求二面角——教学反思
立体几何中的向量方法---求二面角教学设计
课题3.2立体几何中的向量方法—求二面角教材：人民教育出版社高中数学选修2－1一、教学内容解析本节课是人民教育出版社高中数学选修2－1第三章第二节《立体几何中的向量方法》的第三课时内容．属于新授课性质原理课。
本单元的学习可以帮助学生在学习平面向量的基础上，利用类比的方法理解空间向量的概念，运算基本定理和应用，体会向量方法和综合几何方法的共性和差异，运用向量方法解决简单的数学问题和实际问题，感悟向量是研究几何问题的有效工具。
二、学生学情分析求二面角是高中数学立体几何学习的一个重点也是难点，学生在必修二学习过程中，主要采取“形到形”的综合推理方法，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。
学生在必修4中已经学习了平面向量的基本概念与基本运算，对向量的坐标化运算有了一定程度的了解，已经初步具备利用向量工具解题的意识和能力。
选修2-1中向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。
它能利用代数方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。
并且引入向量，对于求二面角问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课程理念。
三、教学目标设置①会求平面的法向量，并利用平面的法向量法求二面角，感悟向量是研究立体几何问题的有效工具。
②培养学生利用图形，描述、分析数学问题的能力。
体现了数形结合的思想。
③进一步发展学生的数学运算能力，促进学生数学思维发展，形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神。
四、教学重点与难点教学重点：应用法向量法求二面角教学难点：理解法向量与二面角的关系。
五、教学策略分析新课程倡导学生自主学习，要求教师成为学生学习的引导者、组织者、合作者和促进者，使教学过程成为师生交流、积极互动、共同发展的过程．本节课的教学采用的教学方法为：启发引导教学法和问题教学法六、教学过程设计1. 创设情境，复习引入课题师：经过前一阶段立体几何的学习，同学们已经知道，在立体几何中有三个重要的角，他们分别是：异面直线所成角，直线与平面所成的角和二面角。
高中数学教案《二面角》
高中数学教案《二面角》教案标题：二面角教学目标：1. 了解二面角的定义及相关概念。
2. 掌握计算二面角的方法。
3. 能够应用二面角的知识解决实际问题。
教学重点：1. 二面角的定义及性质。
2. 二面角的计算方法。
教学难点：1. 掌握二面角的计算方法。
2. 能够灵活运用二面角的知识解决实际问题。
教学准备：教材、教具、多媒体设备教学过程：Step 1 引入新知1. 向学生介绍二面角的概念，引导学生思考如何定义二面角。
2. 给出一个具体例子，让学生观察并猜测如何计算该二面角的大小。
3. 引导学生通过观察得出计算二面角的方法。
Step 2 讲解知识点1. 讲解二面角的定义：二面角是由两个不重合的平面所围成的角。
2. 介绍常见的二面角：直角（90°）、平角（180°）等。
3. 讲解二面角的计算方法：a. 当两个平面为互相垂直的平面时，二面角等于两个平面的夹角。
b. 当两个平面不垂直时，可以通过将这两个平面旋转至相交的情况下计算得出。
Step 3 练习巩固1. 出示一些二面角计算题目，让学生运用所学知识计算出它们的大小。
2. 引导学生分析解题思路，解释计算过程。
Step 4 拓展延伸1. 出示一些实际问题，要求学生运用二面角的知识来解决。
2. 引导学生思考如何将实际问题转化为计算二面角的问题。
Step 5 总结归纳1. 对本节课所学的二面角的定义和计算方法进行总结归纳。
2. 强调二面角的重要性和应用价值。
Step 6 课堂小结1. 对本节课的主要内容进行回顾。
2. 解答学生提出的疑问。
Step 7 作业布置1. 布置一些计算二面角的练习题，要求学生在家完成。
2. 提醒学生关注实际问题中的二面角应用。
拓展活动：1. 考察学生对二面角的理解，出示一些实际问题，让学生用二面角的知识解决问题。
2. 给学生一些创设问题的任务，要求他们设计一些与二面角相关的实际问题，并解答。
教学反思：本节课通过引入、讲解和练习，让学生逐步掌握了二面角的定义和计算方法，同时能够将二面角的知识应用于实际问题中。
求二面角 (平面与平面所成的角) 高中数学教案
§2.3.2求二面角——平面与平面所成的角一、教学目标1、知识与技能（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；（3）使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。
2、过程与方法（1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；（2）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。
3、情态与价值通过揭示概念的形成、发展和应用过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力。
二、教学重点、难点。
重点：平面与平面垂直的判定；难点：如何度量二面角的大小。
三、学法与教学用具。
1、学法：实物观察，类比归纳，语言表达。
2、教学用具：二面角模型（两块硬纸板）四、教学设计（一）创设情景，揭示课题问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？（二）研探新知1、二面角的有关概念老师展示一张纸面，并对折让学生观察其状，然后引导学生用数学思维思考，并对以上问题类比，归纳出二面角的概念及记法表示（如下表所示）2、二面角的度量二面角定理地反映了两个平面相交的位置关系，如我们常说“把门开大一些”，是指二面角大一些，那我们应如何度量二两角的大小呢？师生活动：师生共同做一个小实验（预先准备好的二面角的模型）在其棱上位取一点为顶点，在两个半平面内各作一射线（如图2.3-3），通过实验操作，研探二面角大小的度量方法——二面角的平面角。
教师特别指出：（1）在表示二面角的平面角时，要求“OA⊥L”，OB⊥L；（2）∠AOB的大小与点O在L上位置无关；（3）当二面角的平面角是直角时，这两个平面的位置关系怎样？承上启下，引导学生观察，类比、自主探究，βB获得两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
高中数学教案《二面角》
高中数学教案《二面角》一、教学目标1.理解二面角的概念，掌握二面角的表示方法。
2.学会应用二面角的性质和定理解决实际问题。
3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
二、教学重难点重点：二面角的概念、表示方法及其性质。
难点：二面角性质的应用。
三、教学过程1.导入新课（1）引导学生回顾空间几何中的基本概念，如平面、直线、角等。
（2）提出问题：在空间几何中，我们学过角，那么什么是二面角呢？2.二面角的概念及表示方法（1）讲解二面角的概念：由两条相交直线与它们所在平面所夹的角叫做二面角。
（2）讲解二面角的表示方法：用两条相交直线表示，或者用它们所在平面表示。
（3）举例说明：展示一个二面角模型，引导学生观察并理解二面角的定义。
3.二面角的性质（1）讲解二面角的性质：二面角的度数范围是0°到180°。
（2）讲解二面角的性质：二面角的大小与两条相交直线的夹角大小无关。
（3）讲解二面角的性质：二面角的两个面可以互换。
4.二面角的应用（1）讲解二面角的应用：求解空间几何问题。
（2）举例说明：展示一个实际问题，引导学生运用二面角的知识解决问题。
5.练习与讨论（1）布置练习题：让学生独立完成一些关于二面角的练习题。
（2）讨论答案：引导学生互相讨论，共同解决问题。
（2）拓展延伸：引导学生思考如何将二面角的知识应用于实际问题。
四、教学反思本节课通过讲解二面角的概念、表示方法、性质及其应用，使学生掌握了二面角的基本知识。
在教学过程中，注重培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
通过练习题和讨论，学生能够灵活运用二面角的知识解决问题。
但部分学生在理解二面角的性质时仍存在困难，需要在今后的教学中加以关注。
五、教学评价1.课堂表现：观察学生在课堂上的参与度、提问回答情况等。
2.作业完成情况：检查学生作业的完成质量，了解学生对二面角知识的掌握程度。
3.测试成绩：通过测试了解学生对二面角知识的掌握情况。
4.学生反馈：收集学生对本节课教学的意见和建议，以改进教学方法。
【精品】高中数学必修2《二面角》教案
◆教案二面角教材:人教A版·普通高中课程标准实验教科书·数学·必修2【教学目标】1、知识目标：(1)使学生理解“二面角”以及“二面角平面角”的概念，能根据定义正确地作出二面角的平面角，并能初步运用它们解决相关问题。
(2)进一步培养学生把空间问题转化为平面问题的化归思想。
2、能力目标：培养学生观察分析问题的能力、空间想象的能力、类比猜想的能力从而培养学生创新的能力。
3、过程与方法目标：引导学生探索和研究“二面角”及“二面角的平面角”概念的发现、形成和发展过程，以培养学生的空间想象能力、动手能力和类比、化归、直觉、猜想等探索性思维方法。
4、情感、态度、价值观目标：(1)使学生认识到数学知识来自实践，并服务于实践，从而增强学生应用数学的意识。
(2)通过揭示概念的形成、发展、应用的过程，培养学生的辩证唯物主义观点。
(3)培养学生认真参与、积极交流的主体意识和乐于探索、勇于创新的科学精神，体验数学中转化思想的意义和价值；(4)在教学中向他们提供充分的从事数学活动的机会，如：探究活动，让学生自主探究新知，例题则采用练在讲之前，讲在关键处。
在活动中激发学生的学习潜能，促进他们真正理解和掌握基本的数学知识技能、数学思想方法，获得广泛的数学活动经验，提高综合能力，学会学习，进一步在意志力、自信心、理性精神等情感与态度方面得到良好的发展。
【教学重点与难点】重点：“二面角”及“二面角的平面角”的概念和作法。
难点：“二面角的平面角”概念的形成过程以及如何根据条件用定义作出二面角的平面角。
【教学方法与手段】(1)教学方法：采用引导发现法、启发式探索讨论相结的教学方法。
(2)教学手段：借助实物模型，和利用多媒体制作课件来辅助教学。
通过上述方法与手段，再现知识的产生过程，突破学生在旧知和新知形成过程中的障碍,激发学生学习兴趣，发挥学生的主体作用；同时通过学生参与动手操作，亲身体验,促进了学生思维能力的发展,使教学活动真正体现“以学生发展为本”的思想。
二面角”的教学分析与建议
二面角”的教学分析与建议空间角是立体几何中的一个重要内容，它是空间图形中突出的量化指标，是空间图形位置关系的具体体现. 在面面关系中，二面角是其中的重要概念之一，所以不论是《全日制普通高级中学教科书数学》（以下简称旧教材），还是《普通高中课程标准实验教科书人教版数学2（Ａ）》（以下简称新教材）都把它列为学生必修的内容. 由于《全日制普通高级中学数学教学大纲》（以下简称《大纲》）和《普通高中数学课程标准》（以下简称《课标》），以及与之相应的《考试大纲》（分别简称《旧考纲》和《新考纲》）对二面角在要求上的不同，新旧教材在处理二面角这一知识时，其出发点和处理方式都发生了很大的变化. 笔者在听课中发现，几乎所有的课都在教学目标的定位、教材的理解与教学的把握上存在不同程度的问题. 为此，本文将首先对“二面角”就两种教材，以及与之相应的《大纲》、《课标》和《考纲》进行比较分析，最后根据分析提出几点教学建议，供读者参考.一、教学目标与考查目标的比较分析1. 《大纲》和《旧考纲》的教学与考查目标分析《大纲》与《旧考纲》的目标是：掌握二面角、二面角的平面角的概念. 换句话说就是要求学生对这个知识有较深刻的理性认识，能够解释、举例或变形、推断，并能利用它解决有关问题. 更为具体地说就是要求学生：一知道二面角及其平面角的概念；二会识别二面角的平面角；三会构作二面角的平面角；四会证明某个角为二面角的平面角；五会求二面角的大小；六能用二面角解决有关问题. 由此可见，在教学方面对二面角从“定性分析”、“定位作图”和“定量计算”三方面都作了比较高的要求，这“三定”也是近年各地高考数学（大纲版）的重点考查内容，且在考查中对二面角的空间想象能力和推理论证能力作了较高的要求.2. 《课标》和《新考纲》教学与考查目标分析仔细分析《课标》和《新考纲》不难发现，对二面角这个知识仅有“能用向量方法解决平面与平面的夹角的计算问题，了解向量法在研究几何问题中的应用”的表述. 即只要求“定量计算”，并把方法限定在向量法上，不要求“定性分析”和“定位作图”. 其意图是淡化用“几何法”求二面角的大小，突显向量在研究几何图形中的工具作用，弱化其空间想象能力和推理论证能力. 这与《大纲》和《旧考纲》相比要求显然降低了. 分析近年各课程实验区的高考试卷也不难发现，对“二面角”也仅就其大小从“向量法”的角度进行考查. 《课标》和《新考纲》对二面角的要求作如此定位，我认为主要是基于如下三个原因.第一，对二面角作“定性分析”、“定位作图”和“定量计算”的基础是“三垂线定理及其逆定理”. 关于“三垂线定理及其逆定理”，《大纲》的要求是了解，《旧考纲》的要求是掌握，而《课标》和《新考纲》只要求会用向量法证明即可，没有提出其他要求. 自然《课标》和《新考纲》对二面角就不要求作“定性分析”和“定位作图”了.第二，新教材在《选修2-1》中安排了《空间向量与立体几何》的内容，其主要目的是让学生掌握向量这一工具，会用向量来研究几何图形. 而《课标》在《数学2》中又淡化了二面角的计算，为了体现向量的工具作用，让学生会求二面角的大小，所以《课标》和《新考纲》作了上述要求.第三，仔细分析《课标》可以看出，课标安排“二面角”这个知识的目的在于给出“面面垂直”的定义. 《大纲》和《旧考纲》都要求掌握面面垂直，而《课标》和《新考纲》则是通过直观感知，操作确认，归纳得出即可. 所以《课标》和《新考纲》对二面角没有必要作过高的要求.根据以上分析，在对二面角进行教学设计时，概念的教学目标应定位在概念的生成过程上，让学生从中体会转化与类比的数学思想方法在获取数学概念时的重要作用；求二面角大小的教学目标应定位为：《数学２》中会求简单的二面角的大小，《数学2-1》中会用向量法求较为复杂的二面角的大小.二、教学内容安排的比较分析旧教材把“二面角”放在必修第二册（下A）“两个平面垂直的判定和性质”一节中，并以“二面角”为小标题集中介绍了“二面角”以及相关概念，设置了一个构作二面角的平面角和求二面角大小的例题，同时还配备了大量的相关习题. 这种安排与设置把“二面角”视为立体几何中的一个重要内容，突出“二面角”在立体几何中的地位，强调用传统几何法求二面角的大小，注重知识的系统性和逻辑性.新教材首先在《数学2》“平面与平面垂直的判定”中介绍了“二面角”及其相关的概念，且只配有两个简单的二面角大小的计算问题，而对于较为复杂的二面角大小的计算则是放在《选修2-1》的《空间向量与立体几何》一章之中. 这种安排的特点是：降低了“二面角”在立体几何中的地位，只强调其概念的重要性，弱化求二面角大小的传统几何法，强调向量法，淡化知识的系统性和逻辑性. 这种处理方式不仅符合《课标》“注意使学生在已有知识的基础上螺旋上升、逐步提高”的教材编写要求，而且也符合《课标》中“与时俱进认识‘双基’”的课程基本理念.三、教学内容编写方式的比较分析1. 两种教材概念引入的比较分析新旧教材都是以堤坝与水平面和卫星轨道面与地球赤道面的夹角为例引入二面角的概念，这充分反映了两种教材都注重数学与生活的联系. 但在表述上却有所不同，旧教材的表述为：“……为了解决实际问题，人们需要研究两个平面所成的角”；新教材的表述为：“为了解决实际问题，人们需要研究两个平面所成的角……为此，我们引入二面角的概念，研究两个平面所成的角”. 从表述的繁简程度看，显然新教材不仅啰嗦，而且还出现了重复的话语——“研究两个平面所成的角”，这与教材表述要简洁的编写要求相背. 从反映的数学观看，旧教材首先以现实生活情境提出问题，然后再让学生知道为了解决问题我们将要学什么，这充分体现了数学是来源于生活的数学观；而新教材则是先让学生知道我们要学什么，然后以现实生活情境予以佐证，这充分反映了数学服务于生活的数学观. 就二面角这个知识而言，我们认为旧教材的数学观更能反映数学与实际生活之间的关系.2. 两种教材概念编写方式的比较分析旧教材的编写方式为：首先定义半平面，接着定义二面角，同时给出二面角的棱和面的概念，然后给出一个二面角的两种表示方法，再依据“等角定理”说明过棱上任意一点分别在两个平面内且垂直于棱的射线所成的角与角的顶点的位置无关，最后给出二面角的平面角的概念.新教材的编写方式为：首先由半平面定义二面角，并采用旁白的方式对半平面进行说明，接着给出一个二面角的两种表示方法，然后以思考题的方式让学生根据门开的大小来考虑应该如何刻画一个二面角，再给出二面角的平面角的概念，最后又以思考题的方式让学生思考二面角的平面角是否与角的顶点有关.这两种编写方式都有一个共同特点：以半平面为起点，二面角的平面角为终点，一环紧扣一环. 由此可见，两种教材在编写时既注重知识的逻辑性，又注重数学学科的严谨性. 它们的区别在于：旧教材的逻辑性和严谨性是显性的，新教材则是隐性的. 这种区别也正好反映了旧教材“呆板”，新教材“活泼”. 旧教材是将所有知识告知学生，注重逻辑推理和培养学生思维的严谨性. 而新教材则是让学生直观感知（二面角）、操作确认（二面角大小的刻画）、归纳得出（二面角的平面角）和思辨（二面角的平面角与角的顶点无关）. 由此可见，这种编写方式不仅让学生经历了二面角的平面角的发生与发展过程：需要度量—怎样度量—平面角—打开的门的最上方两条棱所成的角—二面角的平面角，而且还让学生体会了蕴含在其中的诸如化归、转化、联想和类比等数学思想方法，做到了既讲推理又讲道理. 所以新教材的编写意图是要求教师在教学时，要引导学生学会观察、动手操作、体会归纳在获得数学结论中的重要作用，培养学生的理性思维.四、对二面角的平面角定义的分析所谓二面角的平面角是指：以棱上一点为垂足，在两半平面内分别作与棱垂直的射线，这两条射线所成的角. 为什么要把这样的角作为二面角的平面角？仔细分析两种教材可以发现，它们都是以“等角定理”为依据，说这样的角的大小具有唯一性. 我们认为这个理由还不够充分. 事实上，我们只要规定从棱上某一点出发分别位于两半平面内的射线分别与棱成某一定角（如图1），则由“等角定理”同样可得这样的两条射线组成的角的大小仍具有唯一性. 当然，这样做是不可取的. 其原因有二：一是角的大小可能得不到统一认识；二是即使角的大小能统一认识，其计算可能不方便或复杂. 我们认为主要原因是这种角具有最值性，即在某一平面内过角的顶点的任意一条射线与另一平面所成的角都比这种角小. 当然这种角具有唯一性.五、二面角的教学建议根据以上分析，下面就二面角的教学提三方面的建议，供大家参考.1. 二面角的概念由二面角的概念可知，它是由具有公共棱的两个半平面组成，不是由两个平面相交而成. 所以在教学时，首先应根据《课标》对概念的教学要努力揭示本质的要求，引导学生从图2中的两个实物，抽象出教材图3.接着应引导学生对这个几何图形进行分析，看看它是由哪些几何元素构成的. 然后再引导学生给出半平面的概念，最后再引导学生抽象概括出二面角.2. 二面角的刻画由于二面角是一个空间角，所以在教学时，首先应让学生考虑如何度量它；然后引导学生依据化难为易、化繁为简的原则思考如何将一个空间角转化为一个平面角来处理；最后再引导学生类比打开的书，通过动手操作，直观感知应该用一个什么样的平面角来刻画二面角的大小，从而得出二面角的平面角.3. 二面角的平面角的唯一性根据学生现有的知识基础和数学研究能力，建议教学时只按教材的要求用“等角定理”来说明二面角的平面角的大小与角的顶点无关（唯一性）即可，不讨论最值性. 在研究时，对于基础较差的学生可让他们操作（动手画），直观感知即可；对于基础较好、推理能力较强的学生还可让他们给予证明. 如果你的学生特别好，也不妨对最值性进行一下讨论. ■。
“二面角”教学设计
“二面角”教学设计第一篇：“二面角”教学设计“二面角”教学设计一、教学内容解析“二面角”在人教版新课标教材《必修2》第二章第三节第二小节的一个子内容，它的主要用途在于去定义两平面垂直关系，同时它也是继讨论了直线与直线所成的角、直线与平面所成的角之后的另一种自然的空间角。
在《必修2》中教材没有例题进行二面角的计算，只是在小节习题中以正方体为背景设计了一个题，在《选修2-1》的第三章第二节中教材着重的加强了利用空间向量的工具去解决二面角的计算。
“二面角”的内容在以前的大纲版教材中是专设一节来进行详细的介绍，以及对二面角平面角的找寻进行了细致的划分，诸如：定义法，三垂线定理法等。
对比两个版本教材的编写情况可以看出，本节在新课程中主要起到的作用是更好地理解两平面垂直的关系，而且对前面两者——直线与直线的垂直，直线与平面的垂直起着衔接和完善整个关系体系的作用。
故而，“二面角”这节的重点应该是理解概念，以及通过学习本节让学生在各自的思维中构建整个知识脉络，建立相关关系。
二、教学目标设置在《说明》中对《必修2》教材第二章“点、直线、平面之间的位置关系”的目标设置为能用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并对某些结论进行论证，以及以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定。
又在《说明》中对《选修2-1》教材第三章“空间向量与立体几何”的目标设置为能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用，足以见得，对于二面角这个子内容的作用就是过渡，提出面面垂直的定义。
故而，在本节我设计的目标要求如下：（1）引导学生探索和研究两平面垂直应该如何定义，在概念形成的过程中，使得学生认同学习“二面角”概念的必要，并发展学生的思维。
（2）在经历概念形成的过程中去理解二面角平面的作法，并掌握。
三、学生学情分析在学习“二面角”之前，学生已经学习了空间中两直线的垂直定义，两直线所成角的定义，直线与平面垂直的定义和直线与平面所成角的定义，至此学生已经具备一定的空间想象力和概括能力，在这里很自然的能够联想到缺少了两个平面垂直的关系，两个平面的垂直是生活中常见的形式，学生能够去感受，而数学是严格的，也就自然会想该怎样去定义这种关系，根据前两种关系从“角度”出发的描述形式，“二面角”是呼之欲出，是势在必然。
课例二面角的教学设计与评述
课例二面角的教学设计与评述教学目标：知识目标：使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”的概念。
技能目标：通过组织引导学生参与“二面角”、“二面角的平面角”概念的发现、形成和发展过程，培养学生探究能力及数学应用能力，并能解决有关简单的二面角问题。
情感目标：激发学生学习数学的热情。
教学方法：探导式教学过程：引入师：同学们爬过山吗？生：爬过，爬过高山，爬过平坦的山，也爬过陡峭的山，很刺激。
师：怎样的山看上去陡峭？生：山坡与水平面愈垂直，这样的山愈陡峭。
师：怎样的山看上去“平坦”？生：山坡与水平面所成角愈小，这样的山就愈“平坦”。
师：山坡陡峭与否，跟山坡与水平面所成的角大小有关。
生：老师，山不是凹凸不平，弯曲的吗？它的坡面是不平的，那坡面与水平面所成的角，是怎么回事？师：现实的山确实是这样凹凸不平，弯曲的，大家对这位同学所提的问题，意见如何？（学生议论纷纷，思索着。
）生：若从全局来看整个山坡面是凹凸不平，弯曲的，但从局部小范围去看，山坡面可看作“平”，物理中不也是把山坡面看作平面，这样山坡面与水平面所成的角就是平面与平面所成的角。
师：这位同学讲得很好，现实生活中一些问题，只需给适当的数学化，便可转化到数学问题，然后用数学知识加以解决。
今天我们研究平面与平面所成的角。
（老师板书课题）二面角评：教师的责任就是指导、激发学生积极地思考，帮助学生去观察、分析和判断。
把二面角置于爬山的背景之中，这样引进新课，不仅自然，学生学起来兴趣、具体、生动，培养学生用数学意识，更重要的是让学生能够主动去想、去探究，在探究过程中不断检验、判断自己和他人的思维，更好的促使学生提出自己的创见]新课师：请同学们阅读课本P39--------P40上数第3行止。
（学生阅读课本）师：什么是半平面？生：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中一部分叫做半平面。
师：什么是二面角？及表示方法怎样？生：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
高中数学教案《二面角》
高中数学教案《二面角》高中数学教案《二面角》作为一名为他人授业解惑的教育工作者，就不得不需要编写教案，教案有助于顺利而有效地开展教学活动。
我们应该怎么写教案呢？以下是小编精心整理的高中数学教案《二面角》，希望对大家有所帮助。
一、教材分析1、教材地位和作用：二面角是我们日常生活中经常见到的、很普通的一个空间图形。
“二面角”是人教版《数学》第二册（下B）中9.7的内容。
它是在学生学过两条异面直线所成的角、直线和平面所成角、又要重点研究的一种空间的角，它是为了研究两个平面的垂直而提出的一个概念，也是学生进一步研究多面体的基础。
因此，它起着承上启下的作用。
通过本节课的学习还对学生系统地掌握直线和平面的知识乃至于创新能力的培养都具有十分重要的意义。
2、教学目标:知识目标：（1）正确理解二面角及其平面角的概念，并能初步运用它们解决实际问题。
（2）进一步培养学生把空间问题转化为平面问题的化归思想。
能力目标：(1)突出对类比、直觉、发散等探索性思维的培养，从而提高学生的创新能力。
（2）通过对图形的观察、分析、比较和操作来强化学生的动手操作能力。
德育目标：(1)使学生认识到数学知识来自实践，并服务于实践，增强学生应用数学的意识(2)通过揭示线线、线面、面面之间的内在联系，进一步培养学生联系的辩证唯物主义观点。
情感目标：在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，拉近学生之间、师生之间的情感距离。
3、重点、难点：重点：“二面角”和“二面角的平面角”的概念难点：“二面角的平面角”概念的形成过程二、教法分析1、教学方法：在引入课题时，我采用多媒体、实物演示法，在新课探究中采用问题启导、活动探究和类比发现法，在形成技能时以训练法、探究研讨法为主。
２、教学控制与调节的措施：本节课由于充分运用了多媒体和实物教具，预计学生对二面角及二面角平面角的概念能够理解，根据学生及教学的实际情况，估计二面角的具体求法一节课内完成有一定的困难，所以将其放在下节课。
二面角观摩课教案
二面角观摩课教案一、教学目标1. 让学生了解二面角的定义及其性质。
2. 培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生对空间几何图形的认识和空间想象能力。
二、教学内容1. 二面角的定义2. 二面角的性质3. 二面角的计算4. 二面角在实际问题中的应用5. 练习与拓展三、教学重点与难点1. 重点：二面角的定义、性质及其计算。
2. 难点：二面角在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究二面角的性质。
2. 利用几何模型，直观展示二面角的特点。
3. 运用案例分析法，让学生学会将二面角应用于实际问题。
4. 开展小组讨论，培养学生合作学习的能力。
五、教学过程1. 导入：利用生活中的实例，引导学生关注二面角。
2. 新课导入：介绍二面角的定义，引导学生理解二面角的概念。
3. 性质探讨：通过几何模型，展示二面角的性质，引导学生发现并证明二面角的性质。
4. 计算方法：讲解二面角的计算方法，让学生学会计算二面角。
5. 实际应用：分析实际问题，引导学生运用二面角知识解决问题。
6. 练习与拓展：布置相关练习题，巩固所学知识，拓展学生思维。
7. 总结：对本节课内容进行总结，强调二面角的重要性和应用价值。
8. 作业布置：布置适量作业，巩固所学知识。
9. 课后反思：教师对本节课的教学进行反思，总结经验教训，不断提高教学质量。
六、教学评价1. 评价目标：学生能准确理解二面角的定义和性质。
学生能够运用二面角的知识解决相关问题。
学生能够通过实例展示二面角在现实生活中的应用。
2. 评价方法：课堂提问：通过提问检查学生对二面角基本概念的理解。
练习题：通过完成练习题评估学生对二面角计算和应用的掌握程度。
小组讨论：通过小组内的讨论评估学生的合作学习和问题解决能力。
七、教学资源1. 教具准备：二面角模型：用于直观展示二面角的结构。
投影仪：用于展示几何图形的动态变化。
练习题库：用于课后练习和评估。
2. 教学材料：教案手册：提供详细的授课步骤和练习题。
《二面角》教学设计及反思
《二面角》教学设计及反思一、教材分析二面角及其平面角的概念是立体几何最重要的概念之一。
二面角的概念发展、完善了空间角的概念；而二面角的平面角不但定量描述了两相交平面的相对位置，同时它也是空间中线线、线面、面面垂直关系的一个汇集点。
搞好本节课的学习，对学生系统地掌握直线和平面的知识乃至于创新能力的培养都具有十分重要的意义。
教学大纲明确要求要让学生掌握二面角及其平面角的概念和运用。
二、学情分析学生学习了线与线、线与面、面与面的平行与垂直问题，形成了一定的认知结构，并且又学习了异面直线所成的角、线现面所成的角，所以，有了一定的基础。
但是二面角与其它知识不一样，学生理解有困难，对学生来说作二面角的平面角又是一个很难的事，我们就要细分析、多引导，让学生自己去发现并解决。
三、教学目标知识与技能：（1）使学生正确理解二面角及其平面角的概念，并能初步运用它们解决实际问题。
（2）进一步培养学生把空间问题转化为平面问题的化归思想。
能力与方法：以培养学生的创新能力和动手能力为重点。
(1)突出对类比、直觉、发散等探索性思维的培养，从而提高学生的创新能力。
（2）通过对图形的观察、分析、比较和操作来强化学生的动手操作能力。
情感与态度：(1)使学生认识到数学知识来自实践，并服务于实践，从而增强学生应用数学的意识。
(2)通过揭示线线、线面、面面之间的内在联系，进一步培养学生联系的辩证唯物主义观点。
四、教学重难点1、二面角的平面角概念的形成过程2、寻找二面角的平面角的方法的发现过程五、教学过程1、二面角概念的引入师：我们知道，面与面的位置关系分相交和平行两种，对于两个平面平行的研究已经很深刻了，现在我们来探讨两个平面相交的问题让学生观察老师手里的教具（用两块硬纸板做成的大小可变的“二面角”）的变化。
师：你观察到了什么？生：好象有一个角在不断改变。
师：对，它就是我们今天要学习的二面角；二面角在生产生活中随处可见，水坝面与水平面所成的角，卫星的运行轨道与赤道平面所成的角都给我们二面角的形象。
高中立体几何空间角的教学反思
高中立体几何空间角的教学反思作者：青增享来源：《广西教育·B版》2021年第07期【摘要】本文基于人教版必修二异面直线所成角、直线与平面所成角及二面角的教学（几何法求空间角），主要对教师的教学策略和过程、对教材的处理以及学生遇到的问题进行反思，提出在空间角的教学中，教师设置的问题应以用定义或简单作图就能解答为度，重点要实现对学生空间想象力的训练。
【关键词】空间角教学反思高中数学【中图分类号】G 【文献标识码】A【文章编号】0450-9889（2021）26-0090-02空间角是全国新课标卷中的必考题。
人教版高中数学必修二中对空间角的学习主要是利用从异面直线所成角、直线与平面所成角及二面角这三种空间角的定义出发的几何法来解决，而非空间向量坐标法。
但纵观近五年的全国卷高考题，大题第二问考查的空间角一般都倾向于使用空间向量坐标法，而小题中考查的空间角问题也可以用空间向量坐标法。
由于用几何法来解决空间角要求有一定的空间想象力且对空间思维要求较高，学生普遍觉得难度较大，这对教师的教学产生了较大的考验。
必修二是学生初次接触空间角的学习内容，要求学生展开空间思维并构建关系来计算，从教学内容来看既是概念性知识教学，又是程序性知识教学，因此这部分知识的学习对学生和教师都是较大的考验。
一、异面直线所成角的教学反思异面直线所成角是学生学习了空间两直线的位置关系后学习的内容，此时学生已具备了异面直线的定义、两直线平行和相交的基础知识。
在教学的引入部分，教师使用两根直棒和正方体模型来和学生一起探究异面直线所成角的定义。
教师先让学生找出两条直线相交而得的两对对顶角。
理解了两条相交直线所成角后，通过平移这两条相交的直线，引出异面直线所成角的定义和范围，合理地把空间问题转化为平面问题。
接下来教师以正方体为背景列举了几对异面直线所成角求法的例子，加深学生对异面直线所成角定义的理解和对利用几何法解决异面直线所成角基本方法的学习，使大部分学生掌握了使用平行四边形和三角形中位线来平移，平移后进而通过解三角形来求两条异面直线所成角的方法。
二面角的说课稿
二面角的说课稿一、教学目标通过本节课的学习，学生将能够：1. 理解二面角的概念及其性质；2. 掌握二面角的计算方法；3. 运用二面角的概念解决相关几何问题。
二、教学重点1. 二面角的定义和性质；2. 二面角的计算方法。
三、教学难点1. 掌握二面角的计算方法；2. 运用二面角解决相关几何问题。
四、教学准备1. 教材：几何教材《高中数学》第三册；2. 教具：黑板、彩色粉笔、投影仪、计算器。
五、教学过程1. 导入（5分钟）通过投影仪展示一张图片，图片上有两个平面交叉的情景，并引导学生思量：两个平面交叉时，我们可以看到什么？2. 引入二面角的概念（15分钟）通过导入部份的讨论，引导学生认识到在两个平面交叉的情况下，我们可以看到两个不同的角度，一个是平面A中的角度，一个是平面B中的角度。
这两个角度就是二面角。
然后，给出二面角的定义：当两个平面交叉时，我们所看到的两个不同平面中的角度之和称为二面角。
3. 二面角的性质（20分钟）通过黑板和投影仪，展示二面角的性质，并引导学生进行讨论和总结。
包括：a. 二面角的度数等于两个平面的夹角；b. 二面角的度数小于180度；c. 二面角的度数与两个平面的夹角的大小关系；d. 二面角的度数与两个平面的位置关系。
4. 二面角的计算方法（30分钟）通过示例和实例演练，讲解二面角的计算方法。
包括：a. 二面角的计算方法一：已知两个平面的夹角，直接取其度数；b. 二面角的计算方法二：已知两个平面的方程，通过求解方程组得到二面角的度数。
5. 运用二面角解决相关问题（20分钟）通过一些实际问题，引导学生运用二面角的概念和计算方法解决几何问题。
例如：a. 已知一个三棱锥的底面是一个边长为10cm的正三角形，顶点在底面正上方，求这个三棱锥的二面角的度数；b. 已知两个平面的夹角为60度，这两个平面分别与第三个平面的夹角分别为30度和45度，求这个三个平面的二面角的度数。
六、课堂小结（5分钟）对本节课的重点内容进行小结和概括，并提醒学生复习重点和难点。
北师大版高中数学必修二二面角说课稿(1)
“二面角”说课稿说课流程：教材分析——教学目标——教法学法——教学过程——教学评价一、教材分析：1、地位作用《二面角》是立体几何的重要概念之一。
它是学生在学过两条异面直线所成的角，直线与平面所成的角之后，学习两个平面垂直之前，又重点研究的一种空间角。
因此它起着承上启下的作用，也为培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力，创新意识和创新能力提供了一个良好的平台。
2、重点难点教学重点：二面角的概念及其平面角的概念。
教学难点：二面角的平面概念的形成过程。
难点突破：通过三个探索过程和学生动手实验得出二面角的平面角概念。
二、教学目标知识目标：掌握二面角及其平面角的概念，并能运用它们解决实际问题。
能力目标：通过类比，猜想，直角等探索活动，培养学生的创新能力；通过对模型的操作，观察，分析来强化学生的动手能力和分析问题的能力。
情感目标：在探索活动中，让学生感受到学数学的乐趣；在合作中分享成功的喜悦；在应用中体会数学源于实践并用于实践的思想，从而激发学习的积极性和主动性。
三、教法学法1、教法分析：类比发现法，引导探索法。
采用“创设情境——探索交流——猜想验证”的模式进行教学。
2．学法指导：学生通过“亲身观察——自主探索——合作交流——大胆猜想——自我验证”，真正成为学习的主体，使自己由学会变为会学，乐学。
3、教学手段：借助实物模型，多媒体动态演示，不仅让学生突破从二维到三维的障碍，也为其创设了开放的学习情境和探究平台。
四、设计理念以学生活动为主，教师讲述为辅学生活动在前，教师点拔评价在后五、教学过程设计教学程序：情境引入——探索新知——例题探究——反馈练习——拓展思考(一)情境引入在开门的过程中,墙、门所在平面之间的张合程度有怎样的变化?观察手提电脑两个面所组成的图形。
(二)探索新知1．二面角的定义：思考：1.该如何定义二面角呢？2.在平面几何中“角”是怎样定义的?通过类比，同学们能给出二面角的概念吗？画一画:请同学们把自己的课本打开一定的角度，并改变放法，作出它们的直观图。
数学高二二面角一种求法说课稿范文
数学高二二面角一种求法说课稿范文数学高二二面角的一种求法说课稿范文一、教材简析:1.地位与作用:本节是高二数学下册第九章《直线、平面、简约几何体》中相关96二面角的求解问题。
是在立体几何知识学习完毕，同学已具有了肯定的空间想象技能，掌控了肯定的立体几何的讨论方法的基础之上，对二面角求解方法进行的一个补充。
二面角的求解是立体几何部分的一个重点也是一个难点，本节内容为同学提供一个新的视角。
2.教学内容及目标教学内容:数学高二二面角的一种求法说课稿将异面直线两点间距离公式变形应用于求二面角，变形所得公式就是本节所学主要内容，暂且称这个公式为二面角余弦公式。
教学目标：知识目标：异面直线两点间距离公式在求二面角中的应用;技能目标：(1).推广引申不但能加深对原题的理解，而且对于扩大解题效果，提高解题技能，培育发散思维，激发创新意识，都有不可忽视的积极作用。
(2).通过转化问题探究公式条件的过程，培育同学探究问题的精神，提高同学化归的意识和转化的技能。
情感目标：通过问题的转化过程，让同学认识万物都处于联系之中，我们要用联系的观点看待问题。
3.教学重点和教学难点重点：二面角余弦公式条件的发觉，结构的确定;难点：二面角余弦公式条件的发觉，结构的确定;二、学情分析：1.起点技能分析立体几何知识学习完毕，同学已具有了肯定的空间想象技能，掌控了肯定的立体几何的讨论方法，并成为本节的学习基础。
2.一般特点分析高二同学观测力已具有肯定的目的性、精细性、长久性，有意识记占主导地位、意义识记以占重要地位，同时概念理解技能、推理技能有所提高，具有肯定的掌控和运用规律法那么的技能，但由于认知水平的不同，同学掌控和运用规律法那么的技能存在不平衡性。
三、教法分析：本节采纳启导法，以质疑启发、直观启发为主，通过一系列带有启发性、思索性的问题，创设问题情境，引导同学思索，老师适时演示，利用多媒体的直观性，激发同学的学习爱好，化静为动，使同学始终处于主动探究问题的积极状态，从而培育同学的思维技能。
二面角概念教学后的反思
上课后 ,在多媒体的展示下 , 同学们很快理
解了二面角的定义 , 接着开始引进二面角的平
面角的概念. 请同学们带着问题阅读课本 :二面
角的平面角指的是什么 ? 为什么这样规定 ? 通
过阅读课本 ,同学们很快理解了. 因为从二面角 棱 a 上的任意的点 O 分别在α与β内作垂直于
a 的射 线 OA 与 OB 时 , 射 线 OA 与 OB 组 成
我又是一怔 :是啊 ! 确实是这样 , 其它同学
也纷纷点头 ,听课的老师也开始面露疑惑了. 怎 么办 ? 课怎么进行 ? 这个问题以 前 没 有 考 虑 过 ,课本和教学参考书都和我们刚才说的一样 的. 看着同学们一双双疑惑的眼睛 ,我想这个问 题不能敷衍过去. 还是将问题交给大家吧. 于 是说 “: 好 ! X X 提了一个很好的问题 ! 这个练 习题我们先放一放 , 现在一起来分析一下为什 么这样规定吧. ”听了我的话教室内立刻沸腾 了 ,同学们交头接耳 、你争我吵 、议论纷纷 , 也有 的急急忙忙的翻看书本 , 可能是想从课本中找 到答案.
参考资料
[ 1 ] 刘云章著. 《数学符号学概论》. 安徽教育出版 社 ,1993 年 3 月
意的点在两个半平面内作垂
直于棱的射线 , 两射线组成
的角的大小与点在棱上的位
置无关. 所以我们用它来表
示二面角的大小. ”“这不是 理由 !”X X 坚定的说 :“我想
图 (二)
过了 , 如果从棱上一点的两
个半平面内向同侧作与棱成 45°的直线 , 这样的
角也与点的位置无关. 为什么不规定这样的角
为二面角的平面角啊 ?”同时他画了图 ( 二) .
T1 与我比较熟悉 , 笑了笑说 :“我认为只有 在垂直时得到的角与给定的二面角是一一对应
二面角教学困惑解惑与感悟
二面角教学：困惑、解惑与感悟741000甘肃天水市一中宫前长1问题提出二面角是空间几何中重要的知识之一，是提升学生空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力等最好的几何素材．由于二面角的抽象性、多变性等特点，教科书（人教课标版A）中采用分步编排，螺旋上升的思路，即在必修2中，让学生学习传统几何的做法以外，再在选修2－1模块中提供了用空间向量求二面角大小的方法．为此，在新课标下如何定位、把握二面角的教学，值得教师思考.2课前困惑在“二面角”的备课过程中，笔者虽然认真研究了新课标，也认真地从必修2模块中的内容编排的角度进行了思考，理解新课程的特点是在内容上分层次设计进行编排，在必修课程中，主要是通过直观感知、操作确认，获得几何图形的性质，并通过简单的推理发现、论证一些几何性质，而在选修中采用向量工具和专题进一步的提升；在教学定位上要培养和发展学生把握图形能力、空间想象与几何直觉能力、理解推理能力等四大能力．但从教科书的目录上可以看到：二面角是为了研究平面与平面垂直做铺垫才引入的一个数学概念，在章节标题中也没有出现“二面角”名目，为此心中总是不安．大家知道，二面角是旧大纲中的重要概念，在空间几何教学中占有重要的地位，而新课标中对二面角的计算却放在选修2－1中，因此，在必修2的教学中如何定位，是以概念的形成为重，还是以二面角的计算为重？如何把握教学，才能达到高中数学课程标准以及高考考纲的要求再则，不论是以概念的形成为重，还是兼顾概念的形成和二面角的几何计算为重，“找”二面角的平面角时，总会用定义去找，自然也会涉及到用三垂线定理作二面角的平面角，如何对待三垂线定理的“去”与“留”？是否要补充这个定理这些都是在备课时曾经产生过的困惑.3课前分析与反思查阅教师教学用书，书中表明用1课时完成“平面与平面垂直的判定”（含二面角）的教学．基于前面的困惑，再加上教学分配时间只是1课时，如何把握这节课的教学只能通过对比新课标与旧大纲中关于二面角的目标要求，寻求解决问题的办法.3．1对比二面角教学目标的变化大纲：了解三垂线定理及其逆定理；掌握二面角、二面角的平面角的概念；掌握两个平面垂直的判定定理．课标：通过直观感知、操作确认，归纳出两个平面垂直的判定定理；能用向量方法证明三垂线定理，并解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量法在研究几何问题中的作用．对比可知：新课标将线线、线面、面面的垂直与平行位置关系放在数学2中，而且采用的是直观感知、操作确认、归纳的思路进行的．将线线、线面、面面的夹角的计算安排在选修2－1中的向量空间中进行，自然降低了对“空间角”的空间想象能力和推理论证能力的要求，充分让学生体会向量在研究空间几何图形中的工具作用，这样做的目的就是谈化了空间角的计算（尤其是二面角的大小的计算）．课标中没有对“二面角及三垂线定理”作具体的教学要求．课标的“立体几何初步”主要是培养和发展学生的空间想象能力与几何直观能力．几何直观可以帮助我们探索和发现图形的性质，有助于逻辑推理，通过几何直观可以清晰地把证明思路表示出来；处理方式按照从整体到局部的方式展开立体几何内容，先通过实物模型等认识空间几何体，再以长方体为载体直观认识和理解空间点、线、面的位置关系．以直观感知和操作确认为认识几何体的重点角度，建立和提升学生的空间想象能力和几何直观能力．因此，对二面角的教学目标确定为：经历二面角概念的生成过程；体会将二面角问题转化为平面角问题，利用类比的方法理解二面角的平面角的定义；探究二面角的平面角的表示，会求较简单的二面角的大小．3．2二面角在教材位置的分布情况课标中的立体几何内容是分层设计的，在必修课程的“立体几何初步”中，主要是通过直观感知、操作确认，获得几何图形的性质，并通过简单的推理发现、论证一些几何性质，进一步的论证与度量则放在选修系列2中．平面与平面的垂直需要“二面角”的概念．事实上，两个平面相交时的相对位置可以看成是由两个平面所成的“角”确定的直观感知．二面角、二面角的平面角是这一节的重点；二面角的平面角大小的表示则是难点．在数学2（人教课标版A）的“平面与平面垂直的判定”一节中，借助修筑水坝、发射卫星等实例，引出了二面角的概念，学生自然就会对二面角产生感性的认识，再通过二面角的直观图，对二面角进行概括、理性的理解，同时教材介绍了二面角的概念，没安排求二面角的大小的例题、练习，只是在习题中设置了两道简单的以三棱锥、正方体为载体的求二面角大小的题目．但在数学2－1的“空间向量与立体几何”中侧重设置了较多的二面角大小的计算．其中在必修2的“立体几何初步”中也没有“三垂线定理及其逆定理”的影子．这种将“二面角”分散在必修与选修课程，凸现了教科书编写与学生的认知规律“和谐”、“统一”的“螺旋式上升”的理念．3．3二面角在知识的认知、能力上要求从知识的认知情境看，教科书设置了问题的情境，注重从生活实践到数学研究再到数学教育、从直观感知到抽象理解再到数学教育的方式，引导学生学习二面角；从知识的量化看，数学2只是注重二面角概念的形成，淡化了几何法的计算，在选修2－1中侧重设置了用向量计算二面角的方法．从能力的立意与提升看，教材凸现了转化、类比、降维的思想方法在“二面角及其平面角”中的应用，让学生在运用空间向量解决二面角的大小的问题中，开阔视野、拓展思维、提升能力．学习新课标和新教材之后，结合集体备课的智慧和研究的对策，虽然这节内容的教学有了新的思路，但为了更好地在课堂中凸显出“二面角”这一核心概念的作用，笔者又从必修2与选修2－1上进行整体分析，认识到教学时，要在“二面角”概念的生成过程中；让学生体会：二面角的大小是用平面角来度量的化归思想；确认二面角的平面角的大小由二面角的两个半平面的位置唯一确定，与棱上的点的选择无关；平面角的两边分别在二面角的两个半平面内，且两边与二面角的棱垂直等几何事实，由这个角所确定的平面和二面角的棱垂直．其中观察、操作、直观感知、思辨、讨论是学习这一节内容的基本方法.培养学生的空间想象能力和几何直观能力是贯穿整个高中数学教学的主线，在教学中，必须时刻关注这条主线．3．4学情分析与学法处理高一至高二年龄阶段的学生，思维属于经验型逻辑思维，一定程度上仍依赖直观具体的形象性材料来理解抽象的概念或逻辑关系．教科书编写完全符合学生的学习特征，即符合学生由具体到抽象的认知规律．大家知道，几何概念是思维的基本元素，也是空间想象的出发点，学习时必须抓住二面角概念的本质特征和关键要素，用联系的、发展的眼光看待每一个立体几何的概念，让学生经历每一个概念的来龙去脉，把所学的概念归纳到已有的认知结构中，形成有联系的知识网络．结合新课程的教材特点：从柱、锥、台、球到点、线、面，即从整体到局部，与从具体到抽象的设计思想；分段设计、分层推进的编排方式；对空间几何体采用直观感知和对线、面关系采用操作确认、思辨论证的原则；对于平行、垂直侧重定性和对于角、距离等侧重定量研究，侧重于向量方法；以及对判定定理做到操作确认、合情推理和对性质定理做到思辨论证、逻辑推理的思维取向．对于二面角的平面角，也采用教科书设置的方法进行教学，让学生通过对各类二面角模型的观察与分析，类比线线角、线面角的处理方法，自然想到采用平面化的方式，顺利地过渡到平面角的概念上来，凸现了“降维”的化归意识．4教学片断（二面角的平面角）回放，解惑师：二面角的大小如何进行度量？大家操作、思考看看能解决吗？生：采用将空间问题转化为平面问题的思想（降维）来解决，即将二面角用平面角来表示，（凭着直观判断，大部分有此意识）师：展示课本，让学生翻开课本形成二面角状态，观察书页底部的边沿线所成的角的变化情况，是否随着翻动的幅度大小变化（二面角变化）而发生的情况，变化基本是“一致”的，能否用通过这种对应书页底部的边沿线所成的角进行表示？生：可以．但这种表示是否是唯一的？师：大家探究这种表示是否是唯一的？即满足怎样的条件时，表示是唯一的？（大家探索过程热烈，有的同学争辩得面红耳赤，气氛活跃．学生就此问题展开探索，探索中，发现了新问题，议论纷纷……．请一位同学说一说如何“寻找”具体的、可以确定的一个平面角．“唯一性”是数学严谨性的表现，在探索时一定要认真对待，全面深刻的思考．生：从二面角的棱上任找一点，从这一点出发，分别在两个半平面内任作一条射线，它们形成一个平面角，其大小是确定的．生：平面角的“唯一性”是垂直确定的，垂直具有“唯一性”是可以作为分界点来实现平面角的确定．师：大家思考得很好！思辨很激烈，我好感动！得到的结论是正确的．在巡视中发现有同学用两只铅笔在翻开的教科书上不停的摆放，这种动手、动脑的习惯值得提倡和表扬！师：大家思考这样的平面角具备哪些条件？能否借用前面学习的线面垂直的性质与判定定理作为依据找到平面角最后探索的结果令人非常满意，除了前面的定义法外，的确寻找到另一种方法，即从二面角的一个平面内任找一个非棱上点，作另一半平面的垂线，再过垂足作棱的垂线，交棱于一点，这点与平面内一点连线，即得二面角的平面角．（在巡视中，对学生进行了点拨、启发，学生在没有学习三垂线定理及其逆定理的情况下，也寻找到了这种方法，心中的困惑早不知去向，教科书编写者处理得很好，减轻了学生的思维负担．）如果给学生讲解内容丰富的“三垂线定理及其逆定理”，学生自然会记住结论，盲目套用定理，这样做不利于学生对空间图形本质的认识、不利于培养学生的“空间想象能力”，同时，在讲解这两个定理时需要一定的时间和一定量的习题进行练习，费力不一定取得好结果，往往会做成“夹生饭”，产生消极影响．“三垂线定理”只是线面垂直性质的一个推论，大家认为有它比较方便，是习惯成自然的原因．新教材没有编排，依然可以取得同样的效果．教学实践表明，教学必须把握教材，领会课标精神，准确定位、把握教学目标，必要时对一些数学的核心概念进行探究，让学生在概念的形成、发展过程中有所体验、感悟．5课后反思教学前的困惑，通过课堂教学的实践，基本消除了．学生学习二面角完全可以达到课标的要求，教科书（人教课标版A）的编写给我们一个新观念、新方法，也为数学教学提供了新思路．5．1研读课标，准确定位教学目标课程标准提出：“高中数学课程应返璞归真，努力揭示数学概念的发展过程和本质，使学生理解数学概念逐步形成的过程，体会蕴含其中的思想方法；教学中应注意沟通各部分内容之间的联系，通过类比、联想、知识的迁移和应用等方式，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，进一步理解数学的本质，提高解决问题的能力．”“二面角及其平面角”是学生接触的一个新概念，这个概念的形成在“平面几何”与“立体几何”之间架起一条思维通道，蕴含重要的数学思想方法，如转化、类比和降维等．尤其在二面角的问题中体现得非常明显．众所周知，课程标准是教学的依据，务必认真、反复地研读，深刻领会、把握课程标准的精神，领悟新课改的理念.对具体教学内容的分析，要明确哪些降低要求，哪些提升要求，哪些淡化要求．总之，教学必须以课程标准为“纲”，孰轻孰重，清清楚楚，才能切实地贯彻新课改的精神和课标的理念．5．2研读教材，准确把握教学目标教科书是解读课程标准的范本.它凝聚着编者对课标的准确理解的心血，蕴藏着丰富的数学教育内涵，体现着数学的科学性和编排的合理性、艺术性．作为一线教师只有研读教科书，才能够准确把握教学目标，悟出教科书的精髓，发挥教科书的教育作用．《数系的扩充和复数的概念》教学设计澳门大学教育学院江春莲430062湖北大学数学与计算机科学学院刘芸几日前，给学生教授《初等代数研究》时，要求学生试着编写《数系的扩充和复数的概念》一节的教案并进行试教，学生的教学让笔者回忆起中学时学习该节内容的体会，总的印象是零零散散，很多东西需要去死记，在此想用三个问题来探讨该节课的教学设计．问题1对一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）而言，在Δ=b2－4ac＜0时，该方程全部都没有实数解，为什么仅讨论x2+1=0的解？这一问题比较容易回答，因为Δ=b2－4ac可以写成Δ=［－（b2－4ac）］ˑ（－1），因为－（b2－4ac）＞0，所以解决了x2=－1的解的问题，Δ=b2－4ac的开方问题就能解决，就能用公式法解所有的一元二次方程．问题2为什么实数系经过扩充后得到的新数集是C=｛a+b i|a，b∈R｝？在普通高中课程标准实验教科书数学选修1－2（A 版）（人民教育出版社）第60－61页是这样讲的“我们从数集A（注：A=｛x|x∈R或=i｝）出发，希望新引进的数i 和实数之间仍然能象实数那样进行加法和乘法运算，并希望加法和乘法都满足五律（在此略）．依照以上设想，把实数a与新引入的数i相加，结果记作a+i；把实数b 与i相乘，结果记作b i；把实数a与实数b和i相乘的结果相加，结果记作a+b i，等等．由于加法和乘法的运算律仍然应该成立，从而这些运算的结果都可以写成a+b i （a，b∈R）的形式，应把这些数添加到数集A中去．再注意到实数a和数i，也可以看作是a+b i（a，b∈R）这样的数的特殊形式，所以实数系经过扩充后得到的新数集应该是C=｛a+b i|a，b∈R｝”櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧．高中立体几何在课标教材中分成两部分：“立体几何初步”（必修2）和“立体几何与空间向量”（选修2－1），体现了分阶段、分层次、多角度的形成知识网络的“螺旋式上升”认知规律．为此，二面角在必修2中重点是揭示概念的形成过程，而求二面角大小的问题留在选修2－1中运用向量工具来处理，凸现出新思维、新方法．其大环境线与面、面与面的平行与垂直的判定定理是在直观感知，抽象归纳，操作确认的课标理念下得出，没有给出严格的证明，这一点是符合课标精神和编写意图．如对“三垂线定理及其逆定理”放在选修2－1中只要求了解其内容和向量方法证明，也是减轻学生思维负担，进一步推动学生运用向量工具解决空间图形的度量问题的进程．5．3研究概念，准确探究核心概念重视核心概念教学，是提升教学目标的定位，更是对教学方法的选择、教学过程的设置及教学评价的界定上竖起一个“标杆”，研究概念自然成为教师备课时首先思考的一个问题．“二面角”教学中的核心概念就是“二面角的平面角”，从而教学设计中，组织“探究二面角的平面角大小的表示的数学活动，为学生搭建平台，让学生通过教学探究、感知、猜想、操作确认、思辨讨论的活动经历“二面角的平面角”的自然形成过程，感受数学的转化即降维的思想方法，体验数学的发现和创造．5．4研究学法，提高效率贯彻理念对于初入高中的学生，多进行一些学法指导，在教学时尽可能遵循的方法与知识双重走向，让学生体验教科书分段设计、分层推进的策略，学会自主探究、合作交流学习方式，为后续学习提出一个模式，学生自然而然地、逐步适应高中数学的学习．总之，教师对教材多研究，对教学内容重新优化的“用教材”的教学，能够削枝强干，突出核心概念，强化数学思想方法，从而增强学生学习的积极性，提高课堂教学效率．通过这一节“二面角”教学前的课前困惑、上课解惑、课后反思，笔者深刻地感悟到：教学就是一种过程的经历、一种过程的体验、一种过程的感悟！（收稿日期：20110218）。