1.3.1 组合与组合数公式
2020届中职数学对口升学复习第十部分《排列组合二项式定理》基础知识点归纳及山西历年真题汇编
n( ( ( 第十部分排列组合二项式定理【知识点 1】两个计数原理1.分类计数原理：完成一件事有 n 类办法，在第 1 类办法中有 m 1 种不同方法，在第 2 类办法中有 m 2 种不同方法...... ，在第 n 类办法中有 m n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N=m 1+m 2+...+m n 种不同的方法 .（加法原理）2.分步计数原理：完成一件事需要分为 n 个步骤，做第 1 步有 m 1 种不同方法，做第 2 步有 m 2 种不同的方法 ... 做第 n 步有 m n 种没同的方法，那么完成这件事共有 N=m 1 ⨯ m 2 ⨯ ... ⨯ m n 种不同的方法 .（乘法原理）【知识点 2】排列与排列数1.排列的定义(1)元素：问题中所选取的对象.(2)排列：从 n 个不同元素中，任取 m (m ≤ n ) 个元素，按时一定的顺序排成一列，叫作从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列.(3)选排列：如果 m<n ，这样的排列叫作选排列. (4)全排列：如果 m=n ，这样的排列叫作全排列.2.排列数：从 n 个不同元素中取出 m (m ≤ n ) 个元素的所有排列的个数，叫作从n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，记作 A m .【注意】：排列是结果，排列数是排列的个数。
【知识点 3】排列数公式1.选排列计数公式：A m = n g n- 1)g n - 2)g ⋅⋅⋅ g n - m + 1),其中m , n ∈ N *，且m ≤ n (m 个元素相乘) n2.全排列计数公式：A n = n ⨯ (n - 1)⨯ (n - 2)g ⋅⋅⋅ g 3 ⨯ 2 ⨯1 = n !n自然数1~n的连乘积叫作n的阶乘，用n!表示，即A n=n!.n【注意】：①0！=1;②A0=1;A1=n;A n=n!;n n n【知识点4】组合及组合数的定义1.组合的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.【注意】：排列与顺序有关，而组合与顺序无关；2.组合数的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素的所有组合的个数叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C m表示.n【注意】：组合是把取出的元素合并成一组；组合数是所有不同组合的个数，它是一个数.【知识点5】组合数的计数公式与性质1.组合数公式：C m= n A mnA mm=n(n-1)(n-2)⋅⋅⋅(n-m+1)m!(n,m∈N*,且m≤n)；C m=nn!m!(n-m)!【注意】：C0=C n=1;C1=n .n n n2.组合数性质:(1)C m=C n-m(2)C m=C m+C m-1.n n n+1n n【知识点6】二项式定理1.二项式定理：一般地，(a+b)n=C0a n b0+C1a n-1b1+⋅⋅⋅+C m a n-m b m+⋅⋅⋅+C n a0b n(n∈N*)n n n n这个公式所表示的规律叫作二项式定理.右边的多项式叫作(a+b)n的二项展开式，其中Cm(m=0,1,2,⋅⋅⋅,n)叫作二项式系n数；式中的Cm a n-m b m 叫作二项式的通项.n2.二项展开式的通项公式：Tm+1 3.二项展开式的性质：(1)展开式共有n+1项；=C m a n-m b m.(二项展开式的第m+1项) n(2)a的指数从n逐渐减到0，b的指数从0逐渐增到n，展开式中的每一项a和b的指数和都为n(3)二项式系数依次为C0,C1,⋅⋅⋅C n，第r项与倒数第r项的系数相等；n n n(4)若二项式的幂指数是偶数2n，那么二项式展开式有(2n+1)项(奇数项)，且中间一项的二项式系数最大，如果二项式的幂指数是奇数2n-1,那么展开式有2n项(偶数项)，且中间两项的二项式系数相等且最大。
高中数学第一章计数原理1.3第1课时组合与组合数公式323数学
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解析( jiě 答案(dá
4.不等式 Cn1－ 0 3<Cn1－ 0 2的解集为_{_3_,4_,_5,_6_,7_}__.
解析(jiě xī) 由题意知，3≤n≤12，且n∈N*，
10！
10！
由题意得n－3！13－n！<n－2！12－n！，
解得n<7.5，∴n＝3,4,5,6,7.
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第1章 1.3 组 合
第1课时
组合 与组合 数公式 (zǔhé)
(zǔhé)
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学习目标
1.理解组合及组合数的概念. 2.能利用计数原理推导组合数公式(gōngshì)，并会应用公式 (gōngshì)解决简单的组合问题.
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第二页，共四十页。
内容(nèiróng)索引
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解答
当堂 训练 (dānɡ tánɡ)
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1.给出下列问题： ①从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加2个乡镇的社会调查，有多少种不
同的选法？
②有4张电影票，要在7人中(rénzhōng)选出4人去观看，有多少种不同的选法？ ③某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果有多少种？ 其中组合问题的个数是___.
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解析 答案(dá
命题角度(jiǎodù)2 含组合数的方程或不等式
例 4 (1)已知C1m5 －C1m6 ＝107C7m，求 C8m＋C58－m；
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组合与组合数公式
4������ -2
100×99 + 200 2
= 5 150.
9×8×7×6
5 6 4 7 【变式训练 2】 (1)计算: C9 + C9 + C10 + C11 ; 2 2 2 2 2 (2)计算: C2 + C3 + C4 + C5 + C6 ; ������ (3)求证: C������ = ������ ������ ������ -1 ������ -2 (4)求证: C������ +2 = C������ + 2C������ + C������ . 5 6 5 6 6 4 7 7 7 (1)解: C9 + C9 + C10 + C11 = C10 + C10 + C11 = C11 + C11 = 5 7 C12 = C12 = 792. 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 (2)解: 由C2 = C3 , 得C2 + C3 + C4 + C5 + C6 = C3 + C3 + C4 + 2 2 C5 + C6 . 3 3 3 2 2 2 2 2 ∵ C3 + C3 = C4 , ∴ C3 + C3 + C4 + C5 + C6 3 2 2 2 2 2 2 = C4 + C4 + C5 + C6 , 依次类推可得C2 + C3 + C4 2 3 2 + C5 + C6 = C7 = 35.
分别有多少种？用式子表示。
【做一做1】 给出下列问题: 2 2 2 A 或 C ①有10个车站,共需准备多少种车票? 10 10 A2 ②有10个车站,共有多少种不同的票价? C 2 10 2 2 2 ③平面内有16个点,共可作出多少条不同的有向线段? A16 或C16 A2 ④有16位同学,假期中约定每两人之间通电话一次,共需通电话 2 多少次? C16 ⑤从20名学生中任选4名分别参加数学、物理、化学、生物竞 4 4 赛,有多少种选派方法? 4 或C A
组合与组合数公式
步骤2
假设n=k时公式成立，推导n=k+1时的公式。
步骤3
由数学归纳法，得出结论对于所有正整数n， 组合数公式成立。
利用二项式定理的证明
步骤1
将组合数公式重写为与二项式定理形式相似的形式。
步骤2
利用二项式定理展开式中的系数与组合数公式中的系 数进行比较。
02
加密算法
组合数公式可以用于设计加密算法，通过计算不同字符或符号的组合数
量，增强信息的安全性。
03
信息传输
在无线通信和网络传输中，利用组合数公式可以优化信息的传输效率和
可靠性。通过对信号的不同组合方式进行编码和解码，可以提高通信系
统的性能。
感谢您的观看
THANKS
组合数表示从n个不同元素中取出m个 元素的组合的个数，记作C(n, m)或C(n, m)，其中C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)。
组合的特性
无序性
组合只考虑元素的排列顺序，不考虑元素的具体 位置。
可重复性
在组合中，可以重复选取同一个元素。
独立性
组合数不受元素数量的影响，只与选取的元素个 数有关。
01
概率分析
利用组合数公式，可以对彩票的概率进 行分析，帮助彩民更好地理解彩票的随 机性和公平性。
02
03
优化投注
通过计算不同组合下的中奖概率，彩 民可以优化自己的投注策略，提高中 奖的可能性。
在遗传学中的应用
基因组合
在遗传学中，基因的组合方式可以用组合数公式来表示。通过计算 基因组合的数量，可以了解生物体的遗传多样性。
组合数的上标和下标规则
上标和下标规则
高中数学苏教版选修2-3：1.3 第1课时 组合与组合数公式
遇上你是缘分，愿您生活愉快，身
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体健康，学业有成，金榜题名！
组合数与组合数公式
从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的 所有组 组合数
合的个数 ，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素 定义
的组合数
表示法
用符号 Cmn 表示
遇上你是缘分，愿您生活愉快，身
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乘积形式 组合数
遇上你是缘分，愿您生活愉快，身
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2．同“排列”与“排列数”是两个不同的概念一样，“组 合”与“组合数”也是两个不同的概念．“组合”是指“从 n 个不同元素中取 m(m≤n)个元素合成一组”，它不是一个数， 而是具体的一件事；“组合数”是指“从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数”，它是一个数．例如， 从 3 个不同元素 a，b，c 中每次取出两个元素的组合为 ab，ac， bc，其中每一种都叫一个组合，这些组合共有 3 个，则组合数 为 3.
遇上你是缘分，愿您生活愉快，身
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一般地，从 n 个 不同 元素中取出 m(m≤n)个元素 并成 一组 ，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合.
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体健康，学业有成，金榜题名！
从 1,3,5,7 中任取两个数相除． 问题 1：可以得到多少个不同的商？ 提示：A42＝4×3＝12 种． 问题 2：如何用分步法理解“任取两个数相除”？ 提示：第一步，从这四个数中任取两个元素，其组合数为 C42，第二步，将每一组合中的两个不同元素作全排列，有 A22种 排法．
遇上你是缘分，愿您生活愉快，身
高二人数学选修课件时组合与组合数公式
考生需要理解组合问题在实际生活中 的应用，如分组、选举、比赛等问题 。
掌握组合数的计算公式
考生需要熟练掌握组合数的计算公式 ，并能够运用公式解决简单的组合问 题。
历年高考真题解析
题目类型
高考中组合问题的题目类型主要 包括选择ห้องสมุดไป่ตู้、填空题和解答题。
考查内容
历年高考真题中，主要考查了组 合数的计算、组合的性质、组合
插空法是一种求解排列组合问题的常用方法，其基本思想 是将没有限制的元素先进行排列，再将有限制的元素插入 到已排好的元素之间的空隙中。
优点
能够简化问题，降低计算难度。
适用范围
适用于至少有一个元素位置不受限制的情况。
缺点
需要注意插入元素后是否满足题目的限制条件，否则容易 出错。
捆绑法
定义
捆绑法是将相邻的元素看作一 个整体，与其余元素进行排列 组合，然后再考虑相邻元素内
排列与组合关系
排列与组合的联系
排列和组合都是研究从n个不同元素中取出m个元素的问题， 但排列考虑元素的顺序，而组合不考虑元素的顺序。
排列与组合的区别
排列数公式为A(n,m) = n! / (n-m)!，而组合数公式为C(n,m) = n! / [m!(n-m)!]。可以看出，排列数考虑了元素的顺序， 因此比组合数多了一个m的阶乘。
在信息论中，组合数学用于研究 信源编码、信道编码和密码学等 问题。
统计学与概率论
在统计学和概率论中，组合数学 提供了计算概率和期望等统计量 的方法和工具。
计算机科学
在计算机算法设计和分析中，组 合数学提供了许多有用的工具和 方法，如排序算法、搜索算法、 图论算法等。
数学物理与化学
在数学物理和化学中，组合数学 用于研究分子结构、化学反应和 物质性质等问题。
高中数学第一章计数原理1.3组合1.3.1组合与组合数公式课件北师大版选修2_3
(3)组合与排列的共同点:从n个不同的元素中任取m个元素;不同 点:对于排列,取出元素后还需对所取出的元素进行排列,即对顺序 有要求,而组合对取出的元素无需排列,只需组成一组即可,对顺序 无要求.可总结为:有序排列,无序组合.
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知识梳理
典例透析
随堂演练
题型一
题型二
题型三
【变式训练1】 判断下列各事件是排列问题还是组合问题,并求 出相应的排列数或组合数.
(1)10人相互通一次电话,共通多少次电话? (2)10个球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次),共进行多少场 次? (3)从10个人中选出3个作为代表去开会,有多少种选法? (4)从10个人中选出3个担任不同学科的课代表,有多少种选法? 分析:解答本题主要是分清取出的这m个(2个或3个)元素是进行 排列还是组合,即确定其与顺序有关还是无关.
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典例透析
随堂演练
解:(1)是组合问题,因为甲与乙通了一次电话,也就是乙与甲通
了一次电话,没有顺序的区别,组合数为C120 = 45. (2)是组合问题,因为每两个队比赛一次,并不需要考虑谁先谁后,
没有顺序的区别,组合数为C120 = 45. (3)是组合问题,因为 3 个代表之间没有顺序的区别,组合数为
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【做一做1】 给出下面几个问题,其中是组合问题的有( )
①由1,2,3,4构成的含有2个元素的集合个数;
②五个队进行单循环比赛的比赛场次数;
③由1,2,3组成两位数的不同方法数;
高中数学第3章排列组合与二项式定理3.1排列与组合3.1.3组合与组合数第1课时组合与组合数组合数的
3.1.3 组合与组合数第1课时 组合与组合数、组合数的性质(教师独具内容)，理解组合的概念.2.能利用计数原理推导组合数公式. 教学重点：理解组合的概念、组合数公式及组合数的性质. 教学难点：利用公式及性质解决一些简单的实际问题.知识点一 组合的定义一般地，从n 个不同对象中取出m (m ≤n )个对象□01并成一组，称为从n 个不同对象中取出m 个对象的一个组合.知识点二 组合与组合数公式组合数定义从n 个不同对象中取出m 个对象的□01所有组合的个数，称为从n 个不同对象中取出m 个对象的组合数表示法 □02C m n组合数乘积式C mn ＝□03公式阶乘式□04性质mn＝□05C n －mn ；2.□06C m ＋1n ＋C m n ＝C m ＋1n ＋1 备注①n 和m 都是自然数，且m ≤n ； ②规定：C 0n ＝□071，C 1n ＝□08n ，C nn ＝□091组合的定义包含两个基本内容：一是“取出对象”；二是“合成一组”，表示与对象的顺序无关，排列与组合的相同点是从n 个不同对象中任取m 个对象，不同点是组合是“不管对象的顺序合成一组”，而排列是要求对象按照一定的顺序排成一列．因此区分某一问题是组合还是排列，关键是看取出的对象有无顺序．组合数的两个性质，性质1反映了组合数的对称性，在m >n2时，通常不直接计算C mn 而改为C n －m n ，对于性质2，C m ＋1n ＋C m n ＝C m ＋1n ＋1要会正用、逆用、变形用．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)从a ，b ，c 三个不同的对象中任取两个对象的一个组合是C 23.( ) (2)从1,3,5,7中任取两个数相乘可得C 24个积．( ) (3)若组合C x n ＝C mn ，则x ＝m 成立．( ) (4)C 35＝5×4×3＝60.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)从6名学生中选出3名学生参加数学竞赛的不同选法种数是________． (2)C 1820＝________. (3)C 399＋C 299＝________.答案 (1)20 (2)190 (3)161700题型一 组合的有关概念 例1 给出下列问题：(1)从a ，b ，c ，d 四名学生中选2名学生完成一件工作，有多少种不同的选法？ (2)从a ，b ，c ，d 四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法？ (3)a ，b ，c ，d 四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？ (4)a ，b ，c ，d 四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？(5)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，不同的结果有多少种？ (6)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪中恰有3枪连中，不同的结果有多少种？ 在上述问题中，哪些是组合问题？哪些是排列问题？[解] (1)2名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题． (2)2名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题．(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题．(4)冠亚军是有顺序的，是排列问题．(5)命中的4枪均为2枪连中，为相同的对象，没有顺序，是组合问题．(6)命中的4枪中恰有3枪连中，即连中3枪和单中1枪，有顺序，是排列问题．教材判断是否为组合问题，关键是判断问题是否与顺序有关，可以结合条件理解，也可以选择一个结果，交换这个结果中两个对象的先后顺序，看是否对结果产生影响，若无新变化，则是组合问题．总之，与顺序有关是排列问题，若与顺序无关，则是组合问题．[跟踪训练1]判断下列问题是排列问题，还是组合问题：(1)从集合A＝{－1,1,10,8,6,4}中任取两个数相加，得到的和共有多少个？(2)从集合A＝{－1,1,10,8,6,4}中任取两个数相除，得到的商共有多少个？(3)从a，b，c，d这四名同学中任取两名同学去参加某一活动，共有多少种不同的选法？(4)四个人互发一个电子邮件，共写了多少个电子邮件？解(1)从集合A中取出两个数后，改变两个数的顺序，其和不变．因此，此问题只与取出的对象有关，与对象的顺序无关，故是组合问题．(2)从集合A中取出两个数相除，若改变其除数、被除数的位置，其结果就不同，因此其商的值与对象的顺序有关，是排列问题．(3)由于从4名同学中取出的两名同学参加的同一项活动，没有顺序，因此是组合问题．(4)四人互发电子邮件，由于发件人与收件人是有区别的，与顺序有关，是排列问题.题型二组合数以及组合数性质的应用例2 (1)计算：C410－C37A33；(2)已知1C m5－1C m6＝710C m7，求C m8；(3)求C38－n3n＋C3n21＋n的值；(4)证明：m C m n＝n C m－1n－1.[解] (1)原式＝C410－A37＝10×9×8×74×3×2×1－7×6×5＝210－210＝0.(2)原方程可化为＝，即＝，即，即m 2－23m ＋42＝0，解得m ＝2或m ＝21(不符合题意，舍去)． ∴C m 8＝C 28＝28.即m 2－23m ＋42＝0，解得m ＝2或m ＝21(不符合题意，舍去)． ∴C m8＝C 28＝28.(3)∵⎩⎪⎨⎪⎧38－n ≤3n ，3n ≤21＋n ，∴9.5≤n ≤10.5.∵n ∈N ，∴n ＝10， ∴C 38－n3n ＋C 3n21＋n ＝C 2830＋C 3031 ＝30！28！·2！＋31！30！·1！＝466.(4)证明：m C mn ＝m ·＝n ·＝n C m －1n －1.点睛(1)像排列数公式一样，公式C m n＝一般用于计算；而公式C mn＝及C m n＝A mnA mm一般用于证明、解方程(不等式)等．(2)在解决与组合数有关的问题时，要注意隐含条件“m ≤n 且m ，n ∈N ”的运用．如本例(3)．(3)要注意公式Am n ＝C m n A m m 的逆向运用，如本例(1)中可利用“C 37A 33＝A 37”简化计算过程． (4)本例(4)所推导的结论“m C m n ＝n C m －1n －1”以及它的变形公式是非常重要的公式，应熟练掌握．[跟踪训练2] (1)①求值：C 5－n n ＋C 9－n n ＋1；②求证：C mn ＝m ＋1n －mC m ＋1n . (2)计算：①C 58＋C 98100C 77； ②C 05＋C 15＋C 25＋C 35＋C 45＋C 55； ③C nn ＋1C n －1n .解 (1)①⎩⎪⎨⎪⎧5－n ≤n ，5－n ≥0，9－n ≤n ＋1，9－n ≥0，解得4≤n ≤5.又n ∈N ，所以n ＝4或n ＝5. 当n ＝4时，原式＝C 14＋C 55＝5， 当n ＝5时，原式＝C 05＋C 46＝16.②证明：因为C mn ＝，m ＋1n －mC m ＋1n ＝＝，所以C mn ＝m ＋1n －mC m ＋1n .(2)①原式＝C 38＋C 2100×1＝8×7×63×2×1＋100×992×1＝56＋4950＝5006.②原式＝2(C 05＋C 15＋C 25)＝2(C 16＋C 25)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋5×42×1＝32.③原式＝C 1n ＋1C 1n ＝(n ＋1)n ＝n 2＋n .题型三 简单的组合问题例3 现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名． (1)从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)从中选出2名男教师或2名女教师去外地学习，有多少种不同的选法？(3)从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？[解] (1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同对象中取出2个对象的组合数，即有C 210＝10×92×1＝45种不同的选法． (2)可把问题分两类：第1类，选出2名男教师，有C 26种方法；第2类，选出2名女教师，有C 24种方法，即共有C 26＋C 24＝21种不同的选法．(3)从6名男教师中选2名的选法有C 26种，从4名女教师中选2名的选法有C 24种，根据分步乘法计数原理，共有C 26C 24＝6×52×1×4×32×1＝90种不同的选法．点睛解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于：排列问题与取出的对象之间的顺序有关，而组合问题与取出对象的顺序无关．其次要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在分类与分步时，一定要注意有无重复和遗漏．[跟踪训练3] 在50件产品中，有4件次品，现从中任意抽取3件． (1)“全部是合格品”的不同抽取方法共有多少种？ (2)“恰有2件次品”的不同抽取方法共有多少种？ (3)“最多有1件次品”的不同抽取方法共有多少种？ 解 在50件产品中，有4件次品，即有46件合格品．(1)抽取的3件产品“全部是合格品”，即在46件合格品中任取3件即可，有C 346＝15180种取法．(2)在46件合格品中任取1件，在4件次品中任取2件，根据分步乘法计数原理，共有C 146C 24＝276种取法．(3)分两类：第1类，抽取的3件产品中有1件次品，2件合格品，有C 14C 246种取法；第2类，抽取的3件产品全为合格品，有C 346种取法，故共有C 14C 246＋C 346＝19320种取法．1．下列问题不是组合问题的是 ( )A ．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？B ．平面上有2020个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？C ．集合{a 1，a 2，a 3，…，a n }的含有三个元素的子集有多少个？D ．从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？答案 D解析 组合问题与次序无关，排列问题与次序有关，D 项中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是两个不同的选法，因此是排列问题，不是组合问题，故选D.2．若C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，则n 等于( ) A ．12 B ．13 C ．14 D ．15 答案 C解析 ∵C 7n ＋1＝C 7n ＋C 8n ＝C 8n ＋1，∴n ＋1＝7＋8，∴n ＝14，故选C. 3．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有 ( ) A ．A 310种 B ．C 310种 C ．C 310A 310种 D ．30种 答案 B解析 三张票没区别，从10人中选3人即可，即C 310，故选B. 4．若C 4n >C 6n ，则n 的集合是________． 答案 {6,7,8,9} 解析 ∵C 4n >C 6n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧C 4n >C 6n ，n ≥6⇒⇒⎩⎪⎨⎪⎧n 2－9n －10<0，n ≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1<n <10，n ≥6.∵n ∈N ，∴n ＝6,7,8,9.∴n 的集合为{6,7,8,9}．5．现有6名内科医生和4名外科医生，要组成5人医疗小组送医下乡，依下列条件各有多少种选派方法？(1)有3名内科医生和2名外科医生； (2)既有内科医生，又有外科医生．解 (1)先选内科医生有C 36种选法，再选外科医生有C 24种选法，故有C 36C 24＝120种选派方法．(2)既有内科医生，又有外科医生，正面思考应包括四种情况，内科医生选1人，2人，3人，4人，相应地，外科医生选4人，3人，2人，1人，有C 16C 44＋C 26C 34＋C 36C 24＋C 46C 14＝246种选派方法．若从反面考虑，则有C 510－C 56＝246种选派方法．A 级：“四基”巩固训练一、选择题1．已知组合数C yx ＝6，则在平面直角坐标系内以点(x ，y )为顶点的图形是 ( ) A ．三角形 B ．平行四边形 C ．梯形 D ．矩形 答案 A解析 当x ＝6，y ＝1；x ＝6，y ＝5；x ＝4，y ＝2时，C yx ＝6，所以满足题意的点有(6,1)，(6,5)，(4,2)，共3个，可构成三角形．故选A.2．从2,3，…，8中任意取三个不同的数字，组成无重复数字的三位数，要求个位数最大，百位数最小，则这样的三位数的个数为 ( )A ．35B ．42C ．105D ．210 答案 A解析 由于取出三个数字后大小次序已确定，只需把最小的数字放在百位，最大的数字放在个位，剩下的数字放在十位，因此满足条件的三位数的个数为C 37＝7×6×53×2×1＝35.3．从6名男生和3名女生中选出4名代表，其中必须有女生，则不同的选法种数为( ) A ．168 B ．45 C ．60 D ．111 答案 D解析 选出的代表中女生有1,2,3名时，男生相应有3,2,1名，则不同的选法种数为C 13C 36＋C 23C 26＋C 33C 16＝111.4．C 03＋C 14＋C 25＋C 36＋…＋C 20192022＝( )A ．C 22020B ．C 32021 C ．C 32022D ．C 42023 答案 D解析 原式＝C 04＋C 14＋C 25＋C 36＋…＋C 20192022＝C 15＋C 25＋C 36＋…＋C 20192022＝C 26＋C 36＋…＋C 20192022＝…＝C 20182022＋C 20192022＝C 20192023＝C 42023.故选D.5．(多选)以下四个式子正确的是( ) A ．C m n＝A mn m ！B ．A m n ＝n A m －1n －1C ．C m n ÷C m ＋1n ＝m ＋1n －m D ．C m ＋1n ＋1＝n ＋1m ＋1C m n 答案 ABCD解析 对于A ，显然成立；对于B ，A m n ＝n (n －1)(n －2)·…·(n －m ＋1)，A m －1n －1＝(n －1)(n－2)…(n －m ＋1)，所以A mn ＝n A m －1n －1，故B 成立；对于C ，C mn ÷Cm ＋1n＝C mnC m ＋1n＝＝m ＋1n －m，故C 成立；对于D ，C m ＋1n ＋1＝＝＝n ＋1m ＋1C mn ，故D 成立．故选ABCD. 二、填空题6．设集合A ＝{a 1，a 2，a 3，a 4，a 5}，则集合A 的含有3个元素的子集共有________个． 答案 10解析 从5个元素中取出3个元素组成一组就是集合A 的子集，则共有C 35＝10个子集． 7．若A 3m ＝6C 4m ，则m 的值为________． 答案 7解析 由A 3m ＝6C 4m ，得＝6·，即1m －3＝14，解得m ＝7.8．7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种(用数字作答)．答案 140解析 第一步，从7名志愿者中选出3人在周六参加社区公益活动，有C 37种不同的选法；第二步，从余下的4人中选出3人在周日参加社区公益活动，有C 34种不同的选法．根据分步乘法计数原理，共有C 37C 34＝140种不同的安排方案． 三、解答题9．有两组平行线，第一组平行线有5条，第二组平行线有6条，第一组平行线与第二组平行线相交，问这两组平行线能构成多少个平行四边形？解 每一个平行四边形有两组对边平行，即两组对边平行的一个组合对应于一个平行四边形．而两组对边平行的组合数为C 25C 26＝150.因此能构成150个平行四边形．10．(1)解方程：3C x －7x －3＝5A 2x －4； (2)解不等式：2C x －2x ＋1<3C x －1x ＋1；(3)计算C 3n13＋n ＋C 3n －112＋n ＋C 3n －211＋n ＋…＋C 17－n 2n . 解 (1)由排列数和组合数公式，原方程可化为即(x －3)(x －6)＝40.∴x 2－9x －22＝0，解得x ＝11或x ＝－2.经检验知x ＝11是原方程的根，x ＝－2是原方程的增根． ∴方程的根为x ＝11.(2)∵2C x －2x ＋1<3C x －1x ＋1，∴2C 3x ＋1<3C 2x ＋1，∴x －13<32，∴x <112， ∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥3，x ＋1≥2，∴x ≥2，∴2≤x <112，又x ∈N *，∴x ＝2,3,4,5.∴不等式的解集为{2,3,4,5}．(3)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧3n ≤13＋n ，17－n ≤2n ，解得173≤n ≤132，又n ∈N *，故n ＝6.∴原式＝C 1819＋C 1718＋C 1617＋…＋C 1112＝C 119＋C 118＋C 117＋…＋C 112＝19＋18＋17＋…＋12＝124.B 级：“四能”提升训练1．(1)设x ∈N *，求C x －12x －3＋C 2x －3x ＋1的值； (2)解不等式：C x －420＜C x －220＜C x20.解 (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －3≥x －1，x ＋1≥2x －3，解得2≤x ≤4， ∵x ∈N *，∴x ＝2或x ＝3或x ＝4，当x ＝2时，原式值为4；当x ＝3时，原式值为7；当x ＝4时，原式值为11.∴所求式的值为4或7或11.(2)原不等式可化为又x ∈N *且x ≥4，∴x ＝4,5,6,7,8,9,10.∴原不等式的解集是{4,5,6,7,8,9,10}．2．某市工商局对35种商品进行抽样检查，鉴定结果有15种假货，现从35种商品中选取3种．(1)恰有2种假货在内的不同取法有多少种？(2)至少有2种假货在内的不同取法有多少种？(3)至多有2种假货在内的不同取法有多少种？解 (1)从20种真货中选取1种，从15种假货中选取2种，有C 120C 215＝2100种． 所以恰有2种假货在内的不同取法有2100种．(2)选取2种假货有C 120C 215种，选取3种假货有C 315种，共有选取方法C 120C 215＋C 315＝2555种． 所以至少有2种假货在内的不同取法有2555种．(3)选取3种商品的种数为C 335，选取3种假货的种数为C 315，所以至多有2种假货在内的不同取法有C 335－C 315＝6090种．。
1.3 第一课时 组合与组合数公式 课件(北师大选修2-3)
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(2)从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，有 多少种不同的选法？ 问题1：(1)与(2)相同吗？为什么？ 提示：不相同，(1)中选法是有顺序的，是排列问题； 返回
(2)中选法没有顺序，不是排列问题． 问题2：请写出(2)中所有可能的结果． 提示：甲乙，甲丙，乙丙． 问题3：从你班56名同学选7名同学组成班委，有顺序
2 2 提示：C6 ＝C1 ＋ C 5 5.
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组合数的性质
m 1．Cn ＝
n－m Cn ；
m 2．Cn ＋1＝
m 1 C Cm n ＋ n .
－
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1．组合的特点： 只取不排． 组合要求n个元素是各不相同的，被取出的m个元素也是 不相同的，且m≤n. 2．组合的特性： 元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，亦即元素 没有位置的要求． 3．相同的组合： 根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同，不管 顺序如何，就是相同的组合．
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[一点通]
解简单的组合应用题，要首先判断它是
不是组合问题，即取出的元素是“合成一组”还是“排成 一列”，其次要看这件事是分类完成还是分步完成．
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5．某施工小组有男工7名，女工3名，现要选1名女工和2
名男工去支援另一施工队，不同的选法有
A．C3 10种
1 C．A2 7A3种 3 B．A10 种 1 D．C2 7C3种
理解教材 新知 第 1 部 分 第 一 章
知识点一 知识点二
知识点三
§3 把握热点 考向 考点一 考点二 考点三 应用创新 演练
高二数学北师大版选修2-3同步导学案：1.3.1 组合与组合数公式
§3 组合第1课时 组合与组合数公式1．理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系．(易混点)2．理解排列数与组合数之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算．(重点)3．会解决一些简单的组合问题．(难点)[基础·初探]教材整理1 组合的概念阅读教材P 12～P 13“练习1”以上部分，完成下列问题．一般地，从n 个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素________，叫作从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．【答案】 为一组下面几个问题中属于组合问题的是( )①由1,2,3,4构成的双元素集合；②5个队进行单循环足球比赛的分组情况；③由1,2,3构成两位数的方法；④由1,2,3组合无重复数字的两位数的方法．A ．①③B ．②④C ．①②D ．①②④【解析】 ①②为组合问题，与顺序无关，③④为排列问题，与顺序有关．【答案】 C教材整理2 组合数的概念、公式、性质阅读教材P 13“练习1”以下至P 16部分，完成下列问题．组合数定义从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的________的个数，叫作从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数表示法________乘积式C ＝________＝________mn 组合数公式阶乘式C ＝________mn 性质C ＝________，C ＝________mn m n ＋1备注①n，m∈N ＋且m≤n；②规定：C ＝10n 【答案】 所有组合 C mn Am nAm m C n n －1 n －2 … n －m ＋1 m ！n ！m ！ n －m ！n －m n C ＋C mn m －1n1．甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等，则车票票价的种数是________．【解析】 甲、乙、丙三地之间的距离不等，故票价不同，同距离两地票价相同，故该问题为组合问题，不同票价的种数为C ＝＝3.233×22【答案】 32．C ＝________，C ＝________.261718【解析】 C ＝＝15，266×52C ＝C ＝18.1718118【答案】 15 18[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： [小组合作型]组合的概念 判断下列各事件是排列问题还是组合问题．(1)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场次？(2)10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？(3)从10个人里选3个代表去开会，有多少种选法？(4)从10个人里选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？【精彩点拨】 要确定是组合还是排列问题，只需确定取出的元素是否与顺序有关．【自主解答】 (1)是组合问题，因为每两个队比赛一次并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别．(2)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的，是有顺序的区别．(3)是组合问题，因为3个代表之间没有顺序的区别．(4)是排列问题，因为3个人中，担任哪一科的课代表是有顺序的区别．1．根据排列与组合的定义进行判断，区分排列与组合问题，先确定完成的是什么事件，然后看问题是否与顺序有关，与顺序有关的是排列，与顺序无关的是组合．2．区分有无顺序的方法把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．[再练一题]1．从5个不同的元素a ，b ，c ，d ，e 中取出2个，写出所有不同的组合．【解】 要想写出所有组合，就要先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个标出来，如图所示：由此可得所有的组合为ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，cd ，ce ，de.组合数公式的应用 (1)式子可表示为( )n n ＋1 n ＋2 … n ＋100100！A ．A B ．C 100n ＋100100n ＋100C ．101C D ．101C 100n ＋100101n ＋100(2)求值：C ＋C .5－n n 9－n n ＋1【精彩点拨】 根据题目的特点，选择适当的组合数公式进行求值或证明．【自主解答】 (1)分式的分母是100！，分子是101个连续自然数的乘积，最大的为n ＋100，最小的为n ，故n n ＋1 n ＋2 … n ＋100 100！＝101·n n ＋1 n ＋2 … n ＋100101！＝101C .101n ＋100【答案】 D (2)由组合数定义知：Error!所以4≤n≤5，又因为n∈N ＋，所以n ＝4或5.当n ＝4时，C ＋C ＝C ＋C ＝5；5－n n 9－n n ＋1145当n ＝5时，C ＋C ＝C ＋C ＝16.5－n n 9－n n ＋10546关于组合数计算公式的选取1．涉及具体数字的可以直接用公式C ＝＝计m n Am n Am m n n －1 n －2 … n －m ＋1m ！算．2．涉及字母的可以用阶乘式C ＝计算．mn n ！m ！ n －m ！3．计算时应注意利用组合数的性质C ＝C 简化运算．mn n －m n[再练一题]2．求等式＝中的n 值．C 5n －1＋C 3n －3C 3n －3195【解】 原方程可变形为＋1＝，C ＝C ，C 5n －1C 3n －31955n －11453n －3即n －1 n －2 n －3 n －4 n －5 5！＝·，化简整理，得n 2－3n －54＝0.解此二次方程，得145 n －3 n －4 n －5 3！n ＝9或n ＝－6(不合题意，舍去)，所以n ＝9为所求．[探究共研型]组合的性质探究1 试用两种方法求：从a ，b ，c ，d ，e 5人中选出3人参加数学竞赛，2人参加英语竞赛，共有多少种选法？你有什么发现？你能得到一般结论吗？【提示】 法一：从5人中选出3人参加数学竞赛，剩余2人参加英语竞赛，共C ＝35＝10(种)选法．5×4×33×2×1法二：从5人中选出2人参加英语竞赛，剩余3人参加数学竞赛，共C ＝＝10(种)不同选法．255×42经求解发现C ＝C .推广到一般结论有C ＝C .3525m n n －m n 探究2 从含有队长的10名排球队员中选出6人参加比赛，共有多少种选法？【提示】 共有C ＝＝210(种)选法．61010×9×8×7×6×56×5×4×3×2×1探究3 在探究2中，若队长必须参加，有多少种选法？若队长不能参加有多少种选法？由探究2、3，你发现什么结论？你能推广到一般结论吗？【提示】 若队长必须参加，共C ＝126(种)选法．若队长不能参加，共C ＝84(种)5969选法．由探究2、3发现从10名队员中选出6人可分为队长参赛与队长不参赛两类，由分类加法计数原理可得：C ＝C ＋C .6105969一般地：C ＝C ＋C .m n ＋1m n m －1n (1)计算C ＋C ＋C ＋…＋C 的值为( )34353632 016A ．C B ．C 42 01752 017C ．C －1D ．C －142 01752 017(2)解方程3C ＝5A ；7x －32x －4(3)解不等式C ＞C .4n 6n 【精彩点拨】 恰当选择组合数的性质进行求值、解方程与解不等式．【自主解答】 (1)C ＋C ＋C ＋…＋C 34353632 016＝C ＋C ＋C ＋…＋C 2 016－C 4343534＝C ＋C ＋...＋C －1＝ (4)53532 016＝C ＋C －1＝C －1.42 01632 01642 017【答案】 C(2)由排列数和组合数公式，原方程可化为3·＝5·， x －3 ！ x －7 ！4！ x －4 ！ x －6 ！则＝，即为(x －3)(x －6)＝40.3 x －3 4！5x －6∴x 2－9x －22＝0，解得x ＝11或x ＝－2.经检验知x ＝11是原方程的根，x ＝－2是原方程的增根．∴方程的根为x ＝11.(3)由C ＞C ，得4n 6n Error!⇒Error!⇒Error!又n∈N ＋，∴该不等式的解集为{6,7,8,9}．1．性质“C ＝C ”的意义及作用mn n －m n2．与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式，以及组合数的性质，求解时，要注意由C 中的m∈N ＋，n∈N ＋，且n≥m 确定m ，n 的范围，因此求解后要m n 验证所得结果是否符合题意．[再练一题]3．(1)化简：C －C ＋C ＝________；9m 9m ＋18m (2)已知C －C ＝C ，求n 的值．7n ＋17n 8n 【解析】 (1)原式＝(C ＋C )－C ＝C －C ＝0.9m 8m 9m ＋19m ＋19m ＋1【答案】 0(2)根据题意，C －C ＝C ，7n ＋17n 8n 变形可得C ＝C ＋C ，7n ＋18n 7n由组合数的性质，可得C ＝C ，故8＋7＝n ＋1，7n ＋18n ＋1解得n ＝14.[构建·体系]1．下列四个问题属于组合问题的是( )A ．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作B ．从0,1,2,3,4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数C ．从全班同学中选出3名同学出席深圳世界大学生运动会开幕式D ．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员【解析】 A ，B ，D 项均为排列问题，只有C 项是组合问题．【答案】 C2．若A ＝12C ，则n 等于( )3n 2n A ．8 B ．5或6C ． 3或4D ．4【解析】 A ＝n(n －1)(n －2)，C ＝n(n －1)，3n 2n 12所以n(n －1)(n －2)＝12×n(n －1)．12由n∈N ＋，且n≥3，解得n ＝8.【答案】 A3．C ＋C 的值为________. 【导学号：62690012】5868【解析】 C ＋C ＝C ＝＝＝84.5868699！6！×3！9×8×73×2×1【答案】 844．6个朋友聚会，每两人握手1次，一共握手______次．【解析】 每两人握手1次，无顺序之分，是组合问题，故一共握手C ＝15次．26【答案】 155．已知C ，C ，C 成等差数列，求C 的值．4n 5n 6n 12n 【解】 由已知得2C ＝C ＋C ，5n 4n 6n 所以2·＝＋，n ！5！ n －5 ！n ！4！ n －4 ！n ！6！ n －6 ！整理得n 2－21n ＋98＝0，解得n ＝7或n ＝14，要求C 的值，故n≥12，所以n ＝14，12n 于是C ＝C ＝＝91.121421414×132×1我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2) 学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．以下四个命题，属于组合问题的是( )A ．从3个不同的小球中，取出2个排成一列B ．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌C ．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星D ．从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地【解析】 从100位幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题．【答案】 C2．某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散，没有任何三个村庄在一条直线上，现要在该社区内建“村村通”工程，共需建公路的条数为( )A ．4B ．8C ．28D ．64【解析】 由于“村村通”公路的修建，是组合问题．故共需要建C ＝28条公路．28【答案】 C3．组合数C (n>r≥1，n ，r∈N ＋)恒等于( )r n A.C B ．(n ＋1)(r ＋1)C r ＋1n ＋1r n －1r n －1C ．nrC D.C r n－1nr r n－1【解析】 C ＝·＝＝C .n r r n －1n r n －1 ！ r －1 ！ n －r ！n ！r ！ n －r ！r n 【答案】 D4．满足方程Cx 2－x 16＝C 的x 值为( )5x －516A ．1,3,5，－7B ．1,3C ．1,3,5D ．3,5【解析】 依题意，有x 2－x ＝5x －5或x 2－x ＋5x －5＝16，解得x ＝1或x ＝5；x ＝－7或x ＝3，经检验知，只有x ＝1或x ＝3符合题意．【答案】 B5．异面直线a ，b 上分别有4个点和5个点，由这9个点可以确定的平面个数是( )A ．20B ．9 C ．C D ．C C ＋C C 3924152514【解析】 分两类：第1类，在直线a 上任取一点，与直线b 可确定C 个平面；第214类，在直线b 上任取一点，与直线a 可确定C 个平面．故可确定C ＋C ＝9个不同的平151415面．【答案】 B 二、填空题6．C ＋C ＋C ＋…＋C 的值等于________．0314251821【解析】 原式＝C ＋C ＋C ＋…＋C ＝C ＋C ＋…＋C ＝C ＋C ＝C ＝C ＝7 041425182115251821172118211822422315.【答案】 7 3157．设集合A ＝{a 1，a 2，a 3，a 4，a 5}，则集合A 中含有3个元素的子集共有________个.【导学号：62690013】【解析】 从5个元素中取出3个元素组成一组就是集合A 的子集，则共有C ＝10个35子集．【答案】 108．10个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为________．(用数字作答)【解析】 从10人中任选出4人作为甲组，则剩下的人即为乙组，这是组合问题，共有C ＝210种分法．410【答案】 210三、解答题9．从1,2,3,4,5,6六个数字中任选3个后得到一个由这三个数组成的最小三位数，则可以得到多少个不同的这样的最小三位数？【解】 从6个不同数字中任选3个组成最小三位数，相当于从6个不同元素中任选3个元素的一个组合，故所有不同的最小三位数共有C ＝＝20个．366×5×43×2×110．(1)求式子－＝中的x ；1Cx 51Cx 6710Cx 7(2)解不等式C >3C .m －18m 8【解】 (1)原式可化为：－＝，∵0≤x≤5，∴x 2－23x ＋42＝0，x ！ 5－x ！5！x ！ 6－x ！6！7·x ！ 7－x ！10·7！∴x＝21(舍去)或x ＝2，即x ＝2为原方程的解．(2)由>，8！ m －1 ！ 9－m ！3×8！m ！ 8－m ！得>，∴m>27－3m ，19－m 3m ∴m>＝7－.27414又∵0≤m－1≤8，且0≤m≤8，m∈N，即7≤m≤8，∴m＝7或8.[能力提升]1．已知圆上有9个点，每两点连一线段，若任意两条线的交点不同，则所有线段在圆内的交点有( )A ．36个B ．72个C ．63个D ．126个【解析】 此题可化归为圆上9个点可组成多少个四边形，所有四边形的对角线交点23个数即为所求，所以交点为C ＝126个．49【答案】 D2．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法共有( ) 【导学号：62690014】A ．140种B ．84种C ．70种D ．35种【解析】 可分两类：第一类，甲型1台、乙型2台，有C ·C ＝4×10＝40(种)取1425法，第二类，甲型2台、乙型1台，有C ·C ＝6×5＝30(种)取法，共有70种不同的取2415法．【答案】 C3．对所有满足1≤m<n≤5的自然数m ，n ，方程x 2＋C y 2＝1所表示的不同椭圆的个数mn 为________．【解析】 ∵1≤m<n≤5，所以C 可以是mn C ，C ，C ，C ，C ，C ，C ，C ，C ，C ，其中C ＝C ，C ＝C ，C ＝C ，C ＝C ，∴121323142434152535451323143415452535方程x 2＋C y 2＝1能表示的不同椭圆有6个．mn 【答案】 64．证明：C ＝C .mn nn －m m n －1【证明】 C ＝·n n －m m n －1n n －m n －1 ！m ！ n －1－m ！＝n ！m ！ n －m ！＝C .mn。
1.3.1组合与组合数公式课件
[思路探索] 属于组合与排列的区分问题，看问题有无次序要求． 解 (1)集合中的元素具有无序性，顺序无关是组合问题． (2)两人握手与顺序无关是组合问题．
(3)学习小组的人与顺序无关是组合问题．
(4)将名额分给5个班，只与每班分得名额个数有关，属组合问题．
规律方法
区分排列还是组合问题的关键是看取出元素后是按顺
又∵0≤m－1≤8，且0≤m≤8，m∈N， 即7≤m≤8，∴m＝7或8. (3)证明 n－1！ n n m C－＝ · n－m n 1 n－m m！n－1－m！
n！ ＝ ＝C m n. m！n－m！ 规律方法 求解与组合数有关的方程，不等式及证明问题时，要
应用组合数的公式，并注意其成立的条件．
序排列还是无序地组在一起，区分有无顺序的方法是把问题的一 个选择结果解出来，然后交换这个结果的任意两个元素的位置，
看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问
题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．
【变式1】 有8盆不同的花， (1)从中选出2盆分别送给甲、乙两人每人一盆； (2)从中选出2盆放在教室里． 以上问题中，哪一个是组合问题？哪一个是排列问题？ 解 (1)从8盆花中，选出2盆送给甲、乙两人每人一盆的送法 与顺序有关，故属排列问题． (2)从8盆花中，选出2盆放在教室的放法与顺序无关，故属组 合问题．
ห้องสมุดไป่ตู้
3．组合数公式
m nn－1n－2…n－m＋1 n！ A n m Cn ＝Am＝ ＝ m！ m！n－m！ m
规定：C0 n＝1. 试一试 找出从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数 与从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数的关系式．
m A n m m m 提示 Cm · A ＝ A ，即： C ＝ . m n m n n Am
高中数学 第一章 计数原理 1-3-1 组合与组合数公式课件 北师大版选修2-3
高中数学 第一章 计数原理 1-3-1 组合与组合数公式课件 北师大版选修2-3
§3 组 合
第一课时 组合与组合数公式
1．组合的概念 一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素合成一 组，叫做从n不同元素中取出m个元素的一个组合． 2．组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个 数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cnm表 示．
＝
11·（y－1）（！3y（）2！y＋1）！，化简得y2－5y＝0.
∴y＝0(舍)或y＝5，∴x＝15.
∴方程组的解为xy＝＝51.5，
(2)∵2Cx＋1x－2<3Cx＋12，∴2Cx＋13<3Cx＋12，即 2×（x＋11×）x2×（x3－1）<3×（x1＋×12）x. ① ∵x＋1≥3，x≥2，∴(x＋1)x>0. ①式两边同除以(x＋1)x，得x－1<92，∴x<121. ∴x＝2，3，4，5.即不等式的解集为{2，3，4，5}．
探究3 (1)Cn＋1m＝Cnm＋Cnm－1⇔Cnm－1＝Cn＋1m－Cnm； (2)C11＝C22＝C33＝…＝Cnn； (3)公式的灵活运用，体现了思维的灵活性．
◎思考题4 (1)计算①C31＋C32＋C43＋C54＋C65； ②C55＋C65＋C75＋C85＋C95＋C105； (2)计算C201198＋C200196＋C200197.
题型一 组合的概念
例1 判断下列问题是不是组合问题？ (1)从10人中选4人
①参加，6中任取两数
①构成对数或指数；②相加或相乘．
(3)三个人互相 ①问好；②送礼品．
(4)由正四面体4个顶点 ①可形成多少个向量；②形成多少对异面直线．
组合与组合数公式课件
超几何分布的概率值可以通过组合数公式进行计 算，特别是当总体大小远大于样本大小时。
二项式系数与组合数的关系
二项式系数
二项式系数表示在n次独立实验中成功k次的概率，通常表 示为C(n, k) = binomial(n, k) / k!
组合数公式
组合数公式是计算从n个不同元素中选取k个元素的不同方 式的数量。
关系
二项式系数是组合数的一种特例，当n次实验中每次成功 的概率为p时，二项式系数可以表示为C(n, k) = p^k * (1p)^(n-k)。
组合数与卡特兰数的关系
卡特兰数
卡特兰数是组合数学中的一类特殊数，通常用于计数排列、组合等 问题的解中选取k个元素的不同方式的数量 。
组合数的定义
总结词
组合数表示从n个不同元素中取出 m个元素的组合方式数量，记作 C(n, m)或C_n^m。
详细描述
组合数的定义基于组合的定义， 通过数学公式表示为C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)，其中"!"表示阶乘 。
组合数的性质
总结词
组合数具有一些重要的性质，包括组合数的递推关系、对称性、非负性等。
组合数的计算公式具有对称性 ，即C(n，m)=C(n，n-m)，同 时还有C(n，0)=C(n，n)=1的 特殊性质。
组合数的性质在计算中的应用
利用组合数的性质可以简化组合数的计算，例如利用对称性可以避免一些不必要的 计算。
利用组合数的性质可以推导出一些重要的组合恒等式，例如二项式定理、帕斯卡三 角等。
当m=n时，排列就是组合；当取出元素不同时，排列和组合是不同的。
组合数的计算公式
组合数的计算公式为C(n， m)=n!/(m!(n-m)!)，其中n是 总的元素个数，m是需要取出 的元素个数，C(n，m)表示从n 个元素中取出m个元素的组合 数。
高一数学组合与组合数公式
所有的排列为：
abc abd acb acd adb adc bac bad bca bcd bda bdc cab cad cba cbd cda cdb dab dac dba dbc dca dcb
演 稿
示
文
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组合
排列
如:从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的 所有组合分别是: ab , ac , bc (3个) 如:已知4个元素a , b , c , d ,写出每次取出两个 元素的所有组合.
a
b
c
b
c
d
c
d
d
6个
ab , ac , ad , bc , bd , cd
练习:
中国、美国、古巴、俄罗斯四国女排邀 请赛，通过单循环决出冠亚军． （1 ）列出所有各场比赛的双方； （2 ）列出所有冠亚军的可能情况。
m n m n m m
n! C m!(n m)!
m n
例1 计算：⑴
C
4 7
⑵
C
7 10
(3) 已知
例2求证：
C
m n
3 n
A
2 n
,求 n ．
m 1 m1 C C n nm
．
个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出
m个元素的一个组合． 排列定义: 一般地说，从n个不同元素中，取出m (m≤n) 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不 同元素中取出 m 个元素的一个排列. 思考: 排列与组合的概念，它们有什么共同点、不同点？ 共同点:都要“从 n个不同元素中任取 m个元素” 不同点:对于所取出的元素，排列要“按照一定的顺序 排成一列”，而组合却是“不管怎样的顺序并成一组”． 排列与元素的顺序有关，而 组合则与元素的顺序无关 想一想:ab与ba是相同的排列还是相同的组合?为什么? 两个相同的排列有什么特点 ?两个相同的组合呢?
组合与组合数公式
组合与组合数公式1．组合的定义一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．组合的概念中有两个要点：(1)取出元素，且要求n个元素是不同的；(2)“只取不排”，即取出的m个元素与顺序无关，无序性是组合的特征性质2．组合数的概念、公式、性质组合数定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数表示法C m n组合数公式乘积式C m n＝A m nA m m＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）m！阶乘式C m n＝n！m！（n－m）！性质C m n＝C n－mn，C mn＋1＝Cmn＋Cm－1n备注①n，m∈N*且m≤n；②规定：C0n＝1判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合，所有组合的个数为C23.( )(2)从1，3，5，7中任取两个数相乘可得C24个积．( )(3)C35＝5×4×3＝60.( )(4)C2 0162 017＝C 12 017＝2 017.( )答案：(1)√(2)√(3)×(4)√若A3n＝8C2n，则n的值为( )A．6 B．7 C．8 D．9 答案：A计算：(1)C37＝________；(2)C1820＝________．答案：(1)35 (2)190甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等，则车票票价有________种．解析：车票的票价有C23＝3种．答案：3探究点1 组合概念的理解判断下列问题是排列问题，还是组合问题．(1)从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？(2)从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，然后把这三个数字相加得到一个和，这样的和共有多少个？(3)5个人规定相互通话一次，共通了多少次电话？(4)5个人相互写一封信，共写了多少封信？【解】 (1)当取出3个数字后，如果改变3个数字的顺序，会得到不同的三位数，此问题不但与取出元素有关，而且与元素的安排顺序有关，是排列问题．(2)取出3个数字之后，无论怎样改变这3个数字的顺序，其和均不变，此问题只与取出元素有关，而与元素的安排顺序无关，是组合问题．(3)甲与乙通一次电话，也就是乙与甲通一次电话，无顺序区别，为组合问题．(4)发信人与收信人是有区别的，是排列问题．判断一个问题是否是组合问题的方法技巧区分某一问题是排列问题还是组合问题的关键是看取出元素后是按顺序排列还是无序地组合在一起．区分有无顺序的方法是把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化．若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．判断下列问题是排列问题还是组合问题：(1)把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分一张，而且票必须分完，有多少种分配方法？(2)从2，3，5，7，11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数，共能构成多少个不同的分数？(3)从9名学生中选出4名参加一个联欢会，有多少种不同的选法？解：(1)是组合问题．由于4张票是相同的(都是当日动物园的门票)，不同的分配方法取决于从5人中选择哪4人，这和顺序无关．(2)是排列问题，选出的2个数作分子或分母，结果是不同的．(3)是组合问题，选出的4人无角色差异，不需要排列他们的顺序．探究点2 组合数公式、性质的应用计算下列各式的值．(1)3C 38－2C 25； (2)C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 310； (3)C 5－nn ＋C 9－nn ＋1. 【解】 (1)3C 38－2C 25＝3×8×7×63×2×1－2×5×42×1＝148.(2)利用组合数的性质C mn ＋1＝C mn ＋C m －1n ， 则C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 310 ＝C 44＋C 34＋C 35＋…＋C 310－C 44 ＝C 45＋C 35＋…＋C 310－C 44＝ …＝C 411－1＝329.(3)⎩⎪⎨⎪⎧5－n ≤n ，5－n ≥0，9－n ≤n ＋1，9－n ≥0，解得4≤n ≤5.又因为n ∈N *，所以n ＝4或n ＝5. 当n ＝4时，原式＝C 14＋C 55＝5. 当n ＝5时，原式＝C 05＋C 46＝16.[变条件]若将本例(2)变为：C 55＋C 56＋C 57＋C 58＋C 59＋C 510，如何求解？ 解：原式＝(C 66＋C 56)＋C 57＋C 58＋C 59＋C 510 ＝(C 67＋C 57)＋C 58＋C 59＋C 510＝… ＝C 610＋C 510＝C 611＝C 511 ＝11×10×9×8×75×4×3×2×1＝462.关于组合数公式的选取技巧(1)涉及具体数字的可以直接用n n －mC mn －1＝nn －m ·（n －1）！m ！（n －1－m ）！＝n ！m ！（n －m ）！＝C mn 进行计算．(2)涉及字母的可以用阶乘式C mn ＝n ！m ！（n －m ）！计算．(3)计算时应注意利用组合数的性质C mn ＝C n －mn 简化运算．1.C 58＋C 98100C 77＝________．解析：C 58＋C 98100C 77＝C 38＋C 2100×1＝8×7×63×2×1＋100×992×1＝56＋4 950＝5 006. 答案：5 0062．若C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝363，则正整数n ＝________． 解析：由C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝363， 得1＋C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝364， 即C 33＋C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝364. 又C m n ＋C m －1n ＝C mn ＋1，则C 33＋C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝C 34＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝C 35＋C 25＋C 26＋…＋C 2n ＝…＝C 3n ＋1，所以C 3n ＋1＝364，化简可得（n ＋1）n （n －1）3×2×1＝364，又n 是正整数，解得n ＝13. 答案：133．解方程：C 3n ＋618＝C 4n －218.解：由原方程及组合数性质可知， 3n ＋6＝4n －2，或3n ＋6＝18－(4n －2)， 所以n ＝2，或n ＝8，而当n ＝8时，3n ＋6＝30＞18，不符合组合数定义，故舍去． 因此n ＝2.探究点3 简单的组合问题现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名． (1)现要从中选2名去参加会议有多少种不同的选法？(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有多少种不同的选法？ (3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？【解】 (1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C 210＝10×92×1＝45种． (2)可把问题分两类情况：第1类，选出的2名是男教师有C 26种方法； 第2类，选出的2名是女教师有C 24种方法．根据分类加法计数原理，共有C 26＋C 24＝15＋6＝21种不同选法．(3)从6名男教师中选2名的选法有C 26种，从4名女教师中选2名的选法有C 24种，根据分步乘法计数原理，共有不同的选法C 26×C 24＝6×52×1×4×32×1＝90种．[变问法]本例其他条件不变，问题变为从中选2名教师参加会议，至少有1名男教师的选法是多少？最多有1名男教师的选法又是多少？解：至少有1名男教师可分两类：1男1女有C16C14种，2男0女有C26种．由分类加法计数原理知有C16C14＋C26＝39种．最多有1名男教师包括两类：1男1女有C16C14种，0男2女有C24种．由分类加法计数原理知有C16C14＋C24＝30种．解简单的组合应用题的策略(1)解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关．(2)要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用．[注意] 在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏．某次足球比赛共12支球队参加，分三个阶段进行．(1)小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组6队进行单循环比赛，以积分及净胜球数取前两名；(2)半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名作主客场交叉淘汰赛(每两队主客场各赛一场)决出胜者；(3)决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负．问全部赛程共需比赛多少场？解：小组赛中每组6队进行单循环比赛，就是每组6支球队的任两支球队都要比赛一次，所以小组赛共要比赛2C26＝30(场)．半决赛中甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名主客场各赛一场，所以半决赛共要比赛2A22＝4(场)．决赛只需比赛1场，即可决出胜负．所以全部赛程共需比赛30＋4＋1＝35(场)．1．下面几个问题属于组合的是( )①由1，2，3，4构成双元素集合；②5支球队进行单循环足球比赛的分组情况；③由1，2，3构成两位数的方法；④由1，2，3组成无重复数字的两位数的方法．A．①③B．②④C．①②D．①②④解析：选C.由集合元素的无序性可知①属于组合问题；因为每两个球队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别，故②是组合问题；③④中两位数顺序不同数字不同为排列问题．2．若C n 12＝C 2n －312，则n 等于( )A ．3B ．5C ． 3或5D ．15解析：选C.由组合数的性质得n ＝2n －3或n ＋2n －3＝12，解得n ＝3或n ＝5，故选C. 3．10个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为________．(用数字作答)解析：从10人中任选出4人作为甲组，则剩下的人即为乙组，这是组合问题，共有C 410＝210种分法． 答案：2104．计算下列各式的值． (1)C 98100＋C 199200； (2)C 37＋C 47＋C 58＋C 69； (3)C 38－n3n ＋C 3n21＋n .解：(1)C 98100＋C 199200＝C 2100＋C 1200＝100×992×1＋200＝5 150. (2)C 37＋C 47＋C 58＋C 69＝C 48＋C 58＋C 69＝C 59＋C 69＝C 610＝C 410＝210.(3)因为⎩⎪⎨⎪⎧1≤38－n ≤3n ，1≤3n ≤21＋n ，即⎩⎪⎨⎪⎧192≤n ≤37，13≤n ≤212，所以192≤n ≤212.因为n ∈N *，所以n ＝10，所以C 38－n3n ＋C 3n21＋n ＝C 2830＋C 3031＝C 230＋C 131＝466.[A 基础达标]1．楼道里有12盏灯，为了节约用电，需关掉3盏不相邻的灯，则关灯方案有( ) A ．72种 B ．84种 C ．120种D ．168种解析：选C.需关掉3盏不相邻的灯，即将这3盏灯插入9盏亮着的灯的空当中，所以关灯方案共有C 310＝120(种)． 2．方程C x28＝C 3x －828的解为( ) A ．4或9 B ．4 C ．9D ．5解析：选A.当x ＝3x －8时，解得x ＝4；当28－x ＝3x －8时，解得x ＝9.3．将2名女教师，4名男教师分成2个小组，分别安排到甲、乙两所学校轮岗支教，每个小组由1名女教师和2名男教师组成，则不同的安排方案共有( ) A ．24种 B ．12种 C ．10种D ．9种解析：选B.第一步，为甲地选1名女老师，有C 12＝2种选法；第二步，为甲地选2名男教师，有C 24＝6种选法；第三步，剩下的3名教师到乙地，故不同的安排方案共有2×6×1＝12种．故选B.4．化简C 9798＋2C 9698＋C 9598等于( ) A ．C 9799 B ．C 97100 C ．C 9899D ．C 98100解析：选B.由组合数的性质知，C 9798＋2C 9698＋C 9598 ＝(C 9798＋C 9698)＋(C 9698＋C 9598) ＝C 9799＋C 9699＝C 97100.5．男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有( ) A ．2人或3人 B ．3人或4人 C ．3人D ．4人解析：选A.设男生有n 人，则女生有(8－n )人，由题意可得C 2n C 18－n ＝30，解得n ＝5或n ＝6，代入验证，可知女生为2人或3人．故选A. 6．若A 3n ＝6C 4n ，则n 的值为________． 解析：由题意知n (n －1)(n －2) ＝6·n （n －1）（n －2）（n －3）4×3×2×1，化简得n －34＝1，所以n ＝7.答案：77．某单位需同时参加甲、乙、丙三个会议，甲需2人参加，乙、丙各需1人参加，从10人中选派4人参加这三个会议，不同的安排方法有________种．解析：从10人中选派4人有C 410种方法，对选出的4人具体安排会议有C 24C 12种方法，由分步乘法计数原理知，不同的选派方法有C 410C 24C 12＝2 520种． 答案：2 5208．若C m －1n ∶C mn ∶C m ＋1n ＝3∶4∶5，则n －m ＝________．解析：由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧C m －1n C m n ＝34，C mn C m ＋1n ＝45， 由组合数公式得⎩⎪⎨⎪⎧3n －7m ＋3＝0，9m －4n ＋5＝0，解得：n ＝62，m ＝27.n －m ＝62－27＝35. 答案：359．判断下列问题是否为组合问题，若是组合则表示出相应结果．(1)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组，共有多少种分法？(2)从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，由小到大排列，构成一个三位数，这样的三位数共有多少个？(3)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，共需握手多少次？ 解：(1)与顺序无关是组合问题，共有C 510种不同分法． (2)大小顺序已确定，故是组合问题，构成三位数共有C 39个． (3)握手无先后顺序，故是组合问题，共需握手C 210次． 10．(1)解方程：C x －2x ＋2＋C x －3x ＋2＝110A 3x ＋3； (2)解不等式：1C 3x －1C 4x ＜2C 5x .解：(1)原方程可化为C x －2x ＋3＝110A 3x ＋3，即C 5x ＋3＝110A 3x ＋3， 所以（x ＋3）！5！（x －2）！＝（x ＋3）！10·x ！，所以1120（x －2）！＝110·x （x －1）·（x －2）！，所以x 2－x －12＝0，解得x ＝4或x ＝－3， 经检验知，x ＝4是原方程的解． (2)通过将原不等式化简可以得到6x （x －1）（x －2）－24x （x －1）（x －2）（x －3）＜240x （x －1）（x －2）（x －3）（x －4）.由x ≥5，得x 2－11x －12＜0，解得5≤x ＜12. 因为x ∈N *，所以x ∈{5，6，7，8，9，10，11}．[B 能力提升]11．式子C m ＋210＋C 17－m10(m ∈N *)的值的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A.由⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2≤10，17－m ≤10，得7≤m ≤8，所以m ＝7或8.当m ＝7时，原式＝C 910＋C 1010. 当m ＝8时，原式＝C 1010＋C 910， 故原式的值只有一个．12．某班级有一个7人小组，现任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有( ) A ．35种 B ．70种 C ．30种D ．65种解析：选B.先从7人中选出3人有C 37＝35种情况，再对选出的3人相互调整座位，共有2种情况，故不同的调整方案种数为2C 37＝70.13．一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球． (1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ (3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ 解：(1)从口袋内的8个球中取出3个球， 取法种数是C 38＝8×7×63×2×1＝56.(2)从口袋内取出3个球，有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是C 27＝7×62×1＝21.(3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是C 37＝错误!＝35.14．(选做题)某足球赛共32支球队有幸参加，它们先分成8个小组进行循环赛，决出16强(每队均与本组其他队赛一场，各组一、二名晋级16强)，这16支球队再分成8个小组决出8强，8强再分成4个小组决出4强，4强再分成2个小组决出2强，最后决出冠、亚军，此外还要决出第三名、第四名，问这次足球赛共进行了多少场比赛？ 解：可分为如下几类比赛：(1)小组循环赛：每组有C 24＝6场，8个小组共有48场；(2)八分之一淘汰赛，8个小组的第一、二名组成16强，根据赛制规则，16强分成8组，每组两个队比赛一场，可以决出8强，共有8场；(3)四分之一淘汰赛，根据赛制规则，8强再分成4组，每组两个队比赛一次，可以决出4强，共有4场；(4)半决赛，4强再分成2组，每组两个队比赛一场，可以决出2强，共有2场；(5)决赛，2强比赛1场确定冠、亚军，4强中的另两支队比赛1场，决出第三、四名，共有2场．综上，共有48＋8＋4＋2＋2＝64场比赛．。
《组合数学》教案 1章(排列组合基础)
第1章组合数学基础1.1 绪论（一）背景起源：数学游戏幻方问题：给定自然数1, 2, …, n2，将其排列成n阶方阵，要求每行、每列和每条对角线上n个数字之和都相等。
这样的n阶方阵称为n阶幻方。
每一行（或列、或对角线）之和称为幻方的和（简称幻和）。
例：3阶幻方，幻和＝(1＋2＋3＋…＋9)/3＝15。
关心的问题（1）存在性问题：即n阶幻方是否存在？（2）计数问题：如果存在，对某个确定的n，这样的幻方有多少种？（3）构造问题：即枚举问题，亦即如何构造n阶幻方。
图1.1.1 3阶幻方奇数阶幻方的生成方法：一坐上行正中央，依次斜填切莫忘，上边出格往下填，右边出格往左填，右上有数往下填，右上出格往下填。
例：将2，4，6，8，10，12，14，16，18填入下列幻方：【例1.1.1】（拉丁方）36名军官问题：有1，2，3，4，5，6共六个团队，从每个团队中分别选出具有A、B、C、D、E、F六种军衔的军官各一名，共36名军官。
问能否把这些军官排成6×6的方阵，使每行及每列的6名军官均来自不同的团队且具有不同军衔？本问题的答案是否定的。
A1 B2 C3 D4 E5 F6 A1 B2 C3 D4 E5 F6B2 C3 D4 E5 F6 A1B3 C4 D5 E6 F1 A2C3 D4 E5 F6 A1 B2 C5 D6 E1 F2 A3 B4D4 E5 F6 A1 B2 C3 D2 E3 F4 A5 B6 C1E5 F6 A1 B2 C3 D4 E4 F5 A6 B1 C2 D3F6 A1 B2 C3 D4 E5 F6【例1.1.2】（计数——图形染色）用3种颜色红（r）、黄（y）、蓝（b）涂染平面正方形的四个顶点，若某种染色方案在正方形旋转某个角度后，与另一个方案重合，则认为这两个方案是相同的。
求本质上不同的染色方案。
举例：形式总数：43＝81种。
实际总数（见第6章）：L ＝()32334124⨯++＝24 【例1.1.3】（存在性）不同身高的26个人随意排成一行，那么，总能从中挑出6个人，让其出列后，他们的身高必然是由低到高或由高到低排列的（见第5章）。
组合与组合数公式
组合与组合数公式好的，以下是为您生成的文章：咱们来聊聊“组合与组合数公式”这个事儿。
组合这东西，在咱们的数学世界里，就像是个神奇的魔法盒子。
你想啊，从一堆东西里选出几个，不考虑顺序，这就是组合。
比如说，咱们班要选三个人去参加数学竞赛，不管是张三李四王五，还是王五张三李四，只要是这三个人，那就算一种选法，这就是组合。
记得有一次，学校组织活动，要从我们班选几个同学去帮忙布置场地。
老师说，从咱们班 30 个人里选 5 个。
这可把大家难住了，都在那叽叽喳喳地讨论。
有的说，这得怎么选啊，一个一个想太麻烦了。
这时候，我就想到了组合这个概念。
咱们先来说说组合数公式。
这公式就像是一把神奇的钥匙，能帮咱们打开组合的神秘大门。
组合数公式是：C(n, m) = n! / [m!(n - m)!] 。
这里的 n 表示总数，m 表示要选的个数。
别被这一堆符号吓到，其实很好理解。
比如说上面选 5 个人的例子，n 就是 30，m 就是 5。
那咱们算一下，30 的阶乘除以 5 的阶乘再乘以 25 的阶乘，就能得出一共有多少种选法。
这是不是很神奇？再举个例子，咱们去超市买水果，有苹果、香蕉、橙子、梨、草莓这 5 种。
咱们只想买 3 种，那有多少种买法呢？用组合数公式一算就知道啦。
组合在生活中的应用那可太多啦。
比如咱们组队打篮球，从 10 个同学里选 5 个上场，这就是组合问题。
还有安排座位，从 20 个座位里选 6 个给一组同学坐，也是组合。
总之，组合与组合数公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们用心去理解，多联系实际生活中的例子，就能发现它们的妙处。
就像解开一个个有趣的谜题，充满了乐趣和挑战。
希望大家以后遇到组合相关的问题，都能轻松应对，就像解决一道简单的算术题一样！。
组合与组合数公式
解：（1） C83 56 ⑵
⑶
C
3 7
35
C72 21
我们发现：
C83
C72
C
3 7
为什么呢
我们可以这样解释：从口袋内的 8个球中所取出的3个球，可以分为 两类：一类含有1个黑球，一类不含 有黑球．因此根据分类计数原理， 上述等式成立．
从a1, a2 , a3,, an1这n 1个不同元素中， 每次取出m个元素。 （1）可以有多少个不同的组合？ （2）在这些组合里有多少个是含有a1的？ （3）在这些组合里有多少个是不含有a1的？ （4）从上面的结果可以得到一个怎样的公式？
推广:
从 n个不同元素中取出 m个元素的每一个 组合，与剩下的n-m个元素的每一个组合一一 对应，所以从 n个不同元素中取出 m个元素 的组合数，等于从这n 个元素中取出n-m 个元 素的组合数，即
c c m n
nm n
组合数的两个性质
定理1:
Cmn
Cnm n
.
证明: Cmn m（! nn！m）!,
例5、6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分 法：
（1）分给甲、乙、丙三人，每人2本； （2）分为三份，每份2本； （3）分为三份，一份1本，一份2本，一份3本： （4）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2 本，一人 3本。
例6、某省的福利彩票中，不考虑次序的7个数码组 成一注，7个数码中没有重复，每一个数码都选自 数码1,2，…，36，如果电视直播公开摇奖时只有 一个大奖，计算：
a a a 推广:从
1,
2,
n1这n+1个不同的元素中，
a c a a a a a 取出m个元素的组合数
一类含 ，一1类不含
证明组合数是整数集合证明
证明组合数是整数集合证明1. 引言1.1 概述组合数是数学中的一个重要概念，它在组合数学、概率论、统计学等领域有着广泛的应用。
组合数表示从一个元素的集合中选择指定数量的元素，用于计算排列组合问题中的可能性。
本文的目的是证明组合数是整数集合，即组合数的结果一定是整数。
在数学中，整数集合指的是由所有整数组成的集合，包括正整数、负整数和零。
为了达到这个目的，我们将通过定义组合数的概念、探讨组合数的性质，以及分析组合数和整数之间的关系来展开论述。
首先，我们将介绍组合数的定义，即如何计算从一个集合中选择指定数量的元素的方式。
然后，我们将讨论组合数的性质，例如组合数的对称性、组合数的递推关系等。
这些性质将有助于我们更深入地理解组合数的特点。
接下来，我们将探讨组合数和整数之间的关系。
通过数学归纳法的证明方式，我们可以证明组合数的基本性质，以及它们与整数集合的联系。
这一步骤将为我们的结论奠定基础。
最后，我们将总结证明结果，并讨论证明组合数是整数集合的重要性。
证明组合数是整数集合，不仅可以加深我们对组合数的理解，还可以为我们在实际问题中的应用提供一种有力的数学工具。
通过本文的阐述，我们希望读者能够更加深入地理解组合数的特性，并认识到组合数作为整数集合的一部分，对于数学研究和实际问题的解决具有重要意义。
让我们开始这个证明之旅吧！1.2 文章结构文章结构部分的内容可以描述以下内容：文章结构部分旨在介绍本文的组织框架和各个章节的内容，以帮助读者更好地理解全文的逻辑思路和思考方向。
本文共分为三大部分：引言、正文和结论。
引言部分（Section 1）主要是对本文的背景和整体概述进行介绍。
在1.1概述中，将简要总结组合数的研究重要性和存在的问题，引发对组合数的性质进行研究的需求。
在1.2文章结构中，将详细阐述本文的章节组织和内容安排，以帮助读者把握全文的逻辑结构。
最后，在1.3目的中，明确提出本文的研究目标和意义。
正文部分（Section 2）是本文的核心内容，主要分为2.1组合数的定义和2.2组合数的性质两个小节。
苏教版高中数学选修学双基达标组合与组合数公式
1.3 组合第1课时 组合与组合数公式双基达标 (限时15分钟)1．给出下面几个问题，其中是组合问题的为________． ①由1,2,3,4构成的2个元素集合； ②五个队进行单循环比赛的分组情况； ③由1,2,3组成两位数的不同方法数； ④由1,2,3组成无重复数字的两位数的方法． 答案 ①②2．某校一年级有5个班，二年级有8个班，三年级有3个班，分年级举行班与班之间的篮球单循环赛，总共需进行比赛的场数是________．解析 分三类：一年级比赛的场数是C 25，二年级比赛的场数是C 28，三年级比赛的场数是C 23，再由分类计数原理求得总赛场数为C 25＋C 28＋C 23＝41.答案 413．若A 3m ＝6C 4m ，则m ＝________.解析 由排列组合数公式得m (m －1)(m －2)＝6·m (m －1)(m －2)(m －3)4×3×2×1，解得m ＝7. 答案 74．已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{5,6,7}，C ＝{8,9}．现在从这三个集合中取出两个集合，再从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合 ，则一共可以组成集合的个数为________．解析 由C 14·C 13＋C 13·C 12＋C 14·C 12＝26. 答案 265．高矮互不相同的5位同学排成一排照相，要求从正中间向两侧均是从高到矮，不同的排法种数为________．解析 最高排中间，有C 24＝6(种)．答案 66．要从12人中选出5人参加一项活动，其中A 、B 、C 3人至多2人入选，有多少种不同选法？ 解 法一 可分三类：①A ，B ，C 三人均不入选，有C 59种选法；②A ，B ，C 三人中选一人，有C 13·C 49种选法； ③A ，B ，C 三人中选二人，有C 23·C 39种选法． 由分类计数加法原理，共有选法C 59＋C 13·C 49＋C 23·C 39＝756(种)．法二 先从12人中任选5人，再减去A ，B ，C 三人均入选的情况，即共有选法C 512－C 29＝756(种)．综合提高 (限时30分钟)7．以下四个式子①C m n ＝A m n m ！；②A m n ＝n A m －1n －1；③C m n ÷C m ＋1n ＝m ＋1n －m ；④C m ＋1n ＋1＝n ＋1m ＋1C m n .其中正确的个数是________． 解析 ①式显然成立；②式中A m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)，A m －1n －1＝(n －1)(n －2)…(n －m ＋1)，所以A m n ＝n A m －1n －1，故②式成立；对于③式C m n ÷C m ＋1n ＝C m nC m ＋1n ＝A m n ·(m ＋1)！m ！·A m ＋1n ＝m ＋1n －m， 故③式成立；对于④式C m ＋1n ＋1＝A m ＋1n ＋1(m ＋1)！＝(n ＋1)·A m n (m ＋1)m ！＝n ＋1m ＋1C mn，故④式成立． 答案 48．某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种．小张用10元钱买杂志(每种至多买一本，10元钱刚好用完)，则不同买法的种类是________(用数字作答)．解析 由题知，按钱数分10元钱，可有两大类，第一类是买2本1元，4本2元的共C 23C 48种方法；第二类是买5本2元的书，共C 58种方法．∴共有C 23C 48＋C 58＝266(种)．答案 2669．2012年元旦某班有n 个人中每两个人相互之间打了一次问候电话，共打电话28次，则n ＝________.解析 C 2n ＝n (n －1)2＝28，解得n ＝8.答案 810．210的正约数有________个．解析 由于210＝2×3×5×7，则2、3、5、7中的任意一个数，或两个数之积，或三个数之积，或四个数之积，都是210的约数．又1也是一个约数，所以约数共有C 14＋C 24＋C 34＋C 44＋1＝16(个)．答案 1611．求不等式C n －421<C n －221<C n －121的解集．解 原不等式可化为21！(n －4)！(25－n )！<21！(n －2)！(23－n )！<21！(n －1)！(22－n )！，整理得 ⎩⎨⎧(24－n )(25－n )>(n －2)(n －3)，23－n >n －1， 解得n <12.又n －4≥0， 所以4≤n <12，又n ∈N ，故原不等式解集为{4,5,6,7,8,9,10,11}．12．平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线，以这些点为顶点，可得多少个不同的三角形？解 我们把从共线的4个点取点中的多少作为分类的标准：第一类：共线的4个点中有2个点作为三角形的顶点，共有C 24·C 18＝48(个)不同的三角形；第二类：共线的4个点中有1个点作为三角形的顶点，共有C 14·C 28＝112(个)不同的三角形；第三类：共线的4个点中没有点作为三角形的顶点，共有C 38＝56(个)不同的三角形．由分类计数原理，不同的三角形共有48＋112＋56＝216(个)．13．(创新拓展)在产品质量检验时，常从产品中抽出一部分进行检查．现在从98件正品和2件次品共100件产品中，任意抽出3件检查．(1)共有多少种不同的抽法？(2)恰好有一件是次品的抽法有多少种？(3)至少有一件是次品的抽法有多少种？(4)恰好有一件是次品，再把抽出的3件产品放在展台上，排成一排进行对比展览，共有多少种不同的排法？解(1)所求不同的抽法数，即从100个不同元素中任取3个元素的组合数，共有C3100＝100×99×983×2×1＝161 700(种)．(2)抽出的3件中恰好有一件是次品这件事，可以分两步完成：第一步，从2件次品中任取1件，有C12种方法；第二步，从98件正品中任取2件，有C298种方法．根据分步计数原理，不同的抽取方法共有C12·C298＝2×98×972×1＝9 506(种)．(3)法一抽出的3件中至少有一件是次品这件事，分为两类：第一类：抽出的3件中有1件是次品的抽法，有C12C298种；第二类：抽出的3件中有2件是次品的抽法，有C22C198种．根据分类计数原理，不同的抽法共有C12·C298＋C22·C198＝9 506＋98＝9 604(种)．法二从100件产品中任取3件的抽法，有C3100种，其中抽出的3件中没有次品的抽法，有C398种．所以抽出的3件中至少有一件是次品的抽法，共有C3100－C398＝9 604(种)．(4)完成题目中的事，可以分成两步：第一步，选取产品，有C12C298种方法；第二步，选出的3个产品排列，有A33种方法．根据分步计数原理，不同的排列法共有C12C298A33＝57 036(种)．。
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[思路探索] 属于组合与排列的区分问题，看问题有无次序要求． 解 (1)集合中的元素具有无序性，顺序无关是组合问题． (2)两人握手与顺序无关是组合问题．
(3)学习小组的人与顺序无关是组合问题．
(4)将名额分给5个班，只与每班分得名额个数有关，属组合问题．
规律方法 区分排列还是组合问题的关键是看取出元素后是按顺 序排列还是无序地组在一起，区分有无顺序的方法是把问题的一 个选择结果解出来，然后交换这个结果的任意两个元素的位置，
题型二
组合数公式
1 1 7 【例2】 (1)求下式中的x： x － x ＝ . C5 C6 10Cx 7
1 m (2)解不等式Cm ＞ 3C 8 8.
－
(3)证明Cm n＝
n Cm － . n－m n 1
[思路探索] 利用组合数公式，并注意有关限制条件．
x！5－x！ x！6－x！ (1)解 原式可化为： － 5！ 6！ 7· x！7－x！ ＝ ，∵0≤x≤5，∴x2－23x＋42＝0， 10· 7！ ∴x＝21(舍去)或x＝2，即x＝2为原方程的解． 8！ 3×8！ (2)解 由 ＞ m－1！9－m！ m！8－m！ 1 3 得 ＞ ，∴m＞27－3m， 9－m m 27 1 ∴m＞ 4 ＝7－4，
1.3 组合
第1课时 组合与组合数公式
1．组合的定义 一般地，从 n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组 ，叫 做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合． 2．组合数的定义 从 n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数 ，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，用符号 Cm n 表示．
(3)据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同，则不论元
素的顺序如何，都是相同的组合．只有当两个组合中的元素不 完全相同时，才是不同的组合．
2．排列与组合问题的异同 组合与排列问题共同点是都要“从n个不同元素中任取m个元
素”；不同点是前者是“不管顺序合成一组”，而排列是要
“按照一定顺序排成一列”．
又∵0≤m－1≤8，且0≤m≤8，m∈N， 即7≤m≤8，∴m＝7或8. (3)证明 n－1！ n n m C－＝ · n－m n 1 n－m m！n－1－m！
n！ ＝ ＝C m n. m！n－m！ 规律方法 求解与组合数有关的方程，不等式及证明问题时，要
应用组合数的公式，并注意其成立的条件．
3．组合数公式
m nn－1n－2„n－m＋1 n！ A n m Cn ＝Am＝ ＝ m！ m！n－m！ m
规定：C0 n＝1. 试一试 找出从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数 与从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数的关系式．
m A n m m m 提示 Cm · A ＝ A ，即： C ＝ . m n m n n Am
是女生的选法有C
种，则至少一名男生和一名女生的选法有
5 5 C5 12－C7－C5＝792－21－1＝770(种)．
方法技巧 用排除法求组合数 解决排列组合问题的基本方法有两种，即直接法和排除法，排除
法是先不管其中某些限制条件求出其方法数，再剔除不合题意的
方法数即可，基本依据是“正难则反”的思想．
【示例】 从7名男生和5名女生中，选出5人，求至少一名男生和 一名女生的选法种数． 解
5 选出5人的总的选法有C 5 ，全是男生的选法有 C 12 7 种，全 5 5
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(2)从口袋里的8个球中任取5个球，其中恰有一个红球，可以分两 步完成： 第一步，从7个白球中任取4个白球，有C4 7种取法； 第二步，把1个红球取出，有C1 1种取法．
1 4 3 故不同取法的种数是C4 · C ＝ C ＝ C 7 1 7 7＝35.(8分)
(3)从口袋里任取5个球，其中不含红球，只需从7个白球中任取5 7×6 5 2 个白球即可，不同取法的种数是C7＝C7＝ ＝21.(14分) 2×1
【题后反思】 解简单的组合应用题时，要先判断它是不是组合问 题，取出无素只是组成一组，与顺序无关则是组合问题；取出元 素排成一列，与顺序有关则是排列问题．只有当该问题能构成组
合模型时，才能运用组合数公式求出其种数．在解题时还应注意
两个计数原理的运用，在分类和分步时，注意有无重复或遗漏．
【变式3】 在一次考试的选做题部分，要求在第1题的4个小题中 选做3个小题，在第2题的3个小题中选做2个小题，第3题的2 个小题中选做1个小题，有________种不同的选法． 解析 答案 分三步完成这件事，即共有C3 C2 C1 4· 3· 2＝24(种)． 24
想一想 组合数公式Cm n 中，m、n的范围有什么要求？
* 提示 Cm n 中，m≤n且m、n∈N .
1．正确理解组合的含义
(1) 组 合要求 n 个元素是不同的，被取的 m 个元素也是不同的， 即从n个不同元素中进行m次不放回地取出． (2)取出的m个元素不讲究顺序，也就是说元素没有位置的要求， 无序性是组合的特点．
(2)其中恰有一个红球，共有多少种不同的取法？
(3)其中不含红球，共有多少种不同的取法？ 本题考察组合的概念及组合数的应用，用两个计数 原理进行分类，分步计算．
解题流程
[规范解答] (1)从口袋里的8个球中任取5个球，不同取法的种数是 8×7×6 5 3 C8＝C8＝ ＝56.(4分) 3×2×1
k Cm · C n m＝
n！ m！ · m！n－m！ k！m－k！
n！ ＝ ， k！n－m！m－k！
m－k m k ∴Ck · C ＝ C C m. n n －k n·
题型三 简单组合问题 【例3】 (14分)一个口袋里装有7个白球和1个红球，从口袋中任取 5个球． (1)共有多少种不同的取法？
n 3n 【变式2】 (1)求C38 3n ＋C21＋n的值；
－
m－k m k (2)证明：Ck · C ＝ C Cm. － n n k n·
(1)解
19 2 ≤n≤38， 0≤38－n≤3n， 即 0≤3n≤21＋n， 0≤n≤21. 2
19 21 ∴ 2 ≤n≤ 2 ，∵n∈N*，∴n＝10，
题型一 组合的概念
【例1】 判断下列问题是组合问题还是排列问题： (1)设集合A＝{a，b，c，d，e}，则集合A的含有3个元素的子集 有多少个？ (2)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，共需握手多 少次？ (3)10名同学分成人数相同的两个学习小组，共有多少种分法？
(4)10个三好学生名额分给 5个班，每班至少一个，有多少种分
看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问
题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．
【变式1】 有8盆不同的花， (1)从中选出2盆分别送给甲、乙两人每人一盆； (2)从中选出2盆放在教室里． 以上问题中，哪一个是组合问题？哪一个是排列问题？ 解 (1)从8盆花中，选出2盆送给甲、乙两人每人一盆的送法 与顺序有关，故属排列问题． (2)从8盆花中，选出2盆放在教室的放法与顺序无关，故属组 合问题．
－n 3n 28 30 2 1 ∴C38 ＋ C ＝ C ＋ C ＝ C ＋ C ＋ 3n 21 n 30 31 30 31
30×29 ＝ ＋31＝466. 2×1
(2)证明
m－k ∵Ck · C n n－k ＝
n！ n－k！ · k！n－k！ m－k！n－m！
n！ ＝ . k！m－k！n－m！