X03-单自由度系统受迫振动C

机械振动多媒体教材（补）
第3章单自由度系统受迫振动
宣海军
marine@
浙江大学化工机械研究所高速旋转机械实验室
2009年3月
Mechanical Vibrations (Appendix) Chapter 3 –Forced Vibration of Single Degree of Freedom Systems
Associate prof. XUAN Haijun
Email: marine@
HiRoMa. Lab., Institute of Chemical Machinery, ZJU
03/2009
3.5MATLAB在单自由度受迫振动分析中的应用
/Examples using MATLAB
% Ex3_1.m
f_0 = F0/m;
x0_dot = 0.1;
t=0:0.005:2;
x = x0_dot*sin(wn.*t)./wn+ (x0 -f_0/(wn^2-w^2))*cos(wn.*t)...
+ f_0/(wn^2-w^2)*cos(w.*t);
ylabel('x(t)');
title('Example2-1')
% Ex3_2.m
= [0: 0.01: 4];
x0 = [0.1; 0.1];
[t,x] = ode23('dfunc3_2', tspan, x0);
disp(' t x(t) xd(t)');
x]);
plot(t,x(:,1));
xlabel('t');
ylabel('x(t)');
title('Example3-2');
% dfunc3_2.m
function f = dfunc2_2(t,x)
f = zeros(2,1);
f(1) = x(2);
f(2) = 100*sin(30*t)/5 -9.81*0.5*sign(x(2)) -(2000/5)*x(1);
Find the Fourier coefficients by a numerical integration procedure.
∑==
N
i i
F
N
a 102…,2,1,2cos
2
==
∑j t j F a N i
π复合梯形积分公式：。

方法: Dividing the time axis into a number of discrete points and using a simple variation F(t) during each step.
3.5 Examples using Matlab
也可采用Method 3 求解例3-6，将Fig.1 中的激扰力分解成以 下Fig.5所示的斜波脉 冲激扰载荷.
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Fig.5
Dr. Xuan Haijun


3.5 Examples using Matlab
例3-6的求解结果如下Fig.6所示：（其中：输入参数定义和具体数值见Matlab 程序头部说明。

蓝线-位移x，红线-速度dx）
Fig.6
32
Dr. Xuan Haijun


补充材料:
3.6
Engineering examples
33
Dr. Xuan Haijun


3.6 Engineering examples
例3-7, 如图所示混流式水轮机，叶轮重量为250 Kg，不平衡量me=5Kg-mm， 叶轮与外壳的径向间隙为5mm，水轮机工作转速范围为600 ~ 6000 r/min。

假设钢轴的轴承支承端固支。

试求：钢轴的直径，避免叶轮与 外壳发生碰擦。

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Dr. Xuan Haijun


3.6 Engineering examples
解： 由不平衡量引起的最大动挠度为（c = 0）：
f max
meω 2 meω 2 = = 2 k − Mω k (1 − s 2 )
(1)
已知，me=5 Kg-mm，M = 250 Kg，fmax=5 mm。

轴的旋转角速度ω范围为：
2π 2π = 200π rad/s 600r/min = 600 × = 20π rad/s to 6000r/min = 6000 × 60 60
k k 2 = = 0.004k ( rad/s ) 水轮机横向振动的固有频率为： ωn = M 250
2
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3.6 Engineering examples
当 ω = 20π rad/s 时，由(1)式 解得： k = 10.04 × 104 π 2 N/m 当 ω = 200π rad/s 时，由(1)式 0.005 = 解得： k = 10.04 × 106 π 2 N/m 假设水轮机工作在一阶临界转速以上，取 ω
0.005 =
5.0 × 10 × ( 20π )
−3
2
⎛ ( 20π )2 ⎞ k ⎜1 − ⎟ ⎜ 0.004k ⎟ ⎝ ⎠
−3
2π 2 = k − 105 π 2
5.0 × 10 × ( 200π ) ⎛ ( 200π )2 ⎞ k ⎜1 − ⎟ ⎜ ⎟ 0.004 k ⎝ ⎠
2
200π 2 = k − 107 π 2
ωn 较大值，转子将自动对中。

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4 ⎛ ⎞ 3 EI 3 E π d 因此，可以取 k = 10.04 × 104 π 2 N/m 则由 k = = 3 ⎜ ⎟ 3 l l ⎝ 64 ⎠ 3 1/ 4 4 2 3 1/ 4 ⎛ 64kl ⎞ ⎛ 64 × 10.04 × 10 π × 2 ⎞ 可得：d = ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ = 0.127m 11 3π × 2.07 × 10 ⎝ 3π E ⎠ ⎝ ⎠ Dr. Xuan Haijun


3.6 Engineering examples
补充习题3-1, 如图所示翼尖挂载导弹的战斗机，假设其机翼可等效成长度为 l = 10 m，EI = 15×109 N-m2悬臂梁，机翼、翼尖导弹及挂架可以等效成翼尖 质量m = 2500 kg。

若导弹发射时产生的反作用力近似等于幅值F = 50 N-s的 脉冲载荷，试求机翼翼尖的振动响应。

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3.5 Examples using Matlab
补充习题3-2, Using Ex3_5.m, find the steady-state response of a
viscously damped system with m=1 kg, k=400 N/m, and c=5 N-s/m subject to the periodic force shown in following figure.
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第3章 简谐力激励的强迫振动
作业
补充习题3-1 , 3-2
预习
第4章 多自由度系统振动
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