压杆受临界力Fcr作用而仍在直线平衡形态下维持不稳定平衡-精品文档
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小柔度杆9-4欧拉公式的应用范围经验公式
16
§9-4 欧拉公式的应用范围经验公式
四、压杆的分类及临界应力总图
1.压杆的分类 （1）大柔度杆
1
π 2 EI Fcr ( l )2
（2）中柔度杆
2 1
σcr a b σcr σs
17
（3）小柔度杆
2
§9-4 欧拉公式的应用范围经验公式
x x
y
y z
880 1000
880
z
8
§9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力
x x F
880 1000
880
l
y
y z
z
F
分析思路： （1）杆件在两个方向的约束情况不同；
（2）计算出两个临界压力. 最后取小的一个作为压杆
的临界压力.
9
§9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力
x
π 2 EI 3.142 2.1 1011 6.5 10 8 Fcr 2 ( l ) (1 1)2 134.6kN
15
§9-4 欧拉公式的应用范围经验公式
三. 常用的经验公式
直线公式 或 令
σcr a b s
a s b a s 2 b
式中：a 和 b是与材料有关的常数，可查表得出.
2 是对应 直线公式的最低线.
2 1的杆为中柔度杆，其临界应力用经验公式.
第九章 压 杆 稳 定
1
§9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力
2
§9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力
1.细长压杆的形式
两 端 铰 支 一端 自由 一端 固定
两 端 固 定
一端 固定 一端 铰支
§9-4 欧拉公式的应用范围经验公式
四、压杆的分类及临界应力总图
1.压杆的分类 （1）大柔度杆
1
π 2 EI Fcr ( l )2
（2）中柔度杆
2 1
σcr a b σcr σs
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（3）小柔度杆
2
§9-4 欧拉公式的应用范围经验公式
x x
y
y z
880 1000
880
z
8
§9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力
x x F
880 1000
880
l
y
y z
z
F
分析思路： （1）杆件在两个方向的约束情况不同；
（2）计算出两个临界压力. 最后取小的一个作为压杆
的临界压力.
9
§9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力
x
π 2 EI 3.142 2.1 1011 6.5 10 8 Fcr 2 ( l ) (1 1)2 134.6kN
15
§9-4 欧拉公式的应用范围经验公式
三. 常用的经验公式
直线公式 或 令
σcr a b s
a s b a s 2 b
式中：a 和 b是与材料有关的常数，可查表得出.
2 是对应 直线公式的最低线.
2 1的杆为中柔度杆，其临界应力用经验公式.
第九章 压 杆 稳 定
1
§9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力
2
§9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力
1.细长压杆的形式
两 端 铰 支 一端 自由 一端 固定
两 端 固 定
一端 固定 一端 铰支
第十一章 压杆稳定
各方向约束情况不同时：
使Fcr最小的方向为实际弯曲方向，I为挠曲时横
截面对其中性轴的惯性矩。
如销孔类铰链，即所谓的柱状铰。约束特点为：
在垂直于轴销的平面内，轴销对杆的约束相当于铰支；
而在轴销平面内，轴销对杆的约束则接近于固定端。
第十一章 压杆稳定问题
思考：试判断下列压杆长度系数的取值范围
μ>2
0.7<μ<2
cr
2E 2
P
或
2E p
E
p
P
(10 10)
P值仅与弹性模量E及比例极限P 有关， P仅随材料
性质而异。柔度≥P的压杆称大柔度杆。
当 ≥P（大柔度压杆或细长压杆）时，才能应用欧
拉公式。
当＜P时（中、小柔度压杆），不能应用欧拉公式。
第十一章 压杆稳定问题
P 的大小仅取决于压杆材料的 力学性能。例如，对于Q235 钢，E=206GPa， P=200MPa，得
0.7
0.5
欧拉临界压力公式的统一表达式：
Fcr
2EI (l)2
(10 6)
第十一章 压杆稳定问题
Fcr为维持微弯平衡状态最小的压力
各方向约束情况相同时：
Fcr
2EI (l)2
乘积l称为压杆的相当长度或有效长度。 为常数，称长度因素，代表支持方式对临界载荷的
影响。 I＝Imin––– 最小形心主惯性矩
第十一章 压杆稳定问题
压杆的稳定(4学时)
教学内容：压杆稳定的概念，细长压杆的临界力和欧 拉公式，欧拉公式的适用范围，中、小柔度杆的临界 应力，压杆的稳定计算，提高压杆稳定性的措施。 教学要求： 1、了解丧失稳定、临界力的概念，中、小柔度杆的临 界应力，压杆的稳定条件，提高压杆稳定性的措施； 2、理解细长压杆的临界力和欧拉公式，临界应力、惯 性半径、柔度的概念，欧拉公式的适用范围。 重点：细长压杆的临界力和欧拉公式。 难点：细长压杆的临界力和欧拉公式。
使Fcr最小的方向为实际弯曲方向，I为挠曲时横
截面对其中性轴的惯性矩。
如销孔类铰链，即所谓的柱状铰。约束特点为：
在垂直于轴销的平面内，轴销对杆的约束相当于铰支；
而在轴销平面内，轴销对杆的约束则接近于固定端。
第十一章 压杆稳定问题
思考：试判断下列压杆长度系数的取值范围
μ>2
0.7<μ<2
cr
2E 2
P
或
2E p
E
p
P
(10 10)
P值仅与弹性模量E及比例极限P 有关， P仅随材料
性质而异。柔度≥P的压杆称大柔度杆。
当 ≥P（大柔度压杆或细长压杆）时，才能应用欧
拉公式。
当＜P时（中、小柔度压杆），不能应用欧拉公式。
第十一章 压杆稳定问题
P 的大小仅取决于压杆材料的 力学性能。例如，对于Q235 钢，E=206GPa， P=200MPa，得
0.7
0.5
欧拉临界压力公式的统一表达式：
Fcr
2EI (l)2
(10 6)
第十一章 压杆稳定问题
Fcr为维持微弯平衡状态最小的压力
各方向约束情况相同时：
Fcr
2EI (l)2
乘积l称为压杆的相当长度或有效长度。 为常数，称长度因素，代表支持方式对临界载荷的
影响。 I＝Imin––– 最小形心主惯性矩
第十一章 压杆稳定问题
压杆的稳定(4学时)
教学内容：压杆稳定的概念，细长压杆的临界力和欧 拉公式，欧拉公式的适用范围，中、小柔度杆的临界 应力，压杆的稳定计算，提高压杆稳定性的措施。 教学要求： 1、了解丧失稳定、临界力的概念，中、小柔度杆的临 界应力，压杆的稳定条件，提高压杆稳定性的措施； 2、理解细长压杆的临界力和欧拉公式，临界应力、惯 性半径、柔度的概念，欧拉公式的适用范围。 重点：细长压杆的临界力和欧拉公式。 难点：细长压杆的临界力和欧拉公式。
材料力学 第九章 压杆稳定
点名
二、 欧拉公式的应用范围
(Applicable range for Euler’s formula)
只有在 cr P 的范围内，才可以用欧拉公式计算压杆的 临界压力 Fcr（临界应力 cr ）。
cr
2E 2
P
或
2E
P
令1
E
P
点名
即 ≥ 1（大柔度压杆或细长压杆），为欧拉公式的适用范围。 1 的大小取决于压杆材料的力学性能。例如，对于Q235钢， 可取 E=206GPa，P=200MPa，得
构件的承载能力
①强度 ②刚度 ③稳定性
点名
工程中有些构 件具有足够的强度、 刚度，却不一定能 安全可靠地工作。
点名
二、工程实例（Example problem）
点名
点名
内燃机、空气压缩机的连杆
点名
点名
点名
点名
三、失稳破坏案例 (bucking examples)
案例1、上世纪初，享有盛誉的美国桥梁学家库柏(Theodore Cooper)在圣劳伦斯河上建造魁比克大桥(Quebec Bridge) 1907年8月29日，发生稳定性破坏,85位工人死亡,成为上世纪 十大工程惨剧之一.
A杆先失稳
点名
例题2 压杆截面如图所示。两端为柱形铰链约束，若绕 y 轴失
稳可视为两端固定，若绕 z 轴失稳可视为两端铰支。已知，杆长
l=1m ,材料的弹性模量E=200GPa，p=200MPa。
求压杆的临界应力。
z
解： 1
E 99
P
y
30mm
iy
Iy A
1 (0.03 0.023 )
Mechanics of Materials
sfsdf
第 九章
压杆稳定
· 压杆稳定的概念 · 两端绞支细长压杆的临界压力 · 其它支座条件下细长压杆的临界压力 · 欧拉公式的应用范围 经验公式 · 压杆的稳定校核 · 提高压杆稳定性的措施
目录
§9. 1
压杆稳定的概念
第二章中，轴向拉，压杆的强度条件为
F N max max A
例：一长为300mm的钢板尺，横截面尺寸为 20mm 1mm 。 钢的许用应力为[]=196MPa。按强度条件计算得钢板尺所能 承受的轴向压力为 [P] = FNmax = A[] = 3.92 KN
( 2l )
2
l
2l
表9.1 各种支承约束条件下等截面细长压杆 临界力的欧拉公式
支承情况 两端绞支
临界力的欧拉公式
长度系数
2 EI F cr 2 l
2 EI F cr 2 (0.7l )
2 EI F cr 2
(0.5l )
一端固定另绞支端
两端固定
一端固定另端自由
F cr
EI F cr 2 ( l )
2
§9. 4
欧拉公式的应用范围 经验公式
一，临界应力的欧拉公式 压杆受临界力 Fcr 作用而仍在直线平衡形态下维持不稳定的平衡 时，横截面上的 压应力 可按 = F/A 计算。
EI F cr 2 ( l )
2
按各种支承情况下压杆临界力的欧拉公式，算出压杆横截
z y
Fcr
EI F cr 2 ( l )
2
EI F cr 2 ( l )
2
2
若杆端在各个方向的约束情况不同（柱形绞），应分别
计算杆在不同方向失稳时的临界力。I 为其相应的对
压杆稳定
· 压杆稳定的概念 · 两端绞支细长压杆的临界压力 · 其它支座条件下细长压杆的临界压力 · 欧拉公式的应用范围 经验公式 · 压杆的稳定校核 · 提高压杆稳定性的措施
目录
§9. 1
压杆稳定的概念
第二章中，轴向拉，压杆的强度条件为
F N max max A
例：一长为300mm的钢板尺，横截面尺寸为 20mm 1mm 。 钢的许用应力为[]=196MPa。按强度条件计算得钢板尺所能 承受的轴向压力为 [P] = FNmax = A[] = 3.92 KN
( 2l )
2
l
2l
表9.1 各种支承约束条件下等截面细长压杆 临界力的欧拉公式
支承情况 两端绞支
临界力的欧拉公式
长度系数
2 EI F cr 2 l
2 EI F cr 2 (0.7l )
2 EI F cr 2
(0.5l )
一端固定另绞支端
两端固定
一端固定另端自由
F cr
EI F cr 2 ( l )
2
§9. 4
欧拉公式的应用范围 经验公式
一，临界应力的欧拉公式 压杆受临界力 Fcr 作用而仍在直线平衡形态下维持不稳定的平衡 时，横截面上的 压应力 可按 = F/A 计算。
EI F cr 2 ( l )
2
按各种支承情况下压杆临界力的欧拉公式，算出压杆横截
z y
Fcr
EI F cr 2 ( l )
2
EI F cr 2 ( l )
2
2
若杆端在各个方向的约束情况不同（柱形绞），应分别
计算杆在不同方向失稳时的临界力。I 为其相应的对
第九章 压杆稳定
外，最小根是
s in k l = 0
kl = 2π
4π 2 EI Fcr = k 2 EI = 2 l
21
图示结构中四根压杆的材料、截面形状、横截面面积均相同， 图示结构中四根压杆的材料、截面形状、横截面面积均相同， 排序出在纸平面内失稳的先后顺序。 排序出在纸平面内失稳的先后顺序。
22
§9-4 欧拉公式的应用范围•经验公式 欧拉公式的应用范围•
8
2.弹性压杆的稳定性 2.弹性压杆的稳定性 稳定平衡状态 F < F —稳定平衡状态 cr
F = F —临界平衡状态 临界平衡状态 cr
不稳定平衡状态 F > F —不稳定平衡状态 cr
关键
确定压杆的临界力 确定压杆的临界力 Fcr
临界状态 稳 定 平 衡 对应的
过 度
不 稳 定 平 衡
压力
临界压力: 临界压力:
将以上边界条件代入(a)式和 将以上边界条件代入 式和 (b) 式，得
B+
A sin kl + B cos kl +
由以上四个方程得出 满足以上两式的根， 满足以上两式的根，除
Me =0 F
Me =0 F
Ak = 0
Ak cos kl − Bk sin kl = 0
cos kl − 1 = 0
kl = 0
实际上，其承载能力并不取决轴向压缩的抗压强度， 实际上，其承载能力并不取决轴向压缩的抗压强度，而是 与受压时变弯有关.当加的轴向压力达到40N时 与受压时变弯有关.当加的轴向压力达到40N时，钢板尺就突然 40N 发明显的弯曲变形，丧失了承载能力. 发明显的弯曲变形，丧失了承载能力.
1
① 强度 构件的承载能力 ② 刚度 ③ 稳定性 工程中有些构件具有足够的强度、刚度，却不一定能安全 工程中有些构件具有足够的强度、刚度， 可靠地工作. 可靠地工作.
s in k l = 0
kl = 2π
4π 2 EI Fcr = k 2 EI = 2 l
21
图示结构中四根压杆的材料、截面形状、横截面面积均相同， 图示结构中四根压杆的材料、截面形状、横截面面积均相同， 排序出在纸平面内失稳的先后顺序。 排序出在纸平面内失稳的先后顺序。
22
§9-4 欧拉公式的应用范围•经验公式 欧拉公式的应用范围•
8
2.弹性压杆的稳定性 2.弹性压杆的稳定性 稳定平衡状态 F < F —稳定平衡状态 cr
F = F —临界平衡状态 临界平衡状态 cr
不稳定平衡状态 F > F —不稳定平衡状态 cr
关键
确定压杆的临界力 确定压杆的临界力 Fcr
临界状态 稳 定 平 衡 对应的
过 度
不 稳 定 平 衡
压力
临界压力: 临界压力:
将以上边界条件代入(a)式和 将以上边界条件代入 式和 (b) 式，得
B+
A sin kl + B cos kl +
由以上四个方程得出 满足以上两式的根， 满足以上两式的根，除
Me =0 F
Me =0 F
Ak = 0
Ak cos kl − Bk sin kl = 0
cos kl − 1 = 0
kl = 0
实际上，其承载能力并不取决轴向压缩的抗压强度， 实际上，其承载能力并不取决轴向压缩的抗压强度，而是 与受压时变弯有关.当加的轴向压力达到40N时 与受压时变弯有关.当加的轴向压力达到40N时，钢板尺就突然 40N 发明显的弯曲变形，丧失了承载能力. 发明显的弯曲变形，丧失了承载能力.
1
① 强度 构件的承载能力 ② 刚度 ③ 稳定性 工程中有些构件具有足够的强度、刚度，却不一定能安全 工程中有些构件具有足够的强度、刚度， 可靠地工作. 可靠地工作.
第14章 压杆稳定
14.2 理想压杆临界力的计算 所谓理想压杆指的是中心受压直杆。因为对于实际的压杆，导致其 弯曲的因素有很多，比如，压杆材料本身存在的不均匀性，压杆在 制造时其轴线不可避免地会存在初曲率，作用在压杆上外力的合力 作用线也不可能毫无偏差地与杆轴线相重合等。这些因素都可能使 压杆在外力作用下除发生轴向压缩变形外，还发生附加的弯曲变形 。但在对压杆的承载能力进行理论研究时，通常将压杆抽象为由均 质材料制成的中心受压直杆的力学模型，即理想压杆。因此“失稳 ”临界力的概念都是针对这一力学模型而言的。 14.2.1 两端铰支细长压杆的临界力
图14.1 压杆的稳定性
工程实际中许多受压构件都要考虑其稳定性，例如千斤顶的丝杆， 自卸载重车的液压活塞杆、连杆以及桁架结构中的受压杆等。 解决压杆稳定问题的关键是确定其临界力。如果将压杆的工作压力 控制在由临界力所确定的许用范围内，则压杆不致失稳。下面研究 如何确定压杆的临界力。
14.2 理想压杆临界力的计算
式中， 为杆自由端的微小挠度，其值不定。
2l
)
14.2.3 两端固定的细长压杆的临界力
14.2.3 两端固定的细长压杆的临界力 如图14.4(a)所示，两端固定的压杆，当轴向力达到临界力 Fcr 时 ，杆处于微弯平衡状态。由于对称性，可设杆两端的约束力偶矩均 为 M，则杆的受力情况如图14.4(a)所示。将杆从 x截面截开， 并考虑下半部分的静力平衡(如图14.4(b)所示)，可得到 x截面 处的弯矩为 M ( x) Fcr w M e (a) 代入挠曲线近似微分方程，得 EIw ( Fcr w M e ) (b)
F
当 x=0时,w=0， 有 B 。 当 x=0时,w’=0 ，有 A=0。 将 A、B 值代入式(d)得 w (1 cos kx) (f) 再将边界条件 x l , w ， 代入式(f)，即得
图14.1 压杆的稳定性
工程实际中许多受压构件都要考虑其稳定性，例如千斤顶的丝杆， 自卸载重车的液压活塞杆、连杆以及桁架结构中的受压杆等。 解决压杆稳定问题的关键是确定其临界力。如果将压杆的工作压力 控制在由临界力所确定的许用范围内，则压杆不致失稳。下面研究 如何确定压杆的临界力。
14.2 理想压杆临界力的计算
式中， 为杆自由端的微小挠度，其值不定。
2l
)
14.2.3 两端固定的细长压杆的临界力
14.2.3 两端固定的细长压杆的临界力 如图14.4(a)所示，两端固定的压杆，当轴向力达到临界力 Fcr 时 ，杆处于微弯平衡状态。由于对称性，可设杆两端的约束力偶矩均 为 M，则杆的受力情况如图14.4(a)所示。将杆从 x截面截开， 并考虑下半部分的静力平衡(如图14.4(b)所示)，可得到 x截面 处的弯矩为 M ( x) Fcr w M e (a) 代入挠曲线近似微分方程，得 EIw ( Fcr w M e ) (b)
F
当 x=0时,w=0， 有 B 。 当 x=0时,w’=0 ，有 A=0。 将 A、B 值代入式(d)得 w (1 cos kx) (f) 再将边界条件 x l , w ， 代入式(f)，即得
9-3 欧拉公式的适用范围
用直线公式计算
π 2 F = A⋅ σcr = (a − bλ) (D − d 2 ) = 155.5kN cr 4
§9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力 四、压杆的分类及临界应力总图
1.压杆的分类 1.压杆的分类 （1）大柔度杆
λ ≥ λp
π2EI F = cr (µl )2
（2）中柔度杆
σcr = a − bλ
（3）小柔度杆
λs ≤ λ < λp
λ ≤ λs
σcr = σs
§9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力
即λ ≥ λp（大柔度压杆或细长压杆），为欧拉公式的适用 大柔度压杆或细长压杆），为欧拉公式的适用 ）， 范围. 范围.
λp 的大小取决于压杆材料的力学性能. 例如，对于Q235钢， 的大小取决于压杆材料的力学性能. 例如，对于Q235钢
可取 E=206GPa，σp=200MPa，得 =206GPa， =200MPa，
Fcr π2EI σcr = = A (µl )2 A
§9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力
F I π2 EI π2 E 2 π2 E 令 i= 则 σcr = cr = = ⋅i = 2 2 2 A A (µl) A (µl) (µl / i)
令
λ=
µl
i
则 σcr =
π2E
λ
2
Fcr = A⋅ σcr
材料为 Q235钢，承受轴向压力 F. 试求 Q235钢 （1）能用欧拉公式时压杆的最小长度； 能用欧拉公式时压杆的最小长度； （2）当压杆长度为上述最小长度的 3/4 时，压杆的临界应力. 压杆的临界应力. 已知： E = 200 GPa， σp= 200 MPa ， σs = 240 MPa ，用直 GPa， 已知： 线公式时， MPa， 线公式时，a = 304 MPa， b =1.12 MPa.
π 2 F = A⋅ σcr = (a − bλ) (D − d 2 ) = 155.5kN cr 4
§9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力 四、压杆的分类及临界应力总图
1.压杆的分类 1.压杆的分类 （1）大柔度杆
λ ≥ λp
π2EI F = cr (µl )2
（2）中柔度杆
σcr = a − bλ
（3）小柔度杆
λs ≤ λ < λp
λ ≤ λs
σcr = σs
§9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力
即λ ≥ λp（大柔度压杆或细长压杆），为欧拉公式的适用 大柔度压杆或细长压杆），为欧拉公式的适用 ）， 范围. 范围.
λp 的大小取决于压杆材料的力学性能. 例如，对于Q235钢， 的大小取决于压杆材料的力学性能. 例如，对于Q235钢
可取 E=206GPa，σp=200MPa，得 =206GPa， =200MPa，
Fcr π2EI σcr = = A (µl )2 A
§9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力
F I π2 EI π2 E 2 π2 E 令 i= 则 σcr = cr = = ⋅i = 2 2 2 A A (µl) A (µl) (µl / i)
令
λ=
µl
i
则 σcr =
π2E
λ
2
Fcr = A⋅ σcr
材料为 Q235钢，承受轴向压力 F. 试求 Q235钢 （1）能用欧拉公式时压杆的最小长度； 能用欧拉公式时压杆的最小长度； （2）当压杆长度为上述最小长度的 3/4 时，压杆的临界应力. 压杆的临界应力. 已知： E = 200 GPa， σp= 200 MPa ， σs = 240 MPa ，用直 GPa， 已知： 线公式时， MPa， 线公式时，a = 304 MPa， b =1.12 MPa.
河海大学材料力学第七章压杆稳定第一节-精选文档
福建省晋江市 2019年2月25日9时15分，由福建省惠安县建筑 工程公司承建的晋江市霞行村行元大厦改造工 程，竹脚手架架体超载失稳整体坍塌，造成5人 死亡、7人受伤。 江苏省南京市
2000年10月25日上午10时， 南京电视台演播中心演播 大厅的屋顶的施工中，由 于脚手架失稳，造成屋顶 模板倒塌，死6人，伤34 人。
第七章 压杆稳定
§7-1 压杆稳定的概念
稳定性(stability):构件受载后保持原有平衡形态的能力 稳定平衡与不稳定平衡
稳定平衡
不稳定平衡
压杆稳定——受压杆件平衡状态的稳定性。 F<Fcr F ≥Fcr
受压理想直杆，当F小于某一数值 (Fcr)时，压杆的 直线平衡是稳定的 (stable) 。当压力逐渐增加达到一 定数值时，压杆的直线平衡是不稳定的(unstable)。 临界载荷(critical load)／临界力Fcr：从稳定平衡状 态过渡到不稳定平衡状态的压力极限值。 压杆丧失直线形式平衡状态的现象称为丧失稳定， 简称失稳(lost stability / buckling)。 杆件失稳后，压力的微小增加将引起弯曲变形的显 著增大，从而使杆件丧失承载能力。 压杆失稳是杆件又一种失效形式（细长压杆失稳时， 杆内的应力不一定高，有时甚至低于材料的比例极限。 由于压杆稳定是突然发生的，因此所造成的后果也是 严重的。历史上瑞士和俄国的铁路桥，都发生过因为 桥桁架中的压杆失稳而酿成的重大事故。
脚手架失稳
脚手架失稳
内燃机、空气压缩机的连杆
内燃机
L
l
l
L
y
z
l
活塞杆
千斤顶
解决压杆稳定的关键问题是确定压杆的临界力。 当压杆的材料、尺寸和约束等情况已经确定时， 临界力是一个确定的值。可根据杆件实际的工作 压力与压杆的临界力比较，来判断压杆是稳定的 还是不稳定的。
第七章压杆稳定解析
P -F1 Pcr 186.04kN
A
C 45°
F B
练习：支架如图所示, 求 其临界载荷力Fcr.
D
已知AC=CB=1m，材料 λp=100，E=200GPa，CD 杆截面直径d=40mm
y FAy A F Ax 45° F C
F B
x
解： CD为压杆，由 AB平衡求CD受力
C
M
A
F
z l
x
在正视图平面内：
Iz h 1 iz A 2 3
在俯视图平面内：
z
l
iz
132.8
0 .5 i y
Iy A
b 2 3
y
l
iy
99 .6
λz>λy 故压杆将在正视图平面内失稳，对于 Q235 钢 ，λz> λp=100 ，属于大柔度杆，可用欧拉公式计算其 临界：
2E 2 205109 40 60106 Fcr cr A 2 bh N 275kN 2 132.8
C FAy
A 1
已知材料λp=100， P B E=200GPa，杆截面直径 1m 1m d=40mm FAy F1 解：由整体平衡求约束反力 P A F2 FAy 0 FAy FB 2 F1 sin 30 FAy 0 由A点平衡求杆1、2受力，杆1受 F1 2 FAy P 压，计算其临界力： F cos 30 F 0
1 2
30 FAx2 D
3
4
FB
30 5
平面桁架如图所示, 求桁 架的临界载荷力Pcr.
2P F2 2 F1 / 3 3
1 (1 2 / 3) 4 1 115.47 i 0.040
A
C 45°
F B
练习：支架如图所示, 求 其临界载荷力Fcr.
D
已知AC=CB=1m，材料 λp=100，E=200GPa，CD 杆截面直径d=40mm
y FAy A F Ax 45° F C
F B
x
解： CD为压杆，由 AB平衡求CD受力
C
M
A
F
z l
x
在正视图平面内：
Iz h 1 iz A 2 3
在俯视图平面内：
z
l
iz
132.8
0 .5 i y
Iy A
b 2 3
y
l
iy
99 .6
λz>λy 故压杆将在正视图平面内失稳，对于 Q235 钢 ，λz> λp=100 ，属于大柔度杆，可用欧拉公式计算其 临界：
2E 2 205109 40 60106 Fcr cr A 2 bh N 275kN 2 132.8
C FAy
A 1
已知材料λp=100， P B E=200GPa，杆截面直径 1m 1m d=40mm FAy F1 解：由整体平衡求约束反力 P A F2 FAy 0 FAy FB 2 F1 sin 30 FAy 0 由A点平衡求杆1、2受力，杆1受 F1 2 FAy P 压，计算其临界力： F cos 30 F 0
1 2
30 FAx2 D
3
4
FB
30 5
平面桁架如图所示, 求桁 架的临界载荷力Pcr.
2P F2 2 F1 / 3 3
1 (1 2 / 3) 4 1 115.47 i 0.040
材料力学思考题答案
材料力学复习思考题1. 材料力学中涉及到的内力有哪些？通常用什么方法求解内力？轴力，剪力，弯矩，扭矩。
用截面法求解内力2. 什么叫构件的强度、刚度与稳定性？保证构件正常或安全工作的基本要求是什么？杆件的基本变形形式有哪些？构件抵抗破坏的能力称为强度。
构件抵抗变形的能力称为刚度。
构件保持原有平衡状态的能力称为稳定性。
基本要求是：强度要求，刚度要求，稳定性要求。
基本变形形式有：拉伸或压缩，剪切，扭转，弯曲。
3. 试说出材料力学的基本假设。
连续性假设：物质密实地充满物体所在空间，毫无空隙。
均匀性假设：物体内，各处的力学性质完全相同。
各向同性假设：组成物体的材料沿各方向的力学性质完全相同。
小变形假设：材料力学所研究的构件在载荷作用下的变形或位移,其大小远小于其原始尺寸 。
4. 什么叫原始尺寸原理？什么叫小变形？在什么情况下可以使用原始尺寸原理？可按结构的变形前的几何形状与尺寸计算支反力与内力叫原始尺寸原理。
可以认为是小到不至于影响内力分布的变形叫小变形。
绝大多数工程构件的变形都极其微小，比构件本身尺寸要小得多，以至在分析构件所受外力（写出静力平衡方程）时可以使用原始尺寸原理。
5. 轴向拉伸或压缩有什么受力特点和变形特点。
受力特点：外力的合力作用线与杆的轴线重合。
变形特点：沿轴向伸长或缩短6. 低碳钢在拉伸过程中表现为几个阶段？各有什么特点？画出低碳钢拉伸时的应力－应变曲线图，各对应什么应力极限。
弹性阶段：试样的变形完全弹性的，此阶段内的直线段材料满足胡克定律εσE =。
p σ --比例极限。
e σ—弹性极限。
屈服阶段：当应力超过b 点后，试样的荷载基本不变而变形却急剧增加，这种现象称为屈服。
s σ--屈服极限。
强化阶段：过屈服阶段后，材料又恢复了抵抗变形的能力， 要使它继续变形必须增加拉力.这种现象称为材料的强化。
b σ——强度极限局部变形阶段：过e 点后，试样在某一段内的横截面面积显箸地收缩，出现 颈缩 (necking)现象，一直到试样被拉断。
山东建筑大学期末工程力学第11章压杆稳定
上的工作应力超过材料的极限应力 ( b 或 S ) 时, 就会因其强度不 足而失去压杆承载能力. 以此建立起 强度条件 .
对于等直杆
F N max [ ] max A
例题：一长为300 mm的钢板尺，横截面尺寸为 20mm 1mm 。钢 的许用应力为[ ]=196 MPa。按强度条件计算得钢板尺所能承受的 轴向压力为
一, 两端为绞支（球形绞支），长为 l 的 细长 压杆。
当 F 达到 FCr 时，压杆的特点是：保持微弯形式的平衡。
x
F cr
x
w
l
l 2
m w m
F cr
M ( x) F cr w
m m
x
o w o
x
w
F cr
FCr
x
w
m
M ( x) F cr w
m
x
o w
FCr
压杆任一 x 截面沿 w 方向的位移为 w = f (x) 该截面的弯矩为
E F cr cr A ( l / i )
l
i
称为压杆的柔度（长细比）。集中地反映了压杆的长度，杆端约
束，截面尺寸和形状对临界应力的影响。
2 E 2
cr
cr
E 2
2
越大，相应的 cr 越小，压杆越容易失稳。
F Cr A Cr
x
y
2 EI F cr 2 ( l )
z
2 EI y ( F Cr ) y ( l )2 y
2 EI z ( F Cr ) z ( l )2 z
F Cr {( F Cr ) y,( F Cr ) z}min
对于等直杆
F N max [ ] max A
例题：一长为300 mm的钢板尺，横截面尺寸为 20mm 1mm 。钢 的许用应力为[ ]=196 MPa。按强度条件计算得钢板尺所能承受的 轴向压力为
一, 两端为绞支（球形绞支），长为 l 的 细长 压杆。
当 F 达到 FCr 时，压杆的特点是：保持微弯形式的平衡。
x
F cr
x
w
l
l 2
m w m
F cr
M ( x) F cr w
m m
x
o w o
x
w
F cr
FCr
x
w
m
M ( x) F cr w
m
x
o w
FCr
压杆任一 x 截面沿 w 方向的位移为 w = f (x) 该截面的弯矩为
E F cr cr A ( l / i )
l
i
称为压杆的柔度（长细比）。集中地反映了压杆的长度，杆端约
束，截面尺寸和形状对临界应力的影响。
2 E 2
cr
cr
E 2
2
越大，相应的 cr 越小，压杆越容易失稳。
F Cr A Cr
x
y
2 EI F cr 2 ( l )
z
2 EI y ( F Cr ) y ( l )2 y
2 EI z ( F Cr ) z ( l )2 z
F Cr {( F Cr ) y,( F Cr ) z}min
项目8 压杆稳定
Fcr π EI σcr 2 A ( l ) A
2
令 i
令
I A
Fcr π2 EI π2 E 2 π2 E i 则 σcr 2 2 A ( l ) A ( l ) ( l / i )2
l
i
则
σcr
π2 E
2
i 为压杆横截面对中性轴的惯性半径。 称为压杆的柔度（长细比），集中地反映了压杆的长度l和 杆端约束条件、截面尺寸和形状等因素对临界应力的影响. 越大， 相应的 cr 越小，压杆越容易失稳。 若压杆在不同平面内失稳时的支承约束条件不同，应分别计算 在各平面内失稳时的柔度，并按较大者计算压杆的临界应力 cr 。
π 2 EI Fcr ( l )2
2 σcr σs
σcr σs σ a b cr σs
σcr
σP
σcr
π2 E
2
2
1
任务8.3
一、压杆的稳定条件
压杆的稳定性计算
压杆的实际工作应力不能超过稳定许用应力[cr]。
FN cr [ cr ] A nst
案例3 1983年10月4日，地处 北京的某科研楼建筑工地的 钢管脚手架距地面5-6米处 突然外弓。刹那间，这座高
达54.2米，长17.25米，总
重565.4KN的大型脚手架轰 然坍塌，5人死亡，7人受伤，
脚手架所用建筑材料大部分
报废，直接经济损失4.6万 元，工期推迟一个月。
现场事故调查结果表明，脚手架结构本身
二、压杆稳定的基本概念 压杆的稳定性：指构件或体系保持其原有平衡状态的能 力。 丧失稳定（失稳）：指构件或体系丧失原始平衡状态的 稳定性，由稳定平衡状态转变为不稳定状态。
《材料力学》第九章 压杆稳定
第九章 压杆稳定§9—1 概述短粗压杆——[]σσ≤=AF Nmax （保证具有足够的强度） 细长压杆——需考虑稳定性。
一、压杆稳定性的概念：在外力作用下，压杆保持原有直线平衡状态的能力。
二、压杆的稳定平衡与不稳定平衡：三、临界的平衡状态：给干扰力时，在干扰力给定的位置上平衡；无干扰力时，在原有的直线状态上平衡。
（它是稳定与不稳定的转折点）。
压杆的临界压力:Fcr （ 稳定平衡的极限荷载）四、判断压杆稳定的标志——F cr稳定的平衡状态——cr F F 临界的平衡状态——cr F F =不稳定的平衡状态（失稳）——cr F F§9—2 两端铰支细长压杆的临界力假定压力以达到临界值，杆已经处于微弯状态且服从虎克定律，如图，从挠曲线入手，求临界力。
①、弯矩：w F x M cr -=)(②、挠曲线近似微分方程：w F x M w EI cr -=='')( 即，0=+''w EIF w cr令 EIF k cr =202=+''w k w ③、微分方程的解：kx B kx A w cos sin += ④、确定微分方程常数：0)()0(==L w w )sin (.0sin 0,B kx w kL ===→πn Kl =（n=0、1、2、3……）EIF L n k cr==∴π222L EI n F cr π=→临界力 F c r 是微弯下的最小压力，故，只能取n=1 ；且杆将绕惯性矩最小的轴弯曲。
2min2cr F L EI π=∴§9—3 其它支承下细长压杆的临界力2min2)(l EI F cr μπ=——临界力的欧拉公式（μ——长度系数，L ——实际长度，μL ——相当长度） 公式的应用条件：1、理想压杆；2、线弹性范围内；【例】：试由挠曲线近似微分方程，导出下述细长压杆的临界力公式。
解：变形如图，其挠曲线近似微分方程为：0)(m w F x M w EI cr -==''EI F k cr =2:令 crF m k w k w EI 022=+'' kx d kx c w sin cos += 边界条件为：.0,;0,0='==='==w w L x w w x, 2,,00πn kL F m d c cr=-== 为求最小临界力， “ n ”应取除零以外的最小值，即取：π2=kL所以，临界力为：2222)2/(4L EIL EI F cr ππ== （μ=0.5）【例】：求下列细长压杆的临界力。
材料力学第八章压杆的稳定性
Fcr =
π2EI (0.7l)2
Euler公式的统一形式
π2EI Fcr = (μl)2
μ——长度因数 μl——相当长度
约束越强，μ越小，临界力Fcr越大。
两端铰支 一端固定一端自由 两端固定 一端固定一端铰支
μ=1.0 μ=2.0 μ=0.5 μ=0.7
π2EI 公式讨论 Fcr = (μl)2 1. Fcr与抗弯刚度成EI正比，与相当长度μl的平方成反比；
4.实际工程中的压杆。其杆端约束有很多变化，要根据
具体情况选取适当的长度系数μ值。
5.实际工程中的压杆，非理想的均质直杆，荷载也总会 有小的偏心，因此其临界力比公式计算出的为小，这可 以在安全因数里考虑，故实际工程中压杆仍可按该公式 计算其临界荷载。
§8-3 压杆的柔度与压杆的非弹性失稳
一、压杆的临界应力与柔度
π2EI Fcr = （2l）2
类比法
Fcr
l
Fcr l/4 l/2 l/4
两端固定细长压杆，长度0.5l范围内与两端铰支 细长压杆挠曲线形状相同。
π2EI Fcr = (0.5l)2
类比法
Fcr l
Fcr 0.7l 0.3l
一端固定，另一端铰支的细长压杆，在0.7l范围内
与两端铰支细长压杆挠曲线形状相同。
这种丧失原有平衡形式的现象称为 丧失稳定性，简称失稳。
压杆从稳定平衡过渡到不稳定平衡时， 轴向压力的临界值，称为临界力或临界荷 载，用Fcr表示。
刚体平衡
2
5
4
1
3
随遇平衡
其它一些构件的稳定性问题
§8-2 细长压杆的临界力
在临界力Fcr作用下，细长压杆在微弯状态下平衡， 若此时压杆仍处在弹性阶段，可应用梁的挠曲线近似
中心受压直杆在直线状态下平衡,由稳定平衡转化为不稳定平衡时所受轴向压力的界限
中心受压直杆在直线状态下平衡,由稳定平衡转化为不稳定平
衡时所受轴向压力的界限
中心受压直杆在直线状态下平衡时，受到的轴向压力是由外力和内力共同作用所产生的。
外力包括施加在直杆两端的力和作用在中点上的力，内力则是由杆内部各部分之间的相互作用所产生的。
当中心受压直杆由稳定平衡转化为不稳定平衡时，意味着产生了一个微小的偏离平衡位置。
这个微小的偏离将引起杆内各部分之间的相对位移，从而导致杆内产生了一些应力。
这些应力将会使杆的形状发生变化，从而使得杆内部的应力更加集中，进一步增大偏离平衡位置的力。
因此，在稳定平衡状态下，杆所能承受的轴向压力界限较大，而当平衡转化为不稳定平衡时，杆所能承受的轴向压力界限较小。
这一界限取决于杆的材料性质和几何形状，以及作用在杆上的外力大小和方向。
具体的求解需要使用材料力学和结构力学的相关理论和方法。
第11压杆的稳定问题
2
第11章 压杆的稳定问题
压杆
3
第11章 压杆的稳定问题
压杆
4
第11章 压杆的稳定问题
桁架中的压杆
5
第11章 压杆的稳定问题
液压缸顶杆
6
第11章 压杆的稳定问题
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
液压缸 顶杆
7
第11章 压杆的稳定问题
火箭发射架中的压杆
8
第11章 压杆的稳定问题
高压输电线路保持相间距离的受压构件
9
第11章 压杆的稳定问题
其它结构形式的稳定性问题例子
Ｆ
主压应力方向
Ｆ
q
压杆
薄壁管受扭
弯曲
薄壁筒受内压
其它薄壁结构在主压应力方向产生失稳,情 况类似于细长压杆。
由压杆稳定性概念和临界压力定义可知,临界压力是稳定 性计算的重要依据,其值显然与外力无关,而与杆的长度、 25 截面大小和形状及材料和约束有关。
第11章 压杆的稳定问题
20
第11章 压杆的稳定问题
压杆稳定的基本概念
判别弹性平衡稳定性的静力学准则 （statical criterion for elastic stability）
FP FP P
FP>FPcr :在扰动作用下， 直线平衡构形转变为弯曲平 衡构形，扰动除去后， 不能恢复到直线平衡构形， 则称原来的直线平衡构形 是不稳定的。
34
其中，A为杆中点的挠度。 A的数值不确定。
k l x 则，挠曲线方程为 w A sin l
欧拉公式与精确解曲线 精确解曲线
当取 n = 1 时，由 kl n ,
F
y
压杆的稳定性问题
柔度是影响压杆承载能力的综合指标,
i I A
——惯性半径
Iz Aiz2, Iy Aiy2.
cr 压杆容易失稳
10.3.2 三类不同压杆的区分
压杆的分类 1 大柔度杆
2 中柔度杆 3 小柔度杆
P
Fcr
π2 EI
(l )2
S P
σcrab
S
σcrσs
10.3.3 三类压杆的临界应力公式
l
i
l
d
200
4
P π
E 97
σP
由于 > P,所以前面用欧拉公式进行试算是正确的,
10.6 结论与讨论
10.6.1 稳定性计算的重要性
1 选用优质钢材并不能提高细长压杆的稳定性,
2 可以提高中、小柔度杆的临界力,
10.6.2 影响承载能力的因素Fcr
Fcr
Fcr
0.5l
压杆约束愈强,其 稳定性愈好,
10.3.4 临界应力总图
小柔度杆 短粗压杆 只需进行强度计算,
cr s
FN
A
s(s)
临界应力总图：临界应力与柔度之间的变化关系图,
cr
S
cr a b ——直线型经验公式
P
粗短杆 中柔度杆
o
s
cr
2E 2
大柔度杆
P
细长压杆。 l
i
粗短杆 中长杆 细长杆
细长杆—发生弹性屈曲 p 中长杆—发生弹塑性屈曲 s < p 粗短杆—不发生屈曲,而发生屈服 < s
l
0.5l
l
0.5l
Fcr a)
Fcr b)
c)
10.6.3、提高压杆承载能力的主要途径
i I A
——惯性半径
Iz Aiz2, Iy Aiy2.
cr 压杆容易失稳
10.3.2 三类不同压杆的区分
压杆的分类 1 大柔度杆
2 中柔度杆 3 小柔度杆
P
Fcr
π2 EI
(l )2
S P
σcrab
S
σcrσs
10.3.3 三类压杆的临界应力公式
l
i
l
d
200
4
P π
E 97
σP
由于 > P,所以前面用欧拉公式进行试算是正确的,
10.6 结论与讨论
10.6.1 稳定性计算的重要性
1 选用优质钢材并不能提高细长压杆的稳定性,
2 可以提高中、小柔度杆的临界力,
10.6.2 影响承载能力的因素Fcr
Fcr
Fcr
0.5l
压杆约束愈强,其 稳定性愈好,
10.3.4 临界应力总图
小柔度杆 短粗压杆 只需进行强度计算,
cr s
FN
A
s(s)
临界应力总图：临界应力与柔度之间的变化关系图,
cr
S
cr a b ——直线型经验公式
P
粗短杆 中柔度杆
o
s
cr
2E 2
大柔度杆
P
细长压杆。 l
i
粗短杆 中长杆 细长杆
细长杆—发生弹性屈曲 p 中长杆—发生弹塑性屈曲 s < p 粗短杆—不发生屈曲,而发生屈服 < s
l
0.5l
l
0.5l
Fcr a)
Fcr b)
c)
10.6.3、提高压杆承载能力的主要途径
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§9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力 一、临界应力和柔度
1. 欧拉公式临界应力
压杆受临界力Fcr作用而仍在直线平衡形态下维持不稳定平 衡时，横截面上的压应力可按 = F/A 计算.
按各种支承情况下压杆临界力的欧拉公式算出压杆横截面 上的应力为
σcr
Fcr A
(πl2)E2AI
σcr
π2E
2
s
p
§9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力
例题1 压杆截面如图所示. 两端为柱形铰链约束，若绕 y 轴失
稳可视为两端固定，若绕 z 轴失稳可视为两端铰支. 已知，杆长
l=1m ，材料的弹性模量E=200GPa，p=200MPa. 求压杆的临界
应力.
z
解：
p
和杆端约束条件、截面尺寸和形状等因素对临界应力的影响.
越大，相应的 cr 越小，压杆越容易失稳.
若压杆在不同平面内失稳时的支承约束条件不同，应分别
计算在各平面内失稳时的柔度，并按较大者计算压杆的临界应
力 cr 。
§9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力
二、 欧拉公式的应用范围
§9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力
令 i
I A
则 σcrF A cr( π2 lE )2IA(π 2 lE )2i2(π l2/E i)2
令 l i
则
σcr
π2E
2
FcrAσcr
i 为压杆横截面对中性轴的惯性半径.
称为压杆的柔度（长细比），集中地反映了压杆的长度l
E 99
p
y
iy
Iy A
1(0.0 30.032)
30mm
12
0.00m 58
0.0 30.02
§9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力
iz
Iz 0.008m7 A
y 0.5 z 1
z y
yiyyl86zizzl115
30mm
因为 z > y ，所以压杆绕 z 轴先失稳，且 z =115 > p，用
p
E
206 19 0Pa
p 3.14200 16 0Pa100
§9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力
三. 中、小柔度杆的临界应力
直线公式 或 令
σ cr ab s
a s
b
s
a s
b
式中：a 和 b是与材料有关的常数，可查表得出.
§9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力
i
I A
64 π(D2 d2)
1 4
D2 d2
4
l
i
4l
D2d2
p100
lm in100.0 4 0 21 5 0.0241.6m
§9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力
（2）当 l = 3/4 lmin 时，Fcr=?
l 43lmin1.2m
l
已知： E = 200 GPa， p= 200 MPa ， s = 240 MPa ，用直
线公式时，a = 304 MPa， b =1.12 MPa.
§9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力
解：（1）能用欧拉公式时压杆的最小长度
p
E 100
p
压杆 = 1
π(D4 d4)
四、类
（1）大柔度杆
p
Fcr
π 2 EI
(l )2
（2）中柔度杆
s p
σcrab
（3）小柔度杆
s σcrσs
§9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力
2.临界应力总图
σ cr
σs
σcrσs
σcrab
σP
欧拉公式计算临界力.
FcrAσcrAπ22 zE8.95kN
§9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力
例题2 外径 D = 50 mm，内径 d = 40 mm 的钢管，两端铰支， 材料为 Q235钢，承受轴向压力 F. 试求
（1）能用欧拉公式时压杆的最小长度； （2）当压杆长度为上述最小长度的 3/4 时，压杆的临界应力.
i
4l
D2d2
75 p
sa bσs31 0 . 12 4245 0 7
用直线公式计算
F c rA σ c r(a b)π 4 (D 2 d 2 ) 1.5 5 k5 N
谢谢！
13
只有在 cr ≤ p 的范围内，才可以用欧拉公式计算压杆的 临界压力 Fcr（临界应力 cr ）.
σcr
π2 E
2
σp
p
E
p
p
§9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力
即 ≥ p（大柔度压杆或细长压杆），为欧拉公式的适用
范围.
p 的大小取决于压杆材料的力学性能. 例如，对于Q235钢， 可取 E=206GPa，p=200MPa，得
1. 欧拉公式临界应力
压杆受临界力Fcr作用而仍在直线平衡形态下维持不稳定平 衡时，横截面上的压应力可按 = F/A 计算.
按各种支承情况下压杆临界力的欧拉公式算出压杆横截面 上的应力为
σcr
Fcr A
(πl2)E2AI
σcr
π2E
2
s
p
§9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力
例题1 压杆截面如图所示. 两端为柱形铰链约束，若绕 y 轴失
稳可视为两端固定，若绕 z 轴失稳可视为两端铰支. 已知，杆长
l=1m ，材料的弹性模量E=200GPa，p=200MPa. 求压杆的临界
应力.
z
解：
p
和杆端约束条件、截面尺寸和形状等因素对临界应力的影响.
越大，相应的 cr 越小，压杆越容易失稳.
若压杆在不同平面内失稳时的支承约束条件不同，应分别
计算在各平面内失稳时的柔度，并按较大者计算压杆的临界应
力 cr 。
§9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力
二、 欧拉公式的应用范围
§9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力
令 i
I A
则 σcrF A cr( π2 lE )2IA(π 2 lE )2i2(π l2/E i)2
令 l i
则
σcr
π2E
2
FcrAσcr
i 为压杆横截面对中性轴的惯性半径.
称为压杆的柔度（长细比），集中地反映了压杆的长度l
E 99
p
y
iy
Iy A
1(0.0 30.032)
30mm
12
0.00m 58
0.0 30.02
§9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力
iz
Iz 0.008m7 A
y 0.5 z 1
z y
yiyyl86zizzl115
30mm
因为 z > y ，所以压杆绕 z 轴先失稳，且 z =115 > p，用
p
E
206 19 0Pa
p 3.14200 16 0Pa100
§9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力
三. 中、小柔度杆的临界应力
直线公式 或 令
σ cr ab s
a s
b
s
a s
b
式中：a 和 b是与材料有关的常数，可查表得出.
§9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力
i
I A
64 π(D2 d2)
1 4
D2 d2
4
l
i
4l
D2d2
p100
lm in100.0 4 0 21 5 0.0241.6m
§9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力
（2）当 l = 3/4 lmin 时，Fcr=?
l 43lmin1.2m
l
已知： E = 200 GPa， p= 200 MPa ， s = 240 MPa ，用直
线公式时，a = 304 MPa， b =1.12 MPa.
§9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力
解：（1）能用欧拉公式时压杆的最小长度
p
E 100
p
压杆 = 1
π(D4 d4)
四、类
（1）大柔度杆
p
Fcr
π 2 EI
(l )2
（2）中柔度杆
s p
σcrab
（3）小柔度杆
s σcrσs
§9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力
2.临界应力总图
σ cr
σs
σcrσs
σcrab
σP
欧拉公式计算临界力.
FcrAσcrAπ22 zE8.95kN
§9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力
例题2 外径 D = 50 mm，内径 d = 40 mm 的钢管，两端铰支， 材料为 Q235钢，承受轴向压力 F. 试求
（1）能用欧拉公式时压杆的最小长度； （2）当压杆长度为上述最小长度的 3/4 时，压杆的临界应力.
i
4l
D2d2
75 p
sa bσs31 0 . 12 4245 0 7
用直线公式计算
F c rA σ c r(a b)π 4 (D 2 d 2 ) 1.5 5 k5 N
谢谢！
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只有在 cr ≤ p 的范围内，才可以用欧拉公式计算压杆的 临界压力 Fcr（临界应力 cr ）.
σcr
π2 E
2
σp
p
E
p
p
§9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力
即 ≥ p（大柔度压杆或细长压杆），为欧拉公式的适用
范围.
p 的大小取决于压杆材料的力学性能. 例如，对于Q235钢， 可取 E=206GPa，p=200MPa，得