二面角教案设计
二面角课程设计
二面角课程设计一、课程目标知识目标：1. 理解二面角的定义，掌握其基本性质；2. 学会使用平面几何知识分析二面角，并正确画出二面角的图形；3. 掌握二面角的度量方法，能够准确计算二面角的度数。
技能目标：1. 能够运用所学的二面角知识解决实际问题，提高空间想象能力；2. 学会在不同情境中识别和应用二面角，培养几何解题技巧；3. 能够通过小组合作，进行二面角相关问题的讨论与探究，提高合作解决问题的能力。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对几何学科的兴趣，激发他们探索几何奥秘的欲望；2. 培养学生面对几何问题时的耐心和毅力，树立解决问题的信心；3. 培养学生的团队协作精神，让他们认识到合作学习的重要性。
分析课程性质、学生特点和教学要求，本课程旨在帮助学生在掌握二面角相关知识的基础上，提高空间想象能力和几何解题技巧，培养他们合作解决问题的能力。
课程目标具体、可衡量，有助于学生和教师明确课程预期成果，并为后续教学设计和评估提供依据。
二、教学内容1. 二面角的定义及性质- 引导学生通过观察实物，理解二面角的定义；- 讲解二面角的性质，如：二面角的两个面互为补角，二面角的度数为两个补角的和。
2. 二面角的图形与识别- 演示如何正确画出二面角的图形，提高学生的空间想象能力；- 分析不同情境下的二面角，培养学生的识别和应用能力。
3. 二面角的度量与计算- 介绍二面角的度量方法，如：利用平面几何知识计算二面角的度数；- 通过实例讲解，让学生掌握二面角计算的方法和技巧。
4. 二面角的应用- 分析二面角在实际问题中的应用，如：建筑、工程设计等领域；- 引导学生运用二面角知识解决实际问题，提高解决问题的能力。
5. 小组合作与讨论- 组织学生进行小组合作，探讨二面角相关的问题；- 引导学生相互交流，分享解题心得，培养合作精神。
本教学内容根据课程目标制定，涵盖二面角的定义、图形、度量、计算和应用等方面，确保内容的科学性和系统性。
二面角教学教案
二面角教课方案教课目的1．使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”的观点，并能初步运用它解决本质问题；2．指引学生探究和研究“二面角的平面角”应当如何定义，在观点形成的过程中，发展学生的思想能力．教课要点和难点本课的要点是“二面角”和“二面角的平面角”的观点；本课的难点是“二面角的平面角”观点形成的过程．教课方案过程教师：在平面几何中“角”是如何定义的？学生：从平面内一点出发的两条射线所构成的图形叫做角．教师：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是如何定义的？它们有什么共同的特点？学生；直线 a，b 是异面直线，经过空间随意一点 O，分别引直线 a′∥ a，b′∥ b，我们把直线 a′和 b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线 a 和 b 所成的角．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．它们的共同特点是都是将三维空间的角转变为二维空间的角．教师：请同学们察看下边的几个问题．（当教师说完上述话后，利用多媒体技术，让学生经过计算机看两个例子）例子之一：镜头一：淡蓝色的地球．（图片）镜头二：火箭发射人造地球卫星．（录相）镜头三：人造地球卫星绕地球旋转，最后画出卫星的轨道平面和地球赤道平面．让学生察看这两个平面订交成必定的角度．例子之二：镜头一：人走在坡度不太大的桥上．（录相）镜头二：人在登山．（录相）镜头三：攀岩运动．（录相）镜头四：演示下边动向图象．（让水平面静止不动，坡面在不停变化，目的是让学生看到，在生活实践中，有很多问题要波及到两个平面订交所成的角的情况）（注意：四个镜头要连续编排在一同进行演示，时间一分钟）教师：如何给二面角下定义呢？下边我们用类比的方法，与角的观点对照，商讨二面角的定义．这一段教课采纳计算机协助手段，每一个问题分三步达成，第一给出平面角的问题，而后请学生思虑并回答二面角的问题，最后计算机显示正确结果．这部分共有四个问题，所有研究完成后，将整个过程列成一个总表，显示在屏幕上．教师：请看角的图形，思虑二面角的图形．学生能够将自己画的图展现给大家．计算机显示：二面角的图形．教师：（给出平面角的定义）请同学们给二面角下定义．显示：从平面内一点出发的两条射线所构成的图形．学生：（口答）计算机显示：从空间向来线出发的两个半平面所构成的图形．教师：平面角由射线—点—射线构成．二面角呢？学生：二面角由半平面—线—半平面构成．教师：平面角表示法：∠AOB．二面角表示法α -a-β或α -AB-β ．最后计算机显示整个过程．教师：经过上边的研究我们已经看到，平面上的角，能够看作是一条射线绕其端点旋转形成的图形；近似地，一个半平面绕其界限旋转到必定地点所获得的图形，就是二面角．教师：二面角与平面内的角同样，是能够比较大小的，其比较方法，与平面内的角的大小的比较方法近似．（教师让学生翻开书籍）翻开书籍的过程，给我们一种二面角的大小连续变化的形象．（前方看到的登山问题也是这样）教师：用量角器能够量出平面内的角的大小，可否也能用量角器直接去量出二面角的大小呢？比方，这里有一个对顶量角器和一个三角木块（直三棱柱）模型，你们能用我们自制的对顶量角器来量出三角木块模型的某两面角的大小吗？比方平面α 与β的夹角？教师：一般地说，量角器只好丈量“平面角”（指两条订交直线所成的角．相应地，我们把异面直线所成的角，直线与平面所成的角和二面角，均称为空间角）那么，如何去胸怀二面角的大小呢？我们过去是如何胸怀某些角的？学生：分别经过“取点、平移（订交）”（对异面直线所成的角）与“斜线的射影（订交）”（对斜线与平面所成的角）去胸怀的．教师：这些做法的共同点是什么？学生：都是将空间角化为平面角．教师：对！再回到方才的量角操作，你是如何用对顶量角器去量二面角α -l-β 的大小呢？学生：将对顶量角器的一个角的两边靠紧二面角的两个面，角的极点则在二面角的棱上．教师：大家注意，本质上同学们量的是一个平面内的角：∠BAC．这个角的极点在二面角的棱上，它的两边分别在二面角的两个面内且与棱垂直．并且对于确立的二面角，这样的角的大小是独一的，确立的，我们把它叫做二面角的平面角．（对于训练有素，肯于思虑的学生可能会提出下边的问题）学生：若以棱a 上随意一点O为端点，在两个面内作与棱成等角θ′（0°＜θ′＜90°）的两条射线OA′，OB′，由空间等角定理知，∠A′OB′也是存在且独一的，为何不用这样的角定义二面角的平面角？教师：记∠ AOB=θ，∠ A′OB′ = ．当 OA′， OB′在平面 AOB同侧时θ＞；当 OA′， OB′在平面 AOB异侧时θ＜．请看图 6：设 A ′P′=a， A′ P=b，A′B′=x由余弦定理，得：x2=b2 +b2-2b 2 cos =2b2（1-cos），x2=a2 +a2-2a 2 cosθ =2a2（1-cos θ），当OA′，OB′在平面 AOB的同侧时，若用∠ A′OB′ = 表示二面角的大小，由（ * ）知，与θ之间会有常数关系，这将给表示，特别是计算、应用带来诸多不便；此外，若用∠ A′OB′ = 表示二面角的大小，当平面α⊥平面β时；≠ 90°，当半平面α与半平面β在同一平面时， =2θ′≠ 180°，都与已有知识和经验不符，不可以直观反应出空间两个订交平面的相对地点关系。
二面角观摩课教案
二面角观摩课教案第一章：二面角的定义与性质1.1 教学目标了解二面角的定义掌握二面角的性质1.2 教学内容引入三维空间中的角的概念给出二面角的定义探讨二面角的性质1.3 教学方法采用讲解与示例相结合的方式引导学生通过几何图形进行观察和思考1.4 教学步骤1.4.1 引入通过三维模型展示角的概念引导学生思考三维空间中的角的特点1.4.2 讲解给出二面角的定义解释二面角的性质1.4.3 示例提供一些具体的二面角例子引导学生通过几何图形观察和理解二面角的性质1.4.4 练习让学生通过绘制几何图形来练习判断和计算二面角1.5 教学评价通过学生的练习和课堂表现来评估学生对二面角的定义和性质的理解程度第二章：二面角的计算2.1 教学目标掌握二面角的计算方法能够应用计算方法解决实际问题2.2 教学内容介绍二面角的计算方法提供一些实际的例子来说明计算方法的应用2.3 教学方法采用讲解与练习相结合的方式引导学生通过几何图形进行计算和思考2.4 教学步骤2.4.1 讲解介绍二面角的计算方法提供一些具体的计算示例2.4.2 练习提供一些实际的例子让学生进行计算练习2.4.3 应用引导学生将计算方法应用到实际问题中2.5 教学评价通过学生的计算练习和问题解决能力来评估学生对二面角计算方法的理解和应用程度第三章：二面角的测量与画法3.1 教学目标学会使用直角坐标系测量二面角掌握二面角的画法技巧3.2 教学内容介绍使用直角坐标系测量二面角的方法讲解二面角的画法技巧3.3 教学方法采用讲解与实践相结合的方式引导学生通过几何图形进行测量和画法实践3.4 教学步骤3.4.1 讲解介绍使用直角坐标系测量二面角的方法讲解二面角的画法技巧3.4.2 实践提供一些实际的例子让学生进行测量和画法实践3.4.3 应用引导学生将测量和画法技巧应用到实际问题中通过学生的测量和画法实践以及问题解决能力来评估学生对二面角测量和画法的理解和应用程度第四章：二面角的判定与应用4.1 教学目标学会判断二面角的类型掌握二面角在几何和实际问题中的应用4.2 教学内容介绍二面角的类型判断方法讲解二面角在几何和实际问题中的应用4.3 教学方法采用讲解与实例分析相结合的方式引导学生通过几何图形和实际问题进行思考和应用4.4 教学步骤4.4.1 讲解介绍二面角的类型判断方法讲解二面角在几何和实际问题中的应用4.4.2 实例分析提供一些具体的二面角实例引导学生通过几何图形和实际问题分析和应用二面角的判定方法4.4.3 练习提供一些实际的例子让学生进行判定和应用练习通过学生的判定练习和实际问题解决能力来评估学生对二面角类型判断和应用的理解程度第五章：二面角的度量与表示5.1 教学目标理解二面角的度量方法学会用符号表示二面角5.2 教学内容介绍二面角的度量方法讲解二面角的符号表示规则5.3 教学方法采用讲解与实际操作相结合的方式引导学生通过几何图形进行理解和表示5.4 教学步骤5.4.1 讲解介绍二面角的度量方法，如使用半圆度量讲解二面角的符号表示规则，如使用罗马数字表示5.4.2 实际操作提供一些具体的二面角实例，让学生进行度量和表示5.4.3 练习提供一些实际的例子让学生进行度量和表示的练习5.5 教学评价通过学生的度量和表示练习，以及问题解决能力来评估学生对二面角度量和表示的理解程度第六章：二面角与立体几何的关系6.1 教学目标理解二面角与立体几何的关系学会使用二面角分析立体几何问题6.2 教学内容讲解二面角与平面几何的关系介绍二面角在立体几何中的应用6.3 教学方法采用讲解与实例分析相结合的方式引导学生通过立体几何图形进行思考和分析6.4 教学步骤6.4.1 讲解讲解二面角与平面几何的关系，如二面角与线面的位置关系介绍二面角在立体几何中的应用，如使用二面角分析立体图形的性质6.4.2 实例分析提供一些具体的立体几何实例，让学生使用二面角进行分析6.4.3 练习提供一些实际的立体几何问题，让学生使用二面角进行分析和解决6.5 教学评价通过学生的实例分析和问题解决能力来评估学生对二面角与立体几何关系的理解程度第七章：二面角的计算工具与应用7.1 教学目标学会使用计算工具计算二面角掌握二面角在实际问题中的应用7.2 教学内容介绍计算工具的使用方法提供二面角在实际问题中的应用实例7.3 教学方法采用讲解与实际操作相结合的方式引导学生通过实际问题进行思考和应用7.4 教学步骤7.4.1 讲解介绍计算工具的使用方法，如使用测量仪器或软件提供二面角在实际问题中的应用实例7.4.2 实际操作提供一些具体的实际问题，让学生使用计算工具进行二面角的计算7.4.3 练习提供一些实际的例子让学生进行计算和应用练习7.5 教学评价通过学生的计算操作和问题解决能力来评估学生对二面角计算工具和应用的理解程度第八章：二面角的综合应用8.1 教学目标学会综合运用二面角的知识解决复杂问题培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力8.2 教学内容讲解综合运用二面角的知识解决复杂问题的方法提供一些综合应用的实例8.3 教学方法采用讲解与实例分析相结合的方式引导学生通过实际问题进行思考和综合应用8.4 教学步骤8.4.1 讲解讲解综合运用二面角的知识解决复杂问题的方法提供一些综合应用的实例8.4.2 实例分析提供一些具体的综合应用实例，让学生进行分析8.4.3 练习提供一些实际的例子让学生进行综合应用练习8.5 教学评价通过学生的综合应用练习和问题解决能力来评估学生对二面角综合应用的理解程度第九章：二面角的实验与探究9.1 教学目标培养学生的实践操作能力引导学生通过实验探究二面角的性质9.2 教学内容介绍二面角的实验方法讲解二面角的探究过程9.3 教学方法采用实验与讲解相结合的方式引导学生通过实验操作和观察进行探究9.4 教学步骤9.4.1 实验介绍介绍二面角的实验方法，如使用特殊材料或仪器讲解二面角的探究第十章：二面角的数学探究活动10.1 教学目标培养学生的探究能力引导学生通过数学探究活动深入理解二面角10.2 教学内容介绍数学探究活动的方法和步骤提供二面角的探究课题和素材10.3 教学方法采用引导与自主探究相结合的方式引导学生通过数学探究活动理解二面角的本质10.4 教学步骤10.4.1 探究方法介绍介绍数学探究活动的方法和步骤强调二面角探究中的观察、猜想、证明等环节10.4.2 探究课题和素材提供提供二面角的探究课题，如“探究二面角的度量方法”提供相关素材，如二面角的图片、几何模型等10.4.3 学生自主探究让学生分组进行自主探究引导学生通过观察、猜想、证明等环节深入理解二面角10.4.4 成果展示与讨论让学生展示探究成果组织讨论，引导学生从不同角度理解和深化二面角的性质10.5 教学评价通过学生的探究成果和课堂表现来评估学生对二面角探究活动的理解和掌握程度第十一章：二面角与现实生活的联系11.1 教学目标引导学生认识到二面角在现实生活中的应用培养学生的实际问题解决能力11.2 教学内容讲解二面角在现实生活中的具体应用实例探讨二面角在各个领域的应用价值11.3 教学方法采用案例分析与实际操作相结合的方式引导学生通过现实生活中的实例进行思考和应用11.4 教学步骤11.4.1 案例分析讲解二面角在现实生活中的应用实例，如建筑、工程设计等领域引导学生理解二面角在这些领域的具体应用11.4.2 实际操作提供一些现实生活中的问题，让学生尝试用二面角的知识进行解决11.4.3 应用练习提供一些实际问题让学生进行二面角的实际应用练习11.5 教学评价通过学生的实际应用练习和问题解决能力来评估学生对二面角与现实生活联系的理解程度第十二章：二面角的扩展与深化12.1 教学目标引导学生对二面角进行扩展与深化学习培养学生的深入探究能力12.2 教学内容讲解二面角的扩展与深化知识，如二面角的分类、特殊性质等提供一些深入探究的课题和素材12.3 教学方法采用引导与自主探究相结合的方式引导学生通过深入探究活动理解二面角的扩展与深化知识12.4 教学步骤12.4.1 扩展与深化知识讲解讲解二面角的扩展与深化知识，如分类、特殊性质等提供相关素材，如二面角的图片、几何模型等12.4.2 深入探究课题和素材提供提供二面角的深入探究课题，如“探究二面角的分类及其性质”提供相关素材，如二面角的图片、几何模型等12.4.3 学生自主探究让学生分组进行自主探究引导学生通过观察、猜想、证明等环节深入理解二面角的扩展与深化知识12.4.4 成果展示与讨论让学生展示探究成果组织讨论，引导学生从不同角度理解和深化二面角的扩展与深化知识12.5 教学评价通过学生的探究成果和课堂表现来评估学生对二面角扩展与深化学习的理解和掌握程度第十三章：二面角的评价与反思13.1 教学目标引导学生对二面角的学习进行评价与反思培养学生的自我认知和调整能力13.2 教学内容讲解二面角学习的评价方法和反思步骤提供一些评价与反思的实例13.3 教学方法采用引导与自我反思相结合的方式引导学生通过评价与反思活动理解二面角学习的有效性13.4 教学步骤13.4.1 评价与反思方法讲解讲解二面角学习的评价方法和反思步骤提供相关实例，如评价量表、反思文章等重点和难点解析本文主要介绍了二面角的定义、性质、计算、测量与画法、判定与应用、度量与表示、综合应用、实验与探究、与现实生活的联系、扩展与深化、评价与反思等内容。
《二面角》第一课时示范公开课教学设计【高中数学】
《二面角》教学设计第一课时◆教学目标1、掌握二面角的概念，提升学生的数学抽象素养.2、理解二面角的平面角的含义．提升学生的数学抽象素养.3、作二面角并求出二面角的大小，提高逻辑推理、数学运算的数学素养．◆教学重难点◆教学重点：二面角的概念．教学难点：作二面角并求出二面角的大小．◆课前准备PPT课件．◆教学过程一、整体概览问题1：阅读课本第47-50页，回答下列问题：（1）本节将要研究哪类问题？（2）本节要研究的对象在高中的地位是怎样的？师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结本节的内容.预设的答案：（1）本节主要学习二面角第一课时二面角及其度量．（2）学生在学习了异面直线所成角的概念及线面角的基础上，对空间角的问题有了一定的经验，二面角的问题，依然按照将空间问题化为平面问题、将立体几何问题化为空间向量运算问题的基本思路展开．为培养学生直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算的核心素养提供舞台．设计意图：通过对本节知识内容的预习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架.二、探索新知形成定义问题2：日常生活中，很多场景中都有平面与平面呈一定角度的形象，例如如图（1）所示，在建造大坝时为了加固大坝大巴外侧的平面，一般于水平面呈一定角度，如图（2）所示，很多屋顶都是二面角的形象，你能找到日常生活中更多类似的例子吗？怎样刻画平面与平面所成的角呢？师生活动：学生在教师的指导下写出答案．教师讲解：我们已经知道,平面内的一条直线把一个平面分成两部分,其中的每部分都称为一个半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角,这条直线称为二面角的棱,这两个半平面称为二面角的面．如图所示,在二面角βα-l -的棱上任取一点O ,以O 为垂足,分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA 和OB ,则射线OA 和OB 所成的角称为二面角的平面角.二面角的大小用它的平面角大小来度量,即二面角大小等于它的平面角大小.特别地,平面角是直角的二面角称为直二面角.比如，我们在地地理学科上学过的黄赤交角，指的就是黄道平面与赤道平面之间的夹角，大小为'2623，如图所示．设计意图：在学生学习了二面角及其平面角的概念之后,教师可以设计变式题引导学生通过动手练习找角,更好地感悟获得知识的体验,拓宽学生的思维,建立良好的思维习惯．黄赤交角是地理学中的名词,在此处主要是举例说明二面角知识在现实中的广泛应用,不必在课上进行过多的探究．问题3：“门开大点”“门开小点”说明了什么问题?平面角可以用量角器进行度量,二面角的大小可以用量角器来度量吗?如何确定二面角唯一的测量结果?哪个角能够表示二面角呢?师生活动：学生在教师的指导下写出答案．预设的答案：“门开大点”“门开小点”说明了门和墙体所形成的二面角的平面角的大小的变化情况，平面角可以用量角器进行度量,二面角的大小无法用量角器来度量．二面角及其平面角的大小不小于0°,不大于180°，而且,两个平面相交时,它们所成角的大小,指的是它们所形成的四个二面角中,不小于0且不大于90°的角的大小.这样约定后,一个二面角的大小及两个相交平面所成的角的大小都是唯一确定的．设计意图：在学生学习了二面角及其平面角的概念之后,教师可以设计变式题引导学生通过动手练习找角,更好地感悟获得知识的体验,拓宽学生的思维,建立良好的思维习惯．追问：根据二面角的平面角的定义，你是否能总结出二面角的平面角的定义的三个主要特征？师生活动：学生在教师的指导下写出答案．预设的答案：二面角的平面角的定义有三个主要特征:①过棱上任意一点;②分别在两个半平面内作射线;③射线垂直于棱.二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关.设计意图：定义过程是求二面角大小的基本思维过程,也充分体现着将空间问题转化为平面问题的转化思想方法．问题4：根据二面角的平面角的定义，你能否总结出如何利用定义法求二面角的平面角的大小？师生活动：学生在教师的指导下写出答案． 教师讲解:步骤如下(1)找到或作出所求的二面角的平面角.(2)证明或说明所作图形为所求的二面角的平面角.(3)计算求解.此时一般为解斜三角形,需要用余弦定理及其变式,教师可以引导学生回顾.(4)明确答案.写出所求问题的结论.设计意图：通过师生共同探究,引导学生总结基本的思维过程与步骤．并为后面例题的求解给出思路．三、初步应用 例1:如图所示,已知二面角βα-l -的棱上有A,B两点，,,,,l BD BD l AC AC ⊥⊂⊥⊂βα若,7,4,3,6====CD BD AC AB 求二面角βα-l -的大小．师生活动：学生根据所学给出解答，由老师指定学生给出答案．预设的答案：如上图所示,在平面内过A 作BD 的平行线AE,且使得AE=BD,连接CE,ED ．因为四边形AEDB 是一个矩形,∠CAE 是二面角βα-l -的一个平面角,且AB⊥面AEC,所以ED⊥面AEC,从而1367222222=-=-=-=AB CD ED CD CE在△AEC 中,由余弦定理可知212cos 222=⨯-+=∠AE AC CE AE AC CAE ,因此3π=∠CAE ，即所求的二面角的大小为.设计意图：通过梳理求解二面角的基本方法和步骤，提升运算速度和准确度，让学生感3π受，用代数方法解问题决立体几何问题．发展学生逻辑推理，数学抽象和数学运算的核心素养．问题5：如图所示，设S 为二面角βα-B -A 的半平面α上一点，过点S 作半平面β的垂线'SS ,设O 为棱AB 上一点.（1）判断AB SO ⊥是AB O S ⊥'的什么条件； （2）由二面角的作法，你能得到什么启发？师生活动：学生自行解答，由老师指定学生给出答案．预设的答案：因为'S 是S 在平面内的射影,所以O S '是SO 在平面β内的射影,从而根据三垂线定理及其逆定理可知,AB SO ⊥是AB O S ⊥'的充要条件;当二面角βα-B -A 是一个锐角时,由此我们能得到作出它的平面角的另种方法:过其中一个半平面内一点S ,作另一个半平面的垂线段'SS ,过S (或'S )作棱的垂线SO (或O S '),连接O S '(或SO )即可.在图中,如果二面角βα-B -A 的大小为θ,则可以看出△AB S '与△SAB 在AB 边上的高之比为θcos ,因此这两个三角形的面积之比也为θcos ．教师讲解:要注意以下几个方面(1)该作法只适用二面角AB --αβ为锐角的情形.当二面角AB --αβ为钝角时,要将其中一个半平面延伸,即作出辅助半平面,先求出二面角AB --αβ的补角,再确定二面角AB --αβ的值.当二面角为直二面角时不作探讨．(2)这种作二面角的平面角的依据是三垂线定理及其逆定理.在学生尝试前或探究过程中,适当为学生提示必备知识,如充要条件、三垂线定理及其逆定理.(3)找垂线注意应用已知的条件以及有关垂直的判定和性质定理,按三垂线定理的条件,一条垂线垂直于二面角的一个面,还有垂直于棱的一条垂线．设计意图：本问题是在二面角βα-B -A 为锐角的前提下进行的,给出了作二面角的平面角的另种方法.教师在引导学生尝试探究．例2：如图所示三棱锥ABC S -中，面ABC SAC 面⊥,3==SC SA ,,2==BC AB 且BC AB ⊥,求二面角C AB S --的大小．师生活动：学生自行解答，由老师指定学生给出答案． 预设的答案：设O ,E 分别为AC ,AB 的中点,连接SO ,OE ,SE ,因为SA =SC ,所以SO ⊥AC ,又因为面SAC ⊥面ABC ,所以SO ⊥面ABC ,又因为OE 为△ABC ,因此SE 在平面ABC 内的射影为OE ,又因为OE 为ABC ∆的中位线,AB ⊥BC ,所以AB ⊥OE ,从而由三垂线定理可知AB ⊥SE ,因此∠SEO 为二面角SABC 的一个平面角由AB =BC =2且AB ⊥BC 可知AC =222222=+，又因为122=-=AO SA SO ,而且,121==BC EO 从而可知,45 =∠SEO 即所求二面角的大小为45．设计意图：引导学生归纳这种方法通常是先求得垂线段长与射影长,再在直角三角形中计算所求二面角的平面角的正切值．通过例2,教师引导学生注意以下方面(1)画图过程中要充分借助题目中的“等长”条件,构造等腰三角形的底边中点,进而应用等腰三角形的“三线合一”结论；(2)对作出的二面角的平面角要证明是所要求的二面角的平面角；(3)注重推理的逻辑性及格式、步骤的规范与完整.四、归纳小结，布置作业问题6：什么是半平面、二面角、二面角的棱、二面角的面、二面角的平面角、直二面角？师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.预设的答案：平面内的一条直线把一个平面分成两部分,其中的每部分都称为一个半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角,这条直线称为二面角的棱,这两个半平面称为二面角的面．如图所示,在二面角βα-l-的棱上任取一点O,以O为垂足,分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB,则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角.二面角的大小用它的平面角大小来度量,即二面角大小等于它的平面角大小.特别地,平面角是直角的二面角称为直二面角.设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加理解二面角的定义．布置作业：教科书第52页练习A1,2题．五、目标检测设计1．(教材P52练习B②改编)在正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角A1BCA的余弦值为()A ．12B ．23C ．22D ．33设计意图：考查学生对二面角的应用．2已知矩形ABCD 的两边AB ＝3，AD ＝4，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝45，则二面角A BD P的正切值为________．设计意图：考查学生对二面角的大小求法的应用．3．已知△ABC 和△BCD 均为边长为a 的等边三角形，且AD ＝32a ，则二面角A BC D 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 设计意图：考查二面角的综合应用． 参考答案：1．C [易知∠A 1BA 为二面角A 1 BC A 的平面角， cos ∠A 1BA ＝AB A 1B ＝22．]2．13[过A 作AO ⊥BD ，交BD 于O ，连接PO ，∵矩形ABCD 的两边AB ＝3，AD ＝4， P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝45，∴BD ＝32＋42＝5，PO ⊥BD ，∴∠POA 是二面角A BD P 的平面角， ∵12×BD ×AO ＝12×AB ×AD ， ∴AO ＝AB ×AD BD ＝125，∴tan ∠POA ＝P A AO ＝45125＝13．∴二面角A BD P 的正切值为13．]3．C [如图取BC 的中点为E ，连接AE ，DE ，由题意得AE ⊥BC ，DE ⊥BC ， 且AE ＝DE ＝32a ，又AD ＝32a ， ∴∠AED ＝60°，即二面角A BC D 的大小为60°．]。
二面角测量方法与实例教案
二面角是指物体表面上两个面的夹角，它是诸多测量角度中相对比较复杂的一个角度，其测量方法也相对比较困难，需要一定的数学基础以及计算机模拟技术。
下面本文将会介绍二面角的测量方法，以及一些实例教案。
一、二面角的测量方法1.定义二面角是空间中两个平面的夹角。
对于物体表面上的每一个点，我们都可以找到两个相面来计算它的二面角。
2.数学方法要计算二面角，我们需要首先找到点的正面和背面。
我们可以使用各种数学方法来计算角度。
一种常见的方法是用向量表示平面并计算它们之间的夹角。
该方法需要了解向量的基础知识，如向量的内积和外积等。
另一种方法是使用三角函数，如余弦定理或正弦定理。
这种方法需要知道三角形的三个边长或两个角度和一个边长。
如果你要计算一个平面的二面角，可以把它转化为一个三角形，然后使用上述方法来计算。
3.计算机模拟方法计算机模拟可以用来计算复杂的二面角。
这种方法使用数字模型来模拟物体表面上的每一个点，并计算其二面角度量。
数值模拟可以非常准确地计算被测量物的二面角，但需要计算机和CAD软件的支持。
二、实例教案为了更好地理解二面角的测量方法，我们可以进行一些实际的操作。
下面本文将会介绍三个实例教案，以帮助我们更好地理解二面角的测量方法。
1.实例一：采用余弦定理计算二面角在本实例中，我们将选取两个相邻的三角形，并使用余弦定理来计算它们的夹角。
要执行此操作，请按照以下步骤操作：步骤一：选择两个相邻的三角形。
步骤二：找到三角形的三个点，并计算出每个点的坐标。
步骤三：使用向量叉乘法或余弦定理来计算两个三角形的夹角。
步骤四：输出二面角的准确值。
2.实例二：使用CAD软件计算二面角在本实例中，我们将使用CAD软件来计算一个物体表面上的二面角。
要执行此操作，请按照以下步骤操作：步骤一：打开CAD软件，并导入要测量的物体模型。
步骤二：使用CAD中的测量工具来计算一个特定的二面角。
步骤三：输出二面角的准确值。
3.实例三：使用计算机模拟计算二面角在本实例中，我们将使用计算机模拟和CAD软件来计算一个物体表面上的二面角。
求二面角 (平面与平面所成的角) 高中数学教案
§2.3.2求二面角——平面与平面所成的角一、教学目标1、知识与技能（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；（3）使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。
2、过程与方法（1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；（2）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。
3、情态与价值通过揭示概念的形成、发展和应用过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力。
二、教学重点、难点。
重点：平面与平面垂直的判定；难点：如何度量二面角的大小。
三、学法与教学用具。
1、学法：实物观察，类比归纳，语言表达。
2、教学用具：二面角模型（两块硬纸板）四、教学设计（一）创设情景，揭示课题问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？（二）研探新知1、二面角的有关概念老师展示一张纸面，并对折让学生观察其状，然后引导学生用数学思维思考，并对以上问题类比，归纳出二面角的概念及记法表示（如下表所示）2、二面角的度量二面角定理地反映了两个平面相交的位置关系，如我们常说“把门开大一些”，是指二面角大一些，那我们应如何度量二两角的大小呢？师生活动：师生共同做一个小实验（预先准备好的二面角的模型）在其棱上位取一点为顶点，在两个半平面内各作一射线（如图2.3-3），通过实验操作，研探二面角大小的度量方法——二面角的平面角。
教师特别指出：（1）在表示二面角的平面角时，要求“OA⊥L”，OB⊥L；（2）∠AOB的大小与点O在L上位置无关；（3）当二面角的平面角是直角时，这两个平面的位置关系怎样？承上启下，引导学生观察，类比、自主探究，βB获得两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
高中数学教案《二面角》
高中数学教案《二面角》一、教学目标1.理解二面角的概念，掌握二面角的表示方法。
2.学会应用二面角的性质和定理解决实际问题。
3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
二、教学重难点重点：二面角的概念、表示方法及其性质。
难点：二面角性质的应用。
三、教学过程1.导入新课（1）引导学生回顾空间几何中的基本概念，如平面、直线、角等。
（2）提出问题：在空间几何中，我们学过角，那么什么是二面角呢？2.二面角的概念及表示方法（1）讲解二面角的概念：由两条相交直线与它们所在平面所夹的角叫做二面角。
（2）讲解二面角的表示方法：用两条相交直线表示，或者用它们所在平面表示。
（3）举例说明：展示一个二面角模型，引导学生观察并理解二面角的定义。
3.二面角的性质（1）讲解二面角的性质：二面角的度数范围是0°到180°。
（2）讲解二面角的性质：二面角的大小与两条相交直线的夹角大小无关。
（3）讲解二面角的性质：二面角的两个面可以互换。
4.二面角的应用（1）讲解二面角的应用：求解空间几何问题。
（2）举例说明：展示一个实际问题，引导学生运用二面角的知识解决问题。
5.练习与讨论（1）布置练习题：让学生独立完成一些关于二面角的练习题。
（2）讨论答案：引导学生互相讨论，共同解决问题。
（2）拓展延伸：引导学生思考如何将二面角的知识应用于实际问题。
四、教学反思本节课通过讲解二面角的概念、表示方法、性质及其应用，使学生掌握了二面角的基本知识。
在教学过程中，注重培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
通过练习题和讨论，学生能够灵活运用二面角的知识解决问题。
但部分学生在理解二面角的性质时仍存在困难，需要在今后的教学中加以关注。
五、教学评价1.课堂表现：观察学生在课堂上的参与度、提问回答情况等。
2.作业完成情况：检查学生作业的完成质量，了解学生对二面角知识的掌握程度。
3.测试成绩：通过测试了解学生对二面角知识的掌握情况。
4.学生反馈：收集学生对本节课教学的意见和建议，以改进教学方法。
【精品】高中数学必修2《二面角》教案
◆教案二面角教材:人教A版·普通高中课程标准实验教科书·数学·必修2【教学目标】1、知识目标：(1)使学生理解“二面角”以及“二面角平面角”的概念，能根据定义正确地作出二面角的平面角，并能初步运用它们解决相关问题。
(2)进一步培养学生把空间问题转化为平面问题的化归思想。
2、能力目标：培养学生观察分析问题的能力、空间想象的能力、类比猜想的能力从而培养学生创新的能力。
3、过程与方法目标：引导学生探索和研究“二面角”及“二面角的平面角”概念的发现、形成和发展过程，以培养学生的空间想象能力、动手能力和类比、化归、直觉、猜想等探索性思维方法。
4、情感、态度、价值观目标：(1)使学生认识到数学知识来自实践，并服务于实践，从而增强学生应用数学的意识。
(2)通过揭示概念的形成、发展、应用的过程，培养学生的辩证唯物主义观点。
(3)培养学生认真参与、积极交流的主体意识和乐于探索、勇于创新的科学精神，体验数学中转化思想的意义和价值；(4)在教学中向他们提供充分的从事数学活动的机会，如：探究活动，让学生自主探究新知，例题则采用练在讲之前，讲在关键处。
在活动中激发学生的学习潜能，促进他们真正理解和掌握基本的数学知识技能、数学思想方法，获得广泛的数学活动经验，提高综合能力，学会学习，进一步在意志力、自信心、理性精神等情感与态度方面得到良好的发展。
【教学重点与难点】重点：“二面角”及“二面角的平面角”的概念和作法。
难点：“二面角的平面角”概念的形成过程以及如何根据条件用定义作出二面角的平面角。
【教学方法与手段】(1)教学方法：采用引导发现法、启发式探索讨论相结的教学方法。
(2)教学手段：借助实物模型，和利用多媒体制作课件来辅助教学。
通过上述方法与手段，再现知识的产生过程，突破学生在旧知和新知形成过程中的障碍,激发学生学习兴趣，发挥学生的主体作用；同时通过学生参与动手操作，亲身体验,促进了学生思维能力的发展,使教学活动真正体现“以学生发展为本”的思想。
【授课教案】二面角-教学设计(二面角)
9.3.3平面与平面所成的角一、教材分析本节课选自高等教育出版社出版的《数学·基础模块·下册》第九章立体几何第三节直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角的第三课时的内容.本课内容是在学习了空间中两异面直线所成的角、直线与平面所成的角之后，引入二面角的概念，完善了空间角的体系.二面角也是进一步学习两个平面垂直的基础，因此具有承上启下的作用.其次，通过将空间角转化为平面角进行求解，其蕴含的化归思想是学生在学习和生活中必不可少的数学素养.二、学情分析✧授课对象：高二伟星模具专业学生，清一色男生，共30人. 多数学生基础扎实，思维比较活跃，部分学生基础比较薄弱，缺乏良好的学习习惯.✧认知方面：已学习了异面直线所成角及线面角后，能初步把空间问题转化为平面问题进行求解；✧能力方面：具备一定的分析，归纳的能力，但空间想象力，主动建构知识能力有待提高；✧情感方面：喜欢小组合作学习，有主动探究知识的意识.三、教学目标✧知识与技能正确理解二面角及二面角的平面角的概念，初步掌握二面角大小的求法.✧过程与方法体验转化的数学思想，提升空间想象能力，增强应用数学的意识.✧情感、态度与价值观养成生勤于思考乐于探究的学习习惯，体会数学之美；在和谐的学习氛围和活动中，进一步养成合作交流的意识和能力.四、教学重难点重点：二面角的平面角的概念及求解．难点：二面角的平面角的确定．关键点：充分理解二面角的平面角的概念.李邦河院士说过：“数学根本上是玩概念，不是技巧，技巧不足道也！” 教学方法：实验探究法、问题驱动法一切为了学生，高度尊重学生，我重点落在引导学生观察分析，动手操作，实验验证，探究知识的形成过程，培养学生的学习能力.问题驱动法，通过问题引导学生对概念进行深入的剖析与理解，培养学生会学. 学习方法：自主探究、合作学习以二面角的平面角的概念的发生、发展过程为核心，以长方形纸片和正方体模型为主要载体，玩纸片、玩模型、玩几何画板,玩中学，学中悟. 培养学生的合作意识，鼓励学生善学．实现让学生在课堂中“玩”数学.学生的想象力和创造力得到充分发挥,学生乐学其中.六、课前准备教师：制作《认识二面角》课前微课，设计课前诊断调查，并发布；制作教学课件、学案，利用调查问卷设计课堂检测题和自评调查； 收集课前反映出的调查数据，学生课前学习情况及遗留的问题； 制作《正方体中的空间角》课后微课；预约信息化教学教室，准备正方体、三棱锥、四棱锥模型.学生：课前以生活中有哪些二面角实例，为什么要这么设计收集资料上交班级宣传组成员制作成照片集；观看前置微课，完成导学案中的课前热身； 参与课前诊断测试调查； 学生分组，确定各小组组长.七、课时安排1课时(45分钟)八、信息化手段应用九、教学流程自主学习课后延伸突破难点 能力提升检测反馈 调查自评辅助教学 提高效率环节一：创境导入环节二：合作探究环节三：实战演练环节四：小结作业 微课制作课 堂 教 学 播放《走进二面角》图片集引入课题走进专业，引出二面角的平面角概念课 后 延 伸前 置 学习动手画线，操作几何画板理解概念翻动纸片探二面角的平面角范围寻找二面角的平面角从三组题中选取一组完成，学生讲解展示（几何画板3D 模型及实物模型）强调抒写格式，归纳解题三步骤解决实际问题，强化知识应用小结并完成在线反思评价，布置作业学生自主学习二面角的定义与表示知识整合观看课后微课知识梳理制作二面角思维导图诊断练习 学生独立完成学案，平台交流互动课堂诊断，体验成功的喜悦十、教学过程第一流程前置学习认识二面角教师活动学生活动设计意图1.将前置微课《认识二面角》视频上传至数学学习群（详见前置微课教学设计【附件1】）.2.下发导学案（详见【附件3】）,配有课前诊断的二维码.3.针对学生的困惑及数据反馈，师生互动.4.下发给每组一张积分表班级_______ 第____组组长_______组员课前诊断20分课堂检测30分学案得分20分学习自评30分展示加分总分①观看微课自主学习；②完成导学案中课前热身任务：填一填，画一画，做一做，测一测；③扫一扫进入课前诊断测试调查，及时获取得分；④疑难问题，在群里交流；⑤组长统计组内成员课前诊断分数.课前微课，学生养成自主学习的能力和主动学习的意识；导学案辅助学习，把知识落到实处；借助交流平台，及时清除学习上的拦路虎；课前诊断，量化考察学习效果，便于教师有针对性的开展教学；积分表，小组竞技，督促、激励同时发挥组员之间督促第二流程课堂实施走进专业1. 出示实物模型并展示图片并讲述普通车刀刀头的各个刀面与水平面、垂直面所成角度对车削加工的质量、效率影响很大.2.播放专业中如何使用万能角度尺测量二面角的大小视频.3.剖析所蕴含的数学原理，从模型中抽离出二面角及二面角的平面角.点出将空间问题转化为平面问题的数学思想.4.师生共同总结：二面角的平面角的概念 文字语言:过棱上的一点，分别在二面角的两个面内作 与棱垂直的射线，以这两条射线为边的最小正角 叫做二面角的平面角. 图形语言 (制作对应的动画效果) : 转化为相应的数学符号语言: ∵l 是二面角的棱，AO ⊥l ，BO ⊥l ∴∠AOB 就是二面角α−l −β的平面角5.展示如何制作45°二面角的图片 提出质疑：（1）他们测量的方法都正确吗？ （2）有什么要注意的吗？ 强调：三角板45°角顶点在棱上， 角两边要与棱都垂直. 出示GeoGebra 软件制作的3D 动画（三角板所在的面垂直于两个半平面得到的两条交线，所构成的平面角就是这个二面角的平面角.） 结论：二面角的大小用它的平面角来度量.l βαO BA合作探究1请同学们拿出课前制作的二面角画一画：作出这个二面角的平面角.想一想：这个二面角的平面角有多少个？这些二面角的平面角的大小关系如何？展示学生作品，追问到底有多少个？猜想：一个二面角的平面角有无数个，且相等. 实验验证动手动脑合作探究2：二面角的取值范围演示：笔记本电脑以及门和墙面所构成的二面角.提问：打开和关闭时，二面角的大小发生什么变化? 动动手：探究二面角的取值范围（提示：找到这个二面角的一个平面角来探究）结论：二面角的平面角的范围是[0°，180°].平面角是直角的二面角叫做直二面角.用GeoGebra软件演示二面角的大小变化，验证结论，并顺势提问平面与平面所成的角的取值范围又是多少呢？两位同学上来展示并得出二面角的取值范围[0°，180°].学生大胆猜想，思维碰撞中，得出平面与平面所成的角的直取范围火眼金睛从A组，B组，C组题中选取一组题完成.（结合几何画板中的模型，制作了全方位旋转，或者借助立体几何实物模型）A组题正方体正方体B组题正方体正三棱锥C组题正方体正四棱锥你选择_____组题1.∠___是二面角_________的平面角2.∠___是二面角_________的平面角引导学生总结寻找二面角的平面角的顶点的方法，并提出不是特殊面的二面角的平面角该怎么找？例题讲解在棱长为a的正方体ABCD−A1B1C1D1中，求二面角C1-BD-C 的正切值.教师讲解并板书解题过程.教师突出解题步骤的关键字点明思想方法：化归思想. 学以致用已知模型的棱长都为2m，请运用所学的知识求出模型（正四棱锥）的侧面和地面所成的角的正弦值.分析：首先实际问题转化为数学问题，抽象出数学几何模型，进行作图标字母，再求解.教师利用希沃授课助手，传送个别学生的解题过程，供大家点评. 学生独立完成，上台分享互相点评课堂检测：分值比拼每题5分共6题满分30分，限时5分钟.第四环节内化延伸 (约5min)教学活动学生活动设计意图小结学习归来话收获！（引导学生从知识、方法、思想、反思四个层面小结.）学生对整个学习情况自评评选出优胜组。
《二面角》教案
《二面角》教案云南玉溪工业财贸学校魏华新一、目的要求1、认知目标：（1）使学生正确理解二面角及其平面角的概念，并能初步运用它们解决实际问题。
（2）进一步培养学生把空间问题转化为平面问题的解题思想。
2、能力目标：以培养学生的创新能力和动手能力为重点。
(1)突出对类比、直觉、发散等探索性思维的培养，从而提高学生的创新能力。
（2）通过对图形的作图、观察、分析和比较来强化学生的动手操作和动脑的能力。
3、教育目标：(1)使学生认识到数学知识来自实践，并服务于实践，从而增强学生应用数学的意识。
(2)通过揭示面面之间的内在联系，进一步使学生建立“联系”的辩证唯物主义观点。
二、重点、难点：（1）二面角的平面角概念，不同方位二面角的平面角的直观图的画法；（2）寻找二面角的平面角的方法的发现过程。
三、教学过程：（一）、二面角1、提示问题产生的背景：问题情境1、在修筑水库的拦水坝时，为了牢固耐用而又经济，必须考虑拦水坝坡面与地面（平面与平面相交）要组成适当的角度。
（由实例引入二面角的概念），接着又问学生还能举出一些二面角的实例吗？问题情境2、我们应如何定量研究两个相交平面之间的相对位置呢？通过这二个问题，打开了学生的原有认知结构，为知识的创新做好了准备；同时也让学生领会到，二面角这一概念的产生是因为研究两相交平面的相对位置的需要，从而明确新课题研究的必要性，触发学生积极思维活动的展开。
2、展现概念形成过程。
问题情境3、应如何定义两相交平面所构成的角呢？创设这个问题情境，为学生创新思维的展开提供了空间。
结合电脑演示，引导学生回忆平面几何中“角”这一概念的引入过程。
问题情境4、通过类比，同学们能给出二面角的概念吗？引导学生将平面几何中角这一概念的引入过程，通过类比，迁移到两相交平面所成角（二面角）的引入上，从而实现知识的创新。
教师先肯定学生的创新结果，给予积极的评价，强化他们的创新意识。
由教师版书于上图表中右侧。
由教师出示预先准备好的二面角的模型，要求学生画出二面角不同方位不同角度的直观图，为了帮助学生能正确得画出不同方位和不同角度的二面角，教师预先用《数理平台》制作好的“《课件》《不同方位和不同角度》”（点击此处双引号的文字可打开课件《不同方位和不同角度的二面角》）的二面角的直观图。
“二面角”教学设计
“二面角”教学设计第一篇：“二面角”教学设计“二面角”教学设计一、教学内容解析“二面角”在人教版新课标教材《必修2》第二章第三节第二小节的一个子内容，它的主要用途在于去定义两平面垂直关系，同时它也是继讨论了直线与直线所成的角、直线与平面所成的角之后的另一种自然的空间角。
在《必修2》中教材没有例题进行二面角的计算，只是在小节习题中以正方体为背景设计了一个题，在《选修2-1》的第三章第二节中教材着重的加强了利用空间向量的工具去解决二面角的计算。
“二面角”的内容在以前的大纲版教材中是专设一节来进行详细的介绍，以及对二面角平面角的找寻进行了细致的划分，诸如：定义法，三垂线定理法等。
对比两个版本教材的编写情况可以看出，本节在新课程中主要起到的作用是更好地理解两平面垂直的关系，而且对前面两者——直线与直线的垂直，直线与平面的垂直起着衔接和完善整个关系体系的作用。
故而，“二面角”这节的重点应该是理解概念，以及通过学习本节让学生在各自的思维中构建整个知识脉络，建立相关关系。
二、教学目标设置在《说明》中对《必修2》教材第二章“点、直线、平面之间的位置关系”的目标设置为能用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并对某些结论进行论证，以及以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定。
又在《说明》中对《选修2-1》教材第三章“空间向量与立体几何”的目标设置为能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用，足以见得，对于二面角这个子内容的作用就是过渡，提出面面垂直的定义。
故而，在本节我设计的目标要求如下：（1）引导学生探索和研究两平面垂直应该如何定义，在概念形成的过程中，使得学生认同学习“二面角”概念的必要，并发展学生的思维。
（2）在经历概念形成的过程中去理解二面角平面的作法，并掌握。
三、学生学情分析在学习“二面角”之前，学生已经学习了空间中两直线的垂直定义，两直线所成角的定义，直线与平面垂直的定义和直线与平面所成角的定义，至此学生已经具备一定的空间想象力和概括能力，在这里很自然的能够联想到缺少了两个平面垂直的关系，两个平面的垂直是生活中常见的形式，学生能够去感受，而数学是严格的，也就自然会想该怎样去定义这种关系，根据前两种关系从“角度”出发的描述形式，“二面角”是呼之欲出，是势在必然。
02 教学设计_二面角(第1课时)(2)
1.2.4 二面角(1)本节课选自《2019人教B 版高中数学选择性必修第一册》第一章《空间向量与立体几何》，本节主要学习二面角。
学生在学习了异面直线所成角的概念及线面角的基础上，对空间角的问题有了一定的经验，二面角的问题，依然按照将空间问题化为平面问题、将立体几何问题化为空间向量运算问题的基本思路展开。
为培养学生直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算的核心素养提供舞台。
1.教学重点：会用向量法解决二面角的计算问题2.教学难点：二面角的概念.多媒体般于水平面呈一定角度，如图（2）所示，很多屋顶都是二面角的形象，你能找到日常生活中更多类似的例子吗？怎样刻画平面与平面所成的角呢？1.二面角及其度量1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面B1C1DA与平面BCDA所成二面角的大小为.答案:45°2.两个平面相交时,它们所成角的取值范围是什么?提示:(0°,90°]问题2：如图所示，设S为二面角α−AB−β的半平面α上一点，过点S 做半平面β的垂线SS′，设O为棱AB上一点（1）判断SO⊥AB是S′O⊥AB的什么条件；（2）由二面角的作法，你能得到什么启发？提示：（1）充要条件（2）若二面角α−AB−β的大小为θ，则ΔS′AB的面积与ΔSAB的面积比就是二面角的余弦，即：SΔS′ABSΔSAB=cosθ问题3：如果n1, n2分别是平面α1, α2的一个法向量,设α1与α2所成角的大小为θ，通过作图讨论θ与<n1, n2>的关系.2.用空间向量求二面角的大小(1)如果n1,n2分别是平面α1,α2的一个法向量,设α1与α2所成角的大小为θ,则有θ=<n1,n2>或θ=π-<n1,n2>,特别地,sin θ=sin<n1,n2>.(2)设二面角α-l-β为θ,平面α,β的法向量分别为n1,n2,有|cos θ|=|cos <n 1,n 2>|=|n ·n 2||n1||n 2|成立.点睛： 利用公式cos <n 1,n 2>=n 1·n 2|n 1||n 2|(n 1,n 2分别为两平面的法向量)进行求解,注意<n 1,n 2>与二面角大小的关系,是相等还是互补,需结合图形进行判断.如图(2)(4)中<n 1,n 2>就是二面角α-l -β的平面角的补角;如图(1)(3)中<n 1,n 2>就是二面角α-l -β的平面角.3.判断(1)二面角的大小就是该二面角两个半平面的法向量的夹角.( ) (2)若二面角两个半平面的法向量的夹角为120°,则该二面角的大小等于60°或120°.( ) 答案:(1)× (2)√4.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,点E 为BB 1的中点,则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的角的余弦值为( ) A .12 B .23 C .√33 D .√22解：以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ,设棱长为1,则A 1(0,0,1),E (1,0,12),D (0,1,0),∴A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,-1),A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-12),设平面A1ED的一个法向量为n1=(x,y,z),则{y-z=0,x-12z=0,令x=1,则y=2,z=2, ∴n1=(1,2,2).∵平面ABCD的一个法向量为n2=(0,0,1),∴cos<n1,n2>=23×1=23,即平面A1ED与平面ABCD所成角的余弦值为23.答案:B二、典例解析例1 如图所示,PC⊥平面ABC,AB=BC=CA=PC,求二面角B-P A-C的平面角的正切值.分析由PC⊥平面ABC,知平面ABC⊥平面P AC,从而B在平面P AC上的射影在AC上,由此可用三垂线定理作出二面角的平面角.解:∵PC⊥平面ABC,∴平面P AC⊥平面ABC,交线为AC.作BD⊥AC于D点,据面面垂直性质定理,BD⊥平面P AC,作DE⊥P A于E点,连接BE,据三垂线定理,则BE⊥P A,从而∠BED是二面角B-P A-C的平面角.设PC=a,依题意知△ABC是边长为a的正三角形,∴D是AC的中点,且BD=√32a.∵PC=CA=a,∠PCA=90°,∴∠P AC=45°,∴在Rt△DEA中,ED=AD·sin 45°=a2·√22=√24a,则在Rt△BED中,tan∠BED=BDED =2√3√2=√6.故二面角B-P A-C的平面角的正切值为√6.1.本题解法使用了三垂线定理来作出二面角的平面角后,再用解三角形的方法来求解.2.二面角的定义求法主要有:(1)由定义作出二面角的平面角;(2)利用三垂线定理(逆定理)作出二面角的平面角;(3)作二面角棱的垂面,则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角.跟踪训练1 如图,已知二面角α-a-β等于120°,P A⊥α,A∈α,PB⊥β,B∈β,求∠APB的大小.解:设平面P AOB∩α=OA,平面P AOB∩β=OB.∵P A⊥α,a⊂α,∴P A⊥a.同理PB⊥a.∴a⊥平面P AOB.又∵OA⊂平面P AOB,∴a⊥OA.同理a⊥OB.∴∠AOB是二面角α-a-β的平面角.在四边形P AOB中,∠AOB=120°,∠P AO=∠PBO=90°,所以∠APB=60°.例2：如图所示，已知直三棱柱ABC−A1B1C1中,∠ABC=900,AB=BC=1,AA1=2,且D是AA1的中点.求平面BDC与平面BD C1所成角的大小.解:以题意，CA,CB,C C1两两相互垂直。
高中数学教案《二面角》
高中数学教案《二面角》高中数学教案《二面角》作为一名为他人授业解惑的教育工作者，就不得不需要编写教案，教案有助于顺利而有效地开展教学活动。
我们应该怎么写教案呢？以下是小编精心整理的高中数学教案《二面角》，希望对大家有所帮助。
一、教材分析1、教材地位和作用：二面角是我们日常生活中经常见到的、很普通的一个空间图形。
“二面角”是人教版《数学》第二册（下B）中9.7的内容。
它是在学生学过两条异面直线所成的角、直线和平面所成角、又要重点研究的一种空间的角，它是为了研究两个平面的垂直而提出的一个概念，也是学生进一步研究多面体的基础。
因此，它起着承上启下的作用。
通过本节课的学习还对学生系统地掌握直线和平面的知识乃至于创新能力的培养都具有十分重要的意义。
2、教学目标:知识目标：（1）正确理解二面角及其平面角的概念，并能初步运用它们解决实际问题。
（2）进一步培养学生把空间问题转化为平面问题的化归思想。
能力目标：(1)突出对类比、直觉、发散等探索性思维的培养，从而提高学生的创新能力。
（2）通过对图形的观察、分析、比较和操作来强化学生的动手操作能力。
德育目标：(1)使学生认识到数学知识来自实践，并服务于实践，增强学生应用数学的意识(2)通过揭示线线、线面、面面之间的内在联系，进一步培养学生联系的辩证唯物主义观点。
情感目标：在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，拉近学生之间、师生之间的情感距离。
3、重点、难点：重点：“二面角”和“二面角的平面角”的概念难点：“二面角的平面角”概念的形成过程二、教法分析1、教学方法：在引入课题时，我采用多媒体、实物演示法，在新课探究中采用问题启导、活动探究和类比发现法，在形成技能时以训练法、探究研讨法为主。
２、教学控制与调节的措施：本节课由于充分运用了多媒体和实物教具，预计学生对二面角及二面角平面角的概念能够理解，根据学生及教学的实际情况，估计二面角的具体求法一节课内完成有一定的困难，所以将其放在下节课。
二面角观摩课教案
二面角观摩课教案一、教学目标1. 让学生了解二面角的定义及其性质。
2. 培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生对空间几何图形的认识和空间想象能力。
二、教学内容1. 二面角的定义2. 二面角的性质3. 二面角的计算4. 二面角在实际问题中的应用5. 练习与拓展三、教学重点与难点1. 重点：二面角的定义、性质及其计算。
2. 难点：二面角在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究二面角的性质。
2. 利用几何模型，直观展示二面角的特点。
3. 运用案例分析法，让学生学会将二面角应用于实际问题。
4. 开展小组讨论，培养学生合作学习的能力。
五、教学过程1. 导入：利用生活中的实例，引导学生关注二面角。
2. 新课导入：介绍二面角的定义，引导学生理解二面角的概念。
3. 性质探讨：通过几何模型，展示二面角的性质，引导学生发现并证明二面角的性质。
4. 计算方法：讲解二面角的计算方法，让学生学会计算二面角。
5. 实际应用：分析实际问题，引导学生运用二面角知识解决问题。
6. 练习与拓展：布置相关练习题，巩固所学知识，拓展学生思维。
7. 总结：对本节课内容进行总结，强调二面角的重要性和应用价值。
8. 作业布置：布置适量作业，巩固所学知识。
9. 课后反思：教师对本节课的教学进行反思，总结经验教训，不断提高教学质量。
六、教学评价1. 评价目标：学生能准确理解二面角的定义和性质。
学生能够运用二面角的知识解决相关问题。
学生能够通过实例展示二面角在现实生活中的应用。
2. 评价方法：课堂提问：通过提问检查学生对二面角基本概念的理解。
练习题：通过完成练习题评估学生对二面角计算和应用的掌握程度。
小组讨论：通过小组内的讨论评估学生的合作学习和问题解决能力。
七、教学资源1. 教具准备：二面角模型：用于直观展示二面角的结构。
投影仪：用于展示几何图形的动态变化。
练习题库：用于课后练习和评估。
2. 教学材料：教案手册：提供详细的授课步骤和练习题。
《二面角》教学设计及反思
《二面角》教学设计及反思一、教材分析二面角及其平面角的概念是立体几何最重要的概念之一。
二面角的概念发展、完善了空间角的概念；而二面角的平面角不但定量描述了两相交平面的相对位置，同时它也是空间中线线、线面、面面垂直关系的一个汇集点。
搞好本节课的学习，对学生系统地掌握直线和平面的知识乃至于创新能力的培养都具有十分重要的意义。
教学大纲明确要求要让学生掌握二面角及其平面角的概念和运用。
二、学情分析学生学习了线与线、线与面、面与面的平行与垂直问题，形成了一定的认知结构，并且又学习了异面直线所成的角、线现面所成的角，所以，有了一定的基础。
但是二面角与其它知识不一样，学生理解有困难，对学生来说作二面角的平面角又是一个很难的事，我们就要细分析、多引导，让学生自己去发现并解决。
三、教学目标知识与技能：（1）使学生正确理解二面角及其平面角的概念，并能初步运用它们解决实际问题。
（2）进一步培养学生把空间问题转化为平面问题的化归思想。
能力与方法：以培养学生的创新能力和动手能力为重点。
(1)突出对类比、直觉、发散等探索性思维的培养，从而提高学生的创新能力。
（2）通过对图形的观察、分析、比较和操作来强化学生的动手操作能力。
情感与态度：(1)使学生认识到数学知识来自实践，并服务于实践，从而增强学生应用数学的意识。
(2)通过揭示线线、线面、面面之间的内在联系，进一步培养学生联系的辩证唯物主义观点。
四、教学重难点1、二面角的平面角概念的形成过程2、寻找二面角的平面角的方法的发现过程五、教学过程1、二面角概念的引入师：我们知道，面与面的位置关系分相交和平行两种，对于两个平面平行的研究已经很深刻了，现在我们来探讨两个平面相交的问题让学生观察老师手里的教具（用两块硬纸板做成的大小可变的“二面角”）的变化。
师：你观察到了什么？生：好象有一个角在不断改变。
师：对，它就是我们今天要学习的二面角；二面角在生产生活中随处可见，水坝面与水平面所成的角，卫星的运行轨道与赤道平面所成的角都给我们二面角的形象。
“二面角”教学设计
“二面角”教学设计一、教学内容解析“二面角”在人教版新课标教材《必修2》第二章第三节第二小节的一个子内容，它的主要用途在于去定义两平面垂直关系，同时它也是继讨论了直线与直线所成的角、直线与平面所成的角之后的另一种自然的空间角。
在《必修2》中教材没有例题进行二面角的计算，只是在小节习题中以正方体为背景设计了一个题，在《选修2-1》的第三章第二节中教材着重的加强了利用空间向量的工具去解决二面角的计算。
“二面角”的内容在以前的大纲版教材中是专设一节来进行详细的介绍，以及对二面角平面角的找寻进行了细致的划分，诸如：定义法，三垂线定理法等。
对比两个版本教材的编写情况可以看出，本节在新课程中主要起到的作用是更好地理解两平面垂直的关系，而且对前面两者——直线与直线的垂直，直线与平面的垂直起着衔接和完善整个关系体系的作用。
故而，“二面角”这节的重点应该是理解概念，以及通过学习本节让学生在各自的思维中构建整个知识脉络，建立相关关系。
二、教学目标设置在《说明》中对《必修2》教材第二章“点、直线、平面之间的位置关系”的目标设置为能用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并对某些结论进行论证，以及以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定。
又在《说明》中对《选修2-1》教材第三章“空间向量与立体几何”的目标设置为能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用，足以见得，对于二面角这个子内容的作用就是过渡，提出面面垂直的定义。
故而，在本节我设计的目标要求如下：（1）引导学生探索和研究两平面垂直应该如何定义，在概念形成的过程中，使得学生认同学习“二面角”概念的必要，并发展学生的思维。
（2）在经历概念形成的过程中去理解二面角平面的作法，并掌握。
三、学生学情分析在学习“二面角”之前，学生已经学习了空间中两直线的垂直定义，两直线所成角的定义，直线与平面垂直的定义和直线与平面所成角的定义，至此学生已经具备一定的空间想象力和概括能力，在这里很自然的能够联想到缺少了两个平面垂直的关系，两个平面的垂直是生活中常见的形式，学生能够去感受，而数学是严格的，也就自然会想该怎样去定义这种关系，根据前两种关系从“角度”出发的描述形式，“二面角”是呼之欲出，是势在必然。
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二面角教学设计
教学目标：
1．使学生了解二面角及其平面角的概念、作法，并能初步运用定义法和三垂线法求二面角的平面角，二面角及其平面角的知识解决实际问题。
2．引导学生探索和研究“二面角的平面角”应该如何定义，在概念形成的过程中，发展学生的思维能力．
能力目标：
培养学生的观察分析能力、空间想象能力和猜想能力，进而培养学生的创造能力。
培养学生的数形结合和把空间问题转化为平面问题的化归思想。
教学重点和难点
重点：二面角和二面角的平面角的概念；
难点：是“二面角的平面角”概念形成的过程．
教学设计过程
一、复习引入
学习过平面几何中的角，在立体几何中，学习“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”，分别为线线角，线面角，在现实生活中要研究面面角.
引入现实实例：1人造地球卫星绕地球旋转，卫星的轨道平面和地球赤道平面成一定的角度．2.安装太阳能热水器的时候，集热板与地面成一定的角度.
二、新课讲授
1.二面角的概念
①问题一：如何给二面角下定义？
创设这个问题情境，为学生创新思维的展开提供了空间，引导学生回忆平面几何中“角”这一概念的引入过程，用类比的方法给二面角下定义。
②问题二：观察以上几个图形，它们有什么异同？（电脑出示图形）（引导学生对图形进行观察、分析、比较，发现各二面角的“倾斜程度”即大小不一样）。
教师及时提问并置疑：二面角是否有大小？用什么方法度量？能否转化为平面角来求？这样就从度量二面角大小的需要上揭示了二面角的平面角概念产生的背景。
先回顾度量“角”的方法及使用的工具<量角器>，再让学生思考并展开讨论，教师提示、引导“异面直线所成的角”、“斜线与平面所成的角”的度量方法——转化为一个平面角，让学生尝试二面角的度量方法，结合学生情况，引导思考，解决问题。
）
2．二面角的平面角
问题一：我们怎样来度量一个二面角的大小呢?
提出猜想：二面角的大小可通过平面角的角来定义。
对学生提出的猜想，教师要给予肯定，以培养学生大胆猜想的意识和习惯。
问题二：那么，这个角的顶点及两边应如何确定呢？这个角的大小是唯一确定吗？教师让学生进行分组讨论，用现成的教具“课本和两只笔”为模型进行实践。
用几何画板演示两支笔的位置，如何放置才能使角度唯一确定？使学生在不断的体验、思索中发现二面角的平面角.结合课本定义，让学生用投影仪展示二面角
D B C A 的平面角，指出他们的优点和不足，最后老师用总结。
经过师生共同研讨，学生不仅学会了二面角的平面角的定义，而且懂得了为什么要这样定义。
问题三：平面角度量二面角，那这个平面角的顶点和两边应放在什么位置? 设计这个问题让学生尝试二面角的度量方法，结合学生情况，引导思考，解决问题。
二面角的平面角的定义
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
应该根据具体问题的情况抓住“二面角的平面角”的三个要素：
（1）确定二面角的棱上一点；
（2）经过这点分别在两个半平面内引射线；
（3）所引的射线都垂直于棱。
二面角的平面角的取值范围： 1800≤≤θ
直二面角：平面角是直角的二面角是直二面角
三、例题分析
例1：如图所示，在四面体ABCD 中，ΔABD,ΔACD,ΔBCD,ΔABC 都全等，且
AB=AC= ,BC=2,求二面角A-BC-D 的平面角的大小.
提炼方法：利用定义法求解二面角的平面角步骤：一作二证三计算
变式训练：一张边长为10厘米的正三角形纸片BC ，以它的高AD 为折痕，折成一个1200二面角，求此时B 、C 两点间的距离。
四、课堂小结
知识点：
(1)二面角的定义
(2）二面角的平面角的定义
(3)作二面角的平面角的方法
(4)解二面角问题的步骤：①作图；②证明；③计算
数学思想方法：
两个数学思想：将空间向平面转化、类比的数学思想。