必修3 第三章 第一节 随机事件的概率(教师版)

教学辅导教案1．现要完成下列3项抽样调查：①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查．①科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈．①高新中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员24名，为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．较为合理的抽样方法是（）A．①简单随机抽样，①系统抽样，①分层抽样B．①简单随机抽样，①分层抽样，①系统抽样C．①系统抽样，①简单随机抽样，①分层抽样D．①分层抽样，①系统抽样，①简单随机抽样【解答】解；观察所给的四组数据，①个体没有差异且总数不多可用随机抽样法，简单随机抽样，①将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号，系统抽样，①个体有了明显了差异，所以选用分层抽样法，分层抽样，故选：A．2．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为()A．11 B．12 C．13 D．14【答案】B第1页共23 页【解析】 由84042＝20，即每20人抽取1人，所以抽取编号落入区间[481，720]的人数为720－48020＝24020＝12(人)．3．已知样本数据x 1，x 2，…，x n 的均值x ＝5，则样本数据2x 1＋1，2x 2＋1，…，2x n ＋1的均值为________．【解析】 由x 1，x 2，…，x n 的均值x ＝5，得2x 1＋1，2x 2＋1，…，2x n ＋1的均值为2x ＋1＝2×5＋1＝11． 【答案】 114．已知x 与y 之间的一组数据：x 0 1 2 3 ym35.57已求得关于y 与x 的线性回归方程$ 2.10.85y x =+，则m 的值为 ．【解答】解：①2343210=+++=x ，45.15475.53+=+++=m m y ， ①这组数据的样本中心点是)45.15,23(+m ，①关于y 与x 的线性回归方程85.01.2ˆ+=x y， ①85.0231.245.15+⨯=+m ，解得m =0.5，①m 的值为0.5． 故答案为：0.5．5．为了了解小学生的体能情况，抽取了某小学同年级部分学生进行跳绳测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右前三个小组的频率分别是0.1，0.3，0.4，第一小组的频数为5． （1）求第四小组的频率；（2）参加这次测试的学生人数是多少？（3）估计在这次测试中，学生跳绳次数的中位数、众数及平均数．【解答】 （1）第四小组的频率=1-(0.1+0.3+0.4)=0.2；（2）设参加这次测试的学生人数是n ，则有n =第一小组频率第一小组频数=5÷0.1=50（人）；（3）中位数在第三小组，设中位数为99.5+x ，5.0016.03.01.0=++∴x ，25.6=∴x ，所以中位数为105.75；估计众数约为：11225.1245.99=+（次）平均数约为：5.1042.025.1495.1244.025.1245.993.025.995.741.025.745.49=⨯++⨯++⨯++⨯+1．判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？（1）“抛一石块，下落”；（2）“在标准大气压下且温度低于0①时，冰融化”； （3）“某人射击一次，中靶”； （4）“如果a ＞b ,那么a －b ＞0”； （5）“掷一枚硬币，出现正面”； （6）“导体通电后，发热”；（7）“从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签”； （8）“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”； （9）“没有水份，种子能发芽”； （10）“在常温下，焊锡熔化”．【答案】根据定义，事件（1）、（4）、（6）是必然事件；事件（2）、（9）、（10）是不可能事件；事件（3）、（5）、（7）、（8）是随机事件． 2．某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：射击次数n 10 20 50 100 200 500 击中靶心次数m 819 44 92 178 455 击中靶心的频率nm（1）填写表中击中靶心的频率；（2）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是什么？故选：B ．5．猎人在相距100 m 处射击一野兔，命中的概率为12，如果第一次未击中，则猎人进行第二次射击，但距离已是150 m ，如果又未击中，则猎人进行第三次射击，但距离已是200 m ，已知此猎人命中的概率与距离的平方成反比，求射击不超过三次击中野兔的概率．【答案】射击不超过三次击中野兔的概率为6172．【解析】设距离为d ，命中的概率为P ，则有P ＝k d 2，将d ＝100，P ＝12代入，得k ＝Pd 2＝5 000，所以P ＝5 000d 2． 设第一、二、三次击中野兔分别为事件A 1，A 2，A 3，则P (A 3)＝12，P (A 2)＝5 0001502＝29，P (A 3)＝5 0002002＝18．所以P (A 1＋A 2＋A 3)＝12＋29＋18＝6172．故射击不超过三次击中野兔的概率为6172．【学科问题】随机事件的概率这节内容，在高中的概率方面属于开篇内容，主要是讲透有关的概念和方法．为后续相关知识的学习打好基础。

1．对频率与概率的区分与联系要讲清楚；2．对概率加法公式的讲解时，要注意强调是以事件的关系为互斥事件为前提条件才能应用；3．注意引导学生利用对立事件的概率公式求概率，培养学生间接分析问题的能力．【学生问题】1．学习风格（任课教师自行填写）； 2．先行知识分析：（1）学生对于频率与概率的区分容易混淆；（2）学生对互斥事件、对立事件的判断容易分不清楚；（3）对概率的加法公式的理解容易忽视条件是事件互斥，对利用互斥事件的概率加法公式求概率的方法会比较模糊。

【学习目标】1．随机事件、必然事件、不可能事件；2．频率与概率；3．事件的包含、并事件、交事件、相等事件，以及互斥事件、对立事件；4．概率的基本性质．【目标分解】1．理解随机事件、必然事件、不可能事件的概念并能够加以区分；2．理解频率与概率的区别与联系；3．会区分事件的关系，包括事件的包含、并事件、交事件、相等事件，以及互斥事件、对立事件；4．会利用互斥事件的加法公式求概率；5．会利用对立事件的概率公式求概率．知识点一必然事件、不可能事件、随机事件1．在条件S下，一定会发生的事件叫做相对于条件S的必然事件，简称必然事件．2．在条件S下，一定不会发生的事件叫做相对于条件S的不可能事件，简称不可能事件．3．必然事件和不可能事件统称为叫做相对于条件S的确定事件，简称确定事件．4．在条件S下，可能发生也可能不发生的事件叫做相对于条件S的随机事件，简称随机事件．5．确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A、B、C、…表示．题型一判断必然事件、不可能事件、随机事件【例1】下列事件：（1）口袋里有伍角、壹角、壹元的硬币若干枚，随机地摸出一枚是壹角；（2）在标准大气压下，水在90①沸腾；C ．随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率D ．概率是随机的，在试验前不能确定【解答】解：在A 中，任何事件的概率总是在[0，1]之间，故A 错误；在B 中，频率是客观存在的，与试验次数有关，试验次数越多，频率越稳定，故B 错误；在C 中，由频率的性质知：随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率，故C 正确；在D 中，概率是客观的，在试验前能确定，故D 错误． 故选：C ．知识点三 事件的关系 1．事件的关系 事件的关系 定义与集合类比记忆包含关系若事件A 发生时，事件B 一定发生，则事件B 包含事件A ，记作B A ⊆相等事件若B A ⊆，且A B ⊆，则事件A 与事件B 相等，记作A =B并（和）事件 若某事件C 发生当且仅当事件A 发生或事件B 发生，则称事件为事件A 与事件B 的并事件（或和事件），记作B A C Y =（或B A +）交（积）事件 若某事件C 发生当且仅当事件A 发生且事件B 发生，则称事件为事件A 与事件B 的交事件（或积事件），记作B A C I =（或AB ）互斥事件若B A I 为不可能事件，则事件A 与事件B 互斥对立事件 若B A I 为不可能事件，B A Y 为必然事件，则事件A 与事件B 互为对立事件2．互斥事件与对立事件的区别（1）互斥事件和对立事件都不可能同时发生的事件，对立事件是互斥事件的特殊情况，对立事件必是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件；对立事件有且只有一个发生，而互斥事件有可能都不发生．（2）互斥事件和对立事件的交集都是空集，但对立事件的并集是全集，而互斥事件的并集并不一定是全集． 题型三 判断事件的关系【例3】从一批产品中取出三件产品，设A ={三件产品全是正品}，B ={三件产品全是次品}，C ={三件产品不全是次品}，则下列结论不正确的是（ ） A ．A 与B 互斥且为对立事件B ．B 与C 为对立事件C ．A 与C 存在着包含关系D ．A 与C 不是互斥事件【解答】解：A 为{三件产品全不是次品}，指的是三件产品都是正品，B 为{三件产品全是次品}，C 为{三件产品不全是次品}，它包括一件次品，两件次品，三件全是正品三个事件，由此知：A 与B 是互斥事件，但不对立；A 与C 是包含关系，不是互斥事件，更不是对立事件；B 与C 是互斥事件，也是对立事件． 故选：A ．【变式3-1】下列各组事件中，不是互斥事件的是（ ） A ．一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6B ．统计一个班级数学期中考试成绩，平均分数不低于90分与平均分数不高于90分C ．播种菜籽100粒，发芽90粒与发芽80粒D ．检查某种产品，合格率高于70%与合格率为70%【解答】解：A 中，一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6，不可能同时发生，故A 中两事件为互斥事件．B 中，当平均分等于90分时，两个事件同时发生，故B 中两事件不为互斥事件．C 中，播种菜籽100粒，发芽90粒与发芽80粒，不可能同时发生，故C 中两事件为互斥事件．【解答】解：由题意知本题是一个对立事件的概率，①抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品，P(A)=0.65，①抽到不是一等品的概率是1﹣0.65=0.35，故选：C．1．(对应题型一)下列事件中，是随机事件的是（）①从10个玻璃杯（其中8个正品，2个次品）中任取3个，3个都是正品；①某人给其朋友打电话，却忘记了朋友电话号码的最后一个数字，就随意在键盘上按了一个数字，恰巧是朋友的电话号码；①异性电荷，相互吸引；①某人购买体育彩票中一等奖．A．①①B．①①①C．①①①①D．①①①【解答】解：由随机事件的意义知，本题所给的4个事件中，只有①是一个必然事件，其他的事件都是随机事件，故选：B．2．（对应题型一）在1，2，3，…，10这10个数字中，任取3个数字，那么“这三个数字的和大于6”这一事件是（）A．必然事件B．不可能事件C．随机事件D．以上选项均不正确【解答】解：从10个数字中取3个数字，这三个数字的和可能等于6，也可能大于6，①是否大于6，需要取出数字才知道，①这三个数字的和大于6”这一事件是随机事件，故选：C．3．（对应题型二）下列叙述随机事件的频率与概率的关系中正确的是（）A．频率就是概率B．频率是客观存在的，与试验次数无关6．（对应题型四）P(A)＝0.1，P(B)＝0.2，则P(A①B)等于（）A．0.3 B．0.2 C．0.1D．不确定【答案】D【解析】由于不能确定A与B互斥，则P(A①B)的值不能确定．7．（对应题型五）根据多年气象统计资料，某地6月1日下雨的概率为0.45，阴天的概率为0.20，则该日晴天的概率为（）A．0.65 B．0.55 C．0.35 D．0.75【答案】C【解析】设该地6月1日下雨为事件A，阴天为事件B，晴天为事件C，则事件A，B，C两两互斥，且A①B与C是对立事件，则P(C)＝1－P(A①B)＝1－P(A)－P(B)＝1－0.45－0.20＝0.35．8．（对应题型五）经统计某储蓄所一个窗口等候的人数及相应的概率如下：排队人数012345人及5人以上概率t0.30.160.30.10.04(1)t＝________；(2)至少3人排队等候的概率是________．【答案】(1)0.1(2)0.44【解析】(1)①t＋0.3＋0.16＋0.3＋0.1＋0.04＝1，①t＝0.1.(2)至少3人包括3人，4人，5人以及5人以上，且这三类是互斥的，①概率为0.3＋0.1＋0.04＝0.44【查漏补缺】1．在8件同类产品中，有5件正品，3件次品，从中任意抽取4件，下列事件中的必然事件是（）A．4件都是正品B．至少有一件次品C．4件都是次品D．至少有一件正品【解答】解：①在8件同类产品中，有5件正品，3件次品，从中任意抽取4件，4件都是正品是随机事件；至少有一件次品是随机事件；4件都是次品是不可能事件；至少有一件正品是必然事件，立事件．(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E.【答案】(1) A与C不是互斥事件；(2)B与E是对立事件；(3)B与D不是互斥事件；(4)B与C不是互斥事件；(5)C与E不是互斥事件.【解析】(1)由于事件C“至多买一种产品”中有可能只买甲产品，故事件A与事件C 有可能同时发生，故事件A与C不是互斥事件．(2)事件B“至少买一种产品”与事件E“一种产品也不买”是不可能同时发生的，故事件B与E是互斥事件．又由于事件B与E必有一个发生，所以事件B与E还是对立事件．(3)事件B“至少买一种产品”中有可能买乙产品，即与事件D“不买甲产品”有可能同时发生，故事件B与D不是互斥事件．(4)若顾客只买一种产品，则事件B“至少买一种产品”与事件C“至多买一种产品”就同时发生了，所以事件B与C不是互斥事件．(5)若顾客一件产品也不买，则事件C“至多买一种产品”与事件E“一种产品也不买”就同时发生了，事实上事件C与E满足E①C，所以二者不是互斥事件.4．从一箱产品中随机地抽取一件产品，设事件A=“抽到的是一等品”，事件B=“抽到的是二等品”．事件C=“抽到的是三等品”且已知P(A)=0.7，P (B)=0.1，P(C)=0.05，求下列事件的概率：（1）事件D=“抽到的是一等品或二等品”（2）事件E=“抽到的是二等品或三等品”（3）事件F=“抽到的是一等品或二等品或三等品”【解答】解：（1）从一箱产品中随机地抽取一件产品，设事件A=“抽到的是一等品”，事件B=“抽到的是二等品”．事件C=“抽到的是三等品”，且A、B、C互斥，P(A)=0.7，P (B)=0.1，P(C)=0.05，①事件D=“抽到的是一等品或二等品”的概率P(D)=P(A①B)=P(A)+P(B)=0.7+0.1=0.8．(2)事件E=“抽到的是二等品或三等品”的概率P(B①C)=P(B)+P(C)=0.1+0.05=0.15．(3)事件F=“抽到的是一等品或二等品或三等品”的概率P(F)=P(A①B①C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.7+0.1+0.05=0.85．【解析】本题主要考查互斥事件的概念．由题意得事件A 与事件B 不可能同时发生，是互斥事件；事件A 与事件C 不可能同时发生，是互斥事件；当事件B 发生时，事件C 一定发生，所以事件B 与事件C 不是互斥事件，故选B ．5．如果事件A 与B 是互斥事件且事件A ＋B 的概率是0.8，事件A 的概率是事件B 的概率的3倍，则事件A 的概率是（ ）A ．0.4B ．0.6C ．0.8D ．0.2 【答案】B【解析】事件A 与事件B 互斥，所以P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝0.8.又因为P (A )＝3P (B )，所以P (A )＝0.6，P (B )＝0.2．6．抛掷一枚骰子，观察掷出骰子的点数，设事件A 为“出现奇数点”，事件B 为“出现2点”，已知P (A )＝12，P (B )＝16，出现奇数点或2点的概率之和为（ ）A ．12B ．56C ．16D ．23【答案】D【解析】记“出现奇数点或2点”为事件C ，因为事件A 与事件B 互斥，所以P (C )＝P (A )＋P (B )＝12＋16＝23．故选D ．7．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，从中取出2粒都是白子的概率是1235.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是（ ）A ．17B ．1235C ．1735D ．1 【答案】C【解析】设“从中取出2粒都是黑子”为事件A ，“从中取出2粒都是白子”为事件B ，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C ，则C ＝A ①B ，且事件A 与B 互斥，所以P (C )＝P (A )＋P (B )＝17＋1235＝1735．即任意取出2粒恰好是同一色的概率为1735．【第1天】1．抛掷一枚骰子，记事件A 为“落地时向上的点数是奇数”，事件B 为“落地时向上的点数是偶数”，事件C 为“落地时向上的点数是3的倍数”，事件D 为“落地时向上的点数是6或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是（ ） A ．A 与B B ．B 与C C ．A 与D D ．C 与D。