第三讲 运动的图象 追及和相遇问题

匀加速 匀速 静止 匀速
a增大
匀加速
匀速 匀减速
面积无意义
相遇位移 位移
速度相等
4.应用运动图象的三点注意
(1)无论是 x-t 图象还是 v-t 图象都只能描述直线运动． (2)x-t 图象和 v-t 图象都不表示物体运动的轨迹． (3)x-t 图象和 v-t 图象的形状由 x 与 t、v 与 t 的函数关系决定．
4．追及问题的常见类型
(1)速度小者追速度大者
类型
图象
匀加速追匀速
匀速追匀减速
匀加速追匀减 速
说明
①t＝t0 以前，后面物体与前面
物体间距离增大
②t＝t0 时，两物体相距最远为 x0＋Δx ③t＝t0 以后，后面物体与前面
物体间距离减小 ④能追及且只能相遇一次
注：x0 为开始时两物体间的距离
(2)速度大者追速度小者
二、对点微练 1．(x－t 图象)(2017·定州模拟)如图所示是 A、B 两质点 从同一地点运动的 x－t 图象，则下列说法不正确的是
( C)
A．A 质点以 20 m/s 的速度匀速运动 B．B 质点先沿正方向做直线运动，后沿负方向做直线运 动 C．B 质点最初 4 s 做加速运动，后 4 s 做减速运动 D．A、B 两质点在 4 s 末相遇
t1＝vL0＝1 s
A 球滑上斜坡后加速度大小 a＝gsinθ＝5 m/s2，A 球向上运动的位移
x＝v0t1－12at21＝7.5 m。 (2)B 球刚要滑上斜坡时 A 球的速度 v1＝v0－at1＝5 m/s，
B 球滑上斜坡时加速度与 A 相同，以 A 为参考系，B 相对于 A 以 v＝v0－v1＝5 m/s 做匀速运动，设再经过时间 t2 两者相遇，有 t2＝vx＝1.5 s
运动，其速度 v 随时间 t 变化的规律如图所示，在连续两
段时间 m 和 n 内对应面积均为 S，则经过
b 时刻的速度 vb 的大小为( C )
A.m－n S mn
m n m 2＋n 2S B. m＋n
C.mm＋ 2＋nnm2Sn
D.m2＋n2S mn
4．(2017·湖北联考)如图所示，甲从 A 地由静止匀加速跑向 B
题组微练 2－2.(2017·湖北联考)滑雪度假村某段雪地赛道可等效为长 L ＝36 m，倾角为θ＝37°的斜坡。已知滑道的积雪与不同滑板之 间的动摩擦因数不同，现假定甲先滑下时滑板与赛道的动摩擦 因 数 μ 1 ＝ 0.5 ， 乙 后 滑 下 时 滑 板 与 赛 道 的 动 摩 擦 因 数 为 μ 2 ＝ 0.25，g 取 10 m/s2。已知甲和乙均可看做质点，且滑行方向平 行，相遇时不会相撞。求： (1)甲从坡顶由静止自由滑下时到达坡底的速度大小； (2)若乙比甲晚出发Δt＝1 s，为追上甲，有人从后面给乙一个
瞬时作用使乙获得初速度 v0＝1 m/s，通过计算分析乙能否在
甲到达坡底前追上甲；若能追上求出两者在追上前相距的最远 距离，若不能追上求出两者到达坡底的时间差。
解析 (1)对甲的运动，由牛顿运动定律： m1gsinθ－μ1m1gcosθ＝m1a 甲 解得：a 甲＝2 m /s2。
由 2a 甲 L＝v21，得：v1＝12 m/s。
(2)甲到达坡底的时间 t 甲＝ v1 ＝6 s。
a甲 对乙的运动，由牛顿运动定律： m2gsinθ－μ2m2gcosθ＝m2a 乙 解得：a 乙＝4 m /s2。 设乙到达坡底时间为 t 乙，
由 L＝v0t 乙＋12a 乙 t2乙，得 t 乙＝4 s。
t 乙＋Δt<t 甲，故可以追上。
设甲出发后经 t1，乙与甲达到共同速度 v，则：
2
C．质点的加速度为x1－x2 t21
D．0～t1
时间内，质点的平均速度大小为2x1－x t1
2
1－2.甲、乙两物体从同一位置沿同一直线运动，它们的 v－t
D 图象如图所示，下列说法正确的是( )
A．乙物体先向负方向运动，t1 时刻以后反向向正方向运动 B．t2 时刻，乙物体追上甲 C．t1 时刻，两者相距最远 D．0～t2 时间内，乙的速度和加速度都 是先减小后增大
微知识❷ 追及和相遇问题
1．追及与相遇问题的概述
当两个物体在同__一__直___线__上_运动时，由于两物体的运动情况不 同，所以两物体之间的__距__离____会不断发生变化，两物体间
距越来越大或越来越小，这时就会涉及追及、相遇和避免碰
撞等问题．
2.分析追及问题的方法技巧可概括为“一个临界条件”、 “两个等量关系”．
则 A 球滑上斜坡后两球相遇时间 t＝t1＋t2＝2.5 s。 答案 (1)7.5 m (2)2.5 s
微专题 巧突破
利用图象法分析追及相遇问题的思路
审题审图，确定 借助 v-t 图象
确定三个关系v、
追及或相遇类型
→
确定速度相等时 的临界物理量
→
x、t列方程
利用图象或方程组求解，注意数学方法的应用. → 必要时对计算结果进行合理性讨论
1－3.一物体由静止开始沿直线运动Hale Waihona Puke Baidu其 加速度随时间变化的规律如图所示。取
物体开始运动的方向为正方向，则下列关于物体运动的描述正
确的是( B )
A．在 1～2 s 时间内，物体做减速运动 B．在 t＝2 s 时物体的速度最大，最大值为 3 m/s C．在 1～3 s 时间内，物体做匀变速直线运动 D．在 0～4 s 时间内，物体先沿正方向运动， 后沿负方向运动
代入数据解得：t1＝5 s，t2＝15 s(舍去)
(2)设 B 车的加速度为 aB，B 车运动经过时间 t，两车相遇时，两车速度相等，则
vA＝v0－aAt，
vB＝aBt，且 vA＝vB，在时间 t 内 A 车的位移 xA＝v0t－12aAt2
B 车的位移 xB＝12aBt2， 又 xB＋x0＝xA，联立可得 aB＝23 m/s2＝0.67 m/s2 答案 (1)两车会相撞，5 s(2)0.67 m/s2
高三物理第一轮总复习
第一章 运动的描述 匀变速直线运动的研究
第三讲 运动的图象 追及和相遇问题
知|识|梳|理 微知识❶ 直线运动的图象
时间 1．直线运动的 x － t 图象
(1)物理意义：反映了物体做直线运动的_位___移__随_____变
化的规律。
速度 速度 (2)斜率的意义：图线上某点切线斜率的大小表示物体
______的大小，斜率正负表示物体_______的方向。
2．直线运动的 v － t 图象
(_1时_)_物 间__理 _变意化义的：规反 律。 映 了 做 直 线 运 动 的 物 体 的 _速__度___ 随
(2)斜率的意义：图线上某点切线斜率的大小表示物体
_加__速__度____的大小，斜率正负表示物体_加__速__度____的方向。
D．在 3 s 末时刻质点回到出发点
题组突破
1－1.图示是一做匀变速直线运动的质点的位置—时间图
象(x－t 图象)，P(t1，x1)为图线上一点。PQ 为过 P 点的
切线，与 x 轴交于 Q(0，x2)。则下列说法
正确的是(B )
A．t1
时刻，质点的速率为x1 t1
B．t1
时刻，质点的速率为x1－x t1
v＝ a 甲 t1＝v0＋a 乙(t1－Δt)，解得：
t1＝1.5 s。
x
甲
＝1a 2
甲 t21＝94
m，
x 乙＝v0(t1－Δt)＋12a 乙(t1－Δt)2＝1 m，
两者在追上前相距的最远距离：
Δx＝x 甲－x 乙＝1.25 m。 答案 (1)12 m/s (2)能追上，最远距离 1.25 m
二、对点微练 3．(追及和相遇问题)如图所示，在光滑的水平地面上， 相距
母题导航 【母题】 (2016·全国卷Ⅰ)(多选)甲、乙两车在平直公路上同
向行驶，其 v－t 图象如图所示。已知两车在 t＝3 s 时并排行
驶，则( BD)
A．在 t＝1 s 时，甲车在乙车后 B．在 t＝0 时，甲车在乙车前 7.5 m C．两车另一次并排行驶的时刻是 t＝2 s D．甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公 路方向的距离为 40 m
微考场 提技能
1．(2016·江苏卷)小球从一定高度处由静止下落，与地面碰撞 后回到原高度再次下落，重复上述运动。取小球的落地点为原
点建立平面直角坐标系，竖直向上为正方向。下列速度 v 和
位置 x 的关系图象中，能描述该过程的是( A )
3．(2017·安徽质检)一个物体以初速度 v0 沿光滑斜面向上
(3)“面积”的意义
①图线与时间轴围成的面积表示相应时间内的_位__移___。 ②若面积在时间轴的上方，表示位移方向为__正__方_向____； 若面积在时间轴的下方，表示位移方向为_负__方__向___。
3．x­t 图象与 v­t 图象的区别
形状相同的图线，在不同的坐标系中所表示的物理规律不同，通 过如图所示的例子比较 x­t 图象和 v­t 图象表示的物理规律．
地，当甲前进距离为 s1 时，乙从距 A 地 s2 处的 C 点由静止出
发，加速度与甲相同，最后二人同时到达 B 地，则 A、B 两地
B 距离为(
A．s1＋s2
) B.s1＋s22
4s1
C. 4s1
s21 ＋
s2
D.ss11－ ＋ss22s21
2. (v－t 图象)(多选)质点做直线运动的 v－t 图象如图所示，则
(BC )
A．在前 3 s 内质点做变速直线运动 B．在 1～3 s 内质点做加速度 a＝－2 m/s2 的变速直线运动 C．在 2～3 s 内质点的运动方向与规定的 正方向相反，加速度方向与 1～2 s 内的加 速度方向相同
(1)一个临界条件：速度相等．它往往是物体间能否追上或(两 者)距离最大、最小的临界条件，也是分析判断问题的切入 点；
(2)两个等量关系：时间关系和位移关系．通过画草图找出 两物体的时间关系和位移关系是解题的突破口．
3．解题思路和方法
微考点2 追及和相遇问题
典例微探 【例】 (2017·济南模拟)汽车 A 正在公路上以 20 m/s 的速度 匀速行驶，因疲劳驾驶司机注意力不集中，当司机发现正前方 有一辆静止的轿车 B 时，两车距离仅有 75 m。 (1)若此时 B 车立即以 2 m/s2 的加速度启动，通过计算判断： 如果 A 车司机没有刹车，是否会撞上 B 车，若不相撞，求两 车相距最近时的距离；若相撞，求出从 A 车发现 B 车开始到 撞上 B 车的时间。 (2)若 A 车司机发现 B 车，立即刹车(不计反应时间)做匀减速 直线运动，加速度大小为 2 m/s2(两车均视为质点)，为避免碰 撞，在 A 车刹车的同时，B 车立即做匀加速直线运动(不计反 应时间)，问：B 车加速度 aB 至少多大才能避免事故。(假设两 车始终在同一条直线上运动)
解析 (1)当两车速度相等时，AB 两车到达同一个位置，设经过的时间为 t
则：vA＝vB
对 B 车 vB＝at
联立可得：t＝10 s
A 车的位移 xA＝vAt＝200 m
B
车的位移
xB
＝1at2＝100 2
m
又 xB ＋ x0 ＝ 175 m < xA 所以会撞上。
设经过时间 t 相撞，有：vAt＝x0＋12at2
类型
图象
说明
匀减速追匀速
匀速追匀加速 匀减速追匀加
速
开始追及时，后面物体与前面物体间的距离在减 小，当两物体速度相等时，即 t＝t0 时刻： ①若 Δx＝x0，则恰能追及，两物体只能相遇一次， 这也是避免相撞的临界条件 ②若 Δx<x0，则不能追及，此时两物体最小距离为 x0－Δx ③若 Δx>x0，则相遇两次，设 t1 时刻 Δx1＝x0，两 物体第一次相遇，则 t2 时刻两物体第二次相遇 注：x0 是开始时两物体间的距离
L＝10 m 的 A、B 两个小球均以速度 v0＝10 m/s 向右匀速运动，
随后两球相继滑上倾角为 30°的足够长的光滑斜坡，地面与斜 坡平滑连接，取 g＝10 m/s2。求： (1)B 球刚要滑上斜坡时 A、B 两球间的距离是多少； (2)A 球滑上斜坡后经过多长时间两球相遇。
解析 (1)设 A 球滑上斜坡后经过时间 t1B 球再滑上斜坡，则有