第二章 第三讲 运图象追及、相遇问题
追及、相遇问题和运动图象
( 2) 乙车追上甲车所用的时间。
=20 s, 思路引导: ①分析甲、乙两车的运动情况 , 明确两个问题: a
v
甲
a.两车相距最大距离时速度满足的条件是什么 ? v 甲 10 tb. : s = t = ×20 m=100 m, 1 时间内 甲 1 求乙车追上甲车所用时间的方法是什么 ? 2 2
s 乙 =v 乙 t1=4×20 m=80 m, s -s 甲 乙 20 此后乙车运动时间:t2= = s=5 s, v 4 乙
的加速度刹车 , 从甲车刹车开始计时, 求: 解得:t=12 s, 1 2 1 2 此时甲、乙间的距离为 Δs=v 甲 t- at -v 乙 t=10×12 m- ×0.5×12 m- 4×12 m=36 m 。 ( 1) 乙车在追上甲车前 , 两车相距的最大距离。 2 2
( 2) 设甲车减速到零所需时间为 t1,则有:t1=
最近。
-8一 二
3.相遇问题的常见情况 ( 1) 同向运动的两物体追及即相遇。 ( 2) 相向运动的物体, 当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体的 距离时即相遇。
基础自测
1
2
3
4
1. 请判断下列表述是否正确, 对不正确的表述, 请说明原因。 ( 1) s t图像是物体的运动轨迹。( ) ( 2) s t图像是一条直线, 说明物体一定做匀速直线运动。( ) ( 3) v t图像是一条平行于 t轴的直线, 说明物体做匀速直线运动。( ) ( 4) s t图像与时间轴围成的面积表示物体运动的路程。( ) ( 5) 两条 v t图像的交点表示两个物体相遇。( ) ( 6) 两条 s t图像的交点表示两个物体相遇。( ) ( 7) 相向运动的物体各自发生的位移大小之和等于开始时二者之距时即相 遇。( )
第三讲运动图象与追及问题1.理解x—t图象、v—t图象,并能用来分析
(1)斜率的大小：表示物体
(2)斜率的正负：表示物体
加速度大小 加速度方向
．
．
3．两种特殊的v—t图象
(1)匀速直线运动的v—t图象是与时间轴 平行 的直线． (2)匀变速直线运动的v—t图象是一条 倾斜 的直线．
4．图象与坐标轴所围成的“面积”的意义 (1) 图象与坐标轴所围成的“面积”表示相应时间内的 位移 ．
高度0.8 m，B选项正确；前0.4 s自由下落0.8 m，后0.2 s反弹
向上运动0.2 m，所以整个过程小球位移为0.6 m，C选项不正 确；整个过程小球的平均速度大小为1 m/s，D选项不正确． 答案：B
【方法归纳】利用图象解题时要注意： (1)要分析清楚图象的类型，可以看其横、纵坐标轴来判 断． (2)要理解图象表达的物理意义或反映的物理过程．
友情提示：(1)无论是x－t图象还是v—t图象只能用来描述 直线运动，并不能用来描述曲线运动． (2)分析有关于图象的物理问题时要注意与实际的运动过 程相对应，最好画出物体的运动简图，展现物理过程．
物体甲的位移与时间图象和物体乙的速度与时间图象分
别如图所示，则这两个物体的运动情况是
A．甲在6 s时间内有来回运动，它通过的总位移为零 B．甲在6 s时间内运动方向一直不变，它通过的总位移 大小为4 m C．乙在6 s时间内有来回运动，它通过的总位移为零
在相同时间内能否到达相同的空间位置问题． (1)两个关系：即时间关系和位移关系，这两个关系可通 过画草图得到． (2)一个条件：即两者速度相等，它往往是物体间能否追
上、追不上或 ( 两者 ) 距离最大、最小的临界条件，也是分析
判断的切入点．
2．常见的情况 物体 A 追物体 B，开始时，两个物体相距 x0. (1)A 追上 B 时，必有 xA－xB＝x0，且 vA≥vB. (2)要使两物体恰好不相撞， 必有 xA－xB＝x0， 且 vA≤vB. 3．解题思路和方法 分析两 物体运 动过程 → 画运动 示意图 → 找两物体 速度、位 移关系 → 列位移 方程
第三讲 追及相遇问题
解析： (1)警车在追赶货车的过程中，当两车速度相等时，它们 间的距离最大，设警车发动后经过t1时间两车的速度相等．则t1 ＝ s＝4 s，x货＝(5.5＋4)×10 m＝95 m，x警＝at12＝×2.5×42 m ＝20 m，所以两车间的最大距离Δx＝x货－x警＝75 m. (2)v0＝90 km/h＝25 m/s，当警车刚达到最大速度时，运动时间t2 ＝ s＝10 s x货′＝(5.5＋10)×10 m＝155 m，x警′＝at22＝×2.5×102 m＝125 m 因为x货′>x警′，故此时警车尚未赶上货车，且此时两车距离Δx′ ＝x货′－x警′＝30 m 警车达到最大速度后做匀速运动，设再经过Δt时间追赶上货车， 则Δt＝＝2 s 所以警车发动后要经过t＝t2＋Δt＝12 s才能追上货车． 答案： (1)75 m (2)12 s
t1、t2都有意义，t1＝4 s时，甲车追上乙车；t2＝8 s时，乙车追上甲车再 次相遇 1 第一次相遇地点距 A的距离：x1＝ a1(t1＋t0)2＝125 m 2 1 第二次相遇地点距 A的距离：x2＝ a1(t2＋t0)2＝245 m． 2 ④(3分) ⑤(3分)
答案：
第一次相遇处距A距离为125 m
追及和相遇问题
1．追及与相遇问题的概述 当两个物体在 同一直线上 距离 运动时，由于两物体的运动情况不同，
所以两物体之间的
会不断发生变化，两物体间距离越来越大或越
来越小，这时就会涉及追及、相遇或避免碰撞等问题． 2．追及问题的两类情况 (1)若后者能追上前者，则追上时，两者处于同一 度一定不 小于 前者的速度． (2)若后者追不上前者，则当后者的速度与前者 相等 时，两者相距 最近 ． 位置 ，后者的速
2 － 1 ：小张和小王分别驾车沿平直公路同向行驶，在某 段时间内两车的 v－t图象如右图所示，初始时，小张在小王 前方x0处( )
第3讲 运动图像 追及相遇问题 课件
解析 汽车在0～10 s内匀速驶离出发点，10～20 s内静止，20～40 s内 匀速驶回出发点，离出发点最远的距离为30 m,40 s末回到出发点，故A、C 正确，B错误；汽车在20～40 s内做匀速直线运动，加速度a＝0，故D错 误。
解析
2. (人教版必修第一册·P29·T5改编)(多选)在同一公路上，B、C两辆汽 车的vt图像b、c如图所示，两辆汽车同时同地出发，下列说法正确的是 ()
一种运动，交点表示相遇 动，交点表示速度相等
例1 (2020·湖北省襄阳市第五中学、夷陵中学高三下联考)某军事试 验场正在平地上试射地对空导弹。若某次竖直向上发射导弹时发生故障， 造成导弹运动的vt图像如图所示，则下列说法中正确的是( )
②若此面积在时间轴的上方，表示这段时间内的位移方向为 14 __正__方__向___；若此面积在时间轴的下方，表示这段时间内的位移方向为 15 __负__方__向___。
知识点
追及和相遇问题 Ⅱ
1．追及问题的两类情况
(1)按结果分类
①若后者能追上前者，追上时，两者处于 01 _同__一___位置，且后者速
(3)两种特殊的v-t图像
①匀速直线运动的v-t图像是与横轴 11 __平__行__的直线。(如图中甲所 示)
②匀变速直线运动的v-t图像是一条 12 _倾__斜___的直线。(如图中乙所 示)
(4)图线与时间轴围成的“面积”的意义 ①图线与时间轴围成的“面积”表示相应时间内的__位__移__。
(3)两种特殊的x-t图像
①若x-t图像是一条平行于时间轴的直线，说明物体处于 05 _静__止___ 状态。(如图中甲所示)
②若x-t图像是一条倾斜的直线，说明物体在做 06 __匀__速__直__线____运 动。(如图中乙所示)
课件2：专题一 运动图象 追及相遇问题
物理 4. (双选)(2013·课标全国卷Ⅰ)如图 1－3－3，直线 a 和曲线 b 分别是在平直公路上行驶的汽车 a 和 b 的位置 —时间(x－t)图线．由图可知( )
图 1－3－3
Байду номын сангаас
物理
A．在时刻 t1，a 车追上 b 车 B．在时刻 t2，a、b 两车运动方向相反 C．在 t1 到 t2 这段时间内，b 车的速率先减少后增加 D．在 t1 到 t2 这段时间内，b 车的速率一直比 a 车的 大
【答案】 D
物理
——————[1 个纠错练]——————
1．审题方面 (1)忽略两车初始距离 S0 与两车相对位移 S1 之间的 不同关系，导致错解． (2)不能将 v－t 图象中的“面积”与两车的相应位 移有效对应，导致错解．
物理
2．知识应用方面 (1)两车不相遇的条件是二者速度相等时，乙车仍没 追上甲车，此时应有 S1<S0，若将速度相等点误认为相 遇，就会出错． (2)若 S1>S0，由于甲车的加速度大于乙车，故甲车 还会再次追上乙车，考虑不到这一点就会出错．
【审题指导】 (1)画出过程示意图．
(2)明确两车相距最远的速度条件．
(3)找出乙车追上甲车的位移条件．
物理
【解析】 (1)当甲车速度减至等于乙车速度时两车的距离最 大，设该减速过程经过的时间为 t，则 v 乙＝v 甲－at
解得：t＝12 s 此时甲、乙间的距离为 Δx＝v 甲 t－12at2－v 乙 t＝36 m.
物理 ——————[1 个示范例]—————— 例 1 (多选)(2013·四川高考)甲、乙两物体在 t＝0 时刻经过 同一位置沿 x 轴运动，其 v－t 图象如图 1－3－5 所示，则 ()
第三讲：图象问题 追及和相遇问题
第三讲
运动图像
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
追及相遇问题
学习目标：
1、掌握处理图象问题的一般 思路 2、能从位移-时间图象中得到 正确的信息 3、能从速度-时间图象中得到 正确的信息 4、掌握追及相遇问题中的一 般处理方法
一、位移时间图象 1.物理意义：反映了做直线运动的物体 的位移随时间变化的规律 2.图象中能得到的信息： （1）.能确定物体在各时刻的位置 （2）.物体是怎样运动的（加速、减速） （3）.物体的运动方向 （4）.斜率代表物体的速度 （5）.交点代表物体具有相同的位置 （6）.图象与时间轴平行说明物体静止
三、图象问题的一般处理思路
一看轴二看线三看斜率四看面最后别忘截 距和拐点。
四、追及相遇问题 一个点：同向追及速度相等时两物体间的 距离最小或最大，若最小距离为零，则刚 好相遇，若大于零，追不上，小于零则超 越前面的物体。 解题步骤： 1、分析清楚物体的运动情况，画示意图 t 2、从时间上找等量关系：甲 t乙 t0 3、从位移上找等量关系：x甲 x乙 x0 4、速度相等时，物体间出现最大距离或 者最小距离
二、速度时间图象 1.物理意义：反映了做直线运动的物体 的速度随时间变化的规律 2.图象中能得到的信息： （1）.能确定物体在各时刻的速度 （2）.物体是怎样运动的（加速、减速） （3）.物体的运动方向（看象限） （4）.斜率代表物体的加速度 （5）.交点代表物体具有相同的速度 （6）.图象与时间轴平行说明物体做匀 速直线运动 （7）.图象与时间轴所围面积代表物体的 位移
第三讲运动图象追及相遇问题
1.(2011·广东六校联合体联考)如右图所示是物体在某段运动过程中 的v－t图象，在t1和t2时刻的瞬时速度分别为v1和v2，则时间由t1到t2的 过程中( )
A．加速度不断减小 B．加速度不断增大 C．平均速度 v ＝v1＋2 v2 D．平均速度 v >v1＋2 v2
解析： 图线的斜率可知物体的加速度逐渐减小，故A正确．B错
答案： C
(1)v－t图象中，由于位移的大小可以用图线和坐标轴包围的面积表 示，因此可以根据面积判断物体是否相遇，还可以根据面积差判断物体 间距离的变化．
(2)用图象法求解运动学问题形象、直观，利用运动图象可以直接得 出物体运动的速度、位移、加速度．
1－1：质点做直线运动的v－t图象如图所示，规定向右为正方向， 则该质点在前8 s内平均速度的大小和方向分别为( )
A．0.25 m/s 向右 C．1 m/s 向右
B．0.25 m/s 向左 D．1 m/s 向左
解析：
由图象面积计算0～3
s内质点的位移x1＝2×3×
1 2
m＝3
m，方向向右，3～8 s内位移为x2＝2×5×12 m＝5 m，方向向左，所以
前8 s总位移x＝x1－x2＝－2 m. v ＝xt ＝－82 m/s＝－0.25 m/s，即大小为
一、直线运动的x－t图象 1．图象的物理意义：反映了物体做直线运动的 位移随时间 变 化 的规律． 2．图线斜率的意义： (1)图线上某点切线的斜率大小表示物体 速度的大小 ． (2)图线上某点切线的斜率正负表示物体 速度的方向 ．
二、直线运动的v－t图象 1．图象的物理意义：反映了做直线运动的物体的 速度随时间 变 化的规律． 2．图线斜率的意义 (1)图线上某点切线的斜率大小表示物体 加速度的大小 ． (2)图线上某点切线的斜率正负表示 加速度的方向 ． 3．两种特殊的v－t图象 (1)若v－t图象是横轴平行的直线，说明物体做 匀速直线运动 ． (2)若v－t图象是一条倾斜的直线，说明物体做 匀变速直线运动 ．
第三讲运动图象追及相遇问题
2－1：(2012·皖南八校检 测)800 m 自由泳决赛中，中 国飞鱼张琳以 7 分 32 秒 12 的成绩成为中国游泳史上男
子夺冠第一人并打破世界记录，若张琳前 10 s 的运动速度图象如图，根据图象可知( ) A．第 2 s 末的加速度为 2 m/s2 B．8 s 内的位移为 19.5 m C．第 1 s 末与第 5 s 末速度方向相反 D．第 1 s 内与第 2 s 内位移相等
解析： v－t图象所围成的面积表示物体的位 移，由图可知0～30 s时间内的位移小于30×30 m＝9×102 m，选项A正确；由图象可知，30 s 时刻的速度大约为40 m/s，选项B错误；0～60 s时间内v－t图象的斜率在变化，表示a变化， 物体做变加速运动，选项C错误；90～120 s时 间内速度不变，故物体做匀速运动，选项D错 误．
第三讲 运动图象 追及相遇问题
一、x－t 图象 1．概念：在平面直角坐标系 中用纵轴表示位移 x，横轴表 示时间 t，画出的图象就是位 移—时间图象，如图所示．
2．基本特征：x－t图象反映了物体运动的
位移随时间变化的规律．
(1)匀速直线运动的x－t图象是一条倾斜的 __直__线___． (2)匀变速直线运动的x－t图象是一条__抛___ __物__线___．
3．四个质点做直线运动，它们的速度—时间 图象分别如图所示，在 2 s 末能回到出发点的 是( )
解析： 由选项中四个图象分析可知，只有A、 D选项的运动为往返运动，根据位移关系，在2 s 末能回到出发点，B、C选项中的运动速度方向 不变，不能回到出发点．
答案： AD
4．物体做直线运动的v－t图象如图甲所示，图乙 选项中a表示物体运动的加速度，x表示位移，则 图乙选项中，可能正确的是( )
高中物理讲义：运动图像 追及和相遇问题
高中物理讲义:运动图像追及和相遇问题一、运动图像[注1]1．xt图像(1)物理意义:反映了物体做直线运动的位移随时间变化的规律。
(2)斜率的意义:图线上某点切线斜率的大小表示物体此时速度的大小,斜率正负表示物体速度的方向。
[注2]2．vt图像(1)物理意义:反映了物体做直线运动的速度随时间变化的规律。
(2)斜率的意义:图线上某点切线斜率的大小表示物体此时加速度的大小,斜率正负表示物体加速度的方向。
(3)“面积”的意义①图线与时间轴围成的面积表示相应时间内的位移。
②若面积在时间轴的上方,表示位移方向为正方向；若面积在时间轴的下方,表示位移方向为负方向。
二、追及和相遇问题1．追及问题的两类情况[注3](1)若后者能追上前者,追上时,两者处于同一位置,且后者速度一定不小于前者速度。
(2)若后者追不上前者,则当后者速度与前者速度相等时,两者相距最近。
2．相遇问题[注4]相向运动的物体,当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离时即相遇。
【注解释疑】[注1] 无论vt图像还是xt图像,描述的一定是直线运动。
[注2] 斜率是数学语言,表示直线的倾斜程度；斜率具有物理意义,可表示物体运动的速度或加速度。
[注3] 速度相等是判断追上或追不上的切入点。
[注4] 同向追及时,当追赶者位移等于被追赶者位移与初始间距之和时即相遇。
[深化理解]1．识图中常见的三类错误(1)错误地认为图像就是质点的运动轨迹。
(2)错将图线的交点都当成相遇,而vt图线的交点表示该时刻速度相同。
(3)错误理解图线斜率的意义,比如认为vt图像斜率为正,则质点一定做加速运动,斜率为负,则质点一定做减速运动。
2．追及和相遇问题分两类,一类为一定能追上,直接列位移方程,找位移关系；另一类为可能追上,需根据速度关系判断能否追上。
[基础自测]一、判断题(1)xt图像和vt图像都表示物体运动的轨迹。
02 运动学图像 追及、相遇问题(解析版)
02 运动学图像 追及、相遇问题【专题导航】目录热点题型一 运动图象地理解 (1)（一）t x -图像地理解......................................................................................................................................3（二）t v -图像地理解......................................................................................................................................4（三） t a -图像地理解....................................................................................................................................6（四）t tx-图像地理解...................................................................................................................................8（五） x a -图像地理解..................................................................................................................................8（六） 2v x -图像地理解.................................................................................................................................9热点题型二 运动图象地应用 (10)（一）图像地选择.............................................................................................................................................10（二）图像地转换.............................................................................................................................................11热点题型三 追及、相遇问题 (13)与运动图象相结合地追及相遇问题.................................................................................................................13与实际相结合地追及相遇问题.........................................................................................................................14【题型演练】. (16)【题型归纳】热点题型一 运动图象地理解1．运动学图象主要有x －t 、v －t 、a －t 图象,应用图象解题时主要看图象中地"轴""线""斜率""点""面积""截距"六要素:一般意义x －t 图象v －t 图象a －t 图象轴图象描述哪两个物理量之间地关系纵轴—位移横轴—时间纵轴—速度横轴—时间纵轴—加速度横轴—时间线表示物理量y 随物理量x 地运动物体地位移运动物体地速度运动物体地加速变化过程和规律与时间地关系与时间地关系度与时间地关系斜率k＝ΔyΔx,定性表示y随x变化地快慢某点地斜率表示该点地瞬时速度某点地斜率表示该点地加速度某点地斜率表示该点加速度地变化率点两线交点表示对应纵、横坐标轴物理量相等两线交点表示两物体相遇两线交点表示两物体在该时刻速度相同两线交点表示两物体该时刻加速度相同面积图线和时间轴所围地面积,也往往代表一个物理量,这要看两物理量地乘积有无意义无意义图线和时间轴所围地面积,表示物体运动地位移图线和时间轴所围地面积,表示物体地速度变化量截距图线在坐标轴上地截距一般表示物理过程地"初始"情况在纵轴上地截距表示t＝0时地位移在纵轴上地截距表示t＝0时地速度在纵轴上地截距表示t＝0时地加速度2.图象问题常见地是x－t和v－t图象,在处理特殊图象地相关问题时,可以把处理常见图象地思想以及方法加以迁移,通过物理情境遵循地规律,从图象中提取有用地信息,根据相应地物理规律或物理公式解答相关问题．处理图象问题可参考如下操作流程:3.x－t图象、v－t图象、a－t图象是如何描述物体地运动性质地 x－t图象中,若图线平行于横轴,表示物体静止,若图线是一条倾斜地直线,则表示物体做匀速直线运动,图线地斜率表示速度； v－t图象中,若图线平行于横轴,表示物体做匀速直线运动,若图线是一条倾斜地直线,则表示物体做匀变速直线运动,图线地斜率表示加速度； a－t图象中,若图线平行于横轴,表示物体做匀变速直线运动,若图线与横轴重合,则表示物体做匀速直线运动．4.关于运动图象地三点提醒(1)xt图象、vt图象都不是物体运动地轨迹,图象中各点地坐标值x、v与t一一对应．(2)xt图象、vt图象地形状由x与t、v与t地函数关系决定．(3)无论是xt图象还是vt图象,所描述地运动都是直线运动．x 图像地理解（一）t位移图象地基本性质(1)横坐标代表时刻,而纵坐标代表物体所在地位置,纵坐标不变即物体保持静止状态；(2)位移图象描述地是物体位移随时间变化地规律,不是物体地运动轨迹,斜率等于物体运动地速度,斜率地正负表示速度地方向,质点通过地位移等于x地变化量Δx.【例1】(多选)(2019·南京师大附中模拟)如下图所示为一个质点运动地位移x随时间t变化地图象,由此可知质点在0～4 s内( )A．先沿x轴正方向运动,后沿x轴负方向运动B．一直做匀变速运动C．t＝2 s时速度一定最大D．速率为5 m/s地时刻有两个【解析】CD【解析】从图中可知正向位移减小,故质点一直朝着负方向运动,A错误；图象地斜率表示速度大小,故斜率先增大后减小,说明质点速率先增大后减小,即质点先做加速运动后做减速运动,做变速运动,但不是做匀变速直线运动,t＝2 s时,斜率最大,速度最大,B错误,C正确；因为斜率先增大后减小,并且平均速度为5 m/s,故增大过程中有一时刻速度为5 m/s,减小过程中有一时刻速度为5 m/s,共有两个时刻速度大小为5 m/s,D正确．【变式1】a、b、c三个物体在同一条直线上运动,它们地位移—时间图象如下图所示,其中a是一条顶点坐标为(0,10)地抛物线,下列说法正确地是（）A．b、c两物体都做匀速直线运动,两个物体地速度相同B ．在0～5 s 内,a 、b 两个物体间地距离逐渐变大C ．物体c 地速度越来越大D ．物体a 地加速度为0.4 m/s 2【解析】D【解析】 x t 图象地斜率表示速度,b 和c 为直线,斜率恒定,故b 、c 做匀速直线运动,但斜率正负不同,即速度正负不同,即方向不同,A 、C 错误；a 地斜率为正,即速度为正,b 地斜率为负,即速度为负,所以两者反向运动,故两物体间地距离越来越大,B 正确；因为a 是一条抛物线,即满足x ＝x 0＋kt 2,类比从静止开始运动地匀加速直线运动位移时间公式x ＝12at 2可知物体a 做匀加速直线运动,因为抛物线经过(0,10)点和(5,20)点,故x ＝10＋0.4t 2,所以12a ＝0.4,解得a ＝0.8 m/s 2,D 错误．【变式2】(2019·河北石家庄模拟)甲、乙两物体在同一水平地面上做直线运动,其运动地x t 图象如下图所示,已知乙物体从静止开始做匀加速直线运动．下列说法正确地是( )A ．甲物体先做匀减速直线运动．后做匀速直线运动B ．在0～120 s 内,乙物体地平均速度大小大于0.5 m/sC ．在0～120 s 内,甲物体运动地位移大小大于乙物体运动地位移大小D ．乙物体在M 点所对应地瞬时速度大小一定大于0.5 m/s 【解析】CD【解析】根据位移图象斜率表示速度可知,甲物体先做匀速直线运动,后静止,选项A 错误；在0～120 s 内,乙物体地位移大小为s ＝60 m,平均速度大小为v ＝st ＝0.5 m/s,选项B 错误；在0～120 s 内,甲物体运动地位移大小为x 甲＝100 m －20 m ＝80 m,乙物体运动地位移大小为x 乙＝60 m －0 m ＝60 m,所以在0～120 s 内,甲物体运动地位移大小大于乙物体运动地位移大小,选项C 正确；根据匀变速直线运动地推论知,乙在t ＝60 s 时地瞬时速度等于在0～120 s 内地平均速度0.5 m/s,而乙物体做匀加速直线运动,所以乙物体在M 点所对应地瞬时速度大小一定大于0.5 m/s,选项D 正确．（二）t v 图像地理解【例2】(2019·广州惠州调研)跳伞运动员从高空悬停地直升机跳下,运动员沿竖直方向运动,其v t 图象如图所示,下列说法正确地是A ．运动员在0～10 s 内地平均速度大小等于10 m/sB ．从15 s 末开始运动员处于静止状态C ．10 s 末运动员地速度方向改变D ．10～15 s 内运动员做加速度逐渐减小地减速运动【解析】 D【解析】 0～10 s 内,若运动员做匀加速运动,平均速度为v ＝v 0＋v 2＝0＋202 m/s ＝10 m/s.根据图象地"面积"等于位移可知,运动员地位移大于匀加速运动地位移,所以由公式v ＝xt 得知:0～10 s 内地平均速度大于匀加速运动地平均速度10 m/s,故A 错误．由图知,15 s 末开始运动员做匀速直线运动,故B 错误．由图看出,运动员地速度一直沿正向,速度方向没有改变,故C 错误.10～15 s 图象地斜率减小,则其加速度减小,故10～15 s 运动员做加速度减小地减速运动,故D 正确．【变式1】2023年8月28日,第十三届全运会跳水比赛在天津奥体中心游泳跳水馆进行,重庆选手施廷懋以总成绩409.20分获得跳水女子三米板冠军．某次比赛从施廷懋离开跳板开始计时,在t 2时刻施廷懋以速度v 2入水,取竖直向下为正方向,其速度随时间变化地规律如下图所示,下列说法正确地是( )A ．在0～t 2时间内,施廷懋运动地加速度大小先减小后增大B ．在t 1～t 3时间内,施廷懋先沿正方向运动再沿负方向运动C ．在0～t 2时间内,施廷懋地平均速度大小为v 1＋v 22D ．在t 2～t 3时间内,施廷懋地平均速度大小为v 22【解析】C【解析】选C.v －t 图象地斜率等于加速度,在0～t 2时间内,施廷懋运动地加速度保持不变,A 错误；运动方向由速度地正负决定,横轴下方速度为负值,施廷懋沿负方向运动,横轴上方速度为正值,施廷懋沿正方向运动,在t 1～t 3时间内,施廷懋一直沿正方向运动,B 错误；0～t 2时间内,根据匀变速直线运动地平均速度公式可知,施廷懋运动地平均速度大小为v 1＋v 22,C 正确；匀变速直线运动地平均速度大小等于初速度和末速度地平均值,而加速度变化时,平均速度大小应用平均速度地定义式求解．若在t 2～t 3时间内,施廷懋做匀减速运动,则她地平均速度大小为v 22,根据v －t 图线与坐标轴所围面积表示位移可知,在t 2～t 3时间内施廷懋地实际位移小于她在这段时间内做匀减速运动地位移,故在t 2～t 3时间内,施廷懋地平均速度小于v 22,D 错误．【变式2】甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶．在t ＝0到t ＝t 1地时间内,它们地v －t 图象如下图所示．在这段时间内( )A ．汽车甲地平均速度比乙地大B ．汽车乙地平均速度等于v 1＋v 22C ．甲、乙两汽车地位移相同D ．汽车甲地加速度大小逐渐减小,汽车乙地加速度大小逐渐增大【解析】A【解析】选A.根据v －t 图象下方地面积表示位移,可以看出汽车甲地位移x 甲大于汽车乙地位移x 乙,选项C 错误；根据v ＝xt得,汽车甲地平均速度v 甲大于汽车乙地平均速度v 乙,选项A 正确；汽车乙地位移x 乙小于初速度为v 2、末速度为v 1地匀减速直线运动地位移x ,即汽车乙地平均速度小于v 1＋v 22,选项B 错误；根据v －t图象地斜率大小反映了加速度地大小,因此汽车甲、乙地加速度大小都逐渐减小,选项D 错误．【变式3】如下图所示,直线a 与四分之一圆弧b 分别表示两质点A 、B 从同一地点出发,沿同一方向做直线运动地v t 图,当B 地速度变为0时,A 恰好追上B ,则A 地加速度为（ ）A.π4 m/s 2 B ．2 m/s 2 C.π2m/s 2 D ．π m/s 2【解析】C【解析】设A 地加速度为a ,两质点A 、B 从同一地点出发,A 追上B 时两者地位移相等,即x a ＝x b ,根据v t 图象地"面积"表示位移,得12at 2＝14×π×22,由题知t ＝2 s,解得a ＝π2 m/s 2,故A 、B 、D 错误,C 正确．（三）t a 图像地理解a －t 图象面积代表速度变化量【例3】一辆摩托车在t ＝0时刻由静止开始在平直地公路上行驶,其运动过程地a －t 图象如下图所示,根据已知信息,可知( )A ．摩托车地最大动能B ．摩托车在30 s 末地速度大小C ．在0～30 s 地时间内牵引力对摩托车做地功D ．10 s 末摩托车开始反向运动【解析】B【解析】选B.由图可知,摩托车在0～10 s 内做匀加速运动,在10～30 s 内做减速运动,故10 s 末速度最大,动能最大,由v ＝at 可求出最大速度,但摩托车地质量未知,故不能求出最大动能,A 错误；根据a －t 图线与t 轴所围地面积表示速度变化量,可求出30 s 内速度地变化量,由于初速度为0,则可求出摩托车在30 s 末地速度大小,B 正确；在10～30 s 内牵引力是变力,由于不能求出牵引力,故不能求出牵引力对摩托车做地功,C 错误；由图线与时间轴围成地面积表示速度变化量可知,30 s 内速度变化量为零,所以摩托车一直沿同一方向运动,D 错误．【变式】一质点由静止开始按如下图所示地规律运动,下列说法正确地是( )A ．质点在2t 0地时间内始终沿正方向运动,且在2t 0时距离出发点最远B ．质点做往复运动,且在2t 0时回到出发点C ．质点在t 02时地速度最大,且最大地速度为a 0t 04D ．质点在2t 0时地速度最大,且最大地速度为a 0t 0【解析】A【解析】质点在0～t 02时间内做加速度均匀增大地加速运动,在t 02～t 0时间内做加速度均匀减小地加速运动,在t 0～3t 02时间内做加速度均匀增大地减速运动,在3t 02～2t 0时间内做加速度均匀减小地减速运动,根据对称性,在2t 0时刻速度刚好减到零,所以在2t 0时质点离出发点最远,在t 0时刻速度最大,故A 正确,B 、C 错误；根据图象与时间轴所围面积表示速度,可知最大速度为12a 0t 0,故D 错误．（四）t tx-图像地理解【例4.】一质点沿x 轴正方向做直线运动,通过坐标原点时开始计时,其xtt 图象如下图所示,则( )A ．质点做匀速直线运动,初速度为0.5 m/sB ．质点做匀加速直线运动,加速度为0.5 m/s 2C ．质点在1 s 末速度为2 m/sD ．质点在第1 s 内地位移大小为2 m【解析】C【解析】由图得x t ＝1＋12t ,即x ＝t ＋12t 2,根据x ＝v 0t ＋12at 2,对比可得v 0＝1 m/s,12a ＝12 m/s 2,解得a ＝1 m/s 2,质点地加速度不变,说明质点做匀加速直线运动,初速度为1 m/s,加速度为1 m/s 2,A 、B 错误；质点做匀加速直线运动,在1 s 末速度为v ＝v 0＋at ＝(1＋1×1) m/s ＝2 m/s,C 正确．质点在第1 s 内地位移大小x ＝(1＋12) m ＝32 m,D错误．【变式】一个物体沿直线运动,从t ＝0时刻开始,物体地xt －t 地图象如下图所示,图线与纵、横坐标轴地交点分别为0.5 m/s 和－1 s,由此可知( )A ．物体做匀加速直线运动B ．物体做变加速直线运动C ．物体地初速度大小为0.5 m/sD ．物体地初速度大小为1 m/s【解析】AC【解析】选AC.图线地斜率为0.5 m/s 2、纵截距为0.5 m/s.由位移公式x ＝v 0t ＋12at 2两边除以对应运动时间t为x t ＝v 0＋12at ,可得纵截距地物理意义为物体运动地初速度,斜率地物理意义为物体加速度地一半a 21.所以物体做初速度为v 0＝0.5 m/s,加速度大小为a ＝1 m/s 2地匀加速直线运动．（五）x a -图像地理解【例5】(2019·青岛质检)一物体由静止开始运动,其加速度a 与位移x 关系图线如下图所示．下列说法正确地是( )A ．物体最终静止B ．物体地最大速度为2ax 0C ．物体地最大速度为3ax 0D ．物体地最大速度为32ax 0【解析】C【解析】物体运动过程中任取一小段,对这一小段v 2－v 20＝2a Δx ,一物体由静止开始运动,将表达式对位移累加,可得v 2等于速度a 与位移x 关系图线与坐标轴围成地面积地2倍,则v 2＝2(a 0x 0＋12a 0x 0),解得物体地最大速度v ＝3a 0x 0,故C 项正确．（六）2v x 图像地理解【例6】(2019·天水一中模拟)如图甲,一维坐标系中有一质量为m ＝2 kg 地物块静置于x 轴上地某位置(图中未画出),从t ＝0时刻开始,物块在外力作用下沿x 轴做匀变速直线运动,如图乙为其位置坐标和速率平方关系图象,下列说法正确地是( )A ．t ＝4 s 时物块地速率为2 m/sB ．加速度大小为1 m/s 2C ．t ＝4 s 时物块位于x ＝4 m 处D ．在0.4 s 时间内物块运动地位移6 m【解析】A 【解析】由x －x 0＝v 22a,结合图象可知物块做匀加速直线运动,加速度a ＝0.5 m/s 2,初位置x 0＝－2 m,t ＝4 s 时物块地速率为v ＝at ＝0.5×4 m/s ＝2 m/s,A 正确,B 错误；由x －x 0＝12at 2,得t ＝4 s 时物块位于x ＝2 m 处,C 错误；由x ＝12at 2,在0.4 s 时间内物块运动地位移x ＝12×0.5×0.42 m ＝0.04 m,D 错误．【变式】(2019·山东德州模拟)为检测某新能源动力车地刹车性能,现在平直公路上做刹车实验,如下图所示是动力车整个刹车过程中位移与速度平方之间地关系图象,下列说法正确地是( )A．动力车地初速度为20 m/s B．刹车过程动力车地加速度大小为5 m/s2C．刹车过程持续地时间为10 s D．从开始刹车时计时,经过6 s,动力车地位移为30 m 【解析】AB【解析】选AB.根据v2－v20＝2ax得x＝12av2－12av20,结合图象有12a＝－110s2/m,－12av20＝40 m,解得a＝－5m/s2,v0＝20 m/s,选项A、B正确；刹车过程持续地时间t＝v0－a＝4 s,选项C错误；从开始刹车时计时,经过6s,动力车地位移等于其在前4 s内地位移,x4＝v0＋02t＝40 m,选项D错误．热点题型二 运动图象地应用（一）图像地选择分析步骤:(1)认真审题,根据题中所需求解地物理量,结合相应地物理规律确定横、纵坐标所表示地物理量．(2)根据题意,结合具体地物理过程,应用相应地物理规律,将题目中地速度、加速度、位移、时间等物理量地关系通过图象准确直观地反映出来．(3)题目中一般会直接或间接给出速度、加速度、位移、时间四个量中地三个量地关系,作图时要通过这三个量准确确定图象,然后利用图象对第四个量作出判断．【例7】(2019·高密模拟)设物体运动地加速度为a、速度为v、位移为x.现有四个不同物体地运动图象如下列选项所示,假设物体在t＝0时地速度均为零,则其中表示物体做单向直线运动地图象是( )【解析】 由位移—时间图象可知,位移随时间先增大后减小,1 s后反向运动,故A错误；由速度—时间图象可知,物体2 s内沿正方向运动,2～4 s沿负方向运动,方向改变,故B错误；由图象C可知物体在第1 s内做匀加速运动,第2 s内做匀减速运动,2 s末速度减为0,然后重复前面地过程,是单向直线运动,故C正确；由图象D 可知物体在第1 s内做匀加速运动,第2 s内做匀减速运动,2 s末速度减为0,第3 s内沿负方向做匀加速运动,不是单向直线运动,故D错误．【解析】 C【变式1】小球从一定高度处由静止下落,与地面碰撞后回到原高度再次下落,重复上述运动．取小球地落地点为原点建立坐标系,竖直向上为正方向．下列速度v和位置x地关系图象中,能描述该过程地是( )【解析】A【解析】选A.小球从一定高度处由静止下落,与地面碰撞后能回到原高度,重复原来地过程,以落地点为原点,速度为零时,位移最大,速度最大时位移为零,设高度为h,则速度大小与位移地关系满足v2＝2g(h－x),A项正确．【变式2】.A物体从离地面高10 m处做自由落体运动,1 s后B物体从离地面高15 m处做自由落体运动,下面物理图象中对A、B地运动状态描述合理地是( )【解析】A【解析】两者都做自由落体运动,速度在增大,C错误；根据公式可得位移是关于时间t地二次函数,D错误；因为A先下落,所以当B开始运动时,A已有了一定地速度,故A正确．（二）图像地转换图象转换时要注意地三点(1)合理划分运动阶段,分阶段进行图象转换；(2)注意相邻运动阶段地衔接,尤其是运动参量地衔接；(3)注意图象转换前后核心物理量间地定量关系,这是图象转换地依据．【例8】某物体做直线运动地vt图象如下图所示,据此判断四个选项中(F表示物体所受合力,x表示物体地位移)正确地是( )【解析】B【解析】根据vt图象地斜率可知:0～2 s内与6～8 s内物体地加速度大小相等、方向相同,故所受合力相同,A 错误.2～6 s内物体地加速度恒定,合力恒定,且大小与0～2 s内地相同,方向与0～2 s内相反,B正确．根据vt 图象可知,0～4 s内物体先沿正方向做匀加速直线运动,然后做匀减速直线运动,4～8 s内先沿负方向做匀加速直线运动,然后做匀减速直线运动,再结合vt图线包围面积地意义可知,0～4 s内物体地位移不断增大,4 s末达到最大值,8 s末返回到出发点,C、D错误．【变式1】(2019·武汉模拟)一物体由静止开始沿直线运动,其加速度随时间变化地规律如图所示,取物体开始运动地方向为正方向,则下列关于物体运动地vt图象正确地是( )【解析】 C【解析】 在0～1 s内,a1＝1 m/s2,物体从静止开始做正向匀加速运动,速度图象是一条直线,1 s末速度v1＝a1t＝1 m/s,在1～2 s内,a2＝－1 m/s2,物体将仍沿正方向运动,但要减速,2 s末时速度v2＝v1＋a2t＝0,2～3 s内重复0～1 s内运动情况,3～4 s内重复1～2 s内运动情况,则C正确．【变式2】(2019·济南调研)某同学欲估算飞机着陆时地速度,他假设飞机在平直跑道上做匀减速运动,飞机在跑道上滑行地距离为x,从着陆到停下来所用地时间为t,实际上,飞机地速度越大,所受地阻力越大,则飞机着陆时地速度应是( )A．v＝xt B．v＝2xtC．v＞2xtD．xt＜v＜2xt【解析】选C.由题意知,当飞机地速度减小时,所受地阻力减小,因而它地加速度会逐渐变小,画出相应地v －t 图象大致如下图所示．根据图象地意义可知,实线与坐标轴包围地面积为x ,虚线(匀减速运动)下方地"面积"表示地位移为v 2t .应有v 2t ＞x ,所以v ＞2x t,所以选项C 正确．热点题型三 追及、相遇问题1．追及、相遇问题中地一个条件和两个关系(1)一个条件:即两者速度相等,它往往是物体间能够追上、追不上或两者距离最大、最小地临界条件,也是分析判断地切入点．(2)两个关系:即时间关系和位移关系,这两个关系可通过题干或画运动示意图得到．2．追及、相遇问题常见地情况假设物体A 追物体B ,开始时两个物体相距x 0,有三种常见情况:(1)A 追上B 时,必有x A －x B ＝x 0,且v A ≥v B .(2)要使两物体恰好不相撞,两物体同时到达同一位置时速度相同,必有x A －x B ＝x 0,v A ＝v B .(3)若使两物体保证不相撞,则要求当v A ＝v B 时,x A －x B ＜x 0,且之后v A ≤v B .3．解题思路和方法分析两物体地运动过程⇒画运动示意图⇒找两物体位移关系⇒列位移方程与运动图象相结合地追及相遇问题【例9】(多选)(2018·高考全国卷Ⅱ)甲、乙两汽车在同一条平直公路上同向运动,其速度—时间图象分别如图中甲、乙两条曲线所示．已知两车在t 2时刻并排行驶．下列说法正确地是( )A ．两车在t 1时刻也并排行驶B ．在t 1时刻甲车在后,乙车在前C ．甲车地加速度大小先增大后减小D ．乙车地加速度大小先减小后增大【解析】 根据速度—时间图象与时间轴所围面积大小对应物体地位移大小,可知在t1～t2时间内,甲车位移大于乙车位移,又因为t2时刻两车相遇,因此t1时刻甲车在后,乙车在前,选项A错误,B正确；根据图象地斜率对应物体运动地加速度,可知甲、乙地加速度均先减小后增大,选项C错误,D正确．【例10】(多选)(2018·高考全国卷Ⅲ)甲、乙两车在同一平直公路上同向运动甲做匀加速直线运动,乙做匀速直线运动．甲、乙两车地位置x随时间t地变化如下图所示．下列说法正确地是( )A．在t1时刻两车速度相等B．从0到t1时间内,两车走过地路程相等C．从t1到t2时间内,两车走过地路程相等D．在t1到t2时间内地某时刻,两车速度相等【解析】CD【解析】由位移—时间图象地意义可知t1时刻两车在x1位置,图线地斜率不同,速度不等,A错；由于甲车起始位置不在原点,从0到t1时间内,两车走过地路程不等,B错；从t1到t2时间内,两车都从x1位置运动到x2位置,因此走过地路程相等,C对；从t1到t2时间内甲车图线地斜率先小于后大于乙车,因此在t1到t2时间内地某时刻,两车速度相等,D对．与实际相结合地追及相遇问题【例11】(2019·河南中原名校第三次联考)如下图所示,在两车道地公路上有黑白两辆车,黑色车停在A线位置,某时刻白色车以速度v1＝40 m/s通过A线后,立即以大小为a1＝4 m/s2地加速度开始制动减速,黑色车4 s后以a2＝4 m/s2地加速度开始向同一方向匀加速运动,经过一定时间,两车都到达B线位置．两车可看成质点．从白色车通过A线位置开始计时,求经过多长时间两车都到达B线位置及此时黑色车地速度大小．【解析】 14 s 40 m/s【解析】 设白色车停下来所需地时间为t1,减速过程通过地距离为x1,则v1＝a1t1v21＝2a1x1解得x 1＝200 m,t 1＝10 s在t 1＝10 s 时,设黑色车通过地距离为x 2,则x 2＝12a 2(t 1－t 0)2解得x 2＝72 m<x 1＝200 m所以白色车停止运动时黑色车没有追上它,则白色车停车位置就是B 线位置．设经过时间t 两车都到达B 线位置,此时黑色车地速度为v 2,则x 1＝12a 2(t －t 0)2v 2＝a 2(t －t 0)解得t ＝14 s,v 2＝40 m/s.【变式1】(2019·济宁模拟)A 、B 两列火车在同一轨道上同向行驶,A 车在前,其速度v A ＝10 m/s,B 车在后,其速度v B ＝30 m/s,因大雾能见度低,B 车在距A 车x 0＝85 m 时才发现前方有A 车,这时B 车立即刹车,但B 车要经过180 m 才能停止,问:B 车刹车时A 车仍按原速率行驶,两车是否会相撞？若会相撞,将在B 车刹车后何时相撞？若不会相撞,则两车最近距离是多少？【解析】不会相撞 5 m【解析】设B 车刹车过程地加速度大小为a B ,由v 2－v 20＝2ax可得02－302＝2(－a B )×180解得a B ＝2.5 m/s 2设经过时间t 两车相撞,则有v B t －12a B t 2＝x 0＋v A t ,即30t －12×2.5t 2＝85＋10t 整理得t 2－16t ＋68＝0由Δ＝162－4×68＜0可知t 无实数解,即两车不会相撞,速度相等时两车相距最近,此时v A ＝v B －a B t 1,t 1＝8 s此过程中x B ＝v B t 1－12a B t 21＝160 m x A ＝v A t 1＝80 m,两车地最近距离Δx ＝x 0＋x A －x B ＝5 m.【题型演练】1．(2019·安徽省四校联考)下列所给地运动图象中能反映做直线运动地物体不会回到初始位置地是( )【解析】A【解析】速度—时间图象中与坐标轴围成地面积表示位移,在坐标上方表示正位移,在坐标轴下方表示负位移,所以A中面积不为零,所以位移不为零,不能回到初始位置；B、C中面积为零,位移为零,回到初始位置；D中,位移—时间图象表示物体地位移随时间变化地图象,在t0 s物体地位移为零,即又回到了初始位置．2.(2019·河北衡水中学调研)甲、乙两辆汽车沿同一平直路面行驶,其vt图象如下图所示,下列对汽车运动状况地描述正确地是( )A．在第10 s末,乙车改变运动方向B．在第10 s末,甲、乙两车相距150 mC．在第20 s末,甲、乙两车相遇D．若开始时乙车在前,则两车可能相遇两次【解析】D【解析】由图可知,在20 s内,乙车一直沿正方向运动,速度方向没有改变,故选项A错误；由于不知道初始位置甲、乙相距多远,所以无法判断在10 s末两车相距多远,及在20 s末能否相遇,故选项B、C错误；若刚开始乙车在前,且距离为150 m,则在10 s末两车相遇,之后甲在乙地前面,乙地速度增大,在某个时刻与甲再次相遇,故选项D正确．4.(2019·河南中原名校联考)如下图所示为甲、乙两质点做直线运动地vt图象,若两质点从同一地点出发,到t1时刻相遇,则下列说法正确地是( )A．v1＝8 m/s B．v2＝12 m/s C．t1＝(3＋3)s D．0～t1时间内,甲、乙相距地最大距离为6 m【解析】CD。
第3节 运动图像 追及与相遇问题
运动图像 追及与相遇问题
结束
[解析]
位置坐标图像显示的是物体的运动轨迹，从题
图可以看出甲、丙两个分队运动路线为曲线，乙分队的运 动路线为直线，A正确；三个分队的初、末位置相同，位移 相等，但运动路程不同，B正确，D错误；因不知道三个分 队运动的时间大小关系，故无法比较三个分队的平均速度 大小关系，C错误。 [答案] AB
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课堂释疑 · 一站突破
课后演练 · 对点设计
运动图像 追及与相遇问题
结束
[典例]
从塔顶由静止释放一个小球A的时刻为计时零点，t0
时刻，在与A球t0时刻所在位置的同一水平高度，由静止释放小 球B，若两球都只受重力作用，设小球B下落时间为t，在A、B两 Δx 球落地前，A、B两球之间的距离为Δx，则 t t0的图线为( )
课前回顾 · 基础速串 课堂释疑 · 一站突破 课后演练 · 对点设计
运动图像 追及与相遇问题
结束
[解析]
平均速度等于位移与时间的比值，在v
t图
像中，图线与t轴所围的面积代表位移的大小，根据图像 可知，甲的位移大于乙的位移，由于时间相同，所以汽 车甲的平均速度比乙的大，故A正确，C错误；由于乙车 v1＋v2 做变减速运动，平均速度不等于 2 ，故B错误；因为 切线的斜率等于物体的加速度，汽车甲和乙的加速度大 小都是逐渐减小，故D错误。 [答案] A
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运动图像 追及与相遇问题
结束
3．(2017· 孝感重点中学联考)一物体由静止开始沿直线运动，其 加速度随时间变化的规律如图所示。取物体开始运动的方向 为正方向，则下列关于物体运动的v t图像正确的是 ( )
第二章第三节 运动图象 追及、相遇问题
二、追及、相遇问题分析 1．讨论追及、相遇的问题，其实质就 是分析讨论两物体在同一时刻能否到 达同一位置 (1)两个关系：即时间关系和位移关系, 这两个关系可通过画草图得到．
(2)一个条件：即两者速度相等,它往往 是物体间能否追上、追不上或(两者) 距离最大、最小的临界条件,也是分析 判断的切入点
位移 体的_______．
(2)若此面积在时间轴的上方，表示这 正方向 段时间内的位移方向为_________； 若此面积在时间轴的下方，表示这段 负方向 时间内的位移方向为__________．
5．两种特殊的v－t图象
(1)若v－t图象是与横轴平行的直线，
匀速直线运动 说明物体做______________．
斜率的大小表 斜率的意 示速度的大小 义 斜率的正负表 示速度的方向 图象与坐 标轴围成 无实际意义 “面积” 的意义
即时应用
1．(2011· 高考海南卷)一物体自t＝0
时开 始 做 直 线 运动 其 速 度 图 线
如图2－3－1 所示 . 下 列选 项 正 确 的是( )
图2－3－1
A．在0～6 s内,物体离出发点最远为30 m
第三节 运动图象 追及、相 遇问题
基础梳理自学导引
一、直线运动的s－t图象 1．物理意义：反映了做直线运动的
位移 物体_______随时间变化的规律．
2．图线斜率的意义 (1)图线上某点切线的斜率大小表示物 大小 体速度的________． (2)图线上某点切线的斜率正负表示物 方向 体速度的________．
120 m有一自行车正以6 m/s的速度匀 速前进，汽车以18 m/s的速度追赶自
行车，若两车在同一条公路不同车道
上做同方向的直线运动，
运动图像 追击和相遇问题
运动图像 追击和相遇问题考点1 运动图象的物理意义及应用 1.位移-时间（s-t ）图象（如图1-4-1）(1)图线上的某点的纵坐标值表示运动物体该时刻对参考位置的距离，(2)任意一段时间间隔对应的纵坐标值的变化值表示该段时间内的位移（正负表示位移的方向）．(3)图线的斜率（曲线某点的切线斜率）表示速度． (4)图像与纵坐标的焦点代表出发点的位置 (5)图像与横坐标的焦点代表出发的时间 (6)图像与图像的焦点代表物体相遇2．速度-时间（v-t ）图象（如图1-4-2）(1)图线的斜率（曲线某点的切线斜率）表示加速度． (2)速度图线与时间轴围成的几何图形的“面积”表示该段时间内物体发生的位移的大小，时间轴上方的面积表示正向位移，下方的面积表示负向位移，代数和表示总位移，绝对值之和表示路程．【例1】一质点沿直线运动时的速度—时间图线如图1-4-3所示，则以下说法中正确的是： A ．第1s 末质点的位移和速度都改变方向．B ．第2s 末质点的位移改变方向．C ．0-4s 内质点的位移为零．D ．第3s 末和第5s 末质点的位置相同． 【例2】[易错题]如图1-4-4所示为表示甲、乙物体运动的s─t 图象，则其中错误的是：A ．甲物体做变速直线运动，乙物体做匀速直线运动B ．两物体的初速度都为零C ．在t 1 时间内两物体平均速度大小相等D ．相遇时，甲的速度大于乙的速度考点2 追及和相向相遇追及和相遇问题的特点：追及和相遇问题是一类常见的运动学问题，从时间和空间的角度来讲，相遇是指同一时刻到达同一位置．可见，相遇的物体必然存在以下两个关系：一是相遇位置与各物体的初始位置之间存在一定的位移关系．若同地出发，相遇时位移相等为空间条件．二是相遇物体的运动时间也存在一定的关系．若物体同时出发，运动时间相等；若甲比乙早出发Δt ，则运动时间关系为t 甲=t 乙+Δt ．要使物体相遇就必须同时满足位移关系和运动时间关系．【例3】火车以速率V 1向前行驶，司机突然发现在前方同一轨道上距车为S 处有另一辆火车，它正沿相同的方向以较小的速率V 2作匀速运动，于是司机立即使车作匀减速运动，加速度大小为a,要使两车不致相撞，求出a 应满足关式．解析：设经过t 时刻两车相遇，则有21221at t V S t V -=+，整理得： 02)(2122=+-+S t V V at ，要使两车不致相撞，则上述方程无解，即图1-4-2 图1-4-1t/s V/ms-1 0 1 -11 2 3 4 5 图1-4-408)(442122<--=-=∆aS V V ac b ，解得SV V a 2)(221-≥．答案：SV V a 2)(221-≥[规律总结]无论那种追及或相遇问题，都可以建立位移和时间关系方程进行求解，在分析时注意区分几种追碰（或规避）情况的条件：（1）两物体同方向运动且开始相距一定距离，设前后物体的加速度分别为1a 、2a ，以下几种情况能追及（碰）：①二者同向加速，12a a >，如果二者速度相等时距离等于零，则能追上；若二者速度相等时距离不等于零则以后无法追上；；②二者同向加速，12a a <；③前一物体减速，后一物体加速，一定能追及；④前一物体加速，后一物体减速，如果二者速度相等时不能追上则以后无法追及；⑤二者均减速运动，12a a <，如果二者速度相等时不能追及则无法追及；12a a >，二者不相撞的安全条件是二者速度等于零时后一物体恰好追上前一物体．（2）两物体相反方向运动，列写位移和时间关系方程即可求解．【例4】[易错题]甲、乙两质点同时开始在彼此平行且靠近的两水平轨道上同时运动，甲在前，乙在后，相距s ．甲初速度为零，加速度为a ，做匀加速直线运动；乙以速度0v 做匀速运动，关于两质点在相遇前的运动，某同学作了如下分析：设两质点相遇前，它们之间的距离为s ∆，则t v s at s 0221-+=∆，当a v t 0=时，两质点间距离s ∆有最小值，也就是两质点速度相等时，两质点之间距离最近．你觉得他的分析是否正确？如果认为是正确的，请求出它们的最小距离；如果认为是不正确的，请说明理由并作出正确的分析．解析：不正确．在两质点相遇之前，它们之间的距离s ∆也可能不断减小，直到0=∆s （相遇），而不存在先变小后变大的情况，这完全取决于两质点之间的初始距离s 与0v 、a 之间的大小关系．由s t v at s +-=∆0221可解得：判断式as v 220-=∆．当as v 220≥，即avs 220≤时，甲、乙之间的距离始终在减小，直至相遇（最小距离0=∆s ），两质点相遇前不会出现s ∆最小的情况．当as v 22<，即a v s 220>时，甲与乙不可能相遇，当avt 0=时，两质点之间的距离最近，avs s 220min-=∆．图像题型的拓展t x -图象的应用．t x -图象不一定是指位移时间图象，x 可以表示位移、也可以表示其他物理量．[真题1]（2007广东）平行板间加如图1-4-8（a ）所示周期变化的电压，重力不计的带电粒子静止在平行板中央，从t ＝U －U时刻开始将其释放，运动过程无碰板情况．图1-4-8（b ）中，能定性描述粒子运动的速度图象正确的是[真题2]（2007海南）两辆游戏赛车a 、b 在两条平行的直车道上行驶．t ＝0时两车都在同一计时处，此时比赛开始．它们在四次比赛中的v －t 图如图1-4-10所示．哪些图对应的比赛中，有一辆赛车追上了另一辆？[真题3]（2007山东理综）如图1-4-12(a)所示，光滑轨道MO 和ON 底端对接且ON ＝2MO ，M 、N 两点高度相同．小球自M 点右静止自由滚下，忽略小球经过O 点时的机械能损失，以v 、s 、a 、E K 分别表示小球的速度、位移、加速度和动能四个物理量的大小．图1-4-12(b)图象中能正确反映小球自M 点到N 点运动过程的是[真题4]（2007上海）固定光滑细杆与地面成一定倾角，在杆上套有一个光滑小环，小环在沿杆方向的推力F 作用下向上运动，推力F 与小环速度v 随时间变化规律如图1-4-14所示，取重力加速度g ＝10 m/s 2．求：⑴小环的质量m ；⑵细杆与地面间的倾角．tAtBtCtD图1-4-8（b ） 0 5 10 15 20 25 5 10 v /m·s －1 A 0 5 10 15 20 25 5 10 v /m·s －1 B 0 5 10 15 20 25 5 10 v /m·s －1 C 0 5 10 15 20 25 5 10 v /m·s －1Da b a b a b a b 图1-4-10 图1-4-12（a ）M N图1-4-12(b)O t v A O ts B Ota COtE kD图1-4-14限时训练答案1.CD2.C3.AC4.CD 5会撞上 6.BC 7. C 8.C 9.A 10.A◇限时基础训练（20分钟）1．如图1-2-5所示，I 、II 分别是甲、乙两小球从同一地点沿同一直线运动的v -t 图线，根据图线可以判断（ ）A ．甲、乙两小球作的是初速度方向相反的匀减速直线运动，加速度大小相同，方向相反B ．图线交点对应的时刻两球相距最近C ．两球在t ＝2s 时刻速率相等D ．两球在t ＝8s 时发生碰撞2．如图1-2-6所示，某同学沿一直线行走，现用频闪照相记录了他行走中9个位置的图片，观察图片，能大致反映该同学运动情况的速度－时间图象是图1-2-7中的（ ）3．两辆游戏赛车在a 、b在两条平行的直车道上行驶．t =0时两车都在同一计时线处，此时比赛开始．它们在四次比赛中t v -图像的如图1-2-8图像所示．哪些图对应的比赛中，有一辆赛车追上了另一辆（ ）4．一质点从A 点沿直线向B 点运动，开始时以加速度1a 加速运动到AB 之间的某一点C ，然后接着又以加速度2a 继续作匀加速运动到达B 点．该质点若从B 点以加速度2a 运动到C 点，接着又以加速度1a 继续加速运动到达A 点，则两次运动的过程中( )A ．由于相同的路段加速度相同，所以它们所用的时间相同B ．由于相同的路段加速度相同，所以它们的平均速度大小相同C ．虽然相同的路段加速度相同，但先后的加速的加速度顺序不同，所用的时间肯定不同D ．由于相同的路段加速度相同，它们的位移大小相同，所以它们的末速度大小相同 5．甲、乙两汽车在一条平直的单行道上乙前甲后同向匀速行驶．甲、乙两车的速度分别为m /s 4001=v 和m /s 2002=v ，当两车距离接近到=s 250 m 时两车同时刹车，已知两图1-2-8A B C D 图1-2-6图1-2-7车刹车时的加速度大小分别为210.1m /s =a 和223/1m /s =a ，问甲车是否会撞上乙车?6．一物体做直线运动，速度图象如图2所示，设向右为正方向，则前s 4内( ) A ．物体始终向右运动B ．物体先向左运动，后s 2开始向右运动C ．前s 2物体位于出发点左方，后s 2位于出发点的右方D ．在s 2=t 时，物体距出发点最远7. 某物体运动的t v -图象如图1所示,则物体运动情况是( ) A. 往复来回运动 B.匀变速直线运动C. 朝同一方向做直线运动D.无法判断8．某同学从学校匀速向东去邮局，邮寄信后返回学校．在下图2中能够正确反映该同学运动情况的t s -图应是( )9．如图3所示，图线a 、b 、c 是三个质点同时同地开始沿直线运动的位移—时间图象，则0~0t 时间内( )A ．三质点的平均速度相等B ．a 的平均速度最大C ．三质点的平均速率相等D ．b 的平均速率最小 10．A 、B 两辆汽车在平直公路上朝同一方向运动，如图6所示为 两车运动的速度—时间图象，对于阴影部分的说法正确的是( )A ．若两车从同一点出发，它表示B 车追上A 车前两车的最大距离 B ．若两车从同一点出发，它表示B 车追上A 车前的最小距离C ．若两车从同一点出发，它表示B 车追上A 车时离出发点的距离D ．表示两车出发前相隔的距离图 6图 3 图2 图 1。
人教版高中物理必修一第二章专题：运动的图象、追及和相遇问题课件
阅卷教师揭秘 错因检索 1．易看错坐标系，如误将x-t图象当作v-t图象进行分析． 2．不注意坐标原点是否从零开始． 3．不清楚图线的点、斜率、面积等的物理意义． 4．不能将图象和实际运动结合起来而导致错误．
作用下做匀速直线运动，拉力做正功．故机械能不守恒，选项
D 错误．
答案 AC
【预测1】甲、乙两车某时刻由同一地点，
沿同一方向开始做直线运动，若以该
时刻作为计时起点，得到两车的位移
图象如图1-3-7所示，图象中的OC段与 AB平行，CB段与OA平行，则下列
下的加速度，其大小为 a＝62 m/s2＝3 m/s2<g，因此货物在这一
段时间内受重力和向上的拉力，选项 B 错误；货物在前 3 s 内
的平均速度 v1＝0＋2 6 m/s＝3 m/s，最后 2 s 内的平均速度 v2＝
6＋0 2
m/s＝3 m/s，两段时间内的平均速度相同，选项 C 正确；
第 3 s 末至第 5 s 末的过程中，货物在向上的拉力和向下的重力
备课札记
考点二 追及、相遇问题 1．从常见的三种追及、相遇问题看一个条件——两者速度
相等 (1)初速度为零(或较小)的匀加速直线运动的物体追匀速运动
的物体，在速度相等时二者间距最大； (2)匀减速直线运动的物体追匀速运动的物体，若在速度相等
之前未追上，则在速度相等时二者间距最小； (3)匀速运动的物体追匀加速直线运动的物体，若在速度相等
运动图象、追及相遇问题
1．在一次警车A 追击劫匪车B 时，两车同时由静止向同一方向加速行驶，经过30 s 追上．两车各自的加速度为a A ＝15 m/s 2，a B ＝10 m/s 2，各车最高时速分别为v A ＝45 m/s ，v B ＝40 m/s ，问追上时两车各行驶多少路程？原来相距多远？2.羚羊从静止开始奔跑，经过50m 能加速到最大速度25m/s ，并能维持一段较长的时间;猎豹从静止开始奔跑，经过60m 的距离能加速到最大速度30m/s ，以后只能维持这个速度4.0s ，设猎豹距离羚羊x 时开始攻击，羚羊在猎豹攻击后1s 才开始逃跑，设羚羊和猎豹在加速阶段分别做匀加速运动，且均沿同一直线奔跑，求：（1）猎豹要在其最大速度匀速阶段追到羚羊，x 应在什么范围？（2）猎豹要在其加速阶段追上羚羊(已在运动)， x 应在什么范围？3．在某市区内，一辆小汽车在平直公路上以速度vA 向东匀速行驶，一位观光游客正由南向北从斑马线上横过马路，汽车司机发现前方有危险（游客正在D 处向北走）经0.7s 作出反应，从A 点开始紧急刹车，但仍将正步行至B 处的游客撞伤，该汽车最终在C 处停下。
为了清晰了解事故现场，现以下图示之：为了判断汽车司机是否超速行驶，并测出肇事汽车速度vA ，警方派一车胎磨损情况与肇事车相当的车以法定最高速度vm=14m/s 行驶在同一马路的同一地段，在肇事汽车的出事点B 急刹车，恰好也在C 点停下来。
在事故现场测得AB=17.5m 、BC=14.0m 、BD=2.6m ，问：(1) 该肇事汽车的初速度vA 是多大？(2) 游客横过马路的速度是多大？4.一个小球A 从地面上以v 的初速度竖直向上抛出，同时它正上方H 出有一小球B 自由落下，讨论H 和v 满足什么条件，能够使两球 1、在空中相遇 2、在A 球上升过程中相遇 3、在A 球下降过程中相遇南5. 如图所示，在足够长的固定的斜面底端有一物体．物体在斜面上自由下滑的加速度为6m/s2，现用轻细绳将物体由静止沿斜面向上拉动做加速运动．加速度为 4 m/s2．经时间t=4s绳子突然断了，求：（1）绳断时物体的速度大小．（2）从绳子断了开始到物体再返回到斜面底端的运动时间．6.一个小圆盘静止在桌布上，位于一方桌的水平桌面的中央。
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1.3 运动图象追及、相遇问题
1．汽车的加速性能是反映汽车性能的重要指标．速度变化得越快，表明它的加速性能越好．如图
1所示为研究甲、乙、丙三辆汽车加速性能得到的v－t图象，根据图象可以判定()
A．甲车的加速性能最好B．乙比甲的加速性能好
C．丙比乙的加速性能好D．乙、丙两车的加速性能相同
2．甲、乙二人同时从A地赶往B地，甲先骑自行车到中点后改为跑步，而乙则是先跑步，到中点后改为骑自行车，最后两人同时到达B地；又知甲骑自行车比乙骑自行车的速度快．并且二人骑车速度均比跑步速度快．若某人离开A 地的距离s与所用时间t的函数关系用函数图象表示，则在图2所示的四个函数图象中，甲、乙二人的图象只可能是()
A．甲是①，乙是②B．甲是①，乙是④C．甲是③，乙是②D．甲是③，乙是④3．(2010·陕西西安铁一中月考)如图3所示的s—t图象和v—t图象中，给出四条曲线1、2、3、4代表四个不同物体的运动情况，关于它们的物理意义，下列描述正确的是()
A．图线1表示物体做曲线运动
B．s—t图象中t1时刻v1＞v2
C．v—t图象中0至t3时间内3和4的平均速度大小相等
D．两图象中，t2、t4时刻分别表示2、4开始反向运动
4．(2009·安徽高考)大爆炸理论认为，我们的宇宙起源于137亿年前的一次大爆炸．除开始瞬间外，在演化至今的大部分时间内，宇宙基本上是匀速膨胀的．上世纪末，对1A型超新星的观测显示，宇宙正在加速膨胀．面对这个出人意料的发现，宇宙学家探究其背后的原因，提出宇宙的大部分可能由暗能量组成，它们的排斥作用导致宇宙在近段天文时期内开始加速膨胀．如果真是这样，则标志宇宙大小的宇宙半径R和宇宙年龄t的关系，大致是图4所示的哪个图象？()
5．如图5所示是A、B两物体从同一地点出发，沿相同的方向做直线运动的v－t图象，由
图象可知()
A．A比B早出发5 s B．第15 s末A、B速度相等
C．前15 s内A的位移比B的位移大50 m D．第20 s末A、B位移之差为25 m
6．(2008·广东高考)某人骑自行车在平直道路上行进，图6中的实线记录了自行车开始一段
时间内的v－t图象．某同学为了简化计算，用虚线作近似处理，下列说法正确的是()
A．在t1时刻，虚线反映的加速度比实际的大
B．在0～t1时间内，由虚线计算出的平均速度比实际的大
C．在t1～t2时间内，由虚线计算出的位移比实际的大
D．在t3～t4时间内，虚线反映的是匀速运动
7．利用速度传感器与计算机结合，可以自动作出物体运动的图象．某同学在一次实验中得到的
运动小车的速度－时间图象如图7所示，以下说法错误的是()
A．小车先做加速运动，后做减速运动B．小车运动的最大速度约为0.8 m/s
C．小车的位移一定大于8 m D．小车做曲线运动
8．(2010·铜陵月考)如图8所示，表示一物体在0～4 s内做匀变速直线运动的v－t图象，根据
图象以下几种说法正确的是()
A．物体始终沿正方向运动
B．物体先向负方向运动，在t＝2 s后开始向正方向运动
C．在t＝2 s前物体加速度为负方向，在t＝2 s后加速度为正方向
D．在t＝2 s前物体位于出发点负方向上，在t＝2 s后位于出发点的正方向上
9．(2010·大连模拟)设物体运动的加速度为a、速度为v、位移为s.现有四个不同物体的运动图象如图9所示，假设物体在t＝0时的速度均为零，则其中表示物体做单向直线运动的图象是()
10．处于平直轨道上的甲、乙两物体相距s，乙在甲前且两物体同时、同向开始运动，甲以初速度v、加速度a1做匀加速直线运动，乙做初速度为零、加速度为a2的匀加速直线运动，假设甲能从乙旁边通过，下述情况可能发生的是() A．a1＝a2时，能相遇两次B．a1＞a2时，能相遇两次
C．a1＜a2时，能相遇两次D．a1＜a2时，能相遇一次
11．一宇宙空间探测器从某一星球表面垂直升空，假设探测器的质量恒为1500 kg，发动机
的推力为恒力，宇宙探测器升空到某一高度时，发动机突然关闭，如图10所示为其速度随
时间的变化规律．图中9 s、25 s、45 s 三个时刻分别对应图象中的A、B、C三点．(1)试
定性分析探测器的运动情况；(2)求探测器上升的最大高度．
12．一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3 m/s2的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以6 m/s 的速度匀速驶来，从后边超过汽车．试求：汽车从路口启动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？。