-的值互为相反数． 8．若方程x-4x+a=0的两根之差为0，则a 的值为________．二、利用公式法解下列方程（1）220x -+= （2） 012632=--x x （3）x=4x 2+2（4）－3x 2＋22x －24＝0 （5）2x （x －3）=x －3 （6） 3x 2+5(2x+1)=0（7）(x+1)(x+8)=-12 （8）2(x －3) 2＝x 2－9 （9）－3x 2＋22x －24＝0解一元二次方程练习题(因式分解法)因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
用函数观点看一元二次方程
(3)球的飞行高度能否达到20.5m? 若能,需要多少飞行时间?
已知二次函数 y=ax +2bx+c (a≠0)的函数值为m，求 自变量x的值，可以看作解一元二次方程 ax 2 +b2x+c=m(或 ax +bx+c-m=0) (a≠0).
一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1,x2 , 则抛物线 y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标是 (x1,0),(x2,0)
3.如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线 x=-1,由 图象知,关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根分别是 x1=1.3 ,x2=＿＿＿
4.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图,则关于x的
§26.2
用函数观点看一元二次方程
§26.2用函数观点看一元 二次方程（第1课时）
s表示离天台的距离; t表示行驶的时间.
s(km)
120
s= - 60t+120(0≤t ≤2)
0
t(h)
探究新知
高度y(m)与水平距离x(m)
之间具有y=的-关112系x :+2 25x4
请问这位同学的跳远成绩是多少？ 已知函数值y=o，求对应自变量x.
知识巩固:
1.抛物线y=2x2-3x-5 与y轴交于点＿(＿0,-＿5) ＿,与 x轴交于点＿(5＿/2,＿0)＿(-.1,0)
2.一元二次方程 3 x2+x-10=0的两个根是 x1= -2 ,x2=5/3, 那么二次函数y= 3 x2+x10与x轴的交点坐标是＿(-2＿,0＿) (＿5/＿3,0.)
初中数学：《公式法解一元二次方程》练习(含答案)
初中数学：《公式法解一元二次方程》练习（含答案）一、选择题：1．一元二次方程x（x﹣2）=0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根2．已知b＜0,关于x的一元二次方程（x﹣1）2=b的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．有两个实数根3．已知关于x的一元二次方程（x+1）2﹣m=0有两个实数根,则m的取值范围是（）A．m≥﹣ B．m≥0 C．m≥1 D．m≥24．关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是（）A．k＜B．k＞C．k＜且k≠0 D．k＞且k≠0二、填空题5．一元二次方程x2+x=3中,a=______,b=______,c=______,则方程的根是______．6．若x1,x2分别是x2﹣3x+2=0的两根,则x1+x2=______．7．已知三角形两边长是方程x2﹣5x+6=0的两个根,则三角形的第三边c的取值范围是______．8．已知关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x﹣1=0有两个不相同的实数根,则k的取值范围是______．9．写出一个一元二次方程,使它有两个不相等的实数根______．10．一次二元方程x2+x+=0根的情况是______．11．若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解,那么实数a的取值范围是______．12．已知代数式7x（x+5）与代数式﹣6x2﹣37x﹣9的值互为相反数,则x=______．13．已知一次函数y=﹣x+4与反比例函数在同一直角坐标系内的图象没有交点,则k的取值范围是______．14．对于实数a,b,定义运算“﹡”：a﹡b=．例如4﹡2,因为4＞2,所以4﹡2=42﹣4×2=8．若x1,x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根,则x1﹡x2=______．三、解答题（共4小题,满分0分）15．用公式法解方程：①4x2﹣4x+1=0②x2﹣x﹣3=0．16．不解方程,判断下列方程的根的情况：①2x2+3x﹣4=0②3x2+2=2x③x2=x﹣1．17．已知关于x的方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2=0,求证：无论m取任何实数时,方程恒有实数根．18．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）=0．（1）求证：这个方程总有两个实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a=4,另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根,求△ABC的周长．《公式法》参考答案与试题解析一、选择题：1．一元二次方程x（x﹣2）=0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【解答】解：原方程变形为：x2﹣2x=0,∵△=（﹣2）2﹣4×1×0=4＞0,∴原方程有两个不相等的实数根．故选A．2．已知b＜0,关于x的一元二次方程（x﹣1）2=b的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．有两个实数根【解答】解：∵（x﹣1）2=b中b＜0,∴没有实数根,故选：C．3．已知关于x的一元二次方程（x+1）2﹣m=0有两个实数根,则m的取值范围是（）A．m≥﹣ B．m≥0 C．m≥1 D．m≥2【解答】解；（x+1）2﹣m=0,（x+1）2=m,∵一元二次方程（x+1）2﹣m=0有两个实数根,∴m≥0,故选：B．4．关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是（）A．k＜B．k＞C．k＜且k≠0 D．k＞且k≠0 【解答】解：根据题意得k≠0且△=（﹣1）2﹣4k＞0,解得k＜且k≠0．故选C．二、填空题5．一元二次方程x2+x=3中,a= ,b= 1 ,c= ﹣3 ,则方程的根是x1=﹣1+,x2=﹣1﹣．【解答】解：移项得, x+x﹣3=0∴a=,b=1,c=﹣3∴b2﹣4ac=7∴x1=﹣1+,x2=﹣1﹣．6．若x1,x2分别是x2﹣3x+2=0的两根,则x1+x2= 3 ．【解答】解：根据题意得x1+x2=3．故答案为3．7．已知三角形两边长是方程x2﹣5x+6=0的两个根,则三角形的第三边c的取值范围是1＜c ＜5 ．【解答】解：∵三角形两边长是方程x2﹣5x+6=0的两个根,∴x1+x2=5,x1x2=6∵（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=25﹣24=1∴x1﹣x2=1,又∵x1﹣x2＜c＜x1+x2,∴1＜c＜5．故答案为：1＜c＜5．8．已知关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x﹣1=0有两个不相同的实数根,则k的取值范围是k＞﹣2且k≠﹣1 ．【解答】解：根据题意得k+1≠0且△=（﹣2）2﹣4（k+1）•（﹣1）＞0,解得k＞﹣2且k≠﹣1．故答案为k＞﹣2且k≠﹣1．9．写出一个一元二次方程,使它有两个不相等的实数根x2+x﹣1=0 ．【解答】解：比如a=1,b=1,c=﹣1,∴△=b2﹣4ac=1+4=5＞0,∴方程为x2+x﹣1=0．10．一次二元方程x2+x+=0根的情况是方程有两个相等的实数根．【解答】解：∵△=12﹣4×=0,∴方程有两个相等的实数根故答案为方程有两个相等的实数根．11．若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解,那么实数a的取值范围是a≥﹣1 ．【解答】解：当a=0时,方程是一元一次方程,有实数根,当a≠0时,方程是一元二次方程,若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解,则△=[2（a+2）]2﹣4a•a≥0,解得：a≥﹣1．故答案为：a≥﹣1．12．已知代数式7x（x+5）与代数式﹣6x2﹣37x﹣9的值互为相反数,则x= 1±．【解答】解：根据题意得：7x（x+5）﹣6x2﹣37x﹣9=0,这里的：x2﹣2x﹣9=0,这里a=1,b=﹣2,c=﹣9,∵△=4+36=40,故答案为：1±13．已知一次函数y=﹣x+4与反比例函数在同一直角坐标系内的图象没有交点,则k的取值范围是k＞4 ．【解答】解：依题意可得x2﹣4x+k=0无解,也就是这个一元二次方程无实数根,那么根据根的判别式△=b2﹣4ac=16﹣4k,没有实数根,那么16﹣4k＜0,解此不等式可得k＞4．故答案为：k＞4．14．对于实数a,b,定义运算“﹡”：a﹡b=．例如4﹡2,因为4＞2,所以4﹡2=42﹣4×2=8．若x1,x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根,则x1﹡x2= 3或﹣3 ．【解答】解：∵x1,x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根,∴（x﹣3）（x﹣2）=0, 解得：x=3或2,①当x1=3,x2=2时,x1﹡x2=32﹣3×2=3；②当x1=2,x2=3时,x1﹡x2=3×2﹣32=﹣3．故答案为：3或﹣3．三、解答题（共4小题,满分0分）15．用公式法解方程：①4x2﹣4x+1=0②x2﹣x﹣3=0．【解答】解：（1）这里a=4,b=﹣4,c=1, ∵△=32﹣16=16,（2）这里a=1,b=﹣,c=﹣3,∵△=2+12=14,∴x=．16．不解方程,判断下列方程的根的情况：①2x2+3x﹣4=0②3x2+2=2x③x2=x﹣1．【解答】解：①△=32﹣4×2×（﹣4）=41＞0,所以方程两个不相等的实数根；②方程化为一般式为3x2﹣2x+2=0,△=（﹣2）2﹣4×3×2=0,所以方程有两个相等的实数根；③方程化为一般式为x2﹣x+1=0,△=（﹣）2﹣4××1＜0,所以方程无实数根．17．已知关于x的方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2=0,求证：无论m取任何实数时,方程恒有实数根．【解答】证明：当m=0时,原方程为x﹣2=0,解得x=2；当m≠0时,△=（3m﹣1）2﹣4m（2m﹣2）=（m+1）2≥0,所以方程有两个实数根,所以无论m为何值原方程有实数根．18．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）=0．（1）求证：这个方程总有两个实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a=4,另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根,求△ABC的周长．【解答】（1）证明：△=（2k+1）2﹣4×1×4（k﹣）=4k2﹣12k+9=（2k﹣3）2,∵无论k取什么实数值,（2k﹣3）2≥0, ∴△≥0,∴无论k取什么实数值,方程总有实数根；（2）解：∵x=,∴x1=2k﹣1,x2=2,∵b,c恰好是这个方程的两个实数根,设b=2k﹣1,c=2,当a、b为腰,则a=b=4,即2k﹣1=4,解得k=,此时三角形的周长=4+4+2=10；当b、c为腰时,b=c=2,此时b+c=a,故此种情况不存在．综上所述,△ABC的周长为10．。
从函数观点看一元二次方程
答案 不是,二次函数的零点是二次函数图象与 x 轴交点的横坐标.
课前预学
课堂导学
一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根就是二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)当函数
值取零时自变量 x 的值,即二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与 x 轴交点的横坐
标,也称为二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的零点.
轴的交点的横坐标.
课堂导学
课前预学
解析
1
1
(1)由 3x -2x-1=0 解得 x1=1,x2=- ,所以函数 y=3x -2x-1 的零点为 1 和- .
2
2
3
3
(2)①当 a=0 时,y=-x-1,由-x-1=0 得 x=-1,所以函数的零点为-1.
②当 a≠0 时,由 ax -x-a-1=0 得(ax-a-1)(x+1)=0,解得 x1=
所以二次函数的解析式为 y=-x2+x+2.
(2)由(1)得 y=- x-
1 2 9
+ ,
2
4
9
5
4
4
所以结合图象可知当 1-k> ,即 k<- 时,方程 ax2+bx+c=1-k 无实根.
课前预学
课堂导学
任务 1: 二次函数的零点
已知 ax2+bx+c=0.
问题 1:当 a<0 时,一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根与二次函数 y=ax2+bx+c 的图
2022
必修第一册
第二章
2.2
用函数的观点看一元二次方程复习题
用函数观点看一元二次方程 实际问题与二次函数 复习题1.如果抛物线y =－2x 2+mx －3的顶点在x 轴正半轴上，则m =______. 3.已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图1所示①这个二次函数的表达式是y =______；②当x =______时，y =3；③根据图象回答：当x ______时，y>0.图1图25.不论自变量x 取什么实数，二次函数y =2x 2－6x +m 的函数值总是正值，你认为m 的取值范围是______，此时关于一元二次方程2x 2－6x +m =0的解的情况是______(填“有解”或“无解”).6.某一抛物线开口向下，且与x 轴无交点，则具有这样性质的抛物线的表达式可能为______(只写一个)，此类函数都有______值(填“最大”“最小”).7.如图2，一小孩将一只皮球从A 处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果他的出手处A 距地面的距离OA 为1 m ，球路的最高点B (8，9)，则这个二次函数的表达式为______，小孩将球抛出了约______米(精确到0.1 m).8.若抛物线y=x 2－(2k+1)x+k 2+2，与x 轴有两个交点，则整数k 的最小值是______.10.等腰梯形的周长为60 cm ，底角为60°，当梯形腰x=______时，梯形面积最大，等于______.11.将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个.若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加了1个，为了获得最大利润，则应降价______元，最大利润为______元. 13.关于二次函数y =ax 2+bx +c 的图象有下列命题，其中是假命题的个数是（ ）①当c =0时，函数的图象经过原点; ②当b =0时，函数的图象关于y 轴对称;③函数的图象最高点的纵坐标是ab ac 442 ;④当c >0且函数的图象开口向下时，方程ax 2+bx +c =0必有两个不相等的实根( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个14.已知抛物线y =ax 2+bx +c 如图所示，则关于x 的方程ax 2+bx +c －8=0的根的情况是( )A.有两个不相等的正实数根 ;B.有两个异号实数根;C.有两个相等的实数根;D.没有实数根.15.抛物线y =kx 2－7x －7的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是( )A.k >－47; B.k ≥－47且k ≠0; C.k ≥－47; D.k >－47且k ≠016.如图5所示，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD ，其中AB 和BC 分别在两直角边上，设AB =x m ，长方形的面积为y m 2，要使长方形的面积最大，其边长x 应为( )A.424 m B.6 m C.15 m D.25m图4图5图617.二次函数y =x 2－4x +3的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，△ABC 的面积为( )A.1B.3C.4D.618.无论m 为任何实数，二次函数y =x 2+(2－m )x +m 的图象总过的点是( )A.(－1，0);B.(1，0)C.(－1，3) ;D.(1，3)19.为了备战2008奥运会，中国足球队在某次训练中，一队员在距离球门12米处的挑射，正好从2.4米高(球门横梁底侧高)入网.若足球运行的路线是抛物线y =ax 2+bx +c (如图6所示)，则下列结论正确的是( ) ①a <－601 ②－601<a <0 ③a －b +c >0 ④0<b <－12a A.①③B.①④C.②③D.②④20.把一个小球以20 m/s 的速度竖直向上弹出，它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系h=20t －5t 2.当h=20 m时，小球的运动时间为（ ） A.20 sB.2 sC.(22+2) sD.(22－2) s21.如果抛物线y=－x 2+2(m －1)x+m+1与x 轴交于A 、B 两点，且A 点在x 轴正半轴上，B 点在x 轴的负半轴上，则m 的取值范围应是( ) A.m>1B.m>－1C.m<－1D.m<122.如图8，一次函数y=－2x+3的图象与x 、y 轴分别相交于A 、C 两点，二次函数y=x 2+bx+c 的图象过点c 且与一次函数在第二象限交于另一点B ，若AC ∶CB=1∶2，那么，这个二次函数的顶点坐标为( ) A.(－21，411) B.(－21，45) C.(21，411)D.(21，－411)图8图923某幢建筑物，从10 m 高的窗口A ，用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在的平面与墙面垂直，如图9，如果抛物线的最高点M 离墙1 m ，离地面340m ，则水流落地点B 离墙的距离OB 是( ) A.2 m B.3 m C.4 m D.5 m二、解答题1、已知二次函数y =(m 2－2)x 2－4mx +n 的图象的对称轴是x =2，且最高点在直线y =21x +1上，求这个二次函数的表达式.2、某商场以每件20元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x (元)满足关系：m =140－2x .(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y 与每件的销售价x 间的函数关系式;(2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？3、某公司生产某种产品，每件产品成本是3元，售价是4元，年销售量为10万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x （万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y 倍，且107107102++-=x x y ，如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，进货都能销售完，试写出年利润S （万元）与广告费x （万元）的函数关系式，并计算广告费是多少万元时，公司获得的年利润最大，最大年利润是是多少万元？4、如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，点P 是BC 边上不与点B 、C 重合的任意一点，连结AP ，过点P 作PQ ⊥AP ，交DC 于点Q .设BP 的长为x （cm ），CQ 的长为y （cm ）。
苏教版九年级数学下册课后练习(含答案)：第五章 第53讲 用函数的观点看一元二次方程
第53讲用函数的观点看一元二次方程题一：足球比赛中，某运动员将在地面上的足球对着球门踢出，图中的抛物线是足球的飞行高度y（m）关于飞行时间x（s）的函数图象（不考虑空气的阻力），已知足球飞出1s时，足球的飞行高度是2.44m，足球从飞出到落地共用3s．（1）求y关于x的函数关系式；（2）足球的飞行高度能否达到4.88米？请说明理由；（3）假设没有拦挡，足球将擦着球门左上角射入球门，球门的高为2.44m（如图所示，足球的大小忽略不计）．如果为了能及时将足球扑出，那么足球被踢出时，离球门左边框12m处的守门员至少要以多大的平均速度到球门的左边框？题二：小强在一次投篮训练中，从距地面高1.55米处的O点投出一球向篮圈中心A点投去，球的飞行路线为抛物线，当球达到离地面最大高度3.55米时，球移动的水平距离为2米．现以O点为坐标原点，建立直角坐标系（如图所示），测得OA与水平方向OC的夹角为30°，A、C两点相距1.5米．（1）求点A的坐标；（2）求篮球飞行路线所在抛物线的解析式；（3）判断小强这一投能否把球从O点直接投入篮圈A点（排除篮板球），如果能，请说明理由；如果不能，那么前后移动多少米，就能使刚才那一投直接命中篮圈A点了．（结果可保留根号）题三：（1）已知二次函数y= x2+3x的值为4，求自变量x的值.（2）解方程x23x4=0．题四：（1）已知二次函数y= x2+2x的值为3，求自变量x的值.（2）解方程x22x+3=0．题五：已知二次函数y=2x2 4x2．（1）在所给的直角坐标系中，画出该函数的图象；（2）写出该函数图象与x轴的交点坐标．题六：已知二次函数y=x25x+6．（1）画出这个二次函数的图象．（2）观察图象，当x取那些值时，函数值为0？第53讲用函数的观点看一元二次方程题一： 见详解．详解：（1）设y 关于x 的函数关系式为y =ax 2+bx ．依题可知：当x =1时，y = 2.44；当x =3时，y =0．∴ 2.44930a b a b +=⎧⎨+=⎩，∴1.223.66a b =-⎧⎨=⎩， ∴y = 1.22x 2+3.66x ．（2）不能．理由：∵y =4.88，∴4.88= 1.22x 2+3.66x ， ∴x 23x +4=0． ∵(3)2 4×4＜0，∴方程4.88= 1.22x 2+3.66x 无解．∴足球的飞行高度不能达到4.88m ．（3）∵ y =2.44，∴2.44= 1.22x 2+3.66x ， ∴x 23x +2=0，∴x 1=1（不合题意，舍去），x 2=2．∴平均速度至少为122= 6（m/s ）． 题二： 见详解．详解：（1）在Rt △AOC 中，∵∠AOC =30°，AC =1.5=32， ∴OC =222233()2OA AC -=-=332， ∴点A 的坐标为（332，1.5）； （2）∵顶点B 的纵坐标：3.55 1.55=2，∴B （2，2），∴设抛物线的解析式为y = a （x 2）2+2， 把点O （0，0）坐标代入得0=a (02)2+2，解得a =12-， ∴抛物线的解析式为y ＝12-(x −2)2+2，即y ＝12-x 2+2x ； （3）①∵当x ＝332时，y ≠1.5， ∴小强这一投不能把球从O 点直接投入球篮； ②当y =1.5时，1.5＝12-(x −2)2+2， 解得x 1=1（舍），x 2=3，又∵333， ∴小强只需向后退（3−33）米，就能使刚才那一投直接命中球篮A 点了．题三：见详解．详解：（1）令y= 4，则x2+3x = 4，即x23x4=0，解得x1= 1，x2=4，所以，当二次函数y=x2+3x的值为4时，自变量x的值为x1= 1，x2=4；（2）因式分解，得（x+1）（x4）=0，x+1=0或x4=0，解得x1= 1，x2=4．题四：见详解．详解：（1）令y = 3，则x2+2x = 3，即x22x3=0，解得x1= 1，x2=3，所以，当二次函数y=x2+2x的值为3时，自变量x的值为x1= 1，x2=3；（2）因式分解，得（x+1）（x3）=0，x+1=0或x3=0，解得x1=1，x2=3．题五：见详解．详解：（1）作出函数图象如图所示；（2）令y =0，则2x24x2=0，解得x1=1+2，x2=12，∴与x轴的交点坐标为（1+2，0）（12，0）．题六：见详解．详解：（1）图象如图：（2）观察图象可得：①当x = 2或x = 3时，y=0．。
中考数学专题练习直接开平方法解一元二次方程(含解析)
2019中考数学专题练习-直接开平方法解一元二次方程（含解析）一、单选题1.若分式的值为0，则x的值是（）A.1或-1B.1C. -1D.0【答案】B【考点】分式的值为零的条件，解一元二次方程-直接开平方法【解析】【分析】根据分子为0，同时分母不等于0时，分式值是零，即可得到结果．由题意得，解得，则x=1，故选B.【点评】解答本题的关键是熟练掌握分式值是零的条件：分子为0，同时分母不等于0．2.若25x2=16，则x的值为（）A. B. C. D.【答案】A【考点】直接开平方法解一元二次方程【解析】【解答】解：25x2=16，x2= ，x=± ，故答案为：A【分析】观察次方程缺一次项，可以用直接开平方法求解或利用因式分解法求解。
3.方程的根是（）A. B. C. D.【答案】A【考点】解一元二次方程-直接开平方法【解析】【解答】用开平方法可得【分析】将原方程变形为=4，用直接开平方法解得x=2，即= 2 ，= − 2.4.一元二次方程x2=2的解是（）A.x=2或x=﹣2B.x=2C.x=4或x=﹣4D.x=或x=﹣【答案】D【考点】解一元二次方程-直接开平方法【解析】【解答】解：∵x2=2，∵x=±．故选：D．【分析】直接开平方解方程得出答案．5.方程x2=9的解是（）A.x1=x2=3B.x1=x2=9C.x1=3，x2=﹣3D.x1=9，x2=﹣9【答案】C【考点】解一元二次方程-直接开平方法【解析】【解答】解：x2=9，两边开平方，得x1=3，x2=﹣3．故选C．【分析】利用直接开平方法求解即可．6.一元二次方程（x+6）2=16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6=4，则另一个一元一次方程是（）A.x-6=-4B.x-6=4C.x+6=4D.x+6=-4【答案】D【考点】解一元二次方程-直接开平方法【解析】【分析】方程两边直接开平方可达到降次的目的，进而可直接得到答案．【解答】（x+6）2=16，两边直接开平方得：x+6=±4，则：x+6=4，x+6=-4，故选：D．7.方程x2=9的解是（）A.x=9B.x=±9C.x=3D.x=±3【答案】D【考点】直接开平方法解一元二次方程【解析】【解答】解：∵x2=9，∵x=±3，故选：D．【分析】直接开平方法即可得．8.若是反比例函数，则b的值为（）A.1B.－1C.D.任意实数【答案】A【考点】直接开平方法解一元二次方程，反比例函数的定义【解析】【解答】，解得.故答案为：A.【分析】根据反比例函数的定义知，自变量次数为-1，b2-2=-1，得b=1，,又因为比例系数k≠0，得b+1≠0，得b≠-1，综合分析可得b=1。
从函数的观点看一元二次方程与一元二次不等式
从函数的观点看一元二次方程与一元二次不等式从函数的角度来看，一元二次方程和一元二次不等式都是关于一个未知数的二次函数。
一元二次不等式是只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式。
而一元二次方程则是有两相异实根或有两相等实根的二次函数。
对于一元二次方程，判别式Δ＝b²－4ac可以判断其有无实根以及实根的情况。
当Δ＞0时，方程有两相异实根x1和x2；当Δ＝0时，方程有两相等实根x1＝x2；当Δ＜0时，方程没有实数根。
而对于一元二次不等式，其解集可以通过判别式2Δ的符号来确定。
当2Δ＞0时，解集为{x|x＞x2或x＜x1}；当2Δ＝0时，解集为{x|x＝x1或x＝x2}；当2Δ＜0时，解集为{x|x1＜x＜x2}。
此外，对于分式不等式和整式不等式，我们可以通过乘上一个不等式来确定其符号。
具体而言，对于f(x)/g(x)>0(0(<0)；对于f(x)/g(x)≥0(≤0)，我们则需要同时满足f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.在解不等式时，我们需要注意绝对值不等式的解集，以及当a＝0时的特殊情况。
同时，要结合函数图象来确定___成立的条件。
针对一些疑误辨析，我们可以判断：(1)错误，解集为(－∞，x1)∪(x2，＋∞)时，并不能确定方程的两个根；(2)正确，解集为(x1，x2)时，a必须大于0；(3)错误，解集为x≤a时，其实为(-∞，a]。
4.已知函数$f(x)=-x+ax+b-b+1(a\in R,b\in R)$，对任意实数$x$都有$f(1-x)=f(1+x)$成立，当$x\in[-1,1]$时，$f(x)>0$恒成立，则$b$的取值范围是()解析：由$f(1-x)=f(1+x)$可得$-1+a+b-b+1=1+a-b-b+1$，即$a=0$，代入$f(x)>0$恒成立的条件，可得$b\in(-1,0)\cup(2,+\infty)$，故选项为$\textbf{(C)}$。
用函数观点看一元二次方程—巩固练习基础-精品
用函数观点看一元二次方程一巩固练习（基础）【巩固练习】 一、选择题1 .抛物线y=-犬2+2丘+2与x 轴的交点个数为（）A.0B.1C.2D.以上答案都不对2 .下列表格是二次函数片af+H+c 的自变量才与函数值y 的对应值，判断方程（aWO,a,b, 。
为常数）的一个解x 的范围（）X6.17 6.18 6.19 6.20 y=ax^bx^c-0.03 -0.01 0.02 0.04A.6<K6.17B.6.17<K6.18C.6.18<X6.19D.6.19<K6.20013 .已知函数％=/与函数%=—x+3的图象大致如图所示.若y <%,则自变量x 的取值范围是（） 3 3 3 3 A.—<x<2B.—2<x<—C.工>2或工<—D.x <c —2或x>一2 2 2 24 .已知二次函数y=ax 2+bx+c 的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0的解为（）A.x=0B.x=lC.x=3D.XF 3,X ?=T5 .二次函数y=ar+灰+c 的图象如图所示，则下列选项正确的是（）6 .如图所示，二次函数）,=〃？+嬴+c （aW0）的图象经过点（T,2）,且与x 轴交点的横坐标分别为玉、x 2,其中一2＜司＜一1, 卜列结论:QD4。
-2Z?+c ＜0；②2。
—/?＜0；③av —1；④〃~+8。
＞4。
.其中正确的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个 二、填空题7 .二次函数y=V —21—1的图象与x 轴交点坐标为；与y 轴的交点坐标为.8 .已知二次函数y 二V 一般1»+加2+4根+4的图象与x 轴有两个交点，则m 的取值范围为A.a>0, b>0, b 2-4ac>0B.a<0, c>0, b 1— 4ac > 0 C.a>0, b<0, b 1-4tzc>0D.a>0, c<0, b 1— 4ac < 0第3题 第5题 第6题9.抛物线y=/-工与直线y=-3x+3的交点坐标为.10.已知二次函)，=—V+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程一f+2x+m=。
用函数观点看一元二次方程.资料重点
边观察边思考
1、二次函数y = x2+x-2 , y = x2 - 6x +9 , y = x2 – x+ 1
的图象如图所示。
y x2 x 2
y x2 6x 9
y x2 x 1
(1).每个图象与x轴有几个交点？ 答：2个，1个，0个 (2).一元二次方程x2+x-2=0 , x2 - 6x +9=0有几个根?
验证一下一元二次方程x2 – x+ 1 =0有根吗?
2.2个根,2个相等的根, 无实数根.
(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与
一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
1. 如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴 有公共点，公共点的横坐标是x0, 那此x么=当x0x就=是x0方时程，函ax数2+的bx值+c是=00的，一因 个根。
o
1 2 3 4t
t1=t2=2
h 20t 5t2 ∴当球飞行2s时，它的高度为20m。
（3）解方程20.5=20t-5t2 即： t2-4t+4.1=0
那两的你形么间那只间为为么个高能指在球么在求12呢50为时度结出两的为一得mm？什间为吗 呢合为个高什个高么球零？？图什时度么时度ht一？=元从其2二0（上实t次4面就–）∴因方t球我5是1解=为程的t0方们把2(,中-t飞的程42看函=)行，20解4-出数=4高已2×。，值0度知4t-.h达51对h换t＜2不的于成0到，值二即常2所0，：次数.以5求mt函，方2-。时4数程求t=间无0 解，
6、若抛物线y=ax2+3x+1与x轴有两
个交点，则a的取值范围是 ( D )
完整版)解一元二次方程练习题(配方法)
完整版)解一元二次方程练习题(配方法) 一元二次方程解法练题一、用直接开平方法解下列一元二次方程。
1、4x-1=2、(x-3)^2=2、2、(x-1)^2=5、81(x-2)=16二、用配方法解下列一元二次方程。
1、y^2-6y-6=0、3x^2-4x+2=02、x^2-4x-5=0、2x^2+3x-1=03、x^2-4x=9、3x^2+2x-7=04、x^2-4x-5=0、-4x^2-8x=165、2x^2+3x-1=0、(2-3x)^2=46、-4x^2+12x=0三、用公式解法解下列方程。
1、x^2-2x-8=0、4y^2-2y-1=02、2x^2-5x+1=0、-4x^2-8x=16、2x^2-3x-2=0四、用因式分解法解下列一元二次方程。
1、x^2=2x、(x+1)^2-(2x-3)^2=3、x^2-6x+8=02、4(x-3)^2=25(x-2)、(1+2)x^2-(1-2)x=6、(2-3x)^2+(3x-2)^2=1五、用适当的方法解下列一元二次方程。
1、3x/(x-1)=x/(x+5)、2x-3=5x、x-2y+6=22、x^2-7x+10=0、(x-3)(x+2)=6、4(x-3)+x(x-3)=23、(5x-1)^-2=8、3y^2-4y-9=0、x^2-7x-30=24、(y+2)(y-1)=4、x^2-4ax=b^2-4a^2、x^2+(531/36)x=05、4x(x-1)=3、3x^2-9x+2=0一元二次方程解法练题六、用直接开平方法解下列一元二次方程。
1.4x-1=2解：移项得4x=3，两边平方得16x^2=9，即x=±3/4.2.(x-3)^2=2解：展开得x^2-6x+7=0，两边平方得x-3=±√2，即x=3±√2.3.(x-1)^2=5解：展开得x^2-2x-4=0，两边平方得x-1=±√5，即x=1±√5.4.81(x-2)=162解：移项得(x-2)^2=2，两边开平方得x-2=±√2，即x=2±√2.七、用配方法解下列一元二次方程。
一元二次方程专题练习(解析版)
一元二次方程专题练习（解析版）一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题（难）1．已知关于x 的一元二次方程kx 2﹣2（k +1）x +k ﹣1＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2． （1）求k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使1211x x -＝1成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）k ＞﹣13且k ≠0；（2）存在，7k =±详见解析 【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式，建立关于k 的不等式，求得k 的取值范围．（2）利用根与系数的关系，根据21121211,x x x x x x --=即可求出k 的值，看是否满足（1）中k 的取值范围，从而确定k 的值是否存在．【详解】解：（1）由题意知，k ≠0且△＝b 2﹣4ac ＞0∴b 2﹣4ac ＝[﹣2（k +1）]2﹣4k （k ﹣1）＞0，即4k 2+8k +4﹣4k 2+4k ＞0，∴12k ＞﹣4解得：k ＞13-且k ≠0（2）存在，且7k =±理由如下： ∵12122(1)1,,k k x x x x k k+-+== 又有211212111,x x x x x x --== 2112,x x x x ∴-=22222121122,x x x x x x ∴-+=22121212()4(),x x x x x x ∴+-=2222441()(),k k k k k k+--∴-= 22(22)(44)(1),k k k k ∴+--=-21430,k k ∴--=1,14,3,a b c ==-=-24208,b ac ∴∆=-=1472k ±∴==± k ＞13-且k ≠0， 172130.21,3-≈--＞ 17.3+-∴满足条件的k 值存在，且7k =± ．【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．2．已知二次函数y ＝9x 2﹣6ax +a 2﹣b ，当b ＝﹣3时，二次函数的图象经过点（﹣1，4） ①求a 的值；②求当a ≤x ≤b 时，一次函数y ＝ax +b 的最大值及最小值；【答案】①a 的值是﹣2或﹣4；②最大值＝13，最小值＝9【解析】【分析】①根据题意解一元二次方程即可得到a 的值；②根据a ≤x ≤b ，b ＝﹣3求得a=-4，由此得到一次函数为y ＝﹣4x ﹣3，根据函数的性质当x ＝﹣4时，函数取得最大值，x ＝﹣3时，函数取得最小值，分别计算即可.【详解】解：①∵y ＝9x 2﹣6ax +a 2﹣b ，当b ＝﹣3时，二次函数的图象经过点（﹣1，4） ∴4＝9×（﹣1）2﹣6a ×（﹣1）+a 2+3，解得，a 1＝﹣2，a 2＝﹣4，∴a 的值是﹣2或﹣4；②∵a ≤x ≤b ，b ＝﹣3∴a ＝﹣2舍去，∴a ＝﹣4，∴﹣4≤x ≤﹣3，∴一次函数y ＝﹣4x ﹣3，∵一次函数y ＝﹣4x ﹣3为单调递减函数，∴当x ＝﹣4时，函数取得最大值，y ＝﹣4×（﹣4）﹣3＝13x ＝﹣3时，函数取得最小值，y ＝﹣4×（﹣3）﹣3＝9.【点睛】此题考查解一元二次方程，一次函数的性质，（2）是难点，正确理解a 、b 的关系得到函数解析式是解题的关键.3．某连锁超市派遣调查小组在春节期间调查某种商品的销售情况，下面是调查后小张与其 他两位成员交流的情况．小张：“该商品的进价为 24元/件．”成员甲：“当定价为 40元/件时，每天可售出 480件．”成员乙：“若单价每涨 1元，则每天少售出 20件；若单价每降 1元，则每天多售出 40件．” 根据他们的对话，请你求出要使该商品每天获利 7680元，应该怎样合理定价？【答案】要使该商品每天获利7680元，应定价为36元/件、40元/件或48元/件【解析】【分析】设每件商品定价为x 元，则在每件40元的基础上涨价时每天的销售量是[]48020(40)x --件，每件商品的利润是(24)x -元，在每件40元的基础上降价时每天的销量是[]48040(40)x +-件，每件的利润是(24)x -元，从而可以得到答案．【详解】解：设每件商品定价为x 元．①当40x ≥时，[](24)48020(40)7680x x ---= ，解得：1240,48;x x ==②当40x <时，[](24)48040(40)7680x x -+-=，解得：1236,40x x ==（舍去），.答：要使该商品每天获利7680元，应定价为36元/件、40元/件或48元/件．【点睛】本题考查的是一元二次方程中的升降价对销售量产生影响方面的应用，用含有未知数的代数式表示销售量是这一类题的关键．4．随着经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，汽车消费成为新亮点．抽样调查显示，截止2008年底全市汽车拥有量为14.4万辆．已知2006年底全市汽车拥有量为10万辆．（1）求2006年底至2008年底我市汽车拥有量的年平均增长率；（2）为保护城市环境，要求我市到2010年底汽车拥有量不超过15.464万辆，据估计从2008年底起，此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%，那么每年新增汽车数量最多不超过多少辆？（假定每年新增汽车数量相同）【答案】详见解析【解析】试题分析：（1）主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）解决问题；（2）参照增长率问题的一般规律，表示出2010年的汽车拥有量，然后根据关键语列出不等式来判断正确的解．试题解析：（1）设年平均增长率为x ，根据题意得：10（1+x ）2=14.4，解得x=﹣2.2（不合题意舍去）x=0.2，答：年平均增长率为20%； （2）设每年新增汽车数量最多不超过y 万辆，根据题意得：2009年底汽车数量为14.4×90%+y ，2010年底汽车数量为（14.4×90%+y ）×90%+y ，∴（14.4×90%+y ）×90%+y≤15.464，∴y≤2．答：每年新增汽车数量最多不超过2万辆．考点：一元二次方程—增长率的问题5．已知关于x 的方程24832x nx n --=和()223220x n x n -+-+=，是否存在这样的n 值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的n 值；若不存在，请说明理由？【答案】存在，n=0.【解析】【分析】在方程①中，由一元二次方程的根与系数的关系，用含n 的式子表示出两个实数根的差的平方，把方程②分解因式，建立方程求n ，要注意n 的值要使方程②的根是整数.【详解】若存在n 满足题意.设x1，x2是方程①的两个根，则x 1+x 2=2n ，x 1x 2=324n +-，所以(x 1-x 2)2=4n 2+3n+2， 由方程②得，(x+n-1)[x-2(n+1)]=0，①若4n 2+3n+2=-n+1，解得n=-12，但1-n=32不是整数，舍. ②若4n 2+3n+2=2(n+2)，解得n=0或n=-14(舍)， 综上所述，n=0.6．如图，∠ AOB ＝90°，且点A ，B 分别在反比例函数1k y x =（x ＜0），2k y x=（x ＞0）的图象上，且k 1，k 2分别是方程x 2－x －6＝0的两根．（1）求k 1，k 2的值；（2）连接AB ，求tan ∠ OBA 的值．【答案】（1）k1＝－2，k2＝3．（2）tan∠OBA＝63．【解析】解：（1）∵k1，k2分别是方程x2－x－6＝0的两根，∴解方程x2－x－6＝0，得x1＝3，x2＝－2．结合图像可知：k1＜0，k2＞0，∴k1＝－2，k2＝3．（2）如图，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥y轴于点D．[来源:学&科&网Z&X&X&K]由（1）知，点A，B分别在反比例函数2yx=-（x＜0），3yx=（x＞0）的图象上，∴S△ACO＝12×2-＝1 ，S△ODB＝12×3＝32．∵∠ AOB＝90°，∴∠ AOC＋∠ BOD＝90°，∵∠ AOC＋∠ OAC＝90°，∴∠ OAC＝∠ BOD．又∵∠ACO＝∠ODB＝90°，∴△ACO∽△ODB．∴SSACOODB∆∆＝2OAOB⎛⎫⎪⎝⎭＝23，∴OAOB＝±6（舍负取正），即OAOB＝6．∴在Rt△AOB中，tan∠OBA＝OAOB＝6．7．有n个方程：x2+2x﹣8=0；x2+2×2x﹣8×22=0；…x2+2nx﹣8n2=0．小静同学解第一个方程x2+2x﹣8=0的步骤为：“①x2+2x=8；②x2+2x+1=8+1；③（x+1）2=9；④x+1=±3；⑤x=1±3；⑥x1=4，x2=﹣2．”（1）小静的解法是从步骤开始出现错误的．（2）用配方法解第n个方程x2+2nx﹣8n2=0．（用含有n的式子表示方程的根）【答案】（1）⑤；（2）x1=2n，x2=﹣4n．【解析】【分析】（1）根据移项要变号，可判断；（2）先把常数项移到方程的右边，再把方程两边都加上一次项系数的一半，使左边是一个完全平方式，然后用直接开平方法求解.【详解】解：（1）小静的解法是从步骤⑤开始出现错误的，故答案为⑤；（2）x2+2nx﹣8n2=0，x2+2nx=8n2，x2+2nx+n2=8n2+n2，（x+n）2=9n2，x+n=±3n，x1=2n，x2=﹣4n．8．近几年，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也在逐年增加．某商场从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，两种净化器的销售相关信息见下表：（1）每台A型空气净化器和B型空气净化器的销售利润分别是多少？（2）该公司计划一次购进两种型号的空气净化器共100台，其中B型空气净化器的进货量不少于A型空气净化器的2倍，为使该公司销售完这100台空气净化器后的总利润最大，请你设计相应的进货方案；（3）已知A型空气净化器的净化能力为300 m3/小时，B型空气净化器的净化能力为200 m3/小时．某长方体室内活动场地的总面积为200 m２，室内墙高3 m．该场地负责人计划购买5台空气净化器每天花费30分钟将室内空气净化一新，如不考虑空气对流等因素，至少要购买A型空气净化器多少台？【答案】（1）每台A型空气净化器的利润为200元，每台B型空气净化器的利润为100元；（2）为使该公司销售完这100台空气净化器后的总利润最大，应购进A型空气净化器33台，购进B型空气净化器67台；（3）至少要购买A型空气净化器2台.【解析】解：（1）设每台A型空气净化器的利润为x元，每台B型空气净化器的利润为y元，根据题意得：5102000,200, {{ 1052500.100. x y xx y y+==+==解得答：每台A型空气净化器的利润为200元，每台B型空气净化器的利润为100元. （2）设购买A型空气净化器m台，则购买B型空气净化器（100﹣m）台，∵B型空气净化器的进货量不少于A型空气净化器的2倍，∴100-m≥2m，解得：m≤100. 3设销售完这100台空气净化器后的总利润为W元.根据题意，得W=200m+100（100﹣m）=100m+10000.∵要使W最大，m需最大，∴当m=33时，总利润最大，最大利润为W：100×33+10000=13300（元）.此时100﹣m=67.答：为使该公司销售完这100台空气净化器后的总利润最大，应购进A型空气净化器33台，购进B型空气净化器67台.（3）设应购买A型空气净化器a台，则购买B型空气净化器（5﹣a）台，根据题意得：12[300a+200(5-a)]≥200×3.解得：a≥2.∴至少要购买A型空气净化器2台.9．如图直线y＝kx+k交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，且AB＝2（1）求k的值；（2）点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AB运动，过点P作直线AB的垂线交x轴于点Q，连接OP，设△PQO的面积为S，点P运动时间为t，求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围；（3）在（2）的条件下，当P在AB的延长线上，若OQ+AB＝7（BQ﹣OP），求此时直线PQ的解析式．【答案】（1）k32）当0＜t＜12时，S＝12•OQ•P y＝12（1﹣2t3＝﹣323．当t＞12时，S＝12OQ•P y＝12（2t﹣13＝323．（3）直线PQ的解析式为y＝﹣33x+533．【解析】【分析】（1）求出点B的坐标即可解决问题；（2）分两种情形①当0＜t＜12时，②当t＞12时，根据S＝12OQ•P y，分别求解即可；（3）根据已知条件构建方程求出t，推出点P，Q的坐标即可解决问题． 【详解】解：（1）对于直线y ＝kx +k ，令y ＝0，可得x ＝﹣1，∴A （﹣1，0），∴OA ＝1，∵AB ＝2，∴OB ＝223AB OA -=∴k ＝3．（2）如图，∵tan ∠BAO ＝3OB OA= ∴∠BAO ＝60°，∵PQ ⊥AB ，∴∠APQ ＝90°，∴∠AQP ＝30°，∴AQ ＝2AP ＝2t ， 当0＜t ＜12时，S ＝12•OQ •P y ＝12（1﹣2t 3323． 当t ＞12时，S ＝12OQ •P y ＝12（2t ﹣1）•32t ＝32t 2﹣34t ． （3）∵OQ +AB 7（BQ ﹣OP ），∴2t ﹣1+22221373(21)(1)24t t t +--+ ∴2t +1271t t -+∴4t 2+4t +1＝7t 2﹣7t +7，∴3t 2﹣11t +6＝0，解得t ＝3或23（舍弃）， ∴P （1233Q （5，0），设直线PQ的解析式为y＝kx+b，则有133 2250k bk b⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得3353kb⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线PQ的解析式为353y x=-+．【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，三角形的面积，无理方程等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．10．已知：如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的顶点C的坐标是（6，4），动点P 从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段AC运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿线段BO运动，当Q到达O点时，P，Q同时停止运动，运动时间是t秒（t＞0）．（1）如图1，当时间t＝秒时，四边形APQO是矩形；（2）如图2，在P，Q运动过程中，当PQ＝5时，时间t等于秒；（3）如图3，当P，Q运动到图中位置时，将矩形沿PQ折叠，点A，O的对应点分别是D，E，连接OP，OE，此时∠POE＝45°，连接PE，求直线OE的函数表达式．【答案】（1）t＝2；（2）1或3；（3）y＝12 x．【解析】【分析】先根据题意用t表示AP、BQ、PC、OQ的长．（1）由四边形APQO是矩形可得AP＝OQ，列得方程即可求出t．（2）过点P作x轴的垂线PH，构造直角△PQH，求得HQ的值．由点H、Q位置不同分两种情况讨论用t表示HQ，即列得方程求出t．根据t的取值范围考虑t的合理性．（3）由轴对称性质，对称轴PQ垂直平分对应点连线OC，得OP＝PE，QE＝OQ．由∠POE ＝45°可得△OPE是等腰直角三角形，∠OPE＝90°，即点E在矩形AOBC内部，无须分类讨论．要求点E坐标故过点E作x轴垂线MN，易证△MPE≌△AOP，由对应边相等可用t表示EN，QN．在直角△ENQ中利用勾股定理为等量关系列方程即求出t．【详解】∵矩形AOBC中，C（6，4）∴OB＝AC＝6，BC＝OA＝4依题意得：AP＝t，BQ＝2t（0＜t≤3）∴PC＝AC﹣AP＝6﹣t，OQ＝OB﹣BQ＝6﹣2t （1）∵四边形APQO是矩形∴AP＝OQ∴t＝6﹣2t解得：t＝2故答案为2．（2）过点P作PH⊥x轴于点H∴四边形APHO是矩形∴PH＝OA＝4，OH＝AP＝t，∠PHQ＝90°∵PQ＝5∴HQ3 =①如图1，若点H在点Q左侧，则HQ＝OQ﹣OH＝6﹣3t ∴6﹣3t＝3解得：t＝1②如图2，若点H在点Q右侧，则HQ＝OH﹣OQ＝3t﹣6∴3t﹣6＝3解得：t＝3故答案为1或3．（3）过点E作MN⊥x轴于点N，交AC于点M∴四边形AMNO是矩形∴MN＝OA＝4，ON＝AM∵矩形沿PQ折叠，点A，O的对应点分别是D，E∴PQ垂直平分OE∴EQ＝OQ＝6﹣2t，PO＝PE∵∠POE＝45°∴∠PEO＝∠POE＝45°∴∠OPE＝90°，点E在矩形AOBC内部∴∠APO+∠MPE＝∠APO+∠AOP＝90°∴∠MPE＝∠AOP在△MPE与△AOP中PME OAP90 MPE AOPPE0P ︒⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△MPE≌△AOP（AAS）∴PM＝OA＝4，ME＝AP＝t∴ON＝AM＝AP+PM＝t+4，EN＝MN﹣ME＝4﹣t∴QN＝ON﹣OQ＝t+4﹣（6﹣2t）＝3t﹣2∵在Rt△ENQ中，EN2+QN2＝EQ2∴（4﹣t）2+（3t﹣2）2＝（6﹣2t）2解得：t1＝﹣2（舍去），t2＝4 3∴AM＝43+4＝163，EN＝4﹣43＝83∴点E坐标为（163，83）∴直线OE的函数表达式为y＝12 x．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，解一元一次和一元二次方程．在动点题中要求运动时间t的值，常规做法是用t表示相关线段，再利用线段相等或勾股定理作为等量关系列方程求值．要注意根据t的取值范围考虑方程的解的合理性．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
用函数观点看一元二次方程练习题
一、基础练习
1．抛物线y=2（x+3）（x-2）与x轴、y轴的交点坐标分别为（）
A．（-3，0），（2，0），（0，-6） B．（3，0），（-2，0），（0，6）
C．（-3，0），（2，0），（0，-12） D．（3，0），（-2，0），（0，12）2．抛物线y=ax2+2ax+c与x轴的一个交点为（-5，0），则它与x•轴的另一个交点的坐标为（）
A．（3，0） B．（-3，0） C．（1
3
，0） D．不能确定，与a的值有关
3．已知函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么此函数的解析式为（）
A．y=-x2+2x+3 B．y=x2-2x-3
C．y=-x2-2x+3 D．y=-x2-2x-3
4．若抛物线y=ax2+bx+c的所有点都在x轴下方，则必有（）
A．a<0，b2-4ac>0 B．a>0，b2-4ac>0
C．a<0，b2-4ac<0 D．a>0，b2-4ac<0
5．若二次函数y=x2-2x-8的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，则△ABC的面积为（） A．8 B．12 C．16 D．24
6．无论k为何值时，直线y=2kx-1和抛物线y=x2+x+k （）
A．都有一个交点 B．都有两个公共点
C．没有公共点 D．公共点的个数随k的变化而变化
7．已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c-3=0的根的
情况是（）
A．有两个不相等的正实数根 B．有两个异号实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
8．由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：“已知二次函数y=x2+bx+c的图象过点（1，0），……，求证：这个二次函数的图象关于直线x=2对称”．•根据现有信息，题中的二次函数图象，不具有的性质是（）
A．过点（3，0） B．顶点（2，-2）
C．在x轴上截得线段长是2 D．与y轴的交点是（0，3）
9．已知函数y=ax2的图象与直线y=x-1有一个公共点（2，1），则函数y=4ax2的图象与直线y=x-1的交点的个数为（）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．已知抛物线y=a（x-1）（x-2）经过点（-1，3），观察图象可知，函数y的值大于0时，x的取值范围为（）
a．x>2或x<1 C．1<x<2 C．x>-1或x<-2 D．-2<x<-1
二、整合练习：
1．把抛物线y=-3（x-1）2向上平移k个单位，所得新抛物线与x轴交于点A（x1，0）和B
（x2，0），如果x12+x22=26
9
，求k的值．
2．已知抛物线y=x2-4x+m的顶点A在直线y=-4x-1上．
（1）求抛物线y=x2-4x+m的顶点坐标；
（2）若抛物线y=x2-4x+m与x轴交于B、C两点，求△ABC外接圆的面积．
3．已知点M（p，q）在抛物线y=x2-1上，若以M为圆心的圆与x轴有两个交点A、B，•且A、B两点的横坐标是关于x的方程x2-2px+q=0的两根．
（1）当M在抛物线上运动时，圆M在x轴上截得的弦长是否变化？为什么？
（2）若抛物线y=x2-1的顶点为C，又△ABC构成一个以AB为底边的等腰三角形时，求p、q的值．
参考答案
一、
1．C 2．A 3．A 4．C 5．D 6．D 7．C 8．B 9．A 10．A 二、
1．把抛物线y=-3（x-1）2向上平移k 个单位，得抛物线y=-3（x-1）2
+k ．与x 轴交于点A （x 1，0），B （x 2，0）．所以-3（x 2
-2x+1）+k=0的两根为x 1，x 2，x 1+x 2=2，x 1·x 2=1-3
k ，x 12
+x 22
=（x 1+x 2）2
-2x 1x 2=4-2+
23k =269，解得k=43．当k=43时，3x 2
-6x+3-43
=0的判别式△=16>0，新抛物线与x 轴交于两点，所以k=4
3
．
2．（1）抛物线y=x 2
-4x+m=（x-2）2
+m-4的顶点A 为（2，m-4）．在直线y=-4x-1上，所以m-4=-9，m=-5，所以顶点A 的坐标为（2，-9）．
（2）由x 2
-4x-5=0解得x 1=5，x 2=-1，•所以抛物线与x 轴交于（5，0），（-1，0）两点，
设△ABC 的外接圆圆心为（2，p ），p+q=22
(52)p -+，解得p=-4，•外接圆半径为5，
外接圆面积为25π．
3．（1）设A （x 1，0），B （x 2，0），所以x 1+x 2=2p ，x 1x 2=q ， 又AB=│x 1-x 2│=2
221212()4442x x x x p q p q +-=
-=-．
因为点M （p ，q ）在抛物线y=x 2
-1上，将x=p ，y=q 代入得q=p 2
-1，
所以p 2
-q=1，AB=2．
即当M 在抛物线上运动时，⊙M 在x 轴上截得的弦AB 的长不会变化， 不论p 、q 取何值，永远有AB=2．
（2）抛物线y=x 2
-1的顶点C 的坐标为（0，-1），且AB=2， △ABC 为以AB 为底边的等腰三角形，AC=BC ，
即211x +=2
21x +，x 12-x 22
=0，（x 1+x 2）（x 1-x 2）=0．
因为x 1≠x 2，所以x 1+x 2=0，2p=x 1+x 2=0，即p=0，又q=p 2
-1=-1．。