99多元函数的极值及其求法共20页
多元函数的极值及其求法
定理 设A是一个n n对称矩阵,
A正定 所有顺序主子式大于0
a11 a12 L a1k
a21 a22 L a2k
MM
M
所有特征值大于0 .
ak1 ak 2 L akk
(即特征方程 | E - A | 0的根大于0)
以 2 2 矩阵为例: A a11 a12 a21 a22
证: 由二元函数的泰勒公式, 并注意
则有
若 H f (P0 )正定, 则由引理知存在m 0使得
(h, k)H f (P0)(h, k)' m2.
故对充分小的U(P0), 只要(x, y) x0 h, y0 k U(P0), 就有
f (x, y)
f ( x0 ,
y0
)
(
m 2
o(1))
设函数z f ( x, y)在点 P0 ( x0 , y0 )的某邻域U(P0 )内 有一阶及二阶连续偏导数，且 P0是 f 的驻点,
则当H f (P0 )是正定矩阵时, f 在 P0取得极小值;
当H f (P0 )是负定矩阵时, f 在 P0取得极大值; 当H f (P0 )是不定矩阵时, f 在 P0不取极值.
极大值和极小值
x
例1. 已知函数
A 则( )
的某个邻域内连续, 且
(D) 根据条件无法判断点(0, 0)是否为f (x,y) 的极值点. 提示: 由题设
(2003 考研)
定理1 (必要条件) 函数
存在
偏导数, 且在该点取得极值 ,
则有
证:
取得极值 ,
故
取得极值 取得极值
据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.
(h2
多元函数的极值与最值的求法
2.5柯西不等式法………………………………………………………………21
2.6向量法………………………………………………………………………22
2.7 利用极值求最值……………………………………………………………23
小结…………………………………………………………………………………25
1.2利用拉格朗日（Lagrange）乘数法求极值………………………………2
1.3利用几何模型法求解极值…………………………………………………3
1.4 通过雅可比(Jacobi)矩阵求条件极值…………………………………5
1.5利用参数方程求解条件极值………………………………………………11
1.6 利用方向导数判别多元函数的极值………………………………………12
1.7 用梯度法求极值……………………………………………………………15
2多元函数最值的求法……………………………………………………………17
2.1消元法………………………………………………………………………18
2.2均值不等式法………………………………………………………………18
2.3换元法………………………………………………………………………19
又方程（1）对x求偏导: ,得 ， .
方程（1）对y求偏导: ,得 .
方程（2）对y求偏导: ,得 ，
在点（1，-1,6）有 ，且A<0，所以 是极大值。
在点（1，-1,2）处有 ,且A>0，所以 是极小值。
综上所述,知由方程 在点（1，-1,6）的某邻域内确定的函数, 是极大值；在点（1，-1,2）的某邻域内确定的函数， 是极小值.
多元函数的极值及其求法
多元函数的极值及其求法
多元函数的极值是指函数在其定义域内取得最大值或最小值的点。
要求一个多元函数的极值可以通过以下方法求解：
1. 求解偏导数，并令其等于0，得到一系列方程组。
2. 解出这些方程组，得到所有可能的极值点。
3. 对这些点进行极值的判断，即求出它们对应的函数值，并比较大小。
具体的求解过程中需要注意以下几点：
1. 当偏导数为0时，不能直接得出极值点，还需要进一步的判断。
2. 极值点可能不在定义域内，需要对所有可能的情况进行考虑。
3. 函数可能存在多个极值点，需要将它们全部找出来，并进行比较判断。
综合以上要点，在求解多元函数的极值时需要仔细分析问题，严格按照求解步骤进行操作，避免出现错误。
多元函数的极值及求法课件
详细描述
在交通网络、通信网络或其他类型的网络中，最短路 径问题是一个重要的优化问题。通过使用多元函数的 极值理论，可以找到网络中两点之间的最短路径，或 者从一个点出发到另一个点的最短路径。这有助于节 省时间和资源，提高效率。
生产成本最小化问题
要点一
总结词
生产成本最小化问题是企业经常面临的问题，通过最小化 生产成本来提高利润。
在工程领域的应用
结构优化设计
在工程设计中，如何优化设计方案以使 得结构性能最优是一个重要问题。多元 函数的极值理论可以用来解决这类问题， 通过找到使得结构性能函数最大的最优 解，得到最优的结构设计方案。
VS
控制工程问题
在控制工程中，如何确定控制系统的参数 以使得系统性能最优是一个重要问题。多 元函数的极值理论可以用来解决这类问题， 通过找到使得性能函数最大的最优解，得 到最优的控制系统参数。
04
多元函数极的展
偏导数与极值的关系
偏导数
在一元函数中，导数描述了函数值随自变量变化的速率。在多元函数中，偏导数描述了 函数值随某个自变量变化，而其他自变量保持不变的速率。
极值必要条件
如果一个多元函数在某点的偏导数都为0，那么这个点可能是函数的极值点。然而，这 个条件只是必要条件，不是充分条件，也就是说，偏导数都为0的点不一定是极值点。
生产成本最小化
在生产过程中，企业希望通过优化生产要素的投入比例，使 得生产成本最小化。多元函数的极值理论可以用来解决这类 问题，通过找到使得成本函数最小的最优解，实现生产成本 的最小化。
资源分配问题
在资源有限的情况下，如何合理分配资源以最大化经济效益 是经济领域中常见的问题。多元函数的极值理论可以用来解 决这类问题，通过找到使得收益函数最大的最优解，实现资 源的最优配置。
（整理）多元函数的极值及其求法.
（整理）多元函数的极值及其求法.第六节多元函数的极值及其求法在实际问题中，我们会大量遇到求多元函数的最大值、最小值的问题. 与一元函数的情形类似，多元函数的最大值、最小值与极大值、极小值密切的联系. 下面我们以二元函数为例来讨论多元函数的极值问题.内容分布图示★ 引例★ 二元函数极值的概念例1-3★ 极值的必要条件★ 极值的充分条件★ 求二元函数极值的一般步骤★ 例4 ★ 例5★ 求最值的一般步骤★ 例6 ★ 例7★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 例11★ 条件极值的概念★ 拉格郎日乘数法★ 例12★ 例13 ★ 例14 ★ 例15 ★ 例 16*数学建模举例★ 最小二乘法★ 线性规划问题★ 内容小结★ 课堂练习★ 习题6-6 ★ 返回内容提要：一、二元函数极值的概念定义1 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内有定义, 对于该邻域内异于),(00y x 的任意一点),(y x , 如果),,(),(00y x f y x f <则称函数在),(00y x 有极大值；如果),,(),(00y x f y x f >则称函数在),(00y x 有极小值; 极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点.定理1 (必要条件) 设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数, 且在点),(00y x 处有极值, 则它在该点的偏导数必然为零，即.0),(,0),(0000==y x f y x f y x (6.1)与一元函数的情形类似，对于多元函数，凡是能使一阶偏导数同时为零的点称为函数的驻点.定理2 (充分条件) 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某邻域内有直到二阶的连续偏导数，又,0),(00=y x f x .0),(00=y x f y 令.),(,),(,),(000000C y x f B y x f A y x f yy xy xx === (1) 当02>-B AC 时，函数),(y x f 在),(00y x 处有极值，且当0>A 时有极小值),(00y x f ；0(2) 当02<-B AC 时，函数),(y x f 在),(00y x 处没有极值;(3) 当02=-B AC 时，函数),(y x f 在),(00y x 处可能有极值，也可能没有极值.根据定理1与定理2，如果函数),(y x f 具有二阶连续偏导数，则求),(y x f z =的极值的一般步骤为：第一步解方程组,0),(,0),(==y x f y x f y x 求出),(y x f 的所有驻点；第二步求出函数),(y x f 的二阶偏导数，依次确定各驻点处A 、 B 、C 的值，并根据2B AC -的符号判定驻点是否为极值点. 最后求出函数),(y x f 在极值点处的极值.二、二元函数的最大值与最小值求函数),(y x f 的最大值和最小值的一般步骤为:（1）求函数),(y x f 在D 内所有驻点处的函数值;（2）求),(y x f 在D 的边界上的最大值和最小值;（3）将前两步得到的所有函数值进行比较，其中最大者即为最大值, 最小者即为最小值. 在通常遇到的实际问题中，如果根据问题的性质，可以判断出函数),(y x f 的最大值（最小值）一定在D 的内部取得，而函数),(y x f 在D 内只有一个驻点，则可以肯定该驻点处的函数值就是函数),(y x f 在D 上的最大值（最小值）.三、条件极值拉格朗日乘数法前面所讨论的极值问题，对于函数的自变量一般只要求落在定义域内，并无其它限制条件，这类极值我们称为无条件极值. 但在实际问题中，常会遇到对函数的自变量还有附加条件的的极值问题. 对自变量有附加条件的极值称为条件极值.拉格朗日乘数法设二元函数),(y x f 和),(y x ?在区域D 内有一阶连续偏导数，则求),(y x f z =在D 内满足条件0),(=y x ?的极值问题，可以转化为求拉格朗日函数),(),(),,(y x y x f y x L λ?λ+=（其中λ为某一常数）的无条件极值问题.于是，求函数),(y x f z =在条件0),(=y x ?的极值的拉格朗日乘数法的基本步骤为：(1) 构造拉格朗日函数),(),(),,(y x y x f y x L λ?λ+=其中λ为某一常数;(2) 由方程组===+==+=0),(,0),(),(,0),(),(y x L y x y x f L y x y x f L y y y x x x ?λ?λ?λ解出λ,,y x , 其中x , y 就是所求条件极值的可能的极值点.注：拉格朗日乘数法只给出函数取极值的必要条件, 因此按照这种方法求出来的点是否为极值点, 还需要加以讨论. 不过在实际问题中, 往往可以根据问题本身的性质来判定所求的点是不是极值点.拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形:四、数学建模举例例题选讲：二元函数极值的概念例1（讲义例1）函数2232y x z +=在点(0, 0)处有极小值. 从几何上看，2232y x z +=表示一开口向上的椭圆抛物面，点)0,0,0(是它的顶点.（图7-6-1）.例2（讲义例2）函数22y x z +-=在点(0,0)处有极大值. 从几何上看，22y x z +-=表示一开口向下的半圆锥面，点)0,0,0(是它的顶点.（图7-6-2）. 例3（讲义例3）函数22x y z -= 在点(0,0)处无极值. 从几何上看，它表示双曲抛物面（马鞍面）（图7-6-3）例4（讲义例4）求函数x y x y x y x f 933),(2233-++-=的极值.例5 证明函数y y ye x e z -+=cos )1(有无穷多个极大值而无一极小值.二元函数的最大值与最小值例6（讲义例5）求函数y xy x y x f 22),(2+-=在矩形域 |),{(y x D =}20,30≤≤≤≤y x上的最大值和最小值.。
多元函数的极值及其求法
的梯度平行
引入辅助函数 L( x , y ) f ( x , y ) ( x , y )
则极值点满足:
拉格朗日 乘数法
推广
拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个 约束条件的情形.
例如, 求函数 u f ( x, y, z ) 在条件 ( x, y, z ) 0 ,
( x, y, z ) 0下的极值.
( x , y ),
取 y y 0，则 f ( x , y ) f ( x , y ), 0 0 0
一元函数
d f ( x , y0 ) dx
x x0
f ( x , y 0 ) 在 x x 0 取得极大值 .
y
( x0 , y0 )
f x ( x0 , y0 ) 0.
2 2
2 2 2
的最大值和最小值.
0, 0,
解： 由 zx
zy
得驻点(
( x y 1) 2 x ( x y ) ( x y 1)
2 2 2 2
( x y 1) 2 y ( x y ) ( x y 1)
2 2 2
1 2
,
1
)和 (
1 2
f x ( x 0 , y 0 ) 0 ， f y ( x 0 , y 0 ) 0 .（驻点）
多元函数的极值点如果有偏导数则必是驻点.
证:
不 妨 设 z f ( x , y )在 点 ( x 0 , y0 ) 处 有 极 大 值 ,
则对于 ( x 0 , y 0 )的某个邻域内的所有点 都有 f ( x , y ) f ( x 0 , y 0 ),
A f xx ( x 0 , y 0 ) , B f xy ( x 0 , y 0 ) , C f yy ( x 0 , y 0 ),
多元函数的极值及其求法
多元函数的极值及其求法
一、多元函数的极值
定理1（必要条件） 设函数()y x f z ,=在点()00,y x 具有偏导数且在点()00,y x 处有极值，则有
()()0,,0,0000==y x f y x f y x
定理2（充分条件） 设函数()y x f z ,=在点()00,y x 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导，又 ()()0,,0,0000==y x f y x f y x ，令
()()()C y x f B y x f A y x f yy xy xx ===000000,,,,,,
则()y x f ,在()00,y x 处是否取得极值的条件如下：
（1）02>-B AC 时具有极值，且当0<A 时有极大值，当0>A 时有极小值；
（2）02<-B AC 时没有极值（在()00,y x 处不取极值）；
（3）02=-B AC 时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。
二、条件极值 拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法 要找函数()y x f z ,=在条件()0,=y x ϕ下的可能极值点，可先作拉格朗日函数
()()()y x y x f y x L ,,,λϕ+=，
其中λ为参数。
()()()()()0,0,,0
,,==+=+y x y x y x f y x y x f y y x x ϕλϕλϕ
解出y x ,及λ,这样得到的()y x ,就是函数()y x f z ,=在附加条件()0,=y x ϕ下的可能极值点。
08-多元函数的极值及其求法课件
多元函数的极值及其求法多元函数的极值多元函数的最大值、最小值条件极值拉格朗日乘数法多元函数的极值定义 设函数()z f x y =,的定义域为D ,()000,P x y 则称函数在点()00,x y 有极大值(或极小值) ()00,f x y为D 的内点，若存在0P 的某个邻域()0U P D ⊂,如果对于该邻域内任何异于0P 的点(),x y , 都有()()00,,f x y f x y < (或()()00,,f x y f x y >),极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点.例 函数2234z x y =+在点(0,0)处有极小值.()0,00z =, 例 函数22y x z +-=在点(0, 0)处有极大值.当()(),0,0x y ≠时, 0z >.=在点(0,0)处既不取得极大值也不取得极小例函数z xy值.()0,00z=,而在点(0, 0)的任一邻域内,总有使函数值为正的点,也有使函数值为负的点.设n 元函数()u f P =在点0P 的某一邻域内有定义,如果对于该邻域内任何异于0P 的点P , 都有则称函数()fP 在点0P 有极大值(或极小值)()0f P .()()0f P f P < (或()()0f P f P >),定理1(必要条件) 设函数()z f x y =,在点()00,x y 具 有偏导数, 且在点()00,x y 处有极值, 则有()00,0x f x y =, ()00,0y f x y =.不妨设()z f x y =,在点()00,x y 处有极大值. 证 依极大值的定义, 对于点()00,x y 的某邻域内异于()00,x y 的点(),x y , 都有不等式特殊地, 在该邻域内取0y y =而0x x ≠的点,也应有()()00,,f x y f x y <()()000,,f x y f x y <这表明一元函数()0,f x y 在0x x =处取得极大值,因而有()00,0x f x y =.类似地可证()00,0y f x y =.从几何上看, 这时如果曲面()z f x y =,在点()000,,x y z 处有切平面, 则切平面()()()()0000000,,x y z z f x y x x f x y y y -=-+-成为平行于xoy 坐标面的平面0z z =.凡是能使()00,0xf x y =, ()00,0y f x y =同时成立的点()00,x y 称为函数()z f x y =,的驻点.具有偏导数的函数的极值点必定是驻点.但函数的驻点不一定是极值点.例如, 函数z xy =在点 (0,0)处的两个偏导数都是零, 但(0,0)不是极值点.定理2(充分条件) 设函数()z f x y =,在点()00,x y 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数,又()00,0x f x y =, ()00,0y f x y =,令()00,xx f x y A =, ()00,xy f x y B =, ()00,yy f x y C =则()f x y ,在()00,x y 处是否取得极值的条件如下:(2)20AC B -<时没有极值;(1) 20AC B ->时具有极值, 且当0A <时有极大值,当0A >时有极小值;(3) 20AC B -=时可能有极值, 也可能没有极值.极值的求法: 第一步 解方程组求得一切实数解, 即可得一切驻点.第二步 对于每一个驻点()00,x y , 求出二阶偏导数的 ()00,0x f x y =, ()00,0y f x y =,值A 、B 和C .第三步 定出2AC B -的符号, 按定理2的结论判定()00,f x y 是否是极值、是极大值 还是极小值.例 求函数()3322,339f x y x y x y x =-++-的极值.解 解方程组⎩⎨⎧=+-==-+=063),(0963),(22y y y x f x x y x f yx 得驻点为()1,0、()1,2、()3,0-、()3,2-.求得1,3x =- ; 0,2y =再求出二阶偏导数(),66xx f x y x =+,(),0xy f x y = ,(),66yy f x y y =-+.在点()1,0处,21260AC B -=⋅>, 又0A >,所以函数在()1,0处有极小值()1,05f =-;在点()1,2处, ()21260AC B -=⋅-<,所以()1,2f 不是极值;所以()3,0f -不是极值;所以函数在()3,2-处有极大值()3,231f -=.在点()3,0-处, 21260AC B -=-⋅<,在点()3,2-处,()21260AC B -=-⋅->, 又0A <,不是驻点也可能是极值点.例如,函数220,0处有极大值,=-+在点()z x y0,0不是函数的驻点.但()多元函数的最大值、最小值如果()f x y ,在有界闭区域D 上连续, 则()f x y ,在 D 上必定能取得最大值和最小值.假定函数在D 上连续、在D 内可微分且只有有限个驻 点, 如果函数在D 的内部取得最大值(最小值), 那么这个 最大值(最小值)也是函数的极大值(极小值).求最大值和最小值的一般方法将函数()f x y ,在D 内的所有驻点处的函数值及在D 的边界上的最大值和最小值相互比较, 其中最大的就是最大 值, 最小的就是最小值.实际问题中如果根据问题的性质, 知道函数()f x y , 的最大值(最小值)一定在D 的内部取得, 而函数在D 内 只有一个驻点, 那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数 ()f x y ,在D 上的最大值(最小值).例 某厂要用铁板做成一个体积为38m 的有盖长方体水箱.问当长、宽、高各取多少时, 才能使用料最省.解 设水箱的长为x , 宽为y , 则其高应为xy8. 此水箱所用材料的面积为)0 ,0( )88(2)88(2>>++=⋅+⋅+=y x yx xy xy x xy y xy A令0)8(22=-=x y A x , 0)8(22=-=yx A y , 得2x =, 2y =.当水箱的长为2m 、宽为2m 、高为82m 22=⋅时, 水箱所用的材料最省.条件极值拉格朗日乘数法例如, 对自变量有附加条件的极值称为条件极值.求表面积为2a 的长方体的最大体积.设长方体的三棱的长为x y z 、、, 则体积V xyz =.x y z 、、还必须满足附加条件22()xy yz xz a ++=.由条件2)(2a xz yz xy =++, 解得)(222y x xy a z +-=, 于是得 V ))(2(22y x xy a xy +-=. 有些条件极值问题可以化为无条件极值问题.例如, 求表面积为2a 的长方体的最大体积.函数()z f x y =,在条件()0x y ϕ=,下取得极值的必要 条件.如果函数()z f x y =,在()00,x y 取得所求的极值, 则()00,0x y ϕ=.假定在()00,x y 的某一邻域内()f x y ,与()x y ϕ,均有连续的一阶偏导数, 将其代入目标函数()z f x y =,, 得的函数()y x ψ=, 定理, 由方程()0x y ϕ=,确定一个连续且具有连续导数而()00,0y x y ϕ≠. 由隐函数存在一元函数()()z f x x ψ=,.0x x =是一元函数()()z f x x ψ=,的极值点,由取得极值的必要条件, 有即()()0000d d ,,0d d x y x x x x z yf x y f x y xx--=+=()()()()00000000,,,0,x x y y x y f x y f x y x y ϕϕ-=设λϕ-=),(),(0000y x y x f y y , 则函数()z f x y =,在条件 ⎪⎩⎪⎨⎧==+=+0),(0),(),(0),(),(0000000000y x y x y x f y x y x f y y x x ϕλϕλϕ ()0x y ϕ=,下在()00,x y 取得极值的必要条件是拉格朗日乘数法要找函数()z f x y =,在条件()0x y ϕ=,下的可能极值点, 可以先构成辅助函数()()()L x y f x y x y λϕ=+,,,其中λ为某一常数. 然后解方程组(,)(,)(,)0(,)(,)(,)0(,)0L x y f x y x y x x x L x y f x y x y y y y x y λϕλϕϕ⎧=+=⎪=+=⎨⎪=⎩ 由这方程组解出,x y 及λ, 则其中(),x y 就是所要求的可能的极值点.此方法可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形.例 求表面积为2a 而体积为最大的长方体的体积.解 设长方体的三棱的长为x y z 、、, 构成辅助函数解方程组()()2,222L x y z xyz xy yz xz a λ=+++-,(,,)2()0(,,)2()0(,,)2()02222L x y z yz y z x L x y z xz x z y L x y z xy y x z xy yz xz aλλλ=++=⎧⎪=++=⎪⎨=++=⎪⎪++=⎩ 得a z y x 66===, 这是唯一可能的极值点. 最大值就在这个可能的值点处取得. 此时3366a V =.。
高等数学 -多元函数的极值及其求法
16
方法2 拉格朗日乘数法. 例如,
在条件(x, y) 0下, 求函数 z f (x, y) 的极值.
如方法 1 所述 , 设 (x, y) 0 可确定隐函数 y (x),
则问题等价于一元函数 z f (x, (x)) 的极值问题, 故
极值点必满足
dz dx
fx
fy
dy dx
0
因d y x , 故有 dx y
23
例5：某公司可通过电台及报纸两种方式做商品销售
广告，根据资料知销售收入 R（万元）与电台广告费用
x 万元, 报纸广告费用 y 万元, 之间的关系公式：
R 15 14 x 32 y 8x y 2 x2 10y2
1、在广告费用不限的情况下求最优广告策略。
2、若提供的广告费用为1.5万元，求相应的最优广告策略
x y 1.5
x 0
y
1.5
即将广告费1.5万元全部用于报纸广告,可使利润最大.
32
例6：某公司的两个工厂生产同样的产品但所需成本
不同，第一个工厂生产 x 件产品和第二个工厂生产 y
件产品时的总成本是; Cx, y x2 2 y2 5 x y 700
若公司的生产任务是500件，问如何分配任务才能使总
解：最优广告策略即为用于广告费多少时可使得利润
函数 Lx, y 最大。由题意可知： Lx, y 15 14 x 32 y 8x y 2 x2 10y2 x y
15 13x 31y 8x y 2 x2 10y2
Lx 13 8 y 4 x 0 Ly 31 8 x 20 y 0
k 0
1 (0, 0, x 3y 10)
x 1 y 3 0 2
1 x 3y 10
多元函数的极值及其求法
新课
一、多元函数的极值及最大值、最小值
极值的定义 设函数zf(x y)在点(x0 y0)的某个邻域内有定义 如果对 于该邻域内任何异于(x0 y0)的点(x y) 都有 f(x y)<f(x0 y0)(或f(x y)>f(x0 y0)) 则称函数在点(x0 y0)有极大值(或极小值)f(x0 y0) 极大值、极小值统称为极值 使函数取得极值的点称为极值点
观察极值与切线的关系
x1 x2 x3 x4 x5
定理1(必要条件) 设函数f(x)在点x0处可导 且在x0处取得极值 那么f (x0)0 >>> •驻点 使导数f (x)为零的点(方程f (x)0的实根)称为函数 f(x)的驻点 讨论：
极值点是否一定是驻点？ 驻点是否一定是极值点？ 考察x0是否是函数yx3的 驻点 是否是函数的极值点
5(x 1) 3 3 x 1 (2)令f (x)0 得驻点x1 x1为f(x)的不可导点 f (x)
(3)列表判断
x
f (x)
( 1)
1
不可导
(1 1)
1
0
(1 )
f(x)
↗
0
↘
33 4
↗
(4)极大值为 f (1)0 极小值为 f (1) 33 4
确定极值点和极值的步骤
(1)求出导数f (x) (2)求出f(x)的全部驻点和不可导点 (3)考察在每个驻点和不可导点的左右邻近f (x)的符号 (4)确定出函数的所有极值点和极值
例 1 求函数 f (x) (x 4)3 (x 1)2 的极值 例 解 (1)f(x)在( )内连续 除x1外处处可导 且
例2、讨论函数 z 1 x 2 y 2 在 (0, 0)处的极值。
多元函数的极值及其求法
条件极值：对自变量有附加条件的极值．
拉 格 朗 日 乘 数 法
要 找 函 数zf(x,y)在 条 件(x,y)0下 的 可 能
极 值 点 ,
先构造函数 F(x, y) f (x, y) (x, y)，其中
为某一常数，可由
fx(x, y) x(x, y) 0,
0,
Ft(x, y,z,t) 0,
(x, y,z,t) 0, ( x , y , z , t ) 0 .
解出 x, y, z, t 即得 可能极值点的坐标.
例6 求表面积为 a2 而体积为最大的长方体的体积.
解 设长方体的长、宽、高为 x , y，z. 体积为 V . 则问题就是条件 2 x y 2 y z2 x z a 2 0 下， 求函数 V x( x y 0 ,y z 0 , z 0 )的最大值.
若满足不等式
f (x, y) f (x0, y0)，
则称函数在(x0, y0)有极大值；
若满足不等式
f (x, y) f (x0, y0)，
则称函数在(x0, y0)有极小值；
极 大 值 、 极 小 值 统 称 为 极 值 .
使 函 数 取 得 极 值 的 点 称 为 极 值 点 .
例1 函数z 3x2 4y2
例 5求 zx 2x y 2 y 1的 最 大 值 和 最 小 值 .
解令
zx(x2(y x2 2 1y )2 21 x)(2xy)0, zy(x2(y x2 2 1y )2 21 y)(2xy)0,
得 驻 点 (1,1)和 (1,1),
22
22
四、小结
多元函数的极值 （取得极值的必要条件、充分条件） 多元函数的最值 拉格朗日乘数法
第八节多元函数的极值及其求法
z a2 2xy 2(x y)
代入V 的表达式，得
V xy a2 2xy 2(x y)
再求它的无条件极值就行了.
这是一种间接求条件极值的方法. 但是，在很多情形，条件极值问题不能或很难化为
无条件极值问题，(比如，从附加条件不能将其中一个 变量由其余变量表示出来)，这时， 上述方法就行不 通了. 可是， 实际中又有大量这类问题需要解决， 为此， 下面给大家介绍一种直接求条件极值的方法，
对该邻域内的异于 (x0, y0) 的任意点 (x, y), 都有 f (x, y) f (x0, y0) .
取定 y y0,当0 | x x0 | 时, 点(x, y0) U (P0, ) , 且(x, y0) (x0, y0), 因而应有
f (x, y0) f (x0, y0)
即 当0 | x x0 | 时, 有
第三步 根据极值的充分条件， 对驻点 (x0, y0) 是否为极值点，以及是极大值点还是极小值点
作出判断。
例1 求函数 f (x, y) x3 y3 3x2 3y2 9x 的极值.
解 定义域: 整个平面
fx 3x2 6x 9 0
fy
3y2 6y
0
解得: x 1 x 1 x 3
求 V xyz (x 0, y 0, z 0)
在附加条件 2xy 2yz 2zx a2
下的最大值.
条件极值问题
怎样求条件极值？ 有些可以化为无条件极值问题来求。
例如上面的问题：
求 V xyz (x 0, y 0, z 0) 在附加条件 2xy 2yz 2zx a2
下的最大值. 由附加条件解得
f (x, y) f (x0, y0)
( )
则称函数 f (x,y) 在点 (x0 ,y0) 有极大值 f(x0 ,y0)， (极小值)
多元函数的极值及其求法
课堂思路
一 多元函数的极值
（1）定义 （2）多元函数极值的必要条件 （3）多元函数极值的充分条件
二 条件极值和无条件极值 三 拉格朗日乘数法
回顾
One. 一元函数的极值定义 Two. 一个必要条件、两个充分条件 Three. 一元函数最值问题
一、 多元函数的极值
（1）多元函数极值定义
z=2x2+3y2
z=2x2+3y2
z=y2-x2
（2）多元函数极值的必要条件
驻点 驻点与极值的关系
（3）多元函数极值的充分条件
步骤 注意点
求
的极值
讨论函数
和
是否取得ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ值
在点（0，0）
（5）多元函数最值问题
方法 例题
某厂要用铁板做一个体积为2m3的有盖长方体水 箱，问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使 用料最省?
二、条件极值和无条件极值
代入法 引出拉格朗日数乘法
三、拉格朗日乘数法
某厂要用铁板做一个体积为2m3的有盖长方体水 箱，问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使 用料最省?
小结
求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积。
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多元函数的极值及最大值【精品-PPT】
高等数学
主讲人： 苏本堂
第八节多元函数的极值及其求法
一、多元函数的极值及最大值、最小值 二、条件极值 拉格朗日乘数法
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
一、多元函数的极值及最大值、最小值
定义 设函数zf(x y)在点(x0 y0)的某个邻域内有定 义 如果对于该邻域内任何异于(x0 y0)的点(x y) 都有
则: 1) 当AC B2 0 时, 具有极值
A<0 时取极大值; A>0 时取极小值.
2) 当 AC B2 0 时, 没有极值.
3) 当 AC B2 0 时, 不能确定 , 需另行讨论.
证明见 第九节.
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主讲人： 苏本堂
求函数 z = f ( x , y) 极值的一般步骤：
fx
fy
dy dx
0
因d y dx
x y
,
故有
fx
f
y
x y
0
记
fx fy
x y
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极值点必满足
fx x 0 f y y 0 (x, y) 0
引入辅助函数 F f (x, y) (x, y)
则极值点满足:
辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数. 利用拉格 朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.
oO4uUaB!hH)nO4uUaA#hH)nN3tUaA #gG(n N3tT9A #gG(mM3tT9 zZfG(mM2sS9 zZfF*mM2sS8y ZfF*lL1sS8y YeE*lL 1rR8y YeE&kL 1rR7x XeE&kK0qR7x XdD& kK0qQ 6
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则: 1) 当AC B20时, 具有极值
A<0 时取极大值; A>0 时取极小值.
2) 当 AC B20时, 没有极值.
3) 当 AC B20时, 不能确定 , 需另行讨论.
证明见 第九节(P72) .
例1. 求函数 解: 第一步 求驻点.
的极值.
解方程组
得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) .
sin0, x0
1 2 x 2 x co 0s 2 c4 o 2 x c s o x (s 2 c s o 2 i ) s n 0
解得:
6 0, x8(cm)
3
由题意知,最大值在定义域D 内达到, 而在域D 内只有
一个驻点, 故此点即为所求.
二、条件极值，拉格朗日乘数法
无条件极值: 对自变量只有定义域限制 极值问题
第二步 判别. 求二阶偏导数
B
C
fxx(x,y)6x6, fxy(x,y)0, fyy(x,y)6y6
A
在点(1,0) 处
A C B 21 2 60,A0,
为极小值;
在点(1,2) 处
A C B 2 1 2 ( 6 ) 0 ,
不是极值;
在点(3,0) 处
A C B 2 1 2 60,
不是极值;
在点(3,2) 处
极值点必满足 fyy0 (x,y)0
引入辅助函数 F f( x ,y ) ( x ,y )
则极值点满足:
辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数. 利用拉格 朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.
拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多 推广 个约束条件的情形.
例如, 求函数 uf(x,y,z)在条件 (x,y,z)0,
定理9.12 (必要条件)函数
偏导数, 且在该点取得极值 , 则有
fx ( x 0 ,y 0 ) 0 ,fy ( x 0 ,y 0 ) 0
证:
取得极值 , 故
存在
取得极值 取得极值
据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.
说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 .
但驻点不一定是极值点.
例如,
有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值.
z 使在条件 xyzV0下水箱表面积 S 2 (x z y z ) x y
(x,y,z)0下的极值. 设 F f ( x , y , z ) 1 ( x , y , z ) 2 ( x , y , z )
解方程组
可得到条件极值的可疑点 .
例5. 要设计一个容量为 V 0 的长方体开口水箱, 试问 水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？
解: 设 x , y , z 分别表示长、宽、高, 则问题为求x , y ,
z
o xy
0
当 x2y20时 , z(x2y2)2z(0,0) 0
因此
为极小值.
2. 最大值和最小值
依据
函数 f 在闭域上连续
函数 f 在闭域上可达到最值
最值可疑点
驻点 边界上的最值点
特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时,
f (P) 为极小(大) 值f (P) 为最小(大) 值
例3. 某厂要用铁板做一个体积为8 的有盖长方体水
问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?
解: 设水箱长,宽分别为 x , y m ,则高为
8 xy
m
,
则水箱所用材料的面积为
2xy8 x8 y
令
Ax 2(yx82)0 Ay 2(xy82)0
得驻点
(2 ,2)
根据实际问题可知最小值在定义域内应存在, 因此可
断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为 2
定理9.13 (充分条件) 若函数 z f(x ,y )在 (x 0 ,点 y 0 )的 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且
fx ( x 0 ,y 0 ) 0 ,fy ( x 0 ,y 0 ) 0 令 A f x x ( x 0 , y 0 ) , B f x y ( x 0 , y 0 ) , C f y y ( x 0 , y 0 )
在条 (x,y)件 0下 ,求函 zf数 (x,y)的极 . 值
如方法 1 所述 , 设 (x,y)0可确定隐函数 y(x),
则问题等价于一元函数 zf(x,(x))的极值问题, 故
极值点必满足
d dxzfxfyddxy0
因d y dx
x y
,
故有
fx
f
y
x y
0
记
f x f y
x y
fxx0
条 件 极 值 : 对自变量除定义域限制外,
还有其它条件限制 条件极值的求法:
方法1 代入法. 例如 ,
在条 (x,y)件 0下 ,求函 z数 f(x,y)的极值
转 化
从 条 (x ,y ) 件 0 中y 解 (x )出
求一元函数 zf(x,(x))的无条件极值问题
方法2 拉格朗日乘数法. 例如,
A C B 2 1 2 ( 6 ) 0 ,A0,
为极大值.
fxx(x,y)6x6, fxy(x,y)0, fyy(x,y)6y6
A
B
C
例2.讨论函数
及
在点(0,0)
是否取得极值.
解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 , 并且在 (0,0) 都有
在(0,0)点邻域内的取值 正 可能为 负 , 因此 z(0,0) 不是极值.
高为
8 22
2
时, 水箱所用材料最省.
例4. 有一宽为 24cm 的长方形铁板 , 把它折起来做成
一个断面为等腰梯形的水槽, 问怎样折法才能使断面面
积最大.
解: 设折起来的边长为 x cm, 倾角为 , 则断面面积
为
1
2
(
2 2 4 x 2 x cos
)xsin
2 x s 4 i 2 x n 2 si x 2 n cs ois n
(D :0 x 1,0 2 2 )
x 24
x
242x
A 2 x s4 i2 x n 2 s ix 2 n cs o is n
(D :0 x 1,0 2 2 )
令
Ax 2s4in4xsin 2 x si c n o 0s
A 2x4 co s2x2cos x2(c2 o ssi2 n ) 0
一、 多元函数的极值 及最大值、最小值
1. 多元函数的极值及其求法
定义: 若函数
的某邻域内有
则称函数在该点取得极大值(极小值). 极大值和极小值
统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.
z z
例如 :
z
在点 (0,0) 有极小值; x
y
在点 (0,0) 有极大值;
y
在点 (0,0) 无极值.
xx y