数学：3.3.2《简单的线性规划》课件(新人教A版必修5)

例1．下表给出甲、乙、丙三种食物中维 生素A、B的含量及单价：
甲
维生素A(单位/千克) 维生素B(单位/千克) 单价(元/千克)
乙
丙
400 800 7
600 200 6
400 400 5
营养师想购买这三种食品共10千克，使它 们所含的维生素A不少于4400单位，维生 素B不少于4800单位，而且要使付出的金 额最低，这三种食物应各购买多少千克？
根据上述不等式组，作出表示可行域的 平面区域，如图阴影部分所示。 画直线l0：5x+3y=0， y x-y+1=0 平行移动l0到直线l的 6 M 5 位置，使l过可行域中 4 3x+5y=37 3 的某点，并且可行域 2 内的其它各点都在l的 1 x=1 x O 1 2 3 4 5 6 7 包含直线l0的同一侧。5x+3y=0
得点B的坐标为(200，300)。
将x=200，y=300代入式子①: 30x+40y，得
Fmax=30×200+40×300=18000. 答：用200工时生产甲种产品，用300工 时生产乙种产品，能获得利润18000元， 此时利润总额最大。
在上述问题中，我们把要求最大值或 最小值的函数f=30x+40y叫做目标函数， 目标函数中的变量所要满足的不等式 组②称为约束条件。
如果目标函数是关于变量的一次函数， 则称为线性目标函数，如果约束条件是关 于变量的一次不等式（或等式），则称为 线性约束条件。
在线性约束条件下求线性目标函数的最 大值或最小值问题，称为线性规划问题。 使目标函数达到最大值或最小值的点的坐 标，称为问题的最优解。
一般地，满足线性约束条件的解(x，y) 叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫 做可行域。
C B
500
400
300 200
x+2y=800
：30 x+40y=0
100
O
A
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
且OABC内的其它各点都在l的包含直线 l0的同一侧，很容易证明该点到l0的距离最 大，用此法区域OABC内的点B为所求。
3x 2 y 1200 解方程组 x 2 y 800
解：设购买甲种食物x千克，乙种食物y 千克，则购买丙种食物(10－x－y)千克， 又设总支出为z元，由题意得 z=7x+6y+5(10－x－y)， 化简得 z=2x+y+50，
400 x 600 y 400(10 x y ) ≥ 4400 x，y应满足的 800 x 200 y 400(10 x y ) ≥ 4800 x ≥ 0, y ≥ 0 约束条件 10 x y ≥ 0
化简得
y≥2 2 x y ≥ 4 x y ≤ 10 x≥0
根据上述不等式组，作 出表示可行域的平面区
域，如图阴影部分所示。
化简得
y≥2 2 x y ≥ 4 x y ≤ 10 x≥0
根据上述不等式组，作
10 2x-y=4 8 x+y=10 出表示可行域的平面区 6 域，如图阴影部分所示。 4 y=2 2 x O 2 4 6 8 10
解：依题意，可列表如下：
产品 生产甲种产 品1工时 生产乙种产 品1工时 限额数量 原料A数量 (kg) 原料B数量 (kg) 利润(元)
3 2
1 2
30 40
1200
800
设计划生产甲种产品x工时，计划生产乙
种产品y工时，
则获得的利润总额为f=30x+40y。 其中x, y满足下列条件 ：
3x 2 y ≤ 1200 x 2 y ≤ 800 x≥0 y≥0
货物
甲
乙
每袋体积(单 位：m3) 5 4
每袋重量(单 位：百千克) 1 2.5
每袋利润(单 位：百元) 20 10
问：在一个大集装箱内，这两种货物各装 多少袋(不一定都是整袋)时，可获得最大 利润？
解：设托运甲种货物x袋，乙种货物y袋， 获得利润z百元。 则 z=20x+10y。
y
依题意可得关于x，y 6 的约束条件 5
新课标人教版课件系列
《高中数学》
必修5
3.3.2 《简单的线性规划》
审校：王伟
教学目标
• （1）了解线性规划的意义、了解可行域的意义； • （2）掌握简单的二元线性规划问题的解法． • （3）巩固图解法求线性目标函数的最大、最小值 的方法； • （4）会用画网格的方法求解整数线性规划问题． • （5）培养学生的数学应用意识和解决问题的能 力． • 教学重点、难点 • 二元线性规划问题的解法的掌握．
y2 解方程组 2 x y 4
得点M(3，2)。
因此，当x=3，y=2时，z取得最小值
z=2×3+2+50=58.
此时，10－x－y=5. 答：购买甲食物3千克，乙食物2千克， 丙食物5千克，付出的金额最低为58元。
例2．某货运公司拟用集装箱托运甲、乙 两种货物，一个大集装箱能够所托运的货 物的总体积不能超过24m3，总重量不能低 于650千克。甲、乙两种货物每袋的体积、 重量和可获得的利润，列表如下：
画直线l0：2x+y=0，平行移动l0到直线l的 位置，使l过可行域中的某点，并且可行 域内的其它各点都在l的不包含直线l0的另 外一侧。
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画直线l0：2x+y=0，平行移动l0到直线l的 位置，使l过可行域中的某点，并且可行 域内的其它各点都在l的不包含直线l0的另 外一侧。
该点到直线l0的距离最
y
2x+5y=13 5 6 7
x
9 8
y
5x+4y=247
6 5 4 3 2 1
l
l0：20 x+10y=0
O
1 2 3
M
4 5
2x+5y=13
6 7 8 9 10
该点到直线l0的距离最大，则这一点 的坐标使目标函数取最大值。
容易看出，点M符合上述条件，点M是 直线2x+5y=13与直线5x+4y=24的交点。
该点到直线l0的距离最大，则这一点的
坐标使目标函数取最大值。
容易看出，点M符合上述条件，点M是 直线x－5y+1=0与直线3x+3y=37的交点。
x y 1 解方程组 3x 5 y 37
得点M(4，5)。
因此，当x=4，y=5时，z取得最大值，
并且zmax=5×4+3×5=35. 答：A、B两区参与活动同学的人数分别
为4，5时，受到服务的老人最多，最多为
35人。
问题：某工厂计划生产甲、乙两种产 品，这两种产品都需要两种原料。生产 甲产品1工时需要A原料3kg，B原料1kg； 生产乙产品1工时需要A原料2kg，B原料 2kg。现有A原料1200kg，B原料800kg。 如果生产甲产品每工时的平均利润是30 元，生产乙产品每工时的平均利润是40 元，问同时生产两种产品，各多少工时 能使利润的总额最大？最大利润是多少？
在生产与营销活动中，我们常常需要
考虑：怎样利用现有的资源（人力、物
力、资金……），取得最大的收益。或
者，怎样以最少的资源投入去完成一项 给定的任务。我们把这一类问题称为 “最优化”问题。 不等式的知识是解决“最优化”问题的 得力工具。
我们将借助二元一次不等式（组）的 几何表示，学习“最优化”问题中的简 单“线性规划”问题。
解：设A、B两区参与活动的人数分别为 x，y受到服务的老人人数为z， y x ≥1 则z=5x+3y， 3 x 5 y ≤ 37 应满足的约束条件是 x ≥1 x y 1≤ 0 x, y Z 3 x 5 y ≤ 37 化简得 x ≥1 x, y Z
5 x 4 y 24 解方程组 2 x 5 y 13
得点M(4，1)。
因此当x=4，y=1时，z取得最大值，此 时zmax=20×4+10×1=90.
答：在一个大集装箱内装甲种货物4袋， 乙种货物1袋，可获得最大利润9000元。
例3．A、B两个居民小区的居委会组织本 小区的中学生，利用双休日去市郊的敬老 院参加献爱心活动，两个小区都有同学参 加。已知A区的每位同学往返车费是3元， 每人可为5位老人服务；B区的每位同学往 返车费是5元，每人可为3位老人服务。如 果要求B区参与活动的同学比A区的同学多， 且去敬老院的往返总车费不超过37元。怎 样安排参与活动同学的人数，才能使受到 服务的老人最多？受到服务的老人最多是 多少人？
O
A 400
令30x+40y=0，则此方程表示通过原点 的一条直线，记为l0，易知：在区域 OABC内有 30x+40y≥0。 考察这个区域内任意一点P(x, y)到l0距离
d | 30 x 40 y | 30 40
2 2

30 x 40 y 30 40
2 2
于是 30 x 40 y 302 402 d
①
②
于是问题转化为，在x，y满足条件② 的情况下，求式子30x+40y的最大值。
画出不等式组②表示的平面区域OABC。
画出不等式组②表示的平面区域OABC。 问题又转化为，在不等式组②表示的平 面区域内找一点，把它的坐标代入式子 y 30x+40y时，使该式 取得最大值。
C 400 B x 800
小，则这一点的坐标使
目标函数取最小值。
10 2x-y=4 8 x+y=10 6 4 M y=2 2 x O 2 4 6 8 10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
y
2x-y=4 l x+y=10 y=2
M
O
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
容易看出，点M符合上述条件，点M是
直线y=2与直线2x－y=4的交点。
5x+4y=24
5x 4 y ≤ 24 2 x 5 y ≥13 x ≥ 0, y ≥ 0
4 3 2 1 O
2x+5y=13 1 2 3 4 5 6 7
x
根据上述不等式组，作出表示可行域的 平面区域，如图阴影部分所示。 画直线l0：20x+10y=0， 平行移动l0到直线l的位 6 5x+4y=24 5 置，使l过可行域中的 4 3 某点，并且可行域内的 2 1 其它各点都在l的包含 O 1 2 3 4 直线l0的同一侧。 x+2y=0
这就是说，点P(x，y)到直线l0的距离d 越大，式子30x+40y的值也越大。 因此问题转化为：在不等式组②表示 的平面区域内找一点，使它到直线l0的距 离最大。 为在区域OABC内精确地找到这一点， 我们平移直线l0的位置到l，使l通过 OABC内的某点，
y
700
600
l
3x+2y=1200