利用分块矩阵求解非齐次线性方程组
分块矩阵的应用 毕业论文
本科毕业论文题目分块矩阵的应用院别数学与信息科学学院专业数学与应用数学指导教师评阅教师班级姓名学号2011 年 5 月16 日分块矩阵的应用目录摘要 (Ⅰ)Abstract (Ⅰ)1引言 (1)2分块矩阵及其性质 (1)2.1分块矩阵 (1)2.2分块矩阵的性质及其推论 (1)2.3分块矩阵常见的分块方法 (3)3分块矩阵在证明方面的应用 (4)3.1分块矩阵在矩阵的秩的相关证明中的应用 (4)3.2分块矩阵在线性相关性及矩阵的分解中的应用 (5)3.3分块矩阵在相似问题中的应用 (6)4分块矩阵在计算方面的应用 (7)4.1分块矩阵在行列式计算方面的应用 (7)4.2分块矩阵在求逆矩阵方面的应用 (9)4.3分块矩阵在求解矩阵方程方面的应用 (11)4.4分块矩阵在求解非齐次线性方程组中的应用 (12)结束语 (13)参考文献 (14)致谢 (15)内江师范学院本科毕业论文摘要：分块矩阵是线性代数中的一个重要工具，在理论研究和实践计算方面都有广泛的应用．特别是在处理阶数较高的矩阵时，分块之后，可以使矩阵的结构更加清晰明朗，从而使一些矩阵的相关表达和计算简单化，进一步用来解决很多与矩阵相关的问题．在分析和总结分块矩阵的概念和性质的基础上，提出了分块矩阵在计算和证明方面的应用，主要包括矩阵的秩、矩阵的相关性理论、相似问题、以及行列式的计算、逆矩阵的求解、以及矩阵方程等方面．关键词：分块矩阵；矩阵分块；证明；计算Abstract：The partitioned matrix is an important tool of linear algebra, in theoretical study and practical calculation are widely used in processing order number. Especially when high matrix, block after, can make the matrix structure more wide-awake, which makes some matrix expression and calculation related to solve many further simplification, with matrix related problems. In analyzing and summarizing the partitioned matrix of the concepts and properties was put forward on the basis of partitioned matrix in computing and proof applications, including matrix rank, matrix correlation theory, similar problems, and determinants of calculation, inverse matrix of solving, and matrix equation.Keyword：The partitioned matrix; Matrix block, Proof; calculation1 引言在数学名词中，矩阵是用来表示统计数据等方面的各种有关联的数据．矩阵作为数学工具之一有着重要的实用价值，它常见于许多学科中，如线性代数、线性规划、组合数学、统计分析等．在实际生活中，很多问题都是借用矩阵抽象出来进行表述并加以解决的，比如一些电脑的应用如VLSI 芯片设计上都有分块矩阵的思想．矩阵的概念和性质相对矩阵的运算较容易理解和掌握，但对于矩阵的运算和应用，则有很多问题值得我们去研究，尤其是当矩阵的阶数比较大时矩阵的运算和证明将是一个很繁琐的过程，因此这时我们需要一个新的矩阵处理工具，在这种情况下，分块矩阵的思想就产生了．在高等代数中，对高阶矩阵的处理是矩阵相关内容中重要的一部分，分块矩阵揭示了一个复杂或是特殊的矩阵的内部本质结构，本文即是通过查阅相关的文献资料和学习相关的知识后总结并探讨分块矩阵在各方面的应用，通过具体的实例的应用来突出分块矩阵在处理相关问题上的简便性和灵活性．2 分块矩阵及其性质2.1分块矩阵定义[1] 用纵线与横线将矩阵A 划分成若干较小的矩阵：111212122212t t s s st A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭， 其中每个小矩阵()1,2,,;1,2,,ij A i s j t ==叫做矩阵A 的一个子矩阵；分成子块的矩阵叫做分块矩阵．运算规则[2]()()()()()()()()()1(1);(2);(3),1,2,;1,2,,.ij ij ij ij stststT Tij ij ststtij ij ij ij ik kj sttpspk A B A B A A A B C C A B i s j p =±=+====,=∑在用规则(1)时，A 与B 的分块方法须完全相同；用规则(3)时A 的列的分法与B 的行的分法须相同．2.2分块矩阵的性质及其推论在行列式的计算中我们经常用到下列三条性质[3]（1）若行列式中某行(列)有公因子，则可提到行列式号外面； （2）把行列式的某两行(列)互换位置，其值变号，（3）把行列式的某行(列)乘上某一个非零数，加到另一行(列)去，其值不变 利用矩阵的分块，我们可以把行列式的三条性质在分块矩阵中进行推广.性质1 设H 是由如下的分块矩阵组成123123123A A A H B B B C CC ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 其中123123123,,,,,,,,A A A B B B C C C 都是s t ⨯矩阵，又M 是任一s 阶方阵．对于矩阵123123123A A A H MB MB MB C C C ⎛⎫ ⎪'= ⎪ ⎪⎝⎭， 则H M H '=⋅．性质2 设H 和H '写成如下形式123123123123123123,A A A B B B H B B B H A A A C CC C C C ⎛⎫⎛⎫⎪⎪'== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 其中123123123,,,,,,,,A A A B B B C C C 都是s t ⨯矩阵，则,,H s H H s ⎧⎪'=⎨-⎪⎩当为偶数时当为奇数时.性质3 设H 是由如下的分块矩阵组成123123123A A A H B B B C CC ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 其中123123123,,,,,,,,A A A B B B C C C 都是s t ⨯矩阵，又M 是任一s 阶方阵．对于矩阵123112233123A A A H MC B MC B MC B CC C ⎛⎫⎪'=+++ ⎪ ⎪⎝⎭，则H H '=．推论1 设,A B 都是n 阶方阵，则有A B A B A B BA=+⋅-．证明 根据性质3并应用于列的情况，有A B A B B A BABA++=，根据性质1有A B B A E E A B A B A B BABA++=+⋅=+⋅-，则A B A B A B BA=+⋅-．推论2 设,A B 都是n 阶方阵，则有AB A B =⋅． 证明 作2n 阶行列式0AB AC E=， 由拉普拉斯展开定理得：C AB E AB =⋅=． 又根据性质3并应用于列的情况,有：000AB A AB AB A AA B EEBEB E-===⋅--，则AB A B =⋅．推论3 设,,,A B C D 都是n 阶方阵，其中0A ≠，并且AC CA =，则有A B AD BC C D=-．证明 根据性质3，由A ≠0知1A -存在，并由AC CA =，用()1CA --乘矩阵A B C D ⎛⎫⎪⎝⎭的第一行后加到第二行去得：10A B D CA B -⎛⎫⎪-⎝⎭， 从而1110A B A B A D CA B AD ACA B AD CB CD D CA B ---⎛⎫==⋅-=-=- ⎪-⎝⎭． 2.3分块矩阵常见的分块方法[2]矩阵的分块技巧较强，因此要根据不同的问题进行不同的分块，常见的分块方法有四种：(1)列向量分法 ()12,,,n A ααα=，()1,2,,i i n α=为A 的列向量.(2)行向量分法12n A βββ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,()1,2,,i i n β=为A 的行向量．(3)分成两块()12,A A A =其中12,A A 分别为A 的若干列,或12B A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭其中12,B B 分别为A 若干行.(4)分成四块1234C C A C C ⎛⎫= ⎪⎝⎭．对分块矩阵还可以进行广义的初等变换,广义的初等变换分为三种: (1)交换分块矩阵的两行(列)；(2)用一可逆阵乘以分块矩阵的某一行（列）； (3)用某一矩阵乘某一行（列）加到另一行（列）. 根据广义初等变换的类型对应三种广义初等阵[4]：（1）00mn E E ⎛⎫ ⎪⎝⎭； （2）00,,,00A E A B E B ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭均为可逆矩阵； （3）0,0E E B A E E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.3分块矩阵在证明方面的应用3.1分块矩阵在矩阵的相关的秩的相关证明中的应用定理1[2] ()(),R A R B 分别为矩阵,A B 的秩，则()()()R A B R A R B +≤+． 例１ 设,A B 分别为,s n n m ⨯⨯阶矩阵，则()()()R A R B R AB n +≤+.证明 构造分块矩阵0nEB A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，对0nE B A⎛⎫⎪⎝⎭进行广义初等变换，则000n n nE B E B E AA AB AB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫→→ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 根据矩阵初等变换的性质有()()()000n n n E B E R R R E R AB n R AB AAB ⎛⎫⎛⎫==+-=+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭， 而()()0nE B R R A R B A⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭，所以()()()R A R B R AB n +≤+． 利用分块矩阵证明矩阵秩的问题，一般采用两种方法，一种是利用已知矩阵作为元素来拼成高阶数的矩阵来证明，另一种方法就是将已知矩阵拆成阶数较低的矩阵来证明．这两种方法在证明问题时都是很有效的，很大一部分相关矩阵秩的问题，都可以用分块矩阵来证明[5]．3.2分块矩阵在线性相关性及矩阵的分解中的应用分块矩阵在线性性及矩阵的分解中有着广泛的应用，但要达到运用自如却非易事，其基础知识抽象，解题方法技巧性强，稍有不慎就会陷入困境．作为线性代数的一个重要内容和工具的矩阵，我们往往容易忽略它重要的一点---矩阵分块的作用．下面就通过一些例子介绍一下它在线性相关性及矩阵的分解证明中的应用.定理2[2] 矩阵A 列线性无关的充要重要条件是0AX =只有零解． 推论4 设0st A ≠，则（1）st A 的列线性相关（即()R A t <）的充要条件是存在0ts B ≠使0AB =； （2）st A 的行线性相关（即()R A s <）的充要条件是存在0ts C ≠使0CA =．证明(1)充分性 设A 的列线性相关,由定理2，存在0b ≠使0Ab =，作(),0,,0B b =，则0B ≠，故0AB =．必要性 设有0ts B ≠，()12,,,s B b b b =，i b 为B 的列向量，1,2,,i m =且0i b ≠，使0AB =，即()12,,,0s Ab Ab Ab ≠，因0i b ≠，由定理2可知，A 的列线性无关．类似可证(2)．例2 矩阵A 列线性无关，AB C =，求证：C 列线性无关的充要条件是B 列线性无关．证明 充分性 要使0CX =，即()0A BX =，记BX Y =，则0AY =．因A 列无关，须0Y =，即0BX =，又B 列无关，须0X =，从而C 列无关．必要性 要使0BY =，两边左乘A ，则0ABY =，即0CY =，又C 列无关，即0Y =，则B 列无关．矩阵的列（行）向量相关与无关性的问题很多都会涉及到利用分块矩阵，因为矩阵的行（列）都可以看作是矩阵的子块，在处理矩阵的分解问题时也是一样，在线性代数中还有很多问题也可以分块矩阵来解决．例3 设()mk R A γ=，则（1）()(),,mj jk M N R M R N γ∃==，使得A MN =； （2）()(),,mk kk H S R H R S γ∃==，使得A HS =． 证明 ,,0,0mm kk P Q P Q ≠≠，使000mkI PAQ γ⎛⎫=⎪⎝⎭， 11000mkIA P Q γ--⎛⎫∴= ⎪⎝⎭． (1)将1P -与1Q -作如下的分块：()11,,jk mj N P M L Q G --⎛⎫== ⎪⎝⎭，则()0,00jk nj N IA M L MN G γ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （2）因000000000mk mk kk I I I γγγ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令1100,0000mk kk mk kkI I H P S Q γγ--⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即得A HS =．3.3分块矩阵在相似问题中的应用众所周知，若,A B 为n 阶矩阵，如果存在一个n 阶非奇异矩阵存在，使得1P AP B -=成立，则称矩阵A 与B 相似．但如果,A B 的阶较高，在证明的过程中找到一个n 阶非奇异矩阵变得非常困难，而分块矩阵通过证明矩阵中小矩阵的相似达到证明大矩阵相似的目的，为相似矩阵的证明提供了一种新的思路[7]．例4 如果方阵~A C ，方阵~B D ，则00~00A C B D ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.证明 因方阵~A C ,方阵~B D ，则11110000000000000000E A X E A XX X Y B E Y B Y E Y ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11000CX AX D Y BY --⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 而1111111000000000000E E XE X X Y Y E Y E E -------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 00~00A C B D ⎛⎫⎛⎫∴ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 4分块矩阵在计算方面的应用4.1分块矩阵在行列式计算方面的应用在线性代数中，分块矩阵是一个重要的概念，它可以使矩阵的表示简单明了，使矩阵的运算得以简化，还可以利用分块矩阵来解决行列式的计算问题．事实上，利用分块矩阵来计算行列式时常会使行列式的计算变得简单，并能收到意想不到的效果．本节将给出利用分块矩阵计算行列式的几种方法．定理3[2] 设矩阵12*s A A H A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭或12*s A A H A ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭其中12,,,s A A A 均为方阵，则12s H A A A =．定理4[2] 设,A B 分别为m 与n 阶方阵．则： (1)当A 可逆时，有1A D A B CA D CB-=⋅-；(2)当B 可逆时，有1A D A DB C B CB-=-⋅．推论5 设,,,A B C D 分别是,,,m n n m m n ⨯⨯矩阵，则 （1）m E D B CD CB=-；（2）nA D A DC C E =-；（3）m m mE D E DC CE =-．证明 只需要在定理4的（1）中令m A E =，即可证得；在(2)令n B E =，即可证得；在(3)中令,m m A E B E ==，即可证得．例5 求2n 阶方阵()0a b a bH a b ab a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=≠⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的行列式． 解 令,a b A B a b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则A B H B A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又0a ≠则0,A A ≠可逆，由定理4（1）可知1H A A BA B -=-，而12112a a b A BA B a a b ---⎛⎫-⎪-=⎪ ⎪-⎝⎭，由此可得()()()1121222,nnnnA BAB a a bH a a a bab----=-=-=-．例6 计算下列行列式（1）()012111100100,0,1,2,,1i na a a a i n a ≠=；（2）1231231000010000100001n na a a ab b b b c．解 （1）设A D H C B=，其中()0A a =，12n a a B a ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，()1,1,,1TC =，()1,1,,1D =，因为0,1,2,,i a i n ≠=，所以B 是可逆矩阵，则1011ni i A DB C a a -=⎛⎫-=- ⎪⎝⎭∑，从而由定理4中的（2）得112011nn i i A D H A DB C B a a a a CBa -=⎛⎫==-⋅=- ⎪⎝⎭∑． （2）设n E DH C B=，其中()()()1212,,,,,,,,Tn n B c C b b b D a a a ===．由于()()12121,,,,,,nTn n j i i CD b b b a a a a b ===∑，从推论5知1nn j i i E D H B CD c a b CB===-=-∑．行列式的计算是线性代数中的一个重要内容，利用分块矩阵，求解行列式时应具体问题具体对待，从而简化行列式的计算过程，达到快速解决问题的目的． 4.2分块矩阵在求逆矩阵方面的应用求分块矩阵的逆矩阵可以用伴随矩阵或初等变换的方法来解决，而此类方法对阶数较高的矩阵运算量比较大，对某些矩阵可以适当分块后再进行运算，可以起到事半功倍的作用．定理5[8]设A B H C D ⎛⎫= ⎪⎝⎭是一个四分块矩阵，其中B 为r 阶方阵，当B 与()1C DB A --都是可逆矩阵时，则H 是可逆矩阵，且()()()()11111111111111C DB A DB C DB A H B B A C DB A DB B A C DB A --------------⎛⎫--- ⎪= ⎪ ⎪+---⎝⎭，特别地 （1）当0,0A D ==，B 与C 都可逆时，有11100C HB---⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）当0,0A D =≠，B 与C 都可逆时，有111110C DB C HB -----⎛⎫-= ⎪⎝⎭； （3）当0,0A D ≠=，B 与C 都可逆时，有111110C HBB AC -----⎛⎫= ⎪-⎝⎭． 定理6[8] 设A B G CD ⎛⎫= ⎪⎝⎭是一个四分块矩阵，其中A •为r 阶矩阵，D 为k 阶矩阵，当A 与()1D CA B --都是可逆矩阵时，则G 是可逆矩阵，且()()()()11111111111111A AB D CA B CA A B D CA B G D CA B CA D CA B --------------⎛⎫+--- ⎪= ⎪ ⎪---⎝⎭，特别地 （1）当0,0B C ==，A •与D 都是可逆时，有11100A G D ---⎛⎫=⎪⎝⎭； （2）当0,0B C ≠=，A •与D 都是可逆时，有111110A A BD G D -----⎛⎫-= ⎪⎝⎭； （3）当0,0B C =≠，A •与D 都是可逆时，有111110A G D CAD -----⎛⎫= ⎪-⎝⎭． 例7 求矩阵3521214335400000200003400H ⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵．解 令4000035212,,020,001433503400A B C D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则原矩阵A B H C D ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由定理5中(3)知111110C HBB AC -----⎛⎫= ⎪-⎝⎭． 先求出矩阵,B C 的逆矩阵，从而得到111004521,0031231084B C --⎛⎫ ⎪⎪-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭⎪ ⎪- ⎪⎝⎭， 则111111000041000023100084135271435331284C H BB AC -----⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎛⎫ ⎪==- ⎪⎪-⎝⎭ ⎪ ⎪----- ⎪⎪- ⎪⎝⎭．注：在用分块矩阵求逆矩阵时，常常针对几种特殊的情形，对一般矩阵而言，此种方法并没有多大的实用价值！相比较而言，初等变换更具优势．这启示我们要具体问题具体分析，培养求简的数学精神和实事求是的科学态度． 4.3分块矩阵在求解矩阵方程方面的应用设矩阵方程形如AXB C =，其中,A B 分别为,m n 阶可逆矩阵，求X ．我们容易知道解为：11X A CB --=，对此我们需要先求得11,A B --，再求得11A CB --．有时这样计算比较复杂，对此我们需要一个简便的方法[9]．由于AXB C =，同时取行列式可得AXB C =，即0C AXB -=，对此我们可以用分块矩阵的方法构建一个行列式，可得100000CAX BX -=•，其对应的矩阵为10000C A X B X -⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭•，经过广义的初等变换可得 111100000m m n nA CB E X E X X E X E X ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即11X A CB --= 但此方法仍比较繁琐，对此我们需要对此进行简化，由初等变换我们知道矩阵10000C A X B X -⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭中的第二行和第二列以及1X -都对初等变换没有作用，可以说是多余的，去掉第二行和第二列，1X -的位置用0代替，这样我们得到了一个新的矩阵0CA B ⎛⎫⎪⎝⎭，在经过一系列初等变换得到110m nA CB E E --⎛⎫⎪⎝⎭，即：0m nX E E ⎛⎫⎪⎝⎭．由此我们就可以通过构造分块矩阵然后通过初等变换求得X ．例8 求解满足条件的X ．1112315110141432115X --⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．解 构造分块矩阵得：2311114110153211500014000--⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭620100516010********00014000-⎛⎫⎪- ⎪⎪−−−−−→-⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭一系列初等变换−−−−−→一系列初等变换410100490103120011000001000--⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，故41049312X --⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭． 4.4分块矩阵在求解非齐次线性方程组中的应用定理7 [10] 如果A 是一个n 阶非奇异矩阵()(),,1,2,,ij A a i j n ==，将A 进行分块，11122122AA A A A ⎛⎫= ⎪⎝⎭其中11122122,,,A A A A 分别是,,,k k k m m k m m ⨯⨯⨯⨯矩阵，若22A 是非奇异方阵，那么一定存在一个上三角分块矩阵112220km I A A M I -⎛⎫-=⎪⎝⎭，使得21220C MA A A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中111122221C A A A A -=-，且C 是非奇异阵． 对于该结论用来解决n 个方程的非齐次线性议程组是比较方便的．设非齐次线性方程组为11112211211222221122+++n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b ++=⎧⎪++=⎪⎨⎪⎪++=⎩，该方程组可写成矩阵方程AX B =．其中A 为系数矩阵，11,n n x b X B x b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若0A ≠，则该方程组有唯一定解．现将矩阵A 分块，11122122AA A A A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，并注意使220A ≠，同时将X 及B 进行分块，令1122,X B X B X B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1B 行数等于1112,A A 行数，2B 行数等于2122,A A 行数，则矩阵的方程可改成111211212222A A X B A A X B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两边同时左乘上三角分块矩11222km I A A M I -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，有11112222122220C X B A A A A X B -⎛⎫-⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中111122221C A A A A -=-，且C 是非奇异阵．从而得到矩阵方程组11112222112222CX B A A A X A X B -⎧=-⎨+=⎩，解方程组可知12X X X ⎛⎫= ⎪⎝⎭．例9 求解方程组1234512345123451234512345224123428323434222233x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+-=-⎧⎪-+-+=⎪⎪+-+-=⎨⎪+++-=-⎪⎪--+-=-⎩．解 将方程写成矩阵方程并进行分块，从而得到：111211212222AA XB A A X B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，这里，1112,21A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭ 12241342A --⎛⎫= ⎪-⎝⎭2131,4311A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭22121,422123A --⎛⎫⎪= ⎪⎪--⎝⎭． 首先求出22A 的逆矩阵12211325101112101011022A -⎛⎫- ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭，则11222510225132510A A -⎛⎫- ⎪-= ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭，在方程AX B =两端同时乘以112220km IA A M I -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，从而得到12345610001042684000555311213434222111233x x x x x ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪-- ⎪⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭----⎝⎭⎝⎭，解矩阵方程可得12414x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，3454713x x x -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 则所求方程组的解为123454144713x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．结束语本文主要是对分块矩阵在计算和证明中的应用，通过概念的介绍以及实例的说明，让人对分块矩阵这一工具的实用价值有所认识和了解，它既是一种解题的方法又是一种技巧．但它的应用并不仅仅是所举的几个方面，它还有更宽广的应用还有待于我们去深入的研究与探索．参考文献[1]张禾瑞,郝炳新.高等代数(第四版)[M].北京:人民教育出版社,1995:199-208.[2]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数[M].北京:人民教育出版社,1978:91-99,177-181.[3]林谨瑜.分块矩阵的若干性质及其应用[J].广东广播电视大学学报,2006,(02):109-112.[4]王秀芳.分块矩阵的应用讨论[J].连云港师范高等专科学校学报,2008,(09):97-99.[5]杨子胥.用分块矩阵证明秩的一些性质[J].数学通报,1985,(03):74-76.[6]张锦来.分块矩阵及其应用[J].湖州师范学院学报,2008,(02):116-118.[7]祁秋菊.分块矩阵的相关应用[J].高校理科研究,2008,(03):26-27.[8]徐天保.分块矩阵的应用[J].安庆师范学院学报,2010,(05):106-109.[9]刘红超.分块矩阵在两类矩阵问题中的应用[J].株洲师范高等专科学校学报,2005,(10):37-41.[10]胡景明.分块矩阵在求高阶行列式中的应用[J].河北工程技术高等专科学校学报,2004,(04):50-53.。
分块矩阵初等行变换求秩的不等式
在数学中，分块矩阵初等行变换求秩的不等式是一个重要的概念。
通过对分块矩阵进行初等行变换，我们可以得到一个新的矩阵，并通过对这个新矩阵进行求秩，得到一些重要的不等式关系。
接下来，我将会详细探讨这一主题，并按照从简到繁的方式进行解释。
一、分块矩阵的定义让我们回顾一下分块矩阵的定义。
一个分块矩阵是由若干个子矩阵组成的大矩阵。
通常情况下，这些子矩阵可以是任意大小的矩阵，它们之间通过分块符号进行分割。
一个分块矩阵可以表示为：\[ A = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22}\end{bmatrix} \]其中 \(A_{11}\)、\(A_{12}\)、\(A_{21}\)、\(A_{22}\) 分别是子矩阵。
这种表示方法在矩阵分析和线性代数中经常被使用，特别是在矩阵的运算和性质分析中。
二、分块矩阵初等行变换接下来，让我们来探讨分块矩阵的初等行变换。
我们知道，在矩阵的运算中，初等行变换是一种通过交换行、数乘行、行加减倍数行来改变矩阵的运算方法。
对于分块矩阵，我们可以运用相似的方法进行初等行变换。
对于一个分块矩阵：\[ A = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22}\end{bmatrix} \]我们可以对其中的子矩阵 \(A_{11}\)、\(A_{12}\)、\(A_{21}\)、\(A_{22}\) 分别进行初等行变换，如交换行、数乘行、行加减倍数行等操作。
通过这些初等行变换，我们可以得到一个经过变换的新矩阵。
三、求秩的不等式关系有了经过初等行变换的新矩阵，我们可以通过对其进行求秩来得到一些不等式关系。
根据矩阵求秩的性质，我们可以得到如下的不等式关系：\[ rank(A) + rank(B) - n \leq rank \begin{pmatrix} A & B\end{pmatrix} \leq rank(A) + rank(B) \]其中，\(rank(A)\) 和 \(rank(B)\) 分别表示矩阵 \(A\) 和 \(B\) 的秩，\(n\) 表示矩阵的列数。
分块矩阵的若干应用
分块矩阵的若干应用摘要：本文归纳了分块矩阵的一些应用,这些应用主要涉及到用分块矩阵计算行列式,求解逆矩阵,解线性方程组以及证明矩阵秩的不等式.关键词：分块矩阵，行列式，可逆矩阵，线性方程组，秩Abstract: This article summarizes the number of block matrix applications mainly related to the use of block matrix determinant calculation, solving the inverse matrix, solution of linear equations, as well as proof of the inequality rank matrix.Key words: block matrix,determinant,invertible matrix,linear equations,rank目录1 引言 (4)2 分块矩阵的应用 (4)2.1 利用分块矩阵求n阶行列式 (4)2.2 利用分块矩阵求矩阵的逆 (6)2.3 利用分块矩阵解非齐次线性方程组 (10)2.4 利用分块矩阵证明矩阵的秩的性质 (11)结论 (13)参考文献 (14)致谢 (15)1 引言矩阵的分块是处理级数较高的矩阵时常用的方法.有时候,我们把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的,就如矩阵是由数组成的一样.特别是在运算中,把这些小矩阵当作数一样来处理,这就是所谓矩阵的分块[]1.分块矩阵是矩阵论中重要内容之一.在线性代数中,分块矩阵也是一个十分重要的概念,它可以使矩阵的表示简单明了,使矩阵的运算得以简化,而且还可以利用分块矩阵解决某些行列式的计算问题.事实上,利用分块矩阵方法计算行列式,时常会使行列式的计算变得简单,并能收到意想不到的效果.矩阵是一种新的运算对象,我们应该充分注意矩阵运算的一些特殊规律.为了研究问题的需要,适当对矩阵进行分块,把一个大矩阵看成是由一些小矩阵为元素组成的,这样可使矩阵的结构看的更清楚.运用矩阵分块的思想,可使解题更简洁,思路更开阔,在教学中有着非常广泛的应用,一些复杂的问题,经分块矩阵处理就显得非常简单.而在高等代数和线性代数教材中,这部分内容比较少,本文归纳并讨论了分块矩阵在行列式,矩阵的逆及解非齐次线性方程组等方面的一些应用.2 分块矩阵的应用行列式的计算是一个重要的问题,也是一个很麻烦的问题.n 级行列式一共有!n 项,计算它就需要做()!1n n -个乘法.当n 较大时,!n 是一个相当大的数字,直接从定义来计算行列式几乎是不可能的事,因此我们有必要进一步讨论解行列式的方法.利用分块矩阵的方法]2[求行列式的值是行列式求值常用的方法.但通常教材中介绍的方法,多数为计算特殊形式的行列式,本文将在教材的基础上给出另外一些行列式的分块矩阵的解法.2.1 利用分块矩阵求n 阶行列式各高等代数教材主要介绍了用定义,性质,展开定理计算n 阶行列式.常用的技巧有递推法,加边法等.但有些行列式计算起来仍很麻烦,下面给出运用分块矩阵计算n 级行列式的一种方法,该方法使n 阶行列式的求值更加简便易行.本文我们主要以⨯22分块矩阵为例. 命题1 设n 阶行列式W 分块为A B W C D ⎛⎫=⎪⎝⎭,则 （1） 当A 为r 阶可逆矩阵时, 1A B W A D C A BCD-==-;（2） 当D 为n r -阶可逆矩阵时,1A B W D A BD CCD-==-.证明（1）由1100rrn r n r E A B E A B C AE CD E ----⎛⎫-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭=10A D C A B -⎛⎫⎪-⎝⎭, 得1A B W A D C A BCD-==-.（2）由1100rrn r n rE A B EB D D CE CD E ----⎛⎫-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭=100A B D C D -⎛⎫- ⎪⎝⎭, 得1A B W D A BD C CD-==-.推论1 设,,A B C 都是n 阶方阵,且可逆,则A B A DD=,()210nA B B CC=-.推论2 设,A B 都是n 阶方阵,则有A B A B A BB A=+-.证明A B A B B BAB AA-=-0A B B A B A BA B-==+-+.推论3 设,,,A B C D 都是n 阶方阵,则当AC CA =时,有AB ADC BCD=-,当D B B D =时,有A B D A BC CD =-.例1 计算行列式na ca ca cb b b a P0000321=,其中n i a i ,,3,2,0 =≠.解 设()1a A =,()b b b =B ,()'c c cC=,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n a a a D0000032 .则032≠=n a a a D ,故D 为可逆矩阵,且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=----11312100000n a a a D, 得A B P CD=1D A B D C -=-()()[]11312132---+++-=n n a a a bc a a a a .注 这里并不需要10a ≠的条件.在使用定理来计算阶行列式时,关键是对矩阵进行分块,构造出可逆矩阵A 或D .例2求矩阵1111111111111111A ⎛⎫ ⎪-- ⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭的行列式. 解 设1111B ⎛⎫=⎪-⎝⎭,则BB A B B ⎛⎫= ⎪-⎝⎭,且20B =-≠,故B 可逆.得 B BA BB=-02B B B=-()22B B =-=16.当我们看到这道题时,首先想到的是消去法,用这种方法解级数较高的矩阵计算量很大.但当我们观察到矩阵是有若干相同的矩阵构成时,用分块矩阵的方法是很简单的.例3 计算行列式00000000a b a b D b a ba=.解 设00a A a ⎛⎫=⎪⎝⎭,00b B b ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 得A B D BA=A B A B =+-()()2222b a b a b ab aab ab-==---()222b a=-.这道题看似简单,但是如果方法选择不当,做起来并不简单.这里对矩阵进行分块,大大降低了计算量.在利用分块矩阵计算阶行列式时,需要根据具体情况把原行列式的元素组成的矩阵分成若干项,它需要学生具有较强的观察能力,这种方法特别能锻炼学生的思维,提高学生分析问题和解决问题的能力,增强其探究意识.2.2 利用分块矩阵求矩阵的逆n 阶可逆矩阵的逆矩阵求解普遍采取初等变换的方法.除此之外,用分块矩阵来求逆矩阵也是很简单的方法.命题1]3[ 00A B ⎛⎫⎪⎝⎭是一个分块矩阵,其中,A B 分别是n 阶可逆矩阵,则00A B ⎛⎫⎪⎝⎭的逆矩阵为1100B A--⎛⎫ ⎪⎝⎭.证明由11000000000000n n nn nnA E BE E BBE AE E A--⎛⎫⎛⎫⎛⎫→→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得100A B-⎛⎫ ⎪⎝⎭=1100B A--⎛⎫ ⎪⎝⎭.推论 1 00C D ⎛⎫⎪⎝⎭是一个分块矩阵,其中,C D 分别是n 阶可逆矩阵,则100C D -⎛⎫ ⎪⎝⎭=1100C D --⎛⎫⎪⎝⎭. 命题 2 0A B D ⎛⎫⎪⎝⎭是一个分块矩阵, 其中D B A ,,分别是n 阶可逆矩阵,则1A B D -⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11110D BDA A . 证明由111110000n n nn nnA B E AE B D E AA B DDE DE E B-----⎛⎫⎛⎫--⎛⎫→→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,得1A B D -⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11110DBDA A . 推论 2 0AB TC ⎛⎫=⎪⎝⎭是一个分块矩阵,其中C B A ,,分别是n 阶可逆矩阵,则111110CTBB AC -----⎛⎫= ⎪-⎝⎭. 推论 30A T C D ⎛⎫=⎪⎝⎭是一个分块矩阵,其中D C A ,,分别是n 阶可逆矩阵,则⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-----111110D CA D A T.推论 4 0B T C D ⎛⎫=⎪⎝⎭是一个分块矩阵,其中D C B ,,分别是n 阶可逆矩阵,则111110C D B CTB -----⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 例4已知⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-00000011nn a a a T ,求1T -. 解令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-12100000n a a a D,则00nD T a ⎛⎫= ⎪⎝⎭,得 11100n a T D---⎛⎫=⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=----00000011111n n a a a. 例5已知201302240010001A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭,求1A -．解设2002B ⎛⎫=⎪⎝⎭,1324C ⎛⎫= ⎪⎝⎭,1001D -⎛⎫= ⎪-⎝⎭, 则0BC AD ⎛⎫=⎪⎝⎭,且1102102B -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,11001D --⎛⎫= ⎪-⎝⎭, 11132212B C D --⎛⎫ ⎪-= ⎪⎝⎭, 所以111111130222101220001001B B C D AD -----⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫-⎪== ⎪ ⎪⎝⎭⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭． 求矩阵的逆可以用伴随矩阵,初等变换等方法来解决,而这些方法对级数较高的矩阵运算量较大,对某此矩阵进行适当的分块再进行运算,可起到事半功倍的作用.定理3 2n阶方阵A BTC D⎛⎫= ⎪⎝⎭,其中,,,A B C D分别是n n⨯阶矩阵,则有（1）当A可逆时,则11111111 111111()()()()A AB DC A B C A A BD C A BTD C A B C A D C A B--------------⎛⎫+---= ⎪---⎝⎭;（2）当B可逆时,则1111 111111111()()()()C D B A D B C D B ATB B ACD B A D B B A C D B A-------------⎛⎫---= ⎪+---⎝⎭;（3）当C可逆时,则11111111 111111()()()()C D B A C D C C D B A C D A CTB ACD B A C D A C--------------⎛⎫--+-= ⎪---⎝⎭;（4）当D可逆时,则11111 111111111()()()()A B D C A B D C B DTD C A B D C D D C A B D C B D--------------⎛⎫---= ⎪--+-⎝⎭.证明（1）由题意可知分块矩阵A BTC D⎛⎫= ⎪⎝⎭可逆,且方阵A可逆.因为11nnA B AE A BC D C D C A BE--⎛⎫-⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭,且上式的右端仍可逆,故11()D C A B---存在.由定理2的推论2知11111111 00()()A AC D C A B D C A B C A D C A B--------⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭,所以有11A BTC D--⎛⎫= ⎪⎝⎭1110nnAE A BE C D C A B---⎛⎫⎛⎫-= ⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭11111110()()nnE A B AE D C A B C A D C A D-------⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭111111111111()()()()A AB DC A B C A A BD C A BD C A B C A D C A B-------------⎛⎫+---= ⎪---⎝⎭.例6 求矩阵a b a bc d c dTa b a bc d c d⎛⎫⎪--⎪=⎪--⎪--⎝⎭的逆矩阵,其中0ad bc+≠.解设a bHc d⎛⎫= ⎪-⎝⎭,则H HTH H⎛⎫= ⎪-⎝⎭.又有001102022HH E H H E HH E HHE HEE HE E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪→→→ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭1102211022H E E HEE ⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭11111102211022E H HEHH ----⎛⎫⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭,故1111112HHT HH -----⎛⎫= ⎪-⎝⎭. 由11d b H ca ad bc ---⎛⎫=⎪---⎝⎭,得112()d b d b c a c a T db d b ad bc ca ca -----⎛⎫ ⎪-- ⎪=⎪---+ ⎪--⎝⎭.有些矩阵阶数较高,而且形如:100A TB ⎛⎫=⎪⎝⎭,200C T D⎛⎫= ⎪⎝⎭,11121220A M A A ⎛⎫=⎪⎝⎭,11122220A A MA ⎛⎫= ⎪⎝⎭,11123210A A M A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,12421220A M A A ⎛⎫= ⎪⎝⎭的分块矩阵,用分块矩阵来求逆较方便,可简化计算.2.3 利用分块矩阵解非齐次线性方程组设非齐次线性方程组为11112211211222221122,,,n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩（1）,将（1）式写成矩阵方程[4]为A X B=,其中A 为系数矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n n n a a a a a a a a a212222111211,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nx x X1,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nb b B1.若A 是非奇异阵,即0A ≠,则方程组有唯一确定的解.将矩阵A 分块,得11122122A A A A A ⎛⎫=⎪⎝⎭,且22A 是非奇异矩阵.同时将X及B 进行相应的分块,令12X X X ⎛⎫= ⎪⎝⎭,12B B B ⎛⎫= ⎪⎝⎭,11,X B 的行数等于11A 的行数,22,X B 的行数等于21A 的行数.则（1）可写成111211212222A A X B A A X B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）,将（2）式两端分别左乘上三角分块矩阵11222kmE A A M E -⎛⎫-=⎪⎝⎭,其中,K M 分别为112,A A的行数,则得()111112222111122222112222,.A A A A XB A A B A X A X B --⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩由于()111122221AAA A --的逆矩阵存在,故()()111111122221112222X A A A A BA AB ---=--.再将1X 代入21122A X A X B+=,得()12222211X A B A X -=-,由此得12X X X ⎛⎫= ⎪⎝⎭.例7 求解方程组123451234512345123452241,23428,323,434222,23 3.x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+-=-⎧⎪-+-+=⎪⎪+-+-=⎨⎪+++-=-⎪⎪--+-=-⎩ 解 将方程写成矩阵方程的形式,并进行分块.令11122213311A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭, 12414221A -⎛⎫⎪=- ⎪⎪-⎝⎭, 21434111A ⎛⎫= ⎪--⎝⎭, 222223A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭, 1183B -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 223B -⎛⎫=⎪-⎝⎭, 得111211212222A A X B A A X B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 且易得11112055111710210111222A -⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭,12221111237625A A A A --⎛⎫⎪-= ⎪- ⎪⎝⎭,()112221111233526525152652A A A A --⎛⎫- ⎪-= ⎪ ⎪-⎪⎝⎭,()()111222211112221111X A A A A BA AB ---=--13⎛⎫= ⎪⎝⎭,()11111122220X A B A X -⎛⎫⎪=-=- ⎪ ⎪⎝⎭,即得原方程组有唯一解123452,2,01,3x x x x x ==-===.我们看到,采用分块矩阵解法后,非齐次线性方程组的解向量的求得、基础解系的构成以及通解的表示都显得更加直观,解题步骤更加简练,从而有利于学生从更高起点去理解线性方程组的结构及存在性,也有利于加深对矩阵理论及其应用的认识.2.4 利用分块矩阵证明矩阵的秩的性质关于矩阵的秩的一些性质的证明,一般有联系到齐次线性方程组的基础解系来证明的,有用矩阵的初等变换或高阶矩阵来证明.下面我们将充分利用分块矩阵来证明这些性质.这种方法带有一定的技能性,但并不难掌握.特别的是这种证法与其他方法比较,不仅证明本身显得非常简洁,而且也很统一,具有较大的优越性.定理1 设,,A B C 是n 阶矩阵,则()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤+B CAB A 0秩秩秩. 证明[5] 设秩()r A =,秩()s B =,则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−−−−→−⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000000000000000000000000000432143214321C C C E C E C C E C C E C C E C C E B CA s rs r s r 经过若干初等变换 所以()()B A s r B C A 秩秩秩+=+≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛0. 易见,当0=C 时,等号成立,即()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+B AB A 00秩秩秩. 定理2 设A 是m n ⨯矩阵, B 是n p ⨯矩阵.若0=AB ,则有()()n B A ≤+秩秩. 证明()()n E B E B E AB B E AB AB A n n n n =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+00000000秩秩秩秩秩秩秩.定理3 设B A ,分别是s n ⨯,n m ⨯阶矩阵,则()()()AB n B A 秩秩秩+≤+.证明 对矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛0AB E n 进行广义初等变换, ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫⎝⎛AB E AB BE A B E nnn 0000 则()()()AB n AB E AB BE A B E n nn 秩秩秩秩秩+=-+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛00. 而()()B A AB E n 秩秩秩+≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛0,所以()()()AB n B A 秩秩秩+≤+. 综上可知,利用分块矩阵来证明矩阵秩的不等式,思路清晰流畅,充分展示了分块矩阵的优越性,因此是一种值得重视的好方法.结论矩阵是高等代数中的一个重要内容,也是高等数学的很多分支研究问题的工具.有时,为了研究问题的需要,适当地对矩阵进行分块,把一个大矩阵看成是由一些小矩阵块为元素组成的,这样可以使矩阵的结构看的更清楚,使大量的高等代数的习题变得容易.分块矩阵是矩阵的一种推广,一般矩阵的元素是数量,而分块矩阵的元素可以是数量,也可以是矩阵.分块矩阵的引进使得矩阵这一工具的使用更加便利,解决问题的作用更强有力,其应用也就更广泛.本文主要研究分块矩阵在计算行列式、求矩阵的秩、求可逆矩阵的逆矩阵、证明矩阵的秩的一些性质等方面的应用.本文是对分块矩阵几个应用方面的说明及例子,可以让人对分块矩阵这一工具的实用价值的有所认识和了解,它既是一种解题的方法又是一种解题技巧,但它的应用并不仅仅是所列举的几个方面,它还有更宽更广的应用还有待于我们去深入的探索与深究.参考文献[1] 王萼芳,石生明.高等代数[M].北京:高等教育出版社,2003:46-47.[2] 廖军.分块矩阵求n阶行列式的值[J].文山师范高等专科学校学报,2004,17(2):164-168.[3] 王丽霞.逆矩阵的几种求法[J].雁北师范学报,2007,23(2):82-84.[4] 刘红旭.利用分块矩阵解非齐次线性方程组[J].辽宁师专学报,2003,5(2):9-10.[5] 常训.用分块矩阵证明矩阵秩的不等式[J].菏泽师专学报,1995,2(2):7-11.致谢本学位论文是在我的指导老师何梅老师的亲切关怀和悉心指导下完成的,在这里请接受我诚挚的谢意！。
(完整版)分块矩阵及其应用汇总,推荐文档
分块矩阵及其应用徐健,数学计算机科学学院摘要：在高等代数中，分块矩阵是矩阵内容的推广. 一般矩阵元素是数量，而分块矩阵则是将大矩阵分割成小矩形矩阵，它的元素是每个矩阵块.分块矩阵的引进使得矩阵工具的利用更加便利，解决相关问题更加强有力，所以其应用也更广泛. 本文主要研究分块矩阵及其应用，主要应用于计算行列式、解决线性方程组、求矩阵的逆、证明与矩阵秩有关的定理.关键词：分块矩阵；行列式；方程组；矩阵的秩On Block Matrixes and its ApplicationsXu Jian, School of Mathematics and Computer ScienceAbstract In the higher algebra, block matrix is a generalization of matrix content.In general, matrix elements are numbers. However, the block matrix is a large matrix which is divided into some small rectangular matricies, whose elements are matrix blocks. The introduction of the block matrix makes it more convenient to use matrix, and more powerful to solve relevant problems. So the application of the block matrix is much wider. This paper mainly studies the block matrix and its application in the calculation of determinant, such as solving linear equations, calculating inverse matrix, proving theorem related to the rank of matrix , etc.Keywords Block matrix; Determinant; System of equations; Rank of a matrix11 ⎪1 引 言我们在高等代数中接触到矩阵后，学习了矩阵的相关性质，但是对于一些复杂高阶矩阵，我们希望能将问题简化. 考虑将矩阵分割为若干块，并将矩阵的部分性质平移至分块矩阵中，这样的处理往往会使问题简化.定义 1.1 [1] 分块矩阵是把一个大矩阵分割成若干“矩阵的矩阵”，如把 m ⨯ n 矩阵分割为如下形式的矩阵：⎛A 11A ⎫ 1n ⎪A m ⨯n = ⎪A m 1 A m n特别地，对于单位矩阵分块：⎝ ⎭ ⎛E 0 0 ⎫ ⎪ E n ⨯n = 0 0 0 ⎪ 0 E ⎝n n ⎭ 显然，这里我们认识的矩阵元素不再局限于数字，而是一个整体，这里的A 所代表的是大矩阵囊括的小矩阵，而小矩阵一般是我们熟知的常见矩阵.ij依照以上设想，有关矩阵性质的一些问题,我们可以考虑用分块矩阵的思路来解决.2.1 矩阵的相关概念2 分块矩阵在矩阵的学习中，我们学过一些最基本的概念，比如矩阵的行列式、矩阵 的秩、矩阵的逆、初等变换、初等矩阵等等.事实上，我们发现：分块后的矩阵同样用到这些概念.a 11 定义 2.1.1[2]n 级行列式a 21a 12 a 22 a 1n a 2n等于所有取自不同行不同列的a n 1 a n 2a nn 个元素的乘积a 1j a 2ja n j的代数和，这一定义又可写成:12na 11 a 21 a 12a 22a 1na 2n =(-1) (j 1j 2 j n )a aa .a n 1 a n 2a n∑j 1j 2 j n1j 1 2j 2n j n[2]定义 2.1.2向量组的极大无关组所含向量的个数称为这个向量组的的秩.所O I ⎪ ⎪ ⎪1谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩；矩阵的列秩就是矩阵列向量组的秩. 定义 2.1.3 [2] n 级方阵称为可逆的，如果有n 级方阵 B ，使得A B = A -1 .BA = E （这里 E 是n 级单位矩阵），那么B 就称为 A 的逆矩阵，记为定义 2.1.4 [3] 对分块矩阵施行下列三种初等变换： (1) 互换分块矩阵的某两行(列)；(2) 用一个非奇异阵左（右）乘分块矩阵的某一行(列)；(3) 用一个非零阵左(右)乘分块矩阵的某一行(列)加至另一行(列)上， 分别称上述三种初等行(列)变换为分块矩阵的初等行(列)变换. 定义 2.1.5 [3] m + n 2 ⨯ 2 ⎛I m O ⎫对 阶单位矩阵作 分块，即I m +n = O I ⎪ ，然后⎝ n ⎭对其作相应的初等变换所得到的矩阵称为分块初等矩阵. 分块矩阵具有以下形式：(1) 分块初等对换阵⎛I n O ；⎫ ⎝ m ⎭⎛P O ⎫ ⎛I m O ⎫(2) 分块初等倍乘阵 0 I ⎪ ， ⎪ ；⎝ n ⎭ (3) 分块初等倍加阵⎛I m R 1 ⎫ O I ⎝ 0 Q ⎭ ，⎛I m O ⎫ ； S I ⎝ n ⎭ ⎝ n ⎭其中 P , Q 分别是m 阶和n 阶可逆方阵，且R ∈ R m ⨯n ，S ∈ R n ⨯m为非零阵.2.2 矩阵的运算性质矩阵的运算包括加法、乘法、数乘，这里主要讨论矩阵的运算性质： 定义 2.2.1 [4] 矩阵加法：设A = (a ) ， B = (b ) 是两个同型矩阵，ij snij sn则矩阵C = (c i j )= (a i j+ b i j )称为 A 和 B 的和，记为C = A + B .元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为O s n ，可简单记为O,对于矩阵 A 、 B ，有:(1) A + O = A(2) A + ( -A ) = 0(3) A - B = A + ( -B )(4) ( A + B ) + C = A + ( B + C )snsnn11 (5)A + B = 定义 2.2.2 [4] B + A矩阵乘法：设A = (a ) ，B = (b ) 是两个不同型矩阵，i k s nk j n m那么矩阵C = A B =(c i j )，称为矩阵 A 与 B 的乘积，其中：smc i j = a i 1b 1j + a i 2b 2j+ a i n b n j= ∑a i k b k jk =1在乘积的定义中，我们要求第二个矩阵行数和第一个矩阵列数相等.特别地，矩阵的乘法和加法满足以下性质：(1) A ( B + C ) = A B + A C(2) ( B + C )A = B A + C A(3) (A B )D =A (B D )⎛k a 11 k a 1k a 1 ⎫定义 2.2.3 [4] 矩阵数乘： k a 21k ak a 2n ⎪ ⎪A = (a ) 与 数 22 ⎪称为矩阵 ⎪⎪ ij sn k a k a k a ⎝ s 1 s 2 s n ⎭k 的数量乘积，记为kA ，有以下性质：(1) 1 * A = A ；(2) k(l A ) = (k l )A ;(3) k ( A + B )= kA + kB ;(4) (k + l )A = kA +lA ; (5) k (A + B ) = kA +kB .2.3 分块矩阵的初等变换性质我们对于分块矩阵，也有其运算性质：设 A 、 B 是m ⨯ n 矩阵，若对它们有相同的划分，也就有：⎛A 11 + B A 1t + B 1t ⎫ ⎪ 加法：A + B = ⎪ . ⎪ A + B A + B ⎪ ⎝ s 1 s 1 st st ⎭乘法：C = A B , 其中：∑ ⎪ 1 C i j = A i 1B 1j + A i 2B 2j+ + A i n B n j⎛k A 11k A 1 ⎫⎪ n= A i k B k j .k =1数乘：k A =⎪ .⎪ k Ak A⎝s 1 s t ⎭总结了矩阵的运算性质，我们主要看看分块矩阵初等变换性质：定义 2.3.1 [2] 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵. 初等矩阵都是方阵，包括以下三种变换：(1) 互换矩阵 E 的i 行与 j 行的位置; (2) 用数域 P 中的非零数c 乘 E 的i 行; (3) 把矩阵 E 的 j 行的k 倍加到i 行.定义 2.3.2 [5] 将单位矩阵分块，并施行如下三种变换中的一种变换而得到的方阵称为分块初等矩阵:(1) 对调两块同阶的块所在的行或列; (2) 某一块乘以同阶的满秩方阵;(3) 某一块乘以一个矩阵后加到另一行上(假定这种运算可以进行).如：我们对分块矩阵⎛ A B ⎫进行相应变换，只要应用矩阵的计算性质，左乘对⎝C D ⎭ 应分块矩阵： ⎛ O E m ⎫ ⎛ A B ⎫ ⎪⎪⎛C D ⎫ ⎪ ⎝E n O ⎭ ⎝C D ⎭⎝ A B ⎭ ⎛P O ⎫ ⎛ A B ⎫ ⎛P A = P B ⎫ O E ⎪C D ⎪ ⎪⎝ n ⎭ ⎝⎭ ⎝ C D ⎭ ⎛E m O ⎫ ⎛ A B ⎫ ⎛ = A B⎫P E ⎪C D ⎪ ⎪C + P AD + P B⎝ n ⎭ ⎝⎭ ⎝ ⎭2.4 矩阵的分块技巧对矩阵的分块不是唯一的，我们往往根据问题的不同进行不同的分块，分块的合适与否，都对问题的解决至关重要，最常见的有四种分块方法[6] ：(1) 列向量分法，即A =(1,⎛ ⎫ ⎪, n )，其中j 为 A 的列向量.(2) 行向量分法，即A = ⎪ ，其中j 为 A 的行向量.⎪ ⎝ m ⎭=1⎪ (3)分两块，即A = (A 1, A 2 ),其中A 1 ,A 2 分别为A 的各若干列作成.或 A = ⎛B ⎫ ，其中B ，B 分别为 A 的若干行作成. B ⎪1 2 ⎝ 2 ⎭⎛C 1 C 2 ⎫(4) 分四块，即A =C C ⎪ .⎝ 3 4 ⎭我们在进行分块时，希望分割的矩阵块尽可能是我们所熟悉的简单矩阵，于是，我们有必要熟悉一些常见的矩阵.2.5 常见的矩阵块我们把高等代数中学习过的一些常见矩阵总结如下： （1） 单位矩阵：对角线元素都为1，其余元素为0 的n 阶方阵. （2） 对角矩阵：对角线之外的元素都为0 的n 阶方阵. （3） 三角矩阵：对角线以上（或以下）元素全为0 的n 阶方阵. （4） 对称矩阵：满足矩阵 A 的转置和 A 相等. （5） 若尔丹（Jordan ）块：形如⎛ 0 1 0 0 ⎫ 0 ⎪J ( ,t ) ⎪= ⎪0 0 ⎪ 0 0 0 1 ⎝ ⎭（6） 若尔丹形矩阵：由若干个若尔丹块组成的准对角矩阵, 其一般形状形如：⎛A 1 ⎫⎪ A 2⎪ ⎪ ⎪A ⎪ ⎝n ⎭在复杂矩阵中，找到这些矩阵块，会使计算简化.3.1 行列式计算的应用3 分块矩阵及其应用定理 3.1.1 [2] 拉普拉斯（Laplace ）定理:设在行列式 D 中任意取定了k 个 行.由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式 D .事实上，行列式计算中的拉普拉斯定理就包括了矩阵分块的思想，它通过取k 级子式的方法，提取出矩阵内的矩阵块. 然而，在行列式计算中，行列式a ⎪ a 按行或列的展开更为常用. 这里，我们最常用到的是取列向量分块和行向量分块.例 3.1.1 [7] ：（爪形行列式）计算行列式：a 01 1 1 1 a 10 0 1 0 a 2 0 ,其中a i ≠ 0(i = 1, 2, , n ) .1 0 0 a n解:设Q =A D ,其中A = (a )C B a 1 B =，C = ( 1, 1, , 1)T ，D = ( 1, 1, , 1) .a n因为a i ≠ 0(i = 1, 2, , n ) ，所以 B 是可逆矩阵.-1⎛n 1 ⎫又易知: A - D B C = a 0 - ∑ ⎪ . ⎝ i =1 i ⎭根据分块矩阵乘法： ⎛ E0 ⎫ ⎛ A D ⎫ --1 ⎪ ⎪= ⎛A D ⎫-1 ⎝ C A E ⎭ ⎝C B ⎭ ⎝ 0 B - C A D ⎭A D -1 -1 ⎛ n 1 ⎫则：= AB - C A D =B A - D BC = a a a a-∑ a ⎪C B⎛n 1 ⎫ 12n 0⎝i =1 i ⎭故：原行列式=a 1a 2 a n a 0 - ∑ ⎪ . ⎝ i =1 i ⎭例 3.1.2 [7] ：(对角行列式)计算行列式：adH 2n= a d.c bcb解：令⎪ a x A =⎛a ⎫⎪ ，B = ⎛b ⎫⎪ ，C = ⎛ c ⎫ ⎛ ，D = d ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ a ⎪ b ⎪ c ⎪ d ⎪ ⎝ ⎭ 为n 阶方阵. 由于a ≠ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ 0,故 A 为可逆方阵.⎛ b - c a -1d⎫⎪ 又易知：B - C A -1D =⎝ b - c a -1d ⎪ b - -1 ⎪ ca d ⎭故 H 2n= A D = C BAB - C A -1D = a n (b - c a -1d )n= (a b - c d )n .例 3.1.3 [8] ：设 A 、 B 、C 、 D 都是n 阶矩阵，证明当 AC = CA 时， A 可逆时，有A D= A B - C DC B⎛ A D ⎫ ⎛E -A 1D-⎛ A 0 ⎪ ⎫,证明：若 A 可逆，⎪ ⎪ =-1 ⎝C B ⎭ ⎝OE ⎭ ⎝C B - C A D ⎭A D故：=C BAB - C A -1D = A B - A C A-1D = A B - C D .注意到，这里计算分块矩阵行列式和计算一般数字矩阵行列式有所区别，不是简单的a d c b= a b - c d ，其矩阵块限制条件有所加强. 所以本例告诉我们，在矩阵分块以后，并非所有一般矩阵性质都可以应用到分块矩阵中.3.2 线性方程组的应用对于线性方程组，我们有以下四种表述： （1） 标准型：⎧a 11x 1 + a 12x 2+ + ax = b ⎪ 1nn 1⎨ax + ax + + a x = b ; ⎪a 21 x 1+ 22 2 + + 2n n a x = b ⎩ m1 1 m2 2 m n n m （2） 矩阵型：令A = ⎣a i j ⎦m ⨯n，x = (x 1, x 2, , x n )' ，B = (b 1, b 2, b m )' 方程组可以表述为： Ax = B ;（3） 列向量型：令2⎢a ⎥ ⎝O O⎪ ⎪ ⎪ ⎡a 11 ⎤ ⎢21 ⎥⎡a 12 ⎤⎥ 22 ⎡a 1n ⎤ ⎢ ⎥ = ， 1 ⎢ ⎥ 2 = ， ， ⎢ ⎥= ⎢a 2n ⎥ n ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣a m 1 ⎦ ⎢ ⎥ ⎣a m 2 ⎦ ⎢ ⎥ ⎣a m n ⎦则方程组又可以表述为：x 11 + x22+ + x nn = B ;（4）行向量型： x ' + x ' + + x' = B ' .1 12 2n n可见，矩阵分块为我们解方程组提供了新的思路.事实上，在求齐次线性方程组系数矩阵的秩时，在判断非齐次线性方程组是否有解时，行列向量组的合理应用，使得问题解决更加便捷、明了.例 3.2.1：（齐次线性方程组）求解方程组：⎧ x 1 + 2x 2 2x ⎪ + x + 2x 3 - 2x + x 4 = 0 - 2x = 0 ⎨ 1 x -2x - 4x 3 - 3x 4=0 ⎩ 1 2 3 4 解：对系数矩阵施行行变换,并将结果用分块矩阵表示：⎛1 0 -25 ⎫ - 3⎪ ⎛ 1 2 2 1 ⎪⎫ ⎛ 1 2 2 1 ⎪⎫4 ⎪ ⎛E C ⎫ A = 2 1 -2 -2 0 -3 -6 -4 0 1 2 ⎪ = 2 ⎪ ⎪1 -1 -4 -3⎪ 0 -3 -6 -4⎪ 3 ⎪ 12 ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ 0 0 0 0 ⎪⎪ ⎝ ⎭R ( A ) = 2，基础解系含4 - 2 = 2 个.而方程又满足：相应的可以取：⎛E 2 C ⎫ ⎛1 ⎫ = ⎛ 0⎫⎪ ,⎝O 1 O 2 ⎭ ⎝2 ⎭⎝ 0⎭⎛ 5 ⎫ 2 3 ⎪ ⎛ -C ⎫⎪⎝ E 2 ⎭⎪ = -2 4 ⎪3 ⎪1 0 ⎪ ⎝ 0 1 ⎭-⎪ 0 3 ⎪⎭⎛ 2 ⎫ ⎛ 5 ⎫3 ⎪有通解： = k + k，其中= -2⎪1， =- ⎪ 4 ⎪ . 1 12 21 ⎪2 ⎪ ⎪ ⎝ 0 ⎭⎪ 1 ⎪ ⎝ ⎭例 3.2.2 [9] ：（非齐次线性方程组）求解方程组：⎧⎪ x 1 + 2x 2- 3x 4 + 2x 5 = 1 x - x - 3x + x - 3x = 2 ⎪ ⎨ 1 2 3 4 52x - 3x + 4x - 5x + 2x = 7 ⎪ 9x ⎩ 1= 25 解：我们分别对于方程组的系数矩阵和增广矩阵求秩：r ( A ) = 3，而r ( A ) = 4 , 故r ( A ) ≠ r ( A) . 从而方程组无解. ⎛ Λ45 -b ⎫事实上，我们可以利用分块矩阵叙述：经对分块矩阵 ⎝ E变换，都不能把最后一列变成0 ,所以该方程组无解.例 3.2.3：证明： n 阶方阵 A 的秩为n- 1，则r a n k ( A* )=1首先证明此例需要利用的一个引理： 4进行行列0 引理：A = (a i j )n ⨯n ，B = (b i j )n ⨯n ，r( A ) = r ，A B =0 ，则r ( B ) ≤ n - r证明：对矩阵 B 进行列向量的分块，B = (B 1, B 2, B n ) ,A B = 0 则有：A B i= 0 ，B i 是AX = 0 的解. 而A X =0 基础解系有n - r 个解.故：r ( B ) ≤ n - r 再证明本例： 因为r ( A )= n - 1，则 A = 0 ，A 至少有一个n -1级子式不为零,r a n k ( A* ) ≥ 1.而：A * =AE = 0 .利用引理得：r a n k ( A * ) ≤ 1，故r a n k ( A )=*.51 - 9 x +2 6x - 163 x4 + 2x 52 3 4 5⎝⎪ 1 2= ⎪ ⎪ 得证.3.3 求矩阵逆的应用我们在求矩阵逆的时候包括很多方法：利用定义求逆、利用伴随矩阵求逆、 利用初等变换求逆、混合采用初等行列变换求逆等等.这里我们统一用矩阵分块的思路来求矩阵的逆.例 3.3.1 [6] ：设 A 、 B 是n 阶方阵，若 A + B 与 A - B 可逆，试证明： ⎛ A B ⎫可逆，并求其逆矩阵. B A ⎭ ⎪ 解：令D = ⎛ A B ⎫，由假设知 A + B ≠ 0 , A - B ≠ 0B A ⎪ .那么：D =A B⎝ ⎭A +B B =A + BB= A + B A - B ≠ 0 .B AB + A AA - B即 D 可逆. 再令D -1 ⎛D 1= D 2⎫ , 由D -1 = E ，即：可得：D D ⎝ 3 4 ⎭⎛ A B ⎫ ⎛D D ⎫ ⎛E 0 ⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎝B A ⎭ ⎝D 3D 4 ⎭ ⎝ 0E ⎭⎪⎧A D 1 + B D 3 = E B D + A D = 0⎪12⎨A D +B D = 0 B D 2 + A D 4 = E ⎩ 2 4将第一行和第二行相加、相减，得：⎪D + D = ( A + B )-1 ⎨1 3⎩D 1 - D 3= ( A - B )-1 解之得：D = 1 ⎡( A + B )-1 + ( A - B )-1 ,D = 1⎡( A + B )-1 - ( A - B )-11 2 ⎣⎦ 2 2 ⎣⎦类似地：D 2所以： = D 3 ,D 4= D 1 .⎛ A B ⎫-11 ⎛( A + B )-1 + ( A - B )-1 ( A + B )-1 - ( A - B )-1 ⎫⎪ = 2 -1 -1 -1-1 ⎪ . ⎝B A ⎭ ⎝( A + B ) - ( A - B )( A + B ) + ( A - B ) ⎭ =⎝⎭ ⎝ - ⎪⎪ ⎪0 例 3.3.2 [6] ：已知分块形矩阵M = ⎛ A B ⎫可逆，其中 B 为p ⨯ p 块， C 为C 0 ⎪ ⎝ ⎭q ⨯ q 块，求证： B 与C 都可逆，并求M-1 . 解：由0 ≠M = (-1)p qBC ，则： B ≠0 , C ≠ 0 ,即证 B 、C 都可逆.这里用分块矩阵的广义初等变换来求逆： ⎛ A B E p0 ⎫ → ⎛ A B E 0 ⎫ → ⎛ 0B E -AC -1 ⎫⎪ ⎪ -1 ⎪ -1⎝C 0 0 Eq ⎭ ⎝E 0 0 C ⎭ ⎝E 0 0 E ⎭→ ⎛ 0 E B -1-B -1A C -1 ⎫ → ⎛E 0 0 C-1 ⎫E 0 0 C-1⎪ 0 E B -1-B -1A C -1 ⎪ ⎭-1⎛C -1 ⎫故 ：M = B -1-B -1A C-1 ⎪ . ⎝⎭备注：本例和上例属于同一个类型的问题，但我们利用分块矩阵，可以有两种不同的方法来解决，待定系数法和广义初等变换都是求逆的有效方法.值得注意的是，在题目没有直接给出分块矩阵的情况时，我们要学会自己构造:⎛ 1 0 1 ⎫ 例 3.3.3 [10] ：求矩阵A = 2 1 0 ⎪的逆矩阵.⎝ ⎭ 解：构造矩阵：⎛ 10 1 1 00⎫⎪⎛ 1 0 1 1 0 0⎫⎪2 0 0 1 -2 -2 1 0 D = ⎛ A E ⎫= -3 1 0 0 1 2 -5 0 0 1⎪ → 0 2 -2 3 0 1⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎝E O ⎭6⨯6 1 0 0 0 00 1 0 0 0 0⎪ 1 0 0 0 0 0⎪ 0⎪ 0 1 0 0 0 0⎪0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎛ 1 0⎫⎪ 00 1⎪ →1 0⎪ ⎛ 1 0 1 1 0 0⎫ 0 1 -2 -2 1 0 0 1⎪ → 1 0⎪⎪ ⎪ 0 0⎪ 0 0⎪ 00⎪ 0 0⎪ ⎝⎭ ⎝ ⎭ 0 1 1 0 1 -2 -2 1 0 2 7 -2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 00 2 7 -2 0 -1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0- - ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭1 ⎛ 1 0 0 1 0 0⎫⎪0 1 0 2 1 0 ⎛ 10 0 1 0 0⎪⎫ 0 1 0 2 1 0 0 0 17 -2 1⎪0 0 2 7 -2 1⎪1 ⎪→ ⎪ → 10 - 0 0 0⎪ .1 0 -1 0 0 0⎪2⎪ 0 1 2 0 0 0⎪ 00 10 01 0 0 0⎪0 0 1 0 0 0⎪⎝所以;⎭⎪⎝2⎭⎛1 0 1 ⎫ ⎛ 5 1 ⎫- 2 ⎪⎛ 1 0 0⎫ - 2 -1 - 2 ⎪ A -1 = 0 1 1 ⎪ -2 1 0⎪ = 5 -1 1 ⎪ . ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪ 7 -2 17 1 ⎪ 0 0 2 ⎪ ⎝ ⎭ 2 -1 2 ⎪ 此方法在计算上并不简单，但是它把平常的单纯的一种变换变成了两种变换同时应用，把已知的可逆矩阵置于含单位矩阵的分块矩阵中，以此求逆矩阵， 有时比较简单.3.4 矩阵秩基本不等式矩阵理论中， 矩阵的秩是一个重要的概念，而矩阵经过运算后所得新矩阵 的秩往往与原矩阵的秩有一定关系. 现把高等代数书中有关矩阵秩最基本的不等式总结如下：（1）矩阵和的秩不超过两矩阵秩的和.即：设 A 、 B 均为m ⨯ n 矩阵，则：r ( A + B ) ≤ r(A ) + r ( B ) .（2）矩阵乘积的秩不超过各因子的秩.即：设 A 是m ⨯ n 矩阵 , B 是n ⨯ s 矩（3）r ⎛A B ⎫阵，则：r ( A B ) ≤≥ r ( A ) + r ( B ) . m i n {r ( A ) , r ( B )}.（4）r ⎝ 0 C ⎭ ⎪ ⎛A ⎫ ⎪⎪ ≥ A i j .A ⎪ ⎝ m ⎭再来介绍由分块矩阵证明导出的两个基本不等式例 3.4.1[11] ：（薛尔弗斯特不等式）设A = (a ) ，B = (b ) ，证明：ij s ⨯nij n ⨯mr a n k ( A B ) ≥ r a n k ( A ) + r a n k ( B ) - n⎪ 证明：由分块矩阵的乘积⎛ E n 0⎪ ⎫ ⎛E B ⎫ ⎪⎛E n -B ⎫⎛E n 0 ⎫ -A E A n0 0 E ⎪ = ⎪0 - ⎝ s ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ 知：m ⎭⎝ A B ⎭ r a n k⎛E n B⎫ = r a n k (E ) + r a n k ( -A B ) = n + r a n k ( A B )A 0 ⎪n.⎝ ⎭但,r a n k⎛E nB ⎫ A 0⎪= r a n k⎛B E n ⎫ ≥ r a n k ( A ) + r a n k ( B ) ⎪故：得证.⎝⎭ ⎝ 0 A ⎭.n + r a n k ( A B )≥ r a n k ( A ) + r a n k ( B )备注：在矩阵秩不等式的证明过程中，我们往往会构造如下的分块矩阵： (1) 矩阵不等式中含两个不同矩阵：构造 ⎛A 0 ⎫⎪;⎝ 0 B ⎭(2) 矩阵不等式中含有两个不同矩阵及阶数：构造⎛ A E ⎫ ⎪ 或者 ⎛ A 0 ⎫ ⎪.⎝ 0 B ⎭ ⎝E B ⎭具体分块矩阵的元素则要看题目所给的条件.例 3.4.2 [6] ：（Frobenius 不等式）设 A 、 B 、C 是任意3 个矩阵，乘积ABC 有意义，证明：r ( A B C ) ≥ r ( A B ) + r ( B C ) - r ( B )证明：设 B 是n ⨯ m 矩阵，r ( B ) = r那么存在n 阶可逆阵 P ， m 阶可逆阵Q ，使B = ⎛Er0⎫ P ⎪ Q .⎝ 0 0⎭把 P 、Q 适当分块：P = (M , S ),Q =⎛N ⎫, 由上式有： T ⎝ ⎭故：r ( A B C )= r ( A M N C ) B = (M , S )⎛E r0⎫ ⎛N ⎫ = M N .⎪ ⎪ ⎝ 0 0⎭ ⎝T ⎭≥ r ( A M ) + r ( N C ) - r0 ≥ r ( A M N ) + r ( M N C ) - r ( B )得证.= r ( A B ) + r ( B C ) - r ( B ) .3.5 矩阵秩不等式证明的应用矩阵基本不等式的证明思路，在一般不等式中也常常用到， 以下例题是对矩阵秩不等式的推广及其应用：例 3.5.1[11] ：设 A 为m ⨯ k 矩阵， B 为k ⨯ n 矩阵，则证明：r a n k ( A )+r ank( B ) - k≤ r ank( AB) ≤ m i n {r a n k ( A ) , r a n k ( B )}证明：先证明右边的不等式，由：(A 0)(E k0 B ) = ( A A B ) ;E n可得：⎛E k A E 0⎪ ⎫ ⎛B ⎪⎫ = ⎛ B A B ⎫⎪ ,⎝m ⎭ ⎝ ⎭⎝ ⎭r a n k ( A ) =r ank( A 0) = r a n k ( A A B ) ≥ r a n k ( A B ) ;r a n k ( B ) = r a n k ⎛ B ⎫ = r a n k ⎛ B ⎫≥ r a n k ( A B ) .⎪ ⎪⎝ 0 ⎭ ⎝AB ⎭ 再证左边的不等式.注意到下列事实：⎛E m -A ⎫ ⎛ A 0 ⎫ ⎛E ⎪k -B ⎫ = ⎛ 0 -A B ⎫⎪ 0 E ⎪E B 0E⎪ E 0 ⎝k ⎭ ⎝ k 则：⎭ ⎝ n ⎭⎝ k ⎭0 ⎫⎛ 0r a n k ⎛ A ⎪ = r a n k-A B ⎫ ⎪于是：⎝E kB ⎭ ⎝E k0 ⎭⎛ A 0 ⎫r a n k ( A ) + r ank ( B ) ≤r ank ⎪ = r a n k ( -A B ) + r a n k (E k )= r a n k ( A B ) + k⎝E kB ⎭ 从而: r a n k ( A ) + r a n k ( B ) - k ≤ r a n k ( A B ) .这里也是用到构造矩阵的方法.例 3.5.2 [6] ：设n 阶矩阵 A 、 B 可交换，证明：r a n k ( A + B ) ≤ r a n k ( A ) + r a n k ( B ) - r a n k ( A B )→ → , ⎝ ⎭ 解：利用分块初等变换，有：⎛A O ⎫ ⎛A B ⎫ ⎛A + B B ⎫⎪ ⎪⎪ ⎝O B ⎭ ⎝O B ⎭ ⎝ B B ⎭ 因为 AB = BA ，所以：⎛ E O ⎫ ⎛A + B B ⎫ = ⎛A + B B ⎫ .B -A - ⎪ B ⎪ O- ⎪B B A B ⎝ 于是，有：⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭r a n k ( A ) + r a n k ( B )= r a n k⎛A + B B ⎫≥ r a n k ⎛A + B B ⎫B ⎪⎝ B ⎭ ⎝ ⎪O-A B ⎭即：r a n k ( A + B )得证.≥ r a n k ( A + B ) + r a n k ( A B ) .≤ r a n k ( A ) + r a n k ( B ) - r a n k ( A B ) .例 3.5.3：设 A 是n 阶方阵，且r ( A ) = r ( A 2 ,证明：对任意自然数k ,有r ( A k ) = r ( A )⎛A 2O ⎫证：构造分块矩阵 O A 2 ⎪，由 Frobenius 不等式： 2 2 2 ⎛A O ⎫ ⎛A 2 -A 3 ⎫ ⎛O -A 3 ⎫ 3 r ( A )+r( A ) ≤ r ⎪ = r A A 2 A O ⎪ = r A O ⎪ = r ( A ) + r ( A ) . 由：r ( A ) = r ( A 2 ) ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭所以，r ( A3 ) = r ( A 2 * A )≤ r ( A2 ) .故： r(A 2 ) = r ( A 3 .由此可推得：r ( A3) = r ( A 4) , r ( A4) = r ( A5 ) , .故：对任意自然数k , 有：r ( A k ) = r ( A ) .3.6 综合应用在掌握了分块矩阵的技巧之后，可以由其导出的一个重要的定理：特征多项式的降阶定理，以下主要讨论该定理及其结论的应用.例 3.6.1 [6] ：（特征多项式的降阶定理）设 A 是m ⨯n 矩阵， B 是n ⨯ m 矩阵. 证明: AB 的特征多项式f A B ( ) 与 BA 的特征多项式f B A( ) 有如下的关系：nm1 2 s证：先要把上式改写为：n f () =m f () .A BB AnE -m A B =mEE 1 Bn - B A .用构造法，设 ≠ 0 ，令： H =n.A E m⎛1 ⎫ ⎛E 1 B ⎫对 ⎛E n 0⎪ ⎫ E n B ⎪= n ⎪ ⎝ -A E⎪⎪ 1 ⎪ 两边取行列式得： n ⎭ A E⎝ m ⎭ 0 E - ⎝A B ⎪⎭ H = E -1 A B = 1 m E - A B .⎛E 1 B ⎫ ⎛E nm 0 ⎫⎛ 1( ) m1 B ⎫ 再对 n ⎪ -A E ⎪ E - B A ⎪ 两边取行列式得： ⎪ ⎪ = n⎪⎝ A E m ⎭⎝ n ⎭ ⎝ H = E -0 1B A = E m ⎭ 1 n E - B A .故： 1nE n- B A =1Em mn- A B() nmE n - B A = nE m - A B .上述等式是假设了 ≠ 0 ，但是两边均为的n + m 次多项式，有无穷多个值使它们成立（0）≠ ，从而一定是恒等式，即证.这个等式也称为薛尔弗斯特（Sylvester ）公式. 以下例题是定理的应用. 例 3.6.2 [6] ：设 A 为m ⨯ n 矩阵， B 为n ⨯ m 矩阵，证明： AB 与 BA 有相同的非零特征值.证：由定理：m E - B A = n E - A B .设 E m- A B = m -s (- ) ( - ) ( - ) ,其中12 m ≠么有：0 ，即 AB 有s 个非零特征值：1, 2, , s , 由上面两式,那nE - B A = ( - 1) ( - ) 2 (- )n- s s即证 BA 也只有s 个非零特征值：1, 2, , s .m∑ 例 3.6.3 [6] ：设 A 、 B 分别是m ⨯n 和n ⨯ m 矩阵，证明：t r A B = t r B A .解：由上例知，若E - A B = m -s ( - a ) ( - a )m1s其中a 1a 2 a s ≠ 0. 则 AB 的全部特征值为1 = a 1, , s= a s , s +1= = m = 0 ,且：E - B A = n -s ( - a ) ( - a ) .n1s即 BA 的全部特征值为:1 = a 1,2 = a2, ,s +1= = n = 0 .从而 t r A B =sa ii=1=t r B A .可见，在一些问题中，直接利用特征多项式的降阶定理会更加方便处理，这里则要求我们对分块矩阵的了解更加深刻.结论本文主要通过“分块矩阵、分块矩阵及其应用”两个部分，分别简单介绍了分块矩阵的性质概念、导出的定理结论和相关应用.主要是将分块矩阵的技巧和推广做了一个内容的总结.本文简单的将矩阵工具应用于计算行列式、解决线性方程组、求矩阵的逆、证明矩阵秩的相关定理等，对应不同问题也举了几个重要的应用以及它们的综合应用.将以前出现的矩阵思想整体化，并对相关知识也做了一个系统的复习.最后，本文还有一些不足之处，有待于进一步的改善和提高.参考文献[1] 上海交通大学线性代数编写组. 线性代数[M]. 高等教育出版社, 1982. [2] 北京大学. 高等代数{M}. 高等教育出版社, 1998.[3] 高百俊. 分块矩阵的初等变换及其应用[J]. 伊犁师范学院学报, 2007(4):14-18.[4]张红玉, 魏慧敏. 矩阵的研究[M]. ft 西人民出版社, 2010.[5]雷英果. 分块初等方阵及其应用[J].工科数学, 1998, 14(4):150-154. [6]钱吉林. 高等代数题解精粹(第二版)[M]. 中央民族大学出版社, 2010.[7] 王莲花, 李念伟, 梁志新. 分块矩阵在行列式计算中的应用[J]. 河南教育学院学报(自然科学版), 2005, 14(3):12-15.[8] 张贤科, 许甫华. 高等代数学[M]. 清华大学出版社, 1998:91-96.[9]杨子胥. 高等代数习题集[M]. ft东科学技术出版社, 1981.[10]鲁翠仙. 分块矩阵在求矩阵逆的应用[D]. 云南:云南大学数学系数学研究所,2009：14-15.[11]刘丁酉. 高等代数习题精解[M].中国科学技术大学出版社, 1999.“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。
分块矩阵在解题中的灵活应用
中国科教创新导刊中国科教创新导刊I 2008N O .30C hi na Educa t i on I nnov at i on H er al d 教育教学方法1分块矩阵的性质定义1:分块矩阵的初等行（列）变换是指下列三种变换：Ⅰ、调换分块矩阵的i ，j 两行（列），记作〔i ，j 〕。
Ⅱ、用一个可逆矩阵P 左(右)乘分块矩阵的第i 行(列),记作〔i (P)〕。
Ⅲ、用一个可逆矩阵P 左(右)乘分块矩阵的第i 行(列)后加到第j 行(列),记作〔i (P)+j 〕。
性质1：分块矩阵是可逆的，且逆矩阵为分块初等矩阵。
性质2:分块单位矩阵(即单位矩阵经分块后得到的分块矩阵)经过一次分块矩阵的初等行(列)变换所得到的矩阵仍为分块初等矩阵。
2分块矩阵在求逆矩阵时的重要应用定理1：设A 、B 、C 分别是m ×m,n ×n ,n ×m 矩阵，A 、B均可逆，则=。
证明:由=两边求逆:即=例1:求下式的逆矩阵：E=。
解:将E 分解成E=其中:求得：分块矩阵在解题中的灵活应用胡香兰（南昌师范高等专科学校自然科学系南昌330029）摘要:从分块矩阵的性质出发,说明分块矩阵在高等代数解题中有着重要作用，结合逆矩阵及非齐次线性方程组的求解予以具体说明。
关键词:分块矩阵逆矩阵初等变换非齐次方程组中图分类号:G 633文献标识码:A 文章编号:1673-9795(2008)10(c)-0088-013分块矩阵在非齐次线性方程组求解时的重要应用定义2：如果E 是一个n 阶非奇异阵E=（e i j ）,i .j =1,2,3,……n,将E 进行分块，E=,其中A ，B ，C ，D 分别是p ×p,q ×q,q ×p,p ×q 矩阵,p+q=n,若B是非奇异阵，那么一定可以找到一个上三角分块阵F=,使得FE=,其中G=A-DB -1C ，且G 是非异阵。
分块矩阵及其应用
分块矩阵及其运用摘要分块矩阵是高等代数中的一个重要内容，是处理阶数较高的矩阵时常采用的技巧，也是数学在多领域的研究工具。
对矩阵进行适当分块，可使高阶矩阵的运算可以转化为低阶矩阵的运算，同时也使原矩阵的结构显得简单而清晰，从而能够大大简化运算步骤，或给矩阵的理论推导带来方便。
有不少数学问题利用分块矩阵来处理或证明，将显得简洁、明快。
本文先介绍了分块矩阵的概念、运算，几类特殊的分块矩阵，讨论了分块矩阵的初等变换，接着介绍了分块初等矩阵及其性质，最后分类举例说明了分块矩阵在高等代数中的一些应用，包括在在行列式计算中的应用，在证明矩阵秩的问题中的应用，在矩阵求逆问题中的应用，在解线性方程组问题中的应用，在线性相关性及矩阵分解中的应用，在特征值问题中的应用，在相似与合同问题中的应用以及在其他问题中的应用等。
大量的例体现了矩阵分块法的基本思想，说明了应用分块矩阵可以使高等代数中的很多计算与证明问题简单化，所以了解分析并掌握分块矩阵的性质与应用及相关的技巧是非常必要的。
关键词矩阵分块矩阵初等变换应用Block Matrix and its ApplicationAbstract:Matrix is an important concept in high algebra，it's often used to deal with high order matrix and it's an instrument of math in many fields.Dividing matrix in a proper way can turn the operation of high order matrix into the operation of a low order matrix.At the same time，it makes the structure of the original matrix look simple and clear，so it can simplify the steps of the operation a lot or bring the convenience for the theory derivation of matrix.A lot of math problems solved or proved by using block matrix appears concise.At the beginning，this paper introduces the concepts and operations of block matrix and some special kinds of block matrix，then，it discusses the elementary transformation of block matrix and introduces the elementary block matrix and it's natures.At last，it explains the use of block matrix in high algebra by making examples in several kinds，including the use in the calculation of determinant，the testify of the problem of the rank of matrix，the answer of the inverse of matrix，the answer of system of linear equations，the linear correlation and the dividing of matrix，the problem of the eigenvalue，the similar matrix and Contract matrix and so on.A lot of example shows the basic theory of block matrix，It shows that using block matrix can make the calculation and the testify in high algebra easier.It is necessary that we must learn and analyse and grasp the skill of block matrix which is an important concept in high algebra.Key words: matrix block matrix elementary transformation application目录1前言 (1)2分块矩阵 (1)2.1分块矩阵的定义 (1)2.2分块矩阵的运算 (2)2.2.1加法 (2)2.2.2数乘 (2)2.2.3乘法 (2)2.2.4转置 (4)2.3两种特殊的分块矩阵 (4)2.3.1分块对角矩阵 (4)2.3.2分块上（下）三角形矩阵 (5)2.4两种常见的分块方法 (6)2.5分块矩阵的初等变换 (7)2.6分块初等矩阵及其性质 (7)3分块矩阵的应用 (8)3.1在行列式计算中的应用 (9)3.2在证明矩阵秩的问题中的应用 (17)3.3在逆矩阵问题中的应用 (25)3.3.1解线性方程组法 (26)3.3.2初等变换法 (27)3.3.3三角分解法 (29)3.4在解线性方程组问题中的应用 (30)3.4.1齐次线性方程组 (30)3.4.2非齐次线性方程组 (31)3.5在线性相关性及矩阵分解中的应用 (34)3.5.1关于矩阵列（行）向量的线性相关性 (34)3.5.2矩阵的分解 (34)3.6在特征值问题中的应用 (35)3.7分块矩阵在相似问题中的应用 (37)3.8分块矩阵在合同问题中的应用 (38)3.9分块矩阵在矩阵分解中的应用 (40)3.10分块矩阵的其他应用 (41)4结束语 (42)参考文献 (43)致谢 (44)1 前言矩阵作为重要的数学工具之一，有极其实用的价值。
非齐次线性方程矩阵求解
非齐次线性方程矩阵求解非齐次线性方程矩阵求解是线性代数中的一种重要内容。
它用于求解非齐次线性方程组，是求解线性方程组的基础，也是机器学习中非常常用的一种技术。
本文运用矩阵理论来研究非齐次线性方程组的求解方法。
一、阵理论的基础矩阵理论是实数空间和复数空间的一种数学工具，它用来研究向量空间，描述和分析一般线性变换，以及用线性方程组的形式来求解线性变换。
矩阵的定义：矩阵是一种模板，用于描述矩阵变换的表示形式，包括实数空间中的矩阵和复数空间中的矩阵，记作A，n×n。
其中A=(ai,j )i,j=1,2,…,n，其中ai,j实数或复数。
二、阵方程通过上面矩阵的定义，我们可以知道，每个矩阵都有一系列方程，这些方程中包括了矩阵变换的形式：矩阵方程：AX=B其中A是n×n的矩阵，X是n×1的列向量，B是n×1的列向量。
三、阵的求解当我们已经知道矩阵的形式，接下来就是要求解这个方程了。
求解矩阵的方法是，先把矩阵A分解成几个具有更简单形式的矩阵，然后求解每个矩阵，在把答案合成一个新矩阵。
1.斯消元法：高斯消元法是最常用的一种求解矩阵的方法，它的思想是先把矩阵分解成三角形矩阵，然后把矩阵中的每一行进行消元，最后求解出答案。
2.矩阵法：逆矩阵法是一种更容易的求解矩阵的方法，它的思想是先求出矩阵A的逆矩阵，然后把原矩阵A和答案B矩阵相乘，就得到了X，即解。
四、齐次线性方程组非齐次线性方程组是一组非齐次线性方程，它的形式可以表示为：AX=B。
其中，A是n×n的矩阵，X是n×1的列向量，B是n×1的列向量，并且B不为零。
非齐次线性方程的解可以用上述求解矩阵的两种方法来求解。
五、例分析下面给出一个关于非齐次线性方程组的实例：A=[3, -2, 4][5, 8, -1][2, 1, 6]B=[11][25][12]解：用高斯消元法求解，首先将矩阵A分解为三角形矩阵：[3, -2, 4][0, 5, -6][0, 0, 0]接下来，对每一行进行消元，将矩阵A转换为：[1, -2/3, 1][0, 1, -6/5][0, 0, 0]由于矩阵A第三行为0，这时可以知道，原方程组的解是不存在的。
非齐次线性方程矩阵求解
非齐次线性方程矩阵求解非齐次线性方程矩阵求解是线性代数中重要内容之一。
现代科技的发展，计算机已成为研究和计算问题的有力工具，求解非齐次线性方程矩阵也离不开计算机。
在求解非齐次线性方程矩阵方面，人们提出了许多有用的概念和方法，但是仍然有很多问题需要解决。
首先，让我们回顾一下非齐次线性方程矩阵的概念。
非齐次线性方程是一组多元一次方程，系数矩阵中不全为零，且右端常数项中不全为零，即使将它们转化为一组齐次方程，也不能将其简化为一个三角矩阵或一个对角阵。
解决非齐次线性方程组的方法，又可以分为分块求解法和特征值法两类。
分块求解法是求解非齐次线性方程组最常用的方法。
它的思想是将问题的未知向量分解成多个小的向量，然后用非齐次线性方法求解每个小的向量，最后再将所有小的向量组合成一个未知向量。
但是这种方法存在求解步骤繁琐、效率低下等问题，并且求解精度也相对较低。
特征值法是求解非齐次线性方程组的另一种方法。
它的思想是利用特征向量和特征值来求解问题，这样可以有效地提高求解效率，简化求解过程，提高求解精度。
同时，特征值法也可以用来解决奇异线性方程组和稀疏线性方程组，并且广泛应用于人工智能、机器学习等方面。
但是，特征值法也存在一些问题。
首先，由于它所使用的特征向量和特征值是变化的，所以需要大量的计算，从而影响了求解效率。
其次，它只能求出系数矩阵的特征向量和特征值，而不能直接求解出原方程组的解。
为了解决上述问题，许多学者提出了新的解决方案。
它们采用了矩阵算法、并行计算技术、结合分块求解法和特征值法的混合方法，利用计算机的优势，大大提高了求解效率，降低了求解复杂度，提供了快速准确的解决方案。
总之，非齐次线性方程矩阵求解是非常重要的，也是研究线性代数的重要基础。
计算机在其中起着至关重要的作用，但仍然存在许多可以改进的地方。
随着科学技术的发展，解决这些问题也是迫切而重要的任务，为了更好地解决实际问题，还有很多工作要做。
利用分块矩阵法求解矩阵方程的一种简单方法
利用分块矩阵法求解矩阵方程的一种简单方法引言：矩阵方程是线性代数中的重要内容，它在科学计算、工程技术、经济管理等领域中有着广泛的应用。
然而，对于一些大型的矩阵方程，传统的求解方法可能会面临计算量大、时间长等问题。
因此，如何寻找一种简单高效的方法来求解矩阵方程，一直是学者们关注的焦点。
正文：分块矩阵法是一种常用的求解大型矩阵方程的方法。
它将大型矩阵分解成若干个小块，然后通过对小块的运算来求解整个矩阵方程。
这种方法不仅可以减少计算量，还可以提高计算效率。
具体来说，分块矩阵法可以分为两种类型：直接法和迭代法。
直接法是通过对矩阵进行分块，然后利用分块矩阵的性质来求解矩阵方程。
而迭代法则是通过不断迭代来逼近矩阵方程的解。
在实际应用中，我们可以根据具体的问题选择不同的分块矩阵法。
例如，在求解大型线性方程组时，我们可以采用直接法，将系数矩阵分块后，利用分块矩阵的性质来求解方程组。
而在求解特征值问题时，我们可以采用迭代法，通过不断迭代来逼近特征值和特征向量。
总之，分块矩阵法是一种非常实用的求解矩阵方程的方法。
它不仅可以减少计算量，提高计算效率，还可以应用于各种不同的问题中。
因此，我们应该在学习线性代数的过程中，掌握分块矩阵法的基本原理和应用方法，以便在实际应用中更好地解决问题。
结论：分块矩阵法是一种非常实用的求解矩阵方程的方法。
它可以将大型矩阵分解成若干个小块，然后通过对小块的运算来求解整个矩阵方程。
这种方法不仅可以减少计算量，提高计算效率，还可以应用于各种不同的问题中。
因此，我们应该在学习线性代数的过程中，掌握分块矩阵法的基本原理和应用方法，以便在实际应用中更好地解决问题。
非齐次线性方程组的解
非齐次线性方程组的解线性方程组是数学中一个非常重要的概念，可以用来描述多个未知数之间的关系。
在实际问题中，我们经常会遇到非齐次线性方程组，即右端项不为0的线性方程组。
非齐次线性方程组的解是指使得方程组中所有方程都成立的未知数的取值。
在本文中，将详细讨论非齐次线性方程组的解及其求解方法。
首先，我们先回顾一下齐次线性方程组的解。
对于齐次线性方程组Ax=0，其中A为系数矩阵，x为未知数向量，0为零向量，如果存在一个非零向量x使得Ax=0，那么x就是齐次线性方程组的解。
齐次线性方程组总有非零解，因为零向量满足Ax=0。
但齐次线性方程组的解不唯一，它有无穷多个解。
可以通过求解方程组的增广矩阵，经过高斯消元法得到阶梯形矩阵，再得到最简形矩阵，从而得到基础解系。
然而，非齐次线性方程组Ax=b是指右端项不为0的线性方程组，我们需要找到一组解使得Ax=b成立。
如果存在一个向量x使得Ax=b，那么x就是非齐次线性方程组的解。
但是，非齐次线性方程组的解不再有无穷多个，而是只有一个特解x0加上齐次线性方程组的解。
也就是说，非齐次线性方程组的解是特解加上齐次线性方程组的解。
具体来说，对于非齐次线性方程组Ax=b，我们可以通过增广矩阵的高斯消元法来求解。
我们将增广矩阵进行行变换，使得增广矩阵的左半部分变为一个最简形矩阵，然后根据最简形矩阵的形式来确定特解。
最后，我们可以通过求解齐次线性方程组Ax=0来得到齐次线性方程组的解。
举个例子来说明非齐次线性方程组的解的求解过程：假设我们有一个非齐次线性方程组：2x+y+z=23x+2y+z=4首先，我们可以写出增广矩阵：[211，2][321，4]接下来，我们对增广矩阵进行高斯消元法。
通过行变换，将增广矩阵的左半部分变为最简形矩阵：[10-1，0][011，2]从最简形矩阵中可以看出，特解x0=0，y=2，z=-2、然后，我们需要求解齐次线性方程组Ax=0。
根据最简形矩阵的形式，我们可以得到齐次线性方程组的解：x=t,y=-t,z=t，其中t为任意实数。
分块矩阵的运算法则
1 a 1 1
0 0 1 1
B1 0 0 B2 b B 3 B4 b
a 0 A 1 0
1 0 0 a 0 0 C1 0 b 1 C3 1 1 b
C2 , C4
1 0 5 6 A11 例: A 2 8 1 7 A 0 5 4 3 21
A12 A22
1 0 T A 5 6
2 8 1 7
0 5 4 3
A T A T 12 22
A1 ABA O
O B1 A2 O O
O A1 B2 O
O A2
A1 B1 A1 O
, A2 B2 A2
a 3 a 2a 2 1 0 0 2 3 a a 0 0 a . 3 2 0 0 b 2b 2b 1 0 2 3 0 3 b b 2 b
A1r B1r . Asr Bsr
A11 A1r 2 设 A , 为数, 那末 A A s1 sr
A11 A1r A . A A s1 sr
a11 B1 a12 B2 a B a B m2 2 m1 1 a1l Bl aml Bl m1 n
⒉ 设 A (ai j )ml , B (bi j )l n
将A分成1 1块， B分成1 n块，则
AB AB1 , AB2 ,
第五节
分块矩阵
了解简化矩阵计算的这种工具 一、矩阵的分块 二、分块矩阵的运算法则 三、小结
非齐次线性方程组的分块矩阵解法
第23卷第1期2007年2月赤峰学院学报(自然科学版)Journal of Chifeng C ollege(Natural Science Edition)V ol.23N o.1Feb.2007非齐次线性方程组的分块矩阵解法纪 青(漳州医学护理职业学院,福建 漳州 363000) 摘 要:本文利用分块矩阵给出了非齐次线性方程组当m=n且R(A)=n与当R(AB)=R(A)=r<n两种情形下的求解方法.关键词:分块矩阵;非齐次线性方程组;解法中图分类号:O151.21文献标识码:A文章编号:1673-260X(2007)01-0020-031 预备知识引理1[1] 设A=A11 A12A21 A22,A11是n阶矩阵,A22是m阶矩阵,A12与A21分别是n×m与m×n阶矩阵,当A11可逆,则A可逆的充要条件是A22-A21A-111A12可逆.记A22-A21A-111A12=M,这时A-1=A-111+A-111A12M-1A21A-111-A-111A12M-1 -M-1A21A-111M-1由于矩阵可逆的充要条件是其行列式的值不为零,这样由引理1易得以下的引理2.引理2 设A=A11 A12A21 A22,A11是n阶矩阵,A22是m阶矩阵,A12与A21分别是n×m与m×n阶矩阵,则当|A11 |≠0且|M|=|A22-A21A-111A12|≠0时,有|A|≠0.定义1 AX=0称为AX=B的导出方程.引理3[2] A=a11a12 (1)a21a22 (2)…………a m1a m2…a mn可以通过行初等变换和列第一种初等变换(交换列)化成形式:A=1...0c1,1...c1,n-r ..................0...1c r,1...c r,n-r 0...00 0..................0...00 0,定义2 我们称引理中的A为A的最简形式.引理4[2] 非齐次线性方程组有解的充要条件是它的系数矩阵和增广矩阵的秩相等,对于AX=B即秩R(AB)= R(A).2 主要结论下面准备利用分块矩阵对非齐次线性方程组:a11x1+a12x2+…+a1n x n=b1a21x1+a22x2+…+a2n x n=b2 … … … a m1x1+a m2x2+…+a mn x n=b m(3)进行求解.为此,先将方程组(3)改写成矩阵方程的形式:AX=B.其中A=a11a12 (1)a21a22 (2)…………a m1a m2…a mn为系数矩阵,X=x1x2⁝x n, B=b1b2⁝b m.这样,解非齐次线性方程组(3)的问题就转化成解矩阵方程AX=B的问题.同时,我们将从m=n、m≠n等情形入手讨论方程组(3)解的有关问题.当m=n时,A=a11a12 (1)a21a22 (2)…………a m1a m2…a mn,对A继续分块得A=A11 A12A21 A22,同时对X与B做相应的分块,可令X= X1X2,B=B1B2.这时,原矩阵方程AX=B改写成A11 A12A21 A22X1X2=B1B2的形式.这样,很容易判断|A|是否为零:只要A的任意一阶子式为零就可得到|A|=0,否则进一步由引理2当|A11|≠0且|M|=|A22-A21A-111A12|≠0时可得|A|≠0,此时R(A)=n.这样,可根据(3)解的情形对之求解:(1)当m=n且| A|≠0时,即m=n且R(A)=n时,非齐次线性方程组(3)有唯一解,我们用定理1求解之;而对于当m=n且|A|=0时的情形与当m≠n时的情形,我们将A化成最简形式A,·2·这时增广矩阵(AB )有相应变化(AB )～(AB )从(AB )中很容易看出其秩R (AB )与R (A )是否相等,由于初等变换不会改变矩阵的秩,即得到R (AB )与R (A )是否相等.根据引理4得:(2)若R (AB )=R (A ),非齐次线性方程组(3)有无穷多解,我们用定理2求解之.(3)若R (AB )≠R (A ),则非齐次线性方程组(3)无解.定理1 当m =n 且|A|≠0时,AX =B 有唯一确定的解,为X =A -111[B 1-A 12M -1(B 2-A 21A -111B 1)] M -1(B2-A 21A -111B 1),其中M =A 22-A 21A -111A 12.证明 我们可以做一分块矩阵G =I0-A 21A -111I,则G A =I0-A 21A -111IA 11 A 12A 21 A 22=A 11 A 120 M,其中M =A 22-A 21A -111A 12;而 G B = B 1B 2-A 21A -111B 1由AX =B 得G AX =G B ,即A 11 A 120 MX 1X 2= B 1B 2-A 21A -111B 1,所以X 2=M -1(B 2-A 21A -111B 1),X 1=A -111[B 1-A 12X 2]=A -111[B 1-A 12M -1(B 2-A 21A -111B 1)],得X =A -111[B 1-A 12M -1(B 2-A 21A -111B 1)] M -1(B 2-A 21A -111B 1).定义3 设R (A )=r <n ,则AX =0n -r 个解.以齐次线性方程组AX =0的一个基础解系ξ1,ξ2,…,ξn -r 为列的矩阵P =(ξ1,ξ2,…,ξn -r )称为AX =0的基础解阵.定理2 若R (AB )=R (A )=r <n ,则AX =B 有解,且其解可以表示为:η=P η2+η3,其中P 是AX =B 的导出方程AX =0的基础解阵,η2为任意(n -r )×1实矩阵,而η3是AX =B 的一个特解.证 因为R (AB )=R (A ),所以根据引理4AX =B 有解.R (A )=r <n ,不妨设A 的前r 列是线性无关的(否则互换行或列可使前r 列是线性无关,不过互换列时要注意未知量的位置也随之互换,所以P 与η3的行也同样做了相应的调整).对增广矩阵(AB )施行行初等变换:(AB )～1…0c 1,1…c 1,n -rd 1………………0…1c r ,1…c r ,n -rd r…0…0……………………=I r C D 010203= A B ,其中I r =1 0… 0…1,C =c 1,1…c 1,n -r………c r ,1…c r ,n -r,D =d 1⁝d r,01、02、03均为零矩阵.则AX =B 与 AX = B 是同解方程组,而AX =0与 AX =0分别是它们的导出方程,也同解.令P =-C I n -r=-c 1,1…-c 1,n -r………-c r ,1…-c r ,n -r1…0…………1因为I r C01 02-CI n -r =0,所以P 是 AX =0的解,即是AX=0的解.令P =(ξ1,ξ1,…,ξn -r ),即(ξ1,ξ2,…,ξn -r )是AX =0的解,这n -r 个解:ξ1,ξ2,…,ξn -r 是AX =0的基础解系.事实上,因为单位矩阵I n -r 诸列线性无关,所以所述这n -r 个解:ξ1,ξ2,…,ξn -r 也线性无关.另AX =0的任一解τ=v 1⁝v rv r +1⁝v n 都可以由ξ1,ξ2,…,ξn -r 线性表示:记τ1=v 1⁝v r,τ2=v r +1⁝v n,因τ是AX =0的解,所以I r C 01 02τ1τ1=00,化为:I r τ1+C η2=0,再化为:τ1=-C τ2,所以τ=τ1τ1=-CI n -rτ2=(ξ1,ξ2,…,ξn -r )v r +1⁝v n.故ξ1,ξ2,…,ξn -r 是AX =0的基础解系,即P =(ξ1,ξ2,…,ξn -r )是AX =0的基础解阵.令η3= D0(n -r )×1=d 1⁝d r⁝0,其中0(n -r )×1是零矩阵,显然η3是 AX = B 的一个特解.而对于AX =B 的任一个解η=λ1⁝λr λr +1⁝λn,则η可以表示成η=P η2+η3.·12·事实上,对于AX=B的任一个解η=λ1⁝λrλr+1⁝λn,记η1=λ1-d1⁝λr-d r,η2=λr+1⁝λn,有η=η1η2+η3.因η是AX=B的解,所以I r C01 02(η1η2+η3)=η3,化为:I r C01 02(η1η2+D)=D,再化为Irη1+Cη2=0,再化为:η1=-Cη2,得η=η1η2+η3=-CI n-rη2+η3=(ξ1,ξ2,…,ξn-r)η2+η3=Pη2=η3.3 应用举例例 求解方程组x1+2x2-2x3+4x4-x5=-12x1-x2+3x3-4x4+2x5=53x1+x2-x3+2x4-x5=34x1+3x2+4x3+2x4-2x5=-2x1-x2-x3+2x4-3x5=-3解 将方程写矩阵方程的形式,并进行分块得A11 A12A21 A22X1X2=B1B2,这里A11=12-22-1331-1,A12=4-1-422-1,A21=4341-1-1,A22=2-22-3,B1=-183,B2=-2-3.所以A-111=-1/502/511/101/2-7/101/21/2-1/2,M=A22-A21A-111A12=3-72-6/5,M-1=-3/26 35/52-5/26 15/52.X2=M-1(B2-A21A-111B1)=13,X1=A-111[B1-A12X2]=2-2,即解得原方程组有唯一解x1=2,x2=-2,x3=0,x4=1,x5=3.参考文献:[1]王名学.某些分块矩阵的逆矩阵[J].数学理论与应用,2003,(3):60-63.[2]张禾瑞,郝金丙新.高等代数[M].北京:高等教育出版社,1987.141.[3]彭玉芳,福源,沈亦一.线性代数[M].北京:高等教育出版社,2004.71.[4]刘红旭.利用分块矩阵解非齐次线性方程组[J].辽宁师专学报,2003,(6):20-21.(责任编辑 白海龙)(上接第15页) fs=abs(fs);meshc(a,b,fs);view(-50,20);axis([-0,5,-20,20,0,0.3])图2 非因果信号的傅里叶变换与拉普拉斯变换 title(‘laplace’);subplot(2,1,2);c=[6];d=[109];fw=freqs(c,d,b);plot(b,abs(fw));axis([-20,20,0,10])title(‘F ourier’)程序运行结果如图2,可见对非因果信号拉普拉斯变换的曲面图在截面Re(s)=0上的曲线与傅里叶变换的频谱不一致.参考文献:[1]孙福玉.M AT LAB程序设计教程.远方出版社,2006.[2]赵录怀.电路与系统分析使用M AT LAB.高等教育出版社,2004.[3]燕庆明.信号与系统教程.高等教育出版社,2004.(责任编辑 白海龙)·22·。
论文用矩阵列初等变换法求解非齐次线性方程组
用矩阵列初等变换法求解非齐次线性方程组摘要:利用矩阵的初等列变换解非齐次线性方程组,这种方法在许多情况下应用起来比较方便.本文给出了一个命题，对于任意的矩阵C，对其做初等列变换，变成一个两部分的分块矩阵，左边是列满秩的子块，右边是零矩阵，对于一个单位矩阵做同样的初等列变换，右边将是其次线性方程组CX=0的基础解系.在此命题的基础上，可以用初等列变换来求解线性代数的许多计算题，也可以证明一些线性代数的定理.本文还将揭示，在求解非齐次线性方程组的时候，矩阵的列变换方法更加容易学习，更容易理解.关键词: 矩阵; 初等列变换; 线性方程组To solve linear equation using matrix elementary columu vary Abstract :To solve linear equation using mat rix elementary column vary, this method is very convenient under different circumstances. This paper gives and proofs a theorem,for any matrix C, do elementary column operations, chang it to a matrix which is partitioned to two submatrices which left one is column full rank and right one is zero matrix. Then do same elementary column operations to a unit matrix with same column number as C, and do some partition to the result, then right submatrix of it, is just basic solution set of homogeneous linear equation CX=0. On the basic of the theorem, lots of problems of linear algebra can be resolved and lots of theorems can be proofed by elementary column operations. The paper will reveal that them will not easy to learn and to program and to proof something as techniques giving by the paper.Key words : mat rix ; elementary column vary ;linear equation.0 引言非齐次线性方程组的求解是线性代数这门学科中不容忽视的内容，但教材中给出的方法多是用矩阵的初等行变换法求解，这种方法在很多时候显得费力.有没有想过在求解非齐次线性方程组的时候对增广矩阵（A ，b ）做一系列的初等列变换来得到方程组的解.本文将完全用初等列变换求解线性代数中许多计算问题，从理论上看，我们可以在完全不用行变换技术的前提下求解，这种方法是可行的，而且效果更好.1 用矩阵的列变换求解非齐次线性方程组的理论基础定义1 对于一个矩阵A ，我们在它的行和列之间加上一些线，把这个矩阵分成若干小块，用这种方法分成若干小块的矩阵A 叫做一个分块矩阵. 定义2 一个矩阵中不等于零的子式的最大阶数叫做这个矩阵的秩.定义3 设A 是n 阶方阵，如果存在n 阶方阵B 使得AB =n I 成立，那么A 称为B 的可逆矩阵.定义4 把n 阶单位矩阵进行初等行（列）变换后得到的矩阵称为初等方阵. 定义5 设1a ，2a ，…，r a 是F 上向量空间V 的r 个向量，只有当1k =2k =……=r k =0时，1k 1a +2k 2a +……+r k r a =0成立，那么就称向量1a ，2a ，……，r a 线性无关. 定理：设给出了一个一般非齐次线性方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++m n mn m m n n n n bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111 (1) 为了方便,将(1) 式写成矩阵的形式:11m n mn B XA = (2)设分块矩阵C =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+11n m mn E B A ，若系数矩阵mn A 的秩R(A) = r ,则分块矩阵C 经过列的初等变换,要求把系数矩阵mn A 右边的元素尽可能多的化为零，那么矩阵C 等价于如下形式的分块矩阵:C =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---10001121121 r n r n nr m r n mr O H a a a W F O O O D (3) 其中r 为系数矩阵mn A 的秩，1+n E 为n + 1 阶单位矩阵,i O (i = 1 ,2, ……,n - r) 均为零向量,i a (i = 1 ,2 , ……,n - r) 为n 维列向量,并且存在n + 1 阶可逆矩阵1+n P ,使得以下两式成立:)()(11111m r n mr n m mn F O O O D P B A -+= (4)=++11)(n n P I ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--10001121 r n r n nr O H a a a W (5)证明：事实上, 由于对矩阵C 做一次初等列变换,相当于对矩阵)(1m mn B A 及1+n I 右乘同一个初等方阵,经过有限次的对矩阵C 做列的初等变换,相当于对矩阵C 右乘一系列初等方阵,矩阵1+n P 就是这些初等方阵的乘积,所以(3) 、(4) 、(5) 式成立是必然的,证毕. 由定理易推出:结论一:线性方程组(1) 有解的充要条件是(4) 式中的1m F 为零矩阵. 证明：这和非齐次线性方程组有解的充要条件是它的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,即R(A) = R(A :b) 是一致的.结论二:若(1) 有解,则(3) 式中的1n H 就是(1) 的一个特解,而1a ,2a , ⋯⋯r n a -就是(1) 对应的齐次线性方程组的一个基础解系.证明：将(5) 式代入(4) 式得:)(1m mn B A *⎪⎪⎭⎫⎝⎛--10001121 r n r n nr O H a a a W =)(111m r n mr O O O O D - (6)(6) 式两端对照得:i mn a A = i O (i = 1 ,2 ,……n - r) (7)由(7) 式可以看出r n a a a - ,,21均为(1) 对应的齐次线性方程组的解向量,由(5) 式又知r n a a a - 21是线性无关,所以r n a a a - 21是(1) 对应的齐次线性方程组的一个基础解系.由(6) 式又得:)(1m mn B A 111m n O H =⎪⎪⎭⎫⎝⎛- (8)由(8) 式进一步得:111m m n mn O B H A =-,即11m n mn B H A = (9) 所以1n H 为(1) 的一个特解. 从而线性方程组(1) 的通解为:(12211n r n r n H a k a k a k ++++-- ，i k 为任意给定的常数,i = 1 ,2 , ……,n- r).2 具体求解步骤利用此方法求解非齐次线性方程组的通解可以分三步进行:第一步:设出矩阵C =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+11n m mn E B A 第二步:将矩阵C 通过列的初等变换化为(3) 式的形式,并且判断是否有解,若1m F 为零矩阵时(1) 有解,否则无解.第三步:若线性方程组(1) 有解,则(3) 式中的r n a a a - 21就是(1) 对应的齐次线性方程组的一个基础解系,1n H 就是(1) 的一个特解,则(1) 的通解为:12211n r n r n H a k a k a k ++++-- ,其中i k (i = 1 ,2 ,……,n - r) 为任意常数.3 一些计算例子例1 :求解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=+-=+-1521212321321321x x x x x x x x x解:第一步:设矩阵C =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----1000010000100001152********1 第二步：对矩阵作列初等变换C −→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------1000010000101211031113120001−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---10010*********001110120001−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100010003101111001110120001此矩阵已是(3)的形式，但矩阵31F =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010≠⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000所以，此方程组无解.例2 :求解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=-+2875342622321321321x x x x x x x x x解:第一步:设矩阵C =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--10010*********2817534216122第二步：对矩阵作列初等变换C −→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--10000200001001112872539316002−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---100200001031111372509310002−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----102200331012110132500310002 此矩阵已是(3)的形式,因为31F 为零矩阵，所以根据结论二知上述方程组有解。
非齐次线性方程组的分块矩阵解法
非齐次线性方程组的分块矩阵解法
纪青
【期刊名称】《赤峰学院学报：自然科学版》
【年(卷),期】2007(23)1
【摘要】本文利用分块矩阵给出了非齐次线性方程组当m=n且R（A）=n与当R（AB）=R（A）=r〈n两种情形下的求解方法．
【总页数】3页(P20-22)
【作者】纪青
【作者单位】漳州医学护理职业学院,福建漳州363000
【正文语种】中文
【中图分类】O151.21
【相关文献】
1.利用分块矩阵求解非齐次线性方程组 [J], 刘红旭
2.关于非齐次线性方程组Ax=b两类解法的对比 [J], 白素英
3.线性方程组的分块矩阵解法 [J], 许其州;任化民
4.关于非齐次线性方程组的几种解法 [J], 李华灿;李群芳;李师煜
5.非齐次线性方程组的统一矩阵解法 [J], 张会勇;任化民
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利用分块矩阵求解线性方程组
利用分块矩阵求解线性方程组3.1 Cramer 法则的证明定理[2]（Cramer 法则）令若∣A ∣≠0，则AX=B 有解，解惟一，且解为120n A A A X =A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭M 其中A i 为用B 取代A 的第i 列所得的矩阵，i=1，2，…，n.证明：记A 的n 个列分别为12n αααL ，，，，记E （n 阶单位矩阵）的列为12n εεεL ，，，。
因此，12n 12n 12n A=(ααα)A=AE=A(εεε)=(A εA εA ε)L L L ，，，，，，，，，，，从而，i i α=A ε，i=1，2，…，n.若AX=B 有解1?n 12n C=(c c c )F ∈L ，，，，则AC T =B ，从而对任意i=1，2，…，n ，T T 1i-1i+1n 1i-1i+1n 1i-1i+1n i A(εεC εε)=(A εA εAC A εA ε)=(ααB αα)=A L L L L L L ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，根据行列式的性质有T 1i-1i+1n i A εεC εε=A L L ，，，，，，，而上式左边的第二个行列式的值为i c ，因此ii A c =A，i=1，2，…，n 。
得证。
3.2 齐次线性方程组定理[3]：令数域P 上的齐次线性方程组AX=0的系数矩阵A 的秩r<n 。
则AX=0有由n-r 个解T 1，T 2，…，T n-r 组成的基础解系，于是12r)n n n 1r b b A F B =B F b ⨯⨯⎛⎫ ⎪ ⎪∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭M （，，。
即AX=0的解集，称为AX=0的通解，其中k 1，k 2，…，k n-r 为AX=0的基础域P 中的任意数。
证明：不妨令A 左上角的r 阶子式不等于零，则AX=0与A （r ）X=0同解，其中A （r ）=（a ij ）r ×n 。
将A （r ）与X 分块为()121,r+11,r+21n 11121r 2,r+12,r+22n 21222r 1(r)(r)(r)r 12r+12r,r+1r,r+2rn r1r2rr n x x a a a a a a a a a a a a X x A ==A ,A ,X==x X a a a aa a x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭L L M L L M M M M M M M M M L L ， 于是，AX=0就是A 1（r ）X 1+A 2（r ）X 2=0，即A 1（r ）X 1＝－A 2（r ）X 2。
利用矩阵的初等列变换解非齐次线性方程组
0 3 2 1 0 0 1
( - 1) C2 C3 + 4C2 C4 + 3C2
300 1 2 1 0 1 - 1 1 - 1 0 0 0 0 - 1 4 1
延 边 大 学 农 学 学 报
第 21 卷
0 0 5 - 2 3 0
( - 1) C4
1 2 1 1 0 0 0
0 1 - 1 1 - 1 0 0
X1 + 2X2 - 7X3 = 1 解 : 第一步 : 设矩阵 1 1 - 3 - 1 2 1 - 2 1 1 2 - 7 1 C= 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 第二步 : 对矩阵做列初等变换 1 0 0 2 - 1 4 1 1 4 ( C2 + - 1) C1 C 1 - 1 3 C3 + 3C1 0 1 0 C4 + C1 0 0 1 0 0 0
1/ 2C3 C2 ∴C3 C4 + 2C3 C5 + (1/ 2) C3
c=
1 0 0 0
0 0 0 0 第二步 : 对矩阵做初等列变换 1 0 1 0 1 0 C2 + C1 1 1 C C3 + C1 0 1 C4 - C1 0 0 0 0 0 0
第4期
文香丹 ,等 : 利用矩阵的初等列变换解非齐次线性方程组
收稿日期 : 1999 - 09 - 28 作者简介 : 文香丹 (1965 - ) ,女 ( 朝鲜族) ,吉林省延吉市人 ,延边大学农学院基础部数学教研室讲师 .
第4期
文香丹 ,等 : 利用矩阵的初等列变换解非齐次线性方程组
299
推论二 : 若 ( 1) 有解 ,则 ( 3) 式中的 Hn1 就是 ( 1) 的一个特解 ,而 a1 ,a2 , …… a n - r就是 ( 1) 对应 的齐次线性方程组的一个基础解系 . 事实上 ,将 ( 5) 式代入 ( 4) 式得 : 3 nr a1 a2 …… a n - r Hn1 ( AmnB m1 ) = O1r O O … … O - 1 ( 6) = ( Dmr O1 O2 …… O n - r O m1 ) ( 6) 式两端对照得 :A mna1 + B m1 O = Oi (i = 1 ,2 …… n - r) ( 7) 这样便得到 Amnai = Oi ,i = 1 ,2 …… n- r ( ) ( ) ( ) 由 7 式可以看出 a1 a2 …… a n - r 均为 1 对应的齐次线性方程组的解向量 , 由 5 式又知 a1 a2 …… a n - r是线性无关 ,所以 a1 a2 …… a n - r是 ( 1) 对应的齐次线性方程组的一个基础解系 . Hn1 ( 8) 由 ( 6) 式又得 : ( AmnB m1 ) = Om1 - 1 ( 9) 由 ( 8) 式进一步得 :A mn Hn - 1 - B m1 = Om1 ,即 Amn Hn1 = B m1 所以 Hn1 为 ( 1 ) 的一个特解 . 从而线性方程组 ( 1 ) 的通解为 : K1 a1 + K2 a2 + …… + Kn - r a n - r + Hn1 ( Ki 为任意给定的常数 ,i = 1 ,2 , ……,n - r) . 利用此方法求解非齐次线性方程组的通解可以分三步进行 : AmnB m1 第一步 : 设出矩阵 C = En + 1 第二步 : 将矩阵 C 通过列的初等变换化为 ( 3) 式的形式 ,并且判断是否有解 ,若 Fm1 为零矩 阵时 ( 1) 有解 ,否则无解 . 第三步 : 若线性方程组 ( 1) 有解 ,则 ( 3) 式中的 a1 a2 …… a n - r就是 ( 1) 对应的齐次线性方程组 ( ) ( ) 的一个基础解系 , Hn1 就是 1 的一个特解 , 则 1 的通解为 : K1 a1 + K2 a2 + …… + Kn - r a n - r + Hn1 ,其中 Ki (i = 1 ,2 , ……,n - r) 为任意常数 . X1 + X2 - 3X3 = - 1 例 1 : 解线性方程组 2X1 + X2 - 2X3 = 1
非齐次线性方程组的特解
非齐次线性方程组的特解线性方程组解的结构（解法）一、齐次线性方程组的解法【定义】r(A)=r<n,若A=0（A为矩阵）的一组解为,且满足：(1)线性无关;(2)A=0的)任一解都可由这组解线性表示。
则称为A=0的基础解系。
称为A=0的通解。
其中k1,k2,…,kn-r为任意常数)。
齐次线性方程组的关键问题就是求通解，而求通解的关键问题是求基础解系。
【定理】若齐次线性方程组A=0有解，则(1)若齐次线性方程组A=0（A为矩阵）满足，则只有零解；(2)齐次线性方程组有非零解的充要条件是。
（注：当时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式。
）注：1、基础解系不唯一，但是它们所含解向量的个数相同，且基础解系所含解向量的个数等于。
2、非齐次线性方程组的同解方程组的导出方程组（简称“导出组”）为齐次线性方程组所对应的同解方程组。
由上述定理可知，若是系数矩阵的行数（也即方程的个数），是未知量的个数，则有：（1）当时，此时齐次线性方程组一定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就一定有非零解；（2）当时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式；（3）当且时，若系数矩阵的行列式，则齐次线性方程组只有零解；（4）当时，若，则存在齐次线性方程组的同解方程组；若，则齐次线性方程组无解。
1、求A=0（A为矩阵）通解的三步骤（1）（行最简形）;写出同解方程组C=0。
(2)求出C=0的基础解系;(3)写出通解其中k1,k2,…,kn-r为任意常数。
【例题1】解线性方程组解法一：将系数矩阵A化为阶梯形矩阵显然有，则方程组仅有零解，即。
解法二：由于方程组的个数等于未知量的个数（即）（注意：方程组的个数不等于未知量的个数（即），不可以用行列式的方法来判断），从而可计算系数矩阵A的行列式：，知方程组仅有零解，即。
注：此法仅对n较小时方便【例题2】解线性方程组解：将系数矩阵A化为简化阶梯形矩阵可得，则方程组有无穷多解，其同解方程组为（其中，为自由未知量）令，，得；令，，得；令，，得，于是得到原方程组的一个基础解系为，。
矩阵的分块求逆及解线性方程组(完整版)实用资料
矩阵的分块求逆及解线性方程组（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）实验4：矩阵的分块求逆及解线性方程组一、问题化已知矩阵为上三角矩阵，构造范德蒙矩阵，高阶非奇异矩阵的分块求逆，非齐次线性方程组的通解二、实验目的1. 学会使用MATLAB编程，实施初等变换将矩阵化为上三角矩阵2. 掌握用循环语句由已知向量构造范德蒙矩阵3. 了解高阶非奇异矩阵用不同分块法求逆矩阵的误差分析4. 能根据由MATLAB所求得的非齐次线性方程组增广矩阵的阶梯形的行最简形式写出线性方程组的通解三、预备知识（一）线性代数知识（二）相关命令提示：1. 输入语句：变量名=input（‘提示信息’）2. for 循环3. if 结构4. 矩阵与向量的范数:norm(A5. 求矩阵A的秩:rank(A6. 求矩阵A的标准阶梯形：rref(A四、实验内容与要求1. 在建立的sy31.m文件中编程将任意给定的n阶方阵B1，化为上三角阵B1;调用时输入B1=A,n=6;其中A为实验：矩阵的基本运算中的矩阵A2. 在建立的sy32.m文件中编程用1—6单位增量的行向量产生一个范德蒙矩阵B23. 在建立的sy33.m文件中编程对任意输入的高阶分块可逆矩阵B3实现分块法求逆：（1）调用sy33.m文件时输入B3=A^2，输入n1=2,求出B3的逆C2；（2）调用sy33.m文件时输入同上的B3，输入n1=4,求出B3的逆C4；（3）调用sy33.m文件时输入同上的B3，输入n1=6,求出B3的逆C6；（4）调用norm 函数对上面三种方法所求的逆做误差分析（即做（B3×Ci-E）的范数）4. 建立sy34.m 文件，求下列非齐次方程组的通解。
五、思考与练习1. 求解下列齐次方程组的基础解系2. 用任意输入的8维行向量产生一个8解范德蒙矩阵项目五 矩阵运算与方程组求解实验1 行列式与矩阵实验目的掌握矩阵的输入方法. 掌握利用Mathematica (4.0以上版本) 对矩阵进行转置、加、减、 数乘、相乘、乘方等运算, 并能求矩阵的逆矩阵和计算方阵的行列式.基本命令在Mathematica 中, 向量和矩阵是以表的形式给出的.1. 表在形式上是用花括号括起来的若干表达式, 表达式之间用逗号隔开.如输入{2,4,8,16}{x,x+1,y,Sqrt[2]}则输入了两个向量.2. 表的生成函数(1) 最简单的数值表生成函数Range, 其命令格式如下:Range[正整数n]—生成表{1,2,3,4,…,n };Range[m, n]—生成表{m ,…,n };Range[m, n, dx]—生成表{m ,…,n }, 步长为d x .(2) 通用表的生成函数Table. 例如,输入命令Table[n^3,{n,1,20,2}]则输出 {1,27,125,343,729,1331,2197,3375,4913,6859}输入Table[x*y,{x,3},{y,3}]则输出 {{1,2,3},{2,4,6},{3,6,9}}3. 表作为向量和矩阵一层表在线性代数中表示向量, 二层表表示矩阵. 例如,矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛5432 可以用数表{{2,3},{4,5}}表示.输入A={{2,3},{4,5}}则输出 {{2,3},{4,5}}命令MatrixForm[A]把矩阵A 显示成通常的矩阵形式. 例如, 输入命令:MatrixForm[A]则输出 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛5432 但要注意, 一般地, MatrixForm[A]代表的矩阵A 不能参与运算.输入B={1,3,5,7}输出为{1,3,5,7}输入MatrixForm[B]输出为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7531虽然从这个形式看向量的矩阵形式是列向量, 但实质上Mathematica 不区分行向量与列向量. 或者说在运算时按照需要, Mathematica 自动地把向量当作行向量或列向量.下面是一个生成抽象矩阵的例子.输入Table[a[i,j],{i,4},{j,3}]MatrixForm[%]则输出⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛]3,4[]2,4[]1,4[]3,3[]2,3[]1,3[]3,2[]2,2[]1,2[]3,1[]2,1[]1,1[a a a a a a a a a a a a 注:这个矩阵也可以用命令Array 生成,如输入Array[a,{4,3}]//MatrixForm则输出与上一命令相同.4. 命令IdentityMatrix[n]生成n 阶单位矩阵.例如,输入IdentityMatrix[5]则输出一个5阶单位矩阵(输出略).5. 命令DiagonalMatrix[…]生成n 阶对角矩阵.例如,输入DiagonalMatrix[{b[1],b[2],b[3]}]则输出 {{b[1],0,0},{0,b[2],0},{0,0,b[3]}}它是一个以b[1], b[2], b[3]为主对角线元素的3阶对角矩阵.6. 矩阵的线性运算:A+B 表示矩阵A 与B 的加法;k*A 表示数k 与矩阵A 的乘法; A.B 或 Dot[A,B]表示矩阵A 与矩阵B 的乘法.7. 求矩阵A 的转置的命令:Transpose[A].8. 求方阵A 的n 次幂的命令:MatrixPower[A,n].9. 求方阵A 的逆的命令:Inverse[A].10.求向量a 与b 的内积的命令:Dot[a,b].实验举例矩阵A 的转置函数Transpose[A]例1.1 求矩阵的转置.输入ma={{1,3,5,1},{7,4,6,1},{2,2,3,4}};Transpose[ma]//MatrixForm输出为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛411365243271 如果输入 Transpose[{1,2,3}]输出中提示命令有错误. 由此可见, 向量不区分行向量或列向量.矩阵线性运算例1.2 设,291724,624543⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=B A 求.24,A B B A -+ 输入A={{3,4,5},{4,2,6}};B={{4,2,7},{1,9,2}};A+B//MatrixForm4B-2A//MatrixForm输出为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛43241801081151267 如果矩阵A 的行数等于矩阵B 的列数, 则可进行求AB 的运算. 系统中乘法运算符为“.”, 即用A.B 求A 与B 的乘积, 也可以用命令Dot[A,B]实现. 对方阵A , 可用MatrixPower[A,n]求其n 次幂.例1.3 设,148530291724,36242543⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mb ma 求矩阵ma 与mb 的乘积. 输入Clear[ma,mb];ma={{3,4,5,2},{4,2,6,3}}; mb={{4,2,7},{1,9,2},{0,3,5},{8,4,1}};ma.mb//MatrixForm输出为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛655642566532矩阵的乘法运算例1.4 设,101,530291724⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B A 求AB 与,A B T 并求.3A输入Clear[A,B];A={{4,2,7},{1,9,2},{0,3,5}};B={1,0,1};A.B输出为{11,3,5}这是列向量B 右乘矩阵A 的结果. 如果输入B.A输出为{4,5,12}这是行向量B 左乘矩阵A 的结果,A B T 这里不需要先求B 的转置. 求方阵A 的三次方, 输入MatrixPower[A,3]//MatrixForm输出为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛26047754444932141555660119例1.5 (教材 例1.1) 设,421140123,321111111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=B A 求A AB 23-及.B A T 输入A={{-1,1,1},{1,-1,1},{1,2,3}}MatrixForm[A]B={{3,2,1},{0,4,1},{-1,2,-4}}MatrixForm[B]3A.B -2A//MatrixFormTranspose[A].B//MatrixForm则输出A AB 23-及B A T 的运算结果分别为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----334421424141010 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----10120821444求方阵的逆例1.6 (教材 例1.2) 设,5123641033252312⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A 求.1-A 输入Clear[ma]ma={{2,1,3,2},{5,2,3,3},{0,1,4,6},{3,2,1,5}};Inverse[ma]//MatrixForm则输出⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------16521161145810812181********161121162147 注: 如果输入Inverse[ma//MatrixForm]则得不到所要的结果, 即求矩阵的逆时必须输入矩阵的数表形式例1.7 求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--027926243043286345248127的逆矩阵. 解 A={{7,12,8,24},{5,34,6,-8},{32,4,30,24},{-26,9,27,0}}MatrixForm[A]Inverse[A]//MatrixForm例1.8 设,221331317230,5121435133124403⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B A 求.1B A - 输入Clear[A,B];A={{3,0,4,4},{2,1,3,3},{1,5,3,4},{1,2,1,5}};B={{0,3,2},{7,1,3},{1,3,3},{1,2,2}};Inverse[ma].B//MatrixForm输出为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1671635583891898932516916619 对于线性方程组,b AX =如果A 是可逆矩阵, X ,b 是列向量, 则其解向量为.1b A -例1.9 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=+-=++.2442,63,723z y x z y x z y x输入Clear[A,b];A={{3,2,1},{1,-1,3},{2,4,-4}}; b={7,6,-2}; Inverse[A].b输出为{1,1,2}求方阵的行列式 例1.10 求行列式 .3351110243152113------=D输入Clear[A];A={{3,1,-1,2},{-5,1,3,-4},{2,0,1,-1},{1,-5,3,-3}}; Det[A]输出为40例1.11 (教材 例1.3) 求.11111111111122222222ddd d c c c c b b b b a a a a D ++++=输入Clear[A,a,b,c,d];A={{a^2+1/a^2,a,1/a,1},{b^2+1/b^2,b,1/b,1}, {c^2+1/c^2,c,1/c,1},{d^2+1/d^2,d,1/d,1}}; Det[A]//Simplify则输出2222d c b a )abcd 1)(d c )(d b )(d a )(c b )(c a )(b a (+--------例1.12 计算范德蒙行列式.1111145444342413534333231252423222154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 输入Clear[x];Van=Table[x[j]^k,{k,0,4},{j,1,5}]//MatrixForm输出为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛444443333322222]5[]4[]3[]2[]1[]5[]4[]3[]2[]1[]5[]4[]3[]2[]1[]5[]4[]3[]2[]1[11111x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x再输入Det[van]则输出结果比较复杂(项很多)若改为输入Det[van]//Simplify或Factor[Det[van]]则有输出(x[1]-x[2])(x[1]-x[3])(x[2]-x[3])(x[1]-x[4]) (x[2]-x[4])(x[3]-x[4])(x[1]-x[5])(x[2]-x[5]) (x[3]-x[5])(x[4]-x[5])例1.13 (教材 例1.4) 设矩阵 ,60975738723965110249746273⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=A 求.),(|,|3A A tr A 输入A={{3,7,2,6,-4},{7,9,4,2,0},{11,5,-6,9,3},{2,7,-8,3,7},{5,7,9,0,-6}}MatrixForm[A]Det[A] Tr[A]MatrixPower[A,3]//MatrixForm则输出3),(|,|A A tr A 分别为11592 3⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---12574547726668013841222451984174340410063122181713228151626315018483582949442062726向量的内积向量内积的运算仍用“.”表示, 也可以用命令Dot 实现 例1.14 求向量}3,2,1{=u 与}0,1,1{-=v 的内积. 输入u={1,2,3}; v={1,-1,0}; u.v输出为-1或者输入Dot[u,v]所得结果相同.实验习题1.设,150421321,111111111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=B A 求A AB 23-及.B A '2.设,001001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλA 求.10A 一般地?=k A (k 是正整数).3.求⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++a a a aa1111111111111111111111111的逆.4.设,321011324⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=A 且,2B A AB +=求.B5.利用逆矩阵解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++.353,2522,132321321321x x x x x x x x x第三章矩阵的初等变换与线性方程组知识点：矩阵的初等变换、矩阵的秩初等矩阵线性方程组的解学习目标:1.掌握矩阵的初等变换.2.理解矩阵秩的概念及求法.3.理解齐次线性方程组有非零解的充要条件，理解非齐次线性方程组有解的充要条件.4.掌握用行初等变换求线性方程组通解的方法.一、填空题1.设矩阵，且，为的一个阶子式，则__0___.2.设3阶方阵的秩为2，矩阵，，若矩阵，则 .3. 已知，且其秩为2，则___3___4.设，且非齐次方程组有唯一解向量，则增广矩阵的秩___n____.5.已知的逆矩阵，那么方程组的解二、选择题1.已知有一个阶子式不等于零，则 ( DA. B. C. D.2.设为34矩阵，若矩阵的秩为2，则矩阵的秩等于（ B ）A．1 B．2 C．3 D．43.设是阶阵，且，则由( A 可得出.A. B.C. D. 为任意阶矩阵4．若方程组有非零解，则方程组必（ B ）A.有唯一解B.不是唯一解C.有无穷多解D.无无穷多解5．线性方程组只有零解，则（ B ）A. 有唯一解B. 可能无解C. 有无穷多解D. 无解6.设线性方程组有唯一解，则相应的齐次方程组（ C ）A．无解 B．有非零解C．只有零解 D．解不能确定7．非齐次线性方程有无穷多解的充要条件是（ D ）A． B．C． D．8.设线性方程组中，若，，则该线性方程组（ B ）A．有唯一解 B．无解C．有非零解 D．有无穷多解9.设矩阵的秩为2，则（ B ）A.2B.1C.0D.-110.设均为3阶矩阵，若可逆，，那么（ C ）A．0 B．1 C．2 D．311. 设3阶方阵A的秩为2，则与A等价的矩阵为（B）A． B．C． D．三、将下列矩阵化成最简形矩阵：1 .2 . （练习）四、设，且，求。
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利用分块矩阵求解非齐次线性方程组
刘红旭
( 辽阳职业技术学院 , 辽宁 辽阳 111004)
收稿日期 : 2002 — 12 — 11 作者简介 : 刘红旭 (1967 - ) , 男 , 辽宁锦州市人 , 主要从事高等代数理论研究 , 发表论文 1 篇 .
靳庆顺
伏安法再探讨
21
法来减小接线电阻 . ③ 合理选择电压表 、电流表的程量 , 使指针偏转尽可能接近或超过满偏的三分之二 . ( 3) 对电压表 、电流表的内阻并没有特殊要求 . ( 4) 该测量线路结构简单 , 消除了电压表 、电流表内阻对测量结果的影响 , 进而提高了测量结果的准 确度 . ( 5) 直流电源 ( 或干电池阻) 电动势必须大于待测电源 ( 或干电池) 电动势且二者的极性不能接错 .
参考文献 : [1 ] 杨介信 , 陈国英 . 普通物理实验 [M] . 北京 : 高等教育出版社出版 . [2 ] 张敬则 . 电测仪器 [M] . 北京 : 中国计量出版社出版 .
( 责任编辑 胡 坤, 王 巍)
( 上接 9 页)
- 1 得 A 22 X2 = B 2 - A 21 X1 . X2 = A 22 ( B 2 - A 21 X1 ) . 由此 ,得 X =
x1 b1 x2 b2
( 1) ( 2)
这里 A 为系数矩阵 X =
…
xn
,B =
…
bn
. 若 A 是非奇异阵 ,即| A | ≠ 0 ,则方程组 ( 1) 有唯一确定的解 .
将阶阵 A 分块 : A =
X1 X2
A 11 A 12 A 21 A 22
, 并注意 A 22 是非奇异阶阵 , 同时将 X 及 B 进行相应的分块 . 可令 : X =
X1 X2
.
x 1 + 2 x2 - 2 x 3 + 4 x 4 - x5 = - 1
2 x 1 - x2 + 3 x 3 - 4 x 4 + 2 x 5 = 8
例 求解方程组 3 x1 + x2 - x3 + 2 x4 - x5 = 3 4 x 1 + 3 x 2 + 4 x 3 + 2 x4 - 2 x5 = - 2 x 1 - x 2 - x3 + 2 x 4 - 3 x 5 = - 3 解 将 方 程 写 成 矩 阵 方 程 , 并 进 行 分 块 , 有
0
,使得 MA =
G A 21
0
A 22
,其中 G = A 11 - A 12 A 22 A 21 ,且
- 1
对于该结论 ,如果用来求解 n 个方程的非齐次线性方程组是比较方便的. 可按如下过程求解 : a11 x1 + a12 x2 + …+ a1 n x n = b1 a21 x1 + a22 x2 + …+ a2 n x n = b2 设非齐次线性方程组为 : … … … a n1 x1 + an2 x2 + …+ a nn x n = bn ( ) 将 1 式写成矩阵方程为 AX = B
x1 x2 x3 x4 x5
将方程 ( 2) 两端左乘以矩阵 M =
I2 - A 12 A 22
0 I3
- 6 42Π 5 ,得到 3 4 1 - 1 6Π 5
- 1
- 1 6Π 5 1 3 - 1
- 10 84Π 5 = 3 . - 2 - 3
- 6 解矩阵方程 42Π 5 3 1 4 3 1 - 1
A= A 11 A 12 A 21 A 22
,其中 A 11 , A 12 , A 21 , A 22 分别是 k ×k , k ×m , m ×k 和 m ×m 矩阵 . 若 A 22 是非奇异方阵 , 那么
Ik
一定可以找到一个上三角分块阵 M =
G 是非奇异阵 .
- A 12 A 22
Im
- 1
1 2 , A 12 = 2 - 1
2 - 1 2 2 . 2 - 3 3Π 10 - 1 - 1Π 10 . 计算 - A 12 A 22 = - 1Π 2
- 1
5Π 2 - 5Π 2 0 0 - 1 4 - 1
0 1Π 5 0 0 2 2 2
- 1Π 2 . 3Π 10 0 0 - 1 2 - 3
- 2 3 3 1 - 1 , A 21 = 4 3 , A 22 = 2 1 - 1 - 1Π 2 1Π 5 - 1 先求出 A 22 的逆阵 A 22 = 1Π 2 1Π 10 1Π 2 0 4 - 4 1 4 1
A 11 A 12 A 21 A 22 X1 X2
=
B1 B2
. 这 里 A 11 =
- 1Π 2 1Π 2 1Π 2
3Π 10 5 - 1Π 10 24 = - 1Π 2 - 21
- 4 7 . 13
所求方程组的解为 x1 = 4 , x2 = - 14 , x3 = - 4 , x4 = 7 , x5 = 13.
( 责任编辑 任 冬 ,于 海)
- 1 6Π 5
x1 x2
x1 - 10 = , 84Π 5 x2
- 6 = 42Π 5
- 10 = 84Π 5 1Π 5 1Π 10 0
4 , B 2 - A 21 X1 = - 14
3 - 2 - 3
4 = - 14
x3 5 - 1 24 . 所以 x4 = A 22 ( B 2 - A 21 X1 ) = - 21 x5
,B =
B1 B2
, B 1 的行数等于 A 11 , A 12 的行数 , B 2 的行数等于 A 21 , A 22 的行数 . 则矩形方程 ( 2) 可写成
A 11 A 12 A 21 A 22 X1 X2 Ik
=
B1 B2
( 3)
- 1
将 ( 3) 式两端分别左乘上三角分块矩阵 M =
- 1 其中 G = A 11 - A 12 A 22 A 21 ( | G| ≠ 0) .
- A 12 A 22
Im
0
,有
G A 21
0
A 22
X1 X2
=
B 1 - A 12 A 22
- 1
B2
( 4)
方程 ( 4) 分解成以下两个矩阵方程
GX1 = B 1 - A 12 A 22
- 1
A 21 X1 + A 22 X2 = B 2
( 5)
( 5) 是同解方程 . 由初等变换的性质知 ( 4) 、 - 1 - 1 - 1 因| G| ≠ 0 ,故存在 G ,故 X1 = G ( B 1 - A 12 A 22 B 2 ) ,再将 X1 代入 A 21 X1 + A 22 X2 = B 2 中 , ( 下转 21 页)
摘 要 : 给出了非齐次线性方程组的一种解法 , 利用分块矩阵求解 . 关键词 : n 阶矩形 ; 分块矩形 ; 奇异阵 ; 非奇异阵和逆阵 中图分类号 : O151 文献标识码 : A 文章编号 : 1008 - 5688 (2003) 02 - 0009 - 01
在 《线性代数》 中 ,我们知道 : 如果 A 是一个 n 阶非奇异阵 A = ( aij ) , i , j = 1 ,2 ,3 , ……, n ,将 A 进行分块