2018版高中数学 第二章 概率章末复习课学案 苏教版选修2-3
2018年高中数学 第2章 概率 2.6 正态分布教学案 苏教版选修2-3
2.6 正态分布1．概率密度曲线对于某一随机变量的频率分布直方图，若数据无限增多且组距无限缩小，那么频率分布直方图上的频率折线将趋于一条光滑的曲线，我们将此曲线称为概率密度曲线．23.正态分布若X 是一个随机变量，则对任给区间(a ，b ]，P (a <X ≤b )恰好是正态密度曲线下方和x 轴上(a ，b ]上方所围成的图形的面积，我们就称随机变量X 服从参数为μ和σ2的正态分布，简记为X ～N (μ，σ2)．4．标准正态分布正态分布N (0，1)称为标准正态分布．5．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值落在区间(μ－σ，μ＋σ)上的概率约为68.3%； 落在区间(μ－2σ，μ＋2σ)上的概率约为95.4%； 落在区间(μ－3σ，μ＋3σ)上的概率约为99.7%. 6．中心极限定理在独立地大数量重复试验时，就平均而言，任何一个随机变量的分布都将趋近于正态分布，这就是中心极限定理．1．在正态分布X ～N (μ，σ2)中，μ就是随机变量X 的均值，σ2就是随机变量X 的方差，它们分别反映X 取值的平均大小和稳定程度．2．正态密度曲线的性质(1)曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称；(3)曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π；(4)曲线与x 轴之间的面积为1；(5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移，如图①；(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“尖陡”；σ越大，曲线越“扁平”，如图②.[例1] 如图所示是一个正态密度曲线．试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出随机变量的均值和方差．[思路点拨] 解答本题可首先借助图象观察该函数的对称轴及最大值，然后结合φμ，σ(x)＝12πσe－（x－μ）22σ2可知μ及σ的值．[精解详析] 从给出的正态密度曲线可知，该正态密度曲线关于直线x＝20对称，最大值是12π，所以μ＝20.12π·σ＝12π，解得σ＝ 2.于是概率密度函数的解析式是f(x)＝12π· e－（x－20）24，x∈(－∞，∞)．随机变量的均值是μ＝20，方差是σ2＝()22＝2.[一点通] 利用图象求正态密度曲线的方程．关键是确定μ，σ.结合图象，利用正态密度曲线的两条性质：一是对称轴，二是最值即可求出μ，σ.相应参数确定了，代入f(x)＝12πσe－（x－μ）22σ2即可．1．下列函数是正态密度函数的是________．(1)f(x)＝12πσe（x－μ）22σ2，μ，σ(σ>0)都是实数(2)f(x)＝2π2πe－x22(3)f(x)＝122πe－（x－1）24(4)f(x)＝12πex22解析：本题考查正态密度函数，可对照f(x)＝12π·σe－（x－μ）22σ2，其中指数部分的σ应与系数的分母处的σ保持一致，系数为正数且指数为负数．(1)有两处错误，分别是2π·σ错为2πσ，指数错为正数．(3)从系数可得σ＝2，从而指数处可得σ＝2，显然不符．(4)中指数为正，错误．答案：(2)2．若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为142π.求该正态分布的概率密度函数的解析式．解：由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0.由于12πσ＝12π·4，得σ＝4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是φμ，σ(x)＝142πe－x232，x∈(－∞，＋∞).[例2] 关于正态曲线φ(x)＝12πσe－（x－μ）22σ2，x∈(－∞，＋∞)，σ>0有以下命题：①正态密度曲线关于直线x＝μ对称；②正态密度曲线关于直线x＝σ对称；③正态密度曲线与x轴一定不相交；④正态密度曲线与x轴一定相交；⑤正态密度曲线所代表的函数是偶函数；⑥曲线对称轴由μ确定，曲线的形状由σ决定；⑦当μ一定时，σ越大，曲线越“扁平”，σ越小，曲线越“尖陡”．其中正确的是________(填序号)．[思路点拨] 根据正态分布曲线的性质可直接判断．[精解详析] 根据正态分布曲线的性质可得，由于正态密度曲线是一条关于直线x＝μ对称，在x＝μ处于最高点并由该点向左、右两边无限延伸，逐渐降低的曲线，该曲线总是位于x轴的上方，曲线形状由σ决定，而且当μ一定时，比较若干个不同的σ对应的正态曲线，可以发现σ越大，曲线越“扁平”，σ越小，曲线越“尖陡”．故①③⑥⑦正确．[答案] ①③⑥⑦[一点通] 解决正态曲线的性质问题，应对正态曲线的简单性质要熟练掌握并且能够应用，尤其是对称性，最高点的位置，曲线左右无限延伸并逐渐降低，要结合正态曲线的图象理解并掌握．3．设两个正态分布N(μ1，σ21)(σ1＞0)和N(μ2，σ22)(σ2＞0)的密度函数图象如图所示．则下列说法正确的是________．①μ1<μ2，σ1<σ2；②μ1<μ2，σ1>σ2；③μ1>μ2，σ1<σ2；④μ1>μ2，σ1>σ2.解析：当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“扁平”，表示总体越分散；σ越小，曲线越“尖陡”，表示总体的分布越集中，这个性质可直接判断．由正态曲线性质知μ1<μ2，σ1<σ2.答案：①4．标准正态分布N(0，1)在区间(－2，－1)和(1，2)上取值的概率分别为p1，p2，则p1与p2的大小关系为________．解析：根据正态曲线的特点，关于x＝0对称，故在区间(－2，－1)和(1，2)上取值的概率相等，即p1＝p2.答案：p1＝p2[例3] 若随机变量X～N(0，1)，查标准正态分布表，求：(1)P(X≤1.26)；(2)P(X>1.26)；(3)P(0.51<X≤3.2)；(4)P(X<－2.1)．[思路点拨] 借助正态密度曲线的性质将问题转化为P(X≤m)的形式，然后查标准正态分布表求值．[精解详析] (1)P(X≤1.26)＝0.896 2.(2)P(X>1.26)＝1－P(X≤1.26)＝1－0.896 2＝0.103 8.(3)P(0.51<X≤1.2)＝P(X≤1.2)－P(X≤0.51)＝0.884 9－0.695 0＝0.189 9.(4)P(X<－2.1)＝P(X>2.1)＝1－P(X≤2.1)＝1－0.982 1＝0.017 9.[一点通] 由于标准正态分布表是针对X≥0设计的，若X<0，则须转换再查表，在查表前，可画个草图将所求的概率进行转化，然后再查表．5．已知随机变量X服从正态分布N(4，σ2)，若P(X>8)＝0.4则P(X<0)＝________．解析：∵随机变量X服从正态分布N(4，σ2)，μ＝4，P(X>8)＝0.4，∴P(X<0)＝P(X>8)＝0.4.答案：0.46．已知X～N(3，σ2)，若P(X≤2)＝0.2，则P(X≤4)等于________．解析：由正态分布知识，因为X～N(3，σ2)，所以P(X≤3)＝0.5，P(X≤2)＝0.2＝P(X>4)，所以P(X≤4)＝1－P(X>4)＝1－0.2＝0.8.答案：0.81．求随机变量的正态密度函数时，只需求出μσ即可，也就是求出样本的均值及标准差．2．在利用对称性转化区间时，要注意正态曲线的对称性．课下能力提升(十七)一、填空题1．正态曲线关于y 轴对称，当且仅当它所对应的正态总体均值为________． 解析：正态曲线关于直线x ＝μ对称， 当曲线关于y 轴对称时，说明μ＝0. 答案：02．设随机变量X ～N (1，4)，若P (X ≥a ＋b )＝P (X ≤a －b )，则实数a 的值为________． 解析：∵P (X ≥a ＋b )＝P (X ≤a －b )， ∴（a ＋b ）＋（a －b ）2＝1.∴a ＝1.答案：13．已知随机变量X 服从正态分布N (0，σ2)，若P (X >2)＝0.023，则P (－2≤X ≤2)＝________．解析：∵随机变量X 服从标准正态分布N (0，σ2)， ∴正态曲线关于直线x ＝0对称，又P (X ＞2)＝0.023. ∴P (X ＜－2)＝0.023.∴P (－2≤X ≤2)＝1－2×0.023＝0.954. 答案：0.9544. 右图是三个正态分布X ～N (0，0.25)，Y ～N (0，1)，Z ～N (0，4)的密度曲线，则三个随机变量X ，Y ，Z 对应曲线分别是图中的________、________、________．解析：在密度曲线中，σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“瘦高”． 答案：① ② ③5．某中学有1 000人参加高考并且数学成绩近似地服从正态分布N (100，102)，则此校数学成绩在120分以上的考生人数约为________(φ(2)≈0.977)．解析：用X 表示此中学数学高考成绩，则X ～N (100，102)，∴P (X >120)＝1－P (X ≤120)＝1－φ⎝⎛⎭⎪⎫120－10010≈0.023，∴120分以上的考生人数约为1 000×0.023＝23. 答案：23 二、解答题6．如图为某地成年男性体重的正态分布密度曲线图，试根据图象写出其正态分布密度函数，并求出随机变量的均值与方差．解：由图易知，该正态曲线关于x ＝72对称，最大值为1102π，所以μ＝72.再1σ2π＝1102π得σ＝10，于是概率密度函数的解析式是f (x )＝1102π·e －（x －72）2200，x ∈(－∞，＋∞)． 总体随机变量的均值是μ＝72，方差是σ2＝100.7．在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似服从正态分布N (60，100)，已知成绩在90分以上的学生有13人．(1)求此次参加竞赛的学生总数共有多少人？(2)若计划奖励竞赛成绩排在前228名的学生，问受奖学生的分数线是多少？ 解：设学生的得分情况为随机变量X ，X ～N (60，100)． 则μ＝60，σ＝10.(1)P (30<X ≤90)＝P (60－3×10<X ≤60＋3×10)＝0.997 4.∴P (X >90)＝12[1－P (30<X ≤90)]＝0.001 3，∴学生总数为：130.001 3＝10 000(人)．(2)成绩排在前228名的学生数占总数的0.022 8. 设分数线为x .则P (X ≥x 0)＝0.022 8.∴P (120－x 0<x <x 0)＝1－2×0.022 8＝0.954 4. 又知P (60－2×10<x <60＋2×10)＝0.954 4. ∴x ＝60＋2×10＝80(分)． 即受奖学生的分数线是80分．8．若随机变量X ～N (0，1)，查表求： (1)P (0<X ≤2.31)；(2)P (1.38≤x <0)； (3)P (|X |<0.5)．解：(1)P (0<X ≤2.31)＝P (X ≤2.31)－P (X ≤0) ＝0.989 6－0.5＝0.489 6.(2)P (－1.38≤X <0)＝P (0<X ≤1.38) ＝P (X ≤1.38)－P (X ≤0) ＝0.916 2－0.5＝0.416 2.(3)P (|X |<0.5)＝P (－0.5<X <0.5) ＝P (－0.5<X ≤0)＋P (0<X <0.5) ＝2P (0<X <0.5)＝2[P (X <0.5)－P (X ≤0)] ＝2(0.691 5－0.5)＝2×0.191 5＝0.383 0.。
苏教版高中数学选修2-32.3.1 条件概率学案
2018-2019学年苏教版选修2-3 2.3.1 条件概率 学案[学习目标] 1.理解条件概率的定义.2.掌握条件概率的计算方法.3.利用条件概率公式解决一些简单的实际问题.知识点一 条件概率的概念一般地，对于两个事件A 和B ，在已知事件B 发生的条件下事件A 发生的概率，称为事件B 发生的条件下事件A 的条件概率，记为P (A |B )．若P (B )>0，则事件B 发生的条件下A 发生的条件概率是P (A |B )＝P (AB )P (B ). 知识点二 条件概率的性质 1．P (A |B )∈[0,1]．2．如果B 与C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )． 思考 若事件A ，B 互斥，则P (A |B )是多少？ 答 A 与B 互斥，即A ，B 不同时发生． ∴P (AB )＝0， ∴P (A |B )＝0.题型一 条件概率例1 一个盒子中有6个白球、4个黑球，每次从中不放回地任取1个，连取两次，求第一次取到白球的条件下，第二次取到黑球的概率.解 方法一 记“第一次取到白球”为事件A ，“第二次取到黑球”为事件B . 显然，事件“第一次取到白球，第二次取到黑球”的概率为 P (AB )＝6×410×9＝415.由条件概率的计算公式，得 P (B |A )＝P (AB )P (A )＝415610＝49.方法二 这个问题还可以这样理解：第一次取到白球，则只剩9个球，其中5个白球，4个黑球，在这个前提下，第二次取到黑球的概率是49.反思与感悟 (1)对于古典概型的概率求法要搞清楚基本事件总数.(2)条件概率的定义揭示了P (A )，P (AB )及P (B |A )三者之间的关系，反映了“知二求一”的互化关系.跟踪训练1 某校高三(1)班有学生40人，其中共青团员15人，全班分成4个小组，第一小组有学生10人，共青团员4人.从该班任选一人作学生代表. (1)求选到的是共青团员的概率；(2)求选到的既是共青团员又是第一小组学生的概率； (3)已知选到的是共青团员，求他是第一小组学生概率.解 设“选到的是共青团员”为事件A ，“选到的是第一小组学生”为事件B ，则“选到的既是共青团员又是第一小组学生”为事件AB . (1)P (A )＝1540＝38.(2)P (AB )＝440＝110.(3)方法一 P (B |A )＝P (AB )P (A )＝11038＝415.方法二 由题意知，事件A 所包含的基本事件个数为15，事件AB 所包含的基本事件个数为4，∴P (B |A )＝n (AB )n (A )＝415. 题型二 条件概率的应用例2 在某次考试中，从20道题中随机抽取6道题，若考生至少能答对其中的4道即可通过；若至少能答对其中5道就获得优秀.已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率. 解 设事件A 为“该考生6道题全答对”，事件B 为“该考生答对了其中5道题，另一道答错”， 事件C 为“该考生答对了其中4道题，另两道答错”， 事件D 为“该考生在这次考试中通过”， 事件E 为“该考生在这次考试中获得优秀”， 则A ，B ，C 两两互斥，且D ＝A ∪B ∪C ，E ＝A ∪B ， 由古典概型的概率公式及加法公式可知 P (D )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C ) C 610C 620＋C 510·C 110C 620＋C 410·C 210C 620＝12 180C 620. ∵P (AD )＝P (A )， P (BD )＝P (B )， ∴P (E |D )＝P (A ∪B |D )＝P (A |D )＋P (B |D ) ＝P (A )P (D )＋P (B )P (D )＝C 610C 62012 180C 620＋C 510·C 110C 62012 180C 620＝1358. 所以他获得优秀成绩的概率是1358.反思与感悟 当所求事件的概率相对较复杂时，往往把该事件分成两个(或多个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用P ((B ∪C )|A )＝P (B |A )＋P (C |A )便可求得较复杂事件的概率.跟踪训练2 高二·一班和高二·二班两班共有学生120名，其中女同学50名，若一班有70名同学，而女生30名，问在碰到一班同学时，正好碰到一名女同学的概率.解 设事件A 为“碰到一班的一名同学”，事件B 为“正好碰到一班的一名女同学”， 易知n (A )＝70，n (AB )＝n (B )＝30， 由条件概率公式求得P (B |A )＝n (AB )n (A )＝37.1.从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝________. 答案 14解析 P (A )＝C 23＋C 22C 25＝25，P (AB )＝C 22C 25＝110， P (B |A )＝P (AB )P (A )＝14. 2.甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A 为“三个人去的景点不相同”，B 为“甲独自去一个景点”，则概率P (A |B )等于________. 答案 12解析 由题意可知.n (B )＝C 1322＝12，n (AB )＝A 33＝6.∴P (A |B )＝n (AB )n (B )＝612＝12.3.设某种动物能活到20岁的概率为0.8，能活到25岁的概率为0.4，现有一只20岁的这种动物，它能活到25岁的概率是________.答案 0.5解析 设事件A 为“能活到20岁”，事件B 为“能活到25岁”， 则P (A )＝0.8，P (B )＝0.4，而所求概率为P (B |A )，由于B ⊆A ，故AB ＝B ， 于是P (B |A )＝P (AB )P (A )＝P (B )P (A )＝0.40.8＝0.5，所以一只20岁的这种动物能活到25岁的概率是0.5.4.某险种的基本保费为a (单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：(1)求续保人本年度的保费高于基本保费的概率；(2)若续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率.解 (1)设A 表示事件：“续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A 发生当且仅当一年内出险次数大于1，故P (A )＝0.2＋0.2＋0.1＋0.05＝0.55.(2)设B 表示事件：“续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于3，故P (B )＝0.1＋0.05＝0.15. 又P (AB )＝P (B )，故P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝P （B ）P （A ）＝0.150.55＝311.因此所求概率为311.1.条件概率：P (A |B )＝P (AB )P (B )＝n (AB )n (B ). 2.概率P (A |B )与P (AB )的区别与联系：P (AB )表示在样本空间Ω中，计算AB 发生的概率，而P (A |B )表示在缩小的样本空间ΩB 中，计算A 发生的概率.用古典概型公式，则P (A |B )＝AB 中样本点数ΩB 中样本点数，P (AB )＝AB 中样本点数Ω中样本点数.。
2018版高中数学 第二章 概率 2.4 二项分布学案 苏教版选修2-3
2.4 二项分布学习目标 1.理解n次独立重复试验的模型.2.掌握二项分布公式.3.能利用独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题．知识点一独立重复试验思考1 要研究抛掷硬币的规律，需做大量的掷硬币试验，试验的条件有什么要求？思考2 试验结果有哪些？思考3 各次试验的结果有无影响？梳理n次独立重复试验的特点(1)由________次试验构成．(2)每次试验____________完成，每次试验的结果仅有____________的状态，即________．(3)每次试验中P(A)＝p＞0.特别地，n次独立重复试验也称为伯努利试验．知识点二二项分布在体育课上，某同学做投篮训练，他连续投篮3次，每次投篮的命中率都是0.8，用A i(i＝1,2,3)表示第i次投篮命中这个事件，用B k表示仅投中k次这个事件．思考1 用A i如何表示B1，并求P(B1)．思考2 试求P(B2)和P(B3)．梳理一般地，在n次独立重复试验中，每次试验事件A发生的概率均为p(0＜p＜1)，即P(A)＝p，P(A)＝1－p＝q.若随机变量X的分布列为P(X＝k)＝C k n p k q n－k，其中0＜p＜1，p＋q＝1，k＝0,1,2，…，n，则称X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p)．类型一求独立重复试验的概率例1 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和34，假设每次射击是否击中目标相互之间没有影响．(结果需用分数作答)引申探究若本例条件不变，求两人各射击2次，甲、乙各击中1次的概率．(1)求甲射击3次，至少有1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率．反思与感悟独立重复试验概率求法的三个步骤(1)判断：依据n次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验．(2)分拆：判断所求事件是否需要分拆．(3)计算：就每个事件依据n 次独立重复试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算．跟踪训练1 9粒种子分别种在甲、乙、丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为12.若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，否则这个坑需要补种种子． (1)求甲坑不需要补种的概率；(2)记3个坑中恰好有1个坑不需要补种的概率为P 1，另记有坑需要补种的概率为P 2，求P 1＋P 2的值．类型二 二项分布例2 学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同．每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖(每次游戏结束后将球放回原箱)． (1)求在1次游戏中， ①摸出3个白球的概率； ②获奖的概率；(2)求在2次游戏中获奖次数X 的概率分布．反思与感悟 (1)当X 服从二项分布时，应弄清X ～B (n ，p )中的试验次数n 与成功概率p . (2)解决二项分布问题的两个关注点 ①对于公式P (X ＝k )＝C k n p k(1－p )n －k(k ＝0,1,2，…，n )，必须在满足独立重复试验时才能应用，否则不能应用该公式；②判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n 次．跟踪训练2 袋子中有8个白球，2个黑球，从中随机地连续抽取三次，求有放回时，取到黑球个数的概率分布．类型三 二项分布的综合应用例3 一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13.(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的概率分布；(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的概率分布； (3)这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．反思与感悟 对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种；其次，要判断事件是A ＋B 还是AB ，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别应用相加或相乘事件公式；最后，选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n 次独立重复试验的概率公式求解． 跟踪训练3 一个口袋内有n (n >3)个大小相同的球，其中3个红球和(n －3)个白球，已知从口袋中随机取出1个球是红球的概率为p .若6p ∈N ，有放回地从口袋中连续4次取球(每次只取1个球)，在4次取球中恰好2次取到红球的概率大于827，求p 与n 的值．1．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A 在1次试验中发生的概率p 的取值范围是________．2．某人进行射击训练，一次击中目标的概率为35，经过三次射击，此人至少有两次击中目标的概率为________．3．甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为3∶2，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲队打完4局才胜的概率为____________． 4．下列说法正确的是________．(填序号)①某同学投篮的命中率为0.6，在他10次投篮中命中的次数X 是一个随机变量，且X ～B (10,0.6)；②某福彩的中奖概率为p ，某人一次买了8张，中奖张数X 是一个随机变量，且X ～B (8，p )； ③从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X 是随机变量，且X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，12.5．从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通灯，假设在各个交通灯遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是25，设ξ为途中遇到红灯的次数，求随机变量ξ的概率分布．1．独立重复试验要从三方面考虑：第一，每次试验是在相同条件下进行的；第二，各次试验的结果是相互独立的；第三，每次试验都只有两种结果，即事件发生，事件不发生． 2．如果1次试验中某事件发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率为P n (k )＝C k n p k(1－p )n －k.此概率公式恰为[(1－p )＋p ]n展开式的第k ＋1项，故称该公式为二项分布公式．答案精析问题导学 知识点一思考1 条件相同．思考2 正面向上或反面向上，即事件发生或者不发生． 思考3 无，即各次试验相互独立．梳理 (1)n (2)相互独立 两种对立 A 与A 知识点二思考1 B 1＝(A 1A 2 A 3)∪(A 1A 2A 3)∪(A 1 A 2A 3)， 因为P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝0.8，且A 1A 2 A 3、A 1A 2A 3、A 1 A 2A 3两两互斥， 故P (B 1)＝0.8×0.22＋0.8×0.22＋0.8×0.22＝3×0.8×0.22＝0.096.思考2 P (B 2)＝3×0.2×0.82＝0.384，P (B 3)＝0.83＝0.512.题型探究例1 解 (1)记“甲射击3次，至少有1次未击中目标”为事件A 1，由题意，射击3次，相当于3次独立重复试验，故P (A 1)＝1－P (A 1)＝1－(23)3＝1927.(2)记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A 2，“乙射击2次，恰有1次击中目标”为事件B 2，则P (A 2)＝C 22×(23)2＝49，P (B 2)＝C 12×(34)1×(1－34)＝38，由于甲、乙射击相互独立， 故P (A 2B 2)＝49×38＝16.引申探究解 记“甲击中1次”为事件A 4，记“乙击中1次”为事件B 4， 则P (A 4)＝C 12×23×(1－23)＝49，P (B 4)＝C 12×34×(1－34)＝38.所以甲、乙各击中1次的概率为P (A 4B 4)＝49×38＝16.跟踪训练1 解 (1)因为甲坑内3粒种子都不发芽的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－123＝18， 所以甲坑不需要补种的概率为 1－18＝78. (2)3个坑恰有1个坑不需要补种的概率为P 1＝C 13×78×⎝ ⎛⎭⎪⎫182＝21512. 由于3个坑都不需补种的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫783，则有坑需要补种的概率为P 2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫783＝169512. 所以P 1＋P 2＝21512＋169512＝95256.例2 解 (1)①设“在1次游戏中摸出i 个白球”为事件A i (i ＝0,1,2,3)， 则P (A 3)＝C 23C 25·C 12C 23＝15.②设“在1次游戏中获奖”为事件B ， 则B ＝A 2∪A 3.又P (A 2)＝C 23C 25·C 22C 23＋C 13C 12C 25·C 12C 23＝12，且A 2，A 3互斥，所以P (B )＝P (A 2)＋P (A 3)＝12＋15＝710.(2)由题意可知，X 的所有可能取值为0,1,2， 则P (X ＝0)＝(1－710)2＝9100，P (X ＝1)＝C 12×710×(1－710)＝2150， P (X ＝2)＝(710)2＝49100. 所以X 的概率分布如下表：跟踪训练2 解 取到黑球个数X 的可能取值为0,1,2,3.又由于每次取到黑球的概率均为15，所以P (X ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫150·⎝ ⎛⎭⎪⎫453＝64125， P (X ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫15·⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝48125， P (X ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫152·⎝ ⎛⎭⎪⎫45＝12125，P (X ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫153·⎝ ⎛⎭⎪⎫45＝1125. 故X 的概率分布为例3 解 (1)由ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，3，则 P (ξ＝k )＝C k 5⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ⎝ ⎛⎭⎪⎫235－k，k ＝0,1,2,3,4,5. 故ξ的概率分布如下表：(2)η的分布列为P (η＝k )＝P (前k 个是绿灯，第k ＋1个是红灯)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3k ·3，k ＝0,1,2,3,4；P (η＝5)＝P (5个均为绿灯)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫235.故η的概率分布如下表：(3)所求概率为P (ξ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫235＝211243.跟踪训练3 解 由题设知，C 24p 2(1－p )2>827.∵p (1－p )>0，∴不等式化为p (1－p )>29，解得13<p <23，故2<6p <4.又∵6p ∈N ，∴6p ＝3，即p ＝12.由3n ＝12，得n ＝6. 当堂训练1．[0.4,1] 2.81125 3.162625 4.①②5．解 由题意知ξ～B (3，25)，则P (ξ＝0)＝C 03(25)0(35)3＝27125，P (ξ＝1)＝C 13(25)1(35)2＝54125， P (ξ＝2)＝C 23(25)2(35)1＝36125， P (ξ＝3)＝C 33(25)3＝8125. 所以随机变量ξ的概率分布如下表：。
高中数学 第2章 概率 2.2 超几何分布讲义 苏教版选修2-3-苏教版高二选修2-3数学教案
2.2 超几何分布一般地，若一个随机变量X 的分布列为P (X ＝r )＝C r M C n －rN －MC n N，其中r ＝0,1,2,3，…，l ，l＝min(n ，M )，则称X 服从超几何分布，记为X ～H (n ，M ，N )，并将P (X ＝r )＝C r M C n －rN －MC n N记为H (r ；n ，M ，N )．思考1：如何识别超几何分布？[提示] 超几何分布必须满足以下两条：①总数为N 件的物品只分为两类：M (M ≤N )件甲类(或次品)，其余的N －M 件为乙类(或正品)．②随机变量X 表示从N 件物品中任取n (n ≤N )件物品，其中所含甲类物品(或次品)的件数．思考2：在产品检验中超几何分布描述的是放回抽样还是不放回抽样？ [提示] 不放回抽样．思考3：在超几何分布中，随机变量X 取值的最大值是M 吗？ [提示] 不一定．当n ≥M 时，最大值为M ，当n <M 时，最大值为n .1．盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则取出1个白球和2个红球的概率是( )A.3742 B.1742 C.1021D.1721C [根据题意知该问题为古典概型，所以P ＝C 14C 25C 39＝1021.]2．在含有5件次品的10件产品中，任取4件，则取到的次品数X 的分布列为P (X ＝r )＝________.C r5C4－r5 C410，r＝0,1,2,3,4 [P(X＝r)＝C r5C4－r5C410，r＝0,1,2,3,4.]3．从有3个黑球，5个白球的盒中取出2个球，其中恰有一个是白球的概率是________．15 28[由题意，这是一道超几何分布题，其中N＝8，M＝5，n＝2.所以P(X＝1)＝C15C13C28＝1528.]超几何分布的辨析【例1】(1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的概率分布；(2)有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽实验，把实验中发芽的种子的个数记为X，求X的概率分布；(3)盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只．任取3只球，把不是红色的球的个数记为X，求X的概率分布；(4)某班级有男生25人，女生20人．选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为X，求X的概率分布；(5)现有100台MP3播放器未经检测，抽取10台送检，把检验结果为不合格的MP3播放器的个数记为X，求X的概率分布．[思路探究] 总体是否由两类个体构成→随机变量是否为样本中一类个体的个数→是否为不放回抽样[解] (1)(2)中样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题．(3)(4)符合超几何分布的特征，样本都分为两类．随机变量X表示抽取n件样本，某类样本被抽取的件数，是超几何分布．(5)中没有给出不合格品数，无法计算X的概率分布，所以不属于超几何分布问题．1．判断一个随机变量是否服从超几何分布，应看三点：(1)总体是否可分为两类明确的对象；(2)是否为不放回抽样；(3)随机变量是否为样本中其中一类个体的个数．2．超几何分布中，r，n，M，N均为有限数，且r≤min(n，M)．1．下列随机变量中，服从超几何分布的有________．(填序号)①在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为X；②从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数；③一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的数为随机变量X.①②[根据超几何分布模型定义可知①中随机变量X服从超几何分布．②中随机变量X服从超几何分布．而③中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X不服从超几何分布．]超几何分布的概率【例2】现有来自甲、乙两班学生共7名，从中任选2名都是甲班的概率为1 7 .(1)求7名学生中甲班的学生数；(2)设所选2名学生中甲班的学生数为ξ，求ξ≥1的概率．[思路探究] (1)利用古典概型求解．(2)借助超几何分布的概率公式求解．[解] (1)设甲班的学生人数为M，则C2M C27＝17.即M2－M－6＝0，解得M＝3或M＝－2(舍去)．∴7名学生中甲班的学生共有3人．(2)由题意可知，ξ～H(2,3,7)，∴P(ξ≥1)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝C13C14C27＋C23C04C27＝47＋17＝5 7 .求解此类问题的关键是先分析随机变量是否满足超几何分布．如果满足超几何分布的条件，则直接利用超几何分布模型求解，否则借助相应概率公式求解．2．高三(1)班的联欢会上设计了一项游戏：准备了10张相同的卡片，其中只在5张卡片上印有“奖”字．游戏者从10张卡片中任意抽取5张，如果抽到2张或2张以上印有“奖”字的卡片，就可获得一件精美的小礼品；如果抽到的5张卡片上都印有“奖”字，除精美小礼品外，还可获赠一套丛书．一名同学准备试一试，那么他能获得精美小礼品的概率是多少？能获赠一套丛书的概率又是多少？[解] 设X 表示抽取5张卡片中印有“奖”字的卡片数，则X 服从参数为N ＝10，M ＝5，n ＝5的超几何分布．X 的可能取值为0,1,2,3,4,5，则X 的分布列为P (X ＝r )＝C r 5C 5－r5C 510(r ＝0,1,2,3,4,5)．若要获得精美小礼品，只需X ≥2，故获得精美小礼品的概率为P (X ≥2)＝1－P (X <2)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)＝1－C 05C 55C 510－C 15C 45C 510＝113126.若要获赠一套丛书，必须X ＝5，故获赠一套丛书的概率为P (X ＝5)＝C 55C 05C 510＝1252.两点分布与超几何分布[1．利用随机变量研究一类问题，如抽取的奖券是否中奖，买回的一件产品是否为正品，新生婴儿的性别，投篮是否命中等，这些有什么共同点？[提示] 这些问题的共同点是随机试验只有两个可能的结果．定义一个随机变量，使其中一个结果对应于1，另一个结果对应于0，即得到服从两点分布的随机变量．2．只取两个不同值的随机变量是否一定服从两点分布？ [提示] 不一定．如随机变量X 的分布列由下表给出X 2 5 P0.30.7X X 3．在8个大小相同的球中，有2个黑球，6个白球，现从中取3个，求取出的球中白球个数X 是否服从超几何分布？超几何分布适合解决什么样的概率问题？[提示] 随机变量X 服从超几何分布，超几何分布适合解决从一个总体(共有N 个个体)内含有两种不同事物A (M 个)、B (N —M 个)，任取n 个，其中恰有X 个A 的概率分布问题．【例3】 在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X 的分布列； (2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张， ①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值为Y 元，求Y 的分布列．[思路探究] (1)从10张奖券中抽取1张，其结果有中奖和不中奖两种，故X ～(0,1)．(2)从10张奖券中任意抽取2张，其中含有中奖的奖券的张数X (X ＝1,2)服从超几何分布．[解] (1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X 的取值只有0和1两种情况． P (X ＝1)＝C 14C 110＝410＝25，则P (X ＝0)＝1－P (X ＝1)＝1－25＝35.因此X 的分布列为奖．故所求概率P ＝C 14C 16＋C 24C 06C 210＝3045＝23. ②Y 的所有可能取值为0,10,20,50,60，且 P (Y ＝0)＝C 04C 26C 210＝1545＝13，P (Y ＝10)＝C 13C 16C 210＝1845＝25，P (Y ＝20)＝C 23C 06C 210＝345＝115，P (Y ＝50)＝C 11C 16C 210＝645＝215，P (Y ＝60)＝C 11C 13C 210＝345＝115.因此随机变量Y 的分布列为1(1)两点分布中只有两个对应结果，且两个结果是对立的．(2)由对立事件的概率求法可知，已知P (X ＝0)(或P (X ＝1))，便可求出P (X ＝1)(或P (X ＝0))．2．解决超几何分布问题的两个关键点(1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆．(2)超几何分布中，只要知道M ，N ，n ，就可以利用公式求出X 取不同k 的概率P (X ＝k )，从而求出X 的分布列．3．现有10张奖券，其中8张1元，2张5元，从中同时任取3张，求所得金额的分布列．[解] 设所得金额为X ，X 的可能取值为3,7,11. P (X ＝3)＝C 38C 310＝715，P (X ＝7)＝C 28C 12C 310＝715，P (X ＝11)＝C 18·C 22C 310＝115.故X 的分布列为1型．2．超几何分布的数学模型是：一批产品共有N 件，其中有M 件不合格品，随机取出的n 件产品中，不合格品X ＝r 的概率是P (X ＝r )＝C r M C n －rN —MC n N.在应用上述公式时，要注意N 、M 、n 、r 的实际意义.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)超几何分布的总体中只有两类物品．( )(2)在产品检验中，超几何分布描述的是有放回抽样．( ) (3)若X ～H (n ，M ，N )，则n ≤M .( )(4)超几何分布X ～H (n ，M ，N )中n 是随机一次取出的样本容量，M 是总体中不合格产品的总数，N 是总体中的个体总数．( )[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√2．有10位同学，其中男生6位，女生4位，从中任选3人参加数学竞赛．用X 表示女生人数，则概率P (X ≤2)＝________.2930 [P (X ≤2)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝0)＝C 14C 26C 310＋C 24C 16C 310＋C 36C 310＝2930.] 3．某12人的兴趣小组中，有5名“三好学生”，现从中任意选6人参加竞赛，用X 表示这6人中“三好学生”的人数，则当X 取________时，对应的概率为C 35C 37C 612.3 [由题意可知，X 服从超几何分布，由概率值中的C 35可以看出“从5名三好生中选取了3名”．]4．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数．(1)求ξ的分布列；(2)求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率． [解] (1)ξ可能取的值为0,1,2，服从超几何分布， P (ξ＝k )＝C k2·C 3－k4C 36，k ＝0,1,2. 所以，ξ的分布列为(2)由P (ξ≤1)＝P (ξ＝0)＋P (ξ＝1)＝45.。
苏教版高中数学选修2-3第2章概率章末复习提升学案
2018-2019学年苏教版选修2-3 第2章 章末复习提升 学案1．离散型随机变量及其概率分布求离散型随机变量的概率分布的关键是两个问题，一是随机变量的可能取值；二是随机变量取每一值时的概率．针对不同的题目，应认真分析题意，随机变量究竟是谁，随机变量取每一个值时的概率应如何计算．求概率主要有两种类型：(1)古典概型，利用排列、组合知识求解；(2)n 次独立重复试验，则符合B (n ，p )，由P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k 计算概率． 2．事件的独立性(1)解决概率问题的关键是清楚所求事件是由哪些基本事件构成的，是这些基本事件有一个发生，还是同时发生．即事件是彼此互斥的事件有一个发生，还是相互独立事件同时发生．然后，再选取恰当的公式求解．(2)n 次独立重复试验中每一次试验只有两个结果，即成功与失败，每次试验两种结果发生的概率是不变的．在n 次独立重复试验中，必须清楚是求哪一个试验结果出现k 次的概率． 3．离散型随机变量的均值与方差求随机变量X 的均值与方差主要有两类：①若随机变量X ～B (n ，p )或X 服从两点分布或超几何分布，可直接运用公式，简化思维；②若随机变量X 是一般的离散型随机变量，则应先写出概率分布，再由均值和方差的定义求解．要注意性质的应用． 4．正态分布正态曲线的性质，是解决正态分布问题的关键，要熟记在各区间内的概率值.题型一 条件概率的求法求条件概率的主要方法：(1)利用条件概率：P (B |A )＝P (AB )P (A ).(2)针对古典概型，缩减基本事件总数P (B |A )＝n (AB )n (A ).例1 坛子里放着7个大小、形状相同的鸭蛋，其中有4个是绿皮的，3个是白皮的．如果不放回地依次拿出2个鸭蛋，求： (1)第1次拿出绿皮鸭蛋的概率；(2)第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋的概率；(3)在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率．解 设“第1次拿出绿皮鸭蛋”为事件A ，“第2次拿出绿皮鸭蛋”为事件B ，则“第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋”为事件AB .(1)从7个鸭蛋中不放回地依次拿出2个的事件数为n (Ω)＝A 27＝42.根据分步计数原理，n (A )＝A 14×A 16＝24.于是P (A )＝n (A )n (Ω)＝2442＝47.(2)因为n (AB )＝A 24＝12， 所以P (AB )＝n (AB )n (Ω)＝1242＝27.(3)方法一 由(1)(2)可得，在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率为P (B |A )＝P (AB )P (A )＝2747＝12.方法二 因为n (AB )＝12，n (A )＝24， 所以P (B |A )＝n (AB )n (A )＝1224＝12.跟踪训练1 一个盒子装有4只产品，其中有3只一等品、1只二等品，从中取产品两次，每次任取一只，作不放回抽样，设事件A 为“第一次取到的是一等品”，事件B 为“第二次取到的是一等品”，试求条件概率P (B |A )．解 将产品编号1,2,3号为一等品，4号为二等品，以(i ，j )表示第一次，第二次分别取到第i 号、第j 号产品，则试验的样本空间为Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，…，(4,1)，(4,2)，(4,3)}，A ＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)}， AB ＝{(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,3)，(3,1)，(3,2)}， P (B |A )＝n (AB )n (A )＝23. 题型二 互斥事件、相互独立事件的概率在求解互斥事件、相互独立事件的概率问题中通常用到分类讨论思想，将所求概率先转化为互斥事件概率的和，再运用相互独立事件的概率公式求解．例2 国家射击队为备战2016年里约热内卢奥运会进行紧张艰苦的训练，训练项目完成后，教练总会设计安排一些放松、娱乐性恢复活动．在一次速射“飞碟”的游戏活动中，教练制定如下规则：每次飞碟飞行过程中只允许射击三次，根据飞碟飞行的规律，队员甲在飞行距离为50米远处命中的概率为23.(1)如果队员甲一共参加了三次射击飞碟的游戏，试求队员甲在这三次游戏中第一次至少有一次击中的概率；(2)如果队员甲射击飞行距离为50米远处的飞碟，如果第一次未命中，则进行第二次射击，同时第二次射击时飞碟飞行距离变为100米；如果第二次未命中，则进行第三次射击，第三次射击时飞碟飞行距离变为150米(此后飞碟不在射程之内)．已知，命中的概率与飞碟飞行距离的平方成反比，求队员甲在一次游戏中命中飞碟的概率．解 (1)记“队员甲在三次游戏中，第一次至少有一次命中”为事件A .P (A )＝1－P (A )＝2627.(2)记“在一次游戏中，第i 次击中飞碟”为事件B i (i ＝1,2,3)． P (B 1)＝23，P (B 2)＝23×(12)2＝16，P (B 3)＝23×(13)2＝227.又B i 是相互独立事件， ∴P (B )＝P (B 1)＋P (B 1B 2)＋P (B1B 2B 3)＝P (B 1)＋P (B 1)·P (B 2)＋P (B 1)·P (B 2)·P (B 3) ＝23＋13×16＋13×56×227＝361486. 跟踪训练2 甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6.本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束．设各局比赛相互间没有影响，求前三局比赛甲队领先的概率．解 单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，乙队胜甲队的概率为1－0.6＝0.4， 记“甲队胜三局”为事件A ，“甲队胜二局”为事件B ，则：P (A )＝0.63＝0.216；P (B )＝C 23×0.62×0.4＝0.432.∴前三局比赛甲队领先的概率为P (A )＋P (B )＝0.648. 题型三 离散型随机变量的概率分布、均值与方差离散型随机变量的概率分布是研究随机变量的均值和方差的基础，利用概率分布还可以求随机变量在某个范围内取值的概率．例3 为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．(1)设A 为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A 发生的概率；(2)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的概率分布和数学期望．解 (1)由已知，有P (A )＝C 22C 23＋C 23C 23C 48＝635. 所以，事件A 发生的概率为635. (2)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4.P (X ＝k )＝C k 5C 4－k 3C 48(k ＝1,2,3,4)． 所以随机变量X 的概率分布为随机变量X 的数学期望E (X )＝1×114＋2×37＋3×37＋4×114＝52.跟踪训练3 口袋里装有大小相同的卡片8张，其中3张标有数字1,3张标有数字2,2张标有数字3.第一次从口袋里任意抽取一张，放回口袋后，第二次再任意抽取一张，记第一次与第二次取到卡片上数字之和为ξ.求ξ的数学期望． 解 依题意，随机变量ξ的取值是2,3,4,5,6. P (ξ＝2)＝3282＝964，P (ξ＝3)＝2×3282＝1864，P (ξ＝4)＝32＋2×3×282＝2164，P (ξ＝5)＝2×3×282＝1264， P (ξ＝6)＝2282＝464.∴ξ的概率分布是∴E (ξ)＝2×964＋3×1864＋4×2164＋5×1264＋6×464＝154.题型四 正态分布的应用求解正态分布的问题，要根据正态曲线的对称性，还要结合3σ原则，知道正态曲线与x 轴之间的面积为1.例4 某地数学考试的成绩X 服从正态分布，某密度函数曲线如右图所示，成绩X 位于区间(52,68)的概率为多少？ 解 设成绩X ～N (μ，σ2)， 则正态分布的密度函数 P (x )＝12πσe22()2x μσ－－，由图可知，μ＝60，σ＝8.∴P (52<X <68)＝P (60－8<x <60＋8)＝P (μ－σ<X <μ＋σ)＝0.683.跟踪训练4 已知某地农民工年均收入ξ服从正态分布，其正态密度函数图象如图所示．(1)写出此地农民工年均收入的正态密度曲线的解析式；(2)求此地农民工年均收入在8 000～8 500元之间的人数百分比． 解 设农民工年均收入ξ～N (μ，σ2)， 结合图象可知μ＝8 000，σ＝500.(1)此地农民工年均收入的正态分布密度函数表达式为 P (x )＝12πσe 22()2x μσ-－＝15002πe22(8 000)2500x --⨯，x ∈(－∞，＋∞)．(2)∵P (7 500＜ξ＜8 500) ＝P (8 000－500＜ξ＜8 000＋500) ＝0.683.∴P (8 000＜ξ＜8 500) ＝12P (7 500＜ξ＜8 500) ＝0.341 5.即农民工年均收入在8 000～8 500之间的人数占总体的34.15%.本章通过引入随机变量的概念，研究了几种类型的随机变量的概率分布，以及条件概率、事件的独立性及相互独立的事件同时发生的概率公式．通过研究随机变量的数字特征如均值(数学期望)和方差(或标准差)，以及随机变量的概率分布，对随机变量的总体水平及稳定程度进行了刻画，并通过样本均值和方差(或标准差)对总体进行估计．超几何分布、二项分布、n 次独立重复试验及正态分布等，都是重要的概率模型，在社会生产、生活和科学研究中有着广泛的应用．。
2018版高二数学苏教版选修2-3教案： 2.1 随机变量及其概率分布
2.1随机变量及其概率分布教案教学目标（1）在对具体问题的分析中，了解随机变量、离散型随机变量的意义，理解取有限值的离散型随机变量及其概率分布的概念；（2）会求出某些简单的离散型随机变量的概率分布，认识概率分布对于刻画随机现象的重要性；（3）感受社会生活中大量随机现象都存在着数量规律，培养辨证唯物主义世界观． 教学重点，难点（1）理解取有限值的随机变量及其分布列的概念； （2）初步掌握求解简单随机变量的概率分布． 教学过程 一．问题情境在一块地里种下10棵树苗，成活的树苗棵数X 是 0，1，…，10中的某个数；抛掷一颗骰子，向上的点数Y 是1，2，3，4，5，6中的某一个数；新生婴儿的性别，抽查的结果可能是男，也可能是女．如果将男婴用0表示，女婴用1表示，那么抽查的结果Z 是0和1中的某个数；……上述现象有哪些共同特点？ 二．学生活动上述现象中的X ，Y ，Z ，实际上是把每个随机试验的基本事件都对应一个确定的实数，即在试验结果（样本点）与实数之间建立了一个映射．例如，上面的植树问题中成活的树苗棵数X ：0X =，表示成活0棵；1X =，表示成活1棵；…… 三．建构数学 1．随机变量：一般地，如果随机试验的结果，可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．通常用大写拉丁字母X ，Y ，Z （或小写希腊字母，，ζ）等表示，而用小写拉丁字母，y ，（加上适当下标）等表示随机变量取的可能值．如：上面新生婴儿的性别Z 是一个随机变量，0Z =，表示新生婴儿是男婴；1Z =，表示新生婴儿是女婴．例1．（1）掷一枚质地均匀的硬币一次，用X 表示掷得正面的次数，则随机变量X 的可能取值有哪些？（2）一实验箱中装有标号为1，2，3，3，4的五只白鼠，从中任取一只，记取到的白鼠的标号为Y ，则随机变量Y 的可能取值有哪些？解 （1）抛掷硬币是随机试验，结果有两种可能，一种是正面向上，另一种是反面向上，所以变量X 的取值可能是1（正面向上），也可能是0（反面向上），故随机变量X 的取值构成集合{0，1}．（2）根据条件可知，随机变量Y 的可能值有4种，它的取值集合是{1，2，3，4}． 说明：(1)引入了随机变量后，随机事件就可以用随机变量来表示．(2) 在例1（1）中，随机事件“掷一枚硬币，正面向上”可以用随机变量表示为{1}X =，随机事件“掷一枚硬币，反面向上”可以用随机变量表示为{0}X =．(3) 在例1（2）中，也可用{1}Y =，{2}Y =，{3}Y =，{4}Y =分别表示取到1号、2号、3号和4号白鼠这4个随机事件．另一方面，在例1（2）中，可以用{3}Y ≤这样的记号表示“取到1号、2号或3号白鼠”这件事情，也就是说，复杂的事件也可以用随机变量的取值来表示．这样，我们就可以用随机事件发生的概率来表示随机变量取值的概率了．如例1（1）中{1}X =的概率可以表示为{1}P X ==（） {P 抛一枚硬币， 1}2=正面向上，其中{1}P X =（）常简记为1P X =（）．同理，0P X =1（）=．这一结果可用表2-1-1来描述．例1（2）中随机变量Y 所表示的随机事件发生的概率也可用表2-1-2来描述．上面的两个表格分别给出了随机变量X ，Y 表示的随机事件的概率，描述了随机变量的分布规律．2．随机变量的概率分布：一般地，假定随机变量X 有个不同的取值，它们分别是1x ，2x ，…，n x ，且()i i P X x p ==，1,2,,i n =⋅⋅⋅，① 则称①为随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列．也可以将①用表2-1-3的形式来表示．我们将表2-1-3称为随机变量X 的概率分布表．它和①都叫做随机变量X 的概率分布．3．随机变量分布列的性质：（1）0i p ≥； （2）121n p p p ++⋅⋅⋅+=． 四．数学运用 1．例题：例2．从装有6只白球和4只红球的口袋中任取一只球，用X 表示“取到的白球个数”，即1,0,X ⎧=⎨⎩当取到白球时，当取到红球时，求随机变量X 的概率分布．解 由题意知42(0)645P X ===+，63(1)645P X===+，故随机变量X 的概率分布列为2(0)P X ==，3(1)P X ==，概率分布表如下．说明：1．本题中，随机变量X 只取两个可能值0和1．像这样的例子还有很多，如在射击中，只考虑“命中”与“不命中”；对产品进行检验时，只关心“合格”与“不合格”等．我们把这一类概率分布称为0-1分布或两点分布，并记为X ~0-1分布或X ~两点分布．此处“~”表示“服从”．2．求随机变量X 的分布列的步骤：（1）确定X 的可能取值(1,2,)i x i =…；（2）求出相应的概率()i i P X x p ==；（3）列成表格的形式。
(教师用书)高中数学 第2章 概率章末归纳提升课件 苏教版选修2-3
(2)C 连胜三轮应分两种情况：①第一轮 A 胜 B，则第二 轮 C 胜 A，第三轮 C 胜 B，第四轮 C 胜 A，得 C 连胜三轮的 概率为 P1＝0.4×0.6×(1－0.5)×0.6＝0.072； ②第一轮 B 胜 A，则第二轮 C 胜 B，第三轮 C 胜 A，第 四轮 C 胜 B，得 C 连胜三轮的概率为 P2＝(1－0.4)×(1－ 0.5)×0.6×(1－0.5)＝0.09. ①②两种情况是两个互斥事件，所以所求概率为 P＝P1＋P2＝0.072＋0.09＝0.162. 答：C 连胜三轮的概率为 0.162.
【思路点拨】 (1)得分为 40 分，8 题全对，按相互独立 事件的概率公式求解；(2)ξ＝20，25，30，35，40，分别求其 概率，列分布表，依据定义求均值．
【规范解答】 (1)要得 40 分，8 道选择题必须全做对。 1 在其余四道题中，有两道题答对的概率为 ，有一道题答对的 2 1 1 概率为 ，还有一道题答对的概率为 ，所以得 40 分的概率为 3 4 1 1 1 1 1 P＝ × × × ＝ . 2 2 3 4 48
3 1 由题意，得 P(B)＝1－ ＝ . 4 4
1 1 1 2 2 2 C1 · C C · C C C 2 n 2 2 2 n n 2 P(B1)＝ · 2 ＋ 2· 2 ＝ ； 2 C4 C Cn＋2 Cn＋2 3（n＋2）（n＋1） 4 2 n（n－1） C2 C 2 n P(B2)＝ 2· 2 ＝ . C4 Cn＋2 6（n＋2）（n＋1）
甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋 装有 2 个红球，2 个白球；乙袋装有 2 个红球，n 个白球．从 甲、乙两袋中各任取 2 个球． (1)若 n＝3，求取到的 4 个球全是红球的概率； 3 (2)若取到的 4 个球中至少有 2 个红球的概率为 ，求 n. 4
2018版高中数学 第二章 概率疑难规律方法学案 苏教版选修2-3
第二章 概率1 求离散型随机变量的概率分布的方法对离散型随机变量概率分布的考查是概率考查的主要形式，那么准确写出概率分布显得至关重要．下面就谈一下如何准确求解离散型随机变量的概率分布． 1．弄清“随机变量的取值”弄清“随机变量的取值”是第一步．确定随机变量的取值时，要做到准确无误，特别要注意随机变量能否取0的情形．另外，还需注意随机变量是从几开始取值，每种取值对应几种情况．例1 从4张标有1,2,3,4的卡片中任意取出两张，若ξ表示这两张卡片之和，请写出ξ的可能取值及指出此时ξ表示的意义．分析 从标有1,2,3,4的四张卡片中取两张，ξ表示两张卡片之和，则首先弄清共有几种情况，再分别求和．解 ξ的可能取值为3,4,5,6,7，其中ξ＝3表示取出分别标有1,2的两张卡片；ξ＝4表示取出分别标有1,3的两张卡片；ξ＝5表示取出分别标有1,4或2,3的两张卡片；ξ＝6表示取出分别标有2,4的两张卡片；ξ＝7表示取出分别标有3,4的两张卡片． 2．弄清事件类型计算概率前要确定事件的类型，同时正确运用排列与组合知识求出相应事件的概率． 例2 以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．甲组 乙组 9 9 0 9 89 111分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y 的概率分布．分析 由茎叶图可知两组同学的植树棵数，则可得分别从甲、乙两组同学中随机选取一名同学，两同学的植树总棵数的所有可能取值，由古典概型可求概率．解 由茎叶图可知，甲组同学的植树棵数是9,9,11,11；乙组同学的植树棵数是9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4＝16(种)可能的结果，这两名同学植树总棵数Y 的可能取值为17,18,19,20,21.事件“Y ＝17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”，所以该事件有2种可能的结果，因此P (Y ＝17)＝216＝18.同理可得P (Y ＝18)＝14，P (Y ＝19)＝14， P (Y ＝20)＝14，P (Y ＝21)＝18.所以随机变量Y 的概率分布为3.注意验证随机变量的概率之和是否为1通过验证概率之和是否为1，可以检验所求概率是否正确，还可以检验随机变量的取值是否出现重复或遗漏．例3 盒中装有大小相同的10个小球，编号分别为0,1,2，…，9，从中任取1个小球，规定一个随机变量X ，用“X ＝x 1”表示小球的编号小于5；“X ＝x 2”表示小球的编号等于5；“X ＝x 3”表示小球的编号大于5，求X 的概率分布．解 随机变量X 的可能取值为x 1，x 2，x 3，且P (X ＝x 1)＝12，P (X＝x 2)＝110，P (X ＝x 3)＝25.故X 的概率分布如下.点评 布是很重要的，为了保证它的准确性，我们可以利用 i ＝1np i ＝1进行检验.2 独立事件与互斥事件辨析相互独立事件与互斥事件是两个完全不同的概念，但同学们在学习过程中容易混淆这两个概念，而导致错误．下面结合例题加以分析帮助同学们正确区分这两个概念． 1．把握互斥事件中的“有一个发生”求互斥事件有一个发生的概率，即互斥事件中的每一个事件发生都会使所求事件发生，应用的是互斥事件概率加法公式P (A 1∪A 2∪…∪A n )＝P (A 1)＋P (A 2)＋…＋P (A n )．例1 李老师正在写文章的时候，身边的电话突然响了起来．若电话响第1声时被接听的概率为0.1，响第2声时被接听的概率为0.15，响第3声时被接听的概率为0.5，响第4声时被接听的概率为0.22，那么在电话响前4声内被接听的概率是多少？分析 在电话响前4声内李老师接电话的事件包括：打进的电话“响第1声时被接听”，“响第2声时被接听”，“响第3声时被接听”，“响第4声时被接听”这4个事件，而且只要有一个事件发生，其余的事件就不可能发生，从而求电话在响前4声内李老师接听的概率问题即为互斥事件有一个发生的概率问题．解李老师在电话响前4声内接听的概率P＝0.1＋0.15＋0.5＋0.22＝0.97.2．把握相互独立事件中的“同时发生”相互独立事件即是否发生相互之间没有影响的事件．求相互独立事件同时发生的概率，应用的是相互独立事件的概率乘法公式P(A1A2…A n)＝P(A1)P(A2)…P(A n)．例2 甲、乙两名跳高运动员在一次2米跳高中成功的概率分别为0.7、0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响．求：(1)甲试跳三次，第三次才成功的概率；(2)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率．解记“甲第i次试跳成功”为事件A i，“乙第i次试跳成功”为事件B i，i＝1,2,3.依题意得P(A i)＝0.7，P(B i)＝0.6，且A i与B i相互独立．(1)“甲第三次试跳才成功”为事件A1A2A3，所以P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2)P(A3)＝0.3×0.3×0.7＝0.063.所以甲第三次试跳才成功的概率为0.063.(2)记“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件C.P(C)＝1－P(A1B1)＝1－P(A1)P(B1)＝1－0.3×0.4＝0.88.所以甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为0.88.点评本题考查事件的独立性，以及互斥事件和对立事件等知识，关键在于理解事件的性质，然后正确运用相应的概率公式加以求解．归纳总结1．对于事件A、B，如果事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，则称这两个事件为相互独立事件．如甲袋中装有3个白球，2个黑球，乙袋中装有2个白球，2个黑球，从这两个袋中分别摸出一个球，把“从甲袋中摸出1个球，得到白球”记为事件A，把“从乙袋中摸出1个球，得到白球”记为事件B，显然A与B互相独立．2．弄清事件间的“互斥”与“相互独立”的区别．两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．3．理解并运用相互独立事件的性质．如果事件A与B相互独立，那么下列各对事件：A与B，A与B，A 与B也都相互独立．4．牢记公式的应用条件，准确、灵活地运用公式．5．认真审题，找准关键字句，提高解题能力．如“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰有一个发生”等.3 概率题易错点剖析概率内容的新概念较多，相近概念容易混淆，本文就学生易犯错误作如下总结：1．“非等可能”与“等可能”混同例1 掷两枚骰子，求所得的点数之和为6的概率．错解掷两枚骰子出现的点数之和有2,3,4，…，12共11种基本事件，所以概率为P＝111.错因剖析以上11种基本事件不是等可能的，如点数之和为2只有(1,1)，而点数之和为6有(1,5)、(2,4)、(3,3)、(4,2)、(5,1)共5种．事实上，掷两枚骰子共有36种基本事件，且是等可能的，所以“所得点数之和为6”的概率为P＝536.2．“互斥”与“对立”混同例2 把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是________．(填序号)①对立事件；②不可能事件；③互斥但不对立事件；④以上均不对．错解①错因剖析本题错误的原因在于把“互斥”与“对立”混同，要准确解答这类问题，必须搞清对立事件与互斥事件的联系与区别，这二者的联系与区别主要体现在以下三个方面：(1)两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；(2)互斥的概念适用于多个事件，但对立的概念只适用于两个事件；(3)两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生；而两事件对立则表明它们有且仅有一个发生．事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是不能同时发生的两个事件，这两个事件可能恰有一个发生，一个也不发生，可能两个都不发生，所以应填③.正解③3．“互斥”与“独立”混同例3 甲投篮命中率为0.8，乙投篮命中率为0.7，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少？错解设“甲恰好投中两次”为事件A，“乙恰好投中两次”为事件B，则两人都恰好投中两次为事件A ＋B，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝C23×0.82×0.2＋C23×0.72×0.3＝0.825.错因剖析本题错误的原因是把相互独立同时发生的事件当成互斥事件来考虑，将“两人都恰好投中2次”理解为“甲恰好投中两次”与“乙恰好投中两次”的和．正解设“甲恰好投中两次”为事件A，“乙恰好投中两次”为事件B，且A，B相互独立，则两人都恰好投中两次为事件AB，于是P(AB)＝P(A)×P(B)＝C23×0.82×0.2×C23×0.72×0.3≈0.169.点评例3错误的原因在于把两事件互斥与两事件相互独立混同．互斥事件是指两个事件不可能同时发生；两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件的发生与否没有影响．它们虽然都描绘了两个事件间的关系，但所描绘的关系是根本不同的．4．“条件概率P (B |A )”与“积事件的概率P (AB )”混同例4 袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取2次，求第二次才取到黄球的概率．错解 记“第一次取到白球”为事件A ，“第二次取到黄球”为事件B ，“第二次才取到黄球”为事件C ， 所以P (C )＝P (B |A )＝69＝23.错因剖析 本题错误在于P (AB )与P (B |A )的含义没有弄清，P (AB )表示在样本空间S 中，A 与B 同时发生的概率；而P (B |A )表示在缩减的样本空间S A 中，作为条件的A 已经发生的条件下事件B 发生的概率． 正解 P (C )＝P (AB )＝P (A )·P (B |A ) ＝410×69＝415. 5．混淆有放回与不放回致错例5 某产品有3只次品，7只正品，每次取1只测试，取后不放回，求： (1)恰好到第5次3只次品全部被测出的概率；(2)恰好到第k 次3只次品全部被测出的概率f (k )的最大值和最小值． 错解 (1)P ＝310·29·78·57·16＝1144.(2)P 5(3)＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫3103·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3102＝0.132 3.错因剖析 错解(1)的错误的原因在于忽视了“不放回摸球”问题的每一次摸球是不独立的；而错解(2)的错误的原因则在于忽视了“不放回摸球”问题的每一次摸球袋内球的总数是变的(比前一次少一个)． 正解 (1)P ＝C 23·C 27·A 44A 10＝120. (2)P ＝C 23·C k －37·A k －1k －1A k10 ＝1240(k －1)(k －2)(3≤k ≤10，k ∈Z )， 当k ＝3时，[f (k )]min ＝f (3)＝1120； 当k ＝10时，[f (k )]max ＝f (10)＝310.4 概率问题与其他知识的交汇概率和其他知识整合的题目近年来频频出现在各类考试中，这类题目覆盖面广，交汇性强，用到的数学思想和方法比较多，对能力要求较高，我们要给予充分关注，并注意总结解题方法． 1．概率与函数。
高中数学第二章概率章末复习课学案苏教版选修2-3(2021年整理)
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第二章概率学习目标 1.进一步理解随机变量及其概率分布的概念，了解概率分布对于刻画随机现象的重要性.2。
理解超几何分布及其导出过程，并能够进行简单的应用.3。
了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题。
4。
理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念，能计算简单的离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单的实际问题．1．事件概率的求法（1）条件概率的求法①利用定义分别求出P（B)和P（AB）,解得P(A｜B)＝错误!.②借助古典概型公式,先求事件B包含的基本事件数n,再在事件B发生的条件下求事件A包含的基本事件数m，得P(A｜B)＝错误!。
（2）相互独立事件的概率若事件A，B相互独立,则P(AB）＝P(A）P(B)．(3)n次独立重复试验在n次独立重复试验中，事件A发生k次的概率为P n（k)＝C错误!p k q n－k，k＝0,1,2,…，n,q＝1－p.2．随机变量的分布列（1)求离散型随机变量的概率分布的步骤①明确随机变量X取哪些值；②计算随机变量X取每一个值时的概率；③将结果用二维表格形式给出．计算概率时注意结合排列与组合知识．（2)两种常见的分布列①超几何分布若一个随机变量X的分布列为P（X＝r)＝错误!,其中r＝0,1，2,3，…,l，l＝min（n，M），则称X服从超几何分布．②二项分布若随机变量X的分布列为P(X＝k）＝C k，n p k q n－k，其中0＜p＜1，p＋q＝1，k＝0，1,2，…,n，则称X服从参数为n，p的二项分布,记作X~B(n,p)．3．离散型随机变量的均值与方差（1)若离散型随机变量X的概率分布如下表：X x1x2…x nP p1p2…p n则E（X)＝x1p1＋x2p2＋…＋x n p n,则V(X）＝（x1－μ）2p1＋(x2－μ)2p2＋…＋(x n－μ）2p n.(2)当X~H（n，M,N）时,E（X）＝错误!，V（X）＝错误!。
2018年高中数学 第2章 概率章末小结与测评教学案 苏教版选修2-3
第2章 概率一、事件概率的求法 1．条件概率的求法(1)利用定义，分别求出P (B )和P (AB )，解得P (A |B )＝P （AB ）P （B ）.(2)借助古典概型公式，先求事件B 包含的基本事件数n ，再在事件B 发生的条件下求事件A 包含的基本事件数m ，得P (A |B )＝m n.2．相互独立事件的概率若事件A ，B 相互独立，则P (AB )＝P (A )·P (B )． 3．n 次独立重复试验在n 次独立重复试验中，事件A 发生k 次的概率为P n (k )＝C k n p k q n －k，k ＝0，1，2，…，n ，q ＝1－p .二、随机变量的概率分布1．求离散型随机变量的概率分布的步骤 (1)明确随机变量X 取哪些值；(2)计算随机变量X 取每一个值时的概率；(3)将结果用二维表格形式给出．计算概率时注意结合排列与组合知识． 2．两种常见的概率分布 (1)超几何分布若一个随机变量X 的分布列为P (X ＝r )＝C r M C n －rN －MC n N，其中r ＝0，1，2，3，…，l ，l ＝min(n ，M )，则称X 服从超几何分布．(2)二项分布若随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝C k n p k q n －k，其中0<p <1，p ＋q ＝1，k ＝0，1，2，…，n ，则称X 服从参数为n ，p 的二项分布，记作X ～B (n ，p )．三、离散型随机变量的均值与方差1．若离散型随机变量X则E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋n n ，V (X )＝(x 1－μ)2p 1＋(x 2－μ)2p 2＋…＋(x n －μ)2p n . 2．当X ～H (n ，M ，N )时，E (X )＝nM N ，V (X )＝nM （N －M ）（N －n ）N 2（N －1）.3．当X ～B (n ，p )时，E (X )＝np ，V (X )＝np (1－p )．试卷总分：160分)) ＋2×26＋3×36＝1＋4＋96＝73.答案：153．某同学通过计算机测试的概率为23，则他连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为________．解析：连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为P ＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫231⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232＝3×23×19＝29.答案：294．已知随机变量X 分布列为P (X ＝k )＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫23k(k ＝1，2，3)，则a ＝________． 解析：依题意得a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝1，解得a ＝2738.答案：27385．已知甲投球命中的概率是12，乙投球命中的概率是35.假设他们投球命中与否相互之间没有影响．如果甲、乙各投球1次，则恰有1人投球命中的概率为________．解析：记“甲投球1次命中”为事件A ，“乙投球1次命中”为事件B .根据互斥事件的概率公式和相互独立事件的概率公式，所求的概率为P (AB )＋P (AB )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×35＝12.答案：126．在某项测量中，测量结果X 服从正态分布N (1，σ2)，若X 在区间(0，1)内取值的概率为0.4，则X 在区间(0，2)内取值的概率是________．解析：∵X ～N (1，σ2)，∴P (0＜X ＜1)＝P (1＜X ＜2)，∴P (0＜X ＜2)＝2P (0＜X ＜1)＝2×0.4＝0.8.答案：0.87．将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A ＝{两个点数都不相同}，B ＝{出现一个3点}，则P (B |A )＝________.解析：若两个点都不相同，则有(1，2)，(1，3)，…，(1，6)，(2，1)，(2，3)，…，(2，6)，…，(6，1)，…，(6，5)．共计6×5＝30种结果．“出现一个3点”含有10种．∴P (B |A )＝1030＝13. 答案：138．袋中有3个黑球，1个红球．从中任取2个，取到一个黑球得0分，取到一个红球得2分，则所得分数X 的数学期望E (X )＝________．解析：由题得X 所取得的值为0或2，其中X ＝0表示取得的球为两个黑球，X ＝2表示取得的球为一黑一红，所以P (X ＝0)＝C 23C 24＝12，P (X ＝2)＝C 13C 24＝12，故E (X )＝0×12＋2×12＝1.答案：19．某人参加驾照考试，共考6个科目，假设他通过各科考试的事件是相互独立的，并且概率都是p ，若此人未能通过的科目数X 的均值是2，则p ＝________．解析：因为通过各科考试的概率为p ，所以不能通过考试的概率为1－p ，易知X ～B (6，1－p )，所以E (X )＝6(1－p )＝2.解得p ＝23.答案：2310．若X ～B (n ，p )，且E (X )＝2.4，V (X )＝1.44，则n ＝________，p ＝________． 解析：∵E (X )＝2.4，V (X )＝1.44， ∴⎩⎪⎨⎪⎧np ＝2.4，np （1－p ）＝1.44，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝6，p ＝0.4.答案：6 0.411．甲、乙两人投篮，投中的概率各为0.6，0.7，两人各投2次，两人投中次数相等的概率为________．解析：所求概率为4×0.6×0.4×0.7×0.3＋0.62×0.72＋0.42×0.32＝0.392 4. 答案：0.392 412．甲从学校乘车回家，途中有3个交通岗，假设在各交通岗遇红灯的事件是相互独立的，并且概率都是25，则甲回家途中遇红灯次数的均值为________．解析：设甲在回家途中遇红灯次数为X ，则X ～＝3×25＝65. 答案：6513. 荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去跳到另一叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示，假设现在青蛙在A 叶上，则跳三次之后停在A 叶上的概率是________．×23＝827；第二条，按A →C →B →A ，P 2＝13×13×13＝127.P ＝P 1＋P 2＝827＋127＝13.14．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴在y 轴左侧，其中a ，b ，c ∈{－3，－2，－1，0，1，2，3}，在抛物线中，记随机变量X ＝“|a －b |的取值”，则X 的均值E (X )＝________.解析：对称轴在y 轴左侧(ab ＞0)的抛物线有2C 13C 13C 17＝126条，X 可能取值为0，1，2，P (X ＝0)＝6×7126＝13；P (X ＝1)＝8×7126＝49，P (X ＝2)＝4×7126＝29，E (X )＝0×13＋1×49＋2×29＝89. 答案：89二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，求：(1)第1次抽到理科题的概率；(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3)第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．解：设第1次抽到理科题为事件A ，第2次抽到理科题为事件B ，则第1次和第2次都抽到理科题为事件A ∩B .(1)P (A )＝A 13A 14A 25＝1220＝35.(2)P (A ∩B )＝A 23A 25＝620＝310.(3)P (B |A )＝P （A ∩B ）P （A ）＝31035＝12.16．(本小题满分14分)袋中装有5个乒乓球，其中2个旧球，现在无放回地每次取一球检验．(1)若直到取到新球为止，求抽取次数X 的概率分布列及其均值；(2)若将题设中的“无放回”改为“有放回”，求检验5次取到新球个数X 的均值．解：(1)X 的可能取值为1，2，3，P (X ＝1)＝35，P (X ＝2)＝2×35×4＝310，P (X ＝3)＝2×1×35×4×3＝110， 故抽取次数X 的概率分布为E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝32.(2)每次检验取到新球的概率均为35，故X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，35，所以E (X )＝5×35＝3. 17．(本小题满分14分)甲、乙、丙三人商量周末去玩，甲提议去市中心逛街，乙提议去城郊觅秋，丙表示随意．最终，商定以抛硬币的方式决定结果．规则是：由丙抛掷硬币若干次，若正面朝上则甲得一分，乙得零分，反面朝上则乙得一分甲得零分，先得4分者获胜，三人均执行胜者的提议．记所需抛币次数为X .(1)求X ＝6的概率；(2)求X 的概率分布和均值．解：(1)P (X ＝6)＝2×C 35×⎝ ⎛⎭⎪⎫123×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×12＝516.(2)由题意知，X 可能取值为4，5，6，7，P (X ＝4)＝2×C 44×⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝18，P (X ＝5)＝2×C 34×⎝ ⎛⎭⎪⎫123×12×12＝14，P (X ＝6)＝516，P (X ＝7)＝2×C 36×⎝ ⎛⎭⎪⎫123×⎝ ⎛⎭⎪⎫123×12＝516，故X 的概率分布为所以E (X )＝4×18＋5×14＋6×516＋7×516＝9316.18．(本小题满分16分)袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n 个(n ＝1，2，3，4)．现从袋中任取一球，X 均值和方差．解：由题意，得X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，所以P (X ＝0)＝1020＝12，P (X ＝1)＝120，P (X ＝2)＝220＝110，P (X ＝3)＝420＝15. 故X 所以E (X )×20＋×10＋×320＋(4－1.5)2×156名男同学，4名女同学．在这10名同学(每位同学被选到的可能性相X 的概率分布和均值．A ，则P (A )＝C 13·C 27＋C 03·C 37C 310＝60. 所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为4960.(2)随机变量X 的所有可能值为0，1，2，3.P (X ＝r )＝C r4·C 3－r6C 310(r ＝0，1，2，3)． 所以，随机变量X随机变量X 的均值E (X )＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝65.20．(本小题满分16分)(北京高考)李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立)：(1)从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率； (2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；(3)记x 为表中10个命中次数的平均数．从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明在这场比赛中的命中次数．比较E (X )与x 的大小．(只需写出结论)解：(1)根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的场次有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.(2)设事件A 为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”， 事件B 为“在随机选择的一场客观比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”．则C ＝AB ∪AB ，A ，B 独立．根据投篮统计数据，P (A )＝35，P (B )＝25.P (C )＝(AB )＋P (AB )＝35×35＋25×25＝1325.所以在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为1325.(3)E (X )＝x .。
高中数学 第二章概率综合复习学案 苏教版选修2-3
第二章概率综合复习编写：许红霞 核对：高二数学组寄语：现实是此岸，理想是彼岸，中间隔着湍急的河流，行动则是架在河上的桥梁。
一、学习目标：（1）求离散型随机变量的分布列，首先要确定随机变量的取值，其次求它取每一个值的概率。
一般都要通过排列组合知识来计算其取值的概率。
（2）掌握随机变量分布列的求解步骤，注意分布列的两个性质。
二、学习重点：（1）会求离散型随机变量的分布列； (2)掌握相互独立事件的概率公式；（3）能计算简单离散型随机变量的均值，方差。
学习难点：掌握概率的简单应用，通过实例，理解离散型随机变量均值、方差的概念，并能解决一些实际问题。
三、基础知识A1．已知随机变量X 服从二项分布X ～B(n ，P)，且 EX=7，DX=6，则P 等于（ ）A ．71B ．61C ．51D ．41A2．设离散型随机变量X 满足EX=－l ，DX=3，则E[3(X －2)]等于（ ） A ．9 B ．6 C ．30 D ．36B3．设15000件产品中有1000件次品，从中抽取150件进行检查，则查得次品数的数学期望为（ ） A ．15 B ．10 C ．20 D ．5 B4．已知随机变量X 的的分布列为 则DX 等于（ ）A ．0B ．0.8C ．2D ．1B5．抛掷两个骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中，成功次数X 的期望是（ ）A ．103B ．559C ．809D ．509B6．已知随机变量X 满足DX =2,则()=+32X D （ ）A ．2B ．4C ．5D ．8B7．某服务部门有n 个服务对象,每个服务对象是否需要服务是独立的,若每个服务对象一天中需要服务的可能性是 p , 则该部门一天中平均需要服务的对象个数是 ( ) A ．n p (1－p) B ．n p C ．n D ．p (1－p) B8．设随机变量X 的概率分布为P （X=k ）=p k·(1－p)1－k(k=0，1),则EX 、DX 的值分别是（ ）A ．0和1B ．p 和p 2C ．p 和1－pD ．p 和(1－p)pC9．事件在一次试验中发生次数X 的方差DX 的最大值为（ ）A ．1B ．21C ．41D ．2C10．口袋中有5只球，编号为5,4,3,2,1，从中任取3个球，以ξ表示取出球的最大号码，则=ξE （ ） A ．4 B ．5C ．4.5D ．4.75四、能力提升B1．某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%，一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是过去200例类似项目开发的实施结果：则该公司一年后估计可获收益的期望是___________（元）C2．A 、B 两个试验方案在某科学试验中成功的概率相同，已知A 、B 两个方案至少一个成功的概率为0.36， （1）求两个方案均获成功的概率；（2）设试验成功的方案的个数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望．B3．某地最近出台一项机动车驾照考试规定；每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，使可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止。
2018年高中数学 第2章 概率 2.6 正态分布教学案 苏教版选修2-3
2.6 正态分布1．概率密度曲线布，简记为X ～N (μ，σ)．4．标准正态分布正态分布N (0，1)称为标准正态分布．5．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值落在区间(μ－σ，μ＋σ)上的概率约为68.3%； 落在区间(μ－2σ，μ＋2σ)上的概率约为95.4%； 落在区间(μ－3σ，μ＋3σ)上的概率约为99.7%. 6．中心极限定理在独立地大数量重复试验时，就平均而言，任何一个随机变量的分布都将趋近于正态分布，这就是中心极限定理．1．在正态分布X ～N (μ，σ2)中，μ就是随机变量X 的均值，σ2就是随机变量X 的方差，它们分别反映X 取值的平均大小和稳定程度．2．正态密度曲线的性质(1)曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称；(3)曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π；(4)曲线与x 轴之间的面积为1；(5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移，如图①；(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“尖陡”；σ越大，曲线越“扁平”，如图②.[例1] 如图所示是一个正态密度曲线．试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出随机变量的均值和方差．φμ，σσ的值．该正态密度曲线关于直线x＝20对称，最大于是概率密度函数的解析式是f(x)＝12π· e－（x－20）24，x∈(－∞，∞)．随机变量的均值是μ＝20，方差是σ2＝()22＝2.[一点通] 利用图象求正态密度曲线的方程．关键是确定μ，σ.结合图象，利用正态密度曲线的两条性质：一是对称轴，二是最值即可求出μ，σ.相应参数确定了，代入f(x)＝12πσe－（x－μ）22σ2即可．1．下列函数是正态密度函数的是________．(1)f(x)＝12πσe（x－μ）22σ2，μ，σ(σ>0)都是实数(2)f(x)＝2π2πe－x22(3)f(x)＝122πe－（x－1）24(4)f(x)＝12πex22解析：本题考查正态密度函数，可对照f(x)＝12π·σe－（x－μ）22σ2，其中指数部分的σ应与系数的分母处的σ保持一致，系数为正数且指数为负数．(1)有两处错误，分别是2π·σ错为2πσ，指数错为正数．(3)从系数可得σ＝2，从而指数处可得σ＝2，显然不符．(4)中指数为正，错误．答案：(2)2．若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为142π.求该正态分布的概率密度函数的解析式．解：由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0.由于12πσ＝12π·4，得σ＝4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是φμ，σ(x)＝142πe－x232，x∈(－∞，＋∞).[例2] 关于正态曲线φ(x)＝12πσe－（x－μ）22σ2，x∈(－∞，＋∞)，σ>0有以下命题：①正态密度曲线关于直线x＝μ对称；②正态密度曲线关于直线x＝σ对称；③正态密度曲线与x轴一定不相交；④正态密度曲线与x轴一定相交；⑤正态密度曲线所代表的函数是偶函数；⑥曲线对称轴由μ确定，曲线的形状由σ决定；⑦当μ一定时，σ越大，曲线越“扁平”，σ越小，曲线越“尖陡”．其中正确的是________(填序号)．[思路点拨] 根据正态分布曲线的性质可直接判断．[精解详析] 根据正态分布曲线的性质可得，由于正态密度曲线是一条关于直线x＝μ对称，在x＝μ处于最高点并由该点向左、右两边无限延伸，逐渐降低的曲线，该曲线总是位于x轴的上方，曲线形状由σ决定，而且当μ一定时，比较若干个不同的σ对应的正态曲线，可以发现σ越大，曲线越“扁平”，σ越小，曲线越“尖陡”．故①③⑥⑦正确．[答案] ①③⑥⑦[一点通] 解决正态曲线的性质问题，应对正态曲线的简单性质要熟练掌握并且能够应用，尤其是对称性，最高点的位置，曲线左右无限延伸并逐渐降低，要结合正态曲线的图象理解并掌握．3．设两个正态分布N(μ1，σ21)(σ1＞0)和N(μ2，σ22)(σ2＞0)的密度函数图象如图所示．则下列说法正确的是________．①μ1<μ2，σ1<σ2；②μ1<μ2，σ1>σ2；③μ1>μ2，σ1<σ2；④μ1>μ2，σ1>σ2.解析：当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“扁平”，表示总体越分散；σ越小，曲线越“尖陡”，表示总体的分布越集中，这个性质可直接判断．由正态曲线性质知μ1<μ2，σ1<σ2.答案：①4．标准正态分布N(0，1)在区间(－2，－1)和(1，2)上取值的概率分别为p1，p2，则p1与p2的大小关系为________．解析：根据正态曲线的特点，关于x＝0对称，故在区间(－2，－1)和(1，2)上取值的概率相等，即p1＝p2.答案：p1＝p2[例3] 若随机变量X～N(0，1)，查标准正态分布表，求：(1)P(X≤1.26)；(2)P(X>1.26)；(3)P(0.51<X≤3.2)；(4)P(X<－2.1)．[思路点拨] 借助正态密度曲线的性质将问题转化为P(X≤m)的形式，然后查标准正态分布表求值．[精解详析] (1)P(X≤1.26)＝0.896 2.(2)P(X>1.26)＝1－P(X≤1.26)＝1－0.896 2＝0.103 8.(3)P(0.51<X≤1.2)＝P(X≤1.2)－P(X≤0.51)＝0.884 9－0.695 0＝0.189 9.(4)P(X<－2.1)＝P(X>2.1)＝1－P(X≤2.1)＝1－0.982 1＝0.017 9.[一点通] 由于标准正态分布表是针对X≥0设计的，若X<0，则须转换再查表，在查表前，可画个草图将所求的概率进行转化，然后再查表．5．已知随机变量X服从正态分布N(4，σ2)，若P(X>8)＝0.4则P(X<0)＝________．解析：∵随机变量X服从正态分布N(4，σ2)，μ＝4，P(X>8)＝0.4，∴P(X<0)＝P(X>8)＝0.4.答案：0.46．已知X～N(3，σ2)，若P(X≤2)＝0.2，则P(X≤4)等于________．解析：由正态分布知识，因为X～N(3，σ2)，所以P(X≤3)＝0.5，P(X≤2)＝0.2＝P(X>4)，所以P(X≤4)＝1－P(X>4)＝1－0.2＝0.8.答案：0.81．求随机变量的正态密度函数时，只需求出μσ即可，也就是求出样本的均值及标准差．2．在利用对称性转化区间时，要注意正态曲线的对称性．课下能力提升(十七)一、填空题1．正态曲线关于y轴对称，当且仅当它所对应的正态总体均值为________．解析：正态曲线关于直线x＝μ对称，当曲线关于y轴对称时，说明μ＝0.答案：02．设随机变量X～N(1，4)，若P(X≥a＋b)＝P(X≤a－b)，则实数a的值为________．解析：∵P(X≥a＋b)＝P(X≤a－b)，∴（a＋b）＋（a－b）2＝1.∴a＝1.答案：13．已知随机变量X服从正态分布N(0，σ2)，若P(X>2)＝0.023，则P(－2≤X≤2)＝________．解析：∵随机变量X服从标准正态分布N(0，σ2)，∴正态曲线关于直线x＝0对称，又P(X＞2)＝0.023.∴P(X＜－2)＝0.023.∴P(－2≤X≤2)＝1－2×0.023＝0.954.答案：0.9544. 右图是三个正态分布X ～N (0，0.25)，Y ～N (0，1)，Z ～N (0，4)的密度曲线，则三个随机变量X ，Y ，Z 对应曲线分别是图中的________、________、________．解析：在密度曲线中，σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“瘦高”． 答案：① ② ③5．某中学有1 000人参加高考并且数学成绩近似地服从正态分布N (100，102)，则此校数学成绩在120分以上的考生人数约为________(φ(2)≈0.977)．解析：用X 表示此中学数学高考成绩，则X ～N (100，102)，∴P (X >120)＝1－P (X ≤120)＝1－φ⎝⎛⎭⎪⎫120－10010≈0.023，∴120分以上的考生人数约为1 000×0.023＝23. 答案：23 二、解答题6．如图为某地成年男性体重的正态分布密度曲线图，试根据图象写出其正态分布密度函数，并求出随机变量的均值与方差．72对称，最大值为1102π，所以μ＝72.再1σ2πx ∈(－∞，＋∞)． σ2＝100.7．在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似服从正态分布N (60，100)，已知成绩在90分以上的学生有13人．(1)求此次参加竞赛的学生总数共有多少人？(2)若计划奖励竞赛成绩排在前228名的学生，问受奖学生的分数线是多少？ 解：设学生的得分情况为随机变量X ，X ～N (60，100)． 则μ＝60，σ＝10.(1)P (30<X ≤90)＝P (60－3×10<X ≤60＋3×10)＝0.997 4.∴P (X >90)＝12[1－P (30<X ≤90)]＝0.001 3，∴学生总数为：130.001 3＝10 000(人)．(2)成绩排在前228名的学生数占总数的0.022 8. 设分数线为x .则P (X ≥x 0)＝0.022 8.∴P (120－x 0<x <x 0)＝1－2×0.022 8＝0.954 4. 又知P (60－2×10<x <60＋2×10)＝0.954 4. ∴x ＝60＋2×10＝80(分)． 即受奖学生的分数线是80分．8．若随机变量X ～N (0，1)，查表求： (1)P (0<X ≤2.31)；(2)P (1.38≤x <0)； (3)P (|X |<0.5)．解：(1)P (0<X ≤2.31)＝P (X ≤2.31)－P (X ≤0) ＝0.989 6－0.5＝0.489 6.(2)P (－1.38≤X <0)＝P (0<X ≤1.38) ＝P (X ≤1.38)－P (X ≤0) ＝0.916 2－0.5＝0.416 2.(3)P (|X |<0.5)＝P (－0.5<X <0.5) ＝P (－0.5<X ≤0)＋P (0<X <0.5) ＝2P (0<X <0.5)＝2[P (X <0.5)－P (X ≤0)] ＝2(0.691 5－0.5)＝2×0.191 5＝0.383 0.。
2018版高二数学苏教版选修2-3教案： 2.1 随机变量及其概率分布
2.1随机变量及其概率分布教案教学目标（1）在对具体问题的分析中，了解随机变量、离散型随机变量的意义，理解取有限值的离散型随机变量及其概率分布的概念；（2）会求出某些简单的离散型随机变量的概率分布，认识概率分布对于刻画随机现象的重要性；（3）感受社会生活中大量随机现象都存在着数量规律，培养辨证唯物主义世界观． 教学重点，难点（1）理解取有限值的随机变量及其分布列的概念；（2）初步掌握求解简单随机变量的概率分布．教学过程一．问题情境在一块地里种下10棵树苗，成活的树苗棵数X 是 0，1，…，10中的某个数；抛掷一颗骰子，向上的点数Y 是1，2，3，4，5，6中的某一个数；新生婴儿的性别，抽查的结果可能是男，也可能是女．如果将男婴用0表示，女婴用1表示，那么抽查的结果Z 是0和1中的某个数；……上述现象有哪些共同特点？二．学生活动上述现象中的X ，Y ，Z ，实际上是把每个随机试验的基本事件都对应一个确定的实数，即在试验结果（样本点）与实数之间建立了一个映射．例如，上面的植树问题中成活的树苗棵数X ：0X =，表示成活0棵；1X =，表示成活1棵；……三．建构数学1．随机变量：一般地，如果随机试验的结果，可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．通常用大写拉丁字母X ，Y ，Z （或小写希腊字母，，ζ）等表示，而用小写拉丁字母，y ，（加上适当下标）等表示随机变量取的可能值．如：上面新生婴儿的性别Z 是一个随机变量，0Z =，表示新生婴儿是男婴；1Z =，表示新生婴儿是女婴．例1．（1）掷一枚质地均匀的硬币一次，用X 表示掷得正面的次数，则随机变量X 的可能取值有哪些？（2）一实验箱中装有标号为1，2，3，3，4的五只白鼠，从中任取一只，记取到的白鼠的标号为Y ，则随机变量Y 的可能取值有哪些？解 （1）抛掷硬币是随机试验，结果有两种可能，一种是正面向上，另一种是反面向上，所以变量X 的取值可能是1（正面向上），也可能是0（反面向上），故随机变量X 的取值构成集合{0，1}．（2）根据条件可知，随机变量Y 的可能值有4种，它的取值集合是{1，2，3，4}． 说明：(1)引入了随机变量后，随机事件就可以用随机变量来表示．(2)在例1（1）中，随机事件“掷一枚硬币，正面向上”可以用随机变量表示为{1}X =，随机事件“掷一枚硬币，反面向上”可以用随机变量表示为{0}X =．(3) 在例1（2）中，也可用{1}Y =，{2}Y =，{3}Y =，{4}Y =分别表示取到1号、2号、3号和4号白鼠这4个随机事件．另一方面，在例1（2）中，可以用{3}Y ≤这样的记号表示“取到1号、2号或3号白鼠”这件事情，也就是说，复杂的事件也可以用随机变量的取值来表示．这样，我们就可以用随机事件发生的概率来表示随机变量取值的概率了．如例1（1）中{1}X =的概率可以表示为{1}P X ==（） {P 抛一枚硬币， 1}2=正面向上，其中{1}P X =（）常简记为1P X =（）．同理，0PX =1（）=2．这一结果可用表2-1-1来描述．X 01P1212例1（2）中随机变量Y 所表示的随机事件发生的概率也可用表2-1-2来描述．Y 1234P15152515上面的两个表格分别给出了随机变量X ，Y 表示的随机事件的概率，描述了随机变量的分布规律．2．随机变量的概率分布：一般地，假定随机变量X 有个不同的取值，它们分别是1x ，2x ，…，n x ，且()i i P X x p ==，1,2,,i n =⋅⋅⋅，① 则称①为随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列．也可以将①用表2-1-3的形式来表示．X1x 2x …n x P1p 2p …np 我们将表2-1-3称为随机变量X 的概率分布表．它和①都叫做随机变量X 的概率分布．3．随机变量分布列的性质：（1）0i p ≥； （2）121n p p p ++⋅⋅⋅+=．四．数学运用1．例题：例2．从装有6只白球和4只红球的口袋中任取一只球，用X 表示“取到的白球个数”，即1,0,X ⎧=⎨⎩当取到白球时，当取到红球时，求随机变量X 的概率分布．解 由题意知42(0)645P X ===+，63(1)645P X ===+，故随机变量X 的概率分布列为2(0)5P X ==，3(1)5P X ==，概率分布表如下．X 01P2535说明：1．本题中，随机变量X 只取两个可能值0和1．像这样的例子还有很多，如在射击中，只考虑“命中”与“不命中”；对产品进行检验时，只关心“合格”与“不合格”等．我们把这一类概率分布称为0-1分布或两点分布，并记为X ~0-1分布或X ~两点分布．此处“~”表示“服从”．2．求随机变量X 的分布列的步骤：（1）确定X 的可能取值(1,2,)i x i =…；（2）求出相应的概率()i i P X x p ==；（3）列成表格的形式。
高中数学 第二章 概率章末分层突破学案 苏教版选修23
第二章 概率章末分层突破[自我校对]①p i ≥0，i ＝1,2，…，n② i ＝1np i ＝1③两点分布 ④超几何分布 ⑤P (B |A )＝P ABPA⑥0≤P (B |A )≤1P ((B ＋C )|A )＝P (B |A )＋P (C |A )(B ，C 互斥)⑦P (AB )＝P (A )·P (B )⑧A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 相互独立 ⑨P (X ＝k )＝C k n p k(1－p )n －k(k ＝0,1,2，…，n ) ⑩E (aX ＋b )＝aE (X )＋b⑫E (X )＝np ⑬V (X )＝p (1－p ) ⑭V (X )＝np (1－p ) ⑮V (aX ＋b )＝a 2V (X)必须搞清欲求的条件概率是在什么条件下发生的概率．求条件概率的主要方法有：利用条件概率公式P (B |A )＝P ABP A计算．在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，求： (1)第1次抽到理科题的概率；(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率． 【精彩点拨】 本题是条件概率问题，根据条件概率公式求解即可．【规范解答】 设“第1次抽到理科题”为事件A ，“第2题抽到理科题”为事件B ，则“第1次和第2次都抽到理科题”为事件AB .(1)从5道题中不放回地依次抽取2道题的事件数为n (Ω)＝A 25＝20.根据分步计数原理，n (A )＝A 13×A 14＝12. 于是P (A )＝n An Ω＝1220＝35. (2)因为n (AB )＝A 23＝6， 所以P (AB )＝n AB n Ω＝620＝310.(3)由(1)(2)可得，在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率 P (B |A )＝P ABP A ＝31035＝12.1．掷两颗均匀的骰子，已知第一颗骰子掷出6点，问“掷出点数之和大于或等于10”的概率．【解】 设“掷出的点数之和大于或等于10”为事件A ，“第一颗骰子掷出6点”为事件B .P (A |B )＝P ABP B ＝336636＝12.清事件间的内部联系，在此基础上用基本事件之间的交、并、补运算表示出有关事件，并运用相应公式求解．特别注意以下两公式的使用前提：(1)若A ，B 互斥，则P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )，反之不成立． (2)若A ，B 相互独立，则P (AB )＝P (A )P (B )，反之成立．设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4，各人是否需使用设备相互独立．(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率； (2)X 表示同一工作日需使用设备的人数，求P (X ＝1)．【精彩点拨】 解决本题的关键是将复杂事件拆分成若干个彼此互斥事件的和或几个彼此相互独立事件的积事件，再利用相应公式求解．【规范解答】 记A i 表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i 人需使用设备，i ＝0,1,2，B 表示事件：甲需使用设备，C 表示事件：丁需使用设备，D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．(1)D ＝A 1BC ＋A 2B ＋A 2B C ，P (B )＝0.6，P (C )＝0.4，P (A i )＝C i 2×0.52，i ＝0,1,2，所以P (D )＝P (A 1BC ＋A 2B ＋A 2B C ) ＝P (A 1BC )＋P (A 2B )＋P (A 2B C )＝P (A 1)P (B )P (C )＋P (A 2)P (B )＋P (A 2)P (B )P (C )＝0.31. (2)X ＝1表示在同一工作日有一人需使用设备．P (X ＝1)＝P (BA 0C ＋B A 0C ＋B A 1C )＝P (B )P (A 0)P (C )＋P (B )P (A 0)P (C )＋P (B )·P (A 1)P (C )＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52×(1－0.4)＝0.25.[再练一题]2．某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题，竞赛规则规定：答对第1,2,3个问题分别得100分，100分，200分，答错得零分．假设这名同学答对第1,2,3个问题的概率分别为0.8,0.7,0.6.且各题答对与否相互之间没有影响．(1)求这名同学得300分的概率； (2)求这名同学至少得300分的概率．【解】 记“这名同学答对第i 个问题”为事件A i (i ＝1,2,3)，则P (A 1)＝0.8，P (A 2)＝0.7，P (A 3)＝0.6.(1)这名同学得300分的概率为：P 1＝P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A1)P (A 2)P (A 3)＝0.8×0.3×0.6＋0.2×0.7×0.6＝0.228. (2)这名同学至少得300分的概率为：P 2＝P 1＋P (A 1A 2A 3)＝P 1＋P (A 1)P (A 2)P (A 3)＝0.228＋0.8×0.7×0.6＝0.564.2．应用范围：均值和方差在实际优化问题中应用非常广泛，如同等资本下比较收益的高低、相同条件下比较质量的优劣、性能的好坏等．3．求解思路：应用时，先要将实际问题数学化，然后求出随机变量的概率分布列．对于一般类型的随机变量，应先求其分布列，再代入公式计算，此时解题的关键是概率的计算．计算概率时要结合事件的特点，灵活地结合排列组合、古典概型、独立重复试验概率、互斥事件和相互独立事件的概率等知识求解．若离散型随机变量服从特殊分布(如两点分布、二项分布等)，则可直接代入公式计算其数学期望与方差．甲、乙、丙三支足球队进行比赛，根据规则：每支队伍比赛两场，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局．已知乙队胜丙队的概率为15，甲队获得第一名的概率为16，乙队获得第一名的概率为115.(1)求甲队分别胜乙队和丙队的概率P 1，P 2；(2)设在该次比赛中，甲队得分为ξ，求ξ的分布列及数学期望、方差．【精彩点拨】 (1)通过列方程组求P 1和P 2；(2)由题意求出甲队得分ξ的可能取值，然后再求出ξ的分布列，最后再求出数学期望和方差．【规范解答】 (1)设“甲队胜乙队”的概率为P 1，“甲队胜丙队”的概率为P 2.根据题意，甲队获得第一名，则甲队胜乙队且甲队胜丙队，所以甲队获得第一名的概率为P 1×P 2＝16.①乙队获得第一名，则乙队胜甲队且乙队胜丙队， 所以乙队获得第一名的概率为(1－P 1)×15＝115.②解②，得P 1＝23，代入①，得P 2＝14，所以甲队胜乙队的概率为23，甲队胜丙队的概率为14.(2)ξ的可能取值为0,3,6.当ξ＝0时，甲队两场比赛皆输，其概率为P (ξ＝0)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－23×⎝⎛⎭⎪⎫1－14＝14；当ξ＝3时，甲队两场只胜一场，其概率为P (ξ＝3)＝23×⎝⎛⎭⎪⎫1－14＋14×⎝⎛⎭⎪⎫1－23＝712；当ξ＝6时，甲队两场皆胜，其概率为P (ξ＝6)＝23×14＝16.所以ξ的分布列为所以E (ξ)＝0×4＋3×12＋6×6＝4.V (ξ)＝⎝⎛⎭⎪⎫0－1142×14＋⎝⎛⎭⎪⎫3－1142×712＋⎝⎛⎭⎪⎫6－1142×16＝5916. [再练一题]3．(2015·天津高考)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．(1)设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A 发生的概率；(2)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望． 【解】 (1)由已知，有P (A )＝C 22C 23＋C 23C 23C 48＝635.所以，事件A 发生的概率为635. (2)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4. P (X ＝k )＝C k 5C 4－k3C 48(k ＝1,2,3,4)．所以，随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望E (X )＝1×14＋2×7＋3×7＋4×14＝2.主要是：(1)掌握正态分布曲线函数关系式；(2)理解正态分布曲线的性质；(3)记住正态分布在三个区间内取值的概率，运用对称性结合图象求相应的概率．正态分布的概率通常有以下两种方法：(1)注意“3σ原则”的应用．记住正态总体在三个区间内取值的概率．(2)注意数形结合．由于正态分布密度曲线具有完美的对称性，体现了数形结合的重要思想，因此运用对称性结合图象解决某一区间内的概率问题成为热点问题．某学校高三2 500名学生第二次模拟考试总成绩服从正态分布N (500,502)，请您判断考生成绩X 在550～600分的人数．【精彩点拨】 根据正态分布的性质求出P (550＜x ≤600)，即可解决在550～600分的人数．【规范解答】 ∵考生成绩X ～N (500,502)， ∴μ＝500，σ＝50，∴P (550<X ≤600)＝12[P (500－2×50<X ≤500＋2×50)－P (500－50<X ≤500＋50)]＝12(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9， ∴考生成绩在550～600分的人数为2 500×0.135 9≈340(人)． [再练一题]4．为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X (kg)服从正态分布N (μ，22)，且正态分布密度曲线如图21所示．若体重大于58.5 kg 小于等于62.5 kg 属于正常情况，则这1 000名男生中属于正常情况的人数是________．图21【解析】 由题意，可知μ＝60.5，σ＝2，故P (58.5<X ≤62.5)＝P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6，从而属于正常情况的人数是1 000×0.682 6≈683.【答案】 6831．(2016·江苏高考)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．【解析】 将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，所有等可能的结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(6,6)，共36种情况．设事件A ＝“出现向上的点数之和小于10”，其对立事件A ＝“出现向上的点数之和大于或等于10”，A 包含的可能结果有(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共6种情况．所以由古典概型的概率公式，得P (A )＝636＝16，所以P (A )＝1－16＝56. 【答案】 562．(2015·广东高考)已知随机变量X 服从二项分布B (n ，p )．若E (X )＝30，D (X )＝20，则p ＝________.【解析】 由E (X )＝30，D (X )＝20，可得⎩⎪⎨⎪⎧np ＝30，np－p ＝20，解得p ＝13.【答案】 133．(2016·北京高考)A ，B ，C 三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)：(1)(2)从A 班和C 班抽出的学生中，各随机选取一人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；(3)再从A ，B ，C 三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7,9,8.25(单位：小时)．这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1，表格中数据的平均数记为μ0，试判断μ0和μ1的大小．(结论不要求证明)【解】 (1)由题意知，抽出的20名学生中，来自C 班的学生有8名．根据分层抽样的方法，估计C 班的学生人数为100×820＝40.(2)设事件A i 为“甲是现有样本中A 班的第i 个人”，i ＝1,2，…，5， 事件C j 为“乙是现有样本中C 班的第j 个人”，j ＝1,2，…，8. 由题意可知，P (A i )＝15，i ＝1,2， (5)P (C j )＝18，j ＝1,2， (8)P (A i C j )＝P (A i )P (C j )＝15×18＝140，i ＝1,2，...，5，j ＝1,2， (8)设事件E 为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”．由题意知，E ＝A 1C 1∪A 1C 2∪A 2C 1∪A 2C 2∪A 2C 3∪A 3C 1∪A 3C 2∪A 3C 3∪A 4C 1∪A 4C 2∪A 4C 3∪A 5C 1∪A 5C 2∪A 5C 3∪A 5C 4.因此P (E )＝P (A 1C 1)＋P (A 1C 2)＋P (A 2C 1)＋P (A 2C 2)＋P (A 2C 3)＋P (A 3C 1)＋P (A 3C 2)＋P (A 3C 3)＋P (A 4C 1)＋P (A 4C 2)＋P (A 4C 3)＋P (A 5C 1)＋P (A 5C 2)＋P (A 5C 3)＋P (A 5C 4)＝15×140＝38.(3)μ1＜μ0.4．(2015·四川高考)某市A ，B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了3名男生、2名女生，B 中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．(1)求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X 表示参赛的男生人数，求X 的分布列和数学期望．【解】 (1)由题意，参加集训的男、女生各有6名．参赛学生全从B 中学抽取(等价于A 中学没有学生入选代表队)的概率为C 33C 34C 36C 36＝1100.因此，A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－1100＝99100.(2)根据题意，X 的可能取值为1,2,3. P (X ＝1)＝C 13C 33C 46＝15，P (X ＝2)＝C 23C 23C 46＝35，P (X ＝3)＝C 33C 13C 46＝15，所以X 的分布列为因此，X E (X )＝1×P (X ＝1)＋2×P (X ＝2)＋3×P (X ＝3)＝1×15＋2×35＋3×15＝2.章末综合测评(二) 概率 (时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上) 1．(2014·全国卷Ⅱ)甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________．【解析】 甲、乙两名运动员选择运动服颜色有(红，红)，(红，白)，(红，蓝)，(白，白)，(白，红)，(白，蓝)，(蓝，蓝)，(蓝，白)，(蓝，红)，共9种．而同色的有(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共3种． 所以所求概率P ＝39＝13.【答案】 132．设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ，T 只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：则T 的数学期望E (【解析】 由统计结果可得T 的频率分布为从而E (T ) 【答案】 32分钟3．甲、乙、丙三人独立地去破译一个密码，他们能译出的概率分别为15，13，14，则此密码能被译出的概率为________．【解析】 三人都不能译出密码的概率为P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝25，故三人能破译密码的概率是1－P ＝1－25＝35.【答案】 354．已知X ～N (0,1)，则P (－1＜X ＜2)＝________.【解析】 ∵P (－1＜X ＜1)＝0.683，P (－2＜X ＜2)＝0.954， ∴P (1＜X ＜2)＝12(0.954－0.683)＝0.135 5.∴P (－1＜X ＜2)＝0.683＋0.135 5＝0.818 5. 【答案】 0.818 55．已知随机变量X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，12，则V (2X ＋1)＝________. 【导学号：29440064】 【解析】 V (2X ＋1)＝22×V (X )＝4V (X )， V (X )＝6×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝32，∴V (2X ＋1)＝4×32＝6.【答案】 66．某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好任意去试拨．他第一次失败，第二次成功的概率是________．【解析】 电话号码的最后一个数可能是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中的一个数，所以他第一次失败，第二次成功的概率为910×19＝110.【答案】1107．设随机变量X 服从二项分布，即X ～B (n ，p )，且E (X )＝3，p ＝17，则n ＝________，V (X )＝________.【解析】 ∵E (X )＝np ＝3，p ＝17，∴n ＝21，并且V (X )＝np (1－p )＝21×17×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－17＝187.【答案】 211878．(2016·南通高二检测)某人参加驾照考试，共考6个科目，假设他通过各科考试的事件是相互独立的，并且概率都是p .若此人未能通过的科目数ξ的均值是2，则p ＝________.【解析】 因为通过各科考试的概率为p ，所以不能通过考试的概率为1－p ，易知ξ～B (6,1－p )，所以E (ξ)＝6(1－p )＝2，解得p ＝23.【答案】 239．一个袋子装有大小相同的3个红球和2个白球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是________．【解析】 法一 同时取出的2个球中含红球数X 的概率分布为 P (X ＝0)＝C 03C 22C 25＝110，P (X ＝1)＝C 13C 12C 25＝610，P (X ＝2)＝C 23C 02C 25＝310.E (X )＝0×110＋1×610＋2×310＝65.法二 同时取出的2个球中含红球数X 服从参数N ＝5，M ＝3，n ＝2的超几何分布，所以E (X )＝nM N ＝65.【答案】 6510．一个盒子里装有6张卡片，上面分别写着如下6个定义域为R 的函数：f 1(x )＝x ，f 2(x )＝x 2，f 3(x )＝x 3，f 4(x )＝sin x ，f 5(x )＝cos x ，f 6(x )＝2.现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后不放回，若取到一张记有偶函数的卡片，则停止抽取，否则继续进行，则抽取次数ξ的数学期望为________．【解析】 由于f 2(x )，f 5(x )，f 6(x )为偶函数，f 1(x )，f 3(x )，f 4(x )为奇函数，所以随机变量ξ可取1,2,3,4.P (ξ＝1)＝C 13C 16＝12，P (ξ＝2)＝C 13C 13C 16C 15＝310，P (ξ＝3)＝C 13C 12C 13C 16C 15C 14＝320，P (ξ＝4)＝C 13C 12C 11C 13C 16C 15C 14C 13＝120.所以ξ的概率分布为E (ξ)＝1×12＋2×310＋3×320＋4×120＝74.【答案】 7411. (2016·扬州高二检测)将一个半径适当的小球放入如图1所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12，则小球落入A 袋中的概率为________．图1【解析】 小球落入B 袋中的概率为P 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×12×12×2＝14，∴小球落入A 袋中的概率为P ＝1－P 1＝34.【答案】 3412．某一部件由三个电子元件按图2方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为________．图2【解析】 三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N (1 000，502)得：三个电子元件的使用寿命超过1 000小时的概率为p ＝12.超过1 000小时时元件1或元件2正常工作的概率p 1＝1－(1－p )2＝34，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为p 2＝p 1×p ＝38.【答案】 3813．(2016·苏州高二检测)一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论：①从中任取3球，恰有一个白球的概率是35；②从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为43；③现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为25；④从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为2627.其中所有正确结论的序号是________. 【导学号：29440065】【解析】 ①恰有一个白球的概率P ＝C 12C 24C 36＝35，故①正确；②每次任取一球，取到红球次数X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，23，其方差为6×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝43，故②正确； ③设A ＝{第一次取到红球}，B ＝{第二次取到红球}． 则P (A )＝23，P (AB )＝4×36×5＝25，∴P (B |A )＝P AB P A ＝35，故③错；④每次取到红球的概率P ＝23，所以至少有一次取到红球的概率为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233＝2627， 故④正确． 【答案】 ①②④14．已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个蓝球(m ≥3，n ≥3)，从乙盒中随机抽取i (i ＝1,2)个球放入甲盒中．(a)放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi (i ＝1,2)； (b)放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i (i ＝1,2)． 则下列比较正确的序号是________．①p 1>p 2，E (ξ1)<E (ξ2)；②p 1<p 2，E (ξ1)>E (ξ2)； ③p 1>p 2，E (ξ1)>E (ξ2)；④p 1<p 2，E (ξ1)<E (ξ2)． 【解析】 随机变量ξ1，ξ2的分布列如下：所以E (ξ1)＝nm ＋n＋m ＋n ＝m ＋n， E (ξ2)＝C 2n C 2m ＋n ＋2C 1m C 1n C 2m ＋n ＋3C 2m C 2m ＋n ＝3m ＋nm ＋n ，所以E (ξ1)<E (ξ2)． 因为p 1＝mm ＋n＋nm ＋n ·12＝2m ＋n m ＋n， p 2＝C 2m C 2m ＋n ＋C 1m C 1n C 2m ＋n ·23＋C 2n C 2m ＋n ·13＝3m ＋nm ＋n，p 1－p 2＝nm ＋n>0，所以p 1>p 2. 【答案】 ①二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)(2016·全国卷Ⅰ)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：图3以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．(1)求X 的分布列；(2)若要求P (X ≤n )≥0.5，确定n 的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？【解】(1)由柱状图及以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2.从而P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04；P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24；P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08；P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04.所以X的分布列为(2)由故n的最小值为19.(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)．当n＝19时，E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4 040；当n＝20时，E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4 080.可知当n＝19时所需费用的期望值小于当n＝20时所需费用的期望值，故应选n＝19.16．(本小题满分14分)甲、乙两人独立解某一道数学题，已知甲独立解出的概率为0.6，且两人中至少有一人解出的概率为0.92.(1)求该题被乙独立解出的概率；(2)求解出该题的人数X的概率分布．【解】(1)设甲、乙分别解出此题的事件为A，B，则P(A)＝0.6，P＝1－P(A·B)＝1－0.4·P(B)＝0.92，解得P(B)＝0.2，∴P(B)＝0.8.(2)P(X＝0)＝P(A)·P(B)＝0.4×0.2＝0.08，P(X＝1)＝P(A)·P(B)＋P(A)·P(B)＝0.44，P(X＝2)＝P(A)·P(B)＝0.6×0.8＝0.48，∴X的概率分布为：17.(本小题满分14分) 1 000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：(1)设X(2)若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率．【解】(1)设A表示事件“作物产量为300 kg”，B表示事件“作物市场价格为6元/kg”，由题设知P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，∵利润＝产量×市场价格－成本，∴X所有可能的取值为500×10－1 000＝4 000,500×6－1 000＝2 000，300×10－1 000＝2 000,300×6－1 000＝800.P(X＝4 000)＝P(A)P(B)＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，P(X＝2 000)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5，P(X＝800)＝P(A)P(B)＝0.5×0.4＝0.2，所以X的概率分布为(2)设C i表示事件“第，由题意知C1，C2，C3相互独立，由(1)知，P(C i)＝P(X＝4 000)＋P(X＝2 000)＝0.3＋0.5＝0.8(i＝1,2,3)，3季的利润均不少于2 000元的概率为P(C1C2C3)＝P(C1)P(C2)P(C3)＝0.83＝0.512；3季中有2季的利润不少于2 000元的概率为P (C 1C 2C 3)＋P (C 1C 2C 3)＋P (C 1C 2C 3)＝3×0.82×0.2＝0.384，所以，这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率为0.512＋0.384＝0.896.18．(本小题满分16分)某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A 饮料，另外4杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A 饮料．若4杯都选对，则月工资定为3 500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2 800元，否则月工资定为2 100元，令X 表示此人选对A 饮料的杯数，假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力．(1)求X 的概率分布； (2)求此员工月工资的期望．【解】 (1)X 的所有可能取值为：0,1,2,3,4. P (X ＝i )＝C i 4C 4－i4C 48(i ＝0,1,2,3,4)，故X 的概率分布为：(2)令Y 800,3 500，则P (Y ＝3 500)＝P (X ＝4)＝170，P (Y ＝2 800)＝P (X ＝3)＝835， P (Y ＝2 100)＝P (X ≤2)＝5370，所以E (Y )＝3 500×170＋2 800×835＋2 100×5370＝2 280(元)．所以此员工工资的期望为2 280元．19．(本小题满分16分)设甲、乙两家灯泡厂生产的灯泡寿命X (单位：小时)和Y 的概率分布分别为：【解】 由期望的定义，得E (X )＝900×0.1＋1 000×0.8＋1 100×0.1＝1 000， E (Y )＝950×0.3＋1 000×0.4＋1 050×0.3＝1 000.两家灯泡厂生产的灯泡寿命的期望值相等，需进一步考查哪家工厂灯泡的质量比较稳定，即比较其方差．由方差的定义，得V (X )＝(900－1 000)2×0.1＋(1 000－1 000)2×0.8＋(1 100－1 000)2×0.1＝2 000， V (Y )＝(950－1 000)2×0.3＋(1 000－1 000)2×0.4＋(1 050－1 000)2×0.3＝1 500.∵V (X )＞V (Y )，∴乙厂生产的灯泡质量比甲稳定， 即乙厂生产的灯泡质量较好．20．(本小题满分16分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n .如果n ＝3，再从这批产品中任取4件检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n ＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立．(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X (单位：元)，求X 的概率分布及数学期望．【解】 (1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A 1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A 2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B 1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B 2，这批产品通过检验为事件A ，依题意有A ＝(A 1B 1)＋(A 2B 2)，且A 1B 1与A 2B 2互斥，所以P (A )＝P (A 1B 1)＋P (A 2B 2)＝P (A 1)P (B 1|A 1)＋P (A 2)·P (B 2|A 2)＝416×116＋116×12＝364. (2)X 可能的取值为400,500,800，并且P (X ＝400)＝1－416－116＝1116，P (X ＝500)＝116，P (X ＝800)＝14，所以以X 的概率分布为E (X )＝400×1116＋500×116＋800×4＝506.25.。
高中数学 第2章 概率 2.3.1 条件概率讲义 苏教版选修2-3-苏教版高二选修2-3数学教案
2.3.1 条件概率一般地，对于两个事件A 和B ，在已知事件B 发生的条件下事件A 发生的概率，称为事件B 发生的条件下事件A 的条件概率，记为P (A |B )．若A ，B 互斥，则P (A |B )＝P (B |A )＝0.2．条件概率公式(1)一般地，若P (B )＞0，则事件B 发生的条件下A 发生的条件概率是P (A |B )＝P (AB )P (B ). (2)乘法公式：P (AB )＝P (A |B )P (B )． 思考1：P (A |B )＝P (B |A )成立吗？[提示] 不一定成立．一般情况下P (A |B )≠P (B |A )，只有P (A )＝P (B )时才有P (A |B )＝P (B |A )．思考2：若P (A )≠0，则P (A ∩B )＝P (B |A )·P (A )，这种说法正确吗？ [提示] 正确．由P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )得P (A ∩B )＝P (B |A )·P (A )． 1．把一枚骰子连续抛掷两次，已知在第一次抛出的是偶数点的情况下，第二次抛出的也是偶数点的概率为( )A.1B.12C.13D.14B [设事件A ：第一次抛出的是偶数点；事件B ：第二次抛出的是偶数点，则P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )＝12×1212＝12.] 2．设A ，B 为两个事件，且P (A )>0，若P (AB )＝13，P (A )＝23，则P (B |A )＝________.12 [由P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1323＝12.] 3．袋中有6个黄色的乒乓球，4个白色的乒乓球，做不放回抽样，每次抽取一球，取两次，则第二次才能取到黄球的概率为________．415[记“第一次取到白球”为事件A ，“第二次取到黄球”为事件B ，“第二次才取到黄球”为事件C ，所以P (C )＝P (AB )＝P (A )P (B |A )＝410×69＝415.]利用P (B |A )＝P (AB )P (A )求条件概率 一只20岁的这种动物，问它能活到25岁的概率是________．(2)抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A 为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B 为“两颗骰子的点数之和大于8”．①求P (A )，P (B )，P (AB )；②当已知蓝色骰子的点数为3或6时，求两颗骰子的点数之和大于8的概率． [思路探究] (1)直接应用公式P (B |A )＝P (AB )P (A )求解． (2)①利用古典概型求P (A )，P (B )及P (AB )． ②借助公式P (B |A )＝P (AB )P (A )求概率． (1)0.5 [设事件A 为“能活到20岁”，事件B 为“能活到25岁”，则P (A )＝0.8，P (B )＝0.4，而所求概率为P (B |A )，由于B ⊆A ，故AB ＝B ，于是P (B |A )＝P (AB )P (A )＝P (B )P (A )＝0.40.8＝0.5，所以一只20岁的这种动物能活到25岁的概率是0.5.](2)[解] ①设x 为掷红骰子得到的点数，y 为掷蓝骰子得到的点数，则所有可能的事件与(x ，y )建立对应如图．显然：P (A )＝1236＝13，P (B )＝1036＝518，P (AB )＝536.②P (B |A )＝P (AB )P (A )＝53613＝512.1．用定义法求条件概率P (B |A )的步骤 (1)分析题意，弄清概率模型； (2)计算P (A )，P (AB )； (3)代入公式求P (B |A )＝P (AB )P (A ). 2．在(2)题中，首先结合古典概型分别求出了事件A ，B 的概率，从而求出P (B |A )，揭示出P (A )，P (B )和P (B |A )三者之间的关系．1．(1)甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录，知道一年中下雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，两地同时下雨占12%，记P (A )＝0.2，P (B )＝0.18，P (AB )＝0.12，则P (A |B )＝________，P (B |A )＝________.(2)有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．(1)23 35 (2)0.72 [(1)由公式P (A |B )＝P (AB )P (B )＝23，P (B |A )＝P (AB )P (A )＝35. (2)设“种子发芽”为事件A ，“种子成长为幼苗”为事件AB (发芽，又成活为幼苗)，出芽后的幼苗成活率为P (B |A )＝0.8，又P (A )＝0.9，P (B |A )＝P (AB )P (A )， 得P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝0.8×0.9＝0.72.]利用基本事件个数求条件概率【例放回地依次抽取2个节目，求：(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．[思路探究] 第(1)、(2)问属古典概型问题，可直接代入公式；第(3)问为条件概率，可以借用前两问的结论，也可以直接利用基本事件个数求解．[解] 设第1次抽到舞蹈节目为事件A ，第2次抽到舞蹈节目为事件B ，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB .(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个的事件数为n (Ω)＝A 26＝30， 根据分步计数原理n (A )＝A 14A 15＝20，于是P (A )＝n (A )n (Ω)＝2030＝23. (2)因为n (AB )＝A 24＝12，于是P (AB )＝n (AB )n (Ω)＝1230＝25. (3)法一：由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为P (B |A )＝P (AB )P (A )＝2523＝35.法二：因为n (AB )＝12，n (A )＝20， 所以P (B |A )＝n (AB )n (A )＝1220＝35. 1．本题第(3)问给出了两种求条件概率的方法，法一为定义法，法二利用基本事件个数直接作商，是一种重要的求条件概率的方法．2．计算条件概率的方法(1)在缩小后的样本空间ΩA 中计算事件B 发生的概率，即P (B |A )． (2)在原样本空间Ω中，先计算P (AB )，P (A )，再利用公式P (B |A )＝P (AB )P (A )计算求得P (B |A )．(3)条件概率的算法：已知事件A 发生，在此条件下事件B 发生，即事件AB 发生，要求P (B |A )，相当于把A 看作新的基本事件空间计算事件AB 发生的概率，即P (B |A )＝n (AB )n (A )＝n (AB )n (Ω)n (A )n (Ω)＝P (AB )P (A ). 2．盒内装有16个球，其中6个是玻璃球，10个是木质球．玻璃球中有2个是红色的，4个是蓝色的；木质球中有3个是红色的，7个是蓝色的．现从中任取1个，已知取到的是蓝球，问该球是玻璃球的概率是多少？[解] 由题意得球的分布如下：蓝 4 7 11 合计61016设A ＝{取得蓝球}，B ＝{取得玻璃球}， 则P (A )＝1116，P (AB )＝416＝14.∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝141116＝411.条件概率的综合应用[探究问题1．掷一枚质地均匀的骰子，有多少个基本事件？它们之间有什么关系？随机事件出现“大于4的点”包含哪些基本事件？[提示] 掷一枚质地均匀的骰子，可能出现的基本事件有“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”“6点”，共6个，它们彼此互斥．“大于4的点”包含“5点”“6点”两个基本事件．2．“先后抛出两枚质地均匀的骰子”试验中，已知第一枚出现4点，则第二枚出现“大于4”的事件，包含哪些基本事件？[提示] “第一枚4点，第二枚5点”“第一枚4点，第二枚6点”．3．先后抛出两枚质地均匀的骰子，已知第一枚出现4点，如何利用条件概率的性质求第二枚出现“大于4点”的概率？[提示] 设第一枚出现4点为事件A ，第二枚出现5点为事件B ，第二枚出现6点为事件C .则所求事件为(B ＋C )|A .∴P ((B ＋C )|A )＝P (B |A )＋P (C |A )＝16＋16＝13.【例3】 一批同型号产品由甲、乙两厂生产，产品结构如下表：等级数量厂别甲厂乙厂合计合格品 475 644 1 119 次品 25 56 81 合计5007001 200(1)从这批产品中随意地取一件，则这件产品恰好是次品的概率是________； (2)已知取出的产品是甲厂生产的，则这件产品恰好是次品的概率是________． [思路探究] 先求的基本函数的概率，再依据条件概率的计算公式计算． (1)27400 (2)120[(1)从这批产品中随意地取一件，则这件产品恰好是次品的概率是811 200＝27400. (2)法一：已知取出的产品是甲厂生产的，则这件产品恰好是次品的概率是25500＝120.法二：设A ＝“取出的产品是甲厂生产的”，B ＝“取出的产品为甲厂的次品”，则P (A )＝5001 200，P (A ∩B )＝251 200，所以这件产品恰好是甲厂生产的次品的概率是P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )＝120.] 条件概率的解题策略分解计算，代入求值，为了求比较复杂事件的概率，一般先把它分解成两个(或若干个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率．3．已知男人中有5%患色盲，女人中有0.25%患色盲，从100个男人和100个女人中任选一人．(1)求此人患色盲的概率；(2)如果此人是色盲，求此人是男人的概率．[解] 设“任选一人是男人”为事件A ，“任选一人是女人”为事件B ，“任选一人是色盲”为事件C .(1)此人患色盲的概率P (C )＝P (AC )＋P (BC ) ＝P (A )P (C |A )＋P (B )P (C |B ) ＝5100×100200＋0.25100×100200＝21800. (2)P (A |C )＝P (AC )P (C )＝520021800＝2021.1．本节课的重点是条件概率的定义及条件概率的求法，难点是对条件概率定义的理解． 2．计算条件概率需要注意的问题：(1)公式P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )仅限于P (A )>0的情况．当P (A ＝0)时，我们不定义条件概率． (2)计算条件概率P (B |A )时，不能随便用事件B 的概率P (B )代替P (A ∩B )． (3)条件概率是指在一定条件下发生的概率，是概率的一种，具有概率的一般性质． (4)P (B |A )与P (A |B )不一定相等．(5)利用公式P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )求解有些条件概率问题较为简捷，但应注意这个性质是在“B 与C 互斥”这一前提下才具备的，因此不要忽视这一条件而乱用这个公式.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若事件A ，B 互斥，则P (B |A )＝1.( )(2)事件A 发生的条件下，事件B 发生，相当于A ，B 同时发生．( ) (3)P (B |A )≠P (A ∩B )．( ) [答案] (1)× (2)× (3)√2．已知P (B |A )＝13，P (A )＝25，则P (A ∩B )等于( )A.56B.910C.215D.115 C [由P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )， 得P (A ∩B )＝P (B |A )·P (A )＝13×25＝215]3．抛掷骰子2次，每次结果用(x 1，x 2)表示，其中x 1，x 2分别表示第一次、第二次骰子的点数．若设A ＝{(x 1，x 2)|x 1＋x 2＝10}，B ＝{(x 1，x 2)|x 1>x 2}．则P (B |A )＝________.13 [∵P (A )＝336＝112，P (AB )＝136， ∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝136112＝13.]4．一个口袋内装有2个白球和2个黑球，那么(1)先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率是多少？ (2)先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率是多少？[解] (1)设“先摸出1个白球不放回”为事件A ，“再摸出1个白球”为事件B ，则“先后两次摸出白球”为事件AB ，“先摸一球不放回，再摸一球”共有4×3种结果，所以P (A )＝12，P (AB )＝2×14×3＝16，所以P (B |A )＝1612＝13.所以先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率为13.(2)设“先摸出1个白球放回”为事件A 1，“再摸出1个白球”为事件B 1，“两次都摸出白球”为事件A 1B 1，P (A 1)＝12，P (A 1B 1)＝2×24×4＝14，所以P (B 1|A 1)＝P (A 1B 1)P (A 1)＝1412＝12.所以先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率为12.。
苏教版高中数学选修2-3第2章 概率.docx
高中数学学习材料唐玲出品第2章概率§2.1随机变量及其概率分布课时目标1.理解随机变量的含义.2.会求简单的随机变量的概率分布.3.通过实例，理解随机变量的概率分布的性质．1．随机变量：一般地，如果________________，可以用一个________来表示，那么这样的________叫做随机变量，通常用大写拉丁字母X，Y，Z(或小写希腊字母ξ，η，ζ)等表示．2．随机变量的概率分布(1)分布列一般地，假定随机变量X有n个不同的取值，它们分别是x1，x2，…，x n，且____________，i＝1,2，…，n，①则称①为随机变量X的____________，简称为X的分布列．(2)概率分布表将①用下表形式表示出来X x1x2…x nP p1p2…p n则上表称为随机变量X的概率分布表．(3)性质①________(i＝1,2，…，n)②p1＋p2＋…＋p n＝________.3．两点分布如果随机变量X可能取值只有________，这样的概率分布称为0—1分布或两点分布，记作X～0—1分布或X～两点分布．一、填空题1．一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6.现从中随机地取出3个，用ξ表示取出的球的最大号码，则{ξ＝6}表示的试验结果是______________________________．2．一用户在打电话时忘记了号码的最后三个数字，只记得最后三个数字两两不同，且都大于5，于是他随机拨最后三个数字(两两不同)，设他拨到所要号码的次数为ξ，则随机变量ξ的可能取值共有________种．3．随机变量X 的概率分布表如下，则m ＝________.X 1 2 3 4P 14 m 13 164.设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝k 15(k ＝1,2,3,4,5)，则P (12<ξ<52)＝________. 5．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ去描述1次试验的成功次数，则P (ξ＝0)＝________.6．抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X ，则{X >4}表示的试验结果是______________________________________________________．7．同时抛掷两枚相同的均匀硬币，随机变量ξ＝1表示结果中有正面向上，ξ＝0表示结果中没有正面向上，则ξ的概率分布表为________．8．已知随机变量η的概率分布如下表：η 1 2 3 4 5 6P 0.2 x 0.25 0.1 0.15 0.2则x ＝________；P (η>3)＝________；P (1<η≤4)＝________.二、解答题9．先后抛掷一个骰子两次，以下的随机变量可能取哪些值？(1)两次抛掷出的最大点数；(2)两次掷出的点数之和；(3)第一次与第二次掷出的点数差．10．一个袋中有5个编号为1,2,3,4,5的小球，在其中同时取3个，以X 表示取出3个球中的最大号码，求X 的概率分布表．能力提升11．若随机变量X 的概率分布表如下，试求出常数c .X 0 1P 9c 2－c 3－8c12．将一颗骰子投两次，求两次掷出的最大点数X 的概率分布表．1．在随机试验中，确定了一个对应关系，使每一个试验结果用一个确定的数字表示，这些数字就随着试验结果的变化而变化，就是随机变量．2．利用随机变量概率分布的性质可以求出随机变量在某个范围内取值的概率．3．在两点分布中，只有两个对立结果，求出其中的一个概率，便可求出另一个概率．第2章 概率2．1 随机变量及其概率分布答案知识梳理1．随机试验的结果 变量 变量2．(1)P (X ＝x i )＝p i 概率分布列 (3)①p i ≥0 ②13．两个作业设计1．从6个球中取出3个，其中有一个是6号球，其余的2个是1,2,3,4,5号球中的任意2个解析 {ξ＝6}表示取出的3个球的最大号码是6，也就是说，从6个球中随机取出3个，有一个是6号球，其余的2个是1,2,3,4,5号球中的任意2个．2．24解析 后三个数字两两不同且都大于5的电话号码共有A 34＝24(种)．3.14解析 由分布列性质得14＋m ＋13＋16＝1， 解得m ＝14. 4.15解析 由12<ξ<52知ξ＝1,2. P (ξ＝1)＝115.P (ξ＝2)＝215. ∴P (12<ξ<52)＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＝15.5.13解析 设ξ的分布列为 ξ 0 1P p 2p即ξ＝0表示试验失败，ξ＝1表示试验成功，设失败率为p ，则成功率为2p ，所以由p ＋2p ＝1，得p ＝13.所以P (ξ＝0)＝13. 6．第一枚骰子掷出6点，第二枚骰子掷出1点．解析 设第一枚骰子掷出的点数为x ，第二枚骰子掷出的点数为y ，其中x ，y ＝1,2,3,4,5,6，依题意得X ＝x －y ，则－5≤X ≤5且X ∈Z ，所以由{X >4}可得{X ＝5}，它表示x ＝6，y ＝1.即第一枚骰子掷出6点，第二枚骰子掷出1点．7.ξ 0 1P 14 348.0.1 0.45 0.45解析 由分布列的性质得0.2＋x ＋0.25＋0.1＋0.15＋0.2＝1，解得x ＝0.1；P (η>3)＝P (η＝4)＋P (η＝5)＋P (η＝6)＝0.1＋0.15＋0.2＝0.45；P (1<η≤4)＝P (η＝2)＋P (η＝3)＋P (η＝4)＝0.1＋0.25＋0.1＝0.45.9．解 (1)用随机变量ξ表示抛掷骰子两次掷出的最大点数，则ξ的取值集合为{1,2,3,4,5,6}．(2)用随机变量ζ表示抛掷两次掷出的点数之和，则ζ的取值集合为{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}．(3)用随机变量X 表示第一次与第二次掷出的点数差，则X 的取值集合为{－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5}．10．解 从袋中取出3个小球的可能情况有：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,3,4)，(2,3,4)，(1,2,5)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共10种情况，所以随机变量X 的可能取值为3,4,5.由古典概型可知P (X ＝3)＝110， P (X ＝4)＝310， P (X ＝5)＝610. 所以X 的概率分布表如下：X 3 4 5P 110 310 610 11.解 由随机变量分布列的性质可知⎩⎪⎨⎪⎧ 9c 2－c ＋3－8c ＝1，0≤9c 2－c ≤1，0≤3－8c ≤1，解得c ＝13. 12．解 随机变量X 取值为1,2,3,4,5,6.则P (X ＝1)＝1C 16C 16＝136； P (X ＝2)＝3C 16C 16＝336＝112； P (X ＝3)＝5C 16C 16＝536；P(X＝4)＝7C16C16＝736；P(X＝5)＝9C16C16＝936＝1 4；P(X＝6)＝11C16C16＝1136.所以两次掷出的最大点数X的概率分布表为X 12345 6P 136112536736141136。
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第二章 概率学习目标 1.进一步理解随机变量及其概率分布的概念，了解概率分布对于刻画随机现象的重要性.2.理解超几何分布及其导出过程，并能够进行简单的应用.3.了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n 次独立重复试验模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题.4.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念，能计算简单的离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单的实际问题．1．事件概率的求法 (1)条件概率的求法①利用定义分别求出P (B )和P (AB )，解得P (A |B )＝P (AB )P (B ). ②借助古典概型公式，先求事件B 包含的基本事件数n ，再在事件B 发生的条件下求事件A 包含的基本事件数m ，得P (A |B )＝mn. (2)相互独立事件的概率若事件A ，B 相互独立，则P (AB )＝P (A )P (B )． (3)n 次独立重复试验在n 次独立重复试验中，事件A 发生k 次的概率为P n (k )＝C k n p k qn －k，k ＝0,1,2，…，n ，q ＝1－p . 2．随机变量的分布列(1)求离散型随机变量的概率分布的步骤 ①明确随机变量X 取哪些值；②计算随机变量X 取每一个值时的概率；③将结果用二维表格形式给出．计算概率时注意结合排列与组合知识． (2)两种常见的分布列 ①超几何分布若一个随机变量X 的分布列为P (X ＝r )＝C r M C n －rN －MC n N ，其中r ＝0,1,2,3，…，l ，l ＝min(n ，M )，则称X 服从超几何分布． ②二项分布若随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝C k n p k qn －k，其中0＜p ＜1，p ＋q ＝1，k ＝0,1,2，…，n ，则称X 服从参数为n ，p 的二项分布，记作X ～B (n ，p )． 3．离散型随机变量的均值与方差(1)若离散型随机变量X 的概率分布如下表：则E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n 则V (X )＝(x 1－μ)2p 1＋(x 2－μ)2p 2＋…＋(x n －μ)2p n . (2)当X ～H (n ，M ，N )时，E (X )＝nM N ，V (X )＝nM (N －M )(N －n )N 2(N －1).(3)当X ～B (n ，p )时，E (X )＝np ，V (X )＝np (1－p )．类型一 条件概率的求法例1 口袋中有2个白球和4个红球，现从中随机不放回地连续抽取两次，每次抽取1个，则： (1)第一次取出的是红球的概率是多少？(2)第一次和第二次都取出的是红球的概率是多少？(3)在第一次取出红球的条件下，第二次取出的是红球的概率是多少？反思与感悟 条件概率是学习相互独立事件的前提和基础，计算条件概率时，必须搞清要求的条件概率是在什么条件下发生的概率．一般地，计算条件概率常有两种方法 (1)P (B |A )＝P (AB )P (A ).(2)P (B |A )＝n (AB )n (A ).在古典概型下，n (AB )指事件A 与事件B 同时发生的基本事件个数；n (A )是指事件A 发生的基本事件个数．跟踪训练1 掷两颗均匀的骰子，已知第一颗骰子掷出6点，问“掷出点数之和大于或等于10”的概率．类型二 互斥、对立、独立事件的概率例2 某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立． (1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的概率分布和均值．反思与感悟 在求解此类问题中，主要运用对立事件、独立事件的概率公式(1)P(A)＝1－P(A)．(2)若事件A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)．(3)若事件A，B是互斥事件，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．跟踪训练2 红队队员甲，乙，丙与蓝队队员A，B，C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘．已知甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立．(1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求P(ξ≤1)．类型三离散型随机变量的概率分布、均值和方差例3 一次同时投掷两枚相同的正方体骰子(骰子质地均匀，且各面分别刻有1,2,2,3,3,3六个数字)，(1)设随机变量η表示一次掷得的点数和，求η的概率分布；(2)若连续投掷10次，设随机变量ξ表示一次掷得的点数和大于5的次数，求E(ξ)，V(ξ)．反思与感悟 求离散型随机变量的均值与方差的步骤跟踪训练3 甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束，除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23，假设各局比赛结果相互独立．(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率；(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分，对方得1分，求乙队得分X 的概率分布及均值．类型四概率的实际应用例4 某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确得0分，第三个问题回答正确得20分，回答不正确得－10分．如果一个挑战者回答前两个问题正确的概率都是0.8，回答第三个问题正确的概率为0.6，且各题回答正确与否相互之间没有影响．(1)求这位挑战者回答这三个问题的总得分ξ的概率分布和均值；(2)求这位挑战者总得分不为负分(即ξ≥0)的概率．反思与感悟 解需要分类讨论的问题的实质是：整体问题转化为部分问题来解决．转化成部分问题后增加了题设条件，易于解题，这也是解决需要分类讨论问题的总的指导思想． 跟踪训练4 某地有A ，B ，C ，D 四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A 到过疫区，B 肯定是受A 感染，对于C ，因为难以断定他是受A 还是受B 感染的，于是假定他受A 和受B 感染的概率都是12.同样也假定D 受A 、B 和C 感染的概率都是13.在这种假定之下，B 、C 、D 中直接受A 感染的人数X 就是一个随机变量．写出X 的概率分布．1．抛掷一枚骰子，观察出现的点数，若已知出现的点数不超过4，则出现的点数是奇数的概率为________．2．在5道题中有3道理科题和2道文科题．事件A 为“取到的2道题中至少有一道理科题”，事件B 为“取到的2道题中一题为理科题，另一题为文科题”，则P (B |A )＝________.3．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝C k n (23)k (13)n －k，k ＝0,1,2，…，n ，且E (ξ)＝24，则V (ξ)的值为________．4．设X 为随机变量，X ～B (n ，13)，若X 的方差为V (X )＝43，则P (X ＝2)＝________.5．盒子中有5个球，其中3个白球，2个黑球，从中任取两个球，求取出白球的均值和方差．1．条件概率的两个求解策略(1)定义法：计算P (A )，P (B )，P (AB )，利用P (A |B )＝P (AB )P (B )⎝ ⎛⎭⎪⎫或P (B |A )＝P (AB )P (A )求解． (2)缩小样本空间法：利用P (B |A )＝n (AB )n (A )求解． 其中(2)常用于古典概型的概率计算问题．2．求相互独立事件同时发生的概率需注意的三个问题(1)“P (AB )＝P (A )P (B )”是判断事件是否相互独立的充要条件，也是解答相互独立事件概率问题的唯一工具．(2)涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率问题，务必分清事件间的相互关系． (3)公式“P (A ∪B )＝1－P (A B )”常应用于求相互独立事件至少有一个发生的概率． 3．求解实际问题的均值与方差的解题思路：先要将实际问题数学化，然后求出随机变量的概率分布，同时要注意运用两点分布、二项分布等特殊分布的均值、方差公式以及均值与方差的线性性质．答案精析题型探究例1 解 记事件A ：第一次取出的球是红球；事件B ：第二次取出的球是红球．(1)从口袋中随机不放回地连续抽取两次，每次抽取1个，所有基本事件共6×5个；第一次取出的球是红球，第二次是其余5个球中的任一个，符合条件的事件有4×5个， 所以P (A )＝4×56×5＝23.(2)从口袋中随机不放回地连续抽取两次，每次抽取1个，所有基本事件共6×5个；第一次和第二次都取出的球是红球，相当于取两个球，都是红球，符合条件的事件有4×3个，所以P (AB )＝4×36×5＝25. (3)利用条件概率的计算公式， 可得P (B |A )＝P (AB )P (A )＝2523＝35.跟踪训练1 解 设“掷出点数之和大于或等于10”为事件A ，“第一颗骰子掷出6点”为事件B .方法一 P (A |B )＝P (AB )P (B )＝336636＝12.方法二 “第一颗骰子掷出6点”的情况有(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共6种，∴n (B )＝6.“掷出点数之和大于或等于10”且“第一颗骰子掷出6点”的情况有(6,4)，(6,5)，(6,6)，共3种，即n (AB )＝3. ∴P (A |B )＝n (AB )n (B )＝36＝12. 例2 解 记E ＝{甲组研发新产品成功}，F ＝{乙组研发新产品成功}．由题设知P (E )＝23，P (E )＝13，P (F )＝35，P (F )＝25，且事件E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立．(1)记H ＝{至少有一种新产品研发成功}，则H ＝E F ， 于是P (H )＝P (E )P (F )＝13×25＝215， 故所求的概率为P (H )＝1－P (H )＝1－215＝1315.(2)设企业可获利润为X 万元，则X 的可能取值为0,100,120,220. 因为P (X ＝0)＝P (E F )＝13×25＝215， P (X ＝100)＝P (E F )＝13×35＝315＝15， P (X ＝120)＝P (E F )＝23×25＝415， P (X ＝220)＝P (E F )＝23×35＝615＝25， 故所求的概率分布如下表：E (X )＝0×215＋100×15＋120×15＋220×5＝140.跟踪训练2 解 (1)设“甲胜A ”为事件D ，“乙胜B ”为事件E ，“丙胜C ”为事件F ，则D ，E ，F 分别表示甲不胜A 、乙不胜B 、丙不胜C 的事件．因为P (D )＝0.6，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5.由对立事件的概率公式知，P (D )＝0.4，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5. 红队至少两人获胜的事件有DE F ，D E F ，D EF ，DEF .由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P ＝P (DE F )＋P (D E F )＋P (D EF )＋P (DEF )＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55. (2)由题意知，ξ的可能取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝P (D E F )＝0.4×0.5×0.5＝0.1，P (ξ＝1)＝P (D E F )＋P (D E F )＋P (D E F )＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.35，所以P (ξ≤1)＝P (ξ＝0)＋P (ξ＝1) ＝0.45.例3 解 (1)由已知，随机变量η的取值为2,3,4,5,6.设掷一个正方体骰子所得点数为η0，P (η0＝1)＝16，P (η0＝2)＝13， P (η0＝3)＝12，所以P (η＝2)＝16×16＝136，P (η＝3)＝2×16×13＝19， P (η＝4)＝2×16×12＋13×13＝518， P (η＝5)＝2×13×12＝13， P (η＝6)＝12×12＝14.故η的概率分布为(2)由已知，满足条件的一次投掷的点数和取值为6，设某次发生的概率为p ，由(1)知，p ＝14.因为随机变量ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫10，14， 所以E (ξ)＝np ＝10×14＝52，V (ξ)＝np (1－p )＝10×14×34＝158.跟踪训练3 解 (1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A 1，“甲队以3∶1胜利”为事件A 2，“甲队以3∶2胜利”为事件A 3，由题意知各局比赛结果相互独立， 故P (A 1)＝(23)3＝827，P (A 2)＝C 23(23)2(1－23)×23＝827，P (A 3)＝C 24(23)2(1－23)2×12＝427. 所以，甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率分别是827，827，427.(2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A 4， 由题意知各局比赛结果相互独立， 所以P (A 4)＝C 24(1－23)2(23)2×(1－12)＝427.由题意知，随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3， 根据事件的互斥性，得P (X ＝0)＝P (A 1∪A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝1627，P (X ＝1)＝P (A 3)＝427， P (X ＝2)＝P (A 4)＝427，P (X ＝3)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝2)＝19.故X 的概率分布为所以E (X )＝0×1627＋1×427＋2×27＋3×9＝9.例4 解 (1)三个问题均答错，得0＋0＋(－10)＝－10(分)． 三个问题均答对，得10＋10＋20＝40(分)． 三个问题一对两错，包括两种情况： ①前两个问题一对一错，第三个问题错， 得10＋0＋(－10)＝0(分)；②前两个问题错，第三个问题对，得0＋0＋20＝20(分)． 三个问题两对一错，也包括两种情况： ①前两个问题对，第三个问题错， 得10＋10＋(－10)＝10(分)；②第三个问题对，前两个问题一对一错， 得20＋10＋0＝30(分)．故ξ的可能取值为－10,0,10,20,30,40.P (ξ＝－10)＝0.2×0.2×0.4＝0.016， P (ξ＝0)＝C 12×0.2×0.8×0.4＝0.128， P (ξ＝10)＝0.8×0.8×0.4＝0.256， P (ξ＝20)＝0.2×0.2×0.6＝0.024， P (ξ＝30)＝C 12×0.8×0.2×0.6＝0.192，P (ξ＝40)＝0.8×0.8×0.6＝0.384.所以ξ的概率分布为所以E (ξ)24.(2)这位挑战者总得分不为负分的概率为P (ξ≥0)＝1－P (ξ<0)＝1－0.016＝0.984.跟踪训练4 解 (1)A 直接感染一个人有2种情况：分别是A －B －C －D 和A －B －⎣⎢⎡C D，概率是12×13＋12×13＝13；(2)A 直接感染二个人有3种情况：分别是A －⎣⎢⎡B －CD，A —⎣⎢⎡B －D C，A —⎣⎢⎡B C －D，概率是12×13＋12×13＋12×13＝12； (3)A 直接感染三个人只有一种情况：ABDC ，概率是12×13＝16.∴随机变量X 的概率分布是当堂训练1.122.233.84.802435．解 取出的白球个数ξ可能取值为0,1,2. ξ＝0时表示取出的两个球都为黑球，即P (ξ＝0)＝C 22C 25＝110.ξ＝1表示取出的两个球中一个黑球，一个白球， 即P (ξ＝1)＝C 13C 12C 25＝35.ξ＝2表示取出的两个球均为白球， 即P (ξ＝2)＝C 23C 25＝310.于是E (ξ)＝0×110＋1×35＋2×310＝1.2，V (ξ)＝(0－1.2)2×110＋(1－1.2)2×35＋(2－1.2)2×310＝0.36.。